Evolution de tourbillons longitudinaux dans un écoulement de canal turbulent perturbé: analyse...

N d’ordre : 11/10 Année 2011

UNIVERSITÉ DE VALENCIENNES ET DU HAINAUTCAMBRÉSIS

Laboratoire d’accueil : Département Énergétique IndustrielleÉCOLE des MINES de DOUAI

Codirection : Écoulements Diphasiques et TurbulencesLABORATOIRE des ÉCOULEMENTS GÉOPHYSIQUES et

INDUSTRIELS, Grenoble

THÈSE DE DOCTORAT

École Doctorale Sciences Pour l’IngénieurUniversité Lille Nord-de-FranceMécanique, Génie Civil, Énergétique, Matériaux

Présentée pour l’obtention du grade de DOCTEURpar

Vincent KUBICKI

Titre :ÉVOLUTION DE TOURBILLONS LONGITUDINAUXDANS UN ÉCOULEMENT DE CANAL TURBULENTPERTURBÉ : ANALYSE THERMOMÉCANIQUE PAR

PIV, SIMULATIONS RANS ET DNS

Soutenue publiquement le 11 mars 2011 devant la commission d’examen :Président

M. Jean-Marie BUCHLIN Professeur, Institut Von Kármán, BruxellesRapporteurs

M. Laurent DAVID Professeur, Institut Pprime, UPR 3346, PoitiersM. Hassan PEERHOSSAINI Professeur, LTN, CNRS-UMR 6607, Nantes

ExaminateursM. Daniel BOUGEARD Maître-Assistant, École des Mines de Douai

M. Jean-Luc HARION Professeur des Écoles des Mines, École des Mines de Douai,co-Directeur de Thèse

M. Maroun NEMER Docteur, Chargé de Recherche,Centre Energétique et Procédés MinesParisTech, Paris

M. Serge RUSSEIL Maître-Assistant, École des Mines de DouaiM. Sédat TARDU Maître de Conférences HDR, LEGI, Grenoble,

co-Directeur de ThèseInvité

M. Laurent KEIRSBULCK Maître de Conférences HDR, TEMPO, UVHC

Remerciements

Huiru, ma mère, mon père, ma grand-mère et mon grand-père, pour m’avoir en-couragé tout le long de cette thèse.

Jean Luc Harion et Sedat Tardu, pour avoir codirigé ces travaux.

Daniel Bougeard et Serge Russeil pour leur encadrement.

Laurent David et Hassan Peerhossaini pour avoir accepté d’être rapporteurs, ainsique Jean-Marie Buchlin, Maroun Nemer et Laurent Keirsbulck pour avoir acceptéd’être examinateurs et membre invité du jury.

Les doctorants, post-doctorants et personnels du DEI pour leur bonne humeuret/ou leur motivation au travail : Sébastien, Gilles, Romain, Mohammed, Jules, Rabbie,Peter, Lat, Chrystèle, Marie-Françoise, Nadine, ...

iii

iv Table des matières

Table des matières

Principales notations ix

1 Étude bibliographique 51.1 Intensification des échanges de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Échangeurs de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Tourbillons longitudinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Utilisation de tourbillons pour l’augmentation de transferts ther-

miques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Critère de performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1.1 Transferts thermiques seuls . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1.2 Transferts thermiques et pertes de charges . . . . . . . 13

1.2.2 Critères locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Analyse entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Préparation de l’étude 192.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Définition de l’objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Régime d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Banc expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Présentation du banc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Principe de la PIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Paramètres physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3.1 Distance d’établissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3.2 Coude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.4 Paramètres du système d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.5 Temps de traversée de la nappe et ensemencement . . . . . . . . 252.3.6 Contrôle du fonctionnement du banc d’essais . . . . . . . . . . . 27

2.3.6.1 Vérification de l’étanchéité . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.6.2 Vérification du profil d’entrée à l’amont du perturbateur 28

2.3.7 Convergence des statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Calcul RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.4 Autres paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Simulation numérique directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

v

vi Table des matières

2.5.1.1 Équations résolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1.2 Démarche générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.2 Présentation du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2.1 Programmation générique . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2.2 Structure du solveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.3 Paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.4 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.5 Condition d’entrée du canal perturbé . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.5.1 Approche sélectionnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.5.2 Maintien du débit dans la section d’entrée . . . . . . . 392.5.5.3 Implémentation de la condition d’entrée . . . . . . . . 39

2.5.6 Autres conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.6.1 Périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.6.2 Advective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.6.3 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.6.4 Valeur fixée ou gradient nul . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.6.5 Résumé des conditions aux limites appliquées . . . . . 42

2.5.7 Conditions initiales de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.7.1 Utilisation d’un calcul RANS . . . . . . . . . . . . . . 432.5.7.2 Régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.8 Calculs concurrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5.9 Lancement automatique des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.10 Validation du code pour l’utilisation en DNS . . . . . . . . . . . 47

2.5.10.1 Validation du calcul précurseur . . . . . . . . . . . . . 472.5.10.2 Validation de la condition aux limites de symétrie . . . 49

2.6 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.6.2 Moment d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.6.3 Moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6.3.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.6.3.2 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.7 Notes sur les développements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Étude dynamique 553.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.2 Décompositions des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.3 Hypothèse de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.4 Forme de présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.1 Vorticité moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.2 Déficit de vitesse longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.3 Énergie cinétique moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Vorticité turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.1 Décomposition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.1.1 Composante longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.1.2 Composantes transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.2 Décomposition propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.2.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Notations vii

3.3.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Détection de structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.5 Contrainte pariétale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.6 Comportement volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6.1 Fonction de dissipation moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6.2 Énergie cinétique turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6.2.1 Équation bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.6.2.2 Décomposition des résultats . . . . . . . . . . . . . . . 843.6.2.3 Répartition de l’énergie cinétique turbulente . . . . . . 84

3.6.3 Anisotropie des contraintes de Reynolds . . . . . . . . . . . . . 863.6.4 Production d’énergie cinétique turbulente . . . . . . . . . . . . . 883.6.5 Fonction de dissipation turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 Analyse thermique 954.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1.1 Équations résolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.1.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.1.3 Adimensionnement de la température . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.1.3.1 Adimensionnement local . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.1.3.2 Adimensionnement global . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2 Champ de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Flux de chaleur pariétal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4 Température turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5 Modes de transport de l’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5.1 Séparation des modes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5.2 Modèle des modes de transport dans un tourbillon longitudinal

moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5.3 Analyse des flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.5.4 Analyse des divergences de flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5.5 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6 Analyse entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.6.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.6.1.1 Caractérisation des échangeurs à l’aide de la productiond’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.6.1.2 Expression de la production d’entropie . . . . . . . . . 1134.6.1.3 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.6.1.4 Modélisation RANS de la production d’entropie . . . . 115

4.6.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

viii Notations

Principales notations

Caractères usuels

H Hauteur du canal mu Vitesse m s−1

T Température Kp Pression N m−2

Cp Capacité calorifique massique à pression con-stante

JK−1 kg−1

k Énergie cinétique turbulente massique m2 s−2

E Énergie cinétique moyenne massique m2 s−2

Caractères grecs

λ Conductivité thermique Wm−1 K−1

α Diffusivité thermique m2 s−1

µ Viscosité dynamique kg m−1 s−1

ν Viscosité cinématique m2 s−1

Φ Fonction de dissipation de l’énergie cinétique m2 s−3

G Production d’énergie cinétique turbulente m2 s−3

ω Vorticité s−1

ρ Densité volumique kg m−3

Indices, exposants et abbréviations

()t transverse()+ pariétal

() moyen()′ turbulent

()in à l’entrée()w en paroi()τ de frottement

()rms Root Mean Square()bulk débitantPIV Particle Image Velocimetry

RANS Reynolds Averaged Navier StokesDNS Direct Numerical Simulation

ix

x Liste des figures

Liste des figures

1.1 Tourbillons générés dans un échangeur tube-ailettes équipé de généra-teurs de tourbillons, dessin tiré de Jacobi et Shah (1995) . . . . . . . . 6

1.2 Tourbillons contrarotatifs en configuration common flow down, tiré deKataoka et al. (1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Tourbillons contrarotatifs en configuration common flow up, tiré deKataoka et al. (1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Types de perturbateurs, tiré de Jacobi et Shah (1995) . . . . . . . . . . 81.5 Tourbillons générés par un perturbateur, tiré de Yanagihara et Torii (1993) 101.6 Évolution des performances par tranche dans un canal plan perturbé . 141.7 Nombre de Nusselt local autour d’un perturbateur . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Géométrie étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Représentation schématique du banc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Vue d’ensemble du banc d’essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Lignes de courant dans le coude de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Échelles de Kolmogorov à X1 = 2, calcul RANS (facteur 10−4 m) . . . . 242.6 Détail de champs vectoriels obtenus pour des temps de différenciation

différents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 Lignes de courant en fonction du temps de différenciation . . . . . . . . 252.8 Déplacement à travers la nappe laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 Détail du niveau d’ensemencement sur une zone de 1.6 par 1 cm, sans

modification de l’histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.10 Mesure du débit de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11 Vitesse moyenne u1/uτ sur la paroi basse . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.12 Composante longitudinale de la vitesse RMS

√u′

1u′1

uτ, sur l’ensemble de

la hauteur du canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.13 Positions du point de calcul de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 302.14 Évolution des statistiques en fonction du nombre de réalisations, sonde

dans la position 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.15 Fonction f : ε 7→ x2 (dimensions en m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.16 Comparaison des largeurs de domaines DNS RANS et expérimentaux,

figure à l’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.17 Relations entre le solveur et le feeder (script de gestion des profils) . . . 402.18 Relations entre les calculs effectués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.19 Transition vers l’écoulement turbulent dans precur . . . . . . . . . . . . 442.20 Évolution des flux et contraintes moyennées spatialement, en fonction

du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.21 Lignes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.22 Utilisation des lignes pour le calcul des statistiques . . . . . . . . . . . 46

xi

xii Liste des figures

2.23 Dépendances entre les calculs precur et perturb, au sein d’une uniqueligne de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.24 Comparaison du profil moyen avec les lois de parois . . . . . . . . . . . 482.25 ω+

rms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.26 u+

rms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.27 Comparaison du profil de vitesse longitudinale moyenne obtenu près du

bord, avec le profil présenté par Kim et al. (1987) . . . . . . . . . . . . 50

3.1 Vorticité moyenne ω+1 , X1 = 1.5, RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Vorticité moyenne ω+1 , X1 = 1.5, expérimental . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 Vorticité moyenne ω+1 , X1 = 1.5, DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 ω+1 , X1 = 7.5, RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Profils de vitesse longitudinale en fonction de x+2 . . . . . . . . . . . . . 61

3.6 Énergie cinétique moyenne transverse E+,t, RANS, X1 = 1.5 . . . . . . 623.7 Énergie cinétique moyenne transverse E+,t, expérimental, X1 = 1.5 . . 623.8 Énergie cinétique moyenne transverse E+,t, DNS, X1 = 1.5 . . . . . . . 623.9 Énergie cinétique transverse E+,t intégrée transversalement . . . . . . . 633.10 Interprétation des extrema locaux de ω′1ω′1, tirée de Kim et al. (1987) . 643.11 ω′+1 ω

′+1 , X1 = 1.5, DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.12 profils de ω+1,rms en X1 = 1.5, pour différentes valeurs de X3 . . . . . . . 66

3.13 ω′+1 ω′+1 , X1 = 1.5, expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.14 ω′+2 ω′+2 , X1 = 1.5, DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.15 ω′+3 ω′+3 , X1 = 1.5, DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.16 Vecteurs propres de la matrice des vorticités turbulentes . . . . . . . . 703.17 Vecteurs propres de la vorticité turbulente au centre du canal plan . . . 703.18 Vecteurs propres de la vorticité turbulente en proche paroi dans le canal

plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.19 Orientation et variance de la vorticité turbulente dans le canal plan . . 713.20 Vecteurs propres de w′∗i w′∗i en X = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.21 Vecteurs propres de ω′∗i ω′∗i en X1 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.22 Diagonalisation du tenseur de contraintes moyennes, figure tirée de Kundu

et Cohen (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.23 Contraintes de cisaillement moyennes en X1 = 1.5 . . . . . . . . . . . . 753.24 Contraintes de cisaillement moyenne en X1 = 5 . . . . . . . . . . . . . 763.25 Isocontours de λ2 en canal plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.26 Isocontours de λ2 en canal perturbé, seuil spécifique au canal perturbé 783.27 Isocontours de λ2 en canal perturbé, seuil spécifique au canal plan . . . 793.28 Projection du perturbateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.29 Contrainte longitudinale τ+

1 , DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.30 Contrainte transverse τ+

3 , DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.31 Contrainte totale τ+

tot, DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.32 Contrainte transverse, RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.33 Fonction de dissipation moyenne en canal plan . . . . . . . . . . . . . . 823.34 Fonction de dissipation moyenne transverse, DNS, X1 = 1.5 . . . . . . . 833.35 Évolution longitudinale de l’intégrale transverse de fonction de dissipa-

tion moyenne transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.36 Énergie cinétique turbulente transverse k+,t, exp., X1 = 1.5 . . . . . . . 843.37 Énergie cinétique turbulente transverse k+,t, RANS, X1 = 1.5 . . . . . 853.38 Énergie cinétique turbulente transverse k+,t, DNS, X1 = 1.5 . . . . . . 853.39 Évolution de l’intégrale de kt dans des plans transverses . . . . . . . . . 86

Liste des figures xiii

3.40 Composantes normales du tenseur de Reynolds dans le canal plan . . . 873.41 Intégrales transverses des composantes de k . . . . . . . . . . . . . . . 883.42 Production de k dans le canal plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.43 Composantes longitudinales et transverses de G+, X = 1.5, DNS . . . . 903.44 Évolution de l’intégrale de la production de k . . . . . . . . . . . . . . 913.45 Terme de production G+ en X = 5 (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . 913.46 Fonction de dissipation turbulente en canal plan . . . . . . . . . . . . . 923.47 Évolution des intégrales de fonction de dissipation turbulente totale . . 923.48 Évolution de l’intégrale de fonction de dissipation turbulente transverse,

exp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.49 Fonction de dissipation turbulente totale Φ+

turb, X1 = 1.5, DNS . . . . . 943.50 Fonction de dissipation turbulente transverse Φt,+

turb, X1 = 1.5, exp . . . 94

4.1 Champ de température, X1 = 1.5, DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2 Champ de température, X1 = 5, DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3 Flux de chaleur pariétal, paroi inférieure, RANS . . . . . . . . . . . . . 1004.4 Flux de chaleur pariétal, paroi inférieure, DNS . . . . . . . . . . . . . . 1014.5 Variance de la température en X = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.6 Variance de la température en X = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.7 Évolution des profils de température moyenne . . . . . . . . . . . . . . 1034.8 Répartition schématique des flux et divergences des trois modes de trans-

port dans la zone pariétale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.9 Modèle cyclique des modes de transfert dans une section transverse d’un

tourbillon longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.10 Norme du flux de convection turbulente totale ||u′iT ′||, DNS, X1 = 1.5 . 1054.11 Norme de la partie transverse du flux de convection turbulente ||u′iT ′||,

DNS, X1 = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.12 Norme du flux de conduction || − α ∂T

∂xi||, DNS, X1 = 1.5 . . . . . . . . 106

4.13 Norme de la partie transverse du flux de convection turbulente ||u′iT ′||,DNS, X1 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.14 Divergence du flux de convection moyenne ∂∂xiuiT , DNS, X1 = 1.5 . . . 107

4.15 Divergence du flux de convection turbulente ∂∂xiu′iT

′, DNS, X1 = 1.5 . . 1084.16 Divergence du flux de conduction − ∂

∂xiα ∂T∂xi

, DNS, X1 = 1.5 . . . . . . . 1084.17 Divergence du flux de convection moyenne ∂

xiuiT , DNS, X1 = 5 . . . . 109

4.18 Divergence du flux de convection turbulente ∂∂xiu′iT

′, DNS, X1 = 5 . . . 1104.19 Angle d’erreur introduit par l’approximation de Boussinesq . . . . . . . 1114.20 Angle θ caractérisant la validité de l’hypothèse de Boussinesq, pourX1 =

1.5, en degrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.21 Angle θ caractérisant la validité de l’hypothèse de Boussinesq, pourX1 =

5, en degrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.22 Production d’entropie due aux gradients de température moyenne S ′′′gen,th,moy,

RANS, X1 = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.23 Production d’entropie due aux gradients de température moyenne S ′′′gen,th,moy,

DNS, X1 = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.24 Production d’entropie due aux gradients de température turbulente S ′′′gen,th,turb,

RANS, X1 = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.25 Production d’entropie due aux gradients de température turbulente S ′′′gen,th,turb,

DNS, X1 = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

xiv Liste des tableaux

4.26 Production d’entropie due aux gradients de température moyenne S ′′′gen,th,moy,DNS, X1 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.27 Production d’entropie due aux gradients de température turbulente S ′′′gen,th,turb,DNS, X1 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Liste des tableaux

2.1 Mesures et calculs effectués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Conditions aux limites sur ui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Conditions aux limites sur p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Conditions aux limites sur la température . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1 Expressions des grandeurs adimensionnées et des coefficients d’adimen-sionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Moyennes des composantes de k dans un canal plan . . . . . . . . . . . 87

4.1 Profil universel de température adimensionnée . . . . . . . . . . . . . . 974.2 Facteurs d’adimensionnement global des grandeurs thermiques . . . . . 984.3 Moyennes des productions d’entropie S ′′′gen,th . . . . . . . . . . . . . . . 116

1

Introduction

Les échangeurs de chaleur sont des dispositifs présents dans de nombreuses appli-cations industrielles où il faut transférer de l’énergie interne. Cela entraîne un besoinimportant de compréhension et d’optimisation de leur fonctionnement, pour améliorerle rendement de procédés. Le type d’échangeur étudié ici est un échangeur sans trans-fert de masse et pour lequel la convection forcée joue un rôle prépondérant. Pour enaméliorer les performances, l’écoulement doit être modifié de façon à augmenter lesgradients de température à ses parois. Ce contrôle de l’écoulement se fait cependant auprix d’une augmentation des frottements et donc de la puissance de pompe à fournir.Dans cette étude, des tourbillons longitudinaux générés par l’adjonction de perturba-teurs en paroi sont utilisés pour optimiser l’échangeur.

Aperçu des différentes méthodes d’investigation

La configuration d’écoulement comprenant un canal plan perturbé par un généra-teur de tourbillons est étudiée en utilisant trois méthodes complémentaires : la mesureexpérimentale par PIV, la simulation RANS, et la simulation DNS pour analyser com-ment les tourbillons longitudinaux influencent les champs moyens et turbulents.

Expérience : le système expérimental permet de travailler sur des réalisationsstatistiques de l’écoulement. Les informations sur la turbulence sont donc directementcalculées, contrairement au RANS. Par contre, avec le dispositif utilisé, toutes les com-posantes de vitesses ne sont pas accessibles, et l’étude est limitée à des plans trans-verses. De plus, le système est isotherme, et les informations sur la thermique obtenuesen RANS et en DNS ne pourront donc être confrontées à des données expérimentales.

Calcul «Reynolds Averaged Navier Stokes» : la méthode RANS est celle quiapporte le moins d’informations sur les quantités turbulentes à cause d’hypothèsessimplificatrices. Cependant, il s’agit de la méthode la plus simple des trois à mettreen œuvre. Les informations qu’elle fournit permettent entre autre de dimensionner lesautres études.

Calcul «Direct Numerical Simulation» : le calcul DNS apporte l’informationla plus complète. Toute l’information sur la turbulence est disponible, ainsi que sur letransfert et le transport d’énergie interne. La finesse des résolutions spatiales et tem-porelles permettent de comprendre plus en détails les phénomènes liés aux structuresturbulentes présentes dans l’écoulement. De nombreuses études DNS/LES utilisentdes modèles mathématiques de tourbillons longitudinaux en conditions aux limitesimposées à l’entrée du calcul. Une des particularité de cette étude est de calculer di-rectement la création de ces tourbillons en modélisant le perturbateur les générant.

3

Structure du mémoireÉtude bibliographique : mise en contexte des travaux effectués. Cette étude bib-

liographique est assez succincte, et certains éléments sont introduits dans leur contexteau cours des diverses analyses, par exemple les descriptions des équations résolues.

Préparation de l’étude : description de la géométrie et de l’écoulement consid-érés. Puis une description de la mise en place et des paramètres des différentes méthodesd’investigation.

A la suite de ces deux chapitres introductifs, les résultats sont présentés par thèmephysique, et non par méthode d’investigation :

Étude dynamique : étude des phénomènes dissipatifs et de l’évolution de la tur-bulence. Les grandeurs considérées sont la contrainte pariétale, la vorticité et l’énergiecinétique.

Étude thermique : étude de l’évolution du transfert de chaleur pariétal et desdifférents modes de transports de l’énergie interne au cœur du canal. Une étude de larépartition de production d’entropie est aussi effectuée.

Chapitre 1

Étude bibliographique

Cette partie présente l’état de l’art sur l’utilisation de tourbillons longitudinauxpour l’intensification des échanges de chaleur. Des rappels sur les échangeurs thermiquessont donnés. Ensuite, une description de la mécanique des tourbillons longitudinaux estfournie, suivie d’une description de leur impact sur le transfert thermique. Des détailssur la caractérisation de ces échanges sont donnés, aux niveaux global puis local.

1.1 Intensification des échanges de chaleur

1.1.1 Échangeurs de chaleurDans Kays et London (1984), le transfert thermique est décrit comme étant pro-

portionnel à la vitesse du fluide caloporteur, alors que les frottements sont associés aucube de la vitesse, ainsi la meilleure technique pour augmenter l’échange est d’aug-menter la surface d’échange en essayant de conserver le même régime. Pour une surfaced’échange donnée, il faut ensuite essayer de modifier la topologie de l’écoulement. Laprésente étude détaille un type d’écoulement possible pour l’amélioration des perfor-mances thermiques.

La nécessité d’échanger de l’énergie interne sans contact entre deux fluides est unimpératif pour de nombreuses applications industrielles. Les domaines d’applicationdes échangeurs thermiques sont ainsi très vastes : production d’énergie, pétrochimie,alimentaire, automobile, climatisation et de façon générale les processus industrielsnécessitant une régulation en température. Ces applications multiples ont motivé desrecherches pour optimiser les performances des échangeurs, pour modifier leur taille,augmenter la quantité de chaleur transférée, ou diminuer les puissances de pompenécessaires à leur mise en œuvre, voir à ce sujet le livre d’Hesselgreaves (2001).

Diverses méthodes de contrôle des écoulements sont disponibles, catégorisées activesou passives selon la nécessité d’un apport énergétique spécifique ou non. Un exemplede méthode active est une apiration/soufflage en paroi (comme dans Choi et al. (1994)par exemple), ou l’utilisation d’un champ magnétique (voir Berger et al. (2000)), dontles applications pratiques nécessitent un système annexe possédant sa propre sourced’énergie. Une méthode passive consiste quand à elle souvent en une modification dela géométrie de l’écoulement, et l’énergie requise pour modifier l’écoulement est puiséedans l’énergie nécessaire à la mise en mouvement du fluide, qui est fournie par unventilateur ou une pompe. Les méthodes passives sont généralement moins coûteusescar plus simples à mettre en œuvre, comme l’ajout d’ailettes augmentant la surfaced’échange thermique (voir la revue de Fiebig (1998)), ou la modification de la formedes parois (Wang et al. (1998)).

5

6 1 Étude bibliographique

Figure 1.1 – Tourbillons générés dans un échangeur tube-ailettes équipé de générateursde tourbillons, dessin tiré de Jacobi et Shah (1995)

La configuration tube-ailette est très répandue dans les systèmes thermiques aéroréfrigérants.Un liquide circule généralement dans des tubes, de l’air circule à l’extérieur, et desailettes ajoutées aux tubes servent à augmenter la surface métallique en contact avecl’air. L’écoulement peut être contrôlé par l’adjonction de générateurs de tourbillonscomme sur la figure 1.1, afin de mélanger l’écoulement pour augmenter les transfertsthermiques. La présente étude se concentre sur l’utilisation de tourbillons longitudinauxcar il s’agit d’une des méthodes les plus efficaces. La tendance actuelle étant d’intégrerces tourbillons longitudinaux à d’autres techniques d’augmentation des échanges (tech-niques «compound», voir T’Joen (2008) à ce sujet), il peut être intéressant d’étudierleur impact sur le transfert thermique en utilisant des méthodes avancées telle que laDNS.

1.1.2 Tourbillons longitudinauxUne littérature existe depuis les années 1940 sur l’utilisation de tourbillons longitu-

dinaux en aérodynamique, avec par exemple les travaux de Taylor (1947) sur le retardde la séparation d’écoulement induit par des tourbillons dans des diffuseurs.

Shabaka et al. (1985) ont fait une étude de la mécanique des tourbillons longi-tudinaux dans une couche limite. Ils ont observé que la circulation se conserve dansl’écoulement. Des zones de vorticité opposée à celle du tourbillon principal apparaissenten sa périphérie. Le transport turbulent de quantité de mouvement u′v′ est importantdans le coeur du tourbillon. La composante transverse de la contrainte pariétale subitdes variations de 60 % autour de sa valeur dans le canal non perturbé. Les auteurssuggèrent que les modèles algébriques de turbulence sont peu à même de prédire laturbulence présente dans les tourbillons longituinaux.

La définition exacte de ce que constitue un tourbillon n’accepte pas de réponseintuitive et définitive, voir Trefethen et Panton (1990). Jeong et Hussain (1994) ontsouligné la multiplicité des définitions et critères utilisés pour identifier un tourbillon,avant d’introduire le critère λ2 pour les identifier. Des recherches sont toujours encours actuellement pour trouver une définition la plus générale possible d’un tourbillon,comme indiqué par Kolár (2007).

Dans les années 1990, de nombreuses études ont été effectuées avec un modèlede turbulence RANS k − ε pour la quantification de l’impact des tourbillons sur letransfert thermique (voir 1.1.3). Liu et al. (1996) ont utilisé des calculs LES pourpréciser les interactions entre tourbillons longitudinaux et couche limite turbulente.

1 Étude bibliographique 7

Des tourbillons longitudinaux de Osen sont synthétisés à l’aide de forces volumiques etun modèle de turbulence LES est utilisé. Les faiblesses des modèles RANS à décrire lecomportement des tourbillons sont liés selon les auteurs à la mauvaise modélisation duterme de corrélation entre la pression et la vitesse ∂p′u′

i

∂xidans le transport de l’énergie

cinétique turbulente, alors que cette forme de diffusion est importante au coeur destourbillons. L’approximation de Boussinesq est aussi désignée comme une cause de lasurestimation de la diffusivité par les modèles RANS, car la viscosité turbulente estdifficilement reconstituable dans cette zone. La conséquence de ces deux phénomènesest que les pics de vorticité sont dissipés beaucoup plus rapidement dans le calcul RANSque dans la simulation LES.

On retrouve ces réserves sur l’utilisation de l’approximation de Boussinesq dansWilcox (1998). L’auteur indique comme limite à ces modèles les cas où les contraintesmoyennes évoluent très rapidement. En raison de l’approximation de Boussinesq, laturbulence évolue rapidement dans le calcul, alors que dans la réalité elle s’ajusteraavec une inertie non négligeable.

1.1.3 Utilisation de tourbillons pour l’augmentation de trans-ferts thermiques

Cette partie ne présente que des résultats concernant l’augmentation des échangesthermiques, sans prendre en considération l’augmentation de pertes de charges qui yest associée.

Les premiers résultats sur l’impact des tourbillons sur le transfert thermique ontété publiés par Johnson et Joubert (1969). Les auteurs ont placé des perturbateurs surun cylindre perpendiculaire à l’écoulement, et observé une augmentation des échangesthermiques ainsi qu’une réduction de la traînée, car les perturbateurs retardent ledécollement de la couche limite.

Edwards et Alker (1974) ont déterminé les coefficients d’échange locaux dans uncanal plan équipé de perturbateurs disposés de sorte à créer des tourbillons corotatifs etcontrarotatifs. Des comparaisons sont effectuées sur les impacts des différents types detourbillons sur les échanges thermiques et les auteurs en concluent que les tourbillonscontrarotatifs augmentent le plus les transferts thermiques.

Figure 1.2 – Tourbillons contrarotatifs en configuration common flow down, tiré deKataoka et al. (1977)

Les figures 1.2 et 1.3 présentent deux configurations possibles pour des tourbillonscontrarotatifs proches. La première configuration, «common flow down», signifie que l’é-coulement «commun», c’est-à-dire entre les deux tourbillons, est orientée vers la paroi.


Figure 1.3 – Tourbillons contrarotatifs en configuration common flow up, tiré deKataoka et al. (1977)

Le rétrécissement de la zone pariétale entre les deux tourbillons est nommé «down-wash», et son épaississement à l’extérieur est nommé «upwash». De façon similaire,la configuration «common flow up» correspond à un écoulement entre les tourbillonss’éloignant de la paroi. Les zones d’upwash et de downwash sont alors inversées parrapport à la configuration common flow down.

Kataoka et al. (1977) présentent une étude de tourbillons générés dans une configu-ration axiale de Couette. Ils lient les modifications des échanges thermiques aux zonesd’upwash et de downwash. Selon les auteurs, l’augmentation de transfert thermique parconvection est liée à l’écoulement transverse, alors que l’augmentation des pertes decharge est liée à l’écoulement longitudinal. Cela explique pourquoi il peut être possibled’augmenter le transfert thermique plus vite que les pertes de charge pour optimiserl’échangeur (voir la suite de cette étude bibliographique).

Figure 1.4 – Types de perturbateurs, tiré de Jacobi et Shah (1995)

La figure 1.4 présente quelques types de perturbateurs possibles pour générer destourbillons longitudinaux. Dans Russell et al. (1982), les auteurs présentent la premièreanalyse de l’impact de tourbillons longitudinaux sur les échanges de chaleur dans unegéométrie proche des géométries industrielles, contenant des tubes ailettés. Plusieursagencements de perturbateurs sont testés et il en est conclu que le plus intéressant est


celui où les perturbateurs sont des «winglet» rectangulaires, alignés selon deux ligneset décalés.

Des études expérimentales ont été effectuées par Eibeck et Pauley dans les années80. Tous deux étudient les corrélations entre les structures des tourbillons et les aug-mentations/diminutions locales des échanges thermiques (nombres de Stanton locaux)dans des écoulements de couches limites.

Eibeck (1985) a étudié un tourbillon seul, et indique que les modifications auxéchanges de chaleur locaux viennent de la modification de la taille de la sous-couchevisqueuse. Un aplatissement entraînant une augmentation locale des gradients de tem-pérature, et donc des échanges, tandis qu’un agrandissement entraîne une réduction deces échanges. De plus, bien que les tourbillons constituent des modifications tridimen-sionelles de l’écoulement, la sous-couche où ont lieu les échanges reste bidimensionelle.Il suffit donc selon les auteurs de connaître les caractéristiques de cette sous-couchebidimensionelle pour prévoir les performances de l’écoulement modifié.

Turk et Junkhan (1986) montrent que le coefficient de transfert thermique diminueplus rapidement dans un canal plan que dans un canal perturbé, et donc l’efficacitédans le canal perturbé tend à augmenter en s’éloignant du perturbateur (bien que dansl’absolu ce coefficient diminue). Les tourbillons ont ainsi toujours un impact dans lecanal perturbé, même à une distance importante du perturbateur.

Pauley (1988b) a étudié les interactions d’une paire de tourbillons (dans des configu-rations common flow up, common flow down, co et contra rotatifs) dans un écoulementde couche limite. Le principal effet de la paire de tourbillons est la modification localede la taille de la couche limite, qui se situe entre les tourbillons (common flow down)ou à l’extérieur (common flow up) comme indiqué sur les figures 1.2 (p.7) et 1.3 (p.8).La diminution de la circulation est associée à la composante transverse de la contraintepariétale, et les tourbillons sont d’autant plus affectés qu’ils sont proches des parois.Les échanges thermiques sont corrélés à l’intensité de la turbulence en proche paroi(qui augmente par exemple dans les régions upwash).

Dans un article commun Eibeck et Eaton (1987) trouvent que la connaissance de lamodification du champ moyen d’un écoulement est plus importante que la connaissancede la modification du champ turbulent, et est suffisante à la détermation de nombrede Stanton local. Ils trouvent une analogie entre l’évolution de ce nombre et celle de lacontrainte pariétale.

Dans Pauley (1988a) des comparaisons sont effectuées entre les écoulements con-tenant un tourbillon seul, la configuration common flow up et la configuration commonflow down. La diffusion de la vorticité en aval du perturbateur est beaucoups plusrapide pour une paire de tourbillons que pour un tourbillon seul. Dans tous les cas, ladiminution de la circulation est beaucoup moins rapide que la diminution des pics devorticité.

Torii et Yanagihara (1989) décrivent de façon détaillée la structure des tourbillonsse formant autour d’un perturbateur. Un tourbillon principal est dû à la séparationde l’écoulement, des tourbillons induits contrarotatifs l’entourent. Un tourbillon decoin se développe à l’amont du perturbateur sous l’action du gradient de pressionadverse se formant en amont du perturbateur. La figure 1.5 décrit ces différents typesde tourbillon.

Toutes les études précédemment présentées sont expérimentales, mais durant lesannées 90, les simulations numériques sont devenues suffisamment matures pour fournirdes résultats permettant d’obtenir des données complémentaires sur la physique desécoulements.

Ainsi Zhu et al. (1993a) comparent les résultats expérimentaux de Pauley (1988a)


Figure 1.5 – Tourbillons générés par un perturbateur, tiré de Yanagihara et Torii(1993)

avec des résultats obtenus avec un modèle de turbulence RANS k−ε. Ils s’intéressent àune partie de l’écoulement commençant à 9 hauteurs de canal à l’aval du perturbateur.Une erreur maximale de 13 % sur la valeur de la vitesse transverse moyenne est observéeentre les expériences et les calculs. La distribution de vorticité et la dissipation sontpar contre mal prédites par les calculs numériques. Les auteurs notent que pour êtreefficaces, des perturbateurs doivent modifier la sous-couche laminaire de l’écoulement.

Zhu et al. (1993b) poursuivent l’analyse précédente en analysant la physique de l’é-coulement. Ils vérifient numériquement dans diverses configurations downwash (obtenuesentre autre avec des perturbateurs triangulaires et rectangulaires) que l’améliorationdes échanges thermiques est dûe à l’augmentation de l’énergie turbulente en procheparoi ainsi qu’aux échanges de fluides à différentes températures entre la région par-iétale et le coeur de l’écoulement. De plus, en comparant différentes configurations deperturbateurs, ils trouvent que la forme des perturbateurs ne fait pas varier l’amélio-ration du nombre de Nusselt de plus de 3 % d’une configuration à l’autre, mais peutfaire varier la dissipation visqueuse de plus de 20 %. Entre la configuration de canalplan de base et l’écoulement perturbé, le nombre de Nusselt est multiplié par 1.2, làoù la dissipation est multipliée par 5. Ils établissent aussi que le tourbillon doit être enproche paroi pour affecter le transfert thermique. Dans la présente étude, le tourbillonprincipal s’étend sur la hauteur du canal, et un impact sur les parois supérieures etinférieures.

