Chapitre 9 – LES ECOULEMENTS EN RIVIERES1

Introduction

9.1 Cadre physique de la modélisation des phénomènes

9.1.1 Les mécanismes

9.1.2 Les grandeurs concernées et les hypothèses simplificatrices

9.2 Modèles chronologiques de débits

9.2.1 Le modèle de Saint-Venant

9.2.2 Modèles simplifiés de l’écoulement en rivières

9.2.3 Utilisation et calage de modèles simplifiés

9.3 Méthodes de résolution numérique des équations de l’écoulement progressif

9.3.1 Onde cinématique

9.3.2 Méthode analytique de résolution de l’onde diffusante

9.3.3 Méthodes aux différences finies

9.3.4 Modèles pseudo-conceptuels

9.3.5 Modèles à déroulement continu

9.3.6 Dans le labyrinthe du routage

9.4 Modèles mathématiques de transport en rivière

9.4.1 Mécanismes de mélange et transport en rivière

9.4.2 Turbulence et diffusion turbulente

9.4.3 Dispersion longitudinale

9.5 Modélisation du régime thermique des rivières

9.5.1 Rayonnement solaire Rg

9.5.2 Rayonnement du plan d’eau RE

9.5.3 Rayonnement atmosphérique

9.5.4 Transfert de chaleur par évaporation LE

9.5.5 Transfert de chaleur sensible S

9.5.6 Modèle du comportement thermique d’un cours d’eau

9.6 Développement d’un modèle simple de transport

9.6.1 Le comportement de la température

9.6.2 Comportement de la demande biologique en oxygène

9.6.3 Comportement de l’oxygène dissous

9.6.4 Le système température, demande biologique en oxygène, oxygène dissous

9.6.5 Le modèle de Streeter et Phelps

9.6.6 Généralisation – Exemple du modèle Seine

Bibliographie

1 Malheureusement, et nous l’espérons provisoirement, ce chapitre est présenté sans la plupart

de ses figures et tableaux.

La part importante des ressources en eau prélevées directement dans le réseau

hydrographique explique l’intérêt constant porté à la mesure des débits en rivière et à

l’exploitation de ces mesures. Depuis que le développement urbain et industriel a provoqué

des pollutions inquiétantes des cours d’eau, le contrôle et l’analyse de la qualité sont venus

s’ajouter à ceux de la quantité, afin de tenter de préserver à la fois la qualité des eaux

distribuées et la survie du milieu aquatique.

9.1 Cadre physique de la modélisation des phénomènes liés à l’écoulement en rivières

L’extrême diversité des écoulements (du torrent de montagne au delta d’un grand

fleuve), la complexité des pollutions possibles, la variété quasi infinie des biocénoses qui s’y

développent rendent impossible l’écriture d’un modèle général d’évolution tant quantitatif que

qualitatif des écoulements en rivières. Devant le foisonnement de modèles et de techniques, il

est indispensable de préciser l’objet du présent chapitre qui est de décrire l’écoulement en

rivières avec sa spécificité physique, mais dans l’optique habituelle de l’hydrologie

opérationnelle, c’est-à-dire avec des outils adaptés à une faible densité de mesures. Les

modèles détaillés de mécanismes, nécessitant des suivis de mesure non habituels ne

constituent pas la base de l’exposé. Les modèles proposés résultent d’une simplification d’une

réalité complexe, pouvant aller jusqu’à la conceptualisation (simple représentation

phénoménologique), afin d’être adaptés aux mesures habituellement disponibles. De même,

les modèles à caractère plus général que celui de notre cadre physique, par exemple les

modèles stochastiques seront cités en tant qu’outils d’utilisation mais non développés

(chapitre 14).

9.1.1 Les mécanismes

Les mécanismes mis en jeu dans les écoulements en rivières sont d’origines

mécanique, thermique, chimique et biologique. Ces divers mécanismes sont en relation entre

eux et avec le milieu extérieur, comme l’indique le diagramme relationnel de la figure 9.1 qui

distingue en traits pleins des relations fortes ou déterminantes et en tirets des relations faibles.

Parmi les relations fortes : les relations notées 1 et 2, représentent l’action directe du

champ de vitesse sur les transferts et les diffusions de la chaleur et des grandeurs de qualité, et

la relation 3 exprime l’effet déterminant de la température sur les cinétiques chimique et

biologique.

Parmi les relations faibles : la relation 4 représente les effets des conditions

biologiques sur la structure de l’écoulement, en particulier les conditions aux limites, par

exemple la croissance des algues qui modifie les frottements, et la relation 5 tient compte des

effets chimiques ou biologiques sur la répartition thermique. Les apports de chaleur dus aux

réactions ou à la photosynthèse sont extrêmement faibles. Par contre, l’effet sur l’absorption

du rayonnement solaire des modifications de turbidité peut être notable.

Dans la plupart des modèles en rivières, les relations faibles sont négligées; on peut les

prendre en compte comme des paramètres extérieurs constants ou à variation saisonnière.

Dans ces conditions il est possible d'établir une hiérarchie des modèles ; modèle mécanique

d'abord, modèle thermique ensuite, modèle chimique ou écologique enfin. Cette hiérarchie

définit l'ordre dans lequel le système doit être analysé. La séparation en modèles disjoints ne

se produit que si les phénomènes mécanique et thermique sont permanents uniformes, cas

théorique mais pratiquement rare.

9.1.2 Les grandeurs concernées et les hypothèses simplificatrices

L'écoulement d'un fluide chargé peut être représenté par les champs tridimensionnels

d'un certain nombre de grandeurs scalaires ou vectorielles : vitesse et cote de l'eau pour

l'aspect mécanique, température pour l'aspect thermique, concentrations ou indicateurs pour

les aspects chimiques et biologiques.

La vitesse V a un rôle privilégié de grandeur convectante par rapport aux autres qui

apparaissent comme des grandeurs convectées. La structure du champ des vitesses est donc un

élément essentiel de la modélisation. La verticale joue un rôle particulier du fait de la

pesanteur et de la faible dimension verticale des écoulements par rapport aux dimensions

transversales.

Sur une verticale, du fait des conditions aux limites au fond et à la surface, les vitesses

moyennes restent sensiblement parallèles entre elles. Les diverses couches du profil des

vitesses peuvent être mélangées sous l'effet de la turbulence créée par les cisaillements liés au

gradient de tension dont les origines, schématisées sur la figure 9.2, sont les frottements

contrariés par la stratification thermique.

Ces mécanismes de turbulence conduisent soit à un profil de vitesses bien mélangé,

soit à un profil de vitesses stratifié (figure 9.3). Une stratification des vitesses entraîne celle

des autres variables, température, oxygène dissous, etc.. En rivière, la transition entre les

régimes d'écoulement s'effectue pour des vitesses de l'ordre de 10 cm/s. Si v < 10 cm/s, ce qui

est le cas des estuaires, et des rivières comportant des biefs en étiage, le profil est stratifié et

se mélange sous l'action du vent contrariée par la stratification thermique (Dakes et Halerman,

1966; Boericke et Hogan, 1977; Caussade et al., 1978). L'intégration de la vitesse sur une

verticale définit un vecteur vitesse débitante par unité de longueur : 𝑞 , bidimensionnel.

Orthogonalement à ce champ, on définit la section d'écoulement et le débit :

𝑄 = ∫ 𝑞𝑆

𝑛 𝑑𝑠 (9.1)

Dans une section, les pressions sont hydrostatiques donc la cote de la surface libre est

horizontale (sauf sur certaines discontinuités aux frontières). Si les sections sont assez proches

d'un plan, on distinguera l'écoulement unidirectionnel et l'écoulement bidirectionnel (figure

9.1). Pour la plupart des rivières, on pourra adopter le schéma unidirectionnel, le schéma

bidirectionnel étant réservé pour les deltas et les grands estuaires.

Dans la plupart des écoulements en rivières, les valeurs de hauteurs d'eau dans une

même section sont de même ordre ainsi que les rugosités de fond. On dit que la section est

homogène et, pour la plupart des applications, le champ des vitesses dans la section peut être

considéré comme constant. On a alors un écoulement filaire représenté par le couple de

variables débit-cote : Q (x,t), z (x,t).

La complexité des écoulements hétérogènes qui nécessite une structure

tridimensionnelle est telle qu'ils sont en général représentés par des modèles schématiques. Il

peut s'agir d'une décomposition en écoulements homogènes parallèles (avec ou sans mélange),

d'une modélisation selon un écoulement homogène flanqué d'une zone d'eau morte ou d’une

zone modélisée comme un système de réservoirs. Le choix d’un modèle résulte d'une analyse

sommaire du champ réel des vitesses qui permet de tester la valeur du schéma retenu.

-

Il est important de remarquer que le caractère hétérogène joue un rôle beaucoup plus

important pour les variables chimiques et biologiques que pour les variables mécaniques. En

particulier, les zones d'eaux mortes dont le rôle est négligeable pour les écoulements peuvent

être essentielles pour les développements biologiques, en liaison avec les boues, les

températures, etc… De même, la réduction des vitesses près des parois, où se place une

importante activité chimique et biologique, peut expliquer certaines trainées des phénomènes

de pollution.

9.2 Modèles chronologiques de débits

Les modèles de débits sont les plus anciens et les plus nombreux, en rapport avec des

problèmes quantitatifs de ressource et de protection. Il en existe de toutes sortes : physiques,

empiriques, stochastiques. Cette prolifération résulte en partie d'habitudes, de disponibilités,

de moyens de calculs, mais aussi d'une nécessaire adéquation du modèle aux données

disponibles et aux objectifs poursuivis. Un modèle est la réponse à une question compte tenu

de certaines mesures. Ceci est particulièrement vrai pour les modèles de débits pour lesquels

les questions peuvent être très diverses. On peut retenir d'entrée deux grandes classes de

méthodes d'approche de la modélisation : les méthodes descriptives qui utilisent les mesures

du passé des grandeurs directement en cause et qui ajuste un modèle ou des coefficients à ces

mesures et les méthodes "physiques" qui utilisent les conditions aux limites et les lois

physiques de base.

9.2.1 Le modèle de Saint-Venant

Le modèle de l'écoulement unidirectionnel en rivières est constitué par le système différentiel

de Barré de Saint Venant (1871) :

𝜕𝑄1

𝜕𝑥+

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= 𝑞(𝑥, 𝑡) −

𝜕𝑆2

𝜕𝑡(1) (2) (3)

𝜕𝑉

𝜕𝑡+

(4)

𝑉𝜕𝑉

𝜕𝑥+

(5)

𝑔 (𝜕𝑧

𝜕𝑥+ 𝑗) = 0

(6) (7)

(9.2)

où :

S1 section du lit mineur

S2 section du lit majeur

Q1 débit principal dans le lit mineur

V = Q1 / S1

q = débit latéral entrant par unité de longueur.

𝑞𝑒 =𝜕𝑆2

𝜕𝑡 débit échangé entre lit mineur et majeur

z = cote de l'eau

j = pente de la ligne de charge (formule de Manning) appliquée au lit mineur.

Ce système doit être accompagné par les conditions initiales et aux limites (longueur

du bief et caractéristiques hydrauliques, débit amont et état initial de la rivière). Cet ensemble,

bien connu des hydrauliciens, doit être examiné dans les conditions habituelles de l'hydrologie.

En effet, les conditions d'entrée ne sont pas quelconques, mais résultent d'une perturbation

hydrologique issue de la pluie et modulée par un bassin versant, qui induisent deux caractères

importants : l'intermittence (les "crues") et une forme de signal assez caractéristique qui

permet souvent d'envisager une forme de "crue type" caractéristique d'un lieu.

