Le transfert radiatif en météorologie dynamiqueGérard De Moor

Le transfert du rayonnement électromagnétique est, avec la turbulence et le cycle de l'eau, l'un des processusphysiques déterminants de l'évolution de l'état de l'atmosphère, à pratiquement toutes les échelles d'espace,locales ou globale, et toutes les échelles de temps, de la prévision immédiate au changement climatique.Le transfert radiatif en météorologie dynamique propose d'en faire connaître, au delà d'une élite scientifique spé-cialisée, les principes de base et quelques unes de leurs applications pratiques. Cet ouvrage offre ainsi à celui oucelle qui, pour sa formation initiale, au cours de sa carrière ou par intérêt scientifique, souhaite s'en approprierles enjeux, une référence pédagogique permettant d'aborder un sujet de prime abord d'une grande complexité.• Ouvrage de niveau licence - master en sciences, écrit avec une finalité pédagogique.• Présentant les éléments de physique générale indispensables.• Passant en revue les principaux acteurs radiatifs de l'atmosphère et leurs rôles.• Présentant des méthodes de modélisation numérique du transfert radiatif.• Introduisant aux méthodes d'observation par inversion de l'équation du transfert radiatif.• Évoquant des travaux de recherche en cours.• Comportant un chapitre historique, illustré principalement à partir d'ouvrages conservés par la bibliothèque deMétéo-France, et avec des fusains de Carine Berbain.

Gérard De Moor, ingénieur général des Ponts et Chaussées, a consacré de nombreuses années à la recherche età l'enseignement, comme praticien – météorologie dynamique, turbulence et couche limite atmosphérique – et àdes postes de direction au sein de Météo-France.

Le transfert radiatif en météorologie dynamique est le 17e volume de la collection « Cours et Manuels ». Celle-ci,éditée par Météo-France, regroupe des textes fondamentaux et de référence pour la formation des ingénieurs etdes chercheurs de l'établissement et de la communauté des sciences de l'atmosphère.Dans la même collection, du même auteur :• Les bases de la météorologie dynamique (avec Philippe Veyre) n° 6.• Problèmes sur la couche limite atmosphérique : 50 énoncés avec éléments de solution n° 13.• Couche limite atmosphérique et turbulence - Les bases de la micrométéorologie dynamique n° 16.

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En fond de couverture :• Première image fournie par le capteur Iasi du satellite Metop.Il s’agit d’une image infrarouge du Groenland,sur laquelle on distingue les glaciers et la banquise.En bleu, l’océan et une partie des glaciers sur la droite.En vert, la banquise et les terres émergées. (Photo Cnes)

Deuxième dessin, en première de couverture :• Les échanges radiatifs dans l’ensemble Soleil - surface terrestre - atmosphère.D’après la Météorologie générale de J.-P. Triplet et de G. Roche, page 197.

L’imprimerie de Météo-France est labelisée Imprim’vert®

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AVERTISSEMENT ET REMERCIEMENTS

Les objectifs et le périmètre du présent ouvrage sont précisés au chapitre I de celui-ci, aprèsque l’on ait introduit d’un point de vue météorologique le sujet physique dont il traite.

En gros, il s’agit d’une tentative de mettre à disposition, en langue française, un texte deprésentation, de niveau licence/master en sciences, des bases du transfert radiatif dansl’atmosphère, qui soit à visée purement pédagogique, et dont la maîtrise permette l’accèsultérieur à la littérature spécialisée, ou à des études spécialisées, sur le sujet.

Au cours de nombreuses années consacrées à l’enseignement de la météorologie, commeenseignant, au sein comme à l’extérieur de Météo-France, et comme responsable deformation, à l’Ecole Nationale de la Météorologie, il m’est en effet apparu que cette disciplinedu rayonnement restait d’un abord difficile pour les étudiants et élèves ingénieurs, malgré lesgrandes compétences, et tous les efforts, des enseignants spécialistes du domaine.

Il m’avait semblé alors que l’existence d’un écrit « de base », d’ambition limitée, tournéseulement vers un objectif pédagogique, exempt de toute volonté de présentation d’un « étatde l’art », spécialisé et à jour, pourrait être de nature à faciliter le travail d’appropriation de cesujet difficile, en appoint lors de la formation initiale, mais aussi à tout moment de la carrièreoù un retour sur ces questions s’avèrerait nécessaire (une idée restée d’autant plus d’actualité,au moins pour Météo-France, que, au fil des fusions de corps et des évolutions de formation,déjà réalisées ou en gestation, il n’est pas assuré que les futurs chercheurs et cadresscientifiques et techniques de la météorologie auront à l’avenir toujours pu bénéficier d’uneformation initiale structurée et approfondie en sciences de l’atmosphère).

Or, pour d’autres raisons, j’avais été conduit moi-même, dans la partie scientifique de macarrière, à m’intéresser à ce domaine, sans toutefois en devenir un spécialiste, et à accumulerquelques notes sur le sujet, à partir de cours, séminaires, lectures, …. Le projet, ancien déjà,de mettre au propre ces notes, dans une tentative de rédaction de la base pédagogiqueenvisagée, n’avait toutefois pu se trouver concrétisé jusqu’ici.

Le présent ouvrage est le résultat de ce travail de rédaction et de finalisation, enfin réalisé,avec l’appui ou la collaboration d’un certain nombre de personnes, que je souhaite remercierici.

Je dois d’abord des remerciements particuliers et chaleureux à Jean-François Geleyn, pourdeux raisons :

ses notes de cours, non publiées, de la fin des années 1970, sur « le rayonnement enmétéorologie dynamique » m’ont toujours paru constituer un bon point de départ pourle type de présentation envisagée, et n’avoir pas été suffisamment valorisées. Si, aufinal, le contenu du présent ouvrage s’est notablement éloigné de ces notes, celles-cin’en n’ont pas moins constitué, avec l’accord de leur rédacteur, une inestimable« version zéro » de la rédaction.

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je lui suis également redevable de remarques et suggestions, de grand intérêt, sur lapartie de la version initiale du projet qu’il a bien voulu (et pu !) relire.

Mes remerciements vont ensuite à celles et ceux qui ont apporté leur contribution par larelecture, par des conseils, ou sous d’autres formes (j’assume, bien entendu, la responsabilitédes inévitables erreurs et insuffisances résiduelles du texte) :

Isabelle Beau et Sylvie Malardel, qui ont accepté de conduire une relecture critiquedétaillée du texte (intégrale pour la première), et ont réalisé ce travail ingrat avecbeaucoup d’attention, tout en se projetant dans la position du futur lecteur apprenant,ce dont on mesure tout l’intérêt quand on connaît leurs grandes qualitéspédagogiques ;

Olivier Caumont, Yves Fouquart, Loïc Harang, Jean-Jacques Morcrette, Vincent-Henri Peuch, Thierry Phulpin, Philippe Veyre, Didier Renaut, Jean-Marc Vanhaecke,pour leur relecture de certains chapitres particuliers, des remarques et suggestionsgénérales, la recherche et/ou la mise à disposition d’éléments utiles au projet ;

Dominique Marbouty et Philippe Bougeault, pour l’autorisation d’utilisation etd’adaptation, au chapitre X, de quelques figures issues de publications du CentreEuropéen pour les Prévisions Météorologiques à Moyen Terme ;

les équipes de documentation de Météo-France, avec une mention particulière à Jean-Pierre Javelle, Xavier Popineau, Pierre Paillot, Anne-Marie Calvayrac, pour leurimplication active, par la recherche spécifique de documents, la relecture et desvérifications diverses, dans l’élaboration du « chapitre historique » (chapitre XIII) del’ouvrage (dont l’existence même est due à la suggestion persuasive de Jean-PierreJavelle) ;

Carine Berbain pour avoir réalisé gracieusement, et spécialement pour ce mêmechapitre historique, des portraits originaux de James Clerk Maxwell, Albert Einstein,et Max Planck.

A l’Ecole Nationale de la Météorologie (ENM),

François Lalaurette, Directeur, et Laurent Borrel, responsable pédagogique, ontapporté tout leur intérêt et leur soutien actif au projet ;

Jean-Pierre Carette m’a accompagné tout au long de mon travail de rédaction, desaisie et d’illustration, en finalisant les figures, et en assurant leur bonne intégration ausein de la mise en pages ;

qu’ils en soient remerciés, et qu’à travers eux soient aussi remerciés les services support del’ENM qui ont eu à intervenir au bénéfice de mon projet.

Je n’oublierai pas non plus, dans mes remerciements, le service des publications etl’imprimerie de Météo-France, pour leur rôle final dans la réalisation matérielle de l’ouvrage.

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Et pour terminer, je tiens à exprimer toute ma gratitude envers Jean-Pierre Beysson,Président-Directeur Général de Météo-France, et Jean-Louis Ravard, son Directeur desRessources Humaines, pour avoir donné leur accord de principe à ma demande de consacrerentièrement les derniers mois de mon activité professionnelle à ce travail de valorisation et detransmission, ainsi qu’envers leurs successeurs, respectivement Pierre-Etienne Bisch et YveFerry-Deletang, pour avoir effectivement concrétisé cet accord.

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I. INTRODUCTION

Ce chapitre préliminaire avance d’abord quelques arguments à l’appui de l’affirmation del’importance des processus de rayonnement électromagnétique, en météorologie dynamique,et surtout dans les applications de celle-ci que sont la simulation et la prévision, par voienumérique, de l’état de l’atmosphère.

Il fixe ensuite l’enveloppe du présent cours (objectifs, limitations, survol du contenu …), ainsique certains points de vocabulaire, et les conventions, notations et abréviations principalesqui seront utilisées dans le corps de l’ouvrage.

1. POURQUOI LE RAYONNEMENT EN METEOROLOGIE ?

A. Le rayonnement en météorologie : nécessaire, et plutôt compliqué

Le transfert du rayonnement électromagnétique émis par le Soleil (rayonnement « solaire »,« de petites longueurs d’onde »), et par le système Terre-Atmosphère (rayonnement« tellurique », « de grandes longueurs d’onde ») est, avec la turbulence (au sens large,incluant convection et échanges de surface), et le cycle de l’eau, l’un des processus physiquesdéterminants de l’évolution de l’état de l’atmosphère, à pratiquement toutes les échellesd’espace et de temps.

Déjà, un premier constat fondamental peut être posé : les seuls échanges énergétiques que lesystème Terre-Atmosphère peut entretenir avec « l’extérieur » sont radiatifs ; le Soleil est eneffet la seule source d’énergie non négligeable du système Terre-Atmosphère, et la part durayonnement émis par les différentes composantes de ce système (lithosphère, hydrosphère –eau à l’état liquide et solide-, biosphère, atmosphère), qui finit par trouver le chemin del’espace, constitue pour celui-ci le puits ultime d’énergie.Sur une longue durée (en moyenne sur l’année ou plus), l’équilibre du bilan radiatif global,soit

« rayonnement émis moyen rayonnement reçu moyen »,

détermine par conséquent le bilan énergétique global complet du système Terre-Atmosphère,et celui de ses composantes, dont l’atmosphère.

Mais, plus localement dans l’espace et dans le temps, on peut souvent considérer que ce sontles inégalités du bilan radiatif à la surface de la planète qui, de manière ultime et à touteséchelles, mettent en marche les fluides géophysiques, atmosphère et océan.

Ceci explique qu’il est nécessaire, au delà de l’idée première et minimaliste d’un forçageradiatif sommaire de type climatologique, de représenter, de manière la plus réaliste possible,les effets du rayonnement dans les modèles de simulation et de prévision numérique de

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l’atmosphère, et ceci à toutes échéances temporelles, même aux plus courtes si on vise ladescription correcte d’échelles spatiales fines (penser aux délicats problèmes dudéclenchement de la convection, de la formation et de la dissipation, à la surface terrestre,d’hydrométéores comme le brouillard, …).

Ce problème est extrêmement compliqué, à cause, en premier lieu, du grand nombre d’effetsphysiques intervenant dans l’interaction entre rayonnement et matière, de l’extrême finessespectrale de cette interaction, et de l’étroite interdépendance du rayonnement et des diversautres phénomènes météorologiques (via les distributions de température, d’humidité, dedioxyde de carbone, d’ozone, de nuages, d’aérosols, de neige et de glace à la surface, …).En outre, le rayonnement agit continûment, et sur de longues distances, dans l’espace tri-dimensionnel : le fait que le chauffage/refroidissement radiatif en un point dépende fortementde processus non locaux complique évidemment grandement sa prise en compte dans laprévision du temps et du climat.Enfin, le rayonnement opère à des échelles spatiales bien plus petites que les échelles dedescription de l’atmosphère des modèles météorologiques (penser à l’interaction avec lesmolécules de gaz atmosphériques, ou avec les « particules » constituant nuages et aérosols), ildoit donc être « paramétré » dans les modèles numériques de l’atmosphère.

Ainsi, même si l’on peut considérer que la théorie physique du rayonnementélectromagnétique elle-même est plutôt raisonnablement bien comprise, elle est complexe, etson application à l’atmosphère, qui est elle-même un milieu complexe, nécessite un grandnombre d’approximations.

Ces descriptions et solutions approchées, pour lesquelles on est toujours confronté audilemme « exactitude/simplicité », doivent s’appuyer au final, le plus souvent, sur desrelations (plus ou moins) empiriques.

B. Considérations énergétiques globales

a. Sur le cycle énergétique

L’énergie rayonnée par le Soleil se situe dans la zone spectrale des « petites longueursd’onde », comprise en gros entre 0,1 m et 5 m , avec un maximum énergétique vers0,6 m (avec la répartition spectrale approximative suivante : 8% dans l’ultraviolet « UV » -longueur d’onde inférieure à 0,39 m -, 46% dans le visible -longueur d’onde comprise entre0,39 m et 0,77 m -, 46% dans l’infrarouge « IR » -longueur d’onde supérieure à0,77 m -).

La quantité d’énergie reçue du Soleil par une Planète, par unités de surface et de temps, ausommet de son (éventuelle) atmosphère, varie dans le temps en raison de l’excentricité del’orbite planétaire elliptique (pour la Terre, d’environ 6% entre le périhélie et l’aphélie, lemaximum se produisant en janvier), ou encore des variations de l’activité solaire (un facteurqu’on n’explicitera pas dans le présent cours, qui les suppose prises en compte commecondition à la limite dans la valeur de l’insolation au sommet de l’atmosphère).

Sa valeur, par unité de temps, sur une surface unité perpendiculaire à la direction durayonnement incident (laquelle peut être considérée comme constante en tout point de la

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planète), et lorsque la distance Pl Sd de la Planète au Soleil est égale à sa valeur moyenne (sur

une révolution) Pl Sd , est appelée « constante solaire » de la Planète.

Si le Soleil, de rayon SoleilR ( 56,96.10SoleilR km ), peut être considéré comme un corps noir(chapitre III -III. 2. D.-), de température SoleilT , la puissance qu’il rayonne par unité desurface est 4. SoleilT ( 8 2 45,67.10 . .W m K étant la constante de Stefan) ; la constante

solaire, puissance interceptée par unité de surface à la distance Pl Sd du Soleil, est alors

4 2 24

2

. .(4 . ). .

4 .Soleil Soleil Soleil

SoleilPl SPl S

T R RF Tdd

On peut estimer les valeurs numériques en prenant pour SoleilT une valeur comprise entre5750 K et 6000 K (chapitre VIII -VIII. 1. B.-).

Pour la Terre ( Pl S T Sd d ), T Sd , par définition « l’unité astronomique » de distance, vaut81,496.10 km , et l’estimation théorique indiquée de la valeur de la constante solaire fournit

une fourchette 2 21350 . 1600 .W m W m .

Comme valeur expérimentale, on peut retenir pour les besoins météorologiques

21367 W.F m ,

réputée affectée d’une erreur quadratique moyenne de 21,6 .W m , et d’une erreur maximumde 27 .W m .

Pour l’ensemble du système Terre-Atmosphère, on obtient, en multipliant la constante solairepar la surface exposée, soit en première approximation 2

TerreR , une puissance reçue de l’ordrede 171,73.10 W .

Pour des raisons géométriques, l’énergie associée incidente sur la sphère Terre-Atmosphère,par unités de temps et de surface, correspond au quart de la constante solaire (la surfaceterrestre est 24 . TerreR , alors que la surface du disque terrestre « vu par le soleil » est 2. TerreR ).

De plus, seule une partie de cette énergie est disponible pour les composantes du systèmeTerre-Atmosphère, le reste étant directement réfléchi dans l’espace, par les nuages et par lasurface terrestre.Le rapport T Aa de l’énergie renvoyée à l’énergie reçue est appelé « albédo planétaire » ; lesmesures par satellite estiment sa valeur à

0,30T Aa (plus exactement : 0,295 0,010T Aa ).

L’énergie réellement disponible pour le système Terre-Atmosphère, soit . 14 T A

Fa , est

ainsi, tous comptes faits, de l’ordre de 2240 .W m .

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Le rayonnement absorbé au sein du système Terre-Atmosphère est transformé, directement ouindirectement, en chaleur.Le mode direct constituera une des thématiques du présent cours.Indirectement, la transformation en énergie calorifique se produit essentiellement de troisfaçons :

- par évaporation de l’eau, la chaleur étant libérée à la condensation ;

- par création d’énergie potentielle, qui se transforme ensuite en énergie cinétique, laquelle sedégrade en agitation thermique, donc en chaleur ;

- par absorption photochimique à la surface terrestre, le retour à l’énergie calorifique étantobtenu lors de la combustion des matières formées (par exemple le charbon) au bout d’untemps plus ou moins long (dans certains cas jamais).

L’énergie thermique ainsi créée se retransforme ultérieurement en rayonnement « tellurique »émis vers l’espace par le système Terre-Atmosphère, en quantité d’autant plus grande que lescomposantes de ce système ont des températures plus élevées.

Il s’agit alors d’un rayonnement « de grandes longueurs d’onde » (dans l’infrarouge),comprises en gros entre 5 m et 100 m , avec un maximum énergétique vers 10 m .

Sur le long terme, l’atmosphère ne consomme donc pas d’énergie : elle se contente detransformer et de stocker un certain temps celle qu’elle reçoit par rayonnement solaire.

Pour comparer avec l’apport solaire, voici l’ordre de grandeur des diverses formes del’énergie de l’atmosphère :

énergie cinétique : 197,5.10 J ;énergie potentielle au repos : 234,5.10 J ;énergie potentielle utilisable : 212,8.10 J ;énergie latente de la vapeur d’eau : 222,5.10 J ;énergie interne : 241,3.10 J ,

soit au total 241,78.10 J , ce qui, comparé à la puissance reçue du Soleil ( 171,73.10 W ), suggèreun « temps de mise en marche » de l’atmosphère (rapport de l’énergie atmosphérique à lapuissance solaire) de l’ordre de quatre mois (ce temps se chiffre en siècles pour l’océan).

b . Sur le bilan radiatif

L’équilibre à long terme du système Terre-Atmosphère avec l’extérieur impose que l’on ait,en moyenne dans l’espace (sur toute la surface terrestre) et dans le temps (sur une année ouplus), l’égalité

« . 14

constante solaireénergie émise albédo planétaire »

La constante solaire et l’albédo planétaire déterminent ainsi ce qu’on peut appeler la« température moyenne du système Terre-Atmosphère ».

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On peut déjà anticiper ici le calcul classique de la température moyenne de la surface de laTerre « sans atmosphère », soit surfT , conduit en égalant énergie solaire disponible

. 14 T A

Fa et énergie émise par la Terre, considérée comme corps noir, soit

4. surfT .

On trouve ainsi

1/ 4

. 14

surf T AF

T a ,

soit, avec les valeurs numériques déjà indiquées, 255surfT K , une valeur représentativeplutôt de l’ensemble de la troposphère que de la surface terrestre ; l’écart avec la valeurobservée 288surfT K s’explique par la présence de l’atmosphère, et par l’émissionradiative, par certains des composants gazeux de celle-ci, vers la surface terrestre, « l’effet deserre » atmosphérique, sur lequel on reviendra à plusieurs reprises dans le corps du présentcours (voir aussi l’aspect historique au chapitre XIII (XIII. 4. D.).

Accessoirement, on notera que le calcul qui vient d’être présenté vaut d’ailleurs pour tout« objet planétaire » du système solaire, si l’on considère l’albédo Pla et la constante solaire

PlF relatifs à celui-ci ; ainsi, avec l’estimation2

4. . SoleilPl Soleil

Pl S

RF Td

évoquée plus haut, le

résultat est

1/ 2. 1 .2

Soleilsurf soleil Pl

Pl S

RT T ad

.

Le calcul pour les objets autres que la Terre, par exemple avec un albédo de surface fixé (del’ordre de 0,10 , en l’absence, par rapport à la Terre, de la végétation, des océans, des nuages)conduit à des résultats qui sous-estiment aussi la température observée dans les cas où existeune atmosphère significative (comme Vénus, Mars, ou Titan).Le problème est en effet plus complexe en présence d’une atmosphère : celle-ci joue surl’albédo planétaire, mais introduit en outre, on l’a déjà évoqué, un effet de serre, ces deuxeffets (et la température avec eux) étant modulés ensemble par la composition del’atmosphère. Ainsi, au final, par exemple, l’albédo du système Terre-Atmosphère dépendprincipalement de l’albédo propre de la surface terrestre, et de la nébulosité, … qui dépendenteux-mêmes de la température.

A ce sujet, on notera que deux régimes climatiques stables semblent possibles :

- le régime actuel, avec faible albédo de la surface, et température élevée,

- le régime glaciaire, avec albédo important des glaciers, et basse température,

la régulation étant assurée par les nuages suivant le schéma

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élévation de la température évaporationaugmentation de la nébulosité plus grand albédo

C. Influences météorologiques du rayonnement

Le rayonnement n’agit pas seulement sur les conditions climatiques globales, il agitégalement, par les variations temporelles et spatiales du bilan radiatif, sur les phénomènesmétéorologiques à toutes les échelles, depuis la circulation générale jusqu’aux microclimats.

a. Variations temporelles

La puissance radiative solaire, incidente sur une surface horizontale unité (appelée insolation),dépend, au sommet de l’atmosphère, de la latitude, du jour et de l’heure.

L’élément important pour évaluer le rayonnement reçu à la surface terrestre, en un pointdonné et à un instant donné, est la distance zénithale solaire Soleil , c’est-à-dire l’angle de ladirection du Soleil (considéré comme un point) avec la verticale locale.La distance zénithale joue un double rôle : l’énergie reçue à la limite supérieure del’atmosphère est proportionnelle à cos Soleil lorsque cos 0Soleil (et nulle sinon), etl’épaisseur de matière atmosphérique traversée, dont dépend l’affaiblissement durayonnement, est alors inversement proportionnelle à cos Soleil .

En tout point de l’atmosphère, la direction du Soleil, et l’angle solide Soleil sous lequel il est

vu, sont assimilables à leurs valeurs au centre de la Terre :2

2

. SoleilSoleil

T S

Rd

.

Si SoleilI est l’intensité énergétique radiative émise (de façon supposée isotrope) par le Soleil,

et insolF le flux d’insolation, on a2

2

.. .cosSoleilinsol Soleil Soleil

T S

RF Id

(les différentes grandeurs de

description macroscopique du rayonnement, dont l’intensité et le flux, seront introduites auchapitre III) ; la même formule exprimant la constante solaire si T Sd y est remplacée par sa

valeur moyenne T Sd , et Soleil par 0 , on a2

. .cosT Sinsol Soleil

T S

dF Fd

. Naturellement,

2T S

T S

dd

varie (peu, moins de 3,5% ) avec la position de la Terre sur sa trajectoire elliptique

autour du Soleil (de 0,9666 à l’aphélie début juillet, à 1,0335 au périhélie début janvier).

La moyenne journalière de l’insolation,24h

insolF se calcule en passant par une intégration du

type .coucher du Soleil

insollever du Soleil

F dt ; si on néglige la variation de T Sd sur une journée, le résultat est

explicite en termes de2

. T S

T S

dFd

, de la latitude , de la déclinaison du soleil au jour

12

considéré Soleil , et de la valeur angulaire (en radians) du demi-jour considéré (entre lever –ou

coucher- du soleil et midi solaire), soit 1/ 2j , fonction elle-même de la latitude et de la date :

224

1/ 2 1/ 2 1/ 2. .cos .cos . sin .cosh T S

insol SoleilT S

F dF j j jd

Figure 1 – Insolation journalière (puissance reçue par unité de surface horizontale), en2.W m , selon le jour (initiales des mois en abscisses) et la latitude (ordonnées),

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(a) : calculée au sommet de l’atmosphère ; (b) : estimée à la surface terrestre.

Sans prétention de précision, la figure 1 illustre classiquement les grandes caractéristiques del’influence de la latitude, de la saison, et de l’atmosphère, sur l’insolation journalière.

La partie (a) représente la moyenne journalière de l’insolation insolF « au sommet del’atmosphère », en fonction du temps et de la latitude.

La partie (b) représente la moyenne journalière de 1/ cos. 0,7 Soleil

insolF , qui schématise trèsgrossièrement l’énergie reçue à la surface terrestre.

On notera, en particulier, que

le maximum au sommet de l’atmosphère est paradoxalement situé aux pôles en été, àcause du jour permanent, mais l’effet d’affaiblissement atmosphérique fait disparaîtrece phénomène à la surface terrestre, le maximum y étant situé là où le Soleil est auzénith en été ;

à une même latitude, au sommet de l’atmosphère, l’insolation d’été (resp. d’hiver) estplus grande (resp. plus petite) dans l’hémisphère sud que dans l’hémisphère nord, parsuite de la variation annuelle de la distance entre Terre et Soleil, mais cette différencedisparaît en moyenne sur l’année ;

les différences saisonnières sont moins marquées dans l’hémisphère nord que dansl’hémisphère sud ; ceci est aussi un effet du déplacement de la Terre sur son orbiteelliptique : ce contraste saisonnier serait accentué par une orbite elliptique plusallongée.

b. Rayonnement et circulation générale atmosphérique

A l’échelle de la circulation générale, c’est la meilleure insolation en surface des régionsintertropicales, par rapport aux régions polaires, évoquée ci-dessus, qui est au premier ordre lemoteur du mouvement atmosphérique.

En moyenne, les régions intertropicales reçoivent en effet davantage de rayonnement que lesrégions polaires, la température y est plus élevée, les couches atmosphériques (entre surfacesisobares) plus épaisses.

Comme le frottement à la surface tend à égaliser les pressions au niveau de la mer, lessurfaces isobares en altitude sont plus hautes à l’équateur qu’aux pôles.

Le vent à l’échelle de la circulation générale étant, par suite de la rotation de la Terre, quasi-parallèle aux isohypses, on obtient une circulation moyenne zonale d’ouest en est :l’atmosphère précède la Terre dans son mouvement de rotation.

On renvoie aux ouvrages de météorologie (par exemple, Bougeault et Sadourny 2001,Malardel 2005) pour une présentation détaillée et argumentée de la genèse de la circulationgénérale atmosphérique par les déséquilibres à grande échelle du bilan radiatif, à la surface

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terrestre et au sein de l’atmosphère, et pour une analyse des complexes mécanismes detransfert d’énergie associés, circulation de Hadley en zone intertropicale, perturbationsbaroclines aux latitudes moyennes.

Figure 2 - Bilan de rayonnement au sommet de l’atmosphère (en 2.W m ),en moyennes temporelle et zonale.

La figure 2 présente l’allure du bilan observé des postes d’absorption solaire et d’émissiontellurique au sommet de l’atmosphère, moyennés en temps sur une année, et en longitudes surchaque cercle de latitude.

Le flux « solaire absorbé » est le flux solaire incident (dépendant de la latitude), soustractionfaite de la portion réfléchie par l’effet d’albédo planétaire. En valeurs mensuelles (nonrestituées par la figure), ce flux va de 0 à 2400 .W m .Les zones d’absorption maximum se déplacent du sud (en janvier) au nord (en juillet), avec lavariation saisonnière de l'ensoleillement, due au mouvement de la Terre par rapport au Soleil.On remarquera la faiblesse de l’énergie reçue par les régions polaires (le déficit estparticulièrement important pendant l'hiver).

En valeurs mensuelles, le flux « tellurique émis » va de 2100 .W m à 2300 .W m .Le maximum d’émission tellurique lié aux régions subtropicales s’explique par le fait quel’air est très sec dans ces régions : la faible concentration en vapeur d'eau réduit l’effet deserre, et la majeure partie du flux infrarouge émis par la surface (ou les nuages bas) sort versl'espace après avoir traversé l'atmosphère sans avoir été beaucoup absorbé.Dans les régions intertropicales, le minimum relatif du flux tellurique sortant est dû à laprésence de nuages hauts, lesquels absorbent le rayonnement émis par la surface, et émettentvers l’espace un flux d’autant plus faible qu’ils sont froids, donc hauts.

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Le bilan, ou flux net au sommet de l'atmosphère, est la différence entre le flux solaire absorbépar le système Terre-Atmosphère et le flux tellurique émis vers l'espace. En valeursmensuelles, il va de 2100 .W m à 2100 .W m .L’excédent intertropical et les déficits polaires que ce bilan met en évidence sont lesinitiateurs des mouvements compensateurs de circulation générale de l’atmosphère et del’océan, réalisant un transport d’énergie de l’équateur vers les pôles.

Pour l’atmosphère, ceci ne peut être le fait de la simple circulation zonale, un vent zonal étantà cette échelle perpendiculaire au gradient de température. Il se crée donc des perturbations,sous la forme de dépressions et d’anticyclones, qui, aux latitudes moyennes, sont à la base dutransport d’énergie (en zone intertropicale, le transport est piloté par divers mécanismesphysiques liés à la « cellule de Hadley »). La plus grande dissymétrie des apports de chaleuren hiver explique pourquoi les perturbations du champ zonal y sont plus importantes qu’enété.

Interviennent également dans la modulation du processus les réactions différentes descontinents et des océans au rayonnement incident. Contrairement au sol continental, la surfacede la mer n’arrête pas le rayonnement, ce qui explique que les variations de température soientplus marquées sur les continents que sur les océans. D’autre part, l’albédo de la surface et lanébulosité diffèrent sensiblement de l’un à l’autre, ainsi que la capacité calorifique de la surface.

En tout état de cause, un modèle de grande échelle de l’atmosphère se doit de bien représenter ladistribution entre tropiques et pôles du bilan radiatif, ainsi que la part atmosphérique destransports de chaleur trans-latitudes associés.

c. Rayonnement et microclimats

La plupart des effets évoqués ci-dessus à l’échelle de la circulation générale se retrouvent auxdifférentes échelles météorologiques, et sont notamment particulièrement bien connus auniveau des microclimats.A cette échelle, ils expliquent en effet par exemple :

- la brise de pente, conséquence d’une exposition différente des surfaces au Soleil ;

- la brise de côte (de mer, de terre), conséquence du réchauffement/refroidissement différenciéentre sol et surface maritime au cours du cycle solaire nycthéméral ;

- la brise de forêt, conséquence des différences d’albédo du couvert végétal (forêt plussombre, donc plus chaude, que son environnement).

d. Rayonnement et prévision numérique du temps

A l’échelle synoptique, et sur des durées de l’ordre de 24 heures ou moins, on peutconsidérer en première approche que l’atmosphère évolue quasiment « par inertie » ; comptetenu des échelles de temps relativement longues attachées aux effets radiatifs, on peut secontenter d’une description rudimentaire du rayonnement dans les prévisions numériques dutemps à courte échéance.Mais, à plus longue échéance -et même à courte échéance à méso-échelle spatiale-, unedescription des effets radiatifs plus fine qu’un forçage climatologique s’avère nécessaire.

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L’expérience des modèles numériques détaillés d’atmosphère montre en effet que, à ceséchelles, l’influence du rayonnement sur le transport vertical d’énergie est comparable à celuides processus dynamiques et des autres processus physiques, comme par exemple laconvection, et est donc notamment déterminante dans le calcul du profil vertical detempérature. En revanche, l’influence du rayonnement sur le transport horizontal d’énergie estle plus souvent négligeable, en raison de la quasi-homogénéité horizontale de l’atmosphère,sauf au voisinage d’hétérogénéités horizontales marquées, comme, par exemple, les groscumulus, les pentes des reliefs, ou les côtes.

De nombreuses interactions entre phénomènes radiatifs et météorologiques doivent donc êtreprises en compte, comme, par exemple, celle qui associe le refroidissement radiatif à ladistribution de température, d’humidité et de nuages (ainsi, le refroidissement radiatif érodeles fluctuations de température, cependant qu’il est lui même réduit sous les nuages), ouencore comme la rétroaction positive liée à « l’effet de serre » de la vapeur d’eau : uneaugmentation de température augmente l’évaporation, donc la quantité de vapeur d’eau, doncl’effet de serre associé, donc la température…

Le rayonnement apparaît explicitement en deux endroits dans les équations des modèles desimulation atmosphérique, par le truchement du flux radiatif vertical (net) F :

- dans l’équation pronostique de la température potentielle T , que l’on peut schématiser icisous la forme

1 ..

T

p

d F autres apports de chaleurdt C z

,

ou

00.pR C

T

p

pd g F autres apports de chaleurdt C p p

,

selon la coordonnée verticale adoptée, altitude z ou pression p ( t est ici le temps, , R , et

pC sont respectivement la masse volumique, la constante massique des gaz parfaits, et lachaleur massique à pression constante de l’air, g est l’accélération de la pesanteur, et 00p estla pression standard de définition de la température potentielle).

- dans l’équation diagnostique de la température de surface (pour les continents), que l’onpeut symboliser par

' ( ) 0surface

F autres flux algébriques d énergie non radiatifs

Dans toutes ces formulations, F représente le flux radiatif horizontal net algébrique, c’est-à-dire la quantité d’énergie électromagnétique traversant, par unité le temps, une unité desurface horizontale, du bas vers le haut.

Une simplification a été introduite a priori dans ces formulations : le flux radiatif F y estsupposé ne dépendre que de la coordonnée verticale. Ceci est vrai en moyenne à grandeéchelle, en raison de la quasi-homogénéité horizontale de l’atmosphère. Malheureusement, àpetite échelle, au moins un facteur primordial pour la détermination de F contredit cette

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hypothèse : la couverture fractionnaire du ciel par les nuages (la prise en compte de lanébulosité est un des problèmes les plus délicats dans le calcul de F ).

La nécessaire connaissance de Fz

, ou Fp

, aux différents niveaux sur la verticale, et de F à

la surface terrestre, nécessite le calcul de F lui-même à chaque niveau du modèle, ce qui esten général plus compliqué que le seul calcul de sa dérivée verticale ; il faut même calculer Fà un niveau fictif représentant l’infini, chose qui n’est pas nécessaire pour les autres variablesmétéorologiques.

Le rôle d’un modèle de rayonnement au service d’un modèle météorologique ou climatiqueest de fournir une « paramétrisation » de F , c’est-à-dire de proposer une détermination decelui-ci exclusivement à partir de données fournies par le modèle général d’atmosphère, et dedonnées climatologiques stables (dans la mesure du possible), relatives

- aux caractéristiques de l’atmosphère (température, pression, paramètres décrivant la teneuren différents constituants, etc …),

- aux propriété d’optique physique et géométrique du système Terre-Atmosphère (distancezénithale, albédo de la surface, nébulosité, etc …).

Mais, s’il est possible de paramétriser le rayonnement à partir de l’état de l’atmosphère, laréciproque est également réalisable. C’est ainsi qu’il existe des méthodes pour calculer, parexemple, le profil vertical de température de l’atmosphère à partir de la répartition spectraleobservée du rayonnement de grandes longueurs d’onde, mesurée par satellite au sommet del’atmosphère. Ce point sera évoqué sommairement à la fin du présent cours, au chapitre XII,après l’étude des modèles de rayonnement.

2. LE TERRITOIRE DU PRESENT OUVRAGE

A. Le périmètre du cours

a. En termes d’objectifs

L’objectif poursuivi dans la réalisation du présent ouvrage est la mise à disposition d’unouvrage pédagogique en français, sur un sujet qui, d’expérience, s’avère souvent d’un aborddifficile pour les étudiants, le sujet du « rayonnement en météorologie dynamique ».

Par sa référence à la météorologie dynamique, le titre de l’ouvrage est supposé contenir en luimême un certain nombre des limitations que l’on s’est imposées : ainsi il s’agira surtout dephysique, et de sa déclinaison à la météorologie scientifique et à la modélisation del’atmosphère (des questions connexes fort importantes, comme la mesure, ne sont pasabordées), dans le domaine troposphère-basse stratosphère, et en se limitant du point de vuespectral au rayonnement solaire et au rayonnement infrarouge émis par le système Terre-Atmosphère, dit tellurique.

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Il ne s’agit absolument pas ici par ailleurs de dresser un état de l’art en la matière ; le but estplutôt de donner des outils de connaissance, de compréhension, de méthodologie, du domaine,pour ouvrir (du moins on l’espère) un accès plus facile à la littérature spécialisée.

Le souci principal est donc celui de la pédagogie ; en particulier, on a considéré qu’une desdifficultés de la matière résidait assez souvent dans le manque de bases générales sur laphysique du rayonnement électromagnétique chez les étudiants en météorologie, et un (courtet très orienté) résumé de ces bases a été intégré dans l’ouvrage (chapitre II et chapitre XIV).

Il est ainsi espéré que l’ouvrage pourra être utilisé de façon « autodidacte » par des étudiantsayant la culture générale scientifique amont suffisante.

Le niveau amont en question correspond à celui de licence/master en mathématiques et enphysique, ou équivalent.

Pour ce qui est des connaissances requises en météorologie, on pourra se référer quandnécessaire aux « Fondamentaux de Météorologie » de Sylvie Malardel (2005), ou à la« Dynamique de l’atmosphère et de l’océan » de Philippe Bougeault et Robert Sadourny(2001).

b. En termes de domaine physique

Le présent cours traite des rapports entre le rayonnement électromagnétique et lamétéorologie dynamique, et de la prise en compte du rayonnement dans la modélisationmétéorologique de l’atmosphère.

Même si certains développements présentés en amont de l’application météorologiquepeuvent être pertinents pour d’autres milieux (comme l’océan), le domaine physique duprésent cours est l’atmosphère, et seulement l’atmosphère.

Plus limitativement d’ailleurs, il s’agit en l’occurrence de la troposphère et de la (basse)stratosphère, bien que la partie d’atmosphère située plus haut soit loin d’être neutre vis-à-visdes rayonnements que considère le cours.

On considèrera que l’atmosphère traitée est bornée

inférieurement par la surface terrestre, solide (le sol -continental-), ou liquide (lasurface océanique, marine, …).

supérieurement par le « sommet de l’atmosphère », une surface à la définition un peufloue, que l’on considèrera dans le présent cours pouvoir être placée, du point de vueradiatif, au sommet de la mésosphère, soit à la base de la thermosphère, vers 85 km au-dessus de la surface terrestre (c’est en fait une approche de compromis entre théorie etpratique, 1000 km serait plus fiable du point de vue de la seule théorie radiative).L’intérêt de se donner un tel « sommet de l’atmosphère » est évidemment de pouvoir yconsidérer le rayonnement solaire incident comme non affecté par la présence de lapartie d’atmosphère que l’on souhaite décrire, et comme une condition à la limitedéterminée complètement par des facteurs astronomiques ; en pratique un compromisest à trouver, pour un choix « opératoire » de ce niveau, entre sa signification radiativeet la capacité à le traiter « proprement » dans une modélisation de l’atmosphère.

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c. En termes de domaine spectral

La figure 3 représente la répartition idéalisée de l’énergie émise par le Soleil, et de l’énergieémise par le système Terre-Atmosphère, par unité de surface, en fonction de la longueurd’onde. Plus précisément, il s’agit, dans chacun des cas, de la répartition, selon la longueurd’onde , du flux spectral émis émisF , soit encore de la densité spectrale de puissanceradiative émise par unité de surface, une grandeur qui sera définie plus précisément par lasuite (chapitre III -III. 1.-), mais dont une certaine appréhension intuitive peut déjà résulterde sa dénomination, et de la nature de son unité physique, le watt par mètre carré, et parmètre (ce dernier « mètre » renvoyant à l’unité de longueur d’onde, en pratique généralementplutôt le micromètre).

L’idéalisation évoquée consiste à supposer que ces spectres sont ceux de corps noirs,respectivement à 6000 K et à 300 K : . ( )émisF B T , où ( )B T est la fonction (de lalongueur d’onde et de la température) de Planck, représentant l’intensité d’émission du corpsnoir -isotrope, d’où le facteur ( )stéradians pour passer de l’intensité au flux-.

La partie centrale de la figure représente la classique version normalisée (par la valeurmaximum) de ces spectres, une approche qui masque évidemment l’importance relative desquantités d’énergie en jeu, comme on le voit en remarquant le changement d’échelle adoptéentre les deux émetteurs dans la partie supérieure de la figure : le rapport des intensitésmaximum d’émission des corps noirs est la puissance 5 du rapport de leurs températures!(attention cependant : il s’agit ici d’une estimation de la puissance émise à la surface duSoleil, pas de celle de la puissance interceptée au sommet de l’atmosphère, laquelle est avec la

première dans un rapport de l’ordre de2

52, 2.10Soleil

T A

Rd

).

Une autre façon de décrire les spectres des corps noir d’une manière unique, universelle

(comme il apparaîtra au chapitre III -III. 2. D.-) consiste à représenter 5émisF

Ten fonction du

produit .T ; c’est ce qui est fait dans la partie inférieure de la figure, en explicitant sur l’axedes abscisses .T les longueurs d’onde relatives aux domaines solaire ( ( )S , correspondantà 6000T K ) et tellurique ( ( )T A , correspondant à 300T K ).

Quoi qu’il en soit, on constate dans toutes ces représentations que le domaine de longueursd’onde commun aux deux types d’émission est extrêmement réduit, ce qui autorise untraitement séparé du rayonnement solaire et du rayonnement tellurique, sans interaction entreeux (un atout surtout appréciable dans le domaine de la mesure, moins déterminant dans ledomaine du calcul du transfert radiatif, lequel autorise en général la superposition linéaire desolutions).

Le point d’intersection des deux courbes ( )émisF correspondant à 6000T K (Soleil), et à300T K (Terre-Atmosphère), que l’on peut choisir comme limite entre les deux spectres,

se situe vers 4,8 m ; on adoptera le plus souvent 5 m comme valeur approchée « ronde »,pour simplifier.

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Figure 3- Spectres idéalisés (hypothèse de corps noir) d’émission radiativedu Soleil (S, 6000 K ), et du système Terre-Atmosphère (T-A, 300 K ).

(a) : valeurs physiques ; (b) : valeurs normalisées ; (c) : représentation universelle.

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d. En termes d’agents radiatifs et de processus d’interaction

On reviendra plus loin, bien sûr, sur la définition des différents mécanismes d’interactionentre le rayonnement et le milieu atmosphérique (chapitres II à VII).

A ce stade, pour fixer les objectifs et une partie du vocabulaire, on peut cependant énoncerdéjà que, pour le calcul des flux de rayonnement, il faut principalement tenir compte

de l’émission, de l’absorption et de la diffusion (en gros : changement de directionsans changement de longueur d’onde) du rayonnement,

par les agents suivants : Soleil, « molécules d’air » (oxygène, azote), « gazatmosphériques » (principalement vapeur d’eau 2H O , dioxyde de carbone 2CO , etozone 3O ), « particules atmosphériques » (aérosols, gouttelettes d’eau et cristaux deglace des nuages), et surface terrestre.

La répartition des effets est la suivante :

dans le domaine des petites longueurs d’onde, on peut considérer que seul le Soleilémet ; les molécules d’air diffusent (diffusion « de type Rayleigh »), les gazatmosphériques absorbent, les particules absorbent et diffusent (plutôt diffusion « detype Lorenz-Mie »), la surface absorbe et réfléchit (la réflexion est une formeparticulière de diffusion). En particulier, les rayonnements ultraviolets et visibles sontabsorbés dans la stratosphère par l’ozone (ce qui explique les hautes températures quiy règnent) ; les radiations visibles et infrarouges sont absorbées dans la troposphèrepar la vapeur d’eau, le dioxyde de carbone, les particules. La surface est en définitivel’agent le plus absorbant, elle transfère ensuite à l’atmosphère la chaleur résultant deson absorption du rayonnement solaire, sous forme de chaleurs sensible et latente, etd’émission radiative tellurique.

dans le domaine des grandes longueurs d’onde, les gaz atmosphériques émettent etabsorbent, les particules émettent, absorbent et diffusent, et la surface émet, absorbe etréfléchit. La surface et les nuages peuvent être considérés comme des corps noirs pourmaintes applications. Sauf cas particuliers (par exemple celui des nuages hauts), ladiffusion et la réflexion sont en général considérées n’être pas très importantes dans ledomaine spectral tellurique.

Pour simplifier, en raison de leur faible influence énergétique dans la troposphère et la bassestratosphère, ou encore du faible apport pédagogique additionnel de leur introduction, onn’étudiera pas en détail dans le présent cours les phénomènes suivants (dont certains pourrontcependant se voir attribuer quelques lignes, pour information ou de façon à permettred’aborder la littérature sur le sujet) :

photochimie, photo-dissociation, ionisation, diffusion avec changement de longueurd’onde, polarisation, … ;

émission et absorption par les gaz atmosphériques autres que ceux déjà cités ( 2H O ,

2CO , 3O ), soit par 2N , 2O , 2 4N O , CO , CH , etc. ; la problématique de ces gaz estassez semblable à celle de composants explicitement traités, il n’y a donc pas de

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véritable intérêt pédagogique à la considérer spécifiquement, même si les implicationssont potentiellement importantes, par exemple en simulation climatique.

L’ensemble des phénomènes et agents radiatifs retenus peut ainsi se représenter par le schémade la figure 4.

Figure 4 - Schéma synoptique des principaux agents et processus radiatifsà prendre en compte en météorologie dynamique

(A) : absorption, (D) : diffusion, (E) : émission, (R) : réflexion.

B. Le contenu du cours

Voici un survol rapide du contenu des quatorze chapitres de l’ouvrage.

Chapitre I : introduction

Ce chapitre préliminaire avance d’abord quelques arguments à l’appui de l’affirmation del’importance des processus de rayonnement électromagnétique, en météorologie dynamique,et surtout dans les applications de celle-ci que sont la simulation et la prévision, par voienumérique, de l’état de l’atmosphère.

