Exercices sur les suites et séries de fonctions
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7/24/2019 Exercices sur les suites et sries de fonctions
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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
TD 06 Suites et sries de fonctionsK = R ou C
Exercice 1: Soita R. tudier les diffrents types de convergence des suites de fonctions suivantes :
1)fn(x) = 1x+n
sur[1, +[ 2)fn(x) = sin(nx)1+n2 sur R 3)fn(x) = sin x2n sur R et sur[1, 1]4)fn(x) = xx+n sur[1, +[ 5)fn(x) = xn1+nx2 sur[0, 1] 6)fn(x) = sin(nx)nx sur]0, +[7)fn(x) =
n(x3+x)enx
nx+1 sur[0, 1] 8)fn(x) = n+1n(x+1)sur[0, +[ 9)fn(x) =
x2 + 1
nsur R
10)fn(x) =xn ln xsur]0, 1] 11)fn(x) =n2x(1 x)n sur[0, 1] 12)fn(x) =nx2enx sur[0, +[
13)fn(x) =naxenx sur[0, +[ 14)fn(x) =na sinn x cos xsur
0,
2
Exercice 2: Soitf C([0, 1],R)tel quef(1) = 0. Montrer quefn(x) =xnf(x)converge uniformment sur[0, 1].Exercice 3: Montrer quefn(x) = sinnxn sinxconverge uniformment sur tout intervalle[a,
2 ]aveca >0mais pas sur]0,
2 ].
Exercice 4: Soient(fn)une suite de fonctions de R versR qui converge uniformment sur R vers une fonction fet g : R R.1: Montrer que(fn g)converge uniformment sur R versf g.2: Que dire de(g fn) ? et sigest Lipschitzienne?
Exercice 5: SoientXun ensemble et(fn), (gn)deux suites de fonctions bornes de Xvers Kqui convergent uniformmentsurXversfet grespectivement.
1: Vrifier que n N, |fngn f g| |fn f||gn g| + |f||gn g| + |g||fn f|.2: En dduire que(fngn)converge uniformment surXversf g. Que dire si lune seulement est suppose borne ?
Exercice 6: Soitf :x [0, +[ xx2+1
et on considre les suite de fonctions (fn)n1et(gn)n1dfinies par n 1, x 0, fn(x) =f(nx)etgn(x) =f( xn).1: Montrer que les suites de fonctions(fn)n1et(gn)n1convergent simplement sur[0, +[mais pas uniformment.2: Montrer que la suite de fonctions(fngn)n1converge uniformment sur[0, +[.
Exercice 7: SoientAun ensemble non vide,Eun K-espace vectoriel norm de dimension finie,(fn)une suite de fonctions deAversEet f :A F.Montrer que(fn)converge uniformment surAversfsi, et seulement si, (xn) AN, fn(xn) f(xn) 0.
Exercice 8: Soient E, Fdeux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies, A E,(fn)une suite de fonctions continuesdeAversFetf :A F.1: Montrer que (fn) converge uniformment sur A vers fsi, et seulement si, (xn) AN,x A, xn x fn(xn) f(x).2: Montrer que la suite de fonctionsfn(x) =
1 nx Si0 x
1
n
0 Sinon ne converge pas uniformment sur[0, 1].
Exercice 9: Soit(fn)une suite de fonctions continues de [a, b]versF. On suppose que(fn)converge uniformment sur[a, b[.Montrer que(fn)converge uniformment sur[a, b].
Exercice 10: SoientAun ensemble non vide,Eun K-espace vectoriel de dimension finie et (fn)une suite de fonctions de AversE.1: (fn)converge uniformment surAssi >0,N N,m, n N, x A, fn(x) fm(x) (Critre de Cauchy).2: En dduire que lespace B(A, E)des applications de AversEbornes surAmuni de la norme est un Banach.
Exercice 11: (Thorme de Weierstrass et polynmes de Bernstein)
Pourf C([0, 1],C)on considre la suite de fonctions polynomiales Bn(f)(x) =n
k=0
Cknf
k
n
xk(1 x)nk.
1: CalculerBn(P)dans les cas P = 1, P =Xet P =X2.
2: Calculern
k=0
Ckn
kn x
2
xk(1 x)nk .
3: Montrer que pour tout >0on a :
nk=0
|x kn |>Ckn
f(x) f
k
n
xk(1 x)nk
f,[0,1]
2n2 .
4: Montrer que(Bn(f))converge uniformment versfsur [0, 1].5: Montrer que toute fonction continue sur un segment [a, b] valeurs dans C est limite uniforme dune suite de polynmes.
6: Application : Soitf C([0, 1],R)tel que n N, 10
tnf(t)dt= 0. Montrer quef= 0.
