EVOLUTION DE LA NOTION DE NOMBRE AU COLLEGE

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EVOLUTION DE LA NOTION DE NOMBRE AU COLLEGE

Jean-Luc GASSERIrem de Strasbourg

REPERES - IREM. N° 51 - avril 2003

L’objet de cet article est de donner unaperçu de la façon dont se construit la notionde nombre chez les enfants au collège dans lecadre des programmes entrés en vigueur à larentrée 1995 en classe de sixième au collège.Il ne sera pas donné de résultats quantifiésde la compréhension qu’ont les élèves des dif-férentes catégories de nombres, car cela néces-siterait une étude beaucoup plus approfondie.L’approche adoptée consiste à décrire et àcommenter les difficultés rencontrées par lesélèves. Nous proposons également des pistespour qu’ils s’approprient mieux ces notions.Le lecteur aura un aperçu de l’enseignement(contenu et pratique) de ces concepts au col-lège au travers du vécu quotidien d’un ensei-gnant du terrain.

Nous décrivons année par année, del’entrée en sixième à la sortie de la troisièmeles champs d’intervention de différentes caté-

gories de nombres que côtoient les élèves : lesnombres décimaux, les nombres fraction-naires et les nombres irrationnels.

Une réflexion approfondie a été menée parle groupe « livre »1 de l’Irem de Strasbourg surle programme de sixième. Nous avons imaginésdes activités et des exercices en ayant constam-ment présent à l’esprit les notions de registrede représentation et de changement de registreau sens de R Duval. Cette approche nous a per-mis de développer des pistes intéressantes pourtravailler la notion de nombre toute l’annéeà ce niveau du collège. Le paragraphe qui yest consacré est donc plus approfondi et faitconstamment référence à ces travaux. Le lec-teur intéressé pourra consulter la brochure cor-

1 Le groupe « livre » est constitué des professeurs suivants :Gilles BOURDENET, Jean-Luc GASSER, Paul GIRAULT, Eli-zabeth KRETZ, Patrick ZOLLER.


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EVOLUTION DE LA NOTIONDE NOMBRE AU COLLEGE

respondante [IREM 2001]. Une étude inté-ressante peut également être consultée dans[MAURIN 1993], ainsi que [DOUADY 1986].Cette approche a induit une démarche sem-blable aux autres niveaux du collège, et nousprésentons quelques pistes de réflexion. Beau-coup des exercices proposés dans cette section,mais pas tous, sont directement issus de cettebrochure. L’état d’esprit que nous avons adop-té nous a amené tout naturellement à desprolongements dans les autres niveaux ducollège. Les exercices proposés sont donc le fruitde cette réflexion. qui n’a pas eu lieu dans lecadre de l’Irem. Il est intéressant de remar-quer que les membres du groupe ont mené cha-cun une réflexion personnelle qui a abouti àélaborer des activités semblables avec desrésultats très, intéressants aux autres niveauxdu collège.

La notion de nombre ne peut être évoquéesans qu’il soit fait référence à la calculatrice etl’usage qu’on en fait dans nos classes. Pour évi-ter de surcharger cet article, notre approche deson utilisation fera l’objet d’un autre article.

A l’entrée en sixième

La première catégorie de nombres queconnaissent les élèves est bien sûr le nombreentier, avec en filigrane le système de numé-ration décimal. La signification de ces nombresest assez bien maîtrisée, ainsi que les opéra-tions s’y rapportant. On peut cependant noterqu’un nombre non négligeable d’enfantsoublient la signification de la position deschiffres, c’est à dire le groupement en paquetsde dix, de cent, de mille, et que les tables demultiplications ne sont pas connues de façonsatisfaisante par un nombre non négligeabled’élèves.

Le nombre décimal et les opérations cor-respondantes sont déjà bien moins maîtriséspar les élèves, et les changements de pro-gramme survenus avec la réforme mise en placeen 1995 ont accentué ce phénomène. Lesélèves abordent le plus fréquemment la notionde nombre décimal en classe de CM2, parfoisen CM1 suivant la progression de leur maître.A la rentrée 2000, la multiplication desnombres décimaux entre eux n’est plus au pro-gramme, seule figure la multiplication d’unnombre entier par un décimal. La division estune notion en cours d’acquisition à l’entrée ensixième. Les élèves font encore beaucoupd’erreurs dans les multiplications ou divi-sions par 10, 100, ou 1000. On peut noterque le programme du dernier cycle de l’écoleprimaire prévoit la notion de puissance de dix,que les manuels scolaires proposent des exer-cices les utilisant (numération décimale parexemple), alors que les élèves ne reverront cettenotion qu’en classe de quatrième 2 !

La notion de fraction a été vue au traversde la notion de partage, mais le nombre frac-tionnaire n’a pas encore acquis un statut, etles opérations correspondantes n’ont pas étévues. Les fractions supérieures à l’unité ontété exceptionnellement rencontrées. Mais lespratiques sont très variables d’un professeurà l’autre comme nous avons pu nous en rendrecompte à l’occasion de liaisons CM2-6ème.La rédaction des programmes ne favorise pasune pratique homogène de la part des ensei-gnants. Notons que les nouveaux programmesde l’école élémentaire ont été écrits avec unesprit totalement différent : ils rejoignent depar leur style la forme des programmes du secon-

2 Il s’agit peut-être d’une mauvaise interprétation des programmes.Ceux ci indiquent l’utilisation des puissances de dix sans plusde précisions. Il s’agit peut-être uniquement de multiplier etdiviser par 10, 100 ou 1000. En tous cas, les auteurs des manuelsscolaires ont rédigé des exercices utilisant la notation 102,103 et utilisent même des puissance de 10 supérieures !


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daire et devrait ainsi favoriser une meilleu-re lecture.

Un nombre particulier a été rencontré :le nombre π, dont le statut est très mal défi-ni. Il est égal à 3,14 pour la très grande majo-rité des élèves, et cette image n’évoluera quetrès peu, voire pas du tout à la sortie du col-lège…

En sixième

Une partie importante du travail de sixiè-me consiste à faire acquérir aux élèves uneconnaissance plus approfondie des nombresdécimaux et du sens des quatre opérations.Un nombre significatif d’élèves sépare le trai-tement de la partie entière et de la partiedécimale, par exemple lors de la multiplica-tion d’un décimal ou la division par un mul-tiple de 10 ou par un entier. Les erreurs ci-dessous, qu’il n’est pas rare de rencontrerdans le test national d’évaluation à l’entréeen sixième, illustrent ces propos :

et

Nous regrettons que la plupart des manuelsscolaires ne proposent qu’un travail peu appro-fondi sur les nombres décimaux, car leurmanipulation et leur signification profonde restebien mal maîtrisées par beaucoup d’élèves. Sile professeur ne propose pas un travail consé-quent sur ces notions, ils garderont une idéebien pauvre et manipuleront difficilementces nombres, même avec une calculatrice,puisque leur sens n’est pas compris. Notonsque l’utilisation de l’Euro renforcera peut-être la notion de nombre décimal avec lamanipulation des centièmes d’Euros !

Lors de nos travaux de rédaction de la bro-chure [IREM 2002], et de l’expérimentation

12,2843,7 =×30,450103,45 =×

dans nos classes pendant plusieurs années,nous avons élaboré une stratégie d’apprentissageet de familiarisation avec ces nombres s’éta-lant durant toute l’année de sixième aveccomme toile de fond les différents registres dereprésentation que l’on peut utiliser. Le lec-teur sera clément avec les petites erreurs ouinexactitudes qui seront inévitablement faitesà la théorie didactique des registres de repré-sentation, mais il s’agit ici d’être proche d’unepratique quotidienne de l’enseignant avec sesélèves…

Précisons les différents registres quientrent en jeu lors de la manipulation denombres :• la langue naturelle : seize, trois dixièmes,

etc.• le registre numérique en général, dans

lequel nous distinguerons♦ le registre des nombres décimaux :

5 4,3♦ le registre des nombres fractionnaires :

• le registre géométrique : représentation desnombres par la perception d’aires de figures.

• le registre graphique : la droite graduée.

Nous n’approfondirons pas plus cet aspectque le lecteur saura retrouver en filigranedans les approches que nous proposons danscet article.

Structure du nombre décimal

Il est significatif que plusieurs manuelsde sixième parus à la rentrée 2000 proposentun chapitre concernant la numération desnombres décimaux, voire la numération desnombres entiers. Celui-ci avait quasimentdisparu des anciennes moutures des manuels…

1043

420


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alors que ce préliminaire est indispensable pourla suite ! Les manuels proposent un travail surla signification des préfixes (déci, centi, déca…)qui est complété par des exercices de passa-ge de la numération en langue naturelle à l’écri-ture algébrique. Quelques exercices utilisantles fractions décimales sont proposés commele préconisent les programmes pour renforcerla signification de la numération de position.L’élève est invité à lire des abscisses de pointset à placer des points sur une droite dont lagraduation est donnée en totalité ou de façonincomplète. Les exercices proposés sont peunombreux, alors qu’ils méritent un appro-fondissement important pour la structura-tion du nombre décimal.

L’utilisation du registre de la droite gra-duée est fondamental pour l’acquisition dela compréhension du nombre décimal (etrationnel de façon générale) comme l’ont parailleurs montré des travaux récents en didac-tique [ADJIAGE2001]. C’est pourquoi nousavons élaboré une activité pour renforcer lacompréhension de la structure du nombredécimal à l’aide de mesures de longueurs.

Elle est reproduite ci-contre, et aborde lanotion de subdivision de l’unité de mesure pourévaluer des longueurs de plus en plus préci-sément. Elle a été inspirée par un des exer-cices d’évaluation à l’entrée en sixième qui pro-posait de mesurer une longueur à l’aide d’unerègle qui n’était pas graduée en centimètres,mais en pouces. Les élèves ont très mal réus-si cet item 3, et cet exercice n’a plus été pro-posé depuis.

L’activité que nous proposons permet detravailler le nombre décimal et sa structu-

re à l’aide de mesures de longueurs. Onpropose une règle graduée aux élèves, et ilsdoivent mesurer des longueurs de segmentsavec ces règles. La première règle est gra-duée uniquement avec l’unité (environ12 cm), la deuxième règle est graduée plusfinement en faisant intervenir le dixièmed’unité (donc 1,2 cm) et la troisième règleutilise le centièmes d’unité. Les segmentsà mesurer sont choisis pour que les élèvesn’obtiennent pas une valeur correspondantà une graduation des règles proposées. Lesélèves ne peuvent pas se raccrocher au cen-timètre, et sont obligés de raisonner avecdes dixièmes et des centièmes de l’unitéproposée. Cette activité est très formatri-ce dans plusieurs domaines : notion d’unité,la structure et la signification des subdivi-sions de l’unité, mais également la notiond’encadrement d’une grandeur, et donc d’unnombre.

Nous proposons également de nombreuxexercices de lecture de graduation et de pla-cement de nombres sur une droite graduée.Leur utilisation avec les élèves en classe et enséquence de remédiation nous ont permis dedégager quelques points didactiques impor-tants pour leur élaboration :

• le choix de l’échelle : unité des graduationsprincipales (de 1 en 1, de 0,1 en 0,1, etc).

• la présence ou non du 0 de la graduation.

• les nombres fournis sur la graduation quipermettent sa lecture.

Commentons quelques exemples de lec-ture de nombre sur une droite graduée :

3 Beaucoup d’élèves de sixième ont évidemment été perturbéspar le pouce, unité de mesure, avec le pouce de leur main !L’exercice aurait pu proposer une unité de longueur avec unnom imaginaire, et il aurait été intéressant de le proposer souscette forme.


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ACTIVITE 1 : mesure de longueurs et décimaux (extraits)

A) Des mesures !

On choisit comme unité de longueur le segment [OI] dessiné ci-dessus. Le but de l’activitéest de mesurer la longueur des segments [AB], [CD] et [EF] ci-dessus à l’aide de cette unité.

1) Décalquer le segment [OI] ci-dessus.

2) On pose le segment [OI] sur le segment [AB] comme le montre la figure ci-dessous :

On constate alors, sans rajouter de graduations, que le segment [AB] mesure entre zéro etune unité. On écrit alors l’encadrement suivant : 0 < AB < 1 .Donner de même un encadrement des longueurs des segments [CD] et [EF].

3) Comme le résultat de cette mesure n’est pas précis, on va affiner l’instrument de mesu-re ; pour cela, on partage le segment unité en 10 segments de même longueur :

Combien d’unités mesure le segment [OJ] ?Décalquer le segment gradué sur la figure ci-dessus et donner un encadrement à un dixiè-me d’unité près de la longueur de chacun des segments [AB], [CD] et [EF].

4) Pour obtenir encore un résultat plus précis, on divise le segment [IJ] en 10 segmentsde même longueur :

Combien d’unités mesure le segment [OK] ? Décalquer les graduations du segment [OJ] dela figure ci-dessus et donner alors un encadrement à ................. d’unité près de la longueurde chacun des segments [AB], [CD] et [EF].

B) Des constructions de segments.

Dessiner des segments dont les longueurs sont :

a) 8 dixièmes d’unitéb) 5 centièmes d’unitéc) 12 dixièmes d’unitéd) 67 centièmes d’unitée) 164 centièmes d’unité

……

K

O J I

O J I

A B

segment unité

O IA B

A DCB

E F

segment unité

O I


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Les graduations principales des Gra-duation 1 à 3 diffèrent d’une unité et sontrattachées à la mesure des longueurs avecune règle graduée et sont familières auxélèves.

Une graduation semblable à la graduation1 a été proposée à l’évaluation à l’entrée en sixiè-me 2001, et montre que les élèves réussis-sent en général bien cet exercice. Notons quela lecture du nombre a est moins bien réus-sie que les autres, peut-être parce qu’il est com-pris entre 0 et 1. La graduation 2 ne laisse pasapparaître l’origine de la graduation, mais nepose pas de problème particulier.

Par contre, une petite variation desnombres choisi peut faire apparaître un phé-nomène intéressant qu’il nous semble impor-tant de travailler avec les élèves. Le nombreg de la graduation 3 correspond à trois chezcertains élèves. En fait, ils pensent que lapremière graduation visible est zéro et nesavent pas que la graduation doit être régu-lière. On peut observer chez ces mêmes élèvesdes erreurs récurrentes de ce type, comme siles nombres écrits sur les graduations n’avaientpas d’importance. Des erreurs aussi mani-festes que le nombre 0,6 est compris entre 2et 3 ne sont pas relevées.