Il existe de nombreuses approches tendant à linéariser le système de Saint Venant, en

considérant un canal de la section uniforme S. L'approche de Deymie (1939) est la plus

efficace. Si Q’ est une petite variation à partir d'un débit de référence Q0, et si

𝐹0 = 𝑉02 (𝑔𝑦0)⁄

où V0, y0 et F0 sont respectivement les valeurs de la vitesse, de la profondeur et du nombre de

Froude, on peut écrire l’équation (Dooge, 1984) :

𝑔𝑦0 = (1 − 𝐹02)

𝜕2𝑄′

𝜕𝑥2− 2𝑉0

𝜕2𝑄′

𝜕𝑥𝜕𝑡−

𝜕2𝑄′

𝜕𝑡2= 𝑔𝑆0 (

𝜕𝑗

𝜕𝑄0

𝜕𝑄′

𝜕𝑡−

𝜕𝑗

𝜕𝑆0

𝜕𝑄′

𝜕𝑡) (9.3)

On peut démontrer que la condition à la limite amont QA(t) est la plus importante

relativement au problème de "routage" des débits. Dans ce cas le débit en aval QB(x,t) est

donné par l'intégrale de convolution suivante:

𝑄𝐵(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑄𝐴(𝑠) ℎ(𝑥, 𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠 (9.4)𝑡

0

où h(x,t) est la réponse impulsionnelle du bief considéré. Cette réponse se décompose en deux

parties (Deyaie, 1939; Massé, 1939; Dooge et Harley, 1967; Dooge, 1984). h1 d'une part

représentant la tête de l'onde, h2 d'autre part représentant le corps de l'onde qui se déplace plus

lentement. On peut alors écrire :

ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ1(𝑥, 𝑡) + ℎ2(𝑥, 𝑡) (9.5)

où

ℎ1(𝑥, 𝑡) = 𝛿(𝑡 − 𝑥 𝑐1⁄ )𝑒−𝑝𝑥 (9.6)

ℎ2(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑟𝑡+𝑠𝑥𝑘2(𝑥 𝑐1⁄ − 𝑥 𝑐2⁄ ) ∑[𝑘2(𝑡 − (𝑡 − 𝑥) 𝑐1⁄ )(𝑡 − 𝑥 𝑐2⁄ )]𝑘

𝑘! (𝑘 + 1)!

∞

𝑘=1

(9.7)

où 𝑐1 = 𝑉0 + √𝑔𝑦0 et 𝑐2 = 𝑉0 − √𝑔𝑦0 sont des vitesses caractéristiques positives ou

négatives et p, r, s et k sont des paramètres dépendant des propriétés du bief uniforme

considéré. En réalité, on n'observe pas la tête de l'onde qui décroit très rapidement.

Le premier moment de la solution pour un canal uniforme est, avec la friction de

Chezy:

𝑈1′ = ∫ 𝑡 ℎ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥 (3𝑉0 2⁄ )⁄

∞

0

(9.8)

qui est également le temps moyen écoulé entre l'entrée et la sortie du bief. Dans ce cas, la

vitesse moyenne de propagation d'une intumescence dans un canal uniforme avec la friction

de Chezy est égale à 1,5 V0, ce qui correspond à la loi de Kleitz-Seddon (Kleitz, 1977;

Seddon, 1900). Les deux motents suivants sont (Dooge et Harley, 1967) :

𝑈2 = ∫ (𝑡 − 𝑈1′)2 ℎ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 =

2

3(1 −

𝐹02

4) (

𝑦0

𝑗0𝑥) (

𝑥

1,5 𝑉0)2∞

0

(9.9)

𝑈3 = ∫ (𝑡 − 𝑈1′)3 ℎ(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡

∞

0

=4

3(1 −

𝐹02

4)(1 +

𝐹02

2) (

𝑦0

𝑗0𝑥)

2

(𝑥

1,5 𝑉0)3

(9.10)

Le comportement du système de Saint Venant peut être analysé dans le plan des

fréquences, en particulier l'importance relative des termes (4), (5), (6) et (7) de l'équation

dynamique. Le système et les conditions aux limites s'expriment en fonction de deux

paramètres adimensionnels :

𝐹 = 𝑉2 (𝑔𝑦)⁄

nombre de Froude caractéristique du régime hydraulique de l'écoulement et

Qr fréquence relative égale à Qe / Qi où:

Qe est la fréquence du signal d'entrée de la crue,

Qi est la fréquence interne définie par g j / V0.

Le nombre de Froude, ainsi que les termes du second membre de l'équation de

continuité jouent des rôles secondaires dans cette analyse, le paramètre fondamental pour le

comportement étant la fréquence relative Qr, qui permet de distinguer plusieurs zones

(tableau 9.1). La procédure à utiliser lors d'un premier choix de modèle consiste d'abord à

rechercher des évènements rapidement variables (crues) et après lissage sommaire (avec un

pas de temps raisonnable) à rechercher la variable 1

𝑄

𝜕𝑄

𝜕𝑡 maximum, variable bien représentative

de Qe. On calcule ensuite quelques lignes d'eau de régime permanent pour évaluer 𝑗 et 𝑉

(grandeur moyennes calculées approximativement). On calcule enfin Qr :

𝑄𝑟 =1

𝑄

𝜕𝑄

𝜕𝑡

𝑔 𝑗

𝑉0 (9.11)⁄

Si Qr est inférieur a 0,04, il s'agit d'une onde progressive et il est possible d'utiliser des

modèles simplifiés. Si Qr est supérieur à 0,04, il est nécessaire d'utiliser le modèle de Saint

Venant complet.

La plupart des phénomènes hydrologiques font partie des ondes progressives à

quelques exceptions près parmi lesquelles nous noterons les rivières très rapides à forte pente

et les phénomènes non "naturels" (lachures, ruptures de barrage). Les biefs successifs ont

alors un effet de désagrégation et d'amortissement sur les composantes dynamiques, si bien

qu'au bout d'un trajet plus ou moins long, le modèle progressif redevient valable.

Les modèles d'ondes progressives ("routage "ou "flood routing" des débits) suffisent

en général pour décrire les phénomènes purement hydrologiques. Dans les cas où les modèles

simplifiés sont insuffisants, il faut résoudre les équations de Saint Venant complètes pour

lesquelles il existe de nombreuses techniques d'intégration numérique (Guyot, Nougaro et

Thirriot, 1961; Harbaugh, 1967) que nous n'exposerons pas ici, car elles nécessitent une

connaissance précise de la géométrie qui n'est en général pas disponible dans les problèmes

hydrologiques.

9.2.2 Modèles simplifiés de l'écoulement en rivières

L'écoulement des régimes non permanents en rivière est très influencé par l'existence,

la nature, et l'importance de zones inondables. Dans un certain nombre de cas types

l'écoulement peut être ramené à un écoulementfilaire (figure 9.5). Dans les conditions

d'application du modèle progressif, le système différentiel donnant le débit et cote de l'eau

s'écrit:

𝜎 =𝑉0𝑦0

2𝑗0(1 −

𝐹02

4)

1

𝑔𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑥+

𝜕𝑧1

𝜕𝑥= −𝑗 (9.12)

𝑞𝑒 = −𝜕𝑆2 (𝑧2)

𝜕𝑡

On appelera

S1 la section du lit principal ;

S2 la section de la zone inondable (on écrit ici une seule zone, l'extension aux deux rives est

imédiate) ;

z1 la cote du lit principal ;

z2 la cote de la zone inondable ;

qe le débit échangé entre le lit principal et la zone inondable.

La seconde équation peut être intégrée en première approximation, en prenant pour

cote de l'eau celle du régime permanent de même débit instantané à l'abscisse x. Ceci revient à

admettre en chaque section l'existence d'une relation biunivoque z1 (Q1). L'écart constaté à

cette hypothèse est inférieur à l'erreur d'estimation des débits (et en fait partie).

a) Rivières sans zones inondables qe = 0

L'élimination de la cote entre les deux équations conduit à :

𝜕𝑄

𝜕𝑡+ 𝐶(𝑄)

𝜕𝑄

𝜕𝑥− 𝜎(𝑄)

𝜕2𝑄

𝜕𝑥2= 𝐶𝑞 − 𝜎

𝜕𝑞

𝜕𝑥 (9.13)

équation de la diffusion à coefficients variables où C est la célérité et σ l'atténuation.

Le calcul en bief uniforme à partir de la formule de Manning donne :

𝐶 = 5 𝑈0 3⁄ 𝜎 = 𝑄 (2 𝑗 𝐿1) (9.14𝑎)⁄

à partir de la formule de Chezy on aurait :

𝐶 = 3 𝑉0 2⁄ (9.14𝑏)

relation fondée sur le résultat obtenu avec le modèle de Saint Venant linéarisé.

Plus généralement on utilise :

𝐶 = 𝑑𝑄 𝑑𝑆 (9.14𝑐)⁄

avec la relation entre Q et S en régime permanent pour égaliser les deux moments U1’.

L'atténuation s'exprime alors comme :

𝜎 =𝑉0𝑦0

2𝑗0(1 −

𝐹02

4) (9.15)

si on égalise les moments d'ordre 2 du modèle de Saint Venant linéarisé et du modèle de

diffusion (Dooge, 1973). La réponse impulsionnelle pour qe = 0 est alors:

ℎ0(𝑥, 𝑡) =𝑥

√4 𝜋 𝜎 𝑡3𝑒−

(𝑥−𝐶𝑡)2

4𝜎𝑡 (9.16)

b) Rivières à zones inondables non débitantes, sans contrôle transversal

Pour beaucoup de rivières non aménagées, le passage du lit mineur au lit majeur se fait

par une simple rupture de pente transversale. La zone inondable est souvent encombrée de

talus, routes, haies, végétation qui s'opposent à l'écoulement longitudinal. Une évaluation

sommaire des débits longitudinaux des zones d'inondation permet de vérifier l'hypothèse de sa

petitesse vis-à-vis du débit principal. Dans ces conditions, il y a continuité des cotes entre le

lit et la zone d'inondation;

𝑞𝑒 = −(𝐿2 − 𝐿1)𝜕𝑧

𝜕𝑡 (9.17)

où L2 est la largeur de la zone d'emprise totale.

On peut traiter le problème de deux façons :

- Un modèle de lit mineur, qe restant dans le second membre et étant calculé à chaque

pas de temps.

- Un modèle global prenant en compte les échanges dans le premier membre, les

paramètres C et σ du modèle global deviennent alors :

𝐶 =5

3𝑉

𝐿1

𝐿2

(1 − 휀1 − 휀2 − 휀3) 𝜎 =𝑄

2𝑗𝐿1

𝐿1

𝐿2 (9.18)

dans lesquels interviennent des termes de non uniformité des formes :

ε1 : terme d’évasement de la section S1 ;

ε2 : terme d’évasement de la section S2 ;

ε3 : terme d’élargissement en plan.

Ces divers termes dont on peut donner des expressions hydrauliques sont en général

faibles et difficiles à estimer.

c) Rivières à zones inondables contrôlées

Dans certains cas, le débit échangé qe est limité par l'existence d'une section de

contrôle hydraulique transversale, par exemple existence d'une digue, comme présenté sur la

figure 9.5c. Le débit qe est alors calculé par une relation de contrôle (déversoir, débit

critique,…) avec remplissage progressif de la zone inondable, soit 2 équations :

𝜕𝑄

𝜕𝑥+

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= 𝑞(𝑥, 𝑡) + 𝑞𝑒(𝑧)

𝑆2

𝜕𝑧2

𝜕𝑡= −𝑞𝑒(𝑡, 𝑧) (9.19)

qe (z ,t) = débit de contrôle

Le débit de contrôle peut résulter de l'apparition d'une section critique dans

l'écoulement transversal, liée à une valeur excessive de qe calculée par la formule de

submersion. Pour une profondeur y de la zone inondable, il existe un débit limite 𝑞𝑒 = √𝑔𝑦3

d'où :

𝑞𝑒 = −𝑀𝑖𝑛 [√𝑔𝑦3, (𝐿2 − 𝐿1)𝜕𝑧

𝜕𝑡]

d) Rivières à zones inondables débitantes en parallèle

Si les conditions d'écoulement sont homogènes sur chaque lit partiel, on peut

considérer les écoulements filaires parallèles. Le débit total QT est la smme des débits Q1 du

fleuve et ΣQ2 des zones d'inondation.

