7/26/2019 Espaces Norms - Distance D_un Vecteur Une Partie

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD dit le 14 juin 2011 Enoncs 1

Distance dun vecteur une partie

Exercice 1 [ 03272 ] [correction]On norme lespace(N,R) des suites bornes par la norme infini note .

.

Dterminer la distance de la suite e constante gale 1 au sous-espace vectoriel C0des suites relles convergeant vers 0.

Exercice 2 [ 03273 ] [correction]On norme lespace(N,R) des suites bornes par la norme infini note .

.

Dterminer la distance de la suite u = ((1)n)nN au sous-espace vectorielCdessuites relles convergentes.

Exercice 3 [ 00470 ] [correction]On norme lespace(N,R) des suites bornes par la norme infini note .

.

Pour x (N,R), on note xla suite de terme gnral

x(n) = x(n+ 1)x(n)

puis on formeF ={x/x (N,R)}.Dterminer la distance de la suite e constante gale 1 au sous-espace vectoriel F.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD dit le 14 juin 2011 Corrections 2

Corrections

Exercice 1 : [nonc]Puisque0 C0, on a dj

d(e, C0) d(e, 0) = e= 1

Soitx C0. On a|xn1| xe

et donc quandn +1 xe

On en dduitd(e, C0) 1

et donc d(e, C0) = 1.

Exercice 2 : [nonc]Puisque0 C0, on a dj

d(u, C) d(u, 0) = u

= 1

Soitx Cet Rsa limite. Pour n = 2ppair

|x2pu2p| xu

donne|x2p1| xu puis la limite

|1| xu

De mme avec n = 2p+ 1 impair on obtient

|+ 1| xu

On en duite

|1|=

1 +

2 +

1

2

1

2(|1 +|+|1|) xu

On en dduitd(u, C) 1

et donc d(u, C) = 1.

Exercice 3 : [nonc]Puisque0 F,d(e, F) d(e, 0) = 1.En raisonnant par labsurde montrons d(e, F) = 1en supposant d(e, F)< 1.Il existe alors une suitex B(Rn) vrifiantxe

= avec