ExoReductionEndo(Fran)

Agregation interne de MathematiquesDepartement de Mathematiques

Universite de La RochelleF. Geo!riau

2006-2007

Exercices sur la reduction des endomorphismes1. Valeurs propres communes2. Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)3. Diagonalisation dans M3(k)4. Trigonalisation dans M3(k)5. Valeur propre commune6. Sous-groupe fini de GL(E)7. Trace nulle des puissances d’une matrice8. Limite de suites de matrices9. Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)10. Matrice compagnon11. Polynome caracteristique d’un produit12. Le rayon spectral



2006-2007

Exercices sur la reduction des endomorphismesEnonces

Agregation Interne de Mathematiques, Universite de La Rochelle, Exercices sur la reduction des endomorphismes

1. – Valeurs propres communes

Soit f et g deux endomorphismes d’un k-espace vectoriel de dimension finie. Montrerque f ! g et g ! f ont meme valeurs propres (f et g ne sont pas supposes commuter).

Indication Solution F. Geo!riau


2. – Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)

D’abord pour k = R puis pour k = C, etudier la possibilite de diagonaliser l’endomor-phisme de k3 determine dans la base canonique (e1, e2, e3) par la matrice

M =

!

"0 "2 01 0 "10 2 0

#

$

Dans le cas ou il est diagonalisable, determiner des matrices P # GL3(k) et D # M3(k)diagonale telles que M = PDP!1 et calculer Mk, k # N".



3. – Diagonalisation dans M3(k)

Soit !, ", # # k. Discuter la possibilite de diagonaliser la matrice

M =

!

"1 ! "0 1 #0 0 "1

#

$



4. – Trigonalisation dans M3(k)

Trigonaliser l’endomorphisme de k3 determine dans la base canonique (e1, e2, e3) parla matrice

M =

!

""3 "3 2

1 1 "22 4 "4

#

$

c’est-a-dire, determiner des matrices P # GL3(k) et T # M3(k) triangulaire superieuretelles que M = PTP!1.



5. – Valeur propre commune

Soit A et B deux matrices de Mn(C). On suppose qu’il existe C # Mn(C) non nulletelle que AC = CB.a. Montrer que AkC = CBk pour tout entier k # N et en deduire que P (A)C = CP (B)pour tout polynome P # C[X].b. Montrer qu’il existe une valeur propre commune a A et B.



6. – Sous-groupe fini de GL(E)

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corpsalgebriquement clos tel que up = idE . Montrer que u est diagonalisable.

Soit G un sous-groupe fini de GL(E). Montrer que tous les elements de G sontdiagonalisables.



7. – Trace nulle des puissances d’une matrice

Soit k un corps algebriquement clos et A une matrice de Mn(k) telle que la trace deAk soit nulle pour tout k # N". Montrer par recurrence que A est nilpotente.



8. – Limite de suites de matrices

Soit A,B # Mn(C) avec AB = BA et A diagonalisable. Montrer qu’il existe unesuite (Bp)p#N de matrices diagonalisables, de limite B, et verifiant ABp = BpA pour toutp # N.



9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)

Soit A,B # Mn(C). Determiner les valeurs propres de l’endomorphisme

$

%%%%Mn(C) "$ Mn(C)

M %"$ MA + BM



10. – Matrice compagnon

Soit P (X) = Xn + an!1Xn!1 + · · · + a1X + a0 un polynome de k[X]. La matricecompagnon de P est la matrice M = (!ij) # Mn(k) definie par

!ij =

& 1 si i = j + 1 et 1 ! j ! n" 10 si i &= j + 1 et 1 ! j ! n" 1"ai!1 si j = n et 1 ! i ! n

a. Determiner le polynome caracteristique %M de M .b. Determiner le polynome minimal µM de M .



11. – Polynome caracteristique d’un produit

Soit A et B deux matrices de Mn(C). Montrer que AB et BA ont meme polynomecaracteristique.



12. – Le rayon spectral

Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et || · || une norme sur L(E). Soitu # L(E), on note &u le rayon spectral de u (le module maximal des valeurs propresde u).

