Exercices de mathématiques Lycée Olympe de Gouges Année … · 2019-12-21 · Quelques citations...

Exercices de mathématiquesLycée Olympe de Gouges

Année 2019-2020

Le lecteur (très) intéressé notera que Homer Simpson n’est pas si mauvais mathématicien qu’il en a l’air :Homer a raison en affirmant qu’il faut manger la moitié du beignet pour affirmer que cette moitié du beignetest homéomorphe à la sphère S2 : il suffit de planter une paille dedans et de souffler !

Un beignet normal (assimilable à un tore) n’est pas homéomorphe à la sphère S2. Le lecteur ayant desrudiments de topologie algébrique ( !) pourra remarquer que le groupe fondamental de Poincaré du beignet estZ2, alors que celui de S2 est trivial car elle est convexe.

Quelques citations pour bien commencer l’année« En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s’y habi-

tue. »John von Neumann

« Les mathématiques ne sont écrites que pour les mathématiciens. »Nicolas Copernic

« Je suis mathématicien. Les mathématiques ont rempli ma vie. »Laurent Schwartz

« Le développement de l’économie réelle n’a rien à voir avec lascience économique. Bien qu’on les enseigne comme s’il s’agissait demathématiques, les théories économiques n’ont jamais eu la moindreutilité pratique. »Karl Popper

« La pêche à la ligne c’est comme les mathématiques en cela qu’onne peut jamais complètement l’apprendre. »Isaak Walton

Table des matières

1 Introduction 7

2 Logique, récurrence, sommes 9

3 Suites réelles 14

4 Polynômes 20

5 Matrices et systèmes linéaires 23

6 Ensembles et applications 28

7 Continuité et fonctions usuelles 30

8 Probabilité sur un univers fini 33

9 Calcul différentiel 39

10 Séries numériques 43

11 Intégration 45

12 Probabilité sur un univers quelconque 51

13 Variables aléatoires discrètes usuelles 56

14 Variables aléatoires à densité 59

15 Lois usuelles à densité 61

16 Algèbre linéaire 63

A Tableaux de dérivation 65

B Tableaux de primitivation 67

C Tableaux des lois usuelles en probabilité 68

D Scilab 69

1Introduction

Exercice 1.

Simplifier les expressions suivantes :

1. 214;

2.72

148;

3. 23 −

16 + 4

9 −712 ;

4.(3− 2

√3) (

3 + 2√

3);

5. 1 +√

5 + 21−√

5 ;

6. 49×81632 ;

7.√

72 ;

8. 4√

325√

128 .

Exercice 2.

Développer les expressions suivantes (avec x ∈ R) :

1. (2x+ 1)2 ;2. (−3x+ 2)2 ;

3. (3x+ 1)3 ;4. (x+ 2)4.

Exercice 3.

Factoriser le plus possible les expressions suivantes (avec x ∈ R) :

1. x2 − 6x+ 9 ;2. x4 − 1 ;3. 8x2 − 32 ;

4. (2x+ 1) (−3x− 3) + (7x+ 2) (2x+ 2) ;5. (2x+ 1)3 + (2x+ 1)2 + 2x+ 1 ;6. x3 + x2 + x+ 1.

Exercice 4.

Simplifier le plus possible les expressions suivantes (avec x, y ∈ R∗) :

1. xn+1xn ;

2. 1x1−n ;

3. yyn ;

4. (−3)2n−1

74n+1 ;

5. x2n−1

(xn+1)3 .

Exercice 5.

Factoriser la fonction polynomiale définie par P (x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 sachant qu’elle admet une racineévidente.

Exercice 6.

Factoriser la fonction polynomiale définie par P (x) = x4− 6x2 + 7x− 6 sachant qu’elle admet deux racinesévidentes.

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Exercice 7.

1. Trouver deux réels a et b tels que pour tout x ∈ R\ −1, 0, 1x(x+1) =

ax +

bx+1 .

2. Trouver trois réels a, b et c tels que pour tout x ∈ R\ −2,−1, 0, 1x(x+1)(x+2) =

ax +

bx+1 + c

x+2 .

Exercice 8.

Résoudre dans R les équations suivantes :

1. x2 − 4x+ 3 = 0 ;2. x2 − x+ 1 = 0 ;3. 2x2 − 12x+ 18 = 0 ;

4. 2x3 − 4x2 + 3x− 1 = 0 ;5. x =

√x+ 2 ;

6. x4 + 3x2 − 10 = 0 ;

7. e2x − 6ex + 9 = 0 ;8.(x2 − 3x+ 4

)2= x4 ;

9. ln2 (x) + 7 ln (x)− 1 = 0.

Exercice 9.

Résoudre dans R les équations suivantes en discutant suivant la valeur du paramètre m ∈ R :

1. 2mx+ 7 = 1 ;2. 3 (m− 1) x+m+ 4 = 5 ;3. m2x+ 2m = 9x− 6 ;

4. (m− 1) x2 − 4 (m− 2) x+ 4m− 11 = 0 ;

5. mx2 + (1−m) x− 1 = 0.

Exercice 10.

Résoudre dans R les équations suivantes :

1. 1x+1 = 3 ;

2. 5x+3 = 2− x+3

4 ;

3. 2x−3 = 7 ;

4. x+ 1 =√

x6 + 6 ;

5. 3x−2 = − 1

−x+1 ;

6. x+ 26− 3

x−1= 1.

Exercice 11.

Résoudre dans R les équations suivantes :1.√x− 7 = 2x+ 1 ;

2.√

2− x =√

3x+ 1 ;3.√x2 − 5x+ 4 = x+ 1.

Exercice 12.

Résoudre dans R les inéquations suivantes :

1. x2 ≤ 5x+ 4 ;2. x+ 2 ≥

√x+ 5 ;

3. 2x−7x−4 > 0 ;

4. x2+3x−1x+5 ≥ x ;

5. x2−10x+10−x+2 < 1.

Exercice 13.

Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur les ensembles indiquées :

1. f : x 7−→ x4 + x3 − x+ 7 sur R ;2. f : x 7−→ 3

x sur R∗ ;3. f : x 7−→

(x2 + 2

)e2x sur R ;

4. f : x 7−→ 2x+11x−4 sur R\ 4 ;

5. f : x 7−→ ex2+3x−7 sur R.

2Logique, récurrence, sommes

Exercice 14.

Exprimer les propositions suivantes à l’aide de quantificateurs.1. Tout entier est le carré d’un entier.2. Tout entier est la somme de quatre carrés.3. Il existe des entiers qui sont somme de deux carrés.4. Il n’existe pas d’entier plus grand que tous les autres.5. Tout ensemble non vide inclus dans N admet un plus petit élément.

Exercice 15.

Soit f : R −→ R une fonction. Exprimer les propositions suivantes à l’aide de quantificateurs.1. f ne s’annule pas sur R.2. f n’est pas positive.3. f est majorée par 5.4. Tout réel admet un antécédent par f .5. f est strictement croissante.6. f ne prend jamais deux fois la même valeur.7. f est constante.

Exercice 16.

Pour chacune des propositions suivantes, énoncer la négation, puis dire si la proposition est vraie ou fausse.

1. ∀x ∈ R, x2 > 0 ;2. ∃x ∈ R, 2x− 1 = 12 ;3. ∀n ∈N, ∃p ∈N, n = 2p ;4. ∀n ∈N, ∃p ∈N, p = 3n ;

5. ∀n ∈N, ∃p ∈N, n (n+ 1) = 2p ;6. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x ≥ y ;7. ∀x ∈ R, ∃y > 0, y < x ;8. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x = ey.

Exercice 17.

Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses.

1. (1 = 2) =⇒ (ln (1) = 1) ;2. ∀x ∈ R,

(x2 = 9

)=⇒ (x = 3) ;

3. ∀x ∈ R, (x > 1) =⇒ (x ≥ 2) ;

4. ∀n ∈N, (n > 1) =⇒ (n ≥ 2) ;

5. ∀x ∈ R,(x2 − 3x+ 2 ≥ 0

)=⇒ (x ≥ 0).

10 CHAPITRE 2. LOGIQUE, RÉCURRENCE, SOMMES

Exercice 18.Montrer les propositions suivantes par récurrence :1. Soit la suite définie par : u0 = 1, un+1 = 2un. Montrer que pour tout n ∈N, un = 2n.2. Soit la suite définie par u0 = −2 et pour tout n ∈ N, un+1 = 3un − 4. Montrer que pour tout n ∈ N,un ∈ Z et est un nombre pair.

3. Soit la suite définie par : u0 = 1, un+1 = −un + 4. Montrer que pour tout n ∈N, un = (−1)n+1 + 2.4. Montrer que pour tout n ∈N, 9 divise 10n − 1.

5. Montrer que pour tout n ∈N,n∑k=0

k = n(n+1)2 .

Exercice 19.Même consigne que l’exercice précédent.1. Pour tout n ≥ 3, 2n ≥ n2 − 1.2. Pour tout n ∈N, pour tout x ∈ [−1,+∞[, (1 + x)n ≥ 1 + nx.3. Pour tout n ∈N, pour tout x ∈ R∗+, ln (xn) = n ln (x).4. Pour tout n ≥ 4, n! > 2n.

5. Pour tout n ∈N,n∑k=0

k2 = n(n+1)(2n+1)6 .

6. Pour tout n ∈N,n∑k=0

k3 =(n(n+1)

2

)2.

7. Pour tout n ∈N∗,n∑k=1

k× k! = (n+ 1)!− 1.

Exercice 20.Soit la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et pour tout n ∈N, un+1 = 1

3 (un + 4n+ 6).Montrer que pour tout n ∈N, un = 2n+ 1

3n .

Exercice 21.On considère la suite (un)n∈N définie par : u0 = 1, u1 = −5 et pour tout n ∈N, un+2 = 5un+1 − 6un.Montrer que, pour tout entier naturel n on a :

un = 8× 2n − 7× 3n.

Exercice 22.Montrer que tout entier naturel n ≥ 2 admet au moins un diviseur premier.

Exercice 23.

On veut montrer par récurrence que la proposition P (n) : « ∀p ∈ N, 0 ≤ p ≤ n,n∑k=p

(kp) = (n+1p+1) » est

vraie pour tout n ∈N puis utiliser le résultat.1. Faire l’initialisation.2. En distinguant les cas p = n+ 1 et 0 ≤ p ≤ n, où n est un entier naturel fixé et p un entier naturel,

effectuer l’hérédité et conclure la récurrence.3. En écrivant ce résultat pour p = 2 et p = 3, montrer que, pour n ≥ 3 :

n∑k=2

k (k− 1) = (n+ 1)n (n− 1)3

etn∑k=3

k (k− 2) (k− 1) = (n+ 1)n (n− 1) (n− 2)4 .

Exercice 24.Calculer les sommes suivantes suivantes en utilisant les sommes de référence :

ECE 1-LYCÉE OLYMPE DE GOUGES 11

1.n∑k=0

(−2) ;

2.78∑

k=234 ;

3.n−1∑k=0

(2k+ 1) ;

4.21∑k=7

2k+35 ;

5.n∑k=0

ek+1 ;

6.n∑k=0

23k+2 ;

7.25∑k=6

12k ;

8.n∑k=1

132k+1 ;

9.n∑k=1

(6k2 − 4k+ 2

);

10.n∑k=1

2k3k+1 .

Exercice 25.

Soient a et b deux réels et n ∈N∗. Montrer que

an − bn = (a− b)n−1∑k=0

akbn−1−k.

Exercice 26.

1. (a) Trouver deux réels a et b tels que pour tout k ≥ 1, 1k(k+1) =

ak −

bk+1 .

(b) En déduiren∑k=1

1k(k+1) .

2. (a) Trouver trois réels a, b et c tels que pour tout k ≥ 1,

1k (k+ 1) (k+ 2)

=a

k+

b

k+ 1 +c

k+ 2 .


1k(k+1)(k+2) .

3. (a) Montrer que pour tout k ≥ 0,

1√k+√k+ 1

=√k+ 1−

√k.


1√k+√k+1

.

4. Calculern∑k=1

ln(k+1k

).

Exercice 27.

Calculer les sommes doubles suivantes (avec n ∈N∗).

1.∑

1≤i,j≤nij ;

2.∑

1≤i≤j≤nij ;

3.∑

1≤i,j≤ni2j ;

4.∑

1≤i,j≤n(i+ j) ;

5.∑

1≤i≤j≤n

ij ;

6.∑

1≤i,j≤nmin i, j ;

7.∑

1≤i,j≤nmax i, j.

Exercice 28.

Soient n et p deux entiers naturels non nuls. Soient (ai)1≤i≤n et (bj)1≤j≤p. Montrer que

∑1≤i≤n1≤j≤p

aibj =

(n∑i=1

ai

)(p∑i=1

bi

).

Exercice 29.

Calculer les produits suivantes (avec q ∈ R).

12 CHAPITRE 2. LOGIQUE, RÉCURRENCE, SOMMES

1.n∏k=0

3 ;

2.n∏k=1

(2k) ;

3.n∏k=0

(2k+ 1) ;

4.n∏k=0

qk ;

5.n∏k=0

q2k .

Exercice 30.

Soit n ∈N∗. Le but de l’exercice est de calculer S1 =n∑k=0

k(nk) et S2 =n∑k=0

k2(nk).

On définit la fonction f par : pour tout x ∈ R, f (x) =n∑k=0

(nk)xk.

1. Une première méthode pour calculer S1.

(a) Simplifier f (x)(b) En exprimant f ′ (x) de deux manières différentes, calculer S1.

2. Une deuxième méthode pour calculer S1.

(a) Que dire des sommesn∑k=0

k(nk) etn∑k=1

k(nk) ?

(b) Soit n ∈N∗ et k ∈ [[1,n]]. Montrer l’égalité :

k

(n

k

)= n

(n− 1k− 1

).

(c) En déduire, à l’aide des deux questions précédentes et d’un changement d’indice, quen∑k=0

k(nk) =

nn−1∑k=0

(n−1k ), puis en déduire S1.

3. Calcul de S2.

(a) Calculer f ′′ (x) de deux manières distinctes (l’une utilisant la formule du binôme de Newton) et endéduire que

n∑k=0

k (k− 1)(n

k

)= n (n− 1) 2n−2.

(b) Montrer que k2 = k (k− 1) + k et en déduire la valeur de S2 à l’aide du résultat de la questionprécédente et du calcul de S1.

Exercice 31.

1. Soit k ∈N∗. Simplifier les expressions suivantes : (k+ 1) k! et (k+ 2) (k+ 1) k!.

2. Soit n ∈N∗, on pose Sn =n∑k=1

k× k!.

(a) En utilisant la décomposition k = k+ 1− 1, justifier que

Sn =n∑k=1

(k+ 1)!−n∑k=1

k!.

(b) En déduire que Sn = (n+ 1)!− 1.

3. Soit n ∈N∗, on pose Tn =n∑k=1

(k2 + 1

)× k!.

(a) Soit k ∈N∗. Justifier que k2 + 1 = (k+ 2) (k+ 1)− 2 (k+ 1) + 1− k.


(b) En utilisant la décomposition précédente et la linéarité de la somme, montrer que :

Tn =n∑k=1

(k+ 2)!− 2n∑k=1

(k+ 1)! +n∑k=1

k!− Sn.

(c) En remarquant une propriété sur les sommes télescopiques, montrer que

Tn = (n+ 2)!− (n+ 1)!− 1− Sn.

(d) En déduire queTn = (n+ 1)!n.

4. Redémontrer le résultat de la question précédente par récurrence sur n ∈N∗.

3Suites réelles

Exercice 32.

Étudier la monotonie des suites suivantes.

1. un = 2n+ 1 ;

2. un = −13n

2 ;

3. un =√n ;

4. u0 = 1 et pour tout n ∈ N,

un+1 = un + 3 ;

5. un = (−1)n ;

6. un = 3n2 − 4n+ 1 ;

7. un = nn

n! ;

8. un = 2nn avec n ≥ 1 ;

9. u0 = 1 et pour tout n ∈N, un+1 = un + 1

un(on

pourra d’abord montrer quepour tout n ∈N, un > 0).

Exercice 33.

Pour chacune des suites suivantes, étudier le signe de f (x) − x (on pourra étudier la fonction x 7−→f (x)− x), puis donner le sens de variation de la suite (un)n∈N.

1. u0 = −1 et pour tout n ∈N, un+1 = eun ;2. u0 = 2 et pour tout n ∈N, un+1 = ln (1 + un) ;3. u1 = 5 et pour tout n ∈N, un+1 = u2

n.

Exercice 34.

Étudier la convergence des suites suivantes. Calculer la limite lorsque c’est possible.

1. un = n+1n ;

2. un = n2+2n−1 ;

3. un = n3+n2−3en+n+7 ;

4. un = en − 2n + 1 ;

5. un = ln (n)−√n+ 3n ;

6. un =√n2 − 1− n ;

7. un =√n+3 ln(n)+2

ln(n3)−√n+4 ;

8. un = (n+2)!(n2+1)×n! ;

9. un = (−n+ 2) e−n.

Exercice 35.

Montrer que les suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ définies par : pour tout n ∈N∗, un =n∑k=1

1k! et vn = un+

1n×n!

sont adjacentes.

