EXERCICE 3 Diagonalisation d’une matrice de M3 R Note...
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EXERCICE 3 - Diagonalisation d’une matrice de M 3 (R) Note : / 10 On consid` ere la matrice A = 2 4 -1 p 2 1 p 2 0 p 2 1 p 2 -1 3 5 [1] Justifier sans calcul pourquoi la matrice A est diagonalisable. 0.0 0.25 0.5 Note / 0.5 [2] (a) Calculer le polynˆ ome caract´ eristique P A (λ) de la matrice A et montrer qu’il peut s’´ ecrire P A (λ) = (2 - λ) (2 + λ) 2 . Vous factorisez vos r´ esultats interm´ ediaires pour arriver au r´ esultat. 0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 Note / 1.5 5
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EXERCICE 3 - Diagonalisation d’une matrice de M3(R) Note : / 10
On considere la matrice A =
2
4�1
p2 1p
2 0p2
1p2 �1
3
5
[1] Justifier sans calcul pourquoi la matrice A est diagonalisable.
0.0 0.25 0.5 Note / 0.5
[2] (a) Calculer le polynome caracteristique PA(�) de la matrice A et montrer qu’il peut s’ecrire
PA(�) = (2� �) (2 + �)2 .Vous factorisez vos resultats intermediaires pour arriver au resultat.
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 Note / 1.5
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[2] (b) En deduire l’ensemble des valeurs propres �i de A et leur ordre de multiplicite algebrique.
Vous noterez �1 la valeur propre simple et �2 la valeur propre double.
0.0 0.25 0.5 Note / 0.5
[3] (a) Determiner le sous-espace propre E1 associe a la valeur propre simple �1.
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 Note / 1.0
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[3] (b) Determiner (en justifiant) une base orthonormale du sous-espace vectoriel E1 de R3.
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 Note / 1.0
[4] (a) Determiner le sous-espace propre E2 associe a la valeur propre double �2.
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 Note / 1.0
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[4] (b) Determiner (en justifiant) une base orthonormale du sous-espace vectoriel E2 de R3.
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 Note / 2.0
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[5] (a) Construire la matrice diagonale D contenant les valeurs propres par ordre decroissant.
0.0 0.25 0.5 Note / 0.5
[5] (b) Construire une matrice de diagonalisation orthogonale P telle que la matrice A s’ecrive
A = P DP�1 .
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 Note / 1.0
[5] (c) Verifier que la decomposition A = P DP�1est satisfaite pour les matrices P et D obtenues.
Vous reflechirez aux proprietes de la matrice P avant de vous lancer dans les calculs...
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 Note / 1.0
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