MP* ORAUX CONCOURS 2006

Algèbre linéaire générale

1. Lyon : Pour n ∈N∗, on noteJn =

J ∈Mn (R) | J 2 =−In

(a) Montrer que, si Jn est non vide, alors n est pair.

(b) On suppose désormais n = 2m pair. Montrer que J2m est non vide.

(c) Soit J ∈J2m . Pour X ∈R2m , on pose(a + i b) X = aX +b J X

Montrer que ceci permet de définir une structure de C-ev sur R2m .

(d) Si J et J ′ ∈J2m , montrer que J et J ′ sont semblables. Trouver un isomorphisme de l’espace vectoriel réel R2m

vers Cm tel queu J = i u

(e) Montrer que J2 a deux composantes connexes par arcs homéomorphes à R2.

2. X : Soit E un K -ev de dimension finie et f un endomorphisme de E . Montrer que Im f = ker f si et seulement si

f f = 0 et ∃h ∈L (E) h f + f h = i dE

3. Mines : Soit A ∈Mn (Z). Donner une condition nécessaire et suffisante sur det A pour que A ∈GL n (Z).

4. Mines : Soit f ∈L (E) avec dimE = n <+∞. On pose αk = dimker f k . Montrer que

0 Éαk+1 −αk Éαk −αk−1

5. Centrale : Résoudre dans R3 le système d’inconnues(x, y, z

)

x2 − y z = ay2 − zx = bz2 −x y = c

On pourra faire intervenir la matrice

A = x y z

z x yy z x

6. Centrale :

(a) Montrer que, pour M ∈Mn (C)

M ∉GL n (C) ⇔∃P ∈GL n (C) ∀λ ∈C P −λM ∈GL n (C)

(b) Si M est de rang r , montrer qu’il existe Q ∈GL n (C) telle que Q −λM soit inversible sauf pour r valeurs de λ.

(c) Soit ϕ un endomorphisme de Mn (C) tel que ϕ (GL n (C)) ⊂GL n (C). Montrer que

ϕ−1 (GL n (C)) ⊂GL n (C)

(d) Montrer que∀M ∈Mn (C) rangϕ (M) Ê rang M

1

(e) Montrer que ϕ conserve le rang.

7. Centrale : On travaille sur Mn (K) avec K = R ou C et n Ê 2. Montrer que l’application A 7→ ΦA où ΦA est définiesur Mn (K) par

ΦA (M) = trace AM

définit un isomorphisme entre Mn (K) et son dual. Trouver l’ensemble des formes linéaires ϕ sur Mn (K) vérifiant

∀X ,Y ∈Mn (K) ϕ (X Y ) =ϕ (Y X )

Montrer que tout hyperplan de Mn (K) contient au moins une matrice inversible.

8. Centrale : Soient E1 et E2 deux sev supplémentaires d’un K -ev E et

Γ= u ∈L (E) | keru = E1 et Imu = E2

(a) Montrer que, pour u ∈ Γ, la restriction u de u à E2 est un automorphisme de E2.

(b) On définit l’application ϕ : Γ→ GL (E2) définie par ϕ (u) = u. Propriétés de ϕ ? Structure de (Γ,) ? Quel estson élément neutre ?

9. TPE : Soit A ∈Mn (R) telle que∀X ∈Mn (R) det(A+X ) = det A+det X

Que peut-on dire de A ?

10. CCP : Soit n ∈N∗ et U ,V deux colonnes de Rn et M = In +U t V . On pose t = traceU t V .

(a) Montrer que M 2 − (t +2) M + (t +1) In = 0.

(b) Pour quelles valeurs de t la matrice M est elle inversible ? Calculer alors M−1.

(c) Si M est non inversible, montrer que c’est la matrice d’un projecteur dont on déterminera les éléments ca-ractéristiques.

11. CCP : Soit E =Rn [X ] et f l’endomorphisme de E défini par P 7→ P +P ′. Montrer de différentes manières que f estbijective. Si Q ∈ E , donner le polynôme P de E tel que f (P ) =Q.

12. TPE : Calculer

∆n = det

3 2 0 · · · 0

−2 3 2. . .

...

0 −2. . .

. . . 0...

. . .. . . 3 2

0 · · · 0 −2 3

13. CCP : Soit G un groupe multiplicatif de matrices non réduit à 0 dans Mn (R), et E son élément neutre. Montrer

que tous les éléments de G ont même rang r Ê 1.

14. CCP : Soit E un espace vectoriel de dimension finie n Ê 1 et f un endomorphisme de E . Montrer que

E = ker f + Im f ⇔ Im f = Im f 2 ⇔ ker f = ker f 2

15. CCP : On note A = 1

11

−9 6 26 7 62 6 −9

. Montrer que A est inversible et calculer A−1. En déduire An pour n entier.

16. IIE : Soit a = x0 < x1 < ·· · < xn = b une subdivision de [a,b], et E l’espace vectoriel des fonctions de [a,b] dans Rdont la restriction à chaque [xk , xk+1] est affine. On note

fk : [a,b] →R, fk (x) = |x −xk |Montrer que

(fk

)0ÉkÉn est libre, puis que c’est une base de E . Si f ∈ E , comment trouver facilement ses coordon-

nées dans cette base ?

2

Réduction des endomorphismes

1. U/L/C : Soient A,B ∈Mn (R) et EA,B = X ∈Mn (R) | AX +X A = B.

(a) Montrer que EA,B 6= ;⇔∀C ∈ EA,0 trace(BC ) = 0.

(b) Montrer que, si AB +B A = 0 et si EA,B 6= ;, alors B est nilpotente.

2. U/L/C : Soient A,B ∈Mn (R). On suppose qu’il existe M de rang r telle que AM = MB . Montrer que degχA∧χB Ê r .

3. X : Soient A,B ∈ Mn (C) telles qu’il existe P ∈ Mn (C) non nulle avec AP = PB . Montrer que A et B ont une valeurpropre en commun.

4. X : Soit A ∈Mn (C). Montrer l’équivalence des propositions :

(i) Il existe B diagonale et S ∈GL n (C) A = SBS−1.

(ii) A A est diagonalisable à valeurs propres réelles Ê 0 et rang A = rang A A.

5. X : Soit A ∈Mn (C) et B =(

A 2A−A 2A

). Montrer que A est diagonalisable si et seulement si B est diagonalisable.

6. X : Soit A ∈Mn (C) et I A = P ∈C [X ] | P (A) est nilpotente

. Montrer que I A est un idéal non nul de C [X ]. Montrer

qu’il existe P ∈ I A tel que A−P (A) soit diagonalisable.

7. X : Soit N ∈Mn (C) nilpotente. Trouver A ∈Mn (C) telle que exp A = In +M .

8. Mines : Calculer exp A pour A =

1 −1 i −i−1 1 −i ii −i −1 1−i i 1 −1

9. Mines : Soit A =

−1 a a1 −1 0−1 0 −1

∈M3 (C). A est-elle diagonalisable ? Calculer exp A.

10. Mines : Soient (ai )1ÉiÉn ∈ Cn . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A = (ai a j

) ∈ Mn (C) soitdiagonalisable.

11. Mines : Soit ω= e2iπ

5 et

A =

1 ω ω2 ω3 ω4

ω ω2 ω3 ω4 1ω2 ω3 ω4 1 ω

ω3 ω4 1 ω ω2

ω4 1 ω ω2 ω3

A est-elle diagonalisable ? Calculer exp A.

12. Mines : Soit E un espace vectoriel de dimension finie n > 0 et f ∈ LK (E). Montrer que f est diagonalisable si etseulement si tout sev de E possède un supplémentaire stable par f .

13. Mines : Eléments propres de

A =

a b b

b. . . b

b b a

∈Mn (K)

14. Mines : On pose

A = 0 0 0

0 0 −10 1 0

Polynôme minimal et polynôme caractéristique ? A est-elle diagonalisable ? Calculer An et exp A.

15. Mines : Soit M ∈Mn (C). On cherche à résoudre, dans Mn (C), l’équation Z 2 = M .

3

(a) On suppose que les valeurs propres de M sont toutes simples. Donner le nombre de solutions.

(b) Donner un exemple de matrice M pour laquelle il y a une infinité de solutions.

(c) Pour

M =n∑

i=2Ei−1,i

où(Ei j

)1Éi , jÉn est la base canonique de Mn (C), montrer qu’il n’y a pas de solution.

16. Mines : Soient A,B ∈R [X ], avec B scindé à racines simples de degré n +1. Soit φ défini sur Rn [X ] par

φ (P ) = reste de la division euclidienne de AP par B

Montrer que φ est un endomorphisme de Rn [X ] et déterminer ses éléments propres.

17. Mines : On définit f :Rn [X ] →Rn [X ] par f (P ) = P +P ′.

(a) Montrer que f est bijective.

(b) Expliciter f −1.

(c) Déterminer les éléments propres de f . f est-elle diagonalisable ?

