Equationdif1 Deg
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Prsentation des quations diffrentielles
Une quation diffrentielle de la fonction y (x) est une quation dans la quelle est prsente:
- la fonction y
- la fonction drive y
- la fonction drive seconde y
Dans une quation diffrentielle du premier ordre, sont prsentes uniquement la fonction y et la fonction drive y
Dans une quation diffrentielle du second ordre, sont prsentes la fonction y , la fonction drive y et la fonction drive seconde y
Exemples:
y + 3 y = 0 quation diffrentielle du premier ordre
y -5 y = 0 quation diffrentielle du premier ordre
y + y + y = 0quation diffrentielle du second ordre
y - 9 y = 0 quation diffrentielle du second ordreRsolution dquation diffrentielle du premier ordre du type y'+ ay = 0
Une quation diffrentielle du premier ordre peut se mettre sous la forme :
y' + a y = 0
La solution gnrale est :y = k e-ax
k est un nombre quelconqueExemple 1:
Rsoudre l'quation diffrentielle y' + 5y =0
Comme a = 5 ,la solution gnrale de cette quation est:
y(x) = k e-5x k tant un nombre
Voici la reprsentation graphique de solutions correspondant diffrentes valeurs de kExemple 2:
Rsoudre l'quation diffrentielle y' -2 y = 0
Comme a = -2 ,la solution gnrale de cette quation est:
y(x) = k e2x k tant un nombre
Voici la reprsentation graphique de solutions correspondant diffrentes valeurs de kSolution particulire d'une quation diffrentielle du premier ordre vrifiant des conditions initiales donnes.
Il y a une infinit de solutions l'quation diffrentielle du premier ordre y' + a y = 0 puisqu'il il y a une infinit de valeurs de k telle y = k e-ax
Pour connatre la valeur de k, il faut connaitre une indication supplmentaire : une condition initiale :Il faut connaitre la valeur y(0) ou de y'(0).Exemple 1: Rsoudre l'quation diffrentielle y' + 5y =0 avec y(0) = 2
Comme a = 5 donc la solution gnrale de cette quation est y(x) = k e-5x
k est un nombre que nous pouvons dterminer.
y(0) = k e-5 0 = k e0 = k 1 = k =2
La solution avec condition initiale de l'quation est : y(x) = 2 e-5x
Exemple 2: Rsoudre l'quation diffrentielle y' -2 y = 0 avec y'(0) = 3
Comme a = -2 donc la solution gnrale de cette quation est y(x) = k e2x
k est un nombre que nous pouvons dterminer.
y'(0) =2 y(0) = 2k e20 = 2k e0 = 2k 1 = 3 d'o k = 1,5
La solution particulire de l'quation est : y(x) = 1,5 e2x