Il fixe ensuite l’enveloppe du présent cours (objectifs, limitations, survol du contenu …), ainsique certains points de vocabulaire, et les conventions, notations et abréviations principales quiseront utilisées dans le corps de l’ouvrage.

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Chapitre II : éléments de physique générale du rayonnement électromagnétique

Ce chapitre présente un résumé des principales connaissances de base sur le rayonnementélectromagnétique, requises pour aborder la suite du cours.

Il se place donc d’un point de vue amont « microscopique » (par opposition au point de vue« macroscopique » qui sera le lot de la suite du cours), et traite de la nature et de lapropagation du rayonnement, ainsi que des notions de base sur l’interaction entrerayonnement et matière.Sur ce dernier point toutefois, on a, pour diverses raisons, rejeté dans les chapitres suivants,au moment où on en a l’usage, des questions qui auraient fort bien trouvé leur place dans cechapitre : l’émission thermique du corps noir au chapitre III, consacré à l’équation « dutransfert radiatif », l’élargissement des lignes d’absorption/émission moléculaires en raies eten bandes, au chapitre V, consacré à une approche macroscopique des principales formesd’interaction, autres que l’émission thermique, entre l’atmosphère et le rayonnement.

Chapitre III : l’équation du transfert radiatif

Après avoir fixé la définition des différentes grandeurs de description macroscopique durayonnement électromagnétique, ce chapitre traite les lois « universelles » gouvernant lesphénomènes radiatifs, celles qui s’expriment indépendamment de la nature précise de lamatière en interaction avec le rayonnement .

Son fil directeur est l’établissement de l’équation du transfert radiatif (ETR), au sein d’unmilieu matériel, en en particularisant déjà certains aspects au cadre atmosphérique.

Les lois « particulières », qui s’expriment spécifiquement selon les propriétés radiativespropres à la matière en interaction avec le rayonnement, et en conséquence la précision descoefficients d’interaction introduits dans ce chapitre, ainsi que la façon d’aborder le traitementde l’ETR, font l’objet des chapitres V à IX.

Chapitre IV : prise en main des notions de base du transfert radiatif.

Ce chapitre propose des éléments d’appropriation des concepts de base du transfert radiatif etde l’ETR, à travers quelques manipulations analytiques, dans des situations atmosphériquespertinentes : le comportement radiatif d’un nuage dans le spectre solaire, et une représentationtrès sommaire de l’effet de serre dans le domaine tellurique.

L’ETR est complexe, et l’opportunité de développements analytiques, si intéressants et utilesavant de se tourner vers les techniques numériques (qui ne permettent pas toujours le mêmecontact avec la physique des phénomènes), n’est bien entendu possible que dans des cas degéométrie et de forçages considérablement simplifiés, donc dans des configurations radiativesnécessairement académiques, et de portée essentiellement pédagogique.

La classique schématisation unidimensionnelle « à deux paramètres énergétiques » (deuxluminances, ou deux flux), introduite dans ce chapitre, n’est pour autant pas dénuée deretombées dans le domaine de la modélisation numérique du transfert radiatif dansl’atmosphère (qui en utilise assez largement diverses versions, comme l’approximation dite« d’Eddington », ou des extensions à un nombre de paramètres un peu supérieur à deux).

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Chapitre V : le rôle des agents radiatifs atmosphériques

Ce chapitre franchit une étape importante dans la description de l’interaction macroscopiqueentre la matière atmosphérique et le rayonnement électromagnétique, en ce sens qu’il exploreles différents types d’interactions à envisager, selon les acteurs radiatifs atmosphériquesconsidérés, ainsi que les propriétés, et les méthodes, propres à chaque type.

En ce qui concerne l’atmosphère, trois types d’acteurs radiatifs doivent en tout être envisagés.

Les mécanismes d’action de ceux qui opèrent au sein de l’atmosphère, c’est-à-dire « les gaz »atmosphériques d’une part, et « les particules », solides ou liquides, en suspension dans l’air,d’autre part, font l’objet de ce chapitre V ; le troisième acteur radiatif, la limite inférieure del’atmosphère, c’est-à-dire la surface terrestre, fait l’objet d’un chapitre particulier (chapitreVII).

La description est déjà pré-opératoire à l’issue de ce chapitre, mais, en général, la déclinaisonultime doit faire intervenir les propriétés précises de chaque acteur radiatif dans chaquedomaine spectral, et sera abordée dans les chapitres suivants.

Chapitre VI : portraits d’acteurs radiatifs atmosphériques

Ce chapitre propose une présentation générale des principaux acteurs radiatifs atmosphériquesdont le rôle a été évoqué au chapitre V : la vapeur d’eau, le dioxyde de carbone et l’ozonepour les gaz ; les hydrométéores et les aérosols pour les particules.

Il ne s’agit toutefois pas d’y entrer dans le détail des bandes d’absorption ou descaractéristiques de la diffusion, ce point sera traité un peu plus spécifiquement dans leschapitres VIII et IX, consacrés respectivement au rayonnement solaire et au rayonnementtellurique ; il s’agit plutôt dans ce chapitre de donner les principales propriétés etcaractéristiques de répartition de ces agents radiatifs.

Chapitre VII : le rôle radiatif de la surface terrestre

Ce chapitre traite principalement des notions de base qui permettent de décrire lecomportement radiatif de la surface terrestre.

L’accent y est mis sur les propriétés de réflexion, car, outre que ce sont celles qui sont le plusaccessibles à la mesure, les propriétés d’absorption dans la partie solaire du spectre peuventen pratique s’en déduire, au moins du point de vue des implicationsatmosphériques (complémentarité approximative de la réflexion et de l’absorption).

Aux longueurs d’onde telluriques, en première approche, la surface peut souvent êtreconsidérée comme un corps noir ; ce sont plutôt les propriétés d’émission de la surface, et laloi de Kirchoff leur reliant les propriétés d’absorption, qui sont pertinentes pour traiter lesécarts à cette hypothèse de l’émission parfaite.

Le chapitre se termine par une introduction sommaire à la problématique des bilans radiatif eténergétique à la surface terrestre.

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Chapitres VIII : le rayonnement solaire (« de petites longueurs d’onde »), et IX : lerayonnement tellurique (« de grandes longueurs d’onde »)

Ces deux chapitres proposent un zoom, sur respectivement la partie solaire, et la partietellurique, du rayonnement à l’œuvre en météorologie dynamique.

Chaque chapitre affine d’abord, pour ce qui concerne le domaine spectral qui lui revient,l’investigation physique des processus d’interaction entre atmosphère et rayonnement, puis ilévoque quelques considérations mathématiques relatives à la résolution de l’équation dutransfert radiatif. Enfin, il ébauche un scénario possible d’application des connaissances ainsiacquises à la modélisation du transfert radiatif.

Chapitre X : conception d’un modèle de transfert radiatif, un exemple.

Ce chapitre se met en position d’appliquer les acquis des chapitres précédents, dans unedémarche synthétique de modélisation du transfert radiatif au sein de l’atmosphère.

Le parti-pris adopté est d’isoler un exemple particulier de modélisation radiative, dansl’esprit, non de faire une description complètement opérationnelle des expressions etméthodes mises en œuvre, mais plutôt de suggérer la complexité du passage de la théorie à lapratique, de faire toucher du doigt les principaux problèmes, et d’introduire des solutionspossibles.

Il ne s’agit donc aucunement de présenter un panorama des possibilités ou réalisations, ni un« état de l’art », en matière de modélisation radiative, ce qui serait probablement hors sujetdans un ouvrage qui se veut purement pédagogique.Du reste, quelques pistes différentes ou complémentaires d’options présentées dans le présentchapitre ont pu être évoquées au fil des précédents chapitres (particulièrement dans leschapitres VIII et IX).

On a choisi de présenter ici, à un certain stade de son évolution, un schéma radiatif éprouvé,aux origines déjà anciennes, mais qui a traversé le temps avec un certain succès, et se trouveaujourd’hui largement utilisé dans la communauté des sciences de l’atmosphère : le schémaradiatif opérationnel du Centre Européen pour les Prévisions Météorologiques à MoyenTerme (CEPMMT).

Chapitre XI : transfert radiatif et structure moyenne de l’atmosphère

Après avoir présenté quelques éléments moyens de description chiffrée (« de climatologie »,au sens large) du bilan radiatif dans l’atmosphère, ce chapitre propose quelquesdéveloppements simples, de nature analytique, sur le lien entre le transfert radiatif et lastructure moyenne de l’atmosphère.

Sur ce dernier point, il s’agit essentiellement de considérations classiques, en atmosphèreclaire, sur la structure d’équilibre radiatif, et d’équilibre radiatif+convectif, sur l’importancede l’effet de serre, et sur la température de l’atmosphère au contact de la surface terrestre.

L’influence des nuages, qui se prête mal à des développements analytiques fructueux, n’estl’objet que d’une courte introduction en fin de chapitre (et le rôle des aérosols n’est pasabordé).

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Chapitre XII : inversion du transfert radiatif

Ce chapitre aborde, à un niveau introductif, le problème de l’inversion de l’équation dutransfert radiatif, en se limitant, au niveau de l’illustration, à l’inversion de l’ETR tellurique,en vue de la restitution des profils verticaux de température et de concentration de certainsconstituants de l’atmosphère, à partir de mesures radiatives réalisées par satellite au sommetde l’atmosphère.

Sa seule ambition est la facilitation d’une approche ultérieure éventuelle de la littératurepropre à la technique hautement spécialisée et difficile de l’inversion, ainsi que celle desnombreuses applications de cette technique qui relèvent du domaine du transfert radiatif engéophysique.

Une première partie est consacrée aux problèmes que pose, d’une façon générale, la démarched’inversion, et aux principales approches mathématiques envisageables.

La seconde partie propose, en illustration, quelques exemples de concrétisation, parmi biend’autres possibles, des méthodes évoquées.

Chapitre XIII : éléments historiques.

« On ne connaît pas complètement une science tant qu'on n'en sait pas l'histoire », suggèreAuguste Comte (1798-1857), dans son cours de « philosophie positive », publié entre 1830 et1842.

Ce chapitre présente quelques éléments de l’historique de la connaissance des mécanismes dutransfert radiatif électromagnétique.

Son ambition est toutefois limitée : les points d’histoire présentés ont été retenus(inévitablement un peu subjectivement), sur la base de leur apport complémentaire, supposé, àl’éclairage des thèmes situés en amont, ou effectivement abordés dans le corps, du présentcours.

La chronique ainsi constituée est structurée autour de l’action unificatrice, réalisée parMaxwell en 1864, des phénomènes de propagation d’origines électrique et magnétique, d’unepart, et des phénomènes lumineux et électromagnétiques, d’autre part.

L’organisation du présent chapitre consacre ainsi, dans l’ordre :

un paragraphe à l’évolution des conceptions optiques (« avant Maxwell ») ;

un paragraphe à l’évolution de l’électricité et du magnétisme (« avant Maxwell ») ;

un paragraphe à l’évolution générale du domaine unifié des ondes électromagnétiques« après Maxwell » (caractérisée par les révolutions relativiste et quantique) ;

un paragraphe particulier, un peu plus « fourre-tout », à l’historique de quelquesaspects du transfert radiatif plus spécifiques au domaine de la physique del’atmosphère et de la météorologie (et à des sujets généraux, d’application directe à ce

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domaine, n’ayant pas trouvé facilement leur place dans la logique des autresparagraphes).

Chapitre XIV : pour en savoir plus, annexes et bibliographie

Outre, à la fin, quelques références d’ouvrages sur le transfert radiatif, ce chapitre proposequelques développements complémentaires de physique mathématique générale durayonnement électromagnétique, qui se positionnent plutôt en amont par rapport à lathématique atmosphérique, mais dont la mise à disposition dans l’enceinte du présent cours aété jugée intéressante, compte tenu de l’omniprésence dans ce dernier des processus dont ilstraitent ; le rejet dans un chapitre d’annexes a toutefois été choisi pour éviter d’alourdir lecorps du texte principal.

Concernant les thèmes traités, il s’agit du rayonnement du dipôle oscillant harmonique(modèle de base des interprétations classiques des phénomènes d’interaction entre matière etrayonnement), du rayonnement thermique du corps noir (déductions de la loi de Planck), etdes grandes lignes de la théorie de Lorenz-Mie de la diffusion.

Les paragraphes concernant le dipôle oscillant et la diffusion de Lorenz-Mie peuvent en outreêtre considérés comme l’opportunité, pour le lecteur, d’un exercice d’appropriation deséquations de Maxwell de l’électromagnétisme, introduites au tout début du cours.

3. CONVENTIONS DE PRESENTATION, VOCABULAIRE ET NOTATIONS

Présentation

Structuration

Le cours est structuré en chapitres (chiffres romains I., II., …), paragraphes (chiffres arabes1., 2., …), sous-paragraphes (lettres majuscules A. , B., …), etc (lettres minuscules a., b., …,puis éventuellement i., ii.., …) ; les figures ou illustrations sont numérotées à partir de 1 danschaque chapitre.Une référence à un paragraphe, sous-paragraphe, etc, à une figure ou illustration, mentionne lenuméro du chapitre correspondant, sauf si elle est interne au chapitre en cours.

Figures

Hormis celles qui résultent du tracé de courbes liées à une formule mathématique précise, lesfigures du présent cours (le plus souvent reconstituées, parfois de façon composite, à partir delittérature grise) doivent être considérées comme des illustrations à finalité purementpédagogique : elles sont supposées donner l’allure, les grandes lignes, les ordres de grandeur,relatifs aux sujets qu’elles concernent, mais elles ne peuvent en aucun cas être utiliséescomme références pour la détermination de valeurs numériques précises.

Références bibliographiques et historiques

A de rares exceptions près, aucune référence bibliographique n’est citée dans le corps dutexte. Les références bibliographiques, qui sont celles d’ouvrages « pour en savoir plus » sur

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la thématique du présent cours (dans lesquels on trouvera en particulier toutes autresréférences utiles, par exemple à articles spécialisés) sont regroupées à la fin de l’ouvrage,dans le dernier paragraphe du chapitre d’annexes (chapitre XIV). Le lecteur est par ailleurssupposé pouvoir trouver par lui-même tout rappel de mathématiques (par exemple, concernantles fonctions dites « spéciales ») ou de physique générales qui lui serait utile.

De même, on renvoie au chapitre historique (chapitre XIII) pour d’éventuelles informationscomplémentaires (dates, contexte, …) sur les noms propres qui se trouvent cités dans lesautres chapitres du cours, parce que traditionnellement associés par l’usage courant à desconcepts, méthodes, lois, etc. (on signale ici accessoirement que, dans ce chapitre, ce sont lesindications de dates –de naissance et de mort- de l’ouvrage Histoire générale des sciences, deRené Taton, qui ont le plus souvent servi à trancher les conflits rencontrés à ce propos dans lalittérature).

Vocabulaire

Terre et Atmosphère

Concernant la dénomination des milieux en cause : on appelle ici Terre, ou « planète Terre »,la sphère terrestre physique (on n’aura pas à considérer que la Terre n’est pas une sphère),avec ses composantes lithosphère, hydrosphère, biosphère ; on appellera « système Terre-Atmosphère » l’ensemble constitué de la sphère terrestre et de l’atmosphère.

Solaire/Tellurique, petites/grandes longueurs d’onde

Concernant la dénomination des zones spectrales d’émission, on a retenu « solaire », et « depetites longueurs d’onde », pour le rayonnement émis par le Soleil, et « tellurique », et « degrandes longueurs d’onde », pour le rayonnement émis par le système Terre-Atmosphère (il asemblé préférable : (i) de qualifier de « tellurique » le rayonnement émis par le systèmeTerre-Atmosphère, plutôt que de « thermique » comme souvent utilisé, le rayonnement solaireétant lui aussi de nature thermique ; « (ii) de parler de « petites » longueurs d’onde, plutôt quede « courtes » longueurs d’onde, comme souvent utilisé, « courtes » et « longues » devants’appliquer probablement plutôt aux ondes elles-mêmes qu’aux « longueurs » d’onde).

Pour fixer les idées, on considère que les gammes de longueurs d’onde pertinentes dans leprésent cours sont 0,2 5m m pour le domaine solaire, et 5 100m m pour ledomaine tellurique.

Concernant le domaine solaire, le choix de 0,2 m comme borne inférieure ne correspondpas à la borne inférieure du domaine de longueurs d’onde d’émission significative par leSoleil : il tient compte de l’absorption, dans la haute atmosphère (donc hors du champ duprésent cours), par l’oxygène et l’azote (atomiques et moléculaires), et par l’ozone, depratiquement toute l’énergie radiative solaire de longueur d’onde inférieure à 0,2 m .

Composants atmosphériques

On considère que l’atmosphère est composée de gaz (constitués de molécules) et departicules, elles-mêmes répertoriées en hydrométéores (gouttelettes d’eau liquide et cristauxde glace) et en aérosols (particules solides hors glace).

29

Dans certains contextes, le terme « gaz atmosphériques » désigne seulement les gaz qui sontalors considérés comme acteurs majeurs d’un point de vue radiatif (le plus souvent vapeurd’eau, dioxyde de carbone et ozone).

Caractéristiques de la périodicité

Il existe un grand nombre de paramètres, reliés les uns aux autres, pour caractériser lapériodicité d’une onde ; on n’échappe jamais complètement dans le domaine du rayonnementà une certaine jonglerie entre ces paramètres, dans les développements et les illustrations. Engros, la fréquence (invariante dans la propagation) est plutôt le paramètre de la théorie, lalongueur d’onde et le nombre d’onde k sont plutôt les paramètres des considérationsappliquées.

Dans la littérature spécialisée, le « nombre d’onde » (spatial) désigne tantôt le nombre delongueurs d’onde contenues dans l’unité de longueur, tantôt le nombre de longueurs d’ondecontenues dans 2 fois l’unité de longueur ! Dans le présent cours, on adopte la premièreacception, plus logique, et conforme au système d’unités international.Ainsi les périodicités temporelle et spatiale peuvent être définies par les couples homologues :

en temporel, la période temporelle, ou simplement « période » (peu utilisée) et soninverse la fréquence (« nombre d’onde temporel ») ;

en spatial, la période spatiale ou longueur d’onde , et son inverse le nombre d’onde(spatial, « fréquence spatiale ») k .

Occasionnellement on peut avoir l’usage des « pulsations » temporelle 2 . , et spatiale2 .k .

La fréquence s’exprime classiquement en Hertz Hz , la longueur d’onde et le nombre d’ondes’exprimeront ici préférentiellement, compte tenu des ordres de grandeur en jeu, enmicromètres m (l’ancien « micron »), et en 1cm respectivement.

Enfin, par commodité, il faut signaler ici qu’il arrivera fréquemment que, dans undéveloppement, on labellise les grandeurs spectrales par l’indice « », alors que le modespectral réellement considéré dans l’application du raisonnement alors conduit sera plutôtcaractérisé par la longueur d’onde ou le nombre d’onde ; en principe cette attitude n’estsource d’aucune confusion, dès lors que l’on a assimilé cette convention (même si, bienentendu, les grandeurs spectrales ne sont pas identiques, à commencer dans leur dimensionphysique, selon l’indicateur de périodicité adopté).

Coordonnée verticale

On utilisera principalement dans le présent cours deux coordonnées verticales, l’altitude(géométrique) z , et l’épaisseur optique t , et il arrivera que l’on passe rapidement de l’une àl’autre.On prendra garde à ce que la valeur nulle de la coordonnée revêt des significationsradicalement différentes selon le choix : il s’agit de la surface terrestre pour la coordonnéeverticale géométrique, et du sommet de l’atmosphère pour l’épaisseur optique !

30

Cependant, lorsque cette valeur 0 figure comme valeur de la coordonnée verticale, sans autreprécision, dans l’expression d’un paramètre, le contexte explicatif, et/ou l’environnementmathématique (le reste de la formule dans laquelle figure le paramètre) empêchent en principetoute confusion.

Abus de langage

Les dénominations des diverses grandeurs sont précisées lors de la première apparition de cesgrandeurs dans le texte. Par la suite toutefois, on sacrifie à la rapidité et à l'usage courant enadoptant fréquemment des appellations simplifiées. Ainsi, par exemple, le « flux radiatifspectral d’énergie sur une surface horizontale » peut devenir « le flux » ; d'autres abus delangage sont commis, mais en principe, dans chaque cas, le contexte empêche touteconfusion.

Notations

Il est quasiment impossible d'être irréprochable, et entièrement cohérent dans les notations,dans un domaine où celles-ci sont par nature foisonnantes. Celles qui sont adoptées icirésultent d'un compromis entre la logique et l'usage courant dans la littérature.

Inévitablement, et occasionnellement, une même notation peut désigner plusieurs quantités, etréciproquement, une même quantité peut être pourvue de plusieurs notations; dans cessituations, on s’est en principe assuré qu’il n’y a raisonnablement pas de réel risque deconfusion.

Compte tenu de la complexité du domaine traité, on a pris le parti, au prix d’un légeralourdissement de l’écriture, de souvent labelliser d’une manière explicite parlante lessymboles désignant des grandeurs physiques ; c’est ainsi que l’on trouvera souvent desindices de caractérisation comme « Soleil », « tellurique », « Surf » (pour surface), etc… Cetype de précision peut parfois n’être que temporaire : par exemple, pour la vitesse de lalumière, on distingue au début du cours les notations videc ou c pour le vide, et milieuc pour lemilieu matériel considéré, mais ensuite la seule notation c est utilisée pour la vitesse de lalumière dans l’atmosphère.

Les notations, et le cas échéant les valeurs numériques des grandeurs concernées, sont le plussouvent explicitées à leur première apparition dans le texte ; ensuite elles sont supposéesacquises, et on n’y revient plus, sauf exceptions. Cependant, la liste figurant ci-dessous desconventions permanentes principales permet si nécessaire de retrouver ces éléments en coursde lecture.

Une partie de la complexité du domaine du rayonnement réside, dans la littérature sur le sujet,même parfois récente, dans le recours à des unités anciennes, non métriques, comme la caloriepour l’énergie, le Langley pour le flux d’énergie radiative, …Dans le présent cours on n’utilisera en général que des unités du système métrique, en nes’interdisant pas toutefois d’avoir recours aux multiples et sous-multiples décimaux des unitésfondamentales de ce système, lorsque les ordres de grandeurs rendent cet usage plusconfortable (un cas typique est l’usage, déjà évoqué plus haut, du micromètre m pour lalongueur d’onde : 61 10m m , ou encore du 1cm pour le nombre d’onde) .

31

Les exceptions à ce principe sont limitées, et habituelles ; elles concernent notamment lesunités de temps (seconde, mais aussi minute, heure, …), d’angle (degré), parfois deconcentration (« ppm », « ppb », …).

Les notations des unités de mesure légales sont classiques (et normalisées), elles ne sont pasre-précisées dans le texte, ni dans la liste de notations.

Abréviations

ETR : Equation du Transfert RadiatifIR : InfraRougeUV : UltraVioletVIS : VISible

Lettres latines

a : albédo, ou fonction de réflexion, ou réflectivitéa : demi-grand axe d’une ellipsea : coefficient de Mie

,T A Pla a : albédo planétaire du système Terre-Atmosphère ( 0,30T Aa ), d’une autre PlanèteA : fonction d’absorption, ou absorptivitéA : coefficientA : amplitudeb : coefficient d’Einsteinb : demi-petit axe d’une ellipseb : coefficient de Mie

,B B : fonction de Planck, intégrée sur le spectre, monochromatique

B : champ (d’induction) magnétiquec : vitesse de la lumière dans le videc : vitesse de la lumière dans le milieu précisé en indice ( 1299792458 .videc c m s )C : constantes (d’intégration ou autres)

,p vC C : chaleurs spécifiques à pression et volume constants (pour l’air sec,1 11005 . .paC J kg K , 1 1718 . .vaC J kg K ; pour la vapeur d’eau, 1 11850 . .pvC J kg K ,1 11390 . .vvC J kg K )

C : matrice de covarianceCond : conditionnement d’une matriceCste : constante (d’intégration ou autre)d : dimension caractéristiqued : distance

, ( , )T S Pl ST S Pl Sd d d d : distance au Soleil, et sa valeur moyenne sur une révolution, pour laTerre (pour une autre Planète)D : champ d’induction électriqued Qdt

: terme diabatique volumique (hors apport dissipatif) de l’évolution de l’énergie interne

e : vecteur unitaire, de définition précisée par la mention portée en indice

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E : forme d’énergie moléculaire, précisée par la mention portée en indice

E : champ électrique

E : matrice d’erreurs( )FES : intensité de l’effet de serre(%)ES : facteur d’effet de serre( )pE t : fonction définie par l’intégrale en , de 1 à l’infini, de exp( . ). pt

F : flux radiatifinsolF : flux d’insolation

FR : forçage radiatif, PlF F : constante solaire pour le système Terre-Atmosphère ( 21367 .F W m ), pour une

autre Planètef : fonction de profil d’une raief : fonction quelconqueg : facteur d’asymétrie de la fonction (de phase) de diffusiong : fonction de répartition d’une distribution de probabilitég : accélération de la pesanteur ( 29,8 .g g m s )h : constante de Planck ( 346,626075.10 .h J s )h : hauteurH : fonction taux de chauffage radiatifH : flux non radiatifs d’énergie (chaleur sensible, chaleur latente, dans le sol, …)

H : champ magnétiquei : complexe imaginaire pur de module unitéI : intensité (spécifique), ou luminance du rayonnement (presque toujours)I : moment angulaire (très rarement)

SoleilI : intensité énergétique radiative émise par le Soleilj : nombre quantiquej : densité de courant

1/ 2j : valeur angulaire du demi-jourJ : jacobienk : coefficient relatif d’extinction, rapport du coefficient d’absorption au coefficientd’extinction (co-albédo)k : vecteur nombre d’onde

Bk : constante de Boltzmann ( 23 11,38054.10 .Bk J K )K : coefficient massique d’absorption, de diffusion, d’extinction

( )volK : coefficient volumique d’absorption, de diffusion, d’extinction: coordonnée spatiale: distance caractéristique liée au processus ou facteur précisé en indice

L : extension spatiale, longueurm : masseM : opérateur de description d’un modèle (par exemple de rayonnement)M : moment dipolairen : indice de réfraction du milieu indiqué en indice

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Re Im' , "n n n n : parties réelle et imaginaire de l’indice de réfractionn : nombre volumique d’objets précisés en indice entre crochets (molécules, particules, …)N : nombre d’individus d’une populationNéb : nébulositép : pression

00p : pression standard de définition de la température potentielle ( 00 1000p hPa )P : puissance

,dif difP p : fonction (de phase) de diffusion, valeurs angulairement intégrées de celle-ci,réfl transP P : fonction bi-directionnelle de réflexion, de transmission

pPL : pôlynome de Legendre de degré p( )pPL : « pôlynome » de Legendre associé d’ordre p et d’espèce

Pr : probabilité (en général, densité de probabilité)q : charge électriqueq : humidité spécifique

,q Q : notations compactes pour des termes de l’ETR (rare)r : rayon (en général d’une particule)r : distance (notamment dans un système de coordonnées de type sphérique)r : coefficientr : rang d’une matriceR : constante massique des gaz parfaits (pour l’air sec 1 1287 . .aR J kg K , pour la vapeurd’eau 1 1461 . .vR J kg K )

( , , ...)Terre SoleilR R R : rayon (de la Terre, du Soleil, …)

s : direction orientée (de propagation, d’observation, …)S : luminance du rayonnement solaire directS : intensité (intégrée) d’une raieS : notation compacte pour un terme de l’ETR (rare)S : fonction coûtt : temps (parfois)t : épaisseur optique (le plus souvent)T : température

00T :température standard ( 273 K )Tv : température virtuelleTF : Transformée de Fourier

LinkeT : facteur de trouble de Linkeu : quantité d’absorbant d’un chemin optiqueu u u u u v w( , , ) ( , , )1 2 3 : vitesse fluidev : vitesse moléculaire

thermv : vitesse thermique des molécules,w W : énergie volumique de nature électromagnétique, microscopique, macroscopique

W : contenu, densité en eau liquide (d’un nuage, …)( )W : contenu intégré sur la verticale (en vapeur d’eau –eau précipitable-, en eau liquide –,…

x : vecteur position du point courantz : coordonnée géométrique verticale

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Lettres grecques

: demi-largeur d’une raie: coefficient

dif : facteur de taille (sans dimension physique) de la diffusion: paramètre descriptif de la géométrie d’une bande: paramètre descriptif de la diffusion de Mie: coefficient: rapport des chaleurs massiques à pression et volume constants: coefficient de frottement: constante (d’intégration ou autre): paramètre de régularisation

: matrice de régularisationDirac : « fonction » de Dirac

ij : indice de Kronecker

Soleil : déclinaison du Soleil: petit élément de la grandeur indiquée (surface, angle solide, …)

, , : différence de valeurs d’un paramètre physique

: émissivité: seuil de petitesse: erreur: permittivité électrique du milieu indiqué en indice ( 12 18,8542.10 .vide F m )

r : permittivité électrique relative: coordonnée verticale non précisée: angle, notamment zénithal

Soleil : angle de la direction du Soleil et de la verticale d’un point attaché à la Terre

T : température potentielle: paramètre composite: vecteur pulsation spatiale: longueur d’onde: valeur propre

: matrice de Lanczos: cosinus de l’angle zénithal de la direction de propagation de l’onde électromagnétique: perméabilité magnétique du milieu indiqué en indice ( 7 14 .10 .vide H m )

r : perméabilité magnétique relative, , : paramètres angulaires (inverses des facteurs de diffusivité) des modèles de

transfert radiatif « à deux paramètres énergétiques »: fréquence (temporelle): grandeur non précisée: vecteur position du point courant: albédo de diffusion simple (utilisation rare)

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: masse volumique de l’air

dif : paramètre descriptif de la diffusion de Mie

: constante de Stefan ( 8 2 45,67.10 . .W m K ): conductivité électrique du milieu indiqué en indice: écart-type

: section efficace a-dimensionnée: fonction de transmission, ou transmissivité: temps caractéristique: angle, notamment azimutal: latitude: phase: constante (d’intégration ou autre): susceptibilité, polarisabilité: angle: pulsation temporelle: angle solide

Indices (en position basse, ou haute –entre parenthèses pur éviter la confusion avec unexposant-)

On ne précise ici que les indices correspondant à des abréviations ou des conventions nonévidentes (on n’évoque pas les indices constitués d’un mot complet, considérés commesuffisamment explicites).

abs : relatif à l’absorption, à un absorbantatm : relatif à l’atmosphèrec : central (pour une raie)cond : relatif à la condensationconv : relatif à la convectiondif : relatif à la diffusion, ou à un agent diffusantdip : dipôleD : Doppleréb : relatif à une ébaucheeff : effectifélast : élastiqueélec : électrique, électronique

.ém ind : relatif à l’émission induiteestim : estiméémis : relatif à l’émissionext : relatif à l’extinctionE : EddingtonG : relatif au milieu sous-jacent à la surface terrestre (de « Ground », sol)H : horizontalinc : incidentinélast : inélastiqueinf : inférieur

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insol : relatif à l’insolationinst : relatif à l’instabilitéint : interneinv : relative à une inversionlim : relatif à une limite

,p pm : relatif au libre parcours, au libre parcours moyenL : LorentzL : relatif à la chaleur latenteL : de Lanczosmagn : magnétiquemes : mesurémod : relatif à un modèle (par exemple de rayonnement)moléc : relatif aux moléculesn : normalnat : naturelobs : observéosc : relatif à un (ou des) oscillateur(s)Pl : relatif à une Planètepol : relatif à la polarisationpot : potentiel(le)propag : relatif à la propagation de l’onde électromagnétiquerad : radiatifréd : réduitréf : relatif à la réfractionréf : de référenceréfl : relatif à la réflexionrot : relatif à la rotation, rotatoirerug : relatif à la rugosité.é m : relatif au rayonnement électromagnétique

sat : saturant(e)sup : supérieurS : relatif au Soleilsr : relatif au schéma radiatifs : relatif à la chaleur sensiblestrato : relatif à la stratosphèresurf : relatif à une surface (notamment à la surface terrestre)spéc : spéculairetherm : thermiquetr : transposition (en exposant d’une matrice)trans : relatif à la translation (en indice de l’énergie moléculaire E )trans : relatif à la transmission (en indice de paramètres radiatifs)tropo : relatif à la troposphèreT A : relatif au système Terre-Atmosphèrevib : relatif à la vibration, vibratoire

: relatif à la température potentielle, ou « thermique », : montant, descendant

* : transposition et conjugaison complexe (en position d’exposant d’une matrice)

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Symboles

ddt

: dérivation totale

,div div : divergence mathématique (d’un vecteur, d’un tenseur)

,Flux Flux : flux (d’un scalaire, d’un vecteur)grad : opérateur gradienti : imaginaire pur, de module 1, de la base classique de représentation de

Id : matrice unitéIm : partie imaginaire du complexe argumentKer : noyauLog : logarithme népérien

,p pm : libre parcours, libre parcours moyen, des molécules2 ( )L : espace des fonctions de carré sommable sur l’intervalle indiqué

max : maximummin : minimum

, , , : ensembles des entiers naturels, des entiers relatifs, des réels, des complexesPr : probabilitéRe : partie réelle du complexe argument

rot : opérateur rotationnel( )signe : signe du réel argument

: opérateur laplacien, : moyenne du paramètre (une précision sur la moyenne –variable, intervalle, … de

moyenne- peut être portée en indice supérieur, au regard de la barre ou du tilde de moyenne): moyenne de passage du microscopique au macroscopique

: norme: proportionnel à

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II. ELEMENTS DE PHYSIQUE GENERALEDU RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE

Ce chapitre présente un résumé, limité, des principales connaissances de base sur lerayonnement électromagnétique, requises pour aborder la suite du présent cours (et/ou lalittérature spécialisée sur le thème dont il traite).

Il se place d’un point de vue amont « microscopique » (par opposition au point de vue« macroscopique » qui sera le lot de la suite du cours), et traite de la nature et de lapropagation du rayonnement, ainsi que des notions de base sur l’interaction entrerayonnement et matière.Sur ce dernier point toutefois, on a, pour diverses raisons, rejeté dans les chapitres suivants,au moment où on en a l’usage, des questions qui auraient fort bien trouvé leur place dans leprésent chapitre :

l’émission thermique du corps noir, qui est un sujet plutôt macroscopique, seraabordée au chapitre III, consacré à l’équation « du transfert radiatif » ;

l’élargissement des lignes d’absorption-émission moléculaires, en raies et en bandes,sera abordé, directement dans un esprit applicatif, au chapitre V, consacré à uneapproche macroscopique des principales formes d’interaction entre l’atmosphère et lerayonnement.

1. NATURE ET PROPAGATION DU RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE

A. Aspects ondulatoires généraux

a. Nature du rayonnement électromagnétique

Tout corps qui n’est pas à la température de 0 K (le Soleil, une portion d’atmosphère ou desurface terrestre, …) émet de l’énergie sous forme d’un « rayonnement électromagnétique »,dont la composition et l’intensité dépendent de la température d’émission et de la nature de lasource ; il existe par ailleurs, dans la nature comme dans la sphère des activités humaines,d’autres sources de rayonnement électromagnétique que cet exemple introductif de l’émissionthermique (voir la figure 2, et le commentaire qui la précède).

Une fois émis, le rayonnement se propage dans l’espace, sans la nécessité d’un supportmatériel.

Dans le vide, les règles de cette propagation sont relativement simples.

Au sein d’un milieu matériel (par exemple fluide, comme l’atmosphère ou l’océan), lerayonnement subit dans sa propagation des modifications complexes, liées aux propriétés

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absorbantes, diffusantes, émettrices, … de ce milieu. Des modifications spécifiquesinterviennent également aux interfaces entre différents milieux (comme à la surface terrestre).

Le rayonnement électromagnétique consiste en la propagation conjointe d’un champélectrique E et d’un champ (d’induction) magnétique B .

Cette propagation est régie par les célèbres équations de Maxwell, qui notamment lient leschamps électrique et magnétique en une seule entité, « l’onde électromagnétique », laquelleest donc descriptible par un seul des champs, par exemple, usage le plus courant, le champélectrique (si « l’électricité » et « le magnétisme » peuvent constituer des disciplinesindépendantes en régime statique, il n’en n’est rien en régime variable dans le temps).

b. Equations de Maxwell

i. Enoncé des équations

Les champs électrique E et magnétique B de l’onde électromagnétique sont régis à l’échellemicroscopique, dans un milieu supposé homogène, isotrope et linéaire (voir ii.) par leséquations :

milieu

qdiv E (équation de Maxwell-Gauss électrique),

0div B (équation de Maxwell-Gauss magnétique),

Brot Et

(équation de Maxwell-Faraday),

. .milieu milieuErot B jt

(équation de Maxwell-Ampère),

q et j étant les « sources » électriques libres, c’est-à-dire respectivement la densitévolumique de charge, et la densité volumique de courant.

milieu et milieu représentent respectivement la permittivité électrique, et la perméabilité

magnétique, du milieu de propagation ( 12 1 9 118,8542.10 . .10 .36vide F m F m ,

7 1 1 14 .10 . . . .vide H m V s A m , valeur exacte découlant de la définition de

l’ampère). Le terme .milieuEt

représente le « courant de déplacement » de Maxwell.

On définit classiquement la permittivité (électrique) relativedéf

milieur

vide

, et la perméabilité

(magnétique) relativedéf

milieur

vide

, paramètres sans dimension physique jaugeant les

40

propriétés électromagnétiques du milieu par rapport au vide (et qui valent naturellement 1pour le vide).

ii. Hypothèses « semi-macroscopiques » sous-jacentes, relations constitutives

La formulation ici adoptée pour les équations de Maxwell fait que les sources électriques(charges et courants) « liées » aux atomes et molécules, d’une mobilité très limitée, ne sontpas à prendre en compte dans l’inventaire des sources q et j .

Elle suppose en fait un point de vue plutôt « semi-macroscopique » que strictement« microscopique » : les paramètres microscopiques sur lesquels portent les équations doiventdéjà être considérés comme des moyennes spatio-temporelles des paramètres « ponctuels »,notamment sur des distances spatiales grandes devant la dimension caractéristique des atomeset molécules -pour bénéficier d’un effet de lissage statistique suffisant-, mais petites devant lalongueur d’onde des rayonnements considérés –pour conserver la possibilité de traiter devariations ondulatoires-. Le volume de moyenne ainsi requis ayant typiquement unedimension caractéristique de 910 m , un tel point de vue n’est pas réaliste pour les radiationsde très grandes fréquences, donc de très petites longueurs d’onde, comme les rayons ou lesrayons X, qui doivent relever d’autres techniques ; mais on admettra qu’il l’est pour lesrayonnements traités dans le présent cours, dont les longueurs d’onde sont supérieures à0, 2 m .

Dans cette façon de formaliser le problème, milieu et milieu s’introduisent précisément dans lamodélisation de l’effet des charges liées. Celles-ci y sont en effet représentées par desdistributions de dipôles électriques et magnétiques (présentes spontanément, ou créées par laredistribution électronique, la réorientation moléculaire,… dues aux champs externes), demoments dipolaires par unité de volume, électrique élecM et magnétique magnM ; et lesvecteurs induction électrique . élecvideD E M et induction magnétique . magnvideB H M( H étant le – « vrai » - champ magnétique, l’induction magnétique B portant souventtraditionnellement, mais abusivement, ce nom !) sont reliés aux champs électrique etmagnétique par les « relations constitutives » linéaires .milieuD E et .milieuB H .

Cette approche considère donc une réponse linéaire de la matière à la présence des champs :. .élec vide élecM E , . .magn vide magnM H , où 1élec r et 1magn r sont les

« susceptibilités » électrique et magnétique, respectivement, du milieu.

iii. Charges, loi d’Ohm, caractérisation en pertes des milieux

La dissymétrie des relations « de Gauss » 0div B etmilieu

qdiv E traduit le fait que la

physique des particules n’a à ce jour pas mis en évidence l’existence de « chargesmagnétiques » ponctuelles mono-polaires, homologues magnétiques des charges électriques.

Quant à la densité volumique de courant j , elle est reliée au champ électrique E par la loid’Ohm (sauf en présence, exclue ici, de champs magnétiques trop importants)

41

.milieuj E ,

où milieu désigne la conductivité électrique du milieu (dit « conducteur » si 0milieu ).

Comme les autres relations constitutives discutées plus haut (ii.), la loi d’Ohm est déjà une loi« semi-macroscopique » ; elle n’est pas valable pour une charge électrique libre isolée, dont lavitesse (et donc la densité de courant associée) ne peut, par exemple, qu’augmenter enprésence d’un champ électrique constant. La validité de la loi d’Ohm pour un ensembleimportant d’électrons au sein d’un milieu conducteur résulte en fait de l’établissement d’unéquilibre de type statistique entre l’accélération par le champ électrique et le freinage parl’interaction avec les ions positifs du conducteur.

On notera également ici que le résultat classique d’électrostatique, de nullité du champélectrique au sein d’un conducteur, est retrouvé, en régime variable (en présence d’un flux decharges électriques, ou courant), à la limite milieu du conducteur « idéal ».

On reviendra un peu plus loin (sous-paragraphe C), sur le fait que, dans le cas le plusgénéral, on doit considérer la permittivité électrique comme devant potentiellement êtrecomplexe, et que les équations de Maxwell s’appliquent en fait aux amplitudes complexes deschamps électromagnétiques (un concept introduit ci-dessous au sous-paragraphe B).

Le croisement des propriétés de la conductivité et de la permittivité permet ainsi de définir uncertain nombre de configurations pour le milieu, que l’on se borne à nommer ici : milieu sanspertes ( 0milieu , milieu réel), milieu avec pertes conductrices seules ( milieu fini, milieu réel),milieu avec pertes conductrices et diélectriques ( milieu fini, milieu complexe) ; cetteterminologie sera un peu plus compréhensible après la lecture du sous-paragraphe C.

On aura peu l’occasion de considérer une conductivité non nulle dans le présent cours.

iv. Conditions à la limite entre deux milieux

Les champs électrique et magnétique régis par les équations de Maxwell sont égalementsoumis au respect de conditions aux limites. Par exemple, à la surface de séparation de deuxmilieux, de normale commune définie par son vecteur unitaire ne orienté du milieu "2"versle milieu "1" , les conditions sont, avec des notations évidentes :

1 2 0ne E E , 1 2

1 2n surf

B Be j , 1 1 2 2.( . . )n surfe E E q , 1 2.( ) 0ne B B ,

surfq et surfj désignant respectivement la densité de charge et le courant surfaciques qui, le caséchéant, selon les propriétés conductrices respectives des deux milieux, prennent naissance àl’interface (d’épaisseur idéalement nulle, physiquement très petite).

c. Propagation dans le vide et en milieu matériel

Dans le vide, les équations de Maxwell permettent la propagation d’ondes, même en l’absencede sources ; il s’agit d’ondes progressives se propageant sans se modifier, dans la direction

42

définie par le vecteur unitaire propage , du type 0( , ) . ( . . )propagE x t E f e x c t , 0E étant un

vecteur constant perpendiculaire à propage , et f une fonction quelconque.

La vitesse de propagation de l’onde électromagnétique dans le vide est1/ 2

1/ 2 9 7 8 11. .10 . 4 .10 3.10 .36vide vide videc c m s (la valeur exacte est

1299792458 .m s , voir chapitre XIII -XIII. 1. F. c.-) .

Dans un milieu matériel sans pertes conductrices (c’est un peu plus compliqué lorsque laconductivité est non nulle), les ondes électromagnétiques ont une « vitesse de propagation »

(notion complexe précisée plus loin) 1/ 2.milieu milieu milieumilieu

ccn

, où l’indice de

réfraction électromagnétique du milieu, 1/ 2.déf

milieu r rn , dépend a priori de la fréquence,ou de la longueur d’onde ; elles sont donc dispersives : c’est une des raisons qui justifientl’importance de la considération accordée aux ondes monochromatiques, et à ladécomposition en ondes monochromatiques d’une onde générale (une autre raison étant laforte dépendance en fréquence des propriétés électromagnétiques de la matière).

B. Onde monochromatique plane, onde générale, spectre

a. Onde monochromatique plane

Une onde plane, se propageant dans une direction bien définie de vecteur unitaire propage , etmonochromatique, c’est-à-dire de périodicités spatiale et temporelle 1 uniques biendéfinies (figure 1), peut se représenter par

0( , ) Re .exp .( . . )E x t E i x t , 0( , ) Re .exp .( . . )B x t B i x t ,

où

0 0,E B sont les amplitudes complexes des champs de l’onde, Re signifiantl’opération d’extraction de la partie réelle du complexe concerné ; cette représentationcomplexe permet d’intégrer simplement à la fois l’amplitude et la phase de l’onde(noter que 0E et 0B peuvent avoir des phases différentes). En général –et c’est ce quel’on fera le plus souvent-, on omet la mention Re , en adoptant la convention queles champs physiques sont toujours la partie réelle des expressions impliquant uneamplitude complexe et une exponentielle oscillante ;

2 . est la « pulsation temporelle » de l’onde, dont la fréquence est , et dont lapériode temporelle est 1 ( est invariante dans la propagation) ;

43

2 .k est le vecteur « pulsation spatiale » de l’onde, dont le vecteur « nombre

d’onde » est 1 . propagk e ( k étant le « nombre d’onde »), et dont la période spatiale

est la longueur d’onde ( k , k , et , ne sont pas nécessairement invariants dans la

propagation);

et où les contraintes suivantes sont imposées par les équations de Maxwell (en milieu supposéde conductivité électrique nulle)

0. 0k E , 0 0.milieuB n k E , et donc aussi . 0k E , .milieuB n k E : le trièdre

( , , )E B k est orthogonal direct, le plan défini par les vecteurs E et B constituant le« plan de l’onde »,

( ) . .milieumilieu

ck k c kn

, avec 1/ 2.milieu milieu milieumilieu

ccn

(la relation pour un

milieu de conductivité non nulle est1

2 .. milieumilieu milieu milieu

ic ) : les

périodicités spatiale et temporelle de l’onde sont reliées par milieuc .

