EXAMEN FORMATIF SUR LES CONIQUES -...

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Collège Régina Assumpta Décembre 2013 5 e secondaire SN EXAMEN FORMATIF SUR LES CONIQUES Nom : Groupe :

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Collège Régina Assumpta Décembre 2013

5e secondaire SN

EXAMEN FORMATIF SUR LES CONIQUES

Nom : Groupe :

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1. Pour encadrer la photo de son premier but, Michael Bournival

a choisi un modèle comme celui qui est illustré sur la figure ci-

contre. Une ellipse de 36cm de large et de 60 cm de haut a été

découpée dans le rectangle. La distance entre le rectangle et

l’ellipse est de 4cm sur les côtés, et de 5 cm au-dessus et en

dessous. À quelle distance du sommet du rectangle se situe

un des foyers de l’ellipse ?

Grand axe = 60 cm

b = 30

Petit axe = 36 cm

a = 18

c2 = b2-a2 = 900 – 324 = 576

c = 24

Coordonnée des foyers : (0,24) et (0, -24)

Coordonnée du sommet supérieur droit du rectangle : (18+4, 30+5) = (22,35)

Distance entre deux points =

= 24.6

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2. Michel Therrien place sur un plan cartésien Desharnais ( -2, 2) et Paccioretty (4 ,

6). Si ces deux joueurs sont aux extrémités d’un cercle, trouve :

a. l’équation du cercle

Centre : (

= (

= (

Mesure du diamètre : distance entre deux points =

=

= =

Mesure du rayon = diamètre/2 = /2

Inéquation de la région intérieure :

b. les deux équations des droites tangentes au cercle pour la position de

Desharnais et pour la position de Paccioretty

Pente du rayon au point (-2,2) :

Pente de la tangente au point (-2,2) =

y=

x +b

b = y+

x = 2+

(-2) = -1

Équation de la tangente au pointe (-2,2) : y = -

x - 1

Pente du rayon au point (4,6) :

Pente de la tangente au point (4,6) =

y=

x +b

b = y+

x = 6 +

(4) = 12

Équation de la tangente au pointe (1,3) : y = -

x + 12

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3. Le barrage hydroélectrique Daniel-Johnson, situé au

nord de Baie-Comeau, est constitué de 13 voûtes dont

l’extrémité supérieure a la forme d’une parabole. Voici

les caractéristiques de l’une de ces voûtes :

• Largeur de la voûte : 160 m

• Hauteur totale de la voûte : 210 m

• Distance entre le sommet de la voûte et son foyer : 25

m

a) Établissez l’équation qui correspond à la forme

parabolique de l’extrémité supérieure de la voûte.

Ouverture vers le bas équation de la parabole : (x-h)2 = -4c (y-k)

c = 25

(h,k) = (160 /2 , 210) = (80, 210) = sommet de la parabole

Équation de la parabole : (x-80)2 = -100 (y-210)

b) À quelle hauteur la partie courbe de la voûte commence-t-elle ?

Coordonnée du point où la partie courbe de la voûte commence : ( 0, y1) et (0,y2)

Soit le point (0 ,y1) : (0-80)2 = -100 (y-210)

(-80)2 = -100 (y-210)

y = 146

C’est donc à partir d’une hauteur de 146 m que la partie courbe de la voûte commence.

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4. La zone bleue devant le but de Carey-Price est formée d’un rectangle monté d’une

demi-ellipse. La longueur de cette zone est de 150cm. À 30cm du bord, la largeur

de la zone est de 136 cm. Quelle est la largeur de cette zone en son centre?

Soit un plan cartésien, où le centre de l’ellipse de

la zone bleue correspond à l’origine.

Grand axe = 150 cm

a = 75

Équation de l’ellipse horizontale :

Lorsque x = 75-30 = 45 y = 136 – 100 = 36

L’ellipse passe donc par le point (45,36)

Ainsi,

b2 = 2025 b = 45

La largeur en son centre est donc de 45 + 100 = 145 cm

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5. Le trophée Norris, que PK Subban a gagné l’année dernière, possède des courbures

sur les côtés qui correspondent à une hyperbole. Le diamètre du trophée, à la

base, est de 15cm et au centre, 12cm. La hauteur de ce trophée est de 27cm. Quel

est son diamètre à une hauteur de 10cm?

Soit un plan cartésien ayant le centre du trophée (mis à la verticale) à l’origine.

Hyperbole horizontale :

Sommet : (6,0) et (-6,0)

a= 6

Lorsque x = 15/2 = 7.5 y = 27/2 = 13.5

Hyperbole passe donc par le point ( 7.5 , -13.5)

Ainsi,

b2 = 324

Équation de l’hyperbole :

À une hauteur de 10 cm, y = -13.5 + 10 = - 3.5

x = 6.11

Diamètre à la hauteur de 10 cm = 2 x 6.11 = 12. 22 cm

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6. Daniel Brière, tanné de son temps d’utilisation dans les matchs, trouve une

nouvelle façon de pratiquer ses tirs. En effet, il trouve des filets de hockey en forme

de parabole. La largeur des ces filets sont de 2 m. La hauteur au centre du filet est

de 1.5 m. Quelle est la hauteur, au dixième près, à 10 cm du bord?