En fait, après discussion avec les élèves,il semble qu’ils n’ont pas du tout intégré la notionde graduation régulière. Cette idée de régu-larité est implicite, et la conscience ou la nonconscience de cet implicite peut créer des dif-ficultés inattendues à d’autre niveaux 4.

Observons maintenant les graduationsde l’exercice 2 reproduit ci-contre…

Les graduations 4 et 5 ne posent pas vrai-ment de problème, mais la graduation 6 faitapparaître de façon très marquée le phénomèneobservé précédemment : le nombre e corres-pondrait à la valeur 8,8. Pour arriver à faireprendre conscience à ces élèves de leur erreur,il a fallu les amener à énumérer les déci-maux successifs en partant d’une valeur choi-si avec le pas de la graduation. Les collèguesde l’école primaire connaissent cette activité

EXERCICE 1. Ecrire la valeur du nombredécimal qui est repéré sous chaque flèche :

Graduation 1

Graduation 2

Graduation 3

4 la nécessité d’un partage régulier lors de la représentationde nombres fractionnaires avec des aires apparaît dans desexercices du genre « trouver l’erreur », sans plus. Nous nel’avons jamais rencontré dans des exercices sur les gra-duations. Certains élèves qui ont décalqué les règles graduéesde l’exercice 1 n’ont absolument pas pris garde au soin à appor-ter à la régularité de la graduation. C’est en partie pour cetteraison que la graduation la plus fine n’est pas proposée surtoute la longueur de la règle de la question 4.


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sous le nom de « séries ». Ainsi, pour la gra-duation 6, en partant de 9,3 les élèves vontcompter en décroissant de 0,1 en 0,1 pouraboutir à la valeur correcte de la première gra-duation, soit 8,9.

Commentons encore les deux gradua-tions7 et 8 suivantes…

Cette fois, c’est l’échelle choisi entredeux graduations principales qui n’est pashabituelle : 0,005 unités pour la gradua-tion 7 et 2 unités pour la graduation 8.Ces deux exercices ne sont certes pasfaciles, mais montrent qu’il est souhai-table de proposer une activité qui estcertainement peu pratiquée aux élèves :voir l’exercice 4 au verso.

En fait, avant de donner les valeurs desnombres repérés dans les exercices précé-dents, il est indispensable de demander auxélèves de compléter la graduation. Nous pen-sons que les exercices qui proposent des gra-duations complètes sont indispensables et for-mateurs, mais que le travail qui consiste à recréerune graduation à partir de deux nombres estune activité incontournable pour apprendre lastructure des nombres décimaux.

EXERCICE 2Ecrire la valeur du nombre décimalqui est repéré sous chaque flèche :

Graduation 4

Graduation 5

Graduation 6

EXERCICE 3. Ecrire la valeur du nombre décimal qui est repéré sous chaque flèche :

Graduation 7

Graduation 8


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L’exercice contraire qui consiste à pla-cer des nombres sur droite graduée complè-te le travail précédent. Bien entendu, le pro-fesseur veillera à faire intervenir les variablesdidactiques décrites précédemment, mais il noussemble souhaitable de rajouter une dimensionsupplémentaire pour rendre l’exercice plus for-mateur :

La graduation 9 ne propose que desnombres qu’il est possible de placer sur ladroite et ne posera donc pas beaucoup de dif-ficultés. Le pas de la graduation est suggérépar les nombres proposés s’il doivent tous êtreplacés. Par contre, les nombres proposés dansla graduation 10 pourraient être placés si lesélèves complètent la graduation en considé-rant que la première graduation principale apour abscisse 0 et que le pas est d’une unité.Ils seront obligés de reconstruire la gradua-tion pour résoudre l’exercice.

Addition et soustraction des décimaux

Les programmes officiels insistent sur lefait que la résolution de problèmes constituele moteur du travail à effectuer en classe.Les manuels proposent donc de nombreuxexercices à résoudre faisant intervenir desnombres décimaux qui ne sont pas forcément« agréables à manipuler à la main ». Pourtantun travail technique sur l’addition et la sous-traction des nombres décimaux nous sembleindispensable au vu des connaissances des élèvesà ce sujet. Nous ne parlons pas ici de l’opérationposée qui est indispensable car la retenueest mal maîtrisée par de nombreux élèves. C’estle sens même de la retenue surtout lorsqu’elleconcerne le chiffre des unités qui est à appro-fondir Les élèves appliquent une techniquequ’ils comprennent mal 5.

La pratique du calcul mental nous montreque de nombreux élèves qui sont capables deposer correctement l’opération 0,4 + 0,7 se trom-pent et proposent 0,11 comme réponse de cal-cul non posé, car ils traitent la partie décimale

EXERCICE 4

Une graduation est proposée avecl’indication de deux nombres et il s’agit decompléter la graduation. Une fois la gra-duation complétée, on peut demander de don-ner les valeurs des nombres repérées commedans les exercices 1 à 3 ci-dessus.

EXERCICE 5

Graduation 9

Graduation 10

b) Placer les flèches correspondant aux nombresci-dessous sur les graduations correspondantes,et écrire le nombre sous la flèche, si c’estpossible :2,03 2,2 2,12 1,7 0,8 1,83

a) Placer les flèches correspondant aux nombresci-dessous sur les graduations correspondantes,et écrire le nombre sous la flèche :

29,2 30,4 28,1 31,730 31

5 Il est sûr que la technique, opératoire ou autre, doit être tra-vaillée pour elle même, et qu’une technique peut acquérir dusens quand on la pratique. Sa signification peut-être donnéeen préliminaire, ou après l’avoir utilisée.


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ACTIVITE 2 Aires et nombres décimaux (extraits)

On choisit comme unité d’aire l’aire du carré de 10cm de côté dessiné ci-contre. Reprodui-re ce carré sur une feuille de papier millimétré, ainsi que le carré de côté 1cm et le rectanglede côtés 1cm et 10cm.

A) Des mesures !

a. Quelle fraction de l’unité représente l’aire du carréde côté 1cm ?

b. Quelle fraction de l’unité représente le rectanglede côtés 1cm et 10cm. ?

B) Des constructions d’aires.

a. Tracer un rectangle de 5 cm sur 3 cm. Trouver le nombre d’unité d’aire contenues dansce rectangle. Ecrire ce nombre sous forme décimale et sous forme fractionnaire.

b. Même question que précédemment pour un rectangle de :

15 cm sur 6 cm 13 cm sur 9 cm 1 cm sur 6 mm

C) Des conversions d’unités.

Tracer une figure dont l’aire mesure :

a. 0,8 unité b. 0,05 unité c. 0,47 unité d. 1,03 unité

e. 1,4 unité f. 1,54 unité g. 0,0001 unité h. 0,001 unité

i. 0,125 unité

D) Des calculs.

Pour chacun des calculs suivants, trouver le résultat puis le vérifier en utilisant les figuresde la question précédente.

0,8 + 0,47 0,8 + 1,54 1,4 + 0,47

0,8 + 0,8 1,54 + 0,47 0,8 + 0,125 0,05 + 0,0001

10 cm

10 cm UNITEUnité


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d’une façon erronée. Pour remédier à ce typed’erreurs, nous avons principalement propo-sé deux types d’approches qui sont décrites ci-dessous, puis pratiqué le calcul mental régu-lièrement sur l’année pour asseoir un traitementcorrect de ces opérations.

L’activité 2 reproduite à la page précédentefait travailler l’addition et la soustraction desdécimaux aux élèves en utilisant la percep-tion des aires. On choisit un carré commeunité d’aire, on le divise en dix parties defaçon à pouvoir manipuler les dixièmes ainsiobtenus (bande, …). On le divise encore pardix pour obtenir la notion de centième à l’aidedu carreau. Les additions et les soustractionsse font alors aisément à l’aide du supportgéométrique, et les retenues apparaissentnaturellement. Un des intérêts de cettedémarche est l’autocorrection qu’elle permetaux élèves. Cette activité demande impéra-tivement l’utilisation de papier millimétré. Uneexpérience a été menée avec l’utilisation decarreaux du cahier, mais il en a résulté uneconfusion mémorable dans la classe !

Conjointement à la vision géométrique, leprofesseur est invité à formuler les calculs àeffecteur en utilisant la langue naturelle. Lasomme de sept dixièmes et de six dixièmes estégale à des dixièmes, soit ici treize dixièmes,alors que beaucoup d’élèves donnent sponta-nément 0,13 comme réponse à la somme0,7 + 0,6. La langue naturelle est un supportprivilégié pour effectuer ce genre d’opéra-tions correctement, avec du sens, et de faireprendre conscience du traitement de l’addi-tion avec les nombres décimaux.

Il apparaît donc indispensable de tra-vailler les conversions de nombres décimauxen fractions décimales et réciproquement, etce dans le registre de la langue naturelle et

EXERCICE 6

Compléter :1 unité = .................dixièmes1 unité = ...................centièmes…

EXERCICE 7

On peut écrire 8,35 sous quatre autresformes :

8,35 = 8 + 0,35 8,35 = 8 + +

8,35 = 8 + 8,35 =

Ecrire de même sous ces quatre formes :

a) 13,4 13,04 13,0040,73 7,3 73 …

EXERCICE 8

Ecrire sous forme de nombre décimal lesnombres suivants :

…

EXERCICE 9

Ecrire les nombres décimaux suivantssous forme de fraction décimale. Donnerdeux réponses différentes en utilisant des déno-minateurs différents.

0,07 0,15

2,5 3,06 …

3604——100

205—–10

835—–100

35—–100

5—–100

3—10


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les registres numérique des décimaux et desfractions. Cette approche permet égalementde mieux réussir la multiplication et la divi-sion des nombres décimaux par les 10, 100 et1000. Les extraits d’exercices 6 à 9 ci-contredonnent quelques exemples.

L’exercice 9 nous semble important. Unélève devrait savoir proposer sans problèmeles écritures suivantes :

Ces diverses écritures fournissent par exempleun outil pour la comparaison des décimaux enécrivant tous les nombres avec la même unité(dixième, centième, etc.). Ils préparent à laconversion des unités de mesure utilisant lespréfixes tu genre déci, centi, etc.

Certains auteurs proposent des exercicesd’écriture de nombres portant sur les « zérosinutiles » ? Ces zéros sont-ils si inutiles ? Letype d’exercices qu’on peut trouver est celuide l’énoncé 10ci-dessous. Pour les b) et c), ils’agit bien sûr de repérer les zéros indispen-sables à l’écriture correcte du nombre consi-déré.

Mais ces « zéros inutiles » deviennentrapidement indispensables si on effectue desmultiplications et divisions par les puissancesde dix ! Par exemple, si on veut écrire le résul-

0001

5002

100

250

10

255,2 ===

tat de la division de 2,5 par 100, les zéros quiindiquent le nombre de dizaines et de centainessont indispensables pour écrire correctementle résultat :

De même les zéros qui indiquent le nombrede centièmes est indispensable pour écrirele résultat de la multiplication de 2,5 par100 :

Les élèves rencontrent là une pratiqueimplicite (apparition et disparition de zéros)sans forcément en saisir les tenants et lesaboutissants. Peut-être serait-il judicieux deproposer des exercices dans lesquels on deman-de à l’élève de rajouter des « zéros inutiles »pour faire apparaître le nombre de dizainesou de centaines ? Une réflexion est peut-êtreà mener sur le type d’exercice suivant :

EXERCICE 11

Ecrire le nombre 2,5 en rajoutant les zéros indis-pensables pour faire apparaître :a) Le chiffre des centaines b) Le chiffre des centièmes…

ou bien :

Ecrire le nombre 2,5 en rajoutant les zéros indis-pensables pour faire apparaître :a) Le chiffre des centaines mais pas celui desmilliersb) Le chiffre des millièmes, mais pas celui desdix millièmes …

Pour l’étude de l’addition des nombresdécimaux, nous n’avons pas utilisé le registrede la droite graduée. Mais on pourrait construi-re une règle à calculer en faisant coulisser deux

25010050,2 =×

025,01005,002 =÷

EXERCICE 10

Ecrire les nombres suivants en supprimantles zéros inutiles :

a) 0025,3 b) 0,054 00 c) 0140,054…


70


droites graduées de la même façon l’une surl’autre 6 comme on le fait parfois en cinquiè-me avec les nombres relatifs. Cette démarcheest expliquée dans la Figure 1 ci-dessus, quiillustre comment calculer 0,7 + 1,6 …

Mais nous ne savons pas si cette approcherenforce la compréhension de la structuredes nombres décimaux ni des opérations quis’y rapportent. Cette piste mérite peut-être d’êtreexplorée.

Multiplication des décimaux

A l’école primaire, les élèves n’ont étu-dié que la multiplication d’un nombre entierpar un nombre décimal, la multiplicationde deux décimaux est abordée en sixième.Il s’agit alors de donner du sens ces opé-rations.

Une démarche fréquemment adoptée estillustré par la Figure 2 :

Le paragraphe précédent a proposé despistes de travail sur la multiplication et ladivision des décimaux par les multiples dedix. A partir de là, la multiplication desentiers étant à peu près maîtrisée 7, on faitle lien entre la multiplication des entiers etla multiplication des décimaux en divisantpar la bonne puissance de dix. Il est clair quepar la suite, la vieille recette qui consiste à« compter les chiffres après la virgule » pour-ra être retenue. Chez certains élèves, le sensqui est donné par la Figure 1 restera la réfé-rence pour effectuer des opérations avec les

3, 4 3 4x 0, 1 2 x 1 2

6 8 6 83 4 3 4

1 1

0, 4 0 8 4 0 8

Figure 2

1000÷

100×10×

6 le principe est le même que celui de la règle à calculer quipermettait d’effectuer des multiplications, divisions, qui étaitencore utilisée au baccalauréat pour la dernière fois en 1979(j’y étais !). On peut se poser la question à un autre niveaude l’utilité de cet instrument pour l’étude des logarithmes…La remarque n’est pas si anodine qu’elle n’en a l’air ; il estclair que les professeurs qui n’ont pas connu cet instrumentde calcul n’auront pas l’idée d’exploiter ses richesses.

