Etude d'une fonction avec exponentielle

On considère la fonction numérique f définie sur � par :

f � x �=x2e

x�1�x

2

2.

Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche unecalculatrice dans un repère orthonormal.

Conjectures

A l'observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant :1. Le sens de variation de f sur [-3; 2] ?

f semble être croissante sur [-3; 2].

2. La position de la courbe par rapport à l'axe (x'x) ?Sur [-3; 0] la courbe semble être en dessous de l'axe (x'x).

Sur [0; 2] la courbe semble être au dessus de l'axe (x'x).

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

Partie A- Contrôle de la première conjecture.

1. Calculer f '(x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonctiondéfinie sur � par :

g�x �=�x�2�ex�1�1

f ' �x �=2xex�1�x

2e

x�1� x=x �2ex�1� xe

x�1�1�=x ��x�2�ex�1�1�= xg�x � .

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2. Etude du signe de g(x) pour x réela. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +�, puis quand x tend vers -�.

Lorsque x tend vers +�, x+2 tend vers +� et ex-1 tend vers +�, donc g(x) tend vers +�.

On a g�x �=xex�1�2e

x�1�1 . Lorsque x tend vers -�, ex-1 tend vers 0.

Pour trouver la limite de xex-1, posons X = -x.

limx���

X=�� et xex�1

=�Xe�X�1

=�Xe�X

e�1=�e

�1 X

eX , donc

limx���

xex�1

= limX ���

�e�1 X

eX=0 car lim

X���

eX

X=�� et donc lim

X���

X

eX=0 .

Finalement, lorsque x tend vers -�, ex-1 et xex-1 tendent vers 0, donc g(x) tend vers -1.

b. Calculer g'(x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.

g' �x �=ex�1��x�2 �ex�1

=�x�3�ex�1 . Comme ex-1 est positif, g' (x) a le même signe que

x + 3. Ainsi g' (x) est négatif pour x < -3 et positif pour x > -3.

c. En déduire les variations de la fonction g, puis dresser son tableau de variation.Comme g(-3) = –e–4 – 1, on déduit de ce qui précède la tableau de variation suivant :

d. Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans �. On note � cette solution.Montrer que 0,20 < � < 0,21.

Sur ]-�; -3] g(x) décroit de -1 à –e–4 – 1, et reste donc toujours négative; il n'y a pas desolutions de g(x) = 0 sur cet intervalle.

Sur [-3; +�[, g(x) est continue, croissante et change de signe, il existe donc un unique réel �solution de g(x) = 0.

Comme g(0,20) < 0 et g(0,21) > 0, on a bien 0,20 < � < 0,21.

e. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

L'étude des variations de g montre que si x < �, alors g(x) < 0, et si x > �, alors g(x) > 0.

3. Sens de variation de la fonction f sur �.a. Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f '(x).

Comme f '(x) = xg(x), on peut faire le tableau de signes suivant :

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x

g'(x)

g(x)

-∞ +∞-3

0

_ +

-1 +∞

�e�4�1

x

x

g(x)

f '(x)

0-∞ +∞�

0

0

0 0

_ + +

_

_

_

++

+

b. En déduire le sens de variation de la fonction f.Le signe de f '(x) nous permet de dire que f est croissante sur ]- �; 0[, décroissante sur ]0; �[et croissante sur ]�; +�[.

c. Que pensez-vous de votre première conjecture ?La première conjecture n'est pas validée. La figure ne permettait pas de distinguer ladécroissance de f sur ]0; �[.

Partie B- Contrôle de la deuxième conjecture

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal �O ; i ,j � .

On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x).

1. Montrer que f ���=��

3

2���2�.

Comme g(�) = 0, ���2�e��1

�1=0 , donc e��1

=1

��2. On en déduit que :

f ���=�2e��1�

�2

2=

�2

��2��2

2=

2�2��2 ���2 �

2 ���2�=

��3

2 ���2�.

2. On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0; 1] par :

h �x �=�x

3

2 �x�2 �

a. Calculer h'(x) pour x [0; 1], puis déterminer le sens de variation de h sur [0; 1].

h ' � x �=�3x

2×2 �x�2��2x

3

4�x�2�2=

x2��x�3�

�x�2�2. h'(x) a donc le signe de –x – 3 et est négatif

sur [0; 1]. h est décroissante sur [0; 1].

b. En déduire un encadrement de f (�).Comme 0,20 < � < 0,21 et comme h est décroissante sur [0; 1], on a

h(0,21) < h(�) < h(0,20), donc -0,0021 < h(�) < -0,0018.

3. a. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).

Ces abscisses sont solutions de l'équation f (x) = 0, soit x2e

x�1�x

2

2=0 . Ceci est équivalent

à x2 �ex�1�

1

2�=0 . Donc, soit x = 0, soit e

x�1=

1

2.

ex�1

=1

2 � e

x=

e

2. Cette équation a une unique solution � située entre 0,30 et 0,31.

L'équation f (x) = 0 a donc deux solutions qui sont 0 et �.

b. Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.

f (x) > 0 � x2 �ex�1�

1

2� 0 � e

x�1�1

2 0 � e

x e

2 � x > �.

Ainsi la courbe est en dessous de l'axe des abscisses pour x < � et au dessus de l'axe desabscisses pour x > �.

c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?La deuxième conjecture n'est pas validée. La figure ne laisse pas apparaître que la courbe estsous l'axe des abscisses sur ]0; �[.

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Partie C- Tracé de la courbe.

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer le partie � de C correspondant à

l'intervalle [-0,2; 0,4], dans le repère orthogonal �O ; i , j � , avec les unités suivantes :

Sur l'axe (y'y), 1cm représente 0,05.Sur l'axe (x'x), 1cm représente 0,001.

1. Recopier le tableau suivant et compléter celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeursapprochées sous la forme n.10-4 (n entier relatif).

x -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

f(x) -0,0080 -0,0041 -0,0017 -0,0004 0,0000 -0,0003 -0,0009 -0,0016 -0,0020 -0,0017 -0,0004 0,0027 0,0078

2. Tracer alors � dans le repère choisi.On obtient la courbe suivante :

Bac S Inde, avril 2003

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