Extrait de la publication… · Christian Gui lpin Maître de Conférence, responsable de...

Extrait de la publication

MANUEL DE CALCUL NUMIRIQUE APPLIQU

Christian Gui lpin Matre de Confrence, responsable de lenseignement des mathmatiques appliques

en matrise de Physique et Applications luniversit Paris VII-Denis Diderot

SCIENCES

7, avenue du Hoggar Parc dActivit de Courtabuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, France


ISBN : 2-86883-406-X

Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous procds, rservs pour tous pays. La loi du 1 1 mars 1957 n'autorisant, aux termes des alinas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les (( copies ou reproductions strictement rserves l'usage priv du copiste et non destines une utilisation collective )), et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, (( toute reprsentation intgrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite D (alina le' de l'article 40). Cette reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit, constituerait donc une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du code pnal.

O EDP Sciences 1999


Avant- p ro pos

Ce livre de calcul appliqu trouve son origine dans un cours dispens aux tudiants de matrise de physique et applications (MPA) luniversit Paris VI1 depuis 1984, ainsi que dans quelques proccupations de recherche au laboratoire.

Ce manuel ne constitue pas proprement parler un cours au sens usuel du mot, et si certains chapitres ont des liens vidents et senchanent naturellement, dautres, plus isols, ont t runis sous forme dannexes pour prserver au mieux lunit, mais leur importance nest pas secondaire.

Lorganisation de cet ouvrage vise une prsentation suffisamment concise et assimilable des algorithmes numriques fondamentaux, dvelopps jusqu leur mise en uvre, de telle sorte quils soient susceptibles daider ltudiant, le chercheur et lingnieur dans lexercice quotidien de leur art : il sagit de pouvoir obtenir des rsultats numriques convenables chaque fois quune mthode analytique fait dfaut.

Pour ce qui concerne certains thormes trs importants, nous nous sommes parfois born les noncer sans les dmontrer, le contraire eut risqu de nous loigner de notre proccupation majeure : le rsultat numrique ; cependant, les indications bibliographiques permettent dobtenir aisment ces dmonstrations qui sont classiques.

Les objectifs poursuivis se situent sur deux plans que lon a coutume de sparer mais qui sont indissociables de notre point de vue : lacquisition dalgorithmes numriques indispensable la rsolution de problmes usuels et la matrise du traitement des donnes exprimentales selon la mthode statistique. Traiter les donnes de lexprience impose lusage de techniques numriques appropries, et lexamen des rsultats entachs derreur et dincertitude impose lusage de la statistique. La propagation des erreurs travers les algorithmes relve dune analyse subtile qui est ternellement omise tant elle est dlicate. Nous avons tent de leffleurer et cest une des raisons qui nous a pouss dvelopper ltude des lois de distribution ainsi que leurs fondements dans une partie qui est davantage dvolue aux statistiques.

De mme quil est impensable de vouloir apprendre jouer du piano la veille de donner un concert, de mme il est impensable de vouloir apprendre lalgorithmique numrique le jour o le besoin simpose. Dans les deux cas, il convient de recourir aux gammes afin dacqurir une solide exprience. En calcul numrique il ny a pas de voie royale, et aucun algorithme nest capable de fournir de rsultats corrects quelles que soient les donnes fournies. I1 est toujours possible de mettre en dfaut une procdure et dobtenir des rsultats abrrants pourvu que lon sen donne la peine ... Un trs bel exemple est tudi loccasion de la rsolution des systmes linaires dpendant dune matrice de Hilbert.

Lexprience pratique prend alors toute sa valeur, et cest ainsi que notre enseignement comporte une sance hebdomadaire de trois heures sur calculateur arithmtique. Peu importe

3 Extrait de la publication

M A N U E L DE CALCUL NUMRIQUE APPLIQU

le langage et la manire, seul le rsultat correct >> compte et ce nest pas une mince affaire que de se faire une opinion sur les erreurs qui entachent les rsultats finals. Ensuite viendront ventuellement se greffer les problmes dlgance et doptimisation.

En aucun cas, cet enseignement na pour but dexplorer et de recenser tous les algorithmes ayant trait un type de problmes. Nous avons voulu prsenter ceux qui se sont montrs paradigmatiques soit sous langle de la simplicit soit sous langle de lefficacit. I1 sagit de construire des programmes que nous aurons soigneusement tests, dont nous connatrons les limites et qui rempliront peu peu notre bote outils.

Pour simplifier, nous dirons que ce livre peut se subdiviser en trois parties savoir : 1. tudes dalgorithmes numriques et leur mise en oeuvre. 2. Analyse statistique des rsultats dexpriences. 3. Annexes, problmes et corrigs. Nous lavons dj dit, les deux premires parties interfrent partiellement, et cest une des

raisons pour laquelle nous avons renonc prsenter un ouvrage o tout ce qui est tudi dans un chapitre sappuie ncessairement sur ce qui a t tabli prcdemment. Par souci dunit nous avons prfr regrouper les titres par centre dintrt. Ainsi, il nous est apparu plus intressant davoir rassembl ltude des polynmes orthogonaux plutt que davoir dispers linformation dans diffrents chapitres concernant linterpolation et lintgration numrique.

I1 aurait t dommage de ne pas avoir abord, ne serait-ce que rapidement, les mthodes de Monte-Carlo dune part, et les problmes mal poss dautre part. Ces domaines illustrent bien la synthse des deux premires parties, dautant plus quils sintgrent remarquablement dans les proccupations des chercheurs et des ingnieurs. Qui, en physique, na pas eu rsoudre numriquement une quation de convolution? Qui na pas tent la rsolution d7un problme au moyen dune simulation?

