FIABILITIS Manuel de Référence · 2015. 4. 30. · Pour la loi de Weibull : nous avons utilisé...

FIABILITIS

Manuel de Référence

Table des matières

1 Introduction 7

1.1 Loi de Probabilité pour les durées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Loi lognormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Les données 11

2.1 Données complètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Données censurées de type I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Données censurées de type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Censure progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Techniques d’ajustement graphique 15

3.0.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.0.2 Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.0.3 Lognormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Estimation par Maximum de Vraisemblance 19


4.0.5 Loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.0.6 Loi log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.0.7 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Estimation Bayésienne 31


5.0.9 Loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.0.10 Loi Log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 ALT : Essais Accélérés 39

6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

4 TABLE DES MATIÈRES

6.2 Loi par morceaux et taux de défaillance étagé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 L’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.4 Estimation du taux de défaillance étagé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.5 Step-Stress en température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.5.1 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.5.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.5.3 Optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.6 Step-Stress en température et humidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.6.1 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.6.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.6.3 Optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.7 Approche Bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

TABLE DES MATIÈRES 5

Ce document accompagne le logiciel FIABILITIS. Il décrit les methodes et donne les

détails des calculs effectués par le logiciel.

6 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction

L’analyse de durée est un volet important de la théorie de la fiabilité. D’une manière générale,

on entend par durée : la durée de vie, la durée de bon fonctionnement, ou plus généralement le

temps qui s’écoule avant qu’un événement donné ne se produise.

On rappelle ici, rapidement, les outils élémentaires utilisés pour étudier cette variable aléatoire

que l’on notera X .

On définit R(x) : la fonction fiabilité.

R(x)= Pr(X > x) (1.1)

Soit f (x) la densité de la loi de probabilité de X . On a :

R(x)=∫+∞

xf (t) dt. (1.2)

Une fonctionnelle centrale en fiabilité est le taux de défaillance défini par :

λ(x)= limh→0

Pr(X < x+h|X > x)/h. (1.3)

C’est la probabilité de panne instantanée. Elle est donnée en unité de temps−1.

On peut montrer que :

λ(x)= f (x)/R(x) (1.4)

et que :

R(x)= exp{−

∫t

0λ(t) dt

}(1.5)

1.1 Loi de Probabilité pour les durées

1.1.1 Loi exponentielle

On dit qu’une v.a. suit une loi exponentielle de paramètre λ si la densité de sa loi de probabilité

a la forme suivante :

f (x)=λexp{−λ x}, x ∈R+, λ> 0.

7

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

La fonction de répartition s’écrit alors :

F(x)= 1−exp{−λ x}.

L’espérance mathématique est : E(X )= 1/λ.

La variance est var(X )= 1/λ2.

La fonction génératrice d’une loi exponentielle est

gX (t)=λ

λ− t

Rappelons que la fonction génératrice définit de manière univoque la loi de la v.a..

1.1.2 Loi de Weibull

Introduite en 1951 par l’ingénieur et mathématicien suédois Waloddi Weibull, la loi de Weibull

de paramètres (α,β) a pour densité :

f (x)=β

αβxβ−1 exp

{−

( x

α

)β}

Le paramètre α est appelé le paramètre d’échelle. Il a pour dimension celle de x.

Le paramètre β est le paramètre de forme. Il est sans dimension. La fonction de répartition

d’une loi de Weibull de paramètres (α,β) est :

F(x)= 1−exp{−

( x

α

)β}

Remarque : α est le quantile de niveau 63.2% de la loi. En effet, F(α)= 1−1/e

Une définition plus générale de la loi de Weibull fait intervenir un 3eme paramètre ν dit paramètre

de position (il est positif et a la dimension de x), dans ce cas la densité de la loi a pour support

[ν,+∞[ et a pour expression :

f (x)=β

αβ(x−ν)β−1 exp

{−

( x−µ

α

)β}

L’espérance mathématique de loi de Weibull a pour expression :

E(X )=α.Γ(1+

1β

)

où Γ(.) est la fonction Gamma définie par Γ(ν)=∫+∞

0 xν−1.exp(−x)dx.

La variance de la loi de Weibull a pour expression :

α2.{Γ

(1+

2β

)−Γ

2(1+

1β

)}

On énonce la proposition suivante :

Proposition - Si X suit une loi de Weibull (α,β), log X suit une loi de Gumbel (λ,δ) avec λ= logα

et δ= 1/β. La densité de la loi de Gumbel est :

f (x)=1δ

.exp(

x−λ

δ−exp

(x−λ

δ

)), x ∈R.

1.1. LOI DE PROBABILITÉ POUR LES DURÉES 9

La fonction de répartition est donnée par :

F(x)= 1−exp(−exp

(x−λ

δ

)), x ∈R.

L’espérance mathématique est obtenu par : E(X )= λ− c δ avec c = 0.5772 constante d’Euler et la

variance : V ar(X )= π2

6 .δ2

Le paramètre β est le paramètre de forme. Il est sans dimension. La forme de λ(x) dépend de

la valeur de ce paramètre.

– Si β= 1, λ(x) = 1/α , on est à taux constant et la loi de Weibull correspond à la loi exponen-

tielle.

– Si β> 1, λ(x) est une fonction croissante. Le taux de défaillance augmente avec le temps, on

est en usure.

– Si β< 1, λ(x) est décroissant. Ce cas caractérise la période de jeunesse de la classique courbe

en baignoire.

1.1.3 Loi lognormale

La loi log-normale présente l’avantage de couvrir de nombreuses situations tout comme la

loi de Weibull. Par contre, les fonctionnelles associées n’ont pas toujours une expression simple.

Cette loi a pour intérêt essentiel d’être liée à la loi normale et de nombreux logiciels de statistiques

proposent des traitements "tout prêt" autours de cette loi.

La densité de la loi log-normale est donc :

f (x)=1

p2πσ x

exp{−

12

(log x−µ

σ

)2}

On a la proposition suivante :

Proposition 1 – X suit une loi lognormale de paramètres (µ,σ2) si et seulement si log X suit une

loi normale de paramètres (µ,σ2).

La fonction de répartition ne peut être obtenue de façon explicite. Cependant en utilisant l’expres-

sion de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite φ :

φ(x)=∫x

−∞

1p

2π.exp

{−

t2

2

}dt

On en obtient aisément l’expression suivante de la fonction fiabilité :

R(x)= 1−φ

(log x−µ

σ

)

On voit alors que l’expression du taux de défaillance sera d’une écriture plutôt complexe s’obte-

nant comme rapport de la densité et de la fiabilité. Sweet [27] étudie en détails les propriétés de

10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

ce taux.

La moyenne de la loi lognormale est égale à

exp(µ+σ2

2)

et sa variance vaut

[(exp(σ2 −1)].exp(2µ+σ2).

Chapitre 2

Les données

Nous décrivons dans ce paragraphe les différents types de données qui peuvent être traités

par FIABILITIS. Les exemples présentés seront utilisés dans la suite de ce manuel pour illustrer

les différents calculs effectués par FIABILITIS.

2.1 Données complètes

C’est la situation classique où l’on observe exactement les réalisations. Les données n’ont

subies aucune dégradation : elles sont complètes.

On utilisera dans la suite les jeux de données suivants.

Pour la loi exponentielle : données simulées avec un taux de défaillance fixé à 0,002 h−1.

Tab. 1 : Exponentielle – Données Complètes

13 47 53 97 121129 189 213 216 220226 255 257 300 329354 414 472 666 687754 1328 1379 1626 1752

Pour la loi de Weibull : on utilisera les données suivantes qui correspondent aux instants de

défaillances d’un fluide isolant soumis à un niveau de tension égal à 36 kV (Nelson [19] pp. 129).

Tab. 2 : Weibull – Données Complètes

0,35 0,59 0,96 0,99 1,691,97 2,07 2,58 2,71 2,903,67 3,99 5,35 13,77 25,50

Pour la loi lognormal : données simulées avec en entrées les paramètres suivants : µ = 4,15

et σ2 = 0,28.

11

12 CHAPITRE 2. LES DONNÉES

Tab. 3 : Lognormale – Données Complètes

41,48 41,55 42,52 44,99 47,14 49,3654,24 57,91 58,44 61,70 63,03 65,1366,98 68,45 70,25 72,16 82,07 85,7986,53 91,05 91,93 100,06 106,33

2.2 Données censurées de type I

Les données censurées de type I correspond à la situation où l’observation est conduite pour

une durée C fixée à l’avance.

Pour la loi exponentielle : nous avons simulé un échantillon de taille n = 25 avec un para-

mètre λ = 0,002 unités de temps−1 que nous avons censuré à la date C = 250 unités de temps.

k = 11 défaillances sont alors recensées.

Tab. 4 : Exponentielle – Données Type I

13 47 53 97 121 129189 213 216 220 226

Pour la loi de Weibull : nous avons fabriqué ces données en censurant arbitrairement à la date

C = 10 minuntes, l’échantillon des instants de défaillance d’un fluide isolant soumis à un niveau

de tension égal à présenté dans [19] pp. 129.