18. Centrale : Soit(

fi)

i∈I une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension finie. On supposequ’ils commutent deux à deux et sont tous trigonalisables.

(a) En raisonnant par récurrence sur dimE , montrer que les(

fi)

i∈I ont un vecteur propre en commun.

(b) Montrer que les(

fi)

i∈I sont simultanément trigonalisables.

(c) Donner un exemple d’endomorphismes simultanément trigonalisables qui ne commutent pas.

(d) Si A,B ∈Mn (K) sont simultanément trigonalisables, montrer que

spectre A+B ⊂ spectre A+ spectreB et spectre AB ⊂ spectre A. spectreB

19. Centrale : Soit n Ê 2 et A = (ai j

) ∈Mn (R) telle que ai j = 1 si i = j +1 et 0 sinon. Pour t ∈R, on pose M (t ) = exp t Aet G = M (t ) , t ∈R.

(a) Expliciter M (t ).

(b) On note C l’ensemble des matrices N qui commutent avec tous les éléments de G . Montrer que C coïncideavec le commutant de A. En déduire que

In , A, . . . , An−1

forme une base de C .

(c) Si X ∈Rn , on appelle orbite de X selon G l’ensemble M (t ) X , t ∈R. Pour n = 3, déterminer et représenter lesdifférentes orbites.

20. Centrale : On considère un C-ev E de dimension finie n > 1 et l’application de L (E)×L (E) →L (E) définie par

(u, v) 7→ [u, v] = uv − vu

(a) Donner des propriétés de cette application.

(b) On suppose que [u, v] = 0. Montrer que u et v sont co-trigonalisables.

(c) On suppose que [u, v] ∈ vectu. Calculer [up , v] pour p ∈N. Montrer que u est nilpotent, et en déduire que uet v sont co-trigonalisables.

(d) On suppose l’existence de complexes α et β tels que

[u, v] =αu +βv

Montrer que u et v sont co-trigonalisables.

4

21. Centrale : Soit A ∈Mn (C). Montrer que A est nilpotente si et seulement si

∀k ∈ 1, . . . ,n trace Ak = 0

22. Centrale : Soit p un nombre premier. Quel est le nombre de matrices diagonalisables de M2(Z/pZ

)? de M3

(Z/pZ

)?

23. TPE : Soit E =C 0 ([0,1] ,R) et ϕ : f 7→ g définie par

g (0) = f (0) et g (x) = 1

x

∫ x

0f (t )d t pour x > 0

Montrer que ϕ est un endomorphisme de E et déterminer ses éléments propres.

24. Mines Douai : Calculer M 2004 et M 2005, pour

M =

1 1 0 10 j 0 20 0 1 50 0 0 j 2

25. IIE : Soit E un R-ev de dimension finie et f ∈L (E) tel que

f 2 +α f +βi dE = 0

où le polynôme P = X 2 +αX +β n’a pas de racine réelle.

(a) f a-t-il des valeurs propres réelles ? Que peut-on en déduire pour dimE ?

(b) Si x 6= 0E , on pose y = (f +αi dE

)(x) et Hx = vect

(x, y

). Montrer que Hx est un plan vectoriel stable par f .

(c) Soit F un sev de E stable par f et ne contenant pas x. Montrer que F et Hx sont indépendants.

(d) Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, les blocs diagonaux

étant tous égaux à

( −α −β1 0

).

26. TPE : Soit E un C-ev et u ∈L (E) tel que un = i dE . Soit F un sev de E stable par u et p un projecteur d’image égaleà F . Montrer que

q = 1

n +1

n∑k=0

uk p un−k

est un projecteur et le caractériser.

27. Soit A ∈Mn (R) telle que A3 = 4A. Montrer que trace A est un entier naturel pair.

Algèbre bilinéaire générale

1. Cachan : Soit A ∈S ∗+n (R) et v ∈Rn . Montrer l’existence et l’unicité d’un point où la fonction f :Rn →R définie par

f (x) = 1

2⟨Ax, x⟩+⟨v, x⟩

atteint son minimum.

2. X : Soient A,B des matrices symétriques réelles positives et C définie par

∀ i , j ci , j = ai , j bi j

Montrer que C est positive. Que peut-on dire si A et B sont définies positives ?

5

3. Mines : Donner une condition nécessaire et suffisante sur α ∈R pour que la forme quadratique définie sur Rn par

Q (X ) =n∑

i=1x2

i −α(

n∑i=1

xi

)2

soit définie positive.

4. Centrale : Si (ai )1ÉiÉn sont des réels strictement positifs distincts deux à deux, montrer que

q (X ) =∑

1Éi , jÉn

xi x j

ai +a j

définit une forme quadratique définie positive sur Rn .

5. TPE : On définit une forme quadratique sur R3 par

q(x, y, z

)= 11x2 +3y2 +3z2 −10x y +10xz −6y z

Est-elle définie positive ? positive ?

Espaces euclidiens et hermitiens

1. ENS : Soit A ∈Mn (C) telle que A2 = A A∗. A-t-on A = A∗ ?

2. X : Soient Q1 et Q2 deux matrices symétriques réelles, avec Q1 inversible. Montrer que Q−11 Q2 est diagonalisable si

et seulement si∃P ∈GL n (R) t PQ1P et t PQ2P diagonales

3. X : Soit E =Rn [X ] muni du produit scalaire

⟨P,Q⟩ =∫ 1

0P (t )Q (t ) d t

Pour P ∈ E , on poseA (P ) = (

X 2 −1)

P ′′+2X P ′

(a) Montrer que A est un endomorphisme et déterminer ses valeurs propres.

(b) Les vecteurs propres associés forment-ils une base orthogonale de E ?

(c) Peut-on obtenir une base de R [X ] à l’aide de ces vecteurs propres ?

(d) Trouver les solutions non constantes de A(

f)= 0 et étudier leur comportement aux bornes de ]−1,1[ .

4. X : Soit P = (pi j

) ∈S ∗+n (R). Montrer que

detP Én∏

i=1pi i

Si P =(

A t BB C

), montrer que detP É det A×detB .

5. U/L/C : Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme autoadjoint. On note i : E×E → E défini par i(x, y

)= xet w : E → E ×E par w (x) = (x,0). A quelle condition sur u existe-t-il v ∈O (E ×E) tel que u = i v w ?

6. Mines : Soit E un espace euclidien, et a,b deux vecteurs unitaires indépendants. On définitΦ : E →R par

Φ (x) = ⟨a, x⟩⟨b, x⟩

Montrer que Φ est une forme quadratique. Donner sa forme polaire. Quel est l’endomorphisme symétrique asso-

cié ? Quelles sont ses valeurs propres. Déterminer le maximum et le minimum deΦ (x)

‖x‖2 sur E − 0E .

6

7. Mines : Soit E un espace préhilbertien réel et (ei )1ÉiÉn une famille liée de vecteurs unitaires de E distincts deux àdeux. On suppose que

∃α ∈R ∀ i 6= j⟨

ei ,e j⟩=α

Déterminer la valeur de α. Déterminern∑

i=1ei et rang(ei )1ÉiÉn .

8. Mines : Soit P ∈R [X ] tel que P = X 4 +Q (X ) avec Q ∈R3 [X ]. Minimiser∫ +1

−1P 2 (t ) d t .

9. Mines : Soit M ∈ On (R) telle que M 2 = −In . Montrer que M est semblable à une matrice diagonale par blocs, les

blocs diagonaux étant tous égaux à A =(

0 −11 0

).

10. Mines : Soit E un espace préhilbertien réel et (xi )1ÉiÉn des vecteurs de E .

(a) Montrer que ∑1Éi< jÉn

∥∥xi −x j∥∥2 = n

n∑i=1

‖xi‖2 −∥∥∥∥∥ n∑

i=1xi

∥∥∥∥∥2

(b) On suppose que ∀ i 6= j∥∥xi −x j

∥∥ Ê 2, et soit B une boule fermée de rayon R de E contenant tous les(xi )1ÉiÉn . Montrer que

R Ê√

2(n −1)

n

11. Mines : Soit A ∈ GL n (R). Montrer que A peut se factoriser sous la forme OR, avec O ∈ On (R) et R triangulairesupérieure. Déterminer l’ensemble des matrices à la fois orthogonales et triangulaires supérieures. Montrer que ladécomposition précédente est unique si on impose à R d’avoir ses coefficients diagonaux positifs.

12. Mines : Sur R3 euclidien canonique, on considère l’endomorphisme u canoniquement associé à la matrice

A = p q r

r p qq r p

∈M3 (R)

Montrer que u est une rotation si et seulement si p, q et r sont racines d’un polynôme de la forme P (X ) = X 3 −X 2 + c. Préciser alors les éléments caractéristiques de u.

13. Mines : Soit A une matrice réelle antisymétrique d’ordre n.

(a) Montrer que si A est inversible, n est pair.

