Equations différentielles stochastiques (EDS). · 1 Pourquoi les équations différentielles...

Equations différentielles stochastiques(EDS).

Francesco Russo,

ENSTA ParisTech

http://www.ensta-paristech.fr/∼russo/

CONFERENCE TIPE 2012, le 24 septembre 2011

Equations différentielles stochastiques (EDS). – p. 1/111

Plan

1. Pourquoi les équations différentielles stochastiques?

2. Un point de départ déterministe.

3. Mouvement brownien et diffusions.

4. Variation quadratique et formule d’Itô.

5. Le cas Lipschitz.

6. Diverses notions de solutions.

7. Sujets de recherche fondamentale associés.

8. Références.


1 Pourquoi les équations

différentielles stochastiques?

1.1 Etymologie

Equation. Connue par les écoliers. Une égalité contenantune (ou plusieurs) variable(s). La variable est aussiappelée inconnue et les valeurs pour lesquellesl’égalité est vérifiée, est appelée solution.


Equation Différentielle. Une équation dans laquelleopèrent des opérateurs différentiels, tels qu’unedérivée ou des dérivées partielles. L’inconnue est unefonction.

Stochastique. Terme provenant du grec correspondantau terme latin aléatoire. On parle de Processus stochastiquepour désigner des fonctions qui dépendent du hasardet d’un autre paramètre, qui est généralement le temps.

Equation différentielle stochastique Une équation danslaquelle opèrent formellement des opérateursdifférentiels et le ”hasard” intervient. Les solutions sontdes processus stochastiques.


1.2 Quelques aspects qualitatifs

Une manière de modéliser le hasard dans l’évolution d’unsystème dynamique à temps continu.

Mots clés. Mouvement brownien, bruit blanc, processusà sauts, équations différentielles ordinaires (EDO),équations aux dérivées partielles (EDP).

Champs d’application. Biologie (évolution de populations,réseaux de neurones). Ingénierie. Economie, finance.Physique quantique.


1.3 Deux grandes directions.

A) Une perturbation stochastique d’un modèledéterministe.

B) Une représentation microscopique d’un phénomènemacroscopique, souvent modélisé par une EDO ou uneEDP déterministe.


1.4 Outils.

A) Des “analogues stochastiques” d’instruments“déterministes” classiques, tels que les intégrales, laformule d’intégration par partie, le théorème fondamental du calculdifférentiel et intégral.Intégrales stochastiques, formules d’ Itô ...

B) Des outils “propres” du monde stochastique commeles martingales, les semi-martingaless, les théorèmes dereprésentation correspondants.

C) Des outils d’autres disciplines tels que l’analysefonctionnelle (calcul de Malliavin).


1.5 Notations fondamentales

Espace de probabilité(Ω,F , P ).

Ω: ensemble d’issues (réalisations du hasard).

F : famille des événements; sous-ensemble del’ensemble des parties de Ω.

P : probabilité fixée.

Une propriété est dite vérifiée p.s. (= presquesûrement) si elle vaut pour toute réalisation ω ∈ Ω−N ,où N ⊂ Ω est un ensemble de probabilité nulle.


Processus stochastique (Xt) = (Xt(ω))

Fonction du temps et du hasard.Définie sur Ω× [0, T ]. T : échéance, maturité.(ω, t) 7→ Xt(ω).

Si temps t fixé, Xt est une variable aléatoire (v.a.).

Si ω ∈ Ω est fixé alors t 7→ Xt(ω) est une trajectoire .

On dit qu’un processus est continu, croissant, dérivable, àvariation finie etc... si p.s. toutes ses trajectoires sontcontinues, croissantes, dérivables, à variation finieetc...


2 Un point de départ déterministe

2.1 Lipschitz, Hölder, . . .

Une fonction f : [0, T ] → R est dite hölderienne deparamètre 0 < H < 1 si

|f(t)− f(s)| ≤ const|t− s|H , ∀s, t ∈ [0, T ].

Une fonction γ : [0, T ]× Rm −→ R

d est dite Lipschitz(par rapport à x uniformément en t), s’il existe uneconstante C > 0 avec


supt∈[0,T ]

|γ(t, x)− γ(t, y)| ≤ C|x− y| (1)

Une fonction γ : [0, T ]× Rm −→ R

d est dite à croissancepolynomiale (par rapport à x uniformément en t), s’ilexiste un n et une constante C > 0 avec

supt∈[0,T ]

|γ(t, x)| ≤ C(1 + |x|n) (2)

γ est dite à croissance linéaire si la condition (2) estvérifiée avec n = 1.


2.2 Phénomène de Peano

Soit b : [0, T ]× Rm → R

d continu à croissance linéaire,mais non-nécessairement Lipschitz, x0 ∈ R

d.Considérons l’ équation

dXt

dt= b(t,Xt)

X0 = x0.(3)


Exemple:

m = 1, b(t, x) =√

|x|, x0 = 0.

Problème mal posé: phénomène de Peano.Existence, mais pas unicité.


