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Tests de positionnementClasse de seconde

Mathématiques

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Exploitation pédagogique des tests de positionnement d’entrée en seconde

Mode d’emploi et précautions d’usageLe document suivant présente une analyse didactique de 20 items retenus parmi les 42 items libérés par la DEPP relativement aux tests de positionnement d’entrée en seconde générale et technologique.

Il vise à aider les enseignants, à partir d’une photographie générale de l’état des acquisitions mathématiques de leurs élèves (sur la base de connaissances et de compétences du programme du cycle 4), à identifier les origines possibles de leurs erreurs et à introduire des éléments de différenciation et de personnalisation dans leur enseignement en classe de seconde.

1. Les tests Ces tests ne renseignent que sur des acquisitions susceptibles d’être évaluées collectivement sur ordinateur, dans un temps bref, dans cinq domaines thématiques en lien avec le programme du cycle 4 : nombres et calcul, grandeurs et mesures, organisation et gestion des données, géométrie, formules algébriques.

Les 20 items analysés ne permettent pas d’avoir une vision exhaustive de ce qui a été réellement posé aux élèves, d’autant que tous n’ont pas été évalués sur les mêmes exercices. En effet, les tests (dits adaptatifs) sont organisés en deux catégories d’exercices (des exercices dits d’orientation passés par tous les élèves et débouchant, en fonction des résultats obtenus, sur des exercices de haut ou de bas niveau).

En revanche, ils décrivent une méthode permettant à la fois d’analyser des situations d’évaluation de ce type et de concevoir des remédiations et une différenciation adaptées.

2. Une photographie de l’état des acquisitions de chaque élèveLa restitution de la passation comporte deux volets :

• Un premier volet (disponible dès le lendemain de la passation) renseigne sur le niveau de maîtrise de l’élève dans chacun des cinq domaines thématiques évalués.

• Un second volet (attendu dans le courant du premier trimestre 2019) renseigne sur le niveau d’acquisition dans chacune des 3 compétences testées : chercher, représenter, calculer.

3. Croisement entre les domaines et les compétencesLe tableau suivant établit des croisements possibles entre les domaines et les compétences et identifie (en gras) ceux des items analysés réalisant ces croisements.


Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse

2 Tests de positionnement Classe de seconde - Mathématiques

Mode d’emploi et précautions d’usage

Nombres et calcul Organisation et gestion de données

Géométrie du raisonnement

Formules algébriques

Calculer Nombres décimaux, entiers relatifs, fractions

Calculer avec des fractions et des nombres décimaux

Millièmes

Comparaison - nombres relatifs

Somme de fractions

Calculs de moyennes, de fréquences, de pourcentages, etc.

Soldes

Appliquer un théorème permettant de calculer des longueurs (Thalès, Pythagore)

Pythagore

Développer, factoriser, réduire, résoudre des équations

Identité remarquable

Équivalence-expressions algébriques

Représenter Passer d’une écriture d’un nombre à une autre

Comparaison d’une fraction à 1

Changer de registre pour traiter des données

Notion de fonction

Quatrième proportionnelle

Représentations graphiques

Extraire de l’information d’une figure codée.

Figure codée

Trésor

Associer une expression algébrique à un programme de calcul

Programme de calcul

Chercher Choisir la bonne représentation d’un nombre en fonction du problème posé.

Tours de l’étang

Multiples

Extraire l’information utile dans un tableau de données, un graphique.

Diagramme en bâtons

Diagramme circulaire

Organisation logique d’une démonstration

Parallélogramme

Parallélisme-perpendicularité

Choisir la forme d’une expression adaptée à la résolution d’un problème

Chercher un contre-exemple

Test

L’analyse de chaque item précise enfin :

• des rubriques du programme de seconde permettant de remobiliser les principales notions et compétences mises en jeu dans l’item;

• des ressources pédagogiques.

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Sommes de deux fractions

Commentaires pédagogiquesAnalyse des difficultés

• La réussite de cet item suppose d’avoir compris la nécessité de transformer et en deux fractions de même dénominateur pour pouvoir les additionner.

• Les deux dénominateurs 2 et 3 n’étant pas multiples l’un de l’autre, il faut chercher un dénominateur commun (ici très simple à trouver).

• n’étant pas un nombre décimal, le calcul ne peut pas se ramener à une somme de deux nombres décimaux.

Analyse des distracteursDéjà effectuée dans le descriptif de la tâche.

Tests de positionnement Classe de seconde - Mathématiques




2

Pistes de différenciation pédagogique

a) Modifications possibles vers un niveau de maîtrise «insuffisant»

Calculer

Réponses proposées :

A)

B) correspond à l’erreur

C) correspond à l’erreur

D) valeur décimale approchée

b) Modifications possibles vers un niveau de maîtrise « fragile »

Calculer

L’un des dénominateurs étant multiple de l’autre, il suffit de transformer la fraction en .

c) Modifications possibles vers un très bon niveau de maîtrise

Calculer

Le fait que 2 ne soit pas écrit sous forme fractionnaire crée une difficulté.