Figure 1 - Portrait instantané d’une onde électromagnétique monochromatique plane.

Pour le milieu « air » qui est pertinent en météorologie, 1r ( 1,0000004.air vide ), et,comme 1,0005r , on adopte en général, en première approche, l’identification airc c ,

valable à moins de 43.10 près.

44

Plus généralement, pour l’air atmosphérique, on pourra exploiter la propriété de susceptibilitémagnétique négligeable, soit 1r , par exemple en retenant en pratique comme définition de

l’indice de réfraction 1/ 2 1/ 2.déf

air r r rn .

b. Onde générale, spectre électromagnétique

i. Rappels sur la décomposition de Fourier

Une fois acquise la notion d’onde monochromatique, le traitement des ondesélectromagnétiques plus générales s’appuie largement sur la décomposition par transforméede Fourier, généralisation à des fonctions non périodiques de la décomposition en série deFourier.

Ainsi, dans un point de vue spatial, la transformée de Fourier TF se définit d’abord pour lesfonctions ( )f x (définies sur 3 et à valeurs complexes), dites « sommables »

(3

3( ) .f x d x ), par

3

3( ) ( ).exp .(2 . ). .TF f k f x i k x d x .

La transformée de Fourier de f est une fonction continue, tendant vers 0 à l’infini, et son« inversion » (lorsqu’elle-même est sommable) permet d’écrire f comme superposition (apriori infinie) de fonctions oscillantes élémentaires « monochromatiques », des exponentiellescomplexes :

3

3( ) ( ).exp( .(2 . ). ).f x TF f k i k x d k

( )TF f k apparaît donc comme le poids du « vecteur nombre d’onde » k dans cette« décomposition de Fourier » de f .

La physique travaille plutôt sur des fonctions de carré sommable (« d’énergie finie »,

3

2 3( ) .f x d x ) , lesquelles ne sont pas nécessairement sommables. Un argument

mathématique, dit « de densité », un peu compliqué, permet cependant d’étendre lesdéfinitions présentées ci-dessus à ces autres familles de fonctions.

Enfin, l’égalité de Parseval, un théorème très important en physique, lié à la décomposition deFourier, indique que « l’énergie », au sens du carré du champ décomposé, est additive dans ladécomposition : l’énergie totale d’une fonction est la somme des énergies de ses composantesmonochromatiques, soit

2 23 3( ) . ( ) .x k

f x d x TF f k d k

(2 3( ) .TF f k d k est l’énergie de f comprise dans la « bande de vecteurs nombre d’onde »

3,k k d k ).

45

Tous les résultats présentés ci-dessus en dimension 3 (dans le cas de 3 ) sont naturellementtransposables plus généralement en dimension quelconque « dim » (dans le cas de dim ) ;par exemple leur déclinaison en dimension 1, donc dans le cas de fonctions complexes d’uneseule variable réelle, fournit le cadre de la décomposition de Fourier par rapport au temps,c’est-à-dire en fréquences.

On pourra, quand nécessaire dans la suite, utiliser la dénomination générique de « modes »pour désigner les diverses caractéristiques de périodicité : vecteur nombre d’onde k , etsurtout nombre d’onde k , fréquence , longueur d’onde (voire pulsations , , ).

La répartition de l’énergie entre les modes porte le nom de spectre d’énergie de la fonction.Un mode dont le poids dans la décomposition de Fourier n’est pas nul, donc qui est présentavec une énergie non nulle dans le spectre, est dit « excité ».

Le spectre d’une fonction monochromatique pure, non nul seulement pour son vecteur d’ondeou sa fréquence propre unique, est constitué d’une « masse de Dirac ».On notera toutefois qu’une telle entité constitue en fait un concept mathématique, sansvéritable réalité physique : s’étendant sur tout l’espace et/ou le temps, son énergie totale seraitinfinie !

Le concept réaliste qui s’en approche le plus est le « paquet quasi-monochromatique »(« paquet d’ondes » par exemple), superposition de fonctions monochromatiques de modestrès proches d’une valeur centrale, et dont le spectre est donc non nul seulement sur la« largeur » du paquet, constituée de cette gamme « étroite » de vecteurs d’onde, ou defréquences, … autour de la valeur centrale.

ii. Onde électromagnétique générale

Toute superposition d’ondes électromagnétiques monochromatiques planes, du type de cellesintroduites plus haut, soit

30( , ) Re ( ).exp .2 . . ( ). .

k

E x t E k i k x k t d k

est solution des équations (linéaires) de Maxwell.

On peut montrer d’ailleurs qu’il s’agit là de la solution générale de ces équations en l’absencede sources, 0 ( )E k étant la transformée de Fourier du champ initial :

30 ( ) ( ,0).exp .2 . . .

x

E k E x i k x d x

Les relations ( ) .milieuk c k , 1k , 2 . , 2 .k montrent que l’on peut

indifféremment définir le spectre de l’onde en termes de fréquence (exprimé en hertz Hz ),

46

de nombre d’onde k (exprimé dans le présent cours en 1cm ), de longueur d’onde

(exprimée dans le présent cours en micromètres m , anciennement « microns »), voire de

pulsations , , et que les densités spectrales ainsi définies sont reliées entre elles.

La figure 2 indique en termes de fréquences et de longueurs d’onde les grandes divisions duspectre électromagnétique produit dans le monde physique, depuis le rayonnement del’univers (à l’extrémité des petites longueurs d’onde, des hautes fréquences et des énergiesélevées), jusqu’à celui des dispositifs électroniques humains et des machines électriques (àl’extrémité des grandes longueurs d’onde, des basses fréquences et des faibles énergies), enpassant notamment par le rayonnement des composants atomiques (noyau, électrons), et del’émission thermique, solaire et tellurique.

Figure 2– Les gammes de fréquences et de longueurs d’ondedu rayonnement électromagnétique.

47

Le présent cours, dédié au thème du rayonnement en météorologie dynamique, sera concernépar les seules parties de ce spectre « total » correspondant à l’émission thermique par :

d’une part le Soleil : rayonnement « solaire », dit aussi en météorologie « de petiteslongueurs d’onde »,

d’autre part les différentes composantes du système Terre-Atmosphère : rayonnement« tellurique », dit aussi en météorologie « de grandes longueurs d’onde ».

Ces deux domaines sont pratiquement séparés en longueurs d’onde (donc aussi en nombresd’onde et en fréquences) : en gros 0, 2 5m m pour le rayonnement solaire,

5 100m m pour le rayonnement tellurique.

On peut ici fixer le vocabulaire et les abréviations concernant cette zone 0, 2 100m mdu spectre en mentionnant que le spectre solaire se subdivise usuellement en domaines dits- « ultraviolet » (solaire) UV : 0,2 0, 4m m ,- « visible », correspondant aux radiations auxquelles l’œil humain est sensible :0,4 0,7m m du violet au rouge ,- « infrarouge » IR (proche infrarouge, ou infrarouge solaire) : 0,7 5m m ,et que le spectre tellurique appartient quant à lui entièrement au domaine « infrarouge ».

c. Considérations énergétiques

L’énergie électrique et l’énergie magnétique volumiques, locales et instantanées, de l’ondeélectromagnétique, ont respectivement pour expressions générales .élecw E D et

.magnw H B , soit, dans un milieu linéaire,2

.élec milieuw E et21 .magn

milieu

w B . L’énergie du

rayonnement électromagnétique .é mw est la somme de ces deux composantes.

Pour une onde monochromatique plane, les trajectoires du transport d’énergie sont lesrayons, déterminés en chaque point par le « vecteur de Poynting » E H , et le flux physiqued’énergie électromagnétique à travers une surface est déterminé par le flux mathématique dece vecteur de Poynting à travers la surface.

En moyenne sur une période, ou sur un intervalle très grand devant la période, les énergies

électrique et magnétique valent respectivement2

0.2

milieuélecw E et

20

1 .2magn

milieu

w B .

De .milieuB n k E résulte que l’énergie électromagnétique d’une telle onde peut

s’exprimer en fonction du seul champ électrique :2

. 2 .é m milieuw E ,2

0. .é m milieuw E (ou

du seul champ magnétique :2

. 2é mmilieu

Bw ,

20

.é mmilieu

Bw , mais c’est moins usuel).

48

Pour une onde électromagnétique générale, ces relations énergétiques restent valables, pourles valeurs locales et instantanées, grâce au caractère quadratique des énergies en jeu, et authéorème de Parseval.

Elles restent également (à peu près) valables en moyenne sur des intervalles très grandsdevant la plus grande périodicité excitée de l’onde, ce qui sera implicite dans le point de vue« macroscopique » adopté par la suite dans le présent cours.

C. Indice de réfraction

La permittivité électrique relative, ou « constante diélectrique », r , décrit essentiellement laréponse du milieu à un champ électrique : la « polarisabilité (électrique) », ou « susceptibilitéélectrique » élec , déjà définie plus haut comme coefficient dans la proportionnalité du

moment du dipôle électrique induit élecM au champ électrique inducteur E( . .élec vide élecM E ), est 1élec r , en vertu de . .élecvide milieuD E M E .

Elle dépend en réalité a priori du vecteur d’onde et de la fréquence.

Elle doit aussi être considérée comme potentiellement complexe dans un milieu possédant despropriétés absorbantes, avec la conséquence qu’il en est de même pour l’indice de réfraction

1/ 2milieu rn . Ce constat nécessitera d’ailleurs un retour sur certaines formules déjà

introduites, dans lesquelles on aurait pu croire un peu vite que r , milieu et milieun étaient réels.

Enfin, dans le cas général, la permittivité électrique (la conductivité aussi d’ailleurs) doit êtreconsidérée comme une grandeur tensorielle, mais elle se réduit naturellement bien à unscalaire dans les milieux isotropes, et c’est pourquoi on n’a pas jugé bon d’introduire cettecomplication dans ce qui précède.

La dépendance de r par rapport au vecteur d’onde peut être considérée comme négligeable(en dehors des milieux à très basse température, ou supraconducteurs).

Pour ce qui est de sa dépendance en fréquence, et de son caractère complexe, une explicationcorrecte doit être recherchée dans le cadre de la mécanique statistique quantique. On peuttoutefois appréhender ceux-ci à travers un modèle explicatif simplifié d’interaction entre lechamp électrique d’une onde monochromatique, et les électrons des molécules constituant lemilieu (ce modèle, dit parfois « de Drude », utilisé ici seulement comme illustrationpédagogique, ne considère donc que la polarisabilité électronique, ce qui en restreint lavalidité, en gros, aux fréquences optiques, comme cela apparaîtra plus bas).

Le milieu est supposé compter molécn molécules par unité de volume, et chaque molécule

comporter oscN « oscillateurs électroniques », dont iN ( i osci

N N ) ayant i pour pulsation

propre (les transitions électroniques sont supposées discrètes), et i pour amortissement(coefficient d’une « friction », supposée proportionnelle à la vitesse de l’électron). On note ici

électronq et électronm la charge, et la masse, respectivement, de l’électron.

49

La simple application de la loi fondamentale de la mécanique classique à un électron soumis à

un champ électrique monochromatique incident E oscillant à la fréquence2

( 0.exp . .E E i t ), à la force de rappel liée à sa fréquence propre d’oscillation, et àl’amortissement considéré, met en évidence (hors du régime transitoire), l’induction d’undipôle de moment . . ( ).élec vide molécmolécM n E , où

2

2 2

1( ) . .. .

défélectron i

molécivide électron i i

q Nm i

ne dépend pas de la masse volumique.

Pour un gaz, on peut négliger l’effet sur une molécule de la polarisation de sesvoisines, en raison de la distance de celles-ci, et s’en tenir à cette expression pour lapolarisation induite totale.Cette formule correspond à une polarisabilité ( ) . ( )molécmolécn , donc à une

permittivité (complexe) 1 . ( )r molécmolécn , et à un indice de réfraction complexe. ( )

' . " 12

molécmolécmilieu r

nn n i n (considérant la petitesse de la masse

volumique pour un gaz).

Séparant parties réelle et imaginaire, on peut obtenir l’expression des composantes del’indice de réfraction en fonction de la fréquence ou de la longueur d’onde. Pour unoscillateur unique de fréquence 0 , l’allure de la dépendance est donnée par lafigure 3.

Figure 3– Indice de réfraction complexe ' . "milieun n i n

au voisinage d’une fréquence naturelle 00 2

d’un milieu gazeux.

50

Dans le cas le plus général, un calcul approché montre que l’environnementmoléculaire immédiat du point courant y crée un champ électrique supplémentaire

1 .3

élec

vide

M , et que c’est le champ 1 .3

élec

vide

E M , et non E , qui doit intervenir dans

l’expression du moment dipolaire électrique . . ( ).élec vide molécmolécM n E introduite

plus haut, ce qui, compte tenu de . .élecvide milieuD E M E , conduit à

2. . ( ). .3

rélec vide molécmolécM n E ,

et donc à la formule de Lorentz-Lorenz pour l’indice de réfraction :

2

2

1 . ( )2 3

molécmilieumoléc

milieu

nnn

,

assez bien vérifiée pour les gaz et les liquides.

Lorsque l’indice de réfraction est complexe, soit ' . "milieun n i n ( ', "n n réels), la vitesse de

phase de l’onde est reliée à la partie réelle de l’indice ('

videphase

ccn

), alors que la partie

imaginaire de l’indice décrit une atténuation de l’onde lors de la traversée du milieu, par suitedu transfert d’énergie du mouvement oscillatoire des électrons vers d’autres formesd’excitation (amortissement par émission radiative notamment), et avec une distance

caractéristique (réduction d’un facteur e ) égale à. "vide

extc

n.

Pour le voir, il suffit - ce n’est pas difficile - de mettre l’expression du champ électrique d’uneonde plane monochromatique 0( , ) .exp .( . . )E x t E i z t (avec ici l’axe Oz selon le

vecteur d’onde, c’est-à-dire selon la propagation), sous la forme

0. ' . "( , ) .exp .( . . ) .exp .vide vide

n nE x t E i z t zc c

.

On définit traditionnellement un « coefficient d’extinction » extk , sans dimension physique,

par "'

déf

extnkn

(soit '.(1 . )milieu extn n i k ).

En général, " 'n n , ' milieun n , donc videphase

milieu

ccn

, et le coefficient d’extinction introduit

s’interprète en termes du rapport de la longueur d’onde à la distance caractéristique

d’extinction : " "' 2 .ext

milieu ext

n nkn n

.

51

D. Polarisation d’une onde monochromatique

La polarisation d’une onde monochromatique plane caractérise la direction de son champélectrique dans le plan de l’onde.

Pour présenter les notions de base en la matière, on choisit ici un repère orthonormé défini par

ses vecteurs unitaires ( , , )x y zke e ek

, tel que Oz soit défini par le vecteur nombre d’onde k ,

( , )x ye e constituant donc un repère dans le plan de l’onde.

Il est aussi intéressant de définir les vecteurs de base complexes.

2

défx ye i e

e ,.

2

défx ye i e

e .

Les résultats classiques qui suivent découlent de la relation

0 0( , ) Re . . .exp .( . . )x x y yE x t E e E e i x t ,

dans laquelle on n’oublie pas que les amplitudes 0xE et 0 yE sont complexes, soit

0 0 0.exp( . )x x xE E i , 0 0 0.exp( . )y y yE E i :

si 0xE et 0 yE sont déphasées d’un multiple de , la direction du champ électrique est

invariable dans le temps ( 00

0 0

yy

x x

EEE E

), la polarisation est dite linéaire.

Une onde polarisée linéairement peut toujours s’écrire sous la forme( , ) . .exp .( . . )E x t C e i x t , où C , et e est un vecteur unitaire réel.

si 0xE et 0 yE sont déphasées d’un multiple impair de2

, l’extrémité du champ électrique

décrit une ellipse (qui peut être un cercle), dans le sens trigonométrique (polarisation« gauche ») ou horaire (polarisation « droite ») pour un observateur disposé selon k ; lapolarisation est dite circulaire si 0 0x yE E , elliptique si 0 0x yE E .Une onde à polarisation circulaire gauche (resp. droite) peut toujours s’écrire

( , ) . .exp .( . . )E x t C e i x t , (resp. ( , ) . .exp .( . . )E x t C e i x t , où C .

si le déphasage de 0xE et 0 yE est quelconque (n’est pas un multiple de2

), la

polarisation est toujours elliptique, l’axe principal de l’ellipse décrite par l’extrémitédu champ électrique faisant avec l’axe Ox un angle ellpol défini par

0 0

0 00 022

.(2 ) 2 .cos( )

x y

x yellpol x y

E Etg

E E, et les demi-axes ellpola et ellpolb de

l’ellipse vérifiant la relation222 2

0 0ellpol ellpol x ya b E E (figure 4).

52

Figure 4– Lieu géométrique de l’extrémité du champ électriquedans le plan de l’onde monochromatique, dans le cas général de la polarisation elliptique.

Ainsi, la polarisation générale d’une onde électromagnétique plane monochromatique est elliptique.

Du fait que tout vecteur unitaire réel e peut être décomposé sous la formeexp( . ). exp( . ).e i e i e résulte que toute onde à polarisation linéaire peut être

considérée comme superposition de deux ondes à polarisation circulaire de phases opposées.

Quant à la polarisation elliptique, elle peut toujours être considérée comme superposition dedeux polarisations linéaires: 0 0 0. .E E e E e , les amplitudes 0E et 0E étant complexes.

Les éléments de description de la polarisation d’une onde électromagnétique générale serontprésentés plus loin directement dans le cadre macroscopique.

E. Aspects photoniques

a. Pourquoi ?

Le photon est un concept introduit en 1905 par Albert Einstein pour représenter lesinteractions entre les rayonnements électromagnétiques et la matière (voir chapitre XIII, -XIII. 3. C.-).

Les photons sont des « paquets » élémentaires d'énergie électromagnétique, ou des « quantade rayonnement électromagnétique », une sorte de concentré de l'énergie et de la quantité demouvement (pression de radiation) des rayonnements électromagnétiques.

53

b. Premières « visualisations » du photon

i. Bille d’énergie électromagnétique

L’image possible la plus primaire du photon est celle de la « bille d’énergie » : dans laconception photonique, le rayonnement électromagnétique serait composé de« grains d’énergie », voyageant à 1300000 .km s dans le vide (dans la matière, les photons sedéplacent plus lentement, à une vitesse déterminée par la valeur de l'indice de réfraction dumilieu).

L’énergie transportée par chaque bille dépend de la fréquence , et vaut .h ( h étant lacélèbre constante physique universelle de Planck », de valeur 346,626075.10 .J s ).

Cette vision ne permet pas d'expliquer correctement toutes les propriétés de la lumière et desrayonnements électromagnétiques.

ii. Paquet d'onde

Une autre vision des photons est celle des « paquets d'onde » : la courbe décrivant l'ondeélectromagnétique n'est pas une sinusoïde d'extension infinie, elle est plutôt une sinusoïdemodulée par une enveloppe comportant une zone concentrée d'amplitude importante, et, depart et d’autre de cette partie centrale, des « ailes » d’amplitude rapidement décroissante.

Ce modèle d’appréhension du photon est insuffisant: dans une telle configuration, le photondevrait s'élargir (« s’étaler ») au fur et à mesure de sa progression, et l'énergie devrait être demoins en moins concentrée. Or, on observe que les photons conservent en fait leurs propriétésaprès un trajet d’un très grand nombre d’années-lumière.

c. Dualité onde-corpuscule

Le rayonnement doit en réalité être considéré sous le double aspect ondulatoire etcorpusculaire, et le rôle du photon ne peut se « visualiser » raisonnablement bien qu'aumoment de l'interaction entre rayonnement et matière : on peut, par exemple, imaginer lephoton comme une « concentration », qui se concrétise au moment de l'interaction, puiss'étale, et se reforme au moment d'une autre interaction ; en dehors de toute interaction, on nesait pas -et on ne peut pas savoir- quelle « forme » prend le rayonnement, et on ne peut pasparler de « localisation », ni de « trajectoire », du photon.

Il vaut mieux d’ailleurs considérer le photon comme une particule fondamentale quantique parmid’autres (chapitre XIII, -XIII. 3. C.-), d'énergie bien déterminée, et de masse nulle, c'est-à-dire,non comme une « bille » localisée, mais comme un objet mathématique, défini par une fonctiond'onde donnant sa probabilité de présence.

Dans le cas particulier du rayonnement électromagnétique, la fonction d'onde est aussi l'ondeélectromagnétique, et cette onde électromagnétique a donc deux significations:

54

une signification classique: lorsque le flux d'énergie est suffisamment important, ellereprésente les champs électrique et magnétique mesurables par un appareilmacroscopique ;

une signification quantique: elle représente la probabilité de présence des photons,c'est-à-dire la probabilité qu'en un endroit donné il y ait une interaction quantifiée(c'est-à-dire d'une énergie .h déterminée).

Un photon monochromatique de fréquence , donc d'énergie .h , et de quantité de

mouvement .hc

, devrait correspondre à une « sinusoïde infinie », et on ne peut obtenir un

paquet d'onde que si l'on a un spectre d'une certaine largeur (par exemple de type gaussien).

En fait, comme dans tout phénomène quantique, il existe une incertitude sur la quantité demouvement (donc une certaine largeur de spectre), et sur la position. Si le photon nereprésente qu'une seule longueur d'onde (celle du maximum du spectre, celle de la sinusoïdeinscrite dans l'enveloppe), il est en fait décomposable en une superposition de fonctionsharmoniques de longueurs d'onde voisines (les autres composantes du spectre).

Le photon respecte les inégalités de Heisenberg: si l'on connaît avec précision sa position(c'est-à-dire si le paquet d'onde est étroit), l'incertitude sur sa quantité de mouvement estimportante. Au moment de l'interaction, le photon est bien localisé, donc la dispersion de laquantité de mouvement est grande. Juste après l’interaction, la dispersion de quantité demouvement fait que le photon est moins bien localisé, le photon s'est étalé ; sa « forme »s'étant rapprochée de celle de la sinusoïde « idéale », son spectre s'est rétréci.

L’ambivalence entre les visualisations ondulatoire et photonique du rayonnementélectromagnétique ne manque certes pas d’être troublante.

Sans doute convient il de se convaincre qu’il s’agit de deux facettes partielles de descriptiond’une entité plus complexe qui ne se réduit ni à l’une, ni à l’autre ; une image simpliste qui estparfois avancée pour préciser ce point de vue, dans un cas où l’on a une meilleure idée de« l’entité complète », est celle du cylindre courant, qui peut apparaître comme un cercle, oucomme un rectangle, selon l’angle d’observation, alors qu’il n’est ni l’un ni l’autre.

2. INTERACTION ENTRE MATIEREET RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE

A. Quantification des échanges, lignes d’absorption/émission

a. Principes physiques de base

i. Ingrédient de base : une structure polaire dans la molécule

Les mécanismes d’interaction entre matière et rayonnement électromagnétique qui vont êtreévoqués sont fondamentalement quantiques.

55

L’expérience montre qu’ils peuvent cependant être appréhendés, et d’une certaine façon« visualisés », par le truchement de l’oscillation de charges électriques.

Les liaisons atomiques sont composées de charges électroniques, et, si les moléculesconstituant la matière sont électriquement neutres, l’agencement particulier des atomes lesconstituant, et/ou les mouvements électroniques et atomiques au sein des molécules, peuventinduire en leur sein une structure multipolaire (dipôles, voire quadripôles, électriques etmagnétiques).

L’action des champs oscillants de l’onde électromagnétique sur la matière se traduit alors parune modification de cette structure, et par l’induction résultante de changements d’état desmolécules.

L’existence d’une structure multipolaire est une condition nécessaire de la possibilitéd’interaction avec une onde électromagnétique.

En pratique, on peut n’imaginer que des interactions dipolaires électriques, incomparablementplus intenses et efficaces -un facteur 510 - que les interactions dipolaires magnétiques, et queles interactions quadripolaires électriques -un facteur 810 -.

Par exemple, un dipôle peut se constituer si le centre de gravité des électrons de liaison necoïncide pas avec celui des charges nucléaires.

Les molécules se comportent différemment de ce point de vue, de celles qui ne peuvent pasprésenter de dipôles, à celles qui présentent un dipôle permanent, en passant par d’autresencore, polarisables, qui peuvent se voir induire un dipôle, de manière transitoire, par unchamp électrique externe.

ii. Formes d’énergie moléculaire

Hors les formes d’énergie liées aux processus nucléaires et aux liaisons chimiques, que l’onécarte ici, l’énergie propre molécE d’une molécule, constituée de atomesN atomes, est la sommede ses énergies, classées de la plus faible à la plus élevée (progression par puissances de 10 ) :

de translation transE , émargeant pour 3 degrés de liberté : énergie cinétique dumouvement moyen et énergie d’agitation thermique,

de rotation rotE , liée aux mouvements de rotation de la molécule autour de ses axesprincipaux, soit 3 (cas général) , ou 2 (molécule linéaire) degrés de liberté,

de vibration vibE , liée aux mouvements relatifs des atomes de la molécule, en tout3 6atomesN (cas général) ou 3 5atomesN (molécule linéaire) degrés de liberté,

électronique élecE , déterminée par les niveaux des « orbitales moléculaires » occupéespar les électrons, avec possibilité de saut vers des orbitales vacantes,

soitmoléc trans rot vib élecE E E E E .

56

iii. Quantification des échanges élémentaires

Les trois dernières composantes de l’énergie moléculaire listées ci-dessus sont quantifiées :elles ne peuvent prendre que des valeurs discrètes bien précises, caractéristiques de lamolécule, et qui obéissent à des règles dites « de sélection » ; leur variation correspond donc àdes valeurs bien définies d'énergie, différences entre les énergies des « niveaux quantiques »final et initial de la molécule.

Pour chaque forme d’énergie, on distingue l’état « fondamental », plancher énergétique danslequel se trouve habituellement la molécule, et les états « excités », dans lesquels elle peut setrouver pour des durées limitées, avec une probabilité variable, en général plus élevée pour lesétats les plus proches en énergie de l’état fondamental.

Ainsi, l’absorption, ou l’émission, d’un photon, par la molécule, est-elle associée à lavariation d’un état quantique bien défini de celle-ci : à une variation d’énergie 0E de lamolécule correspond une fréquence d’absorption, ou d’émission, bien précise, 0 , donnée par

0 0.h E .Si la molécule est au repos, et si elle est dans un état quantique stable parfaitement défini,l’absorption, ou l’émission, ne peut donc être que « monochromatique », avec la fréquenceexacte 0 , ce qui correspond à une « ligne spectrale » bien définie dans le « spectred’absorption », ou dans le « spectre d’émission », décrivant la variation de l’intensité del’absorption, ou de l’émission, avec la fréquence (ou la longueur d’onde, ou le nombred’onde).

Ce spectre lui-même n’est donc pas continu, avec une intensité continûment variable selon lafréquence (ou la longueur d’onde, ou le nombre d’onde), mais il est théoriquement constituéd’un ensemble discret de lignes ; on peut cependant déjà mentionner ici que, pour diversesraisons, les lignes sont dans la réalité inévitablement « élargies » en « raies » plus ou moinsétroites ; ce point sera traité au chapitre V (V. 1. B.).

Typiquement les nombres d’onde correspondant aux changements d’énergie possibles sont de10 500 cm pour la forme rotatoire (micro-ondes, infra-rouge lointain), de 1500 2000 cm

pour la forme vibratoire (infra-rouge), et supérieures à 110000 cm pour la forme électronique(visible, ultraviolet) (figure 5).

Les transitions peuvent concerner les trois formes d’énergie simultanément.

Dans le présent cours, qui se limite aux domaines de longueurs d’onde 0, 2 100 m , donc

de nombres d’onde 1100 33000 cm , et de fréquences 12 153.10 1.10 Hz , les formesprivilégiées de transition sont de type vibration-rotation, mais les transitions électroniques nesont pas exclues.

iv. Dégradation macroscopique en chaleur

Enfin, on n’oubliera pas, pour un ensemble de molécules, l’inévitable conversion en chaleurde l’énergie reçue sous forme radiative.

57

Dans le cas du gaz parfait, pertinent pour l’atmosphère, la visualisation de ce phénomène estplus aisée : les chocs moléculaires peuvent provoquer, en même temps que le retour à l’étatfondamental d’une molécule ( retour « anticipé » par rapport à une émission radiative à venir),l’augmentation de l’énergie cinétique de translation, donc de l’énergie d’agitation thermique,de son « adversaire » dans le choc, ce qui, statistiquement, au niveau macroscopique, setraduit par l’augmentation de l’énergie thermique de l’ensemble des molécules. On yreviendra un peu plus bas (B. b.).

Figure 5 - Positionnement spectral des interactions élémentairesentre matière et rayonnement électromagnétique.

b. Illustration : transitions rotatoires et vibratoires du dioxyde de carbone

L’illustration classique, qui permet aussi d’introduire la notion de « bande » d’absorption-émission, est celle de la molécule linéaire de dioxyde de carbone 2CO , schématisée iciO C O . Pour éviter l’inflation, on n’évoquera pas ici les aspects électroniques.

58

Du point de vue rotatoire, soit2COI le moment cinétique de la molécule autour d’un axe qui

lui est normal. L’analyse quantique de ce mouvement de rotation, considérant la moléculecomme rigide, conduit à

- la quantification2. . .( 1)

2COhI j j du moment angulaire, de sorte que celle de

l’énergie de rotation est 2

2

2 2

2

. .( 1).2 8

COrot

CO

I h j jEI

, où j est un entier naturel ;

- la règle de sélection 1j pour les variations autorisées du nombre quantique j .

On prévoit ainsi un spectre de rotation composé de lignes équidistantes, espacées en

fréquence de2

2

( 1) ( ) ( 1).4 .

rot rot rotrot

CO

E E j E j hjh h I

(pour 1j ).

En réalité, l’espacement des lignes est légèrement variable, la molécule n’étant pas vraimentrigide, et le moment d’inertie étant influencé par la rotation elle-même (à travers l’étirementcentrifuge de la molécule), et par l’état vibratoire de la molécule. Ces effets sont calculables,mais on n’y insiste pas ici.

La figure 6-a montre la « bande » d’absorption de rotation du 2CO autour de la longueurd’onde 2,7 m , constituée de lignes (en réalité de raies), plutôt régulièrement espacées.

Cette simplicité rotatoire, et ses conséquences sur la simplicité de la structure des raies, seretrouvent pour les molécules à un seul moment d’inertie, comme les molécules diatomiqueset certaines molécules poly-atomiques linéaires ( 2 2, ,...CO N O ) ou à symétrie sphérique( 4CH ) ; mais pour les molécules à géométrie rotatoire plus compliquée, avec des momentsd’inertie distincts (deux, comme pour les molécules symétriques - 3NH -, ou trois, commepour 2H O , ou 3O ), le spectre d’absorption rotatoire peut être très complexe.

Pour dissiper l’impression induite par l’exemple pédagogique de la bande de rotation du 2COque les spectres seraient généralement réguliers, la figure 6-b montre une portion du spectred’absorption rotatoire de la vapeur d’eau 2H O .

Du point de vue vibratoire, la molécule de 2CO présente quatre modes, schématisés de façonévidente ci dessous :

- un mode « d’élongation symétrique » : O C O , de fréquence propre fondamentale 1

(correspondant à 11388,3k cm , 7, 20 m )

- un mode « d’élongation asymétrique » : O C O , de fréquence propre fondamentale 2

(correspondant à 12349,3k cm , 4,3 m )

59

- deux modes « de pliage » (en réalité le même mode dans deux directions perpendiculaires) :

O C O et O C O , de même fréquence propre fondamentale 3 (correspondant à1667,3k cm , 15 m ).

L’analyse quantique de ces mouvements de vibration conduit à la quantification

1 1 2 2 3 31 1 1( ). . ( ). . ( ). .2 2 2vibE j h j h j h , les j étant des entiers naturels.

Figure 6 – Allure des spectres d’absorption mesurés à haute résolution autour de 2,7 m(a) du dioxyde de carbone; (b) de la vapeur d’eau.

Le mode spectral est ici repéré par le nombre d’onde, exprimé en 1cm( 2,7 m correspondant à 13700 cm ).

L’intensité des raies correspond à une mesure de l’absorption, non précisée ici.

Les lignes (raies) d’absorption de vibration du 2CO dans la bande associée à la fréquencefondamentale sont liées à des transitions de j ; noter cependant qu’il n’y a pas de bandeassociée au mode d’élongation symétrique, qui ne génère pas de variation de momentdipolaire susceptible d’interagir avec le rayonnement, et est donc « inactif », par oppositionaux autres modes de vibration, dans lesquels un moment dipolaire non nul apparaît àl’extrémité de chaque vibration, alors que le moment dipolaire est nul à la positiond’équilibre.

61

énergie à un photon moins énergétique (l’autre partie étant transmise à l’électron éjecté), c’estlà l’effet Compton.

Compte tenu de la partie du spectre que considère le présent cours, la diffusion Compton n’ysera pas pertinente.

Plus précisément, la forme de l’interaction entre rayonnement et matière dépend de l’énergiedu photon incident.

b. Processus d’émission et d’absorption

Si l’énergie du photon incident est égale à la différence entre les énergies d’un état excité etde l’état fondamental de la molécule (de tels photons peuvent par exemple exister au sein d’unrayonnement incident à spectre continu), c’est l’un des processus élémentaires suivants quiprend place.

désexcitation radiative (émission) spontanéeLa durée de vie d’une molécule dans un état d’énergie supérieure supE (dit « excité »)

est limitée à une valeur ( )sup

viet , en général de l’ordre de 610 s à 910 s : la moléculepasse spontanément à un niveau inférieur plus stable, dit « fondamental », d’énergie

infE , en émettant un photon de fréquence sup infE Eh

. Le nombre de molécules supN

dans le niveau supérieur varie dans le temps par ce processus selonsup sup

( )sup

vieém

dN Ndt t

, et ( )sup

1viet

représente la probabilité d’émission spontanée par

unité de temps. Pour certains couples de niveaux, celle ci peut être nulle : la transitioncorrespondante est alors interdite.L’émission spontanée se produit sans direction privilégiée.

excitation radiative (absorption)C’est le processus inverse de l’émission spontanée: un photon de fréquence estabsorbé par une des infN molécules situées dans le niveau infE , et celle-ci passe enconséquence au niveau supérieur sup inf .E E h .Le nombre de molécules qui absorbent par unité de temps est proportionnel au nombrede molécules susceptibles d'absorber, et à la densité volumique spectrale

d’énergie w : infinf. .abs

abs

dN b w Ndt

, absb étant le « coefficient d’Einstein pour

l’absorption ».

désexcitation radiative (émission) induite, ou stimuléeDans ce processus, la transition du niveau supE vers le niveau infE est stimulée par

l’action d’un photon incident de fréquence sup infE Eh

. Le photon produit par cette

désexcitation est indiscernable du photon incident ; il est émis dans la même directionet avec la même phase, et vient renforcer le rayonnement incident, l’émission induiten’est pas isotrope. Le phénomène est représenté par la relation

62

supinf. sup

. .

. .ém indém ind ém ind

dNdN b w Ndt dt

, le coefficient .ém indb , « coefficient

d’Einstein pour l’émission induite » étant égal au coefficient d’Einstein pourl’absorption : .ém ind abs Einsteinb b b .

Emission spontanée, absorption, et émission induite impliquant les mêmes niveaux seproduisent en même temps dans la même population de molécules, de sorte que :

sup supinfsup inf ( )

sup

. .( )Einstein vie

dN NdN b w N Ndt dt t

.

Statistiquement, ce mécanisme d’émission et d’absorption permet notamment d’expliquer lerayonnement thermique du corps noir (chapitre XIV, paragraphe 2), qui fournit un spectrecontinu, et constitue le processus fondamental, considéré dans le présent cours, de l’émission« macroscopique » du rayonnement par la matière.

désexcitation non radiativeIl convient de noter enfin que les interactions moléculaires -les « chocs moléculaires »,à la limite du gaz parfait atmosphérique pertinent dans le présent cours- provoquentsouvent quant à elles, avant que la désexcitation radiative puisse avoir lieu au sein dela molécule (la durée moyenne d’un libre parcours moléculaire est de l’ordre de

1010 s dans la basse troposphère), une « désexcitation non radiative », qui se traduitpar un échange d’énergie avec l’environnement de la molécule, c’est-à-dire avec lesautres molécules.

Au final, tout se passe donc comme si ce mécanisme transformait l’énergie radiative,emmagasinée par les degrés de liberté quantiques de la molécule excitée, en énergiecinétique d’agitation thermique d’autres molécules, donc, statistiquement parlant, enénergie calorifique.

Il s’agit donc d’un processus de base de l’absorption « macroscopique » durayonnement par la matière gazeuse.

c. Processus de diffusion

i. Processus de base : diffusion par des molécules libres

L’énergie du photon incident (par exemple au sein d’un rayonnement incident à spectrecontinu) ne vérifie pas toujours une aussi restrictive condition que d’être égale à la différenceentre les énergies d’un état excité et de l’état fondamental de la molécule.

La matière est « transparente » à de tels photons, au sens où il n’y a pas absorption, mais pourautant elle n’est pas sans effets sur le rayonnement : la réaction de la molécule prend alors desformes différentes de l’absorption-émission, que l’on regroupe sous le concept de diffusion.

La diffusion est un phénomène dans lequel le rayonnement subit une déviation en directionsmultiples, le plus souvent sous forme « élastique » ou « de Rayleigh » (c’est en tous castoujours le cas dans le présent cours), c’est-à-dire sans perturbation d’aucune des formes de

63

l’énergie moléculaire (surtout si l’énergie du photon est très différente des valeurs quantifiéesde ces énergies), donc sans changement de fréquence, mais avec en général modification de lapolarisation.

L’éparpillement des directions, et la réponse en puissance, dans la diffusion, résultent d’unphénomène microscopique complexe que l’on ne détaillera pas ici, et pour l’explicationduquel il est d’usage de reprendre plutôt une image ondulatoire. Ainsi, par exemple, onconsidère que l’onde incidente met en mouvement les électrons liés de la molécule, créantainsi au sein de la matière des dipôles oscillants qui émettent à leur tour, généralement à lamême fréquence que l’onde incidente, un rayonnement plus ou moins isotrope.

Il s’agit donc évidemment du modèle déjà introduit plus haut pour présenter l’indice deréfraction (1. C.), dans lequel les effets quantiques sont pris en compte par le choix desfréquences propres, et les effets de dissipation thermique par le coefficient de friction.

Pour les molécules mono-atomiques, seules effectivement les fréquences propresélectroniques interviennent ; pour les molécules poly-atomiques s’ajoute la possibilité devibrations et de rotations atomiques, de fréquences propres plus basses et d’amplitudes bienplus faibles (à cause des masses en jeu bien plus importantes).

Lorsque l’énergie du photon est inférieure à toute énergie de transition électronique, ce qui setraduit par ,i i avec les notations de 1. C., l’accélération de l’électron, induite parl’onde incidente (de pulsation , et de longueur d’onde , …), est trouvée proportionnelle à

2.cos .t , ce qui correspond à une puissance rayonnée proportionnelle à 4 2. .cos t ,

donc à une puissance moyenne proportionnelle à 4 , c’est-à-dire à 4

1 : c’est la célèbre loi

de diffusion en 4 de Rayleigh, sur laquelle on reviendra au chapitre V (V. 1. A.).

Cette première approche du phénomène de diffusion intervient traditionnellement dansl’explication qualitative d’un certain nombre de phénomènes, comme :

la couleur bleue du fond du ciel : les molécules d’air, éclairées par la lumière blanchedu soleil, ré-émettent par diffusion en 4 une lumière majoritairement bleue, lapuissance rayonnée dans cette zone du spectre étant d’un ordre de grandeur supérieureà celle rayonnée dans le rouge ;

la couleur du soleil, rouge à l’horizon ou par brume, jaune (et non blanc) au zénith : lalumière bleue du rayonnement solaire direct est plus atténuée que le rouge, et d’autantplus que le soleil est bas sur l’horizon, donc que la lumière traverse plus d’atmosphèreet/ou que les couches traversées sont plus denses.

ii. Formes de diffusion plus complexes

Dans l’atmosphère, la diffusion a lieu dans l’interaction du rayonnement électromagnétiqueavec les molécules des gaz, les molécules des « particules » liquides et solides en suspension(fumées, poussières, gouttelettes et cristaux des nuages, …), les molécules d'une interfaceentre deux milieux (principalement surface terrestre et ses irrégularités).

64

En présence de plusieurs éléments diffusants, il peut se produire des phénomènesd’interférences entre ondes diffusées. Ce phénomène, dans sa manifestation la plus simple,résulte de la superposition de deux ondes cohérentes, c’est-à-dire de même longueur d’onde

et de différence de phase constante dans le temps.

Par exemple, on peut montrer que l’intensité résultant de la superposition de deux ondessphériques cohérentes, émises par deux sources distantes de sourcesd est, à grande distance dessources, et dans la direction repérée par rapport à une normale à la direction joignant les

deux sources, proportionnelle à 2 . .sincos sourcesd .

L’interférence est donc « constructive » (il y a conjugaison, et renforcement mutuel, desénergies) si .sin .sourcesd m , et « destructive » (il y a « production d’obscurité par

l’addition de lumières » ) si 1.sin .2sourcesd m , où m .

La ré-émission diffusive a lieu de façon incohérente lorsque les molécules sont réparties defaçon aléatoire, essentiellement dans le milieu gazeux atmosphérique. Mais elle peut donnerlieu à interférences -sur un fond de diffusion incohérente résiduelle en général faible- lorsqueles molécules présentent certains ordonnancements, par exemple dans les nuages, ou dans lapartie superficielle de la « surface terrestre » ; ces interférences agissent en général de façonconstructive dans la direction du faisceau incident, et de façon plutôt destructive dans lesautres directions.

A titre introductif aux différentes configurations de diffusion dans l’atmosphère, on peutévoquer ici deux tels exemples de modifications de la diffusion moléculaire par un certainarrangement des molécules :

la couleur plutôt blanche de l’intérieur des nuages : bien que les molécules d’eaudevraient réagir de façon assez semblable aux molécules d’azote et d’oxygène de l’aircompte tenu de leurs résonances propres, les interférences entre ondes diffusées, liéesà leur disposition plus ou moins régulière dans la phase liquide des gouttelettes,interviennent de façon presque totalement destructive dans toutes les directions autresque celles du rayonnement incident, de sorte que la diffusion incohérente résiduelle« bleue » est très faible, bien plus faible que la diffusion Rayleigh dans l’air ;

la réflexion sur une surface solide ou liquide : au sein du milieu, hors la diffusionincohérente résiduelle, le renforcement par interférences constructives des ondes ré-émises par diffusion crée une onde réfractée. Sauf dans une mince pellicule de surface,

d’épaisseur de l’ordre de2

, au sein de laquelle les ré-émissions sont en phase, les

interférences sont complètement destructives, de sorte que se crée une onde réfléchiede même spectre que celui de l’onde incidente. En effet, l’intensité de l’onde réfléchieest proportionnelle à l’intensité rayonnée par chaque oscillateur, en 4 , et au carré dunombre d’oscillateurs, que l’on peut montrer (par recours au schéma dit « des anneauxde Fresnel ») être lui-même proportionnel à 2 , donc au final indépendante de lalongueur d’onde incidente.

65

iii. Classification des régimes de diffusion

Au delà de ces premières considérations élémentaires et partielles, les caractéristiquesmacroscopiques de la diffusion dépendent au final de façon déterminante des caractéristiquesde l’onde incidente d’une part, et des agents diffusants « effectifs » que sont les molécules, lesparticules liquides ou solides, les irrégularités de la surface terrestre, …

Par exemple, lorsque la longueur d’onde du rayonnement incident n’est pas très grande devantla dimension caractéristique de l’agent diffusant, des ondes cohérentes sont excitées au seinde l’agent, et les interférences entre ces ondes causent des renforcements ou extinctionspartiels de l’intensité radiative dans certaines directions.

Concrètement, les facteurs importants sont a priori la densité de la matière diffusante, laforme géométrique et l’indice de réfraction des agents diffusants, et le rapport entre lalongueur d’onde du rayonnement incident et la dimension caractéristique difd des agentsdiffusants (par exemple le rayon pour une particule sphérique).

On traitera au chapitre V, de ce point de vue, des cas les plus pertinents dans l’atmosphère.

On profite cependant de cette introduction pour proposer une synthèse simplifiée desdifférentes configurations de diffusion, dans le cas de particules sphériques ; on distingue,

selon la valeur du rapport2 .déf

difdif

d(figure 7):

le régime de diffusion négligeable, dans lequel les agents diffuseurs sont de taillebeaucoup plus petite que la longueur d'onde : 310dif ;

le régime de diffusion « de Rayleigh », évoqué ci-dessus, dans lequel la dimensioncaractéristique des agents diffusants reste très petite devant la longueur d'onde :

3 110 10dif , et dans lequel l’énergie diffusée est proportionnelle à 4 ;

le régime de diffusion « de Mie », dans lequel la taille des agents diffusants est del'ordre de grandeur de la longueur d'onde : 1 210 5.10dif ;

le régime de diffusion « non sélective », dans lequel les agents diffusants ont desdimensions très grandes devant la longueur d'onde : 25.10dif , et dans lequell’énergie diffusée dépend peu de la longueur d’onde ; ce régime inclut les réflexionsdites « spéculaire » (c’est-à-dire selon les lois de l’optique géométrique de Descartes)et « lambertienne », pertinentes pour la surface terrestre (chapitre VII -VII. 2.-) .

La gamme de longueurs d’onde dans laquelle opère le présent cours étant 0, 2 100m m ,voici, pour aider à fixer les idées, quelques ordres de grandeur de difd : molécules d’air :

410 m ; aérosols : 0,1 m à 1 m ; gouttelettes d’eau des nuages : 5 50m m ; cristauxde glace des nuages : 15 100m m ; précipitations liquides : 100 1000m m ;précipitations solides : 100 10000m m (sans oublier les animaux volants, avec quelques

66

mm ou cm pour les insectes ou quelques cm ou dm pour les oiseaux, ni les aéronefs avecquelques dizaines de mètres…).

