GEII - Ma3 - Suites et séries

MA3 (GEII - S3)C - SUITES ET SÉRIES

F. Morain-Nicolier

[email protected]

2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes

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OUTLINE

1. INTRODUCTION

2. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES

3. VARIATION DES SUITES

4. CONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES

5. SÉRIES DE FONCTIONS

6. SÉRIES ENTIÈRES

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1.1 EXEMPLES

DSF :

f (t) = a0 +∞

∑n=1

(an cos(nωt) + bn sin(nωt))

ou

f (t) =∞

∑n=−∞

cneinωt.

TZ :

X(z) =∞

∑n=−∞

fnz−n.

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1.2 GÉNÉRALISATION

Dans chacun de ces exemples, une quantité

S(x) =∞

∑n=0

un(x)

est calculée.

PROBLÈME À RÉSOUDRE : La quantité S(x) existe-t-elle ?

I S(x) est-elle finie ? Convergence ?I La réponse dépend évidemment de la valeur de x.

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1.3. OBJETS MATHÉMATIQUES EN JEU

Nous avons besoin de :

I suite (un) (signaux numériques, fonctions discrètes)I série {un} = ∑k un

I série de fonctions {un}(x) = ∑k un(x) (transformations) :

yk = {un}(k).

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OUTLINE

1. INTRODUCTION






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2.1 SUITE NUMÉRIQUE

DÉFINITION On appelle suite numérique toute application deN sur R :

u : N→ R

I Rappel : N est l’ensemble des entiers naturels (ie. positifs)I un est le terme général de la suite, un = u(n)I une suite peut être considérée comme une liste ordonnée

de nombres réelsI Elle peut éventuellement être définie sur une partie de N

de la forme I = {n ∈N, n ≥ n0} où n0 est un entier donné.I quelques exemples : suite nulle, constante, arithmétique,

géométrique, par récurrence, . . .

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Que veut-on étudier sur les suites ?

Étant donné une suite (un)n∈N :

I Quelles sont ses variations ?I Que se passe-t’il lorsque n devient infiniment grand, ie.

limn→∞

un =?

⇒ étude de la convergence.

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QUESTION 1 1 - La suite de terme général un = (−1)n est

1. convergente2. divergente3. indéterminée

1. http://lc.cx/mpk9 / 57

http://lc.cx/mpk

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2.2 SUITES GÉOMÉTRIQUESLa suite géométrique est l’outil privilégié pour l’étude dephénomène à croissance (ou décroissance) exponentielle(exemple : carbone 14, populations).

Définitions :

Soit r ∈ R un réel donné,

I la suite géométrique de raison r est définie par le termegénéral un = u0rn

I la suite arithmétique de raison r est définie par le termegénéral un = u0 + rn

I ce sont des suites récurrentes (ie. un+1 = f (un)).

Somme d’une suite géométrique (r 6= 1) :n

∑k=0

uk = u0 + . . . + un = u0(1 + r + . . . + rn) = u01− rn+1

1− r10 / 57

2.3 SÉRIE NUMÉRIQUEConsidérons des sommes infinies telles que :

1 +12+

14+

18+ . . . +

12n + . . .

ou1 +

12+

13+

14+ . . . +

1n+ . . .

I Ce sont des sommes d’un nombre infini de termesI Que valent ces sommes ?I On construit (Sn), la suite des sommes partielles de

(un)n∈N

(DÉFINITION) On appelle série {un}n∈N de terme général un,la limite de la suite (Sn)n∈N des sommes partiellesSn = ∑n

i=1 ui :∞

∑i=1

ui = limn→∞

Sn

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2.3 SÉRIE NUMÉRIQUE

I La série de terme général un estI convergente si ∑∞

i=1 ui est finieI divergente si ∑∞

i=1 ui est infinie

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2.3. SÉRIE NUMÉRIQUE

QUESTION 2 2 - La série {(−1)n} est

1. convergente2. divergente3. indéterminée


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2.3. SÉRIE NUMÉRIQUE

(REMARQUE) Il existe des série indéterminées (sommepartielle non finie mais différente de ∞).