𝑄𝑇 = 𝑄1 + ∑𝑄2

L'équation de bilan massique s'écrit :

𝜕𝑄𝑇

𝜕𝑥+ 𝐿2

𝜕𝑧

𝜕𝑡= 0

Les équations du régime permanent dans chaque écoulement s'écrivent :

𝜕𝑧

𝜕𝑥= −

𝑄12

𝐾12 = −

𝑄22

𝐾22 = −

𝑄′22

𝐾′22

K1, K2, K’2 étant les fonctions débitances du lit et des zones inondables. En posant :

𝛼 =𝐿2

𝐿1(

𝐾1

𝐾1 + ∑𝐾2)

2

(9.20)

La propagation du débit total QT vérifie une équation de la diffusion avec

𝐶′ = 𝐶 𝛼⁄ 𝜎′ = 𝜎 𝛼⁄ (9.21)

C et σ étant les paramètres calculés avec le seul lit mineur. α est un paramètre assez peu

variable. Il en résulte une diminution considérable de la célérité et de l'atténuation.

9.2.3 Utilisation et calage des modèles simplifiés

Les résultats obtenus sur des cas schématiques se révèlent difficiles à transposer à une

rivière naturelle pour un grand nombre de raisons. Le défilement dans le temps d'abord car

une rivière peut changer d'état. Lors d'une crue, il est fréquent de passer successivement par

les états : sans débordement, débordement avec contrôle, submersion, submersion avec

contrôle, vidange sans débordement. Le défilement dans l'espace ensuite car sur une rivière

l'état varie avec le lieu (existence ou non de zones inondables, différence d'état entre les deux

rives). Il est de plus difficile de connaître les caractéristiques de débordement et de rupture de

digues et de déterminer les paramètres d'écoulement (coefficient de Manning de la rivière et

des zones inondables). Il ne faut pas oublier, enfin, la nature schématique des hypothèses

(écoulement filaire et homogénéité). Pour ces diverses raisons, une utilisation à partir de

l'analyse hydraulique doit être faite avec la plus extrême prudence. Elle permet toutefois

d'estimer un ordre de grandeur, et de déterminer par comparaison (méthode de scénarios) les

effets sur les zones inondables d'aménagements de protection (Bellostas et al.,1980).

L'analyse des mesures de propagation en rivières permet d'identifier les coefficients

d'un modèle diffusif. C est mesuré par la vitesse du centre de gravité de l'hydrogramme de

crue et peut être défini à partir de la vitesse vp de déplacement de la pointe de l'hydrogramme.

𝐶 𝑣𝑝 = 1 − 2 𝑄𝑟2 (𝑄𝑟 𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑜𝑛𝑑𝑒)(𝐻𝑎𝑦𝑎𝑚𝑖, 1951) (9.22)⁄

σ est déterminée à partir de la vitesse d'augmentation du coefficient de dispersion D.

𝑑𝐷

𝑑𝑡= 2 𝐶 𝜎 (9.23)

Si C peut être assez bien défini, la détermination de σ est souvent incertaine. La

sensibilité des résultats a σ étant faible, on peut choisir une valeur constante de σ/Q ou la

détermination hydraulique. Les résultats obtenus expérimentalement sur les paramètres du

modèle de débit total montrent des variations importantes, bien que lentes en fonction du

débit (figure 9.6). Aux faibles débits, C augmente avec le débit, comme la vitesse

d'écoulement. Lorsque le lit majeur est envahi C et σ/Q diminuent en liaison avec l'évolution

de L2/L1. On remarque que pour une gamme importante de débits, les deux paramètres

peuvent être considérés comme constants.

9.3 Méthodes de résolution numérique des équations de l'écoulement progressif

Le problème pratique généralement posé est celui de l'écoulement dans un bief de

rivière entre une section amont A et une section aval B connaissant les débits q intermédiaires

du bief (figure 9.7). Dans lesconditions progressives, le modèle mathématique est celui de

l'équation aux dérivées partielles du 2iéme ordre parabolique non linéaire :

𝜕𝑄

𝜕𝑡+ 𝐶

𝜕𝑄

𝜕𝑥− 𝜎

𝜕2𝑄

𝜕𝑥2= 𝐶𝑞 − 𝜎

𝜕𝑞

𝜕𝑥 (9.24)

Le terme 𝜎𝜕𝑞

𝜕𝑥 est petit, mal évaluable, donc négligé. L'analyse des conditions

d'application des hypothèses progressives montre que le terme 𝜎𝜕2𝑄

𝜕𝑥2 reste petit et l'équation

du 2ième ordre reste voisine d'une équation du 1er ordre. Sans entrer dans la discussion

théorique de la correction du problème posé (au sens d'Hadamard), nous nous contenterons de

remarquer que dans beaucoup de cas, la solution du 1er ordre dite "onde cinéaatique" constitue

une solution satisfaisante au problème.

En caractérisant la propagation d'un événement de débit moyen 𝑄 par 𝐶 sur le bief AB

de longueur L, cette propagation est caractérisée (en l'absence d’apports) par le nombre

adimensionnel Δ = CL/σ allongement relatif du bief sensiblement égal à ΔZf/y, rapport de la

différence d'altitude aux extrêmités du bief à la profondeur moyenne de l'eau. L'analyse de

l'équation de diffusion dans le plan des fréquences montre qu'avec une onde incidente de

fréquence Qe dont nous avons donné une estimation au paragraphe (9.2.1) l'erreur d'estimation

sur la crête de l'hydrogramme ΔQmax/Qmax faite en ne conservant que les termes au 1er ordre

est liée à l'allongement par l'équation :

𝛥𝑄 𝑄⁄ = 𝑄𝑒2𝛥 (9.25)

Pour une erreur donnée admissible, il existe un allongement relatif maximum Δ0 =

(ΔQ/Q) / Qe2 tel que si Δ< Δ0, il s'agit d'une onde cinématique et que si Δ>Δ0, il s'agit d'une

onde diffusante.

9.3.1 Onde cinématique

Le modèle de l'onde cinéaatique est utilisé essentiellement sur les biefs courts pour

lesquels les effets essentiels résultent des apports et des jonctions, où les singularités

masquent la diffusion (cas de l'hydrologie urbaine en particulier). Par la méthode des

caractéristiques, l'équation

𝜕𝑄

𝜕𝑡+ 𝐶

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 𝐶𝑞 (9.26)

se transforme en système différentiel :

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐶(𝑄)

(9.27) 𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝐶(𝑄). 𝑞(𝑥, 𝑡)

simple à résoudre soit algébriquement pour certaines fonctions C(Q), soit numériquement par

un algorithme de Runge Kutta (Lightill & Withnam, 1955). Si C est supposé constant, on

obtient l'écoulement de translation.

9.3.2 Méthode analytique de résolution de l'onde diffusante

Souvent les propagations présentant un intérêt dans le cadre d'un objectif technique

défini correspondent à une gamme de débits assez étroite pour que les paramètres c et σ

puissent être considérés comme constants. Dans cette hypothèse, il existe une solution

analytique (à apport nul), la solution d'Hayami (Hayami, 1951; Hayashi, 1965) qui s'exprime

sous forme d'une intégrale de convolution

𝑄(𝐿, 𝑡) = ∫ 𝐻(𝜏) 𝑄(𝑄, 𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏0

𝑡

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑦𝑎𝑢

𝐻(𝜏) = √𝛥𝜃

4𝜋 𝑒

−𝛥4(2−

𝜏𝜃−

𝜃𝜏)

𝜏3 2⁄⁄

dans lequel τ = Q/(2jL) et θ=L/C est le temps de transfert du bief. On peut déterminer d'autres

expressions analytiques dans le cas d'apports latéraux de répartitions simples (constante,

linéaire, etc…), la méthode d'Hayami peut être utilisée avec succès dans le cas de propagation

de crues fortes faiblement débordantes dans la zone où c est peu variable. Elle sert aussi de

test de précision pour définir les écarts fournis par méthodes approchées.

9.3.3 Méthodes aux différences finies

L'équation aux dérivées partielles peut être résolue par un algorithme itératif pour

prendre en compte la non-linérarité. Les variations de C et σ avec Q sont faibles et on peut

sans écart décelable les considérer comme constants dans le domaine des schémas de

discrétisation, avec la valeur au début du schéma. La résolution peut alors se faire comme

pour une équation à coefficients constants par le remplacement de l'équation par un système

linéaire écrit aux mailles d'un réseau de l'espace temps découpé en intervalles réguliers de

temps et d'espace (fiche H). La figure 9.9 représente un tel maillage. Les débits à l'instant t

sont calculés à partir de ceux à l'instant (t - Δt) supposés connus. En appelant :

Un le débit Q à l'instant t à l'abscisse xn

Vn le débit Q à l'instant (t –Δt) à l'abscisse xn

Qn l'apport Q à l'instant (t -Δt) entre les abscisses xn-1 et xn

on peut écrire divers algorithmes du 2ième ordre de la forme :

𝑝𝑈𝑛−& + 𝑞𝑈𝑛 + 𝑟𝑈𝑛−1 = 𝑝′𝑉𝑛−1 + 𝑞′𝑉𝑛 + 𝑟′𝑉𝑛+& + 𝑎𝑞𝑛 + 𝑏𝑞𝑛+1 (9.29)

qui font intervenir 6 points représentés sur la figure 9.8.

La figure 9.9 représente trois schémas d intégration :le schéma à 1 points de Cunge

(Cunge, 1969), le schéma VDP dérivé de Crank Nicholson utilisé par le W.R.C. (N.E.R.C.,

1975) et le schéma à 4 points du L.H.M. (Bocquillon, 1978). Ces schémas peuvent être

comparés sur les plans de la stabilité, de la précision et de la facilité de mise en œuvre.

Stabilité : Le schéma de Cunge est stable pour C Δx/σ >2, ce qui entraîne une

difficulté. Pour augmenter la précision jusqu'à une valeur désirée, on découpe le bief. Il existe

donc une précision maximum obtenue pour 2. Si cette précision est insuffisante, la méthode

est inutilisable. Les deux autres schémas implicites peuvent toujours être rendus stables pour

Δx et Δt petits et une précision donnée peut donc toujours être atteinte.

Précision : Les 3 méthodes donnent des résultats comparables. Elles sont du 3ième

ordre en dérivation. Leurs erreurs s'expriment de façon différente, ce qui entraîne des

performances variables selon les cas. Les écarts restent très faibles.

Facilité de mise en œuvre : La méthode de Cunge est extrêmement simple puisqu'elle

s'exprime par une relation de récurrence :

𝑈𝑛 = 𝑥𝑛 𝑈𝑛+1 + 𝑤𝑛 (9.30)

wn étant une somme de termes connus. Les deux autres méthodes correspondent à la

résolution d'un système tridiagonal, qui par la méthode du double balayage (Godounov, 1973)

se résoud par une relation de récurrence :

𝑈𝑛 = 𝑥𝑛 𝑈𝑛+1 + 𝑦𝑛 (9.31)

xn et yn étant eux-mêmes définis par une récurrence descendante .