Famille de solutions:

Xt ≡ 0.

Xt(c) =

0 : t ∈ [0, c](t−c)2

4: t ≥ c.

Si b mesurable, solutions de Filippov.


Perturbons (3) par un bruit aléatoire.

Un bruit est modélisé comme un processus stochastique(ξt)t≥0 à valeurs dans R

d.

L’équation (3) devient

dXt

dt= b(t,Xt) + ξt

X0 = x0.(4)


2.3 Modélisation du bruit

Une situation raisonnable est la suivante (bruit blanc).

1) C’est une famille de v.a. indépendantes.

2) (ξt)t≥0 est stationnaire i.e. pour chaque entier n ∈ N∗,

des réels h, t0, t1, . . . , tn, la loi de (ξt0+h, . . . , ξtn+h) nedépend pas de h.


2.4 Problème

Plaçons-nous par simplicité dans le cas d = 1.Il n’y a pas de processus “raisonnable” vérifiant lespropriétés précédentes.

Si (ξt) existait alors il ne pourrait pas être un processuscontinu.

Si (ξt) existait et pour chaque t, ξt était une v.a. ayantune espérance et une variance, alors le processus nepourrait pas être mesurable par rapport à Ω× [0, T ].


Supposons cependant que ξ existe. Notons

Bt =

∫ t

0

ξsds, t ≥ 0.

Au niveau de B les propriétés précédentes se traduisentcomme suit.

1. B est à incréments indépendants , c’à d. pour chaquet0, . . . , tn, les v.a. Bt1 − Bt0 , . . . , Btn − Btn−1

sont desv.a. indépendantes.

2. B est à incréments stationnaires , c’à d. tel que pourchaque t0, . . . , tn, h ≥ 0, la loi de(Bt1+h − Bt0+h, . . . , Btn+h − Btn−1+h) ne dépend pas deh.


Par ailleurs il est naturel de demander

a) B0 = 0 p.s.

b) B est un processus continu , i.e. presque toutes lestrajectoires sont continues.


3 Mouvement brownien et diffusions.

3.1 Un fait fondamental

Un résultat fondamental de théorie des probabilités affirmequ’un processus stochastique (Bt) vérifiant les propriétés1., 2. et a), b) est essentiellement un mouvement brownien,voir définition ci-dessous.Plus précisément, il existe des constantes réelles b, σ tellesque Bt = bt+ σWt où (Wt) est un mouvement brownien

standard voir définition ci-dessous.


Définition 1 (Mouvement brownien standard .) Un processusstochastique (continu) (Wt) tel que

1. W0 = 0 p.s.;

2. W est à accroissements indépendants;

3. la loi de Wt −Ws est gaussienne N(0, t− s).

Mouvement brownien multidimensionnel

Vecteur de mouvements browniens indépendants

W = (W 1,W 2, . . . ,Wm).


−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figure 1: Mouvement brownien 2-dimensionnel sur [0, 1]


3.2 Retour sur l’EDO perturbée par un bruit.

L’équation (4) se réécrit comme une équation intégrale:

Xt = x0 +

∫ t

0

b(s,Xs)ds+Bt (5)

Dans ce cas le problème est bien posé.

Question:

Si b(x) =√

|x| et B = εW , que se passe-t-il lorsque ε

converge vers zéro?


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5ε =1

ε =0.5

ε =0.01

So l. Ex. (ε =0)

Figure 2: Trajectoire de la solution X pour t ∈ [0, 1], pour

différentes valeurs de ε

.Equations différentielles stochastiques (EDS). – p. 24/111

L’équation (4) admet des généralisations via le bruitmultiplicatif:

dXt

dt= b(t,Xt) + a(t,Xt)ξt

X0 = x0.(6)

où a : [0, T ]× Rm → R

d.


3.3 Quelques propriétés du mouvement

brownien.

Comme attendu, les trajectoires d’un mouvementbrownien sont presque toutes nulle part différentiable .

Les trajectoires ne sont pas à variation finie c’à d. pourpresque tout ω, la dérivée au sens des distributions det 7→ Bt(ω) (c’à d. ξt(ω) n’est pas une mesure).


Les trajectories du mouvement brownien ne sont pashölderiennes de paramètre H ≥ 1

2.

Les trajectories du mouvement brownien sonthölderiennes de paramètre H < 1

2.


3.4 Processus de diffusion

Solutions de

dXt

dt= b(t,Xt) + a(t,Xt)ξt

X0 = x0.(7)

où a : [0, T ]× Rd×m → R

d.Terminologie. a: diffusion; b drift (ou dérive).


Problèmes: déjà pour m = d = 1.

1. Multiplication de la fonction a(t,Xt(ω)) avec ladistribution ξt(ω).

2. En réalité on représente l’équation (7) par sa formeintégrale:

Xt = x0 +

∫ t

0

b(s,Xs)ds+

∫ t

0

a(s,Xs)dWs (8)

3. Comment définir l’ intégrale stochastique∫ t

0a(s,Xs)dWs, vu que les trajectoires de W ne sont

même pas à variation finie?