Exercice 36.

Soit la suite (un)n∈N définie par : pour tout n ∈N, un = 5nn! .

1. Calculer les cinq premiers termes. La suite (un)n∈N semble-t-elle monotone ?2. Montrer que la suite suite (un)n∈N est décroissante à partir du rang 4.

3. Montrer que pour tout n ≥ 5, un+1 ≤ 56un.


4. Soit la suite géométrique (vn)n≥5 de raison 56 et de premier terme v5 = u5. Montrer que

∀n ≥ 5, 0 ≤ un ≤ vn.

5. Déterminer la limite de la suite (un)n∈N.

Exercice 37.

1. Soit une suite (un)n∈N telle que u0 = 3 et pour tout n ∈N, un+1 ≥ 2un.

(a) Montrer que∀n ∈N, un ≥ 3× 2n.

(b) En déduire la limite de la suite (un)n∈N.

2. Soit une suite (vn)n∈N de réels positifs telle que v0 = 4 et pour tout n ∈N, vn+1 ≤ 13vn.

(a) Montrer que

∀n ∈N, vn ≤ 4×(

13

)n.

(b) En déduire la limite de la suite (vn)n∈N.

Exercice 38.

Soit la suite (Sn)n∈N∗ définie par : pour tout n ≥ 1, Sn =n∑k=1

1√k.

1. Montrer que pour tout n ≥ 1, on a1√n+ 1

≤ 2(√n+ 1−

√n)≤ 1√

n.

2. En déduire la limite de la suite (Sn)n∈N∗ .3. On pose Tn = Sn − 2

√n. Montrer à l’aide du théorème de convergence monotone que la suite (Tn)n∈N∗

converge.4. Trouver alors une suite (un)n∈N∗ telle que lim

n→+∞Snun

= 1.

Exercice 39.

Soient deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N de réels strictement positifs. On suppose que pour tout n ∈N,un+1un

≤ vn+1vn

.

1. Montrer que si limn→+∞

un = +∞, alors limn→+∞

vn = +∞.

2. Montrer que si limn→+∞

vn = 0, alors limn→+∞

un = 0.

Exercice 40.

Soit la suite (un)n∈N∗ définie par : pour tout n ∈N∗, un =n∑k=1

nn2+k .

1. Montrer que pour tout n ∈N∗,n2

n2 + n≤ wn ≤

n2

n2 + 1 .

2. En déduire la limite de la suite (un)n∈N∗ .

Exercice 41.

Dire si les suites suivantes ou arithmétiques ou géométriques. On précisera :i) la raison,ii) le premier terme,iii) la forme explicite,iv) u0 + u1 + · · ·+ un.

16 CHAPITRE 3. SUITES RÉELLES

1. pour tout n ∈ N , an =(−1)n ;

2. b0 = −1 et pour tout n ∈ N,bn+1 = 3bn ;

3. pour tout n ∈N, cn = n+13 ;

4. d0 = 3 et pour tout n ∈ N,dn+1 = dn − 2 ;

5. (en)n∈N est arithmétiquetelle que e3 = 5 et e8 = 20 ;

6. (fn)n∈N est géométrique de

raison 2 et f3 = 128 ;7. (gn)n∈N est constante égale à

4.

Exercice 42.

1. Soit la suite (un)n∈N définie par u0 =√

3 et pour tout n ∈N, un+1 =√

1 + u2n.

(a) Calculer u2 et v2.(b) Conjecturer et démontrer une formule explicite pour la suite (un)n∈N.

2. Soit la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et pour tout n ∈N, un+1 = unun+1 .

(a) Calculer les trois premiers termes.(b) Conjecturer et démontrer une formule explicite pour la suite (un)n∈N.

Exercice 43.

Donner l’expression explicite des suites suivantes. On donnera aussi la limite, si elle existe.1. u0 = 1 et pour tout n ∈N, un+1 = 3un + 2 ;2. u3 = −2 et pour tout n ∈N, un+1 = −1

2un + 4 ;3. u0 = 5 et pour tout n ∈N, un+1 = −3un + 1.

Exercice 44.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 3 et pour tout n ∈N, un+1 = 2un + n2 + 3.1. Trouver trois réels a, b et c tels que la suite (vn)n∈N définie par : pour tout n ∈ N, vn = un −(

an2 + bn+ c)soit géométrique.

2. En déduire l’expression de la suite (un)n∈N.

Exercice 45.

Soient les suites (un)n≥1 et (vn)n≥1 définies par : u1 = 12, v1 = 1 et

∀n ∈N, un+1 =un + 2vn

3 et vn+1 =un + 3vn

4 .

1. Calculer les trois premiers termes de chaque suite.2. Pour tout n ∈N∗, on pose wn = un− vn. Montrer que la suite (wn)n∈N∗ est géométrique et on donnera

sa raison.3. Pour tout n ∈N∗, on pose tn = 3un + 8vn. Montrer que la suite (tn)n∈N∗ est constante.4. Exprimer wn en fonction de n.5. En déduire une expression explicite de un et vn en fonction de n.

Exercice 46.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 14 et pour tout n ∈ N, un+1 = 3un

2un−1 . On admet que la suite(un)n∈N est bien définie sur R, c’est-à-dire que pour tout n ∈N, un 6= 1

2 .On introduit la suite (tn)n∈N par : pour tout n ∈N, tn = 1

un− 1

2 .

1. Montrer que la suite (tn)n∈N est géométrique.2. En déduire une expression de tn puis de un en fonction de n.

Exercice 47.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 1 et pour tout n ∈N, un+1 = 3un+12un+4 .

On introduit la suite (tn)n∈N par : pour tout n ∈N, tn = 2un−1un+1 .


1. Montrer que la suite (tn)n∈N est géométrique.2. En déduire une expression de tn puis de un en fonction de n.

Exercice 48.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 3 et pour tout n ∈N, un+1 =√u2n + 4.

On introduit la suite (tn)n∈N par : pour tout n ∈N, tn = u2n.

1. Montrer que la suite (tn)n∈N est arithmétique.2. En déduire une expression de tn puis de un en fonction de n.

Exercice 49.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 3 et pour tout n ∈ N, un+1 = 3un − 2n. Soit la suite (vn)n∈N

définie par : pour tout n ∈N, vn = un2n .

1. Montrer que la suite (vn)n∈N est arithmético-géométrique.2. En déduire l’expression de vn puis celle de un en fonction de n.

Exercice 50.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 4 et pour tout n ∈N, un+1 = 1un−2 + 2.

1. Montrer que pour tout n ∈N, un > 2.2. Soit la suite (vn)n∈N définie par : pour tout n ∈N, vn = ln (un − 2). Montrer que la suite (vn)n∈N est

géométrique.3. En déduire l’expression de vn puis celle de un en fonction de n.

Exercice 51.

Donner l’expression explicite des suites suivantes.1. u0 = 0, u1 = 1 et pour tout n ∈N, un+2 = 7un+1 − 6un.2. u0 = u1 = 2 et pour tout n ∈N, un+2 = 4un+1 − 4un.3. u1 = u2 = 2 et pour tout n ∈N, un+2 = un+1 + un.

Exercice 52.

1. Soit la suite n ∈N définie par u0 = 1 et u1 = e et pour tout n ∈N, un+2 =√un+1un.

(a) Montrer que pour tout n ∈N, un > 0.(b) Montrer que la suite (vn)n∈N définie par : pour tout n ∈ N, vn = ln (un) est récurrente linéaire

d’ordre 2 à coefficients constants.(c) Donner l’expression explicite de vn puis celle de un en fonction de n.

2. Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 12 et u1 = 1

3 et pour tout n ∈N, un+2 = 2unun+12un+un+1

.

(a) Montrer que pour tout n ∈N, un > 0.(b) Montrer que la suite (vn)n∈N définie par : pour tout n ∈N, vn = 1

unest récurrente linéaire d’ordre

2.(c) Donner l’expression explicite de vn puis celle de un en fonction de n.

Exercice 53.

Soit la fonction f définie sur R∗+ par : pour tout x > 0, f (x) = x+ ln (x).

1. (a) Étudier les variations de f .(b) Déterminer le signe de f (x)− x.

2. Soit la suite définie par : u0 > 1 et pour tout n ∈N, un+1 = f (un).

(a) Montrer que pour tout n ∈N, un ≥ 1 et en déduire que la suite (un)n∈N est croissante.

18 CHAPITRE 3. SUITES RÉELLES

(b) Montrer qu’elle n’est pas majorée et déterminer sa limite.

Exercice 54.

On considère la suite (un)n∈N définie par : u0 ∈ R et pour tout n ∈N, un+1 = eun − 1.On note f la fonction définie par : pour tout x ∈ R, f (x) = ex − 1.1. Montrer que l’équation f (x) = x a une unique solution qui est 0. Déterminer le signe de f (x) − x.

Préciser le sens de variations de f .2. On suppose dans cette question que u0 = 1.

(a) Montrer que pour tout n ∈N, 1 ≤ un ≤ un+1.(b) Montrer que (un)n∈N n’est pas majorée et en déduire sa limite.(c) Montrer que si x ≥ 1, alors f (x) ≥ (e− 1) x.(d) En déduire que pour tout n ∈N, un ≥ (e− 1)n et retrouver la limite de la suite (un)n∈N.

3. On suppose dans cette question u0 < 0.

(a) Montrer que pour tout n ∈N, un < 0.(b) En déduire que la suite (un)n∈N est croissante, puis qu’elle converge vers 0.

Exercice 55.

Soit a ∈ [1,+∞[ et soit la fonction f définie sur ]0,+∞[ par : pour tout x > 0, f (x) = 12(ax + x

).

On définit la suite (un)n∈N par : u0 ∈ [√a, a] et pour tout n ∈N, un+1 = f (un).

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f .2. Calculer f (

√a) et f (a) et faire apparaître ces valeurs dans le tableau précédent. En déduire que pour

tout x ∈ [√a, a], f (x) ∈ [

√a, a].

3. Montrer par récurrence que pour tout n ∈N, un ∈ [√a, a] (ainsi un 6= 0, donc la suite est bien définie).

4. Montrer que la suite (un)n∈N est décroissante, puis convergente vers une limite `.5. Montrer que ` vérifie l’équation ` = 1

2(a` + `

). En déduire la valeur de `.

6. On introduit la suite (vn)n∈N définie par : pour tout n ∈N, vn = un−√a et on suppose que v0 ∈

[0, 1

2].

Montrer que

∀n ∈N, vn+1 =v2n

2un.

En déduire que pour tout n ∈N, vn+1 ≤ v2n.

7. Montrer, par récurrence que, pour tout n ∈N, 0 ≤ vn ≤ 122n .

Exercice 56.

Soit la fonction f définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = x+1√x2+1

− 1.

1. Dresser le tableau de variations de f .On admettra que la fonction x 7−→

√x2 + 1 est dérivable sur R et sa fonction dérivée est x 7−→ 2x

2√

1+x2 =x√x2+1

.

2. (a) Résoudre dans R l’équation f (x) = x.(b) Résoudre dans R l’inéquation f (x) ≤ x.

Dans toute la suite, on considère la suite (un)n∈N définie par : u0 ∈ R et pour tout n ∈ N,un+1 = f (un).

3. Que dire de (un)n∈N si u0 = −1 ou u0 = 0 ?4. On suppose dans cette question que u0 < −1.

(a) Montrer que pour tout n ∈N, un < −1.(b) En déduire que la suite (un)n∈N est croissante.(c) Montrer que (un)n∈N converge vers un réel que l’on déterminera.


5. On suppose ici −1 < u0 < 0.Montrer que la suite (un)n∈N converge et déterminer sa limite.

6. On suppose ici u0 > 0.Sans en donner de démonstration, quel résultat obtientrait-on concernant la convergence de (un)n∈N

dans ce cas ?

Exercice 57.

Soit n ∈N∗. On considère la fonction fn définie sur R par : pour tout x ∈ R, fn (x) = xn + x− 1.1. (a) Montrer que la fonction fn est une bijection de [0, 1] sur un intervalle à préciser.

(b) En déduire que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution xn ∈ ]0, 1[.2. (a) Montrer que pour tout n ∈N∗, fn+1 (xn) < fn+1 (xn+1).

(b) En déduire que pour tout n ∈N∗, xn < xn+1.3. Montrer que la suite (xn)n∈N∗ converge vers un réel noté `. Montrer aussi que 0 < ` ≤ 1.4. Montrer que pour tout n ∈N∗, xn ≤ `.5. En raisonnant par l’absurde, montrer que ` = 1.

Exercice 58.

On considère les fonctions f : R −→ R et g : R −→ R définies par :

∀x ∈ R, f (x) =x3

9 +2x3 +

19 et g (x) = x3 − 3x+ 1.

On définit la suite (xn)n∈N par : x0 = 0 et pour tout n ∈N, xn+1 = f (xn).

1. (a) Étudier les variations de la fonction g.(b) Écrire la fonction g en Scilab.(c) On note g la fonction définie sur

[0, 1

2]par : pour tout x ∈

[0, 1

2], g (x) = g (x).

L’application g est-elle injective ?(d) Montrer que g réalise une bijection de

[0, 1

2]sur un ensemble à préciser.

(e) En déduire que l’équation x3 − 3x+ 1 = 0 possède une unique solution dans l’intervalle]0, 1

2[. On

notera α cette solution.2. (a) Montrer que l’équation f (x) = x est équivalente à l’équation x3 − 3x+ 1 = 0.

En déduire que α est l’unique solution de l’équation f (x) = x sur l’intervalle[0, 1

2].

(b) Montrer que la fonction f est croissante sur R et déterminer son signe sur R+.3. (a) Montrer que f

(12)< 1

2 et en déduire que pour tout n ∈N, 0 ≤ xn ≤ 12 .

(b) Montrer que pour tout n ∈N, xn+1 ≥ xn.(c) Montrer que la suite (xn)n∈N converge vers α.

4Polynômes

Exercice 59.

Effectuer la division euclidienne de

1. X3 + 2X2− 9X+ 18 parX−2 ;

2. X3 − 2X2 + 3X − 2 par X −1 ;

3. X3 + 3X2 − 2 par X + 1 ;

4. X3 − 3X2 + 3X − 2 par X −2 ;

5. 1 + 6X2 + 4X3 − 5X4 parX2 − 5X + 3 ;

6. 2X4−X3 + 3X − 5 par X2−

X − 2 ;7. Xn+2 − 3Xn + 2X + 3 parX2 − 3 (n ∈N).

Exercice 60.

Soit n ∈N∗. Donner le degré des polynômes suivants :1. P (X) = (X + 2)n − (X + 3)n ;

2. Q (X) =n∏k=0

(2X − k) ;

3. R (X) =n∏k=0

(X − 2)k.

Exercice 61.

Factoriser dans R les polynômes suivants :1. P (X) = −X3 − 3X2 + 6X + 8 ;2. Q (X) = X3 − 6X2 + 13X − 10.

Exercice 62.

Les trois questions sont indépendantes.1. Sans le développer, montrer que le polynôme P (X) = (X − 3)2 − 2 (X − 2)2 + (X − 1)2 − 2 est le

polynôme nul.2. Soit P ∈ R [X ] tel que

∀n ∈N, P (n) = n2 + 1.

Montrer que P (X) = X2 + 1.Indication : On pourra introduire le polynôme Q (X) = X2 + 1 et remarquer que (P −Q) (X) a uneinfinité de racines.

3. Existe t-il un polynôme P (X) tel que

∀n ∈N, P (n) = en ?

Exercice 63.


Soit pour n ∈N, n ≥ 2, le polynôme Pn (X) = 2Xn+2 − (n+ 2)X2 + n. Montrer que (X − 1)2 divise Pn.

Exercice 64.

1. (a) Factoriser dans R le polynôme P (X) = X3 − 2X2 − 5X + 6.(b) Donner les domaines de définition des fonctions 1

P et ln (P ).

(c) Étudier la fonction f définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = 14x

4 − 23x

3 − 52x

2 + 6x− 1.

(d) Résoudre dans R l’équation ln (x)3 − 2 ln2 (x)− 5 ln (x) + 6 = 0.2. (a) Factoriser dans R le polynôme P (X) = −4X3 − 6X2 − 4X − 2.

(b) Donner le domaine de définition de la fonction√P .

(c) Étudier les variations de la fonction f définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = −x4 − 2x3 −2x2 − 2x.

(d) Résoudre dans R l’équation −4e2x − 6ex − 4− 2e−x = 0.

Exercice 65.

1. Soit P (X) ∈ Rn [X ], montrer que Q (X) = P ′′ (X)− 4XP ′ (X) ∈ Rn [X ].Dans la suite de l’exercice, on admet que pour tout n ∈N, il existe un unique polynôme unitaire Hn (X)de degré n tel que :

H ′′n (X)− 4XH ′n (X) = −4nHn (X) . (4.1)

2. En dérivant (4.1), montrer que pour tout n ≥ 1,

H ′′′n (X)− 4XH ′′n (X) = −4 (n− 1)H ′n (X) .

En déduire que pour tout n ≥ 1,H ′n (X) = nHn−1 (X) ,

et pour tout n ≥ 2,Hn (X)−XHn−1 (X) +

n− 14 Hn−2 (X) = 0.