Tab. 5 : Weibull – Données Type I

0,19 0,78 0,96 1,31 2,783,16 4,15 4,67 4,85 6,507,35 8,01 8,27

Pour la loi lognormale : nous avons simulé, pour des valeurs de paramètres : µ = 1,75 et

σ2 = 0,43, un échantillon de taille n = 30 que nous avons censuré à la date C = 5 unités de temps.

Tab. 6 : Lognormale – Données type I

2,20 2,89 3,40 3,84 4,064,18 4,27 4,29 4,47 4,484,86 4,94 4,97

2.3 Données censurées de type II

Lorsque l’observation s’arrête dès qu’un nombre de défaillances k fixé à l’avance s’est produit,

on parle de données censurées de type II. On note (x(1), x(2), · · · , x(k)), l’échantillon ordonnées (ordre

croissant) des instants de défaillance observés. L’observation s’arrête à la date de la kème c’est-à-

dire à la date x(k).

2.4. CENSURE PROGRESSIVE 13

Pour la loi exponentielle : on considère les données suivantes (Lawless 16, p.103) :

Tab. 7 : Exponentielle – Données Type II

31 58 157 185 300 470 497 673

Ces données ont été recueillies à l’issue d’un essai sur n = 12 objets. On a arrêté l’essai à la 8ème ;

k = 8.

Pour la loi de Weibull : nous avons utilisé les données sur le fluide isolant (Nelson 19 pp.) pour

le niveau kV en considérant que l’essai s’est arrêté lorsque la 6{‘eme s’est produite.

Tab. 8 : Weibull – Données Type II

7,74 17,05 20,46 21,02 22,66 43,40

Pour la loi lognormale : on considère un essai sur 10 pièces qui s’arrête à la 8ème défaillance

(Lawless 16 pp.226). Les instants de panne sont consignés dans le tableau suivant :

Tab. 9 : Lognormale – Données Type II

403,43 620,17 871,31 1176,151635,98 2121,76 3294,47 4447,07

‘

2.4 Censure progressive

Dans le cas d’une censure progressive, on observe l’échantillon (x1, · · · , xn) et un vecteur de

composante δ(xi) qui vaut 0 s’il s’agit d’une observation censurée et 1 sinon. Ainsi, la somme des

δ(xi) sera égale à k, le nombre total de pannes obervées.

Pour la loi exponentielle : nous avons simulé des 25 durées pour un taux de défaillance égal

à 0,002 unités de temps −1. Nous avons alors censuré arbitrairement quelques valeurs ; elles sont

marquées d’une étoile.

Tab. 10 : Exponentielle – Censure Progressive

13 47 50* 50* 50*53 97 100* 100* 150*220 226 255 257 300329 354 414 472 500*500* 666 754 1328 1626

14 CHAPITRE 2. LES DONNÉES

Pour la loi de Weibull : on utilisera les données suivantes (Lawless 16 pp. 172) :

Tab. 11 : Weibull – Censure progressive

6 6 6 6* 7 9* 1010* 11* 13 16 17* 19* 20*22 23 25* 32* 32* 34* 35*

Les données marquées d’une étoile correspondent à des durées censurées.

Pour la loi log-normale : on considère les données proposées par Gertsbakh 6, pp.189. Il s’agit

d’un échantillon de taille n = 10. Les durées censurées sont marquées d’une étoile.

Tab. 12 : Lognormale – Censure progressive

2,25 70,11 376,15 854,06 1881,833041,18 3640,95 11968,10 33189,87 162754,79

Chapitre 3

Techniques d’ajustement graphique

Les méthodes d’ajustement graphique (Probability Plot) permettent de tester F, la loi d’un

n-échantillon d’observation i.i.d. (x1, · · · , xn). Elles consistent à faire apparaître une relation li-

néaire entre une transformation de l’observation u(x) et une transformation de la fonction de

répartition v[F(x)]. On utilise alors une approximation Fn(x) de F(x) pour représenter les points(u(xi);v(Fn(xi))

). Si ces points sont significativement alignés, on considère qu’il n’est pas dérai-

sonnable de considérer que l’observation est de loi F. L’exemple bien connu est celui de la droite

d’Henry pour l’adéquation à la loi normale. Dans ce cas, u est l’identité et v la réciproque de la

fonction de répartition d’une gaussienne centrée réduite.

Remarquons que ces méthodes permettent d’obtenir des estimateurs des paramètres de la loi. La

qualité et les propriétés de ces estimateurs dépendent de l’approximation de F. En particulier,

dans certains cas, pour pouvoir appliquer les méthodes, l’approximation ne doit pas être nulle ou

égale à 1. La littérature concernant le choix de l’approximation est abondante et avec humour

[19] commente (p.116) : Some authors strongly argue for a particular plotting posistion. This is as

fruitless as arguing religions ; they all get you to heaven.

On trouve dans [14] un aperçu historique de la question qui reste d’actualité ([20], [31], [29]).

On donne dans le tableau 3.1 quelques formes d’approximation. Nous présentons ci-après la mé-

thode pour les lois utilisées dans FIABILITIS ; exponentielle, Weibull et lognormale.

La démarche fait apparaître très souvent l’estimation de la fonction de fiabilité R(x) (??).

Pour les données complètes, de type I et de type II, on applique (??) et Rn, l’estimateur de R est

obtenu en écrivant : Rn(x)= 1−Fn(x). Lorsqu’on a censure progressive, on utilise l’estimateur de

Kaplan-Meier. Nous rappelons ci-dessous le calcul de cet estimateur encore appelé estimateur

PL (Product Limit).

On note (x1, · · · , xn) les durées classées dans l’ordre croissant, associées aux n objets dont on étudie

la fiabilité.xi peut être un instant de défaillance effectivement observé ou ce peut être une date

de censure (par exemple on retire un objet de l’étude sans qu’il soit défaillant). L’estimateur de

la fonction fiabilité fait intervenir n j nombre d’objets présents à x−j

(c’est-à-dire le nombre d’élé-

15

16 CHAPITRE 3. TECHNIQUES D’AJUSTEMENT GRAPHIQUE

TABLE 3.1 – Différentes Approximations de la Fonction de Répartition avec di(x)=n∑

i=11(xi ≤ x)

Herd-Johnson : Fn(x)=di(x)

n

Hazen Fn(x)=di(x)−1/2

n

Filliben :

Fn(x)=di(x)−0,3175n−0,635+1

di(x)≤ n−1

(1/2)1/n i = n

Blom :di(x)−1/2

n+1/4

Nelson : Fn(x)= 1−exp

{i∑

j=1

1n−d j(x)+1

}

Bernard ou Bos-Levenbach : Fn(x)=di(x)−1/2

n+1/4

ments non défaillants et non censurés juste avant x j) et d j, le nombre de pannes observées à x j.

On a :

Rn(x)=∏

x j<x

(1−

d j

n j

)(3.1)

On adopte la convention suivante : si des instants de défaillances x j et de censure x j∗ sont exae-

quos, les objets censurés seront comptabilisés dans les présents à x j. Remarquons que cet estima-

teur s’applique en fait à tous les types de censure.

Exemple – Considérons les données de la table 11. Le calcul de l’estimateur de Kaplan-Meier

est résumé dans le tableau (3.2). La figure () donne une répresentation de l’estimateur.

Quelque soit le type de censure, FIABILITIS utilise l’estimateur de Kaplan-Meier modifié

17

TABLE 3.2 – Calcul de l’estimateur de Kaplan-Meier

x j n j d j Rn

6 21 3 0,8577 17 1 0,80710 15 1 0,75313 12 1 0,69016 11 1 0,62722 7 1 0,53823 6 1 0,448

suivant pour l’ajustement graphique :

Rn(x)=∏

x j<x

(1−

d j

n j +0.4

)(3.2)

3.0.1 Exponentielle

Dans le cas de la loi exponentielle : F(x)= 1−exp{−λ x}.

On a donc :

R(x)= exp{−λ x}⇐⇒ log[1/R(x)]=λ x

On représente alors les points : (xi ; log(1/Rn(xi))), i = 1, . . . ,n. Si ces points points sont alignés, on

pourra considérer qu’il n’est pas absurde de considérer une loi exponentielle. La pente de la droite

obtenue est alors une estimation de λ.

3.0.2 Weibull

Pour la loi de Weibull, la fonction fiabilité s’écrit : R(x)= exp{(x/α)β}.

R(x)= exp{−

( x

α

)β}⇐⇒ loglog(1/R(x))=β log x−β logα

Autrement dit, si l’hypothèse d’une loi de Weibull est valable, les points de coordonnées(log xi ; loglog(1/Rn(xi))

)devrait être alignés et portés par une droite dont la pente est une esti-

mation de β et dont l’ordonnées à l’origine permet d’évaluer donne une estimation de α.

3.0.3 Lognormale

Pour tester graphiquement l’adéquation à un modèle log-normale, on considèrera l’échantillon

(log x1, log x2, · · · , log xn) et on fabriquera la droite de Henry dont on rappelle ci-dessous le principe.