3.5 Intégrales stochastiques

Soit W = (Wt) un mouvement brownien standard.

Interprétation formelle de l’intégrale stochastique: on fixe ωréalisation du hasard.

(∫ T

0

YsdWs

)

(ω) :=′′

∫ T

0

Ys(ω)dWs(ω)

dsds′′.

L’intégrale se passe par rapport au temps.

Le résultat est donc une variable aléatoire.


Remarque 2 1. La définition n’est pas univoque.

2. Supposons Y non-anticipant (progressivementmesurable):Yt ne dépend que de (Ws, s ≤ t) pour chaque t.

3. Intégrale d’ Itô:∫ T

0YsdWs: Si les trajectoires de Y sont

continues (ou Riemann-intégrables) alors ce sera lalimite de

N−1∑

i=0

Yti(Wti+1−Wti) (9)


où 0 = t0 < t1 < . . . < tN = T est élément d’une suite desubdivisions dont le pas

N−1maxi=0

(ti+1 − ti)

converge vers zéro.


3.6 Intégrale d’Itô∫ T

0 YsdWs.

L’intégrale stochastique la plus populaire et utilisée.

Elle se base sur le fait que l’intégrateur X = W est unemartingale.

Elle est définie pour les intégrands Y progressivementmesurables (essentiellement la propriété denon-anticipation précédente) tels que

∫ T

0Y 2s ds < ∞ p.s.

Si E(

∫ T

0Y 2s ds

)

< ∞, Xt =∫ t

0YsdWs a une espérance

nulle. X est même une martingale.


3.7 Au coeur de la prédiction .

Soit Z une v.a.

Esperance de Z notée E(Z).“Valeur moyenne attendue”.Si E(Z2) est finie alors Z est dite de carré intégrable .

Espérance conditionnelle.Soit G une famille d’événements observables(modélisée par la notion de “tribu”).L’espérance conditionnelle de Z sachant G est notéeE(Z|G): valeur moyenne attendue, en considérant quenous disposons des observations G.


Si l’on n’a pas d’informations, G est triviale.

“Espérance conditionnelle = Espérance tout court.”

Martingale.

Un processus M = (Mt) est une martingale si pour tout0 ≤ s < t ≤ T , l’espérance conditionnelle de Mt

sachant que l’on dispose de l’information jusqu’autemps s (symbolisée par Gs) est Ms.

Formellement: E(Mt|Gs) = Ms.


Attention: L’intégrale d’Itô n’est pas une intégrale deRiemann. Par exemple, si Y est continu

N−1∑

i=0

Yti+1(Wti+1

−Wti) (10)

ne converge pas vers l’intégrale d’ Itô.

La limite précédente, lorsqu’elle existe, s’appellel’intégrale rétrograde de Kunita.


Lorsqu’elle existe, la limite de

N−1∑

i=0

(Yti + Yti+1)(Bti+1

− Bti) (11)

converge vers l’intégrale dite de Stratonovich .


3.8 Le modèle de Samuelson-Black-Scholes

(1965)

Considérons l’équation

dXt

dt= (r + σξt)Xt

X0 = x0.(12)

Si σ = 0, la solution est Xt = x0ert: evolution d’un

capital à taux d’intérêt constant.


Cours d’une action: r 7→ r + σξt. L’équation devient

Xt = x0 +

∫ t

0

rXsds+

∫ t

0

rXsdWs.

LA SOLUTION N’EST PAS

Xt = x0 exp(σWt + rt), t ≥ 0.


3.9 Processus d’Itô

Processus du type.

Xt = X0 +

∫ t

0

Hs · dWs +

∫ t

0

Ksds

avec W mouvement brownien d-dimensionnel.H,K processus progressivement mesurables tels que

∫ T

0

|Hs|2ds+∫ T

0

|Ks|ds < ∞ p.s.


Un processus d’Itô est encore un processus intégrateur .

Si Y est un processus progressivement mesurable parrapport à W alors on définit

∫ t

0

YsdXs :=

∫ t

0

YsKs · dWs,

à condition que le membre de droite ait un sens.

Semi-Martingales: Martingale locale + Processus àvariation finie.

Un processus d’Itô est une semi-martingale.


4 Variation quadratique et formule

d’Itô

4.1 Covariation de deux processus

Soit X, Y deux processus stochastiques dont l’un au moinsest continu.Définition 3 Considérons une famille de subdivisions0 = t0 < t1 < · · · < tN = T dont le pas converge vers 0.Supposons que

∑N

i=1(Xti∧t −Xti−1∧t)(Yti∧t − Yti−1∧t)

converge en probabilité vers un certain processus(continu) (Zt)t∈[0,T ] et cette limite ne dépend pas de la suitede subdivisions choisie. Equations différentielles stochastiques (EDS). – p. 42/111

Définition 4 Dans ce cas, le processus limite s’appellecovariation de X et Y et il se note ([X, Y ]t∈[0,T ]).


