Farra v. Cours de Theory Des Rais (Institut de Physique Du Globe de Paris, 1989)
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COURS DE THEORIE DES RAIS
V�eronique FARRA
D�epartement de Sismologie
Institut de Physique du Globe de Paris
4 Place Jussieu, BP89
F75252 Paris cedex 05
1
SOMMAIRE
- I. Equations des rais
- II. Approche variationnelle- introduction m�ethodes hamiltoniennes
- III. Th�eorie des rais paraxiaux
- IV. Pr�esence de discontinuit�es
- V. Calcul de l'amplitude
- VI. Expression du signal donn�ee par la th�eorie des rais (Retour �a l'elasticit�e)
- VII. Validit�e de la th�eorie des rais - Introduction du volume de Fresnel
2
INTRODUCTION
Nous nous int�eresserons dans ce cours au calcul des sismogrammes synth�etiques dans des milieux complexes au
moyen des m�ethodes asymptotiques. Je parlerai essentiellement de la th�eorie des rais.
Depuis une vingtaine d'ann�ees, les sismogrammes synth�etiques ont �et�e utilis�es de fa�con routini�ere pour inter-
pr�eter les donn�ees sismiques et sismologiques.
Il y a en gros trois cat�egories de m�ethodes pour calculer les sismogrammes synth�etiques:
- Les m�ethodes num�eriques calculant dans l'espace temps (Di��erences �nies, �el�ements �nis) qui sont des m�eth-
odes ch�eres, dont les r�esultats sont di�ciles �a interpr�eter et poss�edant des probl�emes de dispersion num�erique.
- Les m�ethodes spectrales (r�e ectivit�e, nombre d'onde discret, etc) qui sont valables pour les milieux strati��es
verticalement.
- Les m�ethodes asymptotiques �a haute fr�equence (th�eorie des rais et ses extensions, WKBJ, Maslov, Fais-
ceaux gaussiens, etc) qui ont l'int�eret de permettre l'�etude de milieux lat�eralement h�et�erog�enes et d'interpr�eter
physiquement les r�esultats. Le probl�eme consiste dans la limite de validit�e de ces m�ethodes.
Les ondes de volume peuvent etre mod�elis�ees de fa�con remarquable par la th�eorie des rais. La plupart des
ondes de volume se propagent avec peu de dispersion et de distorsion et les e�ets non obtenus par la th�eorie des
rais ne sont importants que dans des r�egions limit�ees spatialement. Les mod�eles classiques de terre de Je�reys et
Bullen et de Gutemberg furent obtenus en utilisant essentiellement la th�eorie des rais. De meme la plupart de
l'interpr�etation p�etroli�ere est bas�ee sur des concepts tir�es de la th�eorie des rais. La th�eorie des rais est d'autre
part utilis�ee en tomographie (r�e exion et transmission), pour la localisation des s�eismes et des explosions dans les
mines. L'interpr�etation des sismogrammes obtenus en milieu complexe utilise les concepts tir�es de la th�eorie des
rais. De meme, la th�eorie des ondes de surface peut aussi etre d�evelopp�ee par une m�ethode proche de la th�eorie
des rais.
Pour des raisons de simplicit�e, je d�evelopperai la th�eorie des rais pour l'�equation acoustique. Les d�eveloppements
complets pour les ondes �elastiques pourront etre trouv�es dans Cerveny et al (1977).
3
EQUATIONS DES RAIS
INTRODUCTION DES EQUATIONS
Introduisons l'�equation acoustique:
r2�� 1
c2
@2�
@t2= �F (t;x) (I:1)
ou �(t;x) d�ecrit la pression, F (x; t) est la source dont le support est localis�e dans l'espace et c(x) est la vitesse
des ondes acoustiques. Dans le domaine fr�equentiel, on obtient l'equation d'Helmoltz, soit:
r2b� +!2
c2b� = 0 (I:2)
o�u b�(!;x) est la transform�ee de Fourier en temps de �(t;x). Nous utiliserons la convention suivante pour la
transform�ee de Fourier:
bf(!) = Z 1�1
f(t)ei!tdt
f(t) =1
2�
Z1
�1
bf (!)e�i!td! (I:3)
La solution de l'�equation (I.2) est g�en�eralement non analytique quand la vitesse c(x) est fonction de la position
x. On introduit l'ansatz de la th�eorie des rais qui consiste �a chercher la solution sous la forme
b�(!;x) = bf(!)A(!;x)ei!T (x) (I:4)
o�u bf (!) d�ecrit la transform�ee de Fourier de la forme temporelle de la source, A(!;x) est l'amplitude et T (x)
est la phase qui d�ecrit la propagation.
L'approximation asymptotique �a haute fr�equence consiste �a chercher A(!;x) sous la forme:
A(!;x) =
1Xj=0
Aj(x)
(�i!)j (I:5)
Ce qui consiste �a s�eparer les variables d'espace et !. En inserrant les expressions (I.4) et (I.5) dans l'�equation
(I.2) et en regroupant les termes de meme degr�e en !, on obtient les expressions suivantes:
-Le terme en !2 donne l'�equation dite Eikonal:
4
(rT )2 = c�2 (I:6)
- Le terme en ! donne l'�equation de transport:
2rA0:rT + A0r2T = 0 (I:7)
Les autres termes du d�eveloppement en s�erie donnent les termes d'ordre sup�erieur, soient
2rAi:rT + Air2T = r2
Ai�1
En pratique la th�eorie des rais arrete le d�eveloppement �a l'ordre z�ero, soit
b�(!;x) = bf (!)A0(x)ei!T (x) (I:8)
et n�ecessite de r�esoudre les �equations (I.6) et (I.7). A haute fr�equence, l'onde se propage sans distorsion avec le
temps de propagation T (x) et une amplitudeA(x). Pour des fr�equences �nies, les autres termes du d�eveloppement
permettent une distorsion du pulse. En g�en�eral, on les n�eglige du fait de la di�cult�e de les calculer.
Exemple 1:
La solution 3D pour un point source dans un milieu homog�ene est
b�(!;x) = 1
4�Rei! R
c0 (I:9)
o�u R est la distance de l'observateur �a la source, c0 est la vitesse du milieu. Cette expression est bien de la
forme recherch�ee par la th�eorie des rais.
Dans le domaine temporel, l'expression du champ est:
�(t;x) =1
4�R�(t � R
c0
) (I:10)
Physiquement, l'onde se propage �a la vitesse constante c0 sans se d�eformer. Seule, l'amplitude varie avec la
courbure du front d'onde.
Exemple 2:
5
La solution exacte de l'�equation acoustique pour une source ligne dans un milieu homog�ene est:
�(t;x) =1
2�
H(t � rc0)q
t2 � rc0
2(I:11)
o�u r est la distance du r�ecepteur �a la source ligne. L'expression dans l'espace des fr�equences est
�(!;x) =i
4H
10(!r
c0
) (I:12)
o�u H10 est la fonction de Hankel d'ordre z�ero. L'expression asymptotique de H1
0 pour les grandes valeurs permet
d'�ecrire �a haute fr�equence:
�(!;x) =i
4
r2c0
�!rei(! r
c0�
�4)
Cette expression peut etre �ecrite sous une forme ressemblant �a l'expression (I.4):
�(!;x) = [1
2�
r�
!ei�4 ]
rc0
2rei! r
c0 (I:13)
La forme temporelle de cette expression asymptotique est
�(t;x) =1
2�
rc0
2r
H(t � rc0)q
t � rc0
(I:14)
La comparaison de la solution exacte (I.11) et de la solution asymptotique �a haute fr�equence (I.14) montre que
celle-ci est valable au voisinage du temps d'arriv�ee du front d'onde. En e�et au voisinage du temps d'arriv�ee,
t = rc0, on a e�ectivement:
rt2 � r
c0
2
=
r2r
c0
rt � r
c0
et l'expression haute fr�equence est correcte.
Bref aper�cu sur le cas �elastique
L'�equation des ondes dans un milieu �elastique est beaucoup plus compliqu�ee que dans un milieu acoustique.