(b) Que peut-on dire de spectreR A ?

(c) Soit λ une valeur propre non nulle de A2. Montrer que le sous-espace propre associé est de dimension paire.

(d) Que peut-on dire des valeurs propres complexes de A ?

14. Centrale : On considère un espace vectoriel euclidien de dimension 3. Montrer que la composée d’un projecteurorthogonal sur une droite et d’un projecteur orthogonal sur un plan est diagonalisable. En dimension quelconque,montrer que la composée de deux projecteurs orthogonaux est toujours diagonalisable.

15. Mines : Dans R3 euclidien orienté, on considère deux vecteurs a et b et on pose f (x) = a ∧ (b ∧x). Conditionnécessaire et suffisante pour que f soit diagonalisable.

16. Mines : Soit E un R-ev de dimension finie et q une forme quadratique sur E , de forme polaire B . On note

Cq = x ∈ E | q (x) = 0

et Rq =

x ∈ E | ∀ y ∈ E B(x, y

)= 0

Montrer que Cq = Rq si et seulement si q est positive ou négative.

7

17. Centrale : Soit E un espace euclidien de dimension n, dont on note ⟨ , ⟩ le produit scalaire. Si(xi )1ÉiÉp sont pvecteurs, on note

G(x1, . . . , xp

)= (⟨xi , x j

⟩)1Éi , jÉp ∈Mp (R)

(a) Si on considère 2n vecteurs de E , (xi )1ÉiÉn et(yi

)1ÉiÉn , montrer que

G (x1, . . . , xn) =G(y1, . . . , yn

)⇔∃h ∈O (E) ∀ i h (xi ) = yi .

(b) Montrer l’équivalence des propriétés :

i. spectreG (x1, . . . , xn) ⊂ 0,1.

ii. ∃ (ei )1ÉiÉn base orthonormale de E et p projecteur orthogonal avec ∀ i p (ei ) = xi .

18. Centrale : Soit t ∈R, n Ê 2 et A = (ai j

)1Éi , jÉn ∈Mn (R) définie par ai j = sin

(i + j

)t .

(a) A quelle condition la famille de vecteurs de Rn U1,U2, avec

U1 = (cos t , . . . ,cosnt ) et U2 = (sin t , . . . , sinnt )

est-elle libre ? On suppose cette condition vérifiée dans la suite.

(b) Quel est le rang de A ?

(c) Montrer que Rn = Im A⊕ker A.

(d) Si ⟨ , ⟩ est le produit scalaire canonique surRn , exprimer le polynôme caractéristique de A à l’aide des produitsscalaires

⟨Ui ,U j

⟩.

19. Centrale : Soient A,B ∈ Sn (R). On considère les ensembles des matrices A′ orthogonalement semblables à A, etB ′ orthogonalement semblables à B . On note λ1 É ·· · Éλn les valeurs propres de A, et µ1 É ·· · ɵn celles de B . Onnote ∆= Diag(λ1, . . . ,λn). On veut montrer que

S = supA′,B ′

trace A′B ′ =n∑

i=1λiµi

(a) Montrer queS = sup

B ′trace∆B ′

(b) Montrer que, pour toute permutation σ de 1, . . . ,n,

n∑i=1

λiµσ(i ) Én∑

i=1λiµi

(c) On considére f : On (R) → R définie par f (O) = trace(∆OB t O

). Montrer que f atteint son maximum en un

point O0. Montrer que, si les λi sont deux à deux distinctes, la matrice O0B t O0 est diagonale.

(d) Conclure.

20. Centrale : Soient A et B ∈Sn (R). Pour t ∈R, on pose f (t ) = maxspectre(A+ tB). Montrer que f est convexe.

21. Centrale : Soit E un espace euclidien, u 6= 0E un vecteur de E , H = u⊥ et H ′ = E−H . Si Q est une forme quadratiquedéfinie positive sur E , on définit g sur H ′ par

g (x) = Q (x)

⟨u, x⟩2

Montrer que g présente un minimum global, et préciser où il est atteint.

22. IIE : On note E =C 2 ([0,1] ,R). Pour f , g ∈ E , on pose

ϕ(

f , g)= ∫ 1

0f g + f ′g ′

8

(a) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E .

(b) SoitF =

f ∈ E | f (0) = f (1)

et G = f ∈ E | f = f ′′

Montrer que F et G sont deux sev supplémentaires.

(c) Montrer que F et G sont orthogonaux.

(d) Donner une base orthonormale de G .

(e) Déterminer la projection orthogonale de x 7→ e2x sur G .

23. TPE : Soit E un espace euclidien et u ∈L (E) non nul tel que

∀x, y ∈ E⟨

x, y⟩= 0 ⇒ ⟨

u (x) ,u(y)⟩= 0

Montrer qu’il existe a > 0 tel que ∀x ∈ E ‖u (x)‖ = a ‖x‖.

24. TPE : Soit A ∈Mn (R). Montrer qu’il existe U ∈On (R) telle que

t A A =U−1 At AU

25. TPE : Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien tel que

∀x ∈ E∥∥ f (x)

∥∥É ‖x‖

(a) Montrer que ∀x ∈ E f (x) = x ⇒ f ∗ (x) = x.

(b) Montrer que E = ker(

f − i dE)⊕ Im

(f − i dE

).

(c) Déterminer limN→+∞

1

N

N−1∑k=0

f k .

26. TPE : Rn est muni de sa structure euclidienne canonique.

(a) Rechercher toutes les matrices de Mn (R) vérifiant

(∗) t M M +M + t M = 0

(b) Si M ∈Mn (R) a pour vecteurs colonnes (Ci )1ÉiÉn , montrer que

|det M | Én∏

i=1‖Ci‖

(c) Si M vérifie (∗), montrer que|det M | É 2n

Algèbre générale, arithmétique, groupes

1. X : Soit (G , .) un groupe fini tel que∀x ∈G x2 = 1G

Montrer que G est commutatif et qu’il existe n ∈N tel que G soit isomorphe à ((Z/2Z)n ,+).

2. X : Soit n Ê 2 etPn = ∏

x∈Vn

(X −x)

où Vn est l’ensemble des générateurs du groupe cyclique (Un ,×) des racines nièmes de 1 dans C. Montrer quePn ∈Z [X ].

9

3. ENS : Soit n ∈N∗. On considère toutes les écritures de n sous la forme

n = x1 +·· ·+xk

où k Ê 1 est un entier arbitraire et xi ∈N. Déterminer la décomposition pour laquellek∏

i=1xi est maximale.

4. Ulm : Soient P et Q ∈Z [X ] sans racine complexe commune. On note, pour n ∈Z, un = P (n)∧Q (n). Montrer quecette suite est périodique.

5. Mines : Soient A,B ∈Mn (Z) telles que det A et detB soient premiers entre eux. Montrer qu’il existe U ,V ∈Mn (Z)avec AU +BV = In .

6. Mines : Soit p un nombre premier. On note Zp l’ensemble des rationnels ab tels que p ne divise pas b. On note Jp

ces rationnels pour lesquels p divise a. Montrer que Zp est un sous-anneau de Q. Montrer que Jp est un idéal deZp et que tout idéal de Zp autre que Zp est inclus dans Jp . Déterminer tous les idéaux de Zp .

7. Mines : Existe-t-il des entiers naturels s’écrivant aabb en base 10 qui soient des carrés parfaits ?

8. Centrale : Déterminer le nombre de surjections de 1, . . . ,n +1 sur 1, . . . ,n.

9. Centrale : Montrer que, si on écritn∑

i=1

1

i= un

vnsous forme irréductible, alors vn est pair.

10. Centrale : On note Gn le sous-groupe de GL n (C) engendré par les matrices A ∈GL n (C) vérifiant A2 = In .

(a) Soit λ ∈C∗. En considérant le produit (0 1

µ

µ 0

)×

(0 µ1µ 0

)

montrer que

(λ 00 1

λ

)∈G2.

(b) Montrer que toute matrice de la forme

(1 L0 In

)où L ∈M1,n (C) est dans Gn+1.

(c) Montrer que Gn = A ∈Mn (C) | det A =±1.

11. Centrale : Soit p un nombre premier, et (G , .) un groupe fini d’ordre n tel que p|n. On note

E =(

x1, . . . , xp) ∈Gp |

p∏i=1

xi = 1G

On définit la relation binaire(x1, . . . , xp

)R

(y1, . . . , yp

)⇔∃k(y1, . . . , yp

)= (xk+1, . . . , xp , x1, . . . , xk

)(a) Montrer que R est une relation d’équivalence sur E . Montrer que les classes d’équivalence possèdent 1 ou p

éléments.

(b) Si r est le nombre de classes d’équivalence à 1 élément, et s le nombre de classes à p éléments, calculer r +sp.

(c) Montrer que l’ensemble des x ∈G vérifiant xp = 1G a son cardinal multiple de p.