La revue bibliographique Jacobi et Shah (1995) fournit une vision synthétique desnombreuses études paramétriques effectuées sur l’intensification des échanges ther-miques par des tourbillons longitudinaux (en faisant entre autre varier les formes desperturbateurs ou leur espacement). La géométrie optimale dégagée est l’installation deperturbateurs triangulaires en aval d’un tube pour un écoulement laminaire. L’auteurregrette le manque d’études effectuées dans des écoulements laminaires, correspondantaux conditions d’utilisation nominales dans des échangeurs thermiques industriels.

Fiebig (1995) publie la même année une revue des travaux effectués sur le sujetdans l’«Institut für Thermo- und Fluiddynamik» de l’université de la Rurh. Une partiedes articles sont aussi cités dans Jacobi et Shah (1995), et les principaux résultats sontrepris des résultats expérimentaux de Tiggelbeck (1990) et numériques de Zhu (1991).Cette revue met en exergue les trois principaux modes d’amélioration des échangesthermiques permis par les perturbateurs : le développement d’une couche limite sur leperturbateur (si la taille de ce perturbateur est conséquente), le mouvement de rotation


qui mélange les éléments de l’écoulement à températures différentes, et la déstabilisa-tion de l’écoulement qui permet d’augmenter le transfert thermique turbulent. Pourune quantité de chaleur échangée donnée, les winglets telles que définies sur la figure1.4 (p.8) génèrent moins de pertes de charges que les wings. Les transferts de chaleuret les pertes de charge augmentent avec l’angle d’attaque. Cependant, pour des anglesd’attaque très forts des tourbillons transverses sont générés, qui n’augmentent pas letransfert thermique mais génèrent des pertes de charges importantes. Cela montre parailleurs que dans ces systèmes il ne faut pas prévoir systématiquement que le com-portement des pertes de charges soit lié à celui des transferts thermique, par exempleen abusant de la portée de l’analogie de Reynolds.

Deb et al. (1995) présente des résultats dynamiques et thermiques de calculs dansune configuration common flow down. Ils en concluent que l’utilisation de lois de paroispour modéliser la turbulence pariétale peut s’avérer problématique pour ce type d’é-coulement, particulièrement pour la prédiction de l’énergie cinétique turbulente enproche paroi.

Dans l’article Jeong et Ryou (1997), les auteurs utilisent des profils obtenus dansPauley (1988a) comme condition d’entrée d’un écoulement de canal plan, et étudi-ent la décroissance des tourbillons en utilisant un modèle RANS k − ε. Les résultatsnumériques surestiment la diffusion des tourbillons, comme dans Liu et al. (1996). Lacontrainte pariétale ainsi que la thermique de l’écoulement sont par contre prédits cor-rectement. Ils suggèrent l’utilisation de modèles de turbulence considérant l’anisotropiede l’écoulement afin de mieux prédire le comportement de la vorticité.

Conformément à cette recommandation, Lee et al. (1999) utilisent aussi les profilsexpériementaux de Pauley et Eibeck comme conditions d’entrée d’un calcul numérique,mais la turbulence est cette fois ci modélisée à l’aides d’équations de bilans sur chaquecomposante du tenseur de contraintes de Reynolds (modèle dit RSM, de second ordre).Les résultats des calculs sont comparés avec ceux de Pauley (1988a) et de Jeong etRyou (1997), et montrent une plus grande adéquation des prédictions RSM que k − εavec l’expérience. La modélisation RSM représente mieux l’anisotropie des composantesnormales du tenseur de Reynolds dans les zones de proches paroi. Par contre, ce modèlesurestime cette anisotropie au centre des tourbillons, ce que les auteurs attribuent àla modélisation limitée du terme de corrélation pression-stress de Reynolds. Ceci quiconfirme l’hypothèse de Liu et al. (1996) sur la difficulté de modéliser le comportementcomplexe du centre des tourbillons. La modélisation de la thermique n’est pas modifiéepour le passage du k − ε au RSM, et les auteurs suggèrent d’utiliser des modèles plusprécis pour les études à venir.

Dans Fiebig (1998) qui est une nouvelle revue bibliographique similaire à Fiebig(1995), l’auteur synthétise de nombreux résultats sur l’utilisation des tourbillons pourl’amélioration des échanges thermiques. Les tourbillons transverses ne sont pas aussiefficaces que les tourbillons longitudinaux pour l’amélioration des échanges thermiques.Pour augmenter les performances des perturbateurs, il faut augmenter leur angle d’at-taque, leur hauteur, et diminuer leur écartement dans l’écoulement. Une des limitationsde cette revue est que ne sont pas présentés de critères de performance tenant comptedes pertes de charges engendrées par les perturbations des écoulements.

Le procédé standard de fabrication des perturbateurs est de poinçonner les ailettes,ce qui a pour effet secondaire de créer un nouvel écoulement à travers ce poinçon. Or,dans les modélisations ou les essais expérimentaux présentés précedemment, les pertu-bateurs sont le plus souvent ajoutés sur les ailettes non modifiées, comme si ils avaientété attachés. Dans Biswas et Chattopadhyay (1992), des comparaisons numériques sonteffectuées entre une configuration avec et sans poinçon, pour généraliser des résultats


numériques publiés dans Biswas et al. (1988) et Biswas et al. (1989). L’écoulement decanal plan à Re=500 est perturbé par une wing. Les auteurs trouvent un nombre deNusselt 1.38 fois plus important et un coefficient de frottement 1.21 plus importantdans le cas sans poinçon par rapport au cas avec poinçon. Zhu (1991) montrent quandà eux expérimentalement, pour un écoulement avec deux winglets et pour un nombrede Reynolds de 100 000 la variation d’échanges thermiques et de perte de charge estinférieure à 2 % entre les perturbateurs attachés et poinçonnés. Ces deux derniers ré-sultats montrent que l’impact du poinçon semble diminuer avec le nombre de Reynoldsde l’écoulement. Dans Tiggelbeck et al. (1994) les auteurs montrent que les wingletsdonnent les meilleures performances pour des perturbateurs poinçonnés. A contrario,Guntermann (1992) montre que pour des perturbateurs attachés, les wings donnent demeilleurs résultats que les winglets.

Les résultats présentés dans la section précédente présentent généralement une in-formation globale sur les performances des échangeurs, en termes de quantité de chaleuréchangée en paroi et de pertes de charges. Dans la section suivante, sont présentés descritères de performances locaux, permettant d’obtenir des informations plus diversessur le comportement des échangeurs thermiques.

1.2 Critère de performanceAfin de quantifier les améliorations des échanges thermiques apportées par les modi-

fications des écoulements présentés ci-dessus, plusieurs types de critères de performancepeuvent être envisagés. Ces critères peuvent prendre en considération uniquement lesperformances thermiques ou mettre en rapport ces échanges avec l’énergie dépenséedans la mise en mouvement des fluides. Ils peuvent être globaux et s’appliquer àl’ensemble du système, ou locaux et s’appliquer à des volumes de contrôle infinitési-maux. Ils peuvent enfin caractériser la quantité de chaleur échangée, en prenant encompte le premier principe de la thermodynamique, ou faire intervenir la «qualité» dela chaleur échangée, en prenant en compte le second principe.

1.2.1 Premier principe1.2.1.1 Transferts thermiques seuls

Les critères faisant intervenir le premier principe quantifient uniquement des échangesthermiques, en ne prenant pas en compte la production d’entropie qui leur est asso-ciée. Des critères utilisés pour le dimensionnement d’échangeurs thermiques peuventêtre utilisés pour l’évaluation des performances de ces mêmes échangeurs, comme lecoefficient d’échange convectif ou le NUT (Nombre d’Unités de Transfert), voir Kayset London (1984) pour une description de ces méthodes. Ils permettent de relier un po-tentiel thermodynamique, sous la forme d’une différence de température, à un transfertthermique effectif.

Dans le cas du critère DTLM (différence de température logarithmique moyenne), lecoefficient d’échange convectif, utilisé avec la différence de température logarithmique,est calculé à l’aide de l’expression :

q = hSε∆TLM (1.1)

l’expression de ∆TLM fait intervenir les températures en entrée et en sortie du côtédu liquide chaud et du côté du liquide froid : ∆TLM = ∆Th−∆Tc

ln(

∆Th∆Tc

) . Cette formule est


obtenue dans le cas d’un échangeur simplifié à co ou contre courant. Le facteur ε estun facteur adapté à la géométrie de l’échangeur si il diffère de ces cas, comme dans lecas d’un échangeur à tube-ailettes.

Le critère NUT-efficacité (pour Nombre d’Unités de Transfert, NTU dans la lit-térature anglaise) consiste à calculer le ratio ε entre le transfert thermique réel dansl’échangeur et le transfert thermique dans un échangeur à contre courant infini possé-dant les même températures d’entrée pour les fluides que l’échangeur étudié, et ensuitede l’utiliser dans la formule :

q = εCmin(Th,in − Tc,in) (1.2)où Cmin = min(ρhCph, ρcCpc). Or, ε ne dépend que de NUT = UA

Cmin(le nombre

d’unité de transfert qui donne son nom au critère, où U est le coefficient de transfertconvectif supposé constant, A est la surface d’échange) et de Cmin

Cmax. Par exemple, pour

un échangeur à courant parallèle :

ε =1− exp[−NTU(1 + Cmin

Cmax)]

1 + CminCmax

(1.3)

On peut noter que les critères DTLM et NUT peuvent servir à la fois pour dimen-sionner un échangeur thermique et pour en évaluer les performances, ce qui n’est pasle cas avec les critères entropiques présentés ci-après.

1.2.1.2 Transferts thermiques et pertes de charges

Les échangeurs de chaleurs considérés ici nécessitent une pompe pour la mise encirculation d’un fluide caloporteur (contrairement à un caloduc, par exemple). Afin detenir compte de ce coût énergétique, on peut former des critères de performance tenantcompte des pertes de pression.

Un tel critère peut être le rapport du facteur de Colburn j au nombre de frictionapparent f : j

f, où j = Nux/(RePr

13 ). Ainsi l’information sur la capacité à échanger une

certaine capacité de chaleur pour un potentiel thermodynamique donné est inclus dansNux, le nombre de Nusselt local moyenné dans une tranche de l’écoulement. Ce critère,représentant le rapport de l’efficacité énergétique sur les frottements nécessaire à la miseen oeuvre de l’échangeur, est par exemple utilisé pour caractériser les performances del’échangeur dans Biswas et al. (1996), où il diminue avec l’augmentation de l’angled’attaque du perturbateur.

On peut noter qu’avec ce critère une augmentation de l’échange thermique propor-tionelle d’un facteur α combinée à une augmentation de pertes de charge d’un facteur αproduit un échangeur de performance équivalent. Or, ce n’est pas forcément le critèrele plus pertinent : dans le cas d’un échangeur liquide-liquide, les pertes de chargespeuvent être faibles par rapport aux échange thermiques comme indiqué par Kays etLondon (1984). Si l’on pousse le raisonnement à l’extrême, dans le cas d’un caloducpar exemple, aucun travail n’est fourni, rendant le critère complétement inadapté, alorsmême qu’il existe des caloducs plus performants que d’autres.

Biswas et al. (1996) étudie une géométrie simplifiée avec un perturbateur triangu-laire monté sur une des parois d’un canal. Un promoteur unique est placé à des anglesvariant entre 15 et 40 degrés, à Re = 1580 (basée sur la vitesse débitante et le di-amètre hydraulique). Le but principal du calcul est de comparer les performances dedifférentes configurations d’angles et de nombres de Reynolds sur la base de critèrestels que le nombre de Nusselt moyenné, la perte de pression, et le facteur de qual-ité défini comme le rapport du facteur de Colburn au coefficient de frottement pour


(a) Nu (b) j/f

Figure 1.6 – Évolution des performances par tranche dans un canal plan perturbé

synthétiser l’information sur les performances. Les résultats donnent les évolutions dunombre de Nusselt Nu, 1.6a, et de j

f, 1.6b, intégrés transversalement, ce pour différents

angles d’attaque. Une augmentation de l’angle d’attaque entraîne une augmentation deNu, et une diminution de j/f , ce qui signifie que dans cette configuration, les pertesde charges augmentent plus vite que les échanges thermiques lors de la variation del’angle. Cette géométrie présente tous les types de tourbillons présents dans une con-figuration réelle : principal, induit et coin (voir figure 1.5). Une géométrie similaire estconsidérée dans cette étude pour cette raison.

Sohankar (2007) présente des résultats DNS et LES sur la génération de tourbillonsdans un canal aux parois chauffées, contenant deux perturbateurs rectangulaires. Lesnombres de Reynolds considérés varient entre Re = 200 et Re = 2000. La conditiond’entrée de l’écoulement est stationnaire, et la turbulence est générée autour du pertur-bateur. Comme mentionné dans Fiebig (1995), les générateurs de tourbillons peuventfortement abaisser le nombre de Reynolds transitoire. Le critère global de performancesélectionné est JF = (j/j∗)/(f/f ∗)(1/3) où les variables étoilées correspondent auxvaleurs dans un canal plan. Les variations du critère de performances sont différentesde celles de j/f présentés dans Biswas et al. (1996) (la géométrie et le critère sont unpeu différents). Le critère de performance de Sohankar JF augmente avec l’angle d’at-taque (entre 10° et 30°), particulièrement pour Re = 1000. JF augmente aussi avec lenombre de Reynolds. Au niveau local, une intensification de la turbulence est observéedans les régions à l’aval du perturbateur. L’auteur suggère d’utiliser la LES car lesrésultats (notamment la valeur du critère de performance JF) sont similaires aux résul-tats DNS, pour un coût en temps de calcul beaucoup moins important. Dans cet articleles résultats sont généralement intégrés spatialement, et il n’y a pas de cartographiestransverses de l’écoulement, qui auraient pu apporter des informations supplémentairessur l’écoulement.


1.2.2 Critères locauxConcernant le coefficient de convection, une version locale peut être utilisée, sous

la forme d’un nombre de Nusselt local, comme utilisé dans Sohankar (2007) :

Nu(x, z) = h(x, z)Hk

= − ∂θ

∂n

∣∣∣∣∣wall

(1.4)

avec θ = (T − Tin)/(Tw − Tin).Cette approche permet de localiser les zones de la paroi où l’échange thermique est

important (gradient pariétal de température important), par rapport à un potentield’échange local, défini comme l’écart entre la température en paroi et une températurede référence, par exemple la température débitante en entrée de l’écoulement. Ce critèreest local dans sa partie conductive en utilisant le gradient de température local, maisnon local dans sa partie convective, puisqu’il nécessite une température non locale telleque la température d’entrée ou la température de mélange pour définir le potentield’échange.

Figure 1.7 – Nombre de Nusselt local autour d’un perturbateur

L’article de Sohankar (2007) présente une cartographie de Nu(x, z), sur la paroibasse, voir figure 1.7.

Le pendant mécanique à ces critères thermiques locaux pourrait être la fonction dedissipation. Les pertes de charges et les frottements pariétaux sont des conséquencesglobales ou pariétales d’un phénomène local, à l’intérieur de l’écoulement, qui est ladissipation d’énergie mécanique en énergie thermique, par le biais de la fonction dedissipation. Ainsi, une évaluation locale de la fonction de dissipation peut permettrela mise en évidence des zones où sont générées les pertes de charge, et donc les zonesà optimiser en priorité.

La fonction de dissipation volumique a pour expression selon Chassaing (1997) :

Φ = 2µSijSij (1.5)Il s’agit donc de la norme de la partie symétrique du tenseur de taux de défor-

mations. Peu d’articles de la littérature déterminent les fonctions de dissipation localedans ce type de configuration industrielle, et le calcul en sera donc développé dans laprésente étude.

1.3 Analyse entropiqueDans la conclusion de la revue bibliographique, Jacobi et Shah (1995) évoquent la

prise en compte de la production d’entropie pour caractériser l’augmentation d’échanges


thermiques par l’utilisation de tourbillons longitudinaux. Le raisonnement de Jacobiétant que pour une quantité de chaleur échangée fixée, un faible coefficient d’échangeconvectif correspond à une forte différence de température. Or, cela correspondrait aussià une forte production d’entropie. Cette section décrit quelques articles sur l’utilisationde critères de performances utilisant la production d’entropie.

Les premiers travaux utilisant la production d’entropie pour caractériser les échangesthermiques datent des années 50, avec McClintock (1951). Bejan a relancé l’intérêt pourl’investigation et la théorisation du second principe pour la caractérisation de systèmesthermiques dans les années 80 : Bejan (1978), Bejan (1980) et Bejan (1982) introduisentnotamment des nombres caractéristiques sur les performances thermodynamiques d’unsystème.

Les différentes approches développées depuis peuvent être classées selon Yilmazet al. (2001) en trois catégories : la minimisation de production d’entropie, l’analyseexergétique et l’analyse thermoéconomique. La minimisation de production d’entropieconsiste à quantifier directement les irréversibilités générées dans l’écoulement. L’ap-proche exergétique consiste à mesurer l’évolution du travail récupérable après dégra-dation de la qualité de l’énergie par l’échangeur. Enfin, l’analyse thermoéconomiqueconsiste à appliquer les critères développés dans les deux catégories précédentes, maisen les appliquant aux systèmes en interaction avec le système étudié (comme la pompemettant en mouvement le fluide, ou l’utilisation d’énergie pour la fabrication du sys-tème). Parmi ces approches, la présente étude se limite à quelques analyses sur laproduction d’entropie.

Hesselgreaves (2000) a introduit le nombre de production d’entropie NS1 = T1SgenQ

.Cet adimensionnement permet d’éviter le «paradoxe de Bejan» obtenu en considérantle nombre de production d’entropie NS = Sgen

mCp: une production d’entropie adimen-

sionnée décroissante quand la taille d’un échangeur devient nulle, sa taille tendant vers0. Avec ce critère la production d’entropie croît constamment avec la décroissance del’efficacité de l’échangeur dans des cas monodimensionnels. L’auteur vérifie dans lapublication la monotonie de la décroissance de NS1 avec ε, pour différentes configu-rations d’échangeur, à l’aide de calculs en 1D. Yilmaz et al. (2001) fournit une revuedes différents critères de performance des échangeurs thermiques basés sur le secondprincipe de la thermodynamique.

Bejan (2006) propose d’utiliser la production d’entropie afin d’utiliser la mêmegrandeur pour caractériser les deux sources d’irreversibilités (échanges thermiques etdissipation visqueuse) localement. De plus, pour minimiser la production d’entropie, lesimperfections doivent être réparties dans le système étudié, comme rappelé dans Bejan(2001). L’entropie est donc un critère de performance local avec une règle permettantsa minimisation.

Plusieurs articles caractérisent la production d’entropie locale d’un système, aulieu d’utiliser une approche globale. Kock et Herwig (2004), Kock et Herwig (2005) etHerwig et Kock (2006) utilisent les résultats des calculs DNS en canaux périodiquesobtenus par Kawamura et al. (1999) pour valider des lois de paroi de la productiond’entropie pour le modèle k − ε. Herwig et Kock (2006), décrit une méthode pourcalculer la production d’entropie comme un post-traitement, pour des calculs RANSk − ε. Les expressions des productions d’entropies dues à la composante turbulentede l’écoulement sont détaillées. L’article inclut une description des lois de paroi per-mettant le calcul des productions d’entropie pour des maillages avec peu de noeudsprès des parois, pour les calculs à nombres de Reynolds importants. Cela est nécessairepour limiter les imprécisions de calcul, car la majorité de cette production a lieu enproche paroi. Des résultats sont obtenus dans une configuration particulière où avec


le premier principe on observe qu’une dégradation des performances dynamiques pourune amélioration des performances thermiques, alors que du point de vue du secondprincipe on observe un minimum de production d’entropie.

Ces articles présentent aussi un rappel de la définition de la production d’entropieinstantanée :

S′′′

gen = λ

T 2

(∂T

∂xi

)2

︸︷︷︸gradients de température

+ τijT

∂ui∂xj︸︷︷︸

dissipation visqueuse

(1.6)

L’entropie est donc produite par la présence de gradients de température et defrottements.

Herpe (2007) étudie, en RANS, la production d’entropie dans une configurationd’échangeur tube-ailette, et constate la monotonie de la diminution de NS1 avec l’aug-mentation de l’efficacité du système. Il effectue ensuite des études paramétriques del’évolution de la production d’entropie dans une configuration industrielle, en vue d’ap-plications pratiques.

McEligot et al. (2008b) s’intéresse à la modification de la génération d’entropievisqueuse en fonction du gradient de pression longitudinal, en comparant les fonctionsde dissipation calculées à partir des résultats en canaux de Kawamura et al. (1999) etles résultats en couches limites turbulentes de Spalart et al. (2006). Les résultats sontsimilaires dans les deux cas. 30 % de la production est concentrée dans la zone y+ < 5,et 66 % dans la zone y+ < 30. La production d’entropie moyenne décroit plus viteen s’éloignant de la paroi que la production d’entropie turbulente. L’auteur associe laproduction d’entropie à la résistance aux transferts de quantité de mouvement. Il s’agitd’un exemple de calcul de taux de production d’entropie à partir de données DNS, dansun cas différent de celui étudié ici.

Herpe et al. (2009) décrit la distribution de production d’entropie dans un échangeurtube-ailette, utilisant la configuration de Chen et al. (1998). La production d’entropieétant liée aux gradients de vitesse et de température, elle est plus importante dansles régions «downwash» que dans les régions «upwash» des tourbillons, à cause duraffinement de la couche limite. Une étude paramétrique permet à l’auteur de quan-tifier l’impact de l’angle d’attaque des générateurs de tourbillons sur les productionsd’entropie dans le fluide ou dans le solide. L’auteur détermine aussi que poinçonnerl’ailette augmente la production d’entropie de 8 % dans le fluide et de 37 % dansl’ailette. La diminution du NS1 est reliée à une augmentation de l’efficacité (telle quedéfinie dans l’approche NTU). Pour l’auteur, ce critère est important parce qu’il fournitune information nécessitant moins d’hypothèses que le calcul du NUT, et donnant uneinformation volumique pour caractériser les échanges.

Peu d’analyses de distribution de production d’entropie pour des échangeurs ther-miques disponibles dans la littérature présentent des champs 3D complets. Beaucoupd’articles abordant le sujet utilisent des modèles simplifiés, monodimensionels, permet-tant analytiquement de faire des études paramétriques. Voir par exemple Bejan (2001)à ce sujet.

L’interprétation physique des résultats liés à la production d’entropie est simpledans le cas d’échangeurs effectuant les transferts entre un moteur thermique et sessources chaudes et froides. Elle correspond à une diminution du rendement par rap-port à une machine de Carnot fonctionnant entre ces deux sources. Au contraire, sonapplication pour des systèmes sans cycle thermodynamique peut poser des difficultéscomme évoqué par exemple dans Balaji et al. (2007). Une des possibilité étant de re-lier la production d’entropie au critère NTU comme évoqué avant. Dans cette étude,


l’interprétation physique n’est pas développée, et l’objectif est plutôt de déterminerl’impact des approximations faites en RANS sur le calcul de la production d’entropie.Cela est effectué via une comparaison avec les calculs DNS.

1.4 ConclusionL’utilisation des tourbillons longitudinaux pour l’intensification des échanges ther-

miques a été décrite dans cette revue bibliographique. Il ressort que les articles présen-tés dans cette étude présentent souvent des informations sur des grandeurs globales,mais peu d’information locale sur des grandeurs telles que la fonction de dissipation.Ces articles s’intéressent souvent à des écoulements en couches limites. Les méthodesd’investigations sur des configurations avec perturbateurs sont souvent des calculs enRANS. Les calculs instationnaires utilisent des toubillons synthétisés numériquement(et ne reproduisent donc pas toute la structure de tourbillons présents avec un pertur-bateur réel). Ils présentent rarement des résultats locaux sur le second principe.

Chapitre 2

Préparation de l’étude

Afin d’analyser l’évolution des structures dans un canal plan perturbé, une ap-proche utilisant plusieurs outils (banc expérimental, calculs numériques stationnaireset instationnaires) a été mise en place. Ce chapitre va dans un premier temps décrireles paramètres communs à ces trois approches, puis s’attarder sur les particularitéspropres à chacune.

2.1 NotationsDes tenseurs de différents ordres (scalaires, vecteur, tenseurs d’ordre 2) sont con-

sidérés dans cette étude. Les vecteurs ne sont pas représentés par les symboles −→x , oux et les tenseurs d’ordre 2 par x.

Une notation indicielle est utilisée pour représenter les tenseurs de façonunifiée. Un vecteur complet est indiqué par xi, et un tenseur d’ordre 2 par Sij, sans queles lettres i ou j ne désignent une composante particulière (sauf mention explicite). Lenombre de lettres différentes indique ainsi l’ordre du tenseur. Un indice numérique parcontre désigne une composante particulière : la composante longitudinale de vorticitépar exemple est notée ω1. La notation d’Einstein est utilisée pour les sommations, quicontractent une paire d’indices et réduisent de 1 l’ordre d’un tenseur. Ce système denotation est utilisé pour sa simplicité et sa concision, et est pas exemple utilisé dansTennekes et Lumley (1972).

Les positions adimensionnées Xi correspondent aux coordonnées réelles xi diviséespar la hauteur du canal H.

2.2 Définition de l’objet

2.2.1 Géométrie

Figure 2.1 – Géométrie étudiée

19

20 2 Préparation de l’étude

La géométrie considérée dans cette étude est simplifiée par rapport à une configu-ration d’échangeur réelle. Un écoulement de canal plan turbulent établi est modifié parun perturbateur rectangulaire présentant un angle d’attaque de 30°et dont la hauteurcorrespond à la moitié de la hauteur du canal, comme représenté sur la figure 2.1.La base du perturbateur mesure 2.46 hauteurs de canal. La hauteur du canal est de41.6 mm. La largeur du canal est très supérieure à sa hauteur (le ratio exact variantselon l’approche, RANS, DNS ou expérimental). L’épaisseur du perturbateur est de 1mm, pour pouvoir être considérée négligeable. Le fluide est chauffé par les parois dontla température est constante dans les calculs numériques, et le banc expérimental estisotherme.

Des résultats ont aussi été obtenus avec un perturbateur triangulaire occupant toutela hauteur du canal, et dont la base a la même taille que dans le cas rectangulaire. Cettedernière configuration est directement inspirée de Biswas et al. (1996).

Sauf mention contraire, les origines des coordonnées sont le bord de fuite du per-turbateur pour X1, la paroi basse pour X2 (sauf pour les cartographies où le centre ducanal est considéré), et enfin le centre du canal pour X3.

2.2.2 Régime d’écoulement

Deux valeurs de nombre de Reynolds sont étudiées pour les calculs RANS et lapartie expérimentale : la première telle que Reτ = uτδ/ν = 90, et la seconde telle queReτ = 180 1. La disponibilité de données tabulées pour cette dernière valeur, aussi bienau niveau dynamique dans Kim et al. (1987) que thermique dans Kawamura et al.(1999) justifient l’usage de cette valeur. Moser et al. (1999) ont effectué des calculsDNS à des nombres de Reynolds plus élevés, jusqu’à Reτ = 590 et montré que lerégime Reτ = 180 présente des caractéristiques propres aux écoulements turbulents àfaible nombre de Reynolds, tels qu’une zone logarithmique de dimension réduite et unécart par rapport au profil de turbulence universel dès y+ = 10.

Plusieurs nombres de Reynolds peuvent être définis pour décrire le même écoule-ment. Par exemple, dans Kim et al. (1987), le nombre de Reynolds ReDNS est définien utilisant la demi-hauteur du canal et la vitesse au centre d’un profil de Poiseuilleayant la même vitesse débitante. Le nombre de Reynolds Re peut aussi être défini enutilisant la vitesse débitante et le périmètre mouillé. Pour le régime faible débit, lesvaleurs du nombre de Reynolds sont de ReDNS = 1786 et Re = 4760. Pour le régimehaut débit, elles sont de ReDNS = 4244 et Re = 11300.

Dean (1978), suggère un rapport d’aspect d’au moins 7 pour considérer un écoule-ment de canal plan bidimensionnel. Dans le cas de la veine expérimentale, ce rapportd’aspect vaut 12.5. Pour la partie expérimentale, cela se traduit par un canal de dimen-sions 41.6 mm de hauteur, et une vitesse débitante de 0.9m.s−1 pour le premier cas, et2m.s−1 pour le second cas. Des simulations RANS ont été effectuées pour dimensionnerl’étude.

triangulaire rectangulaireRANS DNS PIV RANS DNS PIV

Re1 x xRe2 x x X X X

Tableau 2.1 – Mesures et calculs effectués

1. La définition de ces termes est rappelée dans la section 3.1.1 (p.55)

2 Préparation de l’étude 21

Le tableau 2.1 récapitule les différentes campagnes de mesures et calculs effectués.Dans ce mémoire ne seront exploités que les résultats marqués «X», car ils forment unensemble cohérent pour l’interprétation physique de l’écoulement.

2.3 Banc expérimental

2.3.1 Présentation du bancLe banc expérimental est présenté sur les figures 2.2 et 2.3. Il comprend un ensem-

ble grille, convergent et nid d’abeille relié à une section d’établissement de 4 mètrespréparant un écoulement turbulent développé à l’amont de la section investiguée. Cettesection est un canal plan qui contient le perturbateur et dont les parois en verre per-mettent l’éclairement par un laser et la capture d’image par une caméra. En aval, laveine se termine par un coude vertical ramenant le fluide en début de boucle après unpassage temporaire dans une chambre de tranquillisation. Le fluide est mis en mouve-ment par un ventilateur à fréquence variable. Les dimensions de la section d’essais sontH = 0.0416 m, l = 0.5 m, L = 1.3 m. Le débit est mesuré par un diaphragme placéavant la pompe et par un compteur volumétrique placé en sortie de la pompe pourcertaines mesures plus précises.

Gril

le, n

id d'abe

ille

et con

vergen

t

Sortie fluide

Etab

lissemen

t

Perturbateur Caméra

Entrée fluide

LaserPlan d'étude

CoordonnéesDimensions de la

zone d'investigation

H

lL

Figure 2.2 – Représentation schématique du banc

2.3.2 Principe de la PIVL’imagerie par vélocimétrie de particules (Particle Image Velocimetry en anglais)

est une méthode non intrusive de mesure des vitesses instantanées au sein d’un écoule-ment. Elle consiste à ensemencer un écoulement de particules réfléchissantes, qui sontéclairées par un laser. La vitesse instantanée locale en chaque point du plan étudiéest ensuite dérivée du déplacement mesuré entre les expositions au laser via le calculdu minimum de l’intercorrélation entre des zones d’interrogation. Parmi les technolo-gies PIV existantes, cette étude fait appel à une PIV en deux dimensions, qui permetd’obtenir la mesure simultanée de deux composantes de vitesse dans un plan. Ce typede mesure se nomme PIV 2D2C.

La caméra d’acquisition est associée au logiciel « Dynamic Studio » de traitementd’images permettant d’obtenir des cartographies transverses de vitesse instantanée,pour les composantes u2 et u3, à l’aval du perturbateur. Les surfaces transversales demesure couvrent la hauteur du canal, et sont centrées sur le milieu du canal où sont


cam

era ra

pide

laser

x

y

z

Figure 2.3 – Vue d’ensemble du banc d’essais

convectés les tourbillons longitudinaux. Une largeur de 2.8 H est couverte. L’axe derotation des structures induites étant quasiment aligné sur l’axe de l’écoulement, lesplans d’étude retenus sont des plans transverses [x2, x3], tels que définis sur la figure2.2.

Deux versions de la veine ont été construites. Dans la première, la surface supérieureen PMMA a été rayée par les manipulations, et afin d’éliminer les ombres dues auxrayures, des traitements particuliers étaient appliqués aux images, comme l’éliminationde l’influence moyenne des rayures sur les expositions. Lors du passage à l’ailette rect-angulaire, la veine a été reconstruite avec des surfaces transparentes en verre, moinsexposées aux dégradations de qualités optiques et éliminants les traitements mention-nés.

2.3.3 Paramètres physiques

2.3.3.1 Distance d’établissement

La distance nécessaire à l’établissement de l’écoulement est estimée à priori à l’aided’un calcul RANS k− ω SST . Une vérification expérimentale du profil établi est doncprésentée dans la section 2.3.6.2 (p.28). L’examen des résultats montre que pour obtenirune vitesse au centre avec 1% d’erreur par rapport à la vitesse finale, il faut unesection d’établissement de 4 m, soit une centaine de hauteurs, dimension retenue lorsde la construction de la veine. Des bandes rugueuses sont placées à l’entrée de la zoned’établissement pour faciliter la transition vers le régime turbulent établi.


2.3.3.2 Coude

section verticalede sortie

profil faiblement affecté par le piquage

Figure 2.4 – Lignes de courant dans le coude de sortie

La veine d’essais présente un coude après la section de mesure comme indiqué sur lafigure 2.2. L’écoulement passe alors d’une configuration horizontale à une configurationverticale, ce qui entraîne une perturbation dans la section d’essais en amont du coude.Déterminer la distance sur laquelle cet impact est important permet de déterminerla valeur de X1 maximale à laquelle faire des mesures. Une simulation est effectuéedans une section bidimensionelle, avec les mêmes paramètres que les autres simulationsRANS. Il apparaît qu’au delà de 2 hauteurs de canal, l’écoulement n’est pas perturbésignificativement par le coude, les mesures peuvent donc être effectuées en amont dece point. Les lignes de courant sont présentées sur la figure 2.4.

2.3.4 Paramètres du système d’acquisitionLa résolution du champ de vitesse obtenu par PIV n’est pas égale à celle des clichés

obtenus par la caméra. En effet, le traitement permettant de passer des clichés auxchamps de vecteurs ne fait pas un suivi individuel de chaque particule photographiée,qui ne sont par ailleurs pas toutes apparentes sur chaque paire de clichés. Les clichéssont donc partitionnés en zones d’interrogations, sur lesquelles le déplacement moyendes particules est déterminé. Pour cela, le maximum de la fonction d’intercorrélationbidimensionelle entre les deux clichés est calculé.

Le choix de la résolution spatiale en PIV est conditionné par divers facteurs etinfluence à son tour le choix du temps de différenciation (temps entre deux clichés pourdéterminer le déplacement). Le premier impératif pour la mesure de la dissipation desstructures dans le canal est de capter l’ensemble des structures présentes. Antonia etMi (1993), se basant sur des résultats obtenus par mesures aux fils chauds, suggèrent unéchantillonage de fréquence spatiale inférieure à 3 échelles de Kolmogorov pour limiter à5 % l’erreur commise sur les calculs de dérivées. Saarenrinne et Piirto (2000) indiquentqu’une fréquence spatiale trop importante peut par contre entraîner des erreurs (quiconduiraient dans cette étude à une surestimation de la fonction de dissipation si tropde bruit est présent).

Afin de déterminer les valeur de l’échelle de Kolmogorov dans une tranche d’écoule-ment à X1 = 2, un post traitement est effectué sur un calcul RANS. Le résultat est


Figure 2.5 – Échelles de Kolmogorov à X1 = 2, calcul RANS (facteur 10−4 m)

présenté sur la figure 2.5. La formule 2.1 (qui est plus détaillée dans Wilcox (1998)par exemple) est utilisée pour le calcul. Elle fait intervenir la fonction de dissipationturbulente Φturb, telle que décrite dans la section 3.6.5 (p.90) :

η =(

ν3

Φturb

)1/4

(2.1)

Pour la détermination de la dissipation turbulente dans le calcul, voir la section3.6.5 (p.90). L’examen de la figure 2.1 indique que η vaut au maximum 0.4 mm. Lataille de la zone d’interrogation sélectionnée est de 16x16 pixels, correspondant à unedistance physique de 0.45 mm. Cette valeur est au-dessus du critère cité, mais restedans le bon ordre de grandeur.