𝑥𝑛 =−𝑝

𝑞 + 𝑟𝑥𝑛+1 ; 𝑦𝑛 =

𝑣𝑛 + 𝑤𝑛 − 𝑟𝑦𝑛+1

𝑞 + 𝑟𝑥𝑛+1 (9.32)

qui ne nécessite que deux fois plus de calcul que la méthode de Cunge. Le double balayage a

d'autre part des propriétés très intéressantes de réduction des erreurs.

9.3.4 Modèles pseudo-conceptuels

Le schéma d'intégration de Cunge :

𝑝𝑈𝑛−1 + 𝑞𝑈𝑛 = 𝑝′𝑣𝑛−1 + 𝑞′𝑣𝑛

peut se transformer (figure 9.10). En appelant le débit à l'entrée du bief E et S à sa sortie et en

indiquant les temps successifs 1, puis 2, il vient :

𝑝𝐸2 + 𝑞𝑆2 = 𝑝′𝐸1 + 𝑞′𝑆1

avec les valeurs de p, q, p', q', cette relation s'écrit :

𝐸1 + 𝐸2

2−

𝑆1 + 𝑆2

2= 𝐾[(1 − 𝛽)𝑆2 + 𝛽𝐸2] − 𝐾[(1 − 𝛽)𝑆1 + 𝛽𝐸1] (9.33)

avec :

𝐾 = 𝛥𝑥 (𝐶 𝛥𝑡)⁄ 𝑒𝑡 𝛽 = 1 2⁄ − 𝜎 (𝐶 𝛥𝑡)⁄ (9.34)

En introduisant la fonction de stockage :

𝑉 = 𝐾(1 − 𝛽)𝑆 + 𝛽𝐸 (9.35)

il vient :

𝐸 − 𝑆 = 𝛥𝑉 (9.36)

"équation de bilan", qui n'est qu'une fausse relation du 1er ordre. La fonction de stockage a un

caractère purement artificiel ainsi que le montre son expression qui fait intervenir non pas la

géométrie du réservoir, mais des paramètres de l'équation de diffusion et les pas de calcul

(Cunge, 1969). Malgré son apparence très simplifiée, cette méthode est équivalente à la

méthode de Cunge, elle en a la précision et aussi les contraintes de stabilité qui imposent des

biefs de calcul de longueur minimum :

𝛥𝑥0 > 2𝜎 𝐶 (9.37)⁄

Dans la pratique, cette méthode dite "Muskingum" (du nom de la rivière à laquelle elle

a été d'abord appliquée), est très utilisée. On cale directement K et β sur des crues mesurées et

on résoud l’équation par rapport à S2. On peut aussi prédéterminer K et β à partir du calcul

hydraulique de C et σ. Cette méthode s'adapte sans difficulté à des paramètres variables.

La méthode de Kalinin-Milyukov (1957) est très voisine de la méthode Muskingum.

En choisissant le pas d'espace :

𝛥𝑥 = 2 𝜎 𝐶 (9.38)⁄

qui entraîne β =0, soit

𝑉 = 𝐾𝑆 (9.39) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸 − 𝑆 = 𝛥𝑉 (9.40)

On conceptualise ce système au moyen d'un réservoir linéaire dont le débit de sortie

est proportionnel au volume (figure 9.11). Par le choix de σ =0, cette méthode se place à

l'erreur minimum de la méthode de Muskingum; elle est simple, mais nécessite le partage en

biefs de longueurs données. D'où des difficultés de découpage des biefs courts. D'autre part,

un découpage fixe implique des paramètres constants.

9.3.5 Modèles à déroulement continu

En faisant tendre vers zéro le pas de temps des modèles à différences, on obtient des

modèles discrétisés dans l'espace mais à déroulement temporel continu. Le phénomène est

alors décrit par des équations différentielles. Le modèle Muskingum devient :

𝐸 − 𝑆 =𝑑𝑉

𝑑𝑡 (9.41)

avec

𝑉 = 𝐾′[(1 − 𝛽)𝑆 + 𝛽𝐸] (9.42)

dans lequel

𝐾′ = 𝛥𝑥 𝐶⁄ 𝑒𝑡 𝛽 = 1 2⁄ − 𝜎 (𝐶 𝛥𝑥)⁄ (9.43)

A coefficients constants, ce modèle peut s'exprimer algébriquement, faisant apparaître

une intégrale de convolution dont le noyau est (Dooge, 1973).

ℎ𝑚(𝑡) =1

𝐾′(1 − 𝛽)2𝑒

𝑡𝐾′(1−𝛽) −

𝛽

1 − 𝛽 𝛿(0) (9.44)

La présence de la distribution de Dirac δ à l'origine t = 0 entraîne l'existence de valeurs

négatives pour la sortie n (β est compris entre 0 et 1).

Le modèle dérivé de celui de Kalinin Miluykov appliqué à un ensemble de biefs

introduit des réservoirs linéaires en cascades (Nash, 1959) ayant tous le même paramètre K. A

coefficients constants, ce modèle a également une expression algébrique sous forme d'une

intégrale de convolution de noyau.

ℎ𝐾(𝑡) =(𝑡 𝐾⁄ )𝑛−1𝑒𝑡 𝐾⁄

𝐾 (𝑛 − 1)! (9.45)

Ces modèles dérivés de Muskingum en ont les propriétés et l'efficacité. En

coefficients constants, le modèle d'Hayami leur est préférable en raison de son exactitude. En

coefficients variables, l'obligation de discrétiser le temps ramène à un système à 2 dimensions,

donc leur enlève tout intérêt.

9.3.6 Dans le labyrinthe du routage

La propagation des débits dans les cours d'eau naturels ou "routage" des débits,

procède de méthodes assez différentes de celles de l'hydraulique classique. Confrontée à une

information limitée, la description du phénomène est moins rigoureuse et vise essentiellement

à reproduire du mieux possible les principaux caractères observés.

L'évolution de l'hydrogramme entre la section A et la section B (figure 9.12) se fait

suivant un processus complexe caractérisé par un transfert de volume, un déplacement du

centre de gravité, une augmentation de la dispersion et une déformation marquée par une

évolution du coefficient d'asymétrie.

On peut comparer la réponse impulsionnelle des modèles simplifiés avec celle du

modèle de Saint Venant. Chaque réponse impulsionnelle possède un dévelopement en

moments (Dooge, 1973). L'échelle temporelle de la réponse est donnée par U1’, la forme de

cette réponse étant fournie par les moments U2, U3, etc... Pour faire des comparaisons, il est

plus commode de considérer les moments réduits :

𝑆2 = 𝑈2 (𝑈1′)2⁄ 𝑆3 = 𝑈3 (𝑈1

′)3⁄ (9.46)

La figure 9.13 présente une comparaison entre trois modèles simplifiés à deux paramètres

constants et le modèle de Saint Venant linéarisé. Ces trois modèles sont :

Muskingum Paramètres (β, K')

Kalinin Milyukov Paramètres (n, Kl

Translation plus réservoir linéaire Paramètres (τ, M)

Dans tous les cas on choisit les deux paramétres de telle sorte que U1’ et U2 soient

ceux du modèle de Saint Venant linéarisé. Comme il n'est pas possible d'ajuster le troisième

moment, ce dernier est une mesure de l'approximation réalisée. On a représenté sur la figure

9.13 la relation S3 = f (S2) pour le modèle de Saint Venant pour F=1 (avec la loi de friction de

Chezy et celle de Manning) et pour F = 0 (le modèle de diffusion est exact pour H=0). On

peut remarquer l'existence d'un point de coordonnées (S2 = 1, S3 = 2) commun aux trois

courbes des modèles simplifiés. Ce point correspond au cas du réservoir linéaire, modèle à un

seul paramètre. Pour plus de détails sur cetteapproche, on pourra consulter Dooge (1973 et

1984).

On peut également utiliser la méthode des moments aux fins d'identification des

paramètres d'un modèle. Par exemple, pour le modèle de Kalinin-Milyukov (1957) les

paramètres K et n s'expriment comme :

𝐾 = [𝑈2(𝑆) − 𝑈2(𝐸)] [𝑈′1(𝑆) − 𝑈′1(𝐸)] (9.47𝑎)⁄

𝑛 = [𝑈′1(𝑆) − 𝑈′1(𝐸)] 𝐾 (9.47𝑏)⁄

où U1’ et U2 sont des moments calculés à partir de séries mesurées à l'entrée (E) et à la sortie

(S) d'un bief donné. Cette méthode d'identification est bien connue dans le cas des relations

pluie-débit (Dooge, 1977; Dooge et O'Kane (1977).

Pour le cas non linéaire, on se reportera à Napiorkowski et O'Kane (1984).

La figure 9.11 présente l'ensemble des méthodes de "routage" de débits utilisées en

hydrologie. Nous allons examiner le comportement de ces méthodes vis-à-vis des caractères

ci-dessus. Toutes les méthodes conservent les volumes d'eau. Toutes, après ajustement de C,

conservent la vitesse de déplacement du centre de gravité. Les méthodes d'ondes diffusantes :

(Hayami, différences, Muskingum, réservoirs linéaires) représentent de façon identique la

vitesse d'augmentation de la dispersion (Bocquillon, 1978). Les méthodes à célérité variable

(onde cinématique, équations aux diffférences, Muskingum à coefficient K variable)

permettent grâce à l'identification de C (différente pour chaque méthode) de reproduire une

déformation asymétrique ajustée au mieux à la déformation observée.

L'ensemble des méthodes existantes permet de reproduire correctement le phénomène

de propagation de débits en rivière. Mais le problème de choix d'une méthode n'est pas

seulement le résultat de l'analyse de la physique de l'écoulement. En effet, il est inutile de

tenter un système complet de Saint Vvenant sans une description précise de la topographie et

il est inutile d'essayer d'identifier les fonctions C et σ en l'absence d'un grand nombre

d'enregistrements de crues.

Le modèle choisi doit correspondre à une organisation du problème tenant compte de

la réalité physique, des données disponibles et des questions posées. Pour l'aménagement

d'une rivière ou l'impact de modifications, le modèle doit partir des données géométriques et

hydrauliques. Pour des simulations de fonctionnement, les modèles à paramètres identifiés par

des évènements réels s'imposent. Pour des prévisions en temps réel, le choix est plus délicat.

Si les méthodes de routage sont globalement bonnes, les écarts observés, qui sont dus aux

apports inconnus,aux incertitudes aussi bien du modèle que des paramètres, sont assez

fortement autocorrélés. Une utilisation brutale pourrait conduire à des erreurs systématiques

dans un déroulement réel. On améliore en général la prévision en ajoutant un terme correctif,

lié à l'écart en prévision du pas précédent.

D'autres méthodes, ne se prêtant qu'aux applications de prévision, peuvent être

employées, utilisant les propriétés de linéarité du phénomène :

Modèles progressifs : le calcul aux différences suggère la formulation linéaire :

𝑄𝐵(𝑡) = ∑ 𝑎𝑛𝑄𝐵(𝑡 − 𝑛 𝛥𝑡)

𝑝

𝑛=1

+ ∑ 𝑏𝑚𝑄𝐴(𝑡 − 𝜃 − 𝑚 𝛥𝑡)

𝑞

==1

(9.48)

Δt étant le pas de mesure des débits en A et B et θ le temps de propagation.

L'ajustement de telles régressions à coefficients constants ou variables avec les débits

fournit d'excellents résultats.