Figure 7 – Les différents régimes de diffusion, selon la longueur d’ondedu rayonnement incident et la dimension caractéristique de l’agent diffusant.

d. Retour sur le modèle dipolaire d’interaction entre matière et rayonnement

On a déjà évoqué le fait que, en dépit du caractère quantique avéré des mécanismesd’interaction entre matière et rayonnement au niveau moléculaire, le recours au modèleclassique d’excitation de dipôles électriques par l’onde incidente, évoqué déjà à plusieursreprises à propos de ces mécanismes, s’avère pertinent et utile. Voici un argument en safaveur, dans le cadre illustratif des transitions de type électronique.

L’expression du champ électromagnétique créé au loin par un dipôle électrique oscillant (quel’on aura l’occasion d’utiliser au chapitre V -V. 1. A.-, à l’occasion du traitement de ladiffusion du rayonnement par les gaz atmosphériques) est introduite (et sa démonstrationesquissée), en annexe du présent cours, au chapitre XIV, paragraphe 1.

67

On extrait ici le résultat partiel que le dipôle oscillant 0( ) .cos( . )dipôleM t M t crée (dans le

vide pour fixer les idées), au loin (2 2 .

cx ), dans la direction faisant l’angle avec

le moment du dipôle, un champ électrique de module

20

2

. . cos . / .sin( , )

4 . . .dipôle

vide

M t x cE x t

x c.

S’il s’agit d’un dipôle « électronique », .dipôle électronM q , étant ici l’élongation de lacharge oscillante.

Il en découle, par simple calcul, que la puissance électromagnétique rayonnée totale (intégrée

sur le temps et sur toutes les directions) est2 40

3

.1 .4 . 3vide

Mc

.

Or cette puissance rayonnée correspond au taux de décroissance de l’énergie2 20

1 . . .2dipôle électronw m du dipôle. On a donc dipôle dipôledw w

dt, soit

(0).exp( )dipôle dipôletw w ,

où3

2

3 .4 . .2 .

défélectron

videélectron

m cq

est le temps caractéristique de décroissance de l’énergie dans le

processus (décroissance d’un facteur e ).

Ce résultat est cohérent avec les caractéristiques principales observées des durées de vie des

états quantiques : la dépendance en fréquence en 2

1 , et l’ordre de grandeur (de l’ordre de

quelques nano-secondes dans le visible).

68

III. L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF

Les lois physiques macroscopiques gouvernant les phénomènes radiatifs peuvent se classifier(très grossièrement, et pas de manière complètement exclusive !) en deux catégories :

les lois « universelles », qui s’expriment indépendamment de la nature précise de lamatière en interaction avec le rayonnement ;

les lois « particulières », qui s’expriment spécifiquement selon les propriétésradiatives propres à la matière en interaction avec le rayonnement.

Après avoir fixé la définition des différentes grandeurs de description macroscopique durayonnement électromagnétique, ce chapitre traite plutôt de la première catégorie de lois, etson fil directeur est l’établissement de l’équation du transfert radiatif (ETR) au sein d’unmilieu matériel, en en particularisant déjà certains aspects au cadre atmosphérique.

La façon de préciser les coefficients d’interaction introduits dans ce chapitre, et d’aborder letraitement de l’équation, fera l’objet des chapitres V à IX.

1. LES GRANDEURS DE DESCRIPTION MACROSCOPIQUEDU RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE

A. Le point de vue « macroscopique »

On a évoqué au chapitre II la nature intime, « microscopique » du rayonnementélectromagnétique.

En pratique bien sûr, en météorologie, il n’est pas question de travailler (de mesurer, demodéliser) à une échelle de description aussi fine, et on doit avoir recours à une description« macroscopique » du rayonnement, correspondant plus ou moins (le mieux possible !) àl’échelle de prise en considération des paramètres atmosphériques fluides eux-mêmes : lesparamètres radiatifs ainsi définis sont alors des moyennes spatio-temporelles bien choisies desgrandeurs microscopiques correspondantes (par exemple l’énergie électromagnétique).

On n’entre pas ici dans la problématique, ni dans la méthodologie, d’un tel changementd’échelle de description, développée en général dans les ouvrages de physique statistique, oudans les ouvrages traitant de la turbulence.

On se placera cependant désormais délibérément à une échelle macroscopique, et lorsque,occasionnellement, on aura besoin de rappeler que tel paramètre macroscopique est lamoyenne d’un paramètre microscopique lié aux champs radiatifs, on formalisera l’opérateurde moyenne, supposé posséder les habituelles et nécessaires « bonnes » propriétés

69

mathématiques (linéarité, commutation avec les dérivées d’espace et de temps, idempotence,…), par le symbole .

B. Les variables indépendantes

Une partie de la complexité de l’étude du rayonnement vient de la multiplicité des paramètresdont dépendent les grandeurs radiatives.

Déjà, en chaque point, les « rayons » peuvent provenir de toutes les directions d’espace, et lesvaleurs « ponctuelles » et/ou « directionnelles » des grandeurs macroscopiques doivent sedéfinir lorsque de petits éléments de surface, et/ou d’angle solide, tendent vers zéro ; ladépendance géométrique des grandeurs radiatives s’exprime donc en pratique en termes depoint courant x et de petit élément de surface dS , de direction s (de vecteur unitaire se ), etde petit angle solide s (figure 1).

Ensuite, les propriétés électromagnétiques des rayonnements, et de la matière, présentent uneforte dépendance spectrale (c’est-à-dire à la fréquence, ou à la longueur d’onde) : les variablesindépendantes de la nécessaire description spectrale s’ajoutent donc aux variablesindépendantes des représentations dans l’espace géométrique.

Enfin, a priori, les grandeurs électromagnétiques macroscopiques dépendent du temps t ; onpréserve au début de la présentation la possibilité de cette dépendance, bien qu’assez vite onpassera à l’hypothèse de quasi-stationnarité des grandeurs radiatives macroscopiques, usuelleen météorologie (et alors la notation t sera libre pour désigner « l’épaisseur optique » !).

C. Définitions générales

a. Flux, vecteur densité de flux

Il semble plus « visuel » d’introduire d’abord la notion de flux (bien que celui-ci se constitueà partir de l’intensité ou luminance). D’une façon générale, en physique

le flux d’une grandeur extensive (physiquement additive) à travers une surface donnéeest la quantité de cette grandeur qui traverse la surface par unité de temps, dans unsens « positif » choisi ; pour une grandeur scalaire, il peut être utile parfois deconsidérer que ce flux (dit alors « net ») est le bilan algébrique des deux flux positifscorrespondant aux deux sens physiques de traversée de la surface.

la « densité de flux » est le champ que l’on doit « appliquer » à la surface(multiplication par un élément infinitésimal de la surface, puis intégration sur lasurface) pour déterminer le flux à travers la surface. La densité de flux est d’un ordretensoriel supérieur à celui de la grandeur considérée : c’est un vecteur pour unegrandeur scalaire comme l’énergie radiative (ce serait un tenseur d’ordre 2 pour unegrandeur vectorielle).

Dans un tel cadre général, et plus précisément, pour le rayonnement électromagnétique :

70

le vecteur densité de flux (énergétique) radiatif ( , )F x t est défini par le fait que laquantité d’énergie électromagnétique traversant à l’instant t , dans l’intervalle detemps infinitésimal dt centré en t , l’élément de surface infinitésimal d S centré en x ,de la face négative vers la face positive de celui-ci, est 2 ( , ). .d E F x t dS dt .

on appelle densité de flux (énergétique) radiatif ( , ; )F x t s , au point x , à l’instant t ,dans la direction s (de vecteur unitaire se ), la composante selon s du vecteur densitéde flux : ( , ; ) ( , ). sF x t s F x t e , de sorte que la quantité d’énergie définie ci-dessus,relative à l’élément de surface dS perpendiculaire à s (figure 1), est

2 ( , ; ). .d E F x t s dS dt ( dS est relié à n’importe quel élément de surface d S centré

en x par .cos , .cos ,dS d S s dS dS s dS , où ,s dS est l’angle entre s et

d S ).

L’unité physique d’une densité de flux énergétique est le 2 1. .J m s .

On commettra dans la suite, le plus souvent, l’abus de langage classique qui consiste à parlerde « flux » alors qu’il s’agit en fait de « densité de flux » (sans qu’il y ait de réelle ambiguïté).

Figure 1 - Géométrie du transfert radiatif.La partie supérieure de la figure fixe des notations angulaires utiles pour le présent cours,

qui, sauf mention différente, considérera l’axe Oz comme vertical.

71

b. Intensité spécifique, ou luminance énergétique

i. Petit rappel sur l’angle solide

Généralisation à l’espace tri-dimensionnel de la notion d’angle plan, l’angle solide

délimité par un cône (de base quelconque) se définit comme ,2

cône rcône

Sr

, ,cône rS étant l’aire

de la surface interceptée par le cône sur la sphère de rayon r (arbitraire) centrée au sommet del’angle solide, c’est-à-dire au sommet du cône (figure 2).

L’unité de mesure de l’angle solide est le stéradian, dont l’abréviation est sr (l’œil humainappréhende environ 0,5 sr ).

L’angle solide sous-tendu par un cône circulaire d’angle au sommet cône est

2 . 1 cos2cône , et donc (évidemment par définition !), l’angle solide correspondant à

« tout l’espace » est de 4 sr .

En coordonnées sphériques classiques, avec les notations de la figure 1, l’angle solideélémentaire de sommet O, défini par la direction , , est 2

, sin . .d d d (figure 2).

Un angle solide élémentaire, de révolution autour de l’axe Oz du repère adopté,correspondant à une couronne de largeur d , vaut 2 .sin .d d .

Figure 2 - Le concept d’angle solide.

72

ii. Intensité, ou luminance

L’intensité (spécifique), ou luminance (énergétique), du rayonnement, dans la direction s , aupoint x , notée I dans le présent cours, est « la quantité d’énergie électromagnétiquetraversant, par unité de temps, une surface unité perpendiculaire à la direction s , et provenantde l’intérieur d’un angle solide unité autour de cette direction ».

Plus formellement, si s désigne un angle solide infinitésimal positionné en x et centré sur

la direction s , et si F , 2( )d E désignent les parties limitées à s de 2,F d E introduitesplus haut :

2( ) /( , ; )( , ; ).cos , . .cos ,

s

s

d EF x t sI x t ss dS dt dS s dS

L’unité physique d’une intensité, ou luminance, est le 2 1 1. . .J m s sr .

c. Densité volumique d’énergie

La densité volumique d’énergie électromagnétique .é mW peut se déduire de l’intensitéspécifique par le raisonnement suivant.

Au point courant x , et à l’instant t , l’énergie électromagnétique provenant de l’angle solideélémentaire sd autour de la direction s , contenue dans le cylindre de base dS et de

génératrice ds , n’est autre que l’énergie qui a traversé dS en dsdtc

, c’est donc

( , ; ). . dsI x t s dSc

, ce qui correspond à une densité volumique ( , ; )I x t sc

.

La densité totale s’obtient en comptabilisant toutes les directions s , soit

.4 . ( , )

s

é mW I x tc

, où

4

04

0

.( , )

sdéfs

s

I dI x t

d

C’est cette grandeur macroscopique (s’exprimant en 3.J m ) qui s’identifie à la moyenne del’énergie électromagnétique microscopique introduite au chapitre II, paragraphe 1 (B. c.) :

22. . .é m é m milieu x yW w E E , où les composantes microscopiques du champ

électrique sont exprimées dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation del’onde.

73

On remarquera toutefois que la densité volumique d’énergie radiative (ou l’intensitéspécifique elle-même qui lui est rattachée simplement), étant liée au seul module du champélectrique, constitue une information minimaliste de description des propriétésmacroscopiques du champ électrique, donc du rayonnement électromagnétique.

On peut aller un peu plus loin, avec la prise en compte additionnelle des caractéristiques« directionnelles » du champ, donc de la polarisation, et la considération de l’ensemble des« paramètres de Stokes » (voir plus bas, D. dans le présent sous-paragraphe).

L’état de polarisation du rayonnement est en effet potentiellement pertinent pour maintsprocessus liés au transfert radiatif ; il est par exemple modulé par les mécanismes d’émissionou de diffusion, comme la diffusion Rayleigh (polarisation du ciel bleu), la diffusion par lesparticules des nuages (halos), la réflexion par la surface (polarisation horizontale), …

On aura toutefois peu d’occasion d’exploiter ce paramètre « polarisation » dans le présent cours.

d. Taux de chauffage radiatif

La fonction « taux de chauffage radiatif », au point courant x , et à l’instant t , est la

contribution radiative drad

Qdt

(ou 1 .. p

dC rad

Qdt

si elle est exprimée en degrés de

température par unité de temps) à l’échauffement local du milieu.

Cet apport radiatif de chaleur est naturellement, dans l’équation d’évolution de l’énergieinterne :

d . 4 ( , ).s

é m

rad

WQ I x tdt t c t

.

D’un point de vue opératoire, notamment en modélisation, il se calcule, plus naturellement, àpartir de la connaissance du flux radiatif:

d ( ( , ))rad

Q div F x tdt

.

Les deux expressions du taux de chauffage radiatif sont équivalentes, compte tenu de larelation entre densité de flux et intensité spécifique, et c’est un résultat général quel’expression de l’effet volumique d’un flux (quelle que soit la nature de celui-ci) se manifestepar l’opposé de la divergence de celui-ci dans l’évolution du paramètre physique transportépar le flux.

En effet, le bilan d’une grandeur massique à l’intérieur d’un volume fixe V , délimité par lasurface S , traduit l’égalité :- d’une part, de la variation par unité de temps de la quantité de contenue dans V ;- d’autre part, de la somme de la quantité de entrant par unité de temps dans V par flux(l’opposé de la quantité sortante attachée au flux), soit un effet surfacique, et de l’effetéventuel par unité de temps des « sources » de à l’intérieur de V , qui sont en général deseffets volumiques, de la forme Source par unité de masse.

74

Soit, en termes mathématiques, et désignant la masse volumique du milieu :

. . . . .

. . .V S V

V V

dV Flux dS Source dVt

div Flux dV Source dV

(grâce au théorème d’Ostrogradski), d’où

( . ) . . 0V

div Flux Source dVt

Or ce bilan doit être vérifié quel que soit V , donc

( . ) .div Flux Sourcet

.

Dans le cas du rayonnement, et de l’atmosphère, est l’énergie interne .vC T , et l’opposé dela divergence du flux de rayonnement intervient dans l’évolution comme une descomposantes du terme diabatique de l’équation thermodynamique :

.( . ) ( ( , ))vC T div F x t autres effets diabatiquest

.

C. Définitions monochromatiques

Les propriétés électromagnétiques des ondes elles-mêmes, et de la matière (émission,absorption, …) étant très variables avec la fréquence (ou la longueur d’onde), il est souventnécessaire de raisonner d’abord d’un point de vue « monochromatique », c’est-à-dire enpratique pour un intervalle infinitésimal de fréquences , d (ou de longueur d’onde

, d ), avant d’agréger le cas échéant les résultats monochromatiques.

Ainsi, on est amené à définir les valeurs monochromatiques

du vecteur densité de flux radiatif, soit F : la quantité d’énergie électromagnétiquecomprise entre les fréquences et d traversant, à l’instant t , dans l’intervalle detemps infinitésimal dt , l’élément de surface infinitésimal d S , de la face négative versla face positive de celui-ci, est 3 ( , ). . .d E F x t dS dt d .

de la densité de flux radiatif , dans la direction s , au point x , soit ( , ; )F x t s :

3

( , ; ) ( , ).. .

sd EF x t s F x t e

dS dt d,

75

dS étant un élément de surface perpendiculaire à s .

de la luminance :3( ) /

( , ; ).cos , . . .cos , .

s

s

d EFI x t ss dS d dt dS s dS d

de la densité énergétique volumique . ,4 . ( , )

s

é mW I x tc

, où

4

04

0

.( , )

sdéfs

s

I dI x t

d

du taux de chauffage radiatif : d . ,

,

( ( , ))é m

rad

WQ div F x tdt t

F s’exprime en 2 1 1. . .J m s Hz , I en 2 1 1 1. . . .J m s sr Hz , . ,é mW s’exprime en 3 1. .J m Hz .

La description spectrale ne se fait pas obligatoirement en termes de fréquences, même si ceserait d’une certaine façon le plus logique, la fréquence étant la seule caractéristique spectralecomplètement invariante dans un changement de milieu de propagation.

Elle peut par exemple se référer, et se réfère le plus souvent dans la pratique, aux longueursd’onde : il convient alors de remplacer « fréquence » et « » par « longueur d’onde » et« » dans les définitions ; mais attention, les spectres peuvent prendre des allures très

différentes selon la caractéristique spectrale retenue, puisque, par exemple,2

.I Ic

,

2

.F Fc

.

On dit que le champ de rayonnement est isotrope en un point si I n’y dépend pas de s .

On dit que le champ de rayonnement est homogène si, pour chaque direction, I ne dépend

pas de x .

D. Polarisation, représentation de Stokes

La notion de polarisation a été introduite plus haut dans l’approche « microscopique » d’uneonde plane monochromatique. Ici on complète cette notion pour une onde générale, et dansune approche « macroscopique ».

L’état de « polarisation macroscopique » de l’onde électromagnétique se définit toujours enréférence aux composantes (complexes) du champ électrique dans le plan perpendiculaire à ladirection de propagation considérée, notées ici 1E et 2E .

Une onde plane monochromatique « déterministe » (par exemple fréquence et amplitudeconstantes), telle que celles qui ont été évoquées plus haut, est toujours polarisée, linéairement

76

(la direction du champ électrique est constante dans le temps), circulairement (le champtourne autour de son axe, son extrémité décrivant un cercle, à la fréquence de l’onde), ouelliptiquement (le champ tourne autour de son axe, et change d’amplitude, son extrémitédécrit une ellipse ; il s’agit d’une combinaison simple des cas linéaire et circulaire).

Mais le champ électrique d’une onde réelle plus générale peut être aléatoire, déterministe, ouprésenter une combinaison de ces deux caractères ; une telle configuration n’est pas unesolution simple des équations de Maxwell, son appréhension doit s’appuyer sur les notions demélange cohérent ou incohérent de plusieurs ondes.

Par exemple, les ondes quasi-monochromatiques émises par un gaz sont en général distribuéesaléatoirement dans le temps, non en phase entre elles, et polarisées de façon a priori aléatoire,en fonction des états physiques des atomes ou des molécules dans le processus d’émission :leur superposition forme une onde incohérente.

Une telle onde peut être

« non polarisée » (une situation qualifiée aussi de « naturelle », par référence à lalumière naturelle) : la direction du champ varie de façon complètement aléatoire aucours du temps,

« partiellement polarisée » : un cas de figure que l’on peut mettre sous forme de lacombinaison d’une (non) polarisation « naturelle » et d’une polarisation elliptique, ou,de façon équivalente, d’une combinaison incohérente (dé-corrélée) de deuxpolarisations elliptiques orthogonales. On peut en effet montrer que toute onde quasi-monochromatique peut être représentée comme superposition de deux ondesincohérentes complètement polarisées, de polarisations elliptiques de mêmeexcentricité, d’axes principaux orthogonaux entre eux, et dont les intensités sontreprésentées par les valeurs propres (qui sont réelles) du tenseur *.i jE E

(l’astérisque en position d’exposant d’un complexe désignant la transposition).

« totalement polarisée » : la direction du champ varie de façon complètementdéterministe au cours du temps.

L’information macroscopique de base sur le champ électrique est contenue dans le tenseurd’élément général *.i jE E , qui peut se mettre sous la forme

0 1 2 3*

2 3 0 1

.1. ..2i j

S S S i SE E

S i S S S

où les paramètres de Stokes , 0,1,2,3iS i , qui décrivent l’énergie totale ( 0S ), et la répartitionde cette énergie entre les composantes de l’onde, sont définis comme suit :

2 20 1 2

défS E E est proportionnel à l’intensité (ou l’énergie) totale de l’onde ;

77

2 21 2 1

défS E E représente la différence de l’énergie entre les deux composantes

orthogonales de l’onde (c’est un indicateur de polarisation circulaire) ;

*2 2 12Re .

défS E E et *

3 2 12 Im .déf

S E E représentent ensemble le déphasage entre

les composantes du champ électrique (ce sont des indicateurs de polarisation linéaire).

On peut normaliser les paramètres de Stokes par le premier d’entre eux :0

, 0,3déf

ii

Ss iS

(noter que 0s vaut donc toujours 1), et définir le degré de polarisation de l’onde en lien avec

le déterminant du tenseur20 1 2 3*

22 3 0 10

.1 1 1. . . .(1 ).2 4i j

s s s i sE E s

s i s s sS, où

1,2,3

déf

i is s .

Plus précisément, on définit le degré de polarisation par2déf

Pol s ; alors :

si1/ 23

2

1

1is , 1Pol , l’onde est totalement polarisée ;

si1/ 23

2

1

0is , 0Pol , soit 1 2 3 0s s s , il n’y a pas de corrélation entre les

composantes orthogonales du champ, l’énergie moyenne est la même dans toutes lesdirections : l’onde est non polarisée ;

si1/ 23

2

1

0 1is , 0 1Pol , l’onde est partiellement polarisée ; pour une valeur

donnée de Pol , l’onde peut être polarisée de deux façons différentes, car il reste deuxparamètres de Stokes indépendants, qui donnent l’importance relative des deuxpolarisations linéaires et des deux polarisations circulaires dans l’onde incohérente.

Expérimentalement, on détermine la polarisation en modifiant de manière calculable le champélectrique de l’onde (par exemple en utilisant des prismes polarisants).

Il est rare que l’on mesure toutes les caractéristiques de la polarisation, on se restreint souventaux polarisations linéaire et circulaire.

Le rayonnement émis dans l’atmosphère est non polarisé, mais certaines de ses interactionsavec la matière peuvent le polariser (par exemple, la réflexion sur une surface lisse tend àproduire une polarisation linéaire horizontale) ; d’autre part le sujet est tout à fait importantpour la télédétection dans certaines gammes du spectre, comme, par exemple, celle deshyperfréquences.

La référence aux questions de polarisation restera toutefois épisodique dans le présent cours,compte tenu du domaine d’intérêt propre, bien délimité, de celui-ci.

78

E. Expressions en coordonnées scalaires

Pour les développements pratiques à venir, il est nécessaire d’envisager l’expression desdifférentes relations impliquant des grandeurs descriptives du rayonnement en termes decoordonnées scalaires particulières.

Ainsi, avec le système de coordonnées et de notations introduit par la figure 1, mais le repèreétant ici installé au point courant, avec l’axe Oz selon la direction considérée s , la relationentre flux (net) énergétique spectral F et luminance énergétique spectrale I prend la forme :

2

0 0

( , ; ) .cos . ( , ; , ).sin .cos . .F x t s I d I x t d d

F peut être séparé en deux parties, si on intègre séparément sur les deux hémisphères, c’est-à-dire si on tient compte du sens dans lequel la surface dS est traversée :

2 2/ 2 / 2

0 0 0

( , ).sin .cos . . ( , ).sin .cos . .F F F I d d I d d

où F et F sont des flux énergétiques spectraux (hémisphériques) positifs (et où on a laissé

tomber dans l’écriture la dépendance en x et t ).

Dans le cas d’un champ de rayonnement isotrope, on a bien sûr :

( , ; ) ( , ),I x t s I x t s

( , ) 0F x t

2 / 2 / 2

0 0 0

( , ) ( , ) ( , ).sin .cos . . 2 . . sin .cos . . ( , )F x t F x t I d d I d I x t

F. Premières simplifications en météorologie

a. Hypothèses de quasi-homogénéité

En météorologie dynamique,

on choisit usuellement un repère orthonormé tel que Oz soit la verticale localeascendante. Les flux radiatifs nets à travers des surfaces horizontales sont alors positifs(resp. négatifs) pour un rayonnement s’éloignant (resp. se rapprochant) de la surfaceterrestre dans sa propagation, dite alors « vers le haut » (resp. « vers le bas »).Attention, on prendra bien garde au fait que cette convention de signe concerne lesflux notés F nets ; lorsqu’un tel flux net est décomposé en flux hémisphériques sousla forme F F F , les flux hémisphériques montant F , et descendant F , sont

79

tous deux positifs. Dans le présent cours, on convient que les flux comportant oudans leur notation échappent à la convention de signe des flux nets, et sont

positifs (le cas échéant, dans les cas litigieux, on utiliserait explicitement la valeurabsolue des flux en cause).

on admet que le champ de rayonnement est quasi-stationnaire : la dépendance de, , , ,...I F I F par rapport au temps t disparaît.

on admet que le champ de rayonnement est quasi-homogène horizontalement -ladépendance de , , , ,...I F I F par rapport aux coordonnées horizontales ,x y disparaît-,et que l’on ne s’intéresse qu’aux flux à travers les surfaces horizontales.

Avec ces deux hypothèses, on a ( , , ), ( , , )I I z F F z , ( , , ), ( , , )I I z F F z ,etc…

On remplace par ailleurs fréquemment par cosdéf

, qui est positif pour le rayonnementse propageant vers le haut (flux algébrique F ), et négatif pour le rayonnement se propageantvers le bas (flux algébrique F ).

Le flux net horizontal au niveau de cote z est relié au champ de luminance par

2 1

0 1

( ) ( , , ). . .F z I z d d .

b. « Parallélisme » du rayonnement solaire direct

Pour le rayonnement provenant du Soleil, ce dernier ayant la direction définie par( , )Soleil Soleil , avec 0Soleil :

on peut négliger l’angle solide sous lequel le Soleil est vu de la terre :22 5

52 8

7.10. . 6,8.101,5.10

SoleilSoleil

T S

R srd

;

on peut considérer le rayonnement solaire direct comme un rayonnement parallèle, deluminance spectrale ( ). ( ). ( )Dirac Soleil Dirac SoleilS z , où

* S est le flux énergétique spectral solaire parallèle descendant (positif), pour unesurface dont la normale est orientée dans la direction du Soleil ; le flux énergétiquesolaire parallèle spectral pour une surface horizontale est donc , .insol SoleilF S ;

* Dirac est la « fonction » « masse de Dirac » (affectée ici de la dimensionphysique ad-hoc, permettant le passage d’un flux à une luminance).

80

2. L’INTERACTION DU RAYONNEMENTAVEC LA MATIERE ATMOSPHERIQUE

A. Puits et sources d’énergie radiative

Lorsque le rayonnement monochromatique de fréquence , se propageant dans une directiondonnée s , traverse une longueur d de matière (par exemple atmosphérique) entre les pointsx et x d x ( .sd x e d ), son intensité I est affectée d’une perte, ou puits, par extinction(absorption et diffusion), et de gains, ou sources, par diffusion et par émission ; avec desnotations évidentes, et en considérant comme algébriques tous les accroissements :

( . ) ( )s extinction diffusion émissiondI I x e d I x dI dI dI

En toute rigueur, la vitesse de propagation du rayonnement est également potentiellementmodifiée, en vitesse et direction.

Pour visualiser les raisonnements quantitatifs d’évaluation des taux de modification del’intensité du rayonnement par les différents mécanismes, on pourra considérer si besoin queles bilans sont faits, pour une fréquence donnée, au sein d’un cylindre élémentaire degénératrices parallèles à la direction s , et de longueur d .

B. Perte par extinction

a. Coefficients massiques (et volumiques), sections efficaces d’extinction

Dans le processus d’affaiblissement de l’énergie électromagnétique par absorption etdiffusion, il est logique de penser que le taux d’extinction est d’autant plus grand qu’il y a dematière (masse volumique , ou nombre n de molécules, ou de particules- absorbantes et/oudiffusantes-, par unité de volume), de photons (luminance I ), de longueur parcourue ( d ), etd’écrire en infinitésimal la loi classiquement attachée aux noms de Bouguer et Lambert (etaussi à celui de Beer) :

sous forme « masse volumique » :, . . .extextinction

dI K I d , où,extK est le coefficient massique d’extinction

spectrale, à la fréquence , qui s’exprime en 2 1.m kg . On utilise plutôt cetteformulation dans le cas d’un milieu considéré comme « continu », comme l’airatmosphérique ;

sous forme « nombre volumique d’éléments extincteurs » :, . . .extextinction

dI s n I d , où ,exts est la section efficace spectrale, à la fréquence

, pour une molécule, ou pour une particule, qui s’exprime en 2 1.m molécule , ou en2 1.m particule . On utilise plutôt cette formulation dans le cas d’éléments absorbants

et/ou diffusants « discrets », comme les aérosols et particules constitutives des nuages,ou dans une vision moléculaire d’un milieu, par exemple gazeux.

81

Dans le présent cours, on conduira les principaux développements sous la forme « coefficientsmassiques d’extinction », mais on fera parfois usage de la forme « sections efficaces ». Onn’oubliera pas que, pour un même volume de matière, les deux approches sont reliées par

( ), , ,. . vol

ext ext extK n s K , coefficient volumique d’extinction (qui s’exprime en 1m ).

L’extinction résulte de l’addition des effets, considérés indépendants, de l’absorption et de ladiffusion :

, , ,ext abs difK K K (et , , ,ext abs difs s s , ( ) ( ) ( ), , ,

vol vol volext abs difK K K )

Les contributions de l’absorption et de la diffusion à l’extinction peuvent être définies à l’aide

de grandeurs sans dimension, à savoir ,

,

défabs

vext

Kk

K, et ,

,

1 difv

ext

Kk

K; 1 vk est appelé

« albédo de la diffusion simple », et vk est parfois appelé « co-albédo ».

Si l’extinction est seule à l’œuvre, , . . .extdI K I d , ce qui s’intègre formellement le

long du trajet en2

1

2 1 ,, , .exp ( ). ( ).extI s I s K d (loi intégrée de Bouguer).

b. Epaisseur optique, contribution de l’extinction à l’ETR

Dans le cadre atmosphérique, on a coutume de remplacer d par dz selon .dz d , et onintroduit l’épaisseur (ou profondeur) optique t , grandeur sans dimension caractérisantl’extinction, définie par :

, . .extdt K dz , ( ) 0t z

d’où

, ,0

. . .p

ext extz

dpt K dz Kg

,

où p est la pression hydrostatique.

Avec la variable épaisseur optique, la loi de Bouguer-Lambert devient

( , , ). ( , , )v vv v

v extinction

I t I tt

Cette relation constitue l’expression complète de l’équation du transfert radiatif dans le casrestrictif où, dans une direction donnée, il n’existe que des pertes, et aucun gain, la version« en épaisseur optique » de la loi intégrée de Bouguer étant alors

82

2 12 1 .exp t tI t I t .

Ainsi, elle décrit exactement le transfert du rayonnement solaire parallèle, qui n’a aucunesource dans l’atmosphère ; notant ( , , ) ( ). ( ). ( )Dirac Soleil Dirac SoleilS t S t , on a

( ). ( )vSoleil v

v

dS t S td t

,

avec la solution évidente :

( ) (0).exp{ }vSoleil

tS t S ,

Accessoirement, cette relation permet de se faire une idée de la constante solaire par desmesures d’intensité radiative solaire conduites à la surface de la Terre : (0)Log S apparaît

en effet comme la valeur à l’origine dans un diagramme linéaire 1 ,cos

Log S , dans une

situation où l’on peut supposer t et Soleil à peu près invariables.

C. Gain par diffusion

a. Fonction (de phase) de la diffusion

La contribution de la diffusion à l’extinction a été introduite ci-dessus.Mais la luminance des rayons diffusés eux-mêmes intervient aussi au titre des sources durayonnement : si le rayonnement diffusé ne peut se reconstituer, le rayonnement qui arrive enun point peut être pour partie d’origine diffuse.

Figure 3 - Géométrie de la diffusion.

83

La figure 3 fixe la géométrie à considérer. Les directions de propagation sont repérées par lescoordonnées cos , , les coordonnées angulaires , dans un repère fixepréalablement choisi ayant été introduites à l’occasion de la figure 1.

Une partie du rayonnement provenant d’une direction ' ', 's est diffusée par la matière

dans la direction ,s , où elle apparaît sous forme d’un gain élémentaire, naturellement

supposé proportionnel à la luminance dans la direction ', ' , ainsi qu’à la masse dematière diffusante, et variable avec l’angle des deux directions.

La dépendance par rapport à ce dernier facteur est définie en chaque point par une fonction(dite parfois « de phase ») de diffusion monochromatique , ( ; ' )difP x s s : la probabilité que

le rayon incident selon 's soit diffusé selon s , à sd près (c’est-à-dire dans l’angle solide

sd ) est supposée de la forme

,1 . ( ; ' ).

4 dif sP x s s d .

On remarquera qu’une telle description suppose que la diffusion possède une symétrie derévolution autour de la direction du rayonnement incident. La sommation sur toutes lesdirections s doit évidemment être l’unité, la fonction de diffusion est donc normée par

4

,0

( ; ' ). 4dif sP x s s d .

Dans un tel schéma, et laissant tomber dans l’écriture la dépendance en x , le gain pardiffusion au point courant est

4

, '0

1 . 1 . ( ' ). ( '). . .4 dif sdiffusion

dI k P s s I s d d ,

La fonction de diffusion est souvent considérée comme fonction de cos dif , où dif est l’angle

, 's s . On fait dans le présent cours cette hypothèse, acceptable pour des particules

diffusantes sphériques (gouttes nuageuses), ou d’orientations réparties au hasard (molécules,petits aérosols), en se rappelant qu’elle peut être en défaut (notamment pour les précipitations,à cause de l’action des forces aérodynamiques) :

, ,( ; ' ) ( ,cos )dif dif difP x s s P x , avec , ( , cos ). 4dif dif sP x d

Le passage aux coordonnées ', ' , , se fait au moyen de la relation :

2 2cos . ' (1 ). (1 ' ).cos 'dif ,

84

que l’on obtient en faisant le produit scalaire des vecteurs unitaires des deux directions. Ondéfinit ainsi :

, ,( ; , , ', ') ( ;cos ( , , ', '))dif dif difP x P x

Le concept de diffusion isotrope, correspondant à 1difP , est une idéalisation, commode

comme première étape, notamment par la forme4

1(1 ). . ( ).4 sk I s d que prend alors la

source « diffusion » dans l’ETR.

Le « facteur d’asymétrie » de la fonction de diffusion, soit

,4

(cos ).cos .déf

dif dif difg P d ,

est un paramètre d’usage courant dans les études portant sur la diffusion. Il quantifieglobalement la direction majoritaire de la diffusion : il vaut 0 si la diffusion est isotrope, ou

symétrique par rapport à la normale au rayon incident (2dif ) ; il est positif si la majeure

partie de la diffusion se fait vers « l’avant » (dans l’hémisphère de 0dif ), négatif si lamajeure partie de la diffusion se fait vers « l’arrière » (dans l’hémisphère de dif ).Il est en général un des paramètres de représentation et d’ajustement des fonctions dediffusion analytiques que l’on peut être amené à postuler, comme dans cette forme empiriqueconnue (à défaut d’être toujours bien réaliste), attachée aux noms de Henyey et Greenstein :

2

, 3/ 22

1(cos )1 .cos

HGdif dif

dif

gPg g

,

ou dans sa version améliorée pour mieux représenter les pics avant et arrière de la diffusion :

, 1 , 2. (cos , ) (1 ). (cos , )HG HGdif dif dif difP g P g , avec 1 0g , 2 0g , 0 1 .

Graphiquement, la fonction de diffusion peut se représenter par des courbes « indicatrices dediffusion », soit dans un système de coordonnées ,(cos , )dif difP , soit, pour chaque direction

incidente 's , dans un diagramme ( , ) , la distance du point courant à l’origine étantproportionnelle à la valeur de ,difP pour la direction ( , )s .

b. Contribution en gain de la diffusion à l’ETR, diffusion multiple

La partie de l’équation du transfert radiatif correspondant aux gains par diffusion durayonnement diffus et du rayonnement solaire parallèle s’écrit :

85

,

2 1

,' 0 ' 1

( , , ) 1 ( ). . (0).exp . ( ; , , , )4

( ; , , ', '). ( , ', '). '. '

{

}

v v vdif Soleil Soleil

v Soleildiffusion

dif

I t k t tS P tt

P t I t d d

Cette formulation, grâce à sa forme très générale, tient compte des diffusions multiples quepeuvent subir les photons avant d’être absorbés, ou transmis à travers le domaine diffusant(par exemple atmosphérique) examiné.

La diffusion simple prévaut dans les couches de faible épaisseur optique (probabilité fortepour un photon de sortir avant une seconde diffusion), ou par absorption forte : 1 1k(probabilité forte pour un photon d’être absorbé avant une seconde diffusion).

La diffusion multiple prévaut dans les couches de forte épaisseur optique (probabilité faiblepour un photon de sortir avant une seconde diffusion), ou par absorption faible : 1k .

La diffusion multiple constitue un problème important lorsque l’on doit, par nécessité, setourner vers des descriptions simplifiées du transfert radiatif, car le phénomène peut êtredéterminant dans certaines situations ; par exemple, dans le domaine solaire, les nuagesexhibent souvent une grande épaisseur optique propre (entre sommet et base), et une faibleabsorption : la diffusion multiple est alors le phénomène essentiel dans le transfert radiatif enleur sein, et dans la détermination de leurs albédo et transmission globales (et par exemple del’importante « distance de visibilité » du brouillard).

Outre des simplifications soigneusement adaptées de l’équation du transfert radiatif, on peututiliser des méthodes de Monte-Carlo pour simuler la diffusion multiple : chaque tronçon dela trajectoire d’un photon est simulé par recours à un processus aléatoire, et lescaractéristiques macroscopiques résultant du phénomène sont obtenues par agrégationstatistique ; la limitation inhérente à une telle approche tient, bien sûr, au grand nombre detrajectoires nécessaires à la représentativité statistique.

D. Gain par émission (rayonnement propre)

En accompagnement de celle du présent sous-paragraphe, on recommande vivement la lecturedu chapitre historique XIII (plus précisément de son paragraphe 3, C.) et du chapitred’annexes XIV (plus précisément de son paragraphe 2) qui aideront à situer la contributiondes différents acteurs de l’histoire de l’émission thermique ici cités, et de nouer un lien plussolide avec la, somme toute assez abstraite, loi de Planck.

a. Forme de la prise en compte de l’émission dans le transfert radiatif

La description macroscopique des phénomènes de rayonnement propre de la matière repose

sur les lois de l’émission de Planck et de Kirchoff à l’équilibre thermodynamique :

* le corps noir à l’équilibre thermodynamique, donc à température T uniforme etstationnaire,

86

- obéit à la loi de Boltzmann qui détermine l’occupation des niveaux d’énergie des molécules,

proportionnelle à .exp.B

hk T

pour le niveau quantique permis .h , Bk étant la « constante

de Boltzmann », 23 11,38054.10 .Bk J K ;- absorbe toutes les radiations qu’il reçoit ;- émet un rayonnement isotrope dont le spectre de luminance spectrale B , pour la fréquence

, dépend uniquement de la température : ( )B B T (fonction de Planck).

Une bonne visualisation expérimentale de l’idéal corps noir est un récipient conique, noirci àl’intérieur, à température constante, et percé d’un trou au sommet du cône (figure XIV. 2.), unrayon ayant très peu de chances d’en ressortir après y avoir pénétré.

* le corps réel à l’équilibre thermodynamique, à la température T , émet avec le spectre deluminance spectrale . ( )B T , où l’émissivité monochromatique , fonction a priori de lanature du corps, et de la fréquence -ou de la longueur d’onde- (l’indépendance par rapport àla fréquence définissant le « corps gris ») vérifie 1 ( 1, pour le corps noir).De plus, l’absorptivité monochromatique A du corps réel, c’est à dire la proportion durayonnement incident de fréquence que celui-ci absorbe, est égale à son émissivité à lamême fréquence : A (cet ensemble de résultats constitue les lois de Kirchoff).

sur la notion d’équilibre thermodynamique local

Dans l’atmosphère, ou plus généralement dans un gaz du monde réel, hors d’une enceintefermée isolée à température uniforme et stationnaire, les molécules et les photons ne sont pasen équilibre thermodynamique (leurs populations respectives ont des distributions d’équilibredifférentes -de Maxwell, et de Bose-Einstein, respectivement-, et des libres parcours moyensdifférents). Cependant, les lois de l’émission à l’équilibre (Boltzmann, Planck, Kirchoff),exprimées avec la valeur locale de la température, restent une très bonne approximation, sitoutefois le nombre de collisions moléculaires domine largement le nombred’excitations/désexcitations purement radiatives (ce qui est bien vérifié dans la troposphère etla basse stratosphère, ce point a déjà été évoqué au chapitre II -II. B. b.-).

b. Contribution de l’émission à l’ETR

Le gain de luminance dans une direction donnée, lié à l’émission propre de la matière, s’écritdonc :

, . . ( ).émisémissiondI K B T d

où ( )B T est la fonction universelle de Planck, décrivant l’émission du corps noir, et ,émisKle coefficient d’émission à la fréquence décrivant le rapport de l’émission réelle à celle ducorps noir, et où l’on a (loi de Kirchoff) :

, ,émis absK K

87

Le gain par émission propre dans l’équation du transfert radiatif est donc décrit par le terme :

( , , ). ( ). ( )v v

v émission

I t k t B Tt

c. Loi de Planck et ses différentes formes

La mécanique statistique et la description quantique du rayonnement permettent un calculthéorique de la fonction d’émission de Planck ( )B T (chapitre XIV, paragraphe 2), qui setrouve confirmé avec une très bonne précision par l’expérience. Le résultat est le suivant :

3

2

2( ) ..exp 1.B

h vB Tc h v

k T

Deux autres expressions de la formule de Planck sont également fréquemment utilisées ( Bet B désignant, évidemment, les densités spectrales d’émission relativement à la fréquenceet à la longueur d’onde , respectivement) :

52( ) 2 . .

.exp 1. .B

B T h ch ck T

4 42

2

2. ( ) . ( ) . 2 . .. .exp 1 exp 1. . .B B

hB T B T h cc h v h c

k T k T

Cette dernière représentation, outre sa symétrie par rapport à et , a l’avantage de permettreune représentation graphique de la répartition de l’énergie avec une abscisse logarithmique en

ou . Ceci est le cas sur la figure 4, où les trois fonctions ( )B T , ( )B T et. ( ) . ( )B T B T , sont réduites par rapport à leur valeur maximale.

La loi de Planck a deux expressions asymptotiques bien distinctes pour les valeurs extrêmesde et .

si 0 , ,2

2

.( ) 2 BTB T k

c, 4

.( ) 2 Bc TB T k .

C’est la distribution asymptotique de Rayleigh-Jeans ; connue en fait avant la loi dePlanck, elle correspond à l’utilisation de la mécanique classique au lieu de lamécanique quantique dans les calculs statistiques de l’énergie.

si , 0 ,3

2

.( ) 2 . .exp.B

hB T hc k T

,2

5

.( ) 2 . .exp. .B

c h cB T hk T

.

C’est la distribution asymptotique de Wien.

88

Figure 4 - Les diverses fonctions de Planck.

d. Lois dérivées de la loi de Planck

i. Loi de Stefan-Boltzmann pour le flux total d’émission d’un corps noir

Découverte avant la loi de Planck, la loi de Stefan-Boltzmann exprime le flux « touteslongueurs d’onde » émis par le corps noir, en fonction de sa température

( ) . ( )corps noirémisF B T ,

où

4 43 3

2 2 30 0 0

2 .2( ) ( ). . . . .. exp( ) 1.exp

.

défB

B

k Th v xB T B T d d dxc c h xh v

k T

La dernière intégrale est indépendante de et de T , et vaut4

15.

Donc : ( ) 4. ( ) .corps noirémisF B T T , où

5 48 2 4

2 3

2 . 5,6697.10 . . .15 .

Bk J m s Kc h

est appelée

constante de Stefan (-Boltzmann).

ii. Loi « de déplacement » de Wien pour le maximum d’émission

La position et la valeur du maximum de ( )B T en fonction de , à T constante, sont donnéespar

max

( ) 0dB Td

, soit 5. . exp 1 0. .B

d hcTd k T

, d’où

89

3max . 2,8978.10 .WT Cste a m K ,

la valeur numérique étant obtenue en utilisant 4,9651x comme solution de l’équationtranscendante 5 1 exp( )x x .

Cette loi, dite « du déplacement » de Wien, indique que, quand la température d’un corps noircroît, le maximum de son émission énergétique se déplace vers les petites (et plusénergétiques) longueurs d’onde.

De plus, ce maximum augmente avec la température ; en effet :

52 5

/

/( ) 2 . . .

.exp 1( / ). .

Wa T

W B

a TB T h c Cste T

h ca T k T

,

où la constante vaut 6 2 54,095.10 . . .W m K m

Ces deux propriétés se retrouvent sur la figure 5, qui représente la variation de ( )B T enfonction de pour diverses valeurs de T . On peut noter l’alignement des maximums dans lediagramme « Log-Log ».

Figure 5 - Fonctions de Planck pour diverses valeurs de la température.

90

Pour B , le maximum se situe à 11

max

1,7010.10 .T K s , et a pour valeur

19 3max 1,896.10 ( )B T SI ; pour . ( ) . ( )B T B T , la position du maximum est donnée par

3max

. 3,6697.10 ( )T SI , ou 11

max

1, 2241.10 ( )T SI , et la valeur du maximum lui-

même est 8 4max max

. ( ) . ( ) 1,328.10 ( )B T B T T SI .

e. Températures radiatives du Soleil et du système Terre-Atmosphère

Les lois de Stefan-Boltzmann et de Wien permettent de revenir mieux armés sur certainsaspects du chapitre I.

A chaque flux total correspond une « température radiative » égale à la température qu’auraitun corps noir émettant le même flux énergétique. On peut, par exemple, calculer cettetempérature, dite parfois dans ces cas « température effective », pour le Soleil, et pour lesystème Terre-Atmosphère.

Pour le Soleil, l’identification 4. . SoleilSoleilT F , fournit la température radiative

( ) 5757radSoleilT K .

Pour le système Terre-Atmosphère, qui reçoit F sur une surface voisine de 2. TerreR , et émetun rayonnement thermique à partir d’une surface 24 . TerreR , l’identification (tenant compte del’albédo planétaire) 4(1 ). 4 .T A T Aa F T fournit la température radiative ( ) 254,2rad

T AT K .