0 321

0 321

0,7 2,3

1,6

Figure 1

7 à la connaissance des tables de multiplication près !


71


nombres décimaux, sans que cela les handi-cape, au contraire.

Notons au passage qu’il est fort utile pourles élèves de savoir que diviser par 10 puis par100, revient à diviser par 1000. Cette notionde divisions successives n’est abordée ni dansles programmes ni les manuels, alors qu’ellepermettrait de débloquer de nombreusessituations dans les classes ultérieures et enri-chirait le point de vue des élèves. Nous yreviendrons dans la suite de cet article.

La pratique du calcul mental nous montreencore une fois que cette approche ne suffitpas. Beaucoup d’élèves proposent la réponsesuivante :

au lieu de

Il s’agit encore une fois d’un traitement erro-né de la partie décimale qui est considérécomme une entité à part. le programme indiqueque l’on doit étudier le produit d’un entier parune fraction. Nous avons alors expérimentéavec succès une démarche complémentaire quenous proposons pour étudier la multiplicationd’un entier par un décimal. Nous avons misen évidence diverses approches de ce genre d’opé-rations. L’opération 8 × 0,6 peut-être perçueà l’aide des opérateurs comme le suggère laFigure 3 :

Le professeur sera également attentif àla lecture à haute voix de ce calcul qui peut

10

6

× 6 ÷ 1048

× 0,6

8 4,8

Figure 3

6,58,07 =×56,08,07 =×

induire des traitements différents. L’opération

peut se lire sous deux formes :

— huit multiplié par six divisé par dix. lasuccession des opérations est privilégiéecomme le met en évidence la Figure 3.— huit multiplié par six dixièmes. Le résul-tat sera exprimé en dixièmes. Il est égal à huitmultiplié par six, soit quarante huit dixièmes.

Ces diverses approches permettent auxélèves de se forger une démarche correctepour effectuer ces opérations. Ce type de cal-cul posé régulièrement en calcul mental per-met également de remettre en question lefait admis par un grand nombre d’élèves, à savoirque la multiplication agrandit toujours.

En ce qui concerne la multiplication desnombres décimaux entre eux, le type d’erreursrencontrés serait plutôt du genre :

au lieu de

Remarquons que le choix des nombres estimportant, car la réponse correcte :

peut être obtenue par les élèves même avecle traitement incorrect déjà mis en évi-dence !

Le travail précédent étant assimilé,l’apprentissage correct de la multiplication desdécimaux peut se faire rapidement avec suc-cès. Un approche envisageable consiste àvoir le produit de deux décimaux commeétant le produit d’un décimal par une fractiondécimale et de réinvestir la méthode déjàacquise :

21,010

1,21037,03,07,0 ==×=×

12,04,03,0 =×

09,03,03,0 =×9,03,03,0 =×

106

8 ×


72


L’activité 3 fait naturellement suite à l’acti-vité 2 : l’interprétation d’aires donne unsens au produit de deux nombres décimaux.Les élèves disposent alors d’un nombreimportant de points de vue pour effectuer men-talement ou en posant les opérations cesmultiplications : langue naturelle, aires,opérateurs.

Une autre approche peut constituer àfaire le lien entre l’aire d’un rectangle et leschangements d’unité. Pour calculer l’aire d’unrectangle de dimensions 8,3 cm et 4,7 cm, on

peut prendre comme unité le millimètre carré,compter le nombre de millimètre carrés dansce rectangle en effectuant le produit de 83 par47, puis de convertir en centimètres carrés (voirle paragraphe suivant).

Aires et périmètres

Les élèves arrivent au collège avec des idéesfloues sur ces notions, mais connaissent biendes formules dont ils ne maîtrisent pas lasignification et qu’ils essayent à tout prixd’appliquer. On peut se demander quel est l’inté-

ACTIVITE 3 Fraction d’aire et multiplication des décimaux.Dessiner un carré dont le côté mesure 10cm. L’unité de longueur mesure 10cm, et ce carréreprésente une unité d’aire.

1) Dessiner les rectangles suivants dont on donne les dimensions exprimées avec l’unité d’airechoisie ci-dessus.

2) A l’aide du dessin, indiquer combien mesure l’aire de chacun de ces rectangles.

3) Recopier les calculs ci-dessous et donner leur résultat :0,3 × 0,2 0,4 × 0,3 0,25 × 0,15 1,2 × 0,2

Vérifier votre réponse à l’aide des questions 1) et 2).

4) Dessiner plusieurs rectangles non superposables qui ont pour aire 0,12 unités d’aire.En lisant les longueurs des côtés, donner plusieurs produits de nombres décimaux qui sontégaux à 0,12.

5) Dessiner les rectangles suivants :— un côté mesure 0,2 unité de longueur, son aire mesure 0,32 unités d’aire.— un côté mesure 0,5 unité de longueur, son aire mesure 0,6 unités d’aire.— un côté mesure 0,8 unité de longueur, son aire mesure 0,08 unités d’aire.

Rectangle Longueur Largeur1 0,3 0,22 0,4 0,33 0,25 0,154 1,2 0,2


73


rêt de faire apprendre les formules aux élèvesde l’école primaire 8. Leur sens est totalementocculté, et leur application n’apporte stricte-ment rien à la compréhension de ces concepts,bien au contraire. Leur intérêt peut résiderdans le remplacement des lettres par desvaleurs numériques dans le cadre de l’initia-tion au calcul littéral, mais il est bien limitéà ce niveau. Les formules suivantes sontconnues à la sortie de l’école primaire : lepérimètre du rectangle, l’aire du carré et durectangle, parfois l’aire d’un triangle quel-conque et la longueur du cercle.

La perception des aires et leurs proprié-tés additives peut servir de support à l’addi-tion des décimaux, (activité 2) et à leur mul-tiplication (activité 3). Les travaux qui consistentà compter le nombre de centimètres carrés conte-nus dans un rectangle aux dimensions entières,puis le nombre de millimètres carrés conte-nus dans ce même rectangle nous semblentessentiels. On peut donner un sens à la for-mule de l’aire du rectangle pour des entiers,et étendre cette formule aux nombres décimaux.On peut alors réaliser un lien géométrique entrela multiplication des décimaux et la multi-plication des entiers qui lui est associée.Notons que l’extension de ces formules auxautres catégories de nombres dans les classesultérieures 9 est le plus souvent passée soussilence, en particulier pour les irrationnels [Frie-delmeyer 2000]. On peut également expli-quer pourquoi les changements d’unité d’airese font par puissances de cent.

Le travail sur les aires permet déjà de pro-poser en sixième une sensibilisation à l’exis-tence d’autres nombres sans les nommer, lesirrationnels, comme le suggèrent les deuxexercices ci-dessous.

Bien entendu, on peut modifier les valeursnumériques et faire intervenir des nombresdécimaux dans les questions préparant à laquestion finale. Les élèves cherchent uneréponse, et on peut leur faire trouver qu’iln’existe pas de nombre décimal qui répondau problème posé en examinant le produitdu dernier chiffre par lui même dans la mul-tiplication.

La première question ne pose aucune dif-ficulté, alors que la deuxième soulève un pro-blème que l’on sait résoudre géométrique-ment (bien que cette solution ne soit pasévidente pour des élèves de collège) et qu’onne sait pas à ce niveau résoudre algébrique-ment.

8 cette focalisation sur les formules d’aire et de périmètre consti-tue certainement un obstacle à la compréhension même deces notions. La présentation du périmètre du rectangle sousla forme P = 2 × (l + L) génère des confusions avec la notiond’aire à cause de la présence de la multiplication. Remarquonsque dans les nouveaux programmes de l’école primaire, lesformules d’aire devraient disparaître, ce qui nous semble êtreun bon point.9 sauf peut-être pour la multiplication des fractions en cin-quième.

EXERCICE 121) Quel est le côté d’un carré dont l’aire est

100 cm2 ?2) Quel est le côté d’un carré dont l’aire est

49 m2 ?3) Quel est le côté d’un carré dont l’aire est

121 dm2 ?4) A la question « trouver le côté d’un carré

dont l’aire est 60cm2 », Jean a répondu7,7 cm et Pierre a répondu 7,8 cm.a) Qui a raison, et pourquoi ?b) Proposer une autre réponse.

EXERCICE 131) Tracer un carré d’aire 1 cm2.2) Tracer un carré d’aire 2 cm2 et donner

la mesure de son côté.


74


Les deux exercices précédents qui abou-tissent à l’évocation de nombres non déci-maux, font travailler des registres diffé-rents. Dans le premier, on reste exclusivementdans le registre algébrique, et la rechercheprivilégie ce cadre en supposant qu’il exis-te effectivement un carré d’aire 60 cm2 (exis-tence qui n’est évidemment pas mise endoute par les élèves). Le second exerciceprivilégie le registre graphique et deman-de également une réponse dans le registrealgébrique.

La notion d’aire est beaucoup travailléeau travers d’exercices de reconfiguration, enadditionnant ou soustrayant des aires, et enfaisant des découpages pour se ramener àune figure connue. Le périmètre n’a pas cettepropriété et les élèves font souvent l’erreurd’additionner des périmètres de figures qui sontassemblées, ou de calculer l’aire d’une figureaprès avoir changé sa forme. En particulierle calcul de périmètre de la figure donnéedans l’exercice 14 pose un problème presqueinsurmontable à une frange non négligeabled’élèves de sixième :

Ces élèves sont persuadés que le péri-mètre de la figure après recollement du demidisque « extérieur » dans le demi disque « inté-rieur » est le même que celui de la figure dedépart. Cette difficulté réside partiellementdans le calcul de la longueur du cercle qui estau programme. Même avec des manipula-tions de ficelle et de cylindre pour appréhen-der cette notion, la formule P = 2 × π × Rreste bien mystérieuse. Le nombre π n’a pasde un statut consistant. à ce niveau. On jongleentre la valeur fétiche 3,14 et la valeur affi-chée par la calculatrice pour faire des cal-culs numériques. A ce niveau, il n’est pasquestion d’approximer π par la méthode despolygones réguliers.

La réponse numérique du calcul effectifde l’aire et du périmètre d’une figure n’a fina-lement que peu d’intérêt. Ce qui importe,c’est la méthode de calcul de ces grandeurs.Le calcul numérique peut alors être un pré-texte à faire des exercices techniques d’addi-tion et de multiplication de décimaux. Lescalculs effectués pendant l’étude des notionsd’aire et dans une moindre mesure (sans jeude mots) de périmètre peuvent être l’occa-sion d’un retour sur les opérations utilisantles nombres décimaux , mais ils devraientêtre menés en gardant une idée de la signifi-cation de la réponse numérique obtenue. Onvoit trop d’exercices de calculs sans grandintérêt et sans signification concrète pour lesélèves.

Nombres fractionnaires

Une des difficultés de l’étude des nombresfractionnaires consiste à passer de la fractionen tant que partage à la fraction en tant quenombre. La lecture graphique de partaged’aires en partie égales est le support privi-

EXERCICE 14

Calculer le périmètre et l’aire de la figu-re ci-dessous :

8 cm

5 cm


75


légié du travail sur les fractions. Cette approcheest bien perçue par les élèves et représente uneentrée en la matière facile. Faire lire des frac-tions, colorier des fractions données est aisé.Construire des fractions d’aire données enlaissant le libre choix de l’unité est un travailconstructif. La première difficulté qu’aurontles élèves se rencontre avec les fractions plusgrandes que l’unité, et le travail sur les airespermet de l’aborder. Une activité classiqueconsiste à poser les questions de l’exercice15 ci-contre pour travailler les trois étapes évo-quées plus haut.

L’étape suivante peut consister à fairedes partages de longueur, et à cette occasion,la fraction commence à être perçue commentpouvant être un opérateur multiplicatif surles longueurs et donc sur les nombres. Elle peutaussi être interprétée comme le quotient dedeux nombres. Situer une fraction sur une droi-te graduée dont on a judicieusement choisil’échelle permet de renforcer la significationdu nombre fractionnaire. La perception dela notion de fraction en utilisant la perceptiondes longueurs sur une ligne droite est bien plusdifficile, mais c’est ce travail qui permet de faireacquérir le statut de nombre aux fractions, etégalement la notion d’opérateur fractionnai-re. On peut développer une vision statique (ona pris trois segments sur cinq pour obtenir lafraction trois cinquième), mais il est égalementintéressant de développer une approche dyna-mique de cette notion comme nous le propo-sons dans l’activité 4 présentée à la page sui-vante.

Ces exercices peuvent être complétés pardes partages de segments en parties égales surfeuille blanche et à main levée. Les activitésde tracés à main levée sont très formateurs,et souvent oubliés ou négligés10. On peut biensûr aussi faire tracer des segments de longueurs

quelconques, et faire placer à l’aide d’un cal-cul des points réalisant un partage donné. L’acti-vité 5 suivante est très intéressante Elleconsiste à faire partager un segment de 20 cmde long en treize parties égales. Aucuneapproximation au dixième du quotient de 20par 13 ne donne une réponse satisfaisante etcrée un doute chez les élèves quant à la qua-lité de l’approximation décimale utilisée. Lasuite de l’activité propose des solutions à ceproblème. On peut par exemple augmenter laprécision de l’approximation du quotient de20 par 13, ou utiliser des parallèles en préci-sant que la propriété utilisée sera utilisé plustard (Thalès).

EXERCICE 15

1) Quelles fractions des rectangles ABCDet EFGH sont-elles coloriées ?

2) Dessiner trois rectangles dont les côtésmesurent 3cm et 8cm. Colorier sur

ces dessins les , les et les deleur aire.

3) Dessiner un rectangle IJKL et colorierune aire qui représente les huit quin-zièmes de sa surface.

4) Dessiner un rectangle RSTU et colo-rier une aire qui représente les dix huitquinzièmes de sa surface.

5–6

3–4

2–3

E

G H

FA

D C

B

10 on peut penser aux tracés à main levée de parallèles, deperpendiculaires, de médiatrices, de symétriques…


76


ACTIVITE 4 Activité partage de segments (extrait)

Dans toute la suite, les points A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K et L sont situés sur une gra-duation régulière.