Montrer que&u = lim

p$+%||up||1/p




2006-2007

Exercices sur la reduction des endomorphismesIndications


1. – Valeurs propres communesIndication

Soit ' une valeur propre de f ! g. Si ' est nulle, montrer que g ! f n’est pas inversible(utiliser le determinant). Si ' est non nulle, prendre un vecteur propre associe a '.

Enonce Solution F. Geo!riau


2. – Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)Indication

Le polynome caracteritique de A est X3 + 4X.



3. – Diagonalisation dans M3(k)Indication

Discuter suivant !.



4. – Trigonalisation dans M3(k)Indication

Autant chercher une forme de Jordan. La seule valeur propre de M est "2, choisiralors un vecteur qui n’est pas annule par (M + 2I3)2.



5. – Valeur propre communeIndication

a. Faire une recurrence.b. Prendre comme polynome, le polynome caracteristique %A (ou le polynome minimal)de A et raisonner par l’absurde en montrant que si B n’a pas de valeur propre communeavec A, %A(B) est une matrice inversible.



6. – Sous-groupe fini de GL(E)Indication

L’endomorphisme u est annule par le polynome Xp " 1. Pour la deuxieme question,utiliser l’ordre du groupe.



7. – Trace nulle des puissances d’une matriceIndication

On montrera que 0 est une valeur propre de A en utilisant le theoreme de Cayley-Hamilton, il existe alors P # GLn(k), B # Mn!1(k) et X # M1,n!1(k) telles que

P!1AP ='

0 X0 B

(



8. – Limite de suites de matricesIndication

Remplacer A par une matrice diagonale et montrer alors que B est diagonale par bloc.



9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)Indication

Les valeurs propres de $ sont les complexes de la forme ' + µ avec ' valeur propre deA et µ valeur propre de B.



10. – Matrice compagnonIndication

a. Pour calculer le determinant det(XIn "M), ajouter a la premiere ligne une combi-naison des autres lignes et developper.b. Considerer l’application f : kn $ kn dont la matrice associee dans la base canonique(e1, . . . , en) est M et montrer que, pour tout polynome Q non nul de degre strictementinferieur a n, Q(f)(e1) est non nul.



11. – Polynome caracteristique d’un produitIndication

Premiere methode : le demontrer tout d’abord pour A inversible puis considerer unvoisinage V de 0 dans C tel que pour tout x # V \ {0}, Ax = A + xIn soit inversible.

Deuxieme methode : considerer les matrices par blocs

M(') ='

'In "BA B0 In

( 'In B'A 'In

(N(') =

'0 'In

'In "AB A

( '0 In

In B

(



12. – Le rayon spectralIndication

On pourra prendre comme norme une norme sous-multiplicative, i.e. telle que pourtous v, w # L(E)

||v ! w|| ! ||v|| ||w||

Et on pourra ecrire u = d + n avec d, n # L(E), d diagonalisable, n nilpotente etd ! n = n ! d. On montrera alors que Sp(u) = Sp(d) et qu’on peut se ramener aucas ou u = d.




2006-2007

Exercices sur la reduction des endomorphismesSolutions


1. – Valeurs propres communesSolution

Soit ' une valeur propre de f ! g.Supposons ' nul. Alors f ! g est non bijective et son determinant est nul (l’espace

vectoriel etant de dimension finie, on peut parler de determinant d’endomorphisme).Ainsi

det(g ! f) = det(g) det(f) = det(f) det(g) = det(f ! g) = 0

Donc g ! f est non bijective et en particulier non injective, d’ou 0 est une valeur proprede g ! f .

Supposons que ' soit non nul. Soit x un vecteur propre de f ! g associe a '. Alors

g ! f)g(x)

*= g

)f ! g(x)

*= g('x) = 'g(x)

Si g(x) = 0, alors 'x = f ! g(x) = 0, ce qui est impossible car ' et x sont non nuls. Doncg(x) est non nul et c’est un vecteur propre de g ! f associe a '. Ainsi ' est une valeurpropre de g ! f .