(REMARQUE) Une série à termes positifs ne peut êtreindéterminée.

I Exemple : X = 1 + 12 +

14 +

18 + . . .

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OUTLINE

1. INTRODUCTION






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3.1 VARIATIONS D’UNE SUITE : MONOTONIE

SUITE CROISSANTE Soit (un)n∈N une suite numérique. Elle estcroissante si pour tout entier naturel n :

un ≤ un+1

I Suite strictement croissante⇔ un < un+1

I Comment montrer qu’une suite est croissante ?

SUITE DÉCROISSANTE Soit (un)n∈N une suite numérique. Elleest décroissante si pour tout entier naturel n :

un ≥ un+1

SUITE MONOTONE C’est une suite croissant ou décroissante

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3.2 VARIATIONS D’UNE SUITE :MAJORATION/MINORATION

(DÉFINITION) La suite (un)n∈N est majorée s’il existe un réelM tel que

un ≤ M, ∀n ∈N

M est alors un majorant de (un)n∈N.(DÉFINITION) La suite (un)n∈N est minorée s’il existe un réel m

tel queun ≥ m, ∀n ∈N

m est alors un minorant de (un)n∈N.(DÉFINITION) Un suite est bornée si et seulement si il existe un

réel A tel que|un| ≤ A.

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3.3 VARIATIONS D’UNE SUITE :MAJORATION/MINORATION

I Remarques :I une suite croissante est minoréeI une suite décroissante est majorée

I Exemples

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3.4 CONVERGENCE

(DÉFINITION) On dit que (un)n∈N est convergente silimn→∞ un existe et est fini.

Alors, le nombre l donné par

l = limn→∞

un

est un nombre réel appelé limite de la suite.

I une suite qui ne converge pas est divergente.I Il existe deux façon de diverger :

I soit limn→∞ un = ±∞I soit limn→∞ un n’existe pas.

I exemple : (un)n∈N avec un = an(a > 0).

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3.5 OPÉRATIONS

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites convergentes. Si l et l′

sont les limites respectives de (un)n∈N et (vn)n∈N, alors

1. La suite somme (un + vn)n∈N converge vers l + l′

2. Pour tout réel α, la suite (αun)n∈N converge vers αl3. La suite produit (unvn)n∈N converge vers ll′.

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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE

(Théorème fondamental)

I Toute suite décroissante et minorée est convergenteI Toute suite croissante et majorée est convergente.I exemple : (un)n∈N avec un = 1 + 1

n

Donc :

I Toute suite croissante non-majorée est divergente vers +∞I Toute suite décroissante non-minorée est divergente vers−∞

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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE : THÉORÈME DES

GENDARMES

Si (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N sont trois suites telles que

un ≤ vn ≤ wn, ∀n ∈N

etl = lim

n→∞un = lim

n→∞wn

alorslimn→∞

vn = l

I variantes utiles.

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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE : RELATIONS AVEC

LES FONCTIONS

I Soit (un)n∈N une suite numérique telle que un = f (n), alors

limn→∞

un = limx→∞

f (x).

- Soit (un)n∈N une suite numérique telle que un = g( 1n ),

alorslimn→∞

un = limx→0+

g(x).

I rappels sur les limites de fonction numériques : fractionsrationnelles, ex, ln(x) et xα.

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OUTLINE

1. INTRODUCTION






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4.1 CONDITION NÉCESSAIRE DE CONVERGENCE

(THÉORÈME) Pour que la série {un}n∈N soit convergente, ilfaut que

limn→∞

un = 0.

(REMARQUE) Dans la pratique, on utilise souvent :

limn→∞

un 6= 0⇒ {un} diverge

I Exemple : la série {n2}.I Attention : la condition est nécessaire mais non

suffisante.

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4.2 SCHÉMA D’ÉTUDE

(Théorèmes)

I Si (un) ne converge pas vers 0, {un} n’est pas convergente.I Si (un) ne converge pas vers 0 et un > 0 alors {un} diverge.

