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TC Mathmatiques S1
1. Pourcentages et indices
Exercice 1 : Activit
6 944,77 2401,15
2401,15+150%
3200-43,5%
-
7 14 21 35 52,5 70
2 4 6 10 15 20
TC Mathmatiques S1
1.1 Proportionnalit
exemple 1 :
A = (2, 4, 6, 10, 15, 20)
B = (7, 14, 21, 35, 52,5, 70)
= 3,5
A et B sont proportionnelles
Liste 1 5 12 X 28
Liste 2 15 Y 37 70
exemple 2 :
X =3728
70= 14,8 Y =
701228
= 30
6
12,5
x
y
O 4
10
D1
D2
++
50
20
++
+
+
+
+
++
+
==== =
1. Pourcentages et indices
-
TC Mathmatiques S1
1.2 Indices
1. Pourcentages et indices
2012 2013 2014
Prix 1,84 2,12 1,53
indice 1000 1152,17 831,52
-
TC Mathmatiques S1
Taux et pourcentage : comparer v et V
taux :v
tV
= pourcentage : vpV
= 100
Exemple : v = 20 et V = 25
Taux : t = 0,8 Pourcentage : p = 80
symbole % : /100
Taux : t = 0,8 = 80/100 = 80%
1. Pourcentages et indices
1.3 Taux et pourcentages
-
TC Mathmatiques S1
Pourcentage de variation et proportion
valeur pourcentage
valeur initiale (rfrence) 35 100
variation -40
valeur finale
var = -40 x 35
100 = -14
-14
21 60
1. Pourcentages et indices
1.3 Taux et pourcentages
-
TC Mathmatiques S1
Pourcentage de variation et coefficient multiplicateur
Exemple 1
Exemple 2
248,5
19,6%
297,21
10%
267,49
x1,196 x0,9
79,45
5,5%
83,82
15%
71,25
x1,055 x0,85
0,85 1,055
1. Pourcentages et indices
1.3 Taux et pourcentages
-
TC Mathmatiques S1
Variations successives et taux moyen
32
200%
96
45,83%
140
x 3 x1,4583
71,43%
40
x0,2857
x1,25
x c x c x c
c3 = 1,25
c = 1,25 1/3
1,07722
25%
1. Pourcentages et indices
1.3 Taux et pourcentages
-
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires
Principe
capital
prt
ou plac
valeur
rembourse
ou acquise
temps|
0
|
n
intrts
C0Cn
in
in augmente avec C0 et avec n
-
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires
2.2 Intrts simples
C0
Cn
temps|
0
|
n
in
i1 = tC0 = C0.t
C1
i1
C2
i2
C3
i3
|
1
|
2
|
3
taux dintrts annuel : t
i2 = 2i1 = 2C0.ti3 = 3i1 = 3C0.t
in = C0.n.t
Cn = C0 + in = C0.(1 + n.t)
-
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires
2.3 Intrts composs
C0Cn
temps|
0
|
n
in
C1 = C0 + tC0 = C0.(1+t)
C1
i1
C2
i2
C3
i3
|
1
|
2
|
3
Cn = C0.(1 + t)n
in = Cn - C0 = C0.[(1+t)n 1]
taux dintrts annuel : t
C2 = C1 + tC1 = C0.(1+t)C3 = C2 + tC2 = C0.(1+t)3
-
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires
2.3 Intrts composs
Cn = C0.(1 + t)n
taux dintrts annuel : t = 20% = 0,2
au bout de 5 ans : C5 = C0.(1,2)5 = 2,4883.C0
au bout dun an : C1 = C0.(1,2)1 = 1,2.C0
au bout de 6 mois : C = C0.(1,2)0,5 = 1,09545.C0
au bout dun mois : C = C0.(1,2)1/12 = 1,01531.C0
au bout de 55 jours : C = C0.(1,2)55/360 = 1,02825.C0
n sexprimera
en annes
-
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires
2.3 Intrts composs Cn = C0.(1 + t)n
Ex 26 - taux quivalents
Au bout de 8 ans,
au taux annuel de 5% : C8 = 1000(1,05)8 = 1477,46
Au bout de 6 ans,
au taux annuel de 5% : C6 = 1000(1 + t)6 = 1477,46
donc (1 + t)6 = 1477,46
1 + t = 1477,461/6 1,06722 t = 6,722 %
-
2203,99
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires
2.3 Intrts composs Cn = C0.(1 + t)n
Ex 27 - capitaux quivalents
en combien de temps 3200 placs deviennent-ils 4050,64 ?