Enonce Indication F. Geo!riau


2. – Diagonalisation dans M3(R) ou M3(C)Solution

On a

%M (X) =

%%%%%%

X 2 0"1 X 1

0 "2 X

%%%%%%= X3 + 4X

Les valeurs propres de M dans C sont 0, 2i et "2i. Ainsi M n’est pas diagonalisabledans M3(R) (car le polynome %M n’est pas scinde dans R[X]) et est diagonalisable dansM3(C) (car les trois valeurs propres sont distinctes).

Soit

!

"xyz

#

$ # C3. On a

M

!

"xyz

#

$ = 0 '(

+,

-

"2y = 0x" z = 02y = 0

'(.

y = 0z = x

M

!

"xyz

#

$ = 2i

!

"xyz

#

$ '(

+,

-

"2y = 2ixx" z = 2iy2y = 2iz

'(.

z = "xy = "ix



M

!

"xyz

#

$ = "2i

!

"xyz

#

$ '(

+,

-

"2y = "2ixx" z = "2iy2y = "2iz

'(.

z = "xy = ix

Donc !

"101

#

$

!

"1"i"1

#

$

!

"1i"1

#

$

sont respectivement des vecteurs propres associes a 0, 2i et "2i. Donc en posant

P =

!

"1 1 10 "i i1 "1 "1

#

$ et D =

!

"0 0 00 2i 00 0 "2i

#

$

on a M = PDP!1. De plus

det(P ) = 4i et P!1 =1

det(M)t Com(M) =

14i

!

"2i 0 2ii "2 "ii 2 "i

#

$

Ainsi on a

M =14

!

"1 1 10 "i i1 "1 "1

#

$

!

"0 0 00 2i 00 0 "2i

#

$

!

"2 0 21 2i "11 "2i "1

#

$



Et pour k # N",

Mk = (PDP!1)k = PDkP!1

=14

!

"1 1 10 "i i1 "1 "1

#

$

!

"0 0 00 2i 00 0 "2i

#

$k !

"2 0 21 2i "11 "2i "1

#

$

=14

!

"1 1 10 "i i1 "1 "1

#

$

!

"0 0 00 (2i)k 00 0 ("2i)k

#

$

!

"2 0 21 2i "11 "2i "1

#

$

=14

!

"(2i)k + ("2i)k (2i)k+1 + ("2i)k+1 "(2i)k " ("2i)k

"i(2i)k + i("2i)k "i(2i)k+1 + i("2i)k+1 i(2i)k " i("2i)k

"(2i)k " ("2i)k "(2i)k+1 " ("2i)k+1 (2i)k + ("2i)k

#

$

Ainsi

M2k = ("1)k22k!1

!

"1 0 "10 2 0"1 0 1

#

$ et M2k+1 = ("1)k+122k

!

"0 2 0"1 0 10 "2 0

#

$



3. – Diagonalisation dans M3(k)Solution

Soit (e1, e2, e3) la base canonique de k3 et soit $ l’endomorphisme de k3 dont la matricedans la base (e1, e2, e3) soit M . Les valeurs propres de $ sont 1 et "1, la premiere ayantune multiplicite de 2 et la deuxieme de 1.

On a $(e1) = e1 et ($ " idk3)2(e2) = ($ " idk3)(e1) = 0. Donc (e1, e2) est une basedu sous-espace caracteristique de $ associe a 1.

Soit e4 un vecteur propre de $ associee a "1. La famille (e1, e2, e4) est une base dek3 et la matrice de $ dans cette base est

N =

!

"1 ! 00 1 00 0 "1

#

$

Si ! est nul, alors N est diagonale et M est diagonalisable.Si la matrice M est diagonalisable, la restriction de $ au sous-espace caracteristique

associe a 1 est diagonalisable et donc sa matrice dans la base (e1, e2)

'1 !0 1

(



est diagonalisable et alors ! = 0.