A) Bonne réponse. Plutôt que d’écrire , il est conseillé de demander aux élèves combien de tiers il y a dans 2.

B) Correspond à l’erreur

C) Correspond à l’erreur

D) Correspond à l’erreur

• Calculer

Le fait qu’aucun des deux dénominateurs n’est multiple de l’autre est une difficulté supplémentaire.


A) seule fraction, parmi les 4 propositions, à avoir un dénominateur égal au produit des deux dénominateurs des nombres de l’énoncé

B) correspond à l’erreur

C) bonne réponse

D) correspond aux erreurs suivantes : ; ;






3

Remédiations • Pour calculer la somme de deux fractions de même dénominateur, on recourt à la verbalisation.

Ainsi le calcul de se base sur l’utilisation du langage courant, en prenant le septième comme unité : la somme de trois septièmes et de deux septièmes est égale à cinq septièmes.

• Afin d’anticiper la démonstration générale de l’égalité , on peut faire de cet item un exemple générique et démontrer l’égalité en utilisant la définition du quotient. On note et

on s’intéresse à

Par définition, Q est le nombre qui, multiplié par 7 donne 3 soit . De même, . On a donc . En utilisant la distributivité de la multiplication

par rapport à l’addition, cela permet d’écrire :

est donc le nombre qui, multiplié par 7 donne 5. C’est donc le quotient de 5 par 7, qui s’écrit On vient donc de démontrer que : + =

Éléments du programme de seconde permettant de remobiliser le calcul fractionnaireNombres et calculs : ensemble des nombres rationnels.

Ressources Document d’accompagnement du programme de cycle 4 sur les fractions


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Fractions/22/5/RA16_C4_MATH_fractions_doc_maitre_comp-cal_resoudre_554225.pdf


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Millièmes


• Dans les deux premières questions, il est demandé de relier entre eux (et non à l’unité) dixième et centième ou dixième et millième.

• La dernière question, plus simple (mais placée en fin d’item), repose sur la seule définition du dixième.


a) Simplification possible (transformations de l’item vers un niveau de maîtrise « fragile »)

• Placer la troisième question en première position pour réactiver la connaissance.

b) Complexification possible (transformations de l’item vers un très bon niveau de maîtrise)

• Combien y a-t-il de millièmes dans 0, 012 ?

• Combien y a-t-il de centièmes dans 10,03 ?


Millièmes



2

Remédiations • Manipulations variées (bandes de papier, réglettes de 10, plaques de cent, cube de mille).

• Verbalisation : « dans une unité il y a dix dixièmes, cent centièmes, mille millièmes…Dans un dixième il y a dix centièmes, 100 millièmes ».

• Repérage sur la droite graduée (avec zooms).

• Liens avec les unités de mesure de grandeurs : combien y a-t-il de centimètres dans un décimètre ? Exprimer un gramme en kilogramme, un cm3 en m3.

Prolongements• Transformer des fractions décimales en nombres décimaux et vice versa.

• Écrire un nombre décimal comme somme de fractions décimales.

• Convertir des cm2 en m2, des cm3 en m3 ou en dm3.

Rubriques du programme de seconde permettant de mobiliser les notions intervenant dans cet itemManipuler les nombres réels : ensemble 𝔻 des nombres décimaux.

Ressources• Document ressource cycle 4 : nombres décimaux

• «Des maths ensemble et pour chacun ». Cinquième. Nantes : CRDP des Pays de la Loire. Auteurs : Rouquès, J.-P. & Stainer, H.(2010).


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Nombres_decimaux/40/4/RA_16_C4_MATH_doc_maitre_nombres_decimaux_comparer_calculer_resoudre_N.D_554404.pdf


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Pythagore

Commentaires pédagogiques

Analyse des difficultés

a) Raisons pouvant expliquer la réussite de l’item par les élèves de niveaux satisfaisants et supérieurs.

• Exercice classique du cycle 4 qui consiste à calculer le carré de la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

• L’exercice n’appelle pas de recours à la racine carrée.

b) Difficultés susceptibles de mettre en échec un élève de niveau de maîtrise fragile

• L’absence de figure.

• En général, il est demandé de calculer la longueur de l’hypoténuse, et non pas son carré.




Pythagore

Analyse des distracteurs• Première réponse . Il s’agit du carré de la somme des deux nombres donnés dans

l’énoncé.

• Deuxième réponse Il s’agit du carré d’un des côtés de l’angle droit, qui est alors mal identifié.

• Il aurait également été pertinent de tester la confusion carré/double en proposant comme réponse le nombre

Différenciation pédagogique

a) Complexification (transformation vers un très bon niveau de maîtrise)

• Travailler sur les aires :

«Etant donné un triangle rectangle en , on donne et . Quelle est l’aire du carré construit sur le côté ?»

• Jouer sur les variables didactiques (nombres décimaux) et demander de calculer la valeur exacte de la longueur EG plutôt que son carré. Exemples progressifs :

et Valeur exacte à trouver par tâtonnement :

et Valeur exacte à trouver par tâtonnement :

Valeur exacte à trouver :

(à distinguer de la valeur approchée

b) Simplification (transformation de l’item vers un niveau insuffisant)

• Proposer une figure codée comme support au texte.