Pour terminer nous proposons un avant-dernier chapitre constitu dun ensemble de problmes et dexercices qui illustrent quelques usages des mthodes qui ont t prsentes ; ils servent galement clairer quelques points de thorie qui seraient venus alourdir le cours sils avaient t intgrs dans les divers chapitres : on montre par exemple que le coefficient de conformit de Pearson obit bien une loi du x2. Le dernier chapitre donne les solutions des problmes prsents.

La plupart des chapitres font lobjet dune illustration et se terminent par des programmes crits dans le langage C : il sagit du langage de base qui assure la portabilit. Ce point de vue sexplique par la facilit quil y a changer de langage : Fortran, Pascal, etc., sans avoir grand chose modifier dans le programme source. On nest pas oblig de partager ces vues, mais il est trs facile de modifier les programmes proposs pour quils apparaissent moins x archaques >>.

Pour en finir avec les algorithmes choisis et les programmes prsents, nous dirons quils sont fournis sans garantie daucune sorte malgr le grand soin port ce travail. Ils peuvent comporter des imprcisions voire des imperfections, ceci sajoute le fait quaucun algorithme nest irrprochable dans la mesure o il est toujours possible de trouver des valeurs numriques qui le mette en dfaut.

Bien sr, nous formons le vu que cet ouvrage puisse apporter une aide solide aux tudiants, ingnieurs et chercheurs pour lesquels il constituera un outil dont le rle favorise la ralisation de sa propre bote outils.

La rdaction dun ouvrage ne se ralise jamais dans lisolement, et il ma fallu bien des oreilles attentives, bien des lecteurs vigilants, bien des conseillers clairs. Linstant est venu de remercier tous ceux qui, quelque titre que ce soit, mont apport une aide inconditionnelle, je citerai par ordre alphabtique : Claude Bardos, Jean Bornarel, Jacques Gacougnolle, Patricia Guilpin,


AVANT-PROPOS

Michel Jacques, Claude Marti, Yvan Simon ainsi que lquipe de physique thorique de Chaouqui Misbah.

Pour terminer, jajouterai une mention particulire EDP Sciences qui ma offert un contexte de travail optimum afin dobtenir la meilleure ralisation possible.

Christian GUILPIN

PROGRAMMES SOURCES ACCOMPAGNANT CE MANUEL

Les programmes sources cits dans ce livre sont disponibles sur le site Web dEDP Sciences (adresse : http://www . edpsciences . com/guilpin/)

Chapitre 2 aitken-0.c epsilon-0.c richard. h richar-0.c epsilon-1.c epsilon-2.c epsilon-3.c epsilon-4.c aitken-2.c kacmarz1.c f redholm. c newton-1.c

Chapitre 4 dichotO. c itera. c newton1d.c newt0npp.c kacmarz . c newton2d.c bairst0w.c bairst0w.h racine. h

Chapitre 5 systlin. c triangle. c trianlin. c hilbert . c trianinv. c 1everier.c givens. c

rutisacc.~ danilev. c dsyslin. h

Chapitre 6 lagpoly . c ascend. c descend. c 1ispline.c spline. h sudeter. c multma. h transpos . h dsyslin. h invers. h

Chapitre 7 1egendre.c decom1eg.c r-1egend.c getname. h

Chapitre 9 1aguerre.c r-laguer . c

Chapitre 10 hermite. c r-hermit.c

Chapitre 11 rn-x. txt

sn-x. txt un-x. txt vn-x. txt

Chapitre 12 argent. c cotes-I. c cotes-2. c

Chapitre 13 epsilon. h combina. h retr0gra.c runge . c pendule. c moulton. c bashf0rt.c taylor . c

Chapitre 14 triode. c chaleur. c corde. c

Chapitre 15 echant il. c gibbs . c dirac. c filtre . c

Chapitre 16 df f to. h

df f tinv . h tf-image.c inv-imag.c

Chapitre 17 fredh-1.c gaussien.h dconvol. c dconvol . h intm0nte.h xaleamen. h

Chapitre 18 calcu1pi.c matmonte. c intm0nte.c recuit. c

Chapitre 20 gauss1eg.h

Chapitre 22 khi2. h student. h

Chapitre 24 hist0gra.c ko1mogor.c

Chapitre 25 teststat. c varian-I. c varian-2. c

Chapitre 26 regres. c

Annexe A Sturm. c

Annexe F bessel1n.c bessel1f.c bessel2n.c bessel2f.c besseljf .h bessel jn. h besse12f.h

Annexe I dzetaO. c dzetal. c grosysl. c j acobiO . c jacobil. c pendule0.c predcor0.c souriau0.c sudeter. c sys1init.c tangent2. c gradconj . c refrigl . c mathieu9.c vanderpO. c card0. c


http://www

Sommaire

AVANT-PROPOS 3

1 . GNRALITS SUR LE CALCUL NUMERIQUE 17 1 . La notion dalgorithme en calcul numrique ............................................... 2 . Le calcul numrique ne concerne que les nombres entiers ................................. 3 . Le calcul numrique traite du problme pratique de lapproximation de fonctions

4 . Solutions littrales et solutions analytiques ................................................ 5 . Que sait-on calculer rigoureusement ? ...................................................... 6 . Les erreurs et les incertitudes ............................................................... 7 . Un problme difficile : la propagation des erreurs en calcul automatique ............... 8 . Rexamen des erreurs du point de vue statistique ........................................ 9 . Sur la reprsentation des nombres en machine ............................................

explicites ou implicites .......................................................................