Si Y une v.a. normale de paramètres (µ,σ2), on a : P(Y ≤ y) = P(Z ≤ (y−µ)/σ) avec Z = (Y −µ)/σ,

18 CHAPITRE 3. TECHNIQUES D’AJUSTEMENT GRAPHIQUE

v.a. normale centrée réduite.

On a donc :

F(y)=φ[(y−µ)/σ]⇐⇒ y=σ φ−1[F(y)]+µ.

Ainsi donc, si les points (φ−1[Fn(log xi)] ; log xi) sont alignés, l’hypothèse d’une loi lognormale ne

sera pas rejetée.

Et on dispose d’une estimation graphique de µ en considérant l’intersection de la droite avec l’axe

des ordonnées et d’une estimation de σ en considérant la pente de la droite.

Chapitre 4

Estimation par Maximum de

Vraisemblance

Nous présentons dans cette section la méthode d’estimation du maximum de vraisemblance

pour la loi exponentielle, la loi de Weibull et la loi lognormale. Pour chacune de ces trois lois,

quatre situations sont traitées : données complètes (pas de censure), censure de type I, censure de

type II et censure progressive. D’une manière générale, l’observation consiste en un n-échantillon

i.i.d., ((x1,δ1), · · · , (xn,δn)) où chaque xi suit la loi à laquelle on s’intéresse et où δi est l’indicateur

de censure. δi = 1, si la donnée est censurée ; 0 sinon.

Remarquons que le cas de la censure progressive couvre finalement tous les cas de figure. En effet,

le cas complet est representé par δi = 0 , i = 1, . . . ,n pas de censure. Le cas censure de type I est

correspond à δi = 1 lorsque xi = C. La censure de type II est identique à la censure de type I avec

C = x(k) où k est fixé et désigne la k eme panne. Cependant pour la clarté de l’exposé et dans le cas

de la loi exponentielle, nous détaillons les 4 situations de données.


Données complètes

On considère (x1, x2, . . . , xn) un n-échantillon iid de loi exponentielle de paramètre λ.

L’expression de la vraisemblance est alors :

L(λ)=λn exp

{−λ

n∑

i=1xi

}

et

logL(λ)= n logλ−λn∑

i=1xi

On a l’équation de vraisemblance suivante :

∂

∂λlogL(λ)= 0⇐⇒

n

λ−

n∑

i=1xi = 0

19

20 CHAPITRE 4. ESTIMATION PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

dont la solution est :

λ= 1/X n avec X n = n/n∑

i=1xi.

Remarque : Une estimateur du MTTF (mean time to failure), c’est-à-dire de l’espérance du

temps de bon fonctionnement (v.a. X ) sera donc X n puisque EX = 1/λ.

Intervalle de confiance

Pour construire un intervalle de confiance, on utilise la proposition suivante :

Proposition 2 – Soit (X1, · · · , Xn), n v.a. indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ.

Alors X n suit une loi gamma de paramètre (n,nλ) et 2nλX n suit une loi du Chi-2 à 2n degrés de

liberté.

Preuve : On montre en utilisant les fonctions génératrices que la somme de n v.a. indépen-

dantes de loi exponentielle de paramètre λ suit une loi gamma de paramètres (n,λ). De la même

façon, on montre que la loi de aX , a ∈R, si X suit une loi gamma de paramètres (α,β), est une loi

gamma de paramètre (α,β/a).

�

On a alors :

P(a <λ≤ b)= 1−α⇐⇒ P(2naX n < 2nλX n ≤ 2nbX n)= 1−α

Ce qui conduit aux bornes suivantes pour une intervalle symétrique :

a =χ2−1

2n(α/2)

2nX n

b =χ2−1

2n(1−α/2)

2nX n

où χ2−1

2nest la fonction réciproque d’une loi du Chi-2 à n degrés de liberté.

Exemple – Avec les données 1, l’estimateur du maximum de vraisemblance du taux de dé-

faillance est : 0,002067 heure−1. Celui du MTTF est donc : 483,88 heures.

Un intervalle de niveau 5% pour le taux de défaillance est donné par : [0,001337 ; 0,002952].

21

Censure de type I

L’essai s’arrête à une date C fixée. On dispose donc à l’issue de l’essai sur n objets, d’un certain

nombre k, (k ≤ n), de durées inférieures à C que l’on note (x1, x2, . . . , xk).

Pour un n-échantillon iid de loi exponentielle de paramètre λ, l’expression de la vraisemblance

est :

L(λ)=λk exp

{−λ

[n∑

i=1xi + (n−k) C

]}

produit de la densité et de P(X > C)= exp{−λC}, pour les données censurées.

La log-vraisemblance est alors :

logL(λ)= k logλ−λ

[k∑

i=1xi + (n−k) C

]

En résolvant, l’équation de vraisemblance :

∂

∂λlogL(λ)= 0

on obtient l’estimateur du maximum de vraisemblance du taux de défaillance :

λ=k

TTT

où TTT =k∑

i=1xi + (n−k) C, est le total time in test.


On peut donc utiliser le résultat suivant dû à [25] pour obtenir un intervalle de confiance :

λ−λ1/3

(λ/9k)1/2∼ N (0,1).

On a alors l’intervalle de niveau 1−α :[ (

1−φ−1(α)

3p

k

)1/3

λ ;(1+

φ−1(α)

3p

k

)1/3

λ

].

où φ−1(α) est le quantile de niveau α d’une gaussienne centrée réduite.

Exemple – Avec les données 4, on obtient un emv pour le taux de défaillance égal à 0,002189

heures−1 et pour le MTTF un emv égal à 456,72 heures. Un intervalle de confiance de niveau 95%

est donné par : [0,001271 ; 0,003469].


Le cas 0 défaut – Si aucune panne n’a lieu durant l’essai, c’est-à-dire si k = 0, λ= 0 et áMTTF =+∞, ce qui n’a pas grand sens d’un point de vue pratique. Bartholomew propose la convention

suivante : MTTF = n.C , ce que l’on peut interpréter par : une panne s’est produite à l’instant

C + ǫ avec ǫ > 0. Le taux de défaillance sera alors estimé par 1/n.C . Cependant, d’un point de

vue plus rigoureux, un essai où il n’y a pas de défaillances ne permet pas de faire de statistiques ;

tout se passe comme si finalement, il n’y avait pas d’observations... ou du moins que l’observation

(qui est : “ la durée de vie est supérieure à C ”) est trop pauvre pour permettre une estimation

statistique valable (au sens interprétable). Remarquons qu’un traitement bayésien permet de

proposer une réponse à cette situation.

Note bibliographique

[4] calcule la densité de la loi de l’estimateur du maximum de vraisemblance du MTTF. Cette

distribution étant difficile à employer par sa complexité, [3] proposent un programme pour calcu-

ler la borne inférieure d’un intervalle de confiance. [26] proposent un test basé sur l’estimateur

du MTTF. [24] calculent le biais de l’emv du MTTF, et montrent alors que cet estimateur est

asymptotiquement efficace (sans biais et de variance minimum).

Censure de type II

Si l’essai s’arrête lorqu’exactement k pannes se sont produites parmi les n items en test (k ≤n), on dispose à la fin de l’essai d’un échantillon (x(1), x(2), . . . , x(k)) de réalisations de X avec x(i)

désignant l’instant de la ieme défaillance. x(k), dans cette situation, joue le rôle d’une date de

censure.


L(λ)=λk exp

{−λ

[k∑

i=1x(i) + (n−k) x(k)

]}

La log-vraisemblance est :

logL(λ)= k logλ−λ

[k∑

i=1x(i) + (n−k) x(k)

]

Et la résolution de l’équation de vraisemblance conduit à une solution de la même forme que dans

le cas de la censure de type I :

λ=k

TTT

mais avec TTT =k∑

i=1x(i) + (n−k) x(k).

23


Pour construire un intervalle de confiance, on utilise le résultat suivant :

Proposition 3 – Soit (X(1), X(2), . . . , X(k)), k v.a. de loi exponentielle de paramètre λ telles que

X(1) ≤ X(2) ≤ . . .≤ X(k).

Alors 2 λ TTT, où TTT =k∑

i=1x(i) + (n−k) x(k), suit une loi du Chi2 à 2k degrés de liberté.

Preuve : On pose Wi = nx(1) et Wi = (n−i+1)(x(i)−x(i−1)), i = 2, . . . ,k. On a alors : TTT =∑k

i=1 Wi.

Or la loi jointe de (W1, . . . ,Wk) s’écrit comme un produit de loi exponentielle de paramètre λ. On

en déduit donc que les v.a. W1, . . . ,Wk sont indépendantes et on applique la proposition 2.