Remédiations possibles à partir de cet item• Proposer de tracer une figure traduisant le texte de l’énoncé.

• Partir des longueurs et demander de calculer la longueur EG.

Prolongements possibles

a) Jouer sur la nature du triangle et utiliser les propriétés implicites du triangle (isocèle rectangle, isocèle non rectangle avec comme donnée la hauteur relative au sommet principal).

b) Utiliser des figures planes incluant des quadrilatères (losanges, parallélogrammes, etc.) et appliquer le théorème de Pythagore dans le sens direct ou réciproque, par exemple :

• Le côté d’un losange mesure 27,4cm et l’une de ses diagonales 42 cm. Quelle est la longueur de la seconde diagonale ?

• EFGH est un parallélogramme tel que ; ; EFGH est-il un rectangle ?





Pythagore

c) Travailler dans l’espace sur un pavé droit dont une des faces est un carré (ou un cube).

Par exemple :

• une première question directe : justifier que le carré de la diagonale du carré est (la longueur du carré étant donné).

• seconde question, un QCM donnant différentes valeurs du carré de la diagonale du pavé droit (ou sa longueur).

Rubriques du programme de seconde permettant de remobiliser les configurations géométriquesRésoudre des problèmes de géométrie

RessourcesDocument ressource cycle 4 : Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Geometrie_plane/31/2/RA16_C4_MATH_geo_plane_doc_maitre_574312.pdf


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Comparaison de deux nombres relatifs


a) Raisons pouvant expliquer la réussite de l’item par les élèves de niveaux «fragiles» et supérieurs

Les nombres proposés peuvent être vus par les élèves comme des «grandeurs repérables» (des températures par exemple), possibilité renforcée par l’utilisation la locution « est inférieur à »1.

La comparaison porte sur le chiffre des dixièmes (on ne demande pas de comparer par exemple et ).

C’est également un exercice classique dans sa formulation.

b) Difficultés susceptibles de mettre en échec un élève de niveau de maîtrise insuffisant

La présence de nombres décimaux et le «faible écart» entre et .

Une compréhension dichotomique d’un nombre relatif (symbole et nombre).

Analyse des distracteursIl s’agit d’un vrai/faux, il y a des risques de réponse au hasard chez les élèves les plus faibles.

Le sens de lecture peut pousser certains élèves à proposer la réponse «Vraie».1. Attention, le contexte des températures ne peut pas être utilisé comme unique source de remédiation ; il est souvent souligné

que la référence à un modèle concret est un obstacle à la compréhension à ce qu’est un nombre relatif (quel sens attribuer au produit de deux températures négatives ?).





Modifications possibles de l’item pour en faire un item correspondant au niveau de maîtrise «insuffisant».

• Proposer de comparer des nombres entiers relatifs.

Modifications possibles de l’item pour en faire un item correspondant au niveau de maîtrise «satisfaisant».

• Travailler sur la comparaison à zéro d’une différence, par exemple : «la différence entre et est négative».

• Demander de proposer un nombre compris entre et .

• Demander de comparer et .

• Qui est le plus près de : ou ?

Remédiations possibles• Suggérer l’utilisation d’une droite graduée ou donner une droite graduée et demander de placer

différents nombres décimaux pour réactiver les propriétés relatives à l’ordre des nombres relatifs.

ou

ou

ou utiliser un V/F

Vrai ou faux ? L’abscisse du point est .

Vrai ou faux ? L’abscisse du point est plus grande que l’abscisse du point .






Puis demander de placer les nombres et sur une droite graduée avant de conclure.

• Multiplier par les deux nombres, travailler sur des nombres entiers relatifs, puis exploiter les propriétés sur les inéquations.

Prolongements possibles • Compléter des encadrements entre nombres relatifs.

• Travailler sur les inégalités (lien avec les opérations).

Rubriques du programme de seconde permettant de remobiliser les nombres décimaux relatifsManipuler les nombres réels

• donner un encadrement d’un nombre réel par des décimaux ;

• associer à chaque point de la droite graduée un nombre réel et réciproquement.

Ressources • Document ressource cycle4 : nombres relatifs

• Document d’accompagnement du programme de mathématiques «le calcul numérique au collège», Eduscol Janvier 2007

• Découvrir de nouveaux nombres au collège, brochure IREM de Strasbourg 2012


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Nombres_relatifs/02/8/RA16_C4_MATH_doc_maitre_nombres_relatifs_comparer_calculer_resoudre_N.D_552028.pdf




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Soldes


• Il s’agit ici de calculer un taux de réduction (écart relatif entre le prix initial et le prix soldé), puis de l’exprimer en pourcentage.

• L’expression de sous forme de pourcentage nécessite la simplification de la fraction.

Analyse des distracteurs• La réponse 36% correspond au calcul de l’écart absolu entre le prix initial et le prix final

( ).

• Remarque : la réponse 70 % (non soumise) aurait pu résulter de la confusion entre le prix soldé et la remise.