10 . lments de bibliographie ...................................................................

2 . QUELQUES ALGORITHMES ACCLRATEURS DE LA CONVERGENCE DES SUITES

17 18

18 20 20 21 22 26 27 30

31

1 . Lalgorithme A2 dAitken (1895-1967) ..................................................... 2 . Le procd dextrapolation de Richardson (1881-1953) ................................... 3 . Prsentation de lepsilon-algorithme scalaire ...............................................

31 32 35 37 37 38 39 42

4 . Lepsilon-algorithme vectoriel ............................................................... 5 . Lepsilon-algorithme matriciel ..............................................................

7 . Proprits remarquables du procd A2 dAitken et de lepsilon-algorithme ............ 8 . lments de bibliographie ...................................................................

6 . Remarques et proprits de lepsilon-algorithme ..........................................

7

MANUEL DE CALCUL NUMRIQUE APPLIQU

3 . LES DVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES 43 1 . Un exemple de dveloppement asymptotique ..............................................

4 . Elments de bibliographie ...................................................................

43 45 47 49

2 . Quelques proprits utiles des dveloppements asymptotiques ........................... 3 . Dveloppement asymptotique de quelques fonctions spciales ............................

4 . RSOLUTION DES QUATIONS NUMRIQUES 51 51 59 63

1 . Gnralits sur la rsolution des quations f(x) = O ...................................... 2 . Rsolution dun systme non linaire de deux quations deux inconnues ............. 3 . Racines dun polynme ......................................................................

5 . LMENTS DE CALCUL MATRICIEL 69 1 . Multiplication de deux matrices ............................................................ 2 . Rsolution dun systme linaire ............................................................ 3 . Inversion dune matrice carre dordre n ................................................... 4 . Calcul des valeurs propres ................................................................... 5 . Elments de bibliographie ...................................................................

69 70 78 79 87

6 . LINTERPOLATION 89 90 90 92

94 95

7 . Les polynmes dinterpolation de Newton (1643-1727) ................................... 96 8 . Le polynme dinterpolation de Stirling (1692-1770) ..................................... 98 9 . Le polynme dinterpolation de Bessel (1784-1846) ....................................... 100

10 . Erreurs commises en utilisant les polynmes dinterpolation ............................. 100 11 . Programmes dterminant les polynmes dinterpolation .................................. 101 1 2 . Interpolation par les fonctions-spline ....................................................... 101 13 . Les fonctions-spline du troisime degr .................................................... 102 14 . Rsolution dun systme linaire dpendant dune matrice tridiagonale ................. 104 15 . Une application simple des polynmes dinterpolation .................................... 105 16 . Lalgorithme dinterpolation dAitken (1932) .............................................. 106 17 . Approximation par une combinaison linaire de fonctions ................................ 109

............................................ 111

1 . De la lgitimit de linterpolation ........................................................... 2 . Le polynme de Lagrange (1736-1813) ..................................................... 3 . Evaluation de lerreur ........................................................................ . ......................................... 4 Comment minimiser E ( z ) .............. 93

5 . Autre disposition pratique du calcul du polynme de Lagrange ......................... 6 . Cas o les abscisses sont en progression arithmtique ....................................

18 . lments de bibliographie ..............

7 . LES POLYNMES DE LEGENDRE . METHODE DINTGRATION DE GAUSS-LEGENDRE 113

1 . Les polynmes de Legendre ................................................................. 113 2 . Mthode dintgration de Gauss-Legendre ................................................. 122

8

SOMMAIRE

8 . .

1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 .

9 .

LES POLYNMES DE TCHEBYCHEFF . APPLICATION LA METHODE DE GAUSS-TCHEBYCHEFF 133 Les polynmes de Tchebycheff (1821-1894) ................................................ 133 Une proprit essentielle des polynmes de Tchebycheff coefficient principal rduit . . 134 Les racines des polynmes de Tchebycheff Tn+l(x) ....................................... 135 Calcul des poids Hk correspondant aux racines xk du polynme Tn+l (x) ............... 135 Mthode dintgration de Gauss-Tchebycheff .............................................. 136 .

+a Calcul de lintgrale I = s dx ................................................ 136

137 -a &=G=3

Calcul de lerreur commise lors de lapproximation ....................................... Fonctions gnratrices des polynmes de Tchebycheff ..................................... 139 Un exemple dintgration .................................................................... 139

LES POLYNMES DE LAGUERRE . MTHODE DINTGRATION DE GAUSS-LAGUERRE 141

1 . Relation de rcurrence entre trois polynmes conscutifs ................................. 2 . Relation de rcurrence faisant intervenir la drive ....................................... 3 . Les premiers polynmes de Laguerre ....................................................... 4 . Calcul des coefficients des n premiers polynmes de Laguerre ........................... 5 . Orthogonalit des polynmes de Laguerre ................................................. 6 . Calcul des racines des premiers polynmes de Laguerre .................................. 7 . Calcul des poids Hk correspondant aux racines xk ........................................ 8 . Calcul numrique des poids HI, associs aux racines ...................................... 9 . Calcul des intgrales du type I = . [ exp(-x)f(z) dx .....................................

