Exercices de Mesure et Intégration

J.G. Attali, X. Mary

Table des matières

Chapitre 1. Tribus et ensemble mesurables 5

Chapitre 2. Mesures 7

Chapitre 3. Fonctions mesurables 11

Chapitre 4. Intégration des fonctions positives, théorème de Beppo-Lévi et lemme de Fatou 15

Chapitre 5. Intégrale de Lebesgue, théorèmes de convergence et applications 17

Chapitre 6. Mesures produit, théorème de Fubini-Tonelli 21

Chapitre 7. Mesure image, changement de variables, théorème de Fubini-Lebesgue 23

Chapitre 8. Espaces Lp 25

3

1. TRIBUS ET ENSEMBLE MESURABLES 5

CHAPITRE 1

Tribus et ensemble mesurables

QUIZZ (Questions de cours) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justiezbrièvement ou donnez un contre-exemple.

(1) Soit f : E → F et E ⊂ P(F ). Alors la tribu engendrée par l'image réciproque de Ecoincide avec l'image réciproque de la tribu engendrée par E .

(2) Soit X un ensemble. Alors l'ensemble de parties de X est une tribu.

(3) Si A est un ensemble inclus dans un ensembleB avecB mesurable, alors A est mesurable.

Exercice 1.1. On pose f(x) = 1 si x ∈ [0,1]∩Q et f(x) = 0 sinon, c'est-à-dire, f = 1[0,1]∩Q.

(1) Montrer que f n'est pas Riemann intégrable sur l'intervalle [0,1].

(2) On rappelle que [0,1]∩Q est dénombrable et on note (rn)n∈N∗ une numérotation de cetensemble. On pose fn = 1r1,··· ,rn pour n ≥ 1.

(a) Montrer que fn est Riemann intégrable sur [0,1].

(b) Montrer que fn converge simplement vers f . Que peut-on en déduire?

Exercice 1.2. Ensembles engendrant les boréliensSoit B(]0,1[) la tribu borélienne sur ]0,1[.

(1) Montrer que tout ouvert de ]0,1[ peut s'écrire comme réunion dénombrable d'intervallesde ]0,1[ de la forme ]r − δ,r + δ[ où r et δ sont des rationnels de ]0,1[.

(2) Montrer que B(]0,1[) est engendrée par chacune des familles suivantes :

(a) C1 = [a,b], a ≤ b, a,b ∈]0,1[.

(b) C2 = ]0,t],t ∈]0,1[ .

(c) C3 = [a,b],a ≤ b,a,b ∈]0,1[∩Q.

(d) C4 =

]0,12n

[,[k

2n,k + 12n

[,n,k ∈ N,1 ≤ k ≤ 2n − 1. On pourra montrer que t ∈]0,1[

est limite croissante de la suite tn :=[t2n]2n

où [x] désigne la partie entière de x.

6 1. TRIBUS ET ENSEMBLE MESURABLES

(3) On considère pour tout n ∈ N, la tribu sur ]0,1[ :

Bn := σ

(]0,

12n

[,

[k

2n,k + 12n

[, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ 2n − 1

).

Montrer que la suite des (Bn)n∈N est croissante au sens de l'inclusion, mais que⋃n

Bn

n'est pas une tribu.

Exercice 1.3. Existence de non boréliens (ensemble de Vitali)

(1) Montrer qu'il existe E ⊂ [0,1] tel que pour tout x réel, on puisse trouver un réel uniquey ∈ E avec x− y ∈ Q.

(2) On pose : G =⋃

r∈Q∩[−1,1]

(E + r). Montrer que [0,1] ⊂ G ⊂ [−1,2] et que si r,s ∈ Q,

r 6= s, on a (E + r) ∩ (E + s) = ∅.

(3) Utiliser la mesure de Lebesgue λ sur R pour en déduire que E /∈ B(R) (on supposeraconnue la propriété d'invariance par translation de λ).

Exercice 1.4. Tribu borélienne produitOn se donne une famille d'espaces topologiques (E1,T1), · · · ,(Ek,Tk). On rappelle que la

topologie produit T = T1 ⊗ · · · ⊗ Tk est dénie par

ω ∈ T ⇔ ∀(x1, · · · ,xk) ∈ ω, ∃(ω1, · · · ,ωk) ∈ T1×· · ·×Tk, tq xi ∈ ωi, ∀i = 1 · · · k et ω1×· · ·×ωk ⊂ ω.