Soldes



2

Pistes de différenciation pédagogique Simplifications

a) transformations possibles de l’item vers un niveau de maîtrise « satisfaisant »

• Demander de calculer le prix soldé après réduction de 30%.

• Jouer sur les variables didactiques : remplacer le prix soldé par 60€ (soit 50% du prix initial, d’où une réduction de 50 %), puis par 90€ (soit 75% du prix initial, d’où une réduction de 25%), etc.

b) transformations possibles de l’item vers un niveau de maîtrise « fragile »

• Demander de calculer le montant de la remise correspondant à 30 % du prix initial du manteau.

Remédiations • Calculer des réductions de 10%, 20%, 25%, 50% sur un prix donné.

• Calculer des prix après réductions de 10%, 20%, 25%, 50%.

• Calculer de prix après augmentations de 10%, 20%, 25%, 50%.

• Exprimer des fractions sous forme de pourcentages et des pourcentages sous forme de fractions.

Prolongements• Calculer des taux d’évolution dans des contextes variés (démographique, économique, financier,

etc.)

• Appliquer successivement deux remises exprimées en pourcentage.

• Automatiser des calculs de taux d’évolution à l‘aide d’un tableur.

• Faire le lien entre taux d’évolution et coefficient multiplicateur : augmenter de 5% revient à multiplier par 1,05 ; diminuer de 5% revient à multiplier par 0,95.

• Expliquer pourquoi, si A gagne 20% de plus que B, B ne gagne pas 20 % de moins que A.

Rubriques du programme de seconde permettant de remobiliser les pourcentages • Information chiffrée et statistiques descriptives : proportions, pourcentages, évolutions

successives, évolution réciproque.

• Remarque : la notion de pourcentage est également travaillée dans d’autres disciplines (géographie, économie, physique-chimie, SVT, technologie, EPS)

Ressources Document d’accompagnement cycle 4 sur la proportionnalité : questions flash


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Proportionnalite_/09/2/RA16_C4_MATH_RESOU_PROPO_555092.pdf


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a) Pourquoi l’item correspond-il à un niveau de maîtrise fragile ?

• La réussite de cet item ne suppose pas la compréhension de la proportionnalité, mais seulement l’application d’une règle (le produit en croix).

• Le modèle de proportionnalité est explicitement mentionné dans ‘énoncé et le tableau est donné.

b) Quelles sont les difficultés susceptibles de mettre un élève en échec ?

• Un élève ayant des difficultés au niveau de la maitrise de la langue peut avoir été mis en échec pour ne pas avoir fait le lien entre l’énoncé (dans lequel il est question de « morceau » de laiton) et la première ligne du tableau (dans laquelle il est question « d’échantillon »).

• L’utilisation de la locution « fois moins » dans la verbalisation de la règle de trois peut expliquer qu’un élève choisisse les réponses contenant des soustractions.





2

Analyse des distracteurs• Toutes les réponses autres que la réponse correcte traduisent l’application d’une règle

incomprise. • Les deux derniers distracteurs révèlent une incompréhension du sens et des contextes

d’utilisation des opérations.

Pistes de différenciation pédagogiquea) Simplification (transformation de l’item vers un niveau de maîtrise « insuffisant »)

• Dans le tableau, remplacer « masse totale de l’échantillon » par « masse du morceau de laiton ». • Jouer sur les variables didactiques : par exemple, remplacer 320 par 100 ou par 250.

b) Complexification (transformation de l’item vers un niveau de maîtrise « satisfaisant»)

• Ne pas demander de « cocher le calcul à effectuer pour calculer la valeur de x », mais proposer plusieurs valeurs pour la masse de cuivre contenue dans un morceau de laiton de 320g (passage du langage mathématique au langage naturel).

Remédiations a) Verbalisation de la règle de trois, avec retour à l’unité

« Comme 500g de laiton contiennent 320g de cuivre, 1g de laiton contient 500 fois moins de cuivre, soit 320/500 g de cuivre. 150g de laiton contiennent 150g fois plus de cuivre, soit ».

b) Utilisation de la propriété d’homogénéité

Pour la masse de laiton, on passe de 500 à 150 par multiplication par 0,3

Donc pour la masse de cuivre:

Prolongements • Calcul du coefficient de proportionnalité entre la masse du cuivre et celle du laiton.

• Représentation graphique de la masse du laiton en fonction de la masse du cuivre ou de la masse du cuivre en fonction de la masse du laiton.

Rubriques du programme de mathématiques de seconde permettant de remobiliser la proportionnalité

• Fonctions (linéaires).• Vecteurs colinéaires, homothéties.• Utilisation du calcul littéral.

Ressources Document d’accompagnement cycle 4 sur la proportionnalité




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Commentaires pédagogiquesAnalyse des difficultés de l’item

a) Pourquoi correspond-il au niveau de maîtrise satisfaisante ?

• Le passage d’une situation décrite en langage naturel à une représentation graphique nécessite un bon niveau de maîtrise de la compétence « représenter ».

• Certains élèves fragiles peuvent penser que les graphiques correspondent au profil de la route.