00

141 142 142 143 143 144 145 145

145 O

10 . Calcul de lerreur commise lors de lapproximation ....................................... 147 11 . Fonction gnratrice des polynmes de Laguerre .......................................... 149 12 . Calcul numrique de la transforme de Laplace ........................................... 149 13 . Appendice : Les polynmes de Laguerre gnraliss ...................................... 150

10 . LES POLYNMES DHERMITE . LA METHODE DINTGRATION DE GAUSS-HERMITE 153

1 . Relation de rcurrence entre trois polynmes conscutifs ................................. 153 2 . Relation de rcurrence entre polynmes et drives ....................................... 154 3 . Les premiers polynmes dHermite ......................................................... 154 4 . Calcul des coefficients des premiers polynmes dHermite ................................ 154 5 . Orthogoualit des polynmes dHermite ................................................... 154 6 . Calcul des racines des premiers polynmes dHermite .................................... 155 7 . Calcul des poids HI, correspondant aux racines xk ........................................ 156 8 . Technique de calcul des intgrales du type I = s exp (-x2/2) f ( z ) dx ................ 156 9 . Autres notations trs utiles ................................................................. 157

10 . Calcul de lerreur commise lors de lapproximation ....................................... 160 11 . Fonction gnratrice des polynmes dHermite ............................................ 162 12 . Elments de bibliographie ................................................................... 163

+cc

-00

9

MANUEL D E C A L C U L NUMRIQUE A P P L I Q U

11 . CALCUL DE QUELQUES INTEGRALES RELEVANT DES ETUDES PRCEDENTES AU MOYEN DUN CHANGEMENT DE VARIABLE 165

~ ~

1 1 . Intgrale de la forme : I = s e dx ...................................................... 165 2 . Intgrale de la forme I = s f ( x ) f i dx ................................................ 169 3 . Intgrales de la forme I = s d m dx .................................................. 172 4 . Intgrales de la forme I = s f ( x ) G d s ................................................ 173 5 . lments de bibliographie ................................................................... 175

O 1

O +1

-1 +1

O

12 . LES POLYNMES DE BERNOULLI. FORMULE DEULER.MACLAURIN . METHODE DE ROMBERG ET AUTRES TECHNIQUES DINTGRATION 177

1 . Formule dEuler-MacLaurin ................................................................. 177 2 . Autres mthodes dintgration .............................................................. 186 3 . La mthode de Simpson (1811-1870) ....................................................... 188 4 . lments de bibliographie ................................................................... 193

13 . INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DANS LE CHAMP REEL 195 1 . Les quations diffrentielles du premier ordre ............................................. 196 2 . Les thormes dArzel (1847-1912)

et de Cauchy-Lipschitz (1832-1903) ........................................................ 196 3 . La mthode de Picard (1858-1941) ......................................................... 197 4 . Mthode de la srie de Taylor ............................................................... 198

199 6 . Les mthodes dAdams (1819-1892) ........................................................ 200 7 . La mthode des diffrentiations rtrogrades ............................................... 207 8 . Les quations diffrentielles du deuxime ordre ........................................... 210 9 . quations diffrentielles dordre suprieur deux ......................................... 214

10 . lments de bibliographie ................................................................... 214

5 . Mthodes de Runge (1856-1927) et Kutta (1867-1944) ..................................

14 . INTEGRATION DES EQUATIONS AUX DERIVES PARTIELLES 215 ~ ~~ ~~

1 . Considrations sur les quations aux drives partielles dordre au plus gal deux ... 216 2 . Les oprateurs de diffrence ................................................................. 217 3 . Loprateur laplacien ........................................................................ 219 4 . Rsolution des quations de type elliptique ................................................ 220 5 . Rsolution des quations de type parabolique (mthode explicite) ...................... 224 6 . Rsolution des quations de type hyperbolique (mthode explicite) ..................... 225 7 . Elments de bibliographie ................................................................... 227


SOMMAIRE

15 . LES SERIES DE FOURIER 229 1 . Petit aperu historique .................................................... .............. 229 2 . Orthogonalit des fonctions sinus et cosinus sur une priode ........... .............. 231

232 3 . Srie de Fourier associe une fonction priodique ....................................... 4 . Conditions dgalit de f(x) et de la srie de Fourier associe ........................... 233 5 . Quelques proprits remarquables .......................................................... 234 6 . Approximation des fonctions par une srie de Fourier tronque ............... 7 . Cas o la fonction est discontinue lorigine .............................................. 8 . Le phnomne de Gibbs (1839-1903) et lepsilon-algorithme .............................

10 . Ecriture du dveloppement sous forme complexe .......................................... 11 . Approximation des fonctions au sens de Tchebycheff ..................................... 12 . Application des sries de Fourier au filtrage numrique ................................... 244 13 . A propos du dveloppement des fonctions non priodiques ............................... 14 . Calcul des sries de Fourier coefficients approchs dans L2 ............................

238 238

9 . Reprsentation des sries de Fourier avec un terme de phase ............................ 241 241 242

246 246

15 . lments de bibliographie ................................................................... 247

16 . LES TRANSFORMEES DE FOURIER 249 1 . Extension des sries de Fourier au cas o la priode est infinie ..........................

3 . La transforme de Fourier dans lespace L ................................................ 4 . Les transformes de Fourier dans lespace L2 .............................................. 255 5 . Produit de convolution dans les espaces L ou L2 ........................................ 256 6 . Sur le calcul numrique des transformes de Fourier ......................................

249 2 . Conditions dexistence des transformes de Fourier dans les espaces L et L2 .......... 252

253

260 260 261 262

........................................................... 7 . Cas des fonctions chantillonnes 8 . Calcul par un algorithme ordinaire 9 . Lalgorithme de Cooley-Tukey (1915- )

......................................................... ....................................................

