ESL 2015 - Ecoulements GV

CHAPITRE V : Etude prliminaire des courants graduellement varis (GV)

Ecoulements surface libre, 2015

Yannick MELINGE

Universit de Cergy Pontoise L2MGC EA 4114, France

V.2.3. Signe de dE/dh dans un canal gomtriquement uniforme

hc

h

E

dE/dh = 0 : Rgime critique

dE/dh > 0 : Rgime fluvial

dE/dh < 0 : Rgime torrentiel

Q = Qi

V.2.4. Signe de dE/dL le long dun courant uniforme ou graduellement vari

Ltude raliste de la variation dnergie est ralise en introduisant les termes de dissipation. Tant que la surface libre ne subit pas de rupture (continuit) le long du courant,

lapplication du thorme de Bernoulli reste possible entre deux sections du courant.

Soit une section dun courant dans laquelle E est lnergie spcifique, I la pente du canal et J le terme global de perte de charge.

Entre deux sections, dindice 1 et 2, spares par une distance DL suffisamment petite pour que lon puisse admettre quentre 1 et 2, I et J sont constantes.

A la surface libre, on peut crire : E1 + z1 = E2 + z2 + J.DL

Radier

Surface libre ???

L

z

S1

z1

h1

V12/(2g)

S2

z2

h2

V22/(2g)

J.DL

Ligne dnergie

V.2.4. Signe de dE/dL le long dun courant uniforme ou graduellement vari

On pose E1 E2 = DE et z1 z2 = I.DL Et le bilan peut encore scrire : DE = (I J). DL Et, la limite (Dl 0) on peut crire : dE/dL = I J

J.DL est la hauteur reprsentative de lnergie perdue par unit de poids de liquide sous leffet des actions visqueuses, de la turbulence, I.DL est la hauteur reprsentative du travail fourni par la pesanteur ce mme fluide.

La variation dnergie spcifique apparat donc comme la diffrence entre le travail fourni par la pesanteur et la dissipation dnergie dans le liquide.

Le travail des pertes est toujours > 0 et irrcuprable,

Le travail li la pesanteur diffre selon le signe de I.

Radier

Surface libre ???

L

z

S1

z1

h1

V12/(2g)

S2

z2

h2

V22/(2g)

J.DL

Ligne dnergie

Pour rsumer :

I > 0 : canal descendant I = 0 : canal horizontal I < 0 : canal ascendant

Mvt Uniforme

h = hn

I = J

E1 = E2 et dE/dL = 0

Les pertes sont compenses

par la pesanteur

Nexiste pas hn Et J est ncessairement > 0

(E)

8

Impossible

Et J est ncessairement > 0

Mvt GV

SL

S1 S2

L dn.

1er CAS : h > hn ; J < I

E2 > E1 ; dE/dL > 0

Lnergie spcifique saccrot de la diffrence :

(Pesanteur P2Charge)

h > hn (!!!)

IMPOSSIBLE

(E)

h > hn ; J < I

(E)

2er CAS : h < hn ; J > I

E2 < E1 ; dE/dL < 0

Lnergie spcifique diminue de la diffrence :

(-Pesanteur + P2Charge)

h < hn ; J > I

E2 < E1 ; dE/dL < 0

Lnergie spcifique diminue du terme de P2Charge

h < hn ; J > I

E2 < E1 ; dE/dL < 0

Lnergie spcifique diminue pour compenser la fois :

Pesanteur et P2Charge

V.2.5. Variation de la profondeur le long du courant (I > 0) Signe de dh/dL

Dans les courants GV, on vient dtablir : dE/dL = I J. Par ailleurs, dE/dL = ( E/ h).dh/dL (avec h = f(L))

La connaissance du comportement de dE/dL associe ltude de la courbe E = f(h) permet dtablir les conclusions suivantes pour I > 0 :

Rgion 1 : h > hc

h > hn, le mouvement est toujours fluvial (Fr < 1) et dh/dL > 0.