On note Bi la tribu engendrée par Ti dans Ei (tribu des boréliens) et B(T ) = σE1×···×Ek(T ) la

tribu borélienne associée à la topologie produit.(1) Montrer que B1 ⊗ · · · ⊗ Bk ⊂ B(T ).

(2) On dira que, pour i = 1 · · · k, (Ei,Ti) est à base dénombrables d'ouvert si il existe

Ei ⊂ Ti, dénombrable, tel que ∀ω ∈ Ti, ∃(ωj)j∈N ⊂ Ei tel que ω =⋃j∈N

ωj . Montrer que

si les (Ei,Ti) sont à base dénombrable, on a l'égalité, à savoir,

B1 ⊗ · · · ⊗ Bk = B(T ).

2. MESURES 7

CHAPITRE 2

Mesures

QUIZZ (Questions de cours) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justiezbrièvement ou donnez un contre-exemple.

(1) Toute mesure est σ-sous-additive.

(2) La mesure de Lebesgue est une mesure sur la tribu des boréliens.

(3) Toute mesure sur une algèbre admet un unique prolongement à la tribu engendrée parl'algèbre.

Exercice 2.1. Soit (E,T ,µ) un espace mesuré avec µ une mesure positive. Montrer lespropriétés suivantes.

(1) Soient A et B dans T . Montrer quesi A ⊂ B, alors µ(A) ≤ µ(B)µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B).

(2) Montrer que µ est une mesure si et seulement si(i) µ est additive(ii) pour toute suite (An)n ⊂ T telle que, An ⊂ An+1 pour tout n, on a

µ

(⋃n

An

)= lim

n↑ µ(An) = sup

nµ(An).

(3) Soit (An)n ⊂ T telle que, An+1 ⊂ An pour tout n, on suppose en outre qu'il existe unen0 tel que µ(An0) <∞, montrer que alors on a

µ

(⋂n

An

)= lim

n↓ µ(An) = inf

nµ(An).

(4) On considère l'espace mesurable (N,P(N)) muni de la mesure de comptage µ et onconsidère les ensembles mesurables An = n,n+1, . . . . Montrer que An ↓ ∅ mais qu'onn'a pas convergence décroissante de µ(An) vers µ(∅) = 0. Commenter.

8 2. MESURES

Exercice 2.2. Théorème λπ ou lemme de Dynkin

On rappelle qu'une famille M de parties d'un ensemble E est appelée un λ-système si :i) E ∈ Mii) A, B ∈ M et A ⊂ B =⇒ B \A ∈ Miii) si (An)n est une suite croissante d'éléments de M alors

⋃n

An est dans M.

(1) Soit S ⊂ P(E), montrer que l'on peut dénir, comme pour les tribus, la classe engendréepar S comme étant l'intersection de tous les λ-systèmes contenant S (notée M(S)).

(2) Montrer que M(S) ⊂ σ(S).

(3) On suppose que S est un π-système (i.e. stable par intersections nies) et on dénit lesdeux ensembles suivants :

M1 = A ∈M(S) / A ∩B ∈M(S), ∀B ∈ S,

M2 = A ∈M(S) / A ∩B ∈M(S), ∀B ∈M(S).Montrer que M1 est un λ-système et en déduire que M1 = M(S).Montrer que M2 est un λ-système et que S ⊂M2; en déduire que M2 = M(S).

(4) En déduire le théorème λπ, qui est un résultat très important.

Théorème λπ ou lemme de DynkinSi S est un π-système M(S) = σ(S).

(on remarquera que M(S) est stable par intersections nies).

Exercice 2.3. Lemme de Borel-Cantelli

Soit (Ω,A,µ) un espace mesuré, An une suite de A telle que∑

n∈N µ(An) < +∞. Montrerque µ(lim supAn) = 0.

Exercice 2.4. Construction de la tribu complétée.

Soit (Ω,A,µ) un espace mesuré. On dit qu'une partie N de Ω est µ-négligeable s'il existeA ∈ A tel que N ⊂ A et µ(A) = 0. On désigne par N la famille des parties µ-négligeables. Ondit que (Ω,A,µ) est complète ou que A est complète pour µ si et seulement si : N ⊂ A.

(1) On désigne par Aµ la classe des parties E de Ω telles que :

∃A ∈ A, ∃B ∈ A, tels que A ⊂ E ⊂ B et µ(B −A) = 0.

Montrer que Aµ est une tribu contenant A, égale à la tribu engendrée par les ensemblesde la forme A ∪N où A ∈ A et N ∈ N .