10 . Programmes de calcul des transformes de Fourier ....................................... 266

12 . La distribution de Dirac (1902-1984) ...................................................... 269

11 . Un problme fondamental : quelle doit tre la priode dchantillonnage de la fonction f(x)? ......................................................................... 267

13 . Transformes de Fourier multidimensionnelles ............................................. 271 14 . lments de bibliographie ............................................................... 272

17 . INITIATION AUX PROBLMES MAL POSES : QUATIONS INTGRALES. SYSTEMES LINEAIRES MAL CONDITIONNS ET QUATIONS DE CONVOLUTION 273

1 . Un exemple de problme mal pos : le calcul des sries de Fourier coefficients approchs dans L2 .......................... 273

2 . Lquation intgrale de Fredholm (1866-1927) de premire espce ...................... 274 3 . Notion de problmes bien et mal poss .................................................... 276 4 . Mthode de rgularisation ...................................................................

de Fredholm de premire espce ............................................................ 280

276 5 . Application la rsolution approche des quations intgrales

6 . Rsolution dun systme linaire mal conditionn 282 283

8 . Bibliographie ................................................................................. 285

......................................... 7 . Rsolution des quations de convolution ...................................................


MANUEL DE CALCUL N U M R I Q U E A P P L I Q U

18 . INTRODUCTION AUX METHODES DE MONTE-CARLO 287 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 .

19 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 .

20 .

-

Le problme de Buffon .........................................

Calcul dune intgrale dfinie ...............................................................

....................... Gnrateurs de nombres pseudo alatoires distribution uni ...................... Calcul de 7r ...................................................................................

Intgration de lquation de Laplace en un point .......................................... Inversion dune matrice carre dordre n ................................................... Mthode du recuit simul : recherche du minimum absolu dune fonction .............. Simulation dautres lois de distribution .................................................... Elments de bibliographie ................................. ..............................

287 288 290 290 292 293 294 295 297

LMENTS DE CALCUL DES PROBABILITS 299 ~~ _____ ~

Introduction et notions fondamentales ..................................................... Evaluation de la probabilit ................................................................. Notion de variable alatoire . . . . . .... ................. Somme et produit dvnements . Thormes fondamentaux ............................. Lois de rpartition des variables alatoires .................................................

Le thorme de Bernoulli .............................................. Elments de bibliographie ...................................................................

Lingalit de Bienaym (1796-1878) - Tchebycheff . . .................................

LA LOI BINOMIALE. LA LOI DE POISSON ET LA LOI DE GAUSS-LAPLACE

299 300 301 301 305 308 309 309

311

1 . La loi binomiale. schma de Bernoulli ...................................................... 311 2 . Loi de Poisson ................................................................................ 313 3 . Loi de Gauss-Laplace ........................................................................ 316 4 . Changement de variable alatoire dans les lois de rpartition ............................ 322 5 . Elments de bibliographie ................................................................... 324

21 . LA FONCTION CARACTERISTIQUE 325 1 . Dfinition et proprits ...................................................................... 325 2 . La distribution du x2 ........................................................................ 328 3 . Elments de bibliographie ................................................................... 329

22 . LA LOI DU x2 ET LA LOI DE STUDENT 331 1 . 2 .

3 .

4 . 5 . 6 .

7 .

8 .

La loi du x i .................................................................................. 331 Distribution dune somme de deux variables alatoires indpendantes obissant chacune une distribution du x: ............................................... 333 La loi du xk m degrs de libert tend asymptotiquement vers la loi de Gauss quand m tend vers linfini ................................................................... 333 Distribution dune variable alatoire fonction de deux variables alatoires indpendantes 334 La distribution de Student (W . Gosset) (1876-1937) ..................................... 336 La distribution dune somme de deux variables alatoires indpendantes obissant une distribution de Student est-elle encore une distribution de Student? .................................................................................. 339 La loi de Student m degrs de libert tend asymptotiquement vers la loi de Gauss quand m tend vers linfini ................................................................... 339 Elments de bibliographie ................................................................... 340


23 . SYSTMES PLUSIEURS VARIABLES ALATOIRES

SOMMAIRE

341

1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 .

24 . 1 . 2 . 3 .

4 . 5 . 6 . 7 .

___

25 .

.

Gnralits ..... Systme de varia Variables alatoires li .......... 343 Caractristiques num Gnralisation au cas de plusieurs variables ............................................... 345

Proprits du coefficient de corrlation (dmonstrations) ................................. 348 Elments de bibliographie ................................................................... 349

Quelques thormes importants ....... .................................... 346

CRITERES DE CONFORMITE 351 Gnralits ................................................................................... 351 Reprsentation des donnes numriques . Histogramme .............................. 352 Conformit entre une rpartition thorique et une rpartition exprimentale (ou rpartition statistique) .................................................................. 353 Le xi de Pearson (1857-1936) .... ............ 353 Critre de Kolmogorov (1903-198 ............................................... 356 Estimation des paramtres dune loi inconnue . Estimateurs .............................. 356 lments de bibliographie

TUDE DES DEPENDANCES DANS LE CAS LINAIRE 361 1 . Les types de schmas de dpendance linaire .............................................. 361 2 . Fondements de lanalyse de corrlation-rgression ......................................... 364 3 . Conclusions ................................................................................... 369 4 . Elments de bibliographie ................................................................... 370

26 . ANALYSE DE CORRELATION ET DE REGRESSION 371 1 . La corrlation ................................................................................ 371 2 . Rgression linaire ........................................................................... 375 3 . Elments de bibliographie ................................................................... 379