N�eanmoins la meme technique peut etre utilis�ee pour obtenir une solution asymptotique. Dans un milieu �elastique,
6
deux types d'onde se propagent, les ondes P et S. Soit u(x; t) le champ de d�eplacement v�eri�ant l'�equation des
ondes. La th�eorie des rais recherche la solution sous la forme:
bu(x; !) = bf (!)A(!;x)ei!T (x)
Par comparaison avec l'�equation (I.4), A(!;x) est le vecteur amplitude.
L'approximation asymptotique �a haute fr�equence consiste �a chercher A(!;x) sous la forme:
A(!;x) =
1Xj=0
Aj(x)
(�i!)j
En inserrant cette forme de la solution dans l'�equation des ondes, on obtient un syst�eme d'�equations:
[(rT )2 � 1
�2]A0 � rT = 0
[(rT )2 � 1
�2]A0 �rT = o
o�u �2 = �+2��
et �2 = �
�sont les vitesses des ondes P et S, respectivement. � et � sont les param�etres de Lam�e
et � est la densit�e.
Ce syst�eme a 2 solutions, l'une correspondant �a l'onde P , soit:
(rT )2 = 1
�2; A0 �rT = o;
l'autre correspondant �a l'onde S:
(rT )2 = 1
�2; A0 � rT = 0:
Le d�eplacement du �a l'onde P est polaris�e parall�element �a la direction de propagation du front d'onde P ; le
d�eplacement du �a l'onde S est dans le plan perpendiculaire �a la direction de propagation du front d'onde S.
Les �equations de transport correspondantes sont plus compliqu�ees que celles obtenues dans le cas acoustique.
Cependant la solution obtenue est en fait tr�es semblable.
Interpr�etation physique de l'eikonal
L'�equation eikonal:
(rT )2 = c�2
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est valable en acoustique comme en �elastique. Dans le cas �elastique, la vitesse c est �egale �a la vitesse de l'onde
P ou de l'onde S.
Les surfaces T (x) = t sont les surfaces d'�egale phase et sont appel�ees front d'onde, quel que soit le type de
source. Connaissant le front d'onde �a l'instant t, on peut calculer le front d'onde �a l'instant t + dt, connaissant
rT en tout point du front d'onde (utilisation du principe de Huygens). Dans la pratique on n'int�egre pas tout �a
fait l'eikonal de cette fa�con l�a. De plus, nous ne sommes pas forc�ement interess�es �a connaitre T (x) en tout point.
Nous pr�ef�erons calculer les courbes perpendiculaires en tout point aux fronts d'onde. Ces courbes sont appel�ees
rais (Figure). La tangente au rai est d�e�nie par son vecteur unitaire:
t =dx
ds(I:15)
o�u s est l'abscisse curviligne mesur�ee le long du rai. Par d�e�nition, t est parall�ele �a rT , soit:
dx
ds= crT
Introduisons le vecteur lenteur:
p = rT (I:16)
On obtient la premi�ere �equation des rais:
dx
ds= cp (I:17)
Une autre �equation est n�ecessaire pour d�e�nir enti�erement un rai. On a:
dp
ds=
drTds
= rdT
ds
Compte tenu du fait que
dT
ds= t:rT =
1
c(I:18)
on obtient la deuxi�eme �equation des rais:
8
dp
ds= r1
c(I:19)
L'eikonal (I.6) nous donne d'autre part:
p2 =1
c2= u
2 (I:20)
o�u nous avons not�e u la lenteur du milieu d�e�nie comme l'inverse de la vitesse. L'int�egration des �equations
(I.17) et (I.19) permet d'obtenir les rais et d'int�egrer l'eikonal le long des rais en utilisant l'�equation (I.18).
Le rai est d�e�ni enti�erement par son vecteur canonique y(s) = (x(s);p(s)). La position du rai x(s) �a l'abscisse
s v�eri�e une �equation di��erentielle du deuxi�eme ordre:
d
ds(1
c
dx
ds) = r1
c
L'introduction du vecteur lenteur p(s) permet de diminuer l'ordre des �equations di��erentielles mais augmente
l'espace des param�etres. On peut remarquer que les �equations des rais ressemblent aux �equations d'Hamilton
pour une particule dans un champ de potentiel.
G�eom�etrie des rais:
La premi�ere �equation des rais (I.17) est une �equation de normalisation. La deuxi�eme �equation nous permet
d'obtenir la courbure du rai et sa torsion. En e�et, introduisons le rep�ere de Fr�enet (t(s);n(s);b(s)) le long du
rai (Figure). Le vecteur t est tangent au rai, le vecteur n est le vecteur normal �a la courbe dans le plan principal
qui contient localement cette courbe. Le vecteur b est orthogonal au plan principal. La courbure locale K de la
courbe est d�e�nie par l'�equation suivante:
dt
ds= Kn
Des �equations des rais (I.17)et (I.19), on en d�eduit:
dt
ds=
d
ds(cp) =
1
c(@c
@st�rc)
Compte tenu de la d�e�nition du vecteur normal n, on en d�eduit que le plan principal du rai (d�e�ni par les 2
9
vecteurs t et n) contient le vecteur rc. Donc,
dt
ds= �1
c
@c
@nn
et
K = �1
c
@c
@n(I:21)
Le rai a donc tendance �a se tourner dans la direction oppos�ee au gradient de vitesse normal.
Notant b le vecteur binormal au rai, la torsion T (s) du rai est d�e�nie par:
dn
ds= �Kt+ Tb
Les expressions pr�ec�edentes nous permettent d'�ecrire:
n =1
cK(@c
@st�rc)
On en d�eduit
T (s) = � 1
cK
drcds
:b (I:22)
La torsion des rais est nulle pour des courbes planes, ce qui est le cas dans les milieux homog�enes, strati��es
verticalement ou les milieux �a sym�etrie sph�erique, dans les probl�emes �a 2 dimensions.
Retour aux �equations des rais:
Nous sommes pass�es d'une �equation aux d�eriv�ees partielles non lin�eaire du premier ordre (I.6) �a un syst�eme
d'�equations di��erentielles qui ne sont pas ind�ependantes. On a en e�et:
dx
ds= cp;
dp
ds= r1
c(I:23)
et
jjpjj= 1
c(I:24)
10
Pour r�esoudre ce probl�eme, on peut soit laisser tomber une des �equations du syst�eme di��erentiel soit int�egrer
le syst�eme et v�eri�er simultan�ement la pr�ecision du calcul en testant le r�esidu jjpjj � 1c.
Comment int�egrer ces �equations dans la pratique? On peut les int�egrer num�eriquement (Runge Kutta, etc) ou
bien discr�etiser le milieu en �el�ements dans lesquels les �equations sont int�egrables analytiquement.
Exemples de milieux dans lesquels les �equations des rais sont int�egrables:
- Milieu homog�ene c(x) = c0
Les rais correspondants sont des droites et ont pour expression:
p(s) = p(s0)
x(s) = x(s0) + c0p(s0)(s � s0)
- Milieu �a gradient constant de la vitesse c(x) = c0 + �z:
L'int�egration des �equations (I.23) donne:
px(s) = px(s0) ; py(s) = py(s0)
o�u px; py sont les composantes horizontales du vecteur lenteur. La projection horizontale du vecteur lenteur est
donc conserv�ee le long du rai. Tout rai est donc contenu dans un plan vertical. Pla�cons nous dans ce plan vertical
en prenant pour axe oy l'axe perpendiculaire �a ce plan. Nous avons donc dans ce syst�eme de coordonn�ees:
px(s) = px(s0) ; py(s) = 0
Introduisons l'angle � du vecteur lenteur p avec la verticale. Alors
px(s) =sin�(s)
c; pz(s) =
cos�(s)
c
La courbure du rai K donn�ee par l'�equation (I.22)
K =1
c
dc
dzsin� = �px(s) = �px(s0)
est constante le long du rai. Tout rai est donc un arc de cercle de rayon R = (�px)�1. Les centres de ces cercles
sont situ�es sur une ligne horizontale en zc = � c0�. Il est donc tr�es facile de tracer un rai dans un milieu �a gradient.