(2) Montrer qu'en posant µ(E) = µ(A) on dénit une mesure sur (Ω,Aµ).

2. MESURES 9

(3) Montrer que µ est la seule mesure prolongeant µ à Aµ et que l'espace (Ω,Aµ,µ) estcomplet. La mesure µ est appelée mesure complétée de µ et l'espace (Ω,Aµ,µ), espacecomplété de (Ω,A,µ).

Exercice 2.5.

(1) Soit Ω un ensemble quelconque, F = P(Ω), a un élément de Ω xé. On dénit µ par :µ(A) = 1A(a).

(a) Prouver que µ est une mesure sur (Ω,F). Cette mesure est appelée mesure de Diracau point a.

(b) Déterminer la classe de µ-négligeables de Ω. Et si F = ∅,Ω?

(c) Expliciter à quelle condition une propriété est vraie µ-presque partout.

(2) On dénit l'application µ : P(N) → [0, +∞], pour tout A ⊂ N, par µ(A) :=∑n∈A

1n2

si

A est ni, avec la convention 10 = +∞, µ(A) = +∞ si A est inni, et µ(∅) = 0.

(a) Montrer que µ est additive, i.e. pour toute suite nie A1, . . . ,An de parties de IN,

deux à deux disjointes, µ

(n⋃

i=1

Ai

)=∑n

i=1 µ(Ai).

(b) Montrer que µ n'est pas une mesure sur (N,P(N)).

Exercice 2.6. Soit (E,d) un espace métrique et µ une mesure positive et nie sur B(E).On dénit sur P(E) les deux applications :

µ∗(A) = infµ(O) / O ouvert, O ⊃ A ∀A ∈ P(E),µ∗(A) = supµ(F ) / F fermé, F ⊂ A ∀A ∈ P(E).

µ∗ et µ∗ sont respectivement appelées mesure extérieure et mesure intérieure associées à µ. Cetteappellation est abusive, car il ne s'agit pas de mesures comme nous allons le voir.

(1) Montrer que µ∗ est croissante et sous σ-additive (i.e. µ∗(⋃

n

An

)≤∑

n

µ∗(An) pour

tous les An deux à deux disjoints dans P(E)) et que µ∗ est croissante et sur σ-additive(i.e ≥ au lieu de ≤).

10 2. MESURES

(2) Montrer que µ, µ∗ et µ∗ sont liées par les relations :

• ∀A ∈ P(E), µ∗(A) + µ∗(E \A) = µ(E)• µ∗ ≤ µ∗ sur P(E)• µ∗ ≤ µ ≤ µ∗ sur B(E)

(3) Soit E = A ∈ P(E) / µ∗(A) = µ∗(A). Montrer que la classe des ouverts O de (E,d)vérie O ⊂ E (utiliser le caractère métrique de E) et au moyen de 1. et 2., montrer queE est stable par passage au complémentaire, intersection nie et limite croissante.

(4) En déduire :

∀A ∈ B(E), µ(A) = supµ(F ),F fermé ⊂ A= infµ(O), O ouvert ⊃ A

∀A ∈ P(E), A µ-négligeable ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃Oε ouvert tel que A ⊂ Oε et µ(Oε) ≤ ε.

(5) Déduire des résultats précédents que µ = µ∗ = µ∗ constitue l'unique mesure positiveprolongeant µ sur la tribu E et que µ est la mesure complétée de µ.

3. FONCTIONS MESURABLES 11

CHAPITRE 3

Fonctions mesurables

QUIZZ (Questions de cours) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justiezbriévement ou donnez un contrexemple.

(1) Si f et g sont mesurables, alors h := sup(f,g) est mesurable.

(2) Si f est mesurable, |f | est mesurable.

(3) Si |f | mesurable alors f est mesurable.

(4) L'image par une fonction bijective d'une tribu est une tribu.

(5) 1A est une fonction mesurable si et seulement si A est un ensemble mesurable.

Exercice 3.1. On considère l'espace (R,B(R)).

(1) Étant donnée une partie A de B(R), on notera −A l'ensemble des opposés des élémentsde A.

(a) On note A = A ∈ B(R) ; A = −A. Montrer que A est une sous-tribu de B(R).

(b) Les applications suivantes sont-elles A-mesurables : f(x) = ex, g(x) = x3 et h(x) =cos(x)?

(c) Caractériser les applications de R dans R qui sont A-mesurables.

(2) Soit S une partie de R telle que 0 ∈ S, S = −S et S ∈ B(R). On pose C = A∪B ; A ∈A,B ⊂ S, et B ∈ B(R). Montrer que C est une sous-tribu de B(R) contenant A.