Un exemple de partage de segments.

On choisit le segment [AB] comme unité de longueur. Pour obtenir le segment [AF] à partir du segment unité [AB], on peut adopter trois points de vue :

(a) On divise le segment [AB] en 4 parties égales, et on en prend 3 pour obtenir le segment[AF].La longueur du segment [AB] est divisée par 4, puis multiplié par trois pour obtenir lalongueur du segment [AF].

On peut schématiser cette opération par : (b)

On dit que le segment [AF] mesure les trois quarts du segment [AB], ce qui se traduit par

la relation entre les longueurs : (c) ou bien

1) En adaptant le nom des points pour chacun des segments [AC], [AD], [AE], [AG] et [AH] :— écrire une phrase comme (a).— faire un schéma comme (b).— écrire la relation entre les longueurs comme (c).

Reprendre la question 1) avec les segments [AB], [AC], [AD], [AI], [AJ] et [AL].

2) Recopier et compléter les points de suspension en utilisant seulement les noms des pointsde la figure de la question 1) :

a) Le segment [AF] mesure les trois huitièmes du segment …

b) Le segment [AK] mesure les neuf sixièmes du segment …

c)

d)

3) Tracer un segment [AB], et marquer sur ce segment le point C tel que la longueur [AC]soit égale aux trois quarts de celle du segment [AB].

...3

8=× AF

...9

3=× BJ

LK JIDHGC F EA B

ABAF ×=4

3

4

3×= ABAF

× 3AB AC AF

÷ 4

A B

C FA B


77


Lorsqu’on commence à évoquer le nombrefractionnaire comme quotient de la divisionde deux nombres, apparaît une difficultéqu’un nombre non négligeable d’élèves n’aurapas surmonté à la sortie du collège : certainsde ces nombres sont décimaux (même entiersparfois !), et d’autres n’admettent pas d’écri-ture décimale finie. Ce phénomène perturbantsera générateur de nombreuses erreurs fai-sant intervenir des nombres fractionnaires.Les problèmes de proportionnalité, les solu-tions d’équations et l’utilisation de la réci-proque du théorème de Thalès entre autressont souvent mal-traités 12 à cause de cette dif-ficulté. L’acquisition de la notion de nombrefractionnaire non décimal est un travail dif-ficile que doit mener le professeur de mathé-

matiques dans ses classes tout au long del’année.

La compréhension qu’ont les élèves dela notion de fraction comme quotient dansla division de deux nombres peut-être amé-liorée par un travail sur la multiplicationqui lui est associée. Le genre d’exercicesci-dessous est intéressant à pratiquer danscette optique :

ACTIVITE 4 11 partage de longueur et approximation décimale (extrait)

1) Le segment [AB] ci-dessous mesure 20 cm et a été partagé en 13 segments de mêmelongueur.

Reproduire la figure en grandeur réelle.

2) a) Expliquer la méthode utilisée.b) Est-elle satisfaisante ?c) Quelle est la longueur choisie pour chaque segment ?

3) a) Julie a pris 1,5 cm pour la longueur de chaque segment. Est ce correct ? Quelle erreur commet-on en mettant bout à bout 13 segments de cette longueur ?

b) Hervé pense que la longueur de chaque segment est 1,6 cm. Est-ce correct ? Quel-le erreur commet-on en mettant bout à bout 13 segments de cette longueur ?

c) Elodie pense que la longueur de chaque segment est égale à 1,538 cm. Est-ce cor-rect ?

…

A B

11 cette activité est extraite du livre de sixième de l’IREM deStrasbourg, collection collège, éditions ISTRA 1986.12 il n’y a pas d’erreur de frappe !

EXERCICE 16

Répondre aux questions suivantes sanseffectuer de division et en donnant une jus-tification :

1) le quotient de 9 par 6 est-il égal à 1,5 ?2) le quotient de 16 par 5 est-il égal à 3,2 ?3) le quotient de 25 par 3 est-il égal à

8,33 ?


78


La calculatrice est interdite, et les élèvessont invités à poser une multiplication, dontle résultat fournit rapidement la réponse.Cette méthode prépare le terrain aux futuresvérifications de solutions d’équation et à larecherche de solution d’un problème par essaierreur. Le thème des quotients est égalementl’occasion de travailler la notion d’encadrementde nombres fractionnaires par des entiers oudes décimaux…

Opérations sur les nombres fractionnaires

Les seules opérations sur les nombresfractionnaires vues en sixième sont :

— l’addition et la multiplication des fractionsdécimales, en lien étroit avec la somme et leproduit des nombres décimaux (voir l’utilisationqu’on peut faire de cette pratique dans les para-graphes se rapportant aux nombres déci-maux). Le travail sur ces opérations dans lecadre algébrique ne nous semble pas judi-cieux à ce niveau.

— la multiplication d’un nombre décimal, oule plus souvent entier, par un nombre frac-tionnaire. Ce thème intervient égalementdans le calcul des pourcentages.

Ces thèmes ayant été exploités dans lesrubriques précédentes, nous ne nous éten-drons pas davantage.

Nombres fractionnaires, proportionnalité et pourcentages

Les nombres fractionnaires sont encorerencontrés à l’occasion du travail sur les pour-centages. Les élèves doivent savoir prendreun pourcentage d’une quantité. Le lien entrele « pour-cent-age » et les fractions de déno-minateur 100 est l’image que l’on cherche àcréer chez les élèves. Par exemple, pourprendre 15% de la quantité 250, on effectuele calcul suivant :

Nombres relatifs

Les notions de nombres entiers relatifs,de repérage de ce nombres sur une droite etde repérage de points dans le plan sont les seulesnotions abordées en sixième.

En cinquième

Nombres décimaux, calcul littéral et priorités opératoires

Les nombres décimaux n’interviennent plusque dans les problèmes, leur structure et lesopérations s’y rapportant sont censées êtreacquises. Bien entendu, il n’en est rien pourune partie non négligeable des élèves, etl’expérience montre que si le professeur n’estpas attentif à entretenir les connaissancessur ces nombres, les élèves les désappren-nent peu à peu. Il nous semble indispensablede continuer à effectuer régulièrement des opé-rations qui font intervenir ces nombres, quece soit en calcul mental ou en posant des opé-

25010015 ×

EXERCICE 17

Encadrer les quotients suivants par 2 entiersconsécutifs (exemple : 5 < 49 ÷ 9 <6) :

10 ÷ 4 12—5

20—3

4–3


79


rations à travers les différents chapitres duprogramme, tout au long de l’année. Ce niveau du collège est primordial, car lesélèves apprennent à structurer les calculs. Lerôle et l’utilisation des parenthèses est rapi-dement travaillé. Les conventions de calcul sontapprises, à savoir la priorité de la multiplicationet de la division sur l’addition et la divisionen l’absence de parenthèses. Ainsi, les élèvesdoivent savoir effectuer correctement le genrede calculs suivants :

6 + 4 × 3 = 6 + 12 = 18au lieu de : 6 + 4 × 3 = 10 × 3 = 30

Remarquons que l’erreur de priorité qu’onpeut rencontrer ci-dessus se retrouve de façonnon négligeable dans les travaux des élèvesà propos d’un exercice fréquemment proposéau brevet des collèges (et qu’on travaille doncoccasionnellement en classe). Les élèves effec-tuent d’abord la soustraction dans le calcul sui-vant :

Très (trop ?) rapidement, le travail portesur la distributivité de la multiplication surl’addition.. Les élèves apprennent donc à« supprimer » des parenthèses pour trans-former un produit en une somme. L’illustra-tion classique de cette propriété se fait enutilisant la notion d’aire (voir Figure 4) :

,

Le calcul de l’aire grisée peut se fairedirectement (membres de gauche des égalitésci-dessus), ou par addition ou soustractiond’aires (membres de droite des égalités ci-dessus).

Ce travail sur la distributivité sera reprisen classe de quatrième et de troisième. L’acqui-

bkakbak ×−×=−× )(bkakbak ×+×=+× )(

58

32

35 ×−=A

sition de cette notion pose de nombreux pro-blèmes aux élèves, et ceux-ci commettentbeaucoup d’erreurs lors de développements unpeu complexes ou de factorisations simples àla sortie du collège. L’observation de ceserreurs nous apprend qu’ils n’ont pas bien saisiles mécanismes de fonctionnement de cette pro-priété13. Le programme stipule de plus que « lafactorisation n’est pas un objectif du collè-ge » et le travail devra se poursuivre dans lesclasses ultérieures.

Nombres fractionnaires et addition

Les fractions sont sensées avoir acquis lestatut de nombre, et les élèves doivent apprendreles opérations élémentaires s’y rapportant :l’addition, soustraction, la multiplication, lasimplification et la comparaison. La division

Figure 4

13 un nouveau groupe de l’IREM de Strasbourg se penchesur ce problème actuellement, car les conséquences de cesdysfonctionnements sont très sensibles et gênants au lycée.


80


des fractions ne sera vue qu’en classe de qua-trième. A ce niveau du collège, les nombresen écriture fractionnaire n’interviennent enco-re que peu dans les autres chapitres du pro-gramme, et sont souvent utilisés pour être uti-lisés. Analysons de façon un peu plusapprofondie ce que nous constatons dans nosclasses !

L’addition des nombres fractionnairestelle qu’elle est abordée en classe, suppose unimplicite très fort. On n’effectue pas les opé-rations en respectant les priorités opératoirescomme on l’a travaillé en début d’année caron manipule des nombres qui n’admettentpas toujours une écriture décimale finie. Il fautdonc procéder autrement ! Dans le cadre duprogramme, on peut développer l’idée sui-vante 14. Pour additionner deux fractions, oneffectue des calculs sans respecter la priori-té des opérations, et on peut factoriser l’expres-sion numérique pour aboutir à la règle d’addi-tion des fractions.

— en respectant les priorités des opérations :

— en factorisant l’expression :

Le support géométrique est parfois utili-sé au travers des aires. La nécessité d’utili-ser un dénominateur commun pour addi-tionner les fractions n’est pas facile à fairecomprendre, car les exercices proposent sou-vent ce dénominateur de manière explicite. Sion veut par exemple additionner les fractionsun tiers et un quart, on peut se servir des rec-

107

101

7101

)34(101

3102

2103

52 =×=×+=×+×=+

7,03,04,0103

52 =+=+

tangles de la Figure 5 pour trouver la répon-se sept douzièmes, mais le découpage adéquatest fortement suggéré.

Figure 5

Cette addition peut bien sûr être illustréeà l’aide d’un rectangle quelconque en divisantle rectangle en bandes horizontales et verti-cales (voir Figure 6). On obtient alors defaçon naturelle 15 un pavage du rectangleunité de départ qui suggère le dénominateurà adopter.

Le lien entre l’aspect géométrique etnumérique est peut être un aspect à développerpour améliorer la compréhension du mécanismede l’addition des nombres fractionnaires. Ildemanderait en tout cas du temps.

L’utilisation de la langue naturellevient encore à notre secours. Il n’est paspossible d’additionner des tiers et desquarts, car le partage effectué n’est pasle même. On doit donc choisir un parta-ge compatible avec ces deux partages, àsavoir des douzièmes. On pourra alorsnaturellement additionner des douzièmes

E

G H

F

5

A

D C

B

14 cette approche n’a pas été développée à notre connais-sance. Il serait intéressant de l’approfondir.

15 ce découpage n’est pas si naturel qu’il n’en a l’air ! Il estimpératif de réaliser un découpage horizontal et un décou-page vertical pour aboutir au résultat. Cette démarche ne devraitpas rester dans le domaine de l’implicite.


81


comme on a additionné des dixièmes ensixième.

Il semble qu’un autre obstacle est présentpour la bonne compréhension des opérations rela-tives aux nombres fractionnaires. Le statut etla signification du nombre fractionnaire resteen fait mystérieux pour la plupart des élèveset un travail important s’impose. La vision desfractions à l’aide d’aires, bien que donnant desrésultats immédiats, reste bien insuffisante. Sion demande aux élèves combien vaut le nombrevingt huit tiers, beaucoup seront incapables dedonner une réponse significativement inté-ressante. En prenant la calculatrice, il répon-drons 9,333… avec autant de 3 que leur four-nit leur calculatrice et seront très satisfaitsde la réponse. Très peu seraient capables, sanscalculatrice de situer ce nombre sur une droi-te graduée. Que dire alors de la représentationque se font les élèves d’une fraction du genrede cinquante trois dix septièmes ?

Le programme ne propose aucune pistede travail à ce sujet, et il y a ici matière à untravail, et une recherche pour que les élèvess’approprient de façon beaucoup plus intimeles nombres fractionnaires. Les expériencesque nous menons depuis plusieurs années etqui sont induites par le travail sur le pro-gramme de sixième nous ont naturellementamené à suivre des pistes que nous allonspréciser.

La première idée consiste à ne tra-vailler qu’avec des fractions « fréquentables »,c’est à dire des fractions dont le dénominateurvaut deux, trois, quatre, cinq, six, et éven-tuellement douze. Une bonne maîtrise desopérations avec ces fractions devrait induireun traitement correct avec d’autres fractions.

Une seconde idée consiste à donner uneidée de l’ordre de grandeur d’une fraction endécomposant des fractions sous la forme desomme d’un entier avec un fraction inférieu-re à l’unité à la façon anglo-saxonne 16. Cetravail consiste par exemple au changementd’écriture suivant :

La valeur du nombre quatorze tiers apparaîtainsi beaucoup plus clairement, car le sens desfractions inférieures à l’unité est bien maîtrisé.Ce nombre comporte donc une partie entière,et une partie fractionnaire que l’on comprendbien. Les élèves donnent ainsi beaucoup plusde sens à ce nombre que ne pourrait le don-ner une approximation décimale.

Cette transformation est loin d’être évi-dente à obtenir par les élèves et demande

32

43

14 +=

un tiers un quart nécessité du douzième

Figure 6

16 On pourra d’ailleurs faire le lien avec les disquettes de 3’’1/2(trois pouces et demi) et les disques de format 5’’1/4 (cinqpouces un quart) du marché de l’informatique.