• Le modèle habituellement travaillé en classe concerne des déplacements à vitesse constante, ce qui n’est pas le cas ici.

• Dans cet item, on étudie l’évolution en fonction du temps, non pas de la distance parcourue, mais de la vitesse, ce qui est moins habituel.

• Le vocabulaire employé « augmenter régulièrement », « maintenir sa vitesse constante » peut poser des difficultés de compréhension.

• La rupture de pente.

• Le nombre important de réponses proposées.

Analyse des distracteurs• Voir le descriptif de la tâche

• Seules les 3 premières propositions modélisent correctement la phase d’augmentation régulière de la vitesse. La 2e phase doit être comprise pour pouvoir choisir la bonne réponse.

• Les 2 dernières propositions ne respectent pas la chronologie de la situation.


a) Simplification (transformation de l’item vers un niveau fragile)

• Limiter le nombre de graphiques pour cibler uniquement des difficultés dues au respect de la chronologie (graphiques A, D et E) ou relevant de la modélisation de la vitesse constante (graphiques A, B et C).

• Proposer une situation à une seule étape : « Léa a augmenté régulièrement sa vitesse ».

b) Complexification (transformation de l’item vers un niveau de très bonne maîtrise)

• Introduire dans la chronologie une étape supplémentaire (augmentation de la vitesse, puis diminution, puis vitesse constante).

• Introduire une graduation des axes (Léa a augmenté régulièrement sa vitesse pendant 2 minutes pour atteindre la vitesse de 200m par minute puis a maintenu sa vitesse jusqu’à la fin de sa course).

• Introduire un graphique correspondant à une croissance non régulière de la vitesse (traduite par une fonction non linéaire)

Remédiations • Faire expliciter par oral les grandeurs en jeu et leurs relations de dépendance.

• Travailler séparément des représentations graphiques traduisant une augmentation régulière et la constance de la vitesse.

• Introduire des graduations sur les axes et poser des questions s’y rapportant, par exemple : quelle est la vitesse de Léa au bout de ... minutes ? Au bout de combien de temps sa vitesse sera-t-elle de … ?






Prolongements possibles• Faire décrire oralement à quoi correspond chacune des cinq représentations.

• Proposer d’autres changements de cadre : tableau / expression algébrique / algorithme.

Situations du programme de seconde permettant de mobiliser la notion• Fonction affine, sens de variation des fonctions.

• Lien avec les problèmes de cinématique en sciences physiques.

Ressources • Document d’accompagnement Cycle 4 sur les fonctions

• Document d’accompagnement cycle 4 sur la proportionnalité


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Fonctions/03/3/RA16_C4_MATH_doc_maitre_comprendre_et_utiliser_fonctions_N.D_551033.pdf



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Comparaison d’une fraction


a) Pourquoi l’item correspond-il à un niveau de maîtrise « insuffisant » ?

La notion de fraction a été introduite dès le début du cycle 3 (classe de CM1 de l’école élémentaire) dans le cadre d’opérateur du partage (la moitié de , le quart de , les cinq quarts de ). La conception d’une fraction en tant que nombre, ainsi que les opérations et la comparaison de fractions, font partie des attendus de la fin du cycle 3.

Il est donc attendu que cet item, comme d’ailleurs la comparaison de deux fractions, l’une étant supérieure à 1 et l’autre étant inférieure à 1, soit réussi par tous les élèves.


• Inversion des rôles entre numérateur et dénominateur.

• Absence de compréhension du sens accordé au numérateur et au dénominateur : on partage de l’unité en 47 parts égales et on prend 48 de ces parts.

• Méconnaissance de la notion de quotient ( est le nombre qui, multiplié par donne ).




Comparaison d’une fraction

Pistes de différenciation pédagogiqueComplexification

• Transformation de l’item vers un niveau de maîtrise «fragile»

- Comparer deux fractions entre elles, les deux étant supérieures à 1 ou les deux étant inférieures à 1.

- Ranger une série de trois ou quatre fractions dont les dénominateurs sont égaux ou multiples l’un de l’autre.

• Transformation de l’item vers un niveau de maîtrise «satisfaisant»

- Comparer à 1.

- Ordonner une série de quatre fractions dont les numérateurs ou les dénominateurs sont des nombres entiers (autres que 1) ou décimaux.

Remédiations • Encadrer des fractions par deux entiers consécutifs.

• Comparer deux fractions de même numérateur ou de même dénominateur.

• Écrire une fraction positive supérieure (resp. inférieure) à 1 comme somme (resp. différence) d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.

• Positionner des fractions sur une droite graduée.

• Travailler sur différentes écritures d’un nombre rationnel (dont la forme irréductible des fractions qui le représentent).

Prolongements • Ordonner une série de nombres rationnels en jouant sur les différentes écritures de ces nombres.

• Associer un pourcentage d’augmentation ou de diminution à son coefficient multiplicateur correspondant. Entretenir l’automatisme de passage de l’un à l’autre.

Rubrique du programme de seconde permettant de remobiliser les fractionsManipuler les nombres réels

• Connaissances : ensemble des nombres rationnels.