En plus des problèmes de capture des structures, se pose le problème des vecteursaberrants qui apparaissent quand le déplacement au sein d’une zone d’interrogationest trop faible, ou trop important. C’est le cas dès lors que, entre deux clichés, lesparticules se déplacent d’une distance inférieure à un pixel ou supérieure à la zoned’interrogation. Le maximum de corrélation n’est alors pas identifiable et le code detraitement ne peut déterminer une direction de déplacement moyen. Il génère alorsdes vecteurs sans signification physique. Plusieurs tests de temps de différenciation ontété effectués. Le temps finalement retenu, de 190 µs, correspond au temps maximumtel que le nombre de vecteurs aberrants dans chaque exposition reste limité et qu’unecorrection soit possible. La figure 2.6 présente une comparaison d’un tourbillon du àla turbulence dans un champ obtenu avec un temps de 190µs et le détail d’un champstypique pour un temps de 570 µs.

(a) 190 µs (b) 570 µs

Figure 2.6 – Détail de champs vectoriels obtenus pour des temps de différenciationdifférents

La structure de l’écoulement moyen ne semble pas être modifiée par la variation dutemps de différenciation (voir la comparaison des lignes de courant sur la figure 2.7),ce qui montre que les vecteurs aberrants correspondent à un bruit aléatoire centré.


Les grandeurs utilisant les dérivées sont par contre extrêmement affectées par le bruit,c’est pourquoi le temps de 190 µs est adopté pour l’ensemble des mesures effectuéesprésentées dans ce mémoire.

(a) 190 µs (b) 570 µs

Figure 2.7 – Lignes de courant en fonction du temps de différenciation

Une fois sélectionné un couple [temps de différenciation,taille de zone d’interro-gation], une solution pour augmenter la résolution des champs de vecteurs est d’u-tiliser un «overlap» (chevauchement des zones d’interrogations). Cependant, chaquezone d’interrogation conserve la même étendue spatiale, c’est pourquoi des structuresde l’écoulement plus petites qu’une zone d’interrogation seront toujours moyennées etdisparaîtront dans le traitement par intercorrélation. L’overlap augmente donc l’échan-tillonnage spatial sans augmenter la taille des plus petites structures détectées, un peucomme si le résultat d’une convolution est échantillonné plus finement, sans cependantréduire le support du noyau de convolution. Un overlap de 50 % a été utilisé.

La seule solution réellement satisfaisante pour éviter les compromis évoqués estd’augmenter la résolution des images brutes, lors l’acquisition des photos, permettantainsi un faible temps de différenciation et de petites zones d’interrogation tout enconservant une description précise des phénomènes mécaniques observés. C’est dans cebut que la fenêtre d’acquisition est limitée à la zone autour du tourbillon principal,évitant d’utiliser des pixels pour capturer des zones sans intérêt. La taille physique dela section d’écoulement considérée est de 4.16 cm de haut par 12.3 cm de large.

Conformément à toutes ces considérations, le temps de différenciation retenu estde 190 µs. La taille de zone d’interrogation de 16 par 16 pixels, et l’overlap de 50%permettent d’obtenir des champs ayant une résolution de 255 vecteurs selon x3 et 92selon x2. Cette dimension de zone d’interrogation correspond physiquement à un carréde 0.45mm de côté, pour ∆x+

i = 4.

2.3.5 Temps de traversée de la nappe et ensemencementLa nappe PIV éclaire un plan positionné perpendiculairement par rapport à l’axe

principal de l’écoulement. Une contrainte supplémentaire sur le temps de différenciationest ainsi introduite, car si ce dernier est trop important, aucune particule n’appartien-dra à deux clichés successifs, rendant l’intercorrélation impossible. Plus le nombre departicules communes aux deux clichés est faible, plus le risque d’avoir des vecteursaberrants est important. L’épaisseur de la nappe laser est d’environ 3mm. Au nombrede Reynolds haut, la vitesse débitante est d’environ 2 m.s−1. L’ordre de grandeur dutemps de traversée des particules est alors de 1.5 m.s−1. Le temps de différenciationsélectionné est de 190 µs ce qui représente donc un ordre de grandeur de 86 % departicules restant dans la nappe laser entre deux clichés.

La densité d’ensemencement sélectionnée est relativement importante, ce qui estvisible sur la figure 2.9. Quelques particules se détachent clairement, et le reste des


elargeur du laser

temps de traversée

direction del'écoulement

Figure 2.8 – Déplacement à travers la nappe laser

Figure 2.9 – Détail du niveau d’ensemencement sur une zone de 1.6 par 1 cm, sansmodification de l’histogramme


particules «texture» l’image. De la déformation de cette texture entre les expositionsseront déduits les vecteurs vitesse.

2.3.6 Contrôle du fonctionnement du banc d’essais

2.3.6.1 Vérification de l’étanchéité

Le banc expérimental fonctionne en dépression, la pompe étant placée après la zonede mesure. Toute fuite va se traduire par l’introduction d’un écoulement secondaire quiest susceptible de perturber le comportement normal de la veine d’essais et fausser lesmesures. Afin de se prémunir contre ce genre d’erreurs, une quantification du débitinduit par les fuites dans la veine est effectuée.

Figure 2.10 – Mesure du débit de fuite

Afin d’estimer l’impact de ces fuites, une méthode en deux étapes est utilisée, elleest illustrée ici par la figure 2.10. En premier lieu une mesure est effectuée, dans lesconditions normales d’utilisation du banc, de la dépression entre l’atmosphère et unpoint en aval de la section de mesure (en rouge sur la figure). Ceci constitue le «cas 1».L’entrée du banc est ensuite bouchée, la pompe est mise en marche à très bas régime,et la dépression est mesurée («cas 2»). La puissance de la pompe est progressivementaugmentée jusqu’à concurrence de la valeur de la dépression obtenue dans le cas 1. Parle biais de cette méthode, le débit de fuite en utilisation normale est ainsi majoré parle débit total mesuré en bouchant la veine.

Cette majoration s’explique car dans le cas 2, l’ensemble de la dépression est con-centrée à l’intérieur des fuites, à cause du faible écoulement dans la veine qui ne peutpas générer de pertes de charges significatives. La pression à l’intérieur de la veine estainsi partout quasiment égale à la pression à l’entrée de la pompe. La différence depression aux extrémités de chaque fuite est donc toujours plus importante dans le cas2 que dans le cas 1, et le débit dans une fuite dans le cas 2 majore le débit dans lamême fuite dans le cas 1, ceci pour toutes les fuites.

En utilisant cette méthode, un débit de fuite maximum de 4 % a été mesuré,en utilisant après la pompe un débitmètre volumétrique (pour assurer une précisionsuffisante sur le débit de fuite, par rapport à d’autres méthodes de mesure de vitessecomme un tube de Pitot). Il peut donc en être déduit que les fuites sur la partie étudiéede la veine sont relativement peu importantes, et seront par conséquent négligées.


2.3.6.2 Vérification du profil d’entrée à l’amont du perturbateur

Deux propriétés sont attendues de l’écoulement arrivant sur le perturbateur : unnombre de Reynolds de 11300 et une turbulence pleinement développée.

Pour valider ces deux aspects, un dispositif de vélocimétrie laser (Laser DopplerAnemometry - LDA) est utilisé. Ce dispositif permet de mesurer une composante devitesse en un point, et est simple à mettre en œuvre.

Pour vérifier le profil d’entrée, les profils de vitesse moyenne et d’énergie ciné-tique turbulente sont comparés à des profils obtenus en DNS pour le même nombrede Reynolds, dans Kim et al. (1987). Les résultats sont ensuite adimensionnés commedécrit dans la section 3.1.1 (p.55). Deux paramètres sont inconnus : l’origine exacte del’axe x2, et la valeur de la vitesse de frottement. Ces deux inconnues sont ajustées enfaisant une régression selon trois lois d’écoulement pariétal :

Domaine valeur de u+1

x+2 < 5 x+

25 < x+

2 < 15 14.5 tanh(x+2 /14.5)

15 < x+2 < 150 1

0.4 ln(x+2 ) + 5.5

Les deux inconnues ∆x et uτ sont modifiées pour minimiser la somme des erreursquadratiques entre les profils expérimentaux et les profils théoriques. Les profils sontobtenus sur la paroi basse et sur la paroi haute du canal, pour identifier une éventuelleasymétrie de l’écoulement.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 10 100

Figure 2.11 – Vitesse moyenne u1/uτ sur la paroi basse

Les profils présentés sur les figures 2.11 et 2.12 sont obtenus à une valeur de x1correspondant au bord d’attaque amont de l’ailette et à mi distance entre l’ailette etle bord latérale de la veine.


Figure 2.12 – Composante longitudinale de la vitesse RMS√u′

1u′1

uτ, sur l’ensemble de

la hauteur du canal

La vitesse de frottement obtenue est de 0.1287 m.s−1, alors que la valeur obtenueen utilisant la formule fournie par Hinze (1975) :

Reτ = 18.3Re

78DNS (2.2)

est de 0.1281 m.s−1, ainsi le régime d’écoulement semble proche de l’objectif quiétait fixé. On peut voir un bon accord pour les composantes moyennes et RMS dela vitesse longitudinale. Les pics de turbulence ont des valeurs proches des valeursobtenues par Kim et al. (1987), par contre les valeurs de turbulence au centre ducanal sont légèrement supérieures aux valeurs attendues. L’écoulement arrivant sur leperturbateur peut donc être considéré comme développé. Quand un écoulement estensemencé, il ne faut pas que les particules soient trop volumineuses et trop lourdes,car dans ce cas elles ne suivraient plus l’écoulement. Comme les profils obtenus sontsatisfaisants, on peut en déduire que l’ensemencement est adapté à l’écoulement étudié.

2.3.7 Convergence des statistiquesComme une grande quantité de données est générée, l’exploitation des résultats ne

peut s’effectuer que sur des moments statistiques que l’on chercher à rendre le plusreprésentatif de ce qui se passe dans l’écoulement.

Les statistiques sur les résultats expérimentaux sont calculées avec la même méthodeque pour la partie numérique, voir la section 2.6.1 (p.50). Les grandeurs calculéessont la vitesse moyenne, l’énergie cinétique moyenne, la vorticité moyenne, la vorticitéRMS, le tenseur des contraintes de Reynolds, la dissipation moyenne, et la dissipationturbulente. Le banc étant isotherme, les productions d’entropie ne sont pas calculéesdans cette partie de l’étude.

Le code de post traitement de Dynamic Studio n’a pas été utilisé, et un code spéci-fique en reprenant certaines fonctionnalités a été réécrit spécifiquement dans Matlab.Il permet de calculer des quantités spécifiques à cette étude (notamment la fonction dedissipation), et facilite les études de convergence.


points de suivi de convergence

1

2

Figure 2.13 – Positions du point de calcul de convergence

Idéalement, un nombre de réalisations infini permettrait d’avoir une précision infiniesur une statistique. Concrètement, les limitations en taille mémoire et en puissance decalcul forcent à limiter le nombre de réalisations. Pour déterminer le nombre de réalisa-tions à considérer, des statistiques sur la vitesse u3 sont effectuées dans le plan X = 1.5,aux 2 positions représentées sur la figure 2.13, et sur la configuration avec le perturba-teur triangulaire. 3000 réalisations statistiques sont examinées afin de déterminer si lenombre d’échantillons par rapport aux critères de convergence est inférieur à ce nom-bre. Les courbes tracées représentent l’évolution des statistiques en fonction du nombred’échantillons pris en compte (voir figure 2.20) en indiquant la zone de confiance à +/-5 % de l’erreur asymptotique. Les variations des statistiques évoluent rapidement pourun faible nombre de réalisations prises en compte, mais deviennent stables pour 1000réalisations, ce nombre sera donc utilisé pour l’ensemble des mesures.

nombre de réalisations

+/- 5 %

(a) u3

nombre de réalisations

+/- 5 %

(b) u3,rms

Figure 2.14 – Évolution des statistiques en fonction du nombre de réalisations, sondedans la position 1

L’étude de convergence a été répétée aux points marqués 1 et 2, pour X1 = 3, 4.5, 6avec des résultats similaires. Le nombre de réalisations retenu à la suite de cette étudeest de 1500 champs vectoriels pour chaque plan considéré.


2.4 Calcul RANS

2.4.1 PrésentationL’utilité première d’un calcul RANS est de calculer directement les valeurs de cer-

tains moments statistiques décrivant le champs étudié sans passer par le calcul puis lepost-traitement d’un grand nombre de champs instantanés (comme c’est le cas pourles parties expérimentales et DNS de cette étude). Cela est rendu possible par la ré-solution d’équations aux dérivées partielles dont ces moments sont les inconnues. Lescalculs RANS trouvent dans le cadre de cette étude deux applications distinctes. Lapremière concerne des calculs utilisés pour obtenir des résultats qui seront comparésaux résultats expérimentaux et DNS, et c’est elle qui est décrite dans cette partie. Cetteutilisation permet de prototyper rapidement l’étude, par exemple pour tester plusieursparamètres parmis lesquels les différentes conditions aux limites ou l’influence de lataille du domaine de calcul. La seconde application concerne des calculs RANS utiliséspour fournir la condition initiale du calcul instationnaire DNS et est décrite dans lasection 2.5.7 (p.42).

Les calculs RANS sont effectués avec le code Fluent. Quelques fonctionnalités ad-ditionnelles sont cependant nécessaires et sont implémentées sous la forme de scriptset de fonctions en langage C compilées et liées aux solveurs lors du calcul.

2.4.2 ModélisationLes propriétés physiques du fluide ont été selectionnées pour simplifier l’étude. La

densité du fluide est constante, la puissance mécanique dissipée n’est pas un termesource dans l’équation de l’énergie interne (qui est modélisée comme un transportpassif de la température) et la gravité n’est pas incluse dans l’équation de bilan dequantité de mouvement (pas de prise en compte de la convection naturelle).

Les équations de Navier-Stokes, pour un fluide incompressible et newtonien, pren-nent alors pour expression :

∂ui∂xi

= 0

ρ

(∂ui∂t

+ ∂uiuj∂xj

)= − ∂p

∂xi+ µ

∂2ui∂xj∂xj

(2.3)

La décomposition de Reynolds est appliquée aux variables pour les séparer en unepartie moyenne et une partie turbulente : ui = ui + u′i. L’opérateur de moyennage( ) est appliqué aux équations résultantes. Après ces modifications, et si l’écoulementest considéré stationnaire, les équations de Navier-Stokes moyennées prennent pourexpression :

∂ui∂xi

= 0

ρ∂uiuj∂xj

= − ∂p

∂xi+ µ

∂2ui∂xj∂xj

+ ∂

∂xj(−ρu′iu′j) (2.4)

Pour fermer ce système d’équations, il faut obtenir les valeurs des termes −ρu′iu′j,qui sont les composantes du tenseur de Reynolds. Le détail de cette procédure est décritdans la section 3.1.3.


Pour le bilan d’énergie interne, le même raisonnement est appliqué. Le bilan instan-tané est d’abord considéré :

ρCp

(∂T

∂t+ ∂ujT

∂xj

)= λ

∂2T

∂xj∂xj(2.5)

puis en décomposant la température en une partie moyenne et une partie turbulente,et en appliquant un moyennage sur l’équation obtenue, on obtient pour un régimestationnaire :

ρCp∂uiT

∂xi= λ

∂2T

∂xi∂xi− ρCp

∂

∂xju′jT

′ (2.6)

La modélisation du terme −ρCp ∂∂xiu′iT

′, correspondant à la convection d’énergieinterne par la partie turbulente de l’écoulement fait l’objet de la section 4.1.1 (p.95).

Le modèle RANS calculant directement certains moments statistiques sans passerpar le calcul des réalisations statistiques, il pourra être difficile d’obtenir d’autres mo-ments statistiques. Ainsi des trois moyens d’investigation utilisés dans cette étude (ex-périmental, RANS, DNS), il est celui fournissant le moins d’informations.

2.4.3 MaillageLe maillage a été crée à l’aide du logiciel Gambit. Comme le calcul RANS ne capture

que les structures présentes dans le champ moyen, qui sont plus étendues spatialementque celles apparaissant dans les champs instantanés, le maillage n’a pas besoin d’êtreaussi raffiné que dans le calcul DNS. La concentration moindre de mailles couplée aucalcul direct des statistiques de l’écoulement entrainent des temps de calcu beaucoupplus courts et permettent en contrepartie d’étudier un domaine spatial plus étendu quece qui est possible en DNS. Physiquement, le domaine de calcul correspond à 1 m desection expérimentale, c’est à dire à un domaine rectangulaire de 1x0.0416x0.5 m3.

Comme le domaine étudié correspond à un canal plan perturbé, le maillage principalest constitué de cellules hexahédrales. De plus, le maillage est trivial dans le cas duperturbateur rectangulaire, puisqu’il s’agit de mailles hexahédrales dont l’orientationest ajustée à l’angle du perturbateur.

Le maillage est raffiné de sorte que les centres des premières mailles soient situésen x+

2 = 3.46, conformément aux recommandations de Fluent qui stipulent que lapremière maille soit placée dans la sous-couche visqueuse. Au centre du canal, la tailledes cellules est de ∆x+

2 = 17.3. Selon les dimensions x1 et x3, les mailles ont des taillesde ∆l+ = 16.32. Le maillage complet du domaine contient 6 millions de mailles.

2.4.4 Autres paramètresUn calcul précurseur possédant des conditions aux limites périodiques fournit des

profils d’entrée de ui et k au calcul contenant le perturbateur. Une description pluscomplète des conditions aux limites est fournie en DNS, dans la section 2.5.5.3 (p.39).La principale différence entre les conditions en DNS et en RANS est que la stationnaritén’impose la génération que d’un seul profil d’entrée , et que la condition de sortie estune condition de gradient nul, alors que cette condition devient en DNS une conditiondite «advective» avec l’ajout d’une dérivée temporelle. Dans le calcul précurseur, ledébit est prescrit manuellement, et Fluent détermine de façon itérative le gradient depression à appliquer. Les profils de ui k et ω, qui est une grandeur décrite dans la section3.6.2.1 (p.83), sont ensuite extraits d’une section transverse de l’écoulement précurseur


vers un fichier. Ce profil est importé dans le calcul contenant le perturbateur et utilisécomme condition d’entrée.

Les schémas de discrétisation utilisés pour le calcul sont les schémas de discrétisationau second ordre proposés par Fluent, pour toutes les variables. Les coefficients de sous-relaxation sont les coefficients par défaut. Le couplage entre l’équation de quantité demouvement et de continuité se fait à l’aide de l’algorithme SIMPLE. Les convergencesdes calculs estimées avec diverses sondes, le calcul étant considéré convergés quand lesgrandeurs sont stabilisées à 10−8 près.

La réalisation de calculs utilisant une variation temporelle de l’écoulement (URANS)n’a pas permis d’identifier de variations temporelles significatives dans la forme destourbillons longitudinaux. Les équations sont donc résolues en utilisant les bilans lo-caux sans dépendance temporelle.

2.5 Simulation numérique directe

2.5.1 Présentation générale2.5.1.1 Équations résolues

La DNS est une méthode numérique où les équations de Navier-Stokes sont ré-solues, sans modélisation de termes turbulents, pour obtenir une solution instation-naire, en utilisant des discrétisations temporelles et spatiales suffisamment fines pourcapturer l’ensemble des structures turbulentes. Les équations résolues dans la présenteétude régissent les bilans locaux de quantité de matière, de quantité de mouvement,et d’énergie interne (sous sa forme de transport d’un scalaire passif). Elles sont doncsimilaires aux équations présentées dans la section 2.4.2, car les hypothèses faites surl’incompressibilité, le comportement newtonien, et l’absence de convection naturellesont conservées. Les différences sont la présence de dérivées temporelles et l’absence determes liés à la décomposition de Reynolds (puisqu’elle n’a pas été appliquée) :

∂uj∂xj

= 0 (2.7)

∂ui∂t

+ ∂ujui∂xj

= −1ρ

∂p

∂xi+ ν

∂2ui∂xj∂xj

(2.8)

∂T

∂t+ ∂ujT

∂xj= α

∂2T

∂xj∂xj(2.9)

2.5.1.2 Démarche générale

Les différentes problématiques liées à l’implémentation de la DNS sont décrites danscette section. La première étape de cette étude a été la sélection d’un code de calculadapté aux problématiques à étudier. Le choix d’OpenFOAM est justifié dans la sec-tion 2.5.2 (p.34). Le maillage utilisé en DNS doit répondre à des contraintes strictes,par exemple sur le raffinement en proche paroi. Ces contraintes sont détaillées dansla section 2.5.4 (p.36). La solution retenue dans cette étude pour la génération desconditions d’entrée est l’utilisation d’un calcul annexe (comme pour le calcul RANS),appelé calcul précurseur, qui génère des profils qui sont utilisés comme condition d’en-trée pour le calcul contenant le perturbateur. Ces deux types de calcul sont parfoisidentifiés dans le présent mémoire par «precur» et «perturb» pour ne pas alourdir les


notations. Il faut donc systématiquement lancer à la fois le calcul contenant le pertur-bateur, et le calcul annexe, comme décrit dans la section 2.5.5.1 (p.38). Enfin, pouraccélérer les calculs, des écoulements similaires sont calculés en parallèle sur plusieursnoeuds de calcul. Les conditions initiales sont légèrement différentes entre ces écoule-ments, et ce système décrit dans la section 2.5.8 (p.44) permet d’augmenter le nombrede réalisations statistiques disponibles.

Dans une configuration «arbitraire», c’est à dire un système plus complexe qu’unécoulement de canal plan turbulent, le calcul DNS nécessite des temps de calcul trèsimportants. Afin d’y parvenir, il a fallu développer une solution complète pour paral-léliser le calcul. Le résultat a été l’utilisation de 384 cœurs en continu sur un cluster.Aboutir à une solution stable et fiable a constitué une part importante de cette étude,dont la description détaillée est l’objet de cette partie.

2.5.2 Présentation du codeLa première étape de l’étude a été la sélection du code, qui doit satisfaire plusieurs

critères. OpenFOAM (noté OF par la suite) a été retenu, après neuf mois de développe-ments infructueux sur un code dérivé du code crée par Orlandi (2000). Devant ladifficulté d’implémenter une méthode par frontière immergées dans ce code utilisantune discrétisation en différences finies, il a été décidé de se réorienter vers un code envolumes finis. OF satisfait ce critère, et permet de calculer des écoulements sur desgéométries arbitraires, ce qui facilite le maillage autours du perturbateur. OF n’est pasà proprement parler un solveur, mais une librairie complète pour l’utilisation des vol-umes finis pour la résolution d’équations aux dérivées partielles fournie avec quelquesexemples de solveurs. Dans le cadre de cette étude, certains solveurs ont été adaptés,et des modules spécifiques ont été crées. La version d’OpenFOAM sur laquelle ont étéeffectués les calculs finaux est la version 1.5.

2.5.2.1 Programmation générique

OF est écrit en C++, tirant beaucoup partie de la programmation générique (pourles notions attenantes de polymorphisme et de patrons de classe, voir Stroustrup(1997)). Le résultat est une syntaxe proche des mathématiques mises en œuvre ainsiqu’une bonne lisibilité du code. Il est ainsi architecturé pour pouvoir résoudre deséquations aux dérivées partielles sur des tenseurs et en déléguant la résolution de ceséquations à des fonctions spécialisées. Il revient à l’utilisateur de stipuler les schémasde discrétisation spatiale et temporelle qu’il souhaite que ces fonctions utilisent.

Par exemple, une équation est représentée par le patron de classe fvMatrix<Type>où Type est une classe pouvant représenter un tenseur de n’importe quel ordre. L’équa-tion de quantité de mouvement est ainsi représentée par une instance UEqn de la classefvMatrix<vector>, tandis que l’équation de l’énergie est représentée par une instanceTEqn d’une classe fvMatrix<scalar> :

fvMatrix<vector> UEqn(

fvm::ddt(U)+ fvm::div(phi, U)- fvm::laplacian(nu, U)==- fvc::grad(p)

);

fvMatrix<scalar> TEqn(

fvm::ddt(T)+ fvm::div(phi, T)- fvm::laplacian(DT, T)

);


On retrouve donc les termes de dérivée temporelle, divergences et laplaciens, fvmdédignant les termes calculés implicitement et fvc les termes explicites. La résolutionde ces équations est ensuite effectuée par les appels aux méthodes UEqn.solve(); etTEqn.solve();. La plupart des classes fournies par OpenFOAM prennent automa-tiquement en compte la communication inter-processus, rendant la parallélisation im-plicite dans la plupart des situations rencontrées. Un exposé plus complet des implica-tions de l’utilisation de la programmation générique dans le cas d’OF, se trouve dansJasak et al. (2007).

2.5.2.2 Structure du solveur

Un solveur pour le calcul d’écoulement turbulent en canal plan périodique en LESest distribué avec OpenFOAM. Il résout les équations de Navier-Stokes en régimeinstationnaire, et sert de base pour le code utilisé dans la présente étude pour le calculen DNS. Il est modifié dans cette étude pour supprimer le modèle de turbulence de sous-maille, résoudre l’équation de l’énergie interne, obtenir des statistiques particulièresliées aux phénomènes dissipatifs, ou encore mettre en place les calculs concurrents telsque décrits dans la section 2.5.8 (p.44).

Le code ne résout pas en même temps l’équation de bilan de matière et l’équationde bilan de quantité de mouvement. Il utilise l’algorithme PISO pour les coupler enséparant le calcul en plusieurs étapes. Dans un premier temps le champ de pressioncalculé à l’itération précédente est utilisé (de façon explicite comme vu précédemment)dans les équations de quantité de mouvement, comme approximation du champs depression au pas de temps actuel, pour estimer le champ de vitesse dans l’écoulement. Ala suite de quoi l’équation de Poisson régissant la pression au pas de temps actuel estrésolue en utilisant les valeurs des vitesses obtenues précédemment, et des correctionssur les champs de pression et de vitesse sont appliquées pour obtenir un champs devitesse satisfaisant l’équation de continuité. Le détail de cet algorithme est par exempledécrit par Ferziger et al. (1999).

Un exemple d’utilisation d’OF pour la résolution d’écoulements instationnaires setrouve dans la thèse de de Villiers (2006), il représente les premiers travaux effectués enLES avec OpenFOAM. Un autre exemple de projet utilisant OpenFOAM pour un calculinstationnaire est Duprat (2010), avec des applications pour les turbines hydrauliques.Ces deux travaux utilisent une modélisation LES de la turbulence.

2.5.3 ParamètresLes schémas de discrétisation utilisés sont : «arrière» pour les dérivées temporelles

(schéma second ordre), et «intégrale de Gauss» pour les dérivées spatiales (schéma sec-ond ordre). Ferziger et al. (1999) fournissant là aussi une définition précise des schémasutilisés en volumes finis. Les interpolations entre les centres des cellules et des facessont effectuées avec des schémas linéaires. Une fois les équations aux dérivées partiellestransformées en équations algébriques par ces discrétisations, il faut choisir un solveurlinéaire pour résoudre les systèmes matriciels obtenus. Dans cette étude les solveurssont, pour l’équation de Poisson sur la pression, un gradient conjugué préconditionnépar une multigrille, et pour les équations de quantité de mouvement et de tempéra-ture, un gradient biconjugué préconditionné par une décomposition LU incomplète.Saad (2003) par exemple fournit le détail de ces techniques d’algèbre linéaire. Des coef-ficients de sous-relaxations de 0.3 pour la pression et 0.7 pour les autres variables sont


appliqués. Le critère d’arrêt sur la valeur des résidus est repris d’un cas test fourni avecOpenFOAM, pour un calcul LES en canal plan à Reτ = 395.

Le pas d’avancement temporel ∆t est de 1.5e−4 s. Avec la maillage utilisé, celacorrespond à une valeur de CFL moyen d’environ 0.15 et de CFL maximal d’environ1.5.

Les moyens matériels mis en œuvre pour effectuer le calcul sont 384 processeurstournant en continu pendant 1 mois, par l’utilisation de 24 sous-calculs parallèles.

2.5.4 MaillageAfin de capter les structures turbulentes, il faut que les équations de Navier-Stokes

soient discrétisées en un nombre de points suffisant pour que les structures turbu-lentes et leurs interactions soient décrites correctement dans les champs solutions. Or,les structures turbulentes ne sont pas réparties régulièrement dans l’écoulement, maisconcentrées dans la zone de proche paroi. Par exemple, le pic d’énergie cinétique tur-bulente se situe autours de x+

2 = 15, alors que le milieu du canal se trouve en x+2 = 180.

Le maillage doit donc être raffiné en proche paroi.Ce maillage en proche paroi est obtenu en partant d’un maillage régulier (généré

dans OF), dont les points sont espacés de la même distance dans les trois dimensions,les mailles étant cubiques. Une fonction f est appliquée aux coordonnées du maillagerégulier pour obtenir les coordonnées du maillage réel. La définition de cette fonctionest :

f : R× [0, H]× R→ R× [0, H]× Rξ 7→ x = a ξ

ε 7→ y = H

2

[1 +

tanh(b ( εH− 1

2))tanh( b2)

](2.10)

ζ 7→ z = c ζ

ξ, ε et ζ représentant les coordonnées dans l’espace de maillage régulier. Les valeursdes paramètres a, b et c sélectionnées pour l’étude sont :

a 2.84b 3.8c 1.95

Ces trois valeurs ont été sélectionnées sur la base des valeurs utilisées par Doche(2007) pour la simulation en DNS d’un canal plan contenant un écoulement turbulentlui aussi à Reτ = 180.

La composante fx2 transformant les coordonnées selon la seconde dimension esttracée sur la figure 2.15. La pente de cette courbe est liée linéairement à la densité demailles dans l’espace d’arrivé.

Après application de f , le centre de la première maille fluide au-dessus de la paroise trouve en x+

2 = 0.25. La hauteur de la première maille est donc de ∆x+2 = 0.5. La

hauteur d’une maille au centre du canal (la plus étendue selon y) est de ∆x+2 = 5.5.

L’écart entre mailles dans les autres dimensions est de ∆x+1 = 8 et ∆x+

3 = 5.5.Le canal contenant le perturbateur a été maillé selon le même principe que le canal

plan, à la différence que le maillage régulier est crée sous Gambit. Il est ensuite importésous OF, et la fonction f est appliquée de la même façon que dans le cas du canal plan,


espace de départ

espac

e d'a

rriv

ée

Figure 2.15 – Fonction f : ε 7→ x2 (dimensions en m)

pour obtenir le maillage réel sur lequel les calculs seront effectués. La distribution desmailles finale est donc à peu près la même entre le canal plan et le canal perturbé.Par contre, des contraintes sur le nombre total de mailles ont amené à ne pas raffinerparticulièrement la zone autours du perturbateur. Le moindre raffinement, impose parcontinuité du maillage une augmentation très importante du nombre de mailles. Lescellules en contact avec le perturbateur ont donc les mêmes dimensions que les cellulesen canal plan dans la même zone. Par exemple, au sommet du perturbateur, les cellulesen contact avec le perturbateur ont pour dimensions 8× 5.5× 5.5 en unités pariétales.

DNS

RANS et exp.

ligne de courant en RANS ou exp.

Figure 2.16 – Comparaison des largeurs de domaines DNS RANS et expérimentaux,figure à l’échelle

Pour limiter le nombre de mailles, le domaine de calcul a été tronqué par rapportà la taille du domaine expérimental et au calcul RANS. Les dimensions du calcul DNSsont de 0.3698×0.0416×0.185 mètres soit 8.8×1×4.4 hauteurs de canal. La figure 2.16représente à l’échelle le canal RANS (et par extension la veine expérimentale), ainsique le canal DNS. Le perturbateur représente un obstacle pour l’écoulement, diminuantlocalement le débit. Or, pour conserver le débit total dans chaque section, la vitesselongitudinale sur les bords devient plus importante qu’en amont du perturbateur. Lecanal DNS étant moins large, tout le flux reste dans la zone autours du perturbateur,ce qui correspond à une augmentation artificielle du débit dans cette zone par rapportau cas réel. Il faut tenir compte de cette limitation du calcul les des interprétations desdifférences entre les résultats RANS, DNS et expérimentaux.


Le maillage, avec les limitations présentées sur son raffinement, ainsi que la ré-duction de son étendue spatiale, atteint 14 millions de mailles, ce qui pour un calculinstationnaire est une quantité importante : un nombre de pas de temps importantsera nécessaire à la convergence des statistiques. De plus, en parallèle de ce canal, uncalcul précurseur fourni les conditions d’entrée. Ce calcul est lui aussi instationnaire,et impose les même contraintes de maillages. La taille du domaine est de 4.4× 1× 4.4hauteurs de canal, et il contient donc 7 millions de mailles.

2.5.5 Condition d’entrée du canal perturbéLa condition d’entrée du canal contenant le perturbateur est un écoulement turbu-

lent établi. Différentes méthodes permettant de générer un écoulement turbulent établisont présentées suivie des détails de l’implémentation spécifique à cette étude. Cettecondition a demandé le plus de développements pour la présente étude. Les autresconditions sont développées par la suite.

2.5.5.1 Approche sélectionnée

Tabor et al. (2004) présentent un panel de méthodes utilisées pour la générationdes conditions d’entrée. Cette section de l’étude passe en revue ces méthodes pourdéterminer laquelle est la plus adaptée.

L’approche la plus directe pour l’étude des écoulements turbulents est de disposerd’une géométrie où le fluide entre et sort du système par une condition périodique.Un terme de gradient de pression moteur est introduit dans les équations de bilan dequantité de mouvement, pour forcer la mise en mouvement du fluide. Les structuresturbulentes sont conservées, et effectuent plusieurs passages dans le système. Une per-turbation initiale aléatoire déclenche la déstabilisation de l’écoulement, qui acquière aucours d’une phase de transition un caractère de turbulence établie. Le calcul est ainsiautonome : il génère ses propres conditions d’entrée instationnaires. Cette approchen’est pas réalisable pour la géométrie étudiée ici, car le perturbateur génére des grandstourbillons longitudinaux qui ne sont pas présents dans un canal plan. Leur réintroduc-tion à l’entrée ne permettrait plus d’avoir un écoulement de canal plan, la conditionde périodicité recopiant alors les structures tourbillonnaires à l’entrée du canal. Il neserait plus possible d’effectuer des comparaisons avec le dispositif expérimental.

Il reste deux options pour la génération des conditions d’entrée : la synthèse destructures et l’utilisation d’un calcul précurseur. Synthétiser les structures à l’aide decorrélations permet de conserver un calcul autonome, et un temps de calcul peu im-portant. Les structures générées ne sont par contre pas physiques, et ne se comportentpas dans l’écoulement comme les structures turbulentes réelles, sauf si l’écoulement estsuffisamment long pour que des structures turbulentes réelles émergent.

L’utilisation d’un calcul précurseur permet d’avoir des conditions d’entrée turbu-lentes établies, au prix d’un calcul annexe pour lequel plusieurs approches sont envis-ageables. Soit le calcul précurseur effectué séparément génère des profils sous formed’une suite de fichiers qui sont chargés dans le calcul avec le perturbateur. Soit le cal-cul précurseur est inclus en tant que portion du calcul avec perturbateur. La premièresolution est choisie pour cette étude, et la gestion des fichiers de profil est décrite dansla section 2.5.5.3.

