Entraînements réglés HEIG_Ex_et_Corr_complet

Yverdon-les-Bains, 26 janvier 2009

Département des Techniques industrielles

Filière

Génie électrique

Entraînements réglés

Exercices et corrigés

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MET2 – Entraînements réglés Exercices et corrigés HEIG-VD

BSR – janvier 2009 2

Table des matières

1. Moteur DC en régime transitoire........................................... 4

Ex. 1.1. Vitesse d’un moteur DC à vide et en charge...................................................... 4

Ex. 1.2. Caractérisation d’un moteur DC par 2 essais..................................................... 5

Ex. 1.3. Rendement d’un moteur DC .............................................................................. 6

Ex. 1.4. Allure du courant dans un moteur DC bloqué ................................................... 7

Ex. 1.5. Vitesse et courant d’un petit moteur DC.......................................................... 10

Ex. 1.6. Freinage d’urgence d’un moteur DC ............................................................... 13

2. Régulation du moteur DC..................................................... 15

Ex. 2.1. Régulation en tension d’un petit moteur DC ................................................... 15

Ex. 2.2. Modélisation d’un moteur DC ......................................................................... 18

Ex. 2.3. Régulation en courant d’un moteur DC ........................................................... 21

Ex. 2.4. Ajustement du régulateur de courant d’un moteur DC.................................... 22

Ex. 2.5. Rigidité d’un entraînement............................................................................... 25

Ex. 2.6. Commande a priori........................................................................................... 26

Ex. 2.7. Comparaison de 2 structures de réglage en position........................................ 27

Ex. 2.8. Reverse engineering d’un moteur DC.............................................................. 29

Ex. 2.9. Régulation d’un mobile sur plan incliné .......................................................... 30

Ex. 2.10. Ajustage d’un régulateur de position ............................................................... 32

3. Choix d’un entraînement avec réducteur............................ 35

Ex. 3.1. Calcul d’un réducteur pour moteur asynchrone............................................... 35

Ex. 3.2. Calcul d’une crémaillère pour moteur pas-à-pas ............................................. 36

Ex. 3.3. Charge d’un moteur avec crémaillère .............................................................. 37

4. Considérations d’énergie et de puissance............................ 39

Ex. 4.1. Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt arrêt....................................... 39

Ex. 4.2. Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt vitesse fixe ............................ 42

Ex. 4.3. Déplacement optimal avec profil vitesse triangulaire...................................... 44

Ex. 4.4. Déplacement optimal avec profil vitesse trapézoïdal ...................................... 46

Ex. 4.5. Déplacement avec profil en polynôme 3-4-5................................................... 48

Ex. 4.6. Dimensionnement thermique d’un servomoteur.............................................. 50

HEIG-VD Exercices et corrigés MET2 – Entraînements réglés

3 BSR – janvier 2009

Ex. 4.7. Calcul du cycle de production possible ............................................................52

Ex. 4.8. Validation thermique pour un moteur ..............................................................54

Ex. 4.9. Choix du rapport de réduction, et validation thermique du moteur choisi .......55

Ex. 4.10. Choix du rapport de réduction..........................................................................57

Ex. 4.11. Influence du profil de mouvement sur l’échauffement d’un moteur................59

Ex. 4.12. Calcul de la résistance de freinage ...................................................................61

Ex. 4.13. Entraînement pour découpe de papier ..............................................................63

Ex. 4.14. Entraînement d’une tourelle .............................................................................69

5. Moteur asynchrone ............................................................... 72

Ex. 5.1. Pôles et glissement d’un moteur asynchrone....................................................72

Ex. 5.2. Couple et vitesse d’un moteur asynchrone.......................................................72

Ex. 5.3. Moteur asynchrone en régime de freinage .......................................................73

Ex. 5.4. Moteur asynchrone en régime de freinage .......................................................73

Ex. 5.5. Moteur asynchrone entraînant une pompe........................................................74



1. Moteur DC en régime transitoire

Ex. 1.1. Vitesse d’un moteur DC à vide et en charge

Un moteur DC à aimants permanents a comme caractéristiques :

kE = 50 V par 1000 rpm

kT = 0,48 Nm/A

Ri = 0,9

Calculer la vitesse max. qu’il peut atteindre avec un variateur pouvant fournir au maximum 150 VDC :

A) lorsqu’il est à vide ;

B) lorsqu’il est chargé à son couple nominal de 5 Nm.

Réponse A

A vide et en négligeant les frottements internes, couple et courant sont nuls :

00 A

0,48em

oT

TI

k

Le variateur de tension peut fournir au max. 150 V. L’équation électrique du moteur est alors :

1000E i

NU k R I , donc : 150 50 0,9 0 50

1000 1000o oN N

' '

On en tire la vitesse à vide du moteur :

1000 1503 000 rpm

50o

'N '

Remarque : En utilisant kT, on obtient un résultat très proche, la différence étant due à la marge d’erreur sur les coefficients kT et kE :

60 150 60312,5 2 984 rpm

2 0,48 2oN '



Réponse B

En charge et en négligeant les frottements internes :

510,4 A

0,48e

CT

TI

k

Le variateur de tension peut fournir au max. 150 V. L’équation électrique du moteur est alors :

50 50150 0,9 10,4 9,375

1000 1 000c cN N

' '

On en tire la vitesse en charge du moteur :

1000 150 9,3752 812 rpm

50c

'N '

Remarque : En utilisant kT, on obtient un résultat très proche, la différence étant due à la marge d’erreur sur les coefficients kT et kE :

150 9,37560 60293,0 2 798 rpm

2 0,48 2cN '

Ex. 1.2. Caractérisation d’un moteur DC par 2 essais

On souhaite caractériser un petit moteur DC à aimants permanents. Pour ce faire, on procède à 2 essais successifs :

A) Le moteur est chargé, à l’arrêt, par un couple de 0,105 Nm. Il est alimenté par une source de 6,4 V, et on mesure son courant Ia = 910 mA.

B) Le moteur à vide est alimenté par une source de 24 VDC. On mesure alors son courant Ib = 60 mA, et sa vitesse qui vaut 1'940 rpm.

Déterminer sa résistance Ri, sa constante de couple kT et sa constante de vitesse kE.

Réponse

L’essai en charge à l’arrêt permet de déterminer les caractéristiques suivantes :

6, 47,0Ω

0,91ia

UR

I

0,1050,115 Nm/A

0,91a

Ta

Tk

I



1'000 2 1'000 20,115 12 V/1000 rpm

60 60E Tk k

.

L’essai à vide permet de confirmer ces résultats :

24 7,0 0,06 23,58Vi i iU U R I

23,58 1'00012,15 V/1000rpm

1'940Ek

Remarque : La petite différence est généralement considérée comme normale, car les mesures de tension, de courant, de couple et de vitesse sont toujours entachées d’une marge d’erreur.

Ex. 1.3. Rendement d’un moteur DC

Quel est le rendement du moteur de l’Ex. 1.1, en charge, les frottements internes valant approximativement 0,12 Nm ?

Réponse

A charge nominale, le couple électromagnétique doit compenser le couple à l’arbre et les frottements internes. Donc : 5 0,12 5,12 NmemT

Le courant d’induit vaut alors : 5,12

10,7 A0,48

em

T

TI

k

La puissance électrique fournie vaut : 150 10,7 1'600 WélecP U I

La vitesse vaut : 150 0,9 10,7

292,5 rad/s0,48

i

T

U R I

k

La puissance mécanique disponible vaut : 5 292,5 1'462,5 Wméc arbreP T

Le rendement du moteur vaut ainsi : 1'462,5

91,4%1'600

méc

élec

P

P

La différence est dissipée sous forme thermique. On peut calculer séparément les pertes Joule et les pertes par frottement :

22 0,9 10,7 102 WJouleP R I

0,12 292,5 34 Wfrott frottP T

La somme de ces pertes est égale à la différence entre Pélec et Pméc , aux erreurs d’arrondis près.



Ex. 1.4. Allure du courant dans un moteur DC bloqué

Un moteur (Maxon A-max 26/110209) est connecté soudainement à une alimentation de 12 V. Ses caractéristiques sont les suivantes :

Ualim = 12 V

Inom = 629 mA

Ri = 7,41 Ω

Li = 0.77 mH

therm = 12,4 s

Tnom = 0,0157 Nm

Jmot = 1,3 · 10-6 kgm2

Inertie de la charge : Jcharge = 3,9 · 10-6 kgm2

A) Considérant que le moteur est bloqué mécaniquement, exprimer et représenter le courant en fonction du temps.

B) Combien de temps peut-on maintenir ce moteur ainsi alimenté, avec son rotor bloqué, avant que sa température interne dépasse sa température limite de fonctionnement ?

Courant établi, on libère soudainement le moteur de l’exercice précédent.

C) Déterminer les constantes kT et kE.

D) Exprimer et représenter sa vitesse en fonction du temps, en négligeant tous les frottements.

E) Exprimer et représenter cette même vitesse, mais en considérant qu’il y a en plus un frottement visqueux Bω = 6,8 · 10-6 Nm·s/rad.

Réponse A

On part de l’équation électrique du moteur DC :

( )( ) ( )i

i i i E

di tU R i t L k t

dt

Comme la vitesse est nulle (rotor bloqué), la tension induite est également nulle. L’établissement du courant dans ce moteur est du même type que dans une inductance réelle (inductance et résistance en série). On peut donc en conclure :

( ) 1 él

t

ii t I e

, avec 1,62

i

UI

R A, et 104iél

i

L

R μs



Réponse B

Le courant s’établit à une valeur égale à 2,57 fois le courant nominal. Le moteur s’échauffera trop.

Si le moteur (avec rotor bloqué) était alimenté avec son courant nominal, sa température se stabiliserait à sa valeur de fonctionnement admissible nominal .

En le connectant à une alimentation de 12 V, son courant atteint rapidement 2,57 fois son courant nominal. En maintenant ce courant, ses pertes thermiques, qui se calculent par la

formule 2aath IRP , sont 63,657,2 2 plus importantes. Sa température interne, qui

augmente exponentiellement, chercherait à atteindre 6,63 fois sa température de fonctionnement normale. Autant dire qu’il finirait par se détruire.

L’évolution de la température interne répond à l’équation :

therm

t

et 1)(

On a calculé que nominal63,6 , et on cherche à savoir après combien de temps on

atteint nominal)( t . Il nous faut donc résoudre l’équation

therm

t

e 163,6 nominalnominal

On constate qu’il n’est même pas nécessaire de connaître la valeur de cet échauffement normal nominal . Il suffit de savoir qu’il existe. Il est déterminé par le concepteur du moteur.

On en tire : 0,24,12164,063,6

11ln

thermt s

Réponse C

On connait le couple et le courant nominal du moteur. On peut en tirer :

0,01570,0250 Nm/A

0,629nom

Tnom

Tk

I

Réponse D

La constante de temps mécanique du moteur vaut :

61,3 3,9 10 7,4161,7 ms

0,0250 0,0250tot i

mécT E

J R

k k



Comme cette constante de temps est env. 600 fois plus grande que la constante de temps électrique, on peut considérer que les phénomènes transitoires du courant et de la vitesse peuvent être traités séparément, et qu’ils sont donc chacun d’ordre 1. L’équation de la vitesse est donc :

( ) 1 méc

t

t e

, avec

12481 rad/s

0,0250E T

U U

k k et 61,7 msméc

Réponse E

Un frottement visqueux est linéaire, proportionnel à la vitesse, et s’ajoute au couple d’accélération :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )em acc frott tot T

d tT t T t T t J B t k i t

dt

Tenant compte du faite que E Tk k , l’équation électrique du moteur devient alors :

1 ( )( ) ( )i tot T

T

d tU R J B t k t

k dt

( )( ) 0tot i i

TT T

J R B Rd tk t U

k dt k

La solution est :

'( ) ' 12 méc

t

t e

avec 2 2 6

12 0,0250' 444 rad/s

0,0250 6,8 10 7,41T

T i

U k

k B R

et 6

2 2 6

1,3 3,9 10 7,4157,1 ms

0,0250 6,8 10 7,41tot i

mécT i

J R

k B R

La vitesse se stabilise à une vitesse un peu plus faible que si les frottements sont nuls.

La constante de temps mécanique est réduite proportionnellement. On peut justifier ce résultat par le fait que la dérivée de la vitesse à l’instant t = 0 ne dépend pas des frottements. La constante de temps correspond à l’instant où les asymptotes de l’exponentielle se croisent. Si l’asymptote horizontale est plus basse de x%, la constante de temps est donc plus faible de x%.



Ex. 1.5. Vitesse et courant d’un petit moteur DC

On considère un petit moteur DC à aimants permanents (type Maxon A-max 26/110211), caractérisé comme suit :

Unom = 15 V

Inom = 338 mA

Ra = 25,8 Ω

La = 2,57 mH

KT = KE = 0,0467 Nm/A

Jm = 1,25 · 10-6 kg·m2

therm = 12,4 s

Il entraîne une charge inertielle pure, caractérisée par Jext = 8 · Jm . On néglige tous les frottements.

Ce moteur est connecté soudainement à une alimentation de 15 V, et se met donc à tourner.

