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1 AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL : REALISATION DE FILTRES DU PREMIER ORDRE 1 L’amplificateur opérationnel est considéré comme idéal. La résistance R 3 sur les schémas (qui a pour but de limiter la tension d’offset de l’amplificateur réel) ne sera pas prise en compte : sa tension aux bornes est nulle. On supposera de plus que la courbe de réponse de l’amplificateur est idéale : gain en tension constant quelle que soit la fréquence. 1 - FILTRE PASSE-HAUT INVERSEUR Figure 1 : filtre passe-haut inverseur 1. Le montage de la figure 1constitue un amplificateur inverseur de gain A(ω) : A ( ! ) = v s v e = ! R 2 Z 1 avec : Z 1 = R 1 + 1 j !C 1 On obtient alors : A ( ! ) = v s v e = ! R 2 R 1 1 1 + 1 j ! R 1 C 1 2. Déterminons le module du gain : A ( ! ) = v s v e = R 2 R 1 1 1 + 1 ! R 1 C 1 ( ) 2 soit en décibels : A ( ! ) dB = 20 log R 2 R 1 ! " # $ % & ' 10 log(1 + 1 ! R 1 C 1 ( ) 2 ) 3. La fréquence de coupure f c à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux fréquences moyennes {soit : 20 log R 2 R 1 ! " # $ % & = 20 dB )} a chuté de -3dB. Dans ces conditions : ! c R 1 C 1 = 1 . 1 Philippe ROUX © 2012 http://philippe.roux.7.perso.neuf.fr/ + _ R 1 R 3 R 2 C 1 10k" v e 1k" 1k" 1!F v s e

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AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL :

REALISATION DE FILTRES DU PREMIER ORDRE 1

L’amplificateur opérationnel est considéré comme idéal. La résistance R3 sur les schémas (qui a pour but de limiter la tension d’offset de l’amplificateur réel) ne sera pas prise en compte : sa tension aux bornes est nulle. On supposera de plus que la courbe de réponse de l’amplificateur est idéale : gain en tension constant quelle que soit la fréquence. 1 - FILTRE PASSE-HAUT INVERSEUR

Figure 1 : filtre passe-haut inverseur

1. Le montage de la figure 1constitue un amplificateur inverseur de gain A(ω) :

A(!) = vsve= !

R2Z1

avec : Z1 = R1 +1

j!C1

On obtient alors : A(!) = vsve= !

R2R1

1

1+ 1j!R1C1

2. Déterminons le module du gain : A(!) = vsve

=R2R1

1

1+ 1!R1C1( )2

soit en décibels :

A(!)dB= 20 log R2

R1

!

"#

$

%&'10 log(1+

1!R1C1( )2

)

3. La fréquence de coupure fc à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux

fréquences moyennes {soit :20 log R2R1

!

"#

$

%&= 20dB )} a chuté de -3dB.

Dans ces conditions :!cR1C1 =1 .

1 Philippe ROUX © 2012 http://philippe.roux.7.perso.neuf.fr/

+

_R1

R3

R2

C1

10k"

ve1k"

1k"

1!F

vs

e

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On en déduit la fréquence de coupure à -3 dB par rapport aux fréquences moyennes :

fc =1

2!R1C1soit fc = 159 Hz.

Le déphasage (en degrés) de la sortie par rapport à l’entrée est tel que :

! = "180" Arc tan(!R1C1) A la fréquence de coupure fc le déphasage Φ (fc) est de -225°.

4. Déterminons le Graphe asymptotique de Bode du module du gain en tension exprimé en dB.

A(!)dB= 20 log R2

R1

!

"#

$

%&'10 log(1+

1!R1C1( )2

)

Le graphe de Bode possède deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 2 :

Composante (1) : 20 log R2R1

!

"#

$

%& = 20 dB indépendante de la fréquence et représentée par une

droite horizontale.

Composante (2) : !10 log(1+ 1!R1C1( )2

) dont les asymptotes correspondent respectivement :

• à 0 dB pour une fréquence tendant vers l’infini. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur 20 dB/ décade (pour f

tendant vers zéro).

La somme (3) des deux composantes précédentes constitue le graphe asymptotique de Bode du module du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).

Figure 2 : Graphe asymptotique de Bode du module du gain

10 100 1 103 1 10420

0

20

40

159 f (Hz)

!