Si [X,X] existe alors

il est toujours croissant;

on le note aussi [X].

Il est appelé variation quadratique de X.

X est dit processus à variation quadratique finie .

Généralisation possible au cas avec sauts.


Proposition 5 1. Si X est un processus d’Itô de la formeprécédente alors X est à variation quadratique finie et

[X]t =

∫ t

0

|Hs|2ds.

2. Si X continu et à variation finie alors [X] ≡ 0.En particulier

La variation quadratique d’un mouvement brownienstandard W vaut [W ]t = t.

La variation quadratique d’un processus différentiablevaut zero.


4.2 Formule d’Itô

Cas unidimensionnel (pour simplifier).

Proposition 6 Soit X un processus d’Itô,f : [0, T ]× R → R de classe C1,2. Alors

F (t,Xt) = F (0, X0) +

∫ t

0

∂sF (s,Xs)ds+

∫ t

0

∂xF (s,Xs)dXs

+1

2

∫ t

0

∂(2)xx F (s,Xs)d[X]s.


Remarque 7 Si X est différentiable alors le résultatest vrai avec F différentiable et on retrouve le théorèmefondamental du calcul différentiel et intégral.

La preuve se fait par un développement de Taylor ausecond ordre.


Idée de la preuve . Supposons F indépendant du temps. Soit0 = s0 < s1 . . . < sN = T élément d’une famille desubdivisions de [0, T ] dont le pas converge vers zéro.Soit t ∈ [0, T ]. Posons ti = si ∧ t, 0 ≤ i ≤ N.


Pour i = 0, . . . , N − 1 on écrit

F (Xti+1)− F (Xti) = F ′(Xti)(Xti+1

−Xti) (13)

+1

2F ′′(Xti)(Xti+1

−Xti)2 +R. (14)

On somme sur i et on passe à la limite lorsque le pas de lasubdivision converge vers zéro.


4.3 Théorème de représentation de Lévy du

mouvement brownien

Si (Mt) est une martingale continue, telle que [Mt] ≡ t,alors M est un mouvement brownien standard.


5 Le cas Lipschitz

5.1 Existence et unicité

Comme pour les équations différentielles ordinaires,l’équation (8) est posée si les coefficients a, b sont Lipschitz,à croissance linéaire .

Méthode de démonstration : Méthode du point fixe de Picard.


Une fonction γ : [0, T ]× Rm → R

d est dite localementLipschitz (par rapport à x uniformément en t), si pourchaque t ∈ [0, T ], K > 0, γ|[0,T ]×[−K,K] est Lipschitz (parrapport à x uniformément par rapport à t).


Soit a : [0, T ]× Rd×m −→ R

d, b : [0, T ]× Rd −→ R

d, desfonctions boréliennes.

Soit (Wt)t≥0 un mouvement brownien (standard)m-dimensionnel.η une variable aléatoire à valeurs dans R

d indépendantede W .


Theorem 8 (Equation E(a, b)).Supposons a et b localement Lipschitz à croissancelinéaire. Supposons η de carré intégrable.Alors il existe un unique processus continu(progressivement mesurable) X = (Xt)t∈[0,T ] solution de

Xt = η +

∫ t

0

b(s,Xs)ds+

∫ t

0

a(s,Xs)dWs (15)

De plus

E

(

supt≤T

|Xt|2)

< ∞. (16)


Remarque 9 1. L’équation (15) se dénote aussi de façondifférentielle.

dXt = a(t,Xt)dWt + b(t,Xt)dt

X0 = η.(17)

Elle est bien posée en mettant x comme conditioninitiale au temps s ∈ [0, T ]. Si η ≡ x est un pointdéterministe de R

d, nous notons Xs,x la solution de ceproblème.

2. Si les coefficients sont localement Lipschitz, l’équationadmet une solution jusqu’ à un certain temps, dit tempsd’arrêt.


3. Si d = 1, il est possible de poser de poser conditionsnécessaires et suffisantes pour la non-explosion (testde Feller) .

4. Le théorème précédent admet diversesgénéralisations.Par exemple le mouvement brownien peut êtreremplacé (semi-martingale, processus à sauts).


5.2 Théorème de Feynman-Kac

Supposons m = d.A(t, x) = a(t, x)a(t, x)∗

où ∗ signifie transposition pour les matrices.

(t, x) → A(t, x) = (Aij(t, x)) est une fonction matricielled× d.

Soitf : Rd → R

d, k : [0, T ]× Rd → R

d, g : [0, T ]× Rd → R

d

continue à croissance polynomiale (ou non-negative sid = 1).


Pour f de classe C2, nous définissons (Lt, t ∈ [0, T ])posant

Ltf(x) =1

2

d∑

i,j=1

Aij(t, x)∂2ijf(x) + b(t, x) · ∇f(x).

L s’appelle générateur associé à l’EDS (15).

Le Théorème de Feynmann-Kac permet de représenter lasolution d’une EDP par un processus stochastique.