ANNEXES 381

A . LES SUITES DE STURM . APPLICATION LA DTERMINATION DU NOMBRE DE RACINES RELLES DUN POLYNME 383

1 . Notion de variations dune suite numrique ................................................ 383 2 . Suite de Sturm gnre partir dun polynme ........................................... 383 3 . Quelques proprits des suites de Sturm ................................................... 384 4 . Le thorme de Sturm (1829) ............................................................... 385 5 . Disposition des calculs, schma de Routh (1831-1907) ................................... 386 6 . Quelques exemples de suites de Sturm ..................................................... 386 7 . Mise en uvre du thorme de Sturm ...................................................... 386 8 . Elments de bibliographie ................................................................... 387


MANUEL DE C A L C U L N U M R I Q U E APPLIQU

B . POLYNMES ORTHOGONAUX RELATIVEMENT UNE FONCTION POIDS . GENERALISATION DE LA METHODE DE GAUSS 389

1 . Gnralisation de la notion de polynmes orthogonaux ................................... 389 2 . Dcomposition dune fonction ~ ( I I : ) sur la base des polynmes W ~ ( I I : ) orthogonaux

sur lintervalle ( a , b) .......................................................................... 390 3 . Racines des polynmes orthogonaux ....................................................... 392 4 . Relation de rcurrence entre trois polynmes orthogonaux conscutifs .................. 393 5 . Gnralisation de la mthode de Gauss .................................................... 393 6 . Expression de lerreur en remplaant I par J ............................................. 394 7 . Elments de bibliographie ................................................................... 395

C . LES FRACTIONS CONTINUES 397 1 . Un exemple de fraction continue ............................................................ 397 2 . Les fractions continues finies ................................................................ 398 3 . Les fractions continues infinies .............................................................. 400 4 . Dveloppement en fraction continue partir dun dveloppement

en srie entire ............................................................................... 401 5 . Dveloppement en fractions continues de sries usuelles .................................. 402 6 . Dveloppement en fraction continue partir dun produit infini ......................... 403 7 . Elments de bibliographie ................................................................... 404

D . LES APPROXIMANTS DE PAD ET DE MAEHLY 405 1 . Le thorme fondamental de Pad .......................................................... 405 2 . Sur le calcul effectif des coefficients ........................................................ 407 3 . Estimation de lerreur commise ............................................................. 407 4 . Dveloppements de quelques fonctions en approximants de Pad ........................ 408 5 . Gnralisation des approximants de Pad, mthode de Maehly .......................... 414 6 . Erreur lie lusage des approximants de Maehly ......................................... 418 7 . Difficults lies la recherche dune gnralisation ........................................ 419

419 8 . Elments de bibliographie ...................................................................

E . CALCUL DES FONCTIONS DE BIBLIOTHQUE ELEMENTAIRES 42 1 1 . Calcul de exp(z) pour II: appartenant (-00, +CO) ....................................... 421 2 . Calcul de sin(z) et cos(z) pour II: appartenant (-00, +00) ............................. 423 3 . Calcul de loge(II:) pour II: appartenant (O, +CO) .......................................... 425 4 . Calcul de tangente et cotangente pour II: appartenant (-00, +CO) ..................... 425 5 . Calcul de argtanh(z) pour II: appartenant (O, 1) ......................................... 426 6 . Calcul de arctan(s) pour II: appartenant (O, +CO) ....................................... 426 7 . Calcul de arcsin(s) et arccos(z) pour II: appartenant (O, 1) ............................. 426 8 . Calcul de la racine carre pour II: appartenant (O, 00) ................................... 427 9 . Elments de bibliographie ................................................................... 427


SOMMAIRE

F . CALCUL NUMRIQUE DES FONCTIONS DE BESSEL 429 ~~ ~~

1 . Lquation diffrentielle des fonctions de Bessel (1784-1846) ............................. 429 2 . Relations de rcurrence ...................................................................... 430 3 . Reprsentation de Jv(z) par une intgrale dfinie ......................................... 431 4 . Technique de calcul .......................................................................... 431 5 . Calcul de lerreur sur Jo(z) ................................................................. 432 6 . Elments de bibliographie ................................................................... 432

G . LMENTS SUCCINCTS SUR LE TRAITEMENT DU SIGNAL 433 1 . Puissance et nergie dun signal ............................................................ 433 2 . La corrlation et ses proprits ............................................................. 435 3 . Applications de la corrlation ............................................................... 437 4 . La convolution ............................................................................... 439 5 . Notions sur le filtrage ........................................................................ 440 6 . Notion de bruit ............................................................................... 441 7 . lments de bibliographie ................................................................... 442

H . PROBLMES ET EXERCICES 443 1 . Gnralits sur le calcul numrique ......................................................... 443 2 . Algorithmes acclrateurs de la convergence des suites ................................... 446 3 . Les dveloppements asymptotiques ......................................................... 447 4 . Rsolution des quations numriques ....................................................... 447 5 . lments de calcul matriciel ................. ................................ 453 6 . Linterpolation ............................................................................... 461 7 . Intgration des quations diffrentielles dans le champ rel .............................. 462 8 . Intgration des quations aux drives partielles .......................................... 465 9 . Les transformes de Fourier ................................................................. 467

10 . Introduction aux mthodes de Monte-Carlo ............................................... 470 11 . Elments de calcul des probabilits ......................................................... 471 12 . Lois (Binomiale, Poisson, Gauss-Laplace) .................................................. 472 13 . La fonction caractristique .................................................................. 480 14 . La loi du x2 et la loi de Student ............................................................ 481 15 . Systmes plusieurs variables alatoires ................................................... 485 16 . Critres de conformit ....................................................................... 485 17 . tude des dpendances dans le cas linaire ................................................ 487 18 . Analyse de corrlation ....................................................................... 491 19 . Les fractions continues ...................................................................... 494 20 . lments de traitement du signal ........................................................... 495