�

Comme pour la censure de type I, pour construire un intervalle de confiance symétrique de niveau

1−α pour λ, on écrira :

P(a <λ≤ b)= 1−α⇐⇒ P(a < 2 λ TTT ≤ b)= 1−α.

et les bornes de l’intervalle seront :

a =χ2−1

2k(α/2)

2 TTTet b =

χ2−1

2k(1−α/2)

2 TTT.

Exemple – On considère les données suivantes (Lawless 16, p.103) :

31, 58, 157, 185, 300, 470, 497, 673,

recueillies à l’issue d’un essai sur 12 objets. On a arrêté l’essai à la 8ème.

L’estimation par maximum de vraisemblance du taux de défaillance est égale à : 8/5063=0,001580

h−1 et un intervalle de confiance de niveau 95% est [0,000682 ; 0,002849].

On en déduit pour le MTTF, une estimation d’environ 633 h et on peut proposer l’intervalle de

confiance : [350 ; 1467].

Censure progressive

On considère (x1, x2, · · · , xn) un n-échantillon iid de loi exponentielle de paramètre λ et le

vecteur (δ1,δ2, · · · ,δn) des censures associés (δi = 1 si la i eme observation est censurée ; 0 sinon).


L(λ)=n∏

i=1λ1−δi exp

{−λ

n∑

i=1xi

}


et la log-vraisemblance s’écrit :

logL(λ)=n∑

i=1(1−δi) logλ−λ

n∑

i=1xi

En résolvant l’équation de vraisemblance et en notantn∑

i=1(1−δi)= k, on obtient l’estimateur du

maximum de vraisemblance du taux de défaillance sous la forme :

λ=k∑n

i=1 xi

.


Pour construire un intervalle de confiance, on peut procéder comme dans le cas d’une censure

de type I. On retrouve les formules suivantes pour les bornes d’un intervalle de niveau 1−α :

[(1−

φ−1(α)

3p

k

)λ1/3

]3

et[(

1+φ−1(α)

3p

k

)λ1/3

]3

.

où φ−1(α) est le quantile de niveau α d’une gaussienne centrée réduite.

Exemple – Avec les données ***, on obtient un emv pour le taux de défaillance égal à 0,002189

heures−1 et pour le MTTF un emv égal à 456,72 heures. Un intervalle de confiance de niveau 95%

est donné par : [0,001273 ; 0,003465].

Exemple d’applications sur les données de référence

IC pour λ (95%)

EMV de λ Borne inf. Borne sup.

Complet 0,002067 0,001447 0,003193Type I 0,002189 0,001270 0,003469Type II 0,001580 0,000682 0,002849Progressive 0,001778 0,001253 0,002431


Nous allons traité uniquement du cas de la censure progressive qui couvre finalement tous

les cas de figure. En effet, si on note (xi,δi), l’observation, le cas complet est representé par δi = 0

pas de censure. Le cas censure de type I est correspond à δi = 1 lorsque xi = C. La censure de

type II est identique à la censure de type I avec C = x(k) où k est fixé et désigne la k eme panne. La

vraisemblance a pour expression :

L(α,β)=(β

αβ

)k n∏

i=1x

(1−δi)β−1i

exp

{−

n∑

i=1

( xi

α

)β}

25

où on a posé :n∑

i=1(1−δi)= k. Le calcul de la log-vraisemblance conduit à :

L(α,β)= k logβ−kβ logα+ (β−1)n∑

i=1(1−δi) log xi −

n∑

i=1

( xi

α

)β.

On en déduit alors les équations de vraisemblance :

∂

∂αlogL(α,β)= 0

∂

∂βlogL(α,β)= 0

⇐⇒

β

α

[n∑

i=1

( xi

α

)β−k

]= 0

k

β−k logα+

n∑


n∑

i=1

( xi

α

)βlog

( xi

α

)= 0

En manipulant la première équation, on peut exprimer α en fonction de β et en remplaçant dans

la seconde ; transformer cette dernière en une équation ne dépendant plus que de β.

On a :

⇐⇒

α=(∑n

i=1 xβ

i

k

)1/β

∑ni=1(1−δi) log xi

k=

∑ni=1 x

β

ilog xi

∑ni=1 x

β

i

−1β

Pour résoudre le système, on applique alors un algorithme de Newton-Raphson sur la deuxième

équation.

Posons :

φ(β)=1β+

∑ni=1(1−δi) log xi

n−

∑ni=1 x

β

ilog xi

∑ni=1 x

β

i

On veut résoudre φ(β)= 0.

Or, φ(β)≈φ(β)+ (β− β) φ′(β).

On en déduit la structure itérative suivante qui conduit à une estimation de β :

β(q+1) =β(q) −φ(β(q))

φ′(β(q))

On pourra initialiser l’algorithme en prenant pour β(0) l’estimation graphique. Cet algorithme

converge rapidement en 4 à 5 itérations. Une estimation β de β étant obtenu, on remplace dans le

première équation pour obtenir une estimation de α. (voir [17] pp. 419 pour l’existence et l’unicité

des solutions)

Intervalle de confiance – Pour constuire des intervalles de confiance pour α et β, on peut

utiliser les propriétés asymptotiques de l’emv :([17]).

On a :p

n(α−α)loi→ N (0, [In(α,β)]−1

1,1)


pn(β−β)

loi→ N (0, [In(α,β)]−12,2)

où In(α,β) est la matrice d’information de Fischer définie par :

In(α,β)=

−∂2

∂α2 logL(α,β) −∂2

∂α∂βlogL(α,β)

−∂2

∂α∂βlogL(α,β) −

∂2

∂β2 logL(α,β)

Les expressions des termes de cette matrice sont les suivantes :

∂2

∂α2 logL(α,β)=β

α2

[k− (1+β)

n∑

i=1

( xi

α

)β]

∂2

∂α∂βlogL(α,β)=−

1α

{k−

n∑

i=1

[1+β log

( xi

α

)]( xi

α

)β}

∂2

∂β2 logL(α,β)=−k

β2 −n∑

i=1

[log

( xi

α

)]2 ( xi

α

)β

On estimera la matrice d’information de Fisher en remplaçant α par α et β par β pour former une

matrice que l’on note I0(α, β).

Et les bornes d’un intervalle de confiance de niveau 1− ξ pour α et β sont respectivement de la

forme :

α±1p

n

√[I0(α, β)]−1

1,1 φ−1(1−ξ/2)

β±1p

n

√[I0(α, β)]−1

2,2 φ−1(1−ξ/2)

Résultats d’applications

EMV IC α (95%) IC β (95%)α β Borne inf. Borne sup. Borne inf. Borne sup.

Complet 4,292 0,889 3,621 4,962 0,806 0,972Type I 8,684 1,004 7,595 9,774 0,892 1,116Type II 49,433 1,532 41,115 57,750 1,201 1,863

Progressive 33,765 1,353 29,817 31,713 1,192 1,515

Note bibliographique La littérature concernant l’estimation des paramètres de la loi de Wei-

bull est très importante. [5] traite le cas d’une Weibull dont le paramètre de position est nul pour

des données complètes et pour des données censurées. [18] s’intéresse au cas de l’estimation des

3 paramètres avec des données censurées. [? ] présentent une approche bayésienne pour une Wei-

bull à 2 paramètres avec données complètes. Citons encore [? ], Billman et al. (1972), Engelharat

pour le cas des données censurées. On trouve un article de [15] concernant la construction d’inter-

valles de confiance. [1] proposent une nouvelle approche pour estimer les 3 paramètres. (lorsque

β < 1). [? ] s’intéresse aux propriétés des estimateurs du maximum de vraisemblance dans le

27

cas de données censurées provenant d’essais accélérés. Dans le cas d’une loi de Weibull avec un

paramètre de position, [23] et Pike (1966) établissent un certain nombre de résultats concernant

l’existence et la nature des solutions des équations de vraisemblance. En particulier, si on suppose

β≥ 1, le maximum de vraisemblance est atteint pour :

µ= min1≤i≤k

xi , β= 1 et α=n∑

i=1

τi − µ

k.

4.0.6 Loi log-normale

Nous traitons dans un premier temps le cas sans censure. Puis en faisant la même remarque

qu’au paragraphe [? ] concernant la loi de Weibull, nous traitons le cas de la censure progressive

qui généralise les cas de censure de type I et II.

Données complètes

On considère (x1, x2, . . . , xn) un n-échantillon iid de loi lognormale de paramètres (µ,σ2).


L(µ,σ)∝1σn

(n∏

i=1

1xi

)exp

{−

1

2σ2

n∑

i=1(log xi −µ)2

}

Le calcul de la log-vraisemblance conduit au résultat suivant :

−n logσ−n∑

i=1log xi −

1

2σ2

n∑

i=1(log xi −µ)2

Les emv de µ et σ sont donc solutions du système d’équations :

∂

∂µlogL(µ,σ)= 0

∂

∂σlogL(µ,σ)= 0

⇐⇒

1

2σ2

n∑

i=1(log xi −µ)= 0

−n

σ+

1

σ3

n∑

i=1(log xi −µ)2 = 0

On en déduit alors les estimateurs µ=1n

n∑

i=1log xi et σ2 =

1n

n∑

i=1(log xi − µ))2.