Modèles adaptatifs : la variabilité des coefficients conduit à utiliser des méthodes

adaptatives dérivées du filtre de Kalman qui fournissent d'excellents résultats en prévision

(Young, 1971; Natale et Todini, 1976; Maissis, 1977; Amirthanthan, 1982).

9.4 Modèles mathématiques de transport en rivière

Le déversement en rivière des effluents urbains et industriels entraîne de graves

détériorations de la qualité de l'eau et de l'ensemble de la biocénose aquatique. L'application

de modèles mathématiques de transport en rivière permet de simuler la dynamique des

polluants à partir de leur point de rejet et de prédire, pour une gamme étendue de conditions,

les modifications de la qualité de l'eau qui en résulte. A ce titre, ces modèles constituent des

outils d'un intérêt considérable aux fins de définir, d'évaluer et de planifier les mesures de

contrôle de la pollution de 1'eau.

Selon les situations, l'ingénieur en environnement pourra être intéressé à simuler

l'évolution de l'oxygène dissous et des matières organiques oxydables (DBO), le transport des

sédiments, des éléments nutritifs (azote et phosphore), des métaux traces, des rejets

thermiques, de substances toxiques. Toutes ces quantités sont évidemment soumises aux

mêmes processus de transport et de mélange en rivière, mais les interactions auxquelles ces

quantités participent dans le milieu aquatique sont par ailleurs très différentes. Dès lors, on

conçoit qu'un modèle de transport en rivière doit être formulé en juxtaposant la représentation

mathématique de mécanismes de mélange et de transport à celle des autres interactions

auxquelles est soumis un polluant ou un constituant donné. Ceci nous amènera dans un

premier temps à traiter des mécanismes de mélange et de transport et de leur représentation

mathéaatique. Nous étudierons ensuite le problème de la modélisation de la température des

cours d'eau.Enfin, dans un dernier paragraphe, utilisant l'exemple classique de l'oxygène

dissous, nous développerons un système simple d'équations dans lesquelles s'articulent la

représentation mathématique des processus de transport et celle des autres interactions de

l'oxygène dissous avec le milieu, pour obtenir ainsi un modèle complet permettant de prédire

l'évolution de cette quantité en rivière.

9.4.1 Mécanismes de mélange et transport en rivière

Considérons un rejet en rivière, tel qu’illustré par la figure 9.15. Pour les besoins de

cette introduction, nous convenons qu'il peut s'agir du rejet d’un élément conservatif se

comportant comme un colorant. Dans le voisinage immédiat du rejet (zone A), le champ

d'écoulement est très complexe et la dispersion de l'effluent est régie par la turbulence

engendrée par le cours d'eau, par la vitesse initiale du rejet à son entrée dans le champ

d'écoulement et par les effets de densité. Pour un traitement détaillé de la modélisation de cet

aspect du transport en rivière, que nous ne traiterons pas ici, nous conseillons au lecteur de se

référer aux travaux de Rodi (1980a). De façon générale, on constate que la diffusion verticale

élimine rapidement les gradients verticaux de concentrations ou thermiques, si bien que des

conditions de mélange complet sur la profondeur sont rapidement atteintes dès la zone B.

Dans la zone B, l'évolution de l’élément rejeté en direction 1ongitudinale sera régi par trois

processus de transport : (1) advection, (2) diffusion turbulente et (3) dispersion longitudinale.

Un aspect majeur de l'évolution dans cette zone concerne le mélange latéral qui s'effectue

principalement par la diffusion turbulente transversale. Une fois le mélange latéral devenu

complet sur la section entière du cours d'eau (zone C), le transport n'est plus régi que par les

processus longitudinaux mentionnés plus haut. Ayant posé a priori l'existence des différents

processus qui régissent le transport en rivière, soit l’advection, la diffusion turbulente

(tridimensionnelle) et la dispersion longitudinale, il s'agit maitenant de préciser davantage la

signification physique de ces termes detransport et leur expression mathématique.

9.4.2 Turbulence et diffusion turbulente

Pour tous les problèmes pratiques qui se posent à l'ingénieur en environnement,

l'écoulement en rivière doit être traité comme un écoulement turbulent. La turbulence est une

caractéristique de l'écoulement d'un fluide et non une propriété du fluide lui-même (Street,

1983). A ce titre, il est difficile de définir la turbulence et l'approche la plus répandue consiste

dès lors à énumérer la liste de ses particularités les plus notables. Elle est tridimensionnelle,

aléatoire dans les domaines de temps et d'espace, dissipative et rotationnelle. Elle se

caractérise enfin par un nombre de Reynolds élevé.

Pour avoir une meilleure image de la turbulence, il faut se représenter le fluide comme

un ensemble d'éléments de dimensions très variables se déplaçant de façon aléatoire et

rotationnelle. Ces éléments de fluide sont appelés tourbillons (« eddies » en anglais). Leur

mouvement engendre en tout point du champp d’écoulement des fluctuations de vitesse

rapides et irrégulières autour d’une vitesse moyenne bien définie. Ceci est illustré par la figure

9.16 où :

u est la vitesse locale instantanée de l’écoulement (nécessairement fonction du temps)

𝑈 la vitesse moyenne sur un intervalle de temps

u’ différence entre u et 𝑈 est la fluctuation turbulente

On définira de la même façon pour la pression statique instantanée p p =𝑃 + 𝑝′ et

pour la concentration d’un élément quelquonque φ = 𝛷 + φ’

La représentation complète de l’écoulement d’un fluide visqueux newtonien comme

l’eau est fournie par les équations de Navier et Stokes. Ces équations présentent un intérêt

pratique limité, car elles se réfèrent aux valeurs instantanées des grandeurs concernées.

En intégrant ces équations sur un intervalle de temps long par rapport à l'échelle des

fluctuations turbulentes, on obtient les équations du mouvement moyen, qui s'écrivent en

notations tensorielles :

Continuité :

𝜕𝑈𝑖

𝜕𝑥𝑖= 0 (9.49)

Quantité de mouvement

𝜕𝑈𝑖

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝑈𝑖 𝑈𝑗) = −

1

𝜌𝑟

𝜕𝑃

𝜕𝑥𝑖+

𝜕

𝜕𝑥𝑗[𝜇

𝜌𝑟

𝜕𝑈𝑖

𝜕𝑥𝑗− 𝑢𝑖

′ 𝑢𝑗′] + 𝑔𝑖 [

𝜌 − 𝜌𝑟

𝜌𝑟] (9.50)

Température / concentration

𝜕𝛷

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝑈𝑗 𝛷) =

𝜕

𝜕𝑥𝑗[𝜆

𝜕𝛷

𝜕𝑥𝑗− 𝑢𝑗

′ 𝜑′] (9.51)

où

gi est l’accélération de la pesanteur dans la direction i [L] [T-2]

λ la diffusivité [L2] [T-1]

ρr une masse volumique de référence [M] [L-3]

ρ la masse volumique actuelle [M] [L-3]

μ la viscosité dynamique [M] [T-1] [L-1]

Le passage des équations régissant les grandeurs instantanées à celles régissant les

grandeurs moyennes présente un intérêt majeur en ce qu'il introduit l 'expression

mathématique des termes de turbulence, en l'occurence − 𝑢𝑖′ 𝑢𝑗

′ et − 𝑢𝑗′ 𝜑′ (équations 9.50 et

9.51). Multipliés par la densité ρ, ces termes représentent physiquement le transport de

quantité de mouvement, (− 𝜌 𝑢𝑖′ 𝑢𝑗

′ ), et le transport de chaleur, ou de concentration, (-

𝜌 𝑢𝑗′ 𝜑′) dus aux fluctuations turbulentes de vitesses et de concentrations.

Les équations (9.49) à (9.51) permettent de décrire la distribution des valeurs

moyennes de vitesse, pression, température ou concentration dans le champ tridimensionnel

de l'écoulement. Ces équations ne peuvent être résolues que si les termes de diffusion

turbulente − 𝑢𝑖′ 𝑢𝑗

′ et − 𝑢𝑗′ 𝜑′ sont déterminés (pour les trois dimensions du champ

d'écoulement).

Des modèles de turbulence ont été proposés dont l'objet consiste précisément à

déterminer ces termes afin de permettre la résolution numérique des équations (9.49) à (9.5).

Nous ne traiterons pas ici de ces modèles de turbulence. De plus, nous considérerons

désormais que l'équation scalaire (9.51) permet seule de décrire le transport des quantités de

chaleur ou de concentration, supposant ainsi que le champ des vitesses est connu. Dès lors,

notre intérêt se limitera à la diffusion turbulente des quantités chaleur et concentration, soit

− 𝑢𝑗′ 𝜑′.

Pour les besoins d'application aux problèmes de transport en rivière, l'hypothèse la

plus répandue consiste à poser que le transport par diffusion turbulente est proportionnel au

gradient de la quantité transportée (gradient de température ou de concentration). Ainsi, on a :

− 𝑢𝑗′ 𝜑′ = 휀

𝜕𝛷

𝜕𝑥𝑗 (9.51)

où ε est le coefficient de diffusion turbulente.

Reportant (9.51) dans l'équation (9.50) et négligeant le terme de diffusion moléculaire

𝜆𝜕𝛷

𝜕𝑥𝑗, on obtient dans un repère (Oxyz) :

𝜕𝛷

𝜕𝑡+

𝜕𝛷 𝑈

𝜕𝑥+

𝜕𝛷 𝑉

𝜕𝑦+

𝜕𝛷 𝑊

𝜕𝑧=

𝜕

𝜕𝑥(휀𝑥

𝜕𝛷

𝜕𝑥) +

𝜕

𝜕𝑦(휀𝑦

𝜕𝛷

𝜕𝑦) +

𝜕

𝜕𝑧(휀𝑧

𝜕𝛷

𝜕𝑧) (9.53)

où εx, εy et εz sont les coefficients de diffusion turbulente selon les directions x (longitudinale),

y (transversale) et z (verticale). Le terme 휀𝑥𝜕𝛷

𝜕𝑥 représente le flux diffusif turbulent (transport)

selon la dimension x (de même selon les dimensions y et z).

Notons que le coefficient ε a pour dimension [L2] [T-1].

Le coefficient de diffusion turbulente verticale, εz peut être déterminé à partir de

relations concernant le profil vertical de vitesse (Jobson and Sayre, 1970). De façon classique,

εz sera exprimé à partir du profil de vitesse logarithmique de Von Karman :

휀𝑧 = 𝐾 𝑑 𝑢∗(𝑧 𝑑⁄ ) (1 − 𝑧 𝑑⁄ )

où K est la constante de Von Karman; Z est la distance verticale au-dessus du lit du cours

d'eau; d est la profondeur et, u* la vitesse de cisailleaent (u* = √𝜏0 / ρ = √𝑔 𝑑 𝑠). En faisant

la moyenne le long de la verticale et en prenant K = 0,4, on obtient :

휀𝑧 = 0,067 𝑑 𝑢∗ (9.54)

Le terme de transport par diffusion turbulente vertical et son coefficient εz trouvent

leurs applications les plus importantes dans la modélisation du transport des sédiments. Dans

ce cas en effet, le transport vertical joue un rôle majeur, alors qu'au flux descendant des

sédiments par gravité s'oppose un flux ascendant par diffusion turbulente. A ce sujet, nous

renvoyons le lecteur aux différents travaux de Jobson et Sayre (1970), Vchrin et Weber

(1979), Schnoor et al. (1982).