Il est possible de ne pas coupler les deux calculs dès le premier pas de temps. Cecipermet d’attendre l’établissement de la turbulence dans le calcul précurseur pour n’as-signer à l’entrée du canal perturbé que des profils turbulents établis, et ainsi accélérerl’établissement de l’écoulement dans le canal perturbé. C’est ce qui a été fait ici.


Pour simplifier les notations, le calcul contenant le perturbateur sera par conventionréférencé sous le nom perturb et le calcul précurseur sous le nom precur. Cet allégementdeviendra d’autant plus justifié quand sera abordée la notion de ligne de calcul, dansla section 2.5.8 (p.44).

2.5.5.2 Maintien du débit dans la section d’entrée

Afin de mettre en mouvement l’écoulement dans le calcul précurseur, un gradientde pression moyen est prescrit.

L’équation de quantité de mouvement résolue dans le canal précurseur est donc :

∂ui∂t

+ ∂ujui∂xj

= −1ρ

∂

∂xi(p+ p′) + ν

∂2ui∂xj∂xj

(2.11)

La pression est décomposée en une partie moyenne et une partie fluctuante : pet p′. La valeur de la partie moyenne n’est jamais calculée, et son gradient, constantdans l’écoulement, est fixé afin d’avoir une force volumique mettant en mouvementl’écoulement (de ce fait, p ne peut être continue en la condition périodique). La partiefluctuante p′, est elle calculée directement, et sa valeur est continue en la condition auxlimites de périodicité.

L’utilisateur fournit au solveur l’objectif de débit à fixer pour reproduire l’écoule-ment expérimental. Le solveur va calculer la valeur numérique de ∂p

∂x1, qui est la seule

composante non nulle de ∂p∂xi

, en utilisant une méthode itérative pour rester proche del’objectif en débit. Pour cela, le débit instantané dans la section est déterminé, puis lacorrection à appliquer au gradient de pression est calculée. Une correction est appliquéà la pression, puis au champs de vitesse, de façon similaire à ce que fait l’algorithmePISO utilisé pour le couplage pression-vitesse pour que l’écoulement vérifie localementle bilan de matière.

2.5.5.3 Implémentation de la condition d’entrée

OpenFOAM fournit nativement la possibilité de charger un profil écrit dans unfichier texte comme condition aux limites pour un écoulement. Cependant, l’implé-mentation proposée a posé quelques problèmes techniques, et une solution adaptée àcette étude a été réécrite. Il a aussi fallu coder l’écriture du profil depuis precur, ainsique le transfert d’information entre precur et perturb.

La première étape pour cette étude a consisté à insérer un code dans le solveurutilisé pour le calcul precur afin qu’un plan soit échantillonné et écrit sur le disque. Lefichier doit ensuite être modifié au format attendu par la condition d’entrée du calculperturb, puis copié du cas precur vers le cas perturb où il sera utilisé. Ces opérationssont répétitives et, effectuées à la main, peuvent être source d’erreurs. Une solutiondoit donc être développée pour automatiser le lien entre les deux calculs. Comme cesfichiers de profils peuvent être nombreux et occuper de la place sur le disque, il apparaîtjudicieux de ne copier un fichier de precur vers perturb que quand perturb en a besoinpour l’itération courante. En plus de consommer de la place, la profusion de profils peutdépasser la limite de 32 000 sous répertoires par répertoires (fixée par le système defichiers), empêchant l’écriture de nouveaux profils. Dans le même soucis d’optimisationdes ressources il faut de plus qu’à l’issue du calcul, les profils ayant été utilisés soientsupprimés.

Le langage C++ ne dispose pas nativement des méthodes nécessaire pour les opéra-tions à effectuer ici (par exemple, il n’y a pas de méthode de manipulation d’expressionsrégulières). La solution retenue a donc été de modifier au minimum le solveur DNS écrit


pour cette étude, et de déléguer à un programme externe, écrit en Python, la gestiondes profils sur le disque. Ce programme, baptisé «feeder», est lancé en tâche de fondavant le solveur principal. Une pile FIFO (first in first out) est crée sur le disque. Ellesert de canal de communication entre le solveur et le feeder. Le solveur, à chaque pas detemps, communique un ordre au feeder, par exemple d’effectuer l’import d’un certainprofil sur le disque depuis precur.

feeder

solveur

1. requête

2. selection

bibliothèque entrées perturb

bibliothèque entrées precur

4. accès et exploitation

3. transfert et traitement

Figure 2.17 – Relations entre le solveur et le feeder (script de gestion des profils)

Le fonctionnement exact du feeder est résumé dans la figure 2.17. L’utilisateur exé-cute le feeder en lui indiquant le chemin sur le disque de stockage vers le cas contenantles conditions d’entrée à utiliser, puis le solveur OF est lancé.

– Étape 1 : le solveur envoie une requête au feeder, utilisant le fichier fifo commecanal de communication. Le solveur se met ensuite en attente de la confirmationpar le feeder que les traitements sont terminés (fin de l’étape 3), il poursuit alorsson exécution.

– Étape 2 : le feeder sélectionne, parmi les profils disponibles dans le cas precur, leprofil adapté au pas de temps requis par le solveur.

– Étape 3 : le feeder copie le profil de precur vers perturb, et effectue le formatagenécessaire pour que le profil devienne exploitable par perturb. A la suite de cetteopération, le feeder envoie au solveur un signal de fin de traitement.

– Étape 4 : le solveur reprend son exécution, et utilise le profil nouvellement trans-féré comme condition d’entrée. Le pas de temps est incrémenté de 1, et l’étape 1se présente à nouveau.

A chaque requête du solveur, le feeder met à jour une liste qu’il tient des conditionsaux limites demandées par le solveur. Quand le solveur a finit son exécution, il écritsur le disque son champ courant, qui sert ensuite de point de départ pour la prochaineexécution. Les fichiers de profils précédemment utilisés deviennent donc inutiles. De cefait, quand le solveur termine son exécution, il le signale au feeder qui supprime dudisque l’ensemble des profils utilisés, évitant leur accumulation sur le disque.

Cette condition aux limites est utilisée à l’entrée de perturb, pour le champ devecteurs ui ainsi que pour le champ de T .

2.5.6 Autres conditions aux limites2.5.6.1 Périodique

La condition de périodicité est uniquement utilisée dans precur. Elle consiste àégaliser les fluxs entre deux faces des deux côtés du canal. Elle est particulièrementutilisée dans le cadre de la simulation d’écoulement turbulents, car elle permet deconserver les structures lors du franchissement du domaine de calcul : ce qui aurait été


l’extérieur du domaine est en fait calculé à un autre endroit à l’intérieur du domaine.Dans le calcul precur, elle est utilisée pour lier l’entrée à la sortie dans le sens del’écoulement, mais aussi les côtés du domaine.

Cette condition est utilisée en entrée et sortie de precur, pour les champs de ui ainsique de p.

2.5.6.2 Advective

La condition de sortie à appliquer à perturb doit modifier au minimum l’écoulementpar rapport au cas physique réel. Des premiers essais ont été effectués avec une conditionde gradient nul pour sa simplicité et la rapidité de sa mise en œuvre. Les structuresétaient trop dissipées à la sortie, et cette condition affectait trop l’écoulement dans lecanal. Afin de résoudre ce problème, une condition un peu plus proche de ce qui sepasserait dans l’écoulement si il ne traversait pas les limites du domaine est utilisée.Cette condition dite d’advection est par exemple décrite dans Ruith et al. (2004). Elleprend pour expression, pour une variable φ représentant ui ou T , et une paroi denormale xn orientée vers l’extérieur :

∂φ

∂t+ uc

∂φ

∂xn(2.12)

La vitesse d’advection uc est traditionnellement soit sélectionnée comme étant lavitesse locale, soit une vitesse fixée (telle que la vitesse débitante). Des tests ont étéeffectués dans les deux cas pour déterminer le choix le plus adapté à cette étude.

En utilisant la vitesse débitante, qui correspond à l’implémentation la plus sim-ple de la condition aux limites, les structures sont beaucoup moins dissipées qu’avec lacondition de gradient fixé. Des irrégularités persistent cependant autours du franchisse-ment de la condition de sortie, principalement dans la zone de déficit de vitesse décritedans la section 3.2.2 (p.60). Ces irrégularités disparaissent rapidement en amont dela condition de sortie. Par contre, en utilisant cette condition de sortie, il est observédans ce calcul que le nombre de Courant augmente légèrement à chaque itération, maisde manière monotone, jusqu’à la divergence du calcul observée après 60000 itérations.Dans un cas test sans perturbateur, ce problème d’instabilité n’est pas apparu.

En utilisant la vitesse locale pour uc, les champs de sortie ne présentent plus d’arte-facts, et la valeur maximale du CFL n’augmente plus de façon monotone, mais oscilleautours d’une valeur moyenne. En observant des champs instantanés, la turbulence nesemble pas non plus affectée en amont de la condition de sortie. Cette condition desortie est donc retenue pour effectuer le calcul complet.

La méthode de calcul utilisée est de calculer ∂φ∂xn

et uc de façon explicite, et ∂φ∂t

defaçon implicite. Cette condition est appliquée à chaque composante de ui ainsi qu’à Ten sortie de perturb.

2.5.6.3 Symétrie

Plusieurs conditions aux limites peuvent être appliquées sur les bords du domaine decalcul. La plus simple à implémenter serait la condition périodique. Cependant, comptetenu de la faible largeur du canal étudié, elle pourrait perturber l’écoulement (des testsen RANS avaient montré la création d’un débit transverse, le tourbillon interagissantavec lui-même). La condition advective aurait pût être utilisée sur les côtés, mais sila vitesse à la condition aux limites uc est négative (ce qui peut être le cas dansun écoulement turbulent), la condition n’est pas physique, puisqu’elle ne dispose pasd’information sur l’écoulement en provenance de l’extérieur du système. La condition


de symétrie a finalement été retenue bien qu’elle ne soit pas totalement satisfaisanted’un point de vue physique, car l’écoulement est loin d’être symétrique dans un régimeturbulent. Par contre, elle offre l’avantage, contrairement à une condition de paroi, dene pas entraîner la création d’une couche limite qui forcerait à élargir le canal pour nepas interagir avec les tourbillons étudiés et rendrait les temps de calcul prohibitifs.

Cette condition est appliquée à ui et à p, sur les côtés de perturb. Voir le chapitre2.5.10.2 (p.49) pour plus de détails sur sa validation.

2.5.6.4 Valeur fixée ou gradient nul

Les grandeurs dont la valeur est uniformément fixée en une condition aux limitessont T en entrée et sur les parois de perturb, ui sur les parois de perturb, et p en sortiede perturb. Ces valeurs sont pour la température de 300° pour l’entrée du canal et 350°pour les parois. La vitesse est nulle en paroi, et la pression est nulle en sortie du canal.

La condition de gradient nul est appliquée à p sur les parois de precur et de perturb,ainsi qu’en entrée de perturb.

2.5.6.5 Résumé des conditions aux limites appliquées

Les tableaux 2.2, 2.3 et 2.4 fournissent un résumé des différentes conditions auxlimites pour les trois quantités calculées.

entrée sortie côtés paroiprecur périodique périodique périodique valeur nulleperturb profil imposé convection symétrie valeur nulle

Tableau 2.2 – Conditions aux limites sur ui

entrée sortie côtés paroiprecur périodique périodique périodique gradient nulperturb gradient nul valeur nulle symétrie gradient nul

Tableau 2.3 – Conditions aux limites sur p

entrée sortie côtés paroiperturb valeur fixée convection symétrie gradient nul

Tableau 2.4 – Conditions aux limites sur la température

2.5.7 Conditions initiales de l’écoulementLes simulations ne peuvent pas être initialisées avec des champs de turbulence

établie puisque leur obtention en est la finalité. Afin d’obtenir un écoulement turbulentétabli, un champs initial est perturbé de façon aléatoire, et du fait de la forte non-linéarité des équations de Navier-Stokes, un comportement chaotique émerge qui sestabilise après une phase transitoire autour d’un écoulement de canal plan établi. Il faut


donc perturber un écoulement initial pour effectuer une transition vers l’écoulementétabli. Afin d’accélérer cet établissement l’écoulement servant à l’initialisation est unesolution stationnaire obtenue par un calcul RANS, de sorte que sa forme générale soitproche de la partie moyenne de l’écoulement turbulent.

2.5.7.1 Utilisation d’un calcul RANS

Que ce soit pour precur ou perturb, les champs initiaux sont déterminés par uncalcul RANS stationnaire auquel est appliquée une perturbation sous la forme de zonesde fortes et faibles vitesses réparties aléatoirement. Il y a donc, quand les calculs RANSsont pris en compte, quatre calculs à faire. Les relations entre ces calculs sont présentéessur la figure 2.18.

RANS

precur perturb

DNS

condition

d'en

trée

condition initiale

conditio

n

d'en

trée

condition initiale

Figure 2.18 – Relations entre les calculs effectués

Le premier calcul lancé est le calcul RANS dans le canal precur. Un profil deschamps ui, k et ω (ω désignant le taux de dissipation spécifique, et non la vorticité,désignée ωi) en est extrait, qui va servir de condition d’entrée au calcul RANS dansle canal perturb. Le champ complet dans precur va quand à lui servir de conditioninitiale pour le calcul DNS dans precur, après avoir subit une perturbation aléatoirepour assymétriser l’écoulement. Le calcul DNS dans perturb est quand à lui initialisépar le calcul RANS dans perturb, et utilise à chaque pas de temps un profil généré par lecalcul DNS dans precur, comme condition d’entrée. On peut noter que la perturbationappliquée à l’écoulement n’est pas un bruit blanc, mais une série de zones de hautes etbasses vitesses. Un bruit blanc a une forme moins proche des structures turbulentes, etmet plus de temps à transitionner vers la turbulence. Il y a aussi plus de chance pourque l’écoulement se relaminarise avec un bruit blanc, les structures se dissipant sans serégénerer.

2.5.7.2 Régime transitoire

Une fois que le calcul RANS est perturbé, un certain nombre d’itérations en DNSsont nécessaires pour atteindre le régime établi. Ce nombre d’itérations n’est pas connuà l’avance. Pour l’estimer, les intégrales de la contrainte pariétale et du flux de chaleursur la paroi basse sont calculées. Leurs évolutions temporelles sont analysées, et l’itéra-tion à partir de laquelle ces grandeurs oscillent autours d’une valeur fixe est considéré


comme le point où l’écoulement a atteint son régime établi. Les champs instantanéscommencent alors à être intégrés dans les calculs des moments statistiques. La figure2.19 présente l’évolution de la contrainte pariétale dans precur ainsi que du point oùles champs commencent à être considérés pour les statistiques à calculer, en fonctiondu temps d’écoulement simulé.

RANS

transition statistiques

10 temps de boîte

Figure 2.19 – Transition vers l’écoulement turbulent dans precur

La figure 2.19 présente l’évolution de la contrainte pariétale (dans une unité util-isée dans le code) lors des phases de transition et de calcul des statistiques du calculprecur. Même si le calcul RANS est stationnaire, l’évolution de la contrainte pariétaleà chaque itération est représentée aussi, avec un pseudo avancement de ∆t par itéra-tions identique à celui de la DNS, afin de pouvoir montrer la convergence du RANS etde la DNS sur la même figure. Ainsi, au bout de 3000 itérations, le calcul RANS estarrêté, les perturbations de vitesse sont appliquées et la DNS qui est elle réellementinstationnaire est lancée. Au bout de 4 secondes d’écoulement, comme le signal sur lacontrainte semble osciller autours d’une valeur moyenne, la turbulence est considéréeétablie, et les statistiques sont calculées sur l’écoulement.

Les figures 2.20a et 2.20b présentent les évolutions du flux de chaleur et de lacontrainte pariétale moyenne sur la paroi inférieure dans perturb. Le calcul préliminaireainsi que le début de la phase transitoire n’ont pas été incluses. On peut voir que lesignal est stabilisé, et que le point de départ des calculs de statistiques est pertinent.Le pas de temps initial de 100 ne correspond pas au temps d’écoulement réellementécoulé : les calculs ont été resynchronisés à 100 quand les precur ont fini leur transitionvers un écoulement turbulent.

2.5.8 Calculs concurrentsComme évoqué précédemment, le code de calcul OF est généraliste, ce qui limite les

optimisations possibles sur la performance du solveur. De plus, la géométrie de canalperturbé ne possède pas de directions homogènes du fait des tourbillons longitudinaux,et il n’est donc pas possible de faire des moyennes spatiales selon x1 et x3 pour obtenirdes profils monodimensionels selon x2, comme c’est le cas dans le canal plan.


100 101 102 103 104 105 1060

100

200

300

400

500

600

700

800

1 temps de boîte


(a) Flux de chaleur

100 101 102 103 104 105 1060

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

1 temps de boîte


(b) Contrainte pariétale

Figure 2.20 – Évolution des flux et contraintes moyennées spatialement, en fonctiondu temps

precur-1

perturb-1

ligne 1

feed

er-1

Plan d'acquisition

Conditiond'entrée

precur-N

perturb-N

ligne N

feed

er-N

Plan d'acquisition

Conditiond'entrée

...

Figure 2.21 – Lignes de calcul

La solution retenue dans cette étude pour optimiser le temps de calcul est de lancerle même calcul plusieurs fois en parallèle, avec un écoulement initial différent, maisau même nombre de Reynolds. Cette solution est représentée sur la figure 2.21. Unensemble precur et perturb avec son écoulement propre est appelé une «ligne». Lesgéométries et types de conditions aux limites sont les mêmes entre les lignes (qui sonttoutes clonées à partir d’une ligne modèle). Un même écoulement obtenu par calculRANS est chargé dans l’ensemble des lignes, mais la perturbation aléatoire entraînantla transition vers la turbulence varie selon les lignes. Cette transition étant chaotique,cela crée les différences d’écoulements entre les lignes. Si par réalisation statistique, onentend le champs instantané à un instant calculé donné, il est donc possible d’utiliserles réalisations statistiques de chaque ligne en les «mélangeant» dans un plus grand en-semble contenant les réalisations de toutes les autres lignes. Cela permet de déterminerplus rapidement les moments des variables aléatoires en chaque point, et permet depousser la parallélisation du code beaucoup plus loin que les méthodes par découpagedu domaine de calcul (qui reste cependant utilisée au sein de chaque ligne).

Le développement du calcul des statistiques se trouve dans la section 2.6 (p.49). Il


décrit entre autre le calcul des statistiques à travers les lignes.

convergen

ce intra

run

sur 2

500 itératio

ns

ligne 1 ligne 2itérations

convergence inter runs

7500

10000

2x2500=5000 réalisations

master

aucu

n ch

amps

interm

édiaire calcu

lé

convergen

ce intra

run

sur 2

500 itératio

ns

Figure 2.22 – Utilisation des lignes pour le calcul des statistiques

La figure 2.22 décrit l’utilisation des lignes de calcul. L’exemple présenté contientdeux lignes ayant chacune produit des statistiques entre les itérations 7500 et 10000,c’est à dire des statistiques estimées à partir de 2500 réalisations. Ces deux ensemblede statistiques sont ensuite mis en commun pour déterminer, sur la ligne maîtresse, lesstatistiques correspondant au total des 5000 réalisations sur l’ensemble de lignes. Pourimplémenter cette solution, un code est écrit qui détecte le nombre de lignes de calculprésentes, et créé le champs contenant les statistiques pour l’ensemble des réalisationsprésentes dans la ligne master. Les équations de Navier-Stokes ne sont jamais résoluesdirectement dans la ligne master.

2.5.9 Lancement automatique des calculsLe calcul en simulation numérique directe est long, et sujet à de nombreuses con-

traintes. Il n’est pas possible de lancer precur et perturb directement, sur une périodeétendue, pour récupérer à la fin les statistiques de l’écoulement. La première limitationà cela est que la gestion de la plateforme de calcul ne permet à aucun calcul d’êtrelancé sur une période supérieure à une semaine. La seconde est que precur génère undossier contenant les profils de ui et T à chaque itération, or le système de fichiersutilisé ne permet pas la création de plus de 32000 sous-répertoires. Avec 15 secondesde temps de calcul par itération, la limite du système est atteinte en 6 jours. Ces deuxlimitations imposent d’arrêter et de reprendre périodiquement les calculs, sans qu’ilne soit possible de prévoir quand les lignes de calcul sont lancées car les ressourcessont partagées avec d’autres utilisateurs. Il faut donc créer un système dans lequelchaque ligne est autonome, et intègre le lancement des calculs qui lui sont associés.L’expérience a montré que l’enchevêtrement de dépendance entre les calculs qui enrésulte doit être tolérant aux erreurs matérielles (notamment les erreurs d’écriture surdisques réseaux). L’objectif étant qu’en l’absence d’intervention externe, chaque lignetourne perpétuellement.

La figure 2.23 présente le système actuel : l’utilisateur soumet le calcul precur-1, quiva, dès son lancement, soumettre perturb-1 (qui utilisera les profils d’entrée générés par


precur perturb

afterok

afterok

after: B lancé après démarrage de Aafterok: B lancé après fin execution de A

backupbackup

backup

backup

backup

backup

after

after

after

precur-1 perturb-1

afterany

aftera

ny

afterany

afterany

afterany

afterany

precur-2

precur-3

perturb-2

perturb-3

Figure 2.23 – Dépendances entre les calculs precur et perturb, au sein d’une uniqueligne de calcul

precur-1), qui se lancera dès que les ressources de calcul qu’il requiert seront disponibles.Une version de backup de precur-1 et de perturb-1 est mise en queue dès que l’un deces calculs est lancé : si le calcul rencontre un problème et s’arrête avant son terme, ilest relancé à l’identique via cette version de backup. C’est le calcul lui-même, quandil s’achève, qui ordonne la suppression de ce backup de la queue de calcul. De plus,perturb-1, quand il s’achève soumet precur-2 (qui à son lancement crée un run debackup, etc...). Ainsi, en cas d’arrêt prématuré de perturb-1, la version de backup estlancée immédiatement, et precur-2 n’est pas mis en queue.

Entre chaque run, perturb-1, perturb-2, etc..., l’ensemble des champs doit être écritsur le disque pour permettre la reprise du calcul au pas de temps suivant. Commeces calculs génèrent une quantité importante de fichiers sur le disque, (1.3 Go pourl’ensemble des champs, à chaque point de sauvegarde), un système est mis en place poursupprimer les données au fur et à mesure. L’expérience ayant là aussi montré que deserreurs d’écriture peuvent stopper des lignes de calculs, et ce système s’assure aussi del’intégrité des données écrites. Le résultat est que si une ligne tourne perpétuellement,la quantité d’espace disque qu’elle occupe reste à peu près constante.

2.5.10 Validation du code pour l’utilisation en DNS2.5.10.1 Validation du calcul précurseur

Durant la phase de développement des outils présentés ci-avant, des tests sonteffectués sur une configuration semblable à precur, mais dont les dimensions selon x1et x3 ont été réduites afin d’accélérer le calcul à 600× 360× 200 unités pariétales, ens’inspirant de résultats fournis par Jimenez et Moin (1990) sur la taille minimale d’uncanal permettant de conserver certains caractères de la turbulence de l’écoulement. Ladensité de cellules ne changeant pas, le nombre de mailles suivant les trois directionsdevient 75× 360× 36, pour un total de 972000 cellules.

Une fois l’ensemble du système fonctionnel, le calcul en dimensions réelles est intro-duit. Comme precur est une configuration d’écoulement académique (écoulement péri-odique en canal), il est possible de comparer les grandeurs statistiques à des grandeursissues de la littérature. Le choix de Reτ = 180 permet d’utiliser les résultats de Kim


et al. (1987) qui servent de référence à de nombreux calculs effectués en DNS en canauxplan. Precur est donc lancé sur un ensemble de 24 lignes de calcul, jusqu’à l’obtentionde 3 000 000 de réalisations statistiques.

Les résultats suivants sont adimensionnés en utilisant les coefficients présentés dansla table 3.1 (p.56).

Figure 2.24 – Comparaison du profil moyen avec les lois de parois

La figure 2.24 présente les différences entre le profil de vitesse moyenne extrait enz = 0 et les trois différentes zones de la loi de paroi déjà évoquées dans la section2.3.6.2. La valeur de uτ utilisée est celle déterminée grâce à la corrélation 1

8.3Re78DNS,

voir Hinze (1975). On peut noter que la sous-couche visqueuse semble avoir la bonnedimension et s’étendre jusqu’à x+

2 = 5. La zone tampon présente la différence la plusmarquée par rapport aux courbes théoriques, et dans la zone log, on peut noter unelégère différence entre la pente théorique et la pente observée, cependant le profil moyenpeut être considéré comme validé.

Figure 2.25 – ω+rms

Sur la figure 2.25, sont présentées les trois composantes de la vorticité RMS, dont


les allures sont comparables à celles fournies dans Kim et al. (1987). Les allures descourbes correspondent, et on peut noter par exemple que la valeur de ω+

1,rms en paroiest de 0.35 ce qui est très proche de la valeur attendue de 0.37.

Kim et al.perturb

Figure 2.26 – u+rms

Sur la figure 2.26, quatre profils de la composante u′1u′1 sont présentés. Trois d’entreeux, en lignes pleines, représentent cette quantité en z = −0.045, z = 0 et z = 0.045,et la ligne en pointillé représente la courbe fournie dans Kim et al. (1987). Les courbessont difficilement distinguables, les profils de la présente étude étant proches du profilmodèle.

Ces courbes valident l’utilisation du code pour la DNS en canal plan. Elles validentaussi l’ensemble des paramètres selectionnés, tels que les schémas de discrétisation etles critères de convergence.

2.5.10.2 Validation de la condition aux limites de symétrie

Les conditions aux limites latérales de symétrie ne sont pas physiques pour uncalcul de simulation numérique directe, car les structures turbulentes n’y sont pascalculées complètement, ce qui est le cas avec des conditions aux limites de périodicité.Il est donc nécessaire de vérifier que ces conditions n’affectent pas de façon notablel’écoulement au centre du canal, où les structures turbulentes interagissent avec lestourbillons longitudinaux.

La figure 2.27 contient le profil de vitesse en X1 = 1.5 et à une distance de 0.9 cmdu bord latéral du domaine (soit 0.2 H), comparé au profil universel. Comme le per-turbateur génère un déficit de vitesse au centre, cela se traduit par une augmentationdu débit sur les bords, et une modification de la vitesse de frottement, passant locale-ment de la valeur en canal plan 0.128 m.s−1 à 0.14 m.s−1. L’impact de la conditionde symétrie sur les bords semble donc peu perceptible sur la partie de l’écoulementétudiée.

2.6 StatistiquesLe calcul RANS fournit directement quelques moments statistiques sur l’écoule-

ment. En DNS et sur la partie expérimentale, il faut tirer ces grandeurs des réalisations


théorique

DNS

Figure 2.27 – Comparaison du profil de vitesse longitudinale moyenne obtenu prèsdu bord, avec le profil présenté par Kim et al. (1987)

individuelles obtenues. Des codes pour les traitements de ces grandeurs ont été écritsspécifiquement pour cette étude. La méthode est similaire dans les deux cas, et faitl’objet de cette section.

2.6.1 PrésentationLes statistiques effectuées dans cette étude se limitent aux deux premiers ordres,

c’est à dire les espérances, variances et covariances des différentes quantités calculéestelles que la vitesse, la pression, la température,..

Le calcul des variances peut être effectué en une ou deux passes. En deux passes,le calcul consiste à déterminer l’espérance dans la première passe, et la connaissant,calculer la variance, selon la formule var(X) = E[(X − E(X))2], ce qui implique deconserver l’ensemble des champs. Il s’agit de la méthode la plus directe pour calculerla variance. Cependant, la quantité de champs est très importante (pour le calculnumérique particulièrement), et il n’est pas possible de tous les conserver en mémoire.La méthode en une passe calcule en temps réel l’évolution des moments à tous lesordres, connaissant leur valeur au pas de temps précédent uniquement, permettant delibérer la mémoire dès l’incorporation de ces valeurs. Par contre, certaines grandeurstatistique dont le calcul n’a pas été prévu au moment de l’acquisition des réalisationsstatistiques peuvent nécessiter l’acquisition de nouvelles réalisations. Pour accélérer ledéveloppement, la méthode en une passe utilisée pour le calcul DNS a été transposéeaux résultats expérimentaux. Le calcul RANS effectue quand à lui un calcul direct desmoments statistiques et ne nécessite pas de post-traitement.

Dans le calcul DNS, ou sur le banc expérimental, les calculs de statistiques sonteffectués à deux moments distincts. Le premier, quand une nouvelle réalisation estcalculée ou mesurée sur une des lignes, et qu’il faut la prendre en compte dans lesstatistiques de la ligne. Le second, quand des statistiques sont obtenues à partir d’unensemble de lignes de calcul concurrentes et qu’il faut les combiner pour obtenir lesstatistiques globales sur l’ensemble du système. Les développements sont présentés defaçon générale en considérant deux ensembles A et B. Les significations de ces deuxensembles varient selon que l’ajout d’une réalisation ou que les statistiques globalessont calculées. Les deux cas de figure ne changent que par le nombre d’éléments nA etnB de ces ensembles.


Le premier cas de figure est la prise en compte d’une nouvelle réalisation. Un calculhypothétique a été effectué sur 20 000 itérations (réalisations regroupées dans l’ensem-ble A). Une nouvelle itération est calculée (ensemble B), comment connaître les réal-isations des estimateurs pour les différentes statistiques sur le nouvel ensemble A ∪ Bcontenant la nouvelle réalisation ? Dans ce cas,

nA =20000nB =1

Le second cas de figure est la prise en considération d’une ligne de calcul dansle calcul des statistiques. De façon hypothétique toujours, huit lignes de calcul ontdonné 10000 réalisations chacune. Les réalisations des estimateurs statistiques pourl’ensemble des résultats des cinq premières lignes (ensemble A) sont connues, il fautconnaître leurs nouvelles valeurs quand y sont adjointes les réalisations de la sixièmeligne (ensemble B). Dans ce cas,

nA =50000nB =10000

2.6.2 Moment d’ordre 1Connaissant la réalisation de l’estimateur de l’espérance d’une variable X sur un

ensemble de réalisations A et celle sur un ensemble de réalisations B, la réalisation del’estimateur sur l’ensemble A ∪B est donnée par la formule :

EA∪B = nAEA(X) + nBEB(X) (2.13)

2.6.3 Moments d’ordre 2Les corrélations doubles correspondant aux moments d’ordre 2 peuvent prendre

différentes formes. La variance d’une variable aléatoire X a pour expression var(X) =E[(X − E(X))2], de même que la covariance entre deux variables aléatoires X et Y :cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]. Ces variables aléatoires peuvent être ten-sorielles, et donc les covariances peuvent être calculées entre des tenseurs d’ordresdifférents. Il peut s’agir de corrélations entre un scalaire et un autre scalaire, ou entreun vecteur et un autre vecteur par exemple.

La formulation tensorielle du calcul de la covariance entre deux variables aléatoiresdifférentes (c’est-à-dire le cas le plus général), est développée ici pour généraliser ledéveloppement. Des exemples d’application sont ensuite donnés pour les différents or-dres et combinaisons de variables aléatoires.

2.6.3.1 Forme générale

L’expression du tenseur de variance pour deux variables aléatoires tensorielles X etY est :

cov(X, Y ) = E(X ⊗ Y )− E(X)⊗ E(Y ) (2.14)


L’estimateur (biaisé, mais convergent) de cov sélectionné est tel que sa réalisationcovA(X, Y ) sur les nA réalisations de X, Y appartenant à A prend pour expression :

covA(X, Y ) =nA∑k=1

Xk ⊗ YknA

−(nA∑k=1

Xk

nA

)⊗(nA∑k=1

YknA

)(2.15)

Pour calculer cette grandeur, les estimateurs des covariances sur les ensembles A etB pris séparément sont disponibles. Il est alors possible de déduire ∑n

k=1Xk ⊗ Yk pourchacun des deux ensembles, pour obtenir ∑A∪BXk ⊗ Yk, qui sera ensuite divisé par lenombre total de réalisations. Pour l’ensemble A, cette somme vaut :

∑A

Xk ⊗ Yk = nA [covA(X, Y ) + EA(X)⊗ EA(Y )] (2.16)

Dès lors, connaissant les réalisations de l’espérance de X et de Y sur l’ensembleA ∪B grâce à la formule 2.13, il vient :

covA∪B(X, Y ) = 1nA + nB

(∑A

Xk ⊗ Yk +∑B

Xk ⊗ Yk)

− EA∪B(X)⊗ EA∪B(Y ) (2.17)

2.6.3.2 Exemples d’application

La variable k est une variable muette de sorte que ∑A T2k désigne la sommation de

toutes les réalisations de T dans l’ensemble A.L’estimation de la grandeur T ′T ′ est l’estimation de la variance d’une grandeur

aléatoire scalaire. Le produit tensoriel correspond alors simplement à la multiplication.L’expression de l’estimateur est :

covA∪B(T ) = 1nA + nB

(∑A

T 2k +

∑B

T 2k

)− EA∪B(T 2) (2.18)

Dans le cas d’une covariance entre un scalaire et un tenseur, tel que le calcul de u′iT ′,l’expression de la réalisation k du vecteur ui est notée ui,k. l’expression de l’estimateurest :

covA∪B(T, ui) = 1nA + nB

(∑A

Tk · ui,k +∑B

Tk · ·ui,k)− EA∪B(T · ui) (2.19)

Enfin, pour le calcul de u′iu′j, cet estimateur devient :

covA∪B(X, Y ) = 1nA + nB

(∑A

ui,k · uj,k +∑B

ui,k · uj,k)

− EA∪B(ui) · EA∪B(uj) (2.20)

Où ui,k · uj,k désigne un tenseur, résultat du produit tensoriel des vecteurs ui,k etuj,k. Cet opérateur est disponible dans OpenFOAM et dans Matlab pour la partieexpérimentale.


Note

Une fois établie la convergence des données obtenues, le terme d’estimateur n’estplus employé dans cette étude, pour ne pas alourdir la présentations des résultats. Parle nom de la grandeur, il est entendu son estimateur sur la ligne master.

2.7 Notes sur les développementsPour récapituler, les développements effectués sur OpenFOAM sont : la condition

d’entrée avec les profils, la condition de sortie advective, les sondes, le suivi de con-trainte, le système de queues, le feeder pour le couplage precur/perturb, le calcul desstatistiques, ainsi que la gestion unifié des lignes de calcul, le tout dans un ensemble co-hérent. Ces développements permettent la création, gestion et post-traitement globalesdes lignes, sans aucune intervention sur les lignes individuelles. Au final l’architec-ture assure la réalisation de calculs DNS concurrents avec chaînage en surmontant demanière autonome l’ensemble des erreurs systèmes rencontrées. Ce système gère dansle cadre de cette étude un millier de calculs par semaine sans intervention externe, etsemble être capable d’en gérer plus sans problèmes particuliers.

De la même façon, dans la partie expérimentale, le code d’acquisition fourni avec laPIV a été utilisé pour obtenir les champs de vecteurs instantanés mais un système descripts Matlab a été écrit pour obtenir l’ensemble des statistiques analysées dans cetteétude à partir de cette collection de champs instantanés.