Pour construire un intervalle de confiance, du fait de la relation entre la loi normale et la loi

log-normale, on utilise la statistique classique Tn =Y n −µ√

σ2n/n

où Y n =1n

n∑

i=1log xi.

Tn suit une loi de Student à n degrés de liberté. Les bornes de l’intervalle de confiance sont donc :

Y n −σnp

nt−1n−1(1−α/2) et Y n −

σnpn

t−1n−1(α/2).

où t−1n−1 désigne la fonction de répartition réciproque de la loi de Student à n−1 degrés de liberté.


Censure progressive, de type I et II

On considère (x1, x2, . . . , xn) un n-échantillon iid de loi log-normale de paramètres (µ,σ2) et le

vecteur δ des indicateurs de censure. On note ddk =∑n

i=1(1−δi), le nombre de défaillance.

La fonction de vraisemblance s’écrit :

L(µ,σ)∝1

σk

n∏

i=1

( 1xi

)1−δi

exp

{−

1

2σ2

n∑

i=1(1−δi)(log xi −µ)2

}n∏

i=1

[1−φ

(log xi −µ

σ

)]δi

(4.1)

Le calcul de la log-vraisemblance conduit au résultat suivant :

−k logσ−n∑


1

2σ2

n∑

i=1(1−δi)(log xi −µ)2 +

n∑

i=1δi log

[1−φ

(log xi −µ

σ

)](4.2)

et les équations de vraisemblance sont :

∂

∂µlogL(µ,σ)= 0

∂

∂σlogL(µ,σ)= 0

⇐⇒

1σ

n∑

i=1(1−δi)Ui +

1σ

n∑

i=1δi ψ(Ui)= 0

−k

σ+

1σ

n∑

i=1U2

i +1σ

n∑

i=1δi Ui ψ(Ui)= 0

où

Ui =log xi −µ

σ, ψ(Ui)=

ϕ(Ui)1−φ(Ui)

et ϕ(Ui)=1

p2π

exp

{−

U2i

2

}.

Ce système n’admet pas de solutions explicites et on écrit un algorithme de Newton-Raphson pour

approximer les solutions. Il nous faut donc calculer la matrice d’information de Fischer.

Les dérivées secondes et la dérivée croisée sont donc :

∂2

∂µ2 logL(µ,σ) = −k

σ2 +1σ

n∑

i=1δi

∂

∂µψ(Ui)

∂2

∂µ∂σlogL(µ,σ) = −

2

σ2

n∑

i=1δi Ui +

1σ

n∑

i=1δi

[ψ(Ui)−σ

∂

∂σψ(Ui)

]

∂2

∂σ2 logL(µ,σ) =k

σ2 −3

σ2

n∑

i=1(1−δi) U2

i −1

σ2

n∑

i=1δi Ui

[2ψ(Ui)−σ

∂

∂σψ(Ui)

]

où∂

∂µψ(Ui)=

ϕ(Ui)[Ui(1−φ(Ui))−ϕ(Ui)]

σ(1−φ(Ui))2et

∂

∂σψ(Ui)=Ui

∂

∂µψ(Ui).

On peut donc maintenant calculer la matrice de Fisher et écrire l’algorithme de Newton-raphson :

µ(p+1)

σ(p+1)

= [In(µ(p),σ(p))]−1

∂∂µ

logL(µ,σ)

∂∂σ

logL(µ,σ)

(µ(p),σ(p))

On pourra initialiser avec les estimations graphiques.

29

Intervalle de Confiance – Comme pour la loi de Weibull, on utilise les propriétés asympto-

tiques de l’emv et les bornes d’un intervalle de confiance de niveau 1−ξ pour µ et σ sont données

par les formules :

µ±1p

n

√[I0(µ, σ)]−1

1,1 φ−1(1−ξ/2)

σ±1p

n

√[I0(µ, σ)]−1

2,2 φ−1(1−ξ/2)

où I0(µ, σ)]−1i,i sont les termes diagonaux (??) de la matrice de Fisher calculés au points (µ, σ).

Résultats d’applications

EMV IC µ (95%) IC σ (95%)µ σ Borne inf. Borne sup. Borne inf. Borne sup.

Complet 4,170 0,084 4,044 4,295 0,053 0,176Type I 1,683 0,346 1,652 1,713 0,319 0,374Type II 7,575 0,999 7,373 7,777 0,836 1,161

Progressive 8,175 3,843 7,364 8,986 3,179 4,508

4.0.7 Annexes

Annexe 1

Maximum de vraisemblance

Soit (x1, x2, . . . , xn) un n-échantillon d’observation de la v.a. X dont la loi a pour densité f (x/θ) , θ ∈Θ⊂Rm.

Définition 1 - On appelle fonction de vraisemblance, ou vraisemblance la fonction :

Ln(θ/X )=n∏

i=1f (xi/θ).

L’inférence concernant θ peut être menée via le principe suivant dit Principe de Vraisem-

blance : Toute l’information sur θ tirée de x est contenue dans la vraisemblance.

Définition 2 - La valeur θn de θ qui maximise la quantité logL (θ/x) - appelée log-vraisemblance-

est l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.

En général, l’estimateur du maximum de vraisemblance (noté dans la suite emv) de θ est obtenu

en résolvant les équations dites du maximum de vraisemblance :

∂

∂θlogL(θ/x)= 0 , i = 1, . . . ,m.

Sous certaines hypothèses, on montre que :

– l’emv est consistent i.e. θn converge presque sûrement vers θ, donc qu’il converge en proba-

bilité vers la vraie valeur du paramètre.


– la quantitép

n(θi−θi) converge en loi vers une loi normale centrée de variance [I(θ)]−1ii

; I(θ)

désignant la matrice d’information de Fischer. Il s’agit d’une matrice dont le terme (i, j) est

défini par :

I i j(θ)= E

(−

∂

∂θi∂θ j

logLn(θ))

Cette dernière propriété peut être utilisée pour construire des régions de confiance en rem-

plaçant I(θ) par I(θn) utilisant le principe d’invariance.

Annexe 2

Eléments de calcul pour l’EMV de la loi log-normale

φ(Ui)=∫log xi

−∞

1p

2πexp

{−

(t−µ)2

2σ2

}.

On calcule les dérivées de φ(Ui) en on dérivant sous le signe somme. Il vient :

∂

∂µφ(Ui)=−

ϕ(Ui)σ

et∂

∂σφ(U)=−

Ui

σϕ(Ui).

De plus,∂

∂µϕ(U)=

U

σϕ(U) et

∂

∂σϕ(U)=

U2

σϕ(U).

On a alors :∂

∂µψ(µ,σ)=

ϕ(U)[U(1−φ(U))−ϕ(U)]

σ(1−φ(U))2

et∂

∂σψ(µ,σ)=

Uϕ(U)[U(1−φ(U))−ϕ(U)]

σ(1−φ(U))2=Ui

∂

∂µϕ(Ui)

Chapitre 5

Estimation Bayésienne

Rappelons rapidement le principe de l’analyse bayésienne. Disposant de la loi de l’observa-

tion f (x|θ), on se donne une loi a priori sur θ, π(θ), supposée refléter une idée que l’on a sur le

comportment de ce paramètre. L’ingénieur, l’expert peut avoir par exemple une idée de l’ordre de

grandeur du taux. On calcule la loi a posteriori de θ sachant x, π(θ|x) en appliquant la formule de

Bayes :

π(θ|x)=f (x|θ)π(θ)

f (x)où f (x) est la loi marginale encore appelée prédictive

f (x)=∫

f (x|θ)π(θ)dθ.


D’une manière générale, l’expression de la loi de l’observation est :

f (x|λ)=λk exp{−λTTT

}

Pour la loi exponentielle, FIABILITIS calcule un estimateur de Bayes du taux de défaillance pour

une loi a priori uniforme et pour une loi a priori de type gamma.

Loi a priori uniforme

Considérons le cas où la loi a priori sur λ est une loi uniforme sur un intervalle [a,b].

La prédictive est :

f (x)=1

b−a

∫b

aλk exp

{−λTTT

}dλ=

Γ(b;k+1,TTT)−Γ(a;k+1,TTT)

(b−a) TTTk+1

où : Γ(x;α,β)=βα

Γ(α)

∫x

0tα−1 e−βt dt est la fonction gamma incomplète. L’estimateur de Bayes du

taux de défaillance sous l’hypothèse d’un coût quadratique est alors :

E(λ | x)=k+1

TTT



31

32 CHAPITRE 5. ESTIMATION BAYÉSIENNE

demande à l’utilisateur de donner une plage de valeurs pour le taux de défaillance.

On donne ci-dessous un exemple de calcul avec les données de la table 7, pour différentes plages

de valeurs :

Plage de valeurs a priori (10−4) [1 ; 2] [0,1 ; 3] [4 ; 9]Estimation du taux (10−4) 1,785 1,722 4,302

Loi a priori Gamma

On se donne une loi a priori gamma de paramètres (α,β) sur λ dont on rappelle l’expression

ci-dessous :βα

Γ(α)λα−1exp{−βλ , α,β> 0.

