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résultat classiqueJe travaille sur.....

Ensembles et cônes minimaux de dimension 2dans l’espace euclidien

Xiangyu LIANG

9 Janvier 2009

Xiangyu LIANG Ensembles et cônes minimaux de dimension 2 dans l’espace euclidien



table of contents

1 motivation

2 définition et exemples

3 résultat classique

4 Je travaille sur.....




film de savon

Phénomène : film de savon

Si on plonge un cadre en fil de fer dans de l’eausavonneuse et puis le ressort, on obtiendra un film desavon.Intuitivement , un film de savon est une surface quiminimise l’aire parmi tous les surfaces qui étendent demême bord.




Problème de Plateau

le problème de Plateau consiste à montrer, un bord étantdonné, l’existence et la régularité d’une surface minimale.Plateau a prétendu que des films de savon se joignent toujourssous une des 2 forme :

soit 3 surfaces qui se coupent mutuellement sous un anglede 120◦. Exemple : caténoïde avec un disquesoit 6 surfaces qui s’intersectent en un point, sous unangle de arccos(−1

3), environ 109◦ , c-à-d : le cône sur untétraèdre.




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définition

Définition (Ensemble minimal)Un ensemble fermé (de dimension de Hausdorff 2) est ditminimal (de dimension 2), si

H2(E ∩ B) ≤ H2(F ∩ B)

pour toute boule B et toute déformation F de E dans B,c’est-à-dire :F = f (E) dans B pour une certaine application Lipschitziennef : Rn → Rn qui vérifie f (x) = x hors B et f (B) ⊂ (B).




définition

Un ensemble minimal est un ensemble fermé de dimension (deHausdorff) 2 sur lequel les perturbations locales ne diminuentpas l’aire.

Exemple (un plan dans R3)




définition

RemarqueDonc dans notre modèle, l’aire est réalisée par la mesured’Hausdorff de dimension 2.Si S est une surface assez régulière, (par exemple, une C1

variété), alors sa mesure de Hausdorff est égale à sasurface au sens ordinaire (calculable par intégration) .il est permis de pincer des parties de E. par exemple :l’union de 2 plans parallèles dans R3 n’est pas minimale.Ensembles minimaux peuvent contenir des pointssinguliers.




cônes minimaux

Exemple (Cônes minimaux )Un cône minimal est un cône qui est aussi un ensembleminimal.On appelle cône un ensemble C ⊂ Rn vérifiant λC = C pourtout λ > 0, ou l’image d’un tel ensemble par une isométrie.




cônes minimaux

Pour trouver des cônes minimaux, une condition nécessaire :

PropositionL’intersection d’un cône minimal (centré à l’origine) avec lasphère unitée est une union d’arcs de grands cercles, qui ne serencontrent qu’à trois, et sous un angle de 120◦.

Il y a une dizaine de cônes qui satisfont cette condition là. Maisla plus part ne sont pas minimaux. Par exemple, le cône sur lecube.




cônes minimaux

Liste complète des cônes minimaux dans R3 :un plandes Y’s : un Y est l’union de 3 demi-plans qui se coupentmutuellement sous un angle de 120◦

des T’s : un T est un cône sur un tétraèdre




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Thérème de Jean Taylor

Théorème (Jean Taylor (1976))

Soit E un ensemble minimal réduit dans R3, alors pour chaquex ∈ E il existe une boule B = B(x , r) où E est l’image d’uncône minimal par un C1-difféomorphisme , c-à-d : un plan, un You un T.Un ensemble réduit est un ensemble E tq ∀x ∈ E , ∀r > 0 :H2(E ∩ B(x , r)) > 0




Thérème de Jean Taylor

RemarqueSoit E un ensemble quelconque,E∗ = {x ∈ Rn : ∀r > 0 : H2(E ∩ B(x , r)) > 0}, alors E∗

est réduit, H2(E∆E∗) = 0 et si E est minimal alors E∗ l’estaussi.On se contente donc de travailler sur des ensemblesréduits.Le thm de Jean Taylor dit qu’un ensemble minimal dans R3

ressemble localement assez à un cône minimal . Et on adéjà la liste complète des cônes minimaux dans R3 . Onpeut dire donc que le problème dans R3 est partiellementrésolu.




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liste de cônes minimaux dans R4

Problème : est-ce qu’il y a une telle liste dans R4 ?




liste de cônes minimaux dans R4

D’abord, tous les cône minimaux dans R3 sont encoreminimaux dans R4 ;un nouveau : l’union de deux plan orthogonaux, c-à-d :P1 = {(x , y ,0,0) ∈ R4} ; P2 = {(0,0, x , y) ∈ R4} , P1 et P2ne se croise qu’a l’origine.P1 ∪ P2 est minimal.




conjectures

Conjecturel’union de deux plan presque orthogonaux est-il encoreminimal ?C’est-à-dire, si on change un peu l’angle entre les deuxplans orthogonaux, est-ce qu’il reste minimal ?Plus généralement : la conjecture de Morgan :L’union de deux plans P1 et P2 est minimale si etseulement si leurs angles caractéristiques0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ π

2 vérifient1) α2 ≤ α2 + π

3 ; 2) α1 + α2 ≥ 2π3




conjectures

Conjecture

Y× Y est-il minimal dans R4 ? (ici Y est de dimension 1,c-à-d, 3 demi-droite).Plus généralement : le produit de deux ensemblesminimaux (de dimension quelconque) est-il encoreminimal ?




Merci beaucoup !




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graphiques

Figure 1. Various soap film examples. (Section 2.1)

A. Skew quadrilateral. B. Mobius band.

C. Catenoid. D. Catenoid with disk.

E. Tetrahedral film. F. Trefoil knot film.

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Figure 1. Various soap film examples. (Section 2.1)

A. Skew quadrilateral. B. Mobius band.

C. Catenoid. D. Catenoid with disk.

E. Tetrahedral film. F. Trefoil knot film.back




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