(3) Plus généralement, si T est une application bijective mesurable de (Rp,B(Rp)) dans lui-même, montrer que la famille AT des ensembles mesurables invariants par T est unetribu.

(4) Dans le cas où p = 1 et où T est l'application : x 7→ x+ 1, montrer que AT est la tribu

engendrée par les parties de la forme⋃

n∈Z

[a+ n,b+ n[, où 0 ≤ a < b ≤ 1.

Exercice 3.2. Soit (E,T ) un espace mesurable.

12 3. FONCTIONS MESURABLES

(1) Pour toute suite fn de fonctions mesurables à valeurs dans R, on note

f = limn→∞fn = infn∈N

supk≥n

fk

f = limn→∞fn = supn∈N

infk≥n

fk

(a) Montrer que supn∈N

fn et infn∈N

fn sont T − B(R) mesurables.

(b) Montrer que f et f sont T − B(R) mesurables. Établir que f ≥ f .

(c) Montrer que f(x) = f(x) si et seulement si la suite fn(x) converge dans R et que

dans ce cas f(x) = f(x) = limn→∞

fn(x).

(d) Déduire de ce qui précède que la fonction f dene par f(x) = limn→∞

fn(x) si fn(x)

converge et f(x) = 0 sinon est une application T − B(R) mesurable.

(2) Pour toute suite (An)n≥0 d'éléments de T on note :

limn→∞An =⋂n∈N

⋃k≥n

Ak

limn→∞An =⋃n∈N

⋂k≥n

Ak

Montrer que les ensembles limn→∞An et limn→∞An sont dans la tribu T et prouver lesrelations

1limn→∞An= limn→∞1An

1limn→∞An= limn→∞1An

Exercice 3.3. Soit (Ω,F) un espace mesurable.

(1) Déterminer les fonctions mesurables à valeurs réelles lorsque la tribu F est grossière(i.e. F = P(Ω)), puis lorsque la tribu est triviale (i.e. F = ∅,Ω).

(2) Soit (An)n∈I une partition de Ω où I ⊂ N. Caractériser les éléments de la tribu σ(An, n ∈I) engendrée par cette partition lorsque I := 0, I := 0,1, I := 0,1,2 et I := N.

(3) Soit f : Ω → R une fonction σ(An,n ∈ I)-mesurable. Montrer que f est constante surchaque An, en déduire la forme générale des applications mesurables pour I := 0,I := 0,1, I := 0,1,2 et I := N.

Exercice 3.4. Soit f une application de R dans R. Montrer que :

(1) Si f est monotone alors f est B(R)− B(R) mesurable (borélienne).

3. FONCTIONS MESURABLES 13

(2) Si f est dérivable alors f ′ est borélienne.

(3) x ∈ R, où f est continue =⋂

k∈N∗

⋃r∈Q

int

(f−1

(]r − 1

k,r +

1k

[)), où int(A) désigne

l'intérieur de l'ensemble A, i.e. l'ouvert égal à l'union des ouverts inclus dans A. Endéduire que x ∈ R, où f est continue est un borélien.

4. INTÉGRATION DES FONCTIONS POSITIVES, THÉORÈME DE BEPPO-LÉVI ET LEMME DE FATOU 15

CHAPITRE 4

Intégration des fonctions positives, théorème de Beppo-Lévi et

lemme de Fatou

QUIZZ (Questions de cours) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justiezbrièvement ou donner un contre-exemple.

(1) Si µ est la mesure de comptage sur (N,P(N)), et f une fonction mesurable de N dans

R+, alors∫fdµ n'est autre que

∑n∈N

f(n).

(2) On n'a l'égalité∫

Af(x)dµ(x) =

∫(1A(x)f(x))dµ(x) que si f est étagée positive.

(3) Soit f borélienne positive telle que ∀n ∈ N,f(n) = +∞, alors∫fdλ = +∞, où λ est

la mesure de Lebesgue.

(4) Pour fn suite de fonctions mesurables positives, on a :

0 ≤ lim(∫

fndµ

)≤∫ (

limfn

)dµ ≤ ∞.

(5) Pour toute fonction f borélienne de R dans R+ et toute mesure µ sur (R,B(R)) , la

fonction F (u) =∫ u

af(x)dµ(x) est continue.

Exercice 4.1. (1) Montrer que ν : A ∈ P(N) 7→ card(A) est une mesure σ-nie sur(N,P(N)). On rappelle que cette mesure est appelée mesure de comptage.