Autre methode. Le polynome caracteristique de M est (X " 1)2(X + 1), donc lepolynome minimal de M est (X"1)(X+1) ou (X"1)2(X+1). Ainsi M est diagonalisablesi et seulement si elle est annulee par (X " 1)(X + 1) = X2 " 1, i.e. si et seulement siM2 = I3. Or

M2 =

!

"1 2! !#0 1 00 0 1

#

$

Donc M est diagonalisable si et seulement si ! = 0.



4. – Trigonalisation dans M3(k)Solution

On a%%%%%%

X + 3 3 "2"1 X " 1 2"2 "4 X + 4

%%%%%%= (X + 3)

)(X " 1)(X + 4) + 8

*+ 3(X + 4)" 8" 12" 4(X " 1)

= X3 + 6X2 + 12X + 8 = (X + 2)3

Ainsi la seule valeur propre de M est "2.Soit v = (x, y, z) # k3,

M · v = "2v '(

+,

-

"3x" 3y + 2z = "2xx + y " 2z = "2y2x + 4y " 4z = "2z

'(

+,

-

x + 3y " 2z = 0x + 3y " 2z = 02x + 4y " 2z = 0

'(.

x + y = 0y " z = 0

donc le vecteur v1 = (1,"1,"1) est un vecteur propre de M et le sous-espace propreassocie est de dimension 1. Donc M n’est pas diagonalisable et elle est semblable a lamatrice

T =

!

""2 1 0

0 "2 10 0 "2

#

$



On cherche v2 # k3 tel que M · v2 = v1 " 2v2. Soit v = (x, y, z) # k3,

M · v = v1 " 2v '(

+,

-

"3x" 3y + 2z = 1" 2xx + y " 2z = "1" 2y2x + 4y " 4z = "1" 2z

'(

+,

-

x + 3y " 2z = "1x + 3y " 2z = "12x + 4y " 2z = "1

'(.

x + y = 02y " 2z = "1

on pose donc v2 = (0, 0, 1/2) .On cherche v3 # k3 tel que M · v3 = v2 " 2v3. Soit v = (x, y, z) # k3,

M · v = v2 " 2v '(

+,

-

"3x" 3y + 2z = "2xx + y " 2z = "2y2x + 4y " 4z = 1/2" 2z

'(

+,

-

x + 3y " 2z = 0x + 3y " 2z = 02x + 4y " 2z = 1/2

'(.

x + y = 1/22y " 2z = "1/2

on pose donc v3 = (1/2, 0, 1/4) .On pose

P =

!

"1 0 1/2"1 0 0"1 1/2 1/4

#

$



et on a M = PTP!1.

Autre methode. On a

(M + 2I3)2 =

!

""1 "3 21 3 "22 4 "2

#

$2

=

!

"2 2 0"2 "2 0"2 "2 0

#

$

On choisit un vecteur w3 n’appartenant au noyau de (M +2I3)2, soit w3 = (1, 0, 0). Alorson pose

w2 = (M + 2I3) · w3 = ("1, 1, 2) et w1 = (M + 2I3) · w2 = (2,"2,"2)

La famille (w1, w2, w3) est une base de k3 et l’endomorphisme dont la matrice dans labase canonique de k3 est M a pour matrice dans la base (w1, w2, w3) la matrice

T =

!

""2 1 0

0 "2 10 0 "2

#

$

Et en posant

P =

!

"2 "1 1"2 1 0"2 2 0

#

$

on a M = PTP!1.