Theorem 10 Soit v : [0, T ]× Rd → R

d une fonctioncontinue à croissance polynomiale de classeC1,2([0, T [×R

d) satisfaisant le problème de Cauchy

(∂tv + Lt)v − kv = g

v(T, x) = f(x).(18)

Alors

v(s, x) = E

(

f(XT ) exp(−∫ T

s

k(θ,Xθ)dθ

−∫ T

s

g(t,Xt) exp−∫ t

s

k(θ,Xθ)dθdt)

.


pour (s, x) ∈ [0, T ]× Rd où X = Xs,x. En particulier, une

telle solution est unique.

Preuve (Idée).Posons s = 0 et k = 0 pour simplifier.


Application de la formule d’Itô.

f(XT ) = u(T,XT ) = u(0, x) +

∫ T

0

∂su(r,Xr)dr

+

∫ T

0

∂xu(r,Xr)dXr +1

2

∫ T

0

∂(2)xx u(r,Xr)d[X]r

= u(0, x) +

∫ T

0

∂su(r,Xr)dr

+

∫ T

0

∂xu(r,Xr)a(r,Xr)dWr +

∫ T

0

∂xu(r,Xr)b(r,Xr)dr

+1

2

∫ t

0

∂(2)xx (r,Xr)a

2(r,Xr)dr


En prenant l’espérance, nous obtenons le résultat:

u(0, x) = E

(

f(XT )−∫ T

0

g(r,Xr)dr

)

.


Remarque 11 Pour avoir des “solutions classiques” duproblème de Cauchy précédent, il est nécessaired’imposer des conditions.Par exemple, c’est le cas sous les conditions d’ ellipticitésuivantes sur A (cas non-dégénéré):

∃c > 0, ∀(t, x) ∈ [0, T ]× Rd

(19)

∀(ξ1, . . . , ξn) ∈ Rd :

d∑

i,j

Aij(t, x)ξiξj ≥ c

d∑

i=1

|ξi|2.


Dans le cas dégénéré, il est possible de considérer dessolutions (généralisées) dites de viscosité dans le sensde Crandall et P. L. Lions.

Remarque 12 Le théorème précédent, établit un lienimportant entre solutions d’EDP déterministes et EDS.

Le théorème suggère: des solutions numériquesd’EDP peuvent être obtenues en simulant desprocessus de diffusions et apres en utilisant la loi fortedes grands nombres via Monte-Carlo.

Méthode plus efficace en haute dimension d’espace.


Remarque 13 Une généralisation naturelle duthéorème précédent est la représentation probabilisted’EDP paraboliques avec une non-linéarité impliquantla solution u et son gradient ∇u.

EDS couplées avec une équation différentiellerétrograde au sens de E. Pardoux et S. Peng.

Applications à la théorie du contrôle stochastique.


5.3 Autre pont entre EDP non-linéaires et les

diffusions: les systèmes de particules en

intéraction.

Il s’agit de représentation d’EDP non-linéaire avec avecconservation de masse.

Cas typique: les équations de type milieux poreux.

Soit β : R → R monotone telle que β(0) = 0.


Exemples

β(u) = u (toy model): équation de la chaleur.

β(u) = um.

m > 1: équation milieux poreux (PME).

0 < m < 1: ”fast diffusion equation” .

β(u) = H(u− uc)u.Self-organized criticality (Heav.)


Posons Φ : R → R+ telle que β(u) = Φ2(u)u.

Φ(u) = 1: équation de la chaleur (toy model).

Φ(u) = um−1

2 .m > 1: equation milieux poreux (PME)0 < m < 1: equation fast diffusion.

Φ(u) = H(u− uc). Self-organized criticality model Heav.


Une solution de

∂tu = 12∂2xx(β(u))

u(0, ·) = u0.(20)

peut être représentée par la diffusion non-linéaire suivante:

Xt = X0 +∫ t

0Φ(u(s,Xs))dWs

u(t, ·) = densite de la loi de Xt

u(0, ·) = u0.

(21)

Attention : parfois Φ(u(t, ·)) seulement mesurable.


Preuve . Partie facile.

Pour simplifier supposons Φ bornée.Une solution de (21) produit une solution de (20).Soit ϕ ∈ C∞

0 (R), Y une solution de (21) telle que v(t, ·) estla densité de la loi de Yt, pour t positif. Nous appliquons laformule d’Itô à ϕ(Y ), pour obtenir

ϕ(Yt) = ϕ(Y0) +

∫ t

0

ϕ′(Ys)Φ(u(s, Ys))dWs

+1

2

∫ t

0

ϕ′′(Ys)Φ2(u(s, Ys))ds


En prenant l’espérance nous obtenons∫

R

ϕ(y)u(t, y)dy =

∫

R

ϕ(y)u0(y)dy

+1

2

∫ t

0

ds

∫

R

ϕ′′(y)Φ2(u(s, y))u(s, y)dy.

D’où le résultat (au sens des distributions).


−3 −2 −1 0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

PME−15 −10 −5 0 5 10 150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

HEAT

Ex.

