UNIVERSITE HASSAN II Année Universitaire : 2009/2010Faculté des Sciences Aïn Chock

CASABLANCA SVTU (S1)Département de Mathématiques & Informatique

Examen de Probabilités Statistiques

Exercice 1

Trois machine A, B et C produisent respectivement 60%, 25% et 15% du papier

produit dans une usine de papier journal. Le pourcentage des rouleaux contenant des

imperfections est respectivement 1%, 3% et 5% pour les machines A, B et C.

1) Déterminer l’arbre des probabilités.

Si on considère un rouleau pris au hasard dans la production journalière de cette usine.

2) Calculer la probabilité P1 que le rouleau contienne des imperfections.

3) Le rouleau contient des imperfections, calculer la probabilité P2 que le rouleau ait été produit par la machine C.

On note les événements suivants : A = « le rouleau est produit par la machine A » B = « le rouleau est produit par la machine B » C = « le rouleau est produit par la machine C » I = « le rouleau contient des imperfections »

Exercice 2

Une urne contient 9 boules :3 boules numérotées par A dont deux blanches et une noire.6 boules numérotées par B dont quatre blanches et deux noires.On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne.Soit X la variable aléatoire réelle qui à chaque tirage associe le nombre de boules portant le numéro A.Soit Y la variable aléatoire réelle qui à chaque tirage associe le nombre de boules noires.1) Soit E un événement quelconque. Donner l’expression de P(E). Justifier

2) Déterminer la loi conjointe de (X, Y).

3) Déterminer les lois marginales de X et de Y.

4) Calculer la covariance C(X, Y).

5) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

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Exercice 3

La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète est donnée par :

F(x) = P(X<x) =

1) Calculer P(4 X < 8) P(X > 8).

2) Déterminer la loi de X.

3) Soit Y = 2X 2. Déterminer la loi de Y et sa fonction de répartition G.

4) Calculer E(X) et V(X).

5) En déduire E(Y) et V(Y).

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