5. – Valeur propre communeSolution

a. On a A0C = InC = C = CIn = CB0. Soit k # N, supposons que AkC = CBk. Alors

Ak+1C = AkAC = AkCB = CBkB = CBk+1

Donc d’apres le theoreme de recurrence, pour tout k # N, on a AkC = CBk.Soit P =

/!kXk un polynome de C[X]. Alors d’apres ce qui precede

P (A)C =01

!kAk2C =

1!kAkC =

1!kCBk = C

1!kBk = CP (B)

b. Soit '1, . . . ,'n les valeurs propres de A. Supposons qu’aucune ne soit valeur proprede B, alors pour tout i = 1, . . . , n, la matrice B " 'iIn est inversible et donc le produit

%A(B) =n3

i=1

(B " 'iIn)

aussi, ou %A =4n

i=1(X"'i) est le polynome caracteristique de A. Or d’apres la premierequestion et d’apres le theoreme de Cayley-Hamilton

C%A(B) = %A(A)C = 0

donc C est nulle, ce qui est contraire aux hypotheses. Donc l’une des valeurs propres deA est valeur propre de B.



6. – Sous-groupe fini de GL(E)Solution

Puisque up = idE , l’endomorphisme u est annule par le polynome Xp " 1. Or cepolynome n’a que des racines simples et donc l’endomorphisme u est diagonalisable.

Soit p l’ordre du groupe G. D’apres le theoreme de Lagrange, pour tout u # G, on aup = idE et d’apres ce qui precede, u est diagonalisable.

Si de plus G est commutatif, on peut trouver une base commune de diagonalisationdes elements de G.



7. – Trace nulle des puissances d’une matriceSolution

Si n = 1, il est clair qu’une matrice de trace nulle est nilpotente (et meme nulle).Supposons que pour toute matrice B # Mn!1(k) dont les traces des puissances soient

nulles est nilpotente.Soit %A =

/k !kXk le polynome caracteristique de A. D’apres le theoreme de Cayley-

Hamilton, on a0 = %A(A) =

1

k

!kAk

La trace etant une application lineaire, on a

0 = tr(0) = tr01

k

!kAk2

=1

k

!k tr(Ak) = n!0

Ainsi le terme constant du polynome caracterisque de A (qui est det(A)) est nul. Parconsequent 0 est racine de %A et valeur propre de A. Il existe donc une matriceB # Mn!1(k) telle que A est semblable a une matrice de la forme

!

55"

0 ) · · · )0... B0

#

66$



Par recurrence, on montre que pour tout k # N", Ak est semblable a une matrice de laforme !

55"

0 ) · · · )0... Bk

0

#

66$

donc tr(Bk) = tr(Ak) = 0. Ainsi la matrice B verifie les memes conditions que la matriceA. Par hypothese de recurrence, B est nilpotente. Par consequent il existe k # N" telque Bk = 0 et Ak soit semblable a

!

55"

0 ) · · · )0... 00

#

66$

Donc Ak est nilpotente ainsi que A.



8. – Limite de suites de matricesSolution

Puisque A est diagonalisable, il existe une matrice P inversible et une matrice D dela forme

D =

!

5555"

'1In1 0 · · · 0

0 '2In2

. . ....

.... . . . . . 0

0 · · · 0 'rInr

#

6666$

telles que A = PDP!1 et '1, . . . ,'r deux a deux distincts. On a PDP!1B = BPDP!1,d’ou DP!1BP = P!1BPD. Ainsi la matrice D commute avec la matrice B& = P!1BP .

En ecrivant la matrice B& = (Bi,j)i,j par blocs, on obtient

!

555"

'1B1,1 '1B1,2 · · · '1B1,r

'2B2,1 '2B2,2 · · · '2B2,r

......

. . ....

'rBr,1 'rBr,2 · · · 'rBr,r

#

666$=

!

555"

'1B1,1 '1B1,2 · · · '1B1,r

'2B2,1 '2B2,2 · · · '2B2,r

......

. . ....

'rBr,1 'rBr,2 · · · 'rBr,r

#

666$

donc Bi,j = 0 pour i, j # {1, . . . , r}, i &= j.



Pour i # {1, . . . , r}, il existe une suite (Bi,i,n)n#N de matrices diagonalisablesconvergeant vers Bi,i (il su"t de triangulariser la matrice Bi,i et de modifier les elementsde la diagonale). Pour n # N, on pose

Bn =

!