Exercice 12: Montrer que sifest limite uniforme sur R dune suite de polynme alors fest un polynme.Exercice 13: Soit(P
n)une suite de fonctions polynomiales de R
d[X]qui converge simplement sur un segment [a, b](a < b)
vers une fonctionf. Montrer quefest une fonction polynomiale et que la convergence est uniforme sur[a, b].
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Exercice 14: tudier les diffrents types de convergence des sries de fonctions suivantes :
1)n1
1
n2 + x2 sur R 2)
n1
sin(n2x)
n2 sur R 3)
n1
1
n2 + nxsur R+ 4)
n1
x
n + n2x2 sur R
5)n1
nxnenx sur R+ 6)n0
1
1 + xn sur]1, +[ 7)
n0
enx sur]0, +[ 8)n1
nxn + nx
sur R+
Exercice 15: tudier les diffrents types de convergence des sries de fonctions suivantes :
1)n1
xn(1 x)sur[0, 1] 2)n1
(1)n xn
sur [0, 1] 3)n1
(1)nn + x
sur R+
4)n1
(1)nn + n2x
sur R+ 5)n1
(1)nxn2 + x2
sur R 6)n1
(1)n xnx
sur[0, +[
Exercice 16: Pour quelles valeurs dea R la srien1
(1)nx + na
converge uniformment sur[0, 1].
Exercice 17: Sries alternes de fonctions :Soient A un ensemble non vide et
(1)nfnune srie de fonctions de A vers R.Montrer que si
x
A la suite(fn(x))est dcroissante positive et
fn
,A
0alors la srie(
1)nfnconverge uniform-
ment surA.Exercice 18: (Transformation dAbel pour les sries de fonctions)Soient E, Fdeux K-espaces vectoriels norms de dimen-sions finies,A E,(n) RN et(fn)une suite de fonctions deAde dansF.1: Montrer que si(n)est dcroissante de limite nulle la suite des sommes partielles de la srie
fnest borne pour la norm
alors la srie nfnconverge uniformment sur A.2: Montrer que ]0, [, les sries einx
n converge uniformment sur], 2 [.
Exercice 19: Soit la srie de fonctionsn1
x
n2 + x2. On pose n 1, x R, fn(x) = xn2+x2 etSn(x) =
nk=1
fk(x).
1: Montrer que
fnconverge simplement sur R. La convergence est-elle normale ?2: Montrer que n 1, |S2n(n) Sn(n)| 15 . A-t-on convergence uniforme de la srie ?3: Faire de mme avec les sries de fonctions
n0
nx
1 + n4x2 sur R et
n1
1
n + n2xsur R+.
Exercice 20: Dterminer le domaine de dfinition de la fonction fdans chaque cas :
1)f(x) =+n=1
1
n1+x 2)f(x) =
+n=0
enx
1 + n 3)f(x) =
+n=1
n
1 + nx 4)f(x) =
+n=0
(1)nn + x
5)f(x) =+n=1
ln(1 + nx)
nxn
Exercice 21: Soit la fonctionf(x) =+n=1
x
n + n2x2.
1: Montrer quefest dfinie, continue et impaire sur R.2: Calculer lim
x+f(x)et lim
x+xf(x). En dduire un quivalent defen +.
Exercice 22: Soitf(x) =+
n=1
(1)n
n + n2
x
.
1: Montrer quefest dfinie et continue sur [0, +[.2: Calculer lim
x+f(x)et lim
x+xf(x). En dduire un quivalent defen +.
Exercice 23: Comparaison srie-intgrale : Soit la fonction f(x) =+n=1
1
n2 + x2et on noten 1, x R, fn(x) = 1n2+x2 .
1: Montrer que la fonctionfest dfinie, continue et paire sur R.2: Calculer la limite defen +.3: En remarquant que n N,x R, fn+1(x)
n+1n
dt
t2 + x2 fn(x)dterminer un quivalent simple de fen +.
Exercice 24: Soit la fonction f(x) =+n=0
1
(n + x)2.
1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer lim
x0+f(x)et trouver un quivalent simple defen 0+.
3: Calculer limx+
f(x)et trouver un quivalent simple defen + (penser une comparaison srie-intgrale).
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Exercice 25: Soitf(x) =+n=1
1
n + n2x.
1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: A-t-on convergence uniforme de la srie
1n+n2x
sur ]0, +[ ?3: Calculer lim
x+f(x)et lim
x+xf(x). En dduire un quivalent defen +.
4: Calculer limx0
+f(x)et trouver un quivalent fen 0+ (penser une comparaison srie-intgral).
Exercice 26: Soit la fonctionf(x) =+n=0
1
1 + n2x2.
1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer les les limites de fen 0+ et+.
Exercice 27: Soit la fonctionf(x) =+n=0
enx
1 + n.
1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer les les limites de fen 0+ et+.
Exercice 28: Soit la fonctionf(x) =+n=1
xn + n2x2
.