La loi jointe est alors :βα

Γ(α)λn+α−1 exp{−λ(β+TTT)}

et la prédictive s’écrit :

f (x)=βα

Γ(α)

∫+∞

0λn+α−1 exp{−λ(β+TTT)}=

βα

Γ(α)Γ(n+α)

(TTT +β)n+α

Ainsi, la loi a posteriori a pour expression :

(TTT +β)n+α

Γ(n+α)λn+α−1e−λ(TTT+β)

On reconnaît une loi gamma de paramètres (n+α,TTT +β)

Elicitation des paramètres de la loi a priori

demande à l’utilisateur de proposer un ordre de grandeur pour le MTTF et un

écart-type s. Il calcule alors des valeurs pour (α,β) les paramètres de la loi a priori, en resolvant

le système composé des deux équations : α/β= MTTF et α/β2 = s2

Exemple : Si l’utilisateur entre une valeur de MTTF égale à avec un écrat-type .

effectuera le calcul de l’estimateur avec α= et β= pour obtenir


On considère une nouvelle paramétrisation de la la loi de Weibull en posant : η=αβ.

L’expression générale de la loi de l’observation tout type de censure confondu devient alors :

f ((x,δ) | α,η)=(β

η

)k n∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

exp{−Σ(β)η

}

où k =n∑

i=1(1−δi) et Σ(β)=

n∑

i=1xβ

i.

33

β connu

On se donne une loi a priori gamma-inverse sur η de paramètres (a,b). Cette loi est une loi

conjuguée et la loi a posteriori a pour expression :

π(η | (x,δ))∝1

ηk+a+1exp

{−Σ(β)+b

η

}.

Il s’agit d’une loi gamma-inverse de paramètres (k+a,Σ(β)+b) et on en déduit l’estimateur suivant

de η :

η=Σ(β)+b

k+a.

Ellicitation des paramètres de la loi a priori

effectue le calcul avec des valeurs (a,b) déduites d’un ordre de grandeur m du

MTTF proposé par l’utilisateur avec son écart-type s.

β étant connu, calcule [m/Γ(1+1/β)]β une estimation moyenne de η, que l’on note :

η(0) et approxime la dispersion en calculant (ηmax −ηmin)/2 que l’on note s(η), où ηmin. et ηmax.

sont respectivement [(m− s)/Γ(1+1/β)]β et [(m+ s)/Γ(1+1/β)]β. Il obtient alors des valeurs pour a

et b en résolvant le système :

b

a−1= η(0)

b2

(a−1)2(a−2)= s(η)2

dont les solutions sont : a = 2+η(0)2/s(η)2 et b = η(0)(1+η(0)2/s(η)2).

Par exemple, si l’utilisateur entre β = 0,9 et une durée de bon fonctionnement moyenne de 5

unités de temps à ± 2 unités près, calcule η(0) = [5/Γ(1+1/0,9)]0,9 = 4,408 et s(η) ={[7/Γ(1+1/0,9)]0,9 − [3/Γ(1+1/0,9)]0,9}/2= 1,592.

La solution du système est alors : a = 9,66 et b = 38,201. Et l’estimation de η, pour les données

(??) sera : η= (56+38,201)/(15+9,666)= 5,819

β inconnu

On suppose que les paramètres α et β sont indépendants et on se donne :

• une loi pour α de la forme :

π(η)=1ηc

1[0,+∞)(η)

• une loi a priori uniforme pour β :

π(β)=1

b−a1[a,b](β)


On pose :n∑

i=1(1−δi)= k.

La loi jointe a alors pour expression :

f ((x,δ) | β,η) π(β) π(η)∝βk

ηk+c

n∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

exp{−Σ(β)η

}1[a,b](β)

et la prédictive est telle que :

f (x) ∝∫b

aβk

n∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

(∫+∞

0

1

ηk+cexp

{−Σ(β)η

}dη

)dβ

∝ Γ(k+ c−1)∫b

aβk

n∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

/Σ(β)k+c−1dβ

On notera :

ϕ j,l(x)=∫b

aβk+l

n∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

/Σ(β)k+c− jdβ

La prédictive s’exprimera donc par :

f (x)∝Γ(k+ c−1) ϕ1,0(x) (5.1)

On pose :

Q(β)=βk ∏n

i=1 x(1−δi)(β−1)i

ϕ1,0(x)

et la loi a posteriori de η s’écrit :

π(η|x)=1

Γ(k+ c−1) ηk+c

∫b

aQ(β)exp

{−Σ(β)η

}dβ

Sous l’hypothèse d’un coût quadratique, un estimateur de Bayes est l’espérance mathématique de

la loi a posteriori. Il vient :

E(η|x) =∫+∞

0

1

Γ(k+ c−1) ηk+c−1

∫b

aQ(β)exp

{−Σ(β)η

}dβ dη

=∫b

a

Q(β)Γ(k+ c−1)

(∫+∞

0

1

ηk+c−1exp

{−Σ(β)η

}dη

)dβ

=∫b

a

Q(β)Γ(k+ c−1)

Γ(k+ c−2)

[Σ(β)]k+c−2dβ

=1

k+ c−2

∫b

a

Q(β)

[Σ(β)]k+c−2dβ

Et,

E(η|x)=ϕ2,0(x)/ϕ1,0(x)

k+ c−2

35

Le calcul de la loi a posteriori de β conduit au résultat suivant :

π(β|x)=βk ∏n

i=1 x(1−δi)(β−1)i

ϕ1,0(x) [Σ(β)]k+c−11[a,b](β)

ou encore

π(β|x)=Q(β)/[Σ(β)]k+c−1

En effet,

π(β|x) =1

f (x)

∫+∞

0

βk

ηk+c

n∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

exp{−Σ(β)η

}1[a,b](β) dη

=1

f (x)βk

n∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

1[a,b](β)∫+∞

0

1

ηk+cexp

{−Σ(β)η

}dη

= βkn∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

1[a,b](β)1

f (x)

∫+∞

0tk+c−2 exp

{−Σ(β)t

}dt

= βkn∏

i=1x

(1−δi)(β−1)i

1[a,b](β)1

f (x)

Γ(k+ c−1)

[Σ(β)]k+c−1

En remplaçant f (x) par (5.1), on obtient le résultat. L’espérance mathématique et estimateur de

Bayes sous l’hypothèse d’un coût quadratique, sera :

E(β|x)=ϕ1,1(x)

ϕ1,0(x)

5.0.10 Loi Log-normale

On considère deux formes de loi a priori sur (µ,σ2). Une première forme combine une loi

normale et une loi gamma-inverse, la seconde est une loi non informative. Pour cette dernière, on

utilisera un échantillonneur de Gibbs qui permettra en particulier, de traiter le cas des censures.

Cas complet

L’expression de la loi de l’observation est :

f (x| µ,σ)=1

p2πσn/2

(n∏

i=1

1xi

)exp

{−

1

2σ2

n∑

i=1(log xi −µ)2

}(5.2)

On utilise la loi a priori proposée par [21], de la forme : π(µ,σ2) = π(µ|σ2) π(σ2) avec π(µ|σ2) une

loi normale de paramètres (m,τσ2) et π(σ2) une loi gamma inverse de paramètre (α,β).

La loi jointe est alors

f (x,µ,σ2) = f (x|µ,σ2) π(µ|σ2) π(σ2)

∝1

σn/2exp

{−

n∑

i=1

(log xi −µ)2

2σ2

}1σ

exp{−

(µ−m)2

2τσ2

}1

σ2(α+1)exp

{−

β

σ2

}


On obtient la loi conditionnelle de µ sachant σ2 en calculant :

1

2σ2

[ n∑

i=1(log xi −µ)2 + (µ−m)2/τ

]

=1

2σ2

{(n+1/τ) µ2 −2

( n∑

i=1log xi +m/τ

)µ+

n∑

i=1(log xi)

2 +m2/τ}

∝(n+1/τ)

2σ2

{µ2 −2

(S1 +m/τ

n+1/τ

)µ+

(S1 +m/τ

n+1/τ

)2−

(S1 +m/τ

n+1/τ

)2}

+1

2σ2

{ n∑

i=1(log xi)

2 +m2/τ}

∝(n+1/τ)

2σ2

{µ−

(S1 +m/τn+1/τ

)}2+

1

2σ2

{ n∑

i=1(log xi)

2 +m2

τ−

(S1 +m/τ)2

n+1/τ

}

où S1 =n∑

i=1log xi.

On en déduit que :

• la loi a posteriori de µ sachant σ2 est une loi normale de paramètres :

([S1 +m/τ(n+1/τ)

],

σ2

(n+1/τ)

)

• la loi a posteriori de σ2 est une loi gamma-inverse de paramètres :(n

2+α , β+

12

{ n∑

i=1(log xi)

2 +m2

τ−

(τS1 +m)2

nτ+1

}).