12. Centrale : Existe-t-il une application f :N→N telle que

∀x, y f (x) f (y) = y x

13. TPE : Trouver les entiers naturels solutions de

a +b = 182 et a ∧b = 13

14. TPE : Résoudre a ∧b = 50 et a ∨b = 600 dansN.

10

Polynômes

1. Ulm : Soient (ti )1ÉiÉn des entiers, (λi )1ÉiÉn des réels et uk =n∑

i=1λi t k

i . Montrer que, si (ui )0ÉiÉn−1 sont des entiers

alors, pour tout k ∈N, uk ∈N,.

2. Lyon : Soit P (X ) = X n −n−1∑i=0

ai X i où les ai sont des réels positifs non tous nuls.

(a) Montrer que P admet une racine réelle strictement positive.

(b) Soit r la plus grande racine réelle de P . Montrer que r É 1+maxi ai .

(c) Si z est racine complexe de P , montrer que |z| É r .

(d) Montrer que r est racine simple de P .

3. Lyon : Trouver les P ∈R [X ] tels que P ′ divise P .

4. Mines : Pour n Ê 2, on posePn (X ) = (2−X )n + (X −1)n −1

Montrer que Pn s’écrit Pn (X ) = (X −1)(X −2)Qn (X ) et expliciter Qn .

5. Mines : Soient (xi )1ÉiÉ4 les racines complexes de P (X ) = X 4 −X 3 +1. Calculer

S =4∑

i=1

x3i +1(

x2i −1

)2

6. Mines : Déterminer les complexes z tels que les points d’affixes z, z2 et z5 soient alignés.

7. Mines : Calculer4∑

i=1cos2 kπ

9.

8. Centrale : Soit P ∈R [X ]. Montrer que

∀x ∈R P (x) Ê 0 ⇔∃ A,B ∈R [X ] P = A2 +B 2

9. Centrale : Montrer que, pour tout entier n, il existe un unique polynôme Pn tel que

∀x ∈R cosnx = Pn (cos x)

(a) Montrer que Pn est scindé dans R [X ] et préciser ses racines.

(b) En déduire que

∀x ∈R ∀k ∈Z x 6= 2k +1

2nπ⇒ 1

cosnx= 1

n

n−1∑k=0

(−1)k sin 2k+12n π

cos x −cos 2k+12n π

(c) Montrer que les polynômes Pn sont orthogonaux deux à deux pour un produit scalaire à préciser.

10. ENSEA : Soit ϕ :Rn [X ] →R [X ] définie par

ϕ (P ) (X ) = (X −b)(P ′ (X )+P ′ (b)

)−2(P (X )−P (b))

(a) Montrer que ϕ définit un endomorphisme de Rn [X ].

(b) On considèreF =

P ∈Rn [X ] | (X −b)3 divise P

Montrer que F est un sev de Rn [X ] et donner sa dimension. Montrer que Imϕ⊂ F .

(c) Montrer que kerϕ⊂R2 [X ]. Déterminer Imϕ et kerϕ.

(d) Pour k Ê 3, déterminer ϕ((X −b)k

). ϕ est-il diagonalisable ?

11

Géométrie

1. U/L/C : Soit f : z ∈C− i 7→ 1

z − i. Montrer que f (R) est un cercle privé d’un point.

2. U/L/C : Dans le plan R2 muni de sa structure affine euclidienne canonique, on note ρk la rotation de centre (k,0)

et d’angle2kπ

n. Déterminer ρn ρn−1 · · · ρ1.

3. X : Soit ABC un triangle du plan. Quel est le périmètre maximal d’un triangle uv w , où u ∈ [AB ] , v ∈ [BC ] et w ∈[C D].

4. X : Soient A et B deux points distincts du plan. Etudier les lignes de niveau de f : M 7→ M A

MBet g : M 7→ AMB .

Montrer que les lignes de niveau de f et celles de g se coupent orthogonalement.

5. X : Soit E un espace affine euclidien et S une sphère de centre Ω. Si f : E → E est une application affine telle quef (S) = S, montrer que f est une isométrie de centreΩ.

6. Mines : Trouver l’image du cercle unité par

f :C−j , j 2 3 z 7→ 1

1+ z + z2

7. Mines : Tracer la courbe d’équation polaire r =pcos2θ. Préciser la fonction courbure et calculer l’aire limitée par

cette courbe.

8. Mines : Etudier la courbe d’équation

16x2 −24x y +9y2 +19x −20y = 0

9. Mines : Soient des réels a,b, a′,b′. Montrer que les courbes d’équations (en repère orthonormé)(ax +by

)2 + (a′x +b′y

)2 = 1 et(ax +a′y

)2 + (bx +b′y

)2 = 1

sont isométriques.

10. Mines : Reconnaître, si α ∈R, la quadrique d’équation

x2 +3y2 −3z2 −4x y +2xz −8y z +αx +2y − z = 1

11. Centrale : Trouver les ellipses délimitant la même aire que leur développée.

12. Centrale : Soit E l’ellipse d’équationx2

a2 + y2

b2 = 1

M ∈ E et ∆ la parallèle à la tangente à E en M passant par O et N un point d’intersection de E et ∆. CalculerOM 2 +ON 2 et l’aire du triangle OM N en fonction de a et b.

13. Centrale : Etudier la courbe d’équation polaire

r = cos2θ

cosθet déterminer l’aire entre la courbe et l’asymptote.

14. Centrale : Montrer que tout triangle vrai du plan est équilatéral pour un produit scalaire convenable.

15. TPE : Soit S = M

(x, y, z

) ∈R3 | z = arctan yx

et Σ la surface engendrée par la normale aux points de S situés sur

l’axe Ox. Etudier Σ.

16. TPE : Tracer les courbes d’équations (polaire et cartésienne en repère orthonormé)

r (θ) = a sin2θ etx2

4a2 + y2

a2 = 1

et montrer qu’elles ont même longueur.

12

Espaces normés, topologie

1. ENS : Soit f :Rn →R continue telle que, pour tout a ∈R, f −1 (a) est vide ou compact. Est-il vrai que f admette unextremum global ?

2. U/L/C : Si n Ê 2, existe-t-il f :Rn →R continue et injective ?

3. U/L/C : Soit ‖ ‖ une norme sur Rn et f :Rn →Rn continue. Montrer que r 7→ sup‖x‖Ér

∥∥ f (x)∥∥ est continue sur R+.

4. U/L/C : Soit A ∈Mn (R). Montrer que

rang A = rang A2 ⇔ a 7→ a (A+aIn)−1 possède une limite pour a → 0+

5. X : Soit u : Rn → Rp une application linéaire. Montrer que u est surjective si et seulement si l’image par u de toutouvert de Rn est un ouvert de Rp .

6. X : Soient des polynômes réels unitaires de même degré

P = X n +n−1∑k=0

pk X k et Q = X n +n−1∑k=0

qk X k

Si P est scindé à racines simples et(qi

)0ÉiÉn−1 suffisamment proche de

(pi

)0ÉiÉn−1, montrer que Q est scindé à

racines simples.

7. Ulm : Soit E un espace normé de dimension finie, D un ouvert connexe par arcs de E d’adhérence compacte etf : D → D continue avec f (D) ouverte. Montrer qu’il existe x ∈ D tel que

d (x,FrD) = d(

f (x) ,FrD)

8. Mines : Existe-t-il une norme N sur Mn (R) telle que

∀ A ∈Mn (R) ∀P ∈GL n (R) N (AP ) = N (PA)

9. Mines : Soient E et F deux espaces normés avec F complet et f : E → F continue telle que

∃M ∈R+ ∀x, y ∈ E∥∥ f

(x + y

)− f (x)− f(y)∥∥É M

Pour n ∈N et x ∈ E , on pose

Un f (x) = f (2n x)

2n

Montrer que(Un f

)n∈N converge simplement sur E vers une application notée L f . Montrer que L f est linéaire

continue et que L f − f est bornée sur E .

10. Mines : Soit E un espace réel de dimension finie et (un) une suite de L (E) qui converge simplement sur E vers u.Montrer que u ∈L (E) et que un converge vers u comme vecteur de L (E).

11. Mines : Soient E et F deux espaces normés et f : E → F continue telle que

∀K compact de F f −1 (K ) est un compact de E ou est vide

Montrer que l’image directe d’un fermé de E est un fermé de F . Cette propriété susbiste-t-elle sous l’hypothèsemoins forte

∀a ∈ F f −1 (a) est un compact de E ou est vide ?

12. Mines : Soit A un compact d’intérieur non vide de Rn et

L A = u ∈L

(Rn) | u (A) ⊂ A

Montrer que L A est un compact de L (Rn).

13

13. Mines : Soit K ∈C 0([0,1]2 ,R

)non nulle telle que

∀ (x, y

) ∈ [0,1]2 K(x, y

)= K(y, x

)On note E =C 0 ([0,1] ,R) et pour f ∈ E ,Φ

(f)

: [0,1] 3 x 7→∫ 1

0K

(x, y

)f(y)

d y .