Le long du courant, h est toujours croissante : COURANT RETARDE

h

E

Q = Qi




Rgion 1 : h > hc



Rgion 2 :

- soit hn > h > hc et le mouvement est fluvial (Fr < 1)

h

E

Q = Qi

hn

hc

Radier




Rgion 1 : h > hc



Rgion 2 :


- soit hc > h > hn et le mouvement est torrentiel (Fr > 1)

dh/dL < 0. Le long du courant, h est toujours dcroissante : COURANT ACCELERE

h

E

Q = Qi

hn

hc

Radier

hc

hn

Radier




Rgion 1 : h > hc



Rgion 2 :


- soit hc > h > hn et le mouvement est torrentiel (Fr > 1)

dh/dL < 0. Le long du courant, h est toujours dcroissante : COURANT ACCELERE

Rgion 3 :

h < hc

h < hn, le mouvement est toujours torrentiel (Fr > 1) et dh/dL > 0.


h

E

Q = Qi

hn

hc

Radier

hc

hn

Radier

CHAPITRE VI : Ecoulements graduellement varis (GV) en canaux uniformes

Ecoulements surface libre, 2015

Yannick MELINGE

Universit de Cergy Pontoise L2MGC EA 4114, France

VI.1 Gnralits

Le mouvement GV est obtenu lorsque dans un coulement permanent les caractristiques gomtriques

du canal ou les paramtres hydrauliques varient graduellement le long du courant et sans discontinuit notable.

Pour une section donne, en prsence dune condition de dbit, le remous (la SL) est reprsent par la diffrence entre la profondeur du courant, h, et la profondeur normale, hn, (reprsentative du rgime uniforme).

Dans le cas dun canal gomtriquement uniforme et de grande largeur, le mouvement est uniforme et la SL occupe le niveau normal. La prsence dune singularit rompt luniformit de lcoulement et produit aux alentours un caractre BV (fonction du type de singularit). Au-del de cette brusque variation, il stablit sur une certaine longueur du canal le rgime GV.

VI.1 Gnralits

Le mouvement GV est obtenu lorsque dans un coulement permanent les caractristiques gomtriques

du canal ou les paramtres hydrauliques varient graduellement le long du courant et sans discontinuit notable.

Pour une section donne, en prsence dune condition de dbit, le remous (la SL) est reprsent par la diffrence entre la profondeur du courant, h, et la profondeur normale, hn, (reprsentative du rgime uniforme).

Dans le cas dun canal gomtriquement uniforme et de grande largeur, le mouvement est uniforme et la SL occupe le niveau normal. La prsence dune singularit rompt luniformit de lcoulement et produit aux alentours un caractre BV (fonction du type de singularit). Au-del de cette brusque variation, il stablit sur une certaine longueur du canal le rgime GV.

La modlisation de ce type dcoulement peut tre ralise en considrant les hypothses simplificatrices suivantes :

- Dans le canal, le courant est rectiligne. Seules la composante longitudinale du vecteur vitesse est considre.

Les composantes transversales sont par hypothse ngligeables.

- Les formules de type Chzy, valables en toute rigueur quen rgime uniforme, seront appliques au rgime GV. En effet, le calcul des pertes de charge liniques sera effectu comme en rgime uniforme.

- La pente, I, du radier reste suffisamment faible pour admettre que cos(q) = 1.

VI.2 Equation diffrentielle du mouvement GV permanent

Considrons un tube de courant de longueur dL dont les molcules ont la vitesse V.

Le dbit volumique est tel que dQ = V.dS,

J est la ligne dnergie (linaire), P/(rg) est la pression qui sapplique sur la section dS du tube de courant.

Radier

SL

L dn.

z

Tube de courant de surface : dS

dL


Considrons un tube de courant de longueur dL dont les molcules ont la vitesse V.