A) A quelle valeur sa vitesse se stabilisera-t-elle ?

B) Quelle est la valeur du courant consommé par le moteur, lorsque la vitesse est ainsi stabilisée ?

C) Après combien de temps le moteur atteint-il une vitesse égale ou supérieure à 2'000 trpm ?

D) Quel est le rapport, à 5% près, entre le courant de pointe absorbé par le moteur au début du démarrage, et son courant nominal ?

Longtemps après que la vitesse se soit stabilisée, et en maintenant la tension d’alimentation constante, on freine ce moteur avec un couple inconnu, mais rigoureusement constant. On constate que sa vitesse diminue, et se stabilise à nouveau. On mesure alors un courant de 450 mA

E) A quelle valeur la vitesse le moteur se stabilise-t-elle alors ?

F) Quelle est la valeur du couple constant qui freine le moteur ?

G) Pourquoi ne doit-on pas laisser trop longtemps le moteur fonctionner à ce régime ?

H) En supposant que le moteur était à température ambiante au démarrage, pendant combien de temps peut-on le laisser fonctionner à ce régime sans risque ?



Réponse A

La vitesse se stabilise à 15

321 rad/s0,0467E

U

k

Réponse B

A vide et en négligeant les frottements internes, couple et courant sont nuls :

00 A

0,48em

oT

TI

k

Réponse C

La constante de temps électrique du moteur vaut :

32,57 1099 μs

25,8i

éli

L

R

La constante de temps mécanique du moteur vaut :

6

2

1 8 1,25 10 25,8133 ms

0,0467tot i

mécT E

J R

k k

Vu la grande différence entre ces 2 constantes de temps, on peut traiter séparément les régimes transitoires de courant et de tension.

En radian/seconde, la vitesse de 2'000 rpm correspond à 2 '000

209 rad/s30

L’équation de vitesse est donc :

0,133 209209 321 1 0,133 ln 1 140 ms

321

t

e t

Réponse D

A la mise sous tension, le moteur est arrêté. Le courant croît exponentiellement à sa valeur de court-circuit, avec une constante de temps égale à él . Au fur et à mesure que le moteur prend

de la vitesse et que la tension induite se soustrait de la tension d’alimentation, le courant décroit exponentiellement, avec une constante de temps égale à méc .

La valeur max. du courant est donc sa valeur de court-circuit :

max

15581 mA

25,8i

UI

R



Réponse E

Lorsque la vitesse s’est stabilisée, le courant est également constant. La vitesse se calcule par :

15 25,8 0,45' ' 72,6 rad/s

0,0467i i

i i EE

U R IU R I k

k

Réponse F

Le couple est proportionnel au courant, et on sait que celui-ci vaut 450 mA. Donc :

0,0467 0,45 0,021 Nmem T iT k I

Réponse G

Le courant de 450 mA est de 33% supérieur au courant nominal. L’échauffement du moteur est approximativement proportionnel au carré du courant. Si on maintenait ce courant trop longtemps, l’échauffement serait ainsi 77% supérieur à l’échauffement normal, car 1,332 = 1,77. Il est probable que ceci détruirait le moteur.

Réponse H

La constante de temps thermique du moteur est beaucoup plus grande que les constantes de temps thermique et électriques. On peut donc considérer que l’échauffement du moteur est décrit par une équation différentielle d’ordre 1, dont la solution est :

( ) 1 therm

t

t e

Comme le moteur est surchargé de 33% en courant, on a :

nominal 1,77

nominal est l’échauffement que le moteur supporte à coup sûr, et qui ne doit pas être dépassé.

On calcule le temps nécessaire pour atteindre cette température en situation de surcharge comme suit :

11,77 1 12,4 ln 1 10,3 s

1,77therm

t

nom nom e t



Ex. 1.6. Freinage d’urgence d’un moteur DC

Une machine comporte un moteur DC à aimants permanents pour l’entraînement d’une table. Il est alimenté par un servo amplificateur, dont la tension de sortie UDC varie entre -130 V et +130 V pendant le fonctionnement normal de la machine.

Le moteur est du type PARVEX RS640E. Ses caractéristiques sont : Tnom = 13 Nm ; kT = 0,47 Nm/A ; kE = 49,2 [V / 1'000 rpm] ; Ra = 0,12 ; JM = 0,0083 kgm2.

Pour assurer l’arrêt d’urgence en cas de panne, et plutôt que d’ajouter un frein mécanique, on prévoit un dispositif permettant de court-circuiter ce moteur. Ce procédé présente l’avantage de fonctionner même si le servo amplificateur tombe en panne, ce qui améliore la sécurité de la machine.

Cependant, pour ne pas risquer d’endommager le réducteur (vis à bille), le couple de freinage ne doit en aucun cas excéder 3 fois le couple nominal du moteur. Pour limiter ce couple, on limite le courant de freinage en ajoutant une résistance Rfrein dans le circuit d’urgence, comme représenté ci-dessous.

A) Quelle est la valeur max. à laquelle le moteur peut tourner pendant le fonctionnement normal de la machine ?

B) Quelle est la valeur max. que le courant peut atteindre au moment du freinage ?

C) Quelle valeur ohmique proposez-vous pour la résistance Rfrein , et pourquoi ?

Réponse A

La vitesse max. possible est atteinte lorsque le moteur est alimenté à 130 V, alors qu’il n’est pas chargé du tout. Cette vitesse vaut :

max max

130 2 '6431'000 2 '643 rpm 278 rad/s

49,2 30N N

Réponse B

La donnée du problème précise que le couple ne doit en aucun cas dépasser le triple du couple nominal. Le courant max. admissible vaut donc :

13 33 83,0 A

0,47nom

admissibleT

TI

k

RUDC



Réponse C

Dans le pire des cas, le moteur est à vitesse max. lorsqu’il faut le freiner. On sait que cette vitesse correspond à une tension induite égale à la tension max. d’alimentation, soit 130 V.

Lorsque le moteur est court-circuité par la résistance Rfrein, le courant n’est limité que par cette résistance, qui est en série avec la résistance interne du moteur. On obtient donc :

max max 130 0,12 1,45

83i i

adm frein ii frein adm

U UI I R R

R R I

En admettant que les résistances de puissance qui conviennent à ce genre d’application sont spécifiées avec une précision de ±10%, il convient de chercher dans le catalogue une résistance dont la valeur ohmique nominale est supérieure à 1,6 Ω.



2. Régulation du moteur DC

Ex. 2.1. Régulation en tension d’un petit moteur DC

On souhaite régler le moteur Maxon A-max 26/110211de la question 1.5 en vitesse, sans boucle imbriquée de courant. On dispose pour ce faire d’un amplificateur analogique caractérisé comme suit :

La tension de sortie varie de -15 à +15 V lorsque sa tension de commande varie de -10 à +10 V

Il se comporte comme un filtre passe-bas du 1er ordre, de bande passante égale à 2,2 kHz.

Le capteur de vitesse est caractérisé comme suit :

Sa tension de sortie vaut 10 V lorsque le moteur tourne à 4'000 rpm

Il est complété d’un filtre passe-bas du 1er ordre, de bande passante égale à 1,5 kHz.

A) Représenter le schéma fonctionnel de l’ensemble, avec le régulateur, en indiquant clairement ce qui correspond au système à régler, et en détaillant le schéma fonctionnel du moteur avec sa charge.

B) Calculer la fonction de transfert du moteur avec sa charge.

C) Calculer la fonction de transfert de l’amplificateur.

D) Calculer la fonction de transfert du capteur de vitesse.

E) Établir la fonction de transfert du système à régler.

F) Tracer le diagramme de Bode asymptotique de cette fonction de transfert (uniquement la courbe de gains).

G) Quel type de régulateur proposez-vous, et pourquoi ?



Réponse A

Fonction de transfert :

2

variateur capteur de vitessemoteur et charge

1 1( )

1 11cm m

acm E mméc méc él

K KG s

s k ss s

Réponse B

Fonction de transfert du moteur :

2

1 1( )

1mot

E méc méc él

G sk s s

Avec :

3

6

2

1 1 121,4 rad Vs

0,0467

2,57 1099,6 μs

25,8

1 8 1,25 10 25,8133 ms

0,0467

E T

iél

i

tot iméc

T E

k k

L

R

J R

k k

Réponse C

Fonction de transfert de l’amplificateur (ou variateur) : var ( )1

cm

cm

KG s

s

, avec :

15 V1,5

10 V1

72,3 μs2 2 '200

cm

cm

K

è

TemIa

s∙

Ra kT

Trés

kE

Ui

BSR20070322_A.des

Kcm

s∙cm

Ucm

Uc

régulateurde vitesse

Km

s∙m

variateur

G (s)c

Ua

moteur et charge

Um

capteurde vitesse

e

1

Jtots ∙



Cette constante de temps est l’inverse de la pulsation qui correspond à la bande passante indiquée. En effet, cet amplificateur est de type analogique, et non à découpage, et se comporte comme un filtre passe-bas d’ordre 1.

Réponse D

Fonction de transfert du capteur de vitesse :

( )1

mm

m

KG s

s

Avec :

10 V0,239 Vs/rad

4 '000 rad/s

301

106 μs2 1'500

cm

cm

K

Réponse E

Vu la grande différence entre les constantes de temps mécanique et électrique, les pôles de la fonction de transfert du moteur sont réels, égaux approximativement à méc et à él .

1 1 1 1

( )1 1 1 1a a

méc él cm m

G s Ks s s s

Sous forme numérique, et en plaçant les pôles par ordre décroissant, la fonction de transfert du système à régler vaut :

6 6 6

1 1 1 1( ) 7,68

1 0,133 1 106 10 1 99,6 10 1 72,3 10aG s

s s s s



Réponse F

La figure montre la réponse harmonique, ainsi que les asymptotes. A remarquer que, pour les 3 petites constantes de temps, tout se passe comme s’il n’y avait qu’un seul coude de la courbe de gain, la pente des asymptotes passant directement de -20 à -80 dB/décade.

La courbe de phase est également montrée, bien qu’elle ne soit pas demandée.

Réponse G

Un régulateur P pourrait convenir. Toutefois, un régulateur PI a l’avantage d’annuler l’erreur statique en boucle fermée. Il pourrait être ajusté selon le principe de compensation du pôle dominant par le zéro du régulateur.

Un régulateur PID n’apporterait rien. En effet, le zéro supplémentaire ne peut être utilisé pour compenser le pôle suivant, car il ne ferait qu’amplifier les bruits de la mesure de vitesse.

Ex. 2.2. Modélisation d’un moteur DC

L’entraînement d’une machine de production est équipé d’un servomoteur DC à aimants permanents, de type MT30U4-48 (fabrication SEM), et effectue des déplacements d’allure trapézoïdale.

10-1

100

101

102

103

104

105

106

-360

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)



Le moteur est caractérisé comme suit :

kT = 0,982 Nm/A

JM = 0,026 kgm2

Ra = 0,41 Ω

La = 2,0 mH

La charge est caractérisée comme suit :

JM = 0,035 kgm2

Frottements négligeables, assimilé au couple résistant

A) Représenter et calculer sa fonction de transfert Ω / Ua du moteur.

B) Montrer que les 2 pôles sont réels

C) Décomposer le terme du 2ème degré au dénominateur par 2 termes du 1er degré.

D) Représenter et calculer la fonction de transfert Ia / Ua du moteur.

E) Établir un modèle MATLAB pour les 2 fonctions de transfert de ce moteur.

Réponse A

Partant des équations du moteur, et après en avoir effectué la transformée de Laplace, on peut représenter le moteur comme suit :

mécèlméc

ET

atot

l

a

a

ET

atotEE

totT

aa

a

totT

aa

a

au

kk

RJ

R

Ls

kk

RJskk

Jsk

RLs

RJs

kRLs

R

sU

ssG

21

111

1

11

1

1

1

Tem

1 + s∙

RakT

Ui

Ua 1

Jtot

1

s

-

Ra

La

Ia

kE

Trés

-

BSR20070926_A.des



Valeurs des coefficients :

02,1982,0

111

TE kk

4,26

982,0982,0

41,0036,0026,0

ET

atotméc kk

RJ ms

88,441,0

002,0

a

aél R

L ms

Réponse B

On constate que 44,588,4

4,26

él

méx

. Donc la fonction de transfert a 2 pôles réels.

Réponse C

On applique les formules données au cours :

max 2 2

2 2 0,0264 0,0048819,9 ms

4 0,0264 0,0264 4 0,0264 0,00488m e

m m m e

min 2 2

2 2 0,0264 0,004886, 46 ms

4 0,0264 0,0264 4 0,0264 0,00488m e

m m m e

Réponse D

Après simplification (voir support de cours), la fonction de transfert est la suivante :

2

( )

( ) 1ai

em m

totai ai

tot a a tot aT E

K T E a T E

JI s sG s G s

J R L J RU s k k s sk k R k k

Réponse E

Cette réponse sera introduite ici dans une édition ultérieure



Ex. 2.3. Régulation en courant d’un moteur DC

On considère un moteur DC à aimants permanents (type MT30U4-26), caractérisé comme suit :

Unom = 100 V

Inom = 16.6 A

Ra = 0.22 Ω

La = 1.7 mH

kT = kE = 0,24 Nm/A

Jmot = 2.3 · 10-3 kg·m2

On désire régler ce moteur en courant sans tenir compte de l’inertie de la charge (Jch = 0). Le variateur (à découpage) est modélisé par une fonction de transfert du 1er ordre avec Kcm = 1 et cm = 95 s. On néglige le retard introduit par l’organe de mesure (Kmi = 1 V/A, mi = 0). Il en résulte que la somme des petites constantes de temps vaut pct = cm = 95 s.