(a) Vérifier queΦ ∈L (E).

(b) Φ est-il continu pour ‖ ‖∞ ? pour ‖ ‖1 ?

(c) Montrer queΦ est auto-adjoint pour le produit scalaire associé à ‖ ‖2.

(d) SiΩ=[

max0ÉxÉ1

∫ 1

0

∣∣K (x, y

)∣∣d y

]−1

, montrer que

∀λ ∈ ]−Ω,Ω[ ∀h ∈ E ∃ ! f ∈ E h = f −λΦ(f)

(e) Si λ ∈R∗, montrer que

dimker(Φ−λi dE ) É 1

λ2

∫ ∫[0,1]2

K(x, y

)2 d xd y

14. Centrale : Soit E un espace normé. Si A et B sont deux parties de E , on note

A+B = a +b, a ∈ A,b ∈ B

Montrer que la somme d’un ouvert Ω et d’une partie quelconque B est un ouvert. Montrer que Z+p2Z n’est pas

une partie fermée de R. Montrer que A fermé et B compact ⇒ A+B fermé.

15. Centrale : Soit A une partie bornée non vide de R2 euclidien canonique. Montrer qu’il existe un et un seul disquefermé de rayon minimal qui contienne A. Y a-t-il un résultat analogue si R2 est muni d’une autre norme ?

16. Centrale : On note E = f ∈C ∞ ([0,1] ,R) | ∀n ∈N f (n) (0) = 0

.

(a) Montrer qu’il existe une fonction f0 ∈ E telle que ∀x ∈ ]0,1] f0 (x) = e−1

x2 .

(b) Montrer que E est un R-ev de dimension infinie.

(c) Montrer que ϕ : f 7→ f ′ est un automorphisme de E .

(d) ϕ et ϕ−1 sont ils continus par rapport à la norme de la convergence uniforme ?

17. TPE : Mn,m (R) est muni d’une norme quelconque. On note

Er =

M ∈Mn,m (R) | rang M = r

et Fr =

M ∈Mn,m (R) | rang M É r

(a) Montrer que Fr est égal à l’adhérence de Er .

(b) Montrer que tout point de Er possède un voisinage relatif homéomorphe à un ouvert de Rr (m+n−r ).

Fonctions d’une variable réelle

1. Cachan : On considère la suite (un)nÊ1 définie par

u1 =−1 et ∀n Ê 2 un = 1

n (n −1)

et, pour x ∈R,

SN (x) =N∑

n=1une i nx

(a) Montrer que cette suite converge uniformément sur R vers une fonction S continue.

14

(b) Pour x = 1

N, montrer que TN =

+∞∑n=N+1

sinnx

n (n −1) xest une suite bornée.

(c) Montrer que S est non dérivable en 0.

2. Ulm : Soit a ∈ [−∞,+∞[ et f ∈C ∞ (]a,+∞[ ,R) . On pose

∆ f (x) = f (x +1)− f (x)

pour x ∈ ]a,+∞[. Soit k ∈N∗. Montrer que, si limx→+∞ f (k) (x) = 0, alors lim

x→+∞∆k f (x) = 0. Si x est un réel positif et si

nx est un entier pour tout entier n Ê 1, montrer que x est entier.

3. X : Soit f :R→R dérivable et telle quef 2 + (

1+ f ′)2 É 1

Montrer que f = 0.

4. X : Soit f ∈C 0 ([a,b] ,R). Montrer que

∀ε> 0 ∃K > 0 ∀x, y ∈ [a,b]∣∣ f (x)− f

(y)∣∣É ε+K

∣∣x − y∣∣

5. Mines : Soit f : [0,1] →R, continue et dérivable en 0. Etudier la convergence de la suite (un)n∈N∗ définie par

un =n∑

k=0f

(k

n2

)

6. Mines : Soit f ∈C 2 (R,R).

(a) On suppose f et f ′′ bornées sur R. Montrer que f ′ est bornée sur R, et que si l’on pose Mi =∥∥ f (i )

∥∥∞ pouri ∈ 0,1,2, on a

M1 É√

2M0M2

(b) On suppose que f ′′ est bornée et que f tend vers 0 en +∞. Montrer que f ′ tend vers 0 en +∞.

7. Mines : Soit f ∈C 2 (R,R) telle que

∀x, y ∈R f(x + y

)f(x − y

)= f 2 (x) f(y)

f(−y

)(a) Montrer que f (0) ∈ −1,0,1. Calculer f pour f (0) = 0.

(b) On suppose que f (0) = 1. Montrer que

∀x ∈R f (x) f (−x) = 0 ⇔ f (2x) f (−2x) = 0

Montrer qu’alors g (x) = ln f (x) est bien définie et a une dérivée seconde constante.

(c) Conclure.

8. Centrale : Soit f ∈C 0 ([0,1] ,R) avec f (0) = f (1) = 0 et

∀x ∈[

0,7

10

]f

(x + 3

10

)6= f (x)

Montrer que f s’annule au moins 7 fois.

9. Centrale : Montrer que, pour k ∈R, l’équation

x + ln x −k = 0

possède une solution unique f (k). Donner un développement asymptotique à trois termes de f (k) pour k →+∞.

15

Suites et séries (numériques et/ou de fonctions)

1. Cachan : Soit f : [a,b] → [a,b] une fonction 1-lipschitzienne et (xn) la suite définie par x0 ∈ [a,b] et

xn+1 = xn + f (xn)

2

Montrer que cette suite converge.

2. U/L/C : Si n ∈N∗, montrer que le polynôme X n+X −1 a une unique racine dans [0,1], que l’on note xn . Déterminerl = lim

n→+∞xn et donner un équivalent de l −xn .

3. X : On pose

un (x) = 2−ne i n2x et f (x) =+∞∑n=0

un (x)

Etudier f (définition, continuité, caractère C 1 et C ∞) sur R. f est-elle développable en série entière au voisinagede 0 ? Etudier la définition de f (x) pour x ∈C.

4. X : On considère une suite(

fn)

n∈N de fonctions de [a,b] dans R, qui converge simplement sur [a,b] vers unefonction f .

(a) On suppose qu’il existe k > 0 tel que toutes les fn soient k-lipschitziennes. Montrer que la convergence estuniforme sur [a,b].

(b) On suppose que toutes les fn sont convexes sur [a,b]. Montrer que la convergence est uniforme sur toutsegment

[a′,b′]⊂ ]a,b[.

5. X : Soit f ∈C 1(R+,R∗+)

telle quef ′ (x) ∼α f (x)

pour x →+∞ et α< 0. Quelle est la nature de la série de terme général f (n) ?

6. Cachan : Soit (an)n∈N une suite réelle telle que

∀ (bn)n∈N ∈RN limn→+∞bn = 0 ⇒∑

anbn converge

Montrer que la série de terme général an converge absolument.

7. Mines : Calculer+∞∑n=1

n

1+n2 +n4 .

8. Mines : Nature de la série de terme général un = sin(πp

n2 +1).

9. Mines : Soit f0 : [a,b] →R continue. On définit la suite(

fn)

nÊ0 par

∀x ∈ [a,b] ∀n Ê 1 fn (x) =∫ x

afn−1 (t )d t

Montrer que la série de fonctions∑

nÊ0fn converge normalement sur [a,b].

10. Mines : Nature de la série de terme général

un = nlnn

(lnn)n

11. Mines : Sur R∗+, on définie f (x) =+∞∑n=1

1

n +n2x.

(a) Montrer que f est C ∞.

(b) Donner des équivalents pour x →+∞ et x → 0+.

16

12. Mines : Soit (xn)n∈N∗ une suite de réels positifs et

yn =√

x1 +√

x2 +·· ·+pxn

(a) Si la suite (xn)n∈N∗ est constante, étudier la convergence de(yn

).

(b) Même question pour xn = ab2n, pour b > 0.

(c) Montrer que(yn

)est convergente ssi

(x2−n

n

)est bornée.

13. Centrale : Nature de la série de terme général un = n!

1!+2!+·· ·+ (n +2)!

14. Centrale : Pour x > 0, existence de S (x) =+∞∑n=1

1

n2x +n. Cette fonction est-elle continue, C 1 sur R∗+. Donner des

équivalents simples en 0+ et +∞.

15. Centrale : On considère la série de terme général

un = a lnn +b ln(n +1)+ c ln(n +2)

Discuter la nature de cette série selon la valeur de (a,b,c) ∈R3. Calculer la somme dans le cas de la convergence.

16. Centrale : Soit s > 0, a = (an)n∈N une suite réelle positive de limite A > 0. On veut étudier la série

Fa (s) =+∞∑n=0

ann!

s (s +1) · · · (s +n)

(a) Pour n Ê 0, on pose

un (s) = n!

s (s +1) · · · (s +n)et µn (s) = un (s)ns

Etudier la convergence de+∞∑n=1

ln

(µn (s)

µn−1 (s)

). En déduire l’existence d’un réel L (s) > 0 tel que

un (s) ∼ L (s)

ns

(b) Domaine de définition ∆ de Fa , et continuité de Fa sur ∆.