Le terme de transport par diffusion turbulente transversale est, quant à lui, d'une

importance majeure dans le mélange latéral d'un élémant à partir de son point de rejet, tel que

nous l'avons illustré sur la figure (9.15). A titre d'exemple pratique d'application, on peut

mentionner ici l'estimation de la distance nécessaire au mélange complet d'un rejetet et d’un

cours d'eau le recevant. Une relation empirique permettant de déterminer le coefficient εy a

été proposée par Fisher et al. (1979). Utilisant les résultats expérimentaux de quelques 75

études de simulation d 'écoulement en rivière, ces auteurs proposent la relation :

휀𝑦 ≅ 0,15 𝑑 𝑢∗ (9.55)

avec d et u*définis tels que précédenent.

En ce qui concerne le coefficient de diffusion turbulente longitudinale εx, aucune

mesure expérimentale de ce coefficient n'est pratiquement possible en raison de l'impossibilité

de séparer l'effet de la diffusion turbulente de celui de la dispersion longitudinale. Dès

maintenant, ceci nous amène à traiter de la dispersion longitudinale. Retenons toutefois que le

coefficient de diffusion turbulente longitudinale est négligeable devant le coefficient de

dispersion longitudinale, jusqu'à 40 fois inférieur à l'ordre de grandeur du second (Fischer et

al., 1979). Les deux coefficients étant additifs, εx est donc en pratique négligé dans les

applications.

9.4.3 Dispersion longitudinale

Notée K ou D selon les auteurs, la dispersion longitudinale occupe une place

considérable dans la littérature consacrée au transport en rivière. Devant l'ampleur de cette

question, notre développement ne peut prétendre ici qu'à retenir les quelques éléments les plus

fondamentaux quant à la compréhension et à l'application de la dispersion longitudinale. Pour

une étude plus approfondie de cette question, nous renvoyons le lecteur aux travaux

classiques de Fisher et al. (1979), Fischer (1967), Jain (1976), Beltaos (1980) et Liu et Chang

(1980).

Nous retiendrons essentiellement que le transport par dispersion longitudinale est dû à

l'existence d'un profil latéral de vitesse tel qu'illustré par la figure 9.17. Cette figure montre un

profil parabolique de la vitesse de l'écoulement u, avec une vitesse moyenne 𝑢 (à ne pas

confondre avec 𝑈 vitesse moyenne temporelle locale). Par analogie avec l'expression de la

diffusion turbulente et de celle de la diffusion moléculaire (loi de Fick), Fischer et al. (1979)

montrent que la dispersion longitudinale peut être considérée comme proportionnelle au

gradient de la quantité transportée :

𝑞 = 𝐷𝐿

𝜕𝛷

𝜕𝑥 (9.56)

où q est le flux de transport dispersif et DL le coefficient de dispersion longitudinal.

De nombreuses mesures au laboratoire ou in situ ont été effectuées à l'aide de traçeur

pour déterminer la valeur du coefficient de dispersion DL dans diverses conditions

d'écoulement. Une sélection de quelques valeurs obtenues est présentée au tableau 9.2. Par

ailleurs, Fischer et al. (1979) proposent une relation semi-empirique pour la déteraination du

coefficient de dispersion DL.

𝐷𝐿 = 0,011 𝑢2𝑊2 𝑑 𝑢∗ (9.57)⁄

où W est la largeur du cours d'eau et les autres termes sont tels que définis précédemment.

Notons que DL a pour dimension [L2] [T-1].

9.5 Modélisation du régime thermique des rivières

Parmi les grandeurs auxquelles les équations de transport qui viennent d'être évoquées

peuvent être appliquées, la température joue un rôle particulier. En effet, la température d'une

rivière, qui résulte des échanges énergétiques entre la rivière et son environnement et du

transport de la chaleur dans la rivière, commande de nombreux paramètres physico-chimiques,

en particulier la cinétique des réactions biochimiques qui s'y déroulent. La modélisation de la

température d'une rivière devra donc être réalisée préalablement ou au moins parallèlement à

celles de nombreuses grandeurs, en raison de son rôle particulièrement importantes (oxygène

dissous, matières oxydables, demande en oxygène, etc…) tant pour la vie aquatique que pour

l'utilisation des eaux.

La température naturelle d'un cours d'eau résulte d'un grand nombre de processus dont

un certain nombre dépendent des conditions météorologiques (Gras, 1969). Les principaux

termes du bilan thermique des rivières sont :

- les transferts par rayonnement : le rayonnement solaire, d'onde courte, principale source

d'énergie, va induire la plupart des termes qui vont suivre grâce aux propriétés de

l'atmosphère et de la surface terrestre ; rayonnement thermique d'onde longue provenant du

plan d'eau, rayonnement d'onde longue provenant de l'atmosphère.

- les transferts de chaleur latente par évaporation ou condensation à la surface du plan d'eau.

- les transferts entre le plan d'eau et l'atmosphère de chaleur sensible par conduction et

convection (voir chapitre 4).

Nous n'aborderons pas ici les termes du bilan qui ont un effet peu sensible tel que

l'apport thermique des précipitations ou encore les échanges énergétiques avec le fond et les

rives.

De plus, les rivières recoivent fréquemment des rejets thermiques résultant

principalement de l'utilisation des rivières comme source froide pour la production électrique

mais aussi de rejets urbains et parfois de la navigation. Ces rejets produisent un échauffement

au-dessus de la température naturelle qui peut également faire l'objet d'une modélisation

(Poulin et Hubert, 1982).

9.5.1 Rayonnement solaire

Le rayonnement émis par le soleil parvient au sommet de l'atmosphère terrestre sans

grande modification mais le passage dans l'atmosphère modifie son spectre. Le rayonnement

solaire n'est pas mesuré dans l'ensemble des stations météorologiques. Nous mentionnons

donc une méthode d'estimation du rayonnement solaire due à Perrin de Brichambaut (1976).

Les formules qui en résultent sont issues de traitements statistiques de mesures de

rayonnement solaire et sont donc valables pour une région donnée.

Par ciel clair, il est possible d'estimer l'éclairement solaire global parvenant au niveau

du plan d'eau par la formule :

𝑅𝑆𝐶 = 𝑎(sin ℎ)𝑏 (9.58)

où :

RSC est exprimé en W m-2 ;

H est la hauteur angulaire du soleil ;

a et b sont des coefficients empiriques relatifs aux conditions de luminosité et de couleur du

ciel pour la région considérée (tableau 9.3).

De nombreuses recherches ont été effectuées afin de déduire l'estimation de

rayonnement solaire par ciel nuageux de l'estimation du rayonnement par ciel clair. Les

méthodes qui en résultent ne prennent en compte que le pourcentage de couverture nuageuse

du ciel. D'autres facteurs tels que l'épaisseur, le type ou la réflexivité des nuages ne sont pas

retenus, car d'une part, on ne connaît pas très bien le rôle qu'ils jouent dans les processus

d'atténuation, et d'autre part, ils ne sont pas mesurés ou estimés dans les stations

météorologiques. On peut citer les méthodes de Kimball, Budyko, Berliand, Katsuike, citées

par Klein et Momal (1979). La méthode de Berliand a fait l'objet de nombreuses

confrontations avec des mesures (Tennessee Valley Authority, 1972) concernant des régions

situées à des latitudes voisines de celles de la France. La relation qu'il propose entre

l'intensité du rayonnement solaire par ciel nuageux RSN et l'intensité du rayonnement solaire

par ciel clair RSC est la suivante :

𝑅𝑆𝑁 = 𝑅𝑆𝐶(1 − 0,65 𝐶2) (9.59)

C est la nébulosité variant de 0 pour un ciel clair à 1 pour un ciel entièrement couvert.

La seule prise en compte de la nébulosité est bien sûr insuffisante pour obtenir une

bonne précision sur l'estimation instantanée du rayonnement solaire. D'après Perrin de

Brichambaut, une précision meilleure que 20 % est illusoire. Cependant, la série

chronologique des valeurs horaires de rayonnement solaire engendrées se révèle correcte

statistiquement par comparaison avec la série chronologique des mesures. De plus, on obtient

des résultats convenables pour le bilan journalier, la sommation permettant de réduire la

variabilité du phénomène.

Le rayonnement solaire parvenant à la surface de l'eau subit une réflexion et une

rétrodiffusion. Le rapport des rayonnements réfléchi et rétrodiffusé au rayonnement incident

s'appelle albédo. L'albédo varie avec la turbidité de l'eau mais sa valeur maximale est

d'environ 2 % pour une valeur moyenne de 0,5 %. Anderson, cité par Klein et Momal (1979),

propose une relation permettant de déterminer RS, rayonnement pénétrant dans 1a masse d'eau,

connaissant le rayonnement incident, la hauteur angulaire h exprimée en degrés et de la

nébulosité C exprimée en dixièmes.

𝑅𝑆 = 𝑅𝑆𝑁[1 − 𝐴 ℎ𝐵] (9.60)

Les valeurs données pour A et B sont représentatives des conditions moyennes

d'altitude d'ennuagement (tableau 9.4).

9.5.2 Rayonnement du plan d'eau

Il est possible de considérer, en première approximation, que le plan d'eau émet

comme un corps noir. L'expression du flux rayonné, fonction de la température seule,

s'obtient par la loi de Planck corrigée par l'émissivité de l'eau :

𝑅𝐸 = 𝐸 𝜎 𝑇4 (9.61)

avec :

E : émissivité de l'eau ;

T : température de l'eau ;

σ : constante de Stefan-Boltzmann = 5,67 10-8 W m-2 K-4

La valeur de l'émissivité varie peu avec la température de l'eau. Elle ne dépend pas de

la présence de substances dissoutes. Par contre, une pellicule d'hydrocarbures peut la modifier

de façon notable. Sa valeur varie de 0,966 selon une direction normale au plan d'eau à 0,917

pour un demi-espace. La présence de masques latéraux sur un site en fait une constante

caractéristique du site. Pratiquement, on peut adopter une valeur courante de 0,96.

9.5.3 Rayonnement atmosphérique

Le rayonnement solaire est transformé par la surface terrestre en un rayonnement

d'onde longue, lequel va être absorbé et réémis par l'atmosphère vers l'espace et vers la

surface terrestre. La vapeur d'eau est l'élément majeur de ce phénomène. On a pu montrer

qu'une couche d'air de 90 m au-dessus du niveau du sol contribuait à plus de 70 % du

rayonnement atmosphérique. Les formules pratiques utilisent donc des données de pression

partielle de vapeur d'eau au voisinage du sol.

a) Formule d'Ångström

𝑅𝐴𝐶 = (𝑎 − 𝑏 𝑒−𝛾𝑒2) 𝜎 𝑇24 (9.62)

où :

RAC : rayonnement atmosphérique par ciel clair ;

e2 : température de l'air à deux mètres du sol (en K) ;

a, b, γ :constantes expérimentales qui varient avec chaque site étudié : elles sont

représentatives du climat local, du profil detempérature et de la répartition de la vapeur d'eau

avec 1'altitude. Ces valeurs varient aussi avec la saison.

b) Swinbank propose une formule où l'émissivité de l'air ne dépend que de la température de

l'air.

𝑅𝐴𝐶 = 휀𝑎 𝜎 𝑇24 (9.63)

휀𝑎 = 𝛼0 𝑇22

où :

RAC : rayonnement atmosphérique par ciel clair ;

α0 = 0,91 (valeur moyenne ) ,

Ces formules doivent être corrigées en fonction de la nébulosité. Une formule simple

ne tenant pas compte du type de nuage est proposée par Bolz (1972).

𝑅𝐴𝑁 = 𝑅𝐴𝐶 (𝐻 0,2 𝐶2) (9.64)

C : exprimée en dixièmes ;

RAC : rayonnement atmosphérique calculé par ciel clair ;

RAN : rayonnement par ciel nuageux;

En l'absence de déterminations expériaentales de coefficients du type de ceux de la

formule d'Ångström, on pourra adopter la formule de Swinbank. Enfin on pourra considérer

que 3 % environ du rayonnement atmosphérique est réfléchi par le plan d'eau.