1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer les les limites de fen 0+ et+.Exercice 29: Soit la fonctionf(x) =
+n=1
ln(1 + nx)
nxn .
1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]1, +[.2: Calculer les les limites de fen 1+ et+.
Exercice 30: Soit la fonctionf(x) =+n=1
nxenx.
1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer les les limites de fen 0+ et+.
Exercice 31: Fonction zta alterne de Riemann :Soit la fonction f(x) =+
n=1
(1)n1
n
x .
1: Montrer quefest bien dfinie et continue sur ]0, +[. Calculer limx+
f(x).
2: Montrer que x >0, 2f(x) 1 =+n=1
(1)n1
1
nx 1
(n + 1)x
.
3: En dduire limx0+
f(x).
Exercice 32: Soit la fonctionf(x) =+n=2
xenx
ln n .
1: Montrer quefest dfinie et continue sur ]0, +[.2: Calculer lim
x+f(x)et lim
x0+f(x)(penser la transformation dAbel).
Exercice 33: Soient E , Fdeux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies et A Ecompact. Montrer que lespaceC
(A, F)des applications continues de AversFmuni de la norme est un Banach.Exercice 34: Montrer, en utilisant le thorme dinterversion limite-intgral, que les suites de fonctions fn(x) =n2xn(1 x)sur[0, 1]etgn(x) = 2
n
1+n2nx2 sur]0, 1]ne convergent pas uniformment.
Exercice 35: Montrer quefn(x) =nx(1 x)n converge simplement sur[0, 1]mais pas uniformment.Montrer que lim
n+
ba
fn(x)dx=
ba
limn+
fn(x)dx.
Exercice 36: Dterminer le domaine de dfinition de f(x) =+n=0
nenx. Montrer quefest continue sur Df.
Calculer ln 3ln 2
f(x)dx. Lintgrale 10
f(x)dxexiste-t-elle ?
Exercice 37: Montrer que la fonction f(x) =+
n=1
x
n + n2
x
2est dfinie et continue sur R. crire
10
f(x)dx sous forme dune
srie numrique.
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Exercice 38: Soit a, b Rtels que a bet Eun K-espace vectoriel de dimension finie. Lespace C1([a, b], E)muni de lanorme f = max(f, f)est un Banach.
Exercice 39: Montrer quefn(x) = x1+nx2 converge uniformment sur R et que limn+fn= ( lim
nfn)
.
Exercice 40: Montrer que la fonctionf(x) =+n=1
1
n2 + nxest de classe C1 sur[0, +[.
Exercice 41: Montrer que la fonctionf(x) =+
n=0
11 + xn est de classe
C1 sur]1, +[.
Exercice 42: Montrer que la fonctionf(x) =+n=1
1
n2 + x2est de classe C1 sur R.
Exercice 43: Soit la fonctionf(x) =+n=1
enx
n .
1: Montrer que la fonctionfest dfinie et de classe C1 sur]0, +[. Calculer limx+
f(x).
2: Donner une expression simple def.
Exercice 44: Soit la fonction f(x) =+n=0
(1)nn + x
.
1: tudier la continuit et la drivabilit defsur R+
.2: Montrer quef(x)0+
1x
etf(x) +
12x
. Tracer la courbe def.
Exercice 45: Soitf(x) =+n=1
(1)n1 ln
1 +x
n
.
1: Montrer quefest dfinie et de classe C1 sur[0, +[.2: Donner un quivalent simple de fen 0+ et+.
Exercice 46: Montrer que la fonctionf(x) =+n=0
1
1 + n2x2est de classe C1 sur]0, +[.
Exercice 47: Montrer que la fonctionf(x) =+n=1
xn + n2x2
est de classe C1 sur]0, +[.
Exercice 48: Montrer que la fonctionf(x) =+
n=0
nxenx est de classe C1 sur]0, +[.
Exercice 49: Montrer que la fonctionf(x) =+n=1
1
n2 + n4x2est dfinie et continue sur R et C1 sur R. tudier la drivabilit
en0.
Exercice 50: Soit la fonctionf(x) =+n=0
enx
n2 + 1.
1: Dterminer Dfet montrer que fest continue sur Df.2: Montrer quefest deux fois drivable sur]0, +[et quefvrifie une quation diffrentielle linaire de second ordre.
Exercice 51: Soit0 a 0, xf(x) f(x + 1) =e1 et en dduire que f(x) +
1ex
.
Exercice 53: Soitn
Net A, B
Mn(R). Montrer queA = B si, et seulement si,
t
R, exp(tA) = exp(tB).
Exercice 54: Faire une tude complte de la fonction f(x) =+n=0
1
(n + x)2 sur ]0, +[ (limite, continuit, drivabilit,
monotonie, concavit) et tracer sa courbe.
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