• Capacités associées : donner un encadrement d’un nombre réel par des décimaux, d’amplitude donnée.

Utiliser le calcul littéral

• Connaissances : exemples simples de calculs sur des expressions algébriques, en particulier sur des expressions fractionnaires.

• Capacités associées : effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.

Ressources Document ressource cycle 4 : les fractions


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Fractions/22/5/RA16_C4_MATH_fractions_doc_maitre_comp-cal_resoudre_554225.pdf


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Figure codée


a) Raisons pouvant expliquer la réussite de l’item par les élèves de niveaux fragiles et supérieurs

• Des notions travaillées depuis le milieu du cycle 3.

• Les questions portent sur la lecture directe de la figure.

• Pas de question sur le parallélisme réel ou supposé, toujours plus délicat pour les élèves d’un niveau fragile (le quadrilatère ABDC est un carré par exemple).

• Pas de «piège» dans le nom des figures géométriques (ce qui aurait été le cas si l’une des réponses avait été « le triangle BCD est isocèle en C »).




Figure codée

b) Difficultés susceptibles de mettre en échec un élève de niveau de maîtrise insuffisant

• Vocabulaire ou notations mal maitrisés.

• Un QCM à 5 réponses dans lequel une seule est fausse peut déstabiliser certains élèves.

• Comme la figure est réalisée « à main levée », un élève fragile peut penser que le triangle BCD est équilatéral (et pour lui, sans être isocèle, par méconnaissance de la classification des triangles usuels).

Analyse des distracteurs• Pour les réponses 1 et 2, on teste la maîtrise du vocabulaire relatif aux longueurs.

• Pour la question 3, on teste le codage de l’angle droit. On aurait pu poser la question pour le triangle AEF, ce qui aurait permis de dépasser la seule lecture de la figure au profit d’un raisonnement.

• Pour la question 4, on teste la notion de milieu en utilisant implicitement le fait que le point E appartient au segment [AC] (malgré le petit trait qui dépasse sur la figue à main levée).

• Pour la question 5, on teste la connaissance du terme «isocèle».

Différenciation pédagogique

a) Transformation de l’item vers un niveau «satisfaisant»

Ouvrir quelques questions, par exemple en proposant comme réponses :

• Donner une médiatrice d’un segment.

• Donner des droites parallèles.

• Les longueurs FC et CD peuvent être égales.

• Les segments [EC] et [CF] peuvent avoir la même longueur.

• Quels codages faut-il rajouter pour que le quadrilatère ABDC soit un carré ?

b) Transformation de l’item vers un niveau de très bonne maîtrise. Proposer trois possibilités : Vrai - Faux - On ne peut pas conclure.

• Remplacer deux des trois réponses 3, 4 ou 5 par les réponses suivantes :

Les triangles ABC et BCD sont symétriques.

Les droites (AF) et (BC) sont parallèles.

Remédiations possibles Demander dans un premier temps d’écrire toutes les informations données par la figure (égalité de longueur, angles …), puis tout ce que la figure ne permet pas de dire.

Rubriques du programme de seconde permettant de remobiliser la géométrie du raisonnementRésoudre des problèmes de géométrie sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).





Figure codée

Ressources Document ressources cycle 4 : Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Geometrie_plane/31/2/RA16_C4_MATH_geo_plane_doc_maitre_574312.pdf


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Test


a) Pourquoi l’item correspond-il à un niveau de maîtrise insuffisant ?

La réussite de cet item ne suppose aucune compétence technique propre au calcul littéral (développer, factoriser, réduire, résoudre). Il s’agit d’une tâche d’exécution, les nombres en jeu étant tous des entiers inférieurs à 100, ce qui rend les opérations particulièrement simples.


Les conventions d’écriture (absence du signe entre les deux facteurs) et les règles de priorité opératoires peuvent entrainer des difficultés.

Analyse des distracteursIl s’agit d’un item de type vrai-faux dont l’objectif est de vérifier la capacité à tester une égalité. Dans une évaluation en classe, cet item gagnerait à être intégré dans un tableau comportant plusieurs questions visant le même objectif afin d’éviter la probabilité de réussite due au hasard.




Test


a) transformation de l’item vers un niveau de maîtrise « fragile»

• L’égalité 3 4 2 5x x+ = + est-elle vraie pour 2x = ? Justifier la réponse.

• L’égalité 3 4 2 5x x+ = + est-elle vraie 1x = ? Justifier la réponse.

b) transformation de l’item vers un niveau de maîtrise « satisfaisante»

• L’égalité 3x2 − 2x = 8est-elle vraie pour 2x = ? Justifier la réponse.

• L’égalité 3 4 2 5x x+ = + est-elle vraie pour ? Justifier la réponse.

• Le nombre est-il solution de l’équation Justifier la réponse.

c) transformation de l’item vers un niveau de très bonne maîtrise

• Le nombre x = −3 est-il solution de l’équation 73x2 + 2 = −9x − 4 ?

Remédiations • Travail sur le calcul mental.

• Travail sur le choix de valeurs sur lesquelles on effectue le test (intelligence du calcul).