82


des approches variées faisant appel à diversregistres d’expression comme le suggèrentles exercices ci-dessous. Cette transforma-tion d’écriture qui consiste à décomposer unefraction sous forme de somme de deux frac-tions n’est pas si anodine qu’elle n’en n’a l’air :on transforme un quotient en une somme.La division euclidienne (quotient et resteentiers) est un outil privilégié pour écrirecertaines décompositions.

Un aspect qui peut être sembler intéres-sant pour comprendre cette manipulation defractions consiste à utiliser la règle d’addition« à l’envers ». Par exemple :

73

673

742

7342

745 +=+=+=

Mais l’expérience montre que cette approchene convient pas aux élèves. Il n’est pas évidentpour les élèves, même ceux qui ne sont pas spé-cialement en difficulté, qu’on peut séparernaturellement la fraction en somme de deuxfractions pour arriver simplement au résul-tat. L’approche au travers de la division eucli-dienne est bien mieux comprise. C’est bien dom-mage, car cette écriture permet d’expliquer sousune autre forme des simplifications de frac-tions. Une erreur fréquente est la suivante (sim-plification abusive par 2) :

alors que la simplification exacte peut être envi-sagée de la façon suivante :

.

En dernier point, nous remarqueronsque l’addition des nombres fractionnairesécrits sous cette forme est agréable : les par-tie entières s’additionnent, les parties frac-tionnaires s’additionnent, et on pourraitpresque se limiter à savoir additionner desfractions inférieures à l’unité. Un contrô-le mental rapide du résultat est bien plusfacile qu’avec une écriture fractionnairequi ne permet pas de percevoir l’ordre degrandeur des nombres en jeu. On est parexemple sûr que le résultat de la partie frac-tionnaire est inférieur à deux unités, etl’ordre de grandeur de la somme est bienperceptible. Hélas, cette approche montreses limites dès que l’on aborde la multi-plication des fractions puisqu’il faudraitutiliser la double distributivité pour menerà bien les calculs !

Une troisième idée consiste à travaillerles écritures décimales de ces fractions si

27

327

26

276 +=+=+

xxx

732

76 +=+x

x

EXERCICE 18 écrire des entiers sousforme de fraction (extraits d’exercicesvariés)

1) Ecrire le nombre trois sous la forme decinquièmes.

2) Ecrire le nombre sept sous la forme dequarts.

3) Compléter :

4) Compléter :

5) Compléter : et

6) Compléter par deux entiers :

7) Ecrire les nombres fractionnaires sousla forme d’un nombre entier augmentéd’une fraction inférieure à 1 :

29—6

17—5

4...

...4

17 +=3...

...3

19 +=

...

...4

65

3 −=+......

332

2 −=+

6...

3 =4...

8 =


83


elles existent, et de savoir passer rapidementde l’une à l’autre grâce à la décomposition pré-cédente. Ainsi reconnaître des quarts dans lenombre 3,25 et des cinquièmes dans le nombre4,6 donne du sens aux nombres fraction-naires.

Le lecteur imaginera les exercices variésqui permettent ce travail!

Une quatrième idée consiste à travaillerle repérage de ces fractions sur une droite gra-duée, en travaillant conjointement leur écri-ture décimale comme le suggèrent les exer-cices ci-dessus.

L’expérience nous a montré qu’une foisce travail effectué, l’addition des fractionsétait abordé dans de bien meilleures condi-tions et avec une compréhension bien plusprofonde.

Nombres fractionnaires et multiplication

Il semble difficile de déterminer s’il est pré-férable d’aborder la multiplication des frac-tions avant leur addition, ou réciproquement.Quel que soit le cas de figure, on constatetoujours une interférence d’une des règlesopératoires à l’autre !

La règle opératoire de multiplication desfractions peut-être abordée de plusieursmanières.

La notion d’aire permet une approcheclassique de la question. La modélisation géo-métrique d’une situation fournit un supportvisuel comme le montre l’exercice 20 de la pagesuivante. Cette situation peut être facilementreprésentée grâce à un support géométrique(voir la Figure 7).

EXERCICE 19

1) Placer les nombres ci-dessous sur la droite graduée :

0,75 2,25 4,50 2 + 4 –

2) Donner une écriture fractionnaire et une écriture décimale des nombres repérés par uneflèche :

3210 4

3210 4

1–4

2–4

7–4

1–2


84


Cette modélisation suppose que l’on effec-tue les partages dans des sens différents :une fois horizontalement et une fois vertica-lement pour que le découpage du gâteau dedépart apparaisse. Si on effectue deux décou-pages dans le même sens, on n’obtiendramoins facilement le résultat. On aboutit alorsexpérimentalement à la règle algébrique demultiplication des fractions :

Le problème que l’on rencontre alors estque les élèves ont tendance à faire un amal-game des règles concernant l’addition et la mul-tiplication des fractions : pour multiplier deuxfractions, ils les réduisent au même dénomi-nateur. Dans le meilleur des cas ils multiplientles dénominateurs entre eux ce qui donne unrésultat correct mais avec une fraction enco-

5322

52

32

××=×

re bien simplifiable. Dans le pire des cas, ilsne multiplient pas les dénominateurs entreeux ce qui donne un résultat faux. Ces cas sontillustrés ci-dessous :

— cas 1 : réduction au même dénominateuret calcul correct avec une fraction lourde à sim-

plifier

— cas 2 : réduction au même dénominateuret erreur de principe de calcul

Une autre approche consiste à utiliserla langue naturelle pour expliquer la règle opé-ratoire de la multiplication. La lecture de la

multiplication peut se faire de deux

manières :— trois quarts multipliés par cinq septièmes,mais cette lecture n’apporte rien quant au trai-tement à effectuer contrairement à l’addi-tion.— trois divisé par quatre multiplié parcinq divisé par sept. La compréhensionde l’opération s’en trouve grandementaméliorée, et on peut finir le calcul en

75

43 ×

211514

2115

2114

75

32 ×=×=×

21211514

2115

2114

75

32

××=×=×

EXERCICE 20

Un menuisier coupe les deux tiers d’uneplanche. Puis il coupe les quatre cinquièmesde ce morceau. Quelle fraction de la planchede départ a-t-il ainsi obtenu ?

le menuisier coupe lesdeux tiers de la planche

il coupe les deuxcinquièmes du morceauobtenu

fraction de la planche dedépart qui a été obtenue

Figure 7


85


langue naturelle ou avoir recours auxopérateurs :

L’ordre des opérateurs peut-être intervertisans changer le résultat 17 :

Le fait d’avoir travaillé avec les élèves lesdivisions successives (diviser par 4 puis par7 revient à diviser par 28) permet d’aboutirà la règle de multiplication des fractions. Lerecours à ce moyen pour donner une signifi-cation à la règle de calcul sur les fractions sembledonner des résultats significatifs chez cer-tains élèves.

Remarquons encore que de nombreuxouvrages proposent des exercices analoguesà l’exercice 20 comme application des opéra-tions sur les fractions, en faisant varierquelques paramètres (prendre ce qui resteou ce qu’on a enlevé…). La grande difficultéest que les élèves ne savent pas, même dansles années ultérieures, que pour calculer lescinq septièmes de trois quarts, il faut multi-plier ces fractions entre elles. Il y a à ce niveauun obstacle qui doit certainement être traitéd’une manière spécifique.

÷ 7 × 5 ÷ 43

÷ 7 × 5 ÷ 43

Nombres fractionnaires et équations

En cinquième, les seules compétencesexigibles sont la résolution d’équations d’incon-nue x du type :

Les deux derniers types d’équation fontintervenir des nombres fractionnaires etpourraient renforcer leur statut de nombreen tant que solution d’un problème. Maisleur caractère un peu artificiel à ce niveau n’yfait rien.

Nombres fractionnaires, proportionnalité et pourcentages

Les nombres fractionnaires sont encorerencontrés à l’occasion du travail sur les pour-centages en lien avec les tableaux de propor-tionnalité.

Les élèves doivent à ce niveau calculer lepourcentage que représente une fraction don-née d’une quantité, ce qui revient au calcul d’unequatrième proportionnelle. Ils doivent égalementsavoir déterminer un coefficient de propor-tionnalité entre deux lignes d’un tableau deproportionnalité. Suivant la façon dont sontabordés ces deux thèmes, le nombre frac-tionnaire est ou n’est pas investi de façonprofitable. Prenons un exemple artificiel pourillustrer ce propos (cf. exercice 21 page suivante).

Il est difficile pour les élèves de trouverle coefficient fractionnaire correct, même si onvarie les approches :

— compléter : (registrenumérique)

250........

20 =×

fxe =dcx =bax =+

17 certains collègues m’ont fait remarquer qu’ils n’aimaientpas ce procédé, car les multiplications et la divisions « mélan-gées » ne sont pas associatives. Un parenthèsage dans cegenre de calcul peut aboutir à des résultats différents. Nouspensons que si le professeur a les idées claires, ceci n’a pasd’importance. En effet, la division n’est que la multiplicationpar l’inverse, et donc le changement de l’ordre des opéra-tions est licite. Cette approche est la même que celle que l’onadopte pour une addition de nombreux entiers relatifs : onregroupe les nombres positifs d’un côté et les nombres néga-tifs de l’autre côté pour simplifier les calculs :

181281573181512783 +++−−−=+−+−+−


86


— compléter :

Remarque générale sur le calcul fractionnaire

Il semble en tout cas clair que le calculfractionnaire est perçu comme une partiebien à part du programme par les élèves,et qu’ils ne l’aiment pas car il est la sour-ce de nombreuses difficultés. Les règles decalcul sont souvent mal apprises, réinves-ties dans des contextes erronés par lesélèves qui ne perçoivent pas son utilité. Leprofesseur peut passer beaucoup de tempssur ces chapitres sans augmenter de façonsignificative les performances des élèves. Unnombre non négligeables d’entre eux nemaîtrisera pas ces calculs à la fin de troi-sième et feront encore des erreurs du type« pour additionner deux fractions, on addi-tionne les numérateurs et les dénominateurs

entre eux » (le lecteur curieux peut lire[FERREOL 1999] pour découvrir des pro-priétés de cette façon de procéder !). Le sta-tut des nombres fractionnaires est bienperçu comme étant particulier, mais peut-être pas comme le professeur le voit : pourl’élève, c’est la difficulté d’effectuer des opé-rations qui compte avant tout !

Nombres relatifs, addition et soustraction

En cinquième, les élèves apprennentla comparaison, l’addition et la soustrac-tion des nombres relatifs. Le repéragedes nombres décimaux sur une droite gra-duée , bien que proposé dans tous lesmanuels, devrait être envisagée de lamême façon qu’en classe de sixième entenant compte de tous les paramètresdidactiques déjà évoqués dans le para-graphe correspondant. Il permettrait unrenforcement fort utile de la structuredu nombre décimal positif et négatif. Lepro fesseur peut penser à var ier l esapproches graphiques pour expliciter lefonctionnement des règles opératoires :

EXERCICE 21

Compléter la valeur manquante et le coefficient qui permet de passer de la première à la deuxiè-me ligne dans le tableau de proportionnalité suivant :

Elèves qui portent des lunettes20

Nombre total d’élèves250 100

× ……

20 élèves sur 250 élèves portent des lunettes.

1 élève sur … porte des lunettes.

… élèves sur 100 portent des lunettes.

÷

×


87


— l’aspect « règle à calcul » de la figure 1, lesdroites graduées sont horizontales et met-tent en jeu la gauche et la droite, ce qui peutposer des problèmes à certains élèves « mallatéralisés ».

— l’aspect « ascenseur » dans lequel la droi-te graduée est verticale et permet de se rat-tacher à une situation concrète.

Cette appropriation des règles opéra-toires est difficile et longue pour les élèves.Même si les élèves comprennent bien les opé-rations dans un premier temps, l’étude d’unenouvelle opération ou son extension provoqueimmanquablement une chute des perfor-mances et une remise en cause profonde dece qu’on pensait être acquis. Ainsi, si l’addi-tion semble comprise, dès que l’on aborde lasoustraction, beaucoup d’élèves peinent à s’yretrouver et ne savent plus rien faire ! Uneautre difficulté est liée aux nombres déci-maux. Si les élèves savent additionner etsoustraire correctement les nombres entiersrelatifs, ils vont remettre en cause leur savoirfaire opératoire dès que les nombres déci-maux sont utilisés.

17 – 43 = – 26

Le calcul analogue avec les nombres déci-maux aboutit à une réponse erronée :

1,7 – 4,3 = – 3,4

La réponse correspondant à un traitement sépa-ré des parties entières et décimales :

1 – 4 = – 3 et 0,7 – 0,3 = 0,4 , d’où : – 3,4 .

Il n’est alors pas inutile de rappeler le tra-vail effectué en sixième avec le nombre dedixièmes pour rappeler que c’est l’opération17 – 43 qui fournira la bonne réponse aprèsdivision par dix.

Après avoir expérimenté diverses approches,celle qui nous semble la plus efficace consis-te à proposer directement aux élèves les opé-rations courantes dont ils s’approprient faci-lement les règles de calcul :

18 – 25 – 15 – 17

Une fois les élèves familiarisés avec cescalculs, nous leur proposons de savoir trans-former les écritures non simplifiées, et doncd’approcher des règles de transformationd’écritures comportant des parenthèses qui nesont pas des parenthèses de priorité de cal-cul. Nous leur apprenons à effectuer les trans-formations suivantes :

Il semble que cette façon de procéder quiest à l’opposé de la démarche habituellementproposée génère une moins grande confusiondans l’esprit des élèves dans l’appropriationdes règles de calcul. La notion d’opposé denombre est abordée en lien avec l’additiondes relatifs. La règle de calcul « soustraire unnombre revient à additionner son opposé » estapprise à cette occasion.

En quatrième

Nombres relatifs, multiplication et division

Le premier chapitre numérique de qua-trième consiste généralement à découvrir lesrègles de multiplication et de division des

2315)23()15( +=−−+

187)18()7( −−=+−−

2518)25()18( −=−++


88


nombres relatifs. La multiplication d’unnombre positif par un nombre négatif peut êtreabordée grâce à l’addition répétée de nombresnégatifs :

(par la règle d’addition)

(par définition de la multiplication)

On en déduit que :

La multiplication de deux nombres néga-tifs peut-être justifiée en faisant appel à la dis-tributivité :

On en déduit que

Les règles de calcul du quotient se dédui-sent alors de celles de la multiplication en fai-sant le lien entre ces opérations. Remarquonsque certains élèves n’intègrent que difficile-ment que les nombres suivants sont égaux, etce jusqu’en fin de troisième :

Ils voient un signe négatif qui « se promène »à différents endroits du symbole fractionnai-re. La vision la plus intéressante est l’écriturequi correspond à l’opposé de deux tiers quantau sens du nombre.