Soit un plan cartésien où le sommet de la

parabole correspond au point (1 , 1.5)

Ouverture vers le bas

Équation de la parabole : (x-h)2 = -4c (y-k)

Sommet : (1, 1.5)

Équation de la parabole : (x-1)2 = -4c (y-1.5)

Parabole qui passe par l’origine (0,0) (0-1)2 = -4c (0-1.5)

1= 6c

c = 1/6

Équation de la parabole : (x-1)2 = -0.67 (y-1.5)

À 10 cm du bord, x1 = 0.1

x2= 2-0.1 = 1.9

(0.1-1)2 = -0.67 (y-1.5)

y = 0.29

la hauteur serait de 29 cm

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7. Dans le graphique ci-contre, l’ellipse et l’hyperbole

sont centrées à l’origine, le cercle rencontre

l’hyperbole au point P(6, 8). Le foyer F1 de l’ellipse a

pour coordonnée (0, - 46 ).

a. Donner l’équation du cercle.

Puisque le rayon est de 6/2 = 3

Et que le centre du cercle est au point (3,8)

(x-3)2 + (y-8)2 =9

b. Déterminer la mesure du petit axe de l’ellipse.

b=8

c= √46

a 2 = b 2 - c 2 = 64 – 46 = 18

a = √18

2a = 2* √18 = 6 √ 2 ≈ 8,49 unités

c. Trouver les coordonnées du foyer F2 de l’hyperbole.

Hyperbole horizontale :

a = √18

Hyperbole passe par P (6,8)

Équation :

c2 = a2 + b2 = 18 + 64 = 82

c = √82 ≈ 9.06

Coordonnées du foyer F2 : (9.06 ; 0)

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8. Entre la première et la deuxième période du match Canadiens-Bruins du 5

décembre (qui s’est d’ailleurs soldé par une victoire de 2-1 des Canadiens) Alex

Galchenyuk eut de la difficulté à résoudre un problème mathématique. Sachant

que dans son problème, un cercle a une équation générale de 16x2+16y2-96x-

32y-624=0, aide Chucky à :

a. Donner l’équation du cercle en forme canonique.

16x2+16y2-96x-32y-624=0

x2+y2-6x-2y-39=0

x2 - 6x + ____ + y2 - 2y + ___ = 39 + ___ + ___

x2 - 6x + 9 + y2 - 2y + 1 = 39 + 9 + 1

(x – 3)2 + (y - 1)2 = 49

b. Trouver les coordonnées des 2 points sur ce cercle qui passe par la

droite d’équation 7x+7y+21=0.

7x+7y+21=0

7y = -7x – 21

y = -x -3

Par substitution

(x – 3)2 + (-x-3 - 1)2 = 49

(x – 3)2 + (-x- 4)2 = 49

x2 – 6x + 9 + x2 + 8x + 16 = 49

x2 – 6x + 9 + x2 + 8x + 16 - 49 = 0

2x2 +2x -24 = 0

x2 +x -12 = 0

(x+4) (x-3) = 0 x1 = -4 & x2 = 3

pour x1 = -4, y1 = --4-3 = 1

pour x2 = 3, y2 = -3-3 = -6

les deux points sont en (-4,1) et (3,-6)

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9. L’information présentée ci-dessous concerne la trajectoire parabolique d’une

rondelle de hockey dégagée par Josh Gorges. Lors d’un dégagement du centre

de la patinoire, Josh Gorges se demande si la rondelle va rebondir avant

d’atteindre l’extrémité de la patinoire. Aidez Josh Gorges à résoudre son

problème sachant que la patinoire a une longueur de 40 mètres.

Longueur de la patinoire du centre à

l’extrémité = 40/ 2 = 20

Pour y = 0,

(x-9)2 = -27 (0-5)

(x-9)2 = -27 (-5)

(x-9)2 = -27 (0-5)

(x-9)2 = 135

x – 9 = ±√135

x = ±√135 +9 x1 ≈ 20.62

x2 ≈ -2.62

La rondelle ne va pas rebondir avant de toucher l’extrémité puisque 20.62 > 20

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Vision 6 page 27-28

5) La zone commune est la région EN BLANC dans ce graphique

6) Soit le centre de la balle, qui correspond avec l’origine et le centre de r

Hyperbole verticale :

b= 18/2 = 9

Équation d’une des asymptotes :

a = 12

Relation entre a, b et c : c2 = a2 + b2

c = 15

Rayon de la balle = c = 15

Aire du cercle = πr2 = π152 ≈ 706.86 dm2