On pose M =τS1 +m

(nτ+1), A =

n

2+α et B =β+

12

{ n∑

i=1(log xi)

2 +m2

τ−

(τS1 +m)2

nτ+1

}.

Si on retient comme estimateurs de Bayes des paramètres, les espérances a posteriori, il vient :

µ= M et σ2 = B/(A−1).

Elicitation des paramètres de la loi a priori

On rappelle que le MTTF pour une loi log-normale est égal à e µ+σ2et que la variance est égale

à (eσ2 −1) e2µ+σ2

.

calcule m, τ, α et β à partir d’une valeur du MTTF proposée par l’utilisateur et d’une

incertitude sur cette valeur donnée par un écart-type s.

On écrit alors le système d’équations :

MTTF = eµ+σ2

s2 = (eσ2 −1) e2µ+σ2

qui conduit aux expressions suivantes pour µ et σ2 :

µ= log MTTF − 12 log(1+ s2e−2log MTTF )

σ2 = log(1+ s2e−2log MTTF )

37

On pose : σ2(t)= log[1+ s2e−2log(MTTF+t)].

On prendra alors :

m = log MTTF +σ2(0)

2.

On observe que σ2 est à valeurs dans [σ2(−s) ; σ2(s)] et on pose τσ2(0) = (σ2(−s)+σ2(s))/2, on en

déduit : τ= (σ2(−s)+σ2(s))/2σ2(0).

Si σ2 suit une loi a priori gamma-inverse, on a : E(σ2)=β/(α−1) et V ar(σ2)=β2/[(α−1)2(α−2)].

On pose alors :

σ2(0)=β

α−1et

σ2(−s)+σ2(s)2

=β2

(α−1)2(α−2).

On en déduit :

α= 2+[

2σ2(0)

σ2(−s)−σ2(s)

]2

et β= (α−1)σ2(0).

Exemple – Avec les données ??). On a fixé τ= 1.

A priori EstimationMTTF Ecart-type µ σ2

40 30 4,140 0,13240 5 4,149 0,08470 5 4,173 0,07570 20 4,172 0,080

100 50 4,183 0,096100 10 4,188 0,083

EMV 4,169 0,084

Loi non informative

On considère une loi non informative [28] pour (µ,σ2) de la forme :

π(µ,σ2)∝1σ

.

On a alors l’expression de la loi a posteriori :

π(µ,σ | x)∝1

σn+1 exp

{−

1

2σ2

n∑

i=1(log xi −µ)2

}(5.3)

que l’on peut mettre sous la forme :

π(µ,σ | x)∝1

σn+1 exp{−

n

2σ2

[(µ−ℓ)2 +ℓ2 −ℓ

2]}(5.4)

avec ℓ=1n

n∑

i=1log xi et ℓ2 =

1n

n∑

i=1(log xi)

2.

On voit alors apparaître la décomposition suivante de (5.4) en :

π(µ |σ2, x) ∝ exp{−

n

2σ2 (µ−ℓ)2}

(5.5)

π(σ2 |µ, x) ∝1

(σ2)(n−1)/2+1exp

{−

n[(µ−ℓ)2 +ℓ2 −ℓ2]/2

σ2

}(5.6)


La densité (5.5) correspond à une loi une loi normale de paramètres (ℓ, σ2/n) et (5.6) correspond

à une loi inverse-gamma de paramètres (a,b) avec : a = (n−1)/2 et b = n[(µ− ℓ)2 + ℓ2 − ℓ2]/2.

On peut alors appliquer un algorithme de Gibbs pour obtenir des réalisations de (µ,σ) en procé-

dant de la manière suivante :

σ2(0)

(q)

µ(q+1) ∼N (ℓ,σ2(q))

z (a,b)

a = (n−1)/2 b = n[(µ− ℓ)2 + ℓ2 − ℓ2]/2

σ2(q+1) = 1/z

Exemple

Cas des données censurées

Dans le cas de données censurées, on peut utiliser la stratégie décrite précédemment en ajou-

tant une étape qui consistera à simuler les données censurées.

On a l’algorithme suivant :

(µ(0),σ(0))

(q+1)

x′

(µ(q),σ(q)) [x∗,+∞[ x∗

µ(q+1) ∼N (ℓ,σ2(q))

z (a,1/b)

a = (n−1)/2 b = n[(µ− ℓ)2 + ℓ2 − ℓ2]/2

σ2(q+1) = 1/z

Chapitre 6

ALT : Essais Accélérés

6.1 Généralités

La technique d’essai en Step-Stress consiste à soumettre un ensemble d’éléments, à une

contrainte dont on fait varier le niveau progressivement par pallier. Si la durée de l’essai est

fixée, on parle d’essai de type I. Si on fixe le nombre d’événements que l’on attend d’atteindre pour

mettre fin à l’essai, on parle d’essai de type II. Dans les deux cas, les durées observées sont cen-

surées à doite. Des éléments peuvent être progressivement retirés au cours de l’essai ; on parle

de censure progressive. Lorqu’il n’y a qu’un changement de niveau de contrainte, l’essai est dit

en step-stress simple. Si plusieurs niveaux de contraintes interviennent, on parle d’essais en

step-stress multiple. En général, les données issues d’un essai en step-stress sont groupées.

Les instants de défaillance précis ne sont pas connues et seul le nombre de défaillances dans

un intervalle de temps à un niveau de contrainte donné est observé. La littérature concernant

l’analyse des données d’essais en step-stress est abondante. Dans [11], on donne un panorama des

différentes approches. Les récents développements portent l’estimation pour une loi log-normale

[2].

6.2 Loi par morceaux et taux de défaillance étagé

Considérons un essai en m pas. On entre dans le pas i à la date τi−1 et la température est

portée à Ti. La durée du pas i sera ∆i = τi −τi−1.

On supposera que, dans chaque pas, le taux de défaillance est constant. On a donc une représen-

tation de ce dernier par une fonction étagée. Chaque étage correspondant au taux de défaillance

à un niveau de stress donné.

λ(y)=m∑

j=1λ j1[τ j−1,τ j)(y) (6.1)

où λ j est une constante dans l’intervalle [τ j−1,τ j[ qui dépend du niveau de stress s j dans ce même

intervalle.

39

40 CHAPITRE 6. ALT : ESSAIS ACCÉLÉRÉS

La fonction de fiabilité est alors obtenue en écrivant :

R(y)= exp{−

∫y

0λ(t)dt

}(6.2)

et il vient pour tout y ∈ [τi−1,τi), i = 1, · · · ,m+1 :

R(y)= exp{−

[i−1∑

j=1λ j∆ j +λi(y−τi−1)

]}(6.3)

En dérivant cette expression, on obtient la densité de la loi de probabilité de la durée, pour tout

y ∈ [τi−1,τi), i = 1, · · · ,m+1 :

f (y/λ)=λi exp{−

[i−1∑

j=1λ j∆ j +λi(y−τi−1)

]}(6.4)

On dira que la durée suit une loi exponentielle par morceaux.

Remarquons que cette expression apparaît comme un cas particulier du modèle d’exposition cu-

mulatif (cumulative exposure model) introduit par Nelson [19].

6.3 L’observation

Considérons un essai en step-stress sur N objets. Dans chaque intervalle de temps [τi−1;τi],

on observe le nombre ki de défaillances et un nombre ci d’éléments censurés (retirés).

Les nombres ni présents dans le i eme intervalle vérifient la relation :

ni = ni−1 −ki−1 − ci−1 , i = 2, · · · ,m.

avec n1 = N, τ0 = 0 et τm = C, fin de l’essai.

On a :

cm = N −m∑

j=1k j −

m−1∑

j=1c j et N =

m∑

j=1k j +

m∑

j=1c j

Le nombre d’éléments présents dans l’intervalle [τi−1,τi) s’exprime encore par :

ni =m∑

j=i

(k j + c j)= N −i−1∑

j=1(k j + c j).

Les données observées sont groupées et les instants exacts de défaillance ne sont pas connus.

Xiong & Ji [30] traitent ce cas particulier. On peut cependant raisonner sur des durées et noter

ces dernières yi, j, i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · ,ki + ci. Les yi, j censurés seront égale à ∆i et on pourra

tirer au hasard des valeurs entre τi−1 et τi avec une loi uniforme par exemple, pour les durées

yi, j se réalisant. On peut également ce que nous ferons ici considèrer le milieu des intervalles.

6.4. ESTIMATION DU TAUX DE DÉFAILLANCE ÉTAGÉ 41

6.4 Estimation du taux de défaillance étagé

On utilise la méthode du maximum de vraisemblance.

La vraisemblance s’écrit :

L(λ)∝m∏

i=1

ni∏

ℓ=1[ f (yi,ℓ/λ)]δi,ℓ[R(yi,ℓ/λ)]1−δi,ℓ (6.5)

où δi, j est l’indicateur de censure et vaut 1 si la durée est effectivement observée.

En remplaçant par (6.4) et (6.3), on obtient :

L(λ)∝m∏

i=1λ

ki

iexp {−λiTTTi} (6.6)

où ki =∑ni

ℓ=1δi,ℓ et TTTi =∑ki

l=1(yi,l −τi−1)+ (ni −ki)∆i (voir appendix 1).