Cn = C0.(1+t)n devient ici : 4050,64 = 3200 1,08n
0 1 2 3 4 5
1500500 680,24
1000 1166,4taux annuel : 8 %
4050,64
soit 1,08n 1,2658n = ln(1,2658) / ln(1,08)
3,0629 ans
3200
-
AnnesCapital restant d
(dbut de priode)Amortissement Intrts
Annuits de
remboursement
Capital restant d
(fin de priode)
N
N + 1
N + 2
N + 3
N + 4
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires
2.4 Les emprunts indivis
taux dintrts annuel : t = 5% = 0,05
Ex 28 - amortissement constant
n = 5 ans
100000
amortissement annuel
= 100000 / 5 = 20000
2000020000200002000020000
5000 25000 80000
100000
80000 4000 24000 60000
300020001000
230002200021000
4000020000
0
600004000020000
15000 115000
-
AnnesCapital restant d
(dbut de priode)Amortissement Intrts
Annuits de
remboursement
Capital restant d
(fin de priode)
N
N + 1
N + 2
N + 3
N + 4
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires
2.4 Les emprunts indivis
taux dintrts annuel : t = 5% = 0,05
Ex 29 - annuits constantes
n = 5 ans
100000
annuit :
18097,48 5000
100000
81902,52 4095,13 62900,173145,012147,381099,88
23097,4823097,4823097,4823097,4823097,48
42947,6921997,60
0
62900,1742947,6921997,60
15487,40 115487,40
( ),
n
ta C
t= = +
0 23097 481 1
19002,3519952,4720950,1021997,60
81902,52
-
MoisCapital restant d
(dbut de mois)Amortissement Intrts
Mensualits de
remboursement
Capital restant d
(fin de mois)
M
M + 1
M + 2
M + 3
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires2.4 Les emprunts indivis
taux dintrts annuel : t = 6,55%
coef. annuel : 1,0655
Ex 30 : mensualits constantes
n = 3 ans = 36 mois
8000
a. mensualit :
202,28 42,41
8000
7797,72 41,34 7594,3740,2639,17
244,69244,69244,69244,69
7389,947184,43
7594,377389,94
808,73 8808,73
( ),
n
tm C
t= = +
0 244 691 1
203,35204,43205,51
7797,72
coef. mensuel : 1,06551/12 = 1,005301 (0,5301%)
C0 = 8000
cot prt : 36m - C0 = 808,73
b. tableau damortissement :
-
TC Mathmatiques S1
2. Mathmatiques financires2.4 Les emprunts indivis
taux dintrts annuel : t = 6,55%
coef. annuel : 1,0655
n = 3 ans = 36 mois
coef. mensuel : 1,06551/12 = 1,005301 (0,5301%)
C0 = 8000
c. Sur 3 ans : C3 = C0.1,06553 = 9677,21
Sur 4 ans, il faudrait : C4 = 9677,21, cest dire C0.(1 + t)4 = 9677,21
do 1 + t = 1,04873, donc un taux annuel de 4,873%
d. Au taux annuel de 8,55% :
( ),
n
tm C
t= = +
0 196 181 1
coef. mensuel : 1,08551/12 = 1,006860 (0,6860%)
Sur 4 ans, 48 mois, la mensualit devient :
Ex 30 : mensualits constantes
-
TC Mathmatiques S1
D : y = ax+b
D1 : y = x - 4
D2 : y = -2x + 5
D3 : y = 0,5x - 1
x
y1y2y3
0
-4
5
-1
4
0
-3
1
pente ordonne lorigine
x
y
D1
D2
D3
+
++
+
+
+O 1
1
3. Premier degr
-
x
y
O 1
1
TC Mathmatiques S1
Identification
