http://xmaths.free.fr TS − Limites de suites − Corrections

Exercice 24

La suite (un) est définie par u0 = 8 et un+1 = 2un - 3 pour tout n ∈ IN et

la suite (vn) la suite définie pour tout n ∈ IN par vn = un - 3.

1°) On a u0 = 8 donc v0 = 5

On peut écrire :

u1 = 2u0 - 3 = 2 x 8 - 3 = 16 - 3 donc u1 = 13 et v1 = 10

u2 = 2u1 - 3 = 2 x 13 - 3 = 26 - 3 donc u2 = 23 et v2 = 20

u3 = 2u2 - 3 = 2 x 23 - 3 = 46 - 3 donc u3 = 43 et v3 = 40

u4 = 2u3 - 3 = 2 x 43 - 3 = 86 - 3 donc u4 = 83 et v4 = 80

2°) (vn) est définie pour tout n ∈ IN par vn = un - 3 .

En utilisant cette relation avec n + 1, on obtient : vn+1 = un+1 - 3 .

On sait que un+1 = 2un - 3 donc vn+1 = 2un - 3 - 3 donc vn+1 = 2un - 6 = 2(un - 3) = 2vn .

On a donc : vn+1 = 2vn pour tout n ∈ IN .

On en déduit que la suite (vn) est géométrique de raison 2.

3°) (vn) est la suite géométrique de premier terme v0 = 5 et de raison q = 2.

Donc pour tout n ∈ IN vn = v0 x qn .

Donc vn = 5 x 2n pour tout n ∈ IN .

On sait de plus que vn = un - 3 donc un = vn + 3 , donc un = 5 x 2n + 3 pour tout n ∈ IN .

4°) Pour tout entier n on peut écrire : un = 5 x 2n + 3

Pour n ³ 1 on peut écrire 5 x 2n = 5 x 2 x 2n-1 = 10 x 2n-1

Pour n ³ 1, 2n-1 est un nombre entier, donc 5 x 2n est un multiple de 10.

Pour n ³ 1, l'écriture décimale de un = 5 x 2n + 3 a donc pour chiffre des unités 3 .