I . CORRIGES DES PROBLMES ET EXERCICES 497 1 . Gnralits sur le calcul numrique ......................................................... 497 2 . Algorithmes acclrateurs ................................................................... 504 3 . Les dveloppements asymptotiques ......................................................... 504 4 . Rsolution des quations numriques ....................................................... 505 5 . Elments de calcul matriciel ................................................................ 513 6 . Interpolation ................................................................................. 523 7 . Intgration des quations diffrentielles dans le champ rel .............................. 523 8 . Intgration des quations aux drives partielles .......................................... 530 9 . Les transformes de Fourier ................................................................. 530

10 . Introduction aux mthodes de Monte-Carlo ............................................... 532 11 . lments de calcul des probabilits ......................................................... 532 12 . Lois ........................................................................................... 534 13 . La fonction caractristique .................................................................. 543 14 . La loi du x 2 et la loi de Student ............................................................ 545 15 . Systmes plusieurs variables alatoires ................................................... 550 16 . Critres de conformit ....................................................................... 551 17 . Etude des dpendances dans le cas linaire ................................................ 553 18 . Analyse de rgression-corrlation ........................................................... 560 19 . Les fractions continues ...................................................................... 563 20 . Elments de traitement du signal ........................................................... 564

567


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Le calcul numrique est une branche des mathmatiques appliques qui tudie les mthodes pratiques destines fournir des solutions numriques aux problmes formaliss dans le langage des mathmatiques pures. La plupart du temps, ce sont les ingnieurs et les chercheurs qui se trouvent concerns par lusage de ces mthodes pratiques, car ce sont en dfinitive les nombres qui vont retenir leur attention. Face un jeu dquations plus ou moins complexes, ils devront obtenir un ensemble de valeurs numriques qui pourra servir par exemple soit la ralisation dun difice ou dun prototype, soit la confrontation des rsultats exprimentaux et thoriques etc.

Gnralits sur ie calcul numrique

1. La notion dalgorithme en calcul numrique Un algorithme est un procd de calcul qui ne met en uvre que des oprations arithmtiques et logiques. Ltymologie de ce mot est arabe et cest une altration du nom du mathmaticien Al- Khwrizmi (t812?), probablement sous linfluence du mot grec (repris par les latins) O ccptOpO~, le nombre.

Quoi quil en soit, cest une dnomination commode qui sert dsigner lensemble des oprations qui interviennent au cours dune dmonstration conduisant lnonc dun theorme. Cependant sa porte ne dpasse pas celle de la > et en aucun cas cette dfinition ne permet de donner une manire de construction des algorithmes. I1 sagit donc dun concept commode mais peu fcond qui sert dsigner un certain type dorganisation de propositions caractre mathmatique. Sans que rien ne soit chang, il est tout fait possible de remplacer ce mot par procd de calcul, technique de calcul, procdure ...

Pour illustrer ce concept, on peut voquer, par exemple, la technique de rsolution des quations du deuxime degr coefficients rels condition toutefois dadmettre que lon dispose outre les quatre oprations fondamentales (addition, soustraction, multiplication et division) de lopration racine carre. Lexamen des mathmatiques montre que le nombre doprations proposes dans un algorithme peut tre infini (mais dnombrable), cest le cas des dveloppements en srie de fonctions : srie entire, srie de Fourier, etc.

Le concept dalgorithme en calcul numrique est quelque peu plus restrictif : le nombre doprations lmentaires arithmtiques et logiques est obligatoirement fini. En outre, cela implique que lon ne peut manipuler que des nombres admettant une reprsentation finie ce qui conduit effectuer des troncatures et des arrondis au cours des oprations successives. Cette remarque en apparence triviale doit pourtant tre prkscnte lesprit lorsque lon fait usage dune machine arithmtiqw (mais aussi di1 calcul manuel ...) : la premire division venue, la premire



racine carre venue ont toutes les chances dintroduire un nombre dont la reprsentation impose une infinit de chiffres significatifs, il faudra les tronquer ...

La connaissance de la manire dont les nombres sont reprsents dans la machine utilise est fondamentale en ce sens quelle permet lestimation de la prcision attache aux rsultats dun calcul. Ds lors, on comprend trs bien que la recherche dune grande prcision imposera une grande taille de mots-machine et par consquent un grand temps de calcul. En revanche, une faible prcision nimposera quune petite taille du mot-machine ainsi quun faible temps de calcul. Le choix retenu est en gnral un compromis entre ces deux situations extrmes.

Cette dernire tape intervient lors de lvaluation de lincertitude qui entache les rsultats dun calcul, mais ce nest pas la seule source. Le problme gnral de lvaluation des incertitudes et erreurs est dlicat qui plus est lorsque lon fait usage dune machine ; nous laborderons un peu plus en dtail dans quelques paragraphes.

2. Le calcul numrique ne concerne que les nombres entiers Ce nest pas une boutade, et il faut bien admettre que lon ne peut manipuler (au sens tymologique) que des reprsentations finies. La reprsentation dite en virgule flottante claire ce point de vue car en fait elle traite de nombres ayant une certaine quantit fixe de chiffres significatifs (agrment dun facteur de cadrage appel exposant) et dans la ralit, chaque opration lmentaire sur les nombres il y a une opration de cadrage suivie dune opration arithmtique sur les nombres entiers, elle-mme suivie ventuellement dune opration de troncature ou darrondi.