(c) Etudier les variations de Fa et ses limites aux bornes de ∆.

(d) On étudie le cas particulier où a est la suite constante égale à 1.

i. Tracer la courbe représentative de Fa en utilisant Maple.

ii. Vérifier par un calcul direct de Fa .

17. Centrale : On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et un+1 = sinun .

(a) En étudiant la suite

wn = 1

u2n+1

− 1

u2n

montrer que un ∼√

3

n.

(b) Déterminer les 4 premiers termes du développement asymptotique en 0 de1

sin2 x.

(c) Déterminer un équivalent de1

u2n+1

− 1

u2n− 1

3. En déduire le second terme du développement asymptotique

de un .

17

18. Centrale : Soit x1 ∈R∗+ et (xn)n∈N∗ définie par

xn+1 = xn + n

xn

(a) Etudier la suite xn .

(b) En étudiant x2n , montrer que

(n

xn

)est bornée.

(c) Donner un équivalent de xn pour n →+∞.

(d) Nature de∑ 1

xn.

(e) Montrer que la série de terme général x2n −n2 est convergente.

19. Centrale :

(a) Montrer que, pour tout y ∈R, il existe ε ∈ −1,1 tel que∣∣∣sin

(y +επ

2

)− sin y

∣∣∣Ê 1.

(b) Pour n ∈N et x ∈R, on pose

un (x) = sin(n!2x

)n!

et S (x) =+∞∑n=0

un (x)

Montrer que S est définie et continue sur R.

(c) Tracer avec Maple quelques sommes partielles.

(d) Si a ∈R, on veut montrer que S n’est pas dérivable en a. On choisit, pour tout n, εn ∈ ±1 tel que∣∣∣sin(n!2a +εn

π

2

)− sin

(n!2a

)∣∣∣Ê 1

et on pose hn = εnπ

2n!2, et

sn =n−1∑k=1

uk (a +hn)−uk (a)

hnet rn =

+∞∑k=n+1

uk (a +hn)−uk (a)

hn

Montrer que sn = o (n!) et rn = o (n!) pour n →+∞. Conclure.

20. TPE : Soit f0 : ]−1,1[ →R continue. On définit la suite(

fn)

nÊ0 par

∀x ∈ ]−1,1[ ∀n Ê 1 fn (x) =∫ x

0fn−1 (t )d t

Montrer que la série de fonctions∑

nÊ0fn converge simplement sur ]−1,1[ et calculer sa somme.

21. Mines Douai : Convergence et limite de la suite

un =n∑

k=0

1pn +k

pn +k +1

22. TPE : Si 0 < θ <π, convergence et somme de+∞∑n=1

n sin2 nθ

2n

23. TPE : On considère une suite (an)n∈N∗ d’entiers naturels tels que

a1 Ê 1 et ∀n an+1 Ê an (an +1)

et on pose, pour n Ê 1,1

un=

n∑k=1

(−1)k−1

ak

Prouver la convergence de la suite (un) et déterminer la partie entière de sa limite.

18

24. CCP : Pour x > 1, on pose

f (x) =+∞∑n=1

1

nx

Montrer que f est C ∞ sur ]1,+∞[. Equivalents en 1 et +∞. On pose

g (x) =+∞∑n=1

(−1)n

nx

Exprimer g en fonction de f .

Séries entières, séries de Fourier

1. X :

(a) Développer en série de Fourier x 7→ |sin x|.(b) Montrer que

∀x ∈R |sin x| = 8

π

+∞∑k=1

sin2 kx

4k2 −1

(c) Calculern∑

k=0sin(2k +1) x.

(d) Pour m ∈N∗, on pose Im = 2

π

∫ π2

0

|sinmt |sin t

d t . Montrer que

Im = 16

π2

+∞∑n=1

nm−1∑k=0

1

(2k +1)(4n2 −1

)(e) En déduire un équivalent de Im pour m → +∞. Ce résultat était-il prévisible avec l’expression de Im sous

forme d’intégrale ?

2. Mines :

(a) Montrer que+∞∑n=1

sinnx

nexiste pour tout x ∈ ]0,π[ et vaut

π−x

2.

(b) Calculern∑

k=1t k−1 sinkx.

(c) Retrouver le résultat de la première question.

3. Mines : On pose, pour x ∈R, S (x) =+∞∑n=1

xn

ncos

(2nπ

3

). Rayon et domaine de convergence ? Calculer S (x).

4. Mines : Pour x ∈R, on pose S (x) =+∞∑n=0

(−1)n xn

(n +1)(2n +1). Domaine de définition ? Continuité et calcul de la somme.

5. Mines : On définit une suite réelle (un)n∈N par u0 = u1 = 1 et

∀n Ê 0 un+2 = un+1 + 2

n +2un

(a) Montrer que ∀n > 0 1 É un É n2.

(b) Quel est le rayon de convergence de+∞∑n=0

un xn ?

(c) Exprimer S (x) =+∞∑n=0

un xn à l’aide des fonctions usuelles.

19

6. Mines : Déterminer f développable en série entière dans ]−R,R[, telle que

∀x ∈]−R

2,

R

2

[2 f 2 (x)− f (2x) = 1

7. Mines : On suppose que+∞∑n=0

an zn a un rayon de convergence R > 0. Montrer que+∞∑n=0

an

n!zn a un rayon de conver-

gence égal à +∞.

8. Mines : Soit α ∈R−Z et fα l’unique fonction 2π-périodique telle que

∀x ∈ [−π,π] f (x) = cosαx

(a) Décomposer fα en série de Fourier. En déduire que

απ

sinαπ= 1+2α2

+∞∑n=1

(−1)n−1

n2 −α2

(b) Donner de même la valeur de+∞∑n=1

1

n2 −α2

et montrer que

∀u ∈R−πZ cotanu = 1

u−

+∞∑n=1

2u

n2π2 −u2

et1

sin2 u= ∑

p∈Z

1(nπ+pu

)2

(c) Montrer que, pour 0 <α< 1,π

sinπα=

∫ +∞

0

tα−1

1+ td t

9. Mines : Quel est le rayon de convergence de la série entière de terme général πp

n2+n x3n ?

10. Mines : Domaine de définition et valeur de

f (x) =+∞∑n=0

(−1)n

4n +1x4n+1

11. Mines : Soit (an) une suite complexe. On suppose que le rayon de convergence de∑

an xn vaut R > 0. Déterminerles rayons de convergence de ∑

(an lnn) xn et∑(

an

n∑k=1

1

k

)xn

Déterminer un équivalent simple de+∞∑k=1

lnk xk pour x → 1−.

12. Centrale : On note C2π l’espace des fonctions continues de R dans C 2π-périodiques. Si d > 0 et f ∈C2π, on pose

fd (x) = 1

2d

∫ d

−df (x + t )d t

Exprimer les coefficients de Fourier de fd à l’aide de ceux de f . Trouver les valeurs propres de l’endomorphismede C2π f 7→ fd .

13. TPE : Développement en série entière à l’origine de x 7→ ln(1+ x

1+x2

).

20

14. CCP : Déterminer les rayons de convergence des séries entières :

+∞∑n=0

zn

(n +1)αet

+∞∑n=0

cos(nπ

4

)xn

15. TPE : On étudie une série entière+∞∑n=0

an xn , de rayon de convergence égal à 1, telle que∑

an converge. On veut

montrer que la convergence est uniforme sur [0,1].

(a) Traiter d’abord le cas an Ê 0.

(b) Traiter le cas où la suite n 7→ (−1)n an est réelle décroissante de limite nulle.

(c) Dans le cas général, en faisant intervenir la suite (rn)n∈N, avec rn =+∞∑

k=n+1ak .

(d) Que peut-on dire de x 7→ S (x) sur [0,1] ?

16. TPE : Rayon de convergence et valeur de+∞∑n=1

sin(nπ

4

) xn

n.

17. CCP : On pose un = (−1)n√nα+ (−1)n

, où α ∈R∗ et n Ê 2. Pour quelles valeurs de α cette série converge-t-elle absolu-

ment ? converge-t-elle ?

Intégration

1. Cachan : On suppose par l’absurde que π est rationnel, et on prend π = p

q, avec p, q ∈ N∗. Soit Pn le polynôme

X n(q X −p

)n

n!.

(a) Montrer que limn→+∞

∫ π

0Pn (x)sin x d x = 0.

(b) Montrer que π est irrationnel.

2. X : Soit f :R+ →R continue et bornée et

In =∫ +∞

0

n f (t )

1+n2t 2 d t

Déterminer limn→+∞ In .