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En utilisant l'angle � et l'expression d�ds
= K = 1R, on obtient l'expression analytique d'un rai d�e�ni par l'angle
initial �0 en z = z0:
x(�) = x(�0) +R(cos�0 � cos�)
z(�) = z(�0) + R(sin� � sin�0)
Le temps de parcours est donn�e par:
T (�) = T (�0) +1
�log(
tan�2
tan�02
)
- Milieu �a gradient constant de la lenteur au carr�e
Vitesse du milieu variant dans une seule direction:
De meme que dans un milieu �a gradient constant, il est facile de montrer que le rai est contenu dans un plan
vertical. Dans ce plan vertical, les �equations des rais s'�ecrivent:
dx
ds= cpx ;
dz
ds= cpz;
px = px(s0) ; pz = �pu2(z)� p2x
(I:25)
o�u u(z) = 1c(z)
est la lenteur et le signe de pz d�epend de la direction de propagation du rai (montante ou
descendante). On a donc:
dx
dz=
px
pz= � pxp
u2(z) � p2x
(I:26)
qui s'int�egre facilement sous la forme:
X(z; px) = X(z0; px) +
Z z
z0
pxpu2(z) � p2x
dz (I:27)
o�u X(z; px) est la distance horizontale parcourue par le rai caract�eris�e par son param�etre px, �a la profondeur
z. A la profondeur zp, telle que px = u(zp), le rai pr�esente un point tournant. L'int�egrant dans (I.27) pr�esente
une singularit�e cependant int�egrable. Au del�a de ce point tournant, on obtient:
X(z; px) = X(z0; px) +
Z zp
z0
pxpu2(z) � p2x
dz +
Z zp
z
pxpu2(z) � p2x
dz (I:27b)
On peut aussi obtenir le temps de parcours le long du rai:
12
T (z; px) = T (z0; px) +
Z z
z0
u2(z)p
u2(z)� p2x
dz (I:28)
et au del�a du point tournant:
T (z; px) = T (z0; px) +
Z zp
z0
u2(z)p
u2(z) � p2x
dz +
Z zp
z
u2(z)p
u2(z) � p2x
dz (I:28b)
Ces int�egrales doivent etre int�egr�ees num�eriquement et ont �et�e tr�es utilis�ees en g�eophysique fondamentale pour
d�eterminer la structure de la terre. On peut remarquer (Figure) que dans un milieu o�u la vitesse ne d�epend que
d'une seule variable, les rais peuvent pr�esenter des �gures tr�es compliqu�ees comprenant des caustiques ou des
zones d'ombre.
Dans le cas o�u la vitesse ne d�epend que d'une seule variable, on a donc trouv�e une repr�esentation explicite des
expressions des rais qui a une forme int�egrable. On notera pour la suite du cours qu'une repr�esentation explicite
des rais est une repr�esentation pour laquelle deux des composantes de position (ici (x,y)) sont fonctions d'une
troisi�eme (ici z).
Vitesse du milieu o�u la vitesse varie suivant le rayon de la Terre c(r) :
Les �equations des rais sont:
dr
ds= cp
dp
ds= r1
c
(I:29)
Introduisons les composantes de p = prer + p�e� + p�e�. On peut montrer que:
d
ds(p� r) = 0 (I:30)
Le rai reste donc dans un plan passant par la source et le centre de la Terre. On peut toujours s'assurer que ce
plan d�e�nisse un m�eridien et imposer p�0 = 0. L'�equation (I.30) a pour cons�equence: rp� = Cte = r0p�0 . D'autre
part,
dr
ds=
dr
dser + r
d�
dse�
La premi�ere �equation de (I.29) nous permet d'�ecrire:
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d�
dr=
1
r
p�
pr
�equation qu'on int�egre facilement sous la forme:
�(r; p�0) � �0 =
Z r
r0
1
r
p�pu2 � p
2�
dr (I:31)
o�u nous avons pos�e u = 1cet pris en compte l'eikonal, c'est �a dire la relation p
2r + p
2� = u
2. L'expression du
temps de parcours est donn�ee par:
T (r; p�0)� T0 =
Z r
r0
u2p
u2 � p2�
dr (I:32)
Nous avons donc trouv�e une repr�esentation explicite des rais sous une forme int�egrable dans le cas d'un milieu
o�u la vitesse ne d�epend que de r.
En faisant le changement de variable:
c(z) = c(r)r0
r
� = r0(� � �0)
z = r0ln(r0
r)
px =r
r0p�
On obtient
�(z; px) =
Z z
z0
pxpu2 � p2x
dz
o�u u(z) = 1c(z)
. De meme,
T (z; px) = T (z0; px) +
Z z
z0
u2p
u2 � p2x
dz
Ces expressions sont les memes que celles obtenues dans le milieu c(z) �equivalent.
Int�egration des �equations des rais dans le cas g�en�eral
Dans le cas g�en�eral o�u le milieu poss�ede des variations lat�erales, deux approches peuvent etre utilis�ees:
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- On peut d�ecomposer le milieux en �el�ements �nis dans lesquels les �equations des rais sont int�egrables ana-
lytiquement. Des �el�ements tr�es utilis�es sont les triangles (2D) et les t�etra�edres (3D). Cette m�ethode permet de
tracer les rais rapidement mais a l'inconv�enient de cr�eer des artefacts num�eriques li�es �a la discr�etisation du milieu
(caustiques et zones d'ombre tr�es petites).
- Les �equations des rais peuvent d'autre part etre int�egr�ees num�eriquement en utilisant les m�ethodes classiques
(Runge Kutta, m�ethode pr�edicteur correcteur). Dans ce cas, le milieu est d�e�ni par interpolation au moyen de
fonctions splines.
Conditions initiales- conditions aux limites
Pour int�egrer les �equations des rais, il est n�ecessaire de connaitre les conditions initiales (x(s0);p(s0)) Le
probl�eme avec conditions initiales connues est simple �a r�esoudre. En g�en�eral, on a un probl�eme avec conditions
aux limites: Les positions de la source et du r�ecepteur sont connues mais pas la direction du rai �a la source;
on cherche les rais orthogonaux �a une surface donn�ee et passant par des r�ecepteurs donn�es, ... Ce probl�eme est
beaucoup plus compliqu�e �a r�esoudre car il est non-lin�eaire et le nombre de solutions est inconnu. En e�et, le
probl�eme peut ne pas avoir de solution (zone d'ombre) ou plusieurs solutions (zone de triplications).
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II. APPROCHE VARIATIONNELLE
Dans le chapitre pr�ec�edent, nous avons obtenu les �equations des rais par une interpr�etation g�eom�etrique de
l'Eikonal. Il existe en fait 2 autres approches pour obtenir les �equations des rais:
- La m�ethode des caract�eristiques (Courant et Hilbert)
- L'approche variationnelle �a partir du principe de Fermat.
II.1 Approche variationnelle
Parmi les trajectoires reliant 2 points x0 et x1, un rai est une trajectoire qui rend extr�emal le temps de parcours
mesur�e le long de cette courbe. On d�e�nit le temps de parcours le long d'une courbe x(s) par:
�(x; s0; s1) =
Z s1
s0
u(x(s))ds (II:1)
o�u s est l'abscisse curviligne. Le principe de Fermat dit que les rais sont les trajectoires qui rendent extremum
la fonction �. Au voisinage de ces trajectoires, on peut �ecrire:
��(x0;x1) = 0 (II:2)
Supposons que les courbes soient d�ecrites par un param�etre �. Le long d'une de ces courbes, le temps de
parcours est donn�e par l'expression:
�(x; �0; �1) =
Z �1
�0
u(x(�))jj _x(�)jjd� (II:3)
soit,
�(x; �0; �1) =
Z �1
�0
L(x(�); _x(�))d� (II:4)
o�u L(x; _x) = u(x) jj _xjj. Les courbes extr�emales v�eri�ent les �equations d'Euler (voir (A.3) dans APPENDICE
A), soit:
d
d�(r _xL) = rxL (II:5)
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o�u on a not�e r _xL le vecteur dont les coordonn�ees sont @L@ _xi
. Utilisant l'expression du Lagrangien, on obtient de
fa�con explicite:
d
d�(u
_x
jj _xjj) = ru jj _xjj (II:6)
En utilisant l'abscisse curviligne s le long de la courbe, on obtient:
d
ds(udx
ds) = ru (II:7)
expression �equivalente aux �equations des rais (I.23) si on pose:
p = udx
ds= r _xL
Ce r�esultat montre l'�equivalence entre la formulation variationnelle bas�ee sur le principe de Fermat et le syst�eme
des �equations des rais. On notera T le temps de parcours le long des rais:
T (x0;x1) = �(rai;x0;x1)
Remarque: Si on modi�e la position du point �nal x1 de dx, on obtient une variation du temps de parcours
(voir �equation (A.4) dans l'appendice A) �egale �a:
dT = r _xL:dx
On obtient donc:
rT = r _xL = udx
ds= p (II:8)
Ceci montre l'orthogonalit�e des rais et des fronts d'onde (en milieu isotrope).