A) Déterminer les constantes de temps électrique et mécanique.

B) Donner la forme algébrique de la fonction de transfert Ia(s) / Ua(s).

C) Démontrer que les 2 pôles de cette fonction de transfert sont complexes conjugués.

D) Exprimer la fonction de transfert du système à régler Umi(s) / Ucm(s). Donner la forme algébrique et les valeurs numériques.

E) Donner le type du régulateur de courant qui convient et l’expression de sa fonction de transfert.

Réponse A

Les constantes de temps du moteur sont :

2

0,0023 0,228,78 ms

0,24tot a

mécT E

J R

k k

0,00177,73 ms

0,22a

éla

L

R



Réponse B

2

( )

( ) 1ai

em m

totai ai

tot a a tot aT E

K T E a T E

JI s sG s G s

J R L J RU s k k s sk k R k k

Réponse C

On constate que 8,78

1,14 47,73

méx

él

. Donc la fonction de transfert a 2 pôles complexes

conjugués.

Réponse D

La fonction de transfert du système à régler est :

2

1 1

1 11ai

em m

cm mi totai

tot a a tot aT E cm mi

K T E a T E

K K J sG s

J R L J Rk k s ss sk k R k k

Sous forme numérique :

2 6 6

10,0399

1 0,00878 67,9 10 1 95 10ai

sG s

s s s

Réponse E

Un régulateur P pourrait convenir. Toutefois, un régulateur PI a l’avantage d’annuler l’erreur statique en boucle fermée. Il pourrait être ajusté selon le principe de compensation du pôle dominant par le zéro du régulateur.

Un régulateur PID n’apporterait rien. En effet, le zéro supplémentaire ne peut être utilisé pour compenser le pôle suivant, car il ne ferait qu’amplifier les bruits dus à l’amplificateur à découpage.

Ex. 2.4. Ajustement du régulateur de courant d’un moteur DC

A la figure ci-dessous, on donne le diagramme de Bode du système à régler de la question précédente. On y trouve également le diagramme de Bode du système en boucle ouverte pour 2 régulateurs PI, dont le gain est fixé provisoirement à Kpi = 1 :

Régulateur No1 : Kpi = 1, ii = max (compensation du pôle dominant)

Régulateur No2 : Kpi = 1, ii = 30 pct (ajustage sur les petites constantes de temps)



Bode Diagram

100

101

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

0

45

90

Pha

se (

deg)

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

Mag

nitu

de (

dB)

Pour les 2 régulateurs (No1 et No2), déterminer :

A) Le gain Kpi permettant d’obtenir une marge de phase de 45°.

B) Le gain à basse fréquence du système en boucle ouverte avec les valeurs Kpi déterminés au point précédent.

C) Le gain à basse fréquence du système en boucle fermée, avec les valeurs Kpi calculées au point A.

D) L’erreur statique du système en boucle fermée, avec les valeurs Kpi calculées au point A.

Sans rien modifier à l’ajustage de ces 2 régulateurs, on connecte une charge dont l’inertie vaut Jch = 2 Jm.

E) Comment va évoluer la marge de phase (pour le régulateur 1, resp. le régulateur 2) ?

F) Comment va évoluer le gain à basse fréquence du système en boucle ouverte (pour le régulateur 1, resp. le régulateur 2) ?

G) Comment va évoluer l’erreur statique en boucle fermée (pour le régulateur 1, resp. le régulateur 2) ?

Système à régler

Régulateur No2 : ii = 30 pct

Système à régler

Régulateur No1 : ii = max

Régulateur No2 : ii = 30 pct

Régulateur No1 : ii = max

Pulsation [rad/s]



Réponse A

Pour les 2 régulateurs, la phase atteint -135° pour une pulsation de 104 rad/s. Le gain, avec la valeur provisoire Kpi = 1, est de -27 dB.

On peut donc, pour les 2 régulateurs, fixer 27 2010 22, 4piK

Réponse B

Avec cette valeur de Kpi, la courbe de gain de chacun des régulateurs est relevée de 27 dB. A basse fréquence, le gain en boucle ouverte vaut donc :

Pour le régulateur no1 : 13 27 20lim 10 100oG

Pour le régulateur no2 : 23 27 20lim 10 300oG

Réponse C

En boucle fermée, le gain à basse fréquence pour chaque régulateur vaut :

Pour le régulateur no1 : 0

100lim 0,990

1 100cG

Pour le régulateur no2 : 0

300lim 0,997

1 300cG

Réponse D

L’erreur statique pour chaque régulateur vaut :

Pour le régulateur no1 : 1 0,990 0,01 1,0%s

Pour le régulateur no2 : 1 0,997 0,003 0,3%s

Réponse E

Si l’on change l’inertie de la charge, la constante de temps mécanique change proportionnellement. De même, le gain statique aiK augmente proportionnellement.

Pour des pulsations élevées ( ), les termes en s et en s2 sont prépondérants. La fonction de transfert (voir réponse D de l’exercice précédent) montre que les changements d’inertie affectent le numérateur de la même manière que le dénominateur. Il en résulte que les courbes de gain et de phase restent inchangées.

Donc, la marge de phase reste inchangée.



Réponse F

Pour des pulsations faibles ( 0 ), les termes en s et en s2 n’ont aucune influence. Il en résulte que le gain à basse fréquence augmente proportionnellement à l’inertie totale.

Si on ajoute une inertie Jch = 2 Jm, on triple l’inertie totale. Le gain à basse fréquence est donc multiplié par 3.

Réponse G

Si le gain à basse fréquence est multiplié par 3 en ajoutant l’inertie de la charge, on réduit l’erreur statique d’un facteur 3.

Pour le régulateur no1 : 1,0%

' 0,33%3s

Pour le régulateur no2 : 0,3%

' 0,1%3s

Ex. 2.5. Rigidité d’un entraînement

On considère l’axe Y d’une machine à découper au Laser, qui est entraîné par un servomoteur, par l’intermédiaire d’une vis à bille.

Couple nominal du moteur : 16 Nm

Pas de vis : 32 mm

Inerties totales rapportées au moteur : 0,01 kgm2 (±10%)

Les régulateurs sont choisis et ajustés comme suit :

Régulateur de courant : supposé parfait

Régulateur de position : type PD gain = K = 80 [s-1]

A) Calculer l’écart de position si cet axe accélère (linéairement) de 0 à 24 m/min en 50 ms.

B) Calculer la rigidité de cet asservissement (en négligeant l’effet des frottements).



Réponse A

On calcule d’abord la valeur de l’accélération de la charge, puis du moteur :

][m/s 805,0

60

242

t

va L

][rad/s 570'1032,0

282 2

p

aLM

Connaissant la somme des inerties rapportées au moteur, on obtient le couple d’accélération :

[NM] 7,15570'101,0 Mtotacc JT

Pour que le régulateur de position demande ce couple, et comme il n’a pas de composante

intégrale, il lui faut l’écart de poursuite suivant : [rad] 196,080

7,15

K

Tacc

L’écart de la position (le traînage) vaut donc : [mm] 0,12

032,0196,0

2

p

X

Réponse B

Pour un couple perturbateur de 15,7 Nm, on a un écart de position de 1,0 mm (voir réponse à la question A). La rigidité vaut donc :

15,715'700 N/m

0,001pert

X

Fk

Ex. 2.6. Commande a priori

On considère l’entraînement de l’exercice précédent.

A) Proposer une commande a priori.

B) Que devient l’écart de position lors de l’accélération de 0 à 24 m/min en 50 ms ?

C) Que devient ce même écart si l’inertie s’écarte de ±10% de sa valeur ?



Réponse A

La commande a priori devrait tenir compte de l’inertie (valeur moyenne) de la charge, et calculer le couple d’accélération nécessaire en dérivant 2 fois la position (position vitesse accélération).

Soit ( )ca t la valeur de l’accélération de consigne, à l’instant t . On calcule d’abord

l’accélération angulaire du moteur :

( ) ( )2c c

pt a t

La commande a priori doit donc valoir : ( ) ( )2tot

a priori tot c c

J pT J t a t

.

Réponse B

Si l’inertie réelle vaut exactement la valeur de totJ ayant servi pour le calcul de la commande

a priori, l’écart de position restera nul. En effet, le régulateur n’aura pas à intervenir pour que le moteur obtienne la consigne de couple nécessaire.

Réponse C

Si l’inertie réelle diffère dans une plage de totJ %10 , le régulateur devra intervenir pour

obtenir le couple supplémentaire nécessaire. L’écart de position nécessaire est 10 fois plus faible que celui qui aurait été nécessaire sans commande a priori, soit ±0,1 mm.

Ex. 2.7. Comparaison de 2 structures de réglage en position

Au cours et au labo, nous avons vu comment synthétiser un régulateur de position, qui délivre directement la consigne de couple à l’entraînement (réglé en courant). Comme il y a double intégration (couple/accélération vitesse position), il est nécessaire de prévoir une avance de phase. Pour cette raison, on utilise un régulateur de type PD. On peut y ajouter une commande de couple a priori (feed-forward).

L’état de l’art des équipements industriels est cependant différent. Le régulateur de position (de type P) délivre une consigne de vitesse. Celle-ci passe alors par un régulateur de vitesse (de type P, parfois de type PI) pour obtenir la consigne de couple.

Démontrer que le comportement d’un régulateur PD de position est identique à celui des régulateurs de position (P) et de vitesse (P) décrits ci-dessus, à condition d’introduire une commande a priori de vitesse.



TemIa

s·

Ra kT

T rés

kE

Ui

BSR20081205_A.des

Kcm

+ s·cm

Ucm

régulateurde courant variateur

G (s)ci

Ua

moteur et charge

Im

capteurde courant

e

1

Jtot

1

sKcm

+ s·cm

Ucm

variateur

+-

régulateurde vitesse

G (s)c

boucle de courant

1

s

de position

régulateurde position

G (s)c

boucle de vitesse

boucle de position

+-

Tc 1

kT

Icc

m

c

m

G (s)mi

G (s)m

s

capteur

+

sff

Réponse

Dans le cas des régulateurs imbriqués, la consigne de couple fournie par le régulateur de vitesse est :

mcpc KT '

La consigne de vitesse fournie par le régulateur de position, corrigée de la commande a priori de vitesse est :

'c p c m a prioriK

Dans ces équations, on peut remplacer certains termes :

la mesure de vitesse est la dérivée de la mesure de position : mm s

la commande a priori de vitesse est la dérivée de la consigne de position : a priori cs

L’équation de la consigne de couple devient alors :

' [ ' ] a priori m

c

c p p c m c mT K K s s

mcpmcppc sKKKT ''

'

11''

pmcppc K

sKKT



Dans le cas du régulateur PD de position, la consigne de couple qui en sort est :

dmcpc sKT 1

Ces 2 solutions auront le même comportement si :

' ppp KKK et '

1

pd K

C. Q. F. D.

Cette solution présente quelques avantages :

La commande qui génère la consigne de couple n’est pas toujours disponible. Par contre, il est parfois possible de générer une consigne de vitesse pour tester et ajuster l’entraînement.

Les régulateurs de position, de vitesse et de courant ne doivent pas nécessairement « tourner » au même cycle d’échantillonnage, ce qui peut ménager les ressources de calcul. Exemple fréquent : 8 ou 16 kHz pour la boucle de courant, 4 kHz pour la boucle de vitesse et 1 ou 2 kHz pour la boucle de position. Autre exemple : Les régulateurs de position incorporés aux CNC standards fonctionnent souvent à des fréquences de 200 à 500 Hz, alors que les boucles de vitesse, incorporées aux variateurs, fonctionnent à des fréquences beaucoup plus élevées.

Cette solution présente au moins un inconvénient majeur :

Lorsque l’entraînement tourne à vitesse constante, sans couple perturbateur, le régulateur de position (de type P) a besoin d’un écart de position pour générer la consigne de vitesse. La consigne de position est donc suivie avec un retard non négligeable. Le moyen simple d’éviter cette erreur consiste à introduire une commande a priori de vitesse (en pointillé dans la figure ci-dessus).

Ex. 2.8. Reverse engineering d’un moteur DC

La fonction de transfert d’un moteur DC, que l’on cherche à régler en courant, est la suivante :

000078,01

1

0002,01

1

0022,01016,0114,0

ssss

ssGai

A) Représenter par un diagramme de Bode asymptotique (gain uniquement) cette fonction de transfert.

B) Calculer les constantes de temps mécanique et électrique de cet entraînement.