5555"

B1,1,n 0 · · · 0

0 B2,2,n. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 Br,r,n

#

6666$

La matrice Bn est une matrice diagonalisable comme etant une matrice diagonale dematrices diagonaliables, elle commute avec D (car les matrices Bi,i,n commutent avec lesmatrices 'iIni) et la suite (Bn)n#N converge vers B&.

Soit n # N, la matrice PBnP!1 est diagonalisable (etant equivalente a une matricediagonalisable) et elle commute avec PDP!1 = A et la suite (PBnP!1)n#N converge versPB&P!1 = B



9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn(C)Solution

Soit ' et µ deux valeurs propres de A et B respectivement, alors ' est aussi une valeurpropre de tA et il existe X, Y # CCn non nuls tels que

tAX = 'X et BY = µY

Alors en posant M = Y tX, on a

$(M) = Y tXA + BY tX = Y t(tAX) + BY tX = (' + µ)Y tX = (' + µ)M

Donc M etant non nulle, ' + µ est une valeur propre de $.Reciproquement soit ( une valeur propre de $ et M # Mn(C) une matrice non nulle

telle que $(M) = (M . DoncMA = ((In "B)M

Par recurrence, on montre que pour tout entier k # N, on a MAk = ('In "B)kM et parlinearite que pour tout polynome P # C[X], MP (A) = P ((In "B)M .

Soit µA le polynome minimal de A. Puisque C est algebriquement clos, il existe'1, . . . ,'k # C telles que

µA = (X " '1) · · · (X " 'k)



et '1, . . . ,'k sont les valeurs propres de A (non necessairement deux a deux distinctes).On alors

)(( " '1)In "B

*· · ·

)(( " 'k)In "B

*M = µA((In "B)M = MµA(A) = 0

Comme M est non nulle, il existe i # {1, . . . , k} tel que (("'i)In"B soit non inversible,et donc ( " 'i est une valeur propre de B.

Ainsi les valeurs propres de $ sont les complexes de la forme '+µ avec ' valeur proprede A et µ valeur propre de B.



10. – Matrice compagnonSolution

a. La demonstration se fait par recurrence. La propriete est clairement etablie pourn = 1. Supposons qu’elle soit etablie pour n" 1. On a

%M =

%%%%%%%%%%%%

X 0 . . . 0 a0

"1 X. . .

... a1

0. . . . . . 0

......

. . . . . . X an!2

0 . . . 0 "1 X + an!1

%%%%%%%%%%%%

= X

%%%%%%%%%%%%

X 0 . . . 0 a1

"1 X. . .

... a2

0. . . . . . 0

......

. . . . . . X an!2

0 . . . 0 "1 X + an!1

%%%%%%%%%%%%

+

%%%%%%%%%%%%

0 0 . . . 0 a1

"1 X. . .

... a2

0. . . . . . 0

......

. . . . . . X an!2

0 . . . 0 "1 X + an!1

%%%%%%%%%%%%



Et d’apres l’hypothese de recurrence, on a

%%%%%%%%%%%%

X 0 . . . 0 a1

"1 X. . .

... a2

0. . . . . . 0

......

. . . . . . X an!2

0 . . . 0 "1 X + an!1

%%%%%%%%%%%%

= Xn!1 + an!1Xn!2 + · · · + a2X + a1

Donc

%M = X(Xn!1 + an!1Xn!2 + · · · + a2X + a1) + ("1)n!2

%%%%%%%%%%%%

"1 X 0 . . . 0

0 "1. . . . . .

......

. . . . . . . . . 0...

. . . . . . X0 . . . . . . 0 "1

%%%%%%%%%%%%

= Xn + an!1Xn!1 + · · · + a2X

2 + a1X + a0

= P



b. D’apres le theoreme de Cayley-Hamilton, le polynome P = %M annule M . Pourmontrer que c’est le polynome minimal, il su"t de montrer qu’aucun polynome de degrestrictement inferieur a n ne peut annuler M . On a

M =

!

555555"

0 . . . . . . 0 a0

1 0... "a1

0. . . . . .

......