3. X : On définit f : ]1,+∞[ →C par

f (x) =∫ +∞

1e i t x

d t

Définition de f et équivalent pour x →+∞.

4. Mines : On pose f (x) =∫ +∞

0

e−xt

4− sin2 td t .

(a) Montrer que f est définie et continue sur ]0,+∞[.

(b) Déterminer la limite et un équivalent simple de f (x) en +∞.

(c) Mêmes questions en 0.

5. Mines : Montrer que

∀x Ê 0∫ +∞

0

e−xt

1+ t 2 d t =∫ +∞

0

sin t

x + td t

en utilisant une équation différentielle vérifiée par les deux membres.

21

6. Mines : Existence et calcul de I =∫ π

2

0

ptanθdθ.

7. Mines : Soit f : [0,1] →R, continue avec f (0) = 0. convergence de la suite

vn =∫ 1

0f(t n)

d t

8. Mines : On pose f(x, y

)= 1

1− y2 ln

(x + y

1+x y

)(a) Déterminer le domaine de définition D ⊂R2 de f .

(b) Montrer que f est C 1 sur D .

(c) Montrer que y 7→ f(0, y

)est intégrable sur ]0,1[.

(d) Calculer F (0) où F : x 7→∫ 1

0f(x, y

)d y

9. Mines : Soit (an)n∈N une suite croissante de réels strictement positifs avec limn→+∞an =+∞. Montrer que

∫ +∞

0

+∞∑n=0

(−1)n e−an x d x =+∞∑n=0

(−1)n

an

10. Mines : Pour f continue strictement positive sur [a,b], on pose

L(

f)= (∫ b

af (t )d t

)(∫ b

a

d t

f (t )

)Montrer que L

(f)Ê (b −a)2.

11. Mines : Soit f ∈C 2(R+,R

)telle que les intégrales∫ →+∞

0f (t )d t et

∫ →+∞

0f ′′ (t )d t

existent. Montrer que f et f ′ tendent vers 0 en +∞ et que∫ →+∞

0f ′ (t )d t existe.

12. Centrale : Justifier l’existence pour n ∈ N de In =∫ 1

0

xn+1 −xn

ln xd x. A l’aide de Maple, conjecturer une expression

de In . Après avoir calculé∫ +∞

0x t d t , calculer In . Déterminer le domaine de définition de f : x 7→

∫ 1

0

t −1

ln te−xt d t .

Développer f en série entière.

13. Centrale : On pose In =∫ +∞

1e−xn

d x. Existence de In ? Montrer que la suite (In) converge et donner sa limite.

Donner un équivalent de In pour n →+∞.

14. Centrale : Soient a,b,c,d quatre réels distincts deux à deux. On dit qu’un point M d’une droite (AB) divise lesegment [AB ] dans le rapport k > 0 ssi ∥∥∥−−→M A

∥∥∥∥∥∥−−→MB∥∥∥ = k

Déterminer le lieu des points divisant [AB ] dans le rapport1

3. Si A,B ,C ,D sont les points de Ox d’abscisses res-

pectives a,b,c,d , montrer que C et D divisent [AB ] dans le même rapport ssi la fonction F définie par

F (x) =∫ x

α

(t −a) (t −b)

(t − c)2 (t −d)2 d t

est une fonction rationnelle sur son domaine de définition (on suppose α 6= c et α 6= d).

22

15. Centrale : Soit a ∈R∗. On considère une fonction f 2π-périodique telle que

∀x ∈ ]0,2π[ f (x) = eax

(a) Déterminer la série de Fourier de f . Que peut-on dire de cette série ?

(b) On considère l’intégrale I =∫ +∞

0

sin at

e t −1d t . Justifier son existence et la calculer.

16. Centrale : Soit f ∈C 2(R∗+,R

)telle que f 2 et

(f ′′)2 soient intégrables sur R+.

(a) Montrer que f f ′ possède une limite en +∞.

(b) Montrer que(

f ′)2 est intégrable sur R+.

(c) Montrer que ∫ +∞

0

(f ′)′2 É ∫ +∞

0f 2 + (

f ′′)2

(On pourra utiliser la fonction f 2 + (f ′′)2 − (

f ′)2 − (f + f ′+ f ′′)2).

(d) Traiter le cas de l’égalité.

17. Centrale : Soit f (x) =∫ +∞

0

arctan(xt )

1+ t 2 d t . Donner le domaine de définition de f . Montrer que f est C 1 sur R∗ et

calculer f ′ (x). Existence de∫ +∞

0

ln t

1− t 2 d t . Déduire de ce qui précède les valeurs de

+∞∑k=0

1

(2k +1)2 et+∞∑k=0

1

k2

18. Centrale : On considère un intervalle deRnon réduit à un point et l’ensemble E = f ∈C 0

(I ,R∗+) | f est intégrable sur I

.

(a) On suppose qu’il existe f ∈ E telle que1

f∈ E . Montrer que I est borné. Etudier la réciproque.

(b) On suppose I = [a,b], et ϕ : E →R définie par

ϕ(

f)= ∫

If .

∫I

1

f

Montrer que ϕ a un minimum m, et déterminer les fonctions f telles que ϕ(

f) = m. ϕ est-elle majorée ?

Déterminer ϕ (E).

19. Centrale : Soient (ai )1ÉiÉn et(µi

)1ÉiÉn des réels avec

n∑i=1

ai = 0 et 0 < µ1 < . . . < µn . On se donne f ∈ C 0(R∗+,R

)telle que lim

x→0f (x) = l et telle que

∫ +∞

1

f (t )

td t existe (éventuellement comme intégrale impropre).

(a) Si µ> 0, déterminer limx→0

∫ µx

x

f (t )

td t .

(b) En déduire l’existence et la valeur de ∫ +∞

0

1

t

n∑k=1

ak f(µk t

)d t

20. Centrale : On pose In =∫ 1

0

xn+1

ln(1−x)d x. Existence, monotonie et limite pour n →+∞. Montrer que In = o

(1

n

).

21. Centrale : Calculer∫ +∞

0

d t

(t +1)(t +2) · · · (t +n).

22. Centrale : On note I l’ensemble des réels x tels que l’application t 7→ t−x cos t soit intégrable sur]

0,π

2

].

23

(a) Déterminer I .

(b) Montrer que f est de classe C ∞ sur I .

(c) Etudier les variations de f et les limites aux bornes.

(d) Représenter graphiquement I avec Maple.

23. TPE : On pose F (x) =(∫ x

0e−t 2

d t

)2

et G (x) =∫ 1

0

e−x2(1+t 2)

1+ t 2 d t .

(a) Montrer que F et G sont dérivables sur R+ avec ∀x Ê 0 F ′ (x)+G ′ (x) = 0.

(b) En déduire que ∀x Ê 0 F (x)+G (x) = π4 .

(c) Calculer∫ +∞

0e−t 2

d t .

24. TPE : On pose un =∫ 1

0

t n

1+ t n dt. Calculer u0,u1,u2 et u3. Déterminer limn→+∞un .

25. CCP : Pour n ∈N, on pose In =∫ +∞

0

e−t

1+n2t 2 d t et Jn =∫ +∞

1

e−t

1+n2t 2 d t . Déterminer limn→+∞ In et lim

n→+∞ Jn . Etudier

la nature des séries de termes généraux In et Jn .

26. TPE : Soit f ∈C 0([0,1] ,R∗+)

. Montrer que∫ 1

0f (ln x)d x É ln

(∫ 1

0f (x)d x

)

27. TPE : Pour n ∈N, on pose In =∫ 1

0

xn

1+xd x. Montrer que lim

n→+∞ In = 0. Donner un développement limité à l’ordre 2

de In pour n →+∞.

28. TPE : On considère la suite de fonctions(

fn)

n∈N∗ définie sur R+ par

fn (x) = x

n (xn +1)

(a) Discuter la convergence simple et uniforme de cette suite.

(b) Convergence de la série∑

fn (x).

(c) Les suites

(∫ 1

0fn

)n∈N∗

et

(∫ +∞

1fn

)n∈N∗

convergent-elles ?

(d) Limite de la suite

(∫ 1

0fn

)n∈N∗

.

29. TPE : Soit f : [a,b] →R continue par morceaux. Montrer que

limλ→+∞

∫ b

af (t ) |sinλt |d t = 2

π

∫ b

af (t )d t

On pourra d’abord étudier le cas où f est la fonction caractéristique d’un sous-segment de [a,b].

30. TPE : Domaine de définition et calcul de

ϕ (x) =∫ π

2

− π2

d t

x − sin t

31. CCP : On pose In =∫ +∞

0

d t(1+ t 3

)n .

(a) Montrer que In existe et trouver une relation entre In et In+1.

(b) On pose un = n13 In et vn = lnun . En utilisant la suite (vn), étudier la suite (un).

(c) Nature de la série de terme général (−1)n In et somme éventuelle.