Une fois la règle de multiplication appri-se, beaucoup d’élèves commentent de nou-velles erreurs en ce qui concerne l’addition et

32

32

32 −=−=

−

35)7()5( +=−×−

0)7()5(35)7()5(7)5( =−×−+−=−×−+×−

00)5())7(7()5( =×−=−+×−

124)3( −=×−

)3()3()3( +−+−+−

12)3()3()3()3( −=−+−+−+−

la soustraction des nombres relatifs, car ilsretiennent une règle du genre « moins par moinsdonne plus » au lieu de la règle « le produitde nombres négatifs est un nombre positif »et proposent donc le calcul suivant :

–2 + (–3) = +5

Cette déstabilisation de connaissance dela règle de calcul ressemble à celle provoquéepar l’apprentissage du produit et de l’additiondes nombres fractionnaires en cinquième (voirci-dessus).

Nombres fractionnaires et opérations

L’addition des fractions est maintenantpratiquée avec des fractions de dénomina-teur quelconque et non plus des dénominateursmultiples les uns des autres. La division desfractions est abordée, et la notion d’inverse d’unnombre apparaît. la règle de calcul « diviserpar un nombre revient à multiplier par soninverse » est étudiée à ce moment là.

La résolution des équations du type :ax + b = cx + d amène à des solutions frac-tionnaires. Les procédures de validation dessolutions permettent de les valider commenombres répondant à un problème donné. Ace niveau les élèves admettent plus facile-ment de pratiquer le calcul fractionnaire entant que tel (ils ne calculent plus systémati-quement d’approximations décimales). Lestatut du nombre fractionnaire est donc tota-lement proposé à ce niveau de classe, mais sûre-ment pas acquis !

Nombres fractionnaires et théorème de Thalès

Une version abrégée du théorème de Tha-lès direct est abordée en classe de quatrième.Seule la « configuration imbriquée » est étu-


89


diée. Les fractions interviennent en tant quenombres traduisant une proportionnalité delongueurs dans une configuration géomé-trique particulière, et le nouveau programmetente de renforcer cette vision. En pratique,les élèves sont amenés à effectuer des calculsde longueur à partir d’une égalité de quo-tients. Les nombres ainsi calculés peuventêtre entiers ou fractionnaires. On retrouve évi-demment une erreur qu’il est difficile de cor-riger chez certains élèves : ils calculent labonne valeur de la longueur cherchée, et pren-nent la calculatrice pour donner une valeurdécimale de la réponse, même si le nombre n’enadmet pas. Cette démarche est malheureu-sement renforcée par la vérification que nousproposons souvent aux élèves : réaliser unefigure grandeur réelle, et comparer la validitéde la réponse numérique à la mesure obtenuesur la figure.

Puissances de dix et notation scientifique, puissances d’un nombre

Cette rubrique du programme de 4èmeest très mal perçue et comprise par les élèves.Ils ne la raccrochent à aucune notion anté-rieure, et elle occupe finalement peu de tempsdans l’année. De surcroît, ces notions neréapparaissent pas de façon naturelle dansle programme de 4ème. Si le professeur nefait pas un effort particulier, ce chapitre seraclos et aussitôt oublié par les élèves. Le pro-gramme de 3ème présente une lacune à ceniveau, car aucune référence n’est faite pourrevoir ces notions. Au collège, les élèves uti-liserons parfois la notation scientifique en coursde physique, avec tous les problèmes qu’onpeut imaginer. Il devient alors évident queles élèves rencontreront d’énormes difficul-tés au lycée.

Les erreurs rencontrées sont très nom-breuses et variées ! Elles montrent une incom-préhension profonde des notations utilisées etde leur signification. Par exemple, pour ne citerque celles là :— la confusion entre 5 × 10 3 et 5 3

— la confusion entre (–5) 3 et 5 –3

— la confusion entre (–5) 3 et –5 3

— la confusion entre 5 2 et 5 × 2, qui resur-git après un certain temps …

Plusieurs raisons sont à la source de ceconstat plutôt négatif. La première est biensûr intrinsèque à la difficulté de la notion etdes notations employées. La deuxième rési-de dans la façon dont est souvent abordéeleur étude : un seul chapitre généralement tôtdans l’année et plus jamais réinvesti par lasuite. La troisième réside dans l’utilisation dela calculatrice, qui constitue plus une sourcede blocage qu’une aide.

Deux notions bien distinctes mais néan-moins imbriquées sont étudiées : les puis-sances d’un nombre d’une part, la notation scien-tifique utilisant les puissances de dix d’autrepart. Leur ordre d’étude en classe sembleindifférent et interchangeable. Néanmoins,depuis plusieurs années, nous avons adoptéune approche qui a permis d’obtenir des résul-tats significatifs dans la compréhension de lanotation scientifique, et ce dans la durée.Leur réactivation en classe de 3ème montreque les élèves se souviennent et donnent unsens à la notation scientifique. Les puissancesd’un nombre supérieures à 3 n’étant qu’excep-tionnellement rencontrées au collège, il est dif-ficile de les travailler à ce niveau. Nous décri-vons ci-dessous la démarche adoptée.

L’étude des puissances est réalisée sur troispériodes distinctes, séparées par des cha-pitres de géométrie. Elle peuvent également


90


être abordées avant ou après un autre chapitred’algèbre. La progression est la suivante :

— Etude des puissances de dix d’exposantpositif, et de la notation scientifique desnombres supérieurs à 1.

— Etude des puissances de dix d’exposantnégatif, et de la notation scientifique desnombres (positifs) inférieurs à 1. Réactivationdes puissances de dix d’exposant positif.

— Etude des puissances d’un nombre, d’expo-sant positif et ensuite d’exposant négatif.réactivation de la notation scientifique.

Pendant toute cette période, et pendantun certain temps après, chaque contrôle com-porte plusieurs questions sur ces rubriques.Des remises au point sont souvent néces-saires !

L’utilité des puissances de 10 peut être intro-duite à partir de la calculatrice, mais il est plusimportant de faire sentir la nécessité d’uncodage pour écrire des « grands » ou des« petits » nombres décimaux. L’affichage descalculatrices n’aide pas à l’écriture ni à lacompréhension de la notation scientifique.Lorsque le résultat d’une opération est affi-ché en mode scientifique, l’affichage de lapuissance de 10 est simplement décalé, et

éventuellement plus petit. Les nouveauxmodèles affichent la multiplication de la man-tisse par une puissance dix, et ce de façon peuagréable à lire comme le montre la Figu-re 8 ci-sessous.

La nécessité d’un codage pour afficherdes nombres qui ne peuvent pas être affichéssous forme décimale motive l’introduction dela notation scientifique des nombres. L’utili-sation des puissances de dix est facilement jus-tifiée. Il reste à motiver le choix d’un nombrecompris entre 1 et 10 pour la mantisse, ce quidemande un travail important. Un travailsur le système de numération décimal utili-sant les puissances de 10, semblable au tra-vail effectué à l’école primaire ou en sixième,est alors proposé. Des exercices de multipli-cation et de division par les puissances dedix est également effectué.

L’introduction des puissances de dixd’exposant négatif se fera soit par le même biais,soit en utilisant la notion d’inverse d’unnombre. L’expérience montre que ce l’étale-ment dans le temps de cette étude est profi-table à une meilleure assimilation des notions.

Si les élèves sont habitués au calcul à lamain, ils manipulent relativement correcte-ment l’écriture scientifique des nombres dansune plage allant de l’ordre de 10 –3 à 10 +3.

Ancien modèle Nouveau modèle :

Affichage du nombre 9103,4 × sur différents modèles de calculatrice

Figure 8

Affichage du nombre 4,3 ¥ 10 9 sur différents modèles de calculatrice

Figure 8


91


Mais au delà de cette plage, les calculs devien-nent abstraits et ils sont perdus. Un outilsimple, mais efficace est proposé aux élèvespour écrire des nombres sous forme scienti-fique : l’utilisation d’un tableau, qui fonc-tionne de façon analogue au tableau de conver-sion des unités18. Les élèves écrivent alors sanstrop de problèmes des nombres sous forme scien-tifique à partir de l’écriture décimale et réci-proquement.

Par exemple, le tableau ci-dessous illustrecomment écrire le nombre 3 500 sous formescientifique : le 0 du chiffre des unités est écritdans la colonne de 10 0, et on lit que la puis-sance de 10 dans la colonne du 3, chiffre desunités de 3,5.

On obtient donc 3 500 = 3,5 × 103. De même,si on écrit le chiffre des unités 2 du nombre2,7, on obtient alors l’écriture décimale dunombre 2,7 × 10 –2 en ajoutant le nombre dezéros adéquat jusqu’à la colonne des unités de10 0. D’où le résultat : 2,7 × 10 –2 = 0,027 :

10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3

3 5 0 0

0 0 2 7

Remarquons qu’un difficulté inattenduepeut surgir à ce niveau : l’ordre des exposantde la gauche vers la droite (… ; +1 ;0 ; – 1 ; – 2 ; …) est l’opposé de celui de la droi-te graduée usuelle !

Il reste encore la notion de puissanced’un nombre. Son utilisation au collège est quasiinexistante, si ce n’est pour le calcul littéral.Les carrés sont souvent rencontrés, les cubesdéjà moins, et les puissances quatrièmes sontl’exception. Pourquoi conserver ce paragraphedans les programmes du collège ? Seuls desexercices très spécifiques les font intervenir.Nous relevons trois champs d’interventiondes puissances d’un nombre qui peuvent êtreintéressantes, mais est-il la peine de s’y inves-tir à ce niveau ?

— le problème des grains de riz sur un échi-quier. On considère un échiquier. Sur la pre-mière case , on pose un grain de riz ; sur ladeuxième case deux grains, sur la troisièmecase, quatre grains, et on double le nombre degrains de riz à chaque fois. Sur la dernière case,on aura donc la puissance soixante quatriè-me de deux. Le nombre total de grains de rizest énorme, et on pourrait faire une mani-pulation avec les élèves pour essayer d’éva-luer son poids en effectuant des manipulationsavec une balance. On pourra comparer à la pro-duction annuelle de riz des certains pays.Cette activité peut être riche d’ouverture versd’autres champs disciplinaires.

— l’explication d’un tour de magie. Ontrouvera la description complète de l’activitédans [OSICKI 1996]. L’idée est la suivan-te. Un élève choisi un nombre entier com-pris entre 1 et 63, puis indique sur quelle(s)carte(s) il se trouve parmi les six cartesqu’on lui présente. Et le présentateur « devi-ne » très rapidement la valeur du nombrechoisi. L’explication de ce phénomène repo-se sur la décomposition d’un nombre entierdans une base de puissances de deux. L’écri-ture binaire du nombre est déterminée parle choix des cartes, et une simple additiondonne la réponse.

18 l’utilisation d’un tableau est un outil provisoire efficace, quipermet de donner du sens au codage d’un nombre appeléécriture scientifique. On peut aussi raisonner en multipliantles nombres par les puissances de dix, avec toutes leserreurs qui peuvent se produire à ce niveau.


92


— l’explication des nombres qui interviennentdans les unités de mesure des mémoires en infor-matique . Les ordinateurs fonctionnent avecun langage utilisant le système binaire. Lamémoire vive (RAM) ou la capacité des disquesdurs se compte en kilo-octets, méga-octets etgiga-octets 19. En réalité, ces préfixes sont uti-lisés de façon abusive. Le kilo-octet est lapremière puissance de 2 qui dépasse 1000, leméga-octet est la première puissance de 2qui dépasse 1 000 000, et le giga-octet la première puissance de 2 qui dépasse1 000 000 000 (20) :

On obtient ainsi l’explication des nombresqui s’affichent au démarrage d’un ordina-teur. La vérification d’une mémoire vive de 64Mofait apparaître 65 536ko de RAM :

Une observation de la lecture des puissancesd’un nombre révèle que les élèves ne cernentpas la signification des signes et des nombresqui entrent en jeu dans l’écriture. Il y a un pro-blème lié à la typographie non négligeable àce niveau. La position des symboles en tant

octetsoctets 86410867102453665 =×=

kokoMo 5366502416464 ==×=

octetsoctetsGo 824741073121 30 ==

octetsoctetsMo 576048121 20 ==

octetsoctetsko 024121 10 ==

qu’indice ou d’exposant n’est pas bien per-çue et demanderait un travail qui sera utileplus tard dans les études21. L’exercice suivanta été proposé pour apprendre aux élèves à déco-der le langage algébrique correspondant. Il s’agitde remplir le tableau suivant :

Nombre 23 2-3 (-2)4 -24 (-2)-4 -2-4

valeur del’exposant

signe de l’exposant

faut-il prendrel’inverse ?

nombre élevé à la puissance

signe de ce nombre

faut-il prendre l’opposé du calcul ?

Calcul et résultat

Il nous semble qu’ils en aient retenuquelque chose au niveau de l’identification desparamètres à décoder, comme nous avonspu le constater lors de la correction du contrô-le qui a suivi. Les élèves qui avaient apprisle cours, dans lequel figurait un tableau ana-logue n’ont fait que peu d’erreurs de com-préhension.

Nombres irrationnelset théorème de Pythagore 22

19 rappelons qu’un octet, comme son nom l’indique, repré-sente un mot formé par huit bits. Un bit est l’unité élémen-taire, qui ne peut prendre que les valeurs 0 et 1. Les premiersmicroprocesseurs grand public (années 1980) maniaient desoctets. La génération suivante, des mots de deux octets, soit8 bits. Le processeurs actuels manient des mots de 32 bits,et la génération suivante arrive !