C) Le moteur étant à vide (sans charge mécanique), et en considérant que les frottements sont négligeables, que valent la résistance et l’inductance de ce moteur ?



Réponse A

Réponse B

Les 2 pôles de la fonction de transfert du moteur sont réels, mais très proches l’un de l’autre. Les constantes de temps mécanique et électriques sont telles que :

2 2 61 1 0,016 1 0,0022 1 0,0182 35, 2 10méc méc éls s s s s s

On obtient ainsi la valeur des deux constantes de temps :

0,0182 sméc

635, 2 100,00193 s

0,0182él

Ex. 2.9. Régulation d’un mobile sur plan incliné

Un mobile se déplace sur un plan incliné, sans frottements. Il est réglé en position linéaire par un régulateur PI.

Le cahier des charges précise que la rigidité de l’asservissement doit être supérieure à 2 kN pour un écart de position de 1 mm.

10-1

100

101

102

103

104

105

106

-360

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Mag

nitu

de (

dB)



Hypothèses simplificatrices : Le régulateur de courant du moteur, le mécanisme de treuil et le câble sont supposés idéaux. On peut donc admettre que la consigne de force issue du régulateur de position correspond exactement à la force exercée par le moteur, le treuil et le câble sur le mobile.

D) Quel est le gain Kp minimum que doit avoir le régulateur PI pour que le cahier des charges soit respecté ?

E) Calculer l’erreur statique causée par la gravitation sur le mobile en déplacement linéaire, pour un angle β de 45 degrés, la masse m du mobile étant de 600 kg.

F) Proposer une commande de couple a priori (feed-forward), Tff = f (…), qui compense cette erreur statique pour toutes valeurs de la masse m et de l’angle β.

Réponse A

Le gain proportionnel pK détermine la rigidité de l’asservissement. On doit donc choisir :

62 '000 N2 10 N/m

0,001 mpK

Réponse B

La masse m est soumise à son poids, qui est une force verticale. Seule la projection de cette force sur l’axe de déplacement a une influence sur les mouvements du mobile. La force qui s’exerce ainsi sur le mobile vaut :

sin 4 '162 NgravitationF m g

Cette force perturbatrice provoque une erreur statique de position. Si le gain proportionnel du régulateur est égal à la valeur limite obtenue sous A, l’écart vaut :

6

4 '1622,08 mm

2 10gravitation

p

F

K

prég. PD de position

moteur, treuil et

capteu

p

pm

Fmasse

M

Mote

β

θ

Treuil

p



Réponse C

Cette erreur statique peut être compensée par la commande a priori (feed-forward) suivante :

sinffF m g

Si cette commande a priori doit être rapportée au moteur, et en introduisant le rayon r du treuil, on obtient :

sinffT r m g

Ex. 2.10. Ajustage d’un régulateur de position

On considère un moteur DC à aimants permanents (type MT30U4-26), caractérisé comme suit : Unom = 100 V Inom = 16,6 A Ra = 0,22 Ω La = 1,7 mH KT = KE = 0,24 Nm/A Jm = 0,92 · 10-3 kg·m2

On désire régler ce moteur en position sans tenir compte de l’inertie de la charge (Jch = 0). Il s’agit d’une régulation imbriquée position-courant. Le régulateur de position est de type PD. La boucle réglée de courant est modélisée par une fonction de transfert du 2ème ordre

Gi(s) = Ia(s) / Ic(s) ayant un gain en basse fréquence de Ki = 1. L’organe de mesure est modélisé par une fonction de transfert Gm (Km = 1, m = 250

s).

La réponse harmonique en boucle ouverte est donnée à la figure ci-dessous pour Kp = 1. Dans ce diagramme, on indique 3 possibilités pour le choix de la constante de temps du dérivateur d (N = 8, 12 et 25 fois réf , avecréf = 370 s).

A) Représenter le schéma fonctionnel de cette régulation imbriquée en utilisant les fonctions de transfert Gc, Gi, et Gm et en indiquant les variables c , m , Ic , I , Tem , Trés et .

B) On désire une marge de phase de 45° et une rigidité de 500 Nm/rad. A partir de la réponse harmonique en boucle ouverte, déterminer le dimensionnement adéquat (N = 8, 12 ou 25).

C) Exprimer la fonction de transfert du régulateur de position Gc(s). Donner la forme algébrique et les valeurs numériques.



101

102

103

104

105

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

Ph

as

e (

de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Ma

gn

itu

de

(d

B)

N = 25

N = 12

N = 8

N = 25

N = 12

N = 8



Réponse A

Réponse B

Le gain Kp du régulateur de position est déterminé par la rigidité souhaitée :

500500 Nm/rad 2 '083 66, 4 dB

1 0,24em

p i T pi T

T KK K K k K

K k

En traçant une horizontale dans le diagramme de Bode, pour un gain de -66,4 dB, on remarque que les courbes de gain pour N = 12 déterminent une marge de phase de 45°.

Réponse C

Fonction de transfert du régulateur de position PD : ( ) 1c c dG s K s , avec :

6

66,4 dB 2 '083

12 370 10 4,44 ms

p

d réf

K

N

Gc

Gi Ic

kT I

2

1

totJ s

Tem

Trés

c

Gm

m



3. Choix d’un entraînement avec réducteur

Ex. 3.1. Calcul d’un réducteur pour moteur asynchrone

Une bande transporteuse est entraînée par un moteur, par l’intermédiaire d’un réducteur (voir figure ci-dessous). Les caractéristiques sont les suivantes :

Diamètre du tambour entraînant la bande : d = 250 mm

Vitesse de la bande : v = 75 m/min

Force de traction exercée par le tambour sur la bande : F = 2400 N

Alimentation du moteur : 400 V triphasé / 50 Hz / triphasé

Type de moteur : asynchrone, 2 paires de pôles, s = 3%, cosφ = 0,79, ηM = 87%

Rendement du réducteur : ηR = 80%

M bande

tambour

A) Quel doit être le rapport du réducteur entre le moteur et le tambour ?

B) Quel est le couple que doit fournir le moteur ?

C) Quel est le courant absorbé par le moteur (valeur efficace) ?

Réponse A

La vitesse du tambour est liée à celle de la bande transporteuse. Donc :

1 7595,5 rpm

0,25tambN vd

La vitesse du moteur asynchrone vaut :

60 60 501 1 0,03 1'455 rpm

2mot

fN s

p



On en déduit le rapport de réduction :

1'455=15,24

95,5mot

tamb

Ni

N

Réponse B

Le couple que doit fournir le tambour est lié à la force exercée par la bande transporteuse. Donc :

300 Nm2tamb

dT F

Tenant compte du rendement du réducteur, on en déduit le couple que doit fournir le moteur :

24,6 Nmtambmot

R

TT

i

Réponse C

La puissance mécanique fournie par le moteur vaut :

1'45524,6 24,6 152,4 3'750 W

30méc mot motP T

Tenant compte du rendement du moteur, la puissance électrique qu’il consomme vaut :

3'7504 '310 W

0,87méc

élmot

PP

Le moteur est une charge triphasée équilibrée. Le courant de phase absorbé est donné par :

3'7503 cos 7,88 A

3 cos 3 400 0,79él

él c rms rms rms

c rms

PP U I I

U

Ex. 3.2. Calcul d’une crémaillère pour moteur pas-à-pas

Un moteur pas à pas est équipé d’un pignon pour entrainer une crémaillère, dont les dents sont distantes de 5 mm les unes des autres. Le moteur compte 180 pas par tour.

On désire pouvoir positionner la charge mobile linéaire de millimètre en millimètre, aussi exactement que possible.

A) Quel nombre de dents sur le pignon côté moteur proposez-vous, et pourquoi ?

B) Comment pourrait-on choisir un nombre de dents plus faible, tout en maintenant la possibilité de positionner de millimètre en millimètre ?



Réponse A

ZM est le nombre de dents du pignon moteur, la relation sur les vitesses donne :

MM

L

pZv

2, où M est exprimé en [rad/s]

On en tire XL , soit la distance de déplacement de la crémaillère :

2M

L M

Z pX

, où M est l’angle de rotation du moteur en [rad].

Nous avons une contrainte provenant de la technologie de moteur utilisée : Le moteur ne peut s’arrêter que sur un pas. Donc, pour passer d’un millimètre au millimètre suivant, il doit passer un nombre entier NP de pas. Son déplacement angulaire vaut donc :

2rad

180M PN

On obtient alors successivement :

2 180 0,001 180 36

2 180 180 0,005M M P L

L P ML P P P

Z p Z p N XX N Z

N p N N

Comme NP ne peut être qu’un nombre entier, et qu’un pignon doit avoir au minimum une dizaine de dents, nous pouvons retenir les solutions suivantes :

ZM = 12, 18 ou 36 dents.

Il s’agit alors de faire un compromis entre le diamètre du pignon (proportionnel au nombre de dents), et la vitesse max. possible du mobile (inversement proportionnelle au nombre de dents).

S’il s’agit d’une application très dynamique, il serait judicieux de calculer le rapport de réduction optimal, et de choisir le nombre de dents qui s’en rapproche le plus.

Ex. 3.3. Charge d’un moteur avec crémaillère

La tête d’impression d’une imprimante à jet d’encre est mue horizontalement par un entraînement rotatif-linéaire de type pignon - crémaillère. L’équipage mobile (tête et dispositif d’entraînement) pèse 800 g et doit être accélérée à 25 m/s2. La crémaillère à un pas de 2,0 mm et le pignon d’entraînement compte 38 dents. L’inertie du moteur est de 150 · 10-6 kgm2. Calculez :

A) L’inertie équivalente de cette charge, rapportée au moteur.

B) Le couple moteur nécessaire pour accélérer cette charge (hypothèses : frottements nuls).



Réponse A

L’inertie de la charge, rapportée au moteur, se calcule par :

2 26 238 0,002

0,8 117 10 kgm2 2M

L équiv L

Z pJ m

A remarquer que cette inertie est proche de celle du moteur. Le rapport de réduction est donc proche de l’idéal.

Réponse B

L’accélération du moteur est donnée par :

22 225 2 '067 rad/s

38 0,002motM

aZ p

Le couple moteur nécessaire pour accélérer la tête d’impression se calcule par :

6 6150 10 117 10 2 '067 0,552 Nmmot mot L équiv motT J J



4. Considérations d’énergie et de puissance

Ex. 4.1. Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt arrêt

On considère le polynôme du 5ème degré 55

44

33

2210)( tatatatataatp .

A) Calculer les 6 coefficients pour que le déplacement correspondant ait une amplitude de 1 [m], que la durée soit de 1 [s], et pour que la vitesse comme l’accélération soient nulles au démarrage comme à l’arrivée.

B) Exprimer le polynôme qui correspondrait à un déplacement d’allure identique de ΔX [m] en Δt [s].

Réponse A

Il convient, tout d’abord, de dériver par deux fois ce polynôme, pour obtenir la vitesse et l’accélération :

2 3 41 2 3 4 5

( )( ) 2 3 4 5

dp tv t a a t a t a t a t

dt

22 3

2 3 4 52

( ) ( )( ) 2 6 12 20

dv t d p ta t a a t a t a t

dt dt

En exprimant les conditions limites au démarrage, soit pour 0t , on obtient la valeur des 3 premiers coefficients :

0

1

2

0(0) 0

(0) 0 0

(0) 0 0

ap

v a

a a

En exprimant les conditions limites à l’arrivée, soit pour 1t , on obtient 3 équations, qui permettent de calculer les 3 derniers coefficients :

020126)1(

0543)1(

1)1(

543

543

543

aaaa

aaav

aaap



On peut calculer 5a en éliminant 3a du système d’équations :

4 5 4 55

4 5 4 5

(1) 3 (1) 2 3 2 4 6 6

(1) 2 (1) 4 10 0 2 5 0

v p a a a aa

a v a a a a

On en déduit 4a comme suit :

3 4 3 44

3 4 3 4

(1) 6 1 3 3 15 15

(1) 3 4 5 6 0 3 4 30

p a a a aa

v a a a a

Et finalement : 3 315 6 1 10a a

Les 6 coefficients sont ainsi déterminés. Pour ce déplacement, le polynôme est :

543 61510)( ttttp

Réponse B

Pour un déplacement quelconque, on peut toujours choisir l’origine des positions et celle des temps de manière à ce que les conditions limites au démarrage, soit pour 0t , soit les suivantes :

(0) 0

(0) 0

(0) 0

p

v

a

Il en résulte, comme pour la réponse A :

0

1

2

0

0

0

a

a

a

Pour tt , les conditions limites deviennent :

3 4 53 4 5

2 3 43 4 5

2 33 4 5

( )

( ) 3 4 5 0

( ) 6 12 20 0

p t a t a t a t X

v t a t a t a t

a t a t a t a t



En procédant comme précédemment, on obtient 5a en éliminant 3a du système d’équations :

4 54 5

3 44 5

3 2 3

2 4 10 0

v t t p t t a t a X

a t t v t t a t a

4 54 5

5 53 44 5

2 4 6 6

2 5 0

t a t a X Xa

tt a t a

On en déduit 4a comme suit :

3 43 4

2 33 4

( ) 6

30( ) 3 4 0

p t t a t a X X

Xv t t a t a

t

3 43 4 4

4 4 43 43 4

3 3 15 15 15

3 4 30

t a t a X Xt a X a

tt a t a X

Et finalement : 333

3 10 515t

XaXXat

Les 6 coefficients sont ainsi déterminés. Pour ce déplacement, le polynôme est :

Xtt

tt

tt

tp

5

54

43

3

61510)(

Remarquons qu’il aurait été aussi possible de partir directement des coefficients calculés pour la première partie. En effet, dans le développement mathématique, rien n’imposait que l’unité de distance soit le mètre et que l’unité de temps soit la seconde. Avec, par exemple, un déplacement de 1 km et 1 h, on aurait obtenu exactement les mêmes coefficients pour )(tp , simplement en adaptant les unités.