Approx

Ex.

Approx.

Figure 3: Solutions exactes et approchées , dans le cas PME

(T = 1.5) et dans le cas de l’équation de la Chaleur (T = 4)Equations différentielles stochastiques (EDS). – p. 72/111

Illsutration dans le cas ”Heaviside”

La condition initiale est

u0(x) =1

3(p(x, µ1, σ1) + p(x, µ2, σ2) + p(x, µ3, σ3)) , (22)

où,

p(x, µ, σ) =1√2πσ

exp(−(x− µ)2

2σ2 ). (23)

µ1 = −µ3 = −4, µ2 = 0 et σ1 = 0.1, σ2 = 0.2, σ3 = 0.3.

Valeur critique: uc = 0.08.


−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t=0−10 −5 0 5 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

t=1.5−5 0 5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

t=T=4

Figure 4: Solutions numériques déterministe (trait noir) et

probabiliste (pointillés rouges) , dans le cas Heaviside à différents

instants.Equations différentielles stochastiques (EDS). – p. 74/111

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−6

−4

−2

0

2

4PME

HEAT

Figure 5: Trajectoires des processus associés à la PME, et à

l’équation de la Chaleur, sur l’intervalle de temps [0, 4]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 43.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

Figure 6: Trajectoires du processus associé au cas Heaviside,

sur l’intervalle de temps [0, 4]


6 Diverses notions de solutions

Le monde des EDS est beaucoup plus riche que celuides EDO.

Beaucoup de théorèmes d ’existence et d’unicité sousdes conditions diverses, sur un espace de probabilitéet un mouvement brownien fixé.

Beaucoup de notions d’existence et d’unicité.


6.1 Les notions

Soit a : [0, T ]× Rd × R

n → Rd,

b : [0, T ]× Rd → R

d. Soit x0 ∈ Rd.

Définition 14 (Existence forte ).On dit que l’equation E(a, b) admet une existence forte dansle cas suivant.

Soit un espace de probabilité, (Ω,F , P ), un mouvementbrownien (Wt)t≥0 et une v.a. η de carré intégrableindépendante de W . Alors il existe un processus (Xt)t≥0

solution de E(a, b) avec X0 = η p.s.


Définition 15 (Unicité trajectorielle )

L’équation E(a, b) admet une unicité trajectorielle si lapropriété suivante est vérifiée.

Soit (Ω,F , P ) un espace de probabilité, un mouvementbrownien (Wt)t≥0. Si deux processus X, X sont solutionsde E(a, b) avec X0 = X0 a.s., alors X et X coïncident.


Définition 16 (Existence en loi ou Existence faible. )Soit ν une loi de probabilité sur Rd. On dit que E(a, b; ν)admet une existence faible s’il existe un espace deprobabilité (Ω,F , P ), un mouvement brownien (Wt)t≥0 unprocessus (Xt)t≥0 solution de E(a, b), ν étant la loi de X0.

On dit que E(a, b) admet une existence faible si E(a, b; ν)admet une existence faible pour chaque ν.


Définition 17 (Unicité en loi )Soit ν une loi de probabilité sur Rd. Nous disons queE(a, b; ν) admet une unique solution en loi dans le cassuivant.

Considérons un espace de probabilité (Ω,F , P ) (resp.(Ω, F , P )) muni d’un mouvement brownien (Wt)t≥0, (resp.un mouvement brownien (Wt)t≥0).Soit un processus (Xt)t≥0 (resp. un processus (Xt)t≥0)solution de E(a, b) sur le premier (resp. sur le second)espace de probabilité.


Supposons que la loi de X0 et la loi X0 sont identiques à ν.

Alors X et X ont la même loi en tant que v.a. à valeursdans E = C[0, T ].

On dit que E(a, b) admet une unique solution en loi siE(a, b; ν) a une unique solution en loi pour chaque ν.


6.2 Ponts entre les différentes notions

Proposition 18 (Yamada-Watanabe)Considérons l’équation E(a, b).

i) L’unicité trajectorielle implique l’unicité en loi.

ii) L’existence faible et l’unicité trajectorielle impliquentl’existence forte.


Remarque 19 i) Supposons a et b Lipschitz aveccroissance linéaire.Le Théorème 8 implique que E(a, b) admet uneexistence forte et une unicité trajectorielle.

ii) Si a et b sont seulement localement Lipschitz, alorsl’unicité trajectorielle est aussi vérifiée.


6.3 Unicité en loi via le Théorème de

Girsanov.

a = 1, b: croissance linéaire.

Soit X une solution de E(a, b) vérifiant (16).

Sous une probabilité équivalente à P ,Wt = Wt +

∫ t

0b(s,Xs)ds est un mouvement brownien

standard.


6.4 Un contrexemple

Pas d’unicité trajectorielle mais unicité en loi.Example 20

Xt =

∫ t

0

sign(Xs)dWs. (24)

avec

sign(x) =

1 if x ≥ 0,

0 if x = 0,

−1 if x < 0,

(25)

E(a, b; δ0) avec b = 0 et a(x) = sign(x).