Schéma d’étude de ∑∞n=0 un

Étudier limn→∞ un. Deux cas possibles :

1. Si limn→∞ un = 0, chercher un critère de convergence selonle signe de un. La série peut converger, diverger ou êtreindéterminée.

2. Si limn→∞ un 6= 0 ou n’existe pas, alors la série diverge ouest indéterminée.

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4.3 EXEMPLES FONDAMENTAUX

SÉRIE GÉOMÉTRIQUE : un = an, a ∈ R.

S =∞

∑n=0

an = 1 + a + a2 + . . . + an + ...

SÉRIE HARMONIQUE : un = 1n .

S =∞

∑n=0

1n= 1 +

12+

13+ ...

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4.4 CRITÈRES DE CONVERGENCE

Ces critères ne donnent pas la somme de la série

(THÉORÈME) Si ∑∞n=0 ‖un‖ converge, alors ∑∞

n=0 un converge.

Les critères sont donc donnés pour des séries à termes positifs.

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4.4 CRITÈRE DE D’ALEMBERT

Soit un ≥ 0, si limn→∞un+1

un= l, alors

I l < 1⇒ {un} convergeI l > 1⇒ {un} divergeI l = 1⇒ le critère ne permet pas de décider

Exemple :

I un = 1n!

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4.4 CRITÈRE DE D’ALEMBERT

QUESTION 3 3 - La série { 1n} est

1. convergente2. divergente3. le critère de d’Alembert ne permet pas de décider


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4.4 CRITÈRE DE CAUCHY

Soit un ≥ 0, si limn→∞ n√

un = l, alors

I l < 1⇒ {un} convergeI l > 1⇒ {un} divergeI l = 1⇒ le critère ne permet pas de décider

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4.4 CRITÈRE DE CAUCHY

QUESTION 4 4 - La série { n2n } est

1. convergente2. divergente3. le critère de Cauchy ne permet pas de décider


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4.4 CRITÈRE DE MAJORATION

Soient {un} et {vn}, avec un ≥ 0 et vn ≥ 0, telles que

0 ≤ un ≤ vn.

I Si {vn} converge, alors {un} convergeI Si {un} diverge, alors {vn} diverge

Exemple :

I un = 1n2

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4.4 CRITÈRE DE MAJORATION (CONSÉQUENCE)

I Si il existe α > 1 tel que limn→∞ nαun < +∞ alors {un}converge.

I Si il existe 0 < α < 1 tel que limn→∞ nαun > 0 alors {un}diverge.

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4.4 COMPARAISON À UNE INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE

Si f (x) est une fonction continue, positive et décroissante sur[0, ∞[, alors S = ∑∞

n=0 f (n) et I =∫ ∞

0 f (x)dx ont le mêmecomportement.

(NOTE) La borne inférieure peut être changée (1 au lieu de0 par exemple).

(NOTE) On utilise souvent l’intégrale de référence

I =∫ ∞

a

1xα

dx

qui converge si α > 1 et diverge si α < 1.

Exemple : série de Riemann

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OUTLINE

1. INTRODUCTION






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(PAUSE) : L’HYPOTHÈSE DE RIEMANN

FIGURE : Bernhard Riemann (1826–1866)

La fonction ζ (zêta) de Riemann est définie par

ζ(s) =∞

∑n=1

1ns

pour s complexe.

HYPOTHÈSE DE RIEMANN Les zéros non-triviaux de ζ sont surla droite des réels 1

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(PAUSE) : L’HYPOTHÈSE DE RIEMANN

FIGURE : Représentation du module de la fonction zêta de Riemann(Wikipedia)

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(PAUSE) : L’HYPOTHÈSE DE RIEMANNI Prix Clay du millénaire : 1 million de dollars.I Hypothèse vérifiée pour dix mille milliards de zéros (1013).I La fonction permet de relier les nombres entiers et les

nombres premiers.

Euler a montré que :

ζ(s) = ∏p premier

11− p−s

I ζ est une série dont le terme général dépend de la variables

ζ(s) =∞

∑n=1

1ns

I C’est une série de fonctions : objet que nous allons étudier(en particulier les séries entières).