On peut donc aussi remplacer la distance de X [m] et le temps de Δt [s] par un distance de 1 « toto » à réaliser en un temps de 1 « titi », le « toto » valant X [m] et le « titi » valant Δt [s]. On aurait alors obtenu :

[s/titi][titi][s] [m/toto][toto] [m] 1et 1 ttXX

5

5][

4

4][

3

3][5

][4

][3

][][][ 6151061510)()(t

t

t

t

t

tXtttXtpXtp sss

tititititititotom

Ce qui est bien le même résultat, obtenu de manière beaucoup plus simple.



Ex. 4.2. Calcul du polynôme 3-4-5 – transition arrêt vitesse fixe

Un servomoteur DC doit effectuer plusieurs déplacements d’une charge, en suivant impérativement des profils en polynôme 3-4-5. On considère que les pertes sont produites uniquement par la circulation du courant dans la résistance d’induit (pas de frottements).

L’un de ces déplacements consiste à partir d’une position arrêtée, pour parvenir à la vitesse 0V , après avoir parcouru la distance X , en un temps t .

Déterminer les coefficients de ce polynôme.

Réponse

Si l’on considère que le déplacement commence à l’instant 0t , et que la position initiale est nulle, le polynôme est de la forme 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5( )p t a a t a t a t a t a t . On en tire la

vitesse et l’accélération :

2 3 41 2 3 4 5

( )( ) 2 3 4 5

dp tv t a a t a t a t a t

dt

35

2432 201262

)()( tatataa

dt

tdvta

Conditions particulières au démarrage ( 0t ) :

(0) 0

(0) 0

(0) 0

p

v

a

Il en résulte, comme pour l’exercice précédent :

0

1

2

0

0

0

a

a

a

Pour tt , les conditions limites deviennent :

3 4 53 4 5

2 3 43 4 5

2 33 4 5

( )

( ) 3 4 5

( ) 6 12 20 0

p t a t a t a t X

v t a t a t a t V

a t a t a t a t



La 3ème de ces équations donne :

23 4

5 3 43 2

6 12 3 3

20 10 5

a t a ta a a

t t t

En remplaçant dans les 2 premières équations, on obtient successivement :

3 4 53 4 3 42

2 3 43 4 3 42

3 3

10 5

3 33 4 5

10 5

a t a t a a t Xt t

a t a t a a t Vt t

3 43 4

2 33 4

3 31 1

10 5

33 4 3

2

t a t a X

a t a t V

3 43 4

2 33 4

0,7 0,4

1,5

t a t a X

a t a t V

De cette 2ème équation, on tire :

23

4 33 3

1,5 1,5V a t Va a

t t t

En remplaçant dans la 1ère équation, on obtient successivement :

3 4 33 3

1,50,7 0,4

aVt a t X

t t

3 33 30,7 0,4 0,6t a t V t a X

3 3 3 3 3

0, 4 0,4 10 4

0,7 0,6 0,1

X t V X t V X t Va

t t t t

On peut déterminer maintenant les 2 autres coefficients :

4 3 3 4 3 4

1,5 10 4 15 15 77

V X t V X V X t Va

t t t t t t

23 4

5 3 2 3 4

5 5 4 5 4 5 4 5

6 12 3 10 4 6 15 7

20 10 10

30 12 90 42 6 36 3

10 10 10 10

a t a t X t V X t Va

t t t t t

X V X V X V X t Va

t t t t t t t



La loi de ce mouvement est donc :

3 4 5

3 4 53 4 5

10 4 15 7 6 3( )

a a a

X t V X t V X t Vx t t t t

t t t

Ex. 4.3. Déplacement optimal avec profil vitesse triangulaire

Un servomoteur DC doit déplacer une charge d’une distance X pendant le temps , en suivant un profil de vitesse triangulaire. L’accélération dure 1 , la décélération dure 3 . On considère que les pertes sont produites uniquement par la circulation du courant dans la résistance d’induit (pas de frottements).

A) Déterminer les rapports 1 / et 3 / pour lesquels ces pertes sont minimales.

B) Exprimer la vitesse Vmax nécessaire, l’accélération max. Amax, l’accélération rms Arms, et les pertes thermiques dans le moteur.

Réponse A

Le profil de vitesse est le suivant :

v(t)

t [s]0

1

Vmax

3

BSR20080314_A.des

Comme les pertes thermiques sont supposées concentrées dans la résistance du moteur, et comme le courant du moteur est proportionnel au couple, donc aussi à l’accélération, on obtient successivement :

max max1 1 1 1

1 1

max max3 3 3 3

3 3

tt t T

T

tt t T

T

V J VT J a J k I I

k

V J VT J a J k I I

k



22

2 2 2 max max1 1 3 3 1 30

1 3

( ) t tth i i i

T T

J V J VE R i t dt R I I R

k k

2 2max

21 3

1 1i tth

T

R J VE

k

La vitesse max. dépend de la distance à parcourir et du temps total disponible :

XV

2max

L’énergie dissipée devient alors :

2 2 2 21 1

2 2 2 21 1 1 1

4 41 1 1i t i tth

T T

R J X R J XE

k k

2 2

21 1

4 1 1i tth

T

R J XE

k

Cette énergie est minimale lorsque 11 est maximum. On trouve la valeur

correspondante de 1 en dérivant cette expression, puis en l’annulant :

2

02 112

1111

dt

d

dt

d

L’énergie dissipée est minimale lorsque le triangle de vitesse est isocèle (même durée pour l’accélération et pour la décélération), donc :

1 3 2

Réponse B

Vitesse max : max 2X

V

Accélération max. (constante) : maxmax 2

24

V XA

Accélération rms : 2 2

max 1 max 3max 2

4rms

A A XA A

L’énergie dissipée vaut alors : 2 2 2 2

2 2 3

4 1 116

2 2

i t i tth

T T

R J X R J XE

k k



Ex. 4.4. Déplacement optimal avec profil vitesse trapézoïdal

Un servomoteur DC doit déplacer une charge d’une distance X pendant le temps , en suivant un profil de vitesse trapézoïdal. L’accélération dure 1 , la phase à vitesse constante dure 2 , et la décélération dure 3. On considère que les pertes sont produites uniquement par la circulation du courant dans la résistance d’induit (pas de frottements).

A) Déterminer les rapports 1 / , 2 / ,et 3 / pour lesquels ces pertes sont minimales.

B) Exprimer la vitesse Vmax nécessaire, l’accélération max. Amax, l’accélération rms Arms, et les pertes thermiques dans le moteur.

C) Comparer ces résultats avec ceux obtenus à l’exercice précédent, pour un profil en triangle.

Réponse A

Le profil de vitesse est le suivant :

v(t)

t [s]0

1

Vmax

3

BSR20080401_A.des

2

Comme les pertes thermiques sont supposées concentrées dans la résistance du moteur, et comme le courant du moteur est proportionnel au couple, donc aussi à l’accélération, on obtient successivement :

max max1 1

1 1

max max3 3

3 3

tt t T

T

tt t T

T

V J VT J a J k I I

k

V J VT J a J k I I

k



De l’exercice précédent, on peut déjà conclure que les pertes thermiques ne peuvent être minimales que si l’accélération et la décélération ont même durée. Par ailleurs, le couple pendant la phase à vitesse constante est nul, puisqu’on suppose les frottements négligeables. Donc :

2 2

2 2 max max1 10

1 1

1( ) 2 2 2t t

th i i i iT T

J V J VE R i t dt R I R R

k k

La vitesse max. dépend de la distance à parcourir, du temps total disponible, et de la durée de la phase à vitesse constante. En effet :

1

max32max3max

2max3max

2max1max

22

22

XVV

VV

VV

VX

L’énergie dissipée devient alors :

2 2 2 2

2 22211 1 1

2 21 1i t i tth

TT

R J X R J XE

kk

Cette énergie est minimale lorsque 211 est maximum. On trouve la valeur

correspondante de 1 en dérivant cette expression, puis en l’annulant :

0342 12

123

12

12

12

11 dt

d

dt

d

Les valeurs de 1 qui annule ce polynôme du 2ème degré sont :

ou36

44

32

34164 22

1

La 2ème solution n’est pas acceptable, car il en résulterait que 1 3 0 , et donc que

l’accélération et la décélération seraient infinies, ce qui n’est physiquement pas possible. On en conclu que l’énergie dissipée est minimale lorsque le trapèze de vitesse est caractérisé par des durées identiques pour l’accélération, la phase à vitesse constante, et pour la décélération, donc :

1 2 3 3



Réponse B

Vitesse max : max 1,5

3

X XV

Accélération max. (constante) : max2

4,5

3

V XA

Accélération rms : 2 2 2

max 1 max 3 max 2

3rms

A A AA

max 20,817 3,67

XA

L’énergie dissipée vaut alors : 2 2 2 2

22 2 3

2 113,5

23 3

i t i tth

T T

R J X R J XE

k k

Réponse C

Comparaison : profil triangle profil trapèze

vitesse 100% 75%

accélération et couple max. 100% 112,5% accélération et couple rms. 100% 91,2%

pertes 100% 84,4%

Ex. 4.5. Déplacement avec profil en polynôme 3-4-5

Un servomoteur DC doit déplacer une charge d’une distance X pendant le temps , en suivant un profil en polynôme 3-4-5. On considère que les pertes sont produites uniquement par la circulation du courant dans la résistance d’induit (pas de frottements).

A) Exprimer les pertes thermiques dans le moteur.

B) Exprimer la vitesse max. Vmax, l’accélération max. Amax, l’accélération rms Arms, et les pertes thermiques dans le moteur.

C) Comparer ces résultats avec ceux obtenus aux 2 exercices précédents, pour des profils en triangle et en trapèze.

D) De combien de temps faut-il prolonger la durée du déplacement pour que l’énergie dissipée dans le moteur soit identique à celle d’un déplacement à profil de vitesse trapézoïdal optimal ?



Réponse A

Les coefficients du polynôme ont été calculés dans un exercice précédent. La loi de mouvement est donnée par :

3 4 53 4 5

2 3 43 4 5

2 33 4 5

10 15 6( )

30 60 30( )

60 180 120( )

p t t t t X

v t t t t X

a t t t t X

Comme l’échauffement est proportionnel au carré du courant, donc de l’accélération, nous devons calculer :

2

2 2 33 2

60 3 2( )

Xa t t t t

22 2 3 4 5 6

6 2 2 2 3 3 4

3'600 3 3 2 9 2 6 6 4( )

Xa t t t t t t

L’énergie dissipée se calcule donc comme suit, successivement :

2 2 2

2 220 0 0 0

2 2 3 4 5 6 7

2 6 2 3 4

0

2 23

2 6

( )( )( )

3'600 6 13 12 4

3 4 5 6 7

3'600 1 3 13 42

3 2 5 7

t i tth i i i

T T T

i tth

T

i tth

T

J a t R JT tE R i t dt R dt R dt a t dt

k k k

R J X t t t t tE

k

R J XE

k

2 2

2 317,143i t

T

R J X

k

Réponse B

La vitesse max. Vmax, l’accélération max. Amax, et l’accélération rms Arms s’obtiennent facilement à partir des caractéristiques comparatives de la loi polynomiale et du triangle de vitesse (accélération constante) :

Vitesse max. :

max . max max

1,880,94

2polyn triangle triangleV V V max 1,88polyn

XV



Accélération max. :

max . max max

5,781,445

4polyn triangle triangleA A A max 25,78polyn

XA

Accélération rms :

.

4,141,035

4rms polyn rms triangle rms triangleA A A 2

4,14rms polyn

XA

Vitesse max. : 2 2

2 317,143 i t

thT

R J XE

k

Réponse C

Comparaison : profil triangle profil trapèze profil polynomial

vitesse 100% 75% 94%

accélération et couple max. 100% 112,5% 144,5% accélération et couple rms. 100% 91,2% 103,5%

pertes 100% 84,4% 107,1%

Réponse D

Si l’on souhaite remplacer un déplacement à profil de vitesse trapézoïdal optimal par un déplacement en polynôme 3-4-5 sans augmenter l’échauffement du moteur, il faut augmenter la durée du déplacement comme suit :

083,15,13

143,17opt. trap.

3opt. trap.5-4-3 pol.