20 certains constructeurs peu scrupuleux ont commencé àutiliser ces préfixes dans le sens usuel, en utilisant les puis-sances de 10, et on a vu des publicités mensongères, qui nesont détectables que par un public averti…

21 Nous pensons à l’indice pour écrire les termes d’unesuite.22 Ce paragraphe a été écrit une première fois, puis rema-nié après lecture de COJEREM95. En effet, le hasard avoulu que notre démarche personnelle et celle proposéedans cet ouvrage présentent un grand nombre de simili-tudes qui sont apparentes dans la suite de cet article.L’approche du théorème de Pythagore décrite dans cetarticle est directement issue de cet ouvrage.


93


La grande nouveauté de la classe de 4èmeest l’irruption des nombres irrationnels dueà l’utilisation du théorème de Pythagore. Lacompréhension que vont avoir les élèves de cettecatégorie de nombre est liée à l’approche qu’enfera le professeur. Deux approches peuvent êtreproposée : une approche algébrique (la solu-tion d’une équation dans laquelle intervientl’inconnue au carré), ou une approche géo-métrique. Nous détaillons ces deux aspects ci-après.

La racine carrée peut être présentéecomme étant indispensable pour mesurer lalongueur des côtés de certains triangles rec-tangles obtenus comme solutions des équationsobtenues avec le théorème de Pythagore. C’estl’aspect algébrique qui est privilégié et il enrésulte certainement un affaiblissement de lasignification de ces nombres. Une fois admi-se la nécessité de ces nombres, les élèves vontcalculer des longueurs dans des configurationsvariées. Il peut être utile, surtout au début,de leur faire calculer une valeur approchée desirrationnels ainsi obtenus, pour confronterle résultat de leur calcul avec une mesuresur la figure exacte qu’ils ont tracée.

Hélas, cette pratique mal comprise par lesélèves, conjuguée au confort apporté par la cal-culatrice, aboutira chez certains élèves à don-ner systématiquement une réponse sous la formed’un nombre décimal. Pour d’autres, il esttrès difficile de percevoir un nombre dont onne connaît pas l’écriture décimale, et ils se sen-tent poussés à utiliser leur calculatrice pourappréhender un ordre de grandeur de cenombre. Alors que ce phénomène, observéégalement pour les nombres fractionnaires,est atténué en utilisant l’écriture anglo-saxon-ne des fractions (voir ci-dessus), il n’existe pasà notre connaissance d’approche analogue ence qui concerne les irrationnels. Les docu-

ments dont disposent les élèves, à savoir lesmanuels scolaires, ne vont hélas pas œuvrerdans le sens d’une meilleure compréhensionde ces notions. La plupart des manuels 23 nedonnent aucune définition de la racine carréed’une nombre, et se contentent d’utiliser la nota-tion de la racine carrée sans explications. Ilsutilisent systématiquement la touche racinecarrée de la calculatrice pour calculer uneracine carrée, ce qui donne une valeur exac-te (parfois) ou une valeur approchée (sou-vent). Certains auteurs vont même jusqu’àdemander systématiquement une valeurapprochée des nombres dans leurs exercices.

Le programme propose à notre avis uneerreur d’approche fondamentale de lanotion de racine carrée, car il préconisel’étude de la racine carrée à l’aide de la touchecorrespondante de la calculatrice. Quel sta-tut les élèves vont-ils dès lors conférer à ce genrede nombre ?

Plus rares sont les approches géomé-triques, comme celles proposées dans les exer-cices 22 et 23 de la page suivante.

Dans un premier temps, des exercicesbasés sur des aires pourraient être proposés.L’exercice 13 (dessiner un carré d’aire doublede celui qui est donné) déjà proposé peut êtredonné dans un premier temps. La démarcheproposée dans [COJEREM1995] nous sembletrès intéressante (voir exercice 22).

23 N’ayant conservé que les « meilleurs » manuels parmi ceuxpubliés pour la rentrée 1998, cette remarque ne saurait êtregénérale. De plus, ayant été confronté aux exigences des édi-teurs de manuel en ce qui concerne le temps accordé pourles rédiger, cette critique se veut constructive pour leursauteurs qui n’ont pas le temps indispensable pour réfléchirsereinement. Mais le résultat est que les élèves ne trouventpas dans les manuels une référence correcte pour se forgerla notion de racine carrée en tant que nombre, bien aucontraire.


94


Cet exercice se donne après l’exercice 13qui aura été corrigé de façon à faire apparaîtreune certaine démarche de découpage. Un pre-mier découpage peut être facilement modifiépour aboutir au résultat désiré comme le sug-gèrent les deux Figures 9 et 10.

La position du point I, qui permet deconstruire un carré répondant au problème (lescoups de ciseaux sont donnés en [ID] et [IF])fait apparaître le triangle AIB rectangle en A.Les côtés de l’angle droit AI et AD ont pourmesure les côtés des carrés de départ. L’hypo-ténuse ID est le côté dont l’aire est égale à lasomme des aires des deux carrés ABCD etBEFG. On réalise ainsi de façon concrète unevision du théorème de Pythagore. La démons-

EXERCICE 22

On donne deux carrés ABCD et BEFG dis-posés côte à côte comme ci-dessous, et ondemande de construire en deux coups deciseaux un carré dont l’aire vaut la sommedes aires des carrés donnés.

A

D C

B E

GF

A

D C

B E

GF

A

D C

B E

GF

I

Figure 10 :Essai de découpage réussi

I

Figure 9 :Essai de découpage infructueux

A

D C

B E

GF

A

D C

B E

GF


95


tration rigoureuse de l’exactitude de ce décou-page n’est peut être pas à faire de façon tropapprofondie à ce niveau. C’est au professeurde s’adapter au niveau de la classe. Mais lasynthèse doit bien dégager la vision géomé-trique de la figure 1, et peut mettre en évidencedes déplacements 24.

D’autre part, rares25 sont les ouvrages danslesquels apparaît, ne serait ce que dans un exer-cice, la vision géométrique du théorème dePythagore qui traduit une égalité entre les airesdes carrés construits sur les côtés d’un trianglerectangle (voir Figure 11).

L’expérience montre que ce support géo-métrique peut servir de repère à des élèvesen difficulté 26. Une erreur fréquente consis-te à écrire l’égalité de Pythagore de façon à

trouver le carré du côté manquant commeégal à la somme des deux carrés des côtésconnus. Ceci est évidemment faux si l’hypo-ténuse est connue, et le retour à la significa-tion de l’égalité de Pythagore à l’aide de la Figu-re 11 permet de corriger efficacement cetteerreur. Nous pensons qu’il est utile de travaillercette vision géométrique de plusieurs façons.

Une seconde approche géométrique peut-être la démonstration d’Euclide, sans ren-trer dans les détails des égalités d’angles etde longueur indispensables. Le professeurdevra cependant s’être assuré que la vision géo-métrique des parallélogrammes de base don-née et de hauteur donnée qui ont tous lamême aire est bien présente chez ses élèves(on pourra lire une approche très intéres-sante dans [COJEREM1995].

24 Les déplacements en questions sont des rotations. Maisla notion de rotation est maintenant étudiée en classe de 3ème.25 Les nouvelles versions des manuels parus après la rédac-tion initiale de cet articles semblent contredire cette affirma-tion…

26 il est intéressant de noter qu’un certain nombre d’élèvesécrivent naturellement la réponse de BC2 en donnant le cm2

comme unité, puis proposent BC en cm.

Figure 11 : Vision géométrique du théorème de Pythagore


96


D’autres exercices de construction peuventêtre envisagés comme l’exercice 23 ci-dessus.La formulation peut varier suivant l’habitu-de qu’ont les élèves des règles du jeu de la géo-métrie à la règle et au compas.

A ce stade, le nombre irrationnel a fait sonapparition, mais sa signification et son sta-tut restent flous chez un grand nombre d’élèves.La seule opération qui est faite avec cesnombres est l’élévation au carré. Leur addi-tion, soustraction, multiplication et divisionest hors programme à ce niveau. Il est d’ailleurssignificatif que le calcul de ( )2 pose un réelproblème à de nombreux élèves de 4ème,voire de 3ème. La nécessité de ces nombresdevient plus évidente lors de l’étude de lareconnaissance des triangles rectanglesconnaissant les longueurs des trois côtés (réci-proque du théorème de Pythagore) commedans l’exercice 24 :

−−√ 3

Cet exercice demande le calcul préalablede la longueur AC 2 grâce au théorème dePythagore. Il n’est pas rare de voir des élèvescalculer la valeur exacte de la longueur AC,puis d’en donner une valeur décimale appro-chée. Cette valeur décimale approchée sera réin-

vestie dans le calcul de . Il abou-tira alors à la conclusion erronée que letriangle ABC n’est pas rectangle comme surl’exemple ci-dessous :

Une autre erreur peut encore apparaîtreà ce niveau : quelques élèves donnent commeconclusion à ce calcul : « Les nombres

et sont égaux à 0,1près.Donc le triangle ABC est rectangle… »

Une tentative de remédiation à ce phé-nomène nous semble intéressante, mais elleest bien sûr insuffisante et son impact estdifficilement quantifiable 27. Elle consiste àdistinguer, de façon très imagée, les trianglesrectangles des triangles qui sont « presque rec-tangles », c’est-à-dire dont la mesure de l’angleest proche de 90°.

L’abus de langage (un triangle est oun’est pas rectangle) permet d’identifier une idéede façon claire et rapide. Le « vrai triangle rec-tangle » n’est reconnu que grâce à la rigoureuse

égalité des nombres et .2AB22 CBAC +

2AB22 CBAC +

22 CBAC +

EXERCICE 23

1) On choisi une unité de longueur. Construi-re à la règle et au compas un carré d’aire 41(remarquer que 41 = 16 + 25 )

2) On choisit une unité de longueur.Construire à la règle non graduée et aucompas un carré d’aire 33 (remarquer que49 = 33 + 16 )

EXERCICE 24

Le triangle ABC est-il rectangle ?

A

D C

Bcm22

96,21

996,12

360,3 22

22

=+=+=+ CBAC

et

9961,21

69,4 2

2

==

AB

27 bien entendu la compréhension des phénomènesd’approximation joue un rôle important dans le registrenumérique.

et


97


La connaissance ultérieure des formules d’AlKashi donnera un sens plus précis à cetteapproche. Une meilleure acceptation dunombre irrationnel découvert grâce au théo-rème de Pythagore passe par l’utilisation duthéorème réciproque.

En troisième

Nombres fractionnaires et théorème de Thalès

On étudie la configuration « papillon » enplus de la configuration déjà vue en 4ème. Lanouveauté réside dans la reconnaissance dedroites parallèles dans une version appelée « réci-proque du théorème de Thalès ». Comme pourla réciproque du théorème de Pythagore, il estimpératif de travailler avec les valeurs exactesdes nombres qui sont soit donnés par l’énon-cé, soit obtenus par calcul. La démarche et leserreurs rencontrées sont similaires à celles rela-tives à la réciproque du théorème de Pytha-gore.

La difficulté réside bien dans l’égalitédes rapports de Thalès qui doit être rigou-reusement vérifiée. Il est vrai que si lesnombres comparés sont « proches », les droitessont « presque » parallèles. Nous insistons surce point, car nous avons reçu la visite d’un parentde formation scientifique solide (ingénieur),qui contestait ce raisonnement. Il disait quela réponse qu’on pouvait donner à l’exerciceproposé (les droites sont-elles parallèles ?)dépendait de la précision de calcul choisie, etcomme l’énoncé ne donnait aucune indica-tion, la réponse donnée par l’élève était valable :« les nombres sont égaux à 0,01 près, donc lesdroites sont parallèles ». Cette confusion est

regrettable, et inquiétante venant de la partd’un scientifique. L’utilisation qui est faite dece théorème, à savoir le calcul d’une longueurinconnue, masque toute la partie liée auxproportions et donc ne renforce pas la signi-fication du nombre rationnel.

Considérons la configuration de la Figu-re 12 :

Dans cette figure, la grande majorité desélèves saura calculer correctement les lon-gueurs BE et AD sous leur forme fractionnaireà l’aide des égalités :

et

Mais beaucoup découvriront avec sur-prise que dans cette configuration, on a les éga-lités de longueur suivantes (aspect homo-thétique) :

CDBE ×=32

ADAE ×=32

ACAB ×=32

65

32 BE

AE==

CDBE

ADAE

ACAB ==

AB = 2AC = 3AE = 5CD = 6

A

D

C

B

EFigure 11

(BE) et (CD)sont parallèles.

Figure 12


98


Fractions irréductibles

La seule notion d’arithmétique abordéeà ce niveau est la notion de PGCD. Son cal-cul est purement algorithmique28 et son étudeest presque purement utilitaire29, puisqu’il s’agitde rendre des fractions irréductibles. Lanotion de nombres premiers entre eux estabordée, sans que la notion de nombre pre-mier ne soit théoriquement abordée. On peutlégitimement se poser la question de l’inté-rêt de cette partie du programme à ce niveau,d’autant plus que les élèves simplifient desfractions au maximum depuis de la classe decinquième !

Nombres irrationnels 30

Les propriétés des racines carrées sont étu-diées, et les irrationnels acquièrent ainsi unstatut plus conséquent en tant que nombre àpart entière. Les élèves sont surpris par lesnotions étudiées dans ce chapitre :

— L’opposé de la racine carrée d’un nombreapparaît 31. Ce nombre négatif est souventmal perçu, et la confusion d’écriture et de

sens entre et est fréquente et per-sistante dans le temps.

2−2−

— Les nombres irrationnels peuvent êtreécrits sous des formes qui sont différentes. Par

exemple /2 et 1/ sont deux écritures d’unmême nombre. Rendre le dénominateur ration-

nel d’un nombre tel que ne figure plus

au programme de troisième.

Les propriétés relatives aux produits etaux quotient sont utilisées pour simplifierdes expressions. Un exercice classique sys-tématiquement posé au brevet des collèges

consiste à écrire sous la forme (a et b

entiers) un nombre du genre :

.Le statut du nombre irrationnel n’en est paspour autant renforcé, car ces propriétés relè-vent des propriétés des fonctions puissances.Cette partie du programme est difficile etfort mal assimilée par les élèves.