24

Equations différentielles

1. Mines : On considère le système différentiel

(S) :

y ′− z ′+p

3x = sin tz ′−x ′+p

3y = sin tx ′− y ′+p

3z = sin t

(a) Mettre ce système sous forme matricielle U X ′+p3X = B (t ) et en donner une solution particulère.

(b) On considère une solution X du système homogène associé et on note J la matrice 3×3 dont tous les coeffi-cients valent 1.

i. Montrer que J X ′ = 0.

ii. Montrer que X est de classe C ∞.

iii. Montrer que X ′′+X = 0

(c) Donner toutes les solutions de (S).

2. Mines : On considère l’équation différentielley ′ = t 3 + y3

et on note f la solution maximale définie sur un intervalle I pour la condition initiale y (0) = a > 0. On note b =sup I . Montrer que

b É 1

2a2 et limx→b− f (x) =+∞

3. Mines : Déterminer les solutions dey y ′′ = 1+ y ′2

4. Mines : On munit Rn de sa structure euclidienne canonique et on identifie L (Rn) et Mn (R). Soit A ∈ Mn (R),montrer que A est antisymétrique ssi toutes les solutions de Y ′ = AY sont de norme constante.

5. Mines : Résoudre : x ′ = x − zy ′ = x + y

z ′ =−x − y + z

6. Centrale : On considère l’équation différentielle (E) : y ′′+ y = 1

x.

(a) Soit a > 0. Montrer que les intégrales impropres∫ +∞

a

sin t

td t et

∫ +∞

a

cot s

td t existent.

(b) Résoudre (E) sur R∗+ et exprimer les solutions à l’aide de∫ +∞

x

sin t

td t et

∫ +∞

x

cot s

td t .

(c) Si f est une solution de (E) sur R∗+, montrer que f a une limite finie en 0.

(d) Existe-t-il des solutions ayant une limite finie en +∞ ?

7. Centrale : Résoudre(t 2 + t −2

)y ′ = y2 + y −2.

8. Centrale : Soit λ ∈ ]−1,1[. On s’intéresse à l’équation différentielle avec retard

(E ) f ′ (x) = f (x)+ f (λx)

L’inconnue est une fonction f dérivable de R dans R.

(a) Montrer que f est C ∞, puis est développable en série entière sur R.

(b) Expliciter les solutions de (E ).

25

(c) Montrer que

limn→+∞

n∏k=1

(1+λk

)= K (λ)

existe et est non nulle.

(d) Montrer que, si f est solution non nulle de (E ), pour x →+∞,

f (x) ∼ K (λ) f (0)ex

9. Centrale : On considère le système différentielx ′ (t ) = x (t ) y (t )

y ′ (t ) = y2 (t )−x2 (t )

(a) Etablir l’existence et l’unicité d’une solution maximale pour une condition initiale donnée.

(b) Donner des exemples de solutions explicites.

(c) Existe-t-il des solutions maximales bornées non constantes. Quelle est leur durée de vie ?

10. Centrale : Si A ∈Mn (C), on note A la transposée de sa comatrice.

(a) Si t 7→ M (t ) est de classe C 1 de R dans Mn (C), montrer que t 7→ det M (t ) est de classe C 1 de dérivée t 7→trace

( M (t )M ′ (t )).

(b) Si A,B ∈Mn (C), montrer qu’il existe une unique fonction t 7→ M (t ) de classe C 1 de R dans Mn (C) vérifiant

∀ t M ′ (t ) = AM (t )−M (t ) A et M (0) = B

(c) Montrer qu’alors le polynôme caractéristique de M (t ) est constant.

(d) Montrer que, pour tout p ∈N, trace M (t )p ne dépend pas de t .

11. TPE : On considère l’équation différentielle x ′−e t x2 = 0. Déterminer la solution maximale vérifiant x (t0) = 0. Puiscelle vérifiant x (t0) = a 6= 0.

12. TPE : Résoudre l’équation différentielle

y ′′ (1+cos4t )−2y ′ sin4t −8y = 0

sachant qu’elle possède deux solutions inverses l’une de l’autre.

13. TPE : Si a > 0 et f ∈ C 0 (R,R) est bornée, montrer que l’équation différentielle y ′′− a2 y = f possède une uniquesolution bornée sur R+.

Calcul différentiel

1. U/L/C : Rn est muni de sa norme euclidienne canonique, et f ∈C 2 (Rn ,R). On pose, pour r Ê 0

α (r ) = sup‖x‖Ér

f (x) et β (r ) = inf‖x‖Ér

f (x)

On suppose que ∀x ∈Rn∥∥∇ f (x)

∥∥Ê 1. Montrer que α (r )−β (r ) Ê 2r .

2. X :

(a) Soient A et B ∈Mn (R). Montrer que

exp(A)−exp(B) =∫ 1

0e s A (A−B)e(1−s)B d s

26

(b) Soit I un intervalle de R et d : I → Mn (R) une application de classe C 1. Montrer que t 7→ exp(d (t )) est declasse C 1 et calculer sa dérivée.

(c) L’application M 7→ exp M est elle surjective de Mn (R) dans GL n (R) ?

3. X : Soit f ∈C 3 (Rn ,R) telle que f (0) = 0 et d f0 = 0. Montrer qu’il existe h :Rn →Sn (R), de classe C 1 telle que

∀x ∈Rn f (x) = ⟨h (x) , x⟩

4. Mines : Soit f ∈C 2(R2,R

)telle que

∆ f = ∂2 f

∂x2 + ∂2 f

∂y2 = 0

sur R2 et g définie sur R2 parg (r,θ) = f (r cosθ,r sinθ)

Comparer r∂

∂r

(r∂g

∂r

)et∂2g

∂θ2 . Montrer que

1

2π

∫ 2π

0f (r cosθ,r sinθ)dθ

ne dépend pas de r .

5. Mines : Quels sont, sur R2, les extrema de la fonction(x, y

) 7→ x4 + y4 −2(x − y

)2 ?

6. Centrale : On dispose de Maple. On considère f :R2 →R définie par

f(x, y

)= ∣∣sin(x + i y

)∣∣2

et S un compact non vide de R2. Montrer que f est bornée sur S et que

supS

f = supFrS

f

7. CCP : Soit f définie sur R2 par

f(x, y

)= x y√x2 + y2

pour(x, y

) 6= (0,0) et f (0,0) = 0

Montrer que f est continue sur R2 et possède des dérivées partielles par rapport à chaque variable en tout pointde R2.

Intégrales multiples et curvilignes

1. X : Aire intérieure à la courbe d’équation

x2 +x y + y2 +x +5y +4 = 0

2. Centrale : On travaille dans un espace euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct(O,~i ,~j ,~k

).

(a) Pour p et q ∈N, calculer Ipq =∫ 2π

0cosp t sinq t d t

(b) Paramétrer le cercle C d’équations x + y + z = 1

x2 + y2 + z2 = 1

27

(c) Calculer la circulation du champ

−→V

(x, y, z

)= (y − z

)~i + (z −x)~j + (

y −x)~k

le long de C .

3. CCP : Soit f :R→R définie par f (t ) = e−t 2.

(a) Montrer que f est intégrable sur R+.

(b) Pour R > 0, on pose BR =(

x, y) ∈ (

R+)2 | x2 + y2 É R2

et KR = [0,R]× [0,R] et ϕ(x, y

)= e−(x2+y2).

Montrer que ÏBR

ϕÉÏ

KR

ϕÉÏ

B2R

ϕ

En déduire que limR→+∞

ÏKR

ϕ existe et en déduire la valeur de∫ +∞

0e−t 2

d t .

4. Centrale : CalculerÏ

D

d xd y(1+x2 + y2

)2 , où D est donné par |x| É x2 + y2 É 1.

5. X : Soit f :R→R continue et intégrable et g :R→R continue. On pose

F (x) =∫R

f (t )

1+ (x + g (t )

)2 d t

Que peut-on dire de F ? Montrer que F est intégrable sur R et calculer son intégrale.

6. Mines : Soit O, A,B les points d’affixes respectives 0, r et r e i π4 , avec r > 0. Soit Γr l’arc paramétré de C constitué dusegment [O, A] orienté de O vers A, de l’arc Cr du cercle de centre O et de rayon r d’origine A et d’extrémité B etdu segment [B ,O] orienté de B vers O.

(a) Calculer∫Γr

e−(x+i y)2

(d x + i d y).

(b) Que peut-on dire de∫Cr

e−(x+i y)2

(d x + i d y) ?

(c) Que peut-on en déduire ?

7. Mines : Soit In =Ï

[0,1]2

d xd y

1+xn + yn . Déterminer limn→+∞ In .

8. X : Soit P ∈C [X] et D le disque fermé de centre 0 et de rayon r > 0. CalculerÏD

∣∣P (x + i y

)∣∣2 d xd y

9. Centrale : Que peut-on dire deÏ

D

x − y(x + y

)3 d xd y , où D = ]0,1]× [0,1] ?

28