(2) (a) Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré et g ∈ M+(Ω,F). Montrer que∫Ω(+∞)gdµ =

(+∞)∫Ω gdµ. (on rappelle la convention 0× (+∞) = 0.)

(b) Soit f ∈M+(N,P(N)). En remarquant que f =+∞∑n=0

f(n)1n, montrer que∫

Nfdν =

+∞∑n=0

f(n).

16 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS POSITIVES, THÉORÈME DE BEPPO-LÉVI ET LEMME DE FATOU

(c) En déduire que pour toute famille de réels positifs (xi,j)(i,j)∈N×N, on a :∑i

∑j

xi,j =∑

j

∑i

xi,j .

(3) Déterminer la classe des parties ν-négligeables de N et expliciter à quelle condition unepropriété dépendant de n ∈ N est vraie ν-presque partout dans N.

Exercice 4.2. Soient (Ω,F ,µ) un espace mesuré et A un ensemble mesurable. On dénit

la suite fn de fonctions par fn :=

1A si n est pair,1− 1A si n est impair.

Montrer, en choisissant conve-

nablement Ω,A et µ que l'on peut obtenir soit l'égalité, soit l'inégalité stricte dans le lemme deFatou.

Exercice 4.3. (1) Montrer que, pour tout a et b dans ]0,+∞[, on a :∫R+

te−at

1− e−btdλ(t) =

+∞∑n=0

1(a+ nb)2

où λ est la mesure de Lebesgue sur R+.

(2) Si p et q sont deux réels positifs, montrer que :∫[0,1]

xp−1

1 + xqdλ(x) =

+∞∑n=0

(−1)n

p+ nq

où λ est la mesure de Lebesgue sur [0,1]. En déduire une expression de ln(2) et deπ

4.

Exercice 4.4. Soit f ∈M+(R,B(R),λ) où λ est la mesure de Lebesgue.

(1) Montrer que l'on a∫

[0,1]

(+∞∑

n=−∞f(x+ n)

)dλ(x) =

∫fdλ.

(2) En déduire que si f est λ-sommable, la série+∞∑

n=−∞f(x + n) est convergente pour λ-

presque tout x ∈ R.

(3) L'hypothèse supplémentaire : f est continue sut-elle à assurer le résultat pour toutx ∈ R.

5. INTÉGRALE DE LEBESGUE, THÉORÈMES DE CONVERGENCE ET APPLICATIONS 17

CHAPITRE 5

Intégrale de Lebesgue, théorèmes de convergence et applications

Exercice 5.1. Déterminer lorsqu'elle existe, la limite de chacune des expressions suivantes :

(1) limn→+∞

∫ n

0(lnx)

(1− x

n

)ndx. En déduire lim

n→+∞[lnn− (1 +

12

+ · · ·+ 1n

)].

(2) limn→+∞

∫ 1

0

1 + nx

(1 + x)ndx.

(3) limn→+∞

∫ +∞

0e−n sin2 xf(x)dx où f est une fonction de L1(R+).

(4) limn→+∞

∫ n

0

(1− x

n

)ne

x2 dx.

Exercice 5.2. Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré.

(1) Soit f ∈ L1(µ). Montrer que :

(1) lima→+∞

aµ(|f | > a) = 0.

Montrer que la condition (1) n'est pas susante. (On pourra construire une fonctionvériant la condition (1) qui n'est pas intégrable par rapport à la mesure de Lebesguesur R.)

(2) On suppose µ nie. Montrer que :

f ∈ L1(µ) ⇔∑n≥1

µ(|f | > n) < +∞.

Étudier le cas d'une mesure innie.

Exercice 5.3. Soit (E,T ,µ) un espace mesuré et f de E dans R+ une application mesurablepositive. On suppose que 0 <

∫E f(t)dµ(t) < +∞ et on xe un réel α strictement positif.

Déterminer selon les valeurs de α

limn→∞

∫En log

(1 +

(f(t)n

)α)dµ(t).

Indication : on pourra montrer que si x ≥ 0 et α ≥ 1, 1 + xα ≤ eαx.

18 5. INTÉGRALE DE LEBESGUE, THÉORÈMES DE CONVERGENCE ET APPLICATIONS

Exercice 5.4. Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré et (fn)n∈N une suite de fonctions de L1(µ)vériant :

∑n

‖fn‖1 < +∞.

(1) Montrer que∑

n fn converge p.p. et dans L1 et que :∫ (∑

n

fn

)dµ =

∑n

(∫fndµ

).