II.2 M�ethode des caract�eristiques
II.2.1 Introduction de l'Hamiltonien complet (syst�eme de repr�esentation implicite des rais)
Posons H(s;x;p) =c(x)
2[p2 � u
2]. L'eikonal (I.20) implique
17
H(s;x;p) = 0: (II:9)
L'�equation (II.9) est une �equation aux d�eriv�ees partielles du 1er ordre suivie par le temps T (Rappelons que
p = rT ). Pour int�egrer ce type d'�equation, on peut utiliser la m�ethode des caract�eristiques. Les courbes
caract�eristiques de cette �equation sont solutions du syst�eme d'�equations di��erentielles suivant:
dx
ds= rpH
dp
ds= �rxH
(II:10)
On peut montrer que ces �equations sont les memes que les �equations des rais (I.23). De fa�con g�en�erale, on peut
montrer que pour une param�etrisation donn�ee � le long du rai, les �equations du rai sont donn�ees par
dx
d�= rpH
dp
d�= �rxH
(II:11)
avec l'Hamiltonien
H(�;x;p) =f(x)
2[p2 � u
2]; (II:12)
o�u f(x) est une fonction positive. Pour certaines formes de la vitesse, il peut etre int�eressant d'utiliser d'autres
types de param�etrisation, par exemple le temps de parcours de l'onde pour lequel le param�etre � est donn�e par
d� = cds (dimension km2s�1). Un rai est donc d�e�ni enti�erement par son vecteur canonique y(�) = (x(�);p(�))
et les �equations di��erentielles (II.11).
Le temps de parcours peut etre calcul�e le long du rai �a l'aide de l'expression suivante:
T (x(�0);x(�1)) =
Z �1
�0
p � _xd�
L'approche d�evelopp�ee ci dessus est tout �a fait g�en�erale et ind�ependante du param�etre � utilis�e. L'approche
Hamiltonienne a l'int�eret de diminuer l'ordre des �equations par rapport �a l'approche Lagrangienne (II.5) en
introduisant le param�etre suppl�ementaire: le vecteur lenteur p. La d�emontration e�ectu�ee dans ce chapitre est
valable en milieu isotrope. En fait, on peut obtenir en milieu anisotrope g�en�eral, l'�equation Eikonal qui peut etre
relativement compliqu�ee (polynome de degr�e 6).
18
II.2.2 Introduction de l'Hamiltonien r�eduit (syst�eme de repr�esentation explicite des rais)
Le syst�eme d'�equations di��erentielles (II.11) n'est pas compos�e d'�equations ind�ependantes. On a en e�et
l'�equation eikonale (II.9) �a v�eri�er. Il peut etre parfois int�eressant de param�etrer les rais de fa�con explicite par
une des coordonn�ees du systeme de repr�esentation. Par exemple, dans un syst�eme de coordonn�ees cart�esiennes,
le rai peut etre d�ecrit par la courbe X(z); Y (z), o�u z d�esigne la profondeur du point.
Pla�cons nous �a 2 dimensions (la g�en�eralisation �a 3 dimensions est imm�ediate). Supposons que le syst�eme de
coordonn�ees utilis�e soit not�e (�; q) et que le rai soit d�ecrit par la repr�esentation q = Q(�). Par exemple, en
syst�eme cart�esien, un rai peut etre repr�esent�e par l'�equation x = X(z). D'autres syst�emes peuvent etre utilis�es
dans la pratique comme par exemple le syst�eme de coordonn�ees sph�eriques ou polaires.
Ecrivons dans ce syst�eme de coordonn�ees curvilignes l'expression du temps de parcours le long d'une courbe
(II.1), soit:
�(x0;x1) =
Z x1
x0
u(x(s))ds =
Z �2
�1
u(x)ds
d�d� =
Z �2
�1
L(q(�); _q(�); �)d� (II:13)
o�u le Lagrangien L(q; _q; �) est d�e�ni par:
L(q; _q; �) = u(�; q)qh2� + h2q _q
2: (II:14)
Dans l'expression (II.14), h� et hq sont les facteurs d'�echelle du syst�eme de coordonn�ees curvilignes �; q.
L'Hamiltonien correspondant, dit Hamiltonien r�eduit, peut etre trouv�e de la fa�con suivante. On pose par analogie
avec la m�ecanique classique:
p =@L
@ _q= u
h2q _qq
h2� + h2q _q2
L'Hamiltonien est par d�e�nition
H(q; p; �) = p _q � L(q; _q; �) = �h�su2 � p2
h2q
(II:15)
Les �equations des courbes extr�emales (les rais) sont donn�ees par:
19
dq
d�=
@H
@p
dp
d�= �@H
@q
(II:16)
Un rai est donc d�e�ni par son vecteur canonique (q(�); p(�)) qui v�eri�e le syst`eme d'�equations di��erentielles
(II.16).
Les r�esultats de l'Appendice A nous donnent de plus:
@T
@�= �H;
@T
@q= p (II:17)
On d�eduit de (II.17) que p
hqn'est autre que la composante du vecteur lenteur p suivant la courbe de coordonn�ees
q. Rappelons que le vecteur lenteur est d�e�ni par p = rT = h�1�
@T@�e� + h
�1q
@T@qeq. De meme, � H
h�n'est autre
que la composante du vecteur lenteur suivant la courbe de coordonn�ees �. Le syst�eme (II.16) est compos�e de 2
�equations en dimension 2, et de 4 �equations en dimension 3.
Le temps de parcours peut etre calcul�e le long du rai d�e�ni par son vecteur canonique (q(�); p(�)) par l'expression
d�eduite de (II.13) en utilisant le param�etre p plutot que le param�etre _q:
T (q(�2)) = T (q(�1)) +
Z �2
�1
h�u2q
u2 � p2
h2q
d� (II:18)
Exemple 1: en syst�eme cart�esien, le rai est param�etr�e par la courbe x = X(z). L'Hamiltonien r�eduit (II.14)
correspondant est
H(x; px; z) = �pu2 � p2x = �pz
Les �equations des rais dans ce syst�eme de coordonn�ees sont:
dx
dz=
@H
@px=
pxpu2 � p2x
dpx
dz= �@H
@x=
upu2 � p2x
@u
@x
Si la vitesse ne d�epend que de la profondeur, alors px est constant et on peut int�egrer facilement la premi�ere
�equation sous la forme:
x = X(z; px) =
Z z
z0
pxpu2 � p2x
dz +X(z0; px)
20
De meme, le temps de parcours est donn�e par:
T (x(z); z) = T (x(z0); z0) +
Z z
z0
u2p
u2 � p2x
dz (II:18)
On retrouve les �equations de Bullen (I.27) obtenues dans le premier chapitre.
Exemple 2: en syst�eme de coordonn�ees sph�eriques, le rai param�etr�e par r est d�ecrit par le vecteur
(�(r); �(r); p�(r); p�(r)). L'Hamiltonien r�eduit correspondant est:
H(�; �; p�; p�; r) = �su2 � p2�
r2� p
2�
r2sin2�= �pr
On obtient de meme les �equations des rais obtenues dans le chapitre I, lorsque la vitesse ne d�epend que de r.
Conclusion
Nous avons d�evelopp�e une approche hamiltonienne du trac�e de rais. Quel en est l'int�eret?
- Cela permet de diminuer l'ordre des �equations
- Les expressions sont valables dans n'importe quel syst�eme de coordonn�ees.