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5.1 SÉRIES DE FONCTIONS

(DÉFINITION) Une série de fonctions est une série dont leterme général dépend d’une variable : un(x) parexemple.

I La somme (des termes) est donc également une fonction dex :

S(x) =∞

∑n=0

un(x)

Exemples :

I { xn

n } est une série entière.

I { cos(nx)n } est une série de Fourier.

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5.2 DOMAINE DE CONVERGENCE

x étant considéré fixe, la série peut converger ou non.

(DÉFINITION) L’ensemble des x tels que S(x) existe est ledomaine de convergence D de la série

Exemple : {xn}

I Une nouvelle question : un(x) continue ?⇒ {un} continue ?

Exemple : {x2(1− x2)n}

I Plus généralement, quelles sont les propriétés de un(x)vérifiées également par {un(x)} et sous quelles conditions ?

I Il faut préciser la notion de convergence.

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5.3 CONVERGENCE SIMPLE /UNIFORME /NORMALE

(RAPPEL) La série {un(x)} converge simplement si

limn→∞

Sn(x) = S(x)

⇔ ∀ε > 0, ∃n > N(x)⇒ |Sn(x)− S(x)| < ε.

(DÉFINITION) La série {un(x)} converge uniformément si N,dans la définition précédente, ne dépend pas de x.

C.U.⇒ C.S.

(DÉFINITION) La série {un(x)} converge normalement sur[a, b] s’il existe une série numérique {vn} à termespositifs, convergente, telle que :

|un(x)| < vn, ∀x ∈ [a, b]

C.N.⇒ C.U.⇒ C.S.42 / 57

5.4 CONVERGENCE ET CONTINUITÉ

Si un(x) est continue sur [a, b] et si {un(x)} C.U. sur [a, b], alorsS(x) = ∑∞

n=0 un(x) est continue sur [a, b].

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5.4 CONVERGENCE ET INTÉGRATION

Il est possible d’intégrer terme à terme une série qui C.U. :∫S(x)dx = Cte +

∞

∑n=0

(∫un(x)dx

).

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5.4 CONVERGENCE ET DÉRIVATION

Il est possible de dériver terme à terme une série qui C.U. :

S′(x) =∞

∑n=0

u′n(x).

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OUTLINE

1. INTRODUCTION






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5.1 DÉFINITION

Le terme général d’une série entière s’écrit un(x) = anxn où anest indépendant de x :

{un(x)} =∞

∑n=0

un(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn + . . .

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6.2 APPLICATION : CONVERGENCE D’UNE TZ

La TZ d’un signal xn est

X(z) =∞

∑n=−∞

xnz−n.

Montrons que la région de convergence de X(z) est un anneau,en la décomposant en deux séries :

X(z) =−1

∑n=−∞

xnz−n

︸︷︷︸X1(z)

+∞

∑n=0

xnz−n

︸︷︷︸X2(z)

.

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6.2 APPLICATION : CONVERGENCE D’UNE TZ

Ainsi une TZ converge si

0 ≤ Rx− < |z| < Rx+ ≤ ∞

TRANSIORMATIONIN/ 45

r R*- la limite

lim lr( & 1l 1/* = 4,-

série Xr(z) converge alors pour lzl >Rr_. Avec le changement de variable / = -k,peut montrer d'ure madère similaire que la série Xl (z) converge pour lzl (Â,+,R,a est la lirnite :

R,+ = 1/[ lim lx( -/)lt/t,- + -si, la série (2.1) converge en général dans un anneau du plan complexe des z donné

0 ( R,- ( lzl ( R,* ( +-i est illustré sur la figure 2. I . Les limites Rjr, et .R, + caractérisent le signal x ([ ).tt évident que si Àx- ) À,-} , la série (2.1) n'est pas convergente.