(2) Soit f : R → C telle que : ∀a ∈ R,∫

R|f(x)|e|ax|dx < +∞. Montrer que :∫

Rf(u)ezudu =

∑n

zn

n!

∫Runf(u)du.

Exercice 5.5. (1) Montrer que la fonction f : x 7→∫ +∞

0

e−xt

1 + t2dt est dénie pour

tout x ∈ R+ et à valeurs réelles.

(2) Montrer que f est deux fois dérivable sur R+∗ et vérie : ∀x ∈ R+∗,f”(x) + f(x) = 1x .

En déduire f .

Exercice 5.6. Soit f :

R×]0,+∞[→ R

(x,t) 7→ f(x,t) = e−xt sinxx

1]0,+∞[(x).

(1) On note F : t ∈]0, +∞[7→ F (t) =∫

Rf(x,t)dλ(x) où λ est la mesure de Lebesgue sur

R. Montrer que F est bien dénie et continue sur R+∗.

(2) Montrer que F est dérivable sur ]0,+∞[ et calculer sa dérivée.

(3) En déduire F .

Exercice 5.7. Pour x > 0, y > 0, on dénit ϕ(x,y) =∫ ∞

ye−xu2

du.

(1) Montrer que la fonction ϕ :]0,∞[×]0,∞[−→ R est continue.

(2) Montrer que, pour y > 0 xé, la fonction x ∈]0,∞[−→ ϕ(x,y) ∈ R+ est intégrable, etque la fonction

y −→ ψ(y) =∫ ∞

0sin(x)ϕ(x,y)dx

est dénie et continue sur ]0,∞[.

(3) Montrer que ψ est dérivable sur ]0,∞[ ; calculer ψ′ et limy→∞

ψ(y), et en déduire une

expression simple pour ψ.

5. INTÉGRALE DE LEBESGUE, THÉORÈMES DE CONVERGENCE ET APPLICATIONS 19

Exercice 5.8. Inégalité de Jensen et réciproque

(1) Soit µ une mesure de probabilité sur I intervalle de R et θ une fonction convexe sur I.Montrer que pour toute fonction f intégrable telle que f(x) ∈ I on a

∫fdν ∈ I et

θ(∫fdν) ≤

∫θ(f)dν

Dans quel ca y a t'il égalité pour tout f ?

(2) Soit θ une fonction de R dans R telle que pour toute fonction mesurable bornée f de(R,B(R)) dans (R,B(R)), on ait :

θ

(∫[0,1]

fdλ

)≤∫

[0,1](θof)dλ

où λ est la mesure de Lebesgue. Montrer que θ est convexe.

Note. Les exercices 5, 6 et 7 sont sur le même thème, le 5 et le 6 sont faciles, il vaut donc mieuxprivilégier l'exercice 7 en TD.

6. MESURES PRODUIT, THÉORÈME DE FUBINI-TONELLI 21

CHAPITRE 6

Mesures produit, théorème de Fubini-Tonelli

Exercice 6.1. Pour f(x,y) =xy

(x2 + y2)3/2et f(0,0) = 0, calculer :∫ 1

0dx

∫ 1

0f(x,y)dy,

∫ 1

0dy

∫ 1

0f(x,y)dx,

∫ ∫0≤x,y≤1

f(x,y)dxdy.

Exercice 6.2. (1) Soit ∆ la diagonale de R2, i.e. ∆ = (x,y),y = x,x ∈ R,y ∈ R.Montrer qu'elle est mesurable, i.e. que ∆ appartient à la tribu borélienne de R2.

(2) Montrer que si µ est une mesure σ-nie sur R, alors D := x / µ(x) 6= 0 est dénom-brable (on remarquera que D = ∪nx / µ(x) ≥ 1

n).

(3) Soient µi, i = 1,2 deux mesures σ-nies sur R. Établir et justier la formule :

(µ1 ⊗ µ2)(∆) =∑x∈R

µ1(x)µ2(x).

Exercice 6.3. Soit (Ω,B(Ω),λ(2)), où Ω :=]0, +∞[×]a,b[, λ(2) la mesure de Lebesgue, eta et b deux réels strictement positifs, avec a < b. Montrer que l'application f dénie sur Ω par

f(x,y) = e−xy est dans L1 et en déduire l'intégrale :∫ +∞

0

e−ax − e−bx

xdx.

Exercice 6.4. Soient (Ω,F ,µ) un espace mesuré avec µ(Ω) < +∞ et f ∈M+(Ω,F).