Il est intéressant de relever que, si, sur le plan thermique, un moteur permet de réaliser en 100 ms un déplacement en polynôme 3-4-5, il pourra le réaliser en 93,4 ms avec un profil de vitesse trapézoïdal optimal, donc en gagnant 6,6 ms. Toutefois, il est fort probable que le jerk illimité à l’arrivée en position provoquera des oscillations dont la durée sera du même ordre de grandeur.

Ex. 4.6. Dimensionnement thermique d’un servomoteur

D’après sa fiche technique, un moteur électrique a un couple nominal de 15 Nm. On cherche à motoriser un axe d’une machine d’imprimerie, qui doit faire un mouvement de va et vient en 200 ms, et ce 2 fois par seconde.

Pendant le mouvement, le moteur fournit 24 Nm. Entre chaque mouvement, il ne fournit que 3 Nm.

A) Est-ce que ce moteur convient pour cette application ?



On suppose pour simplifier que le courant absorbé par le moteur est directement proportionnel au couple fourni, et on ne considère que les échauffements que ce courant provoque par effet Joule.

B) Quelle modification du cycle de charge proposeriez-vous pour que le moteur soit chargé exactement à sa valeur nominale ?

C) Est-ce que la situation est différente si la surcharge ne durait que 2 minutes, répétitive toutes les 5 minutes ?

Réponse A – calcul thermique du moteur proposé

Le couple moyen fourni à l’arbre par le moteur pendant un cycle se calcule comme suit :

Nombre de cycles par seconde : nc = 2

Temps de cycle : 1 1

0,5 s2c

c

tn

Déplacement : td =0,2 s Td = 24 Nm

Pause : tp = Tc – td = 0,5 – 0,2 = 0,3 s Tp = 3 Nm

Couple efficace :

2 224 0, 2 3 0,315,35 Nm

0,5rmsT

,

Ce couple représente 1,024 fois le couple nominal. Le moteur est donc légèrement surchargé.

La température qu’atteindra le moteur dépend de la puissance thermique moyenne qu’il doit dissiper. Tenant compte de la durée de surcharge et du temps de cycle, celle-ci se calcule comme suit :

NthermNNrmsmoyenth PIRIRIRP 048104810241 222 ,,,

On constate qu’avec ce type de charge, le moteur sera surchargé thermiquement de ~5%. Dans la pratique, on préférerait avoir plutôt une marge de sécurité avec 0,9rms nomT T , soit

une marge de sécurité de ~20% sur l’échauffement.

Réponse B – propositions d’amélioration

Solution A (la plus mauvaise) : choisir un moteur de 17 Nm nominal. Ce moteur sera certainement plus gros et aura une inertie plus élevée. A cause de la loi de Newton généralisée aux masses en rotation, le couple nécessaire pour réaliser le mouvement voulu sera également plus élevé. Il est même possible que, en choisissant le moteur plus gros, le problème ne soit toujours pas résolu.



Solution B (la moins coûteuse) : modifier le cycle machine, en laissant plus de temps au moteur pour se refroidir. On peut calculer que, si le moteur reste en « pause » pendant 0,45 s (au lieu de 0,3), on obtient un couple Trms’ = 13,5 Nm, procurant ainsi la marge de 10% souhaitée.

2 224 0, 2 3 0, 45' 13,55 Nm

0, 2 0, 45rmsT

Cette solution diminue en effet la cadence de production de la machine à 1,54 pièces à la seconde au lieu de 2, soit une réduction de ~25%.

Solution C (la plus astucieuse, mais pas toujours possible) : réduire l’inertie des masses en mouvement. S’il est en effet possible de gagner 12,5% sur ces inerties en optimisant leurs dimensions, ou en changeant de matériau, mais sans trop dégrader leur rigidité, le couple nécessaire pendant la phase « déplacement » du cycle diminuera d’autant, soit à 21 Nm. On obtiendrait

2 221 0, 2 3 0,3" 13,5 Nm

0, 2 0, 45rmsT

On obtiendrait ainsi la marge de sécurité désirée sans dégrader la performance de la machine.

Réponse C – situation avec un cycle de production beaucoup plus lent

Si le cycle est 600 fois plus lent, la situation deviendra probablement plus critique, car la durée de la charge à Td se rapproche de la constante de temps thermique du moteur. En effet, si la surcharge dure aussi longtemps, il est probable que la température du moteur aura le temps d’atteindre la même valeur que si cette surcharge était permanente. Le moteur atteindrait donc sa température critique avant que la période à l’arrêt ne commence.

Ex. 4.7. Calcul du cycle de production possible

Un moteur a un couple nominal de 0,6 Nm. Il est utilisé pour entraîner un dispositif de vissage, le cycle de fonctionnement est le suivant:

Le démarrage dure 0,2 secondes et nécessite un couple de 1,2 Nm.

Le moteur fonctionne ensuite 5 secondes pour visser avec un couple de 0,5 Nm.

Puis il effectue le serrage pendant 2 secondes avec un couple de 1 Nm.

Il reste alors déclenché jusqu’au cycle suivant.

Combien de cycles peut-il effectuer en une heure sans surchauffer, en respectant une marge de sécurité de 10% ?



Réponse

On utilise la relation permettant de calculer le couple efficace vue à l’exercice précédent :

2

1

1

n

i ii

rms n

ii

T tT

t

, dans lequel Trms < 0,9 · Tnom = 0,9 · 0,6 = 0,54 Nm.

Remarquons que le cycle comporte 4 phases. En plus des 3 fournies dans la donnée, il y a une 4ème phase pendant laquelle le moteur est déclenché et ne fournit aucun couple. Soit tc la durée du cycle, encore inconnue, et qui nous permettra de calculer la cadence.

La durée de la 4ème phase vaut 4 0,2 5 2 7,2c ct t t s.

On obtient successivement :

2 2 24

4

1, 2 0,2 0,5 5 1 2 00,54

0,2 5 2rms

tT

t

Nm

2 2 22 21, 2 0,2 0,5 5 1 2

0,54rmsc

Tt

2 2 2

2

1, 2 0, 2 0,5 5 1 212,13 s

0,54ct

La cadence de production possible vaut alors :

3'600 3'600296

12,13c

sf

T s cycles par heure.



Ex. 4.8. Validation thermique pour un moteur

L’entraînement d’une machine de production est équipé d’un servomoteur DC à aimants permanents, de type MT52V8-87 (fabrication SEM), et effectue des déplacements d’allure trapézoïdale.

Le moteur est caractérisé comme suit :

Tnom = 15 Nm

kT = 9,82 Nm/A

JM = 0,026 kgm2

Ra = 0,41 Ω

La = 2,0 mH

L’inertie de la charge vaut JL = 0,016 kgm2 ; les frottements nuls ; l’entraînement est direct (pas de réducteur).

Les déplacements sont caractérisés comme suit :

ωmax = 42,7 rad/s

tdépl = 280 ms

tacc = tdéc = 90 ms

tcycle = 400 ms

A) Quelle est la valeur du couple pendant l’accélération ?

B) Le moteur proposé convient-il ? Justifiez la réponse.

Réponse A

Le cycle de vitesse montre une rampe d’accélération constante (tacc), suivie d’une phase à vitesse constante (tVmax), puis d’une rampe de décélération constante (tdéc), et finalement une période d’arrêt (tdarrêt). On calcule :

1009090280max décaccdéplV tttt ms

120280400 déplcyclearrêt ttt ms

L’accélération vaut : 5,47409,0

7,42max acc

M t

rad/s2



Comme il n’y a pas de réducteur ( 1i ), l’inertie totale rapportée au moteur, vaut :

042,02

LML

Mtot JJi

JJJ kgm2

Ainsi, le couple d’accélération vaut : 93,195,474042,0 Mtotacc JT Nm

Réponse B

En supposant que la constante de temps thermique du moteur est beaucoup plus grande que le temps de cycle de la machine, on peut calculer le couple équivalent thermique pour ce moteur :

38,134,0

09,093,1909,093,1900 2222max

22

cycle

arrêtdécaécVaccaccrms t

ttTttTT Nm

Cette valeur est de 11% inférieure au couple nominal du moteur, qui devrait donc convenir.

Ex. 4.9. Choix du rapport de réduction, et validation thermique du moteur choisi

On doit entraîner la table d’un nouveau centre d’usinage avec un moteur électrique par l’intermédiaire d’un réducteur. La table doit pivoter d’un huitième de tour en 120 ms, puis rester à l’arrêt pendant la fin du cycle de travail de chaque pièce. La machine doit produire à la cadence de 7'000 pièces à l’heure. L’inertie des masses en rotation est de 0,28 kgm2.

On souhaite utiliser à cet effet un moteur DC à aimants permanents PARVEX RS640E. Ses caractéristiques sont : Tnom = 13 Nm ; kT = 0,47 Nm/A ; Ri = 0,12 ; JM = 0,0083 kgm2. Son servo amplificateur peut lui fournir une tension max. de 130 V. On néglige ses frottements, ceux du réducteur et l’inertie de celui-ci.

A) Quel rapport de réduction choisir ?

B) Quelle marge y a-t-il sur la charge thermique du moteur ?

Réponse A

Il faut tout d’abord analyser le cycle de fonctionnement de la machine pour déterminer la vitesse max. et l’accélération pendant les pivotements. Par soucis de simplicité, on choisit un profil de vitesse triangulaire pendant les déplacements. Cela signifie que la vitesse passe linéairement de 0 à la vitesse max. pendant la moitié des 120 ms, puis diminue linéairement jusqu’à 0 pendant la 2ème moitié des 120 ms.

Pendant le pivotement, la table doit se déplacer d’un angle rad48

2 .



La surface du triangle de vitesse correspond à cet angle : 2

max pivotementt

, donc :

rad/s1,13120,0

422

max

pivotementt

L’accélération vaut alors : 2rad/s21806,0

1,13max

acct

.

Le temps de cycle vaut : 3'600

0,514 s7 '000ct

On essaie d’abord d’utiliser le rapport de réduction optimal, donc : 2

L

MLM N

NJJ .

Dans ce cas, 172,028,0

0083,0

L

M

L

M

J

J

N

N On choisit le rapport de pignons 9 : 53.

Réponse B

On ramène le cas de charge au moteur :

2kgm0164,028,053

90083,0

2

J

rad/s1,771,139

53max moteur

2rad/s285'12189

53moteur

Le couple d’accélération vaut : 0,0164 1'285 21,1 Nmacc motT J .

On peut maintenant calculer le couple efficace : 2

0,12 21,110,2 Nm

0,514rmsT

La marge de sécurité est de : %2113

2,1013

.



Ex. 4.10. Choix du rapport de réduction

Un moteur de 5,5 Nm nominal peut tourner jusqu’à 4'500 rpm. Son inertie Jmot = 6,3 kg·cm2. Il entraîne une charge rotative à l’aide d’un réducteur à courroie crantée.

La charge doit constamment accélérer de 1’370 rpm à 1’830 rpm, puis revenir à 1'370 rpm. Elle ne fait donc qu’accélérer et freiner, à accélération constante. Son inertie est de 12,6 kg·cm2. On suppose que tous les frottements sont négligeables, donc que le couple transmis par le moteur ne sert qu’à accélérer et freiner la charge, suivant son sens.

Est-ce que le moteur convient, et quel rapport de réduction choisir ?

Application réelle : Il s’agit d’une machine à découper des feuilles de papier aux formats A4, A5, et longueurs spéciales. Celles-ci, imprimées en continu mais pas encore découpées, avancent à vitesse constante. Un ciseau rotatif découpe chaque page à la bonne longueur. Sa circonférence est légèrement supérieure à la longueur d’une page. Pendant la découpe (env. 5% du tour), la vitesse tangentielle du ciseau rotatif doit être égale à celle du papier. Sur le reste du tour, il doit accélérer et freiner pour être prêt à couper la page suivante au bon endroit.

Réponse

Le couteau tourne à une vitesse moyenne de 1min

600'12

830'1370'1, soit 26,7 s-1. Par

conséquent il coupe donc 26,7 pages chaque seconde, soit une page toutes les 37,5 ms. Il dispose ainsi au maximum de 18,75 ms pour accélérer et du même temps pour freiner. Prenons une marge de sécurité, et admettons que le temps d’accélération et le temps de freinage valent 16 ms chacun.

Comme le moteur est continuellement en train d’accélérer et de freiner, on ne peut pas exploiter ses capacités de surcharge impulsionnelle. Le couple d’accélération, identique au couple de freinage (au signe près), ne doit pas dépasser le couple nominal du moteur.

1er choix envisageable : Le moteur devrait tourner à sa vitesse max. de 4'500 min-1 lorsque la charge (le ciseau rotatif) tourne à 1’830 rpm. Le rapport de réduction devrait être donc de 183 : 450. Comme les nombres de dents seraient trop élevés, on choisit le rapport approximativement identique de 17 : 41.

L’inertie totale, vue du moteur, sans compter le réducteur lui-même, vaut :

2cmkg

5,82,23,6

41

176,123,6

22

L

Mchargemottotale N

NJJJ

Pour accélérer la charge de 1'370 à 1’830 min-1, il faut accélérer le moteur de 3’304 à 4'414 min-1, soit de 346 à 462 rad/s. La durée de l’accélération étant de 16 ms, l’accélération du moteur vaut :

2rad/s261'7016,0

346462

t

v .