3. Pourquoi peut-on affirmer que H0 (X) = 1 et H1 (X) = X ? Calculer alors H2 (X) et H3 (X).4. Soit un = Hn (1). Montrer que la suite (un)n∈N vérifie la relation de récurrence suivante :

u0 = 1,u1 = 1 et pour n ≥ 2, un = un−1 − n−24 un−2.

5. Écrire un programme Scilab qui prend en entrée un entier naturel n et qui rend la valeur de un.

Exercice 66.

L’énoncé est rédigé de telle sorte que, même sans avoir réussi à démontrer certaines questions, on puissese servir des résultats, en les admettant, afin de continuer l’exercice.

Partie 1

On considère les fonctions P et g définies respectivement sur R et ]0,+∞[ par :

∀x ∈ R, P (x) = 3x3 − x− 2 et ∀x > 0, g(x) = x3 − x+ 3− 2 ln(x).

1. Factoriser P (x) et en déduire que le signe de P (x) est celui de x− 1.2. Calculer g′ (x) puis l’exprimer en fonction de P (x). En déduire que son signe est celui de P (x).3. En déduire les variations de g sur son ensemble de définition.4. En déduire que g (x) > 0 sur ]0,+∞[.

Partie 2

On considère la fonction f définie sur ]0,+∞[ par : pour tout x > 0, f(x) = x+ 1 + x−1+ln(x)x2 et on note

Cf sa courbe représentative.

22 CHAPITRE 4. POLYNÔMES

1. Soit x ∈ ]0,+∞[. Calculer f ′ (x) et mettre le résultat sous la forme f ′ (x) = g(x)xk

où k est un entier donton précisera la valeur.

2. En déduire les variations de f sur son ensemble de définition.3. Déterminer une équation de T1, la tangente à Cf au point d’abscisse 1.4. (a) Montrer que f (x) ≥ x+ 1 lorsque x ≥ 1 et que f (x) ≤ x+ 1 lorsque 0 < x ≤ 1.

(b) En déduire la position relative de Cf et la droite ∆ d’équation y = x+ 1.5. Tracer ∆, T1, puis l’allure de Cf dans un repère orthonormé d’unité 2cm (ou 2 grands carreaux), de 0 à

5 en abscisse, de −1 à 4 en ordonnée.Partie 3

On considère la fonction h définie sur ]0,+∞[ par : pour tout x > 0, h(x) = x(1− 1x ).

1. Montrer que h est dérivable sur ]0,+∞[ et déterminer la fonction h′.2. À l’aide de la question 4. de la Partie 2, donner les variations de h.3. Résoudre l’équation h (x) ≥ x et en déduire la position relative de Ch et de la droite ∆ d’équation y = x.4. À l’aide d’un graphique schématisé, formuler une conjecture, en fonction de u0, sur le comportement de

la suite définie par : u0 ∈ ]0,+∞[ et pour tout n ∈N, un+1 = h (un).

Exercice 67.

Soit la fonction f définie sur R∗ par : pour tout x > 0, f (x) = e−1/x2 . On définit pour tout entier natureln non nul, le polynôme Pn par :

P1 (X) = 2 et ∀n ∈N∗,Pn+1 (X) = X3P ′n (X) +(2− 3nX2)Pn (X) . (4.2)

1. Calculer P2 (X) à l’aide de la relation (4.2) et vérifier que :

∀x > 0, f ′ (x) =P1 (x)

x3 f (x) et f ′′ (x) = P2 (x)

x6 f (x) .

2. Conjecturer une expression pour f ′′′ (x).3. Montrer par récurrence que pour tout n ∈N∗, on a :

∀x > 0, f (n) (x) =Pn (x)

x3n f (x) .

4. Montrer que : ∀n ∈N∗, Pn (0) = 2n.

5Matrices et systèmes linéaires

Exercice 68.

Soient A =

2 0−1 3−2 1

, B =

(4 0 2−2 1 1

), C =

2 2 20 5 −10 −3 2

et D =

(3 1−2 1

).

Calculer tous les produits possibles de deux matrices à l’aide de ces matrices.

Exercice 69.

Soient L =(−1 0 2

)et C =

3−21

.

Calculer CL et LC.

Exercice 70.

Soit A =

−2 0 00 3 00 0 5

.

Déterminer toutes les matrices M ∈M3 (R) qui commutent avec A.

Exercice 71.

Soit B =

(−5 −64 −5

).

Résoudre dans M2 (R) l’équation A2 = B, d’inconnue A.

Exercice 72.

Soit A =

3 1 11 3 11 1 3

et B = A− 2I3.

1. Montrer que B2 = 3B.2. Montrer par récurrence que :

∀n ∈N, An = 2nI3 +5n − 2n

3 B.

Exercice 73.

Soit A =

3 0 2 00 −1 0 2−2 0 −1 00 −2 0 3

.

1. Vérifier que (A− I4)2 = 04.

24 CHAPITRE 5. MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES

2. En utilisant le fait que A = (A− I4) + I4, calculer An pour tout n ≥ 2.Exercice 74.

Soit M =

0 1 00 0 11 0 0

.

Calculer Mn pour tout n ∈N.Exercice 75.

Soient A =

2 1 −21 0 00 1 0

, P =

1 1 41 −1 21 1 1

et Q =16

−3 3 61 −3 22 0 −2

.

1. Vérifier que P est inversible et que P−1 = Q.2. Soit D = QAP . Calculer D.3. Montrer que pour tout n ∈N, An = PDnQ. En déduire les coefficients de An.4. Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 2, u1 = 1, u2 = −1 et pour tout n ∈N, un+3 = 2un+2 + un+1−

2un.

Pour tout n ∈N, on pose Xn =

un+2un+1un

.

Vérifier que Xn+1 = AXn et en déduire une expression de un en fonction de n.Exercice 76.

Soit la matrice A =

0 1 11 0 11 1 0

. Le but de cet exercice est de calculer An (n ∈ N) en utilisant des

méthodes différentes.1. Première méthode

(a) Vérifier que A2 = A+ 2I3. En déduire un polynôme annulateur de A.(b) Soit n ∈N, n ≥ 2. Donner le reste de la division euclidienne de Xn par X2 −X − 2.(c) Donner une formule donnant An pour n ∈N, n ≥ 2.(d) Cette formule reste t-elle valable pour n = 0 ? n = 1 ?

2. Deuxième méthode(a) Vérifier que A2 −A− 2I3 = 03.(b) Montrer qu’il existe deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N telles que

∀n ∈N, An = unA+ vnI3.On donnera les relations de récurrence entre un+1, un, vn+1 et vn.

(c) On pose αn = 2un + vn et βn = un − vn. Reconnaître les suites (αn)n∈N et (βn)n∈N.(d) En déduire les expressions de un et vn puis celle de An en fonction de n.

3. Troisième méthodeOn pose J = A+ I3.(a) Vérifier que J2 = 3J . En déduire Jn pour n ∈N∗.(b) En déduire An pour n ∈N.

4. Quatrième méthode

Soient P =

1 1 1−1 0 10 −1 1

et Q =

13 −2

3131

313 −2

313

13

13

.

(a) Vérifier que P est inversible et que P−1 = Q.(b) Soit D = QAP . Montrer que D est diagonale.(c) En déduire An pour n ∈N.

Exercice 77.Étudier l’inversibilité des matrices (et déterminer l’inverse si c’est possible) des matrices suivantes :


1. A1 =

3 −2 01 0 00 1 0

;

2. A2 =

1 −1 −1−2 1 32 2 1

;

3. A3 =

1 −1 01 2 11 1 0

;

4. A4 =

−1 0 20 0 10 −1 1

;

5. A5 =

1 1 1 0−1 1 0 1−1 0 1 10 −1 −1 −1

;

6. A6 =

1 −1 2 20 0 1 −11 −1 1 01 −1 1 0

.

Exercice 78.

Soit A =

−1 1 11 −1 11 1 −1

.

1. Montrer que A2 +A− 2I3 = 03.2. Montrer que A est inversible et calculer A−1.

Exercice 79.

Soit A =

1 0 20 −1 11 −2 0

.

1. Calculer A3 −A.2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

Exercice 80.

On considère les matrices

A =

0 1 0−1 2 01 0 −1

et B =

1 0 −10 1 0−1 1 1

.

1. (a) Calculer A2 et A3. Montrer que A3 −A2 −A+ I3 = 03.(b) En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

2. (a) Montrer que B3 − 3B2 + 2B = 03.(b) En déduire que B n’est pas inversible.

Exercice 81.

Résoudre les systèmes suivants :

1.

x− y+ z = 12x+ y− z = 2x− 2y+ 3z = 0

;

2.

2x+ 3y+ z = 4−x+ y+ 2z = 37x+ 3y− 5z = 2

;

3.

y− x = 12x+ y+ z = 3x+ z = 1

;

4.

−3x+ y+ z + t = 0x− 3y+ z + t = 0x+ y− 3z + t = 0x+ y+ z − 3t = 0

;

5.

−x+ 3y− t = 02x− y+ 2z + 2t = 05y+ 2z = 0x+ 2y+ 2z + t = 0

;

6.

x+ y+ z + t = 0x− y− z = 0y+ z − t = 0x− z + t = 0

.

Exercice 82.

Résoudre les systèmes suivants en discutant selon la valeur du paramètre m ∈ R :

26 CHAPITRE 5. MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES

1.−mx− y = 0−3x+ (2−m) y = 0

;

2.−mx− y = 0x−my = 0

;

3.

(1−m) x+ 2y− z = 02x+ (2−m) y+ 2z = 1x− 2y+ 3z = 2

;

4.

x+ y+mz = m

x+my− z = 1x+ y− z = 1

.

Exercice 83.

Pour tout matrice A = (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]2 , on appelle trace de A et on note tr (A) le réeln∑k=1

ak,k.

1. Calculer la trace de(

1 5−7 2

). Que vaut tr (In) ?

2. Montrer que pour A,B ∈Mn (R), pour λ ∈ R, on a tr (λA+B) = λtr (A) + tr (B).3. Montrer que pour A,B ∈Mn (R), on a tr (AB) = tr (BA).4. Montrer que l’équation AB −BA = In, d’inconnues A,B ∈Mn (R) n’a pas de solution.

Exercice 84.

On dit qu’une matrice A = (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]2 ∈Mn (R) est antisymétrique si :

∀ (i, j) ∈ [[1,n]]2, ai,j = −aj,i.

1. Quelles sont les matrices antisymétriques et diagonales ?2. Montrer que pour toute matrice A ∈Mn (R), la matrice AtA est symétrique.3. Montrer que toute matrice A ∈Mn (R) est la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisy-

métrique.Indication : On pourra raisonner par analyse/synthèse.

Exercice 85.

Soit A =

1 1 11 0 01 0 0

.

1. Montrer que A3 = A2 + 2A.2. Montrer qu’il existe deux suites (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗ telles que

∀n ∈N∗, An = anA+ bnA2.

On précisera les relations de récurrence entre an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.3. (a) Montrer que pour tout n ≥ 1, an+2 = an+1 + 2an.

(b) En déduire an et bn en fonction de n ∈N∗.(c) En déduire l’expression de An pour tout n ∈N∗ en fonction de A, A2 et n.

Exercice 86.

On se propose de déterminer la suite de réels (un)n∈N vérifiant la relation de récurrence : u0 = 1, u1 = 1 etpour tout n ∈N, un+2 = 5un+1 − 6un sans utiliser les résultats du cours sur les suites récurrentes doubles.

Soit A =

(5 −61 0

).

Partie 1 : Calcul de la puissance n-ième de A

Soient les matrices B =

(3 −61 −2

)et C =

(2 −61 −3

).

1. Calculer BC et CB et B2. Qu’en déduire pour Bn pour n ∈N∗ ?


2. Montrer, par récurrence, que pour tout n ∈N∗ : Cn = (−1)n−1C.3. Vérifier que l’on a : A2 = 5A− 6I2.4. Établir que la matrice A est inversible et exprimer A−1 en fonction de A et I2.5. Montrer, par récurrence, que pour tout n ∈N : An = 3nB − 2nC.6. La relation précédente est-elle encore vraie pour n = −1 ?7. Montrer que pour tout n ∈N∗ :

(A−1)n = 1

3nB −1

2nC.Partie 2 : Expression de un en fonction de n

1. Vérifier que pour tout n ∈N : (un+2un+1

)= A

(un+1un

).

2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈N :(un+1un

)= An

(11

).

3. Donner ainsi l’expression de un en fonction de n.

Exercice 87.

Soient A =

1 0 −11 2 12 2 3

et P =

1 2 1−1 −1 −10 −2 −2

.

1. (a) Montrer que P est inversible et déterminer P−1.

(b) Montrer que A′ = P−1AP =

1 0 00 2 00 0 3

.

2. (a) Soit M une matrice carrée d’ordre 3 à coefficients réels commutant avec A, c’est-à-dire telle queAM =MA.On pose M ′ = P−1MP . Montrer que A′M ′ =M ′A′.Réciproquement, montrer que siM ′ commute avec A′, alors la matriceM définie parM = PM ′P−1

commute avec A.(b) Déterminer l’ensemble des matrices commutant avec A′.

Indication : On écrira ces matrices avec des coefficients indéterminés.(c) En déduire la forme générale des matrice commutant avec A.

6Ensembles et applications

Exercice 88.

Dans chacune des questions, on donne un ensemble E et deux parties A et B de E. Donner explicitementles ensembles A∪B, A∩B, A∩B et A∩B.

1. E = 1, 2, 3, 4, A = 1, 2 et B = 2, 4.2. E = R, A = ]−∞, 3] et B = [2, 4[.3. E = N, A = n ∈N, ∃p ∈N, n = 2p et B = n ∈N, ∃p ∈N, n = 2p+ 1.4. E = R, A = N et B = ]0,+∞[.

Exercice 89.

Soit E un ensemble et soient A, B et C troies parties de E. Montrer que :

1. A∪ (B ∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C).2. A∩ (B ∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C).3. si A∩B = A∪B, alors A = B.

4. (A ⊂ B) ⇐⇒(B ⊂ A

).

5. si A∪B ⊂ A∪C et A∩B ⊂ A∩C, alors B ⊂ C.

6. A = A.

Exercice 90.

Dans chacun des cas suivants, dire si les composées f g et g f existent. Préciser leurs ensembles dedéfinition et les calculer lorsque c’est possible.

1. f :

R −→ R

x 7−→ x2 et g :

R −→ R

x 7−→ ex;

2. f :

R −→ R

x 7−→ 2x+ 3et g :

R∗+ −→ R

x 7−→ ln (x);

3. f :

R+ −→ R

x 7−→√x

et g :

R −→ R

x 7−→ x2 ;

4. f :

R2 −→ R

(x, y) 7−→ x+ yet g :

R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (xy,x+ y);

5. f :

R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→ (y,x, z)et g :

R3 −→ R2

(x, y, z) 7−→ (x+ y, y+ z).

Exercice 91.

Pour chacun des cas suivante, préciser si l’application f est injective, surjective ou bijective. Lorsque f estbijective, donner f−1.


1. f :

R −→ R

x 7−→ x2 ;

2. f :

R+ −→ R

x 7−→ x2 ;

3. f :

R+ −→ R+

x 7−→ x2 ;

4. f :

N −→N

n 7−→ n+ 1;

5. f :

Z −→ Z

n 7−→ n+ 1;

6. f :

R2 −→ R

(x, y) 7−→ x+ y;

7. f :

R −→ R

x 7−→ ex;

8. f :

R −→ R∗+x 7−→ ex

;

9. f :

R −→ R2

x 7−→(x,x2) ;

10. f :

R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (x,x+ y).

Exercice 92.

Soit f : E −→ E une application vérifiant f f f = idE . Montrer que f est bijective et déterminer f−1.

Exercice 93.

Soient E, F et G trois ensembles. Soient f : E −→ F et g : F −→ G.1. Montrer que si g f est injective, alors f est injective.2. Montrer que si g f est surjective, alors g est surjective.

Exercice 94.

Soit f la fonction définie sur R par

∀x ∈ R, f (x) =2x

1 + x2 .

1. Soit y ∈ R. Déterminer en fonction de y le nombre d’antécédents de y par f .2. f est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?3. (a) Montrer que

∀x ∈ [−1, 1] , f (x) ∈ [−1, 1] .

(b) La fonction g définie par∀x ∈ [−1, 1] , g (x) = f (x)

est-elle bijective ?

7Continuité et fonctions usuelles

Exercice 95.

Déterminer les limites des fonctions suivantes :

1. f1 : x 7−→ −5x2+37x−48x2−2 en +∞ ;

2. f2 : x 7−→ x7−152x6+3x2−2x en −∞ ;

3. f3 : x 7−→ x7ex−x e2x

x3 ln(x)+x ln5(x)en +∞ ;

4. f4 : x 7−→ x ex +x2

x7+5 en −∞ ;

5. f5 : x 7−→ 1x ln

(ex−1x

)en +∞ ;

6. f6 : x 7−→√x2 + 2x−

√x2 + x en +∞ ;

7. f7 : x 7−→√x+√x−√x en +∞ ;

8. f8 : x 7−→ e2x−1

ln4(x)en +∞ ;

9. f9 : x 7−→ ln(x2 + 1

)− 2 ln (x) en +∞ ;

10. f10 : x 7−→ ex3

x en +∞.