Toute solution est un mouvement brownien car [X] = t.

Si X est une solution sur un espace de probabilité, −Xest aussi solution.


Le résultat suivant est aussi vrai dans le casmulti-dimensionnel.Proposition 21 (Stroock-Varadhan). Soit ν une probabilitésur Rd telle que

∫

R

‖x‖2nν(dx) < +∞, (26)

pour un certain n > 1.Supposons que a, b sont continues à croissance linéaire.Alors E(a, b; ν) admet une existence faible.


A partir de maintenant une fonction γ : [0, T ]× Rm → R

d

sera appelée Hölder continue si elle est hölderienne dans lavariable d’espace x ∈ R

m uniformément par rapport à lavariable temps t ∈ [0, T ].Proposition 22 Supposons a, b Hölder continues, bornéestelles que la conditon (19) est vérifiée. Alors l’ EDSE(a, b; ν) admet l’ unicité en loi.


Remarque 23 1. La condition “Hölder” et (19) dans laProposition 22 peut-être relaxée et remplacée avec lasolvabilité du problème de Cauchy d’une EDPparabolique avec condition terminale.

2. Dans le cas d = 1, si a, b sont bornées et boréliennesavec (19) pour x dans chaque compact, alors E(a, b; ν)admet existence faible et unicité en loi. VoirStroock-Varadhan exercises 7.3.2 and 7.3.3.

3. Si d = 2, la même chose vaut au point précédent pointpourvu que a soit indépendant du temps.


6.5 Cas unidimensionnel. Approche de

Engelbert et Schmidt

Conditions nécessaires et suffisantes pour l’ existence faible etl’unicité d’EDS.Pour une fonction σ : R → R, nous définissons lesensembles suivants.

Z(σ) = x ∈ R|σ(x) = 0;I(σ) l’ensemble des réel x tels que

∫ x+ε

x−ε

dy

σ2(y)= ∞, ∀ε > 0.


Proposition 24 (Critère d’Engelbert-Schmidt). Supposonsque a : R → R, ne dépend pas du temps. Considéronsl’EDS sans drift E(a, 0).

i) E(a, 0) admet une existence faible (sans explosion) si etseulement si

I(a) ⊂ Z(a) (27)

ii) E(a, 0) admet une existence faible et une unicité en loisi et seulement si

I(a) = Z(a) (28)


Remarque 25 i) Si a est continue alors (27) est toujoursvérifiée. En fait, si a(x) 6= 0, il existe ε > 0 tel que

|a(y)| > 0, ∀y ∈ [x− ε, x+ ε].

Par conséquent, x ne peut pas appartenir à I(a).

ii) (27) est vérifié aussi pour des fonctions continues, parexemple a(x) = sign(x). Ceci confirme ce qui a étéaffirmé auparavant, i.e. l’existence faible (et l’unicité enloi) pour E(a, 0).

iii) Si a(x) = 10(x), (27) n’est pas vérifiée.

iv) Si a(x) = |x|α, α ≥ 12

alors

Z(a) = I(a) = 0.

So there is at most one solution in law for .


6.6 Résultats d’unicité trajectorielle

Proposition 26 (Yamada-Watanabe) Soienta, b : R+ × R → R et considérons encore E(a, b).Supposons b globalement Lipschitz et h : R+ → R+

strictement croissant continu tel que

h(0) = 0;∫ ε

0

1

h2(y)dy = ∞, ∀ε > 0;

|a(t, x)− a(t, y)| ≤ h(x− y).

Alors l’unicité trajectorielle est vérifiée.


Remarque 27 A la Proposition 26, un choix typiqueest h(u) = uα, α > 1

2.

Si b globalement Lipschitz et a est Hölder continue deparamètre égal à 1

2alors on a la propriété d’ unicité

trajectorielle pour E(a, b).Corollaire 28 Supposons que les hypothèses de laProposition 26 sont vérifiées et a, b sont continues àcroissance linéaire. Alors E(a, b; ν) admet une existenceforte et une unicité trajectorielle, pourvu que ν vérifie lacondition (26).


Proof. Le résultat suit des Propositions 26 et 21 avec laProposition 18 ii).


Remarque 29 Supposons d = 1. L’unicité trajectoriellepour E(a, b) est également assurée sous les hypothèsessuivantes.

1. a, b bornées, a indépendant du temps et a ≥ const > 0,h comme à la Proposition 26.

2. a indépendant du temps, b bornée et a ≥ const > 0; deplus |a(x)− a(y)|2 ≤ |f(y)− f(x)| et f croissantebornée.


6.7 Quelques exemples pour illustration.

Example 30

Xt =

∫ t

0

|Xs|αdWs, t ≥ 0. (29)

Posons a(x) = |x|α, 0 < α < 1. C’est l’équation E(a, 0) aveca(x) = |x|α. A partir des notations d’ Engelbert-Schmidt,nous avons Z(a) = 0. De plus

Si α ≥ 12

alors I(a) = 0.Si α < 1

2alors I(a) = ∅.


