Fiche d’exercices 3 : Fonctions à plusieurs...

1/9 Fiche d’exercices 3 : Fonctions à plusieurs variables Mathématiques PACES - Année universitaire 2018/2019

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Fiche d’exercices 3 : Fonctions à plusieurs variables

Fonctions à plusieurs variables

Exercice 1 :

Soit la fonction 22 823),,( zxyzxzyxf

1. yzyx

f26

2. x

z

f2

3. zxy

f163 2

4. 2163 zx

y

f

5. yxzx

f26

Exercice 2 :

Soit la fonction t

yxetyxf t

2

3),,(

1. t

ex

x

f t3

2

2. 2

3

xt

e

x

f t

3. 2

23 13

t

tyxe

x

f t

4. Différentielle de f : dt

t

tyxedy

t

xedx

t

exdf tt

t

223

23

3 132

5. Différentielle de f : dt

t

tyxedy

t

edx

t

exdf t

tt

223

33 132

Exercice 3 : Soit l’équation d’une mole de gaz parfait PV = nRT, où P, V, n et T représentent respectivement la pression, le volume, le nombre de mole et la température absolue. R est une constante.

1. P

n

T

V

2.

V

nRT

V

P

3. n

V

P

T

4. 2RT

PV

T

n

5. 2RT

PV

T

n

Exercice 4 :

Soit l’équation g

LT 2

1. LgL

T

2.

LgL

T

2

3. 2g

gL

g

T

4.

TL

g 2

4

5. 2

216

T

L

L

g

Exercice 5 :

Soit la fonction 2

,,yz

yxzyxf

1. 2

1,,

yzzyx

x

f

2.

42 2

,,yz

yzyxyzzyx

y

f

3. 2

1,,

yzzyx

x

f

4.

32

,,yz

yxyzzyx

y

f

5.

dzyz

yxdy

yz

xyzdx

yzdf

332

2221

Exercice 6 :

Quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) :

1. yz

yxxzyxf

45,, alors

yz

yzyxf

x

f

45,,

2. yz

yxxzyxf

45,, alors

245

,,yz

xyxzyxf

x

f

3. zyyxzyxg 45,, 2 alors zyyzyxfx

g45,,

4. zyyxzyxg 45,, 2 alors 29,, yxzyxfx

g

5. yx

zzyxh

2

3,, alors

22

1,,

yxzyxf

y

h



Exercice 7 :

Soit f la fonction telle que xyyxf ln.2exp, :

1. La fonction f est définie sur ℝ+

2. La fonction f s’annule pour le point de coordonnées 0;0;0

3. x

y

x

f 2exp2

4. x

y

x

f 2exp

5. xyy

fln.2exp2

Exercice 8 :

Exercice 9 :

Exercice 10 :

Exercice 11 :

Exercice 12 :

Exercice 13 :



Exercice 14 :

Exercice 15 :

Exercice 16 :

Exercice 17 :

Exercice 18 :

Exercice 19 :



Exercice 20 :

Exercice 21 :

Exercice 22 :

Exercice 23 :

Exercice 24 :



Exercice 25 :

Exercice 26 :

Exercice 27 :

Exercice 28 :

Exercice 29 :

Exercice 30 :



Exercice 31 : A. Le graphe qui représente une application partielle est une section d’une surface par un

plan vertical.

B. La différentielle est représentée par une hypersurface. C. Le point critique est systématiquement un extremum sur la courbe.

D. Soit f la fonction définie par ykxex

yxf 322, et k un réel.

Sa différentielle est telle que : dyedxkxex

df ykx 32

322 2

.

E. Soit zy

yxzyxf 2

13,, 2 . La différentielle s’annule au point 0;2;0K , la courbe

admet donc au moins un extremum.

Exercice 32 :

A. Soit f une fonction définie par xeyzzxzyxf 22

2

34,, .

Sa dérivée partielle est xeyzxdz

df 34 2

B. Soit f une fonction définie par la fonction yxxyxf coscos,

Sa dérivée partielle est yxxyxdx

dfsincossincossin

C. xy sin.cos est strictement décroissante sur

0;

2

D. Si la différentielle de 0,, zyxf au point A, l’étude de ses différentes dérivées partielles

autour de xA, yA et zA peut permettre d’affirmer ou de réfuter qu’un extremum existe.

E. . Si la différentielle de 0,, zyxf au point A, l’étude de ses différentes dérivées

partielles autour de xA, yA et zA ne peut pas permettre d’affirmer ou de réfuter qu’un

extremum existe.



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