Exercice 96.


1. f1 : x 7−→ (x3)x

(3x)3 en 0+ ;

2. f2 : x 7−→ 2x2−3x+2x2−9 en 3+ ;

3. f3 : x 7−→ ln (x+ 3)− ln (x− 1) en 1+ ;

4. f4 : x 7−→ x ln(x)√x+1 en 0+ ;

5. f5 : x 7−→ 1x−3 −

1x2−9 en 3+.

Exercice 97.


1. f1 : x 7−→ (x− 1)2 ln (x− 1) en 1+ (on pourraposer X = x− 1) ;

2. f2 : x 7−→ x3e1/x en 0+ (on pourra poser

X = 1x ) ;

3. f3 : x 7−→√x−2x−4 en 4 (on pourra poserX =

√x).

Exercice 98.

Étudier la continuité des fonctions suivantes en x0 :

1. f1 : x 7−→

x+ 1 si x < 2x2 − 1 si x ≥ 2

en x0 = 2 ;

2. f2 : x 7−→

4x2+5x−4

2x+1 si x 6= −12

0 si x = −12

en x0 = −12 ;

3. f4 : x 7−→

ln (√x− 1)− ln (x− 1) si x > 1

0 si x = 1en x0 = 1 ;

4. f5 : x 7−→√x− bxc en x0 = 1.

Exercice 99.


Soit f : R −→ R une fonction continue telle que : pour tout x ∈ R, f(x2)= f (x).

1. Montrer que

∀x ∈ R,∀n ∈N, f (x) = f( x

2n)

.

2. En déduire que f est constante.

Exercice 100.

Montrer que tout polynôme non constant de degré impair admet au moins une racine dans R.

Exercice 101.

Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] une fonction continue. Montrer qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0) = x0.

Exercice 102.

Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une fonction continue telle que : pour tout x ∈ I, |f (x)| = 1.Montrer que f est constante.

Exercice 103.

Soit f et g deux fonctions définies et continues sur [0, 1] et telles que

∀x ∈ [0, 1] , f (x) > g (x) > 0.

Montrer qu’il existe m > 1 tel que pour tout x ∈ [0, 1], f (x) ≥ mg (x).

Exercice 104.

Soit a ∈ R+. Soit f une fonction continue sur [a,+∞[ et admettant admet une limite finie en +∞.Montrer que f est bornée sur l’intervalle [a,+∞[.

Exercice 105.

Soit la fonction f définie sur R∗+ par : pour tout x > 0, f (x) = x+ ln (x).1. Montrer que f réalise une bijection entre R∗+ et un intervalle à préciser.2. Soit n ∈ N. Montrer que l’équation f (x) = n admet une unique solution dans l’intervalle R∗+ que l’on

note xn.3. En exprimant xn à l’aide de f−1, montrer que la suite (xn)n∈N est monotone.4. En raisonnant par l’absurde, montrer que la suite (xn)n∈N n’est pas majorée. En déduire sa limite.

Exercice 106.

Pour tout n ∈N∗, on définit la fonction fn sur R+ par : pour tout x ≥ 0, fn (x) = xn+ xn−1 + · · ·+ x2 +x− 1.

1. Dresser le tableau de variations de fn sur R+.2. Montrer que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle R∗+, que l’on note un.3. Calculer u1.4. (a) Montrer que

∀n ∈N∗,∀x > 0, fn+1 (x) > fn (x) .

(b) En déduire que la suite (un)n∈N∗ est strictement décroissante.(c) En déduire que la suite (un)n∈N∗ est convergente.

5. (a) Montrer que pour tout x ∈ R+\ 1, fn (x) = 2x−xn+1−11−x .

(b) En déduire que pour tout n ∈N∗, 2un − 1 = un+1n .

(c) Montrer que la suite(un+1n

)n∈N∗ converge vers 0 et en déduire la limite de la suite (un)n∈N∗ .

Exercice 107.

32 CHAPITRE 7. CONTINUITÉ ET FONCTIONS USUELLES

1. Soit n ∈N∗. Montrer que l’équation x− ln (x) = n admet une unique solution dans l’intervalle [1,+∞[,que l’on note xn.

2. Étudier la limite de la suite (xn)n∈N∗ .

Exercice 108.

Pour n ∈N∗, on définit la fonction fn sur R par : pour tout x ∈ R, fn (x) = 11+ex + nx.

1. Déterminer, pour tout x ∈ R, f ′n (x) et f ′′n (x).2. En déduire que fn est strictement croissante sur R.3. Calculer les limites de fn en +∞ et en −∞.4. Montrer que l’équation fn (x) = 0 possède une unique solution sur R, que l’on note un.5. Montrer que pour tout n ∈N∗, − 1

n < un < 0.6. En déduire la limite de la suite (un)n∈N∗ .7. Montrer que la suite (nun)n∈N∗ converge et que lim

n→+∞nun = −1

2 .

Exercice 109.

Donner le domaine de définition, étudier les variations et tracer la courbe représentative des fonctionssuivantes :

1. f1 : x 7−→ ex−x ;

2. f2 : x 7−→ xx ;

3. f3 : x 7−→ ex2−x−1 ;

4. f4 : x 7−→ xx2 ;

5. f5 : x 7−→ 2x+4−x+4 ;

6. f6 : x 7−→ x√x.

Exercice 110.

Que dire de la preuve suivante qui « montre » que 1 = −1 ?

−1 = (−1)1 = (−1)22 =

((−1)2

) 12= (1)

12 = 1.

Exercice 111.

Écrire sans valeur absolue (en discutant selon la valeur de x) les expressions suivantes :

1. |x− 2|+ |x+ 5| ;2.∣∣3x2 − 5x+ 2

∣∣ ; 3. ln(∣∣x2 − 4

∣∣) ;4. |2− 3x| −

√x2 − 4x+ 4 ;

5. e|x+1|

|ex+1| .

Exercice 112.

Résoudre sur R les équations ou les inéquations suivantes :

1. |x− 3| = 3 ;2. |2x+ 5| = 8 ;3. |2x− 4| = |3x+ 2| ;

4.∣∣x2 − 8x+ 11

∣∣ = 4 ;5. |x− 3| ≥ 5 ;6. |x− 2| ≥ |4x+ 2| ;

7. |ex − 3| < 1.

Exercice 113.

Soient x, y deux réels et n un entier naturel.1. Montrer que bx+ nc = bxc+ n.2. Montrer que bx2 c+ b

x+12 c = bxc.

8Probabilité sur un univers fini

Exercice 114.

On lance un dé quatre fois de suite. Calculer les probabilités suivantes :1. On obtient quatre fois le même chiffre.2. On obtient quatre chiffres différents.3. On obtient quatre chiffres qui se suivent dans l’ordre croissant.

Exercice 115.

Un coffre contient 10 diamants, 15 émeraudes et 20 rubis. On tire 4 pierres précieuses au hasard dans lecoffre. Calculer les probabilités suivantes :

1. Les quatre pierres sont du même type.2. On tire deux diamants et deux rubis.3. On tire autant de diamants que de rubis.

Exercice 116.

Dans une urne sont placées 15 boules vertes et 10 boules blanches. On tire successivement (sans remise) 5boules dans l’urne. Calculer les probabilités suivantes :

1. On obtient 5 boules vertes.2. On obtient au plus une boule blanche.3. On obtient trois boules vertes et deux boules blanches.4. Reprendre les questions précédentes avec des tirages avec remise.

Exercice 117.

On lance 7 fois de suite un même dé à 20 faces.1. Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros distincts à chaque lancer ?2. Quelle est la probabilité d’obtenir toujours le même numéro ?

Exercice 118.

Dans une urne se trouvent quatre boules noires et deux boules blanches. Cinq personnes tirent successive-ment et sans remise une boule dans l’urne. Le premier qui tire une boule blanche a gagné.

Quelle est la probabilité de victoire de chacune des cinq personnes ?

Exercice 119.

Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d’une part d’un sac contenant exactement un jetonblanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d’autre part d’un dé cubique équilibré dont les faces sontnumérotées de 1 à 6.

Il décide des règles suivantes pour le déroulement d’une partie : le joueur doit tirer un jeton puis jeter ledé :

34 CHAPITRE 8. PROBABILITÉ SUR UN UNIVERS FINI

• si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6 ;• si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6.

À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.On note B l’événement « le jeton tiré est blanc » et G l’événement « le joueur gagne le jeu ».

1. Montrer que P (G) = 730 .

2. Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu’il a perdu ?3. Un joueur fait quatre parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu’il en gagne deux.4. Quelle est le nombre minimal de parties qu’un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au

moins une soit supérieure à 0,99 ?

Exercice 120.

On considère une urne contenant 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et sans remise 3boules de l’urne.

Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée soit blanche, la seconde blanche et la troisièmenoire ?

Exercice 121.

On lance des fléchettes sur un cible comportant trois zones : Z1, Z2 et Z3.On lance une fléchette sur la cible. Pour k ∈ 1, 2, 3, on considère les événements Ak : « la fléchette atteint

la zone Zk ».Soit P une probabilité définie sur l’espace probabilisable (Ω, P (Ω)) telle qu’il existe c ∈ R tel que, pour

tout k ∈ 1, 2, 3, P (Ak) = ck.

1. Décrire l’univers associé à cette expérience.2. Montrer que (A1,A2,A3) forme un système complet d’événements.3. Déterminer la valeur de c.

Exercice 122.

Soit n ∈ N∗. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n. Dans l’urne k se trouvent k boules blanches etn− k boules rouges. On choisit au hasard une urne, puis on tire deux boules dans cette urne.

1. Quelle est la probabilité d’avoir deux boules blanches ?2. Même question si on tire les deux boules successivement et avec remise.3. Quelle est la limite de ces probabilités lorsque n tend vers +∞ ?

Exercice 123.

Une guèpe entre dans un appartement composé de deux pièces A et B. Elle est dans la pièce A à l’instant0 et évolue ainsi : si elle est en A à l’instant n, elle reste dans A avec probabilité 1

3 ou passe dans B avecprobabilité 2

3 à l’instant n + 1 ; si elle est en B, elle retourne en A avec probabilité 14 , reste dans B avec

probabilié 12 ou sort de l’appartement avec probabilité 1

4 . Si elle est dehors, elle y reste.On note An : « la guèpe est en A à l’instant n » , Bn : « la guèpe est en B à l’instant n » et Cn : « la guèpe

est en dehors à l’instant n ».

1. Calculer a0, b0, c0, a1, b1, c1, a2, b2 et c2.2. Exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.3. Montrer que la suite (un)n∈N définit par : pour tout n ∈N, un = 6

10an −310bn est une suite constante.

4. Montrer que la suite (vn)n∈N définit par : pour tout n ∈N, vn = 410an+

310bn est une suite géométrique.

5. En déduire les valeurs de an et bn.6. Que vaut cn ?

Exercice 124.


En cas de migraine, trois patients sur cinq prennent de l’aspirine, deux sur cinq prennent un médicamentM présentant des effets secondaires : avec l’aspirine, 75% des patients sont soulagés. Avec le médicament M ,90% des patients sont soulagés.

1. Quel est le taux global de personnes soulagées ?2. Quelle est la probabilité pour un patient d’avoir pris de l’aspirine sachant qu’il est soulagé ?

Exercice 125.

Une usine fabrique 3% de pièces défectueuses. Toutes les pièces fabriquées sont contrôlées. 99% des piècescorrectes sont acceptées et 98% des pièces défectueuses sont refusées. Caculer la probabilité que :

1. la pièce testée soit refusée à tord.2. la pièce testée soit acceptée.3. le contrôle commette une erreur.4. une pièce qui a été acceptée soit en fait défectueuse.

Exercice 126.

Caractériser les événements à la fois indépendants et incompatibles.

Exercice 127.

Les deux questions sont indépendantes.1. Soient A et B deux événements indépendants. Montrer que A et B le sont aussi.2. Soient A, B et C trois événements mutuellement indépendants. Montrer que A et B ∪C sont indépen-

dants.

Exercice 128.

On considère l’expérience aléatoire consistant à lancer deux fois un dé à 6 faces. On note A : « le premierchiffre est pair », B : « le second chiffre est impair » et C : « la somme des chiffres est paire ».

1. Montrer que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants.2. Montrer que les événements A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants.

Exercice 129.

Dans une population on sait que la probabilité de naissance d’un garçon est de 0,52. Par ailleurs, on saitque 2% est filles et 1% des garçons présentent une luxation congénitale de la hanche.

On note F l’événement « naissance d’une fille » et L l’événement « avoir une luxation de hanche ».1. Les événements sont-ils indépendants ?2. Quelle est la probabilité qu’un nouveau-né présentant une luxation soit une fille ?

Exercice 130.

On lance simultanément deux dés équilibrés à 6 faces.1. Donner l’univers Ω associé cette expérience aléatoire.

On note S la somme des deux faces des dés. On admet que S est une variable aléatoire sur (Ω, P (Ω)).2. Écrire une instruction Scilab permettant de simuler S.3. (a) Préciser S (Ω).

(b) En déduire la loi de S.4. Justifier que S admet une espérance et la calculer.5. Écrire un script Scilab permettant de calculer une valeur approchée de E (S).

Exercice 131.

Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules vertes. On pioche simultanément 6 boules dans cette urne.


1. Quel est l’univers Ω associé à cette expérience aléatoire ?On note R le nombre de boules vertes obtenues. On admet que R est une variable aléatoire sur (Ω, P (Ω)).

2. Préciser R (Ω).3. Donner la loi de R.4. En déduire la relation suivante :

5∑k=0

(5k

)(10

6− k

)=

(156

).

Exercice 132.

On considère deux urnes : une urne verte qui contient une boule rouge et trois boules vertes et une urnerouge qui contient deux boules rouges et deux boules vertes.

On effectue une suite de tirage d’une boule avec remise da la façon suivante :• le premier tirage est effectué dans l’urne verte ;• à partir du second tirage, ils sont effectués dans l’urne dont la couleur est celle de la boule tirée précé-demment.

Pour tout n ∈N∗, on note Vn (respectivement Rn) l’événement « on tire une boule verte (respectievementrouge) au n-ième tirage », vn = P (Vn) (respectivement rn = P (Rn)) et Vn (respectivement Rn) l’événement« le n-ième tirage est effectué dans l’urne verte (respectivement rouge) ».

1. (a) Calculer la probabilité d’obtenir la première boule verte au troisième tirage.(b) Calculer la probabilité d’obtenir la première boule rouge au troisième tirage.(c) Calculer la probabilité d’obtenir une boule verte dans les 3 premiers tirages.(d) Calculer la probabilité d’obtenir une seule boule rouge lors des 3 premiers tirages.

2. (a) Si le premier tirage a donné une boule rouge, quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte ausecond tirage ?

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte au second tirage ?(c) On a obtenu une boule verte au second tirage. Quelle est la probabilité que ce tirage ait été effectué

dans l’urne rouge ?3. (a) Pour tout n ∈N∗, déterminer vn+1 en fonction de vn et rn.

En déduire que pour tout n ∈N∗, vn+1 = 14vn +

12 , puis l’expression de vn en fonction de n.

Exercice 133.

Un fumeur veut arrêter de fumer. S’il réussit à ne pas fumer un jour, le lendemain il reste motivé et nefume qu’avec une probabilité de 1

4 . Par contre, s’il fume un jour, le lendemain il fume avec une probabilité deα ∈ [0, 1].

Pour n ∈N, on note pn la probabilité qu’il fume au n-ième jour.1. Exprimer pn en fonction de pn−1 et α.2. En déduire que :

∀n ∈N, pn =

(α− 1

4

)np0 +

14

n−1∑k=0

(α− 1

4

)k.

3. Calculer limn→+∞

pn.

4. Écrire une fonction Scilab que l’on nommera fumeur(n,alpha) permettant de donner une valeur ap-prochée de pn.

Exercice 134.

Deux joueurs A et B jouent aux échecs sans discontinuer.Le joueur B gagne la première partie.La probabilité que A remporte sa partie sachant qu’il vient de remporter la précédente est de 0,6. La

probabilité que B remporte sa partie sachant qu’il vient de remporter la précédente est de 0,5.On note pn la probabilité que B remporte la n-ième partie.Montrer que la suite (pn)n∈N est arithmético-géometrique et donner sa formule explicite.


Exercice 135.

Partie 1 : Calcul matriciel

Pour tout réel a, on considère les matrices

M (a) =

1 1− a (1− a)2 (1− a)3

0 a 2a (1− a) 3a (1− a)2

0 0 a2 3a2 (1− a)0 0 0 a3

, D(a) =

1 0 0 00 a 0 00 0 a2 00 0 0 a3

et P =

1 1 1 10 −1 −2 −30 0 1 30 0 0 −1

.

1. Calculer P 2 et donner l’inverse de P .2. Vérifier que ∀a ∈ R, M (a) = PD (a)P−1.3. Montrer que ∀(a, b) ∈ R2, M (a)M (b) =M (ab). En déduire que

∀a ∈ R,∀n ∈N, (M (a))n =M (an) .