Deux approches ont �et�e d�evelopp�ees:
L'hamiltonien complet H(x;p; � ) = 12f(x)[p2 � u
2(x)]
L'Hamiltonien " r�eduit" : H(q1; q2; p1; p2; �) = �h�qu2 � p1
hq1
2 � p2hq2
2
La premi�ere approche permet de d�evelopper des algorithmes de trac�e de rais rapides car les �equations sont
simples �a int�egrer analytiquement pour des formes particuli�eres de la vitesse. Pour des milieux complexes, le
milieu peut etre d�ecompos�e en �el�ements simples �a l'int�erieur desquels le trac�e de rais est analytique (Virieux et
al, 1988).
La deuxi�eme approche comporte moins d'�equations. On a cependant diminu�e la simplicit�e des �equations en
faveur du nombre d'�equations �a r�esoudre. Cette approche est int�eressante lorque la vitesse d�epend d'une direction
(par exemple c(z) ou c(r)).
21
III. Th�eorie des rais paraxiaux
Quel que soit le type de l'Hamiltonien choisi (complet ou r�eduit), on peut d�ecrire tout rai par son vecteur
canonique y(�) = (x(�);p(�) qui v�eri�e le syst�eme suivant:
dx
d�= rpH
dp
d�= �rxH
(III:1)
Ce syst�eme d'�equations est non lin�eaire. Pour int�egrer ce syst�eme, il est n�ecessaire d'avoir des conditions aux
limites: 6 en dimension 3, 4 en dimension 2.
Lorque les conditions initiales sont donn�ees (x(�0);p(�0)), on peut utiliser des m�ethodes num�eriques (Runge-
Kutta, pr�edicteur-correcteur,...) ou semi-analytiques (d�ecomposition du milieu en blocs) pour int�egrer ces �equa-
tions. Dans la pratique, on a g�en�eralement des conditions aux limites �x�ees (le rai doit passer par 2 points
donn�es) et le probl�eme est plus di�cile �a r�esoudre car le syst�eme (III.1) n'est pas lin�eaire. De plus, du fait de
cette non-lin�earit�e, il peut y avoir plusieurs solutions (rais) au probl�eme ou bien aucune solution (zone d'ombre).
Une m�ethode pour e�ectuer le trac�e de rai entre 2 points consiste �a tracer un rai �a partir de la source et �a
ajuster son angle de tir pour arriver �a la station. Pour cela, il est int�eressant d'avoir les expressions des rais au
voisinage d'un rai dit de r�ef�erence. On utilise une m�ethode de perturbation pour d�evelopper les �equations de ces
rais voisins, rais dits paraxiaux par analogie avec l'optique g�eom�etrique. Dans la suite de ce chapitre, j'utiliserai
l'Hamiltonien complet pour d�evelopper les �equations des rais paraxiaux; le meme type de d�eveloppement peut
etre e�ectu�e avec l'Hamiltonien r�eduit.
22
IV. R�e exion-transmission d'une onde �a une discontinuit�e
Toute m�ethode utilis�ee pour calculer des sismogrammes synth�etiques est incompl�ete si elle ne prend pas en
compte les interfaces structurales du milieu. A l'int�erieur de la terre, la vitesse et ses d�eriv�ees partielles ne sont
pas des fonctions lisses des coordonn�ees et ces "discontinuit�es" de vitesse jouent un role important en sismologie
et en prospection sismique. La topographie de ces interfaces n'est g�en�eralement pas horizontale, ce qui a pour
cons�equence des anomalies locales du mouvement du sol. La th�eorie des rais est un outil int�eressant pour l'�etude
de la propagation dans des structures complexes car elle permet de prendre en compte des variations lat�erales du
milieu.
IV.1 Conditions initiales des rais r�e �echis ou transmis
Implicitement dans le d�eveloppement asymptotique que nous avons fait pr�ec�edemment, nous avons suppos�e le
milieu continu. En pr�esence de discontinuit�es de vitesse, il est n�ecessaire de v�eri�er les conditions aux limites
sur l'interface et de r�einitialiser le probl�eme. En acoustique, il y a cr�eation d'une onde r�e �echie et d'une onde
transmise. Le champ �i de l'onde incidente est d�evelopp�ee sous la forme (I.4):
b�i(!;x) = ei!Ti(x)
1Xj=0
Aj(x)
(�i!)j (IV:1)
Dans le milieu incident, nous avons le champ total suivant:
b�1 = b�i + b�r (IV:2)
o�u �r d�esigne le champ de l'onde r�e �echie. Dans le milieu transmis, nous avons une onde transmise d�edinie
par son champ:
b�2 = b�t (IV:3)
Les champs �r et �t satisfaisant aussi l'�equation des ondes, on peut de meme les exprimer sous la forme:
b�r(!;x) = ei!Tr(x)
1Xj=0
Bj(x)
(�i!)j ;b�t(!;x) = e
i!Tt(x)
1Xj=0
Cj(x)
(�i!)j
Les conditions de continuit�e du champ sur l'interface,
23
b�1 = b�2
ont pour cons�equence l'�egalit�e des phases de l'onde incidente, de l'onde r�e �echie et de l'onde transmise en tout
point situ�e sur l'interface:
Ti(xI) = Tr(xI) = Tt(xI) (IV:4)
L'�egalit�e des phases le long de l'interface a pour cons�equence l'�egalit�e des d�eriv�ees tangentielles, soit:
n�rTi = n�rTr = n�rTt (IV:5)
o�u n est le vecteur local normal �a l'interface. Soit, en utilisant les vecteurs lenteurs:
n� pI = n� pR = n� pT
o�u pI, pR et pT d�esignent les vecteurs lenteurs des ondes incidente, r�e �echie et transmise au point d'incidence
sur l'interface. En termes g�eom�etriques, la projection du vecteur lenteur sur le plan tangent �a l'interface est donc
la meme pour les 3 rais (incident, r�e �echi et transmis). Ceci n'est autre que la loi de Descartes (connue aussi sous
le nom de loi de Snell). Pla�cons nous dans le plan d'incidence (plan contenant la direction du vecteur lenteur de
l'onde incidente pI et le vecteur normal �a l'interface). Au point d'incidence, les vecteurs lenteurs pR et pT des
ondes r�e �echie et transmise sont situ�es dans ce plan. Introduisons les angles �I , �R et �T des vecteurs lenteurs des
ondes incidente, r�e �echie et transmise avec l'axe normal �a l'interface (Figure). Alors, on a les relations suivantes:
�R = �I ;sin�T
cT=
sin�I
cI
o�u cI et cT sont les vitesses des ondes incidente et transmise, respectivement.
Comment construire les rais de l'onde r�e �echie ou transmise, dont les fronts d'onde v�eri�ent les conditions aux
limites (IV.4) sur l'interface?: La loi de Snell-Descartes nous donne la projection sur l'interface du vecteur lenteur
au point d'�emergence du rai (r�e �echi ou transmis). La composante normale est obtenue en utilisant l'eikonal
(I.20) de chacune des ondes en ce point.
24
V. Calcul de l'amplitude
Nous savons maintenant tracer un rai et calculer grosso modo le temps de parcours au voisinage de ce rai. Nous
voulons maintenant calculer l'amplitude A(x). L'amplitude est solution de l'�equation de transport qui est une
�equation aux d�eriv�ees partielles.
2rA:rT + Ar2T = 0 (V:1)
Cependant, �a l'aide des �equations des rais, l'�equation de transport peut etre r�eduite �a une �equation di��erentielle
ordinaire. Utilisant la d�e�nition du vecteur lenteur p = rT = ut, o�u t est le vecteur tangent au rai et u la lenteur,
on obtient:
2udA
ds+ Ar2
T = 0 (V:2)
soit
d
ds(logA) = � c
2r2
T (V:3)
V.1 Calcul du laplacien r2T :
Pour calculer le laplacien, on utilise les coordonn�ees li�ees aux rais (�; �1; �2): (�1; �2) sp�eci�ent le rai et � d�ecrit
la position du point sur le rai par le temps de parcours mis par l'onde pour atteindre le point. Par exemple pour un
point source, �1 et �2 peuvent etre les angles polaires d�ecrivant la direction initiale du rai �a la source. Tout point
x peut etre d�ecrit par un triplet (�; �1; �2). Pour (�1; �2) �x�e, x(�; �1; �2) d�ecrit un rai; pour � �x�e, x(�; �1; �2)
d�ecrit le front d'onde. Un tube de rais est un ensemble de rais compris entre (�01 ; �01 + d�1) et (�
02 ; �
02 + d�2).