• Travail sur la transformation éventuelle d’une expression algébrique pour l’adapter au problème à résoudre : quand faut-il transformer un produit en somme, une somme en produit ?

Prolongements • Résoudre des équations en lien avec des grandeurs de nature géométrique (longueurs, aires,

volumes) ou physique (vitesse, masse, intensité, etc.).

Rubriques du programme de seconde permettant de remobiliser la notion d’équationUtiliser le calcul littéral : ensemble des solutions d’une équation, d’une inéquation.

Ressources Document d’accompagnement cycle 4 sur le calcul littéral




Mathématiques


Général

Technologique

Professionnel

Lycée

Tours de l’étang


a) Pourquoi l’item correspond-il à un très bon niveau de maîtrise ?

• Il s’agit de modéliser une situation de la vie courante. La modélisation fait appel à la notion de multiple. Mais le résultat attendu n’est ni le quotient ni le reste de la division euclidienne de 1500 par 400.

• Le temps dont disposent les élèves pour résoudre cet exercice est sans doute peu propice à l’utilisation d’un brouillon pour raisonner sur une figure tracée à main levée.

b) Cependant, les élèves de faible niveau peuvent ici simuler directement un, deux, puis trois tours, sans mobiliser la notion théorique de multiple.




Tours de l’étang

Analyse des distracteurs• La réponse 300m correspond au reste de la division euclidienne de 1500 par 400. Cela

correspond à la distance qu’il reste à parcourir par un coureur ayant effectué exactement trois tours de l’étang. Les élèves qui fournissent cette réponse ont effectué un raisonnement erroné, mais en lien avec la notion de multiple.

• Les deux dernières propositions peuvent être fournies par des élèves ayant mal identifié la situation et adoptant sans réflexion une démarche d’exploitation des données numériques de l’énoncé sous forme additive (1900) ou soustractive (1100).


a) Simplifications de l’item pour en faire un item correspondant au niveau de maîtrise « satisfaisant »

• Travailler sur une course en «ligne droite» avec des plots tous les 400 m et demander la distance qui sépare la ligne d’arrivée du dernier plot, éventuellement en modifiant les valeurs numériques.

• Dans le contexte de la course autour de l’étang, proposer de réfléchir à un coureur qui a fait trois tours et demander à quelle distance il se trouve de l’arrivée.

• Garder le contexte de la course autour de l’étang et demander à quelle distance de la ligne de départ se trouverait l’arrivée d’une course de 1300m, puis de 1400m, avant de passer à 1500m.

Remédiations • Manipuler avec de la ficelle et un cadran circulaire pour résoudre le problème.

• Étudier des problèmes d’horaires en s’appuyant sur une montre à cadrant circulaire afin de créer des analogies.

• Verbaliser en demander d’inventer des problèmes similaires (calcul du nombre complet de tours, de la distance qu’il reste à parcourir après un nombre complet de tours, etc.)

Prolongements possibles• Utiliser un axe gradué et des exemples numériques simples (à l’image de cet item) pour travailler,

puis institutionnaliser la propriété suivante : étant donnés deux entiers positifs et , où 0 < , il est toujours possible d’encadrer le nombre par deux multiples consécutifs du nombre .

• Interpréter cette propriété dans le contexte de la course autour de l’étang : comprendre à quoi correspondent la longueur de l’étang, la longueur de la course, l’écart entre les lignes de départ et d’arrivée.

Rubriques du programme de seconde permettant de remobiliser la notion de multipleUtiliser les notions de multiples, de diviseurs et de nombres premiers.

Ressources :Document ressource cycle 4 : divisibilité et nombres premiers


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Arithmetique/12/8/RA16_C4_MATH_arithm_doc_maitre_comp_utiliser_548128.pdf


Mathématiques


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Lycée

Multiples et diviseurs


a) Pourquoi l’item correspond-il à un niveau de maîtrise «fragile» ?

Les items mettent en jeu des relations élémentaires de divisibilité entre des nombres simples (critères de divisibilité et tables de multiplication).


• Méconnaissance des tables de multiplication.

• Incompréhension de la notion de diviseur ou de multiple.

• Difficulté à effectuer les divisions de 98 par 14 et de 105 par 21.


a) Simplification (transformation de l’item vers un niveau de maîtrise « insuffisant »)

• Poser des questions similaires sur des relations de divisibilités accessibles par les seules tables de multiplication.

• Poser des questions similaires sur des nombres n’excédant pas 60.




Multiples et diviseurs

b) Complexification (transformation de l’item vers un niveau de maîtrise « satisfaisant »)

• Poser des questions similaires sur des nombres plus grands.Par exemple : « 252 est-il un multiple de 4 ? »

• Faire démontrer le critère de divisibilité par 4.

Remédiations • Travailler les critères de divisibilité classiques (2, 3, 5, 9).

• Travailler les faits numériques multiplicatifs de base (dont les tables de multiplication) via des opérations à trous et employer systématiquement le vocabulaire associé (multiple, diviseur, quotient).