La loi de Wien donne les positions des maximums de . ( ) . ( )B T B T correspondant à cestempératures : 0,637 m pour le Soleil (donc dans la partie visible de son spectre), et14,4 m pour le système Terre-Atmosphère.

3. L’EQUATION COMPLETE DU TRANSFERT RADIATIF (ETR)

A. E.T.R. complète

En additionnant tous les effets actifs dans l’évolution de l’énergie radiative, on obtientl’équation du transfert radiatif (E.T.R.) pour le rayonnement diffus dans un milieuhorizontalement homogène.

Au second membre de cette équation, écrite ci-dessous, le premier terme (« de Bouguer-Lambert ») décrit l’extinction, le second décrit le gain par diffusion (les deux sous-termesdécrivant respectivement, dans cet ordre, les contributions des rayonnements diffus etparallèle), le troisième décrit le gain par émission.

91

,

2 1

,' 0 ' 1

( , , ). ( , , )

1 ( ) . (0).exp . ( ; , , , )4

( ; , , ', '). ( , ', '). '. '

( ). ( )

{

}

v vv v

v

v vdif v Soleil Soleil

Soleil

dif v

I t I tt

k t tS P t

P t I t d d

k t B T

Il faut ajouter à cette équation pour le rayonnement diffus l’équation du rayonnement solaireparallèle, dont l’intensité est généralement traitée à part (et n’est donc pas incluse dansl’intensité ( , , )v vI t , dite « diffuse »), par exemple sous la forme :

( , , ) (0).exp{ }. ( ). ( )Dirac Soleil Dirac SoleilSoleil

tS t S

On obtient alors les flux F et F par intégrations :

2 1

0 0

( , , ). . .F I t d d

2 1

0 0

( , , ). . . . (0).exp{ }SoleilSoleil

tF I t d d S

B. Conditions aux limites

Si on suppose que l’on sait calculer ,, , ,dift k P B , en chaque point de l’atmosphère, à partirde la composition de celle-ci, la solution de l’E.T.R. est subordonnée à la connaissance desluminances du rayonnement pénétrant l’atmosphère à ses limites.

Pour z , (0) ( 0), ,déf

Soleil SoleilS S t sont connus à priori en fonction du temps (le caséchéant de l’activité solaire pour le premier).

Pour 0z , symbolisant la surface terrestre, celle-ci absorbe, « réfléchit » (c’est-à-dirediffuse) et émet. On caractérise souvent la réflexion par un seul coefficient : l’albédo spectralde la surface ,surfa , rapport du flux réfléchi F au flux incident F (on y reviendra plusbas, au C.). La répartition géométrique du rayonnement réfléchi est fort complexe, avec uneinfinité de possibilités entre la réflexion spéculaire « parfaite » de Fresnel, et la diffusionisotrope de Lambert.

92

La loi de Kirchoff permet de calculer le rayonnement émis ; il est isotrope et a pourluminance spectrale ,(1 ). ( )surfa B T .

En termes de flux les conditions aux limites sont donc les suivantes :

( ) . (0)SoleilF z S

, ,( 0) . ( 0) (1 ). ( )surf surfF z a F z a B T

C. Petit inventaire de paramètres de caractérisation du transfert radiatif

a. Deux catégories de paramètres

On a introduit dans le présent chapitre un certain nombre de coefficients et/ou fonctionsdécrivant l’interaction entre matière atmosphérique et rayonnement électromagnétique. Cesparamètres sont plutôt des paramètres « locaux » (affectés au point courant, et définis par desrelations « différentielles »), et « d’entrée » (des « coefficients ») de l’équation du transfertradiatif.Ils sont « intrinsèques » à une population homogène de molécules ou de particules, ou connusdès que sont connus la composition et/ou l’état thermodynamique, du point ou de la colonneatmosphérique considérés.

D’autres paramètres, plutôt « globaux », décrivant l’interaction entre matière atmosphériqueet rayonnement électromagnétique, seront introduits et exploités dans la suite ; il s’agit deparamètres « de sortie » de l’équation du transfert radiatif, relatifs à une tranched’atmosphère, ou à la surface terrestre, et qui sont connus, dans une configurationatmosphérique donnée, seulement quand on a intégré l’équation du transfert radiatif.

Afin de mettre un peu d’ordre dans les définitions et le vocabulaire adoptés de ce point de vuedans le présent cours, et, notamment, de bien clarifier ce que montrent exactement certainesfigures, voici un récapitulatif commenté de l’ensemble de ces caractéristiques.

Pour chacune d’entre elles, on peut n’en considérer qu’une définition spectrale : on omettoutefois ici la qualification en termes de fréquences ou de longueurs d’onde, laissant lelecteur faire l’évidente transposition.Les notations secondaires adoptées sont, soit évidentes, soit déjà introduites à ce stade : on neles explicite pas.

b. Paramètres « locaux »

i. Coefficients massiques d’extinction extK , d’absorption absK , de diffusion difK ,d’émission émisK

Ils sont relatifs à l’unité de masse du milieu matériel considéré, et définis par :

* interactiontype d'interaction. . .dI K I d pour l’extinction, et pour ses composantes absorption et

diffusion ;.

93

* . . ( ).émisémissiondI K B T d pour l’émission.

Ils vérifient

* ext abs difK K K (par définition)

* émis absK K (loi de Kirchoff)

Ils sont « intrinsèques » pour une population homogène de molécules ou de particules, maisils dépendent de la composition pour un mélange de populations, selon

interaction interaction

interaction

. .i ii ii i

ii

K KK .

Leur unité « S. I.» est le 2 1.m kg .

Ils sont plutôt utilisés dans le cas d’un milieu considéré comme continu, comme l’airatmosphérique.

ii. Surfaces efficaces d’extinction exts , d’absorption abss , de diffusion difs , d’émission émiss

Elles sont relatives à une molécule, ou une particule, et définies par:

* interactiontype d'interaction. . .dI n s I d , pour l’extinction et ses composantes l’absorption et la

diffusion ;

* . . ( ).émisémissiondI s n B T d pour l’émission.

Elles vérifient

* ext abs difs s s (par définition)

* émis abss s (loi de Kirchoff)

Elles sont « intrinsèques » pour une population homogène de molécules ou de particules, maiselles dépendent de la composition pour un mélange de populations, selon

interaction interaction

interaction

. .i ii ii i

ii

n s n ss

n n.

Leur unité « S. I.» est le 2 1.m molécule , ou le 2 1.m particule .

94

Elles sont plutôt utilisées dans le cas d’éléments absorbants et/ou diffusants « discrets »,comme les aérosols, et les particules constitutives des nuages.

iii. Coefficients relatifs d’absorption k et de diffusion 1 k

Ce sont les valeurs relatives, au sein de l’extinction, des coefficients d’absorption et dediffusion :

*déf

abs absabs

ext ext

K skK s

, plutôt noté k , est parfois appelé « co-albédo » (par allusion à son

complément à 1) ;

*déf

dif difdif

ext ext

K sk

K s, plutôt noté 1 k , est appelé « albédo de la diffusion simple ».

Ces deux coefficients n’ont pas de dimension physique, et sont compris entre 0 et 1.

Compte tenu de leur définition, et de la définition de l’épaisseur optique, qui implique lecoefficient massique ou la surface efficace d’extinction, ce sont eux qui interviennentdirectement dans l’expression de l’équation du transfert radiatif en coordonnée « épaisseuroptique ».

iv. Fonction (de phase) de la diffusion ( ' )difP s s , ou (cos )dif difP

Elle complète par une information angulaire la description de la diffusion, entamée avecl’introduction de difK et difs ; elle est définie par le fait que la probabilité que le rayon

incident en x selon 's soit diffusé selon s , à sd près (c’est à dire dans l’angle solide sd )est

1 . ( ; ' ).4 dif sP x s s d .

Elle n’a pas de dimension physique (le « 4 » de cette expression est homogène à un anglesolide) .

v. Epaisseur optique t

On assimile ici l’épaisseur optique à une caractéristique « locale », bien qu’elle soit définie defaçon intégrale, dans la mesure où elle est effectivement définie en chaque point, et connuequand sont connus composition et état thermodynamique de l’atmosphère.L’épaisseur optique est définie par

. .extdt K dz , ou . .extdt s n dz , et ( ) 0t z

soit

0

. . .p

ext extz

dpt K dz Kg

, ou0

. . . .p

ext extz

n dpt n s dz sg

95

L’épaisseur optique est sans dimension physique.

c. Paramètres « globaux », pour une géométrie homogène horizontalement

Bien que ces paramètres soient susceptibles de définitions plus générales, on se limite ici à lesdéfinir par référence à des flux, ascendant ou descendant, au niveau d’altitude z , oud’épaisseur optique t , et dans le cadre quasi-homogène horizontalement adopté.

Dans le présent cours, il est largement suffisant de se référer à des flux hémisphériques, maison profite de cette mise au point pour signaler une conception plus fine des choses, sur le casparticulier de l’albédo (mais qui est généralisable aux autres paramètres « globaux » évoqués).

Tous les paramètres évoqués sont sans dimension physique, et sont compris entre 0 et 1.

i. Albédo a , réflectivité

L’albédo (ou réflectivité hémisphérique-hémisphérique) est le rapport au flux hémisphériqueincident sur un plan physique au sein de l’atmosphère, en général le sommet ou la base d’unnuage, ou la surface terrestre, du flux (rétro)diffusé dans l’hémisphère d’incidence, dit flux« réfléchi ».

( , ) réfléchi

incident

Fa z ou t

F.

L’albédo sera en général suffisant pour décrire la réflectivité dans le présent cours.

Mais il est intéressant d’ajouter ici que, si l’on a besoin de garder une information angulairedans ce concept de « réflexion » globale relative au niveau d’une surface (ce peut être le casdans le traitement radiatif de la surface terrestre), il faut faire intervenir les luminances et nonplus les flux, et plusieurs degrés de détail sont possibles.

Au degré de détail le plus fin, la notion de base est celle de fonction de distribution de laréflectivité bidirectionnelle (équivalent surfacique de la fonction de phase volumique de ladiffusion), qui se réfère à des directions, et à leurs angles solides élémentaires associés ; c’estle rapport du flux élémentaire réfléchi dans la direction s au flux élémentaire incident dans ladirection 's :

' '

( ) ( ).cos .( ' )

( ') ( ').cos .

défréfléchi réfléchi s s

réfincident incident s s

F s I sP s s

F s I s,

où l’on a laissé tomber dans l’écriture le niveau d’affectation, et où indique l’angle entre ladirection qui y figure en indice et la verticale (ou, plus généralement, la normale à la surfaceconsidérée)

A un degré intermédiaire, on trouve la notion de réflectivité d’un angle solide fini vers unautre : c’est le rapport ( ' )a du flux réfléchi à l’intérieur d’un angle solide fini au fluxincident à l’intérieur d’un angle solide fini ' :

96

( ' )

' ''

( ).cos .( )( ') ( ').cos .

réfléchi s sdéfréfléchi

incident incident s s

I sF

aF I s

soit

' '( ' ) '

' ''

( ' ). ( ').cos .cos . .

( ').cos .

réf incident s s s s

incident s s

P s s I sa

I s

Au degré le plus intégré, en choisissant 2 pour les angles solides incident et réfléchi, onretombe sur l’albédo, réflectivité d’un hémisphère vers un autre, définie un peu plus haut :

(2 2 )a a .Accessoirement, on remarquera d’ailleurs qu’en croisant les choix entre direction, anglesolide fini et hémisphère, séparément pour rayonnement incident et rayonnement réfléchi, onpeut définir conceptuellement neuf types de réflectivité !

ii. Transmission globale (ou transmissivité)

La transmission globale d’une couche atmosphérique (par exemple d’un nuage) est le rapportdu flux hémisphérique sortant de la couche à l’une de ses extrémités (par exemple, pour lerayonnement solaire, la base du nuage) au flux hémisphérique incident à l’autre (dansl’exemple en cours, le sommet du nuage) :

( )

( )

sortiedéftransmis

entréeincident

FF

On peut, naturellement, imaginer pour la transmission tous les raffinements angulairesévoqués ci-dessus pour la réflectivité.

iii. Absorption globale A (ou absorptivité)

L’absorption globale d’une couche atmosphérique est le rapport du flux absorbé au sein de lacouche au flux hémisphérique incident ; si on se réfère aux mêmes niveaux d’entrée et desortie, et l’albédo se référant au niveau d’entrée, le principe de conservation de l’énergieimplique

1A a

Comme pour la transmission, les diverses options de définition de la réflectivité, liées auxangles solides considérés, peuvent conceptuellement se décliner pour l’absorptivité.

iv. Emissivité

L’émissivité est le rapport au flux d’émission du corps noir du flux réel émis au pointconsidéré.

97

Dans le présent cours, l’émissivité définie en termes hémisphériques, au niveau d’un planphysique au sein de l’atmosphère (en général le sommet ou la base d’un nuage, ou la surfaceterrestre), sera en général suffisante pour décrire l’émission :

( , ). ( ( , ))

émisFz ou tB T z ou t

.

Si la valeur de l’émissivité est indépendante de la longueur d’onde, la surface est dite« grise » ; elle est, bien sûr, « noire » si cette valeur est 1.

98

IV. PRISE EN MAIN DES NOTIONS DE BASEDU TRANSFERT RADIATIF

Ce chapitre de transition propose des éléments d’appropriation des concepts de base dutransfert radiatif et de l’ETR, à travers quelques manipulations analytiques, dans dessituations atmosphériques pertinentes : le comportement radiatif d’un nuage dans le spectresolaire, et une représentation très sommaire de l’effet de serre dans le domaine tellurique.

L’ETR est complexe, et l’opportunité de développements analytiques, si intéressants et utilesavant de se tourner vers les techniques numériques (qui ne permettent pas toujours le mêmecontact avec la physique des phénomènes), n’est bien entendu possible que dans des cas degéométrie et de forçages considérablement simplifiés, donc dans des configurations radiativesnécessairement académiques, et de portée essentiellement pédagogique.

La classique schématisation unidimensionnelle « à deux paramètres énergétiques » (deuxluminances, ou deux flux), introduite ici, n’est pour autant pas dénuée de retombées dans ledomaine de la modélisation numérique du transfert radiatif dans l’atmosphère (qui en utiliseassez largement diverses versions, comme l’approximation dite « d’Eddington » -que l’onretrouvera dans la suite-, ou des extensions à un nombre de paramètres un peu supérieur à deux).

1. MODELE UNIDIMENSIONNEL A DEUX PARAMETRES ENERGETIQUES

A. Rappel de l’ETR générale

On rappelle l’équation quasi-stationnaire du transfert radiatif, sous sa forme générale pourl’intensité (ou luminance) du rayonnement « diffus » vI , telle qu’applicable à une atmosphèresupposée homogène horizontalement, ainsi que sa version intégrée pour le rayonnementsolaire direct (parallèle) S :

,

2 1

,' 0 ' 1

( , , ). ( , , )

1 ( ) . (0).exp . ( ; , , , )4

( ; , , ', '). ( , ', '). '. '

( ). ( )

{

}

v vv v

v

v vdif v Soleil Soleil

Soleil

dif v

I t I tt

k t tS P t

P t I t d d

k t B T

( , , ) (0).exp{ }. ( ). ( )Dirac Soleil Dirac SoleilSoleil

tS t S

99

On notera que cette formulation est effectivement très générale, mais que certains termes n’ysont pas à prendre en compte ensemble ; ainsi, le terme d’émission en B est négligeable dansla partie solaire du spectre, et le terme solaire « direct » en S est considéré comme nul dansla partie tellurique du spectre. D’autres simplifications peuvent résulter de l’importancerelative des mécanismes d’interaction entre matière et rayonnement, selon la fréquence (ou lalongueur d’onde) considérée, ou encore, comme c’est le cas ici, du désir d’isoler dessituations partiellement calculables analytiquement.

On rappelle d’abord les conventions de vocabulaire et de notation déjà introduites, et utilesdans le présent chapitre.

Les trois termes de droite de l’équation pour le rayonnement diffus décrivent respectivementles contributions de l’extinction, de la diffusion, de l’émission.

I est l’intensité, ou luminance, spectrale, à la fréquence ; une grandeur reliée,particulièrement intéressante en modélisation, est le flux horizontal associé

2 1

0 1

( ) ( , , ). . .F z I z d d , dont la divergence Fz

donne accès à la

composante spectrale, de fréquence , du chauffage radiatif.

cos et définissent la dépendance angulaire du « rayon » de propagation del’onde électromagnétique ( est l’angle zénithal, est l’azimut).

S est le flux solaire direct (à travers une surface normale à la direction du Soleil,Soleil Soleil ), (0)S sa valeur au sommet de l’atmosphère.

( )B T la fonction de Planck décrivant l’émission spectrale du corps noir à latempérature T .

(1 )k et k sont l’albédo de la diffusion simple et le co-albédo associé, coefficientssans dimension définissant les contributions relatives à l’extinction, de la diffusion etde l’absorption respectivement ; ,difP est la fonction de phase de la diffusion, oufonction de diffusion, régissant la répartition angulaire de la diffusion (la probabilitéque le rayon incident selon la direction ', ' soit diffusé dans l’angle solide

élémentaire centré sur la direction , est ,1 . ( ; , , ', ').sin . .

4 difP t d d ).

B. Un modèle unidimensionnel à deux paramètres énergétiques

a. Principe

Dans le présent chapitre, pour pouvoir conduire des développements analytiques, on se placedans un cadre spatial unidimensionnel, ceci signifiant ici plus précisément que les intensités

100

radiatives (ou luminances) sont supposées ne dépendre que de la coordonnée verticaleretenue, et pas des paramètres directionnels , .

Dans ce contexte, à un niveau donné, on décompose l’intensité I en deux contributionspositives représentatives de chaque hémisphère, l’une « ascendante » I , l’autre« descendante » I , sous la forme :

I I I .

Dans les équations de la suite du chapitre, le point de vue adopté est le plus souvent, mais pastoujours, « spectral » : sauf indication contraire, les paramètres sont supposés relatifs à lafréquence , même lorsque ce n’est pas explicité, dans le souci d’éviter des surchargesd’indices (l’indexage de l’épaisseur optique t et du coefficient d’absorption k , en t et krespectivement, sera alors en principe toutefois là pour rappeler cette position).

b. Hypothèse unidimensionnelle brutale

Dans l’étude du transfert radiatif, l’hypothèse unidimensionnelle simplificatrice peut êtreintroduite d’une façon purement mathématique : le monde considéré est unidimensionnel, lesintensités dépendent de la seule coordonnée retenue, qui n’est d’ailleurs pas nécessairementverticale (auquel cas les indices et , signifient « dans le sens positif » et « dans le sensnégatif » respectivement, plutôt que « montant » et « descendant »), et la forme des termes del’interaction entre matière et rayonnement est postulée dans la continuité des considérationsqui ont abouti à l’établissement de l’ETR.

La coordonnée indépendante est plutôt naturellement, dans ce cas, la distance.

On notera bien qu’à une seule dimension d’espace, dans cette acception, il n’y a pas lieu dedistinguer vraiment intensité et flux (bien que ceux-ci n’aient pas la même dimensionphysique !).

Ainsi, par exemple, soit un milieu unidimensionnel non émetteur, mais absorbant et diffusant,décrit par la coordonnée , susceptible de parcourir un domaine 0, L .

S’il s’agit de l’atmosphère, et si z , on aura, dans le domaine des petites longueurs d’onde,une représentation très simplifiée du transfert du rayonnement solaire diffus à travers unnuage schématisé par des plans horizontaux 0z et z L (on laisse tomber, poursimplifier, la contribution directe du rayonnement solaire) ; c’est avec cette application en têtequ’est choisie la géométrie ici retenue (figure 1.(a)).

Le rayonnement incident (pénétrant dans le domaine) à l’extrémité L est considérédonné : ( ) LI L I (dans le cas du nuage : flux solaire incident au sommet), et on suppose(pour simplifier) qu’il n’y a pas de rayonnement incident à l’extrémité 0 : (0) 0I (dansle cas du nuage : surface terrestre complètement absorbante, voir paragraphe 2. plus bas pourexplication et assouplissement de cette position).

101

Figure 1 – Modèle de base d’absorption et de diffusion, unidimensionnel à deux luminances ;(a) : géométrie du modèle ; (b) : cas purement absorbant ; (c) : cas purement diffusant.

Avec les hypothèses adoptées, l’ETR peut s’écrire, pour chacune des deux composantes de laluminance (on laisse tomber l’écriture de la dépendance en pour alléger, mais il s’agit biena priori de composantes spectrales) :

( )I perte algébrique par extinction gain par diffusion

Ce bilan peut se décliner, en supposant pour simplifier une diffusion équiprobable dans lesdeux directions :

( ). .( )2dif

abs dif

KIK K I I I

( ). .( )2dif

abs dif

KIK K I I I

où l’on identifie clairement les pertes et les gains annoncés pour chaque composante, et où lescoefficients positifs absK et difK décrivent respectivement l’absorption et la diffusion (onvérifiera avec soin la cohérence de cette formulation du point de vue des signes -l’extinctiondoit diminuer l’intensité dans le sens de la propagation !- et du point de vue de l’effet résultantsur l’intensité totale I I I -par exemple, l’effet de la diffusion « intégré » (sommé) surles deux directions doit être nul-).

102

Ce système d’équations différentielles linéaires pour I et I se résout aisément si lescoefficients sont supposés indépendants de , mais on n’insiste pas ici sur cette résolutiongénérale, et on examine seulement les deux cas extrêmes :

d’un milieu non diffusant à la fréquence considérée, soit 0difK :les équations sont découplées, et l’intégration est facile. En tenant compte des conditions auxlimites, on trouve (figure 1.(b)) :

( ) 0I , ( ) .exp( .( ))absLI I K L ,

soit une fonction de transmission ( ) ( )( )

défL

abs

II L

qui est exponentielle entre les niveaux L et

(notamment sur l’épaisseur du nuage, c’est-à-dire entre les niveaux L et 0 ) :( ) exp( .( ))Labs absK L .

d’un milieu non absorbant à la fréquence considérée, soit 0absK :le système devient

.( )2difKI

I I

.( )2difKI

I I

donc, par soustraction des équations, I I Cste (ce qui était attendu pour la luminancetotale en l’absence d’absorption), donc, compte tenu des conditions aux limites,

(0)I I I et . (0)2difKI I

I .

Il en résulte (figure 1.(c)) :

. (0)( ) .

2difK I

I ,. (0)

( ) .( )2

difL

K II I L

On a donc en particulier, pour 0 dans le résultat pour I :. (0)

(0) .2

difL

K II I L , soit

(0) .1

2

L

dif

II K L , et une fonction de transmission ( ) ( )

( )

défL

abs

II L

égale à2 .2 .

dif

dif

KK L

, très

différente dans sa forme de celle du cas de l’absorption pure.

c. Hypothèse unidimensionnelle raisonnée, dans le cadre atmosphérique

i. Principe

On peut postuler moins brutalement l’hypothèse unidimensionnelle en « dégénérant » l’ETRgénérale : en amont on a bien un monde tridimensionnel, que l’on simplifie pour l’amener à

103

des traitements accessibles, au moins qualitativement, de façon analytique. La coordonnéeindépendante est plutôt naturellement, dans ce cas, l’épaisseur optique.On notera bien que, dans cette configuration, les flux hémisphériques (spectraux) sontrespectivement .F I et .F I , et le flux net (spectral) est donc .F I I .

Une première étape consiste, très naturellement dans la mesure où l’on souhaite diminuerdrastiquement la dépendance angulaire des paramètres, à procéder à une intégration de l’ETRpar rapport à l’azimut .

L’intensité « moyennée en azimut »2

0

1( , ) . ( , , ).2

défI t I t d vérifie ainsi, dans

l’atmosphère, l’équation

1

,

1

,

( , ) 1. ( , ) . ( ; , '). ( , '). '2

1 . (0).exp . ( ; , )4. ( )

dif

vdif Soleil

Soleil

I t kI t P t I t dt

k tS P t

k B T

où, supposant , ,( ; , ', , ') ( ; , ', ')dif difP t P t , c’est-à-dire une fonction dediffusion isotrope en azimut, on a posé :

2

, ,0

1( ; , ') . ( ; , ', '). ( ')2

déf

dif difP t P t d

La suite de la démarche consiste à mettre en évidence deux valeurs hémisphériquementreprésentatives de , soit et , telles que le modèle à deux paramètres puisse, avec un

réalisme acceptable, se contenter de traiter ( , )I t et ( , )I t , et affecter chaque résultat

à l’hémisphère représenté, avec des flux hémisphériques égaux à . ( , )I t et à

. ( , )I t respectivement. Les paramètres 1 et 1 portent historiquement le nom de« facteurs de diffusivité » de l’approximation considérée.

Il y a bien des façons de procéder.

ii. Déduction des équations pour les paramètres hémisphériques

Une méthode classique, relativement élaborée, pour parvenir à une telle simplificationunidimensionnelle, consiste à décomposer la luminance et la fonction de diffusion enharmoniques sphériques.

Par exemple, pour la fonction de diffusion, on écrit

104

( ), ,

0

( ; , ') (2 1). ( ). ( ). ( ')pdif dif p p

p

P t p p t PL PL ,

avec1

( ), ,

1

1( ) ( ;cos ). (cos ). cos

2p

dif dif dif p dif difp t P t PL d , où pPL désigne le polynôme

de Legendre de degré p (et où 2 2cos . ' (1 ). (1 ' ).cos 'dif ).

L’ intégrale 1

,

1

( ; , '). ( , '). 'difP t I t d de l’ETR peut être estimée par une quadrature de

Gauss sur un nombre fini de valeurs discrètes j de .

L’approximation unidimensionnelle à deux paramètres consiste à se limiter à deux telles valeurs discrètes, que le développement de la théorie, compte tenu des propriétés des

polynômes de Legendre, montre égales à 3

3(correspondant à des facteurs de

diffusivité de 1 3 ) : les deux valeurs hémisphériques des luminances définissant le

modèle correspondent à 3

( , )3

I t et à 3

( , )3

I t .

A noter en passant que, dans le modèle à deux paramètres énergétiques, les deux valeurs représentatives et de ne sont pas nécessairement l’opposée l’une de l’autre, mais

que, en pratique, elles le sont très souvent.

Ici, l’objectif étant surtout pédagogique, on n’entrera pas dans cette technique un peu compliquée, et on s’appuiera plutôt sur une simplification assez radicale de la réalité atmosphérique : on fait comme si les intensités avaient une valeur unique dans chaque « hémisphère », soit la valeur I et la valeur I , indépendantes de , de part et d’autre du

plan horizontal courant (figure 2) :

( , ) ( ), 0I t I t , ( , ) ( ), 0I t I t ,

Figure 2 – Visualisation de l’hypothèse simplificatrice à deux intensités hémisphériques.

105

L’injection de cette hypothèse dans l’ETR conduit à un jeu de deux « ETR composantes » :

( ) ( ), ,

,

0 : . (1 ).(1 ). (1 ). .

1 . (0).exp . ( ; , )4. ( )

arrière arrièrev dif v dif

v

vdif Soleil

Soleil

II k p I k p I

t

k tS P t

k B T

( ) ( ), ,

,

0 : . (1 ).(1 ). (1 ). .

1 . (0).exp . ( ; , )4. ( )

arrière arrièrev dif v dif

v

vdif Soleil

Soleil

II k p I k p I

t

k tS P t

k B Toù

0 1

, ,

1 0( ), 1 0

, ,

0 1

1 1. ( ; , '). ' 1 . ( ; , '). ' 02 2

( ; )1 1. ( ; , '). ' 1 . ( ; , '). ' 02 2

dif difdéf

arrièredif

dif dif

P t d P t dp t

P t d P t d

quantifie la proportion du rayonnement « rétro-diffusé », c’est-à-dire prélevé par diffusion surl’intensité correspondant au signe de son argument , pour abonder l’intensité correspondantau signe opposé (les secondes égalités dans la définition résultent de la condition denormalisation à 1 de la probabilité de la direction de diffusion, c’est-à-dire de la valeur 4 del’intégrale de ,difP sur toutes les directions angulaires).

Intégrant en chaque ETR composante dans son hémisphère de validité, et posant

1 0( ) ( )

, ,,0 1

( ) ( ; ). ( ; ).déf

arrière arrièredif difdifp t p t d p t d ,

on obtient en définitive la forme unidimensionnelle cherchée :

,

( ),

. . (1 ). .( )

1 . ( ). (0).exp2. ( )

v v difv

arrièrevdif Soleil

Soleil

Ik I k p I I

t

k tp S

k B T

106

,

( ),

. . (1 ). .( )

1 .(1 ( )). (0).exp2. ( )

v v difv

arrièrevdif Soleil

Soleil

Ik I k p I I

t

k tp S

k B T

où la dépendance en t des variables et coefficients est implicite, et où 12

: dans

cette approche, les valeurs de représentatives des intensités hémisphériques arguments du

modèle unidimensionnel sont donc 12

, et les facteurs de diffusivité 2 .

On peut par ailleurs montrer que

,

1 1 (cos ).cos . (cos )2 dif dif dif difdifp P d ,

l’intégrale dans cette formule étant le facteur d’asymétrie g de la fonction de diffusion,exprimé ici sous sa forme primitive d’une fonction du seul angle de diffusion dif , mais quel’on peut aussi exprimer en termes de , , ', ' (chapitre III - III. 2. C. a.- ).

Dans la suite de ce chapitre, on adoptera la forme figurant juste ci-dessus des équations, avec :

(donc, deux valeurs opposées 1 du facteur de diffusivité), pouréviter des expressions inutilement trop compliquées ;

des valeurs homogènes (indépendantes de t ) des paramètres k , ,difp ,( )

, ( )arrièredif Soleilp , pour pouvoir aboutir à des formulations analytiques.

iii. Généralisation

Après cette déduction simplifiée, et l’évocation de l’existence de multiples déductionsheuristiques de l’approximation à deux paramètres, il est facile d’imaginer que l’on peutfabriquer « sur mesure » des versions de cette approximation à partir de la forme génériqueobtenue : il suffit de partir de

1 1. . . (0).exp . . ( )2

v

v Soleil

I k tC I C I C S k B Tt

1 1. . . (0).exp . . ( )2

v

v Soleil

I k tC I C I C S k B Tt

,

avec 0C C , 0C C , 1C C , et d’ajuster, plus ou moins empiriquement,les choix des paramètres C , de et de , pour générer de tels modèles.

107

On notera aussi que, bien que dans cette famille de modèles, intensités et flux ne sedistinguent pas ( .F I ), le concept de modèle à deux paramètres est espéré moins irréalistevis à vis des flux, qui sont eux mêmes le résultat d’intégrations angulaires, que vis à vis desintensités ; d’ailleurs, en outre, c’est pour les flux que le concept est le plus utile, car ce sonteux qui déterminent au final le taux radiatif d’échauffement de l’air atmosphérique.

iv. Introduction à l’approximation d’Eddington

Parmi toutes les formulations possibles, on peut signaler pour information les lignesdirectrices de la déduction historique de la célèbre approximation d’Eddington, largementcitée et utilisée en modélisation radiative. Le point de départ consiste à :* développer linéairement en la luminance intégrée en : 0 1( , ) ( ) . ( )I t I t I t ;* développer la fonction de diffusion intégrée en à l’ordre 1 en polynômes de Legendre,

soit : , ,( ; , ') 1 3(1 2 ). . 'dif difP t p .

La substitution de ces approximations dans l’ETR « moyennée en azimut » (i.), l’intégrationen (de 1 à 1) de l’équation résultante et de la même multipliée par , conduit à :

,01,

3(1 ).(1 2 ).1 (1 ).(1 2 ) . . (0).exp

4Soleildif

difSoleil

k pI tk p I St

10

3(1 )3 . . (0).exp . ( )4 Soleil

k tI k I S k B Tt

Le passage aux luminances hémisphériques I et I se fait en remarquant que

1 1

0 1 0 10 0

22 . . 2 .( . ). ( )3

I I d I I d I I

1 1

0 1 0 10 0

22 . . 2 .( . ). ( )3

I I d I I d I I

Au final, tous calculs faits, et dans le formalisme évoqué plus haut pour les approximations àdeux luminances généralisées, l’approximation historique d’Eddington correspond à

,

3 1 (1 ).(1 2 )4 difC C k k p ,

,

3 1 (1 ).(1 2 )4 difC C k k p ,

,1 3(1 2 ). 2SoleildifC C p ,

108

23

(facteurs de diffusivité 32

)

Une version de l’approximation d’Eddington un peu plus élaborée (dite corrigée « en delta »)sera évoquée au chapitre X, dans le cadre de l’exposé d’une démarche de représentationopérationnelle du transfert radiatif en modélisation atmosphérique.

2. DOMAINE SPECTRAL SOLAIRE :UN MODELE RADIATIF ACADEMIQUE DE NUAGE

A. Le modèle radiatif de nuage

Dans ce paragraphe, on se propose de présenter quelques aspects analytiques d’un modèleradiatif très simplifié de nuage, dans la partie solaire du spectre (on rappelle, si besoin, que danscette partie des « petites longueurs d’onde » du spectre, le terme d’émission de l’ETR est nul ausein de l’atmosphère).

Figure 3 – Géométrie du modèle radiatif simplifié de nuage.

109

On adopte le modèle unidimensionnel à deux luminances établi au paragraphe 1.La coordonnée verticale est l’épaisseur optique t .

Le nuage est plutôt stratiforme, compte tenu de l’hypothèse d’homogénéité horizontaleretenue. Il a une épaisseur optique totale nuaget , et s’étend sur la verticale de nuaget t (à labase) à 0t (au sommet).

Bien que la plupart des développements considèreront que la surface terrestre estcomplètement absorbante, on se laisse d’abord la possibilité d’un albédo non nul de celle-ci,noté surfa ; la couche entre la surface terrestre et la base du nuage est considérée comme nonabsorbante et non diffusante. La figure 3 schématise la configuration retenue.

On s’intéressera surtout aux caractéristiques radiatives globales du nuage qui découlent del’ETR dans un tel schéma simplifié, à savoir essentiellement son albédo nuagea et satransmission globale nuage , son absorption globale nuageA étant reliée à ces deux paramètrespar 1nuage nuage nuagea A .

On laisse tomber pour simplifier la partie directe du rayonnement solaire (il n’est pas trèsdifficile, mais c’est un peu fastidieux, particulièrement dans le cas d’une surface noncomplètement absorbante, de prendre en compte analytiquement la présence du rayonnementsolaire direct dans le traitement unidimensionnel à deux luminances du rayonnement diffus : ilsuffit d’ajouter le terme correspondant dans chaque équation aux luminances, et de calquer ladémarche de résolution sur celle qui va être développée ci-dessous).

On admet les conditions aux limites suivantes :

( ) . ( )nuage surf nuageI t a I t , conformément à l’hypothèse adoptée pour la surfaceterrestre et pour la couche entre celle-ci et la base du nuage (notamment, pas deluminance ascendante à la base du nuage, ( ) 0nuageI t , pour une surface terrestrecomplètement absorbante -qui ne réfléchit rien vers le haut à la fréquence considérée :

0surfa -) ;

0( 0)I t I : l’ intensité diffuse entrante au sommet du nuage est supposée connue.

Il faut signaler que lorsque, ci-dessous, certaine formulation trouvée dans le cas générals’avère prendre une forme indéterminée pour une valeur particulière de certain paramètre (parexemple k en 0 ou en 1), elle est supposée par convention y rester valable, à condition deconsidérer sa limite lorsque le paramètre en cause tend vers la valeur concernée.

B. Les équations aux luminances et leur solution générale

Les équations du problème envisagé sont celles du modèle unidimensionnel à deuxparamètres introduit plus haut (1. B. c. ii.), sans émission ni rayonnement solaire direct :

110

. . (1 ). .( )v v difv

Ik I k p I I

t

. . (1 ). .( )v v difv

Ik I k p I I

t

Pour rendre possible une résolution analytique, on suppose vk et difp indépendants de vt .

Une manipulation simple sur ces deux équations (addition et soustraction membre à membre,dérivation en t , substitution) permet de montrer que I I et I I vérifient la mêmeéquation du second ordre

22

2 .d I Idt

où l’on a posé1/ 2

.( 2 (1 ). )déf difk k k p

La solution pour I , donc également pour I et I , est combinaison linéaire desexponentielles exp( . )t et exp( . )t :

.exp( . ) .exp( . )I C t C t

.exp( . ) .exp( . )I C t C t

La substitution de ces formes dans les équations différentielles régissant séparément I et I ,et l’identification à 0 , séparément, des coefficients de exp( . )t et de exp( . )t permet demontrer que les quatre constantes C sont liées par

11 2 . 1

11 2 . 1

dif déf

dif

kpkC C

aC C kp

k

L’application des conditions aux limites retenues, ( ) . ( )nuage surf nuageI t a I t , 0( 0)I t I ,permet de conclure à

02

. . exp .( ) exp .( )( ) . ( )

exp( . ) .exp( . )nuage nuage

surfnuage nuage

a I t t t tI t a f t

t a t

111

20

2

. .exp .( ) exp .( )( ) . ( )

exp( . ) .exp( . )nuage nuage

surfnuage nuage

I a t t t tI t a f t

t a t

où

20

2

. exp .( ) .exp .( )( )

exp( . ) .exp( . )

déf nuage nuage

nuage nuage

I t t a t tf t

t a t

02

. . .exp .( ) exp .( )( )

exp( . ) .exp( . )

déf nuage nuage

nuage nuage

a I a t t t tf t

t a t

C. Le cas d’une surface terrestre complètement absorbante

On se place ici dans la configuration d’une surface terrestre à albédo nul ( 0surfa ), donc avec

02

. . exp .( ) exp .( )( )

exp( . ) .exp( . )nuage nuage

nuage nuage

a I t t t tI t

t a t

20

2

. .exp .( ) exp .( )( )

exp( . ) .exp( . )nuage nuage

nuage nuage

I a t t t tI t

t a t

On commence par s’intéresser à des cas particuliers : le cas du nuage d’épaisseur optiqueinfinie (un tel nuage n’existe bien sûr pas, et on reviendra en fin de ce sous-paragraphe sur lesconditions d’application d’une telle hypothèse), et le cas du nuage non absorbant.

a. Cas particulier d’un nuage d’épaisseur optique infinie

Lorsque surft , la solution devient 0( ) . . exp .I t a I t , 0( ) . exp .I t I t .

L’albédo au sommet du nuage est

11 2 . 1. (0). (0) 11 2 . 1

dif

nuage

dif

kpkI

a aI kp

k

.

S’il n’y a pas d’absorption ( 0k ), l’albédo est (évidemment) égal à 1, quel que soit difp .

Si 0difp , l’albédo est nul, quel que soit k (en liaison avec le fait que la diffusion a alorstoujours lieu selon sa direction de propagation, un cas bien peu réaliste).

Hors ces cas très particuliers, la figure 4 montre la dépendance de l’albédo avec (1 k ), pourdeux valeurs de difp . On notera l’importance de l’absorption totale du nuage, même sil’absorption est faible : ceci traduit le fait des diffusions multiples au sein du nuage.

112

Figure 4 – Variation de l’albédo d’un nuage d’épaisseur optique infinie,avec l’intensité relative de l’absorption, et selon l’asymétrie 1 2 difp de la diffusion,

repérée sur les courbes par la valeur de difp .

Le flux spectral .F I I décroît selon 0. 1 . . exp .F a I t .

Pour un nuage purement absorbant, 0a , 1 , et 0. . exp tF I , soit, en

cohérence avec le modèle retenu, un résultat équivalent à l’absorption dans ce contexte d’unfaisceau parallèle incident à .

Quant au taux de chauffage radiatif spectral, d,rad

FQdt z

en configuration

unidimensionnelle, il vaut ( )0. . 1 . . exp . . vol

extF F t a F t Kz t z

, où

0 0.F I est le flux au sommet du nuage, et ( )volextK le coefficient volumique d’extinction

introduit au chapitre III (III. 2. B. a.).

b. Cas particulier d’un nuage non absorbant

On considère maintenant un nuage non absorbant à la longueur d’onde considérée, soit 0k(donc 1a , 0 ), une hypothèse forte mais pas si irréaliste pour les gouttelettes nuageusesdans la partie visible du spectre.

113

Sous cette hypothèse,

l’équation en I I devient . 0v

I It

, ce qui, par intégration, implique la

constance du flux radiatif .F I I sur la verticale au sein du nuage (ce qui estbien sûr attendu en l’absence d’absorption) ;

l’équation pour I I devient . 2 .difv

I Ip I I Cste

t, ce qui

implique 00

2 ..

.difp F

I I t I I , les constantes0

F et0

I I étant

déterminées par l’application des conditions aux limites.

Avec les conditions aux limites ( ) 0nuageI t , 0(0)I I , I et I vérifient, tous calculs faits :

0. . ( )( )

1 .

difnuage

difnuage

pI t t

I t pt

,0. 1 .( )

( )1 .

difnuage

difnuage

pI t t

I t pt

L’albédo et la transmission totale du nuage (dont la somme doit valoir 1 en l’absenced’absorption) sont donc

.. (0). (0)

1 .

difnuage

nuagedif

nuage

pt

Ia pI

t,

( ) 1(0)

1 .

nuagenuage

difnuage

I tpI

t

Comme attendu, quand nuaget , 1nuagea , et 0nuage ; des grandes épaisseurs de nuagepeuvent cependant permettre encore des transmissions significatives (pour 100nuaget ,

6%nuage ), en lien avec l’absence d’absorption et les diffusions multiples au sein du nuage.

c. Cas général

Dans le cas général ( 0k , nuaget ), les caractéristiques radiatives globales du nuage sont données par

2

. exp( . ) exp( . ). (0). (0) exp( . ) .exp( . )

nuage nuagenuage

nuage nuage

a t tIa

I t a t

2

2

. ( ) 1. (0) exp( . ) .exp( . )

nuagenuage

nuage nuage

I t aI t a t

114

La figure 5 montre la dépendance correspondante de l’albédo et de la transmission totale dunuage, en fonction de l’épaisseur optique du nuage, pour une valeur de difp considérée

comme raisonnable pour des gouttelettes nuageuses dans le spectre solaire ( 7,5%difp ).Noter, pour une épaisseur de nuage donnée, la sensibilité des paramètres à une croissance dek , et la variation plus rapide vers les valeurs asymptotiques lorsque k augmente.

Figure 5 – Albédo nuagea (courbes supérieures) et transmission globale nuage (courbesinférieures), en fonction de l’épaisseur optique du nuage, pour diverses valeurs de l’intensitérelative de l’absorption, et pour une asymétrie de la diffusion ( 1 2 difp ) égale à 85% .

L’absorption globale du nuage est, bien sûr, 1nuage nuage nuageA a .

Concernant la transmission globale, on peut en séparer les composantes directe ( )directnuage

(proportion de photons traversant le nuage de haut en bas sans diffusion) et diffuse( ) ( )1diffus directnuage nuage (proportion de photons ayant subi au moins une diffusion lors de la

traversée du nuage), si l’on remarque que la composante directe ne dépend que de nuaget : onpeut donc estimer celle-ci dans le cas non diffusant, et obtenir la composante diffuse parcomplément à la transmission totale.

Or, dans le cas non diffusant, 1k , 0a , 1 , et exp( )nuagenuage

t.

Donc

115

( ) exp( )nuagedirectnuage

t

2( )

2

1 exp( )exp( . ) .exp( . )

nuagediffusnuage

nuage nuage

tat a t

( 1 exp( )1 2 .

nuage

nuagedif

tp t

à la limite 0k )

Toujours concernant la transmission globale, on peut revenir sur la condition sous laquellenuaget est suffisamment grande pour que l’on puisse considérer le nuage comme « à épaisseur

optique infinie ».

La condition nuage , étant « petit », se traduit par une condition, fonction de , liant

nuaget , k et difp . Comme attendu, le résultat est que, pour de fortes valeurs de k , de

relativement petites valeurs de nuaget « saturent » la petitesse de nuage , alors que, pour defaibles valeurs de k , il faut des grandes valeurs de nuaget pour le faire (figure 6).

Figure 6 – Variation de l’épaisseur optique de nuage assimilable à l’infini (critère :210nuage ) avec l’intensité relative de l’absorption, et selon l’asymétrie 1 2 difp de

la diffusion, repérée sur les courbes par la valeur de difp ( avec 0,5 ).

116

D. Cas d’une surface terrestre non complètement absorbante

On suppose ici que la surface terrestre n’est pas complètement absorbante à la fréquenceconsidérée , et qu’elle a donc à cette fréquence un albédo 0surfa .

La solution générale pour les luminances sous cette condition a été écrite plus haut ;cependant, afin d’introduire un nouveau point de vue pédagogiquement intéressant, on traiteici ce cas, au niveau des caractéristiques globales du nuage, par correction des caractéristiques« intrinsèques » du nuage ( nuagea , nuage ), mises en évidence plus haut dans le cas où la surface,complètement absorbante ( 0surfa ), n’influe pas sur les conditions aux limites du nuage.

La surface non complètement absorbante réfléchit vers le haut, vers la base du nuage, le flux. ( )surf nuagea F t , c’est-à-dire 0. .surf nuagea F . De ce nouveau flux incident à la base du nuage, la

fraction nuage est transmise vers le haut à travers le nuage, la fraction nuagea étant réfléchievers le bas, et constituant l’entrée d’une nouvelle itération du processus de réflexion par lasurface.Et ainsi de suite : chaque « aller-retour » entre base du nuage et surface ajoute ensuite ausommet du nuage -resp. à la base du nuage- une contribution en flux ascendant -resp.descendant- égale au même flux de l’itération précédente multiplié par .surf nuagea a -resp. nuagea -

Il n’y a pas trop de difficulté à se convaincre qu’au total, les flux ascendant au sommet dunuage, et descendant à la base du nuage, en présence de la surface non complètementabsorbante, sont

20 1 1 2

0 0 00

.(0) . . .( . . ) .( )

1 .surfa surf nuagei i

nuage surf nuage surf nuage nuagei surf nuage

aF F a a a a F F a

a a

0 1 10 0 0

0

( ) . . .( . . . ) .1 .

surfa nuagei inuage nuage surf nuage nuage surf nuage

i surf nuage

F t F a a a a F Fa a

ce qui correspond, pour le nuage modifié par la présence de la surface non complètementabsorbante, à de nouvelles propriétés globales,

un albédo0 2

0

0

.(0)1 .

surf

surf

aa surf nuage

nuage nuagesurf nuage

aFa a

F a a

une transmission globale0

0

0

( )1 .

surf

surf

aa nuage nuage

nuagesurf nuage

F tF a a

une absorption globale 0 0 01surf surf surfa a anuage nuage nuageA a

On constate donc que

117

l’albédo 0surfanuagea est supérieur à l’albédo intrinsèque du nuage nuagea , et se réduit à

celui-ci si l’albédo de la surface, ou la transmission du nuage, vaut 0 ; il est égal àl’albédo de la surface si la transmission globale intrinsèque du nuage vaut 1 (car alors

0nuage nuagea A , puisque 1nuage nuage nuagea A ) ;

la transmission globale 0surfanuage est supérieure à la transmission globale intrinsèque du

nuage nuage , et se réduit à celle-ci si l’albédo de la surface, ou l’albédo du nuage, estnul ; elle est égale à 1 si la surface est parfaitement réfléchissante ( 1surfa ) et sil’absorption globale intrinsèque du nuage est nulle ( 1 0nuage nuage nuageA a , donc

1nuage nuagea ) .