A

dB

1

2

fc

20 dB/décade

3

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5. Graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée :

! = "180" Arc tan(!R1C1) . Le graphe asymptotique de Bode a deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 3 :

Composante (1) : -180° indépendante de la fréquence et représentée par une droite horizontale. Composante (2) : !Arc tan(!R1C1) dont les asymptotes correspondent respectivement :

• à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini. • à 0° pour f tendant vers zéro. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.

La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ.

Figure 3 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage

L’ensemble des deux graphes précédents est rassemblé sous la forme de Nyquist (la phase est l'angle et le module la distance du point à l'origine).

Figure 4 : Graphe de Nyquist

10 100 1 103 1 104200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0 0

159

f (Hz)

1

2

3!

"

degrés

-45°/décade

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

109876543210

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2 - FILTRE PASSE-BAS INVERSEUR

Figure 5 : Filtre passe-bas inverseur

1. Le montage constitue un amplificateur inverseur de gain : A(!) = vsve= !

Z 2R1

Z2 =R2

1+ j!C2R2. On obtient alors : A(!) = vs

ve= !

R2R1

11+ j!R2C2

2. Déterminons le module du gain en décibels ainsi que la déphasage Φ de la sortie par rapport à

l’entrée.

A(!) = vsve

=R2R1

1

1+ !R2C2( )2

Soit en décibels : A(!)dB= 20 log R2

R1

!

"#

$

%&'10 log(1+ !R2C2( )2 )

Le déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée est tel que :

! =180" Arc tan(!R2C2 )

3. La fréquence de coupure fc à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux

fréquences moyennes {20 log R2R1

!

"#

$

%&= 20dB )} a chuté de -3dB.

Dans ces conditions : !cR2C2 =1 fc =1

2!R2C2= 31,8kHz

Le déphasage est alors : !( fc ) =180" 45=135°

+

_R1

R3

R2

C2

10k!

ve1k!

1k!

0,5nF

vs

e

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4. Graphes asymptotiques de Bode du module du gain en tension.

A(!)dB= 20 log R2

R1

!

"#

$

%&'10 log(1+ !R2C2( )2 )

Ce graphe de Bode possède deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 6 :

Composante (1) : 20 log R2R1

!

"#

$

%& = 20 dB indépendante de la fréquence et représentée par une

droite horizontale.

Composante (2) : !10 log(1+ !R2C2( )2 )dont les asymptotes correspondent respectivement : • à 0 dB pour une fréquence tendant vers zéro. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur -20 dB/ décade (pour

f tendant vers l’infini).

La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du module du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).

Figure 6 : Graphe asymptotique du module du gain

5. Graphe asymptotique de Bode du déphasage ! =180" Arc tan(!R2C2 )

Le graphe de Bode du déphasage a deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 7 :

Composante (1) : 180° indépendante de la fréquence et représentée par une droite horizontale.

Composante (2) : !Arc tan(!R2C2 ) dont les asymptotes correspondent respectivement :

1 103 1 104 1 105 1 10620

10

0

10

20

30

40

.3.183 104

1

2

fc f (Hz)

!

A

dB

3

-20/décade

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• à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini. • à 0° pour f tendant vers zéro. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.

La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ.

Figure 7 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage

L’ensemble des deux graphes précédents est rassemblé sous la forme de Nyquist (la phase est l'angle et le module la distance du point à l'origine).

Figure 8 : Graphe de Nyquist

1 103 1 104 1 105 1 10690

45

0

45

90

135

180

.3.183 104

-45°/décade

!

"

degrés

f (Hz)

1

2

3

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

10

987

654

3210

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3 - FILTRE PASSE-BANDE INVERSEUR L'association des deux montages précédents conduit à la réalisation d'un filtre passe-bande. On se place dans la situation particulière (figure 9) où les deux constantes de temps sont égales: R1 C1 = R2 C2 = τ.

