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Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE

UFR DE GESTION

MATHEMATIQUES APPLIQUEES

A L’ECONOMIE ET A LA GESTION

PARTIE II- ANALYSE

LICENCE 1° année

Cours de Marion GOFFIN

2° semestre

2012-2013


Mathématiques

Partie II- Analyse

Sommaire

Semaine du 4 mars 1ère semaine: Fiches n°1 et n°2

Semaine du 11 mars 2ème semaine: Fiche n°3

Semaine du 18 mars 3ème semaine: Fiche n°4

Semaine du 25 avril 4ème semaine: Fiches n°5 et n°6

Semaine du 1 avril 5ème semaine: Interrogation écrite

Semaine du 8 avril 6ème semaine: semaine pédagogique

Examens de 1ère

session : semaine du 15 avril


Fiche n°1- Ensembles et applications (fonctions)

Notions à réviser :

- ensembles : généralités, opérations sur les ensembles

- relations binaires : relations réflexives, symétriques, antisymétriques,

transitives

- fonctions : généralités, fonctions réciproques, typologie des fonctions

(injections, surjections, bijections), composition des fonctions, ensemble de

définition d’une fonction.

Exercice 1 : Déterminez à chaque fois l’ensemble de définition Df :

a)

b) c)

d)

e) ln

Exercice 2 : Démontrez que la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

x , f(x)= détermine une bijection de sur . Quelles est la bijection réciproque ? (on la notera g)

Exercice 3 :

Soient f(x) = 3x+1 et g(x)=

1- Déterminer l’application réciproque (ou inverse) de la fonction f.

2- Définir les applications composées g f et f g. Que peut-on conclure ?


Fiche n°2- Limites et continuité

Notions à réviser : - limites en un point, limite à droite, à gauche, limites en + et - ,

opérations sur les limites.

- continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par

continuité

- fonction puissance, logarithme, exponentielle

Exercice 1 : Etudiez les limites suivantes :

c)

d)

Exercice 2 : Etude de la continuité d’une fonction numérique réelle

Soit la fonction f telle que f (x)=

1 - Pour quelles valeurs de x, f(x) est-elle définie ?

2 - Calculer

f(x) et

.

3 - Montrer que f est continue sur D = . 4 – Peut-on prolonger par continuité f en x = 0 et x = 1 ?


Fiche n°3- Dérivées et différentielles

Notions à réviser :

- dérivabilité en un point, dérivée à droite, dérivée à gauche, dérivabilité sur

un intervalle - calcul de dérivées

- différentielles

Exercice 1 : Calculez les dérivées suivantes :

a) =(2 4 b) = c) =

+

d) = 3 e) =

f) =

Exercice 2 : Déterminez:

a) L’équation de la tangente à la courbe C d’équation = au point de

coordonnées (0 ;+1)

b) L’équation de la tangente à la courbe C d’équation = au

point de coordonnées (-1 ;0)

Exercice 3 :

Soit f f( )= ,

Déterminez:

- L’ensemble de définition de f,

- L’étude de la continuité,

- La fonction réciproque,

- Le nombre dérivé de f à un point déterminé,

- Le nombre dérivé de la fonction réciproque.

Exercice 4 : Soit f f( )=

1- Quelle est l’expression de la différentielle de

?

2- Quelle est la différentielle de

au point 1 ?

Exercice 5 :

Déterminer la différentielle au point x=1 de la fonction

On suppose que l’on a : déterminez la différentielle de au point t=2.


Fiche n°4- Etude de fonctions

Plan d’étude d’une fonction :

1. Recherche de l’ensemble de définition

2. Recherche de l’ensemble d’étude

3. Etude des limites et de la continuité (aux points où la fonction est non

définie, aux bornes des intervalles, en + et - )

4. Etude de la dérivabilité et construction du tableau de variations de f (avec

étude des points remarquables : points à tangente horizontale, points pour

lesquels la fonction n’est pas définie, pas dérivable…)

5. Compléments : concavité, convexité…

6. Représentation graphique

Exercice :

Etudiez les fonctions suivantes selon le plan d’étude indiqué ci-dessus :

b)

c)


Fiche n°5- Primitives et intégrales

Exercice 1 :

Considérez la fonction

(étudiée dans la fiche 4, d) de l’exercice).

Calculez l’aire (et et faites la représentation graphique)de la partie définie par :

Exercice 2 : Calculez les intégrales suivantes :

a)

b)

c)

d)


Fiche n°6- Théorème des accroissements finis et développements

limités

Exercice 1 : Déterminez, quand x tend vers 0, la partie principale des expressions :

a)

b)

c)

Exercice 2 : Soit la fonction f définie de la façon suivante :

1. Donnez son développement limité d’ordre 2, au voisinage de 0.

2. En déduire l’équation de la tangente en 0.

Exercice 3 : Déterminez, au voisinage de , le développement limité à l’ordre n des fonctions

suivantes :

a)

, =0 et

b) et

c)

, et

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