///l résiortr de convetzenî.e

(2.8)

(2.e)

(2.r 0)

Fig.2.l

4 ExempleSoit le signal :

x(&) = €(k)transformée en z est donnée par :

Xtzl- \1 7-k = ---_,-k=o l -z

pour lzl ) I

Ls ce cas, le calcul de la somme est simplifié par l'apparition d'une progression géo-rique complexe de raison z-r. En utilisant les retations (2.8) et (2.9), on trouve fa-ment que R).- = I et Rr1 = * æ.

5 ExempleSoit le signal :

x(k) = ak e@)

FIGURE : Domaine de convergence d’une TZ

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6.3 RAYON DE CONVERGENCE

(THÉORÈME) Il existe un réelR ≥ 0, nommé rayon deconvergence, tel que la série {anxn} est absolumentet uniformément convergente pour |x| < R, etdivergente pour |x| > R.

(NOTE) Il est nécessaire d’étudier spécifiquement laconvergence en ±R

(CONSÉQUENCE) Si un(x) est continue ∀x et {un(x)} C.U.∀|x| < R, alors la série {un(x)} est continue pour|x| < R.

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6.4 DÉTERMINATION DU RAYON DE CONVERGENCE

(Théorème) Pour x fixé,R est déterminé en appliquant le uncritère (d’Alembert ou Cauchy par exemple) à la série{|un(x)|}.

I Exemple : {xn}.I Exemple : { xn

nd!}.

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6.5 DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES ENTIÈRES

Si une fonction f (x) peut s’écrire sous la formes

f (x) =∞

∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn + . . .

alors le terme de droite est le développement en série entièrede la fonction.

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6.5 OPÉRATIONS SUR LES DSESomme et produit

Soient deux séries entières

f (x) =∞

∑n=0

anxn (Rf )

et

g(x) =∞

∑n=0

bnxn (Rg)

On montre que

f (x) + g(x) =∞

∑n=0

(an + bn)xn (R ≥ inf(Rf , Rg))

et

f (x)g(x) =∞

∑n=0

cnxn (R ≥ inf(Rf , Rg))

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6.5 OPÉRATIONS SUR LES DSEDérivation et intégration

(THÉORÈME) Toute série est dérivable et intégrable terme àterme en conservant son rayon de convergence.

S(x) =∞

∑n=0

anxn (R)

⇒ S′(x) =∞

∑n=1

anxn−1 (R)

et

⇒∫

S(x)dx = C +∞

∑n=0

an

n + 1xn+1 (R)

I Exemple important : dérivation de { xn

n! }54 / 57

6.6 ÉQUATION D’ANALYSE : QUELS SONT LES COEFFS

D’UN D.S.E. ?

(DÉFINITION) Soit f (x) admettant un D.S.E. de rayon deconvergenceR. Il est donné par (D.S.E. deMacLaurin) :

f (x) = f (0)+f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 + . . . +f (n)(0)

n!xn + . . .

I DémonstrationI DSE usuels :

ex, sin(x), cos(x), (1 + x)α, ax, ln(1 + x), ln(1− x), ...

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6.7. LIEN AVEC LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉSSi f est une fonction dérivable en a, le théorème de Taylorindique que

f (x) = f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f (2)(a)2!

(x− a)2

+... +f (n)(a)

n!(x− a)n + Rn(x)

où Rn est un reste.

Le lien avec les DSE est évident, en posant a = 0 :

f (x) = f (0) +f ′(0)

1!x +

f (2)(0)2!

x2 + ... +f (n)(0)

n!xn + Rn(x)

Le DSE de f étant

f (x) = f (0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)2!

x2 + . . . +f (n)(0)

n!xn + . . .

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6.7. LIEN AVEC LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS(THÉORÈME DE TAYLOR-YOUNG) Si f est une fonction

dérivable en a, le théorème de Taylor indique que

f (x) = f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f (2)(a)2!

(x− a)2

+... +f (n)(a)

n!(x− a)n + Rn(x)

où Rn est un reste négligeable devant (x− a)n, c’est à dire

limx→a

Rn(x)(x− a)n = 0.

Ce qui est le cas si

Rn(x) =f (n+1)(0)(n + 1)!

(x− a)n+1 + ...

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