(1) (a) Montrer que A := (ω,t) ∈ Ω× R+,f(ω) ≥ t est un élément de F ⊗ B(R+).

(b) On considère sur Ω×R+ la mesure m := µ⊗λ où λ désigne la mesure de Lebesgue

sur R+. En calculant∫

Ω×R+

1Adm de deux façons diérentes, montrer que :∫Ωfdµ =

∫ +∞

0µ(f ≥ t)dt.

(2) On considère l'application H de ω×R+ dans R+ dénie, pour tout (ω,t) ∈ Ω×R+, parH(ω,t) := ntn−11[t,+∞[(f(ω)) où n ∈ N∗ est xé.

(a) Montrer que H est F ⊗ B(R+)-mesurable.

22 6. MESURES PRODUIT, THÉORÈME DE FUBINI-TONELLI

(b) Montrer que, pour tout n ∈ N∗,∫

Ωfndµ =

∫ +∞

0ntn−1µ(f ≥ t)dt.

(3) f et g étant deux éléments deM+(Ω,F), en considérant l'application F de Ω×R+×R+

dans R dénie pour tout (ω,s,t) ∈ Ω× R+ × R+ par :

F (ω,s,t) := 1[t,+∞[(f(ω))1[s,+∞[(g(ω)),

montrer que : ∫Ωfgdµ =

∫(R+)2

µ(f ≥ t ∩ g ≥ s)dλ(2)(s,t).

7. MESURE IMAGE, CHANGEMENT DE VARIABLES, THÉORÈME DE FUBINI-LEBESGUE 23

CHAPITRE 7

Mesure image, changement de variables, théorème de

Fubini-Lebesgue

Exercice 7.1. Pour chacune des fonctions f suivantes, calculer :∫ 1

0dx

∫ 1

0f(x,y)dy,

∫ 1

0dy

∫ 1

0f(x,y)dx,

∫ ∫0≤x,y≤1

|f(x,y)|dxdy.

(1) f(x,y) =x2 − y2

(x2 + y2)2,

(2) f(x,y) =(x− 1

2

)−3

si 0 < y < |x− 12 | et 0 sinon.

(3) f(x,y) =x− y

(x2 + y2)3/2.

Exercice 7.2. (1) Montrer que∫

[0,1]2

dxdy

1− xy=∑n≥1

1n2

.

(2) En faisant le changement de variables x =u+ v√

2, y =

u− v√2

, montrer que∑n≥1

1n2

=π2

6.

Exercice 7.3. Soit Γ(a) =∫ +∞

0e−tta−1dt et B(a,b) =

∫ 10 t

a−1(1− t)b−1dt, a,b > 0.

(1) Montrer que ces intégrales sont nies et que Γ(a)Γ(b) = 4∫

(R+)2e−(u2+v2)u2a−1v2b−1dudv.

(2) Montrer que B(a,b) =Γ(a)Γ(b)Γ(a+ b)

.

Exercice 7.4. Soit n ∈ N∗, on note bn le volume de la boule-unité de Rn, i.e. bn := λ(n)(Bn)où λ(n) est la mesure de Lebesgue sur Rn et

Bn := (x1, . . . ,xn) ∈ Rn;x21 + . . . x2

n ≤ 1.

24 7. MESURE IMAGE, CHANGEMENT DE VARIABLES, THÉORÈME DE FUBINI-LEBESGUE

(1) Que valent b2, b3?

(2) (a) Etablir une relation de récurrence entre bn et bn−2, pour tout n ≥ 3, en remarquantque x2

1 + · · ·+ x2n ≤ 1 équivaut à x2

1 + x22 ≤ 1 et x2

3 + · · ·+ x2n ≤ 1− x2

1 − x22.

(b) En déduire l'expression de bn pour tout entier n ≥ 2.

Exercice 7.5. (1) Montrer que les applications f et g dénies sur R2 par f(x,y) :=e−(x2+y2) et g(x,y) := e−(x2+2xy+2y2) sont intégrables sur R2 et calculer leur intégrale.

(2) Montrer que∫ +∞

−∞e−x2

dx =√π.

(3) Plus généralement, soit q une forme quadratique réelle dénie positive sur Rn où n ∈ N∗.

(a) Justier l'existence d'une base E de Rn orthonormée relativement à q et telle que,pour tout n-uplet x = (x1, . . . ,xn) ∈ Rn de composantes u1, . . . ,un dans la base E ,

q(x) =n∑

i=1

u2i .