3. DOMAINE SPECTRAL TELLURIQUE :UN MODELE ACADEMIQUE D’EFFET DE SERRE

A. Le modèle radiatif

Dans ce paragraphe, on se propose de présenter quelques aspects d’un modèle radiatif trèssimplifié d’atmosphère, unidimensionnel à deux luminances, dans la partie tellurique duspectre.

On travaille cette fois sur les valeurs des luminances et des flux, intégrées sur la partietellurique du spectre ; la coordonnée verticale est l’épaisseur optique t .

Plus précisément, on s’intéresse à la situation d’équilibre d’une atmosphère unidimensionnelled’épaisseur optique totale atmt , s’étendant de sa base ( atmt t ) à son sommet ( 0t ), au dessusd’une surface terrestre émettant comme un corps noir, à la température constante surfT (figure7 (a)).

On part du modèle unidimensionnel à deux paramètres énergétiques déjà exploité dans leparagraphe précédent, sans source externe, mais avec émission en tout point au sein dumilieu :

. . (1 ). .( ) . ( )dif

Ik I k p I I k B T

t

. . (1 ). .( ) . ( )dif

Ik I k p I I k B T

t

( )B T est la fonction d’émission de Planck, intégrée sur tout le spectre et sur l’hémisphère : il

s’agit donc, au facteur 1 près, du flux horizontal hémisphérique émis, soit, selon la loi de

118

Wien,4.( ) TB T ; cette fonction de Planck varie avec l’épaisseur optique par le biais de la

température, on notera quand nécessaire ( ) ( ( ))B t B T t .

Les conditions aux limites les plus naturelles dans le cadre ainsi retenu sont, au sommet( 0t ) : (0) 0I , et à la base ( atmt t ) : ( ) ( )atm surfI t B T .

Figure 7 – Modèle simplifié d’effet de serre :(a) : géométrie du modèle ; (b) : solution pour les luminances et l’émission.

On laisse au lecteur le soin de transposer à ce nouveau cas de figure les démarches de solutionanalytique traitées, dans le cas solaire, au paragraphe précédent (en supposant les coefficientsk , difp constants - indépendants de la position, et de la fréquence-) .

Mais, dans le cas tellurique, c’est en général une bonne approximation que de négliger ladiffusion ( 1k ) ; le système se simplifie alors considérablement :

. ( )I

B t It

. ( )I

B t It

119

Ce système peut être considéré comme un modèle très simplifié d’effet de serre.

On se propose de le montrer tout en récapitulant trois niveaux de complexité croissante (dontcelui-ci) de modélisation analytique purement radiative de la température de surface.

B. Représentations simplifiées de l’effet de serre atmosphérique

a. Quantification de l’effet de serre

On précise d’abord que les deux modèles simples évoqués dans le présent sous-paragraphefont, bien sûr, l’hypothèse de l’équilibre du système Terre-Atmosphère. Ils ne tiennentcependant pas compte des transferts non radiatifs de chaleur (par conduction, turbulence,changements d’état), ce qui constitue évidemment une lacune importante du point de vue duréalisme physique (on y reviendra au chapitre XI).

On a déjà traité du modèle de base sans atmosphère aux chapitres I et III : en égalant les flux

d’énergie solaire disponible . 14 T A

Fa et d’énergie émise par la Terre, considérée comme

corps noir, soit 4. surfT , on trouve

1/ 4

. 14surf T AF

T a ,

soit, avec les valeurs numériques déjà indiquées, 255surfT K , inférieure à la valeurobservée 288surfT K .

Dans un modèle plus évolué intégrant la présence d’une atmosphère, l’effet de serre peut êtrecaractérisé par comparaison aux flux radiatifs telluriques du modèle sans atmosphère.

Concrètement, l’étalon naturel est évidemment le flux tellurique au sommet de l’atmosphère

( ) ( ) 4.tellurique telluriquesommet sommetsommetF F T ,

qui, par la relation d’équilibre (« fermant » le bilan radiatif au sommet)

( ) ( ) (1 ) .4

tellurique solaire T Asommet sommet

aF F F ,

est une donnée d’entrée commune à tous les modèles, et qui est aussi le flux tellurique émisau niveau de la surface pour le modèle sans atmosphère.

Ainsi, on peut quantifier l’effet de serre par :

« l’intensité de l’effet de serre » ( ) ( ) ( )déf

F tellurique telluriquesurf sommetES F F , exprimée en unités de

flux ( 2.W m ), et qui est nulle en l’absence d’atmosphère ; lié simplement au fluxdescendant à la surface dans les modèles élémentaires évoqués ci-dessous, ce

120

paramètre est un indicateur naturel de l’apport en « réchauffement » à la surface,induit par l’existence d’une atmosphère.

« le facteur d’effet de serre »( )

(%)( )

telluriquedéfémis

telluriquesommet

FESF

, sans dimension physique, et qui peut

être défini au point courant atmosphérique, ainsi que pour la surface terrestre ; danscette définition, ( )tellurique

émisF est le flux émis au lieu considéré, il est en général relié à lafonction de Planck intégrée sur l’ensemble du spectre tellurique ( )B T par uneformulation en émissivité du type ( ) . .tellurique

émisF B , avec le plus souvent 1(hypothèse d’émission noire).

b. Modèle avec atmosphère à température verticalement uniforme

Après le modèle sans atmosphère, l’étape suivante dans la représentation des températuresd’équilibre du système Terre-Atmosphère consiste à introduire très sommairement uneatmosphère, et un effet de serre rudimentaire : on considère que la surface terrestre, detempérature surfT , est surmontée par une atmosphère isotherme de température atmT ,

absorbante, et d’émissivité ( )1 telluriqueatm .

Dans ce qui suit, lorsque deux indices sont affectés à un flux, l’indice inférieur indique leniveau d’affectation du flux, l’indice supérieur indique l’émetteur du rayonnement considéré.

Le rayonnement solaire disponible au sommet de l’atmosphère, ( ) (1 ) .4

Soleil T Asommet

aF F , est

supposé arriver à la surface terrestre pour la fraction ( )solaireatm , voisine de 1 (l’atmosphère est

quasiment transparente au rayonnement solaire).

La surface émet , vers l’atmosphère, le flux tellurique ( ) 4.surfacesurfsurfF T .

L’atmosphère émet, vers la surface, et vers l’espace, le flux tellurique ( )atmF , donné par

( ) ( ) ( ) ( ) 4(1 ). .déf

atm atm atm telluriqueatm atmF F F T .

En appliquant la condition d’équilibre radiatif :

- à la base de l’atmosphère : ( ) ( ) ( )surface Soleil atmbase base baseF F F ,

- au sommet de l’atmosphère : ( ) ( ) ( )Soleil atm surfacesommet sommet sommetF F F ,

on peut isoler les termes ( )surfacebaseF et ( )atmF , qui contiennent les températures de la surface et

de l’atmosphère respectivement :

( )( ) ( )

( )

1 .1

solairesurface Soleilatmbase sommettellurique

atm

F F

121

( ) ( )( ) ( )

( )

1 . .1

solaire telluriqueatm Soleilatm atm

sommettelluriqueatm

F F ,

soit

( )4

( )

1 (1 ). . .1 4

solaireatm T A

surf telluriqueatm

aT F

( ) ( )4

( )

1 . (1 ). . .1 4

solaire telluriqueatm atm T A

atm telluriqueatm

aT F

Avec les valeurs, correctes en ordre de grandeur, ( ) 0, 2solaireatm , ( ) 0,9tellurique

atm , et les valeursdéjà utilisées pour les autres constantes, on trouve 285surfT K , 245atmT K , soit unrésultat en meilleur accord avec les valeurs observées que celui du modèle sans atmosphère.

c. Modèle avec atmosphère à température verticalement variable

On revient maintenant au modèle introduit au début de ce paragraphe :

. ( )I

B t It

. ( )I

B t It

Ces équations sont couplées à travers l’hypothèse d’équilibre, laquelle s’exprime par la nullité

du taux de chauffage, donc de Ft

, donc de. It

:

( ) 0I It

,

soit

( ) ( ) (0)I t I t Cste I

Sous ce résultat, une manipulation simple sur les deux équations de transfert (soustraction etaddition membre à membre) permet :

de montrer que le flux émis par l’atmosphère, au point courant t , est la moyenne desflux ascendant et descendant en ce point, soit :

1( ) ( ) ( )2

B t I t I t

d’expliciter la variation (linéaire) en t de ce flux émis, soit :

122

(0)( ) (0) .

2I

B t B t

A la base de l’atmosphère, à atmt t , ( ) ( )atm surfI t B T , en général différente de ( )atmB t : ladiscontinuité de température entre surface et atmosphère au contact de la surface (détruitedans la réalité par les phénomènes de conduction moléculaire et de transfert convectif dechaleur, non pris en compte ici) est décrite par

(0)( ) ( )

2surf atm

IB T B t

Au sommet de l’atmosphère, à 0t , (0) 0I , donc(0)

(0)2

IB .

Il en résulte que, dans l’atmosphère ici décrite, B , donc aussi I , I , varient linéairement parrapport à l’épaisseur optique (figure 7 (b).).

1( ) (0).2 2

tB t I

De(0)

( ) (0) .2atm atm

IB t B t ,

(0)(0)

2I

B , et(0)

( ) ( )2surf atm

IB T B t , on tire

2 . ( )(0)

2surf

atm

B TI

t.

Cette équation contient la description de l’effet de serre du modèle simplifié ici présenté.

Si la surface est maintenue à température constante par l’absorption du rayonnement solaire(supposé ici traverser l’atmosphère sans y être affecté), et du flux ( )atmI t , l’équilibre requiert

( ) . (0)SoleilsommetF I , et la température de surface est donnée par

4( ) 2 . ( ) .

. (0) .2 1

2

surf surfSoleilsommet

atmatm

B T TF I tt

soit

1/ 4 1/ 4

1 . . 12 4

atmsurf T A

FtT a

123

La présence d’une atmosphère multiplie donc par un facteur1/ 4

12

atmt la température de

surface par rapport à sa valeur sans atmosphère ; pour passer dans ce schéma simple (etencore irréaliste, en l’absence de convection et compte tenu de l’hypothèse de coefficientd’absorption constant) de la température sans atmosphère de 255 K à la valeur observée de

288 K , il faut une épaisseur optique atmosphérique totale donnée par 1, 25atmt .

Dans le modèle ici décrit, le facteur d’effet de serre a pour valeur atmosphérique locale(%) 1( )

2 2tES t , et pour valeur de surface terrestre (%) 1

2atm

surftES ; l’intensité de

l’effet de serre est ( ) (%) ( ). (0). 1 . 1 .F telluriqueatmsurf sommet

tES I ES F .

Concernant, dans le modèle ici décrit, le saut de température entre la surface et l’air au contact

de la surface, on vérifiera facilement que la combinaison de4.( ) TB T et des résultats

(0)( ) ( )

2surf atm

IB T B t ,

2 . ( )(0)

2surf

atm

B TI

t, conduit à

1/ 4( )

12

surf atm atm

surf atm

T T t tT t

L’existence d’un tel saut de température découle évidemment du fait que, dans ce modèle sansabsorption solaire par l’air, la surface est chauffée par le cumul du flux solaire et du fluxatmosphérique, alors que l’atmosphère est chauffée seulement par le flux atmosphérique (on

notera qu’effectivement ( )surf atmT T t ).( )surf atm

surf

T T tT

décroît de1/ 411 16 %

2à 0

lorsque l’on passe, pour l’épaisseur optique de l’atmosphère, d’une valeur très petite(« nulle ») à une valeur très grande (« infinie »).

L’exploration de l’effet de serre ici entamée sera poursuivie au chapitre XI, dans lequel, aprèsqu’on ait acquis les concepts nécessaires, on intègrera dans la modélisation analytique deseffets atmosphériques et radiatifs de plus en plus réalistes.

124

V. LE RÔLE DES ACTEURS RADIATIFS ATMOSPHERIQUES

Ce chapitre franchit une étape importante dans la description de l’interaction macroscopiqueentre la matière atmosphérique et le rayonnement électromagnétique, en ce sens qu’il exploreles différents types d’interactions à envisager, selon les acteurs radiatifs atmosphériquesconsidérés, ainsi que les caractéristiques, et les méthodes, propres à chaque type.

La description est déjà pré-opératoire à l’issue de ce chapitre, mais, en général, ladéclinaison ultime doit faire intervenir les propriétés précises de chaque acteur radiatif danschaque domaine spectral, et sera abordée dans les chapitres suivants.

Grâce à la loi de Kirchoff qui identifie les propriétés d’absorption et d’émission, il estpossible de ne s’intéresser ici qu’à l’absorption et à la diffusion.

En ce qui concerne l’atmosphère, trois types d’acteurs radiatifs doivent, au total, êtreenvisagés ; les mécanismes d’action de ceux qui opèrent au sein de l’atmosphère, c’est-à-direles gaz atmosphériques d’une part, et les particules, solides ou liquides, en suspension dansl’air, d’autre part, font l’objet de ce chapitre ; le troisième acteur radiatif, la limite inférieurede l’atmosphère, c’est-à-dire la surface terrestre, fera l’objet d’un chapitre particulier(chapitre VII).

1. LE RÔLE DES GAZ ATMOSPHERIQUES

A. Diffusion par les gaz

a. Mise en évidence classique de la diffusion Rayleigh

La question de la diffusion par les molécules peut être traitée comme cas limite de la théoriegénérale de diffusion de Lorenz-Mie, qui sera évoquée plus bas pour les particules, pour les

petites valeurs du facteur de taille2 .déf

difdif

d, dit parfois « paramètre de Mie » ( difd

désigne la dimension caractéristique de l’agent diffusant, le rayon pour une sphère diffusante),et sous l’hypothèse d’absence d’influence de l’absorption sur la diffusion.

Mais on peut, plus directement, mettre en évidence les propriétés de cette diffusion selon uneapproche physique simple, qui considère que le champ électromagnétique diffusé s’identifieau champ d’un dipôle électrique, induit dans la molécule par le champ électromagnétique del’onde incidente monochromatique, et oscillant à la fréquence de celle-ci.

Conformément au formalisme de présentation générale de la diffusion mis en place auchapitre III (III. 2. C.), on note 's la direction de propagation de l’onde incidente (directiondu « rayon incident »), et s la direction selon laquelle on examine la diffusion. La localisation

125

de la molécule diffusante, ou plus précisément celle du centre de son dipôle induit, est choisiecomme origine du repère de travail (figure 1).

Figure 1 – Géométrie de la diffusion Rayleigh. (a) : dans l’espace ; (b) : dans le plan duchamp électrique incident et de la direction de diffusion considérée.

Si le champ électrique de l’onde incidente (de luminance ,incI ) est incE , le moment du dipôle

que celui-ci induit au sein de la molécule diffusante est .dip incmolécM E , moléc étant lapolarisabilité de la molécule, supposée scalaire dans le cas d’une molécule « sphérique ».

Soient M le point courant de la direction de diffusion s examinée, repéré par OM x , dipe

le vecteur unitaire du dipôle ( dipdip

dip

MeM

), l’angle ,dipM x -noté dans l’annexe

XIV.1.-, e le vecteur unitaire normal à x dans le plan ,dipe x .

C’est un résultat classique d’électromagnétisme (chapitre XIV -XIV.1.-) que le champélectrique induit au point x par un dipôle oscillant 0( ) .exp( . . ).dip dipM t M i t e ( 2 . ), à

grande distance (2 2 .

cx ) est2

0

2

. .exp . . / .sin( , ) .

4 . . .dip

milieu

M i t x cE x t e

x c.

Dans cette expression, la présence de 2 au numérateur traduit le résultat, très général, de laproportionnalité de l’amplitude du champ émis à l’accélération de la charge oscillante.

126

De la relation générale

2.

2

milieu EI , on déduit facilement la luminance diffusée , difI :

2 22

, ,22 4

. . .sin. .

molécdif inc

milieu

I Ix

.

Ce résultat contient l’information cherchée sur les caractéristiques, d’intensité et angulaires,de la diffusion par les molécules.

b. Intensité de la diffusion Rayleigh

Concernant l’intensité de la diffusion (donc le coefficient de diffusion), la formulationobtenue fournit le célèbre résultat de la diffusion de Rayleigh en 4 , dont quelquesconséquences classiques ont été mentionnées au chapitre II (II. 2. B. c.).

La polarisabilité quant à elle est donnée par la formule dite de Lorentz-Lorenz (chapitre II -

II. 1. C.-) :2

2

13 .2

milieumoléc

milieumoléc

nn n

, molécn étant le nombre de molécules par unité de

volume, et milieun l’indice de réfraction (2

2

11 .2

milieu

milieumoléc

nn n

étant effectivement indépendant de

la masse volumique , de façon cohérente avec le fait que la polarisabilité est une propriétéde la molécule elle-même).

L’indice de réfraction dépend toutefois légèrement, on l’a vu au chapitre II (II. 1. C.), de lafréquence (ou de la longueur d’onde). En pratique, pour l’air atmosphérique, on considèreempiriquement qu’au final, en réalité, la diffusion est proportionnelle à 4,09 .

Tenant compte de la proportionnalité à la masse d’air traversée, par le biais de la différence depression entre les niveaux de base et de sommet, on notera que l’on peut admettre, pourl’épaisseur optique « Rayleigh » d’une atmosphère, la valeur typique empirique suivante :

4,090,00879Rayleight ( étant exprimée en micromètres)

c. Fonction de phase de la diffusion Rayleigh

Concernant la fonction de diffusion (cos )dif difP , le calcul peut en être fait par intégration de2sin pour toutes les directions que peut prendre le champ électrique de l’onde incidente

dans le plan orthogonal à la direction incidente. Il faut cependant être bien clair sur les anglesen cause (figure 1).

Si on choisit l’axe Oz selon la direction de propagation incidente 's , l’axe Ox selon lechamp électrique incident (qui est bien orthogonal au rayon incident), les vecteurs unitairesdes directions incidente 's et de diffusion s de définition de la fonction de diffusion (voirIII.2.C) ont pour coordonnées ' (0,0,1)se et (sin .cos ,sin .sin ,cos )dif dif dif dif difse ,

127

où ( ', )déf

dif s s , et dif , sont respectivement les angles zénithal et azimutal de définition de la

direction de diffusion s par rapport à la direction incidente 's .

Or, avec le choix des axes indiqué, cos . sin .cosdéf

dif difOx se e , donc2 2 2 2sin 1 cos 1 sin .cosdif dif .

On obtient la fonction de phase de la diffusion Rayleigh (cos )dif difP en intégrant 2sin de

0dif à 2dif , et en normalisant le résultat ( (cos ). 4dif dif sP d ) :

23(cos ) 1 cos4dif dif difP

Cette fonction de phase présente une asymétrie nulle ; la figure 2 montre l’allure del’indicatrice de diffusion de Rayleigh. On notera que, bien que non strictement isotrope, ladiffusion dépend relativement peu de la direction de diffusion considérée.

Figure 2 – Représentation polaire de l’indicatrice de diffusion de Rayleigh.

En cohérence avec la position générale du présent cours de négliger les effets de polarisation,la formulation présentée de la diffusion de Rayleigh a supposé implicitement non polarisé lerayonnement incident. On peut toutefois mentionner, pour information, que la diffusionRayleigh polarise un rayonnement incident non polarisé, avec un degré de polarisation (III. 1.

D.) que l’on peut montrer être égal à2

2

1 cos1 cos

dif

dif

Pol (un effet cependant atténué dans

l’atmosphère par la présence des particules, et par les diffusions multiples).

128

B. Absorption par les gaz

a. Raies d’absorption/émission

i. « Elargissement » des lignes, raies d’absorption/émission

Le type d’absorption/émission par « lignes », évoqué en première approche au chapitre II(II. 2. A.), est une idéalisation ; en réalité, pour diverses raisons qui vont être précisées ci-dessous, l’absorption/émission par les gaz atmosphériques se fait par « raies » : il y aabsorption/émission dans un domaine fini de fréquences centré sur une valeur principale c

(fréquence de la « ligne » théorique), l’intensité de l’effet diminuant lorsque l’on s’éloigne decette fréquence centrale. Des lignes proches en fréquence peuvent d’ailleurs évidemment, parélargissement, engendrer des raies qui se chevauchent. Ce mécanisme est naturellementdéterminant dans le processus réel d’absorption et d’émission, par rapport à celui quirésulterait de véritables lignes, de largeur nulle.

Une raie est définie par son profil, c’est-à-dire par la répartition, selon les fréquences(temporelles ou spatiales, ou selon les longueurs d’onde), de l’intensité ( )absK del’absorption/émission (un coefficient d’absorption, une section efficace, …), autour de lafréquence principale c .

En général, ce profil est symétrique par rapport à la fréquence principale c (au moins dans ledomaine spectral du présent cours), présente son maximum en c , et exhibe une décroissancemonotone rapide à partir de c , vers les « ailes » de la raie. Il est commode de le représentersous la forme

( ) . ( )abs cabs abs

abs abs

SK f ,

où les paramètres clef de définition de la raie sont (figure 3)

« l’intensité intégrée » de la raie ( ).déf

abs absS K d (dont la dimension physique

n’est pas celle de absK , mais celle-ci multipliée par la dimension de la fréquence) ; savaleur fait intervenir de façon multiplicative un rapport de population des niveauxd’énergie impliqués dans la transition à l’origine de la raie, et, par ce dernier terme,elle dépend de la température, soit, avec un peuplement de Boltzmann des niveauxd’énergie (évoqué au chapitre XIV -XIV. 2. B.-) :

0 inf0

0

1 1( ) ( ). .exp .( )abs

abs absB

T ES T S TT k T T

,

où infE est l’énergie du niveau plancher de la transition, et abs un coefficient

dépendant de la structure de la molécule d’absorbant (2

1CO ,2

32H O ,

3

52O ).

129

la « demi-largeur » abs de la raie (sous entendu : « à mi-maximum »), valeur defréquence telle que

( )( ) ( )2

abs cabs c abs abs c abs

KK K .

la « fonction de profil » absf , fonction mathématique d’un argument sans dimension

physique, qui par définition vérifie ( ). 1absf d .

On notera que, dans la représentation mathématique des raies, on fait ici comme si le domainede fréquences s’étendait de à , alors que la fréquence réelle varie de 0 à : cetteévidente commodité est légitime dans la mesure où l’intensité en domaine de fréquencesnégatives de la raie théorique est vraiment négligeable, ce qui implique vérifiée une conditiondu type abs c (à quantifier au cas par cas) ; ce point peut effectivement, selon lesabsorbants et selon les zones spectrales considérés, constituer une limitation au réalisme de lareprésentation des raies réelles par les modèles mathématiques qui vont être présentés.

Figure 3 – Profil type d’une raie d’absorption.

Trois phénomènes expliquent, dans un milieu gazeux comme l’atmosphère, la dispersion desfréquences d’absorption à l’origine de l’élargissement des lignes en raies :

l’effet « naturel » fondamental, lié à l’incertitude de Heisenberg sur les niveauxd’énergie, négligeable dans l’atmosphère devant les deux autres effets ;

l’effet « Doppler », lié au mouvement des molécules, dominant dans la très hauteatmosphère (mésosphère et au-dessus) ;

130

l’effet « collisionnel » ou « de pression », lié à la perturbation des niveauxénergétiques des molécules lors de leurs interactions mutuelles (assimilables à des« chocs » pour un gaz parfait), dominant dans la troposphère et la basse stratosphère(donc dans le domaine physique du présent cours).

ii. Elargissement naturel

Selon le principe d’incertitude de Heisenberg, on ne peut connaître avec précision en mêmetemps l’énergie de « l’état quantique E » d’un système quantique, et la durée passée par lesystème dans cet état.

Ainsi, pour une molécule, l’indéterminationnat

E de l’énergie de « l’état excité E », et la

« durée de vie naturelle »nat

t de la molécule dans cet état excité, sont liés par

.2nat nat

hE t : l’incertitude sur la fréquence d’absorption/émission est donc

12 .

natnat

nat

Eh t

.

La théorie de l’élargissement naturel repose sur l’utilisation de l’équation de Schroëdinger, etsur l’hypothèse d’un processus de Poisson pour la durée de vie naturelle, soit

( ( )1Pr ( ) .exp( ) ( )

natnat

nat nat

ttt t

, où ( )natt est évidemment la durée de vie naturelle

moyenne de l’état excité) ; elle aboutit à un profil de raie de type « lorentzien », doncanalogue à celui qui sera retenu plus bas pour l’élargissement collisionnel :

2 2( ) .( )

nat natnat

c nat

SKv v

,

où natS est l’intensité de la raie, et1

2 .( )nat natt est la demi-largeur de la raie.

On retiendra ici 85.10 s comme valeur typique de ( )natt (au sein d’une fourchette6 910 10s s , selon la nature des degrés de liberté moléculaires quantiques considérés), et

donc une valeur typique de 63.10 Hz pour la demi-largeur naturelle.

Par définition, l’élargissement naturel fournit la largeur minimale irréductible des raiesréelles.

iii. Elargissement Doppler

D’une façon générale, l’effet Doppler provoque un décalage de fréquences, vers les hautes oules basses fréquences, selon que la source du signal périodique s'éloigne ou se rapproche del'observateur.

131

Ainsi, dans un gaz, le mouvement désordonné des molécules induit un « élargissementDoppler » des raies spectrales : une fréquence différente de la fréquence de transitionthéorique c , bien définie, d’une molécule, peut cependant très bien être absorbée (et émise),si cette molécule a une vitesse adaptée (la vitesse qui, par effet Doppler, décale la fréquenceconsidérée exactement en c ).Si sv désigne la composante de la vitesse de la molécule dans la direction opposée à celle durayon électromagnétique incident, l’effet Doppler transforme la fréquence c en la fréquence

.(1 )sc

vc

.

On ne considère en fait ici (dans l’atmosphère) que la partie « thermique » de la vitessemoléculaire, c’est-à-dire l’écart de la vitesse à sa valeur moyenne, cette dernière (le « vent »,de l’ordre de quelques dizaines de 1.m s ) étant très inférieure à la première (quelquescentaines de 1.m s ).

Cette vitesse thermique suit, en première approximation (c’est-à-dire sous hypothèse del’équilibre thermodynamique local à température T ), la loi de distribution des vitessesmoléculaires de Maxwell : sa répartition statistique est donnée, pour une population de

molécules de masse molécm , par2.1( ) exp( ).

2 .moléc s

s sB

m vdn v dv

k T.

On obtient en conséquence comme profil Doppler de la raie le profil gaussien

2

2

2( ) . .exp . 2cDD

D D

S LogK Log

( ).D DS K d est l’intensité intégrée de la raie. La demi-largeur de raie . thermD c

vc

, où

1/ 22 .B

thermmoléc

k Tvm

est la vitesse quadratique d’agitation moléculaire (ou vitesse thermique),

est proportionnelle à T , ce que l’on peut encore écrire

00

.D DTT

,

1/ 2

00 0

2 .( ; ) .c BD D c

moléc

k TTc m

étant, à la fréquence considérée, une constante.

Pour les gaz atmosphériques, dans la basse troposphère, thermv est de l’ordre de quelques

centaines de mètres par seconde : 0D est ainsi de l’ordre de25.10

c

(déf

cc

c étant exprimée

en mètres), soit de 810 Hz à 710 Hz pour les longueurs d’onde c de 5 m à 50 m .

132

iv. Elargissement collisionnel (ou par effet pression)

Le calcul correct de l’élargissement des raies par les interactions moléculaires, qui doit seconduire dans le cadre de la mécanique quantique, est relativement complexe (une descriptionpleinement satisfaisante de ce mécanisme reste au demeurant à élaborer).

Une approche très simplifiée, mais aboutissant au résultat admis, consiste à considérer

le schéma cinétique classique du gaz parfait : les molécules sont des petites billes enmouvement permanent, et n’ont d’autres interactions que leurs chocs mutuels ; entredeux chocs, une molécule parcourt un « libre parcours » aléatoire, de longueur p (devaleur moyenne le « libre parcours moyen » pm ), en un temps p (de densité deprobabilité Pr( )p , et de valeur moyenne le « temps moyen d’un libre parcours »

pm ) ;

que la molécule émet continûment une onde de fréquence c et d’amplitudeconstantes, mais de phase changeant aléatoirement à chaque collision.

Sous l’hypothèse ainsi formulée, à l’amplitude (constante) près, le signal radiatif émis sur unlibre parcours est ( ) exp .2 . .cf t i t , et le spectre sur un libre parcours est

0

( ) Re exp( .2 . . ).exp( .2 . . ).p

p c pK i i d .

La phase du signal est réinitialisée de façon aléatoire à chaque collision : le spectre résultant

est0

( ) Re Pr( ). ( ).p p pK K d .

Avec une distribution de Poisson du temps de libre parcours, soit 1Pr( ) .exp( )pp

pm pm

,

le résultat du calcul est un « profil de Lorentz » pour la raie collisionnelle :

22

1/1( ) .( ) 1/

pmL

c pm

Kv v

, soit

2 2( ) .( )

L LL

c L

SKv v

(contrairement aux deux autres causes d’élargissement, mais assez classiquement, on adopteici un indice d’identification qui se réfère au résultat mathématique -« L » pour « Lorentz »-,plutôt qu’au processus physique –« nat » pour « naturel », « D » pour « Doppler »-).

( ).L LS K d est l’intensité intégrée de la raie.

133

La demi-largeur de raie L est liée, dans l’approche évoquée, au temps moyen d’un libre

parcours pm , par 1L

pm

; les estimations classiques de la théorie cinétique du gaz parfait

pour le libre parcours moyen (2

14 2 . .moléc moléc

pmr n

) et pour la vitesse maxwellienne

moyenne ( 8 ..

Bmoléc

moléc

k Tvm

) des molécules, et la conversion vers des paramètres plus

macroscopiques (grâce aux relations ..molécmolécpn m

R T, B

moléc

k Rm

, où et R sont

respectivement la masse volumique et la constante massique des gaz parfaits, relatives à

l’absorbant gazeux considéré), conduisent à216 . .

.moléc moléc

Lmoléc

v r ppm m R T

, ce que l’on peut

encore écrire

00

0

. .L LTp

p T,

20

0 0 00

16 .( , ) ..

molécL L

moléc

r pp Tm R T

étant une constante.

En réalité, la section efficace de collision des molécules, prise égale à 2 molécr dans leraisonnement de base de la théorie cinétique du gaz parfait, dépend de la température, et au

final la demi-largeur de raie collisionnelle obéit plutôt à 00

0

. .L

L LTp

p T, avec une valeur

moyenne (selon les gaz) de l’exposant L comprise entre 0,6 et 0,8 .

Pour les gaz atmosphériques, dans la basse troposphère, 0L est de l’ordre de 93.10 Hz .

v. Importance relative des modes d’élargissement dans l’atmosphère

Dans la troposphère et la basse stratosphère, l’effet naturel est nettement moins intense que lesdeux autres effets, et il est toujours considéré comme négligeable devant ceux-ci.

Seuls sont donc a priori à prendre en compte les effets Doppler et collisionnel. La figure 4compare les fonctions de profil de ces deux types de raies.

Lorsque les effets Doppler et collisionnel (qui sont non corrélés) sont de même importance etdoivent être tous deux pris en compte, comme dans la haute stratosphère, leur composition(convolution) engendre un profil un peu compliqué, dit « de Voigt », dans lequel le profil deDoppler domine vers le centre, et le profil collisionnel sur les bords, de type :

2

2 2

exp( )( ) ( ) ( '). ( '). ' . .abs V D Lf f f f d Cste d

où

2 2.déf

c

D

Log , 2.déf

L

D

Log .

134

Figure 4 - Fonctions de profil comparées des raies d’absorption Doppler et Lorentz.

En pratique, le profil hybride de Voigt peut être approché de maintes façons, par exemple :

par la somme pondérée d’une lorentzienne et d’une gaussienne :. 1 .abs L Df f f (le facteur servant à minimiser l’écart quadratique, par

exemple 0,834 pour des profils de mêmes intensité et demi-largeur).

par des profils approximatifs du type

2( )( ) 1 . cabsf Cste ,

redonnant en particulier une lorentzienne pour 1, et une gaussienne pour .

par une correction « de pression résiduelle » sur le profil Lorentz : abs LK K , avec

( ) ( , , ) ( , ) ( , )corrigéeL résid L L résidp p T p T p T

Un exemple de ce type est évoqué au chapitre X (X. 3. D.).

en paramétrant directement la fonction de transmission associée à un modèle de bande(par exemple le modèle de Malkmus abordé plus bas, voir b. ii. et b. vi.) à base deraies de Voigt, à partir d’hypothèses et d’ajustements fonctionnels, du respect decomportements asymptotiques, de contraintes de précision et de moindre coût encalculs, etc (on renvoie à Geleyn, Bénard, Fournier (2005), « A general-purpousextension of the Malkmus band-model average equivalent width to the case of the

135

Voigt line-profile », Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 131, pourune idée d’une telle démarche).

Cependant, pour la plupart des raies importantes en météorologie, et notamment dans latroposphère et la basse stratosphère, D L , comme on l’aura noté à la présentation faiteplus haut des valeurs type au voisinage de la surface. La demi-largeur due à l’effet Dopplern’est du même ordre de grandeur que la demi-largeur collisionnelle que pour de faiblesvaleurs de la masse volumique, en pratique, et en moyenne sur l’ensemble des constituantsimportants, un peu au dessus de 30 km (figure 5).

Figure 5 – Allure de la variation avec l’altitude de l’élargissementdes raies à 4,3 m et à 15,0 m du dioxyde de carbone.

En effet, on n’aura pas de mal à se convaincre que le rapport des élargissements Doppler et

collisionnel est 2

2 1 1. . .16

molécD

L moléc c

mr

, et que l’on peut prendre pour estimer sa

dépendance en z la loi moyenne classique 0.exp( )zh

, avec 8h km et

30 1,3 .kg m .

A titre d’exemple, pour le dioxyde de carbone, le rayon (« de Van der Waals ») de lamolécule et la masse moléculaire valent respectivement 101,6.10molécr m , et

326

23

44.10 7,3.10' 6,02.10moléc

masse molairem kgnombre d Avogadro

. Pour les raies à 4,3c m et

15,0c m , on a donc ainsi respectivement2

2

, 4,3

2,5.10 .exp( )8000

D

L CO m

z et

136

2

3

,15,0

7,3.10 .exp( )8000

D

L CO m

z ( z étant exprimé en mètres). Ce type d’estimation

montre bien que l’effet collisionnel (resp. Doppler) domine dans la partie basse (resp. haute)de l’atmosphère, et permet de se faire une idée de l’altitude à laquelle les deux effets sont dumême ordre.

On se limitera donc dans ce qui suit à l’étude de l’absorption par des raies ayant un profil deLorentz, en gardant toutefois à l’esprit les limitations de ce profil, qui :

à l’expérience, ne représente pas bien les ailes des raies réelles, un défaut gênantsurtout dans les zones spectrales sans fréquences centrales d’absorption/émission, danslesquelles c’est l’effet cumulatif des ailes de raies à parties centrales distantes qui estdéterminant ;

n’assure pas la nullité de l’absorption/émission pour 0 , et est donc surtout valablequand L c , un défaut gênant surtout dans la partie « hyperfréquences » duspectre, donc pas trop pénalisant dans le présent cours; il existe des correctionsempiriques au profil de Lorentz pour améliorer ce point, mais on ne les aborde pas ici.

vi. Transmission et absorption par une raie de Lorentz

On se propose ici de mettre en évidence quelques propriétés « intégrées en fréquences » del’absorption par raie de Lorentz, pour se familiariser avec ce type d’absorption, mais surtouten préliminaire au traitement, et à l’utilisation à venir, des « bandes d’absorption ».

Pour simplifier l’écriture, l’indice « L » est désormais supprimé dans la notation descaractéristiques de la raie comme K , , S , f , …, mais on gardera à l’esprit que, saufindication contraire, c’est bien du profil de Lorentz dont il s’agit.

L’intégration en fréquences portera sur un intervalle de fréquences centré en c , et de

largeur très supérieure à la demi-largeur , soit ,2 2c c , avec .

On considère une couche du gaz absorbant dont le profil considéré ( )K décrit une des raiesd’absorption, d’épaisseur .u d , et que l’on considère comme homogène en températureet pression (on s’affranchira de cette contrainte dans l’étude des bandes d’absorption).

Pour chaque fréquence , la fraction transmise à travers u de l’énergie incidente(transmission de la couche) est égale à exp ( ).K u , la fraction absorbée dans u de

l’énergie incidente (absorption de la couche) est égale à 1 1 exp ( ).A K u .

L’absorption moyenne sur l’étendue de la raie vaut, lorsque l’énergie incidente ne dépend pastrop de la fréquence :

1 . 1 exp ( ). .A K v u dvv

137

.A v , qui ne dépend pas du choix précis de v si ce dernier est assez grand, peut êtrevisualisée comme la largeur de la raie « créneau » ( K constant au centre de la raie, nul endehors) opaque, assurant la même absorption intégrée que la raie réelle considérée.

Pour conduire l’intégration (aussi loin que possible sous forme analytique)

on explicite la dépendance lorentzienne de K : 2 2( ) ( ) .( )L

c

SK K ;

on pose .2 .

déf S u , 2déf

cv vArctg ;

on étend le domaine d’intégration en de à , ce qui ne modifiepratiquement pas la valeur de l’intégrale ( ).

Il vient ainsi :

22 2

.. 1 exp( . ) . 1 exp( 2 .cos ) .( ) 2

. 1 exp( .(1 cos )) .( ).2

c

S uA v d d

tg d

puis

. . (1 exp( .(1 cos )). ( ) .sin .exp( .(1 cos )). ( ).2 2

A v tg tg d

soit enfin

. . .exp( ). (1 cos ).exp( .cos ).A v d

Ce résultat est surtout intéressant par ses comportements aux limites, pour 0u et u .

pour les petites valeurs de u (donc de ), . . . (1 cos ). 2 . .A v d ,

soit . .A v S u : pour les faibles quantités d’absorbant, l’absorption estproportionnelle à la masse absorbante.

Ce résultat est d’ailleurs général, indépendant du profil de raie ; il résulte deexp( ) 1x x si x petit, et de la définition de l’intensité intégrée S de la raie :

. 1 exp ( ). . ( ). . . ( ). .A v K v u dv K v u dv u K v dv S u .

138

pour les grandes valeurs de u (donc de ), le calcul donne . 2 . 2 .A v .On peut obtenir ce résultat d’une manière simplifiée : dans le cas d’une grandequantité d’absorbant, l’absorption au centre de la raie ne représente plus qu’une faiblepart de l’absorption totale. On peut donc négliger 2 devant 2

c dans le calculde l’intégrale, qui devient :

3/ 22

0

. 1 . .. 1 exp( . ) . 2 1 . . .( ) 2c

S u S uA v d e dv v

02

0 0

. . 2 2 . .(1 ). . 4 . exp( ).S u S ue e d d ,

soit . 2 . .A v S u .

.A v ne pouvant devenir plus grand que v , ce résultat n’a de signification que siv est adapté à u .

Cette réserve faite, pour les fortes quantités d’absorbant, l’absorption estproportionnelle à la racine carrée de la masse absorbante.

b. Bandes d’absorption, et leurs modélisations en couche homogène

i. Concept de calcul de rayonnement « raie par raie », notion de bande d’absorption

A ce stade de l’exposé, on peut déjà se faire une idée du mode de fonctionnement del’absorption et de la transmission par raies, et de la façon dont on peut conceptuellementconduire, par exemple dans la résolution de l’ETR, un calcul d’absorption ou de transmission« raie par raie ».

Les caractéristiques des raies d’absorption ( c , S , , f ), pour chaque absorbant gazeuxsignificatif, sont disponibles, avec une précision correcte, dans des bases de donnéesspectroscopiques spécialisées, riches de plusieurs centaines de milliers de raies, et enconstante mise à jour ; leur connaissance permet d’expliciter, pour chaque fréquence ou petitintervalle de fréquences d’une raie significative, et pour chaque absorbant (donc aussi pourl’ensemble des absorbants actifs à la fréquence considérée), le coefficient d’absorption quiintervient dans l’ETR .

Il est donc possible de reconstituer « raie par raie » le spectre d’absorption/émission d’unmélange de gazN gaz absorbants, chaque gaz ( )k , de pression partielle kp , possédant ( )k

raiesNraies ( , )k j , par des formulations du type

( )

, ,,

1 1 , ,

( ) . . ( ).

kgaz raiesk N j N

k j c k jkabs k j

k jB k j k j

SpK fk T

,

où les notations complémentaires sont évidentes.

139

Toutefois, les raies d’absorption ne sont pratiquement jamais isolées, elles apparaissentgroupées en ensembles, appelés « bandes d’absorption », qui peuvent contenir chacuneénormément de raies (quelques milliers sur quelques centaines de 1cm ), distribuées souventde façon apparemment aléatoire, et avec des intensités qui peuvent différer de plusieurs ordresde grandeur ; de telles bandes peuvent se chevaucher d’un gaz absorbant à l’autre. La théoriequantique permet de prévoir la position des centres des raies à l’intérieur d’une bande, maisles résultats sont pratiquement inutilisables de par leur complexité.

Il existe des modèles de calcul de transfert radiatif qui opèrent bien « raie par raie », enréalisant l’intégration spectrale sur des intervalles inférieurs aux demi-largeurs en cause.Mais le volume des calculs requis rend inenvisageable cette approche pour les besoins« opérationnels », et la réserve à l’établissement de calculs de référence, pouvant notammentservir à valider et calibrer des approches simplifiées utilisables dans les applications réelles.

ii. Introduction à la modélisation par bandes

Ainsi, compte tenu de l’énormité du nombre de raies actives dans l’atmosphère, et de lacomplexité de leur distribution, on conçoit bien que, en pratique, on soit le plus souventamené à travailler « bande par bande », et non « raie par raie ». La démarche est en général deconsidérer des bandes spectrales au sein desquelles certaines caractéristiques radiativesvarient relativement peu, et de « modéliser » ces bandes en cherchant des approximationsanalytiques à la transmission intégrée sur des chemins finis ; une alternative à de tellesméthodes par modélisation sera toutefois évoquée en fin de ce paragraphe.

Concernant les modèles de bandes, on peut distinguer, selon la largeur de bande retenue

des modèles à bande étroite (bandes sur laquelle, notamment, la luminance de Planckpeut être considérée comme constante), dont les plus représentatifs sont décrits dans lasuite du présent sous-paragraphe ;

des modèles à bandes larges (largeur de quelques centaines de 1cm ), opérant avec desvaleurs moyennes sur la bande des intensités de raie, ou des coefficients d’absorption ;

des modèles à bande globale, opérant avec des valeurs d’émissivité et detransmissivité représentatives de l’ensemble du domaine spectral considéré (solaire outellurique), et déterminées par des méthodes diverses (formulations empiriques,« sommes pondérées de gaz gris », utilisation de fonctions de distributiond’absorption, …).

Pour pouvoir calculer la transmission ou l’absorption au niveau intégré d’une bande, on estcontraint de s’appuyer sur certaines hypothèses très simplificatrices sur la position, l’intensité,et la largeur des raies au sein de celle-ci .

La démarche standard utilise des modèles statistiques. La bande est définie par son étenduespectrale , et par les éléments caractérisant la distribution statistique des raies (de Lorentz)en son sein : mode de distribution (régulier ou aléatoire, voir par exemple figure II.6 ), etespacement moyen, des centres c , distribution des demi-largeurs , distribution desintensités S .

140

Un point déterminant est l’observation que, pour un gaz absorbant donné, les variabilités del’espacement des centres, et de la largeur des raies, au sein d’une bande, sont très inférieures àcelle de l’intensité.

On ne se préoccupe donc en général pas de distribuer les largeurs des raies, qui sont prisestoutes égales pour un même gaz (les recouvrements entre bandes d’absorption de gazdifférents seront évoqués plus bas), et le paramètre clef de la description d’une bande est donc

la distribution de probabilité Pr( )S de l’intensité (qui, bien sûr, vérifie0

Pr( ). 1S dS ) ; de ce

point de vue, les principales propositions à bande étroite mises en œuvre sont :

la distribution régulière (« en Dirac ») d’Elsasser Pr( ) ( )DiracS S S ,

la distribution exponentielle de Goody 1Pr( ) .exp( )SSS S

,

la distribution de Godsonmax

Pr( ).

SSS S

, si maxS S (et 0 sinon)

la distribution de Malkmus max min

max

min

exp( ) exp( )Pr( )

. ( )

S SS SS SS Log

S

.

Si on schématise la bande comme un intervalle de fréquences contenant n raies, espacées

selon une distance moyenne dn

, la transmission représentative de la bande, notée ici

simplement , est le produit des transmissions des n raies.

Les raies étant supposées indépendantes du point de vue statistique :

0 0

1 1. Pr ( ) .exp( . ). . 1 . Pr ( ) . 1 exp( . ) . .. .

n n

S K u dS dv S K u dS dvn v n v

soit, à la limite lorsque n tend vers l’infini :

0

1exp . Pr ( ) . 1 exp( ( ; ). ) . .S K v S u dS dvv

si, comme dans l’étude d’une raie de Lorentz isolée, on élargit le domaine d’intégration pourl’absorption de à , et où l’on a rappelé la dépendance de K par rapport aux variables

d’intégration ; on posera, pour les calculs, 2 2'( ).( )

défabs

Lorentz Lorentz

fKKS

.