Chapitre 3

Étude dynamique

3.1 IntroductionDans cette partie, l’étude se focalise sur une version isotherme de la configuration

étudiée avec pour objectif de comprendre l’évolution de la structure de l’écoulement,dans sa phase dissipative en aval du perturbateur.

3.1.1 AdimensionnementPour adimensionner les grandeurs de l’écoulement dans des canaux turbulents pos-

sédant des écoulements secondaires, deux systèmes d’échelles différents sont classique-ment utilisés. Le premier, basé sur l’équation de Navier-Stokes complète, s’appliquesur l’ensemble du domaine et permet de caractériser l’écoulement par son nombre deReynolds (voir section 2.2.2 (p.20)). L’autre est basé sur les grandeurs de proche paroi,où l’équation de bilan de quantité de mouvement ne fait pas intervenir le nombre deReynolds.

L’adimensionnement par les échelles internes consiste à introduire des grandeurscaractéristiques lτ pour les distances et uτ pour les vitesses, liées au frottement pariétal.Il prend l’expression suivante :

x+2 = l

lτ= uτ l

ν(3.1)

u+ = u

uτ(3.2)

Avec uτ la vitesse de frottement, définie pour une paroi de normale xn par :

uτ =√τwρ

(3.3)

avec

τw = ∂u1

∂xn

∣∣∣∣∣y=0

(3.4)

Le nombre de Reynolds turbulent est défini de la même façon que dans Kim et al.(1987) :

Reτ =uτ

H2ν

(3.5)

55

56 3 Étude dynamique

L’expression numérique du profil de vitesse de proche paroi u+1 (x+

2 ), et particulière-ment sa décomposition en trois zones, est présentée dans les sections 2.3.6.2 (p.28) et2.5.10.1 (p.47), où elle est utilisée pour valider les profils d’entrée sur le banc expéri-mental et dans la partie DNS.

L’adimensionnement par les grandeurs de proche paroi n’implique cependant pasque tous les résultats présentés (par exemple le profil d’énergie cinétique turbulente,ou de fonction de dissipation turbulente) soient universels comme peut l’être le profilde vitesse en proche paroi. De plus, comme l’amplitude de la perturbation induitepar les tourbillons transverses dépend du nombre de Reynolds, les profils perturbés endépendront aussi. L’ensemble des résultats présentés dans ce chapitre ne sont donc pasdirectement transposables à des nombres de Reynolds différents de ReDNS = 4244, àcause des écoulements secondaires.

De plus, uτ varie en fonction de x1 et x3 dans le canal perturbé (car la contraintepariétale est affectée par l’écoulement secondaire) mais est constante dans le canalplan. Pour obtenir un adimensionnement unique sur l’ensemble du domaine il fautdonc utiliser une valeur représentative du régime d’écoulement étudié.

Plus le fluide s’éloigne du perturbateur, et plus les phénomènes dissipatifs con-duisent l’écoulement à reprendre les caractéristiques d’un écoulement de canal planturbulent. L’écart entre les deux comportements de proche paroi dans ces deux typesd’écoulement peut donc être mis en évidence directement en exprimant les profils deproche paroi dans le canal perturbé en utilisant l’adimensionnement utilisé dans lecanal plan, qui en représente le comportement asymptotique.

Les expressions des différentes grandeurs étudiées ainsi que leurs coefficients d’adi-mensionnement sont (ε désignant le symbole de Levi-Civita) :

Grandeur adimensionnée Coefficientω+k et τ+

w,k εklm∂u+

l

∂x+m

et ∂u+k

∂x+2

∣∣∣∣w

νu2τ

ω′+k ω′+o εklmεopq

∂u′+l

∂x+m

∂u′+p

∂x+q

ν2

u4τ

E+ et k+ 12(u+

k u+k ) 1

u2τ

φ+ 2S+ijS

+ij

ν2

u4τ

Tableau 3.1 – Expressions des grandeurs adimensionnées et des coefficients d’adi-mensionnement

3.1.2 Décompositions des résultatsDes quantités importantes de résultats sont générées par les mesures PIV et le cal-

cul DNS. Il n’est pas possible de les appréhender directement, et des réductions sontà effectuer. Elles prennent dans cette étude la forme de sommations sur les réalisa-tions statistiques ou d’intégrales sur l’espace physique. La forte non-injectivité de cesopérations de réduction peut cependant faire perdre trop de détails aux résultats etpour préserver une partie de cette information deux décompositions sont conservée :la décomposition de Reynolds et la décomposition entre écoulements longitudinal ettransverse.

Comme indiqué dans la section 2.4.2 (p.31), les grandeurs sont séparées en unepartie moyenne et une partie turbulente. Cette séparation peut sembler arbitraire, carles champs instantanés individuels ne laissent que peu entrevoir ce que serait le champ

3 Étude dynamique 57

moyen, et il n’est donc pas complètement rigoureux d’imaginer que les tourbillonslongitudinaux moyens existent physiquement, et qu’ils sont perturbés par la turbulence.McEligot et al. (2008a) fournit des réserves similaires sur cette décomposition, dans lecas particulier de la fonction de dissipation. Elle sera cependant utilisée ici, car elle estla plus intuitive et c’est par ailleurs celle sous laquelle sont fournis les résultats RANS.Une alternative est de ne pas décomposer les résultats, une autre est de pousser ladécomposition plus loin, par transformées de Fourier ou en ondelettes.

La décomposition spatiale entre un écoulement transverse et un écoulement longitu-dinal vient de la topologie générale de l’écoulement : le mouvement susceptible d’avoirle plus d’impact devrait être le mouvement de rotation transverse, et non le mouvementlongitudinal, sinon il ne serait pas nécessaire d’ajouter des perturbateurs longitudinauxet la simple variation du régime d’écoulement suffirait à reproduire les performances dusystème. Un canal plan ne présente par exemple pas de composante de vitesse moyennetransverse. Et donc dans le canal perturbé ces composantes doivent, en s’éloignant duperturbateur, tendre vers une valeur nulle à cause des phénomènes dissipatifs. Unedécomposition entre grandeurs longitudinales et transverses semble donc bien adaptéeà l’analyse des tourbillons longitudinaux et de leur évolution dissipative en aval duperturbateur.

3.1.3 Hypothèse de BoussinesqLe modèle RANS k − ω SST calcule directement la trace du tenseur de Reynolds.

Il a été sélectionné dans le cadre de cette étude car Khallaki et al. (2005) démontrentque ce modèle capture le mieux les structures dans un écoulement similaire.

Comme indiqué dans la section 2.4.2 (p.31), les quantités −u′iu′j, doivent être mod-élisées pour pouvoir résoudre l’équation de bilan de quantité de mouvement, et l’équa-tion de transport d’énergie interne. De plus, certaines quantités obtenues en post-traitement feront appel à ces grandeurs. L’hypothèse de Boussinesq relie leurs valeursaux valeurs des gradients moyens de l’écoulement par l’introduction de la viscositéturbulente µturb :

−ρu′iu′j = µturb

(∂ui∂xj

+ ∂uj∂xi

)− 2

3ρkδij (3.6)

avec l’énergie cinétique turbulente k définie comme valant 12u′iu′i. L’expression de

µturb varie en complexité avec les versions du modèle de turbulence k − ω considéré.Dans le modèle de base, il est obtenu par l’équation :

µturb = ρk

ω(3.7)

Deux équations supplémentaires peuvent être introduites pour décrire les bilans dek et de ω. L’équation décrivant k est détaillée dans la section 3.6.2.1 (p.83), alors quecelle décrivant ω est utilisée dans le calcul RANS, mais pas dans les analyses physiques,et n’est pas conséquent pas détaillée dans cette étude. Un point important est que ceséquations de bilan local font apparaître des constantes dont les valeurs sont calibréespour rendre le modèle applicable à de nombreuses classes d’écoulements. La précisionde la description statistique offerte peut varier fortement suivant le type d’écoulementconsidéré.

En tenant compte de cette hypothèse, le système d’équations 2.4 (p.31) prend pourexpression :


∂ui∂xi

= 0 (3.8)

∂uiuj∂xj

= −1ρ

∂p

∂xi+ ∂

∂xj

[(ν + νturb)

∂ui∂xj

](3.9)

Pour comparer les grandeurs obtenues en RANS aux grandeurs obtenues en DNS,l’hypothèse de Boussinesq est utilisée pour reconstruire les champs de u′iu′j connaissantk et ∂ui

∂xj. Cette méthode est par exemple aussi utilisée dans Lee et al. (1999) qui relève

des insuffisances liées au caractère isotrope de la turbulence k dans une configurationd’écoulement similaire.

3.1.4 Forme de présentation des résultatsLes grandeurs sont généralement soit présentées sous forme de cartographies trans-

verses pour une valeur de X1 donnée, soit présentées sous forme de courbes d’évolutionsen aval du perturbateur des intégrales transverses.

Certaines grandeurs telles que la vorticité turbulente ont une valeur pouvant êtreimportante en proche paroi par rapport aux zones internes du canal. Il peut être difficiled’obtenir une représentation dont la gamme dynamique contienne à la fois les valeursen proche paroi et celles au centre du canal. La solution adoptée ici est d’utiliser uneéchelle adaptée aux valeurs au centre du canal, et de représenter les valeurs en paroipar deux courbes. Chacune de ces courbes est placée du côté du canal à laquelle elleest associée (la courbe du dessus correspond à la valeur sur la paroi supérieure, et celledu dessous à la paroi inférieure). Si la valeur en canal plan de la grandeur représentéeest non nulle, alors cette valeur en canal plan est représentée sur le même graphiquepar une ligne pointillée.

Les intégrales transverses correspondent toujours à des moyennes effectuées dansdes sections à X1 constant. Le domaine d’intégration comprend selon la direction X2toute la hauteur du canal, et sur les côtés il est réduit à x3 ∈ [−0.0416; 0.0249], c’està dire à X3 ∈ [−1; 0.6]. Ce domaine d’intégration est centré les structures principales,telles qu’identifiées sur les cartographies de vorticité moyenne, par exemple la figure3.1 (p.59).

3.2 TopologieCette section présente des informations sur la structuration de l’écoulement, et la

façon dont les tourbillons interagissent entre eux.

3.2.1 Vorticité moyenneLa vorticité moyenne selon l’axe longitudinal, correspondant à la première com-

posante du (pseudo)vecteur de vorticité ω+1 , apporte une vision d’ensemble intuitive

sur les principaux mouvements de rotation et les cisaillements dans l’écoulement.Les figures 3.1, 3.2 et 3.3 présentent des comparaisons entre les vorticités ω1 en

X1 = 1.5, issues de la simulation RANS, des mesures expérimentales et de la simula-tion DNS. La projection du perturbateur dans le plan de visualisation est représentéepour positionner plus facilement les différents tourbillons, qui sont identifiés selon lanomenclature de la figure 1.5 (p.10). Le tourbillon principal généré par le perturbateur,


-0.320.26

-0.32-0.32

-0.29

0.3

Tourbillon induit

Tourbillon principal

Tourbillon induit

upwas

h

upwash

Figure 3.1 – Vorticité moyenne ω+1 , X1 = 1.5, RANS

-0.320.38

-0.32-0.32

-0.32-0.29 -0.32-0.52

-0.320

-0.320.41

0.24 -0.25

Figure 3.2 – Vorticité moyenne ω+1 , X1 = 1.5, expérimental

0.41

-0.32-0.38

-0.32-0.40 -0.32

-0.32

-0.32

0.24

Figure 3.3 – Vorticité moyenne ω+1 , X1 = 1.5, DNS


et deux tourbillons induits sont visibles. Les zones d’upwash, telles que définies sur lafigure 1.3 (p.8) sont représentées par des flèches.

Globalement, les répartitions de vorticité sont équivalentes dans les trois cas, et lesmêmes cellules tourbillonnaires y sont visibles. La valeur maximal de la vorticité dansle tourbillon principal est plus proche entre le cas DNS et le cas expérimental, alorsque pour le tourbillon induit en X3 = −0.7, le calcul RANS est plus proche du résultatexpérimental. Les cartographies de contrainte transverse 3.30 (p.80) et 3.32 (p.81)présentent le comportement pariétal de la vorticité en DNS et en RANS. Il peut êtrenoté que le calcul RANS sous-estime la vorticité maximale dans le tourbillon central,comme cela est mentionné dans l’article Liu et al. (1996).

-0.32

0.11-0.1

-0.09

Figure 3.4 – ω+1 , X1 = 7.5, RANS

La figure 3.4 présente la topologie de l’écoulement obtenue dans le calcul RANS,en X1 = 7.5. Le centre du tourbillon central est resté stable par rapport à sa positionen X1 = 1.5. Le tourbillon induit de gauche s’est recentré dans le canal, alors que letourbillon induit de droite est passé de la paroi basse à la paroi haute. La vorticité dutourbillon principal est devenue légerement supérieure à celle des tourbillons induits.La structure de l’écoulement ne varie plus en aval de cette tranche de l’écoulement, etseules les intensités décroissent.

3.2.2 Déficit de vitesse longitudinaleLa plupart des cartographies présentées dans cette étude sont des cartographies

transverses à la direction principale de l’écoulement x1. Or, le profil de u1 est aussi trèsaffecté par le perturbateur et les tourbillons longitudinaux engendrés.

La figure 3.5a présente un profil de vitesse longitudinale issu du calcul DNS, en(X1 = 1.5, X3 = −0.25). Ce profil vertical décrit la zone contenant le maximum devorticité associé au tourbillon principal sur la figure 3.1 (p.59). Le déficit de vitesselongitudinale est très important, et la valeur minimale de la vitesse au centre représenteseulement 15% de la vitesse maximale sur le profil. Le profil moyen obtenu en canalplan est superposé sur cette figure, et permet de voir que les différences principalesentre les deux écoulements apparaissent au centre, mais qu’en paroi les comportementssemblent proches. Sur la paroi supérieure, le profil de vitesse semble être identique, et


precur

perturb (1.5,:,-0.25)

(a) au point X1 = 1.5, X3 = −0.25

precur

perturb (5,:,-0.25)

(b) au point X1 = 5, X3 = −0.25

Figure 3.5 – Profils de vitesse longitudinale en fonction de x+2

sur la paroi inférieure, le gradient pariétal de vitesse longitudinale est légèrement plusfaible dans le cas perturbé que sans le perturbateur.

Sur la figure 3.5b, un peu plus en aval en X1 = 5, le comportement pariétal desdeux profils est encore plus similaire, alors qu’au centre du canal subsiste un déficitde vitesse moyenne important dans la configuration avec perturbateur. La composantelongitudinale de la contrainte pariétale n’est cependant pas uniformément plus faibledans le canal perturbé, et cela est détaillé dans la figure 3.29 (p.80).

3.2.3 Énergie cinétique moyenneL’énergie cinétique moyenne est définie comme :

E = 12ukuk (3.10)

et peut être produite ou diminuée de plusieurs façons dans l’écoulement. La pre-mière est le travail des forces de pression. Par exemple, l’écoulement qui fait face auperturbateur traverse un gradient de pression adverse, et donc l’énergie cinétique per-due est convertie en pression, qui est elle même reconvertie en énergie cinétique quandle gradient n’est plus adverse. L’autre perte d’énergie cinétique moyenne est sa dissipa-tion en énergie interne par frottements. Dans cette étude on ne s’intéresse qu’à la perted’énergie cinétique due à la fonction de dissipation car celle-ci ne sera pas «récupérée»ailleurs. Les tourbillons longitudinaux disparaissent à cause de cette forme de dissi-pation, qui est très importante dans la zone de cisaillement en proche paroi, voir lasection 3.6.1 (p.78).

Les figures 3.6, 3.7 et 3.8 présentent les énergies cinétiques moyennes, en ne tenantcompte que des composantes transverses de la vitesse. Les énergies cinétiques sontmaximales en périphérie des tourbillons. Les différences relevées entre les trois méthodessur la vorticité moyenne déterminées dans la section 3.2.1 (p.58) correspondent donc àdes zones de faible énergie cinétique transverse.

Comme c’est le cas pour toutes les grandeurs analysées dans cette étude, la dissi-pation des structures de l’écoulement secondaire induit que toutes les grandeurs ten-dent en aval du perturbateur vers leur valeur de canal plan. Pour l’énergie cinétiquetransverse cette valeur est nulle. La figure 3.9 présente les différences entre les in-tégrales de l’énergie cinétique transverse en DNS, expérimental et RANS. Le calcul


Figure 3.6 – Énergie cinétique moyenne transverse E+,t, RANS, X1 = 1.5

Figure 3.7 – Énergie cinétique moyenne transverse E+,t, expérimental, X1 = 1.5

Figure 3.8 – Énergie cinétique moyenne transverse E+,t, DNS, X1 = 1.5


Figure 3.9 – Énergie cinétique transverse E+,t intégrée transversalement

DNS présente l’énergie cinétique moyenne transverse la plus importante immédiate-ment après le perturbateur. Cependant, sa diminution est aussi la plus rapide. Cettesurestimation peut être liée aux remarques sur le domaine de calcul DNS évoquées dansla section 2.5.4 (p.36).

Pauley (1988b) a identifié la contrainte transverse comme cause de la diminutionde la circulation des tourbillons. Il peut donc être supposé que la principale cause de ladiminution de l’énergie transverse est la contrainte transverse. La contrainte pariétaleest liée au mouvement de rotation dans l’écoulement, et donc le comportement dusystème s’apparente à l’équation :

∂Et(X)∂X

− aEt(X) = 0 (3.11)

La dissipation est ainsi très rapide immédiatement après le perturbateur, et tendà devenir de plus en plus lente par la suite. Plus de détails sur le frottement pariétalet sur la fonction de dissipation moyenne sont fournis dans les sections 3.5 (p.76) et3.6.1 (p.78).

3.3 Vorticité turbulenteDeux analyses différentes de la vorticité turbulente sont proposées, basées sur deux

décompositions différentes de cette grandeur. La première, dénommée ici décomposi-tion canonique, est effectuée selon les axes x1, x2 et x3 de l’espace. La deuxième esteffectuée selon une base locale pour tenter de mieux visualiser les directions de plusforte turbulence.

3.3.1 Décomposition canonique3.3.1.1 Composante longitudinale

La distribution de vorticité turbulente ω′iω′i et sa relation avec les structures présentesdans l’écoulement sont détaillées dans de nombreux articles tels que Kim et al. (1987)ou Jeong et al. (1997).


Figure 3.10 – Interprétation des extrema locaux de ω′1ω′1, tirée de Kim et al. (1987)

La figure 3.10, détaille une interprétation possible des minima et maxima locauxde ω′1ω′1 comme limites spatiales de tourbillons longitudinaux de proche paroi. Cetteinterprétation simple a l’avantage de pouvoir utiliser une grandeur statistique pourcaractériser les tourbillons de proche paroi, contrairement au critère λ2 détaillé dansla section 3.4 (p.75), qui donne une information instantanée.

La figures 3.11 présente la vorticité turbulente ω′+1 ω′+1 obtenue en DNS dans le planX1 = 1.5. La cartographie est tronquée entre 0 et 0.15 (tout comme les cartographiesultérieures de ω′+2 ω′+2 et ω′+3 ω′+3 ). La valeur de canal plan, tirée de la valeur RMSreprésentée en 2.25 (p.48) est indiquée sur les graphiques correspondant aux valeurs enparoi.

Les valeurs sur les bords de la zone étudiée, hors de l’influence des tourbillonslongitudinaux, sont proches des valeurs obtenues en canal plan, corroborant la validitédes conditions aux limites latérales du calcul.

ω′+1 ω′+1 augmente fortement en paroi dans la zone d’upwash en X3 = −0.5. Cette

zone correspond à la partie en proche paroi d’une zone de production de turbulencecomme indiqué sur la figure 3.42 (p.89). ω′+1 ω′+1 augmente relativement plus que ω′+3 ω′+3représenté sur la figure 3.15 par rapport à sa valeur en canal plan, ce qui montreque dans la zone upwash les tourbillons n’ont pas un effet que sur les composantestransverses de la turbulence.

Sur la figure 3.12 sont représentés des profils de la valeur RMS de ω1 en X1 = 1.5pour deux valeurs différentes de X3. L’objectif est de déterminer comment les optimade ω′1ω′1 décrits dans la figure 3.10 et visibles dans les profils 2.25 (p.48) évoluent dansle fort écoulement transverse du canal perturbé. Par rapport à la courbe obtenue dansle canal plan, qui correspond au comportement loin des tourbillons longitudinaux,les courbes en X3 = −1.3 et X3 = −1 montrent une augmentation de la vorticitéturbulente sur la paroi inférieure, et une diminution de la valeur ∆X2 entre les deuxoptima. Pour des valeurs de X3 supérieures, les optima disparaissent complètement.Une explication peut être que le très fort cisaillement de l’écoulement moyen danscette zone empêche l’enroulement des structures turbulentes : la vorticité turbulenteest toujours présente, mais il n’y a plus les deux optima qui correspondent à un tubetel que schématisé sur la figure 3.10 (p.64).

La figure 3.13 représente ω′+1 ω′+1 , la seule composante de la vorticité turbulente ac-cessible par le système expérimental. La distribution de cette grandeur est identique àla distribution dans le calcul DNS, y compris dans des détails comme les deux stries


canal plan

valeur p

aroi

supérieu

re

valeur p

aroi

inférieu

re

Figure 3.11 – ω′+1 ω′+1 , X1 = 1.5, DNS

visibles sur la paroi basse pour X3 ∈ [−0.2,−0.4]. Les valeurs sont cependant globale-ment plus faibles dans l’analyse expérimentale que dans la DNS. En plus des réservesémises dans la section 2.5.4 (p.36) sur la différence de section de passage entre le calculDNS et la veine expérimentale, se pose le problème de la résolution. Comme cela a étédétaillé dans les sections 2.3.4 (p.23) et 2.5.4 (p.36), la résolution de la PIV est plusfaible que la résolution en DNS (d’autant plus si l’overlap est ignoré). Cette différencede résolution affecte toutes les grandeurs. Elle peut notamment expliquer une sous-estimation des grandeurs turbulentes et différentielles telles que ω′ω′ ou la fonction dedissipation turbulente dans la section 3.6.5 (p.90).

3.3.1.2 Composantes transverses

Les figures 3.14 et 3.15 représentent les cartographies de ω′+2 ω′+2 et ω′+3 ω′+3 en DNS,pour l’abscisse X1 = 1.5.

Les stries de basse et haute vitesse sont délimitées par des parois minces de vortic-ité ω′+2 ω′+2 dans les écoulements turbulents pariétaux canoniques. Ces structures sontd’autre part liées à la présence des tourbillons longitudinaux. L’activité importante deω′+2 ω

′+2 qu’on observe dans la figure 3.14 (p.68) en particulier à X3 = −0.5 est par con-

séquent reliée à la présence des tourbillons à grande échelle induits par le perturbateur.L’activité vorticitaire turbulente transversale se trouve affectée sous forme des couchesminces de cisaillement en X3 < −0.5 sur la figure 3.15 (p.69). L’échelle de longueurde l’activité de la vorticité normale à la paroi est large comparée à ω′+1 ω′+1 et ω′+3 ω′+3 ,


Figure 3.12 – profils de ω+1,rms en X1 = 1.5, pour différentes valeurs de X3

conformément au fait que les parois minces de vorticité normale s’étendent dans lacouche externe en écoulement canonique.

L’écoulement moyen subit une rotation importante, et un vecteur pointant dans ladirection x2 en proche paroi subirait une réorientation en étant transporté dans la zone«upwash». Il faudrait peut être considérer un repère transporté avec l’écoulement pouranalyser cette zone (qui serait donc différent à la fois du repère canonique, et aussi durepère propre introduit dans la section suivante).

Deux analyses complémentaires sur la turbulence sont effectuées pour mieux com-prendre l’impact du tourbillon principal. La première, dans la section suivante, consisteà déterminer si la vorticité moyenne ne réoriente pas les structures turbulentes, ren-dant incomplète l’analyse de la vorticité turbulente selon les axes de l’espace. Dansla seconde analyse les valeurs de λ2 sont extraites pour obtenir une visualisation ducomportement de proche paroi, voir la section 3.4 (p.75).

3.3.2 Décomposition propreLes tourbillons longitudinaux perturbent fortement la structure de la vorticité tur-

bulente. Pour obtenir plus d’informations sur ces modifications, un autre système d’axesque (x1, x2, x3) pourrait faire ressortir une information sur une réorientation des struc-tures turbulentes dans le canal longitudinal. Pour essayer de prendre en compte lesdirections principales de ces structures, la vorticité turbulente est dans cette partieexprimée dans une base locale, en utilisant une décomposition en composantes princi-pales.

Connaissant les covariances entre plusieurs variables aléatoires Xk,cette décompo-sition consiste à créer par combinaison linéaire, de nouvelles variables aléatoires X ′l decovariances nulles et optimales selon la variance. Les vecteurs propres de la matricede covariance correspondent à ces nouvelles variables X ′l , et les valeurs propres à leurvariance. Une propriété des variables aléatoires X ′l est qu’elles sont linéairement in-dépendantes et non corrélées statistiquement. Une autre est qu’en trois dimensions levecteur propre associé à la plus grande valeur propre correspond à la variable X ′1 pour


Figure 3.13 – ω′+1 ω′+1 , X1 = 1.5, expérimental

laquelle la variance est la plus importante. Le vecteur propre associé à la deuxièmevaleur propre correspond à la variable X ′2 de plus grande variance dans le sous-espacerestant et le troisième vecteur propre correspond à la variance restante.

La matrice ω′iω′j est une matrice contenant les covariances entre les différentes com-posantes de la vorticité turbulente. Cette méthode est applicable ici, car la diagonali-sation de la matrice ω′iω′j correspond à la décomposition en composantes principales decette vorticité turbulente. Elle présente ainsi les propriétés présentées précédemment.Dans cette base, les vorticités turbulentes sont décorrélées et il est donc possible dedéterminer l’axe selon lequel les variations de vorticité ont la plus grande amplitude.Bien qu’en proche paroi la vorticité puisse correspondre à un cisaillement, loin de laparoi elle peut être associée à un mouvement d’enroulement, comme sur la figure 3.10où, pour des valeurs x+

2 supérieures à 5, l’auteur identifie la vorticité turbulente àun mouvement de rotation correspondant à une structure tourbillonnaire. Cette dé-composition va donc permettre d’identifier des axes principaux de cisaillement, et derotation.

3.3.2.1 Cinématique

La figure 3.16 illustre l’interprétation physique de cette opération : le vecteur rougecorrespond à la vorticité moyenne en un point. Le vecteur bleu ωi correspond à uneréalisation statistique de cette vorticité et les croix bleues aux extrémités d’autresvecteurs de réalisations. Un second vecteur bleu représente la même réalisation, maisen plaçant l’origine du vecteur en ωi et représente ainsi ω′i. Le repère (x1, x2) soustraitla composante moyenne à l’ensemble des vecteurs. Le repère (x∗1, x∗2) est le repère cor-respondant à la diagonalisation de la matrice de vorticité turbulente, il apparait bienque les projections des réalisations selon l’axe x∗1 ont la plus grande variance.

Cette diagonalisation ne peut être exploitée que dans le calcul DNS, car le calculRANS ne fournit pas d’information sur la vorticité turbulente, et expérimentalementseule la composante ω′1ω′1 de la vorticité turbulente est accessible.

Cette décomposition est dans un premier temps appliquée dans le calcul de canalplan. Dans cette configuration, pour une réalisation de la vorticité turbulente ω′3, il


Figure 3.14 – ω′+2 ω′+2 , X1 = 1.5, DNS

y a autant de chance que se produise simultanément une réalisation de la vorticitéturbulente ω′2 que −ω′2. Cela implique que :

ω′3ω′2 = ω′3(−ω′2) (3.12)

= −ω′3ω′2 (3.13)

Et donc que ω′3ω′2 = 0. Un raisonnement analogue implique ω′3ω′1 = 0. Par con-séquent, la forme du tenseur de vorticité turbulente dans le repère standard de l’é-coulement et pour un écoulement de canal plan est la matrice par blocs :ω

′1ω′1 ω′1ω

′2 0

ω′2ω′1 ω′2ω

′2 0

0 0 ω′3ω′3

(3.14)

La forme de cette matrice a été vérifiée numériquement : la figure 3.19 (p.71) mon-tre que x3 est une direction propre sur l’ensemble du profil (cette figure est détailléeultérieurement).

La première observation est que ω′3ω′3 est la valeur propre associée au vecteur propre(0, 0, 1). Il reste donc à diagonaliser ω′iω′j [i,j]=[1,2]. Pour présenter les résultats sur lesfigure 3.17 et 3.18, la diagonalisation dans le sous-espace [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] et ω′3ω′3sont présentées en vis-à-vis. Les valeurs propres sont toujours positives (une matrice decovariance étant toujours semi-définie positive), donc l’information sur le signe n’a pas


canal plan

valeur p

aroi

supérieu

re

valeur p

aroi

inférieu

re

Figure 3.15 – ω′+3 ω′+3 , X1 = 1.5, DNS

à être ajoutée sur les vecteurs propres. Les vecteurs propres sont représentés avec leurtaille mise à l’échelle par la valeur propre associée. L’échelle est la même pour toutes lescomposantes sur chaque figure, par contre les deux figures n’ont pas la même échelle carles vorticités turbulentes en centre de canal sont beaucoup plus faibles. L’informationsur l’échelle est fournie sur la figure 3.19 décrite ci-après. Pour une valeur propre donnée,seules la norme et la direction d’un vecteur propre sont importantes, mais pas son sens,pour cette raison deux vecteurs propres opposés sont représentés pour chaque valeurpropre.

Dans la suite de l’étude, les vecteurs propres du tenseur diagonalisé de ω′iω′j rangéspar valeurs propres décroissantes sont identifiés par les termes vorticité turbulentesprincipale, secondaire et tertiaire.

Les figures 3.17 et 3.18 représentent les vecteurs propres dans le canal plan, enproche paroi et au centre du canal. Cependant, comme il est difficile de représenterces vecteurs en trois dimensions, la figure 3.19 introduit une autre représentation de lamême information. Un cube est utilisé, dont les faces ont pour normales les vecteurspropres. Les couleurs du cube correspondent à l’ordre des valeurs propres : la faceverte pour la vorticité turbulente principale, rouge pour la secondaire, et bleu pour latertiaire. Pour se représenter les amplitudes relatives des valeurs propres, la valeur dela vorticité turbulente principale est indiquée, ainsi que le quotient des deux premièresvaleurs propres.

L’information principale fournie par ces figures est le degré de non alignement avecles axes principaux, qui provient uniquement des termes croisés ω′iω′j i 6=j et se traduit


Figure 3.16 – Vecteurs propres de la matrice des vorticités turbulentes

Figure 3.17 – Vecteurs propres de la vorticité turbulente au centre du canal plan

par une rotation du repère et une nouvelle répartition des variances. Cette informationest perdue dans une représentation selon les axes de l’espace, comme sur la figure2.25 (p.48). En paroi ces termes croisés sont nuls, tout comme ω′2ω′2, par contre autourde x+

2 = 5 la vorticité turbulente dans le sous-espace [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] est isotrope,ce qui correspond au point de croisement entre ω′1ω′1 et ω′2ω′2 sur la figure 2.25 (p.48).Cette zone correspond aussi à la partie basse des structures considérées dans la figure3.10 (p.64). Pour des valeurs de x+

2 supérieures, la vorticité turbulente reste non alignéeavec les axes principaux de l’écoulement jusqu’à la zone de centre canal où elle devientquasiment isotrope. Au quart de la hauteur du canal, les vecteurs propres forment unangle de 45 ° avec les axes (x1, x2), et l’interprétation de cet angle est l’objet de lasection «dynamique» 3.3.2.2.

La figure 3.19 présente la même information que les figures 3.18 (p.71) et 3.17 (p.70)en utilisant ce système. Les trois parties de la figures présentent une information selonx+

2 sur l’axe vertical. Les cubes au centre présentent l’information sur l’orientationdes vecteurs propres, les cubes étant représentés dans le plan (x2, x3). Le fait que x3soit un vecteur propre apparait clairement car les cubes ont tous une normale seloncette direction, et deux faces seulement sont constamment visibles (la diagonalisationayant été effectuée sur la matrice complète, sans considérer de sous-espaces). L’autreinformation fournie par cette figure est que les vecteurs propres semblent conserver un


Figure 3.18 – Vecteurs propres de la vorticité turbulente en proche paroi dans le canalplan

Figure 3.19 – Orientation et variance de la vorticité turbulente dans le canal plan

angle proche de 45° ainsi qu’un aplatissement important sur une plage importante devaleurs de x+

2 .Dans le cas perturbé par les tourbillons longitudinaux, la matrice ω′iω′j [i,j]=[1,2] est

pleine, rendant la présentation plus difficile. Le tenseur de vorticité turbulente n’aplus l’expression par blocs de l’équation 3.14, et donc les vecteurs propres peuventavoir des directions arbitraires. La représentation sous forme de cubes facilite alors lavisualisation de l’orientation des vecteurs propres.

Des cartographies sont exportées en X1 = 1.5 et X1 = 5, pour déterminer dans cesdeux cas si l’étude du tenseur complet ω′iω′j présente un apport par rapport à l’étudedes seules composantes de sa trace, dans le cas d’un écoulement présentant une vorticitélongitudinale importante.

Les figures 3.20 et 3.21 présentent des cartographies de la vorticité turbulente prin-cipale. Les cubes représentant les différents vecteurs propres sont indiqués pour cer-taines zones de proche paroi et au centre de l’écoulement. Les lettres identifient deszones symétriques par rapport au centre du tourbillon principale, et les orientations des


Figure 3.20 – Vecteurs propres de w′∗i w′∗i en X = 1.5

vecteurs propres présentent la même symétrie centrale. Le nombre indiqué sous chaquelettre quantifie le ratio entre la première et la seconde valeur propre. Il peut être in-terprété sur le schéma 3.16 (p.70) comme une mesure de l’aplatissement du nuage deréalisations de ω′iω′j.

En centre de canal, les composantes ω′2ω′2 et ω′3ω′3 ne présentent pas un comporte-ment uniforme autour du tourbillon. Il semblerait à contrario que le tenseur de vorticitéturbulente, une fois décomposé, présente une symétrie centrale par rapport au centredu tourbillon principal, comme cela est visible sur la figure 3.21, ce qui permet de sim-plifier la description de la vorticité turbulente. Les points Ai sont obtenus par rotationautour du centre du tourbillon principal, et les vecteurs propres en ces points sont aussiobtenus par rotation autour du centre du tourbillon.

3.3.2.2 Dynamique

Tennekes et Lumley (1972) et Kundu et Cohen (2002) indiquent que les structuresturbulentes tendent à s’aligner sur les contraintes de cisaillement moyennes principalesde l’écoulement, à cause du processus d’étirement tourbillonnaire. Comme, hors zone deproche paroi, la vorticité turbulente est reliée aux mouvements tourbillonnaires dansl’écoulement comme sur la figure 3.10 (p.64), cette section détaille la comparaisonentre les directions propres des tenseurs ω′1ω′1 et τij (partie déviatorique du tenseur descontraintes).

Pour simplifier la formulation des résultats de cette section, les vecteurs propres de la


1.9

1.8

A1

1.8

1.41

B

1.78

B'

A2

A3

2.17

A4

Figure 3.21 – Vecteurs propres de ω′∗i ω′∗i en X1 = 5

forme diagonale du déviatorique du tenseur des contraintes moyennes sont simplementidentifiés par contrainte principale, secondaire et tertiaire (notamment parce que lapression qui constitue la partie hydrostatique du tenseur n’est pas analysée).

