Fiche TD n°01_L1-Méc Energ-Electr._Math II_Algèbre II_S2_2015-2016
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Académie Militaire de Cherchell Année Universitaire:
Département des Sciences et Technologie
Filière: Electr.—Méc. Energ. Math II
Chaire de Mathématiques
FICHE
Exercice n°01 :
Dans ��∗ � �, on définit les lois interne et externe suivantes
� � � → �
��, �� ���, ��� → ����, � ��
L’ensemble ��, , . � est—il un �—
Exercice n°02 :
Dans � � ��, on donne les sous—ensembles suivants
� � ���, ��, ��� ∈ ��; � � ���
� � ���, ��, ��� ∈ ��; � �� �
Vérifier que �, �, � et � sont des sous
Exercice n°03 :
Soient � et � deux sous—espaces vectoriels de
� � ��� � �, 2�, � 2�, ���; ��, �
a/ Déterminer une famille génératrice de
b/ Vérifier si ces familles sont des familles libres.
c/ En déduire une base et la dimension de chaque sous
Exercice n°04 :
Soit � un �—espace vectoriel de dimension 3 et
� � !� � ! et � � !�.
Montrer que la famille � , �, � est libre et compléter celle
Exercice n°05 :
Soient dans �" les vecteurs suivants :
# � �0, �9, �9,6�.
a/ Montrer que ' appartient au sous
engendré par ��, �.
b/ Soient ( � )!*+��, �, '� et , � )!*+
Académie Militaire de Cherchell Année Universitaire:
ement des Sciences et Technologie Niveau:
Méc. Energ. Math II
Chaire de Mathématiques
FICHE TD n°01—Espaces vectoriels
, on définit les lois interne et externe suivantes :
� � � → �
�� -. ��, �� → ��.
—espace vectoriel ?
ensembles suivants :
� � � ���, ��, ��� ∈ ��; 2�� � �
0� � � ���, ��, ��� ∈ ��; � � 0, �� �
sont des sous—espaces vectoriels de � puis déterminer � ∩
espaces vectoriels de �"donnés par :
�� ∈ ��� � � ���, �, 0, -� ∈ �"; � �
a/ Déterminer une famille génératrice de � et de �.
Vérifier si ces familles sont des familles libres.
c/ En déduire une base et la dimension de chaque sous—espace vectoriel.
espace vectoriel de dimension 3 et � � �!, !�, !�� une base de
est libre et compléter celle—ci en une base de �.
les vecteurs suivants : � �1, �1,0,2�, � � �1,2,3,0�, � � �0, �1,
appartient au sous—espace engendré par ��, �� et que # appartient au sous
)!*+� , #�. Trouver les dimensions de (, ,, ( ,
Académie Militaire de Cherchell Année Universitaire: 2015—2016
Niveau: 1ièreAnnée—Semestre II
Méc. Energ. Math II —Algèbre II
Jan. 2016
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�
, -��
���
� ���
� et � ∩ �.
� � 0 � -�
une base de � . Soit � !� 2!� ,
,2, �2�, ' � �3,7,7,2� et
appartient au sous—espace
,, ( ∩ ,.
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Filière: Electr.—Méc. Energ. Math II
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c/ Montrer que le sous—espace vectoriel engendré par le vecteur
de ( ,. En déduire celui de ( ∩ ,
Exercice n°06 :
Soit ℙ� � ��567, l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et soit
famille des polynômes de ℙ� définis pour tout
8�6� � 6�, 8��6� � �6 � 1��, 8�
a/ Montrer que cette famille forme une base de
c/ En déduire l’écriture des polynômes suivants dans cette base
Exercice n°07 :
Dans ��, déterminer une base et un supplémentaire des sous
( � )!*+� , #� où � �1,1,0� et #
, � )!*+� , #, 9� où � ��1,1,0�
: � ���, �, '� ∈ ��; � � 2� 3' �
Exercice n°08 :
Soit � � ��567 et on considère les deux sous
( � �8 ∈ �, 8�0� � 8�1� � 0� et (
Démonter que (⨁(� � �.
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Méc. Energ. Math II
Chaire de Mathématiques
espace vectoriel engendré par le vecteur 9 � �1,2,3,1� est supplémentaire dans
, dans �".
, l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et soit
définis pour tout 6 réel par :
��6� � �6 1��
a/ Montrer que cette famille forme une base de ℙ�.
l’écriture des polynômes suivants dans cette base : <�6� � 12, =�6� �
, déterminer une base et un supplémentaire des sous—espaces vectoriels suivants
� �2,1,1�
� , # � �2,0,1� et 9 � �1,1,1�
� 0�
et on considère les deux sous—espaces vectoriels de � suivants :
� (� � �8 ∈ �, >!? 8�0� @ 1�
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est supplémentaire dans �"
, l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et soit ( � �8, 8�, 8�� la
� � � 6� 26� � 6 � 14.
espaces vectoriels suivants :