(b) Montrer que∫

Rn

e−q(x1,...,xn)dx1 . . . dxn =(

πn

det(q)

) 12

, où det(q) désigne le déter-

minant de la matrice de la forme quadratique q dans la base canonique de Rn.

Exercice 7.6. Pour r > 0, on pose : mr(A) =∫

1Ae−xxrdx, A ∈ B([0,+∞[).

(1) Montrer que mr est une mesure nie sur [0,+∞[, calculer mr([0,+∞[) et∫xsdmr(x)

pour s ∈ R.

(2) Pour r > 0 et s > 0, on note µ = mr⊗ms. Si T1 :

[0,+∞[2 → [0,+∞[(x,y) → x+ y

, calculer

T1µ.

(3) Si T :

[0,+∞[2 → [0,+∞[×[0,1](x,y) → (x+ y, x

x+y ) , calculer Tµ.

(4) Montrer que Tµ = T1µ⊗ m, et calculer m([0,1]).

Exercice 7.7. Soient I, J deux intervalles de R et T : I → J avec T−1 ∈ C1. Si f :(I,B(I)) → (R,B(R)) est mesurable, on note mf la mesure sur (I,B(I)) de densité f par rapportà la mesure de Lebesgue. Montrer que Tmf est la mesure sur (J,B(J)) de densité f(T−1)|(T−1)′|par rapport à la mesure de Lebesgue.

8. ESPACES Lp 25

CHAPITRE 8

Espaces Lp

Exercice 8.1. Soit p ∈]1,+∞[. On dénit les fonctions sur R : fp(x) = x− 1

p 1]0,1[(x), gp(x) =

x− 1

p 1]1,+∞[(x), hp(x) = (x(1 + ln2 x))−1p 1]0,1[(x), lp(x) = (x(1 + ln2 x))−

1p 1]1,+∞[(x). Donner,

pour ces fonctions et à l'aide de p, les valeurs de q pour lesquelles elles appartiennent à Lq.

Exercice 8.2. Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré et f une application de Ω dans R, mesurable,

telle que ‖f‖∞ > 0. On considère la fonction ϕ de [1,+∞[ dans R+dénie par ϕ(p) =

∫Ω |f |

pdµ.On note Ef = p ≥ 1 : ϕ(p) < +∞.

(1) Montrer que Ef est un intervalle de R.

(2) Montrer que lnϕ est une fonction convexe dans l'intérieur de Ef et donc que ϕ est

continue suroEf .

(3) Montrer que pour tout intervalle I inclus dans [1,+∞[, il existe une application f telleque I = Ef (on pourra utiliser les fonctions de l'exercice précédent).

(4) Montrer que pour 1 ≤ r < p < s < +∞, on a ‖f‖p ≤ max(‖f‖r,‖f‖s) et que Lr(µ) ∩Ls(µ) ⊂ Lp(µ).

Exercice 8.3. Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré ni. Montrer que pour 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞, ona L∞ ⊂ Lq ⊂ Lp ⊂ L1 . Montrer par un exemple que l'hypothèse µ(Ω) < +∞ est nécessaire.

Exercice 8.4. Soit 1 < p < +∞ et (fn) une suite de Lp(µ) qui converge µ-presque partoutvers f . Montrer :

limn→+∞

‖fn − f‖p = 0 ⇔ limn→+∞

‖fn‖p = ‖f‖p.

(On pourra appliquer le lemme de Fatou à une suite convenablement choisie.)

Exercice 8.5. Soient 1 < p < +∞. A toute fonction f de LpR(R+), on associe la fonction

F dénie sur R∗+ par F (x) = 1

x

∫ x0 f(t)dt.

(1) Justier la dénition de F et montrer que toute f de CK(R∗+,R+), K ⊂ R∗

+ (supportcompact) vérie l'inégalité :

(2)∫ +∞

0F (x)pdx ≤ p

p− 1

∫ +∞

0f(x)F (x)p−1dx

26 8. ESPACES Lp

et l'inégalité de Hardy

(3) ‖F‖p ≤p

p− 1‖f‖p.

(2) Montrer que toute fonction f de LpR(R+) vérie (2) et (3).

(3) Montrer que l'inégalité de Hardy est satisfaite par toute fonction f de LpR+

(R+).

(4) Montrer que g vérie l'égalité dans l'inégalité de Hardy si g = 0 λ-p.p..

(5) Montrer que la constantep

p− 1est optimale dans l'inégalité de Hardy.

(6) Étudier les cas p = 1, p = ∞.