4. Comment choisir c ∈ R pour que M (c) = I3 ?5. Montrer que si a 6= 0, il existe un réel b tel que M (a)M (b) = I3. En déduire l’inverse de M (a). La

matrice M (0) est-elle inversible ?6. Vérifier les résultats avec Scilab.Partie 2 : Étude d’une expérience aléatoire

On dispose de 3 pièces de monnaie, chacune ayant la probabilité p d’amener Pile (avec 0 < p < 1) et 1− pd’amener face. On pourra poser : q = 1− p.

On s’intéresse à l’expérience aléatoire qui consiste à effectuer des lancers successifs selon le protocolesuivant :• à l’étape 1, on lance les 3 pièces ;• à l’étape 2, on lance les pièces ayant amené Pile à l’étape 1 (s’il en existe),• à l’étape 3, on lance les pièces ayant amené Pile à l’étape 2 (s’il en existe),• à l’étape 4, on lance les pièces ayant amené Pile à l’étape 3 (s’il en existe),• et ainsi de suite.À chaque étape, les lancers des pièces sont supposés indépendants. On considère les événements : An :

« obtenir 0 Pile à l’étape n », Bn : « obtenir 1 Pile à l’étape n », Cn : « obtenir 2 Piles à l’étape n » et Dn :« obtenir 3 Piles à l’étape n ».

On pose les deux conventions suivantes :• l’événement D0 est l’événement certain et les trois événements A0, B0 et C0 sont impossibles.• si à une certaine étape n0 aucun côté Pile n’apparaît, on considère que pour tous les entiers n supérieurs

ou égaux à n0 l’événement An est réalisé.1. Calculer les quatre probabilités P (A1), P (B1), P (C1) et P (D1).2. Pour tout entier naturel n, calculer très soigneusement les 16 probabilités conditionnelles :

i) PAn (An+1) ;ii) PBn (An+1) ;iii) PCn (An+1) ;iv) PDn (An+1) ;

v) PAn (Bn+1) ;vi) PBn (Bn+1) ;vii) PCn (Bn+1) ;viii) PDn (Bn+1) ;

ix) PAn (Cn+1) ;x) PBn (Cn+1) ;xi) PCn (Cn+1) ;xii) PDn (Cn+1) ;

xiii) PAn (Dn+1) ;xiv) PBn (Dn+1) ;xv) PCn (Dn+1) ;xvi) PDn (Dn+1).

3. À l’aide de la formule des probabilités totales, exprimer P (An+1) (respectivement P (Bn+1), respec-tivement P (Cn+1), respectivement P (Dn+1)) en fonction des probabilités P (An), P (Bn), P (Cn) etP (Dn).

4. Pour tout n ∈N, on considère la matrice colonne Un =

P (An)P (Bn)P (Cn)P (Dn)

.


(a) Déterminer une matriceM telle que ∀n ∈N, Un+1 =MUn puis montrer que, ∀n ∈N, Un =MnU0.(b) Donner U0 puis, à l’aide de la question 4 de la partie A, calculer les 4 coefficients de Un.

Exercice 136.

On considère les matrices J =

1 1 11 1 11 1 1

et M =16

4 1 11 4 11 1 4

.

1. Montrer que

∀n ∈N, Mn =12n I3 +

13

(1− 1

2n

)J .

2. Un mobile se déplace aléatoirement dans l’ensemble des sommets d’un triangle ABC de la façon suivante :si, à l’instant n, il est sur l’un quelconque des trois sommets, alors à l’instant n+ 1, soit il y reste, avecune probabilité de 2

3 , soit il se place sur l’un des deux autres sommets, et ceci avec la même probabilité.On note : An : « le mobile se trouve en A à l’instant n », Bn : « le mobile se trouve en B à l’instant n »et Cn : « le mobile se trouve en C à l’instant n ».On pose an = P (An), bn = P (Bn) et cn = P (Cn).

(a) Exprimer, pour tout n ∈N an+1, bn+1 et cn+1 en fonction de an, bn et cn.

(b) Exprimer

an+1bn+1cn+1

en fonction de

anbncn

puis montrer que

∀n ∈N,

anbncn

=Mn

a0b0c0

.

(c) En déduire l’expression de an, bn et cn et calculer les limites correspondantes.

3. Écrire un programme Scilab qui, étant donné un entier naturel n rentré par l’utilisateur, renvoie dansun vecteur colonne an, bn et cn.

9Calcul différentiel

Exercice 137.

Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur I. Quelles sont celles qui sont C 1 sur I ? Expliciterla dérivée de chacune de ces fonctions sur son ensemble de dérivabilité.

1. I = R+, f1 (x) =√xe−x ;

2. I = R+, f2 (x) = ln (1 +√x) ;

3. I = R+, f3 (x) =

x2 ln (x) si x > 00 si x = 0

;

4. I = R+, f4 (x) =

ln(1+2x)

x si x > 00 si x = 0

;

5. I = R+, f5 (x) =

ex ln(x) si x > 01 si x = 0

;

6. I = ]−∞, 1], f6 (x) = x√

1− x ;

7. I = ]−1,+∞[, f7 (x) =

x−ln(1+x)

x si x 6= 00 si x = 0

(on admet que limx→0

x−ln(1+x)x2 = −1

2 ).

Exercice 138.

Étudier l’ensemble de définition, la continuité, la dérivabilité des fonctions suivantes. Calculer la dérivéelorsque qu’elle existe.

1. f1 (x) =1

(1+x)3 ;

2. f2 (x) = x√

2− x ;3. f3 (x) = x ln (x)− x ;4. f4 (x) = x3x ;5. f5 (x) = ln

(3x2 + 2x

);

6. f6 (x) = ex3−x ;

7. f7 (x) =x2−3x+1

3x+5 ;8. f8 (x) =

xln(x)+1 ;

9. f9 (x) = x2 − 2 |x| ;10. f10 (x) = xbxc.

Exercice 139.

Calculer, lorsque c’est possible, une équation des tangentes en 0, 1, −2 et√

3 pour les fonctions suivantes :

1. f1 (x) = x2 − 3x+ 1 ;

2. f2 (x) =√

2x− 1 ;

3. f3 (x) = x ln (x+ 3) ;

4. f4 (x) =√x2 + 1ex.

Exercice 140.

1. Montrer que pour tout n ∈N∗ : 1n+1 ≤ ln (n+ 1)− ln (n) ≤ 1

n .

2. En déduire quen∑k=1

1k ≥ ln (n+ 1).

3. En déduire limn→+∞

n∑k=1

1k .

40 CHAPITRE 9. CALCUL DIFFÉRENTIEL

Exercice 141.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 1 et pour tout n ∈N, un+1 = un +14(2− u2

n

).

On définit sur R la fonction f par : pour tout x ∈ R, f (x) = x+ 14(2− x2).

1. (a) Étudier les variations de f et déterminer ses points fixes.(b) Montrer que pour tout x ∈ [1, 2], |f ′ (x)| ≤ 1

2 et que f ([1, 2]) ⊂ [1, 2].2. (a) Montrer que pour tout n ∈N, 1 ≤ un ≤ 2.

(b) Montrer que pour tout n ∈N,∣∣un+1 −

√2∣∣ ≤ 1

2∣∣un −√2

∣∣.(c) Montrer que pour tout n ∈N,

∣∣un −√2∣∣ ≤ (1

2)n.

(d) Montrer que la suite (un)n∈N converge et donner sa limite.(e) À partir de quel rang a-t-on

∣∣un −√2∣∣ ≤ 10−9 ?

Exercice 142.

On souhaite déterminer le nombre de solutions de l’équation (E) : x3 − 3x+ 1 = 0 ainsi qu’une valeurapprochée d’une de ses racines.

1. Montrer que l’équation (E) admet trois racines α, β et γ telles que α < −1 < β < 1 < γ.

2. Justifier que β ∈[0, 1

2]et montrer que β est aussi solution de l’équation x3+1

3 = x.

3. On introduit la fonction g définie sur R par : pour tout x ∈ R, g (x) = x3+13 . Soit la suite (un)n∈N

définie par : u0 = 0 et pour tout n ∈N, un+1 = g (un).

(a) Montrer que l’intervalle[0, 1

2]est stable par g et que pour tout x ∈

[0, 1

2], |g′ (x)| ≤ 1

4 .(b) Montrer que pour tout n ∈N, un ∈

[0, 1

2].

(c) Justifier que pour tout n ∈N, |un+1 − β| ≤ 14 |un − β| puis que |un − β| ≤

12 ×

14n .

(d) Donner des valeurs de n pour lesquelles on est certain que |un − β| ≤ 10−9.(e) Écrire un programme Scilab qui prend en paramètre un nombre eps strictement postif, et qui rend

en paramètre une approximation de β à eps près.

Exercice 143.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 ∈ R+ et pour tout n ∈N, un+1 = 2un3un+1 . Soit f : x 7−→ 2x

3x+1 .

1. (a) Étudier les variations de f sur R+ et montrer que pour tout x ≥ 13 , |f

′ (x)| ≤ 12 .

(b) Déterminer le signe de f (x)− x sur R+ ainsi que ses points fixes.(c) Montrer que

[0, 1

3]et[1

3 ,+∞[sont des intervalles stables par f .

2. On suppose dans cette question u0 ∈[1

3 ,+∞[.

(a) Montrer que pour tout n ∈N, un ≥ 13 puis étudier la monotonie de la suite (un)n∈N.

(b) En déduire sa convergence ainsi que sa limite.(c) Montrer que pour tout n ∈N,

∣∣un+1 − 13∣∣ ≤ 1

2∣∣un − 1

3∣∣.

(d) En déduire que pour tout n ∈N,∣∣un − 1

3∣∣ ≤ 1

2n∣∣u0 − 1

3∣∣.

(e) On suppose u0 = 5. Écrire une procédure Scilab donnant le premier rang n à partir duquel∣∣un − 13∣∣ ≤ 10−4.

Exercice 144.

Soit f la fonction définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = ex−e−xex+e−x .

1. Justifier que f est dérivable sur R et expliciter f ′.2. Dresser le tableau de variations de f (limites incluses).3. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle à préciser.4. En quels points sa réciproque est-elle dérivable ?


5. (a) Vérifier que tout x ∈ R,f ′ (x) = 1− f2 (x) .

(b) Calculer(f−1)′ (x) lorsque f−1 est dérivable en x.

6. Calculer(f−1)′ (0), (f−1)′ (1

2)et(f−1)′ (−1

4).

7. Soit y ∈ ]−1, 1[. Déterminer son antécédent par f . En déduire f−1.8. Retrouver directement le résultat de la question 4.

Exercice 145.

Soit la fonction définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = xex.1. Étudier les variations de f .2. Montrer que f réalise une bijection de R+ sur un intervalle à préciser.3. Donner l’ensemble de dérivabilité de f−1 et préciser

(f−1)′ sur cet ensemble à l’aide de f−1.

4. Faire l’étude complète de la fonction f−1.5. Justifier que l’équation e−x = 2x admet une unique solution réelle que l’on exprimera à l’aide de f−1.

Exercice 146.

Calculer, en précisant l’ensemble de dérivabilité, la dérivée n-ième des fonctions suivantes :

1. f1 : x 7−→ xex ;2. f2 : x 7−→ 1

1−x ;3. f3 : x 7−→ 1

1−x2 (on pourra trouver deux réels

a et b tels que tout x ∈ R\ −1, 1, 11−x2 =

a1−x +

b1+x ).

Exercice 147.

On admettra le résultat suivant : la formule de Leibniz.

Théorème. Formule de Leibniz.Soit n ∈N∗. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et n fois dérivables sur I. Alors f × g

est n fois dérivable sur I, et

∀x ∈ I, (f × g)(n) (x) =n∑k=0

(n

k

)f (k) (x) g(n−k) (x) .

1. Soit k ∈N. Calculer la dérivée n-ième de la fonction gk : x 7−→ xk. Préciser la dérivée n-ième de g2n.2. En remarquant que pour tout x ∈ R, g2n (x) = gn (x)× gn (x) et en appliquant la formule de Leibniz,

calculer d’une nouvelle façon la dérivée n-ième de g2n.3. En déduire la formule de Vandermonde :

n∑k=0

(n

k

)2=

(2nn

).

Exercice 148.

Soit la fonction f définie sur [0, 1] par f (x) = x2+12(x+1) .

Étudier les extrema de la fonction f .

Exercice 149.

Montrer les inégalités suivantes :1. pour tout x ∈ R, ex ≥ x+ 1 ;2. pour tout x ∈ ]−1,+∞[, ln (1 + x) ≤ x ;3. pour tout x ∈ [1, e], ln (x) ≥ x−1

e−1 .

42 CHAPITRE 9. CALCUL DIFFÉRENTIEL

Exercice 150.

Établir les inégalités suivantes :1. pour tout x ∈ ]−1,+∞[, x

x+1 ≤ ln (1 + x) ;

2. pour tout x ∈ R+, ex ≥ 1 + x+ x22 .

Indication : On pourra admettre le résultat de la question 1. de l’exercice 149.

Exercice 151.

Faire l’étude complète (tableau de variation, limites, convexité) des fonctions suivantes :1. f définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = e−x + 1 ;2. f définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = x2e−2x ;3. f définie sur R∗ par : pour tout x ∈ R, f (x) = ex

x ;

4. f définie sur R par : pour tout x ∈ R, f (x) = e−x2 .

Exercice 152.

Soit f la fonction définie sur R∗+ par : pour tout x ∈ R∗+, f (x) = −x2 + 3x− ln (x).Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.On admet que 1√

2 ≈ 0,7.

1. Étudier la convexité de f et déterminer les points d’inflexion à Cf .2. Déterminer les tangentes horizontales à Cf . Préciser l’allure de Cf .

10Séries numériques

Exercice 153.

Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leurs sommes :

1.∑n≥0

15n ;

2.∑n≥0

n5n−1 ;

3.∑n≥0

n5n ;

4.∑n≥0

n+15n ;

5.∑n≥1

n(n−1)5n ;

6.∑n≥1

n25n ;

7.∑n≥1

4n2+5n5n ;

8.∑n≥1

(−1)n3n ;

9.∑n≥1

(−1)nn3n ;

10.∑n≥2

(−1)nn(n−1)3n ;

11.∑n≥1

(−1)nn2

3n ;

12.∑n≥0

1n! ;

13.∑n≥0

4(−1)n+1

n! ;

14.∑n≥0

n2nn! ;

15.∑n≥0

3n(n+1)! ;

16.∑n≥0

3nn(n+1)(n+1)! ;

17.∑n≥0

3nn2

(n+1)! ;

18.∑n≥0

(n∑k=0

(nk)akbn−kn!

)(k ∈ N

et a, b ∈ R).

Exercice 154.

Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes.

1.∑n≥2

ln(1− 1

n

)(on remarquera que pour tout n ≥ 2, ln

(1− 1

n

)= ln (n− 1)− ln (n)) ;

2.∑n≥1

1n(n+1) (on remarquera que pour tout n ∈N∗, 1

n(n+1) =1n −

1n+1 ) ;

3.∑n≥0

2(2n+1)(2n+3) (on remarquera que pour tout n ∈N, 2

(2n+1)(2n+3) =1

2n+1 −1

2n+3 ).

Exercice 155.

On admet que+∞∑n=1

1n2 = π2

6 .

Montrer que la série∑n≥0

1(2n+1)2 converge et calculer sa somme.

Exercice 156.

1. Soit n ∈N, n ≥ 2. Calculern∫2

dxx ln(x) .

2. Montrer que pour tout k ∈N, k ≥ 2,k+1∫k

dxx ln(x) ≤

1k ln(k) .

44 CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES

3. En déduire une minoration den∑k=2

1k ln(k) . Quelle est la nature de la série

∑n≥2

1n ln(n) ?

Exercice 157.

Soit la suite (un)n∈N définie par : u0 = 0 et pour tout n ∈N, un+1 = u2n+12 .

1. (a) Montrer que pour tout n ∈N, on a : 0 ≤ un ≤ 1.(b) Étudier les variations de la suite (un)n∈N.(c) En déduire que la suite (un)n∈N converge et donner sa limite.

2. Pour tout n ∈N, on pose vn = 1− un.

(a) Pour tout k ∈N, exprimer vk − vk+1 en fonction de vk.

(b) Simplifier, pour n ∈N, la sommen∑k=0

(vk − vk+1).

(c) Donner la nature de la série∑n≥0

v2n, ainsi que sa somme.

11Intégration

Exercice 158.

Calculer les intégrales suivantes en primitivant :

1.2∫1

1(2x+1)2 dx ;

2.1∫−2

14(4−x)3 dx ;

3.2∫e

ln(x)x dx ;

4.1/ e2∫1/ e3

1x ln(x)dx ;

5.4∫3

x−1x2 dx ;

6.1∫0

ex +1ex +xdx ;

7.2∫0

1√1+4xdx ;

8.1/ ln(2)∫

12xdx ;

9.1∫2x e−

x22 dx ;

10.3∫

1/√

3

4xx2+1dx ;

11.e∫

1

ln2(x)x dx ;

12.1∫0

3 e−12x+1 dx ;

13.2∫1

exex−1dx ;

14.e2∫e

1x ln2(x)

dx ;

15.12∫−1

x2

1−x3 dx ;

16.3∫0(5x − x+ 4) dx ;

17.1∫0(x− 1)

(x22 − x+ 3

)dx.