( ; ) . '( )K S S K étant ainsi explicité (en l’occurrence, sous forme de Lorentz), l’expressionde ne dépend bien que du choix de la fonction Pr( )S .

141

Si on suppose que toutes les raies ont la même intensité, on a ( )exp( )A ud

, A étant la

fonction d’absorption d’une raie, soit, pour respectivement les petites et grandes valeurs de u ,.exp( )S ud

, et. .

exp( 2 )S u

d.

On suppose d’abord des chemins homogènes, c’est-à-dire à pression et températureconstantes ; on évoquera ensuite la prise en compte de chemins le long desquels il fautcompter avec la variation de la température et de la pression.

iii. Modèle de bande d’Elsasser

Le modèle de bande étroite le plus simple, suggéré par certaines bandes d’absorption dudioxyde de carbone, consiste à supposer les raies toutes identiques (même demi-largeur ,même intensité S ), et régulièrement espacées, à une distance d les unes des autres; cemodèle est appelé modèle d’Elsasser :

. .( ) . ( ) . ( )j j

Elsasser L Lj j

S j d S j dK f f

Compte tenu de la forme de Lorentz de la fonction de profil Lf , on peut montrer que

2 .

( ) .2 . 2 .cos

Elsasser

shS dKd ch

d d

Le calcul de la transmission passe par celui de l’intégrale de exp( ( ). )ElsasserK u sur un

intervalle de fréquences d’étendue d , qui n’aboutit pas à une expression analytique.

Les résultats peuvent toutefois être représentés de manière assez simple dans deux cas :

si d ( en pratique 10d ), fort recouvrement, structure en raies plus ou moins

masquée: .exp( )S ud

;

si d , faible recouvrement, raies bien séparées et identifiables :

1 . .erf u S , avec 2

0

2( ) . exp( ).xdéf

erf x d

142

En plus de sa relative complexité mathématique, le modèle d’Elsasser a le défaut d’êtresouvent éloigné de la réalité physique : l’étude détaillée des bandes (comme dans le spectred’absorption de la vapeur d’eau) montre en effet plutôt une répartition désordonnée des raies,et de fortes variations dans leurs intensités. Il est relativement peu utilisé.

iv. Modèle de bande de Goody

La répartition véritablement statistique des intensités la plus simple est celle du modèle deGoody :

Pr ( ) .exp( )Goodyn SSS S

,

où S l’intensité moyenne des raies de la bande étroite.

Pour ce modèle, le calcul de la transmission s’écrit :

0

. .exp( ).(1 exp( '( ). . )). .n SLog K v u S dS dvS S

d’où 1 1 '( ). .. 1 . . .1 1 '( ). .'( ).

K v S ud Log dv dvS K v S uK v u

S

2 2 2

. . . .. .. . . .

S u dv S udS u S uv

soit

.exp.. 1.

GoodyS u

S ud

Les deux comportements limite de cette fonction sont .expGoodyS ud

pour les petites

valeurs de u , et. . .

expGoodyS u

dpour les grandes valeurs de u , c’est-à-dire, dans

le premier cas, le même résultat que pour les raies d’intensités égales, et, dans le second cas,

un résultat analogue, à un facteur2

près dans l’exposant de l’exponentielle.

143

v. Modèle de bande de Godson

Le modèle de Goody a l’avantage de conduire à un résultat analytique simple, mais il reposesur une distribution statistique erronée : l’étude des bandes montre en effet, que dans un large

domaine d’intensités la fonction Pr( )S est plutôt proportionnelle à 1S

.

Cette distribution est celle du modèle de Godson :

max

min

1Pr ( ).

Godson S SS LogS

, si min maxS S S , Pr ( ) 0Godson S sinon.

Ce modèle a l’inconvénient d’être discontinu, donc d’usage plus difficile en calculautomatique.

Le modèle de Malkmus, le plus utilisé, permet d’établir un compromis entre les modèles àbande étroite de Goody et de Godson.

vi. Modèle de bande de Malkmus

Une distribution du type exp( / )Pr( ) S SSS

, qui remplace devant l’exponentielle le1

S du

modèle de Goody par 1S , augmente, par rapport aux autres modèles à bande étroite, laprobabilité des raies faibles, ce qui est un réel avantage. Mais elle n’est pas normalisable sur0, !

Plutôt que de la tronquer de façon discontinue pour surmonter ce défaut, le modèle de bandede Malkmus propose de la faire évoluer en

max min

max

min

exp( ) exp( )Pr ( )

. ( )Malkmus

S SS SS SS Log

S

,

L’intensité moyenne de la distribution de Malkmus est max min

max

min

S SSSLogS

.

Ses formes « asymptotiques » sont :

max min

maxmax min

min

Pr ( ). .

MalkmusS SS SS S Log

S

pour minS S

max

min

1 1Pr ( ) .Malkmus S S SLogS

pour min maxS S S

144

max

max

min

exp1Pr ( ) .Malkmus

SS

S S SLogS

pour maxS S

La distribution de Malkmus a l’avantage d’être continue, normalisée à 1 (calcul un peufastidieux), de permettre des intégrations analytiques, et d’avoir une dépendance en 1S sur lapartie intéressante du domaine de variation de S .

Pour le calcul de sa transmission, on part de

0

. ( ) Pr ( ) .(1 exp( '( ). . )). .v Log S K v u S dS dv

Compte tenu de la forme de Malkmus de Pr ( )S , au facteurmax

min

1SLogS

près, le résultat sera la

différence de 00

0

exp( / ). ( ) . (1 exp( '( ). . ). .déf S Sv Log K v u S dS dv

Spour les valeurs

maxS et minS de 0S : 0 max

0 min0

max min

1. ( ) . . ( )/

S S

Malkmus S Sv Log v Log

Log S S.

On procède donc d’abord au calcul de0

. ( )v Log .

00 0

exp( ( / ) '( ). . )exp( / ). ( ) lim . . .oS S K v u SS Sv Log dS dS dvS S

soit encore

0

0

/ '. .

00 0/

exp( ). ( ) lim . . (1 '( ). . ).S K u

S

v Log d dv Log K v u S dv

Intégrant par parties et tenant compte de la forme de Lorentz de K (en explicitant '( )K ) :

002 20

02 2

'( ). .. ( ) 1 . . . . .. .. ( ) 1.( )

d K vS u vv Log Log v u S dvS uv dvv

20

2 2 2 2 20

2 . . . .. .( ) . ( )

S u v dvS uv v

145

2 220 0

2 2 2 20

( . . / ) . .2 . 2 .( . . / )

S u S udvv S u v

Donc, compte tenu de 0 max

0 min0

max min

1. ( ) . . ( )/

S S

Malkmus S Sv Log v Log

Log S S

max min

max min

. .2 .exp . 1 1. / . .Malkmus

S u S uv Log S S

En pratique, on n’utilise pas toutefois cette forme générale, exacte, de la transmission deMalkmus ; on préfère en utiliser une version approchée, qui fait intervenir les paramètres S etd , plutôt que minS et maxS , mais qui ne peut malheureusement se déduire de manièrecohérente de la forme exacte.

L’exploitation du constat que, dans la plupart des bandes, max

min

1SS

permet de réduire la

dépendance en minS et maxS à un seul paramètre synthétique, sous la forme

2

2

2 . . .exp . 1 1. .

SMalkmus

S

S ud

, max min

max min max min

1.( / )

déf

S

S SS S Log S S

L’étape traditionnelle suivante consiste à figer S à une valeur constante particulière, lavaleur qui assure le comportement de Goody aux valeurs extrêmes de u , ce qui impose

12S (c’est la limite des grandes valeurs de u qui fixe cette valeur, la limite des petites

valeurs de u étant correcte inconditionnellement) ; malheureusement, ce résultat conduit à

une incohérence pour la valeur correspondante de max

min

SS

, qui est imaginaire, … donc qui ne

vérifie pas max

min

1SS

!

Le résultat peut aussi être obtenu en calant sur les comportements extrêmes de Goody la

transmission de la distribution en exp( / )S SS

, mais l’incohérence est seulement déplacée

vers le fait que cette forme ne peut être normalisée à 1, donc ne peut être une probabilité .

Quoi qu’il en soit, c’est bien la forme simplifiée de la transmission de Malkmus résultant decette démarche qui est en général adoptée en pratique, soit :

. . 4 .exp . 1 1.2MalkmusS u

d

146

La fonction de Malkmus possède en effet des propriété extrêmement intéressantes ; enparticulier, elle satisfait aux comportements asymptotiques corrects, avec une apparitionanalytique unique, et simple, dans le calcul, de la quantité d’absorbant, ce qui en fait un outilrelativement universel d’ajustement des fonctions de transmissions (même, semble-t-il, dansle cadre des méthodes en « distribution de K » évoquées au b. ci-dessous, si toutefois ladistribution est gaussienne). On pourra consulter l’article de Geleyn, Bénard, Fournier (2005),cité au a. v., pour se faire une idée de ces propriétés.

c. Application en atmosphère inhomogène, approximation de Curtis-Godson

Les transmissions des modèles de Goody et de Malkmus peuvent être exprimées en fonctionde u et de deux paramètres seulement :

déf SKd

, coefficient moyen d’absorption de la bande,

2 .déf

d, paramètre descriptif de géométrie de la bande (plus est grand, plus il y

a recouvrement des raies entre elles),

selon

.exp2 .1

GoodyK u

K u

8 .exp . ( 1 1)4Malkmus

K u

Dans la pratique, les coefficients K et sont calculés en ajustant les fonctions detransmission aux mesures expérimentales dans le domaine de longueurs d’onde considéré.

On notera par ailleurs que, comme , dépend de la pression et de la température.

Concernant les comportements aux limites des transmissions mises en évidence :

pour les absorptions faibles, exp .K u , fonction qui ne dépend pas de la position

dans l’atmosphère de l’absorbant, donc de la pression et de la température.

pour les absorptions fortes, . .exp2K u , fonction qui peut également être

rendue indépendante de la position de l’absorbant, donc de la pression et de latempérature, en définissant une épaisseur réduite rédu d’absorbant par la formule

148

de l’intensité de l’absorption. Cet effet est parfois plus important que la diminution constatéedans le cas de l’absorption forte.

Ceci explique pourquoi on supprime souvent le facteur 0TT

dans le calcul de l’épaisseur

réduite d’absorbant.

d. Introduction à la méthode en « distribution de K »

i. Principe et caractéristiques de la méthode

La méthode en « distribution de K » est une alternative au traitement de l’absorption parrecours à des modèles de bandes, présenté ci-dessus.

Elle travaille également bande par bande, mais c’est plutôt une méthode de « traitement desdonnées » de la bande, et elle n’a recours à aucune hypothèse de modélisation.

Pour le calcul de la transmission de bande ( )u , elle se place dans la même optique decalcul détaillé que la méthode « raie par raie », mais, par rapport à celle-ci, elle remplacel’intégration spectrale impliquant la fonction « coefficient d’absorption » ( )K , complexe etirrégulière, par une intégration impliquant une fonction beaucoup plus lisse et régulière,monotone de 0 à 1, à savoir la fonction de répartition ( )g K , représentant la probabilitéque, sur l’intervalle spectral 1 2, définissant la bande, le coefficient d’absorption aitune valeur inférieure ou égale à K .

Une fois déterminée la fonction ( )K g correspondant à la fonction ( )K expérimentale (viale calcul de la fonction ( )g K , opération lourde, mais à réaliser seulement une fois pourtoutes), les calculs de transmission pour des chemins optiques variés sont a priori beaucoupplus économiques (en nombre d’opérations et en stockage informatique), puisque l’on passe,en ordre de grandeur des nombre de points nécessaires à une discrétisation efficiente, del’ordre de milliers à l’ordre de centaines ou dizaines.

Au final, par construction, la méthode en distribution de K est donc plus performante, entermes de calcul, que la modélisation de bandes.

Il faut par contre porter à son débit, comme cela apparaîtra dans ce qui suit, une ignorancestructurelle des hétérogénéités spatiales (de la fonction de Planck, et des teneurs enabsorbants), ainsi que, en pratique, des « mini-biais » systématiques (« overshoots » et« undershoots »)) dans sa fonction de transmission implicite, liés à la transformation deLaplace d’une fonction de fait « en escalier ».

ii. Cas d’un chemin homogène

C’est en réalité dans le cas d’un chemin optique à pression et température constantes, pourlequel la distribution ( )K est la même en tout point du chemin, que le résultat annoncé ci-dessus peut être pris sans restriction ; il résulte alors de l’égalité

149

1

0

1( ) . exp ( ). . exp ( ). .u K u d K g u dg

qui trouve son origine dans la définition de g , et exprime simplement que l’on comptabilisedifféremment les mêmes contributions à l’intégrale : séquentiellement en dans la premièreécriture, séquentiellement en K dans la seconde.

La figure 6 illustre la simplification, d’aspect et de traitement par discrétisation, qui résultedu passage de la représentation ( )K à la représentation ( )K g .

Figure 6 – Illustration du principe du traitement « en distribution de K » de l’absorption :de la distribution spectrale ( )K à la distribution en répartition de probabilité ( )K g .

iii. Cas d’un chemin inhomogène

La méthode doit être aménagée dans le cas d’un chemin optique 0,u à pression ettempérature non uniformes, puisque, en raison de cette non-uniformité, une valeur donnée deg ne correspond pas à la même valeur de en deux points du chemin, ce qui se traduit parle fait que K est en réalité fonction, à la fois, de g et de la position au sein duchemin : ( , '), 0 'K K g u u u .

La formulation utilisée dans le cas inhomogène est généralement la suivante :

1

0 0

( ) exp ( , '). ' .u

u K g u du dg

Sur un chemin inhomogène, cette expression n’est exacte que dans des cas très particuliers derépartition ( )K (elle l’est pour une raie isolée de Lorentz, une situation sans grand intérêt),mais elle est habituellement réputée acceptable en raison de la bonne corrélation entre deuxvaleurs de K correspondant, à deux niveaux de pressions même très différents, à la mêmevaleur de g .

150

La figure 7 donne une idée de cette corrélation; les grosses différences sont isolées auvoisinage de quelques centres de raies, et ne contribuent a priori que peu à l’estimation de latransmission intégrée sur l’ensemble de la bande spectrale.

Cette approximation, qui constitue l’essence de la méthode dite « en distribution de Kcorrélée », est à la base des algorithmes « rapides » de calcul du transfert radiatif (un exempled’application sera évoqué au chapitre XI). L’expérience montre qu’elle conduit à uneestimation des flux à quelques % près.

Figure 7 – Allure du degré de corrélation entre coefficients d’absorptioncorrespondant, à des pressions différentes, à la même valeur de la répartition de probabilité

(tirets : corrélation parfaite –bissectrice de l’angle des axes-).

Elle s’accommode assez facilement du recouvrement des bandes de différents absorbants,ainsi que de la présence de particules et de diffusion. Sur ce dernier point, il suffit d’écrire lesexpressions de la transmission et de la réflectivité sous la forme plus générale

1

0

( ) ( , ).g total totalu t dg ,1

0

( ) ( , ).g total totala u a t dg ,

où, avec des notations évidentes, la transmission g et la réflectivité ga correspondant à lavaleur courante de g , sont fonctions de l’épaisseur optique totale d’extinction

( ) ( ) ( )total dif abs abst t gaz particules t gaz t particules , et de l’albédo total de diffusion

151

simple( )dif

totaltot

t gaz particulest

(avec ( ) .abst gaz K u ), et sont calculables, par exemple,

par recours à un modèle à deux paramètres énergétiques.

Pour terminer, il paraît intéressant de signaler que, pour un chemin inhomogène, il estpossible de développer une forme d’approximation de Curtis-Godson propre à la méthode endistribution de K ; suggérée par Yves Fouquart, cette approche est exposée dans Ritter etGeleyn (1992), « A comprehensive radiation scheme for numerical weather predictionmodels, with potential applications in climate simulations », Monthly weather Review, 120.On n’entre pas ici dans cette amélioration, qui fournit cependant un outil plus flexible que lacorrélation en une valeur unique de u , et qui est créditée du bon comportement (en p et

1/ 2T ) aux limites.

2. LE RÔLE DES PARTICULES ATMOSPHERIQUES

A. Schématisation du problème

Les particules dont il est question sont les aérosols (solides) et les particules nuageuses ensuspension dans l’air ; on reviendra sur la définition et la typologie au chapitre VI.

La prise en compte du rôle radiatif des particules, qui porte sur la diffusion et l’absorption, estun domaine complexe ; au niveau d’un cours de base, il convient de simplifier notablement leproblème.

Les aérosols sont entourés d’une enveloppe d’eau, d’autant plus épaisse que l’humiditérelative

2H OU est élevée. On peut donc considérer en première approche l’aérosol comme,suivant les cas, en suspension ou en solution dans l’eau, avec une dépendance simple de lataille de la particule résultante par rapport à l’humidité relative, par exemple du type

20

(1 )H Or Ur

, où r est le rayon de la particule, supposée sphérique pour simplifier.

Au final, on ne considèrera donc ici, comme « particules », que des gouttelettes d’eausphériques, possédant éventuellement un noyau d’une autre nature qui, pour des raisons desimplicité, sera également considéré comme sphérique.

Pour l’étude de l’interaction entre rayonnement et particules dans le cas général, il n’est paspossible, comme dans le cas particulier des gaz, d’agréger les résultats d’interactions auniveau moléculaire, en raison des interactions fortes et complexes entre molécules de laparticule. La démarche (théorie de Lorenz-Mie) est donc d’utiliser les équations de Maxwellelles-mêmes pour décrire l’interaction à travers la surface d’un milieu continu, caractérisé parson indice de réfraction complexe.

On peut aboutir à une solution pour une particule sphérique, et pour un très petit nombred’autres formes sphéroïdales, mais pas dans le cas d’une géométrie arbitraire.

Le cas des gaz traité plus haut (molécules « sphériques ») est retrouvé comme cas particulier.

152

B. Méthodologie de la théorie de Mie

La théorie de Lorenz-Mie, dite le plus souvent, plus simplement, de Mie (chapitre XIV -XIV.3.-), développe l’onde électromagnétique en harmoniques sphériques pour résoudre leséquations de Maxwell (exprimées en coordonnées polaires) dans le cas d’une particulesphérique, avec les conditions aux limites appropriées à la surface de cette particule.

Pour le calcul de la perturbation d’une onde monochromatique plane par une particulesphérique, les données d’entrée sont ainsi

la longueur d’onde ,

la géométrie de la particule, c’est-à-dire les rayons des couches successiveshomogènes et distinctes constituant la particule,

les propriétés optiques de la particule, en fait l’indice de réfraction complexe

Re Im.réfn n i n de chaque couche, dont la partie réelle Rephase

vide

cn

ccaractérise la

vitesse de phase de l’onde à l’intérieur de la particule, et dont la partie imaginaire,

Im

.4

absKn caractérise l’absorption du milieu réfringeant .

La théorie calcule la perturbation apportée au champ électromagnétique initial à grandedistance de la particule, et compare son intensité à celle de la partie du champ incidentrencontrant la sphère.

Le résultat s’exprime en termes des sections efficaces a-dimensionnées d’extinction etd’absorption ext et abs , ainsi que de la fonction de diffusion difP .

Les sections efficaces a-dimensionnées abs et ext sont définies comme les rapports del’énergie absorbée, ou absorbée et diffusée, à l’énergie rencontrant pendant le même intervallede temps la surface 2.r .

Les calculs sont complexes ; on se contente ici d’examiner les résultats dans le cas le plussimple, celui d’une particule (sphérique) homogène.

Par exemple, le résultat pour les efficacités d’extinction et de diffusion s’exprime sous laforme

21

2 . (2 1).Re( )ext p ppdif

p a b

2 22

1

2 . (2 1).( )dif p ppdif

p a b

153

où les « coefficients de Mie » pa et pb (donc ext , dif , et également difP ) dépendent de2 .déf

difr et de l’indice de réfraction complexe partn de la particule.

Le nombre de termes à garder pour calculer en pratique avec une précision suffisante lessommes infinies en cause augmente avec dif ; une estimation en est la partie entière de

1/34 2dif dif (ce qui, par exemple, donne 127 pour un rayon de 10 m et une longueurd’onde de 0,5 m ). Toutefois, pour des valeurs suffisamment grandes de dif , on a déjàindiqué au chapitre II (II. 2. B. c.) que ce sont les lois de la diffusion non sélective, et del’optique géométrique, qui s’appliquent.

On peut ensuite combiner les effets de particules multiples, sans tenir compte des interactions(ce qui ne veut pas dire que les rayons déjà diffusés ne peuvent pas l’être à nouveau).

Enfin, l’utilisation concrète des résultats, c’est-à-dire le passage des sections efficaces auxcoefficients, nécessite la connaissance du spectre de taille des particules (répartition dunombre de particules par classes de tailles), et la sommation pour chaque longueur d’onde desfonctions abs , dif et difP de 0r à r .La question de la distribution de la taille des particules est abordée au chapitre VI.

C. Résultats de la théorie de Mie

a. Diffusion pure

Les résultats présentés sur la figure 8 pour la diffusion pure ( Im 0n ) montrent lasuperposition de deux effets : l’interférence de l’onde et de la particule, responsable desgrands traits de la forme des fonctions, et les interférences secondaires des ondes diffractéesou réfléchies entre elles, responsables des variations de petite échelle de et difP (nonreprésentées sur la figure pour difP ).

Pour 0dif , on a 4ext dif : aux petites valeurs de r , la particule se comporte comme

un « diffuseur Rayleigh ».Pour dif , 2ext ; ce résultat, a priori surprenant (on s’attendrait à une limite de 1),constitue le paradoxe de la diffusion : une particule très grande par rapport à la longueurd’onde diffuse deux fois plus d’énergie radiative que n’en intercepte sa section !

On peut donner de ce phénomène une explication simple, sinon rigoureuse : à la diffusion desrayons rencontrant la particule s’ajoute la diffraction de certains rayons aux abords de lasphère.Pour calculer l’énergie ainsi diffractée, on peut, par la pensée, remplacer la sphère par undisque totalement absorbant de même diamètre. Si, à la lumière diffractée dans le plan dudisque, on imagine l’ajout de la lumière que diffracterait un diaphragme de diamètre égal àcelui du disque, les phénomènes d’interférence redonnent une onde plane. L’énergie diffractéeaux abords du disque est donc égale à l’énergie que diffracterait le diaphragme, elle-mêmeégale à l’énergie traversant la surface du disque.

154

Figure 8 - Résultat de la théorie de Mie pour la diffusion pure, pour Re 1,33n (eau pure) et

Re 1,50n (valeur moyenne pour l’eau dans l’atmosphère) . a) : variation (non lissée) de ext

en fonction de dif ; b) : variation (lissée) de difP en fonction de dif pour différentes valeursde dif .

155

L’aspect paradoxal du résultat n’est donc qu’apparent, et si on ne peut se le représenterconcrètement, c’est parce que les rayons diffractés aux abords de la sphère le sont dans unedirection très voisine de la direction incidente, et que donc le phénomène n’est sensible qu’àtrès grande distance.

Entre les valeurs extrêmes de dif , les résultats de la théorie de Mie sont difficiles à décrire(accessoirement on notera que les oscillations des courbes permettent des valeurs supérieuresà 2, mais que ces oscillations pour une particule unique se trouvent lissées au sein d’unepopulation de particules).

Il existe cependant une formulation analytique approchée, valable à la limite pour Re 1n ,qui en pratique supprime la dépendance en Ren des résultats, et rend ceux-ci plus accessibles.

Avec Re2 .( 1)déf

dif dif n , on trouve ainsi :

2

4 42 .sin .(1 cos )ext dif difdif dif

2 2/ 2

0 0

( ) . (1 exp . .sin ).cos .sin . exp . . .cos .cos . .2

difdif dif difP i i d d

b. Cas général

Un calcul analogue est également possible dans le cas où la particule absorbe aussi une partiedu rayonnement ( Im 0n ).

Avec Re2 .( 1)déf

dif dif n , Im

Re 1

déf ntgn

, on trouve:

2

cos cos2 4exp . . sin ( ) .cos 2

cos4 .cos 2

ext dif dif difdif dif

dif

tg

2 2

exp 2 . exp 2 . 11

. 2 .dif dif

abs

dif dif

tg tgtg tg

Pour 0 , on retrouve bien le résultat sans absorption : 0abs , et l’expression indiquée

au-dessus pour ext .

156

Enfin, pour dif , 1abs , toute l’énergie rencontrant la sphère est absorbée, et, comme

en diffusion pure, 2ext .

L’influence de l’absorption décrite par ces formules approchées est représentée sur la figure 9.

Figure 9 -- Absorption et extinction par une particule au voisinage de Re 1n ,

pour diverses valeurs de Im

Re 1nArc tg

n.

157

VI. PORTRAITS D’ACTEURS RADIATIFS ATMOSPHERIQUES

Ce chapitre propose une présentation générale des principaux acteurs radiatifsatmosphériques dont le rôle a été évoqué au chapitre V : la vapeur d’eau, le dioxyde decarbone et l’ozone pour les gaz ; les hydrométéores et les aérosols pour les particules.

Il ne s’agit toutefois pas d’y entrer dans le détail des bandes d’absorption ou descaractéristiques de la diffusion, ce point sera traité un peu plus spécifiquement dans leschapitres consacrés au rayonnement solaire (chapitre VIII) et au rayonnement tellurique(chapitre IX) ; il s’agit plutôt ici de donner les principales propriétés et caractéristiques derépartition de ces agents radiatifs.

1. MISE EN CONTEXTE

A. Indicateurs de teneur, et leurs unités

a. Indicateurs absolus et relatifs

L’importance, au point courant, de la présence d’un composant atmosphérique, peut se chiffrer

en valeur absolue, indépendamment de la présence des autres composants : on parlerade « concentration »,

en valeur relative, par comparaison avec la teneur des autres composants, en généralcelle de la totalité de ceux-ci (air) : on parlera de « rapport de mélange ».

Conceptuellement, pour les grandeurs extensives qui entrent dans la définition de certains desindicateurs de teneur, le volume « de prélèvement », dont il est question lorsque l’onmentionne « volumique » ou « par unité de volume », est un volume élémentaire centré sur lepoint courant, suffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules, maissuffisamment petit pour pouvoir être considéré comme « ponctuel » dans l’estimation visée ;cette double condition est supposée garantir une relative indépendance des résultats vis-à-visde la forme et la taille précises du volume d’échantillonnage retenu.

On mentionne ci-dessous seulement les principaux indicateurs de teneur, ceux qui peuventapparaître dans le présent cours.

b. Composants gazeux

i. Indicateurs locaux absolus

masse volumique (exprimée en 3.kg m ),

158

nombre volumique de molécules n (exprimé en « 3.molécules m », ou en3.moles m ),

pression partielle p (exprimée en Pa ).

ii. Indicateurs locaux relatifs

rapport de mélange moléculairedéf

air

nr

n, exprimé en « 1.mole mole » ou en « % ».

Pour les composants à très faible teneur, il est fréquemment exprimé en nombre demolécules par million « ppm », par milliard « ppb », ou par trillion « ppt » (sous-entendu : « de molécules d’air ») ; en réalité ces « unités » ne sont pas « légales » ausens du système international SI (parce qu’elles sont dépendantes de la langue, etparce qu’il n’y a pas unicité d’appellation dans le monde des puissances de 10qu’elles mettent en jeu), il vaut mieux utiliser la « fraction de mole par mole »équivalente, par exemple la 1.mole mole pour le ppm . Comme elles sont d’usageextrêmement répandu, on ne s’interdira pas toutefois de les utiliser ici, telles queprécisées ci-dessus.Le rapport de mélange moléculaire a l’avantage sur d’autres indicateurs relatifspossibles d’être indépendant de la pression et de la température ; il est d’ailleurs

identique (pour un gaz parfait) au rapport de mélange volumiqueair

vv

, dans la

mesure où les volumes en cause dans cette dernière définition sont les volumesramenés aux conditions thermodynamiques dites « normales » : pression de uneatmosphère, température de 0 C . L’unité « ppmv », parfois utilisée dans lesdomaines de la chimie atmosphérique et du changement climatique, se confond doncavec le « ppm ».

rapport de mélange massiquedéf

air

q , exprimé en 1.kg kg ou en « % ».

Cet indicateur est particulièrement utilisé pour la vapeur d’eau, sous le nomd’« humidité spécifique »

2H Oq .Pour la vapeur d’eau, il existe d’ailleurs un grand nombre d’autres indicateurs(« d’humidité ») particuliers ; parmi ceux-ci, on mentionnera ici l’humidité relative

2H OU , rapport de l’humidité spécifique à sa valeur saturante aux conditions depression et de température de l’échantillon considéré.

iii. Indicateurs intégrés

La quantité intégrée, dite « totale », d’un composant atmosphérique gazeux, c’est-à-direcontenue dans une colonne atmosphérique cylindrique de section unité, verticale et s’étendantsur toute l’épaisseur de l’atmosphère, peut s’exprimer en unités de longueur, si on imagine deramener tout le composant au niveau de la surface, supposé dans les conditionsthermodynamiques normales.

159

On parle alors de hauteur, ou d’épaisseur, « réduite » de ce composant, pour qualifier lahauteur à partir de la surface qu’il occuperait suite à ce processus, que l’on peut exprimer en« mètre NTP », la mention « NTP », pour « Normal Temperature and Pressure », rappelantles conditions du processus de réduction.Ainsi, pour « l’ozone total », quantité intégrée d’ozone sur la verticale, l’unité la pluscourante, « l’unité Dobson », de symbole UD, correspond au « milli-centimètre NTP » ainsidéfini, et à une concentration moyenne d’environ 1 milliardième en volume.

La vapeur d’eau, compte tenu de ses potentialités de condensation dans les conditions depression et de température atmosphériques, est dotée d’un indicateur de teneur intégréespécifique assez visuel : la « hauteur d’eau précipitable », hauteur de la lame d’eau liquideobtenue par la condensation et la précipitation à la surface terrestre, instantanées et complètes,de la totalité de la vapeur d’eau contenue dans la colonne atmosphérique verticale infinie.

c. Composants particulaires

Pour les composants particulaires, les principaux indicateurs de teneur sont évidemment

le nombre de particules par unité de volume d’atmosphère particn ( 3.particules m ),

la masse de particules par unité de volume d’atmosphère partic ( 3.kg m ),

le volume de matière particulaire par unité de volume d’atmosphère particv ( 3 3.m m ).

Dans tous les cas il s’agit du rapport à un volume élémentaire d’atmosphère, localisé au pointcourant, de l’attribut total de particules (nombre, masse, volume) contenu dans ce volume.La relation entre particv et particn fait à l’évidence intervenir le spectre de distribution des

dimensions caractéristiques des particules ; par contre, particv est relié plus simplement à la

concentration volumique en masse partic des particules : le rapport partic

particvest la masse

volumique de la matière constituant l’aérosol.

B. Composition de l’atmosphère

L’atmosphère terrestre se compose principalement

de gaz dominants, en première approximation bien mélangés au sein de l’atmosphère,dont il est d’usage de plutôt chiffrer la teneur par le rapport de mélange moléculaire

déf

air

nr

n, exprimé en 1.mole mole , ou en « % ».

Il s’agit de l’azote 2N (2

78,1 %Nr ), de l’oxygène 2O (2

20,9 %Or ), de l’argon

Ar ( 0,93 %Arr ).

de vapeur d’eau, un gaz que l’on traite à part, en raison de son importance et de sespropriétés, particulières à tous points de vue, et dont la concentration est très variable

160

dans l’espace et dans le temps au sein de l’atmosphère : l’humidité spécifique y va de« presque 0 » à quelques « % ».

de gaz en très faibles concentrations, dits « gaz en trace », dont il est d’usage de plutôt

chiffrer la teneur par le rapport de mélange moléculairedéf

air

nr

n, exprimé en

nombre de molécules par million (« ppm »), par milliard (« ppb »), ou par trillion(« ppt ») de molécules d’air : il s’agit par exemple du dioxyde de carbone ou « gazcarbonique » 2CO (

2377COr ppm ), de l’ozone 3O (

32 8Or ppm dans la

stratosphère,3

10 500Or ppb dans la troposphère), du méthane 4CH

(4

1,7CHr ppm ), de l’oxyde nitreux, ou « protoxyde d’azote »,

2N O (2

0,31N Or ppm ), du monoxyde de carbone CO ( 50 500COr ppb ), des

composés azotés NO ( 510 1NOr ppm ), etc, …

Certains de ces gaz en trace ont, malgré leur teneur quantitativement « insignifiante »,un rôle radiatif ou physico-chimique capital pour l’atmosphère.

Il en va ainsi, du point de vue radiatif, des « gaz à effet de serre », qui sont« transparents » au rayonnement solaire, mais qui absorbent le rayonnement tellurique,et contribuent, par leur efficacité dans la ré-émission de celui-ci, au réchauffement destrès basses couches atmosphériques et de la surface terrestre.L’importance relative d’un gaz à effet de serre peut être chiffrée par la part relative desa contribution au forçage radiatif « d’effet de serre » total ; les principaux gazatmosphériques à effet de serre (après la vapeur d’eau) sont ainsi, dans l’ordredécroissant, le 2CO , le 4CH , le 2N O , et 3O .Les gaz à effet de serre « anthropiques », c’est-à-dire dont la présence dansl’atmosphère a été significativement accrue par les activités humaines depuis le débutde l’ère industrielle (par utilisation des combustibles fossiles pour le chauffage, letransport, …, par les activités agricoles, et notamment l’utilisation d’engrais azotés,par la déforestation, par les activités industrielles, etc), sont à l’origine de « l’effet deserre additionnel », qui suscite les inquiétudes les plus vives, aujourd’hui bienconnues, relativement au changement climatique en cours (depuis 1750 environ,l’effet radiatif de ces émissions est grossièrement équivalent à celui d’uneaugmentation d’environ 1% de la puissance d’émission du Soleil).

Comme exemple différent, parmi d’autres, de l’importance des constituants gazeux entrace de l’atmosphère, on peut aussi citer le rôle oxydant du radical hydroxyle OH ,primordial notamment dans l’élimination d’un certain nombre d’autres constituants entrace.

de particules, solides ou liquides, que l’on a classiquement séparé dans le présentcours en deux catégories :

- les hydrométéores, particules d’eau (eau liquide ou glace) constitutives des nuages,brouillards, précipitations ;

161

- les « aérosols », particules non aqueuses (mais éventuellement solubles dans l’eau, etdont un des rôles peut être celui de noyau de condensation de l’eau), d’origines et detailles diverses.

On a déjà indiqué la position du présent cours, dont les objectifs sont seulementpédagogiques, de se limiter aux gaz et particules considérés comme les plus intéressants ouréalistes de ce point de vue.Pour les gaz il s’agit aussi pratiquement des plus significatifs d’un point de vue radiatif, àsavoir la vapeur d’eau, le dioxyde de carbone, et l’ozone ; concernant les particules, on neconsidère pas explicitement les particules nuageuses de glace, ni les particules constitutivesdes précipitations, ce qui revient à supposer que, pour simplifier, on « assimile » leurspopulations, au moins d’un point de vue de simplification pédagogique, et en toute premièreapproche (d’ailleurs passablement irréaliste), à des populations particulières de gouttelettes.

C. Contributions isotopiques

L’existence d’isotopes des éléments atomiques « communs » (ne différant de ces derniers quepar le nombre de neutrons dans le noyau) contribue naturellement à compliquer les propriétésradiatives d’absorption/émission des gaz atmosphériques.Si, par rapport à l’espèce commune, l’isotope (distingué dans l’écriture par la précision, enhaut à gauche du symbole chimique, du nombre « de masse » -nombre de nucléons del'atome- ) constitue le même élément chimique, et si ses propriétés chimiques sont quasimentidentiques, le changement dans la composition du noyau affecte les propriétés vibratoires etrotatoires des molécules constituées d’atomes isotopes, et elle contribue à ajouter encore desraies à celles de l’espèce commune.

Ainsi, par exemple, dans l’atmosphère, les isotopes 2H (deutérium) de l’hydrogène commun1H , 18O de l’oxygène commun 16O , 13C du carbone commun 12C , sont impliqués dans laconstitution de molécules de 2H O et de 2CO « isotopiques » : 2H et 18O sont présentrespectivement dans environ 0,03 % et 0,2 % de la vapeur d’eau, 13C dans environ 1% desmolécules de dioxyde de carbone. Ces espèces isotopiques sont donc très minoritaires, et dece fait leur contribution aux spectres d’absorption/émission par des raies additionnellesconstitue au final un effet mineur.

Ce point a donc été évoqué ici seulement pour mémoire.

2. PRINCIPAUX GAZ ATMOSPHERIQUES

A. Vapeur d’eau

a. Polarisation, liaisons hydrogène, continuum d’absorption/émission

La molécule d’eau 2H O est un assemblage covalent de deux atomes d'hydrogène H et d’unatome d'oxygène O , avec un angle de 104,45 au niveau de l’atome d’oxygène, et unedistance O H de -100,9584.10 m .

162

Une propriété essentielle de cette molécule réside dans sa polarisation permanente : l’atomed’oxygène étant (beaucoup) plus électronégatif (c’est à dire apte à attirer et capter lesélectrons) que l'atome d'hydrogène, des pôles électrique s’y établissent en effet, les atomesd’oxygène et d’hydrogène étant chargés, respectivement, négativement et positivement.La molécule d’eau possède au total dix électrons (dont huit proviennent de l’atomed’oxygène, et deux des atomes d’hydrogène). Les deux liaisons oxygène - hydrogène au seinde la molécule sont assurées chacune par une paire d’électrons mis en commun, deuxélectrons (dits « de cœur »), issus de l’atome d’oxygène, ne participent pas aux liaisonschimiques, et les quatre derniers électrons de l’atome d’oxygène, groupés par paires,constituent les électrons dits « libres ».La polarisation de la molécule d’eau se traduit donc par deux pôles négatifs situés au niveaudes paires d'électrons libres de l'oxygène, et deux pôles positifs situés au niveau des atomesd'hydrogène.

Par suite de cette polarisation permanente, les molécules d'eau s'attirent mutuellement, le côtépositif de l'une attirant le côté négatif d'une autre, un mécanisme qui débouche sur desarchitectures moléculaires dites « par liaisons hydrogène ».

La force d'attraction en cause est relativement faible par rapport aux liaisons chimiquescovalentes de la molécule elle-même : l’énergie de formation de la liaison hydrogène est del'ordre des énergies de l’agitation thermique vers 30 C (une telle liaison laisse donc toutesouplesse d’évolution, à ces températures, aux assemblages moléculaires qu’elle assure,comparée à la liaison de valence, beaucoup plus énergétique, donc rigide).

La polarisation et les liaisons hydrogène sont à la source de propriétés thermodynamiquesspécifiques à l’eau (point d’ébullition élevé, capacité calorifique élevée, densité plus grandedans l’état liquide que dans l’état solide cristallisé, …), ainsi que des fortes capacitésdissolvantes de ce liquide (par construction autour d'un ion d’un écran de molécules d’eauempêchant celui-ci de se combiner à nouveau avec des ions de signe opposé).

Bien que nombre d’autres molécules soient également polaires, l’eau est le seul liquide àpouvoir développer un aussi grand nombre de ces liaisons, jusqu’à quatre par molécule, avecalors une molécule centrale, et quatre molécules aux sommets d'un tétraèdre (une structure quise retrouve aussi dans les diverses formes cristallines et amorphes de la glace).

Le temps de vie de chaque liaison hydrogène est de l’ordre de 1210 s .

A 100 C , de l’ordre de 1% des molécules d’eau sont liées à quatre molécules voisines pardes liaisons hydrogène, à 0 C , cette proportion passe à 25 % ; ceci explique la fortedépendance en température des propriétés physiques et chimiques de l’eau (par exemple, ence qui concerne la diffusion moléculaire de l’eau, les mouvements de translation et de rotationd’une molécule ne sont pas possibles en présence de trop de liaisons hydrogène).

Dans la phase vapeur, à cause de l’énergie d’agitation moléculaire, supérieure à l'énergie desliaisons hydrogène, les molécules ne s’assemblent que par deux ou par trois.

Au cours du refroidissement, lorsque l’énergie d’agitation devient insuffisante pour inhiberles liaisons hydrogène, les molécules s’assemblent progressivement en « paquets », et desgouttelettes d’eau liquide apparaissent au sein de la vapeur.

163

Dans l’eau liquide, les molécules d’eau s’assemblent en agrégats de grande taille, et seséparent, en permanence.

On a déjà insisté plus en amont dans le présent cours sur l’importance de la polarisation, ou dela polarisabilité, pour les processus d’absorption et d’émission radiatives.

Concernant l’eau en particulier, on notera ici une retombée supplémentaire de la polarisation,et surtout de la facilité d’assemblage par liaisons hydrogène induite : les agrégats poly-moléculaires, qui se font et se défont perpétuellement par ce processus, présententnaturellement des propriétés rotatoires et vibratoires, donc des configurations de transitions deniveaux énergétiques, complexes et changeantes ; ce mécanisme est souvent avancé, encomplément à l’effet général des « ailes de raies distantes », pour expliquer la continuité duspectre d’absorption/émission observé de la vapeur d’eau.

La vapeur d’eau est le plus puissant des gaz atmosphériques à effet de serre, mais il estgénéralement admis qu’elle n’est a priori que peu impliquée au final dans le processus d’effetde serre « additionnel » anthropique ; cependant, d’une part cette assertion est discutable, etd’autre part le réchauffement climatique en cours pourrait lui-même faire évoluer la situation,par l’accroissement induit de la quantité de vapeur d’eau atmosphérique (avec descompétitions complexes de rétroactions, notamment dues aux nuages, dont le bilan est encoremal maîtrisé).

b. Répartition de la vapeur d’eau

D’une façon générale, l’eau se trouve majoritairement dans l’atmosphère sous forme vapeur,et celle-ci est majoritairement localisée dans la troposphère en dessous de 500 hPa ,particulièrement dans la partie basse et chaude de celle-ci (gradient en surface versl’équateur), ce qui reflète la dépendance en température de la valeur saturante des critèresd’humidité.

Dans la stratosphère, la quantité de vapeur d’eau varie peu avec l’altitude, et sa concentrationy est faible : de l’ordre de quelques ppm au dessus de la région d’échange entre troposphèreet stratosphère, soit à partir de 1 km à 2 km au-dessus de la tropopause.

Pour autant, on n’oubliera pas que la vapeur d’eau (et les nuages) de la troposphère supérieureet de la stratosphère ont un rôle radiatif non négligeable.

Concernant la vapeur d’eau atmosphérique globale, sa condensation et sa précipitation à lasurface terrestre, instantanées et complètes, produiraient une hauteur d’eau, dite« précipitable », d’environ 2,5 cm . La même opération, effectuée pour des colonnesverticales localisées à la surface du globe, conduirait à une dispersion des valeurs entre 4 cm(à l’équateur) et moins de 5 mm (aux pôles).

Le rapport entre la hauteur d’eau précipitable et la hauteur de précipitation globale moyenne,de l’ordre de 1 /m an , fournit une estimation du temps moyen de séjour d’une goutteletted’eau dans l’atmosphère, entre son évaporation de la surface et sa précipitation vers la surface(souvent bien plus loin), qui est d’environ 9 jours .

164

La répartition de la vapeur d’eau atmosphérique, régie non seulement par le transport par lesmouvements de l’air, mais surtout par les processus d’évaporation, de condensation et deprécipitation, est extrêmement variable dans le temps et dans l’espace, et dépend beaucoup dela situation météorologique du moment : il est donc nécessaire que les modèles derayonnement à vocation « opérationnelle » utilisent des données d’humidité fournies par lemodèle associé de simulation de l’atmosphère.

En moyenne, d’une façon générale, on observe une forte décroissance de la teneur en vapeurd’eau, de la surface terrestre à la tropopause : de quelques 3.g kg (aux latitudes moyennes), àquelques dizaines de 3.g kg (aux latitudes inter-tropicales), au niveau de la mer, elle tombe àquelques ppm au niveau de la tropopause.

La figure 1 donne une idée des répartitions moyennes (pour l’hémisphère nord) de l’humiditéspécifique

2H Oq et de l’humidité relative2H OU .

On y observe notamment la quasi-saturation des très basses couches de l’atmosphère pour leslatitudes inférieures à 10 degrés , et supérieures à 50 degrés , ainsi que l’effet de lasubsidence subtropicale, qui entraîne de l’air supérieur sec dans la troposphère moyenne, et setraduit dans cette zone par une faible humidité spécifique (

230 %H OU ).

D’un point de vue moyen, on peut utiliser quelques lois simples pour caractériser certainstraits des répartitions moyennes de vapeur d’eau, autour desquelles les fluctuations sontnaturellement importantes ; par exemple :

pour l’humidité spécifique2H Oq :

2 2

2

( ) (0).exp( )H O

H O H Oq

zq z qh

,

avec2H Oqh de l’ordre de 2,5 km ; la valeur de surface

2(0)H Oq varie

géographiquement de quelques dixièmes de 3.g kg (en altitude, sur les zones trèsfroides, …), à quelques dizaines de 3.g kg (en zone équatoriale), et varie égalementavec la saison .

pour le point de gel, et pour la haute atmosphère : décroissance du point de gel avec ungradient de 16,25 .K km , jusqu’à la valeur 190 K , et plus haut point de gel constantà 190 K , valeur approximativement indépendante de la latitude et de la saison.

pour l’humidité relative2H OU , et pour la basse troposphère ( 500p hPa ) :

2 2

( )( ) .H O H O surfsurf

p zU z Up

,

la valeur moyenne annuelle sur la Terre de2H O surf

U étant approximativement 0,77 .

165

Figure 1 – Allure de la répartition verticale et latitudinale de la teneur en vapeur d’eau,moyennée en temps et en longitudes, pour l’hiver (octobre-mars, traits continus), et pour l’été

(avril-septembre, tirets) de l’hémisphère nord.(a) : humidité spécifique, en 1.g kg , (b) : humidité relative, en « % ».

