Etude de deux systèmes chaotiques

Bérut AntoineLopes Cardozo David

Pendule Double et Circuit de Chua

Plan

I. Pendule doubleA) Dispositif expérimental

1) Problèmes mécaniques

2) Problèmes d’acquisition

B) Exploitation des données

II. Circuit de ChuaA) Trois circuits de Chua

B) Résultats escomptés

Montage

Longueur des barres :• supérieure : 20 cm• inférieure 25 cm

Butées des potentiomètres : 10 tours maximum

Principe de l’acquisition

Les potentiomètres varient entre :• 0 et 10 kΩ pour l’angle supérieur • 0 et 20 kΩ pour l’angle inférieur

Pont équilibré dans la position de repos du pendule.

Choix de la position initiale

Vidéo d’un lancé

Premières acquisitions

Tentative de traitement

Dérivée brute Avec 70 lissages numériques

Amélioration du circuit d’acquisition

Filtre passe-bas à 45HzAmplification gain 10

Résultats

Une des trois séries d’acquisitions (en haut l’angle inférieur, en bas l’angle supérieur)

Traitement numérique

Portrait de phase avec un filtre numérique à 2Hz

Décalage entre modèle et courbe expérimentale

Portraits de phase (angle 1)

Portraits de phase (angle 2)

Doublement de période (portrait de phase)

Doublement de période (sur les courbes)Angle du portrait de phase précédent

Les trois autres angles

Circuit de Chua non autonome

C1 = 10 nF, C2 = 100 nF, R = 2kΩ réglable, RN1 = 22 kΩ, RN2 = 22 kΩ, RN3 = 3,3 kΩ,RN4 = 220Ω, RN5 = 220Ω, RN1 = 2,2 kΩ,Deux AO AD712 alimentés à ± 12 V.

Source : article « A new non-autonomous version of Chua’s circuit » par Recai Kiliç,

Ö. Galip Saraçoglu et Fatma Yildirimb (Journal of the Franklin Institute 2006).

Circuit de Chua simple

Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits and systems, vol 35, n° 12, décembre 1988).

Circuit de Chua autonome

Source : article “ A simple circuit to demonstrate bifurcation and chaos” par Hobson et Landbury.

Résistance négative non linéaire

Schéma d’une résistance négative d’impédance Z (a) et sa caractéristique attendue (b).Source : article « The Double Hook » par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits

and systems, vol 35, n° 12, décembre 1988).

Résultats potentiellement atteignables

A period-4 attractor The single scroll attractor

A period-3 attractor The double scroll attractor

Conclusions

Caractéristiques du chaos mises en évidence :• Sensibilité aux conditions initiales• Doublement de période

Données théoriques, non obtenues expérimentalement :

• Caractère déterministe du chaos• Attracteur étrange