7/29/2019 Exercices de Mecanique Du Solide

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Mcanique du solide

Mouvement dune roue mise au sol.Une roue daxe , de direction fixe et horizontale, est mise en contact avec le sol. Elle subit un

frottement solide au contact du sol de coefficient f. Sachant quelle possde un rayon a et un moment

dinertie J par rapport son axe , dterminer le mouvement de la roue si, t = 0, elle possde une vitesse

angulaire 0.

Dbut de mouvement.On considre une barre homogne de masse m, de

longueur l, qui est suspendue horizontalement par ces

extrmits. Dterminer les tensions des deux fils qui assurent la

suspension. Lun deux vient cder. Dterminer alors la

tension dans le fil restant au moment o lautre fil rompt.

(m,l) g

A B

Mouvement dune barre qui glisse.On considre une barre AB, de masse M, de

longueur l qui peut glisser au contact de A sur le sol

horizontal et de B sur un mur vertical (voir ci-contre). Sa

position est repre par langle quelle fait avec la

verticale descendante. On considre un contact idal sans

frottement.

z

B l

O A y

Initialement, la barre vrifie (0) = avec une vitesse nulle.

1) Dterminer les ractions en A et B en fonction de .

2) Dterminer si la barre se spare de ses supports lors de son mouvement.

Droulement dun cble enroul autour dun cylindre.

Soit un cylindre de rayon a mobile autour de sonaxe , de moment dinertie J. On y a enroul un fil de

masse ngligeable et qui ne glisse pas sur le cylindre.

On accroche une masse m au bout du fil. Initialement,

le tout est immobile et le fil est dvid dune longueur

h0 (sa longueur totale tant L0.) Dterminer les

mouvements rsultants de la chute sans frottement de

la masse m.

g

a

h0

m

Bille au fond dun bol.Une bille de masse m et de rayon r, de moment dinertie autour de ses axes propres J = 2mr

2/5 est

place au fond dun bol sphrique de rayon R. Dterminer la priode des petites oscillations de la bille

autour de la position dquilibre dans un plan horizontal en supposant quil ny a pas de glissement.

Quest-ce qui rend ltude des petites oscillations plus complexes si on ne se limite pas ses hypothses ?

Sphre roulant sur une autre.Une sphre de rayon r, de masse m roule

sans glisser sur une sphre fixe de rayon R. On

appelle l'angle entre la verticale et le segment

joignant les deux centres. Ecrire l'quation du

mouvement. Dterminer pour quel angle

0 lecontact se perd entre les deux sphres.

A quelle condition sur le coefficient de

frottement f ceci est-il possible ?

z

O

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Craies en quilibre.On modlise trois craies par des cylindres

homognes. Deux dentre elles sont poses sur le

plan horizontal et la troisime repose sur les

autres (voir schma ci-contre). Leur position

relative est obtenue par un angle . On suppose

que tous les contacts solides se produisent avec

le mme coefficient de frottement solide f.Dterminer une condition sur langle pour que

lquilibre soit possible.

Pendule de Holweck-Lejay.Une masse ponctuelle M est place en

A au bout dune tige OA de longueur l, de

masse m, articule en O et mobile dans le

plan vertical (voir figure ci-contre). Un

ressort spiral soumet la tige un couple de

rappel -C

.

z

A(M)

O y1) Dterminer la condition pour que = 0 soit une position dquilibre stable.2) Cette condition tant ralise, montrer que la priode de petites oscillations du pendule autour

de O peut se mettre sous la forme :gG

lT

= 2 ; dterminer G et .

3) Dterminer la variation relative T/T de la priode du pendule lorsque g varie de g. Etablir lesconditions dans lesquelles ce pendule est plus sensible quun pendule pesant.

Planche sur deux cylindres tournants :z

x

2l

Une planche mince, homogne, de masse m est pose sur

deux cylindres horizontaux tournant en sens inverses avecdes vitesses angulaires de mme module. Le coefficient

de frottement vaut f. On abandonne la planche sans

vitesse initiale sur les deux planches en la dposant de

manire symtrique par rapport aux deux cylindres (a =

xG(0) 0).1) Dterminer les ractions normales sur les deux

cylindres en fonction de x.

2) On suppose que les cylindres tournent assez vite pour que la planche glisse sans cesse sur les

deux cylindres. Montrer qualors la planche effectue des oscillations dont on dterminera la

priode T. Y a-t-il une condition sur la longueur de la planche pour que les oscillations existent ?

sur f ?3) Comment dterminer f grce cette exprience ?

3) Que se passe-t-il si on inverse le sens de rotation des deux cylindres ?

Oscillations d'un demi cylindre sur un plan:Ecrire une quation rgissant le mouvement d'un

demi cylindre homogne de rayon R ; de masse m et de

centre C roulant sans glisser sur un plan horizontal.

I est le point de contact du cylindre avec le plan

horizontal et I0 lorsque le cylindre est lquilibre. est

repr entre CI0 et la verticale.Rsoudre cette quation dans le cas d'angles petits.

On rappelle que le moment dinertie

dun cylindre entier par rapport son

axe propre est mR2/2.

y

I0 x

I

G

A B

O

C

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Dispositif darrosage tournant :

On considre un tourniquet darrosage

dans lequel arrive de leau la vitesse u par

rapport aux tuyau avec un dbit massique Dm.

Les tuyaux et tubes utiliss sont considrs

comme trs fins. La tte tournante du dispositif

a un moment dinertie J par rapport laxe derotation et les sorties deau se font avec un

angle par rapport la normale au tuyau (voir

schma). Les bras, horizontaux, sont de

longueur b. Vue en perspective vue de dessus

Sous laction de leau, les bras acquirent une vitesse angulaire qui varie dans le temps. On va

sintresser lquation du mouvement et en donner la solution lorsque le systme est initialement

larrt.

Quel thorme semble le mieux adapt ce problme ? Faire un bilan entre t et t + dt pour pouvoir

lappliquer. Dgager alors lquation du mouvement et la rsoudre. Quelles grandeurs caractristiques du

problme apparaissent alors ?

Chute dun piquet.Soit un piquet rectiligne homogne de longueur 2l et de masse M pos verticalement sur le sol. Il

chute partir de sa position dquilibre instable sans vitesse initiale notable. Dterminer lquation du

mouvement du piquet puis les composantes de la raction du sol sur le piquet.

Pensez-vous quil glissera dabord ou quil se soulvera de son point dappui lors de sa chute?

On pourra paramtrer avec langle que fait le piquet avec la verticale et considrer un frottement

solide sur le sol.