Un �el�ement de volume dV est d�ecrit dans le syst�eme de coordonn�ees (�; �1; �2) par:
dV = J0 d� d�1 d�2 (V:4)
o�u J0 est le jacobien
J0 = det(@x
@�;@x
@�1;@x
@�2);
25
qu'on peut �ecrire aussi:
J0 = cjj @x@�1
� @x
@�2jj
car le vecteur @x@�
est parall�ele �a @x@�1
� @x@�2
et sa norme est �egale �a la vitesse c.
Introduisons la quantit�e J = J0c. J d�1 d�2 d�ecrit la surface intercept�ee par un tube de rais sur le front d'onde.
J est appel�e divergence g�eom�etrique des rais �a l'abscisse consid�er�ee. Consid�erons un tube de rais et prenons un
petit volume s'appuyant sur ce tube et de longueur ds = cd� (Figure). Par application du th�eor�eme de Gauss, on
peut �ecrire:
Z Z Zr2
T dV =
Z ZrT �n dS
o�u le vecteur n est le vecteur normal �a la surface. En utilisant le th�eor�eme de la valeur moyenne, on obtient:
Z Z Zr2
T dV = r2TJ0 d� d�1 d�2 = r2
T J ds d�1 d�2
Les bords du tube de rais �etant parall�eles aux rais, l'int�egrale surfacique se r�eduit �a l'int�egrale sur les surfaces
S1 et S2 (Figure):
Z ZrT �n dS =
Z ZS2
1
c2dS �
Z ZS1
1
c1dS = [
J2
c2� J1
c1] d�1 d�2 =
d
ds(J
c) ds d�1 d�2
Utilisant ces 2 expressions, on peut donc �ecrire:
r2T =
1
J
d
ds(J
c)
o�u J est la divergence g�eom�etrique des rais. Quand le tube de rais s'�elargit ou se r�etr�ecit, le laplacien de T
varie comme la d�eriv�ee du logarithme de J. En rempla�cant l'expression du laplacien dans l'�equation de transport,
on obtient
d
ds(logA) = � c
2J
d
ds(J
c)
qu'on peut int�egrer facilement :
26
A(s) = A(s0)
sc(s)J(s0)
c(s0)J(s)(V:5)
L'expression obtenue pour l'amplitude d'ordre z�ero de la th�eorie des rais revient �a supposer que l'�energie est
conserv�ee dans un tube de rai, sans di�usion par les parois du tube. L'amplitude d�epend de la fa�con dont les rais
divergent.
Calcul du facteur J
J'usqu'en 1980, le facteur J �etait calcul�e en tra�cant des rais voisins et en calculant la section du tube de rais
ainsi constitu�e.
27
VI. Signal donn�e par la th�eorie des rais
VI.1 Forme du signal
Prenant en compte l'expression de l'amplitude obtenue dans le chapitre pr�ec�edent, l'expression (I.4) de la th�eorie
des rais est donc donn�ee par:
b�(!;x0;x) = bf (!)sc(s)J(s0)
c(s0)J(s)F (�1; �2)e
i!T (x0;x) (V I:1)
o�u F (�1; �2) d�ecrit la g�eom�etrie de la source et T (x0;x) est le temps de parcours. Dans l'expression (VI.1),
le terme de divergence g�eom�etrique peut s'annuler et meme changer de signe. Ce ph�enom�ene se produit lorsque
le rai a touch�e une caustique. L'expression de la th�eorie des rais n'est pas valable au voisinage d'une caustique.
La th�eorie des rais donne une amplitude in�nie, ce qui est non-physique. Cette singularit�e de la th�eorie des
rais provient de son incapacit�e �a prendre en compte des ph�enom�enes de propagation d�ependant de la fr�equence.
D'autres m�ethodes doivent alors etre utilis�ees pour e�ectuer le calcul au voisinage de la caustique. Pour les rais
ayant touch�e la caustique, la forme du signal subit un d�ephasage et est transform�ee en sa transform�ee de Hilbert.
Si le rai n'a pas touch�e de caustique, la divergence g�eom�etrique J est positive et le champ est donn�e par
�(t;x) = F (�1; �2)
rc
Jf(t � T ) (V I:2)
Si le rai a touch�e une caustique, la divergence g�eom�etrique J devient n�egative et le champ est donn�e par
�(t;x) = F (�1; �2)
rc
jJ jf (t � T ) (V I:3)
o�u f (t) est la transform�ee de Hilbert de f(t).
La transform�ee de Hilbert f (t) d'une fonction f(t) a pour transform�ee de Fourier (dans la convention choisie
dans ce cours) : bf (!) = �i sgn(!) bf (!). Par exemple, la transform�ee de Hilbert de la fonction de Dirac �(t) est
H�(t) = � 1�t. La transform�ee de Hilbert de la fonction
H(t)p(t)
estH(�t)p(�t)
. La transform�ee de Hilbert d'une fonction
f(t) est d�e�ni dans le temps par f = � 1�t
? f , o�u ? d�esigne le produit de convolution.
Sur la caustique, les e�ets d'interf�erence ne sont pas mod�elisables par la th�eorie des rais. D'un cot�e de la
caustique est situ�ee une zone d'ombre o�u aucun rai ne p�en�etre; de l'autre cot�e, en tout point passent 2 rais.
28
Dans la zone d'ombre, nous avons une d�ecroissance exponentielle de l'amplitude; de l'autre cot�e, nous avons des
interf�erences. La th�eorie des rais est cependant valable d�es qu'on s'�eloigne de la caustique.
En fait, le signe de la racine complexe dans (VI.1) n'est pas donn�e par la th�eorie des rais mais par la comparaison
avec des solutions locales. A chaque fois que le rai rencontre une caustique, le facteur J change de signe. La
th�eorie des rais peut etre utilis�ee du moment que la racine carr�ee est correctement calcul�ee. De fa�con g�en�erale,
nous avons:
b�(!;x0;x) = bf (!)s
c(s)
c(s0)jJ(s0)J(s)
jF (�1; �2)ei!T (x0;x)e�i�2KMAHsgn(!) (V I:4)
o�u KMAH est un indice comptant le nombre de fois o�u le rai a touch�e une caustique. L'indice KMAH est
initialement nul, est constant le long du rai entre 2 caustiques et change d'un nombre entier �a chaque caustique.
Pour les ondes de volume, l'indice KMAH augmente d'un nombre �egal �a la dimension perdue par le tube de
rai sur la caustique. Normalement, la section du tube de rais est r�eduit �a une ligne et l'indice KMAH s'accroit
d'une unit�e. Ceci introduit le retard de phase bien connu de �=2. Cependant, le tube de rais peut etre r�eduit �a
un point; Deux dimensions sont perdues dans ce cas et le retard de phase est �.
Introduisons la fonction analytique F (t) = f(t) + i f (t), alors on peut �ecrire le champ sous la forme g�en�erale
suivante:
�(t;x) = F (�1; �2)Re[
rc
JF (t� T )e�i
�2KMAH ]:
Remarquons que nous avons n�eglig�e les termes d'ordre sup�erieur de la th�eorie des rais. Rappelons que nous
avons pos�e:
b�(!;x) = ei!T (x)
1Xj=0
Aj(x)
(�i!)j
Par exemple, le terme A1 v�eri�e une �equation de transport semblable �a celle suivie par A0, soit:
2rA1:rT + A1r2T = r2
A0
soit
29
2udA1
ds+A1
J
d
ds(J
c) = r2
A0
Multiplions les 2 cot�es de l'�equation par 12
pJc, on obtient:
d
ds(
rJ
cA1) =
c
2
rJ
cr2
A0
D�es que la quantit�e A0 aura des variations brutales, le terme A1 deviendra important. Ceci est le cas au
voisinage de l'angle critique par exemple. Les termes d'ordre sup�erieurs d�ecrivent les e�ets de di�raction.
VI.2 Retour �a l'elasticit�e
Les r�esultats sont tr�es semblables �a ceux obtenus en milieu acoustique. A haute fr�equence, il y a s�eparation de
l'onde P et de l'onde S.