Le dbit volumique est tel que dQ = V.dS,

J est la ligne dnergie (linaire), P/(rg) est la pression qui sapplique sur la section dS du tube de courant.

dZ + dP/rg + dV2/2g + J.dL = 0

Soit encore : dQ [dZ + dP/rg + dV2/2g + J.dL] = 0

Cette quation est valable pour tous les tubes de courant formant la portion dcoulement de longueur dL. Si on tend ce bilan la section complte du canal (qui introduit, par ailleurs, un concept de moyenne)),

on obtient :

1/Q d(Z + P/rg).VdS + 1/Q V.(dV2/2.g).dS + J.dL/Q V.dS = 0 (avec Q = V.dS = V.S

Radier

SL

L dn.

z

Tube de courant de surface : dS

dL

s s s s


Dans le cas gnral, la distribution de la vitesse nest pas homogne et la distribution de pression en subit les effets. On introduit alors un coefficient dnergie cintique, a, et un coefficient de pression, b, comme termes de corrections. Mais dans la plupart des cas, on peut admettre que a = b = 1 :



aV2/2g = V2/2g

et b(P/rg) = b.h = h

Dans le cas gnral, le bilan devient : -I.dL + d(b.h) + d(a.V2/2g) + J.dL = 0



aV2/2g = V2/2g



Dans lintervalle dL, a et b sont constants et dQ = 0. Et par consquent : b.dh a(Q2/S3).dS/g (I J).dL =0.

Dans le cas gnral o le lit voit sa forme varier le long du courant : dS = ( S/ h).dh + ( S/ L).dL.

On pose B = ( S/ h)

Et finalement, lquation diffrentielle gnrale rgissant les proprits de lcoulement en rgime GV permanent et Q = Cte, scrit :

3

2

3

2

.

.

Sg

BQ

L

S

Sg

QJI

dl

dh

ab

a



aV2/2g = V2/2g



Dans lintervalle dL, a et b sont constants et dQ = 0. Et par consquent : b.dh a(Q2/S3).dS/g (I J).dL =0.

Dans le cas gnral o le lit voit sa forme varier le long du courant : dS = ( S/ h).dh + ( S/ L).dL.

On pose B = ( S/ h)

Et finalement, lquation diffrentielle gnrale rgissant les proprits de lcoulement en rgime GV permanent et Q = Cte, scrit :

Dans le cas dune installation gomtriquement uniforme, lexpression peut tre simplifie :

3

2

3

2

.

.

Sg

BQ

L

S

Sg

QJI

dl

dh

ab

a

3

2

3

2

.1

. Sg

BQ

JI

Sg

BQ

JI

dl

dh

ab

VI.3 Etude des formes et des proprits gnrales des courbes intgrales

VI.3.1 Conditions aux limites

Ce point est crucial pour pouvoir prciser comment les courbes intgrales (qui reprsentes la SL) vont se

raccorder aux deux lignes particulires dfinies jusqu prsent :

- Le niveau normal : Nn,

- Le niveau critique : Nc.

Attention : Les courbes de remous relles ne sont reprsentes que par une portion des courbes intgrales.

Chaque branche de ces courbes traduit un cas de courbes de remous.

VI.3 Etude des formes et des proprits gnrales des courbes intgrales

VI.3.1 Conditions aux limites

Ce point est crucial pour pouvoir prciser comment les courbes intgrales (qui reprsentes le SL) vont se

raccorder aux deux lignes particulires dfinies jusqu prsent :

- Le niveau normal : Nn,

- Le niveau critique : Nc.

Attention : Les courbes de remous relles ne sont reprsentes que par une portion des courbes intgrales.

Chaque branche de ces courbes traduit un cas de courbes de remous.

Raccordement avec le niveau normal : Nn

Dans ce cas, la condition I = J annule dh/dL et dL/dh

Thoriquement, toutes les branches se raccordent asymptotiquement au niveau normal. De faon pratique,

on accepte que la hauteur normale pour la condition :

(h-hn)/hn voisin de 2%

Suivant le type de Mvt (Classe, rgion), on distingue quatre possibilits de raccordement avec le niveau normal :

8

Radier

Nn

Raccordement avec le niveau critique : Nc

Dans ce cas, la condition implique que dh/dL et dL/dh = 0

Les courbes intgrales rencontrent le niveau critique suivant une tangente verticale.