.... . . . . . 0 "an!2

0 . . . 0 1 "an!1

#

666666$

Soit (e1, . . . , en) la base canonique de kn et $ l’endomorphisme de kn de matrice M danscette base. On a

* i # {1, . . . , n" 1} $(ei) = ei+1

et on montre par recurrence que pour tout k # {1, . . . , n"1}, on a $k(e1) = ek+1 et donc$k(e1) n’est pas combinaison lineaire de e1,$(e1), . . . ,$k!1(e1). Ainsi $ n’est pas annulepar un polynome de degre k.

Donc le polynome minimal de M est de degre au moins n, c’est donc %M . AinsiµM = %M = P .



11. – Polynome caracteristique d’un produitSolution

Supposons la matrice A inversible. Pour tout ' # C, on a

%AB(') = det('In "AB) = det)A('In "BA)A!1

*

= det(A) det('In "BA) det(A!1) = det('In "BA)= %BA(')

Ainsi %AB = %BA.Supposons maintenant A non inversible. Soit ' # C. Soit µ # C un complexe qui ne

soit pas valeur propre de A, la matrice A" µIn est inversible et on a

det)'In " (A" µIn)B

*= %(A!µIn)B = %B(A!µIn) = det

)'In "B(A" µIn)

*

Ainsi on a une egalite polynomiale verifiee en une infinite de points (A possede un nombrefinie de valeurs propres), elle est donc verifiee pour tout complexe µ, en particulier pour0. Par consequent

%AB(') = det('In "AB) = det('In "BA) = %BA(')

et %AB = %BA.



12. – Le rayon spectralSolution

L’espace vectoriel L(E) etant de dimension finie, toute les normes sont equivalentes.En munissant E d’une norme quelconque, notee aussi || · ||, on munit L(E) de la normedes applications lineaires continues, i.e.

*u # L(E) ||u|| = sup7 ||u(x)||

||x|| ; x # E \ {0}8

c’est une norme sous-multiplicative.Soit ' une valeur propre de u telle que &u = |'| et soit x un vecteur propre associe.

Pour tout p # N", on a

|'|p||x|| = ||'px|| = ||up(x)|| ! ||up|| ||x||

et comme x est non nul, |'|p ! ||up|| et &u = |'| ! ||up||1/p.Soit v # L(E) un endomorphisme semblable a u et supposons que le resultat est

demontre pour v. Il existe $ # GL(E) tel que u = $ ! v ! $!1. Alors pour p # N", on a

||up|| = ||($ ! v ! $!1)p|| = ||$ ! vp ! $!1|| ! ||$|| ||vp|| ||$!1||&v = &u ! ||up||1/p ! (||$|| ||$!1||)1/p ||vp||1/p



La suite (||$|| ||$!1||)1/p)p#N! converge vers 1 et donc d’apres le theoreme d’encadrementet limites, la suite (||up||1/p)p#N! converge vers &u.

D’apres la decomposition de Dunford, il existe d, n # L(E), d diagonalisable, nnilpotente telles que u = d+n et d!n = n!d. Quiite a remplacer u par u endomorphismesemblable, on peut supposer d diagonale et n triangulaire superieure stricte (il su"tde d’ecrire E comme somme directe des sous-espaces caracteristiques associes a u).L’endomorphisme n etant nilpotent, il existe un entier r tel que nr+1 = 0. On a &u = &d

car u et d ont memes valeurs propres et &d = ||d|| car d est diagonale. Soit p # N", on a

||up|| = ||(d + n)p|| !p1

k=0

Cpk||n

k|| ||dp!k|| ! ||d||pr1

k=0

Cpk

||n||k

||d||k

||d|| = &u ! ||up||1/p ! ||d||0 r1

k=0

Cpk

||n||k

||d||k21/p

Comme/r

k=0 Cpk||n||k||d||

k est un polynome en p, la suite)(/r

k=0 Cpk||n||k||d||

k)1/p*p#N!

converge vers 1. Ainsi la suite (||up||1/p)p#N! converge vers ||d|| = &u.


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