Dans un milieu 1D-2D, l'onde P donn�ee par la th�eorie des rais est polaris�ee parall�element �a la direction du
rai. L'onde S peut etre s�epar�ee en une onde SH polaris�ee perpendiculairement au plan d'incidence et une onde
SV polaris�ee dans le plan d'incidence, ces 2 ondes se propageant ind�ependamment. L'onde S peut ne pas etre
polaris�ee de fa�con rectiligne si les 2 ondes ont subi un d�ephasage di��erent. Dans un milieu isotrope, ceci ne peut
se produire que lors de l'int�eraction du rai avec une interface par une r�e exion/transmission surcritique.
Dans un milieu 3D, l'onde S peut etre s�epar�ee en deux ondes se propageant ind�ependamment et dont la direction
de polarisation tourne g�en�eralement autour du rai lorsque l'onde se propage. Ces 2 ondes sont en g�en�eral coupl�ees
aux interfaces.
En r�esum�e, l'expression du d�eplacement u donn�ee par la th�eorie des rais est pour l'onde P:
u(t;x) = tF (�1; �2)Re[
r�s�s
��JF (t� TP (x))]
pour l'onde S:
u(t;x) = [e1F1(�1; �2) + e2F2(�1; �2)]Re[
s�s�s
��JF (t� TS (x))]
o�u t est le vecteur unitaire tangent au rai en x et e1; e2 sont des vecteurs orthogonaux �a t et entre eux et qui
tournent autour du rai �a une vitesse d�ependant de la torsion T du rai (Figure). Utilisons le rep�ere de Fr�enet
(t;n;b), d�ej�a introduit dans le chapitre I. Dans le plan d�e�ni par les 2 vecteurs n et b, on peut �ecrire:
e1 = cos�n + sin�b; e2 = �sin�n + cos�b
30
on montre que d�ds
= T .
VI.3 Pr�esence d'interfaces
La m�ethode de l'optique g�eom�etrique donne une solution �a ce probl�eme en invoquant le principe de local-
it�e. L'approximation d'ordre z�ero suppose qu'en chaque point de l'interface, la r�e exion se passe comme si
l'onde �etait plane et l'interface est remplac�ee par le plan tangent. Ce principe nous permet d'utiliser dans
l'approximation d'ordre z�ero la formule des coe�cients de r�e exion-r�efraction des ondes planes �a une interface
plane dans l'expression de l'amplitude.
En pr�esence d'une interface, nous avons donc cr�eation d'une onde r�e �echie et d'une onde transmise. La conti-
nuit�e du champ sur l'interface nous a permis dans le chapitre IV d'obtenir la loi de Snell-Descartes pour les rais.
De plus, nous devons assur�e la continuit�e de la d�eriv�ee normale (en acoustique) sur l'interface. Nous avons donc
les relations suivantes:
b�I + b�R = b�T ;
@b�I
@N+@b�R
@N=
@b�T
@N
o�u N indique la direction normale �a l'interface.
Introduisons la forme de la solution donn�ee par la th�eorie des rais pour les ondes incidente, r�e �echie et transmise:
b�I = AI(!;x)ei!TI (x); b�R = AR(!;x)e
i!TR(x); b�T = AT (!;x)ei!TT (x)
Dans l'approximation haute fr�equence, on obtient donc au point d'incidence de l'onde sur l'interface:
AR = RAI ; AT = TAI
avec
R =1� Y
1 + Y; T =
2
1 + Y
et Y = uT cos�TuIcos�I
o�u �I et �T sont les angles des vecteurs lenteurs de l'onde incidente et de l'onde transmise avec la normale �a
l'interface.
Les d�eveloppements pr�ec�edents nous permettent d'�ecrire:
31
AR(x) = AR(xI)
scR(x)JR(xI)
cR(xI)JR(x); AT (x) = AT (xI)
scT (x)JT (xI)
cT (xI)JT (x)
o�u JR et JT sont les divergences g�eom�etriques des ondes r�e �echie et transmise respectivement.
D'autre part, sur l'interface, nous avons:
b�I(xI; !) = bs(!)F (�1; �2)scI(xI)JI(xs)
cI(xs)JI (xI)ei!TI(xI)
Les champs r�e �echi et transmis sont donc donn�es par:
b�R(x; !) = bs(!)F (�1; �2)RscI(xI)JR(xI)
cR(xI)JI(xI)
scR(x)J(xs)
cI(xs)J(x)ei!TR(xI);
b�T (x; !) = bs(!)F (�1; �2)TscI(xI)JT (xI)
cT (xI)JI(xI)
scT (x)J(xs)
cI (xs)J(x)ei!TT (xI);
On peut montrer g�eom�etriquement les relations suivantes:
JR(xI) = �JI(xI); JT (xI)
JI(xI)=
cos�t
cos�i
Nous avons donc tous les �el�ements pour calculer les sismogrammes dans des milieux pr�esentant des interfaces.
De fa�con g�en�erale, nous avons:
�(x; t) = F (�1; �2)Re[R
rc
JS(t � T (x))]
o�u R est une constante complexe contenant les produits des coe�cients de r�e exion/transmission et les facteurs
intervenant �a l'interface, J est la divergence g�eom�etrique dont la racine doit etre correctement calcul�ee. Rappelons
qu'au del�a de certains angles (dits critiques), les coe�cients de r�e exion/transmission peuvent etre complexes et
la forme de l'onde est une combinaison de la fonction source s(t) et de sa transform�ee de Hilbert s(t).
Le sismogramme est en fait la somme sur tous les rais allant de la source au r�ecepteur des solutions �el�ementaires
donn�ees ci dessus.
VI.4 Conclusion partielle
Les signaux donn�es par la th�eorie des rais se propagent g�en�eralement sans changer de forme mais en changeant
d'amplitudes. Les changements de forme qui peuvent cependant apparaitre sont dus �a des e�ets locaux comme
32
les caustiques ou des interfaces. On peut aussi introduire l'e�et du �a l'att�enuation dans l'expression donn�ee
par la th�eorie des rais. La th�eorie des rais n'est par valide au voisinage des irr�egularit�es du champ (caustique,
angle critique, zone d'ombre, ..). Le probl�eme de trouver des d�eveloppements asymptotiques du champ dans ces
r�egions n'est pas un probl�eme simple. Une litt�erature importante est consacr�ee �a la recherche de d�eveloppement
asymptotique uniforme qui serait valide partout y compris dans les r�egions singuli�eres. Il est aussi possible
de rechercher des d�eveloppements asymptotiques valables au voisinage d'une singularit�e mais non valables �a de
larges distances. Ces d�eveloppements locaux peuvent etre combin�es �a la th�eorie des rais pour obtenir les ondes
correspondantes. Ceci peut etre une technique int�eressante pour l'�etude d'ondes particuli�eres (comme par exemple
la di�raction �a l'interface manteau-noyau).
33
VII. VALIDITE DE LA THEORIE DES RAIS
Le th�eorie des rais est une approximation haute fr�equence. La longueur d'onde � doit etre donc plus petite
que les autres �echelles du probl�eme (rayon de courbure de l'onde, rayon de courbure des interfaces, �echelle des
h�et�erog�en�eit�es v=jjrvjj, ..). L'�etude d'un certain nombre d'exemples montre que la th�eorie des rais peut cependant
etre appliqu�ee meme dans des situations o�u la longueur d'onde est de l'ordre des longueurs caract�eristiques du
milieu. D'autre part, nous avons n�eglig�e les termes d'ordre sup�erieur : une condition su�sante d'applicabilit�e
devrait d'une fa�con ou d'une autre consid�erer les erreurs accumul�ees dues au fait que l'approximation d'ordre z�ero
n'est pas une solution exacte. Une condition su�sante d'applicabilit�e de la m�ethode est en g�en�eral impossible �a
trouver sauf dans des cas simples. G�en�eralement on compare le terme d'ordre 1, A1, au terme d'ordre z�ero ou
bien on utilise les concepts �el�ementaires de Huygens et de Fresnel sur les interf�erence des ondes secondaires. La
th�eorie des rais n'est pas valable au voisinage de fortes variations de l'amplitude A0.