Exercice 159.

Calculer les intégrales suivantes en faisant une intégration par parties :

1.1∫0x ex dx ;

2.e∫

1x ln (x) dx ;

3.e∫

1ln (x) dx ;

4.1∫0x3 ex2 dx ;

5.2∫0(2− x) e−x dx ;

6.1∫0x2 ex dx ;

7.1∫

12

e1/x

x3 dx ;

8.1∫0

x3

(1+x2)2 dx.

Exercice 160.

Calculer les intégrales suivantes en procédant aux changements de variable indiqués :

1.1∫0

ln (2x+ 1) dx ;

2.1∫0

1ex +1dx (on posera u =

ex) ;

3.4∫1

1x+2√x

dx (on posera u =√x) ;

4.9∫4

e√x dx (on posera u =

√x) ;

46 CHAPITRE 11. INTÉGRATION

5.ln(15)∫ln(3)

1√ex +1dx (on posera

u =√

ex+1 et on montreraque pour tout u ∈ [2, 4],

1u2−1 = 1

2

(1

u+1 −1

u−1

)) ;

6.27∫8

11+ 3√xdx (on posera u =

3√x).

Exercice 161.

Calculer les intégrales suivantes en utilisant la relation de Chasles de manière judicieuse :

1.3∫1

bxcx dx ;

2.0∫−2|x+ 1|dx ;

3.1∫−1

e−|x| dx.

Exercice 162.

Calculern−1∑k=0

k+1∫k

etdt en appliquant la relation de Chasles.

Exercice 163.

Soient les intégrales :

I =

1∫0

1√t2 + 2

dt, J =

1∫0

t2√t2 + 2

dt, K =

1∫0

√t2 + 2dt et L =

1∫0

t√t2 + 2

dt.

1. Justifier l’existence de ces intégrales et calculer L.2. Montrer que J + 2I = K.3. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que K =

√3− J .

Indication : On pourra utiliser le fait que pour tout t ∈ R,√t2 + 2 = 1×

√t2 + 2.

4. Montrer à l’aide du changement de variable x = t+√t2 + 2 que I = ln

(1 +√

3)− ln

(√2).

5. Déduire des trois questions précédentes les valeurs de J et K.

Exercice 164.

1. Montrer que pour tout k ∈N∗, 1k+1 ≤

k+1∫k

1t dt ≤

1k .

2. En déduire que pour tout k ∈N∗, 1k+1 ≤ ln (k+ 1)− ln (k) ≤ 1

k .

Exercice 165.

Soit f la fonction définie sur R+ par : pour tout x ≥ 0,

f (x) =x e−x

x2 + 1 .

1. Déterminer la limite de f en +∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.2. On considère la fonction g définie sur [0,+∞[, par : pour tout x ≥ 0, on g (x) = x3 + x2 + x− 1.

Établir que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0,+∞[.3. (a) Montrer que pour tout x ∈ [0,+∞[, f ′ (x) et g (x) sont de signes contraires.

(b) En déduire les variations de f sur [0,+∞[.

4. On considère la suite (un)n∈N définie par : pour tout n ∈N, un =2n∫nf (x) dx.

(a) Montrer que pour tout x ≥ 0, 0 ≤ xx2+1 ≤

12 .


(b) Montrer que pour tout n ∈N, 0 ≤ un ≤ 12(e−n− e−2n).

(c) En déduire la limite de la suite (un)n∈N lorsque n tend vers +∞.

Exercice 166.

Pour tout n ∈N, on pose

In =1n!

1∫0

(1− t)n et dt.

1. Calculer I0 et I1.2. Montrer que pour tout n ∈N, 0 ≤ In ≤ e

n! . En déduire la limite de la suite (In)n∈N.3. Montrer que pour tout n ∈N, In+1 = In − 1

(n+1)! .

4. Montrer que pour tout n ∈N, In = e−n∑k=0

1k! . En déduire la valeur de lim

n→+∞

n∑k=0

1k! .

Exercice 167.

Pour tout n ∈N, on pose

In =

1∫0

xn√

1− x dx.

1. Calculer I0.2. Montrer que la suite (In)n∈N est décroissante et minorée. En déduire qu’elle converge.3. Montrer que pour tout n ∈N, 0 ≤ In ≤ 1

n+1 . En déduire la limite de la suite (In)n∈N.4. Montrer que pour tout n ∈N, In+1 = 2n+2

2n+5In.Indication : On pourra utiliser : pour tout x ∈ [0, 1] , (1− x)3/2 = (1− x)

√1− x.

5. En déduire une expression de I1 et de I2.

Exercice 168.

Soit la fonction f définie par :f (x) =

x− 4−x2 + 3x− 2 .

1. Donner l’ensemble de définition Df . Sur quels intervalles f admet-elle des primitives ?2. Montrer qu’il existe deux réels α et β tels que

∀x ∈ Df , f (x) =α

x− 2 +β

1− x .

3. Calculer Fa (x) =x∫af (t) dt pour trois valeurs de a bien choisies, en précisant les valeurs de x possibles.

4. Étudier les variations de Fa.

Exercice 169.

Soit la fonction F définie sur R∗+ par

∀x > 0, F (x) =

x∫1

et

tdt.

1. Justifier l’ensemble de définition de F , puis étudier son signe.2. On définit la fonction g sur R∗+ par : pour tout x > 0, g (x) = F (x)− ln (x).

(a) En remarquant que pour tout x > 0, ln (x) =x∫1

1t dt, étudier le signe de g sur ]0,+∞[.


(b) En déduire les limites de F en +∞ et en 0+.

3. Étudier la convexité de F .

Exercice 170.

Soit la fonction g définie sur R par

∀x ∈ R, g (x) =

2x∫x

e−t2 dt.

1. Justifier que g est bien définie sur R, étudier son signe, puis sa parité.2. Justifier que g est de classe C 1 sur R et

∀x ∈ R, g′ (x) = 2 e−4x2 − e−x2 .

3. Étudier les variations de g.4. Montrer que pour tout x > 0, x e−4x2 ≤ g (x) ≤ x e−x2 et en déduire la limite de g en +∞.

Exercice 171.

On définit la fonction F sur ]−1,+∞[ par :

∀x > −1, F (x) =

x∫0

t√t+ 1

dt.

1. Justifier que F est bien définie sur ]−1,+∞[.2. Étudier le signe de F sur ]−1,+∞[.3. Montrer que F est de classe C 1 sur ]−1,+∞[ puis étudier ses variations.

Retrouver le résultat de la question précédente.4. Montrer que pour tout t ≥ 1, t√

t+1 ≥√t− 1. Déduire la limite de F en +∞.

5. Étudier la convexité de F sur ]−1,+∞[ et l’existence éventuelle de points d’inflexion.6. On admet que F est prolongeable par continuité en −1 et F (−1) = 4

3 . Calculer la limite de F ′ en −1 etinterpréter.

7. Tracer l’allure de la courbe de F en tenant compte de toutes les questions précédentes.8. Donner une expression explicite de F (x) pour x > −1.

Indication : On pourra faire une intégration par parties.

Exercice 172.

Calculer les limites suivantes :

1. limn→+∞

n−1∑k=0

√k

n3/2 ;

2. limn→+∞

n∑k=1

1n+k ;

3. limn→+∞

(n−1∏k=0

(1 + k

n

)) 1n

.

Exercice 173.

Soient f et g deux fonctions continues sur [0, 1].

1. Calculer limn→+∞

1n

n∑k=1

f(kn

)g(kn

).


2. On suppose g de classe C 1 sur [0, 1].

(a) Justifier qu’il existe un réel M ≥ 0 tel que

∀t ∈ [0, 1] ,∣∣g′ (t)∣∣ ≤M .

(b) En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que

∀n ∈N∗,

∣∣∣∣∣ 1nn∑k=1

f

(k

n

)g

(k

n

)− 1n

n∑k=1

f

(k

n

)g

(k+ 1n

)∣∣∣∣∣ ≤ M

n2

n∑k=1

∣∣∣∣f (kn)∣∣∣∣ .

(c) En déduire que

limn→+∞

1n

n∑k=1

f

(k

n

)g

(k+ 1n

)=

1∫0

f (x) g (x) dx.

Exercice 174.

Montrer que les intégrales suivantes convergent et les calculer :

1.+∞∫0

x

(1+x2)2 dx ;

2.+∞∫0t e−t2 dt ;

3.+∞∫−10−3 e−

t10 dt ;

4.+∞∫−2

e−|t| dt ;

5.+∞∫1

1t(t+1)dt ;

6.+∞∫e

1x ln2(x)

dx.

Exercice 175.

Montrer que les intégrales suivantes divergent :

1.+∞∫1

ln(t)t dt ;

2.+∞∫2

1x ln(x)dx ;

3.+∞∫3

e2t dt.

Exercice 176.

1. Étudier la convergence (et calcul en cas de convergence) de+∞∫0

1t+1dt et de

+∞∫0

1t+2dt.

2. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que pour tout t ≥ 0, 1(t+1)(t+2) =

at+1 + b

t+2 .

3. Étudier la convergence (et calcul en cas de convergence) de+∞∫0

1(t+1)(t+2)dt.

Exercice 177.

Pour tout n ∈N et pour tout x ∈ R+, on note :

In (x) =

x∫0

tn e−t dt et Jn =

+∞∫0

tn e−t dt.

1. (a) Calculer I0 (x) pour tout x ≥ 0.(b) En déduire que J0 est une intégrale convergente et calculer sa valeur.


(c) Soit x ≥ 0. Pour tout n ∈N, trouver une relation entre In+1 (x) et In (x).2. (a) Déduire des questions précédentes que l’intégrale Jn est convergente.

Indication : On pourra faire une récurrence.(b) Quelle est la relation entre Jn+1 et Jn ?(c) En déduire la valeur de Jn en fonction de n.

3. Soit n ∈ N. Par un changement de variable, montrer que l’intégrale+∞∫0tn e−2t dt est convergente et

calculer sa valeur.

12Probabilité sur un univers quelconque

Exercice 178.

Soit Ω = [[1, 5]].L’ensemble B = 1, 2 , 1, 3 , 4 , 5 , Ω est-il une tribu sur Ω ?

Exercice 179.

Soit (Ω, A ) un expace probabilisable. Soit (An)n∈N une suite d’événements de A.

1. (a) Montrer que A =⋃+∞p=0

⋂+∞p=nAp est un événement.

(b) Exprimer le fait que A soit réalisé en fonction de la réalisation des éléments de la suite (An)n∈N.2. (a) Montrer que B =

⋂+∞p=0

⋃+∞p=nAp est un événement.

(b) Exprimer le fait que B soit réalisé en fonction de la réalisation des éléments de la suite (An)n∈N.

Exercice 180.

Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé. Soit (An)n∈N une suite d’événements de A deux à deux incompa-tibles.

1. Montrer que la série∑n∈N

P (An) converge.

2. En déduire que la suite (P (An))n∈N converge.

Exercice 181.

Soit P une probabilité sur (N, P (N)).Montrer que

limn→+∞

P (n) = 0.

Exercice 182.

Soit (Ω, A , P) un espace probabilisable. Soit (An)n∈N une suite d’événements de Ω. Montrer que :

limn→+∞

P

(+∞⋃m=n

Am

)= 0 et lim

n→+∞P

(+∞⋂m=n

Am

)= 0.

Exercice 183.

Soit (Ω, , P) un espace probabilisé.1. Soient (A,B) ∈ A 2 tels que A et B sont indépendants.

Montrer que A et B sont indépendants.2. Soient A ∈ A tels que P (A) = 0.

Montrer que pour tout B ∈ A , A et B sont indépendants.

52 CHAPITRE 12. PROBABILITÉ SUR UN UNIVERS QUELCONQUE

3. Soit A ∈ A tel que P (A) = 1.Montrer que pour tout B ∈ A , A et B sont indépendants.

Exercice 184.

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ telle que pour tout n ∈N∗, P (X = n) = a3−n.

1. Trouver a pour que l’on définisse ainsi la loi d’une variable aléatoire.2. Montrer que X admet une espérance et la calculer.3. Montrer que X admet une variance et la calculer.

Exercice 185.

Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans N∗ telle que pour tout n ∈N∗,

P (Y = n) =1

n (n+ 1).

Vérifier que l’on a défini la loi d’une variable aléatoire Y . Y admet-elle une espérance ?

Exercice 186.

Deux joueurs A et B s’affrontent sur une série de lancers de pièce jusqu’à obtenir un Pile avec une piècetruquée pour laquelle la probabilité d’obtenir Pile vaut p ∈ [0, 1]. On note XA et XB le nombre de tiragesnécessaires pour chacun des joueurs.

1. Donner la loi de XA et XB .2. Calculer P (XA = XB).3. Soit k ∈N∗. Calculer P (XB ≥ k).4. En déduire la probabilité que le joueurB effectue plus de lancers que le joueurA (c’est-à-dire P (XB ≥ XA)).

Exercice 187.

On considère l’expérience aléatoire consistant à lancer indéfiniment un dé equilibré à 6 faces. Pour toutn ∈N∗, on considère l’événement An : « on n’a pas obtenu de 6 lors des n premiers lancers ».

Soit A : « n’obtient jamais de 6 ».

1. Exprimer l’évńement A en fonction des An.2. En déduire la probabilité de A.3. Démontrer que l’événement B : « obtenir au moins une fois un numéro pair » est un événement presque

sûr.

Exercice 188.

On joue avec deux dés équilibrés à 6 faces.On jette un premier dé et on note sa valeur. On jette ensuite le deuxième dé jusqu’à ce qu’il indique le

même numéro que le premier.Soit X le nombre de fois qu’il faut lancer le deuxième dé pour qu’il indique le même numéro que le premier.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.2. Déterminer son espérance et sa variance.

Exercice 189.

Un paquet de 10 cartes contient 5 as, 3 rois et 2 dames. Le tirage d’un as rapporte 5 points, celui d’un roi2 points et celui d’une dame coûte 1 point.

Du paquet on tire simultanément et au hasard 2 cartes. On désigne par X la variable aléatoire réelle discrèteégale au total des points marqués.

Déterminer la loi de X, son espérance et son écart type.

Exercice 190.


On considère une urne contenant 1 boule rouge, 2 boules noires et 3 boules jaunes. On effectue des tiragessuccessifs jusqu’à ce qu’il ne reste plus dans l’urne que deux couleurs différentes. On note X la variable aléatoireégale au nombre de tirages effectués.


Exercice 191.

Un plateau est constitué de 25 cases. Derrière deux de ces cases se cache une bouteille de champagne. Onfixe un entier 1 ≤ n ≤ 26 et on retourne n cases au hasard. Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre debouteilles de champagne découvertes.


Exercice 192.

Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules vertes. On pioche simultanément 6 boules et on note R(respectivement V ) le nombre de boules rouges (respectivement vertes) obtenues.


Exercice 193.

Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement avec remise 5 boules.Chaque fois qu’il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il perd 3 points. Soit X le nombre de boulesblanches tirées et Y le nombre de points obtenus.

1. Déterminer la loi de X, puis E (X) et V (X).2. Exprimer Y en fonction de X.3. En déduire la loi de Y , puis E (Y ) et V (Y ).4. Que deviennent les résultats précédents si le jeu est sans remise ?

Exercice 194.

Un joueur lance successivement n (n ∈ N∗) boules au hasard dans N cases numérotées de 1 à N (avecN ∈N, N ≥ 2), chaque boule ayant une probabilité de 1

N de tomber dans chacune des N cases (et les tiragesde boules étant indépendants les uns des autres). On cherche à étudier la variable aléatoire Tn égale au nombrede cases non vides après n lancers.

1. Déterminer en fonction de n et N les valeurs prises par Tn.2. Donner les lois de T1 et T2.3. Déterminer, lorsque n ≥ 2, les probabilités P (Tn = 1), P (Tn = 2) et P (Tn = n) (en distinguant suivant

que n ≤ N ou n > N).4. À l’aide de la formule des probabilités totales, prouver que pour tout k ∈ [[1,n], alors

P (Tn+1 = k) =k

NP (Tn = k) +

N − k+ 1N

P (Tn = k− 1) .

5. On considère dans cette question le polynôme

Gn (X) =n∑k=1

P (Tn = k)Xk.

6. (a) Que vaut Gn (1) ?(b) Exprimer E (Tn) en fonction de G′n (1).(c) En utilisant la relation démontrée à la question 4., montrer que

Gn+1 (X) =1N

(X −X2)G′n +XGn.

(d) Dériver la relation précédente et en déduire que

E (Tn+1) =

(1− 1

N

)E (Tn) + 1.

54 CHAPITRE 12. PROBABILITÉ SUR UN UNIVERS QUELCONQUE

(e) En déduire la valeur de E (Tn) et déterminer sa limite lorsque n tend vers +∞.

Exercice 195.

On considère une urne de taille N > 1 contenant r boules blanches et N − r boules noires (0 ≤ r < N).Dans cette urne, on prélève une à une et sans remise, jusqu’à l’obtention de toutes les boules blanches. Onnote X le nombre de tirages qu’il est nécessaire d’effectuer pour cela. Le but de l’exercice est de déterminer laloi de X, ainsi que son espérance et sa variance.