Selon Kundu et Cohen (2002), le tenseur de contraintes dans un écoulement decanal plan est de la forme : 0 1

2∂u1

∂x212∂u1

∂x20

(3.15)

et donc le tenseur de contraintes moyennes diagonalisé prend pour expression :12∂u1

∂x20

0 −12∂u1

∂x2

(3.16)

avec les contraintes primaires et secondaires formant une base possédant un angleα de 45° avec la base (x1, x2) (et non 5° qui est une erreur typographique sur l’imageextraite).

Comme cela est visible sur la figure 3.18, dans la zone de proche paroi le cisaillementturbulent implique que les vorticités turbulentes aient pour composante dominanteω′3ω

′3, et donc il n’y a pas de relation entre la contrainte principale et la vorticité

principale. Par contre, en s’éloignant de la proche paroi, la figure 3.17 indique qu’autourde x+

2 = 100 par exemple, la vorticité principale est orientée selon un angle de 45° avecla direction de l’écoulement, c’est à dire qu’il y a un alignement de la vorticité turbulenteprincipale avec la contrainte principale.

Les figures 3.23 et 3.24 représentent des cartographies de contraintes principalesdans le cas perturbé, en utilisant la même convention qu’auparavant pour la représen-tation sous forme de cubes : une face verte correspond à la contrainte principale, rougeà la secondaire et bleue à la tertiaire. De la même façon que dans le canal plan il y a


Figure 3.22 – Diagonalisation du tenseur de contraintes moyennes, figure tirée deKundu et Cohen (2002)

peu de corrélations entre la vorticité turbulente principale et la contrainte principaleen proche paroi, une comparaison des figures 3.23 et 3.24 avec les cartographies devorticités turbulentes 3.20 (p.72) et 3.21 (p.73) indique que bien qu’en proche paroiles vecteurs propres soient différents, ils ont tendance à devenir plus similaires dans lazone centrale de l’écoulement.

3.3.2.3 Conclusion

L’analyse dans la base standard de la vorticité turbulente semble donc être adaptéeà la zone de proche paroi, et la décomposition propre à une zone plus éloignée de laparoi, là où le cisaillement turbulent devient moins important par rapport aux rota-tions turbulentes. Cela correspond aux différentes symétries de l’écoulement. En procheparoi, les parois imposent un comportement dominé par les directions canoniques del’espace. Dans l’écoulement secondaire au centre du canal, la symétrie principale estcentrale, ce qui est mieux pris en compte par la décomposition en vecteurs propres dela vorticité turbulente.

D’un point de vue cinématique, cette décomposition de la vorticité turbulente sem-ble présenter une description simple de la vorticité turbulente loin des parois. D’unpoint de vue dynamique, il semble que dans cette même zone il y ait une corrélationentre les tenseurs de vorticité turbulente et de contrainte moyenne, en adéquation avecles observations de Tennekes et Lumley (1972) et Kundu et Cohen (2002). Ceci dansle cas du canal plan et dans le tourbillon longitudinal.

Par rapport au reste de l’étude, ces observations ont peu d’impact sur l’analysedu transfert thermique qui est essentiellement un phénomène pariétal. Le but de cettesection est plutôt de suggérer un mode d’analyse de la vorticité turbulente présentantun comportement identique entre le canal plan et le canal perturbé. Une perspectived’étude possible étant de quantifier les écarts entre les comportements idéaux (symétriecentrale en cinématique, alignement sur les contraintes moyennes en dynamique) et lescomportements réellement observés dans l’ensemble du canal.

La présente analyse est une première approche qualitative. Une tendance à l’aligne-ment des vecteurs propres semble identifiée, et il faudrait quantifier sa vérification enfonction de la zone de l’écoulement considérée dans le canal plan comme dans le canalperturbé.


2.76

6.54

10.7-9.520.28

5.5220.9

-10.3A

A'

B C D

B'C'D'Figure 3.23 – Contraintes de cisaillement moyennes en X1 = 1.5

3.4 Détection de structuresLes critères classiques définissant le cœur d’un tourbillon, tels qu’un minimum de

pression, la fermeture de lignes de courant projetées dans un plan transverse ou la valeurabsolue de la vorticité ont chacun leurs désavantages, comme par exemple de considérerles gradients pariétaux comme des cœurs de tourbillons alors qu’aucun phénomène d’en-roulement n’y est observable. Il est difficile de trouver un critère local rendant comptedu concept non local d’enroulement qui est intuitivement associé à un tourbillon. Jeonget Hussain (1994) ont développé le critère λ2 qui consiste à calculer en chaque point del’écoulement les valeurs propres du tenseur SikSkj + ΩikΩkj (somme des carrés des par-ties symmétrique et antisymmétrique du tenseur de taux de déformation). Ce critèreest une adaptation du critère de minimum local de pression. Le gradient des équationsde quantité de mouvement est adapté pour supprimer certains termes créant des fauxpositifs dans la détection de structures. Au final une grandeur équivalente à la pressionest créée, et la hessienne a pour expression : SikSkj + ΩikΩkj. Obtenir deux valeurspropres négatives correspond alors à une condition nécessaire pour obtenir un mini-mum local (mais pas suffisante). Jeong et al. (1997) fournit une étude complète de laturbulence de proche paroi en se basant sur ce critère.

Les isocontours de λ2 ont été exportés dans le canal plan et dans le canal per-turbé pour pouvoir visualiser l’impact des tourbillons longitudinaux sur la forme desstructures turbulentes.

Sur la figure 3.25 sont présentées les structures turbulentes pariétales telles qu’ob-


3.72

7

-23

A1

C'

A2 A4

-16

13.25

B

33

B'

Figure 3.24 – Contraintes de cisaillement moyenne en X1 = 5

servées dans le canal plan. Sur la figure 3.26, les structures turbulentes au centre ducanal sont apparentes. La valeur absolue du niveau de seuil de λ2 est beaucoup plusélevée qu’en canal plan pour pouvoir obtenir une figure lisible. En utilisant le mêmeniveau de seuil qu’en canal plan, la figure 3.27 est obtenue, où aucune structure endehors du centre des tourbillons n’est visible. Pour visualiser les structures en proche,une solutions pourrait être d’appliquer une décomposition de Reynolds sur le champλ2 :

λ2 = λ2 + λ′2 (3.17)

et de visualiser des cartographies instantanées de λ′2. La suppression de la com-posante λ2 pourrait permettre d’avoir des niveaux de λ2 similaires entre les différentesstructures turbulente comme en canal plan, et permettre leur visualisation.

3.5 Contrainte pariétaleLe vecteur des contraintes appliquées à une paroi est exprimé sous la forme du

gradient pariétal de vitesse adimensionné :

τ+i = ∂u+

i

∂n+ (3.18)

Pour i=1 ou 3 suivant la composante de la contrainte considérée, et n+ = x+2 ou

−x+2 suivant si la paroi supérieure ou inférieure est considérée.Comme indiqué en 3.1.1, la vitesse de frottement du canal plan uτ est utilisée pour

l’adimensionnement par des grandeurs internes. Or, en canal plan cette contraintepariétale ∂u+

1∂n+

2est égale à 1. Dans les cartographies, le signe de τ+

i − 1 indique donc silocalement la contrainte est supérieure ou inférieure à la contrainte longitudinale en


Figure 3.25 – Isocontours de λ2 en canal plan

canal plan au même nombre de Reynolds. La contrainte transverse étant nulle en canalplan.

Les prolongements selon x1 des extrémités du perturbateur sont ajoutées aux car-tographies de grandeurs pariétales, comme indiqué sur la figure 3.28. Ces repères sontaussi ajoutés lors de l’analyse du flux de chaleur en paroi dans la section 4.3 (p.99).Cela permet de situer plus facilement les éléments caractéristiques, et de relier les ré-sultats aux résultats disponibles dans les cartographies transverses où une projectiondu perturbateur est représentée.

Les figures 3.29, 3.30 et 3.31 présentent les composantes longitudinale, transverseet totale, ayant respectivement pour expression :

τ+1 = ∂u+

1∂x2

(3.19)

τ+3 = ∂u+

3∂x2

(3.20)

τ+tot =

(∂u+1

∂x2

)2

+(∂u+

3∂x2

)2 1

2

(3.21)

(3.22)

Les contraintes longitudinales et transverses ne sont pas complètement corrélées.Par rapport aux structures présentes sur la figure 3.2 (p.59), la contrainte dans X3 ∈[0, 0.5], associée au tourbillon principal, est plutôt transverse. La contrainte dans l’in-tervalle X3 ∈ [−1,−0.5], correspondant à un tourbillon induit est plutôt longitudinale.Sur la paroi supérieure (non représentée ici), le frottement longitudinal est aussi plus


Figure 3.26 – Isocontours de λ2 en canal perturbé, seuil spécifique au canal perturbé

important à proximité du tourbillon induit. Une corrélation est donc observée entre ladistance à la paroi et la composante longitudinale de la contrainte pariétale.

Pour une zone autour de X1 = 0 la contrainte pariétale est négative, ce qui signifiequ’il y a un écoulement dans la direction −x1. Ce phénomène est très local et lié à lastructure de l’écoulement autour du perturbateur. Dans la phase dissipative étudiéeici, la contrainte longitudinale est toujours positive.

Le profil de vitesse représenté sur la figure 3.5 (p.61) correspond au point (X1 =1.5, X3 = −0.25), où la contrainte pariétale est effectivement inférieure à la contraintepariétale de canal plan.

La figure 3.32 contient la contrainte pariétale transverse obtenue par la modélisationRANS. En plus de la projection du perturbateur, la zone correspondant au domaine decalcul DNS est marquée (ce qui est le cas pour toutes les figures pariétales obtenues enRANS dans cette étude). La répartition de la contrainte pariétale observée est similairequalitativement et quantitativement aux valeurs obtenues en DNS. Comme mentionnédans la section 3.2.3 (p.61), la dérivée selon X1 de cette contrainte diminue quand X1croît.

3.6 Comportement volumique

3.6.1 Fonction de dissipation moyenneLa fonction de dissipation instantanée est le champ scalaire prenant pour expression

Φ = 2µSijSij. Il correspond à la puissance mécanique dissipée localement en énergieinterne, par unité de temps et de volume de fluide. Une fois que cette fonction estmoyennée, et décomposée en une partie dépendant du champ moyen et une partie


Figure 3.27 – Isocontours de λ2 en canal perturbé, seuil spécifique au canal plan

Domaine visualisé - dissipationGénération des tourbillons

X=0

projection du perturbateur

Figure 3.28 – Projection du perturbateur

dépendant du champ turbulent, son expression devient :

φ = φmean + φturb = 2µ[SijSij] + 2µ[S ′ijS ′ij] (3.23)

Dans laquelle Sij = 12

(∂ui∂xj

+ ∂uj∂xi

)et S ′ij = 1

2

(∂u′

i

∂xj+ ∂u′

j

∂xi

)sont respectivement les

parties symétriques des tenseur de taux de déformation de la composante moyenne etturbulente de l’écoulement. La dissipation liée à la composante moyenne de l’écoulementest analysée ici, tandis que celle liée à la partie turbulente est traitée dans la section3.6.5 (p.90).

En canal plan non perturbé, le profil de la fonction de dissipation adimensionnéeest présenté sur la figure 3.33. La dissipation correspondant au champ moyen est trèsconcentrée en proche paroi. En x+

2 = 25, sa valeur correspond à 2.65 % de la valeurpariétale. Au centre du canal sa valeur est nulle. La valeur moyenne de cette grandeur,dans un profil en canal plan et après adimensionnement, est de Φ+

mean = 0.0535.La fonction de dissipation transverse, utilisée pour quantifier les effets du cisaille-


Figure 3.29 – Contrainte longitudinale τ+1 , DNS

Figure 3.30 – Contrainte transverse τ+3 , DNS


Figure 3.31 – Contrainte totale τ+tot, DNS

Figure 3.32 – Contrainte transverse, RANS


Figure 3.33 – Fonction de dissipation moyenne en canal plan

ment transverse qui est le plus susceptible d’affecter la dissipation des tourbillons est :

φt = φ

t

mean + φt

turb = 2µ[SijSij]i,j=2,3 + 2µ[S ′ijS ′ij]i,j=2,3 (3.24)

Une fois développée, et en détaillant les composantes, l’expression de la fonction dedissipation transverse est :

Φt = µ

2(∂u2

∂x2

)2

+(∂u3

∂x3

)2+

(∂u2

∂x3+ ∂u3

∂x2

)2 (3.25)

La fonction de dissipation transverse est nulle en canal plan, car tous les gradientsmoyens en dehors de ∂u1

∂x2sont nuls. La présence du cisaillement transverse implique

une fonction de dissipation transverse non nulle, qui devrait en aval du perturbateuratteindre la valeur nulle correspondant au canal plan.

La figure 3.34 présente une cartographie de la distribution de fonction de dissipationmoyenne transverse en DNS, pour X = 1.5. De la même façon que la fonction dedissipation totale est concentrée en proche paroi dans le canal plan sur la figure 3.33, ladissipation transverse générée par les tourbillons longitudinaux est elle aussi concentréeen proche paroi, près des tourbillons. Pour trois des quatre pics pariétaux, les valeursde fonction de dissipation transverses sont supérieures aux valeurs longitudinales encanal plan, ce qui montre que localement la perte d’énergie par frottements est trèsimportante. Cela corrobore les observations de la section 3.5 (p.76), où les contraintespariétales transverses adimensionnées ont une valeur absolue supérieure à 1.

L’évolution des intégrales transverses de la fonction de dissipation moyenne enRANS, DNS et expérimentalement sont présentées sur la figure 3.35. Cette fonctionde dissipation diminue de plus en plus lentement en aval du perturbateur. Les ten-dances sont identiques sur les trois courbes, avec des niveaux plus proches entre lesrésultats RANS et expérimentaux. Les différences entre les intégrales calculées dans lecalcul RANS et dans le calcul DNS diminue en aval du perturbateur jusqu’à devenirnégligeables. En X1 = 20, c’est à dire en bout de canal expérimental, la dissipationmoyenne transverse est quasiment nulle et évolue peu. Le comportement de la fonctionde dissipation moyenne transverse devient proche du comportement de canal plan.

Jusqu’enX1 = 3.5 les fonctions de dissipations moyennes transverses sont ordonnéescomme les énergies cinétiques moyennes transverses présentées sur la figure 3.9 (p.63).


composantelongitudinalecanal plan

valeur p

aroi

supérieu

revaleu

r paro

iin

férieure

Figure 3.34 – Fonction de dissipation moyenne transverse, DNS, X1 = 1.5

La plus importante est obtenue en DNS, puis en RANS et enfin expérimentalement.

3.6.2 Énergie cinétique turbulente3.6.2.1 Équation bilan

L’équation régissant l’énergie cinétique turbulente peut être décomposée de la façonsuivante (voir Kundu et Cohen (2002)) :

∂ujk

∂xj=− ∂

∂xj

(1ρp′u′j + 1

2u′iu′iu′j − 2νu′iS ′ij

)︸︷︷︸

transport

−u′iu′j∂ui∂xj︸︷︷︸

G = production par couplage avec le champ moyen

−2νS ′ijS ′ij︸︷︷︸Φturb = dissipation visqueuse

(3.26)

Ces expressions correspondent aux expressions des termes tels qu’ils sont calculés enDNS. Dans le calcul RANS, l’utilisation de l’hypothèse de Boussinesq permet de fermercette équation en modélisant les termes turbulents. Les détails de cette fermeture pourles termes de production et de dissipation visqueuse sont donnés dans les sections oùces termes sont analysés, soit respectivement 3.6.4 (p.88) et 3.6.5 (p.90).


exp

RANS

DNS

Figure 3.35 – Évolution longitudinale de l’intégrale transverse de fonction de dissi-pation moyenne transverse

3.6.2.2 Décomposition des résultats

Comme il l’a été mentionné dans la section 3.1 (p.55), les plans transverses contien-nent une symétrie importante de l’écoulement. Dans le cas de l’énergie turbulente,cela implique d’extraire la composante transverse de k, notée kt. Cette décomposition,combinée à la décomposition de Reynolds, permet d’écrire l’énergie cinétique moyenneE de la façon suivante :

E = El + kl + Et + kt = 12

u1u1 + u′1u′1︸︷︷︸

partie longitudinale

+ [ukuk]k=2,3 +[u′ku

′k

]k=2,3︸︷︷︸

partie transverse

(3.27)

3.6.2.3 Répartition de l’énergie cinétique turbulente

Figure 3.36 – Énergie cinétique turbulente transverse k+,t, exp., X1 = 1.5


Figure 3.37 – Énergie cinétique turbulente transverse k+,t, RANS, X1 = 1.5

Figure 3.38 – Énergie cinétique turbulente transverse k+,t, DNS, X1 = 1.5


L’énergie cinétique turbulente transverse est représentée sur les figures 3.36, 3.37 et3.38 qui correspondent respectivement aux cartographies obtenues expérimentalement,en RANS et en DNS, avec la même échelle de couleur dans les trois cas dans le planX = 1.5. Le pic de turbulence localisé en X3 = −0.7 n’apparaît pas en RANS. Lastructure de l’écoulement est la plus proche entre l’expérience et la DNS, bien queles valeurs soient beaucoup plus importantes en DNS à cause du problème de taillede domaine. La valeur plus importante de la turbulente à l’intérieur des tourbillonsprincipaux va dans le sens des observations de Pauley (1988b), effectuées sur la basede données expérimentales

Figure 3.39 – Évolution de l’intégrale de kt dans des plans transverses

Les évolutions des intégrales de kt dans le calcul RANS et l’expérience sont com-parées sur la figure 3.39. La valeur de canal plan de kt reproduite sur la figure est tiréede la table 3.2 (p.87). Le calcul DNS, se terminant en X1 = 5.4, ne permet pas de con-naître dans l’évolution de kt dans sa phase de diminution. La dissipation de l’énergieturbulente transverse est plus rapide en RANS qu’en DNS. Le calcul RANS donne lamême valeur que l’expérience pour le pic, par contre la position du pic et l’évolutiongénérale selon X1 est mieux décrite par le calcul DNS.

3.6.3 Anisotropie des contraintes de ReynoldsCette section détaille les différentes contributions de k. La répétition d’indice ne cor-

respond temporairement pas à une sommation. u′ku′k désigne donc ici une composantequelconque u′1u′1, u′2u′2 ou u′3u′3, et non la trace du tenseur de Reynolds.

Seule la DNS est en mesure de calculer directement toutes les composantes de cetteénergie turbulente. La PIV ne fournit que des informations sur la partie transverse et ilfaut utiliser l’hypothèse de Boussinesq pour reconstruire le tenseur en RANS, commeindiqué dans l’équation 3.6 (p.57).

En utilisant cette hypothèse, le tenseur des contraintes de Reynolds dépend unique-ment des gradients de vitesse moyenne. Or dans le cas d’un canal plan non perturbé,les composantes transverses de la vitesse moyenne sont nulles, ainsi que leurs gradients.Les composantes du tenseur de Reynolds sont donc identiques :

u′2u′2 = u′3u

′3 = 2/3 k (3.28)


u′1u′1

+u′2u

′2

+u′3u

′3

+k+,t k+

moyenne en canal plan 2.21 0.43 0.68 0.56 1.66

Tableau 3.2 – Moyennes des composantes de k dans un canal plan

Figure 3.40 – Composantes normales du tenseur de Reynolds dans le canal plan

Alors que physiquement dans un écoulement de canal plan, elles ne sont pas iden-tiques, comme indiqué sur la figure 3.40. Cette limitation connue de l’approximationde Boussinesq limite fortement son pouvoir de prédiction, et l’objectif de cette sec-tion est de déterminer quelle formes prennent les erreurs introduites dans le cas d’unécoulement de canal perturbé par des tourbillons longitudinaux.

Le tableau 3.2 contient les valeurs des composantes normales du tenseur de Reynolds,moyennées sur la hauteur du canal plan.

Les figures 3.41a, 3.41b et 3.41c présentent les courbes des intégrales transversesdes composantes normales du tenseur de Reynolds, ainsi que la courbe de 2

3k. L’écartentre u′ku′k et 2

3k prend pour expression :

2µturb∂uk∂xk

(3.29)

qui est le terme générant l’anisotropie de u′ku′k. Chaque composante de la diagonaledu tenseur de Reynolds u′ku′k s’écarte donc de la valeur isotrope 2

3k d’une quantité pro-portionnelle à l’élément correspondant dans le tenseur de gradient de vitesse moyenne∂uk∂xk

. La somme de ces écarts est nulle (et correspond à la divergence de la vitesse). Lesvaleurs de canal plans sont tirées du tableau 3.2 (p.87).

Pour la partie expérimentale, seule l’analyse transverse, c’est-à-dire des composantesu′2u

′2 et u′3u′3 est effectuée. En RANS, immédiatement après le perturbateur, les com-

posantes du tenseur de Reynolds sont isotropes. Les vingt hauteurs de canals sontsuffisantes pour que k soit de nouveau isotrope, alors même que sa valeur est encoreloin de la valeur de canal plan. Les deux composantes u′2u′2 et u′3u′3 sont à peu prèséquidistantes de 2

3k. La composante u′1u′1, non représentée ici, est confondue avec 23k,

conformément au fait que la somme des écarts doit être nulle.Dans les cas DNS et expérimental, les valeurs de u′2u′2 et u′3u′3 sont différenciées

sur tout le domaine d’étude, avec u′2u′2 inférieur à u′3u′3. Dans un canal plan u′2u′2 est


(a) Expérimental (b) RANS

(c) DNS

Figure 3.41 – Intégrales transverses des composantes de k

inférieur à u′3u′3, et le retour au comportement asymptotique est visible sur la figure3.41a. Dans le cas RANS u′2u′2 ne prend jamais de valeurs inférieures à u′3u′3. De plus, leretour à l’isotropie est très rapide, alors même que la l’allure de 2

3k est proche de l’allureobtenue en RANS : l’équation sur k semble être correcte, alors que l’anisotropisationpar les gradients moyens l’est moins. Contrairement au calcul RANS, dans le calculDNS c’est la composante u′2u′2 qui est la plus proche de la composante isotrope 2

3k.

3.6.4 Production d’énergie cinétique turbulenteUn terme de couplage apparaît entre les équations de bilan de l’énergie cinétique

et l’équation de bilan de l’énergie cinétique turbulente.

G = −ρu′iu′j∂ui∂xj

(3.30)

Ce terme est présent dans ces deux équations avec des signes différents. Il prend leplus souvent des valeurs correspondant à un transfert d’énergie cinétique de l’écoule-ment moyen vers l’écoulement turbulent, et est donc associé à la production d’énergiecinétique turbulente k.

La figure 3.42 présente le profil de G+ en canal plan. La moyenne sur ce profil duterme de production vaut 0.0336 (cette valeur est proche de la moyenne de la fonctionde dissipation turbulente calculée en 3.6.5 (p.90), qui vaut 0.0308). Les composantes


Figure 3.42 – Production de k dans le canal plan

u2 et u3 de la vitesse sont nulles dans un canal plan, ce qui implique que leurs dérivéessont aussi nulles. La seule contribution non nulle au terme de production est donc :

−ρu′1u′2∂u1

∂x2(3.31)

Ce qui implique que si des termes transverses apparaissent avec la présence destourbillons longitudinaux, il tendront à diminuer en aval du perturbateur.

L’expression du terme de production, en utilisant l’hypothèse de Boussinesq est :

µturbSijSij (3.32)

C’est à dire la norme d’un tenseur, et donc le terme de production ne peut pasprendre de valeurs négatives en RANS. La valeur de la composante transverse restenulle en canal plan sous l’hypothèse de Boussinesq, mais pas pas dans en canal perturbé.

Sur la figure 3.43 sont représentés la production totale, ainsi que les différentescomposantes de type −ρu′iu′3 ∂ui∂x3

(chacun de ces composantes étant la somme de 3 ter-mes). Les 9 termes entrant dans l’expression de G ont été initialement analysés, et lecomportement, en X = 1.5 de ces termes peut être regroupé en fonction de la direc-tion de dérivation considérée ce qui aboutit aux trois composantes représentées. Les 3termes de la forme −ρu′iu′1 ∂ui∂x1

contribuent peu à G. Les termes de la forme −ρu′iu′2 ∂ui∂x2

contribuent négativement. Seuls les termes de la forme −ρu′iu′3 ∂ui∂x3contribuent globale-

ment positivement et ont été détaillés. Bien que des composantes de G présentent desvaleur négatives, suppriment la turbulence sans dissipation, et contribuent à limiter lemélange, une fois l’ensemble des termes sommés la valeur de G est positive. Commementionné par Pauley (1988b), la production turbulente est concentrée dans les zone«upwash», entre le tourbillon principal et les tourbillons induits.

Dans le canal plan, la seule composante non nulle −ρu′1u′2 ∂u1∂x2

est positive. Dansla zone des tourbillons longitudinaux, cela devient une composante négative, ce quimontre le fort impact de ces tourbillons sur l’écoulement.

La composante transverse correspond à :

Gt =[−ρu′iu′j

∂ui∂xj

]i,j=2,3

(3.33)


Figure 3.43 – Composantes longitudinales et transverses de G+, X = 1.5, DNS

La figure 3.44 présente une comparaison entre les évolutions des intégrales de G+

entre les résultats RANS, expérimentaux et DNS.On peut voir que ces intégrales sont extrêmement disparates, la DNS fournissant

les valeurs les plus importantes, suivie du calcul RANS et des mesures expérimentales.Sur la figure 3.45 est présentée le terme de production en X1 = 5. La répartition

entre les différentes dérivées n’est pas aussi simple que dans le cas en X1 = 1.5 et nesera pas développée ici. Les zones d’upwash restent cependant des zones de productionturbulente.

3.6.5 Fonction de dissipation turbulentePour compléter l’analyse de la fonction de dissipation commencée dans la section

3.6.1, cette section détaille le calcul du terme de dissipation d’énergie par les structuresturbulentes : Φturb = −2µS ′ijS ′ij. Le calcul RANS est effectué avec un modèle k−ωSST ,dans lequel ω décrit le taux de dissipation par unité de turbulence (son unité est l’inversed’une unité de temps). Le terme de dissipation du champ turbulent, est calculé enutilisant β∗kω (β∗ valant 0.09), et ω est obtenu en résolvant une équation aux dérivéespartielles (décrite par exemple dans Wilcox (1998)).

Contrairement au calcul DNS ou aux résultats expérimentaux où Φturb est obtenuà l’aide du calcul de −2µS ′ijS ′ij, le calcul RANS utilise une équation de bilan local trèssimplifiée pour la quantité Φturb. Cette quantité est ensuite utilisée dans l’équation debilan local de k, et pourrait être vue comme une grandeur intermédiaire du calcul,éloignée de Φturb réel. Cependant, certaines applications utilisent directement le Φturb

obtenu en RANS, par exemple pour le calcul de la production d’entropie ou du mélangeaux plus petites échelles de l’écoulement. Pour cette raison les résultats RANS sontcomparés aux résultats expérimentaux et DNS.

La décomposition de la fonction de dissipation turbulente proposée dans cette étudea été utilisée dans d’autres travaux antérieurs. Dans Huchet et al. (2009) ou Fincham


(a) Composantes transverse et totale en DNS (b) Composantes transverse en DNS, expéri-ence et RANS

Figure 3.44 – Évolution de l’intégrale de la production de k

Figure 3.45 – Terme de production G+ en X = 5 (DNS)

et al. (1996) par exemple, les auteurs ne considèrent pas simplement une décompositiontransverse, mais une décomposition pour un plan général xi, xj :

Φxixj = µ

2(∂u′i∂xi

)2

+(∂u′i∂xj

)2

+(∂u′j∂xi

)2

+ 2(∂u′j∂xj

)2

+ 2∂u′i

∂xj

∂u′j∂xi

(3.34)

Le plan transverse analysé dans la présente étude correspond bien à cette expression,en considérant le plan x2, x3. Avec cette décomposition, la fonction de dissipation totalen’est pas égale à la somme des fonctions de dissipation par plan, et il faut ajouter unterme correctif pour tenir compte des contributions incluses plusieurs fois :

Φ = Φx1x2 + Φx1x3 + Φx2x3 − 2µ(∂u′1∂x1

)2

+(∂u′2∂x2

)2

+(∂u′3∂x3

)2 (3.35)

Le profil de fonction de dissipation en canal plan est fourni par la figure 3.46. Ladissipation turbulente est moins concentrée en proche paroi par rapport à la dissipationmoyenne présentée sur la figure 3.33 (p.82). A x+

2 = 25, sa valeur correspond à 50%de sa valeur pariétale. Sa valeur en centre de canal est de 0.0045, et donc la fonction


Figure 3.46 – Fonction de dissipation turbulente en canal plan

de dissipation moyenne, qui lui était supérieure en proche paroi, devient inférieure encentre canal (le point où les deux valeurs sont égales étant en x+

2 = 16.8, là où lafonction de dissipation turbulente semble faire un palier). La moyenne sur un profil decette fonction de dissipation vaut 0.0308, ce qui correspond à 91.6 % de la moyenne duterme de production sur un profil. Bien que les intégrales de ces deux grandeurs soientquasiment identiques, leur distribution est différente : la dissipation turbulente est parexemple maximale en paroi, là où la production turbulente est nulle.

La composante transverse de la fonction de dissipation turbulente a été unique-ment calculée à partir des mesures obtenues avec le dispositif PIV, et la fonction dedissipation turbulente totale uniquement avec les calculs RANS et DNS. Pour la partieexpérimentale, la limite reste l’absence de mesures de la vitesse longitudinale. Pour lecalcul RANS, le modèle de turbulence n’a pas accès à S ′ij. Il modélise dont le bilan localde S ′ijS ′ij (en utilisant une équation très simplifiée), et il n’est pas possible d’avoir ledétails des différentes composantes. Contrairement à k il n’est pas possible en utilisantl’hypothèse de Boussinesq de reconstruire Φt

turb à l’aide des composantes du gradientde champs moyen.

Figure 3.47 – Évolution des intégrales de fonction de dissipation turbulente totale

Les intégrales de fonction de dissipation turbulente totale dans le cas RANS et DNSsont représentées sur la figure 3.47. La dissipation turbulente est moins importantedans le calcul DNS que dans le calcul RANS, ce qui est le comportement contraire de


la production turbulente présentée sur la figure 3.44b (p.91). En X1 = 3, la valeur del’intégrale de la dissipation est de 0.175, là où la valeur de l’intégrale de la production,sur la figure 3.44a (p.91), est de 0.375. En canal plan, les valeurs des intégrales deces deux grandeurs est à peu près égales. Immédiatement après le perturbateur, lestourbillons longitudinaux favorisent plus la production que la dissipation de turbulence.

Figure 3.48 – Évolution de l’intégrale de fonction de dissipation turbulente transverse,exp.

La figure 3.48 présente l’évolution de l’intégrale de la fonction de dissipation tur-bulente transverse, obtenue dans le cas expérimental. Bien que la composante longi-tudinale ne soit pas prise en compte, le pic est situé au même endroit que le pic dedissipation turbulente totale obtenue en DNS et visible sur la figure 3.47.

La figure 3.50 présente une cartographie de fonction de dissipation turbulente totaleen DNS, en X1 = 1.5. Comme pour les vorticités turbulentes à la section 3.3.1, lesvaleurs pariétales sont reportées dans des courbes, et la valeur pariétale en canal planest indiquée en pointillés. La distribution de Φt,+

turb est particulièrement proche de ladistribution de ω′1ω′1

+, visible sur la figure 3.11 (p.65).La figure 3.50 présente la fonction de dissipation turbulente transverse en X1 = 1.5

dans le cas expérimental. Sa répartition est plus proche de la répartition de la fonctionde dissipation moyenne visible sur la figure 3.34 (p.83) que de ω′1ω′1

+.


valeur p

aro

i

supérieu

re

valeu

r paro

i

inférieu

re

Figure 3.49 – Fonction de dissipation turbulente totale Φ+turb, X1 = 1.5, DNS

Figure 3.50 – Fonction de dissipation turbulente transverse Φt,+turb, X1 = 1.5, exp

Chapitre 4

Analyse thermique

Les échanges de chaleur dans la configuration d’échangeur considérée sont fonctiondes gradients de température pariétaux qui résultent de la structure des champs ther-moaérauliques de l’écoulement au sein du canal. L’objet de cette partie est d’analyserles phénomènes internes, en mettant à profit la finesse de l’information fournie par lecalcul DNS. Une analyse incluant la notion de dégradation de la qualité de l’énergietransmise (par la production d’entropie) est effectuée. Les outils disponibles sont lescalculs RANS et DNS, car le banc expérimental est uniquement conçu pour l’étudecinématique.

4.1 Présentation

4.1.1 Équations résoluesLes différences entre les approches RANS et DNS peuvent être mises en évidence

par un rappel des équations résolues.L’équation de bilan local d’énergie interne d’un fluide peut contenir de nombreux

termes, représentant la prise en compte du rayonnement, de la convection naturelle,ou du réchauffement lié à la dissipation. Dans cette étude les phénomènes radiatifs etla convection naturelle sont ignorés car négligeables pour les conditions étudiées. Pourdéterminer si les phénomènes visqueux doivent être pris en compte, le nombre d’Eckertest déterminé. Il s’agit du nombre sans dimensions apparaissant devant la fonction dedissipation adimensionnée, dans les équations de bilan d’énergie cinétique et d’énergieinterne. Dans le cas d’une couche limite turbulente il s’écrit :

Ec = U2∞

Cp(Tw − T∞) (4.1)

Selon Schlichting (1979), en couche limite la contribution de la dissipation dansl’équation de transport d’énergie interne peut être négligée si ce nombre est inférieurà 1. Dans la présente étude, en prenant comme grandeurs de référence le périmètremouillé 2H, la vitesse ubulk et la température Tin, ce nombre vaut 8 · 10−5. Cette faiblevaleur indique que l’écoulement peut être approximé en identifiant l’équation localede bilan d’énergie interne à une équation de transport de la température, considéréecomme un scalaire passif. L’expression de cette équation est :

ρCp

(∂T

∂t+ uj

∂T

∂xj

)= λ

∂2T

∂x2j

(4.2)

95

96 4 Analyse thermique

Comme c’est le cas pour la partie mécanique, cette équation est résolue à chaquepas de temps en DNS, pour ensuite calculer des grandeurs statistiques à analyser. Latempérature prend ainsi l’expression T = T +T ′. L’équation 4.2 est ensuite moyennée ?En introduisant la diffusivité thermique α = λ

ρCp, l’expression de l’équation de transport

de l’énergie interne devient :

uj∂T

∂xj= α

∂2T

∂x2j

− ∂

∂xiu′iT

′ (4.3)

La quantité u′iT ′ correspond au transport turbulent de l’énergie interne. Elle peutêtre calculée en post-traitement en DNS.

En revanche, pour produire le calcul correspondant à l’équation 4.3 en RANS, il estnécessaire de modéliser u′iT ′ de la même façon qu’il est nécessaire de modéliser le tenseurde contraintes de Reynolds u′iu′j dans la section 3.1.3 (p.57). Pour fermer l’équation,l’approximation de Boussinesq est de nouveau appliquée, et les termes turbulents sontreliés aux gradients moyens en utilisant la relation suivante :

−u′iT ′ = αturb∂T

∂xi(4.4)

Contrairement à l’équation de transport de la quantité de mouvement, où le calculde νturb introduisait deux équations de transport supplémentaires (sur k et sur ω), lemodèle employé ici lie simplement αturb à νturb par le nombre de Prandtl turbulent,Prturb :

αturb = νturbPrturb

(4.5)

Prturb = 0.85 est appliqué à tout l’écoulement. Il s’agit de la valeur classiquementutilisée pour des transferts convectifs turbulents dans l’air.