D1
D2
+
++
+( )
( )x y E
x y E
= + =
1
2
4
4 2 10
(-1)
2x y
x y
+ = + =
4
2 5
y x
y x
= = +
4
2 5
id id
formes rduites
x - 4 = -2x + 5
2x + x = 4 + 5
3x = 9
x = 3 y = -1
+
3
-1
3. Premier degr
-
TC Mathmatiques S1
Substitution
( )( )
x y E
x y E
= + =
1
2
4
4 2 10
choix :
xx y
x y
= + + =
4
4 2 10
substitution dans (E2)
4(y + 4) + 2y = 10
6y = -6
x = 3y = -1
x
y
O 1
1 D1
D2
+
++
+
+
3
-1
4y + 16 + 2y = 10
3. Premier degr
-
choix : remplacer par E2 + 2 E1(simplification : limination de y)
TC Mathmatiques S1
Combinaison linaire
( )( )
x y E
x y E
= + =
1
2
4
4 2 10
choix : conserver x y
x
= + =
4
6 18
x y= +
4
x = 3
df : CL de A et B : pA+qB, p et q rels
autoris dans un systme : remplacer une quation A par une CL de A et dautres.
utile dans un systme : crer une CL qui simplifie une quation.
y + =
4 3
x = 3
y = -1 x = 3
3. Premier degr
-
E2 - 2 E1
TC Mathmatiques S1
3. Premier degr
Pivot de Gauss (version simplifie)
objectif : rendre le systme triangulaire
x y z
x y z
x y z
+ = + = + =
4 5
2 5 3 18
3 10E3 - 3 E1
x y z
y z
y z
+ = + = + =
4 5
13 5 28
13 4 25E3 E2
x y z
y z
z
+ = + = =
4 5
13 5 28
3
solution : remonter les quations pour obtenir z, puis y, puis x
x y
y
+ = + =
4 5
13 5 28
z = 3
3
3 ( )x + =
4 5
z = 3
y = -1
3-1 z = 3
y = -1
x = 2
-
TC Mathmatiques S1
Exercice 45
a. 1re partie de lanne : dpense totale = d1 =
3. Premier degr
1. Rsolution par une quation unique
180x
b. 2me partie de lanne : dpense totale = d2 = 400(52 x)
c. 180x + 400(52 x) = 14000
d. 180x + 20800 400x = 14000
-220x = -6800
220x = 6800
x = 6800/220 = 30,91 semaines
-
TC Mathmatiques S1
Exercice 45
a. y1 = 180x
3. Premier degr
2. Rsolution par un systme
reprsentation graphique
et 14000 = 40052 + b,donc b = -6800
c.
x = 6800/220 = 30,91 semaines
b. y2 = 400x + b
( )( )
y x E
y x E
= =
1
2
180
400 6800
180x = 400x - 6800
x
y
10
2000
D1
D2
+
++
+
+
30,91
5564
10000
50
-
x y
x y
x y
+ + +
3 68
3 2 88
2 76
TC Mathmatiques S1
4. Programmation linaireTD4.1 (exercice 54) : Systme de contraintes
a. Variables : x : nombre de lots de bouteilles d1,5 litrey : nombre de lots de bouteilles de 0,5 litre
b. Contraintes : Temps maximal pass dans chaque atelier
c. Temps atelier 1 :atelier 1 atelier 2 atelier 3
1,5 L 3 h 3 h 1 h
0,5 L 1 h 2 h 2 h
3x + y
d. Temps atelier 2 :
Temps atelier 3 :
3x + 2y
x + 2y
e. Systme de contraintes :
y x
y x
y x
+ + +
3 68
2 3 88
2 76
2
REDUCTION
2,
,
y x
y x
y x
+ + +
3 68
1 5 44
0 5 38
-
TC Mathmatiques S1
4. Programmation linaireRgionnement du plan
Choisissons lquation dune droite :
x
y
D+
+O 1
1
D : y = 0,5x - 1
D : ensemble des points du plan dont les
coordonnes x et y vrifient la condition
ci-dessus.