Les erreurs que font les élèves sont iden-tiques à celles que l’on rencontre lors del’étude des identités remarquables :

et

Un élève nous a mis sur une piste pourtravailler ces erreurs. Il a remarqué sur desexemples numériques que par exemple 5 2 + 10 2 ≠ 15 2 , et « qu’il n’y avait pas de pro-portionnalité ». Les élèves ont tendance àappliquer plusieurs règles commodes auxracines carrée et aux carrés, qui sont liées àla linéarité des fonctions, étudiée dans lecadre de la proportionnalité, et d’étendre lapropriété de distributivité de la multiplicationsur l’addition à ce contexte. Il semble qu’il y

( ) 222 baba +=+

baba +=+

341227 ++=A

ba

53

1

+

22

28 algorithme des différence ou algorithme d’Euclide, plusrarement décomposition en produit de facteurs premierspuisque cette notion est absente des programmes. quelsens les élèves peuvent-il donner à ces démarches ?29 Les exercices de brevet proposent parfois son utilisationpour calculer le nombre de carrés et la valeur du côté du carréde dimension maximale que l’on peut construire dans un rec-tangle de dimensions données.30 On (re)lira avec intérêt l’article [ASSUDE 1996] qui appor-te quelques éclairages sur les difficultés liées à la notion deracine carrée.31 Le programme ne dit rien en quatrième à ce sujet. Ilsemble qu’il soit pertinent de faire remarquer aux élèvesdès la classe de 4ème que lors d’un calcul de longueur uti-lisant le théorème de Pythagore, on aboutit à une équationqui admet deux solutions, et qu’on élimine la solution néga-tive car elle ne peut pas correspondre à une longueur.


99


ait une piste à explorer dans ce sens, en uti-lisant la notion de fonction, mais est totale-ment hors programme à ce niveau pour l’ins-tant.

Un autre exercice intéressant pour tra-vailler cette erreur est proposé ci-dessus. Lesélèves sont évidemment surpris par la répon-

se de la première question qui n’est pas comme ils en ont envie. Un travail analogueà l’aide des triplets Pythagoriciens peut aussiêtre envisagé pour l’erreur sur le développe-ment du carré.

Les échanges avec les professeurs de lycéenous montrent que ces erreurs, qui deviennentmoins fréquentes en fin de troisième dansdes exercices simples et ciblés, réapparaissentdès que le contexte devient plus complexe àl’occasion de l’étude d’autres notions. Lesrègles de calcul ne sont pas assimilées defaçon stable et c’est une des sources des dif-ficultés que les élèves rencontrent dans leursétudes ultérieures..

Le nouveau programme invite à montrer

que n’est pas un nombre rationnel. Nousavons testé plusieurs fois des exercices de ladémonstration classique par l’absurde de

cette propriété (supposons que s’écrive2

2

30

sous la forme a/b, approximation de à l’aidede fractions continuées, …). Même les élèvesbrillants ont des difficultés à comprendrel’intérêt (il existe des nombres qui ne sont pasrationnels) et le sens de cette démonstration.

L’idée du programme, qui consiste àredonner la notion de nombre aux élèves estlouable 32, mais la démonstration de l’irra-

tionalité de à ce niveau nous sembleprématurée. Il est clair que l’absence presquetotale d’arithmétique au collège ne permet auxélèves de saisir la substance d’une démons-tration basée sur la décomposition d’un entieren produit de facteurs premiers. Une autreapproche utilisant la notion de PGCD peut-être envisagée (voir LE BERRE 2002). Danstous les cas, le temps à consacrer à ces notionssemble disproportionné par rapport à leurimportance.

Trigonométrie

La notion de cosinus d’un angle aigu estabordée en quatrième, et est complétée entroisième par le sinus et la tangente. On effec-tue alors des calculs de longueurs et d’angle,et on obtient donc des réponses approchées àl’aide de la calculatrice. Les valeurs exactesdes angles remarquables ne sont pas à connaîtreavant la seconde. Si le professeur n’y prendgarde, l’utilisation systématique des valeursapprochées à l’aide de la calculatrice renfor-ce l’attitude des élèves vis-à-vis « du toutdécimal ». On peut très bien expliquer aux élèves,et leur demander de manipuler des valeursexactes telles le sinus de 40° ou la tangentede 75° (qu’on ne sait pas exprimer à l’aide des

2

2EXERCICE 25

1) Montrer l’égalité :

.

2) Ecrire la somme sous formed’une racine carrée.

188 +

48273 =+

32 En classe de seconde, les ensembles Z, Q, R, ont refaitleur apparition…


100


fonctions élémentaires)., voire de les réin-vestir dans des calculs qui nécessitent plusieursétapes. On définit ainsi une nouvelle catégo-rie de nombres, au statut certes mal défini,mais qui permettent des calculs en discernantle calcul exact du calcul approché.

Quelle notion du nombreles élèves ont-ils construiteà la sortie du collège ?

Le panorama des diverses situations ren-contrées par les élèves dans le cadre des acti-vités mathématiques proposées au collègesuggère que ceux ci auront acquis une certainerichesse dans la conception des nombres.Hélas, la pratique quotidienne et les échangesavec les professeurs des lycées et du supérieurdénotent au contraire une pauvreté dans laconception et les connaissances qu’ont lesélèves des nombres. Le seul nombre que lesélèves connaissent et utilisent naturellement,de surcroît sans le maîtriser, est le nombre déci-mal. Le nombre fractionnaire se réduit tropsouvent à un nombre décimal avec une infi-nité de chiffres dans le meilleur des cas, sinonavec un nombre de chiffres limité à l’afficha-ge de la calculatrice sans qu’un sens puisseêtre donné à cette écriture. Que dire desnombres irrationnels ? Nous voyons plusieursraisons à ce phénomène.

Le programme de mathématiques

Bien que le contenu du programme soitriche dans la rencontre des nombres, unmanque flagrant existe dans leur conception.A part la classe de sixième, les notionsd’approximation et d’encadrement ne sontpas évoquées, alors qu’elles sont fondamen-tales dès que l’on manipule des nombres, et

ultérieurement en analyse. Il est urgent queces notions fassent leur apparition de façonexplicite et soient constamment travaillées toutau long du collège. Les professeurs de mathé-matiques le savent bien, puisqu’ils sont nom-breux à travailler sur les valeurs approchées33,mais plus rares à travailler les encadre-ments 34. Un autre problème réside bien sûrdans l’utilisation des calculatrices qui privi-légie le nombre décimal comme réponse à uncalcul numérique. Nous ne pensons pas quel’utilisation d’un logiciel de calcul formel (oud’une calculatrice très perfectionnée) puisseaméliorer la compréhension du statut desnombres à ce niveau.

En sciences physiquesau collège et après

Les problèmes d’approximation numé-rique évoqués ci-dessus sont particulièrementsensibles dans cette discipline . Nous pou-vons évoquer deux aspects de l’appropriationde la notion de nombre dans cette discipline :un aspect algébrique et un aspect expéri-mental.

Un problème difficile se pose avec la signi-fication du symbole « = » dans en mathéma-tiques et en sciences physiques. En sciencesphysiques, du moins à ce niveau, il semble-rait que les collègues utilisent ce signe alorsque sa signification serait plutôt « …est àpeu près égal à… aux incertitudes de mesu-

33 cette absence flagrante pose même des problèmes au bre-vet des collèges : De nombreux auteurs de sujet demandentune valeur approchée d’un nombre arrondie à une précisiondonnée, mais le programme ne précise pas quel sens don-ner à cette notion. Bien que les professeurs soient généra-lement d’accord, l’absence de cadre précis pèse lourdementsur les réponses acceptables à des questions de ce genre.34 le lecteur attentif aura remarqué que les activités propo-sées intègrent la notion d’encadrement…


101


re près. ». On est justement très loin de l’éga-lité mathématique ! Et l’expérience prouve queles élèves font un amalgame qui fait que cer-tains peuvent écrire, lors de l’utilisation duthéorème de Pythagore réciproque : « commeles deux nombres sont égaux à 0,01 près, letriangle est rectangle… ». Il existe un impli-cite fort lors des calculs en Sciences Phy-siques qui pousse à donner systématique-ment les résultats sous forme décimale, mêmesi on obtient un résultat sous forme frac-tionnaire ou autre, car l’écriture décimale estbien plus parlante que les autres. L’incerti-tude du résultat lié aux incertitudes de mesuresest souvent oublié (par les élèves). Les élèvespeuvent donc avoir vu écrit au tableau :

Cette pratique pose un sérieux problème aule professeur de mathématiques !

Les Sciences Physiques et leur côté expé-rimental sont un domaine privilégié pourmesurer diverses grandeurs en pratique. Lamanipulation de volumes avec des éprou-vettes graduées est une expérience formatri-ce pour les élèves. Non seulement ils peu-vent prendre conscience d’un ordre de grandeurdes unités de volumes utilisées, mais ils sontamenés à lire des graduations en gardant unesprit critique par rapport à leurs résultats.La mesure des grandeurs électriques (inten-sité, tension) avait également le côté forma-teur de la lecture de l’indication d’une aiguillesur une graduation, avec une échelle à choi-sir de façon judicieuse. L’incertitude de lalecture, et donc l’approximation numérique liéeau côté expérimental était présente. L’avè-nement des multimètres à lecture numérique

Ω=Ω= 33,134

R

avec choix automatique de l’échelle a faitperdre tout cet aspect hautement formateurdes expériences que faisaient les élèves 35. Lavaleur décimale automatiquement affichéepar ces appareils contribue à renforcer ladomination du nombre décimal. Elle est luecomme un nombre exact, et on peut faire uneanalogie avec la lecture de l’affichage de cal-culatrice et l’interprétation qu’en font lesélèves.

Dans le monde actuel

La dictature du nombre décimal est enco-re renforcée dans le monde dans lequel nousvivons. Les appareils à lecture analogique, parexemple ceux qui donnent le résultat d’unemesure à l’aide d’une aiguille ont presquedisparu au profit des appareils à affichage numé-rique qui donnent ce résultat sous forme d’unnombre décimal. Et on a une tendance natu-relle à considérer la valeur décimale lue surun afficheur comme étant une valeur exacteet indiscutable !

L’exemple le plus marquant, et qui a pourconséquence une appropriation plus difficilede la notion des heures et minutes, est leremplacement des montres à aiguilles pardes montres à lecture numérique. La divi-sion d’une demi journée en douze parties,ainsi que la division d’une heure en 60 minutesqui sont « palpables » sur les montres aaiguilles, ne sont pas du tout perçues sur lesmontres numériques. La notion de fractiond’heure visualisée sur le cercle est omnipré-sente. La lecture approximative des minutessur une graduation circulaire est égalementtrès formatrice 36.

35 certains collègues de Sciences Physiques perçoivent cephénomène. Ainsi, dans notre établissement, ils ont fait le choixde conserver et de faire utiliser les anciens multimètres à aiguillepar les élèves !

36 voir également la lecture des grandeurs électriques parun contrôleur analogique dans le paragraphe consacré auxSciences Physiques.


102


Les autres appareils usuels (balance durayon fruit et légumes, pèse personne, comp-teur de vitesse, …) ont vu progressivement rem-placer la lecture d’une graduation par l’affi-chage d’un nombre. Certes, on peut rétorquerque la précision s’en trouve augmentée etque le confort de lecture est considérable-ment accru. Mais a-t-on vraiment gagnéquelque chose ?

— En ce qui concerne la balance des fruitset légumes, le progrès semble effectif, surtouten ce qui concerne la rapidité de l’obtentiondu prix des denrées que l’on achète.

— la notion de l’ordre de grandeur est parcontre complètement occulté. Le consomma-teur dira qu’il a acheté 718 grammes de vian-de car c’est la valeur affichée par la balance,mais perd de vue l’ordre de grandeur qui estde 700 grammes. Cette perception des gran-deurs est évidente pour les « anciennes »générations, mais l’est-elle encore pour les« nouvelles » générations ?

— la notion de poids est perdue : équilibrerune balance avec des masses en étain permetune bien meilleure perception de cette notionet de l’ordre de grandeur des quantités enjeu que la lecture sur une graduation, fut-elleanalogique.

— en ce qui concerne le pèse personnes,rend–t-on service à l’usager en lui indiquantson poids à 100 ou 200g près ? !

On peut également citer la mesure des lon-gueurs avec un laser. La précision apportéepar cet appareil ne peut évidemment pas êtrecomparée à celle que l’on obtient avec undécamètre, un mètre et des décimètres. Maisl’appropriation des ordres de grandeur des lon-gueurs par la mesure sur le terrain avec des

outils traditionnels est bien plus efficace quepar la lecture donnée par un appareil.

Conclusion

La mesure des grandeurs géométriques(essentiellement longueurs et aires) est uneactivité incontournable pour travailler lanotion de nombre au collège. Elle peut servirde support pour comprendre l’existence dedifférentes catégories de nombres (décimaux,fractions, irrationnels) comme nous l’avons mon-tré dans les exercices proposés dans cet article.La mesure des longueurs, ou de façon plus géné-rale la mesure d’une grandeur physique àl’aide d’une graduation est un exercice incon-tournable pour s’approprier la signification desnombres décimaux. Cependant, ce supportconcret ne suffit pas à une maîtrise de l’uti-lisation de ces nombres : il faut également tra-vailler dans les registres algébriques et de lalangue naturelle.

Les difficultés que nous rencontronsavec les élèves sont aussi liées au contex-te historique dans lequel nous évoluons.C’est bien une attitude de l’esprit que leshommes perdent peu à peu dans la sociétéactuelle : la lecture et l’interpolation d’unegraduation. Cette gymnastique de l’espritqui aide à la structuration des nombresdécimaux est remplacée par une lecturepassive d’un nombre décimal. De plus, cenombre lu sur un afficheur est interprétécomme étant la valeur exacte du résultat,alors qu’il n’en est rien. La notion d’incer-titude de la mesure, et donc l’idée de valeurapprochée du nombre, est obligatoirementperçue dans la lecture d’une valeur par uneaiguille sur une graduation. Au niveau dela formation de l’esprit, les appareils numé-riques nous semblent plus une régressionqu’un progrès.


103


Nous conclurons par une remarque debon sens qui mériterait d’être plus au goût dujour : ce n’est qu’avec une formation solide de

l’esprit que l’on exploite judicieusement etque l’on profite véritablement des progrès dela technologie !

BIBLIOGRAPHIE

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