8 1

. 3

2

Sg

BQ

Raccordement avec le niveau critique : Nc

Dans ce cas, la condition implique que dh/dL et dL/dh = 0

Les courbes intgrales rencontrent le niveau critique suivant une tangente verticale.

ATTENTION : Ces portions de SL nont pas de significations physiques puisquune des hypothses de dpart nest plus respecte ce niveau. En effet, compte tenu du caractre instable du rgime critique, les composantes transversales du vecteur vitesse ne sont plus forcment ngligeables.

Note : le raisonnement prcdent nest pas exact pour la condition : h = hn = hc. I = J et

Dans ce cas, le problme est diffrent car les branches considres se confondent en partie avec la ligne

uniforme critique.

Suivant le type de Mvt (Classe, rgion), on distingue quatre possibilits de raccordement avec le niveau normal :

8

Radier

Nc

1. 3

2

Sg

BQ

1. 3

2

Sg

BQ

Raccordement avec le radier

De faon pratique, le SL est arrte au dessus du radier. Cependant, au moyen dordre de grandeur, on peut dterminer la pente de dh/dL quand h 0.

Pour effectuer ce calcul de tendance, il faut tenir compte de la forme de la section du canal et de la valeur

de la pente. Mais dans tous les cas, pour la condition h = 0, dh/dL > 0.

Les courbes intgrales coupent thoriquement le radier du canal avec une pente non nulle.

Toutefois comme dans le cas du raccordement avec Nc, ces portions de courbes ne sont pas physiquement

acceptables car les composantes transversales du vecteur vitesse ne sont plus ngligeables.

8

Radier

VI.3.2 Canal horizontal I = 0

Dans le cas dun canal pente nulle, hn

La perte dnergie imputable au mouvement ne peut tre compense que par la pesanteur et le rgime uniforme nest jamais ralis.

On distingue seulement deux rgions dont la frontire est le niveau critique, Nc.

La rsolution de lquation diffrentielle du mouvement GV permet de mettre en vidence une courbe dallure parabolique comportant deux branches notes H2 et H3.

Ces deux branches coupent Nc suivant une tangente verticale. La rgion 1 a disparu puisque hn nexiste pas.

Schmatiquement, on observe :

8

Radier I = 0

Nc

Mvt Acclr Fr < 1

Courbe intgrale H2

VI.3.2 Canal horizontal I = 0

Dans le cas dun canal pente nulle, hn

La perte dnergie imputable au mouvement ne peut tre compense que par la pesanteur et le rgime uniforme nest jamais ralis.

On distingue seulement deux rgions dont la frontire est le niveau critique, Nc.

La rsolution de lquation diffrentielle du mouvement GV permet de mettre en vidence une courbe dallure parabolique comportant deux branches notes H2 et H3.

Ces deux branches coupent Nc suivant une tangente verticale. La rgion 1 a disparu puisque hn nexiste pas.

Schmatiquement, on observe :

8

Radier I = 0

Nc

Mvt Acclr Fr < 1

Mvt Retard Fr > 1

Courbe intgrale H2

Courbe intgrale H3

VI.3.3 Canal faible pente I < Ic

Dans le cas dun canal faible pente, hn > hc et on distingue trois rgions. Schmatiquement, on peut observer :

Radier I < Ic

Nc

Mvt Retard Fr < 1

Nn

Courbe intgrale F1



Radier I < Ic

Nc

Mvt Acclr Fr < 1

Courbe intgrale F2

Courbe intgrale F1

Mvt Retard Fr < 1

Nn



Radier I < Ic

Nc

Mvt Acclr Fr < 1

Mvt Retard Fr > 1

Courbe intgrale F2

Courbe intgrale F3

Courbe intgrale F1

Mvt Retard Fr < 1

Nn

VI.3.4 Canal forte pente I > Ic

Dans le cas dun canal forte pente, hn < hc et on distingue trois rgions. Schmatiquement, on peut observer :

Radier I > Ic

Nn

Mvt Acclr Fr > 1

Mvt Retard Fr > 1

Courbe intgrale T2

Courbe intgrale T3

Courbe intgrale T1

Mvt Retard Fr < 1

Nc

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