En maximisant le logarithme de cette quantité, on obtient les estimateurs du maximum de vrai-

semblance des λi :

λi =ki

TTTi

, i = 1, · · · ,m. (6.7)

La forme de l’estimateur du taux de défaillance obtenu avec(6.7) ne garantit pas la monotonie. On

peut alors adopter la stratégie suivante [22] qui consiste à, si λi−1 > λi, poser :

λi = λi−1 +λ j − λi−1

j− i+1(6.8)

où j > i est le plus indice tel que λ j > λi.

Cette stratégie est valable tant qu’il existe une valeur de λ supérieure. Si ce n’est pas le cas, on

complète en calculant la moyenne des composantes croissantes

6.5 Step-Stress en température

6.5.1 Accélération

Dans le cas des essais en température [8], on considère un modèle d’Arrhenius et la rela-

tion entre le taux de défaillance à la température Ti et le taux de défaillance à la température

standard, T0, est décrite par :

λi = exp{−

Ea

K

(1Ti

−1

T0

)}·λ0 (6.9)

K étant la constante de Boltzmann et Ea, l’énergie d’activation.

En posant xi =−1/K[1/Ti −1/T0], (6.9) devient : λi = exp {Eaxi}λ0.

Il s’agit d’estimer Ea et λ0.


6.5.2 Estimation

Deux méthodes sont envisageables.

• La première méthode se décline en deux étapes. On calcule l’estimateur du maximum de

vraisemblance du taux de défaillance (6.7). Puis, on effectue la régression sur le modèle

log λi = Eaxi + logλ0 , i = 1, · · · ,m. (6.10)

• La seconde méthode consiste à calculer directement les estimations du maximum de vrai-

semblance des paramètres en résolvant les équations de vraisemblance.

Regression

On adopte la notation vectorielle : x = (x1, . . . , xm)′ et logλ= (logλ1, . . . , logλm)′. Les estimateurs

des moindres carrés de Ea et λ0 sont alors :

Ea = cov(x, log λ)/var(x) (6.11)

λ0 = exp{log λ− Eax

}(6.12)

où log λ et x sont respectivement les moyennes des vecteurs logλ et x.

Exemple 1 – Considérons un essai en 10 pas, chaque pas ayant une durée d’une semaine, la

température variant de 120◦ à 240◦. Les données et les éléments de calcul sont consignés dans le

tableau ci-dessous.

TABLE 6.1 – Exemple de calcul du taux de défaillance

T(◦C) ni ki ci λi (h−1) xi log λi

120 31 0 0 0.000106293 9.415 -9.149140 31 0 2 0.000212585 10.845 -8.456160 29 0 0 0.000318878 12.143 -8.051180 29 2 1 0.000425170 13.326 -7.763190 26 5 0 0.001266464 13.880 -6.672200 21 5 0 0.001608752 14.410 -6.432210 16 3 1 0.001654716 14.918 -6.404220 12 3 0 0.001700680 15.405 -6.377230 9 0 0 0.006802721 15.873 -4.990240 9 9 0 0.006916683 16.323 -4.974

On calcule alors x = 13,6537 et log λ=−6,8725, et en appliquant les formules 6.11 et 6.12, il vient

Ea = 0,6297 eV et λ0 = 1,91227.10−7 h−1 qui correspond à MTTF ≈ 597 années.

6.5. STEP-STRESS EN TEMPÉRATURE 43


En remplaçant λi dans 6.6 par 6.9, on obtient l’expression suivante de la log-vraisemblance :

L(Ea,λ0)∝m∏

i=1exp {kiEaxi}λ

ki

0 exp {−exp(Eaxi)λ0TTTi} (6.13)

et la log-vraisemblance est :

logL(Ea,λ0)∝ Ea

m∑

i=1kixi + logλ0

m∑

i=1ki −λ0

m∑

i=1exp(Eaxi) TTTi (6.14)

On pose :

k =m∑

i=1ki,

U(Ea)=m∑

i=1exp(Eaxi)TTTi,

U ′(Ea)=m∑

i=1xi exp(Eaxi)TTTi,

U ′′(Ea)=m∑

i=1x2

i exp(Eaxi)TTTi.

Les équations de vraisemblance sont

∂ logL (Ea,λ0)

∂Ea

=m∑

i=1kixi −λ0U ′(Ea)= 0

∂ logL (Ea,λ0)∂λ0

=1λ0

m∑

i=1ki −U(Ea)= 0

⇐⇒

λ0 =k

U(Ea)

φ(Ea)= 0

où φ(Ea)=m∑

i=1kixi −k

U ′(Ea)U(Ea)

.

On obtient une solution de l’équation φ(Ea)= 0 en appliquant un algorithme de Newton-Raphson.

Une estimation de Ea est obtenue après quelques itérations de la routine suivante :

E(p+1)a = E

(p)a −

ϕ(E(p)a )

ϕ′(E(p)a )

where

ϕ′(Ea)=−k ·[

U ′′(Ea)U(Ea)−U ′(Ea)2

U(Ea)2

]

6.5.3 Optimalité

Un ensemble de questions se pose systématiquement au praticien qui souhaite mettre en

oeuvre des essais en step-stress. Combien d’éléments faut-il exposer ? Pendant combien de temps ?

A quels niveaux de contrainte ? Les problèmes d’optimalité de tels essais ont été traités autour

des années 80 par Nelson, Meeker, Miller entre autres (cf. bibliographie). Dans Gouno et al. [12]

et [9], nous proposons des plans d’essais optimaux. La méthode consiste à minimiser la variance

généralisée ; autrement dit à utiliser un critère de D-optimalité.


6.6 Step-Stress en température et humidité

6.6.1 Accélération

Lorsque la contrainte est en humidité et température, on peut considérer un modèle de Peck :

λi =(

HRi

HR0

)ηexp

{−

Ea

K

(1Ti

−1

T0

)}λ0 (6.15)

6.6.2 Estimation

Regression

On note x le vecteur de dimension m dont la i eme composante est xi =−1/K[1/Ti−1/T0] et y le

vecteur de dimension m dont la i eme composante est yi = log(HRi/HR0).

On transforme (6.15) en un modèle linéaire et il vient :

log λ= Aθ+ε

où A = [1 | x | y] est une matrice (m×3) avec 1= (1, . . . ,1)′,

θ = (logλ0,Ea,η) et ε∼N (0,σ2).

L’estimateur des moindres carrés de θ est donné par la formule :

θ = (A′A)−1 A′ log λ.

Exemple 2 – On considère un essai en step-stress de 5 pas sur n = 35 pièces. Chaque pas a une

durée d’une semaine (168 h). Des données sont générées pour un MTTF égal à 25 ans et des

paramètres Ea = 0,4 eV et η= 2,7. On a supposé T0 = 25◦C et HR0 = 50%.

Les conditions et résultats de l’essai sont donnés dans le tableau ci-dessous.

TABLE 6.2 – Exemple de calcul du taux de défaillance

T(◦C) HR(%) λ(10−4) ni ki ci λi (h−1) xi log λi

120 60 3.2218 35 3 3 5.3304 3.6445140 65 4.6365 31 1 2 8.7391 6.5111160 80 9.3902 27 5 0 11.2975 11.3313180 90 17.0557 22 5 1 19.0683 19.0990190 95 25.7411 15 7 0 27.5924 27.4165

6.7. APPROCHE BAYÉSIENNE 45


6.6.3 Optimalité

6.7 Approche Bayésienne

Comme nous l’avons fait remarquer précédemment, l’estimation par maximum de vraisem-

blance ne permet pas de garantir la monotonie du taux de défaillance. Ceci nous a conduit à

envisager une approche bayésienne [7]. En se donnant une loi a priori gamma de paramètres

(αi,βi) sur les λi supposés indépendants, on obtient un estimateur de Bayes de la forme :

λi =ki +αi

TTTi +βi

= pi

ki

TTTi

+ (1− pi)αi

βi

, i = 1, · · · ,m, (6.16)

avec pi = TTTi/(TTTi +βi), i = 1, · · · ,m. L’estimateur obtenu est donc une combinaison convexe

du maximum de vraisemblance et de l’espérance mathématique de la loi a priori. pi peut être

interprété comme un degré de confiance, un niveau de qualité de l’observation. Ceci permet de

calculer une valeur pour βi. A partir de l’expertise du praticien sur l’ordre de grandeur de l’énergie

d’activation Ea, on peut calculer un facteur d’accélération θi dans le pas i en utilisant le modèle

d’Arrhénius et αi peut être choisi en résolvant : αi/βi = θiλi−1.

6.8 Conclusion

Les essais en step-stress ont des applications très larges. En particulier, cette startégie e’ex-

périementation est également utilisé pour étudier la motricité de poissons Greven et al. [13]. La

question de la durée des pas nous on conduit à envisager le problème de la détection de rupture

pour un processus de Poisson non-homogène [10].

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