Par conséquent, d’après la Proposition 24, E(a, 0) admetune existence faible. Par ailleurs, si α ≥ 1

2,

|xα − yα| ≤ h(|x− y|), (30)

où h(z) = zα. D’après la Proposition 26, (29) admet uneunicité trajectorielle; par le Corollaire 28, aussi existenceforte. L’unique solution est X ≡ 0.Si α < 1

2, X ≡ 0 est toujours une solution. Ce n’est pas

toujours la seule. Même l’unicité en loi n’est pas vérifiée.


Example 31 Soit a(x) =√

|x|, b Lipschitz.Alors E(a, b) admet une existence forte et une unicitétrajectorielle.En fait, si a est hölderienne de paramètre 1

2alors la

Remarque 27 2) s’applique; donc on a l’unicitétrajectorielle.L’existence forte est une conséquence des Propositions 21et 18 ii).


Une situation particulière significative

Soit x0, σ, δ ≥ 0, k ∈ R. L’EDS suivante admet existenceforte et unicité trajectorielle.

Zt = x0+σ

∫ t

0

√

|Zs|dWs+

∫ t

0

(δ−kXs)ds, t ∈ [0, T ]. (31)

L’équation (31) est largement utilisée en mathématiquesfinancières.Elle constitue le modèle de Cox-Ingersoll-Ross:modélisation du taux d’intérêt court.


Cas particulier: k = 0, σ = 2.

La solution Z es toujours non-négative (théorèmes detype comparaison).

La valeur absolue peut être enlevée:

Zt = x0 + 2

∫ t

0

√

ZsdWs + δt. (32)


Définition 32 L’unique solution Z de

Zt = x0 + 2

∫ t

0

√

ZsdWs + δt (33)

est appelé δ-dimensionnel carré de Bessel partant de x0.Notation: BESQδ(x0).


Comme Z ≥ 0, on appelle processus de Bessel

δ-dimensionnel Bessel partant de x0 le processus X =√Z.

Notation: BESδ(x0).Remarque 33 Soit d ≥ 1. Soit W = (W 1, · · · ,W d) unmouvement brownien d−dimensionnel.

Le processus Xt = ‖Wt‖. (Xt)t≥0 est un processus deBessel d-dimensionnel.Justification du terme dimension.


Remarque 34 δ > 1, il est possible de voir (formule d’Itô)que

Xt = Wt +δ − 1

2

∫ t

0

ds

Xs

.


7 Sujets de recherche fondamentale

associés

Equations perturbées par d’autres bruits que le bruitblanc gaussien; par exemple des bruits de Poisson,Lévy.

Equations aux dérivées partielles stochastiques.(EDPS = EDP déterministes perturbée par des bruitsaléatoires).

EDS rétrogrades avec condition terminale prescrite(Pardoux-Peng).


EDP a drift distributionnel.Le drift b peut être aussi la dérivée d’une fonctioncontinue. Par exemple la réalisation d’un bruit blancindépendant de W . (Milieux aléatoires).

Calcul différentiel en dimension infinie, calcul deMalliavin.

EDS dirigées par des processus qui ne sont pas dessemi-martingaless (i.e. mouvement brownienfractionnaire). L’intégrale d’Itô n’est pas définie.

Modélisation financière, fluidodynamique, mécaniquestochastique, théorie quantique des champs.


8 Références

Les principales sont dans le document sur la page web dela Journée TIPE.

Russo, F., Stochastic differential equations. Encyclopediaof Mathematical Physics, eds. J.-P. Françoise, G.L. Naberand Tsou S.T. Oxford: Elsevier, 2006 (ISBN978-0-1251-2666-3), volume 5 page p. 63-70


Belaribi, N., Cuvelier, F., Russo, F., A probabilisticalgorithm approximating solutions of a singular PDE ofporous media type. A paraître: Monte Carlo Methodsand Applications.

Blanchard, Ph., Röckner, M., Russo, F., Probabilisticrepresentation for solutions of an irregular porousmedia type equation. Annals of Probability, vol. 38, no.5, pp. 1870–1900, oct, 2010


Barbu, V., Röckner, M., Russo, F., Probabilisticrepresentation for solutions of an irregular porousmedia type equation: the degenerate case. ProbabilityTheory and Related Fields, vol. 151, no 1-2, pp. 1-43,Springer, sep, 2011.

Engelbert, H.J., Schmidt, W., On solutions ofone-dimensional stochastic differential equationswithout drift. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw.Gebiete 68, 287-314 (1985).


Russo, F., Trutnau, G., Some parabolic PDEs whosedrift is an irregular random noise in space. Annals ofProbability, Vol. 35, No. 6,. 2213-2362, 2007.

Stroock, D. W., Varadhan S.R.S., Multidimensionaldiffusion processes. Springer-Verlag, 1979.

Simulations effectuées par Madame Nadia BELARIBI


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