Cette conception nest pas tellement restrictive en soi, car les seules oprations arithmtiques pratiques que lHomme est susceptible de raliser ne peuvent que concerner les nombres admettant une reprsentation finie de symboles (chiffres significatifs) donc en fait des entiers. Pour ce qui concerne les machines arithmtiques, les deux reprsentations, entire et flottante, ne doivent pas masquer la ralit et il faut voir l uniquement deux reprsentations commodes. En fin de chapitre, on trouvera un paragraphe traitant de quelques reprsentations assez gnrales.

3. Le calcul numrique traite du problme pratique de lapproximation de fonctions explicites ou implicites

Un problme danalyse se trouvant modlis dans le langage des mathmatiques pures, la premire proccupation consiste rechercher la solution sous forme littrale laide des fonctions connues qui sont les polynmes et les fonctions transcendantes lmentaires. On peut se poser la question de savoir si cette faon de concevoir est toujours possible.

Tous les problmes ne sont pas algorithmiquement solubles, et force est de rpondre non la question pose. Pour sen convaincre, il suffit de considrer un exemple, sous langle de lhistoire, qui illustre cette difficult : la recherche des racines dun polynme de degr quelconque coefficients rels.

Si lquation du deuxime degr est connue depuis lAntiquit, on peut dire quil revient Al-Khwrizmi (fin vme, dbut Ixe) et Luca Pacioli (1445?-1514?) le fait davoir raffin les solut ions.

Lcole italienne de Bologne sattaque lquation du troisime degr; on retiendra son propos les noms de Tartaglia (1500?-1557) de Cardan (1501-1576) qui parvinrent la solution au travers de dfis et de provocations qui semblaient tre coutumiers cette poque. Signalons toutefois que les bases de ltude sont dues Del Fer0 (1465?-1526).


1. GNRALITS S U R LE CALCUL NUMRIQUE

Ensuite lquation du quatrime degr fut aborde et rsolue par Ferrari (1522-1565) qui fut un lve de Cardan. Plus tard, les mathmaticiens sintressrent tout naturellement lquation du cinquime degr et les recherches furent trs riches denseignements dans la mesure o, selon toute vraisemblance pour la premire fois dans lhistoire des sciences, le travail conduisit lnonc dun rsultat ngatif.

1. En 1608, Rothe (?-1617) mit une proposition selon laquelle toute quation algbrique de degr n possdait n racines relles ou complexes, et Gauss (1777-1855) en effectua la dmonstration rigoureuse en 1799.

2. Cette mme anne Ruffini (1765-1822) affirma limpossibilit formelle dobtenir la rsolution des quations algbriques de degr suprieur quatre. I1 fallut attendre la publication des travaux dAbel (1802-1829) pour obtenir la dmonstration dfinitive de la proposition de Ruffini (1826).

Ce rsum de lhistoire des quations algbriques nous mne deux types de remarques :

Remarque 1 : Le fait de poser un problme dont la solution existe nest pas suffisant pour permettre dexhiber effectivement ladite solution selon des moyens donns. On peut se rappeler ce propos le problme de la trisection de langle qui nest pas algorithmiquement soluble si les moyens de construction autoriss sont la rgle et le compas.

Aujourdhui, on sait que les problmes que lon peut se poser sont de trois types savoir :

a. les problmes algorithmiquement solubles, lquation du deuxime degr par exemple ; b. les problmes algorithmiquement non solubles, par exemple la quadrature du cercle laide

de la rgle et du compas ; c. les problmes indcidables pour lesquels on ne peut rien dmontrer. Du reste, dans une

axiomatique donne, on sait quil existe des propositions vraies que lon ne peut pas dmontrer, condition de considrer toutefois que les axiomes de larithmtique ne sont pas contradictoires (c f . Gode1 (1906-1978)).

Remarque 2 : Ce nest pas parce quun problme est algorithmiquement insoluble que lon nest pas en mesure de proposer une solution approche ~ gnralement avec une prcision fixe lavance ~ et cest justement la raison dtre du calcul numrique que de fournir de telles solutions ; par exemple, on verra comment calculer les racines dun polynme de degr quelconque coefficients rels.

En terminant ce paragraphe, nous remarquerons que les problmes de calcul numrique sont uniquement des problmes dapproximation de fonctions au sens le plus large. Souvenons-nous dune des premires quations diffrentielles que nous avons rencontre en Physique, il sagit de lquation du pendule pesant assujetti osciller dans un plan. On crit traditionnellement lquation laquelle obit son mouvement :

+ w2 sin(t) = O, d2B(t) dt2

o (t) est langle que le pendule fait avec la verticale un instant donn, w tant une constante dpendant de la longueur du pendule et de lacclration. Alors, on apprend que lon ne peut pas obtenir la solution sous forme littrale (t i BO, Bo, w2) laide des transcendances usuelles (Bo et b sont les conditions initiales sur langle et la vitesse angulaire). Pourtant, le thorme de Cauchy-Lipschitz nous permet daffirmer lexistence et lunicit dune telle solution qui est de surcrot une fonction analytique.

La tradition veut galement que lon ne sintresse quau cas des petits angles pour lesquels on peut crire le dveloppement de sin ( t ) au premier ordre. Alors, dans ce cas particulier, on sait


SommaireAvant-propos1. Gnralits sur le calcul numrique

Extrait de la publication… · Christian Gui lpin Maître de Conférence, responsable de...

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