Figure 9 : Filtre passe-bande inverseur

1. Le montage constitue un amplificateur inverseur de gain : A(!) = vsve= !

Z 2Z1

Avec : Z1 = R1 +1

j!C1 Z 2 =

R21+ j!R2C2

Soit :

A(!) = ! j!R2C1(1+ j!R1C1)(1+ j!R2C2 )

2. Graphe asymptotique de Bode du module du gain exprimé en décibels (figure 10).

A(!)dB= 20 log !R2C1( )!10 log(1+ !R1C1( )2 )!10 log(1+ !R2C2( )2 )

Ce graphe de Bode possède trois composantes notées (1), (2) et (3) sur la figure 10 :

Composante (1) : 20 log !R2C1( ) représentée par une droite de coefficient directeur

20dB/décade passant par la fréquence : 12!R2C1

=1,59kHz

Composante (2) : !10 log(1+ !R1C1( )2 ) dont les asymptotes correspondent respectivement : • à 0 dB pour une fréquence tendant vers zéro.

• à un segment de droite passant par 12!R1C1

=15,9kHz et de coefficient directeur -20

dB/ décade (pour f tendant vers l’infini).

+

_R1

R3

R2

C2

10k!

ve1k!

1k!

1nF

vs

eC1

10nF

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Composante (3) : !10 log(1+ !R2C2( )2 ) identique à la composante (2) sachant que les constantes de temps sont égales.

La somme (4) de ces trois composantes constitue le graphe asymptotique de Bode du module du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).

Figure 10 : Graphe de Bode du module du gain

3. Graphe asymptotique de Bode du déphasage de la sortie par rapport à l’entrée (figure 11).

! = "Arc tan(#)" Arc tan(!R1C1)" Arc tan(!R2C2 ) Le graphe de Bode du déphasage a trois composantes notées (1), (2) et (3) sur la figure :

Composante (1) : -90° indépendant de la fréquence et représenté par une droite horizontale.

Composante (2) : !Arc tan(!R1C1) dont les asymptotes correspondent respectivement :

• à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini. • à 0° pour f tendant vers zéro. • à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.

Composante (3) : !Arc tan(!R2C2 ) identique à la précédente.

100 1 103 1 104 1 105 1 10620

16

12

8

4

0

4

8

12

16

20

1.59 104

.

1.592 103

1

2

3

20 dB/décade -20 dB/décade

4

!

A

dB

4

f (Hz)

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La somme de toutes les composantes constitue le graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ. La discontinuité sur le graphe a été introduite par le logiciel de calcul et ne doit pas être prise en compte.

Figure 11 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage

L’ensemble des deux graphes précédents sont rassemblés sous la forme de Nyquist (la phase est l'angle et le module la distance du point à l'origine). Vous noterez l’absence de discontinuité.

Figure 12 : Graphe de Nyquist

100 103180

135

90

45

45

90

135

180

.1.59 104

f (Hz)

!

"

degrés

104

105 106

1

2 3

-45°/décade

-90°/décade

-90°/décade

180 0

30

60

90

120

150

210

240

270

300

330

54.543.532.521.510.50

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4. On se propose maintenant de déterminer le gain en tension maximal Amax ainsi que les fréquences de coupures à -3 dB du montage. Si l’expression précédente du gain était appropriée pour obtenir les graphes de Bode, elle est peu pratique pour la suite. A cet effet, exprimons le gain en tension sous une autre forme :

A(!)[ ]!1 = vevs= !Z1Y 2 avec : Y 2 =G2 + j!C2 .

On obtient alors l’expression :

A(!) = ! 1R1R2+C2C1

+ j(!R1C2 !1

!R2C1)

Le gain en tension sera maximal lorsque la partie imaginaire sera nulle. Soit :

Amax =1

R1R2+C2C1

= 5 (14 dB)

Pour obtenir les fréquences de coupure à –3dB fb et fh du filtre, nous allons écrire le gain sous

la forme : A(!) = Amax1+ jF(!)

A(!) = ! 1R1R2+C2C1

1

1+ j(!R1C2 !

1!R2C1

)

R1R2+C2C1

-> A(!) = ! Amax1+ jAmax (!R1C2 !

1!R2C1

)

Le module du gain est alors :

A(!) = Amax

1+ A2max (!R1C2 !1

!R2C1)2

Les fréquences de coupure à -3 dB sont obtenues lorsque : A2max (!R1C2 !1

!R2C1)2 =1

Ceci conduit à résoudre l’équation : Amax (!R1C2 !1

!R2C1) = ±1

Les racines réelles des deux équations du 2° degré précédentes conduisent à :

• Fréquence de coupure basse : fb = 6,6 kHz. • Fréquence de coupure haute : fh = 38 kHz.