Quel est lensemble des points du plan
dont les coordonnes x et y vrifient la
condition y 0,5x 1 ?
Tous les points dont lordonne est
infrieure celle calcule pour la droite
D, donc tous les points en-dessous de la
droite D.
OK
-
x
y
O 10
10
D1D1
D2D2
+
+
+
TC Mathmatiques S1
4. Programmation linaireTD4.2 (exercice 55) : Polygone des contraintes
a. Graphique :
b. Coordonnes :
,
,
y x
y x
y x
+ + +
3 68
1 5 44
0 5 38
D1 : y = -3x + 68
D2 : y = -1,5x + 44
D3 : y = -0,5x + 38
x
y1y2y3
0
68
44
38
20
8
14
28
30
40
+
+
+D3D3
OO
AA BB
CC
DD
O = (0 ; 0)
A = D3 (Oy) = (0 ; 38)B = D2 D3 : -1,5x + 44 = -0,5x + 38 : (6 ; 35)C = D1 D2 : -1,5x + 44 = -3x + 68 : (16 ; 20)D = D1 (Ox) : -3x + 68 = 0 : (22,67 ; 0)
c. x = 5 et y = 15 : point E
d. x = 20 et y = 20 : point F
+EE
FF+
-
TC Mathmatiques S1
4. Programmation linaireTD4.3 (exercice 56) : Droites diso-profit
a. C(5, 15) = 580 + 1530 = 850
x
y
O 10
10
D1
D2
30
40
D3
O
A B
C
D
C(20, 20) = 2080 + 2030 = 2200
b. C = 80x + 30y y = -8/3.x + C/30
c. D1200 : y = -8/3.x + 40 ; D2400 : y = -8/3.x + 80
+
+
d. 1200 : oui ; 2400 : non
e. C maxi C/30 maxi DC la plus haute
f. Unique point commun entre DC et la zone des
contraintes : le point C (16 ; 20).
Il faut produire 16 lots de bouteilles d1,5 L
et 20 lots de bouteilles de 0,5 L.
Chiffre daffaires maximal correspondant :
C = 1680 + 2030 = 1880
-
TC Mathmatiques S1
4. Programmation linaireAutres prix de vente
x
y
O 10
10
D1
D2
30
40
D3
O
A B
C
D
g. C = 60x + 50yDC : y = -1,2.x + C/50
Exemple : D1500 : y = -1,2x + 30
C maxi C/50 maxi DC la plus haute
La droite la plus haute et toujours en contact avec
la zone des contraintes est celle qui contient le
point B (6 ; 35) (droite DC en trait double, rouge, sur le graphique).
Il faut produire 6 lots de bouteilles d1,5 L
et 35 lots de bouteilles de 0,5 L.