9.5.4 Transfert de chaleur par évaporation

Dans les conditions naturelles, l'atmosphère contient une certaine quantité de vapeur

d'eau. La différence entre la pression de vapeur d'eau à la surface du plan d'eau (égale

approximativement à la pression de vapeur saturante) et la pression de vapeur d'eau dans

l'atmosphère détermine le flux d'évaporation (ou de condensation). La diffusion moléculaire,

la vitesse du vent, le gradient de densité de l'air au-dessus du plan d'eau, la stabilité

atmosphérique, interviennent également dans l'intensité des échanges. On pourra se reporter à

ce sujet au chapitre 4 sur l'évaporation. Nous citerons ici quelques formules pratiques dont la

formule de Van Bavel qui résulte de l'analogie entre transfert de masse et transfert de quantité

de mouveaent et de l'adoption d'une loi logarithmique du profil de vitesse du vent.

𝐿𝐸 = 𝜌 𝐿 𝐾2 (𝑢𝑟 − 𝑢𝑠)(𝑞𝑟 − 𝑞𝑠)

(ln 𝑧𝑟 𝑧𝑠⁄ )2 (9.65)

L : chaleur latente de vaporisation de l'eau 2,5 106 J kg-1

u : vitesse

q : humidité

z : cote

indice s : grandeur au sol

indice r : grandeur à r mètres

Cette formule relie le flux de chaleur latente de vaporisation de l'eau au gradient de

vitesse du vent et au gradient d'humidité spécifique. En l’absence de vent, l’évaporation existe

cependant et des formules empiriques ont été établies.

Ainsi, Sweers (1976) propose une formule du flux de chaleur lié à l’évaporation de la forme :

𝐿𝐸 = 𝑒 (𝑢𝑟) 𝐿 (𝑞𝑠 − 𝑞𝑟) (9.66)

avec

𝑒(𝑢𝑟) = 𝑎 + 𝑏 𝑟𝑟 (9.67)

Les coefficients a et b sont caractéristiques du plan d'eau et dépendent de la situation

de la station météorologique par rapport à celui-ci. Le plus souvent le niveau de référence est

de deux mètres. Nous donnerons ici une valeur indicative de ces coefficients pour des

données collectées deux mètres au-dessus du sol mais au voisinnage du plan d'eau.

𝑒(𝑢2) = (3 + 1,5 𝑢2) 10−3 𝑘𝑔 𝑚2𝑠−1 (9.70)

Si on dispose de suffisament de données, il peut être utile de tenir compte de l'état de

stabilité de l'atmosphère (Tennessee Valley Authority, 1972; Poulin, 1980) qui peut influencer

notablement les échanges surtout par vents faibles.

9.5.5 Transfert de chaleur sensible

Bowen a montré que les transferts de masse et de chaleur sont similaires. On

retrouvera donc des formules semblables à celles existant pour les transferts de chaleur par

évaporation. Le rapport de Bowen B est égal au rapport de S sur LE soit :

𝐵 =𝑆

𝐿𝐸=

𝐶𝑝(𝑇2 − 𝑇0)

𝐿(𝑞2 − 𝑞0) (9.71)

Par conséquent, le flux de chaleur sensible pourra être calculé par une formule de type :

𝑆 = 𝑒(𝑢2)𝐶𝑝(𝑇2 − 𝑇0) (9.72)

avec

e (u2) = a +b u2 ;

Cp : chaleur massique de l'air à la pression atmosphèrique ;

T2 : température de l'air à deux mètres au-dessus du plan d'eau ;

T0 : température de l'air au voisinage de la surface.

9.5.6 Modèle du comportement thermique d'un cours d'eau

Les flux de chaleur que nous venons d'expliquer peuvent être calculés à partir de

données météorologiques deroutine. L'emploi de ces formules dans un modèle mathématique

de simulation de la tempèrature d'un cours d'eau permet d'obtenir des résultats satisfaisants en

moyenne journalière (Poulin, 1980).

Le terme d'échange à l'interface air-eau permet de modéliser l'évolution de

l'échauffrment d'un cours d'eau résultant d'un rejet thermique (Poulin et Hubert, 1982). Dans

un bief de débit et de section constants, un èchauffement initial Δt0, estimé après mélange

complet de l'effluent et du cours d'eau récepteur évolue au cours du temps selon la relation :

𝛥𝑇 = 𝛥𝑇0 𝑒𝑥𝑝(−𝑘𝑡 𝜌 𝐶𝑝⁄ ) (9.73)

ΔT0 : Echauffement du à un rejet ponctuel °C ;

Cp : chaleur massique de l'eau J kg-1 °C-1 ;

ρ : masse volumique de l'eau kg m-3 ;

k : coefficient d'échange W m-2 °C-1.

Ce coefficient d'échange se calcule par dérivation des termes correspondant au

rayonnement du plan d'eau et au flux de chaleur sensible et de chaleur latente d'évaporation.

𝑘 =𝜕𝑅𝐸

𝜕𝑇+

𝜕𝐿𝐸

𝜕𝑇+

𝜕𝑆

𝜕𝑇 (9.74)

Le rayonnement solaire et le rayonnement atmosphérique ne varient pas entre l'état

perturbé et l'état naturel du cours d'eau et n'interviennent donc pas dans le calcul de k.

9.6 Développement d'un modèle simple de transport

Ayant posé les équations régissant le transport en riviére, nous nous intéressons

maintenant au développement d'un modèle de transport simple, applicable à un problème de

pollution courant.

Considérons une ville déversant ses eaux usées dans une rivière. Ces eaux usées

comportent principalement des matières organiques biodégradables (DBO) De plus, une usine

déverse un effluent thermique au même endroit. Dès lors, nous sommes intéressés à

développer un modèle permettant de prédire, à tout instant t et à toute distance x le long du

cours d'eau, quelles seront les concentrations résultantes en oxygène dissous. Puisque

l'oxygène dissous est en interactions directes avec la DBO et la température, nous serons

amenés à développer un systeme de trois équations couplées concernant respectivement le

transport de chaleur, le transport de DBO et le transport de l'oxygène dissous.

Ces trois équations sont établies en effectuant un bilan de masse autour d'un élément

de volume du cours d'eau et conformément aux hypothèses suivantes :

- On néglige le transport par diffusion turbulente verticale ;

- On suppose que le mélange latéral complet est réalisé et qu'on peut négliger le terme de

transport par diffusion turbulente transversale ;

- Le terme de transport par diffusion turbulente longitudinale est négligeable devant le terme

de dispersion longitudinale ;

- Le débit du cours d'eau, Q, est constant ;

- La section du cours d'eau varie selon une relation A = f (x).

Dès lors, le bilan de la chaleur, de la DBO et de l'oxygène dissous pour un élément de volume

s'écrit :

[

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝛷 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝛥𝑡𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑑𝑒

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

] = [𝐹𝑙𝑢𝑥 𝑛𝑒𝑡

𝑝𝑎𝑟 𝑎𝑑𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛] +

[

𝐹𝑙𝑢𝑥 𝑛𝑒𝑡𝑝𝑎𝑟

𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒

𝐶𝑓 𝐸𝑞 9.19 ]

+ [

𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑠)

] + [

𝑇𝑎𝑢𝑥𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠(𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠)

]

𝜕𝛷𝑖

𝜕𝑡= −𝑢

𝜕𝛷𝑖

𝜕𝑥+

1

𝑆

𝜕

𝜕𝑥𝑆 𝐷𝐿

𝜕𝛷𝑖

𝜕𝑥+ [𝑆𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑠] − [𝑃𝑢𝑖𝑡𝑠] (9.75)

Transport Transport

par par

advection dispersion

longitudinale

On constate d'après l'équation (9.75) que seuls deux termes importants restent à

formuler mathématiquement pour compléte notre modèle, soit les termes [Sources] et [Puits].

9.6.1 Le comportement de la température

Pour la température, seul le terme puits est à considérer. Il s'agit de la dissipation de

l'échauffement de la rivière vers l'atmosphère qui peut s'écrire (paragraphe 9.5.6 et Edinger et

al., 1974).

.

Taux de perte = - K (T – E) (9.76)

K est un coefficient de transfert, égal à k / ρ Cp selon les notations du paragraphe 9.5.6

(remarquons que k dépend de la section, à travers la profondeur moyenne h). E est la

température naturelle du cours d'eau. Elle doit faire l'objet d'une modélisation préalable, selon

les principes exposés au paragraphe 9.5. T enfin est la température actuelle de la rivière,

somme de la température naturelle E et d'un échauffement dû aux rejets thermiques .

9.6.2 Comportement de la demande biologique en oxygène

Examinons maintenant le processus de la consommation de l'oxygène dissous. Si l'on

isole de l'air un échantillon d'eau contenant des matières organiques oxydables, on constate

que la teneur en oxygène dissous diminue avec le temps, c'est là une conséquence de l'activité

des bactéries aérobies, pour s'annuler ou tendre asymptotiquement vers une limite apr ès

quelques dizaines de jours. Si une limite est atteinte, on peut ainsi mesurer la demande

biologique ultime en oxygène, quantité d'oxygène nécessaire par unité de volume pour assurer

l'oxydation biologique des matières contenues dans l'échantillon.

On admet que la consommation d'oxygène est à chaque instant proportionnelle à la

demande en oxygène restant à satisfaire. En fait, les phénomènes sont un peu plus complexes,

marqués par au moins deux étapes successives d'oxydation : .oxydation des chaines carbonées

d'abord, nitrification ensuite. Nous en tenant à la seule consommation due à l'oxydation des

chaines carbonnées, on peut écrire, si L est la demande biologique en oxygène :

Taux de biodégradation = - K1 L (9.77)

où K1 est un coefficient de désoxygénation qui dépend surtout de la tèmpérature et de la

nature des matières organiques oxydées (tableau 9.5). La variation du coefficient K1 selon la

température T s'exprime comme :

𝐾1(𝑇) = 𝐾(20) 𝜃1(𝑇−20)

(9.78)

T étant exprimé en °C et θ1 étant souvent pris égal à 1.07.

A température constante, l'équation 9.77 peut s'intégrer en :

𝐿(𝑇) = 𝐿0 𝑒−𝐾1𝑡 (9.79)

On mesure généralement au laboratoire la teneur en oxygène dissous initiale et la

teneur en oxygène dissous au bout de cinq jours. La différence est la DBO5 (demande

biologique en oxygène dissous au bout de cinq jours) qui s'exprime en mg/l comme la

demande en oxygène et comme les teneurs en oxygène dissous. La valeur de la DBO5 égale à

L0 – L(5) permet d'atteindre L0 (demande ultime en oxygène).

Si la teneur en oxygène dissous d'un échantillon s'annule, cela signifie que la quantité

d'oxygène présente initialement dans l'eau est insuffisante pour mener à terme les oxydations

biologiques. On attribue cependant une DBO à de tels échantillons grâce à des dilutions

successives qui placent finalement l'échantllon dans des conditions aérobies pendant toute la

durée de l'expérience. Il est nécessaire de mesurer le caractère approximatif de la DBO5 en

tant que grandeur. Bien qu'elle s'exprime en mg/1, il ne s'agit en aucune façon d'une

quelconque "substance" présente dans l'eau, mais seulement d'une consommation potentielle

d'oxygène, déterminée au laboratoire dans des conditions expérimentales très précises. C'est

néamoins une grandeur fort utile car c'est le seul estimateur des matières biodégradables dont

nous disposons.