Le couple d’accélération vaut donc :

48,5 10 7 '261 6,15 Nm 5,5 Nmacc totale nomT J T

Avec ce réducteur, le moteur ne convient pas. Essayons un autre rapport de réduction.

2ème choix envisageable : On choisit un réducteur 1 : 1 de manière à ce que le moteur tourne à la même vitesse que la charge. Si l’on procède aux mêmes calculs, on obtient :

2cmkg

9,186,123,6

1

16,123,6

22

L

Mchargemottotale N

NJJJ .

Pour accélérer la charge de 1'370 à 1’830 rpm, il faut accélérer le moteur de 1'370 à 1’830 rpm, soit de 143 à 192 rad/s. La durée de l’accélération étant de 16 ms, l’accélération vaut :

2rad/s011'3016,0

143192

t

v

Le couple d’accélération vaut donc : 418,9 10 3'011 5,7 Nm 5,5 Nmacc nomT T

Cette solution, bien que non satisfaisante, semble meilleure que la première. C’est parce que dans le premier cas, l’inertie de la charge rapportée au moteur était très faible. Le couple moteur servait en majorité pour accélérer le moteur seul. Dans le deuxième cas, l’inertie de la charge représente les 2/3 de l’inertie totale. On transmet donc le couple à la charge en gaspillant moins de couple pour accélérer le moteur lui-même.

3ème choix envisageable : On choisit un rapport de réduction tel que l’inertie de la charge, vue du moteur, soit égale à celle du moteur. Donc :

charge

mot

L

M

J

J

N

N

2

, ou 71,06,12

3,6

charge

mot

L

M

J

J

N

N

Concrètement, on choisit le rapport 24 : 17.

On a ainsi 2cmkg

6,123,63,6

24

176,123,6

22

L

Mchargemottotale N

NJJJ

Pour accélérer la charge de 1'370 à 1’830 rpm, il faut accélérer donc le moteur de 1’934 à 2’584 rpm, soit de 203 à 271 rad/s. La durée de l’accélération étant de 16 ms, l’accélération vaut :

2rad/s011'3016,0

143192

t

v

Le couple d’accélération vaut donc : 412,6 10 4 '250 5,36 Nm 5,5 Nmacc motT T



Le couple efficace, équivalent au couple d’accélération dans ce cas, est légèrement inférieur au couple nominal du moteur. On pourrait éventuellement chercher si un autre moteur conviendrait mieux, ou s’il est possible de gagner un petit peu sur les inerties entraînées. On peut aussi décider de construire un prototype sur cette base pour valider le concept de la machine et la pertinence des calculs.

Comme ce moteur est du type synchrone, les pertes sont essentiellement produites au stator. Il est peut-être possible d’améliorer son refroidissement, par exemple en dégageant bien le volume dans lequel il est monté, pour faciliter la circulation de l’air.

Remarque : Cet exercice illustre le principe selon lequel les applications où les couples d’accélération et de freinage prédominent (peu de frottements, peu de couple d’usinage), le moteur sera toujours le mieux utilisé lorsque le rapport de réduction est choisi de manière à ce que l’inertie de la charge, vue du moteur, soit identique à l’inertie du moteur.

Ex. 4.11. Influence du profil de mouvement sur l’échauffement d’un moteur

Sur une machine de production, on doit réaliser des déplacements point-à-point linéaires d’une amplitude de 33 cm en 440 ms. Le temps de cycle est de 800 ms.

On utilise un réducteur de type pignon-crémaillère. La crémaillère a un pas de 2,5 mm. L’ensemble des masses en mouvement linéaire présente une masse de 150 kg.

Le moteur est de type DC (courant continu). Sa vitesse max. est de 3'000 rpm. Son inertie est de 0,72 · 10-3 kgm2. Sa constante de couple est de 0,42 Nm/A.

Le convertisseur qui entraîne ce moteur est alimenté à partir d’un réseau triphasé 170 Vrms / 50 Hz par l’intermédiaire d’un simple redresseur (donc incapable de restituer l’énergie de freinage au réseau triphasé). Son bus DC est équipé d’un condensateur de 470 μF. Sa résistance de freinage s’enclenche lorsque la tension du bus DC atteint 320 V.

A) Calculer la vitesse max. et l’accélération max. pour un profil à accélération constante.

B) Calculer la vitesse max. et l’accélération max. pour un profil en polynôme 3-4-5.

Conseil : Pour ce 2ème profil, il est plus facile de partir des valeurs obtenues avec le 1er profil, et d’utiliser les valeurs max. indiqués dans les diapositives du cours pour un déplacement normalisé, comme facteurs de proportionnalité.

C) Supposant que l’on utilise ce profil en polynôme 3-4-5, quel doit être le nombre de dents du pignon pour que ce moteur puisse réaliser le déplacement souhaité sans dépasser sa vitesse max. ?

D) Quelle est alors la valeur du couple max. que le moteur doit pouvoir délivrer ?

E) Quelle est la valeur efficace (rms) de ce couple pendant la durée du déplacement ?



F) Tenant compte du fonctionnement cyclique et de la marge de sécurité de 10%, quelle est la valeur minimum du couple nominal que doit offrir ce moteur ?

Réponse A

Pour un déplacement à accélération constante, on a :

max

2 2 0,331,5 m/s

0, 44dépl

XV

t

2max 2 2

4 4 0,336,82 m/s

0, 44dépl

XA

t

Réponse B

Pour un déplacement à profil polynomial, on a :

max

1,881,5 1,41 m/s

2V

2max

5,786,82 9,85 m/s

4A

Réponse C

On part de la relation du réducteur 2M

L M

Z pv

, pour trouver :

maxmax

2 1,41 2 11,3

3'0002 0,002530

Mnom M

nom

VZ pV Z

p

On choisit : 12MZ

Réponse D

L’accélération max. au niveau du moteur vaut :

22 29,85 2 '063 rad/s

12 0,0025M LM

aZ p

L’inertie de la charge, rapportée au moteur, vaut :

2 23 212 0,0025

150 3,42 10 kgm2 2M

L équiv L

Z pJ m



Le couple max. que doit fournir le moteur est donc :

3 30,72 10 3,42 10 2 '063 8,54 NmM M L équiv MT J J

Réponse E

Pour un profil polynomial, la relation entre valeur max. et valeur rms de l’accélération est connue. On en déduit ainsi le couple efficace :

max

4,14 4,148,54 6,12 Nm

5,78 5,78rmsT T

Réponse F

Ce moteur doit donc avoir un couple nominal supérieur à 6,8 Nm.

Ex. 4.12. Calcul de la résistance de freinage

On considère l’entraînement de l’Ex. 4.11, et que le profil de mouvement est du type à accélération constante. On néglige toutes les pertes et frottements, ainsi que l’énergie absorbée par le condensateur du bus DC.

A) Représenter l’allure de la puissance instantanée restituée par le moteur et le convertisseur au bus DC. Pour déterminer la puissance max., on considère la vitesse max. du moteur et le couple max. obtenu à l’Ex. 4.11, pour un profil de mouvement polynomial 3-4-5. On obtient ainsi un dimensionnement « worst-case » de la résistance de freinage.

B) Quelle est la valeur ohmique de la résistance de freinage qui garantit que la tension du bus DC ne dépasse pas sa valeur de seuil ?

C) Tenant compte que cette résistance a une tolérance de ±10%, et que l’on est limité aux valeurs nominales de la gamme E6 (10, 15, 22, 33, 47, 68) quelle valeur choisiriez-vous ?

D) Quelle doit être la puissance nominale de cette résistance pour supporter le fonctionnement cyclique spécifié plus haut ?

E) Si l’on utilise un profil de mouvement de type polynôme 3-4-5, cette résistance conviendra-t-elle ?



Réponse A

Pour un profil à accélération constante, on a :

max max

2 21,41 295 rad/s

12 0,0025M

VZ p

2max max

2 26,82 1'428 rad/s

12 0,0025MM

AZ p

3 3max max 0,72 10 3,42 10 1'428 5,91 NmM L équiv MT J J

max max max 295 5,91 1'746 WP T

La figure sera introduite ici dans une édition ultérieure

Réponse B

La tension de seuil valant 320 V, on obtient la valeur ohmique de la résistance de freinage à partir de la puissance max. qu’il faut pouvoir dissiper, soit max 1'746 WP :

2 2 2

maxmax

320 58,6

1'746seuil seuil

frfr

U UP R

R P

Réponse C

En tenant compte de la tolérance et de la gamme de résistance, une résistance 47 frR

convient.

Réponse D

L’énergie cinétique qu’il faut détruire à chaque freinage vaut :

2 3 3 2max

1 10,72 10 3,42 10 295 180 J

2 2cin totE J

La puissance nominale de la résistance doit être supérieure à la puissance moyenne qu’il faut ainsi dissiper :

180409 W

0,44cin

fr nomc

EP

t

Réponse E

La comparaison des courbes « vitesse x accélération » vue au cours montre que la puissance max. nécessaire pour un profil polynomial est inférieure à celle nécessaire pour un profil à accélération constante. Comme la puissance mécanique de l’axe est proportionnelle à ces



valeurs, il en résulte que la résistance de freinage calculée plus haut conviendra d’autant mieux pour un profil polynomial.

Ex. 4.13. Entraînement pour découpe de papier

On souhaite concevoir une machine pour couper en pages du papier pré imprimé livré en rouleau.

M1

Le papier est déroulé et entraîné à vitesse constante. Il est amené entre 2 cylindres de coupe qui sont entraînés à vitesse ajustable par un servomoteur (couplage direct, sans réducteur). L’allure de la vitesse de ces cylindres comporte des corrections périodiques (1 par feuille découpée) comme le montre la figure ci-dessous :

t

découpage

découpage

découpage

découpage

Le temps de cycle vaut 60 ms, et la durée des corrections est de 20 ms. La vitesse des cylindres de coupe varie entre 1'800 et 2'600 rpm. L’inertie de ces deux cylindres ensemble, ramenée au moteur, vaut 0,3 · 10-3 kgm2.

Pour diverses raisons plus logistiques que techniques, on a choisi pour M1 un moteur de type HRS115AB, dont les spécifications sont données au verso. A remarquer que la variante de bobinage (kT), correspondant aux diverses courbes de la figure de droite, n’est pas encore déterminée.



Variante bobinage

Tnom [Nm]

kT [Nm/A]

Jmot [kgm2]

RA [Ω]

LA [mH]

64 3,7 0,75 0,27·10-3 2,7 15

88 3,7 1,02 0,27·10-3 5,5 28

130 3,7 1,53 0,27·10-3 11,4 60

180 3,7 2,1 0,27·10-3 23,6 114

260 3,7 3,03 0,27·10-3 45,6 240



A) Quelle est la valeur du couple nécessaire pour accélérer et décélérer les cylindres de coupe pendant les corrections ?

B) Sachant que l’entraînement du papier requiert un couple constant de 0,9 Nm, en négligeant tous les autres frottements, et en tenant compte du couple d’accélération calculé en Q1-A, évaluer le couple efficace Trms que le moteur doit être capable de fournir.

C) Quelle est la marge thermique du moteur choisi, en [%] de son couple nominal ?

D) Reporter sur le diagramme couple-vitesse du moteur la zone de fonctionnement de ce moteur. (Il suffit de reporter les points de fonctionnement pour lesquels le couple est positif.)

E) Choisir alors une variante de bobinage qui convienne, en supposant que l’alimentation dont on dispose est exactement celle spécifiée par le fabricant du moteur (560 V – bus DC).

F) Pour le moteur choisi, que doit valoir le courant pour obtenir l’accélération nécessaire lors des corrections ?

G) Quelle est la puissance électrique max. que la résistance de freinage du servo amplificateur doit être capable de dissiper ? Pour ce calcul, on suppose que les rendements du moteur, du servo amplificateur et du redresseur sont tous idéaux (100%).

H) Pour des raisons de logistique et de stock, l’entreprise souhaiterait utiliser la variante « 66 » plutôt que la variante choisie. Que deviendrait le courant d’accélération du moteur ?

I) Que deviendrait alors la puissance électrique max. au freinage ?

Au lieu d’effectuer les corrections d’avance du papier avec un profil de vitesse « à accélération constante », on aimerait utiliser un profil en « polynôme 3-4-5 ».

J) Quelle est alors l’accélération max. nécessaire ?

K) Montrer sur le diagramme couple-vitesse que le moteur que vous avez choisi à la question 2-B convient malgré tout, ou au contraire qu’il est judicieux de choisir une autre variante de bobinage.