Chiffre daffaires maximal correspondant :
C = 660 + 3550 = 2110
-
x y
x y
x y
+ + +
30 10 1200
40 40 3200
30 50 3000
TC Mathmatiques S1
4. Programmation linaireExercice 58 : Systme de contraintes
a. Variables : x : nombre de lots Ay : nombre de lots B
b. Contraintes : Nombre minimal de chaque type de fleurs
c. Nombre jacinthes : jacinthes Tulipes Narcisses
A 30 40 30
B 10 40 50
30x + 10y
d. Nombre tulipes :
Nombre narcisses :
40x + 40y
30x + 50y
e. Systme de contraintes :
y x
y x
y x
+ + +
10 30 1200
40 40 3200
50 30 3000
REDUCTION
,
y x
y x
y x
+ + +
3 120
80
0 6 60
-
x
y
O 20
20
D1D1D2D2
+
+
+
TC Mathmatiques S1
4. Programmation linaireExercice 58 : Polygone des contraintes
a. Graphique :
b. Coordonnes :
,
y x
y x
y x
+ + +
3 120
80
0 6 60
D1 : y = -3x + 120
D2 : y = -x + 80
D3 : y = -0,6x + 60
x
y1y2y3
0
120
80
60
40
0
40
36
100
100
+
+
+
D3D3
On attendra de connatre le point le plus
intressant
-
4
11
1
TC Mathmatiques S1
5. Polynmes du 2d degr
P(x) = 2x2 - 4x - 5cc
x
P(x)
Q(x)
ordonne lorigine
x
y
CPCP
+
+
O 1
2
- 5- 5- 4- 422bbaa
Q(x) = -x2 + 4x + 1+ 1+ 1+ 4+ 4a = -1a = -1
+
++
+
+
+
-2
11
-11
-1
1
-4
0
-5
1
1
-7
4
2
-5
5
3
1
4
bb cc
+
++
+
+
CQCQ
menu Table
Y1=2X-4X-5
RANG : choix x
TABLE : tableau
touche Y= ou f(x)
Y1=2X-4X-5
TblSet : choix x
Table : tableau
-
TC Mathmatiques S1
5. Polynmes du 2d degr
P(x) = 2x2 - 4x - 5
Q(x) = -x2 + 4x + 1
x
y
CP
+
+
O 1
2+
++
+
+
+
+
++
+
+
CQ
a = 2 ; b = -4 ; c = -5
a = -1 ; b = 4 ; c = 1
a > 0 :
a < 0 :
abscisse du sommet :
S
bx
a=
2
S
S
S
S
-
TC Mathmatiques S1
5. Polynmes du 2d degr
Equation du second degr : ax2 + bx + c = 0
a < 0 :
bx
a
=2
On recherche, sils existent, les points dintersection de la parabole avec laxe (Ox).
Mthode : Calcul du discriminant = b2 4ac Si < 0 : lquation nadmet pas de solution
Si 0 : lquation admet deux solutions :
Rcapitulatif : a > 0 :
x
x
> 0
= 0
< 0
< 0
= 0
> 0
P(x) = ax2 + bx + c est du signe de a pour tout rel x,
sauf si x est pris entre les racines (si elles existent)
-
TC Mathmatiques S1
5. Polynmes du 2d degr
P(x) = 2x2 - 4x - 5
Q(x) = -x2 + 4x + 1
a = 2 ; b = -4 ; c = -5
a = -1 ; b = 4 ; c = 1
Equation du second degr : ax2 + bx + c = 0
exemples prcdents :
x
y
CP
+
+
O 1
2+
++
+
+
+
+
+ + +
+
CQ
S
S
= (-4)2 42(-5) = 16 + 40 = 56 > 0 donc P(x) admet deux racines :
bx
a
= = 4 562 4
+
-
+
-
x 2,871x -0,871x 2,871
x -0,871
= 42 4(-1)1 = 16 + 4 = 20 > 0 donc Q(x) admet deux racines :
bx
a
= =
4 20
2 2
+
-
+
-
x -0,236x 4,236x -0,236x 4,236
-
( )x x x + =
20 6 2400100
2-0, 01 + 14 - 2400x x
TC Mathmatiques S1
5. Polynmes du 2d degrExercice 60
x
Cp(x)
CA(x)
B(x)
x
y
0
+
Variable : x = quantit produiteCot de production : Cp(x) = 6x + 2400
Prix unitaire de vente : Pu(x) =x20
100Fonction objectif : le bnfice B(x) = ?
B(x) = CA(x) Cp(x) =
0 300 600 800 1000 1200 1500
2400 4200 6000 7200 8400 9600 11400
0 5100 8400 9600 10000 9600 7500
-2400 900 2400 2400 1600 0 -39000
4000
8000
12000
++
++
++
+
+
++ + +
+
B(x) > 0 ? racines ?
= 100 racines : 200 et 1200
Question 1
B(x) maximal ?