9.6.3 Comportement de l'oxygène dissous

Dans le cas de l'oxygène dissous, les pertes, c'est-à-dire la consommation d'oxygène

dissous, sont déjà exprimées par l'équation (9.77). Quant aux sources d'oxygène, elles sont

assurées par réaération physique, c'est-à dire par transport de masse de l'atmosphère vers la

surface de l'eau. Dans les conditions physico-chimiques du milieu aquatique considéré (en

particulier selon la température), il existe une concentration saturante en oxygène dissous. Si

la teneur actuelle présente un déficit on admet que la dissolution d'oxygène atmosphérique

dans l'eau est alors, à chaque instant, proportionnelle au déficit en oxygène, différence entre la

teneur saturante et la teneur actuelle.

Taux de réaération = K2 [CS(T) - C] (9.80)

K2 étant un coefficient de réoxygénation physique. Ce coefficient varie évidemment selon les

rivières, et il dépend principalement des facteurs qui affectent la turbulence au voisinage de la

surface de l'eau. De nombreuses études, surtout empiriques, ont été réalisées pour exprimer

K2 en fonction des paramètres de la rivière et de l'écoulement. Généralement, les expressions

proposées ont une valeur très locale. La formule de Parkhurst et Pomeroy (1972) que nous

présentons ici a au moins le mérite de mettre en évidence quelques grandeurs importantes

quant au processus de réaération :

𝐾2(20 °𝐶) =0,96

𝐻(1 + 0,17 𝐹𝑟

2)(𝑖 𝑢)0,0375 (9.81)

K2 est ici exprimé en heure-1,avec :

H : hauteur d'eau en m ;

𝑢 : vitesse moyenne du courant en m/s ;

i : pente de la ligne d'énergie ;

g : accélération de la pesanteur en m/s2 ;

Fr : 𝑢 / gl nombre de Froude.

Il faut noter la présence de H, hauteur ou profondeur de l'eau au dénominateur de cette

expression. La réaération sera d'autant plus efficace que la profondeur sera faible ou, en

d'autres termes, que la surface d'échange sera plus importante par rapport au volume d'eau

concerné.

On peut aussi se contenter d'évaluations plus sommaires fondées sur des appréciations

purement qualitatives du milieu (tableau 9.6). De toutes manières, K2 varie selon la

température T comme :

𝐾2(𝑇) = 𝐾2(20) 𝜃2(𝑇−20) (9.82)

T étant exprimé en •°C et θ2 étant souvent pris égal à 1,016.

Ce modèle de réoxygénation, qui est généralement adopté, risque d'être inexact en

milieu productif, où la consommation d'oxygène par respiration la nuit et la production

d'oxygène par photosynthèse le jour, dues au phytoplancton, peuvent affecter le

comportement de l'oxygène dissous.

9.6.4 Le système température, demande biologique en oxygène, oxygène dissous

Dès lors, on effectue le bilan décrit en (9.75) en incorporant les termes définis en

(9.76), (9.77) et (9.79), et on obtient :

Equation de transport de chaleur

𝜕𝑇

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑇

𝜕𝑥=

1

𝑆

𝜕

𝜕𝑥(𝑆 𝐷𝐿

𝜕𝑇

𝜕𝑥) − 𝐾(𝑇 − 𝐸) (9.83)

Equation de transport de la DBO

𝜕𝐿

𝜕𝑡+ 𝑆 𝐷𝐿

𝜕𝑇

𝜕𝑥𝑢

𝜕𝐿

𝜕𝑥=

1

𝑆

𝜕

𝜕𝑥(𝑆 𝐷𝐿

𝜕𝐿

𝜕𝑥) − 𝐾1(𝑇) 𝐿 (9.84)

Equation de transport de l'oxygène dissous

𝜕𝐶

𝜕𝑥+ 𝑢

𝜕𝐶

𝜕𝑥=

1

𝑆

𝜕

𝜕𝑥(𝑆 𝐷𝐿

𝜕𝐶

𝜕𝑥) − 𝐾1(𝑇) 𝐿 + 𝐾2(𝑇) [𝐶𝑆(𝑇) − 𝐶] (9.84)

Ce système d'équations constitue un modèle de transport unidimensionnel, dispersif,

en régime non permanent et qui intègre les différentes interactions des quantités transportées.

Il faut d'abord résoudre l'équation (9.83) (qui nécessite la simulation préalable de la

température naturelle ou d'équilibre E), puis l'équation (9.81) et enfin l'équation (9.85)

puisque la température T intervient dans les équations (9.81) et (9.85) et que la demande

biologique en oxygène L intervient dans l'équation (9.85), la solution de ce système couplé

nous permet d'évaluer et de prédire C(x, t), c'est-à-dire la concentration d'oxygène dissous

dans le cours d'eau en x et à tout instant t.

9.6.5 Le modèle de Streeter et Phelps

En réécrivant l'équation (9.85) sous sa forme non dispersive (c'est-à-dire) en

négligeant la dispersion longitudinale) pour des conditions de régime permanent et en

supposant que la température est constante dans le cours d'eau, on obtient :

𝑑𝐶

𝑑𝑡= −𝐾1𝐿 + 𝐾2(𝐶𝑆 − 𝐶) (9.86)

Cette équation est la forme bien connue du modèle de Streeter et Phelps (1925) pour la

simulation de l'oxygène dissous en rivière.

Si nous introduisons le déficit en oxygène :

D = CS - C

l'équation (9.86) s'intègre, tenant compte de (9.79) en :

𝐷(𝑡) =𝐾1

𝐾2 − 𝐾1 𝐿0 (𝑒

−𝐾1𝑡 − 𝑒−𝐾2𝑡) + 𝐷0𝑒−𝐾2𝑡 (9.87)

L0 et D0 sont respectivement la demande biologique en oxygène ultime et le déficit en

oxygène au temps t=0.

En milieu peu pollué, D0 est voisin de zéro. Le rejet de matières oxydables entraîne

alors une diminution progressive de l'oxygène dissous, donc une augmentation du déficit, si la

respiration l'emporte sur la réaération. On peut aboutir à la disparition totale de l'oxygène

dissous, auquel cas des conditions anaérobies s'instaurent, ou passer par un maximum de

déficit, au-delà duquel la réaération l'emporte sur la respiration. S'il existe un tel maximum, il

sera atteint au bout d'un temps tc que l'on peut calculer en annulant la dérivée de la fonction

(9.87) (tc ne correspond à un maximum effectif que si sa valeur est réelle et positive). La

courbe représentative de la teneur en oxygène dissous présente alors un minimum en aval du

rejet et est souvent qualifiée de courbe en sac.

Nous avons vu que les paramètres K1 et K2 augmentent avec la température. On admet

souvent que le paramètre K2 qui traduit la cinétique des réactions biochimiques, augmente

plus vite que le paramètre K2. Si tel est le cas, la température joue un rôle favorable en ce

qu'elle permet une minéralisation et une métabolisation plus rapides des matières organiques

(ce que l'on nomme autoépuration) mais joue un rôle défavorable en ce qu'elle conduit

localement à des déficits en oxygène dissous du milieu plus accusé. Ce dernier point est

d'autant plus important que l'activité métabolique des espèces de l'écosystème aquatique, et

donc leurs besoins en oxygène, augmentent avec la température dans les mêmes proportions

que la constante K2.

9.6.6 Généralisation du modèle de Streeter et Phelps –exemple du modèlede Seine

Le modèle de Streeter et Phelps tel qu'il vient d'être exposé, fournit un canevas qui

peut être généralisé. C'est le cas du modèle de la Seine de Montereau (à une centaine de

kilomètres à l'amont de Paris) à Poses (limite de l'estuaire de la Seine) développé par Lesouef

et André (1982) à l'agence financière de bassin Seine-Normandie.

La Seine est découpée en biefs limités par des barrages ou par des confluences avec

des affluents ou des rejets importants. Dans chaque bief on suppose les sections homogènes,

la température constante, l'écoulement permanent et on néglige les effets de dispersion

longitudinale. Une vitesse d'écoulement est déterminée dans chaque bief qui permet d'établir

une correspondance entre le temps écoulé et la distance parcourue.

La demande biochimique en oxygène est décomposée en une demande irréductible,

due à la respiration des algues et est de l'ordre de 2 mg/1, et en une demande exogène, due

aux rejets polluants, à laquelle s'appliquent les équations de Streeter et Phelps.

On introduit de plus la nitrification comme phénomène susceptible de consommer de

l'oxygène dissous :

𝑁𝐻4 + 2 𝑂2 → 𝑁𝑂3− + 𝐻2𝑂 + 2 𝐻+ (9.88)

et on admet que les concentrations [NH4] et [NO3-] obéissent aux équations suivantes :

[𝑁𝐻4] = [𝑁𝐻4]0 𝑒−𝐾𝑁𝑅𝑡 (9.89)

[𝑁𝑂3−] = [𝑁𝑂3

−]0 + 3,44 [𝑁𝐻4]0 (1 − 𝑒−𝐾𝑁𝑡) (9.90)

où [𝑁𝑂3−]0 et [𝑁𝐻4]0 sont les concentrations à l'origine. Le facteur 3,44 est dû au fait que la

nitrification de 18 g d'ammonium fournit 62 g de nitrate (équation 9.88). On remarque que le

coefficient de disparition de l'ammonium KNR est différent du coefficient de nitrification KN

car à côté de la nitrification, l'assimilation biologique est également une cause de disparition

de l'ammonium parmi d'autres encore mal élucidées.

Le bilan du déficit en oxygène dissous s'écrit alors :

𝑑𝐷

𝑑𝑡= −𝐾2𝐷 + 𝐾1𝐿 + 3,56 𝐾𝑁 [𝑁𝐻4] (9.91)

Le facteur 3.56 est dû au fait que 64 g d'oxygène sont nécessaires à la nitrification de

18 g d'ammonium (équation 9.88).

L'équation différentielle linéaire (9.91) s'intègre, en tenant compte des équations

(9.79) et (9.89), en :

𝐷(𝑡) =𝐾1𝐿0

𝐾2 − 𝐾1

(𝑒−𝐾1𝑡 − 𝑒−𝐾2𝑡) +3,56 𝐾𝑁[𝑁𝐻4]0

𝐾2 − 𝐾𝑁𝑅

(𝑒−𝐾𝑁𝑅𝑡 − 𝑒−𝐾2𝑡) + 𝐷0𝑒−𝐾2𝑡 (9.92)

Enfin, on admet que lorsque la concentration en oxygène dissous descend sous un

seuil pris égal à 1,5 mg/1, l'oxygène nécessaire est fourni par dénitrification.

5

2𝐶 𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 + 2𝐻+ + 2 𝑁𝑂3

− → 𝑁2 + 𝐻2𝑂 +5

2𝐶𝑂2

L'ensemble des équations que nous venons d'établir sont écrites pour chaque bief. A

l'origine de chacun de ceux-ci les valeurs de L0, [𝑁𝐻4]0 et D0 sont réactualisées en tenant

compte des affluents, des rejets et/ou de l'aération procurée par les barrages. Les coefficients

K1, K2, KN et KNR sont déterminés par calage sur les valeurs observées (figure 9.18).

L'utilisation de ces coefficients doit cependant être prudente, en particulier dès que l'on

s'éloigne des conditions du calage, et doit être accompagnée, ce qui n’est pas propre à ce

modèle, de méticuleuses études de sensibilité.

Un tel modèle, susceptble de simuler le comportement de quatre variables

fondamentales dans l'appréciation de la qualité des rivières (oxygène, DBO, ammonium et

nitrate) s'est révélé un instrument efficace pour guider les choix relatifs au traitement des

rejets, malgré les difficultés liées à l'évaluation des constantes.

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