Réponse A

L’accélération se calcule comme suit :

Vitesse de départ : 1

1'800188,5 rad/s

30

Vitesse d’arrivée : 2

2 '600272,3 rad/s

30



Durée de l’accélération : 1

10 ms2acc déplt t

Accélération : 21 2 8 '377 rad/sacct

Le couple d’accélération se calcule comme suit :

Inertie totale : 3 20,57 10 kgmtot mot chJ J J

Couple d’accélération : 4,77 Nmacc totT J

Réponse B

En tenant compte du couple de traction sur le papier, le couple que doit fournir le moteur est le suivant :

Pendant l’accélération (10 ms) : 1 5,67 Nmacc tractionT T T

Pendant la décélération (10 ms) : 2 3,87 Nmacc tractionT T T

A vitesse constante (40 ms) : 3 0,9 NmtractionT T

Le couple efficace vaut donc :

2 2 2 21 1 ... 5,34 0,010 3,54 0,010 0,9 0,040

2,72 Nm0,060rms

cycle

T tT

t

Réponse C

Son couple nominal valant 3,7 Nm, la charge thermique du moteur vaut 2,72

0,7353,7

La marge thermique est donc : 1 0,735 0,265 26,5%

Cette marge est largement suffisante.

Réponse D

Voir la courbe « rectangulaire » rouge, dans la figure sous réponse K.

Réponse E

La variante de bobinage qui convient est donc HR115A6 – 130.



Réponse F

Pour cette variante de bobinage, le courant moteur vaut : 1_ max 3, 49 Amot

T

TI

k

Réponse G

Il faut d’abord calculer la puissance mécanique max. que le moteur devra absorber. Elle se produit juste au début du freinage. La donnée précise que l’on suppose les frottements comme étant négligeables. On pourrait encore discuter s’il convient de tenir compte du couple correspondant à la traction sur le papier. Nous l’avons fait ici. On obtient ainsi :

_ max 2 2 964 WmécP T

La résistance de freinage doit pouvoir dissiper au moins cette puissance. Donc :

_ _ maxrés frein mécP P

Réponse H

Avec la variante HR115A6 – 66, le courant d’accélération du moteur est plus que doublé :

1_ max 7,12 A

'motT

TI

k

Réponse I

Pour la résistance de freinage, c’est la puissance mécanique qui est déterminante, et non le courant du moteur. Les résultats de la réponse G restent donc valables.

Réponse J

Sur la base des courbes correspondant au déplacement normalisé (1 mètre en 1 seconde), on obtient :

2max

5,3412 '105 rad/s

4

Réponse K

Le couple max. fourni par le moteur pendant l’accélération vaut donc :

max' 7,32 Nmacc tot tractionT J T

Pour le profil à accélération constante, on avait une différence de vitesse :

2 1 88,8 rad/s



Avec le profil en polynôme 3-4-5, cette différence de vitesse devient :

1,88' 83,5 rad/s

2

La vitesse max. que doit atteindre le moteur est donc légèrement plus faible :

2 1 2

272 30' ' 272 rad/s 2 '597 rpmN

La différence entre les 2 profils est cependant négligeable pour le choix du bobinage du moteur.

La figure ci-dessous (courbe « arrondie », bleue) montre que, malgré l’augmentation importante du couple max., le moteur choisi précédemment convient.



Ex. 4.14. Entraînement d’une tourelle

Une machine d’assemblage comporte 8 stations, disposées en cercle autour d’une tourelle verticale. Elles sont réparties régulièrement, tous les 45 degrés. Les pièces traitées sont chargées sur la tourelle à la station no 1, puis subissent diverses opérations aux stations 2 à 7, et sont finalement déchargées à la station no 8.

La tourelle qui tient ces pièces pivote autour de son axe, de station en station, en 68 ms. Elle reste alors à l’arrêt pendant 132 ms pour permettre aux diverses opérations d’être effectuées. Le profil de déplacement est du type « à accélération constante », ce qui signifie que la vitesse présente une allure triangulaire au cours du temps.

L’inertie de cette tourelle est de 0,45 kgm2. On suppose que tous les frottements sont négligeables. Par contre, lorsque la tourelle est à l’arrêt, la tourelle subit un couple perturbateur provoqué par les divers usinages, qui est estimé à 22 Nm.

La tourelle est entraînée par un moteur en prise directe (pas de réducteur), de fabrication ETEL, devant impérativement être choisi parmi ceux qui figurent ci-dessous.

Type de moteur TMM… 0450-030 0450-050 0450-070 0450-100 0450-150

Couple nominal [Nm] 181 286 386 530 769

Inertie [kgm2] 0,16 0,26 0,37 0,53 0,80

A) Représenter l’allure de la vitesse et du couple moteur au cours du temps.

B) Déterminer lequel de ces moteurs convient le mieux sur le plan thermique, en justifiant votre choix.



Réponse A

Pour un profil de déplacement à accélération constante, on a :

max

2max

22 4 23,1 rad/s0,068

= 679, 4 rad/s

2

dépl

dépl

dépl

t

t

L’inertie entraînée totale vaut : chargetot motJ J J

On obtient ainsi le couple d’accélération : acc totT J

Réponse B

Tenant compte du couple perturbateur pendant la durée de l’arrêt, on peut calculer le couple r.m.s. pour chacun des types de moteur :

2 2acc dèpl arrêt arrêt

rmscycle

T t T tT

t

On peut ainsi compléter le tableau pour chacun des moteurs disponibles :

ω

t

ωmax

tdépl tarrêt

tcycle

T

t

Tacc

- Tacc

Tarrêt



Type de moteur TMM… 0450-030 0450-050 0450-070 0450-100 0450-150

Couple nominal [Nm] 181 286 386 530 769

Inertie [kgm2] 0,16 0,26 0,37 0,53 0,80

Inertie totale [kgm2] 0,61 0,71 0,82 0,98 1,25

Couple d’acc. [Nm] 414,4 482,3 557,1 665,8 849,3

Couple r.m.s. [Nm] 242,3 281,8 352,3 388,6 495,5

Taux de charge 134% 99% 84% 73% 64%

Le moteur qui convient le mieux est le TMM 0450-070, qui sera chargé thermiquement à 84%, laissant une marge de sécurité de 16%.

Remarque : Au lieu de faire le calcul pour chaque moteur, on pourrait commencer par ne considérer que le moteur dont l’inertie est proche de celle de la charge. L’absence de réducteur peut être en effet assimilé à un réducteur de rapport 1, et on sait que la thermique du moteur est particulièrement favorable lorsque l’inertie rapportée de la charge et celle du moteur sont égales.



5. Moteur asynchrone

Ex. 5.1. Pôles et glissement d’un moteur asynchrone

Un moteur asynchrone alimenté en 50 Hz tourne à 720 min-1. Calculer le nombre de pôles et son glissement (en % de la vitesse synchrone).

Quelle est la fréquence des courants induits dans son rotor ?

Réponse

Il faut d’abord chercher quelle vitesse synchrone est légèrement au-dessus de la vitesse 720 min-1. Il s’agit de la vitesse synchrone d’un moteur à 4 paires de pôles, qui est de 750 min-1. Ce ne peut pas être un moteur à 3 paires de pôles, car sa vitesse synchrone de 1'000 min-1 serait beaucoup trop grande (on sait que le glissement est de quelques pour cent, mais en aucun cas 33%).

Le glissement s est de 30 min-1, soit 4,0%.

Les courants induits au rotor ont une fréquence égale à la différence de vitesse entre le champ tournant et le rotor, soit 4% de la fréquence d’alimentation. Elle vaut donc 2 Hz.

Ex. 5.2. Couple et vitesse d’un moteur asynchrone

Soit un moteur asynchrone de 22 kW, dont la vitesse nominale est de 1’420 min-1. Son rendement est de 91%, et son facteur de puissance de 0,85. On l’alimente en triphasé 400 V – 50 Hz.

A) Quel est son glissement à charge nominale ?

B) Quel est son courant nominal ?

Réponse A

Ce moteur a certainement 2 paires de pôles. Sa vitesse synchrone est de 1'500 min-1. Le glissement s vaut donc 80 min-1, soit 5,3%.

Réponse B

La puissance nominale de 22 kW est la puissance disponible à l’arbre. La puissance électrique est tirée de la relation :

kW2,2491,0

000'22

mec

élec

PP



Le courant de phase vaut donc : rmsA4185,04003

200'24

cos3

rms

élec

U

PI .

Ex. 5.3. Moteur asynchrone en régime de freinage

Le moteur de l’exercice précédent est utilisé pour un ascenseur. Quelle sera sa vitesse à la descente ?

Réponse

A la descente, le moteur fonctionne dans l’autre sens, mais en frein (générateur). Il tournera donc à une vitesse légèrement supérieure à sa vitesse synchrone. Comme le poids déplacé est supposé inchangé, le glissement est identique, mais change de signe.

La vitesse du moteur est donc 1min 580'180500'1snn sG .

Ex. 5.4. Moteur asynchrone en régime de freinage

La machine utilisant le moteur des 2 exercices précédent doit être exportée aux USA, et fonctionner sous 480 V / 60 Hz.

Comment fonctionnerait le moteur dans ces conditions ? Que faire ?

Réponse

La plupart des moteurs calculés pour 400 VAC / 50 Hz supportent également 480 VAC / 60 Hz. Il faut cependant s’en assurer, et surtout vérifier que les spécifications écrites du fournisseur le garantissent (homologation).

Si le moteur est connecté directement à l’alimentation (application tout ou rien), l’augmentation de fréquence provoquera une augmentation de la vitesse synchrone à

1min 800'15060500'1)()( EUUSAEUSUSAS ffnn . Le glissement restant à peu près

inchangé (80 min-1), sa vitesse avec le même couple serait donc de 1'720 min-1. Même un transformateur 480 / 400 VAC ne changerait rien.

Le couple du moteur ne doit pas dépasser sa valeur nominale à 50 Hz. S’il entraîne par exemple un ventilateur, il faudra compenser l’augmentation de la vitesse en modifiant le pas de l’hélice, de manière à ce que le flux d’air reste le même. Si le moteur entraîne sa charge par un réducteur, il faudra modifier le rapport de réduction pour que la vitesse de la charge n’augmente pas.

Si ces modifications mécaniques ne sont pas possibles, il faudra ajouter un variateur de fréquence pour limiter la vitesse du moteur à 1420 min-1.

Si le moteur est utilisé avec un variateur de fréquence, il faudra vérifier que cet appareil est capable de fonctionner sous 480 VAC (ce n’est pas toujours le cas). Sinon, il faudra le



remplacer par un variateur qui supporte cette tension, ou ajouter un transformateur 480 / 400 VAC. Le moteur ne verra aucune différence.

S’il y a plusieurs moteurs dans le même cas, on pourrait alimenter la machine par l’intermédiaire d’un convertisseur de fréquence 60 / 50 Hz, qui adapterait également la tension. Cet appareil est assez coûteux, mais au moins, il n’y aurait pas d’autres frais d’adaptation ni d’effets de surprise.

Ex. 5.5. Moteur asynchrone entraînant une pompe

Un château d’eau est alimenté depuis une nappe phréatique. La différence de niveau est de 67 m. Le débit doit pouvoir atteindre au minimum 55 m3 par heure.

Pour fournir ce débit, la pompe doit être entraînée à une vitesse de 690 tours par minute. Elle peut tourner plus vite, mais sans dépasser 900 tours par minute. Son rendement est de 81%.

La pompe est entraînée directement, donc sans réducteur, par un moteur asynchrone, lui-même alimenté directement par le réseau 400 V / 50 Hz / triphasé. Il est caractérisé comme suit : Puissance et nombre de pôles : à déterminer Rendement – identique pour tous les modèles : 92% Facteur de puissance (cosφ) – identique pour tous les modèles : 0,84 Glissement à couple nominal – identique pour tous les modèles : 4,5%

A) Quel nombre de paires de pôles convient le mieux, et pourquoi ?

Valeurs possibles : 1, 2, 3 ou 4.

B) Suite à ce choix, quel est le débit de la pompe ?

Hypothèses simplificatrices : Le débit de la pompe est proportionnel à sa vitesse. On admet que le glissement du moteur est égal à son glissement nominal, même si le

couple qu’il fournit n’est pas exactement égal à son couple nominal.

C) Quel doit être la puissance nominale du moteur ?

Valeurs possibles (normalisées) : 7,5 kW, 15 kW, 22 kW ou 37 kW

D) Dans ces conditions de fonctionnement, quel est le courant de phase du moteur ?

Réponse A

Valeur min. : 60 1 60 50 1 0,045

690 4,15690M

f sN p

p

Valeur max. : 60 1 60 50 1 0,045

900 3,18900M

f sN p

p



On choisit la valeur entière 4p .

Réponse B

Le débit de la pompe est proportionnelle à sa vitesse, donc à la vitesse du moteur, qui est fixé par la fréquence de son alimentation. Nous avons donc :

60 1 60 50 1 0,045716 rpm

4M

f sN

p

355 71657,1 m /h

690D

Réponse C

Puissance utile (fournie par la pompe) : /

57,1 1'0009,81 67 10 '424 W

3'600utilekg s

P D g h

Puissance fournie par le moteur à la pompe : 12 '869 W utilearbre nom

pompe

PP P

On choisit : 15 kWnomP .

Réponse D

Puissance électrique consommée : 13'988 W 3 cosarbreélectrique comp

moteur

PP U I

On en tire : 13'988

24,0 A3 cos 3 400 0,84

électrique

comp

PI

U

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