VII.1 Probl�emes canoniques
Dans cette section, nous allons d�ecrire de fa�con succincte les r�egions dans lesquelles la th�eorie des rais est valide
ou non.
a) Rai normal ou tournant
Ceci est le cas le plus simple. Le milieu ne pr�esente pas de discontinuit�es; le rai et les coe�cients d'amplitude
varient de fa�con lisse. Dans ce cas, la th�eorie des rais est une excellente approximation.
b) Branche inverse
Si les rais se croisent, le coe�cient d'amplitude devient in�ni et la th�eorie des rais ne marche pas. Des m�ethodes
sp�eciales sont n�ecessaires pour mod�eliser au voisinage de la caustique. N�eanmoins, la th�eorie des rais peut etre
utilis�ee au del�a de la caustique si le coe�cient d'amplitude est correctement interpr�et�e.
c) Rais r�e �echis ou transmis
A partir du moment o�u l'interface est lisse et le coe�cient de r�e exion/transmission varie lentement, la th�eorie
des rais peut etre utilis�ee. La d�ecroissance g�eom�etrique est modi��ee par la courbure de l'interface et l'amplitude
par le coe�cient de r�e exion/transmission. Lorsque la r�e exion est totale, ce coe�cient devient complexe, mais
la th�eorie des rais reste valide. La th�eorie des rais n'est pas valable si la forme de l'interface ou le comportement
des coe�cients entrainent des variations discontinues (ou rapides) d'amplitude, par exemple au voisinage du point
34
critique ou en pr�esence de coins.
Nous allons maintenant d�ecrire les ondes de volume non d�ecrites par la th�eorie des rais classique.
d) Rai critique et onde conique
A l'angle critique, le coe�cient de r�e exion a une singularit�e en racine carr�e. Le rai transmis a une amplitude
g�eom�etrique nulle. Le front r�e �echi et le front transmis sont connect�es par un autre front, l'onde conique. Le
th�eorie des rais classique (d'ordre z�ero) ne peut donner l'onde conique. cependant le terme d'ordre 1 dans le
d�eveloppement permet d'obtenir cette onde (Cerveny and Ravindra, 1971). Des fonctions plus compliqu�ees sont
n�ecessaires pour d�ecrire la solution au voisinage de l'angle critique.
e) Caustique
Sur la caustique, la th�eorie des rais n'est pas valide car l'amplitude g�eom�etrique est in�nie. Pr�es de la caustique,
l'amplitude varie de fa�con importante et il y a interf�erence de deux ondes. L'utilisation des termes d'ordre sup�erieur
n'am�eliore pas la solution (ils sont tous in�nis). Il faut utiliser une forme de solution (ansatz) plus compliqu�ee au
voisinage de la caustique (Fonction d'Airy dans le domaine fr�equentiel).
f) Zone d'ombre de type Fresnel
Certaines parties du milieu peuvent cr�eer une discontinuit�e du front d'onde, par exemple lors de la r�e exion sur
une interface de pente discontinue ou lorsque le rai rase l'interface. Quoique l'amplitude g�eom�etrique soit �nie,
la th�eorie des rais n'est pas valide. Deux e�ets sont importants: l'interface peut produire de nouvelles ondes et
des e�ets non g�eom�etriques se produisent au bord de la zone d'ombre. Un exemple typique d'onde se propageant
dans la zone d'ombre d'une interface sont les ondes P et S di�ract�ees a la surface du noyau.
g) Di�raction par un coin
Si la pente de l'interface est discontinue, une onde di�ract�ee est engendree au coin. Une extension de la th�eorie
des rais classique a �et�e propos�ee par Keller (1962) pour mod�eliser ces signaux. La th�eorie des rais est utilis�ee
pour propager les ondes incidentes et di�ract�ee. Un coe�cient d�ependant de la fr�equence est utilis�e pour lier les
amplitudes au point di�ractant.
h) Di�raction par une interface
Si un rai rase une interface, une onde d'interface est cr�e�ee. Cette onde a pour cons�equence de limiter l'amplitude
de l'onde dans la zone d'ombre donn�ee par la fonction de Fresnel. Des m�ethodes asymptotiques locales peuvent
35
etre utilis�ees pour calculer le signal. Pour cela, il est n�ecessaire de r�esoudre les conditions aux limites sur l'interface.
L'amplitude et la vitesse de ces ondes sont d�ependantes de la fr�equence.
i) R�e exion basse fr�equence
Lorsqu'une r�egion pr�esente un fort gradient de vitesse, un signal r�e �echi et un signal transmis sont engendr�es
par cette r�egion lorsque la longueur d'onde du signal est importante devant l'�epaisseur de la r�egion. La prise
en compte de termes d'ordre sup�erieur dans la th�eorie des rais ne permet pas d'engendrer ces signaux de fa�con
ad�equate. G�en�eralement des m�ethodes it�eratives sont utilis�ees (Chapman, 1981).
j) Guide d'onde
Un guide d'onde cr�ee g�en�eralement de nombreuses caustiques. Il y a donc un probl�eme pour utiliser la th�eorie
des rais. Il vaut mieux utiliser une m�ethode de sommation de modes.
VII.2 Echelle-fr�equence : introduction de la zone de Fresnel
Une condition n�ecessaire de l'applicabilit�e de la th�eorie des rais est la suivante: les longueurs caract�eristiques
de l'amplitude A, du vecteur lenteur p et de la vitesse c doivent etre plus grandes que la longueur d'onde �:
L >> �
o�u L = min(L1; L2; L3) et
L1 =A
jjrAjj; L2 = min(jjpjjjjrpjjj); L3 =
c
jjrcjj
Une condition su�sante peut etre obtenue en utilisant les concepts de Huygens et de Fresnel. On peut d�e�nir
un volume autour du rai dit volume de Fresnel. Pour un point source, ce volume est d�e�ni par l'ensemble des
points M situ�es au voisinage du rai et pour lesquels :
jT (S;M ) + T (M;R) � T (S;R)j < Ts
2
o�u S et R d�esignent les points source et r�ecepteur, respectivement. T (S;M ), T (M;R) et T (S;R) sont les temps
de parcours entre les points consid�er�es. Ts d�esigne la p�eriode du signal.
Le volume de Fresnel d�e�nit le rai physique. Les param�etres du milieu et les param�etres de l'onde (vecteur
lenteur, amplitude, polarisation,..) ne doivent pas varier signi�cativement dans une section du volume de Fresnel.
La n�egligence des termes sup�erieurs de la th�eorie des rais a pour cons�equence une limite sup�erieure sur le chemin
parcouru par le rai. On doit v�eri�er :
36
L >>l20
�
o�u l0 est une distance caract�eristique de l'h�et�erog�en�eit�e dans la direction de propagation de l'onde consid�er�ee.
37
APPENDICE A
Soit �a rechercher les courbes extr�emales x(�) de la fonction:
�(�1; �2;x) =
Z �2
�1
L(x(�); _x(�))d� (A:1)
Nous nous placerons pour simpli�er dans un espace �a une dimension. Soit x0(�) une solution du probl�eme.
Consid�erons une perturbation �x(�). La perturbation correspondante de la fonction � est:
�� =
Z �2
�1
[@L
@x�x+
@L
@ _x� _x]d� =
Z �2
�1
[@L
@x� d
d�(@L
@ _x)]�xd� + [
@L
@ _x�x]�2�1 (A:2)
Dans l'�equation (A.2) nous avons utilis�e une int�egration par parties.
1er r�esultat: la courbe perturb�ee passe par les points extr�emes x1 et x2. Alors �x(�1) = �x(�2) = 0. De plus,
x0(�) �etant une solution extr�emale de la fonction �(x1;x2), �� = 0. On en d�eduit que la solution x0(�) v�eri�e
l'�equation d'Euler, soit:
d
d�(@L
@ _x) =
@L
@x
En dimension 3, le r�esultat s'�ecrit sous la forme:
d
d�(r _xL) = rxL (A:3)
o�u rxL et r _xL ont pour coordonn�ees @L@xi
et @L@ _xi
, respectivement.
2me r�esultat:
D�e�nissons le temps de parcours T (x1; x2) entre 2 points x1 et x2 par la valeur de la fonction � calcul�ee pour
la courbe extr�emale liant les 2 points. L'�equation (A.2) nous permet d'�ecrire la relation suivante:
dT
dx=
@L
@ _x
soit, pour un espace �a plusieurs dimensions:
rT = r _xL (A:4)
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