1. (a) Traiter le cas N = 4 et r = 1.(b) Traiter le cas N = 4 et r = 2.

2. On revient au cas général.

(a) Déterminer le support de X.(b) Soit k ∈ X (Ω). Déterminer la probabilité pour qu’au cours des k − 1 premiers tirages soient

apparues r − 1 boules blanches (et donc k − r boules noires). En déduire la valeur de P (X = k),c’est-à-dire pour que la r-ième (et dernière) boule blanche apparaisse au k-ième tirage.

(c) Vérifier, après simplifications, que pour tout k ∈ X (Ω), P (X = k) =(k−1r−1)(Nr )

. En déduire les valeursdes sommes :

N∑k=r

(k− 1r− 1

),

N∑k=r

(k

r

)et

N∑k=r

(k+ 1r+ 1

).

(d) Montrer que E (X) =r(N+1)r+1 .

(e) De même, calculer E (X (X + 1)) et en déduire V (X).

Exercice 196.

On joue à Pile ou Face avec une pièce non équilibrée dont la probabilité d’obtenir Pile vaut p et cellede Face de q = 1 − p. On lance indéfiniment la pièce et on note X le rang où apparaît la première foisdeux résultats Pile consécutifs. Par éxemple, si les premiers lancers donnent FPFFPFPP , alors X = 8. Onsuppose que les lancers sont mutuellement indépendants.

1. Calculer en fonction de p et q :

P (X = 1) , P (X = 2) , P (X = 3) et P (X = 4) .

2. Justifier que (F1,P1 ∩ F1,P1 ∩ P2) forme un système complet d’événements.3. En déduire que :

∀n ∈N∗, P (X = n+ 2) = qP (X = n+ 1) + pqP (X = n) .

4. On suppose que p = 23 .

(a) Établir que :

∀n ∈N, P (X = n+ 1) = 49

((23

)n−(−1

3

)n).

(b) Montrer que X admet une espérance.(c) Montrer que X admet un moment d’ordre 2. Calculer E (X (X − 1)), puis en déduire la variance

de X.

Exercice 197.

Une urne contient des boules vertes et des boules blanches, indiscernables au toucher. La proportion deboules vertes est p ; celle de boules blanches, q = 1− p. On effectue une suite de tirages successifs d’une bouleavec remise. On suppose que les tirages sont mutuellement indépendants.

On définit les variables aléatoires X et Y de la façon suivante : pour tout (i, j) ∈ (N∗)2, l’événement(X = i∩ Y = j) est « les i premières boules tirées sont blanches, les j suivantes sont vertes et la i+ j+ 1-ièmeest blanche ou les i premierères boules tirées sont vertes, les j suivantes sont blanches et la i+ j + 1-ième estverte ». Par exemple, pour la suite de tirages BBBV V BV BB . . . , on a X = 3 et Y = 2.


1. (a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X.(b) Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance donnée par E (X) = p

1−p +1−pp .

(c) Montrer que E (X) est minimale pour p = 12 et calculer cette valeur minimale.

2. Montrer que∀ (i, j) ∈ (N∗)2 , P ((X = i) ∩ (Y = j)) = pi+1qj + qi+1pj .

3. (a) En déduire la loi de la variable aléatoire Y .(b) Montrer que la variable aléatoire Y admet une espérance que l’on calculera.

4. (a) Établir que, si p 6= 12 , les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes.

Indication : On pourra calculer P ((X = 1) ∩ (Y = 1)).(b) Démontrer que, si p = 1

2 , les variables aléatoires sont indépendantes.

13Variables aléatoires discrètes usuelles

Exercice 198.

Pour chaque variable aléatoire X, donner X (Ω).Si elle est discrète finie, donner la loi de X sous la forme d’un tableau et tracer sa fonction de répartition.1. X1 est le nombre de Piles obtenus en lançant quatre pièces de monnaie.2. X2 est le minimum de deux dés à six faces équilibrés.3. X3 est le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche (on tire sans remise des boules

dans une urne contenant 4 boules noires et 2 boules blanches).4. X4 est le produit de 4 nombres entiers tirés uniformément entre 0 et 2.

Exercice 199.

Soit p ∈ ]0, 1[ et X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.Déterminer la loi de min

X2, 2X

. Calculer son espérance et sa variance.

Exercice 200.

On effectue des lancers d’une pièce équilibrée.On note X le nombre de lancers de pièces nécessaires pour obtenir Pile.Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.

Exercice 201.

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes et indépendantes. Soit Z la variable aléatoire réelle définiepar Z = X + Y .

1. On suppose que X et Y suivent respectivement une loi de Poisson de paramètre λ > 0 et µ > 0.

(a) Montrer que

∀k ∈N, (X + Y = k) =k⋃j=0

((X = j) ∪ (Y = k− j)) .

(b) Déterminer la loi de Z.

2. On suppose que X et Y suivent une loi géométrique de paramètre p ∈ [0, 1].

(a) Montrer que

∀k ∈N\ 0, 1 , (X + Y = k) =k−1⋃j=1

((X = j) ∪ (Y = k− j)) .

(b) Déterminer la loi de Z.

Exercice 202.


On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de n urnes, numérotées de 1 à n,contenant chacune n boules. On répète n épreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard et à extraireune boule au hasard sans remise. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns des autres.

Pour i ∈ [[1,n]], on note Xi la variable aléatoire valant 1 si l’urne numérotée i contient toujours n bouleset 0 sinon.

1. (a) Pour tout i et pour k ∈ [[1,n]], on note Ui,k l’événement : « l’urne i est choisie à la k-ième épreuve ».En écrivant (Xi = 1) à l’aide de certains des événements Ui,k, montrer que pour tout i ∈ [[1,n]],

P (Xi = 1) =(

1− 1n

)n.

(b) Pour i ∈ [[1,n]], donner sans calcul la loi de Xi ainsi que son espérance.

2. On pose Yn =n∑i=1

Xi. Calculer E (Yn) en fonction de n.

3. Pour i ∈ [[1,n]], on note Ni la variable aléatoire égale au nombre de boules manquantes dans l’urne i àla fin de ces n épreuves.

4. (a) Donner sans calcul la loi de Ni ainsi que E (Ni).(b) Montrer que la variable aléatoire NiXi est certaine et donner sa valeur.

Exercice 203.

Soit X une variable aléatoire réelle discrète. On définit la fonction génératrice GX associée à X par :

GX (t) =∑

x∈X(Ω)

P (X = x) tk

pour tous les réels t tels que la série converge.Calculer la fonction génératrice de X dans les cas suivants :1. X → B (p) où p ∈ ]0, 1[ ;2. X → U ([[1,n]]) avec n ∈N∗ ;3. X → B (n, p) où n ∈N∗ et p ∈ ]0, 1[ ;4. X → G (p) où p ∈ ]0, 1[ ;5. X →P (λ) où λ > 0.

Exercice 204.

On considère deux jetons équilibrés J1 et J2.Le jeton J1 possède une face numérotée 0 et l’autre face est numérotée 1. Le jeton J2 possède deux faces

numérotées 1.Un joueur choisit au hasard un jeton puis effectue une série de lancers avec ce jeton que l’on suppose

mutuellement indpendants.On note E l’événement « le jeton J1 est choisit pour le jeu » et, pour tout entier naturel k non nul, Uk

l’événement « le k-ième lancer fait apparaître une face numérotée 1 ».1. (a) Déterminer la probabilité que le joueur obtienne n (n ∈N∗) une face portant le numéro 1 lors des

n premiers lancers.(b) Dans cette question, on suppose que le joueur a obtenu n fois (n ∈N∗) une face portant le numéro

1. Quelle est la probabilité qu’il ait joué avec le jeton 1 ?Quelle est la limite de cette probabilité lorsque n tend vers +∞ ? Interpréter ce résultat.

Dans la suite, on considère la variable aléatoire X égale au rang d’apparition de la première face portantle numéro 0 et on pose X = 0 si la face portant le numéro 0 n’apparaît jamais.On considère également la variable aléatoire Y égale au rang d’apparition de la première face portant lenuméro 1 et on pose Y = 0 si la face portant le numéro 1 n’apparaît jamais.

2. (a) Calculer, pour n ∈N∗, la probabilité P (X = n).(b) En déduire que P (X = 0) = 1

2 . Ce résultat était-il prévisible ?

58 CHAPITRE 13. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES USUELLES

(c) Montrer que X admet une espérance et calculer E (X).(d) Montrer que X (X − 1) admet une espérance, la déterminer puis vérifier que V (X) = 2.

3. (a) Calculer, pour n ∈N∗, P (Y = n).(b) En déduire P (Y = 0) = 0.(c) Montrer que Y admet une espérance et calculer E (Y ).(d) Montrer que Y (Y − 1) a une espérance, la déterminer et vérifier que V (Y ) = 5

4 .4. On définit sur (Ω, A , P) la variable aléatoire S par : pour tout ω ∈ Ω, S (ω) = max X (ω) ,Y (ω).

(a) Déterminer S (Ω).(b) Montrer que P (S = 1) = P (X = 0) = 1

2 .(c) Pour tout entier naturel n supérieur à 2, comparer d’une part (X = n) et (Y < n) et d’autre part

(Y = n) et (X < n), puis en déduire que (S = n) = (X = n∪ Y = n).(d) Reconnaître la loi de S et préciser son espérance et sa variance.

5. On définit (Ω, A , P) la variable aléatoire I par : pour tout ω ∈ Ω, I (ω) = min X (ω) ,Y (ω).

(a) Montrer que I est une variable aléatoire de Bernoulli.(b) Calculer P (I = 0) puis donner la loi de I, ainsi que son espérance et sa variance.

14Variables aléatoires à densité

Exercice 205.

Soit la fonction f définie sur R par :

∀x ∈ R, f (x) =

0 si x < −11 + x si − 1 ≤ x < 01− x si 0 ≤ x < 10 si x ≥ 1

.

1. Montrer que f est une densité de probabilité, puis expliciter la fonction de répartition FX d’une variablealéatoire X de densité f .

2. Tracer les représentations graphiques de f et de FX .3. Calculer, si possible, E (X), P

(X < 1

2), P(1

3 < X < 12)et P

(−1

3 ≤ X < 12).

Exercice 206.

Soit X une variable aléatoire à densité.Montrer que les variables aléatoires suivantes sont à densité et dans chaque cas, en donner une densité et

la fonction de répartition.

1. A = 5X + 7 ;2. B = −2X + 5 ;3. Y = eX ;

4. Z = X2 ;

5. W = |X|.

Exercice 207.

Soit la fonction f définie sur R par :

∀x ∈ R, f (x) =

1

x√

2x si x ≥ 20 si x < 2

.

1. Montrer que f est une densité de probabilité.2. Soit X une variable aléatoire réelle de densité f . Montrer que X admet une espérance et la calculer.

Exercice 208.

Soit f la fonction définie sur R par :

∀x ∈ R, f (x) =

|x| si x ∈ [−1, 1]0 sinon

.

1. Montrer que f est une densité de probabilité.

60 CHAPITRE 14. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ

2. Soit X une variable aléatoire réelle de densité f . Montrer que X admet une espérance et la calculer.

Exercice 209.

On définit sur R la fonction f par :

∀x ∈ R, f (x) =12e−|x|.

1. Montrer que f est une densité de probabilité.2. Soit X une variable aléatoire réelle de densité f . Expliciter sa fonction de répartition FX .3. Est-ce que X admet une espérance ? Si oui, la calculer.4. Déterminer la loi de Y = |X|. On donnera son support, sa fonction de répartition et une densité (en cas

d’existence).

15Lois usuelles à densité

Exercice 210.

Une municipalité a lancé une étude concernant les problèmes liés aux transports.Partie 1 : Retards à un arrêt de bus

On note X la variable aléatoire qui vaut le temps de retard (ou d’avance) d’un bus à un arrêt donné.L’étude a montré que le retard moyen du bus est de 5 minutes et que la probabilité que ce retard soit inférieurà 7 minutes est égale à p = 0,8413. On suppose que X suit une loi normale d’écart type σ.

1. Montrer que P (X ≤ 7) = φ( 2σ

). En utilisant la table fournie en annexe du cours, déduire les valeurs de

σ puis de V (X).2. Déterminer les probabilités :

(a) que le bus ait plus de 9 minutes de retard.(b) que le bus ait entre 2 minutes et deux minutes et demi de retard.(c) que le bus arrive exactement 5 minutes en retard.

Partie 2 : Appels reçus par le standard d’une société de taxis

Le nombre Yt d’appels reçus par le standard pendant une durée t suit une loi de poisson de paramètre λt.Alice travaille à ce standard. On note T le temps attendu avant de recevoir son premier appel à partir du

moment où elle prend son poste.Par convention : P (T < t) = 0 si t < 0.

1. Rappeler la loi, l’espérance et la variance de Yt.2. Pour cette question uniquement, on considère que t = 60 minutes.

(a) En utilisant la valeur de E (Y1), interpréter la valeur du paramètre λ.(b) Alice ne reçoit qu’un appel en une heure. On numérote les minutes de 0 à 59 et on noteM la minute

où cet appel se produit. Déterminer l’espérance et la variance deM en reconnaissant une loi usuelle.

3. Décrire en une phrase les événements (Yt = 0) et (T > t). Déduire P (T > t) puis P (T ≤ t) lorsque test positif.

(a) Expliciter la fonction de répartition FT de T sur R.(b) Montrer alors que T est une variable à densité, et en préciser une densité. Reconnaître une loi usuelle

et déduire l’espérance de T .

Exercice 211.

1. Soit U une variable aléatoire à densité suivant une loi normale d’espérance nulle et de variance 12 .

(a) Rappeler une densité de U .

62 CHAPITRE 15. LOIS USUELLES À DENSITÉ

(b) En utilisant une intégration par parties, montrer que l’intégrale

+∞∫0

x2e−x2dx

est convergente et que+∞∫0

x2e−x2dx =

√π

4 .

2. Soit F la fonction définie sur R par :

∀x ∈ R, F (x) =

0 si x ≤ 01− e−x2 si x > 0

.

Montrer que la fonction F définit une fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle dont ondéterminera une densité f .

3. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f pour densité.

(a) Montrer que X admet une espérance E (X) et que

E (X) =

√π

2 .

(b) Déterminer, pour tout réel y, la probabilité P(X2 ≤ y

).

Indication : On distinguera les cas y ≤ 0 et y > 0.(c) Montrer que la variable aléatoire X2 suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

16Algèbre linéaire

Exercice 212.

Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels et en donner une base :

1. E1 =

(xy

)∈M2,1 (R) , x+ 2y = 0

;

2. E2 =

x

2x−x

∈M3,1 (R) , x ∈ R

;

3. E3 =

xyz

∈M3,1 (R) , x+ 2y = 0 et x+ 2y+ 3z = 0

;

4. E4 =

xyzt

∈M4,1 (R) , x+ y+ z + t = 0 et x+ 3z = 0

.

Exercice 213.

Soient e1 =

1−12

et e2 =

11−1

.

1. Montrer que les vecteurs u =

310

, v =

−1−34

et w =

1−58

sont des combinaisons linéaires des

vecteurs e1 et e2.

2. Qu’en est-il des vecteurs x =

410

et y =

10−29

?

Exercice 214.

Soient les vecteurs u =

−120

, v =

3−11

, s =

531

et t =

−4−1−1

.

Montrer que Vect (u, v) = Vect (s, t).

Exercice 215.

1. Montrer que la famille B = (e1, e2, e3) où e1 =

110

, e2 =

121

et e3 =

232

, est une base de M3,1 (R).

64 CHAPITRE 16. ALGÈBRE LINÉAIRE

2. Donner les coordonnées de

289

dans la base B.

Exercice 216.

Montrer que les applications suivantes sont linéaires. Déterminer leur noyau et leur image.

1. f : M3,1 (R) −→ R définie par : pour tout

xyz

∈M3,1 (R), f

xyz

= x− 2y+ z ;

2. f : M2,1 (R) −→M2,1 (R) définie par : pour tout(xy

)∈M2,1 (R), f

(xy

)=

(4x− 6y2x− 3y

);

3. f : M4,1 (R) −→M3,1 (R) définie par : pour tout

xyzt

∈M4,1 (R), f

xyzt

=

x− y+ z − tx+ 2y− t

x+ y+ 3z − 3t

;


xyz

∈M3,1 (R), f

xyz

=

x+ y+ zx+ y+ zx+ y+ z

;


xyz

∈M3,1 (R), f

xyz

=

x+ y− z2x+ y− 3z3x+ 2y− 4z

.

Exercice 217.

Soit E = M2,1 (R) et B = (e1, e2) une base de E.Soit g une application linéaire de E dans E telle que g (e1) = e1 + 2e2 et g (e2) = e1 − e2.1. Déterminer g (x) pour tout x ∈ E. En déduire que g est bien définie sur E de manière unique.

2. Si B est la base canonique, que vaut g(xy

)pour

(xy

)∈M2,1 (R) ?