L’équation de transport de T résolue en RANS s’écrit finalement :

uj∂T

∂xj= ∂

∂xj

[(α + αturb)

∂T

∂xj

](4.6)

4.1.2 Conditions aux limitesLes conditions aux limites du champ de température sont identiques pour les calculs

RANS et DNS, à l’exception de la condition de sortie.L’écoulement en entrée du canal est établi dynamiquement, mais pas thermique-

ment. La température à l’entrée du domaine est fixée à Tin = 300K, et la températuresur les parois inférieure et supérieure est fixée à Tw = 350K. Sur les côtés du domaine,une condition de symétrie est appliquée.

Dans le calcul RANS, une condition de gradient nul est utilisée en sortie, alors quepour le calcul DNS il s’agit d’une condition advective telle que définie dans la section2.5.6.2 (p.41).

4.1.3 Adimensionnement de la températureDeux adimensionnements des grandeurs ont été considérés pour présenter cette

étude. Le premier est un adimensionnement «local», qui s’apparente à celui utilisédans le chapitre précédent et est basé sur le comportement pariétal. Le second est unadimensionnement «global», utilisant des grandeurs générales de l’écoulement.

4 Analyse thermique 97

4.1.3.1 Adimensionnement local

Tout comme il est possible de déterminer un comportement universel de procheparoi pour la quantité de mouvement, sous la forme d’un profil u+(x+

2 ), il est possiblede déterminer pour la température un comportement de proche paroi invariant avec lenombre de Reynolds (avec quelques réserves, exprimées notamment par Spalart (1988),Bradshaw et Huang (1995) ou Moser et al. (1999)). Le calcul du profil est détaillépar Schlichting (1979) ou Kays et al. (2005). L’adimensionnement local est obtenu enintroduisant une température Tτ :

T+ = Tw − TTτ

(4.7)

La définition de Tτ (appelée température de frottement) est :

Tτ =λ∂T∂y|y=0

ρCpuτ(4.8)

Sous ces conditions, la loi de paroi pour la température est donnée par Kays et al.(2005) est donnée dans le tableau 4.1.

Domaine Valeur de T+

x+2 < 13.2 Pr x+

213.2 < x+

2 < 150 2.195 ln(x+2 ) + 13.2Pr + 5.66

Tableau 4.1 – Profil universel de température adimensionnée

Contrairement à l’utilisation de uτ pour l’adimensionnement de grandeurs mé-caniques, l’adimensionnement par des grandeurs de proche paroi issus du canal plann’est pas uniforme sur l’ensemble du domaine. En dynamique, la vitesse de frottementuτ d’un canal plan au même nombre de Reynolds est utilisée parce que uτ est constantedans un canal plan dynamiquement développé. A contrario, quand sont considérés leséchanges thermiques dans un canal plan, si Tτ est fixée, le flux est fixé, et donc Tw variespatialement, mais si Tw est fixé, alors Tτ varie car le flux de chaleur varie. Il n’est alorspas possible de déterminer un adimensionnement thermique global qui soit basé surles grandeurs pariétales d’un canal plan associé. Seul un adimensionnement qui varielocalement est possible pour conserver la nature universelle des profils obtenus, maiscet adimensionnement rend les comparaisons entre différentes zones du canal moinsaisées.

4.1.3.2 Adimensionnement global

Pour l’adimensionnement global, l’origine des températures est fixée à Tin. La tem-pérature est ensuite adimensionnée par la température en paroi, exprimée dans cettenouvelle échelle : Tw − Tin. Les températures sont donc transformées linéairement del’intervalle [300,350] vers l’intervalle [0,1] via :

T ∗ = T − TinTw − Tin

(4.9)

Pour adimensionner les autres grandeurs à traiter, les coefficients d’adimension-nement sont obtenus à partir des grandeurs ubulk, 2H et Tw − Tin. Les grandeurs cor-respondant à des flux d’énergie interne, et à des divergences de flux d’énergie interne,sont adimensionnées comme indiqué dans le tableau 4.2.


Type Unité Coefficientflux : −α ∂T

∂xiL T−1 Θ 1

ubulk(Tw−Tin)

divergence de flux : α ∂T∂xi∂xi

T−1 Θ 2Hubulk(Tw−Tin)

Tableau 4.2 – Facteurs d’adimensionnement global des grandeurs thermiques

Une fois mis en place ce système d’adimensionnement, et si on note ()∗ les quantitésadimensionnées dans l’équation de l’énergie interne, le nombre de Péclet Pe = k

ρCpUl

apparaît. Ce nombre caractérise les échanges entre l’advection et la conduction.

∂T ∗

∂t∗+ u∗i

∂T ∗

∂x∗i= k

ρCpUl

(∂T ∗

∂x∗i∂x∗i

)(4.10)

Les constantes physiques liées à la thermique sont identiques dans les calculs RANSet DNS, et valent, pour l’air étudié dans la présente configuration :

ρ (kg m−3) 1.225Cp (J K−1kg−1) 1006λ (W m−1 K−1) 0.0242

Le nombre de Péclet dans la configuration étudiée Pe = ubulk2Hα

est donc de 8500.Ce nombre de Péclet ne dépend pas de Tw − Tin, mais uniquement de la vitesse

de référence et des caractéristiques physiques du fluide considéré. Ainsi le profil detempérature solution, tant qu’il est adimensionné, n’est pas modifié par un change-ment des valeurs des conditions aux limites en température. La résolution effectuéeici correspond à la classe de problèmes pour laquelle le nombre de Péclet est de 8500,et l’écart de 50° K correspond à une valeur arbitraire. C’est pour cette raison que ladensité n’est pas variable avec la température : cela ne fait pas partie de la classe deproblèmes résolue ici.

Dans la suite de l’étude la notation ()∗ est implicite, afin de ne pas alourdir lesexpressions. Les grandeurs dimensionnelles ne sont plus mentionnées. L’adimension-nement ()+ local n’est quant à lui jamais utilisé.

4.2 Champ de température

front

chaudA

A'

Figure 4.1 – Champ de température, X1 = 1.5, DNS


A

A'

Figure 4.2 – Champ de température, X1 = 5, DNS

Le champ de température moyenne en X1 = 1.5 est représenté sur la figure 4.1 etle champ en X1 = 5 est représenté sur la figure 4.2. Comme la tranche de l’écoule-ment X1 = 1.5 est proche du perturbateur, l’énergie interne transférée en paroi n’a pasencore effectuée une révolution complète dans le canal. Le front de la zone chaude con-vectée depuis la zone de proche paroi est représenté sur la cartographie de températuremoyenne en X1 = 1.5 4.1. A contrario, dans la tranche X1 = 5, il n’y a plus de frontchaud car l’écoulement tourbillonnaire a effectué plusieurs révolutions dans le canal.

La valeur moyenne de la température en X1 = 1.5 est de 0.1231, tandis que la valeurmoyenne en X1 = 5 est de 0.1538, ce qui correspond bien à une augmentation due auxtransferts en paroi. En X1 = 1.5 les zones A et A’ contiennent une partie importantede l’énergie interne contenue dans le canal, alors qu’en X1 = 5 dans ces deux zonesl’énergie interne est plus répartie. Il y a moins d’énergie interne contenue dans les zonesA et A’ en X1 = 1.5 qu’en X1 = 5.

4.3 Flux de chaleur pariétalLes distributions de flux de chaleur sont analysées en RANS et en DNS, et com-

parées avec les informations obtenues sur la dynamique de l’écoulement, telle que ladistribution de contrainte pariétale.

Un des buts de cette étude étant de présenter les différentes zones de l’écoulementtravaillant thermiquement, le coefficient de convection local h = q

Tw−Tbulkn’est pas

analysé car il relie le flux en paroi à la température de mélange, qui n’est pas uneinformation locale, mais intégrée dans chaque section. L’analyse du nombre de Nusseltlocal n’entre pas non plus dans le cadre de cette étude car de la même manière il faitaussi intervenir une température intégrée, dans le calcul du coefficient de convection.

Les figures 4.3 et 4.4 présentent le flux de chaleur pariétal sur la paroi inférieure ducanal, adimensionné en utilisant les échelles globales de l’écoulement. Comme pour lescartographies de contrainte pariétale, des traits délimitent le domaine de calcul DNS surles cartograhies RANS, et d’autrent montrent la prolongation selon x1 du perturbateurdans les cartographies RANS et DNS. Sur la cartographie DNS sont mentionnées leszones correspondant au tourbillon principal et au tourbillon induit.

La structure globale du transfert de chaleur pariétal est identique dans les cas RANSet DNS. Les valeurs fournies en RANS sont plus élevées que les valeurs fournies en DNS.La distribution de flux de chaleur est proche de la distribution de contrainte pariétaletotale présentée sur la figure 3.31 (p.81). Dans les zones de upwash est notamment


canal DNS

projection perturbateur

Figure 4.3 – Flux de chaleur pariétal, paroi inférieure, RANS

observée une diminution du flux de chaleur par rapport au flux sur les bords du canal([X3 < −1 ∪X3 > 1]), où les tourbillons ont un effet moindre.

4.4 Température turbulenteLes figures 4.5 et 4.6 présentent les cartographies de T ′T ′ dans les plans transversaux

enX1 = 1.5 etX1 = 5. Pour rappel l’adimensionnement utilisé n’est pas celui ne fournitpas celui classiquement utilisé pour l’analyse de couches limites thermiques établies(T ′+T ′+).

Les zones de upwash qui correspondent à une turbulence accrue visible sur la figure3.38 (p.85) sont aussi des zones où la variance de la température est la plus importante.Cette influence justifie une étude du flux d’énergie interne lié à la convection turbulente.

Sur les côtés de l’écoulement, c’est-à-dire en [X3 < −1∪X3 > 1], le comportement dela température turbulente correspond qualitativement au comportement d’une couchelimite thermique dynamiquement établie, et en cours d’établissement thermique, c’està dire qu’en paroi la variance de la température est nulle, puis atteint un maximumavant de diminuer.

4.5 Modes de transport de l’énergie interne

4.5.1 Séparation des modes de transportL’équation de transport de la chaleur, sous sa forme moyennée et stationnaire, peut

être exprimée sous la forme :

∂

∂xi

uiT︸︷︷︸A

+u′iT′︸︷︷︸

B

−α ∂T∂xi︸︷︷︸C

= 0 (4.11)


tourbillon induit

tourbillon principal

upwash

Figure 4.4 – Flux de chaleur pariétal, paroi inférieure, DNS

qui fait apparaître les différents flux d’énergie interne sous forme de vecteurs : laconvection moyenne A, la convection turbulente B, et la conduction C. Comme l’énergieinterne est conservée dans le domaine par l’hypothèse du transport de scalaire passif,les divergences de ces différents modes de transport se compensent et donc l’équation4.11 correspond à la quantification locale des échanges entre les flux, la divergenceglobale étant nulle.

L’analyse classique des couches limites turbulentes établies consiste à considérerdes profils bidimensionels universels de température moyenne tels que décrits dans lasection 4.1.3.1 (p.97). Dans cette analyse, seuls les flux d’énergie interne par conductionet convection turbulente selon x2 sont considérés. Les dérivées selon x1 ne sont pas prisesen compte et l’évolution du profil selon x1 est uniquement représentée par la variationlocale du flux de chaleur en paroi.

Dans le cadre de cette étude, l’analyse n’est pas locale, au sens où ce ne sont pasdes profils selon x2 qui sont comparés, mais l’évolution spatiale des différents modesde transfert de l’énergie selon les trois directions de l’espace. Il est donc nécessaire decaractériser l’évolution des différents flux en chaque point de l’espace.

La figure 4.7 schématise des profils de vitesse et de température moyenne dansun canal plan pour illustrer cette approche. L’écoulement représenté est un écoule-ment turbulent établi dynamiquement et thermiquement, dans le cas particulier d’unetempérature de paroi Tw constante strictement semblable à la configuration de cetteétude. Les deux profils représentent l’écoulement à des valeurs différentes de x1, etl’augmentation de la température moyenne due au flux de chaleur pariétal est visible.En adimensionnant classiquement par des échelles internes ces deux profils différents,ils deviendraient identiques car leurs différences en dimensions physiques seraient com-pensées par la variation du gradient de température en paroi ∂T

∂x2utilisé dans l’adimen-


Figure 4.5 – Variance de la température en X = 1.5

Figure 4.6 – Variance de la température en X = 5

sionnement. Cette description ne permet donc pas de décrire localement (c’est à direen fonction de (x1, x2)) ce qui s’est passé entre A et B pour passer d’un profil à l’autre.

Entre A et B, pour une valeur de x2 fixée, u1(x2) est constant et T (x2) augmente.Cela induit que u1T (x2) augmente. Comme il s’agit dans le cas présent de la seulecomposante non nulle du vecteur uiT , alors la divergence de ce champ de vecteurest positive. Ainsi la divergence positive de uiT traduit l’augmentation du transportde l’énergie interne par convection moyenne. Cette grandeur est locale, et permet decaractériser l’augmentation de la convection moyenne en fonction de x2.

De façon similaire, en se basant sur la direction des vecteurs et leur évolution, ilest possible de fournir une description locale des échanges entre la conduction et laconvection turbulente dans la zone de proche paroi. Cette description en terme dedivergences permet de visualiser facilement les échanges entre les différents modes detransport.

La figure 4.8 présente de façon simplifiée les différents modes de transport de l’én-ergie interne en proche paroi dans une couche limite établie dynamiquement et ther-miquement. Le flux de conduction (vecteurs rouges) est le seul à traverser la paroidu canal pour apporter de l’énergie interne au système. Le fluide peu turbulent enproche paroi emporte l’énergie interne sous forme de convection moyenne (vecteursverts) et donc localement le flux par conduction diminue tandis que le flux par convec-tion moyenne augmente, ce qui se traduit par la modification de la norme des vecteurs,et l’équilibre des divergences décrit dans l’encadré bleu clair associé à l’ellipse bleue


Figure 4.7 – Évolution des profils de température moyenne

paroi

Flux Divergences

I

II

III

Figure 4.8 – Répartition schématique des flux et divergences des trois modes de trans-port dans la zone pariétale

claire schématisant la zone de très proche paroi. Dans cette zone le flux turbulent estnégligeable. Un peu plus loin de la paroi, la turbulence qui était représentée sur lafigure 3.40 (p.87) induit un nouveau flux dans la zone orange : la convection turbulentereprésentée par un vecteur bleu foncé. Dans cette zone, la diminution de la conductionest liée à la fois à l’augmentation de la convection moyenne et de la convection turbu-lente, ce qui est traduit dans le signe des divergences présentées dans l’encadré orangecorrespondant à une zone plus éloignée de la paroi. Les zones I, II et III délimitenttrois régime particulier pour le flux selon x2. En très proche paroi, dans la zone I, laconduction prime, alors que dans la zone III la convection turbulente prime. La zoneII est une zone de transition.

Un des impacts du flux de convection turbulente est donc de s’ajouter au flux deconduction pour réduire la quantité d’énergie interne présente dans la zone de procheparoi, et conserver des gradients de température importants en paroi.

Une méthode utilisée pour simplifier la représentation des différents flux d’énergieinterne dans l’écoulement consiste à tracer des «lignes de chaleur». Cette méthodeest décrite dans Kimura et Bejan (1983). Le principe est de déterminer un ensemblede lignes «suivant» le transport de l’énergie interne, de la même façon que les lignesde courant déterminent un ensemble de lignes suivant l’écoulement. Un flux global


d’énergie interne est calculé, selon l’expression :

uiT + u′iT′ − α ∂T

∂xi(4.12)

et les lignes de courant correspondantes sont tracées. La difficulté de cette visual-isation est cependant que le choix de l’origine des températures et des vitesses affectele poids de la composante uiT dans la détermination de la direction du flux global. Iln’existe alors pas une seule représentation pour une même configuration, mais une in-finité dépendant de ces deux paramètres, ce qui complique les interprétations physiques(particulièrement le choix de la température de référence).

La solution retenue dans cette étude pour représenter les différents flux de chaleurest donc simplement de les représenter sous forme de champs de vecteurs, et des champsde leurs divergences. Les termes B et C de l’équation 4.11 peuvent aisément êtrereprésentés sous forme de vecteurs, mais pour le terme A subsiste le problème duchoix d’une température de référence pour l’ensemble du domaine qui affecte de façonartificielle le poids de ce mode de transport. Pour cette raison, seule la divergence etnon la valeur de ce terme est exploitée en sachant que la convection moyenne suit l’é-coulement, qui a déjà été décrit dans la section 3.2 (p.58) décrivant sa topologie. Parla suite les divergences des champs A, B et C donnent une information complémen-taire pour déterminer les zones où les différents modes varient dans leurs importancesrelatives. Cette analyse est effectuée à partir des résultats DNS.

4.5.2 Modèle des modes de transport dans un tourbillon lon-gitudinal moyen

Parmi les analyses présentées dans la bibliographie, une grande partie présente desrésultats globaux reliant le coefficient de frottement au coefficient de convection, le plussouvent dans le cadre d’études paramétriques sur la géométrie étudiée. Des analysesnumériques utilisant le calcul DNS ou LES présentent pourtant des informations surcertaines caractéristiques liées aux échanges turbulents, mais peu présentent une anal-yse complète des relations entre les différents modes de transport de l’énergie interne,depuis son introduction par conduction aux parois, jusqu’à sa sortie du domaine parconvection.

Le but de cette section est de proposer un modèle simple des flux et des divergencesdans le tourbillon principal généré par le perturbateur. Ce modèle sera ensuite confrontéavec les résultats en DNS obtenus sur la répartition des flux dans la section 4.5.3 (p.105)puis avec la répartition des divergences dans la section 4.5.4 (p.107).

Dans la zone de proche paroi, l’écoulement est peu turbulent, donc dans tous lescas le flux de chaleur y dépend principalement des champs moyens. La connaissancedu champ moyen permet de déterminer localement l’augmentation ou la diminutionlocale de la couche pariétale, et donc l’augmentation ou la diminution locale du flux dechaleur. L’impact du flux de convection turbulente doit être déterminé, pour savoir dansquelle mesure ce flux permet de conserver des gradients de température importants enparoi. Il faut déterminer si, dans le cadre des tourbillons longitudinaux, l’influence dela turbulence sur le transfert thermique est uniquement indirecte, liée à son impact surla dynamique de l’écoulement moyen via les contraintes de Reynolds, ou si le transportturbulent ayant lieu un peu plus en profondeur dans l’écoulement a aussi un impactsur la diffusion d’énergie interne au sein de l’écoulement.

Un modèle naïf pour expliquer l’intensification des échanges obtenus par l’adjonc-tion de tourbillons longitudinaux moyens est représenté sur la figure 4.9. Pour simplifier


paroi supérieure

paroi inférieure

Flux Divergences

Figure 4.9 – Modèle cyclique des modes de transfert dans une section transverse d’untourbillon longitudinal

la présentation, ce modèle n’inclue pas le flux de convection turbulente u′iT ′.Le tourbillon longitudinal est présenté comme un appareillage cyclique augmentant

les échanges thermiques. L’écoulement est chauffé à proximité d’une paroi chaude (à latempérature Tc), et l’écoulement chaud est transporté vers le milieu du canal où il serefroidit au contact du fluide froid (à température Tf ), et entre de nouveau en contactavec la partie chaude sur la paroi opposée. Ce comportement contrasterait avec lecomportement d’une simple couche pariétale, où le fluide en proche paroi se réchauffe,mais n’est pas «éjecté» par un mouvement convectif moyen dans la zone froide aucentre. Dans le cas de l’écoulement non perturbé la capacité du fluide à générer desgradients de température importants n’est ainsi pas régénérée par un cycle comme celuiprésenté ici.

L’objet de cette étude va être de déterminer si ce modèle simplifié est représen-tatif de l’écoulement réel dans le canal perturbé, ainsi que l’impact de la convectionturbulente.

4.5.3 Analyse des flux

Figure 4.10 – Norme du flux de convection turbulente totale ||u′iT ′||, DNS, X1 = 1.5


Figure 4.11 – Norme de la partie transverse du flux de convection turbulente ||u′iT ′||,DNS, X1 = 1.5

Figure 4.12 – Norme du flux de conduction || − α ∂T∂xi||, DNS, X1 = 1.5

Les figures 4.10, 4.11, et 4.12 présentent les normes des vecteurs de convectionturbulente totale, de convection turbulente transverse, et de conduction, en X1 = 1.5.Ces résultats sont issus des calculs DNS. L’information sur la direction des flux a étéajoutée sur les figures 4.11 et 4.12.

Sur les bords du canal (soit en [X3 < −1 ∪ X3 > 1]), la composante transversede la convection turbulente est négligeable sur la figure 4.10 par rapport à la convec-tion turbulente totale sur la figure 4.11 car la convection turbulente est principalementlongitudinale car hors d’influence du tourbillon longitudinal. Le schéma 4.8 (p.103) de-vrait donc être modifié pour que les vecteurs représentant u′iT ′ soient quasiment alignésselon x1. Cela signifie que la majorité de l’agitation turbulente de proche paroi n’a pasd’effet pour réduire la température dans cette zone en transportant l’énergie internevers le centre de l’écoulement. Dans les zones centrales du canal (soit en X3 ∈ [−1, 1]),la composante transverse est atteint un maximum local (dans la zone d’upwash), etpermet à l’énergie interne d’entrer dans le cœur du tourbillon principal. Les vecteursreprésentent la direction transverse du flux de convection turbulente et montrent quece flux est orienté vers l’intérieur du tourbillon longitudinal, sur la paroi haute commesur la paroi basse.

Sur les bords de l’écoulement pour [X3 < −1 ∪ X3 > 1], le flux de convectionturbulente est plus important que le flux de conduction en paroi, cela peut s’expliquerpar l’accumulation de l’énergie dans les zones amont, alors même que le flux de chaleur


diminue quand X1 augmente. Le flux transverse est lui par contre du même ordre degrandeur que le flux par conduction : il contribue à limiter la hausse de températureen proche paroi et permet d’y maintenir des gradients importants, puisque ce flux estplus important que le flux de conduction pour une même valeur de X2. Dans la zoned’upwash, le flux de convection turbulente maximal est supérieur au flux maximal parconduction.

Figure 4.13 – Norme de la partie transverse du flux de convection turbulente ||u′iT ′||,DNS, X1 = 5

La figure 4.13 représente le flux de convection turbulente transverse en X1 = 5 enDNS. Il apparaît également que le flux de convection turbulente a tendance à transférerl’énergie interne vers l’intérieur du tourbillon secondaire. Le flux de conduction n’estpas représenté dans ce plan de coupe car il s’agit simplement d’une fine couche en paroidans la zone des tourbillons longitudinaux, et ce flux est uniquement normal à la paroi.

4.5.4 Analyse des divergences de flux

AB

C D

Figure 4.14 – Divergence du flux de convection moyenne ∂∂xiuiT , DNS, X1 = 1.5

Les trois cartographies 4.14, 4.15 et 4.16 présentent respectivement les divergencesde la convection moyenne, de la convection turbulente, et de la conduction dans lasection X1 = 1.5. Ces trois termes sont répartis de façons très différentes spatialement.Le terme ∂

∂xiuiT est par exemple non nul aussi bien en proche paroi que plus à l’intérieur

du canal, alors que les valeurs non nulles de − ∂∂xiα ∂T∂xi

sont limitées à la proche paroi


B

CAA'

Figure 4.15 – Divergence du flux de convection turbulente ∂∂xiu′iT

′, DNS, X1 = 1.5

A

D D'

D

Figure 4.16 – Divergence du flux de conduction − ∂∂xiα ∂T∂xi

, DNS, X1 = 1.5

et celles de ∂∂xiu′iT

′ à l’intérieur du canal. Les échanges se font donc entre conductionet convection moyenne en proche paroi, et entre convection moyenne et convectionturbulente loin de la paroi. Il n’y a pas d’échange direct entre la conduction et laconvection turbulente, c’est à dire de zone où la seule divergence nulle serait ∂

∂xiuiT .

La conduction diminue partout dans l’écoulement, sauf dans deux zones pariétalesautour de X3 = 0 sur la figure 4.16 (p.108) marquées D et D’ sur la paroi basse (lemême phénomène étant visible sur la paroi haute). Sur la cartographie de flux dechaleur pariétal 4.3 (p.100) ces zones correspondent à des minima locaux du transfertthermique. Comme peu d’énergie interne est transférée en paroi et que de l’énergie esttransférée par conduction vers la zone d’upwash (voir la figure 4.12), alors la diver-gence de la conduction devient localement positive. Cela est à relier aux cartographiesde contraintes pariétales 3.29 et 3.30 qui indiquent de faibles contraintes longitudi-nales et transverse, correspondant à une relative stagnation de l’écoulement. La figure4.1 (p.98) indique que la couche pariétale thermique est localement plus importante,ce qui confirme l’accumulation locale d’énergie interne dans cette zone.

Dans la zone A sur la figure 4.14 (divergence du flux convectif moyen) et la figure4.16 (divergence du flux conductif moyen), la diminution de la conduction est asso-ciée à une augmentation de la convection moyenne. Le flux de convection moyenneformé en A suit l’écoulement, et est entraîné par la rotation du tourbillon principal. Ils’agit du principal mode par lequel le tourbillon principal intensifie les échanges ther-miques, puisque l’énergie interne transférée est à terme éloignée de la paroi, et permet


d’augmenter les gradients de température pariétaux. L’énergie interne est dans ce castransportée dans la périphérie du tourbillon principal. La zone D sur les figures 4.14 et4.16 est similaire à la zone A. Il s’agit d’une zone de transfert de la conduction vers laconvection moyenne sous l’effet du tourbillon longitudinal.

Dans la zone B sur les figures 4.14 et 4.15 les échanges entre la convection moyenneet la convection turbulente sont prépondérants. Alors que dans la zone A l’analyse estsimple car la divergence de la conduction diminue quand la divergence de la convectionmoyenne augmente, dans la zone B deux divergences de signes différents sont présentescôte à côte, et ce à la fois pour la convection moyenne et pour la convection turbulentece qui complique l’interprétation. Ces deux zones voisines de divergence non nulle ontdes signes opposés entre la convection moyenne et la convection turbulente, indiquantun couplage complexe entre les deux modes de transport. En se plaçant du point devue de la convection turbulente, la zone de divergence positive correspond à une zoneoù une partie de la convection moyenne est transformée en convection turbulente. Lacartographie de flux de convection turbulente transverse 4.11 (p.106) indique qu’au lieude suivre l’écoulement moyen, cette convection turbulente transverse se fait selon la di-rection X3, c’est-à-dire vers l’intérieur du tourbillon principal. Ce transfert se fait aussivers une zone de turbulence moindre selon la cartographie d’énergie cinétique turbu-lente 3.38 (p.85) et donc la convection turbulente diminue au bénéfice de la convectionmoyenne, ce qui est exprimé par une divergence négative de la première, et positivede la seconde. Dans la cartographie 3.38 (p.85), le maximum d’énergie cinétique tur-bulente est situé au coeur du tourbillon principal, mais ce n’est pas cette partie quicontribue le plus à la convection turbulente car elle est éloignée de la paroi. Seule lapartie upwash entre le tourbillon principal et le tourbillon induit a un impact.

Le même processus est visible dans la zone C avec un transport selon −X3 en lieude X3 et dans ce cas l’énergie interne est introduite à l’intérieur du tourbillon induit.Les flux de chaleur sont moins importants que dans la zone B. Cette zone correspond àune zone d’upwash secondaire, entre le tourbillon induit et un tourbillon de taille trèsréduite en proche paroi.

Un autre effet du tourbillon longitudinal est que dans la zone A de la figure 4.15,la divergence de la convection turbulente est nulle alors que ce n’est pas le cas dansla zone A’ qui n’est pas perturbée par ce tourbillon. Un des effets des tourbillonslongitudinaux est donc d’atténuer fortement la convection turbulente en proche paroi.Cela n’a que peu d’impact sur le flux de chaleur pariétal car la convection moyenne esttrès importante.

A

A'

Figure 4.17 – Divergence du flux de convection moyenne ∂xiuiT , DNS, X1 = 5


A

A'

Figure 4.18 – Divergence du flux de convection turbulente ∂∂xiu′iT

′, DNS, X1 = 5

En X3 = 5 la même analyse des modes de transport est effectuée à partir de la com-posante transverse de la convection turbulente (figure 4.13), la divergence du flux deconvection moyenne (figure 4.17) et la divergence du flux de convection turbulente (fig-ure 4.18). La cartographie de − ∂

∂xiα ∂T∂xi

correspond à une simple couche de divergencenégative en proche paroi, dans les zones proches des tourbillons et n’est pas reproduiteici. Les parois supérieure et inférieure ont un comportement différent, contrairementà la situation en X3 = 1.5 où les comportements sont similaires. Le flux de convec-tion turbulente est plus important en amplitude et en étendue spatiale sur la paroisupérieure. Dans la zone A, seul le transfert turbulent associé au tourbillon principalest visible, alors que dans la zone A’, la structure complète avec une zone d’upwashprincipale et une zone d’upwash secondaire est présente de manière semblable.

Au vu de l’analyse effectuée, le modèle cyclique présenté sur la figure 4.9 (p.105)semble incorrect pour décrire les phénomènes observés. Dans la zone upwash, la con-vection turbulente doit être rajoutée. La conduction doit aussi être déplacée, car ellen’a pas lieu au centre du canal, mais dans la zone upwash. Dans ces deux cas, le fluxde chaleur se fait vers l’intérieur du tourbillon, et non vers l’extérieur.

4.5.5 Approximation de BoussinesqLe terme αturb reliant les vecteurs u′iT ′ et − ∂T

∂xipar la relation 4.4 (p.96) est dans le

cas du modèle RANS k−ω un scalaire variable dans l’écoulement. Cela implique dansce cas une colinéarité entre les vecteurs u′iT ′ et − ∂T

∂xi, car αturb a la même action sur

toutes les composantes du gradient de température moyenne.L’erreur introduite par cette hypothèse pourrait être caractérisée par un champ

d’erreur vectorielle mesurant l’écart entre la convection turbulente réelle calculée par laDNS −u′iT ′ et la convection turbulente modélisée −αturb ∂T∂xi telle qu’elle serait obtenueen utilisant l’hypothèse de Boussinesq :

ei = −αturb∂T

∂xi− u′iT ′ (4.13)

Il n’est cependant pas possible d’obtenir le champ de la norme du vecteur ei, car lecoefficient de proportionnalité αturb n’est pas calculé directement en DNS.

Il est toutefois possible de caractériser le biais directionnel introduit par avec l’ap-proximation de Boussinesq en calculant l’angle entre − ∂T

∂xiet u′iT ′ à partir des données

fournies par le calcul DNS. Cet angle noté θ est représenté sur la figure 4.19. Il permet


Figure 4.19 – Angle d’erreur introduit par l’approximation de Boussinesq

Figure 4.20 – Angle θ caractérisant la validité de l’hypothèse de Boussinesq, pourX1 = 1.5, en degrés

de mesurer si la direction de la convection turbulente modélisée est correctement préditpar l’approximation. De plus, θ = 0 est une condition nécessaire mais pas suffisantepour que le vecteur d’erreur ei soit nul.

En analyse des transfert thermiques l’«angle de synergie» est couramment utilisé.Il s’agit de l’angle local entre le gradient de température ∂

∂xiT et le vecteur vitesse ui.

Cet angle représente par conséquent une notion très différente de l’angle d’erreur décritici. Dans cette étude, la notion qui serait la plus proche de l’angle de synergie seraitplutôt le calcul de la divergence du transport convectif, qui peut être vu comme leproduit scalaire entre ∂

∂xiT et ui. Dès lors, l’angle de synergie ne semble fournir qu’une

partie de l’information déjà fournie par ce terme. Le but du transfert par convectionest d’augmenter l’énergie transportée en la convectant plus vite qu’elle n’aurait étéconduite par le matériau. Dans cette perspective, c’est le produit scalaire qui fournitl’intégralité de l’information.

Les cartographies 4.20 et 4.21 présentent la valeur que prend θ dans les tranchesd’écoulement X1 = 1.5 et X1 = 5. Elles montrent que θ est minimal dans la zonecentrale de l’écoulement, qui est inerte thermiquement, et devient plus important dansles tourbillons secondaires. Or, comme l’illustre la figure 4.10 (p.105), le transportturbulent est significatif dans ces zones. En examinant les flux de conduction et deconvection turbulente sur les figures 4.11 (p.106) et 4.12 (p.106), il apparaît que dansla zone upwash (X3 = −0.5) par exemple, les composantes transverses pointent toutesdeux dans la direction X3. Or, θ vaut environ 90°, ce qui signifie que la principalecomposante du vecteur erreur ei est longitudinale.

En proche paroi pour [X3 < −1∪X3 > 1], c’est à dire dans les parties peu perturbéeset proche de la configuration de canal plan, un angle θ de 90° est indiqué sur la figure4.20. La principale composante de u′iT ′ est bien longitudinale en proche paroi, ce quiconfirme la comparaison des convections turbulentes totale et transverse sur les figures


Figure 4.21 – Angle θ caractérisant la validité de l’hypothèse de Boussinesq, pourX1 = 5, en degrés

4.10 (p.105) et 4.11 (p.106).Dans ces deux cas, l’erreur commise en utilisant l’hypothèse de Boussinesq est lon-

gitudinale. Cela signifie que les mouvements transverses, qui correspondent au change-ment de répartition de l’énergie interne par rapport aux tourbillons longitudinaux sontpeu affectés. L’utilisation de cette hypothèse par un modèle RANS, devrait avoir unimpact limité sur la répartition des flux dans l’écoulement.

Remarque : une solution pour obtenir un angle correct entre les deux vecteurs,tout en continuant d’utiliser l’approximation de Boussinesq est de ne plus considérerαturb comme une grandeur isotrope agissant de façon identique sur toutes les com-posantes du vecteur − ∂T

∂xi. Cela peut se faire par l’introduction d’une diffusivité turbu-

lente tensorielle αturb,ij au lieu de la diffusivité turbulente scalaire αturb, et l’hypothèsede Boussinesq prend alors l’expression anisotrope suivante :

u′iT′ = −αturb,ij

∂T

∂xj(4.14)

Les composantes du tenseur αturb,ij peuvent être obtenues à partir de caractéris-tiques de l’écoulement moyen en étant fonction de tenseurs tels que Sij ou Ωij, ou àl’aide d’équations de bilan locales.

En plus du calcul de l’erreur sur la direction des flux de convection turbulente, ilserait intéressant de déterminer quel est l’impact de l’hypothèse de Boussinesq sur lecalcul des divergences des différents modes de transport, du fait de la non colinéaritéde −α ∂T

∂xiet u′iT ′ dans le calcul DNS. Des calculs ont été effectués dans ce sens, mais

une des difficultés est que l’expression de la divergence de la convection turbulentemodélisée est :

∂

∂xi

(−αturb

∂T

∂xi

)= ∂T

∂xi

∂

∂xi(−αturb)− αturb

∂

∂xi

∂T

∂xi(4.15)

Il est possible de calculer en DNS ∂∂xi

∂T∂xi

, et d’utiliser la positivité de αturb pourcomparer les signes de −αturb ∂

∂xi

∂T∂xi

et −α ∂∂xi

∂T∂xi

. Cependant, il n’est pas possible decalculer le terme ∂T

∂xi

∂∂xi

(−αturb), et il est donc impossible de conclure simplement sur lesdifférences de signes entre ∂

∂xi

(−α ∂T

∂xi

)et ∂

∂xi

(−αturb ∂T∂xi

)à partir des résultats DNS.