Question 2
-b/2a = 700 et B(700) = 2500
200 600 1000 1500
-
TC Mathmatiques S1
6. Etudes de fonctions6.1 Nombre
driv ( ):f x f xfonction
dpendance, relation
nombrenombre
+ ++ +
+ +
+
+
+
( )f x
x
expression de f :
formule pour calculer f(x) partir de x
exemple : ( )f xx
=4
1
courbe de f : ensemble des points (x, f(x))
x 0 0,2 0,5 0,9
f(x) 4 5 8 40
taux de variation de f :y
x
-
Exemple : parcours dun bus
A
O
VOA =7
10
B
C
C
y (km)
16
10
7
t (min)
10 18 28 35
= 0,7 km/min
VAB =08
= 0 km/min
VBC =9
17= 0,5294 km/min
VBC =3
10= 0,3 km/min
VCC =67
= 0,8571 km/min
VC = ?
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
6.1 Nombre
driv
-
Exemple : parcours dun bus
A
O
B
C
C
y (km)
16
10
7
t (min)
10 18 28 35
VC = f (28)
y = f(x)
vitesse
instantane
en C
nombre
driv de f
en C
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
6.1 Nombre
driv
-
f (a) :
pente de la courbe
pente de la tangente
la courbe en A
x
y
A
x
y
M
a
x
M
y
x
M
yM
xy
M
xyM
xyA
yx
f (a) = limx a
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
6.1 Nombre
driv
-
f (a) = limf(x) f(a)
x - ax a
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
6.1 Nombre
driv
-
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
[Drive = pente de la courbe]
x
I
Sur un intervalle I,
f (x) > 0
x
I
f (x) < 0
x
I
f (x) = 0
6.2 Fonction
drive
-
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
[Drive = pente de la courbe]
x
I
Sur un intervalle I, f (x) 0 sauf en a lintrieur de I :
x < a : f (x) < 0
x > a : f (x) > 0
x
I
x
Ia a
x < a : f (x) > 0
x > a : f (x) > 0
x < a : f (x) > 0
x > a : f (x) < 0
a
6.2 Fonction
drive
-
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
6.2 Fonction
drive
k
x
f f
0
.x - 1
Drives de fonctions usuelles
f f
lnx
ex
-
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
6.2 Fonction
drive
u + k
u.v
u v
1vuv
f f
u
u .v + u.v
-v v2
u .v - u.v v2
v (u v)
Oprations sur les drives
k.u
u + v
k.u
u + v
-
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
Exercice 67 : Fonctions doffre et de demande
offre : f(x) = 0,25x + x + 40
demande : g(x) = 100 8x + 500
2 5x +
a. f (x) = 0,5x + 1
g(x) = -8 -( )x + 2
1000
2 5
-
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
Exercice 68 : Cot marginal et cot moyen
( ) ,C q q q q= + +3 20 02 3 200 50001 Cot marginalq 0 20 40 50 60 80 100 120 150 160
C(q) 5000 7960 9480 10000 10520 12040 15000 20360 35000 42120
( ) ,C q q q = +20 06 6 200
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )
, ,
,
, ,
,
m
m
C C C
C
C C C
C
= = =
= + =
= = =
= + =
2
2
50 51 50 10050 02 10000 50 02
50 0 06 50 6 50 200 50
150 151 150 35656 02 35000 656 02
150 0 06 150 6 150 200 650
q 0 20 40 50 60 80 100 120 140 160
C(q) 200 104 56 50 56 104 200 344 536 776
-
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
Exercice 68 : Cot marginal et cot moyen
( ) ,MC q q qq
= + +2 50000 02 3 2002 Cot moyen
q 0 20 40 50 60 80 100 120 150 160
CM(q) *** 398 237 175,3 150,5 147,6 150 169,7 207,7 263,3
A
-
6. Etudes de fonctions
TC Mathmatiques S1
Exercice 68 : Cot marginal et cot moyen
( ) ,MC q q qq
= + +2 50000 02 3 200
2 Cot moyen
q 0 20 40 50 60 80 100 120 150 160
CM(q) *** 398 237 175,3 150,5 147,6 150 169,7 207,7 263,3