ATableaux de dérivation

A.1 Dérivées des fonctions usuelles

Fonction Dérivée Ensemble dedérivabilité

x 7−→ c, c ∈ R x 7−→ 0 R

x 7−→ xn, n ∈N∗ x 7−→ nxn−1 R

x 7−→ xα, α ∈ Z∗− x 7−→ αxα−1 R∗

x 7−→ xα, α ∈ R\Z x 7−→ αxα−1 R∗+

x 7−→ eαx x 7−→ αeαx R

x 7−→ ln (x) x 7−→ 1x R∗+

A.2 Dérivées de fonctions composéesDans ce paragraphe, I est un intervalle de R et u : I −→ R une fonction définie et dérivable sur I.


x 7−→ un (x), n ∈N∗ x 7−→ nu′ (x) un−1 (x) I

x 7−→ eu(x) x 7−→ u′ (x) eu(x) I

x 7−→ un (x), n ∈ Z∗− x 7−→ nu′ (x) un−1 (x) I et u ne s’annule pas sur I

x 7−→ uα (x), α ∈ R\Z x 7−→ αu′ (x) uα−1 (x) I et u à valeurs strictementpositives sur I

x 7−→ ln (u (x)) x 7−→ u′(x)u(x)

I et u à valeurs strictementpositives sur I

x 7−→ f (u (x)) x 7−→ u′ (x)× f ′ (u (x)) avec Du = I et f dérivable surDf ⊃ u (I)

66 ANNEXE A. TABLEAUX DE DÉRIVATION

A.3 Formules usuellesSoient I un intervalle de R et soient u, v : I −→ R deux fonctions définies et dérivables sur I.


λu+ v, λ ∈ R λu′ + v′ I

u× v u′ × v+ u× v′ I

uv

u′×v−u×v′v2 I et v ne s’annule pas sur I

BTableaux de primitivation

B.1 Primitives des fonctions usuelles

Fonction Primitives Intervalle

x 7−→ xn, n ∈N x 7−→ xn+1n+1 + c, c ∈ R R

x 7−→ xn, n ∈ Z, n ≤ −2 x 7−→ xn+1n+1 + c, c ∈ R R∗+ ou R∗−

x 7−→ xα, α ∈ R\Z x 7−→ xα+1α+1 + c, c ∈ R R+ si α > −1, R∗+ si α < −1

x 7−→ eαx, α ∈ R∗ x 7−→ 1αeαx + c, c ∈ R R

x 7−→ 1x x 7−→ ln (x) + c, c ∈ R R∗+

x 7−→ 1x x 7−→ ln (|x|) + c, c ∈ R R∗−

x 7−→ ln (x) x 7−→ x ln (x)− x R∗+

B.2 Primitives de fonctions composéesDans ce paragraphe, I est un intervalle de R et u : I −→ R une fonction définie et dérivable sur I.

Fonction Primitives Intervalle

x 7−→ u′ (x) un (x), n ∈N x 7−→ un+1(x)n+1 + c, c ∈ R I

x 7−→ u′ (x) un (x), n ∈ Z,n ≤ −2

x 7−→ un+1(x)n+1 + c, c ∈ R I et u ne s’annule pas sur I

x 7−→ u′ (x) uα (x), α ∈ R\Z x 7−→ uα+1(x)α+1 + c, c ∈ R I et u à valeurs strictement

positives sur I

x 7−→ u′ (x) eu(x) x 7−→ eu(x) + c, c ∈ R I

x 7−→ u′(x)u(x)

x 7−→ ln (|u (x)|) + c, c ∈ R I et u ne s’annule pas sur I

CTableaux des lois usuelles en probabilité

C.1 Lois discrètes

Loi Support Probabilité Espérance Variance

X → B (p), p ∈[0, 1]

X (Ω) = 0, 1 P (X = 1) = p,P (X = 0) = 1− p

p p (1− p)

X → B (n, p), n ∈N∗, p ∈ [0, 1]

X (Ω) = [[0,n]] P (X = k) =

(nk)pk (1− p)n−k

np np (1− p)

X → U ([[a, b]]),a, b ∈ Z, a < b

X (Ω) = [[a, b]] P (X = k) =1

b−a+1

a+b2

(b−a+1)2−112

X → G (p), p ∈]0, 1[

X (Ω) = N∗ P (X = k) =

p (1− p)k−11p

1−pp2

X → P (λ), λ ∈R∗+

X (Ω) = N P (X = k) =

e−λ λkk!

λ λ

C.2 Lois continues

Loi Support Densité Fonction derépartition

Espérance

X → U ([a, b]),a, b ∈ R, a < b

X (Ω) = [a, b] f (x) =1b−a six ∈ [a, b]0 sinon

F (x) =0 six < ax−ab−a six ∈ [a, b]1 six > b

a+b2

X → E (λ), λ > 0 X (Ω) = R+ f (x) =0 six < 0λe−λx six ≥ 0

F (x) =0 six < 01− e−λx six ≥ 0

1λ

X → N(µ,σ2),

µ ∈ R, σ ∈ R∗+

X (Ω) = R f (x) =

1σ√

2π e−(x−µ)2

2σ2

F (x) =

1σ√

2π

x∫−∞

e−(t−µ)2

2σ2 dt

µ

DScilab

Cette annexe est un (très) bref récapitulatif de ce qu’il faut savoir savoir en ECE 1 en Scilab.

D.1 La baseMéthode D.1.1. Instructions générales et définir des fonctions en Scilab.

1. i) sqrt(x) : calcule la racine carrée de x ;ii) exp(x) : calcule l’exponentielle de x ;iii) log(x) : calcule le logarithme népérien de x ;iv) floor(x) : calcule la partie entière de x ;v) abs(x) : calcule la valeur absolue de x ;vi) rand() : choisit un nombre aléatoire dans l’intervalle [0, 1[ ;vii) %pi : le nombre π ;viii) %e : le nombre e ;

2. Pour définir une fonction, on procède de la façon suivante :

function [y1,...,yp]=nomdefonction(x1,...,xn)instructions

endfunction

y1, . . . , yp sont les valeurs retournés par la fonction, x1, . . . ,xn sont les paramètres de la fonction.

Méthode D.1.2. Instructions relatives aux matrices et aux vecteurs.

1. Pour créer une matrice, on utilise les crochets [], on sépare les éléments d’une même ligne par desvirgules et les colonnes par des points-virgules. Par exemple, l’instruction [1,2,3;4,5,6;7,8,9] crée

la matrice

1 2 34 5 67 8 9

,

2. length(A) : donne le nombre de coefficients de la matrice A,3. size(A) : [nombre de lignes , nombre de colonnes] et en particulier size(A)(1) et size(A)(2) ren-

voient respectivement le nombre de lignes et de colonnes de A,4. zeros(n,p) : matrice nulle de taille n× p,5. ones(n,p) : matrice ne contenant que des 1 de taille n× p,6. eyes(n,n) : matrice identité de taille n× n,7. linspace(a,b,n+1) : renvoie une matrice-ligne dont le premier élément est a, le dernier est b et contenantn+ 1 termes en progression arithmétique,

70 ANNEXE D. SCILAB

8. diag(A) avec A une matrice : renvoie les éléments de la diagonale de A,

9. diag(v) avec v une matrice-ligne : renvoie une matrice diagonale dont les éléments de v sont sur ladiagonale.

D.2 Les graphesMéthode D.2.1. Savoir faire un graphe en Scilab.

Il faut savoir que Scilab ne trace pas de graphe mais il relie des points. Il y a deux instructions de base :plot et plot2d.

1. Soient les points A1 (x1, y1) , . . . ,An (xn, yn) , on crée les vecteurs x = (x1, . . . ,xn) et y = (y1, . . . , yn).

(a) Pour placer ces points sans les relier, on utilise plot2d(x,y,style=[-1]) (style=[-1] pour avoirdes points en forme de "+").

(b) Pour relier des points A1 (x1, y1) , . . . ,An (xn, yn) , il faut créer des vecteurs x = [x1, . . . ,xn] ety = [y1, . . . , yn] et utiliser l’instruction plot2d(x,y).

2. Pour tracer le graphe d’une fonction f sur un intervalle [a, b], il faut prendre un nombre suffisamentélevé pour avoir un bon « tracé ». Si l’on veut n+ 1 points, on utilise x=linspace(a,b,n+1) (avec nun entier assez grand) et y=feval(x,f) et on utilise l’instruction plot2d(x,y).

3. L’instruction plot2d permet de tracer de graphe de plusieurs fonctions dans un même repère.

(a) Si l’on a p fonctions f1, . . . , fp, on définit la liste y1, . . . , yp des valeurs de x par fi (à l’aide defeval par exemple) et on utilise plot2d(x,[y1’,. . . ,yp’]) (il est important de noter qu’il fauttransposer les vecteurs yi en utilisant yi’).

(b) On peut modifier l’aspect des graphes avec l’instruction style=[k1,. . . ,kp] pour avoir des graphesplus lisibles. Si ki ≥ 0, on impose la couleur de la courbe et si ki < 0, on change l’aspect des pointsde la courbe.

(c) On peut modifier le choix de la fenêtre en utilisant rect=[xmin,ymin,xmax,ymax].

(d) On peut légender en utilisant l’instruction leg="courbe1@· · · @courbep".

Méthode D.2.2. Faire un histogramme avec Scilab.

1. Étant donné un vecteur x contenant, par exemple une série statistique et n ∈N∗, l’instruction histplot(n,x)permet de tracer un histogramme de répartition du vecteur x en n classes de même amplitude.On notera que l’instruction histplot donne un histogramme normalisé, c’est-à-dire que la somme de lalongueur des barres est égale à 1.Pour supprimer cette normalisation et avoir les effectifs en axe des ordonnées, on utilise l’instructionhistplot(n,x,normalization=%f).

2. histplot(y,data) permet de représenter les éléments du vecteur data sous la forme d’un histogramme ;les classes de l’histogramme sont définies par le vecteur strictement croissant y ; si ce vecteur contientn éléments y1, y2, . . . , ym tels que y1 < y2 < · · · < ym, alors la première classe de l’histogramme estl’intervalle [y1, y2] et les autres classes sont les ]yi, yi+1] pour 2 ≤ i ≤ m− 1.

3. Représentation d’un diagramme en bâtonsbar(x,y,l) : Trace le diagramme en bâtons de y en fonction de x (deux vecteurs de même taille) avecdes bâtons de largeur `.

D.3 Les bouclesMéthode D.3.1. Savoir quand utiliser une boucle « if » .

Les boucles « if » se retrouvent lorsqu’il y a une disjonction de cas à faire, c’est-à-dire que si telle « condition1 » se réalise, alors « conséquence 1 », si « condition 2 », alors « conséquence 2 », etc.

Les instructions à taper sont les suivantes :


if condition 1 theninstruction 1

elseif condition 2 theninstruction 2

.

.

.elseif condition n-1

instruction n-1else

instruction nend

On rappelle que l’on teste l’égalité (respectivement la non égalité) des variables a et b par a==b (respectivementa <> b)

Dans les tests, on traduit « et » par « and » ou « & » et le « ou » par « or » ou « | ».

Méthode D.3.2. Savoir quand utiliser une boucle « for ».

On sait que l’on doit utiliser une boucle « for » lorsque l’on connaît le nombre d’itérations que l’on doitfaire, par exemple pour calculer une somme, un produit, un si la suite (un)n∈N est une suite définie par unerelation du type un+1 = f (un) , etc.


for mon_compteur=[liste_de_valeurs] ou mon_compteur=debut:pas:fininstruction 1...instruction n

end

Méthode D.3.3. Savoir quand utiliser une boucle « while ».

Les boucles « while » permettent de réaliser une séquence d’instructions tant qu’une condition, appeléecondition d’arrêt, est vraie. Dès que cette condition est fausse, la boucle « while » s’arrête. Il faut donc faireattention : le nombre d’itérations n’est pas fixé comme dans une boucle « for ». En particulier, il faut veillerà ce que la boucle « while » s’arrête, sinon la machine plante !


while conditionsinstruction 1...instruction n

end

D.4 Algèbre linéaire et matricesMéthode D.4.1. Manipuler des matrices, des listes.

Les matrices et les listes sont des objets fondamentaux dans le traitement des données. On vous invite àrelire la Méthode D.1.2.

1. Une liste est simplement un vecteur ayant une seule ligne.Il suffit de la définir par L=[L1,...,Ln].L’instruction L=[a:pas:b] définit L=[a,a+pas,. . . ,a+n*pas] avec n le plus grand entier tel que a+n× pas ≤ b.

72 ANNEXE D. SCILAB

2. Diverses instructions sur les listes et les matrices :

(a) si M est une matrice alors l’instruction M’ renvoie la transposée de M ;(b) si M est une matrice, l’instruction M(i,j) donne la valeur du coefficient en position (i, j). Si L est

une liste, l’instruction L(i) renvoie la valeur de l’élément en position i ;(c) si M est une matrice, l’instruction M(i,:) donne la i-ème ligne et M(:,j) sa j-ème colonne.(d) si M est une matrice de type n× p, x un vecteur de longueur p et y un vecteur de longueur n :

• l’instruction M(i,:)=x remplace la i-ième ligne de M par x ;• l’instruction M(:,j)=y remplace la j-ième colonne de M par y ;• l’instruction M([i1,ik],:) extrait les lignes de i1 à ik ;• l’instruction M(:,[j1,jh]) extrait les lignes de j1 à jh ;

(e) si L est une liste, l’instruction L=[L,ajout] ajoute le réel ou la liste ajout en fin de liste L et onobtient encore une liste.Si L ne contient qu’un seul élément, on obtient une matrice colonne.

(f) si A et B sont deux matrice, l’instruction [A,B] permet de concaténer les matrices A et B en« collant » la matrice B à droite de la matrice A (sous réserve qu’elles aient le même nombre delignes) et l’instruction [A;B] permet de concaténer les matrices A et B en « collant » la matrice Bsous la matrice A (sous réserve qu’elles aient le même nombre de colonnes).

(g) appliquer une fonction f à chacun des éléments d’un vecteur ou d’une matrice x : feval[x,f]renvoie un vecteur ou une matrice de même type.

Méthode D.4.2. Instructions d’algèbre linéaire.

Il est bon de se souvenir des instructions suivantes lorsque l’on fait de l’algèbre linéaire avec Scilab.

1. rank(A) : calcule le rang de la matrice A ;2. kernel(A) : calcule le noyau de la matrice A ;3. inv(A) : calcule la matrice inverse (si c’est possible) de A ;4. [X0,KerA]=linspace(A,b) : résout le système AX + b = 0. Si le système a au moins une solution, X0

est l’une de ces solutions et l’ensemble des solutions est l’ensemble des X0 + u avec u ∈ Ker (A).

D.5 ProbabilitéMéthode D.5.1. Scilab et les lois de probabilité usuelles.

Nous rappelons les instructions Scilab pour simuler les lois classiques. L’instruction de base est grand(lig,col,loi, paramètres). Cette instruction permet de créer une matrice de taille n×m dont les entrées suivant laloi indiquée avec des paramètres spécifiques à la loi indiquée.

1. Dans le cas de variables discrètes :

(a) loi uniforme sur U ([[a, b]]) : grand(n,m,’uin’,a,b) ;(b) loi binomiale B (n, p) : grand (n,m,’bin’,n,p) ;(c) loi géométrique G (p) : grand(n,m,’geom’,p) ;(d) loi de Poisson P (λ) : grand(n,m,’poi’,lambda) .

2. Dans le cas de variables à densité :

(a) loi uniforme U ([a, b]) : grand(n,m,’unf’,a,b) ;(b) loi exponentielle E (λ) : grand(n,m,’exp’,1/lambda) ;(c) loi normale N

(µ,σ2) : grand(n,m,’nor’,mu,sigma).


D.6 Calcul de sommesMéthode D.6.1. Grâce à une boucle itérative.

Une première façon est de calculer cette somme par une méthode itérative, par exemple une boucle « for ».Ce n’est pas forcément la méthode la plus efficace !

Méthode D.6.2. En utilisant des fonctionnalités Scilab.

Voici quelques fonctionnalités Scilab utiles pour calculer des sommes :1. L’instruction sum(L) (respectivement prod(L)) permet calculer la somme (respectivement le produit)

des éléments de la liste L.2. La fonctionnalité cumsum(L), somme cumulative (respectivement cumprod(L), produit cumulatif) renvoie

pour la liste [a1, . . . , an] la liste [a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, . . . , a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an] (respectivement[a1, a1 × a2, a1 × a2 × a3, . . . , a1 × a2 × · · · × an−1 × an]).Si u est une liste (ou une matrice), disons u = [u1, . . . ,un], alors :

(a) l’instruction u.∧k (k ∈N) renvoie la liste[uk1 , . . . ,ukn

];

(b) l’instruction u+x (x ∈ R) renvoie la liste [u1 + x, . . . ,un + x].

3. l’instruction a.∧u (a étant un réel strictement positif) renvoie la liste [au1 , . . . , aun ],4. si v est une liste, v = [v1, . . . , vn] de même taille que u, alors l’instruction u.*v (respectivement u./v,

respectivement u.∧v) renvoie la liste [u1 × v1, . . . ,un × vn] (respectivement[u1v1

, . . . , unvn]

, respectivement[uv1

1 , . . . ,uvnn ]).

Exercices de mathématiques Lycée Olympe de Gouges Année … · 2019-12-21 · Quelques citations...

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