Pour étendre cette étude directionelle de l’hypothèse de Boussineq, il est possible àpartir du produit interne de deux tenseurs de définir un angle entre les tenseurs −u′iu′j


et Sij. Cet angle est similaire à θ car il correspond à l’erreur introduite par l’hypothèsede Boussinesq en dynamique. Liu et al. (1996) l’utilisent pour quantifier l’erreur com-mise par l’hypothèse de Boussinesq dans le cadre de tourbillons longitudinaux dans unecouche limite en cours d’établissement. L’erreur est importante à l’extérieur des tourbil-lons (c’est à dire notamment en proche paroi), et dans le cœur des tourbillons. L’erreurest la plus faible dans les zones externes des tourbillons. Schmitt (2007) applique cecritère à un écoulement turbulent autour d’un cube. Il serait intéressant de calculerl’erreur sur l’hypothèse de Boussinesq en dynamique dans la configuration étudiée ici.

4.6 Analyse entropique

4.6.1 Présentation

4.6.1.1 Caractérisation des échangeurs à l’aide de la production d’entropie

La seule exergie Ex considérée correspond à l’énergie interne U qu’il est possiblede convertir en travail par un moteur thermique possédant une source froide à unetempérature T0. L’expression de cette exergie est :

Ex = U − T0S (4.16)

L’entropie produite dans l’échangeur réduit donc directement l’exergie disponibledans le fluide quittant l’échangeur. L’étude du taux de production d’entropie thermiqueprésente donc un intérêt dans le cadre de la conception d’échangeurs. Cette sectiondécrit la répartition de la production d’entropie dans le canal perturbé, pour les calculsRANS et DNS.

4.6.1.2 Expression de la production d’entropie

Comme mentionné dans la bibliographie, section 1.3 (p.15), l’expression du tauxlocal de production d’entropie instantané S ′′′gen s’écrit :

S ′′′gen = λ

T 2

(∂T

∂xi

)2

︸︷︷︸gradients de température

+ τijT

∂ui∂xj︸︷︷︸

dissipation visqueuse

(4.17)

Chaque grandeur est décomposée en une partie moyenne et une partie turbulente,et l’équation est moyennée. En ne conservant que les termes au premier ordre, la partieliée aux gradients de température S ′′′gen,th,tot est décomposée en une partie dépendantde l’écoulement moyen S ′′′gen,th,moy et une partie dépendant de l’écoulement turbulentS ′′′gen,th,turb :

λ

T 2∂T

∂xi

∂T

∂xi︸︷︷︸S′′′gen,th,tot

≈ λ

T2∂T

∂xi

∂T

∂xi︸︷︷︸S′′′gen,th,moy

+ λ

T2∂T ′

∂xi

∂T ′

∂xi︸︷︷︸S′′′gen,th,turb

(4.18)

De la même façon la composante liée à la dissipation visqueuse S ′′′gen,ν,tot est décom-posée en une partie dépendant de l’écoulement moyen S ′′′gen,ν,moy et une partie dépendant


de l’écoulement turbulent S ′′′gen,ν,turb :

2µTSijSij︸︷︷︸

S′′′gen,ν,tot

≈ 2µTSijSij︸︷︷︸

S′′′gen,ν,moy

+ 2µTS ′ijS

′ij︸︷︷︸

S′′′gen,ν,turb

(4.19)

Le détail de ces opérations, non présenté ici, est disponible dans Kock (2003).Des résultats préliminaires en RANS dans la configuration étudiée ont montré que

la production d’entropie d’origine mécanique est très inférieure à la production d’en-tropie d’origine thermique. La partie d’origine mécanique n’est donc pas étudiée, etles phénomènes dissipatifs sont uniquement caractérisés par la fonction de dissipationmoyenne dans la section 3.6.1 (p.78) et par la fonction de dissipation turbulente dansla section 3.6.5 (p.90).

4.6.1.3 Adimensionnement

La production d’entropie est calculée par post-traitement, et non en résolvant uneéquation introduisant de nouveaux degrés de liberté dans le système. Cela impliquequ’il n’y a pas besoin d’introduire de nouveau nombre adimensionnel pour caractériserle comportement de la production d’entropie.

Comme c’était le cas pour la thermique et la mécanique, plusieurs options sontdisponibles pour l’adimensionnement de la production d’entropie. L’une d’entre ellesest l’adimensionnement par la production d’entropie en canal plan. Une autre, utiliséepar Kock et Herwig (2005) consiste à appliquer le facteur suivant à la productiond’entropie S ′′′gen :

S ′′′+gen =να

(TwTτ

)2

u2τλ

S ′′′gen (4.20)

Cependant, pour les mêmes raisons que pour l’adimensionnement de l’étude ther-mique décrit dans la section 4.1.3.1 (p.97), seul l’adimensionnement par des échellesglobales est considéré ici. De plus, comme la présente étude n’est pas une étudeparamétrique, il n’est pas nécessaire d’utiliser une adimensionalisation du type NS1comme évoqué dans la section 1.3 (p.15), qui permette d’avoir une évolution desgrandeurs adimensionnées compatible avec l’évolution de son efficacité (au sens del’étude NUT-ε).

L’entropie étant définie en utilisant la température absolue, il n’est donc pas judi-cieux de l’exprimer en sélectionnant Tin comme origine des température, comme c’estle cas dans la section 4.1.3.2 (p.97). De plus, une température adimensionnée de 0Kà l’entrée du canal correspondrait en utilisant les expression de la production d’en-tropie 4.18 et 4.19 à une valeur infinie. L’adimensionnement adopté par la suite estdonc similaire à celui décrit dans la section 4.1.3.2, en utilisant 0K comme origine destempératures au lieu de Tin. Comme l’unité d’une production d’entropie est kg

K s m, le

coefficient utilisé pour l’adimensionnement est :

Twρu3

bulk(2H)2 (4.21)

Comme c’est le cas pour la présentation des résultats thermiques, toutes les grandeursprésentées dans cette section sont adimensionées et il n’y a pas de notation particulièreintroduite pour indiquer l’adimensionnement.


4.6.1.4 Modélisation RANS de la production d’entropie

Le terme de production d’entropie turbulente λ

T2∂T ′

∂xi

∂T ′

∂xiest directement calculable

en DNS. Dans le calcul RANS par contre, l’approximation de Boussinesq est utiliséepour reconstituer la partie turbulente de la production d’entropie due aux gradientsthermiques :

S ′′′gen,th,turb = λturb

T2

(∂T

∂xi

∂T

∂xi

)(4.22)

Kock (2003) fournit là encore le détail du calcul et des approximations utilisées.

4.6.2 RésultatsLes résultats sont présentés en utilisant la même convention que les cartographies de

l’analyse mécanique. La cartographie centrale contient les valeurs du champ considérédans le canal, avec une valeur de seuil permettant de représenter au mieux sa structure.Les valeurs sur la paroi supérieure et la paroi inférieure sont représentées sur des courbesde chaque côté de la cartographie.

valeur p

aroisu

périeu

revaleu

r paroi

inférieu

re

Figure 4.22 – Production d’entropie due aux gradients de température moyenneS ′′′gen,th,moy, RANS, X1 = 1.5

Les figures 4.22 et 4.23 présentent le taux de production d’entropie lié aux gradi-ents de température moyenne S ′′′gen,th,moy respectivement en RANS puis en DNS. Lesrépartitions hors zone de proche paroi sont similaires entre les deux calculs, par contreles pics en proche paroi sont beaucoup plus importants dans le calcul DNS.

De manière analogue les figures 4.24 et 4.25 présentent le taux de production d’en-tropie lié aux gradients de température turbulente S ′′′gen,th,turb. En RANS, la distributionest similaire à la distribution obtenue pour la composante moyenne sur la figure 4.22.


valeur p

aroi

supérieu

re

valeur p

aroi

inférieu

re

Figure 4.23 – Production d’entropie due aux gradients de température moyenneS ′′′gen,th,moy, DNS, X1 = 1.5

Le calcul DNS ne présente par contre pas la même distribution de production d’en-tropie turbulente sur la figure 4.25 que la distribution de production d’entropie moyennereprésentée sur la figure 4.23. Sur la paroi inférieure, dans la zone X3 ∈ [−0.25, 0.5] laproduction en paroi est minimale par rapport aux zones adjacentes sur la figure 4.25,alors que la même zone en RANS sur la figure 4.24 correspond à un maximum.

En X1 = 5, la production d’entropie est dans tous les cas plus concentrée en procheparoi, et seules les cartographies DNS de composantes moyenne et turbulente sontprésentées respectivement sur les figures 4.26 et 4.27. Comme l’intensité des tourbillonsa diminué, la zone d’upwash est moins étendue. L’absence de transfert thermique parconduction au centre du canal implique une production d’entropie concentrée en procheparoi. La zone X3 ∈ [−0.25, 0.5] ne correspond pas sur la figure 4.27 à une zone deminimum de production d’entropie turbulente, comme c’est le cas en X1 = 1.5 sur lafigure 4.25.

DNS RANSS ′′′gen,th,moy S ′′′gen,th,turb S ′′′gen,th,tot S ′′′gen,th,moy S ′′′gen,th,turb S ′′′gen,th,tot

X1 = 1.5 49590 14483 64073 28660 29329 57989X1 = 5 45681 20687 66368 22215 30305 52520

Tableau 4.3 – Moyennes des productions d’entropie S ′′′gen,th

Le tableau 4.3 présente les valeurs moyennées spatialement des composantes de laproduction d’entropie due aux gradients de température. Contrairement aux moyennescalculées dans le chapitre précédent, ces moyennes sont calculées sur un domaine ayantpour limites X3 ∈ [−1.37, 1.37] et X2 ∈ [0, H]. Les termes S ′′′gen,th,turb sont supérieursaux termes S ′′′gen,th,moy dans le cas RANS contrairement au cas DNS. La différence entre


valeu

r paroi

supérieu

re

valeur p

aroi

inférieu

re

Figure 4.24 – Production d’entropie due aux gradients de température turbulenteS ′′′gen,th,turb, RANS, X1 = 1.5

les termes S ′′′gen,th,moy et S ′′′gen,th,turb est plus importante en DNS qu’en RANS. De plus,S ′′′gen,th,moy est supérieur en DNS par rapport au RANS, alors que S ′′′gen,th,turb est supérieuren RANS. Les productions d’entropie globales sont proches en RANS et en DNS, maisle calcul RANS surestime à priori sensiblement la composante turbulente par rapportaux résultats obtenus en DNS.

4.7 ConclusionLe calcul RANS surestime le transfert thermique par rapport au calcul DNS. Le

lien entre la contrainte pariétale et le flux thermique est cependant cohérent puisquela contrainte pariétale est aussi surestimée dans le calcul RANS.

Le modèle cyclique évoqué est finalement peu représentatif du système, car la con-duction est peu importante au centre du canal. Ce n’est donc pas elle qui régénère le«potentiel thermique» du fluide en abaissant sa température. Soit l’écoulement partic-ipant à la convection est immédiatement refroidit dès qu’il quitte la zone pariétale, soitil n’est jamais transporté par le tourbillon principal.

Le flux convecté dans la zone d’upwash est quant à lui transporté vers l’intérieur destourbillons par la convection turbulente. Au centre du canal la convection turbulente estplus importante que la conduction et est responsable de l’homogénéisation de l’énergieinterne.

L’angle d’erreur entre la convection turbulente et sa modélisation a été déterminé.L’erreur semble avoir un impact limité car elle est principalement longitudinale, c’està dire qu’elle n’affecte pas directement la façon dont l’énergie cinétique est répartietransversalement.

La production d’entropie a été calculée en RANS et en DNS et les résultats présen-


valeur p

aroi

supérieu

re

valeur p

aroi

inférieu

re

Figure 4.25 – Production d’entropie due aux gradients de température turbulenteS ′′′gen,th,turb, DNS, X1 = 1.5

tés en X1 = 1.5 et X1 = 5. Les résultats sont très différents dans les deux moyensd’investigation utilisés, tant quantitativement que qualitativement. Dans le cadre d’-analyse basées sur le second principe, ce manque de précision peut induire une mauvaiseestimation des performances d’un moteur thermique associé à l’échangeur.


valeur p

aroi

supérieu

re

valeur p

aroi

inférieu

re

Figure 4.26 – Production d’entropie due aux gradients de température moyenneS ′′′gen,th,moy, DNS, X1 = 5

valeur p

aroi

supérieu

re

valeur p

aroi

inférieu

re

Figure 4.27 – Production d’entropie due aux gradients de température turbulenteS ′′′gen,th,turb, DNS, X1 = 5

120 Conclusions générales et perspectives

Conclusion générale et perspectives

Conclusion générale

Une étude dynamique et thermique d’un écoulement de canal turbulent perturbépar des tourbillons longitudinaux a été effectuée à l’aide d’un dispositif expérimentalet de calculs RANS et DNS.

Cette étude a nécessité la construction du banc expérimental, et l’écriture d’uncode pour le post traitement des données. Pour la partie numérique, la mise en placedu calcul DNS a été la partie la plus complexe. Les particularités de la géométrieétudiée (présence d’un perturbateur, absence de directions homogènes,...) ont nécessitéla création d’un système capable de gérer automatiquement une batterie de calculscoordonnés sur un cluster de calcul.

Les topologies dans les trois modes d’étude, ainsi que les caractéristiques de laturbulence, et les contraintes pariétales ont été analysées en premier dans l’étude dy-namique.

La turbulence a été caractérisée par l’étude de la vorticité turbulente, de l’énergiecinétique turbulente (ainsi que de sa production et sa dissipation) et de l’anisotropiecomparée à celle issue de l’hypothèse de Boussinesq. Pour la vorticité turbulente, la di-agonalisation de la matrice a permis de mettre en évidence des directions respectant lasymétrie axiale des tourbillons longitudinaux. De plus, l’existence de zones de l’écoule-ment où les valeurs propres de la vorticité turbulente sont alignées avec les valeurspropres de la contrainte de cisaillement moyenne a été montrée dans le canal plancomme dans le canal perturbé. Les évolutions des intégrales transverses de différentesgrandeurs ont été calculées pour quantifier les distances du retour de l’écoulement enaval du perturbateur à un écoulement de canal plan. Les effets de l’anisotropisationdes contraintes de Reynolds par les gradients de vitesse moyenne ont été quantifiés.

Dans l’ensemble, les résultats expérimentaux sont qualitativement plus proches desrésultats DNS que RANS (par exemple en terme de structuration tourbillonnaire),mais quantitativement plus proches des résultats RANS (pour les valeurs de l’énergiecinétique turbulente par exemple). Cependant, ces différences peuvent être en partieexpliquées par les limitations sur le domaine calculable en DNS.

Dans l’analyse thermique, la répartition du flux de chaleur, de la températuremoyenne et turbulente ont été analysées. Une étude des différents modes de transfert del’énergie interne dans l’écoulement a été réalisée par le calcul des flux et des divergencesde la conduction, convection moyenne et convection turbulente. Ceci a permis d’avoirune information sur l’impact des tourbillons longitudinaux sur les interactions entreces différents modes de transport. Il a été mis en évidence que les échanges, qui se fontimmédiatement dans la zone d’upwash, créent un flux de conduction et de convectionturbulente vers l’intérieur du tourbillon principal.

L’analyse entropique a permis de montrer des différences de production d’entropieentre le calcul RANS et le calcul DNS, les plus importantes concernant la production

121

122 Conclusions générales et perspectives

d’entropie thermique turbulente.

PerspectivesL’analyse sur l’hypothèse de Boussinesq présentée dans l’étude dynamique ne con-

cerne que son utilisation dans les équations de quantité de mouvement, c’est à direson influence directe sur les équations de champ moyen. Or, dans l’équation de bilanlocal de k, cette approximation est aussi utilisée pour modéliser les termes de trans-port, ce qui influence la répartition de k et donc les équations de champ moyen. Uneanalyse complémentaire de l’impact de l’hypothèse de Boussinesq pourrait inclure lecalcul d’angle d’erreur sur des grandeurs mécaniques, y compris des tenseurs d’ordre 2comme les contraintes de Reynolds.

L’analyse locale sur la covariance de la vorticité turbulente pourrait intégrer une di-mension spatiale, via des corrélations en deux points utilisant comme base les vecteurspropres du point initial. L’évolution de la taille des structures turbulentes pourrait ainsiêtre exprimée dans une base qui tient compte des symétries de l’écoulement tourbil-lonnaire. Il serait aussi intéressant de quantifier l’alignement observé entre la vorticitéturbulente principale et la contrainte moyenne, et de déterminer les zones où il estmaximal spatialement dans le canal plan ainsi que dans le canal perturbé. Cela perme-ttrait de délimiter les zones de l’écoulement dans lesquelles les structures turbulentessont suffisamment éloignées de la paroi pour que la vorticité turbulente s’aligne sur lacontrainte principale.

Le calcul de la partie transverse de la fonction de dissipation turbulente pourraitêtre implémenté dans le calcul DNS. Cette information pourrait être mise en relationavec les informations déjà obtenues par la décomposition de la production d’énergiecinétique turbulente. Cela permettrait notamment de déterminer les endroits où lacomposante transverse prime sur la composante longitudinale.

Une analyse complète des termes de l’équation de quantité de mouvement sousforme de flux et de divergences pourrait fournir une vision détaillée de la dynamiquede l’écoulement. La forme vectorielle du bilan de quantité de mouvement complexifiela représentation des résultats et des visualisations basées sur la diagonalisation destenseurs d’ordre 2 pourrait être nécessaire. Cette information combinée à l’informationobtenue en thermique dans cette étude permettrait de trouver des pistes d’optimisationlocale des échangeurs plus facilement.

Le calcul de λ2 tel qu’il a été effectué n’a pas fourni de visualisation exploitable carles tourbillons moyens semblent générer un champ de λ2 très supérieur à ce que génèreles structures turbulentes. Il faudrait effectuer une décomposition de Reynolds de λ2pour supprimer cette composante moyenne et peut-être arriver à mieux visualiser lesstructures turbulentes.

En ce qui concerne les aspects thermiques de ce travail, le calcul des différentsflux et divergences de flux au sein de l’écoulement pourrait être effectué en RANS,pour déterminer comment l’utilisation de l’approximation de Boussinesq affecte lesinteractions entre les différents modes de transport de l’énergie interne.

La présente étude thermique est axée sur l’équation locale de bilan de l’énergie in-terne. Dans le cadre d’une étude plus approfondie sur les aspects turbulents l’analysedes termes de l’équation de bilan de T ′T ′ pourrait apporter des informations complé-mentaires sur le transport turbulent de l’énergie interne.

Références bibliographiques

Antonia, R. et Mi, J., Corrections for velocity and temperature derivatives in turbulentflows, Experiments in Fluids, 14(3), pp. 203–208, 1993.

Balaji, C., Holling, M., et Herwig, H., Entropy generation minimization in turbulentmixed convection flows, International Communications in Heat and Mass Transfer,34(5), pp. 544–552, 2007.

Bejan, A., General criterion for rating heat-exchanger performance, International Jour-nal of Heat and Mass Transfer, 21(5), pp. 655–658, 1978.

Bejan, A., Second law analysis in heat transfer , Energy, 5(8-9), pp. 720–732, 1980.

Bejan, A., Entropy generation through heat and fluid flow, John Wiley & Sons Inc,1982.

Bejan, A., Thermodynamic optimization of geometry in engineering flow systems, Ex-ergy, An International Journal, 1(4), pp. 269–277, 2001.

Bejan, A., Advanced engineering thermodynamics, Wiley, 2006.

Berger, T., Kim, J., Lee, C., et Lim, J., Turbulent boundary layer control utilizing theLorentz force, Physics of Fluids, 12, p. 631, 2000.

Biswas, G. et Chattopadhyay, H., Heat transfer in a channel with built-in wing-typevortex generators, International Journal of Heat and Mass Transfer, 35(4), pp. 803–814, 1992.

Biswas, G., Mitra, N., et Fiebig, M., Computation of laminar mixed convection flowin a rectangular duct with wing-type built-in obstacles, dans AIAA, Thermophysics,Plasmadynamics and Lasers Conference, San Antonio, TX, June 27-29, 1988 , 1988.

Biswas, G., Mitra, N., et Fiebig, M., Computation of laminar mixed convection flowin a channel with wing type built-in obstacles, Journal of Thermophysics and HeatTransfer, 3, pp. 447–453, 1989.

Biswas, G., Torii, K., Fujii, D., et Nishino, K., Numerical and experimental determina-tion of flow structure and heat transfer effects of longitudinal vortices in a channelflow, International Journal of Heat and Mass Transfer, 39(16), pp. 3441–3451, 1996.

Bradshaw, P. et Huang, G., The law of the wall in turbulent flow, Proceedings : Math-ematical and Physical Sciences, 451(1941), pp. 165–188, 1995.

Chassaing, P., Mécanique des fluides : éléments d’un premier parcours, Cépaduès-éd.,1997.

123

124 Références bibliographiques

Chen, Y., Fiebig, M., et Mitra, N., Conjugate heat transfer of a finned oval tube with apunched longitudinal vortex generator in form of a delta winglet. Parametric inves-tigations of the winglet, International Journal of Heat and Mass Transfer, 41(23),pp. 3961–3978, 1998.

Choi, H., Moin, P., et Kim, J., Active turbulence control for drag reduction in wall-bounded flows, Journal of Fluid Mechanics, 262, pp. 75–75, 1994.

de Villiers, E., The potential of large eddy simulation for the modeling of wall boundedflows, Thèse de doctorat, Imperial College, London, 2006.

Dean, R., Reynolds number dependence of skin friction and other bulk flow variables intwo-dimensional rectangular duct flow, Journal of Fluids Engineering, 100, p. 215,1978.

Deb, P., Biswas, G., et Mitra, N., Heat transfer and flow structure in laminar and tur-bulent flows in a rectangular channel with longitudinal vortices, International Journalof Heat and Mass Transfer, 38(13), pp. 2427–2444, 1995.

Doche, O., Contrôle actif dual des écoulements turbulents pariétaux , Thèse de doctorat,Université Joseph Fourier, 2007.

Duprat, C., Simulation numérique instationnaire des écoulements turbulents dans lesdiffuseurs des turbines hydrauliques en vue de l’amélioration des performances, Thèsede doctorat, Institut Polythechnique de Grenoble, 2010.

Edwards, F. J. et Alker, C. J. R., The improvement of forced convection surface heattransfer using surface protusions in the form of (a) cubes and (b) vortex generators,dans Proc Fifth Int Heat Transfer Conf , pp. 244–248, JMSE, Tokyo, 1974.

Eibeck, P., An experimental investigation of the heat transfer effects of a longitudinalvortex embedded in a turbulent boundary layer , Thèse de doctorat, Department ofMechanical Engineering, Stanford University, 1985.

Eibeck, P. et Eaton, J., Heat transfer effects of a longitudinal vortex embedded in aturbulent boundary layer , Journal of Heat Transfer, 109, p. 16, 1987.

Ferziger, J., Peric, M., et Morton, K., Computational methods for fluid dynamics,Springer Berlin, 1999.

Fiebig, M., Embedded vortices in internal flow : heat transfer and pressure loss enhance-ment, International Journal of Heat and Fluid Flow, 16(5), pp. 376–388, 1995.

Fiebig, M., Vortices, generators and heat transfer : 5 th UK National Heat TransferConference, Chemical Engineering Research & Design, 76(2), pp. 108–123, 1998.

Fincham, A., Maxworthy, T., et Spedding, G., Energy dissipation and vortex structurein freely decaying, stratified grid turbulence, Dynamics of Atmospheres and Oceans,23(1-4), pp. 155–169, 1996.

Guntermann, T., Dreidimensionale stationare und selbsterregt-schwingende Stromungs-und Temperaturfelder in Hochleistungs- Warmeubertragern mit Wirbelerzeugern,Thèse de doctorat, Ruhr-Universitat Bochum, 1992.

Références bibliographiques 125

Herpe, J., Caractérisation des performances des surfaces d’échange basée sur l’évalua-tion numérique du taux de production d’entropie, Thèse de doctorat, Université deValenciennes et du Hainaut Cambrésis, 2007.

Herpe, J., Bougeard, D., Russeil, S., et Stanciu, M., Numerical investigation of localentropy production rate of a finned oval tube with vortex generators, InternationalJournal of Thermal Sciences, 48(5), pp. 922 – 935, 2009.

Herwig, H. et Kock, F., Local entropy production in turbulent shear flows : A toolfor evaluating heat transfer performance, Journal of Thermal Sciences, 15(2), pp.159–167, 2006.

Hesselgreaves, J., Rationalisation of second law analysis of heat exchangers, Interna-tional Journal of Heat and Mass Transfer, 43(22), pp. 4189–4204, 2000.

Hesselgreaves, J., Compact heat exchangers : selection, design, and operation, Perga-mon, 2001.

Hinze, J., Turbulence, McGraw-Hill, 1975.

Huchet, F., Line, A., et Morchain, J., Evaluation of local kinetic energy dissipationrate in the impeller stream of a Rushton turbine by time-resolved PIV , ChemicalEngineering Research and Design, 87(4), pp. 369–376, 2009.

Jacobi, A. et Shah, R., Heat transfer surface enhancement through the use of longitudi-nal vortices- A review of recent progress, Experimental Thermal and Fluid Science,11(3), pp. 295–309, 1995.

Jasak, H., Jemcov, A., et Tukovic, Z., OpenFOAM : A c++ library for complex physicssimulations, dans International Workshop on Coupled Methods in Numerical Dy-namics, IUC, Dubrovnik, Croatia, 2007.

Jeong, J. et Hussain, F., On the identification of a vortex , Journal of Fluid Mechanics,285, pp. 69–94, 1994.

Jeong, J., Hussain, F., Schoppa, W., et Kim, J., Coherent structures near the wall ina turbulent channel flow, Journal of Fluid Mechanics, 332, pp. 185–214, 1997.

Jeong, J. et Ryou, H., Numerical simulation of heat transfer and flow structure in3-D turbulent boundary layer with embedded longitudinal vortex , Numerical HeatTransfer, Part A : Applications, 31(4), pp. 433–450, 1997.

Jimenez, J. et Moin, P., The minimal flow unit in near-wall turbulence, Journal ofFluid Mechanics, 225, pp. 213–240, 1990.

Johnson, T. et Joubert, P., The influence of vortex generators on drag and heat transferfrom a circular cylinder normal to an airstream, Journal of Heat Transfer, 91, pp.91–99, 1969.

Kataoka, K., Doi, H., et Komai, T., Heat/mass transfer in Taylor vortex flow withconstant axial flow rates, International Journal of Heat and Masse Transfer, 20, pp.57–63, 1977.

Kawamura, H., Abe, H., et Matsuo, Y., DNS of turbulent heat transfer in channel flowwith respect to Reynolds and Prandtl number effects, International Journal of Heatand Fluid Flow, 20(3), pp. 196–207, 1999.

126 Références bibliographiques

Kays, W., Crawford, M., et Weigand, B., Convective heat and mass transfer , McGraw-Hill, 2005.

Kays, W. et London, A., Compact heat exchangers, McGraw-Hill New York, 1984.

Khallaki, K., Russeil, S., et Baudoin, B., Numerical study of the horseshoe vortex struc-ture upstream a single plate-finned tube, Int. Journal of Heat Technology, 23, pp.31–36, 2005.

Kim, J., Moin, P., et Moser, R., Turbulence statistics in fully developed channel flowat low Reynolds number , Journal of Fluid Mechanics, 177(1), pp. 133–166, 1987.

Kimura, S. et Bejan, A., The «heatline» visualization of convective heat transfer , Jour-nal of heat transfer, 105(4), pp. 916–919, 1983.

Kock, F., Bestimmung der lokalen Entropieproduktion in turbulenten Stromungen undderen Nutzung zur Bewertung konvektiver Transportprozesse, Thèse de doctorat,Hamburg University of Technology, 2003.

Kock, F. et Herwig, H., Local entropy production in turbulent shear flows : a high-Reynolds number model with wall functions, International Journal of Heat and MassTransfer, 47(10-11), pp. 2205–2215, 2004.

Kock, F. et Herwig, H., Entropy production calculation for turbulent shear flows andtheir implementation in cfd codes, International Journal of Heat and Fluid Flow,26(4), pp. 672–680, 2005.

Kolár, V., Vortex identification : New requirements and limitations, International Jour-nal of Heat and Fluid Flow, 28(4), pp. 638–652, 2007.

Kundu, P. et Cohen, I., Fluid Mechanics, Elsevier, New York, 2002.

Lee, S., Ryou, H., et Choi, Y., Heat transfer in a three-dimensional turbulent boundarylayer with longitudinal vortices, International Journal of Heat and Mass Transfer,42(8), pp. 1521–1534, 1999.

Liu, J., Piomelli, U., et Spalart, P., Interaction between a spatially growing turbulentboundary layer and embedded streamwise vortices, Journal of Fluid Mechanics, 326,pp. 151–179, 1996.

McClintock, F., The design of heat exchangers for minimum irreversibility, ASMEPaper, p. 108, 1951.

McEligot, D., Brodkey, R., et Eckelmann, H., Temporal entropy generation in the vis-cous layers of laterally-converging duct flows, Rap. tech., Idaho National Laboratory(INL), 2008a.

McEligot, D., Nolan, K., Walsh, E., et Laurien, E., Effects of pressure gradients onentropy generation in the viscous layers of turbulent wall flows, International Journalof Heat and Mass Transfer, 51(5-6), pp. 1104–1114, 2008b.

Moser, R., Kim, J., et Mansour, N., Direct numerical simulation of turbulent channelflow up to Re= 590 , Physics of Fluids, 11, p. 943, 1999.

Orlandi, P., Fluid flow phenomena : a numerical toolkit, Kluwer academic publishers,2000.

Références bibliographiques 127

Pauley, W., Experimental study of the development of longitudinal vortex pairs embed-ded in a turbulent boundary layer , AIAA journal, 26(7), pp. 816–823, 1988a.

Pauley, W., The fluid dynamics and heat transfer effects of streamwise vortices em-bedded in a turbulent boundary layer , Thèse de doctorat, Department of MechanicalEngineering, Stanford University, 1988b.

Ruith, M., Chen, P., et Meiburg, E., Development of boundary conditions for directnumerical simulations of three-dimensional vortex breakdown phenomena in semi-infinite domains, Computers & Fluids, 33(9), pp. 1225–1250, 2004.

Russell, C., Jones, T., et Lee, G., Heat transfer enhancement using vortex generators,Heat transfer 1982, pp. 283–288, 1982.

Saad, Y., Iterative methods for sparse linear systems, Society for Industrial Mathemat-ics, 2003.

Saarenrinne, P. et Piirto, M., Turbulent kinetic energy dissipation rate estimation fromPIV velocity vector fields, Experiments in Fluids, 29, pp. 300–307, 2000.

Schlichting, H., Boundary-layer theory, McGraw-Hill, 1979.

Schmitt, F., About Boussinesq’s turbulent viscosity hypothesis : historical remarks anda direct evaluation of its validity, Comptes Rendus Mécanique, 335(9-10), pp. 617–627, 2007.

Shabaka, I., Mehta, R., et Bradshaw, P., Longitudinal vortices imbedded in turbulentboundary layers. Part 1. Single vortex , Journal of Fluid Mechanics, 155, pp. 37–57,1985.

Sohankar, A., Heat transfer augmentation in a rectangular channel with a vee-shapedvortex generator , International Journal of Heat and Fluid Flow, 28(2), pp. 306–317,2007.

Spalart, P., Direct simulation of a turbulent boundary layer up to Rθ= 1410 , Journalof Fluid Mechanics, 187, pp. 61–98, 1988.

Spalart, P., Strelets, M., et Travin, A., Direct numerical simulation of large-eddy-break-up devices in a boundary layer , International Journal of Heat and Fluid Flow, 27(5),pp. 902–910, 2006.

Stroustrup, B., The C++ programming language, Addison-Wesley, 1997.

Tabor, G. R., Baba-Ahmadi, M. H., de Villiers, E., et Weller, H. G., Construction ofinlet conditions for LES of turbulent channel flow, dans ECCOMAS 2004 , 2004.

Taylor, H., The elimination of diffuser separation by vortex generators, United AircraftCorporation Rept, pp. 4012–3, 1947.

Tennekes, H. et Lumley, J., A first course in turbulence, The MIT press, 1972.

Tiggelbeck, S., Experimentelle Untersuchungen an Kanalströmungen mit Einzel-und Doppelwirbelerzeuger-Reihen für den Einsatz in kompakten Wärmetauschern,Fortschr. Ber, 19(4), 1990.

128 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Tiggelbeck, S., Mitra, N., et Fiebig, M., Comparison of wing-type vortex generators forheat transfer enhancement in channel flows, ASME, Transactions, Journal of HeatTransfer, 116(4), pp. 880–885, 1994.

T’Joen, C., Thermo-hydraulic study of inclined louvered fins, Thèse de doctorat, Uni-versiteit Gent, 2008.

Torii, K. et Yanagihara, J., The effects of longitudinal vortices on heat transfer oflaminar boundary layers, JSME International Journal, 32, pp. 395–402, 1989.

Trefethen, L. et Panton, R., Some unanswered questions in fluid mechanics, Appl.Mech. Rev, 43(8), pp. 153–170, 1990.

Turk, A. et Junkhan, G., Heat transfer enhancement downstream of vortex generatorson a at plate, dans Heat Transfer 1986, Proc. 8th Int Heat Transfer Conf , tm. 6, pp.2903–2908, 1986.

Wang, C., Tsai, Y., et Lu, D., Comprehensive study of convex-louver and wavy fin-and-tube heat exchangers, Journal of Thermophysics and Heat transfer, 12(3), pp.423–430, 1998.

Wilcox, D., Turbulence modeling for CFD, DCW Industries, Inc., La Canada, Califor-nia, 91011, 1998.

Yanagihara, J. et Torii, K., Heat transfer augmentation by longitudinal vortices rows,dans Experimental Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Thermodynamics 1993 ,tm. 1, p. 560, 1993.

Yilmaz, M., Sara, O., et Karsli, S., Performance evaluation criteria for heat exchangersbased on second law analysis, Exergy, 1(4), pp. 278–294, 2001.

Zhu, J., Wärmeübergang and Strömungsverlust in turbulenten Spalströmungen mitWirbelerzeugern, VDI-Fortschrittsberichte, 192(7), 1991.

Zhu, J., Fiebig, M., et Mitra, N., Comparison of numerical and experimental results fora turbulent flow field with a longitudinal vortex pair., Journal of Fluids Engineering,Transactions of the ASME, 115(2), pp. 270–274, 1993a.

Zhu, J., Mitra, N., et Fiebig, M., Effects of longitudinal vortex generators on heattransfer and flow loss in turbulent channel flows, International Journal of Heat andMass Transfer (ISSN 0017-9310), 36(9), 1993b.

Evolution de tourbillons longitudinaux dans un écoulement de canal turbulent perturbé: analyse...

Documents

Transcript of Evolution de tourbillons longitudinaux dans un écoulement de canal turbulent perturbé: analyse...