• Recourir à un tableur pour établir, par copier-glisser, la liste des multiples d’un nombre en vue de répondre aux questions de l’item.

Prolongements • Décomposition en produits de facteurs premiers.

• Établir la liste de tous les diviseurs d’un nombre : via la décomposition en produit de facteurs premiers ou par paires de diviseurs associés.

Rubrique du programme de seconde permettant de remobiliser les notions de diviseur et de multipleUtiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier

• Connaissances : définition des notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair.

• Capacités associées : modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair.

Ressources • Document ressource cycle 4 : divisibilité et nombres premiers

• Exemples de questions « flash » : multiples, diviseurs et critères de divisibilité


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Arithmetique/12/8/RA16_C4_MATH_arithm_doc_maitre_comp_utiliser_548128.pdf

http://cache.media.education.gouv.fr/file/Nombres_relatifs/03/0/RA16_C4_MATH_flash_activites_mentales_N.D_552030.pdf


Mathématiques


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Lycée



a) Pourquoi l’item correspond-il à un niveau de maîtrise «insuffisant» ?

Il s’agit d’associer les proportions mentionnées dans un tableau à un diagramme circulaire déjà représenté. Il suffit en fait de repérer le diagramme dans lequel le secteur correspondant à l’hydrogène a la plus grande mesure.


• Mauvaise prise en compte des noms des gaz mentionnés dans la légende des diagrammes circulaires représentés ;

• Méconnaissance de la proportionnalité entre la mesure d’un secteur angulaire et la quantité du constituant correspondant de l’atmosphère.

• Présence du tableau donnant la constitution de l’atmosphère terrestre.





Analyse des distracteurs• Le graphique C correspond à une répartition équitable des gaz : la proportion de chacun d’entre

eux correspond à un tiers de l’atmosphère terrestre.

• Les graphiques A et D correspondent à des interversions entre les trois gaz de l’atmosphère d’Uranus.

Pistes de différenciation pédagogiqueComplexification (transformation de l’item vers un niveau de maîtrise « fragile »)

• Choisir une situation dans laquelle les écarts entre les trois proportions, et donc les mesures des secteurs angulaires correspondants, sont moins marqués.

• Parmi les quatre propositions, en proposer deux respectant l’ordre des proportions des différents constituants, mais pas leurs valeurs.

Remédiations • Vis-à-vis de la légende :

- ôter le tableau précisant les constituants principaux de l’atmosphère terrestre afin d’éviter une surcharge d’informations (inutiles) ;

- le tableau et uniquement le diagramme B étant donnés, demander de compléter la légende en indiquant à quel secteur correspond chacun des trois gaz.

• Vis-à-vis du principe proportionnalité de la mesure des secteurs angulaires :

- associer les fractions ( , , , etc.) et les pourcentages de base ( %, %, 75%, etc.) aux secteurs angulaires correspondants (soit représentés, soit via leurs mesures en degrés : °,

°, 270°, etc.) ; entretenir les automatismes de passage des uns aux autres ;

- proposer une situation analogue à cet item avec des données entières, en particulier parmi celles de base ( %, %, etc.).

Prolongements • Proposer de représenter la composition (des constituants principaux) de l’atmosphère d’Uranus

sur une barre graduée de longueur 1 unité (10 cm ou 10 carreaux).

Rubrique du programme de seconde permettant de remobiliser les diagrammes circulairesInformation chiffrée et statistique descriptive

• Connaissances : proportion, pourcentage.

• Capacités attendues : exploiter la relation entre effectifs, proportions et pourcentages.

Ressources Document ressource cycle 4 : interpréter, représenter et traiter des données


http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Traitement_des_donnees/03/6/RA16_C4_MATH_doc_maitre_564036.pdf


Mathématiques


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Lycée



• La réussite de cet item suppose de passer du registre graphique au registre numérique.

• Il nécessite deux lectures graphiques (le nombre de clients du vendredi et le nombre total de clients), le calcul d’une proportion et son expression en pourcentage.

Analyse des distracteurs• Se référer au descriptif de la tâche.

Pistes de différenciation pédagogiqueSimplification (transformation de l’item vers un maîtrise « satisfaisant » )

• Modifier les effectifs pour que chacun soit un multiple de 100





2

Remédiations • Lire et produire des diagrammes en bâtons, éventuellement en jouant sur l’origine des ordonnées.

• Exprimer sous forme de pourcentages des fractions décimales, par exemple : ; ; ; ; ; etc.

• Entretenir les automatismes sur le passage d’une fraction à un pourcentage et vice versa et les mobiliser dans des calculs du type : calculer 50 % de 240, 100 % de 45, 10 % de 80 , 75% de 280, etc.

Prolongements• Autres modes de représentation de la répartition des clients (notamment à l’aide d’un diagramme

circulaire).

• Interpréter et produire des histogrammes.

Rubriques du programme de seconde permettant de remobiliser la lecture graphique et les pourcentagesInformation chiffrée et statistiques descriptives.

Ressources Document d’accompagnement cycle 4 sur la proportionnalité : questions flash



Exploitation pédagogique des tests de...

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