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4- FILTRE PASSE-BAS NON INVERSEUR

a. Montage 1 : on place un circuit RC intégrateur à l’entrée du montage amplificateur non inverseur.

Figure 13 : Filtre passe-bas non inverseur

Gain en tension du montage : vc =

1j!C

R+ 1j!C

ve vc = vsR1

R1 + R2 A(!) = R2 + R1

R1

!

"#

$

%&

11+ j!RC

On en déduit le module (en dB) et l’argument :

A(!)dB= 20 log R2 + R1

R1

!

"#

$

%&'10 log 1+ !RC( )2!

"$%

! = "Arc tan !RC( )

• Gain aux fréquences moyennes : A = 11

• Fréquence de coupure haute fc =1

2!RC= 31,8kHz où Φ (fc) = -45°.

Les points calculés des courbes de réponse en fréquences : AdB

et ! en degrés sont données en figures 14 et 15 (en s’inspirant des graphes exposés précédemment, il sera facile de tracer les graphes de Bode asymptotiques).

Figure 14 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés

+

_

R

R

RA0

vsev

2

1

Ccv

1k!

1k!

10k!

5nF

1 103 1 104 1 105 1 10620

10

0

10

20

30

40

.3.183 104

|A| dB

f (Hz)

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Figure 15 : Graphe de Bode du déphasage avec points calculés

b. Montage 2 : on place un condensateur C2 en parallèle avec la résistance R2.

Figure 16 : : Filtre passe-bas non inverseur

Gain en tension du montage : A(!) = R2 + R1R1

!

"#

$

%&1+ j! R1 / /R2( )C21+ j!R2C2

On en déduit le module du gain en dB et le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée :

A(!)dB= 20 log R2 + R1

R1

!

"#

$

%&+10 log 1+ ! R1 / /R2( )C2( )

2!"#

$%&'10 log 1+ !R2C2( )2!

"$%

! = Arc tan ! R1 / /R2( )C2"# $%& Arc tan !R2C2[ ]

• Gain aux fréquences moyennes : A = 11

• Fréquence de coupure haute fh =1

2!R2C2=159kHz

1 103 1 104 1 105 1 10690

75

60

45

30

15

0

.3.183 104

f (Hz)

! (degrés)

+

_

R

RA0

vsev

2

1

C2

1k! 10k!

1nF

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On remarquera que l’expression du gain fait apparaître une autre fréquence de coupure fc

supérieure à fh à savoir : fc =1

2! (R1 / /R2 )C2=1, 75MHz dont l’influence apparaît nettement

sur la graphe du déphasage. Les courbe de réponse en fréquences : A

dBet ! en degrés sont données en figures 17 et 18.

Figure 17 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés

Figure 18 : Déphasage de la sortie par rapport à l’entrée

1 103 1 104 1 105 1 10620

10

0

10

20

30

40

.1.59 104 .1.75 105

|A| dB

1 103 1 104 1 105 1 10690

70

50

30

10

10

30

50

70

90

0

90

.1.59 104 .1.75 105

! (degrés)

f (Hz)

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5- FILTRE PASSE-HAUT NON INVERSEUR On place un circuit RC différentiateur à l’entrée du montage amplificateur non inverseur.

Figure 19 : Filtre passe-haut non inverseur

Déterminons le gain en tension du montage : vc =R

R+ 1j!C

ve on en déduit :

A(!) = vsve=R2 + R1R1

!

"#

$

%&

1

1+ 1j!RC

A(!)dB= 20 log R2 + R1

R1

!

"#

$

%&'10 log 1+

1!RC( )2

!

"##

$

%&&

! = "Arc tan 1

!RC#

$%&

'(

Gain aux fréquences moyennes : A = 11

Fréquence de coupure à -3 dB : fb =1

2!RC=1,59kHZ où Φ (fc) = +45°.

Les points calculés des courbe de réponse en fréquences : AdB

et ! en degrés sont données en figures 20 et 21.

Figure 20 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés

+

_

R

R

RA0

vsev

2

1

C

cv

1k!

10k!

10k!

10nF

100 1 103 1 104 1 10520

10

0

10

20

30

40

.1.592 103

f (Hz)

|A| dB

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15

Figure 21 : Déphasage de la sortie par rapport à l’entrée

100 1 103 1 104 1 1050

15

30

45

60

75

90

.1.592 103

f (Hz)

! en degrés