166

B. Dioxyde de carbone

Les sources du dioxyde de carbone atmosphérique résident dans la combustion et larespiration, le puits en est la photosynthèse, et, dans les deux sens, il faut compter avec leséchanges entre le réservoir atmosphérique et le réservoir océanique de 2CO dissout.

Le temps de séjour du dioxyde de carbone dans l’atmosphère est de quelques années àquelques dizaines d’années.

Le dioxyde de carbone est le prototype du gaz atmosphérique à effet de serre (il estresponsable de 62 % du forçage radiatif « effet de serre » hors vapeur d’eau), et c’est le plusimportant des gaz à effet de serre « additionnel » créé par les activités humaines (il est estiméresponsable de 90 % du forçage radiatif correspondant).

Son rapport de mélange moyen, sur l’ensemble du globe et sur l’année, augmente en effetavec les années par suite de la pollution industrielle au sens large, comme le montre la figure2.

Figure 2 – Croissance de la moyenne globale de la concentration de dioxyde decarbone dans l’atmosphère : (a) évolution du rapport de mélange (échelle de gauche) entre1985 et 2004 ; (a’) : évolution du rapport de mélange entre 1780 et 1985 ; (b) : évolution del’augmentation annuelle du rapport de mélange (échelle de droite) entre 1985 et 2004.

167

Il était resté constant, à environ 280 ppm , au cours des dix milliers d’années précédant l’èreindustrielle, mais depuis 1750 il a augmenté d’environ 35 % : en 2005, la valeur observée,publiée par l’Organisation Météorologique Mondiale, s’établit à 379,1 ppm (contre377,1 ppm en 2004, soit une augmentation annuelle de 0,53 % ).

En première approche, la concentration du dioxyde de carbone dans l’atmosphère estpratiquement constante sur la verticale, de l’ordre de la valeur globale moyenne mentionnéeplus haut, soit 377 ppm .

En seconde approche, il faut noter des variations temporelles périodiques, principalementliées aux phases de l’activité photosynthétique : saisonnières (en liaison avec une dominationdu puits photosynthétique au printemps/été, et une domination des sources respiratoires et decombustion en automne/hiver), et nycthémérales (en liaison avec l’arrêt de l’activitéphotosynthétique la nuit).

Compte-tenu du lien fort avec la photosynthèse, des variations spatiales significatives peuventégalement être observées.

La figure 3 donne une idée de la variation de la concentration de dioxyde de carbone,saisonnière, selon le type de site (a), et sur la verticale (b).

Figure 3 – Allure de la variation saisonnière de l’écart2

'CO

r à sa moyenne annuelle

de la concentration en dioxyde de carbone 2CO :

(a): variation annuelle en surface, sur différents types de sites.

168

Figure 3 – Allure de la variation saisonnière de l’écart2

'CO

r à sa moyenne annuelle

de la concentration en dioxyde de carbone 2CO :

(b): variation verticale, aux hautes latitudes de l’hémisphère nord,pour deux mois extrêmes.

C. Ozone

a. L’ozone aux deux visages

L’ozone (molécule d’oxygène tri-atomique O3 ) est un constituant minoritaire del’atmosphère, dont la teneur est très faible : en moyenne 3 molécules sur 10 millions demolécules d’air, soit, ramené de façon uniforme à la surface terrestre, pour l’atmosphèretotale, une couche d’environ 3 mm d’épaisseur.La stratosphère contient environ 90 % de l’ozone atmosphérique, entre 10 km et 50 km .

Mais c’est un gaz fort actif du point de vue radiatif, avec d’importantes propriétésd’absorption- des UV solaires : il est responsable de l’absorption hors troposphère des UV à 0,32 m(UV C et B, mais aussi pour partie UV A, biologiquement dangereux), et, dans lastratosphère, de la valeur élevée de la température, et de « l’ inversion » de celle-ci ;- de l’IR solaire (c’est un puissant gaz à effet de serre).

L’ozone est un polluant, qui a notamment des effets négatifs sur la santé humaine (bienconnus à court terme -irritation des yeux et des voies respiratoires, diminution de la fonction

169

pulmonaire, …-, mais pas encore complètement clairs à long terme) et sur la croissance decertaines espèces végétales (diminution du rendement, altération de l’aspect, …).

Il présente donc le double visage

d’un gaz bénéfique dans la stratosphère, d’où il protège la vie sur terre par son rôle de« bouclier anti-UV », … et où sa teneur tend à diminuer par suite des activitéshumaines : l’ozone y est détruit, sous l’action du rayonnement solaire UV, par lesatomes de chlore libérés par les halo-carbones (« CFC » notamment), en grande partied’abord stockés, puis réactivés à très basse température, par des réactions chimiquesqui ont lieu sur des particules de glace ;

d’un gaz nocif dans la troposphère, … où sa teneur tend à augmenter par suite desactivités humaines : l’ozone s’y forme, à proximité de la surface, sous l’action durayonnement solaire UV, principalement à partir des oxydes d’azote et deshydrocarbures ;

… l’augmentation troposphérique n’étant d’aucun secours pour enrayer la diminutionstratosphérique !).

b. Chimie de l’ozone

La chimie complète de l’ozone est très complexe, et met en jeu un nombre importantd’espèces, dont les principales sont celles qui jouent un rôle de « réservoir » vis-à-vis desradicaux actifs sur l’ozone : acide nitrique HNO3 , pentoxyde d’azote N O2 5 , acidechlorhydrique HCl , radical ClONO2 ,... (au total par exemple, une cinquantaine deconstituants liés par une centaine de réactions pilotent l’évolution de l’ozone stratosphérique).

Le noyau en est le cycle découvert par Chapman en 1930, qui permet notamment d’expliquerla présence de l’ozone dans la stratosphère :

l’ozone est créé par photo-décomposition (ou photolyse) de l’oxygène moléculaire del’air, sous l’action du rayonnement UV solaire ( 0,2 m ) -donc seulement de jour-,et recombinaison de l’oxygène atomique produit avec O2 :

2

2 3

2O photon UV solaire OO O M O M

M désignant une autre molécule gazeuse, ayant notamment pour rôle d’absorber lesurplus d’énergie.

l’ozone est détruit par photo-dissociation, sous l’action des UV solaires0,2 0,3m m , et/ou par recombinaison avec l’oxygène atomique :

O photon solaire UV O OO O O

3 2

3 22

170

Cependant la valeur d’équilibre de la quantité d’ozone prédite par le seul mécanisme deChapman est bien supérieure aux valeurs observées : il existe des mécanismes de destructionsupplémentaires, par des corps chimiques autres que O .

La concentration d’ozone est en effet aussi régulée par d’autres cycles, dits catalytiques, quiconsistent en la destruction de l’ozone par des couples de « catalyseurs » M MO trèsréactifs :

3 2

2

M O MO OMO O M O

soit, au final

3 22O O O

Une même molécule M peut ainsi détruire de nombreuses molécules d’ozone, jusqu'à uneéventuelle combinaison avec une espèce 'M en 'MM plus stable, dite « espèce réservoir »car susceptible de libérer M ... et 'M qui peut être elle-même un radical actif vis-à-vis del’ozone!

En outre il existe des cycles comprenant plus de deux réactions et catalyseurs.

En pratique, et selon la région de l’atmosphère considérée, M peut être OH (radicalhydroxyle), NO (oxyde d’azote), Cl (chlore) ou Br (brome).

La plupart de ces corps étaient présents avant la pollution anthropique (les composés azotésviennent du sol et des océans, l’hydrogène de la vapeur d’eau, le chlore et le brome desocéans,...), mais cette dernière a produit de nouveaux composés chlorés et bromés actifs surl’ozone.

Par exemple l’homme rejette dans l’atmosphère :

des oxydes d’azote, ou des produits qui peuvent lui donner naissance, dans sesactivités agricoles (engrais) et aériennes (rejets de combustion des avions) ;

des halogènes (chlore, fluor) libérés par les halocarbones (CFC et halons, renduscélèbres par la problématique du « trou d’ozone » stratosphérique ), après utilisationou comme dérivés secondaires dans les chaînes de fabrication d’autres composéssynthétiques.

c. Répartition de l’ozone

L’ozone atmosphérique est produit principalement dans la stratosphère hivernale des basseslatitudes, et réparti sur l’ensemble du globe par les transports méridiens.

La valeur moyenne de l’ozone total est très variable géographiquement (de 230 à 500 unitésDobson, avec moyenne globale d’environ 300), et dans le temps, comme le montre lafigure 4, qui donne une idée des grands traits de la variation spatio-temporelle de l’ozone totalmoyen dans l’hémisphère nord.

171

Figure 4 – Allure des variations de l’ozone total (moyenné sur quelques années):(a) variation annuelle et géographique dans l’hémisphère nord ;

(b) : variation saisonnière dans l’hémisphère nord.(c) : variation mois par mois à 45 N ;

Il convient naturellement de mentionner ici la forte baisse temporaire de la concentrationd’ozone stratosphérique, constatée chaque année à la fin de l’hiver et au début du printemps,au dessus des régions polaires, depuis une trentaine d’années, et liée à la problématique ditedu « trou d’ozone » (figure 5).

172

Figure 5 – Allure lissée du profil vertical de pression partielle d’ozone3Op

au dessus de l’Antarctique, (a) au début de l’hiver, (b) au début du printemps.

Le phénomène est attribué à la libération de chlore moléculaire par destruction dans la bassestratosphère des halocarbones (CFC notamment) d’origine anthropique, au terme d’une« chimie » hétérogène complexe qui met en jeu notamment l’action catalytique des particulesde glace des nuages polaires stratosphériques, et le fonctionnement en circuit clos, et lerefroidissement associé, du vortex stratosphérique circumpolaire.

Au début du printemps, avec le retour de l’insolation, le chlore moléculaire est dissocié enchlore atomique, et celui-ci contribue, par des réactions catalytiques rapides, à la destructionde l’ozone, en termes de quelques pour-cents par jour.

La destruction cesse, au début de l’été, avec des intrusions d’air originaires des basseslatitudes, apportant chaleur et ozone, et causant l’effondrement du vortex stratosphériquecircumpolaire.

d. Représentation du profil de teneur en ozone

Les grands traits de la répartition verticale type de la teneur en ozone sont les suivants :- valeur peu variable de la pression partielle dans la troposphère ;- croissance dans la basse stratosphère ;- maximum, entre 20 km et 25 km en général, localisé d’autant plus bas que la quantité totaled’ozone est importante ;- décroissance de type exponentiel dans les hautes couches de l’atmosphère.

Concrètement, la fonction à trois paramètres

173

3

3 3

3

3max

1 exp( ) (0).

1 exp .( 1)

OO O

OO

u z uz

z

permet de représenter de façon satisfaisante la quantité totale d’ozone3( )Ou z au-dessus de

l’altitude z , pour pratiquement toutes les distributions verticales « normales » rencontréesdans l’atmosphère.Dans cette formulation,

3(0)Ou est la quantité totale d’ozone,

3maxOz l’altitude du maximum, et

3O un coefficient de forme, dont les valeurs normales varient entre 4 et 5 . En moyennedans le temps et sur toute la Terre,

3(0) 300Ou DU ,

3max 23,5Oz km .

La figure 6 représente les répartitions verticales moyennes de l’ozone à la latitude 45 N ,pour les valeurs maximales et minimales de la quantité totale, et en moyenne dans l’année.

Figure 6 – Allure de la variation verticale de la pression partielle d’ozone.

3. LES PARTICULES ATMOSPHERIQUES

A. Hydrométéores

Comme pour la vapeur d’eau, le calcul des contributions radiatives des nuages nécessite queles modèles de rayonnement à vocation « opérationnelle » soient alimentés en donnéesconcernant les nuages, à savoir la quantité d’eau condensée et la nébulosité, par le modèle

174

associé de simulation de l’atmosphère. Ceci impose la conception d’un modèle de nuages et de précipitations.

D’un point de vue plus climatologique, de nombreuses données sur les nuages sont en cours d’élaboration dans le cadre de l’« International Satellite Cloud Climatology Project », ISCCP, conçu en 1978 par l’Organisation Météorologique Mondiale et le Conseil International des Unions Scientifiques, et lancé en 1983 comme composante du « Programme Mondial de Recherche sur le Climat » (http://isccp.giss.nasa.gov/).

L’action principale de ce projet (au moins du point de vue du présent cours) consiste à rassembler et traiter les données radiatives acquises par la constellation mondiale de satellites météorologiques, et à mettre à disposition, dans un format commun, un certain nombre de données nuageuses plus ou moins élaborées, obtenues en particulier par recours à l’utilisation inverse de modèles de transfert radiatif.

En fait, et en simplifiant beaucoup, trois niveaux de données sont proposés : données radiométriques satellitaires à pleine résolution ; données radiométriques satellitaires réduites en volume par des procédés statistiques ; données élaborées, notamment nuageuses.

Les données nuageuses sont fournies à plusieurs résolutions spatio-temporelles : 3 / 280h km,1 / 280mois km, et 3 / 30h km pour les satellites individuels.

Les nuages sont classés en neuf catégories selon la pression à leur sommet (trois étages : nuages bas, moyens, élevés) et leur épaisseur optique (figure 7) ; la distinction est faite entre eau liquide et glace pour les nuages bas et moyens (les nuages élevés sont de glace).

Pour donner une idée des produits disponibles, on peut indiquer, très sommairement, les données fournies à la résolution 3 / 280h km (certaines de ces données n’étant pas définies en situation nocturne):

information sur la quantité et la distribution par catégories des pixels nuageux au sein de la maille ; propriétés intégrées des nuages, telles qu’obtenues par plusieurs combinaisons de canaux spectraux de mesure : pression et température de sommet, épaisseur optique, chemin optique en eau ; informations relatives aux différents types de nuages : température de sommet, épaisseur optique, chemin optique en eau, pour chacun des étages ;propriétés de la surface : indications de topographie et de nature sol/eau, pression, température et son écart type spatial, réflectivités en visible et en proche IR, fraction neigeuse ou glacée ; données radiatives : indication de nature jour/nuit, identification des satellites, valeurs moyennes et écarts type des radiances visibles et IR, pour les pixels nuageux et de ciel clair ; propriétés de l’atmosphère : indication de source des données, températures de l’air en surface et à neuf niveaux de pression, température et pression de la tropopause, quantité d’eau précipitable pour cinq couches, ozone total.

175

Figure 7 – Classification nuageuse de l’ISCCP.

Un certain nombre d’éléments climatologiques relatifs aux nuages peuvent naturellement êtreélaborés à partir de telles données, portant sur les nébulosités et épaisseurs optiques(figure 8), les températures de sommet, les fractions de nuages d’eau liquide et de glace, lesvariations saisonnières et cycles diurnes, …

Figure 8 – Exemple d’éléments climatologiques sur les nuages (tirets : continents ;pointillés : océans ; trait plein : total), calculables à partir des données ISCCP :(a): nébulosités (échelle de gauche) ; (b) : épaisseurs optiques (échelle de droite).

176

B. Aérosols

a. Typologies

i. Définition et dimensions

En météorologie, on nomme « aérosol » une particule, solide ou liquide, en suspension dansl’air atmosphérique, de dimension caractéristique (rayon pour une particule sphérique)comprise entre 310 m et quelques dizaines de m , en excluant en général de cettedéfinition les gouttelettes d’eau liquide et les cristaux de glace des nuages et des précipitations(répertoriés « hydrométéores »).

Outre leur rôle radiatif direct, l’importance des aérosols dans la vie de l’atmosphère tient àleurs propriétés vis-à-vis de la condensation nuageuse de l’eau ; de ce point de vue, un attributdéterminant est leur solubilité dans l’eau.

Les aérosols solubles (par exemple, les aérosols nitratés, sulfatés, le sel marin, …) sonthygroscopiques ; ils attirent l’eau, et sont des noyaux de condensation nuageuse efficaces(modifiant alors aussi les propriétés optiques du milieu).

En conditions continentales non polluées, les aérosols sont majoritairement solubles (80% dela gamme 0,1 0,3m m ) , et il en est de même sur océan, où la majorité des aérosols estcomposée de sel marin ; la présence de groupes fonctionnels polaires sur les aérosolsorganiques, particulièrement les acides carboxyliques et di-carboxyliques, rend ceux-ciégalement solubles.

Les aérosols insolubles comprennent les oxydes métalliques, silicates, argiles minérales,provenant tous de l’érosion des sols ou des volcans.

Une autre caractéristique déterminante du rôle des aérosols est leur taille. Les aérosols ont desformes très diverses, et souvent complexes. La dimension caractéristique aérd d’un aérosolpeut être grossièrement quantifiée par une dimension géométrique moyenne, synthétique

(conceptuellement quelque chose comme aérS , où aérS désigne la surface de l’aérosol), ou

par le diamètre d’une particule sphérique « équivalente », de masse volumique unité et demême vitesse limite de chute.

En termes de dimensions caractéristiques, on peut alors distinguer :

les petites particules, dites d’Aitken : 3 110 10m m , surtout produites« secondairement », par conversion gaz-particule (mode parfois dit « de nucléation ») ;

les grosses particules, 110 1m m , surtout produites « secondairement », paragrégation de particules plus petites, et/ou par condensation hétérogène de gaz sur desaérosols pré-existants (mode parfois dit « d’accumulation ») ;

177

les particules géantes : 1 m , issues principalement de modes « primaires » deproduction (mécanique, ou par combustion).

ii. Types de production, dépôt

Les aérosols atmosphériques présentent une extrême variabilité, entre eux, dans le temps etdans l’espace, de types, de propriétés physiques et chimiques, de distributions, qui rend leurconnaissance et la possibilité de leur prise en compte très difficiles.

Sur l’ensemble du globe, plusieurs millions de tonnes en sont produits par jour, par un grandnombre de processus, naturels ou liés aux activités humaines ; on distingue :

la production primaire, émission directe, par dispersion à partir de la surface (parexemple, la plupart des poussières minérales, cendres volcaniques, fumées,…) ; lesparticules ainsi générées sont de dimension généralement supérieure au micron dansune production mécanique, et généralement inférieure au micron dans une productionpar combustion ;

la production secondaire, transformation (directe gaz-solide, ou via des gouttes d’eaunuageuses) de « gaz précurseurs », eux-mêmes émis directement dans l’atmosphère(exemples : sulfates produits par oxydation des sulfures dans la combustion fossile,nitrates issus des espèces gazeuses azotées, produits d’oxydation des composésorganiques volatils, …) ; les particules ainsi générées sont de dimension généralementinférieure au micron.

A l’échelle globale, les sources naturelles dominent les sources artificielles d’un facteur 4 à5 , mais ce n’est pas nécessairement vrai à l’échelle régionale, particulièrement dansl’hémisphère nord.

La production d’aérosols présente également une importante variabilité temporelle (penser aupollen).

Les aérosols sont éliminés de l’atmosphère par dépôt : dépôt « sec » à la surface, dépôt« humide » par capture par les hydrométéores (qui, seule, ne conduit pas forcément à dépôt),puis précipitation (« lessivage »).

Les aérosols (et l’ozone) sont aussi échangés entre troposphère et stratosphère au voisinagedes grands systèmes météorologiques actifs, et des courants jets de haute altitude.

iii. Temps de séjour

Le temps de séjour d’un aérosol dans l’atmosphère dépend de sa taille, de ses propriétésphysiques et chimiques, de la période et du lieu de l’émission, de l’altitude, et va de quelquesminutes à quelques centaines de jours.

Les petits aérosols, issus du mode « nucléation », sont soumis au mouvement brownien, etchangent de catégorie par agrégation suite à leurs fréquentes collisions

Les gros aérosols, issus du mode « accumulation », ont le temps de séjour le plus long.

178

Les aérosols géants ont évidemment des taux de sédimentation plus importants que ceux desautres catégories, ils tendent en général à déposer pas trop loin de leur source, et à séjournermoins longtemps dans l’atmosphère.

Dans la basse troposphère où ils sont en général beaucoup plus abondants, les aérosols ont untemps de séjour de quelques jours, essentiellement contrôlé par les précipitations : leurconcentration peut varier de plus d’un ordre de grandeur à des échelles régionales oujournalières.

Il existe des formules empiriques permettant d’accéder à une estimation du temps de séjourséjour , comme par exemple

2 21 1

1 ( ) ( )0

séjour lessivage aér aérmax max

aér aér

d dd d

,

où 0 est une constante (de l’ordre de 3 ans ), lessivage est un temps caractéristique de dépôthumide, différencié selon l’altitude (de l’ordre de 8 jours dans la couche limite, de3 semaines dans le reste de la troposphère, de 200 jours dans la stratosphère), et ( )max

aérd le« diamètre » correspondant au temps de séjour maximum (de l’ordre de 0,6 m ).

iv. Classification par origines

En termes d’origine, il est pour certains usages intéressant de distinguer, notamment :

les aérosols marins : ils peuvent être issus de production primaire (cristaux de selsmarins résultant de l’évaporation des embruns), ou de production secondaire (émissionpar l’océan de composés gazeux, notamment des sulfures, susceptibles d’oxydationgénératrice d’aérosols, notamment des sulfates).

les aérosols désertiques, grosses particules minérales (« poussières »), arrachées à lasurface des déserts et des zones semi-désertiques par le vent, et emmenées à hautealtitude troposphérique (5000 m et plus) par les tempêtes de sable ; ces aérosolsabsorbent et diffusent.

les aérosols volcaniques : ils peuvent être issus de production primaire (émissiondirecte, jusque dans la stratosphère, de poussières et cendres, dont la plupart toutefois,très grosses, retombent rapidement et pas très loin de la source), ou de productionsecondaire (par exemple, émission de dioxyde de soufre gazeux, converti en quelquessemaines dans la stratosphère en gouttelettes d’acide sulfurique, elles-mêmesdispersées sur tout le globe par les vents, et qui présentent un temps de séjouratmosphérique de l’ordre de 2 ans).

les aérosols biologiques : ils peuvent couvrir toute la gamme de dimensions ; ainsi lespollens, spores, fragments animaux et végétaux, … sont de production primaire, etgénéralement de très grande taille ( 0,3 50m m ) ; les aérosols à base de bactéries,algues, protozoaires, champignons, virus, ressortissent plutôt du mode de productionsecondaire dit d’accumulation.

179

les aérosols anthropiques, issus de la pollution urbaine et industrielle, de lacombustion (combustibles fossiles, feux de biomasse), des activités agricoles, ….Les produits de combustion relèvent des trois catégories de taille.Une part importante vient de la fumée de la combustion des forêts tropicales et dessavanes ; mais la source principale est constituée des composés du soufre, issus del’oxydation en sulfates 4SO , puis condensation particulaire, des sulfures contenantdes gaz précurseurs ( 2SO , 2H S , 2CS , COS , 3 3CH SCH , 3 3CH SSCH , …). Cessulfates (qui en production dépassent désormais la production naturelle de sulfates),sont très mobiles, soumis à l’accrétion, et finissent en mode accumulation.Le temps de séjour de ce type d’aérosols est de 3 à 5 jours, leur concentration est plusforte dans l’hémisphère nord, plus industrialisé.Les sulfates n’absorbent pas, mais diffusent.

b. Impact radiatif

Les aérosols représentent une faible part de la masse de l’atmosphère (de l’ordre de 910 ),mais ont un rôle déterminant dans le comportement de l’atmosphère, à travers deux typesd’effets.

i. Impacts direct et « semi-direct »

Cet effet des aérosols se manifeste par la diffusion et l’absorption du rayonnementélectromagnétique ; généralement négligeable dans l’infrarouge tellurique, il ne concerne enpratique que la partie solaire du spectre.

La diffusion est l’effet majeur (en particulier dans le cas des aérosols de pollution, dedimension caractéristique petite devant les longueurs d’onde solaires), mais certains aérosolsont aussi des propriétés significatives d’absorption.

La rétro-diffusion du rayonnement solaire vers l’espace par les aérosols induit, en moyenneglobale, une diminution nette de l’énergie incidente au sommet de l’atmosphère, et donc engénéral un forçage radiatif « direct » négatif. Ce forçage présente cependant une grandevariabilité spatio-temporelle, et peut même changer de signe, selon l’albédo de la surface, etles capacités d’absorption des aérosols.

Par exemple, la présence au-dessus de l'océan d’un aérosol absorbant le rayonnement solaire(suie, poussières désertiques, …), renforce le forçage direct négatif à la surface, et ladiminution de l’évaporation. Mais l'absorption par l’aérosol provoque aussi un réchauffementdes couches atmosphériques au sein desquelles il se trouve, et celui-ci peut être suffisammentimportant (plus de 11 .K jour ) pour provoquer l’évaporation des nuages éventuellementprésents : cet effet « semi-direct » exerce donc un forçage positif, par diminution de l’albédoplanétaire. De plus, les gradients thermiques associés à la distribution verticale des aérosolsabsorbants sont susceptibles de modifier la stabilité verticale de l’atmosphère.

Comme illustration parlante de ce type d’effet, on peut mentionner le scénario dit de « l’hivernucléaire » persistant, lié à la rétro-diffusion massive et durable du rayonnement solaire parles quantités considérables d’aérosols injectées dans la stratosphère au cours d’un conflitnucléaire étendu.

180

Dans un registre moins apocalyptique, et mieux documenté, on peut évoquer les petitesdiminutions de température en basse troposphère (de l’ordre typiquement du demi-degré)observées à la suite de certaines grandes éruptions volcaniques, sur une durée de l’ordre del’année (le temps de séjour stratosphérique des aérosols rejetés) ; ainsi la relative fraîcheur de1993 a pu être imputée à la désormais célèbre éruption de 1991 du mont Pinatubo.

Mais les aérosols alors rejetés provoquent en même temps un réchauffement de plusieursdegrés de la stratosphère, par absorption du rayonnement solaire.

ii. Impact indirect

Cet effet des aérosols se manifeste par leur action comme noyaux de condensation nuageuse,et par la modification induite des propriétés microphysiques des nuages (formation, taille desgouttelettes), donc des effets radiatifs de ceux-ci (réflexion du rayonnement solaire).

Cet effet indirect se traduit lui-même de deux façons :

« premier effet indirect », « d’avantage de gouttelettes, plus petites » : pour un contenuen eau liquide donné, l’augmentation du nombre de noyaux de condensation provoqueune augmentation du nombre de gouttes et une diminution de leur taille moyenne ; laconséquence est une augmentation de la couverture nuageuse, donc de l’albédonuageuse.

« second effet indirect », « plus longue durée de vie du nuage » : la diminution detaille des gouttes d’eau retarde leur précipitation, et augmente la durée de vie desnuages.

L’effet indirect augmente la réflexion vers l’espace du rayonnement solaire, et induit unforçage radiatif négatif.

iii. Bilan

Malgré les grandes campagnes de terrain (et leurs nombreuses mesures in situ, notammentaéroportées), le suivi par satellites et par d’autres moyens de télédétection, et les efforts demodélisation numérique, il est encore difficile d’avoir accès à toutes les propriétés nécessairesau calcul des effets radiatifs des aérosols, et l’acquisition de nouvelles données s’avèreindispensable, notamment sur la cartographie des émissions, sur la répartition verticale desaérosols, particulièrement en régions industrielles continentales, dans la haute troposphère, enArctique, en plein océan, et en régions désertiques, ….

L’incertitude sur la quantification des forçages radiatifs des aérosols reste une des limitesimportantes actuelles dans divers aspects de la prévision de l’évolution atmosphérique.

Par exemple, les disparités spatiales et temporelles de leur production, et la multiplicité deleurs temps de séjour, conduisent à une grande hétérogénéité du forçage radiatif induit par lesaérosols ; cette variabilité, qui semble atteindre quelques dizaines de 2.W m , est trèssupérieure à la moyenne globale de ce même paramètre (au mieux de l’ordre du 2.W m ), cequi n’est probablement pas sans conséquences sur la dynamique atmosphérique, et sur lecycle de l’eau, à l'échelle régionale.

181

Autre exemple, pour l’estimation de l’impact « additionnel », induit par les activités humaines(par rapport à l’ère pré-industrielle) sur le changement climatique, la distinction des aérosolsde pollution et des aérosols naturels, lorsque ceux-ci sont présents simultanément, ou encorel’augmentation des sources de certains aérosols (comme les poussières désertiques) par lesactivités humaines, sont très mal élucidées.

Or le forçage radiatif additionnel des aérosols, tel que résultant de certaines études, ne seraitpas négligeable vis-à-vis du forçage radiatif additionnel des gaz à effet de serre (estimé entre

20,6 .W m et 22,5 .W m ), …mais il agirait en sens opposé, et de manière plus« régionalisée » !

c. Répartition verticale

La quantité totale des différentes catégories d’aérosols, et la répartition verticale de leursconcentrations, sont hélas encore très mal connues ; elles sont d’ailleurs très variables dansl’espace et le temps, pour plusieurs raisons déjà évoquées.

Les aérosols constituent, avec les nuages, le facteur le plus difficile à introduire dans lesmodèles de rayonnement. On se borne ici à quelques indications très sommaires.

Concernant les ordres de grandeur, on peut donner quelques chiffres, à titre purementindicatif, en nombres de particules par 3cm : quelques dizaines pour les aérosols marins dansla couche limite atmosphérique sur l’océan, ou encore aux pôles, quelques centaines pour lesaérosols « de fond » de la moyenne et haute troposphère, 410 pour les aérosols continentaux,quelques dizaines de milliers pour les aérosols de combustion de biomasse (près de la source),

510 pour les aérosols urbains, …

Concernant la distribution verticale type de la teneur en aérosols, on trouve dans la littératuredes propositions, valables pour certains paramètres, certaines catégories d’aérosols, etcertaines zones de l’atmosphère.

A titre d’exemple, la figure 9 présente l’allure de telles distributions type avec l’altitude, dunombre volumique de particules aérn , et de la concentration en volume aérv .

Ces distributions ne sont évidemment pas réputées valables pour les aérosols géants (commeles aérosols désertiques), qui ont un temps et un espace d’occupation de l’atmosphère limités,ni le plus souvent supposées s’appliquer trop près de la surface (au minimum dans la couchelimite atmosphérique), où les concentrations sont trop dépendantes des sources, et où il fautles raccorder à des formulations ad-hoc.

Ces distributions supposent, pour l’ensemble des classes d’aérosols (et dans toute la zone del’atmosphère) auxquelles elles s’appliquent, une bonne corrélation entre les concentrationsdes sous-populations de petits et de gros aérosols, un préliminaire qui est effectivement à peuprès observé hors de la couche limite, sur les trois ordres de grandeur concernés desconcentrations ici décrites.

182

Figure 9 – Exemple de distribution verticale schématiquede deux indicateurs de concentration en aérosols :

(a) nombre de particules par unité de volume ;(b) : volume de matière d’aérosol par unité de volume d’atmosphère.

Pour certains usages, on peut utiliser des formulations analytiques approximatives de ladépendance avec l’altitude de certains paramètres de teneur en aérosols.

La plus simple consiste, dans la troposphère, et sous les réserves déjà mentionnées, en unedécroissance exponentielle avec l’altitude, avec une hauteur caractéristique aérh , par exemple:

( ) (0).exp( )aér aéraér

zzh

La valeur moyenne du paramètre aérh à utiliser est comprise entre 1000 m et 2000 m .

C. Spectres de taille des particules atmosphériques

Le passage des sections efficaces a-dimensionnées , mises en évidence au chapitre V(paragraphe 2) dans l’étude du rôle radiatif des particules, aux coefficients d’extinction etd’absorption des aérosols ou des hydrométéores, utilise la fonction de répartition des rayonsdes particules.

Si ( ).dn f r dr est le nombre de particules de rayon compris entre r et r dr dans unvolume unité, les coefficients d’extinction et d’absorption s’expriment (en

1unité de longueur ) par ( réfn étant l’indice de réfraction de la particule) :

2,

0

( ). ( ; , ). . .réfK f r r n r dr

183

Il existe de nombreuses possibilités de choix des fonctions de répartition des rayons,compatibles avec les données disponibles.

La figure 10 montre, à titre d’illustration, l’allure de trois fonctions ( )f r relatives à desaérosols d’origine marine et continentale, et à un nuage de type cumulus. Les distributionssont parfois nettement plus complexes, elles peuvent par exemple résulter du mélange deplusieurs sous-populations, et présenter plusieurs maximums.

Figure 10 – Allure de spectres de taille d’aérosols et de nuage.

Une possibilité est par exemple l’usage de la loi « log normale :

2

2

1 ( ( ) ( ))( ) .exp2 ( )2. ( ) aéraér

Log r Log rf rLogLog

,

où r et aér sont respectivement la moyenne et l’écart-type géométriques de la distribution,calculables, sur une population discrète ( iN individus affectés au rayon ir , i

iN N ), par :

1( ) . . ( )i ii

Log r N Log rN

184

1/ 221( ) . . ( ) ( )aér i i

iLog N Log r Log r

N

Une autre possibilité intéressante en pratique consiste à observer que, si on suppose que ne

dépend que du rapport 2 .dif

r (c’est-à-dire si on néglige la variation de réfn avec ), il

existe un type de distributions pour lequel la dépendance de ,K par rapport à n’est pas

déterminée par la fonction .

Si en effet( ) .f r C r

il vient

2 3 2 2 3,

0 0

2 .. . . ( ). .2 . . ( ). . .dif dif difrK C r dr C d ,

soit un résultat du type

3

, 00

.K K si 3

Ce calcul n’est toutefois valable que si l’intégrale 2

0

( ). .dif dif difd converge :

* pour dif , Cste , l’intégrale converge si 3 ,

* pour 0dif , 4 , l’intégrale converge si 7 .

Donc la condition de convergence est 3 7 , et l’exposant de dans l’expression de ,Kest alors compris entre 0 et 4 , ces deux cas limites correspondant, respectivement, à desparticules très grandes par rapport à la longueur d’onde (quelle que soit la distribution) et àl’effet Rayleigh. Il est également intéressant de noter que, dans le cas de ces distributions enr , le rapport des coefficients d’absorption et d’extinction ne dépend pas de la longueurd’onde.

En réalité, ces lois de répartition ne sont valables que dans des domaines limités de taille desparticules. Les résultats pour les coefficients sont alors encore approximativement valablespour les longueurs d’onde du même ordre de grandeur que les rayons des particules.

Le domaine du rayonnement visible correspond ainsi aux particules de grande taille. Lesmesures de la dépendance de ,K par rapport à donnent des exposants compris entre 0,5

et 2 , avec une valeur moyenne de 1,3 . La valeur 1 correspond à une répartition en 4rappelée distribution « de Junge ».

185

Ces fonctions en r ne sont évidemment plus valables lorsque 0r (nombre infini departicules!). La distribution dite « de Deirmendjian » est à cet égard beaucoup plus réaliste :

1 2( ) . .exp .f r a r b r ,

où a , b , 1 , et 2 sont quatre coefficients positifs.

En première approche, l’utilisation de ces quatre coefficients permet de représenter toutes lesdistributions intéressantes en météorologie, à la fois pour les aérosols et pour les particulesnuageuses.

( )f r s’annule pour 0r et à l’infini, et possède un seul maximum pour :

2

11

2

( ).cr r , 1 1

2

( ) . .expc cf r a r

La valeur locale de l’exposant correspondant aux distributions en r évoquées plus hauts’obtient en calculant :

( ( )) ( )( ) .( ) ( )

dLog f r r df rrdLog r f r dr

1 2 2 211 2 1 2. . .exp( . ). ( . . ) . .

( )r a r b r r r

f rsoit

2

1( ) . 1c

rrr

On voit que ainsi déterminé n’est compris entre 3 et 7 que dans un domaine restreint.

Les résultats pour ,K doivent être calculés numériquement, de même que les fonctions( )dif difP , à partir des résultats pour chaque valeur de r . Ces calculs nécessitent également la

connaissance de la fonction ( )réfn , qui s’obtient à partir de mesures en laboratoire, de mêmeque trois des coefficients de la distribution ( a est déterminé par la quantité totale de matière).

186

VII. LE RÔLE RADIATIF DE LA SURFACE TERRESTRE

Ce chapitre traite principalement des notions de base qui permettent de décrire lecomportement radiatif de la surface terrestre.

L’accent y est mis sur les propriétés de réflexion, car, outre que ce sont celles qui sont le plusaccessibles à la mesure, les propriétés d’absorption dans la partie solaire du spectre peuventen pratique s’en déduire, au moins du point de vue des implicationsatmosphériques (complémentarité approximative de la réflexion et de l’absorption).

Aux longueurs d’onde telluriques, en première approche, la surface peut souvent êtreconsidérée comme un corps noir ; ce sont plutôt les propriétés d’émission de la surface, et laloi de Kirchoff leur reliant les propriétés d’absorption, qui sont pertinentes pour traiter lesécarts à cette hypothèse de l’émission parfaite.

Le chapitre se termine par une introduction sommaire à la problématique des bilans radiatifet énergétique à la surface terrestre.

1. MISE EN CONTEXTE

A. Surface terrestre et son action radiative

Un rayonnement électromagnétique monochromatique qui aborde la surface de séparation dedeux milieux différents peut être diffusé, absorbé, transmis par celle-ci, dans des proportionsqui sont fonction de la longueur d’onde du rayonnement incident, et des propriétés radiativesdes deux milieux. En outre, on peut considérer que « la surface » émet du rayonnement, enfonction de la température et des propriétés radiatives en question.

Dans le cas d’une surface, on parle plutôt de « réflexion » que de « diffusion ».

A strictement parler, la « surface terrestre » est la surface de séparation entre la partie la plusexterne de la planète Terre, de nature très diversifiée - sol nu, végétation, eau liquide, neige,glace, …- et l’atmosphère.

Mais, en pratique, la locution « surface terrestre » s’applique en général, aussi bien à cette surfaceelle-même, idéalement d’épaisseur nulle en chacun de ses points, en pratique d’épaisseur« physiquement très petite » (une fraction de millimètre si on veut fixer les idées), qu’au milieuterrestre sous-jacent à la surface; par ailleurs, dans les cas, très fréquents, de géométrie complexe deséléments constituant localement le « micro-relief » de la frontière entre la planète Terre et sonatmosphère, on est en outre amené à redéfinir une surface fictive idéale « de travail ».

Ici, on adoptera classiquement l’expression « surface terrestre » pour la surface elle-même, etpour le milieu qui lui est sous-jacent, lorsque la distinction est inutile, ou le contexte sans

187

équivoque ; lorsque cela apparaît utile toutefois, on précisera parfois que l’on parle en réalitédu « milieu sous-jacent » (sous-entendu : à la surface).

Dans le prolongement de cette remarque sur la définition et la description de la surfaceterrestre, deux mises au point préliminaires complémentaires paraissent nécessaires.

B. Surface terrestre locale idéale de travail

La surface terrestre, particulièrement sur continent –mais pas seulement-, est constituée d’uneprofusion d’éléments géométriques de formes, d’échelles et de tailles très diverses(irrégularités de la surface minérale elle-même, végétation plus ou moins développée ethétérogène, vagues, etc…), constituant un « micro-relief » au sens large ; à l’échelle« macroscopique » la plus fine envisageable, chacun de ces éléments apporte naturellement sacontribution à l’interaction de la surface avec le rayonnement.

Il n’est bien sûr pas question en météorologie, en général, de modéliser le détail ultime desréactions des surfaces naturelles.Un problème préliminaire est donc de simplifier cette situation, en globalisant les réactions àune certaine échelle horizontale, et en se plaçant au dessus d’un « plan de référenceradiative » fictif, défini « localement », situé au dessus du micro-relief (à une altitudedépendant de l’échelle horizontale retenue), et en dessous duquel on s’interdit de regarder ledétail des interactions entre matière et rayonnement.

Sans entrer dans le détail opératoire correspondant, on suppose ici définie la doctrine conduisant àpréciser cette position, et, dans la suite, lorsque l’on parle de « surface terrestre », il s’agit, saufindication contraire, de ce plan fictif de travail.Quant au « milieu sous-jacent » à cette nouvelle surface de travail, il est bien sûr, dans cette vision,doté des propriétés physiques « moyennes » du milieu terrestre sous-jacent à la surface réelle.

C. A propos de l’absorption et de la transmission du rayonnement par la surface

La transmission du rayonnement incident dans le milieu sous-jacent à la surface terrestre estpratiquement nulle pour une surface continentale « minérale », opaque, mais il n’en n’est pasde même lorsque le milieu abordé par le rayonnement est constitué d’une couche d’eau, deglace, de végétation, …, et donc « semi-transparent » au rayonnement.La description de cette transmission ressortit dans tous les cas des lois générales du transfertradiatif, appliquées à ce milieu particulier.

Mais, dans le présent chapitre consacré à la surface terrestre, la « transmission » qui estévoquée se réfère aux luminances, ou aux flux radiatifs, transmis « par la surface », c’est-à-dire évalués exactement au niveau de la surface, ou plutôt du plan de travail radiatif évoquéjuste au dessus.

Lorsqu’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe dans le milieu sous-jacent, mais seulement àl’atmosphère, on considère souvent que l’énergie radiative incidente est au final seulementrépartie en une partie réfléchie, renvoyée dans l’atmosphère par la surface, et une partie« absorbée » par le milieu sous-jacent au niveau de la surface (ce point de vue étant remis encause si l’on a des raisons de s’intéresser au sort du rayonnement au sein du milieu sous-jacent àla surface, par exemple pour précisément construire une paramétrisation des propriétés radiativesglobales de cette surface -penser à un couvert végétal-, ou dans le domaine de la télédétection).

188

Lorsque la transmission dans le milieu sous-jacent est non négligeable, il convient toutefoisde se rappeler que les conséquences des phénomènes radiatifs sont « non locales », et de tenircompte, dans la détermination de la fraction de l’énergie radiative absorbée au niveau de lasurface (qui conditionne la température de surface), du fait que cette dernière est déterminéeen réalité par l’ensemble du transfert radiatif, au dessus et au dessous de la surface.

D. Notations

Dans les développements du présent chapitre, on notera, au point courant (et au niveau) de lasurface terrestre, de vecteur unitaire normal à la surface ne :

( ) ( ')incI s la luminance spectrale incidente, dans l’atmosphère, selon la direction 's ;

( ) ( )réflI s la luminance spectrale, réfléchie dans l’atmosphère, selon la direction s (enprovenance de toutes les directions incidentes) ;

( ) ( )transI s la luminance spectrale, transmise dans le milieu sous-jacent, selon la

direction s (en provenance de toutes les directions atmosphériques incidentes) ;

( ) ( )absI s la partie absorbée, par le milieu sous-jacent, de la luminance spectrale

incidente, dans l’atmosphère, selon la direction s ;

( ) ( )émisI s la luminance spectrale émise, dans l’atmosphère, par la surface, dans la

direction s .

Dans les développements faisant appel au formalisme le plus général, les angles zénithal (parrapport à la normale à la surface) et azimutal, définissant les directions, seront notés ( , )pour s , et ( ', ') pour 's ; mais, dans les développements plus simplifiés, on pourra noter defaçon plus explicite, inc , réfl , … les angles d’incidence, de réflexion, …

Enfin, en cas de besoin, on notera « 2 » et « 2 », respectivement, les hémisphères« supérieur » (atmosphérique) et « inférieur » (au sein du milieu sous-jacent), pour préciserles domaines correspondants d’intégration en angle solide.

.2. REFLEXION PAR LA SURFACE

A. Introduction aux différentes configurations de réflexion

a. De quoi s’agit il ?

Les propriétés de réflexion d’une surface naturelle quelconque se situent entre les deux modeslimites de la réflexion « spéculaire », dans laquelle toute l'énergie d’une direction incidente

189

est renvoyée dans une direction de réflexion unique (comme par un miroir, le cas idéal deréflexion spéculaire étant évidemment pour la surface terrestre celui de l’étendue d’eaucalme), et de la réflexion « diffuse », ou « de Lambert », dans laquelle l'énergie d’unedirection incidente est renvoyée uniformément dans toutes les directions atmosphériques.

La façon dont une surface réfléchit le rayonnement dépend de l'importance de sa rugosité parrapport à la longueur d'onde du rayonnement incident, et aussi de l’angle d’incidence.

La réflexion spéculaire est le propre des surfaces « électromagnétiquement lisses » (pour uneincidence donnée, longueur d'onde du rayonnement beaucoup plus grande que la rugosité dela surface), la réflexion lambertienne est le propre des surfaces « électromagnétiquementrugueuses » (pour une incidence donnée, longueur d'onde du rayonnement beaucoup pluspetite que la rugosité de la surface) ; une même surface peut paraître lisse aux rayonnementsde suffisamment grandes longueurs d'onde, mais rugueuse aux petites longueurs d'onde.

On rappelle d’abord ici, en préliminaire, les notions de base de la réflexion « spéculaire »,c’est-à-dire sur une surface particulièrement lisse (« speculum »=miroir) ; puis on évoque lecas général, et celui de la diffusion lambertienne, ainsi que les conditions générales dedistinction lisse/rugueux.

b. Cas limite de la réflexion « spéculaire » de Fresnel

Lorsqu’une onde électromagnétique plane monochromatique, incidente au sein d’un milieu (1)(d’indice de réfraction 1( 1)réfn milieu n ), y aborde la surface (lisse) de séparation avec un autremilieu (2) (d’indice de réfraction 2( 2)réfn milieu n ), elle se « scinde » en deux nouvellesondes, l’une réfléchie dans le milieu (1) , l’autre réfractée et transmise dans le milieu (2) .

La figure 1 précise la géométrie en cause, et les notations principales.

Figure 1 – Géométrie de la réflexion/réfraction spéculaire.

190

L’utilisation des équations de Maxwell, et l’application des conditions de continuité du champélectromagnétique, permettent de calculer les caractéristiques des ondes réfléchie ettransmise.

Si, dans le système d’axes orthogonal précisé par la figure 1 (Ox normal à la surface, dirigédu milieu (1) vers le milieu (2) , Oz normal à la direction de propagation incidente)

( ) ( )0( , ) Re .exp .( . . )inc inc

inc incE x t E i x t , avec .cos , .sin ,0inc inc inc inc inc

est le champ électrique de l’onde incidente, on peut ainsi montrer que

la direction de propagation de l’onde réfléchie est dans le plan d’incidence, défini parla normale à la surface et la direction de propagation de l’onde incidente.

le champ électrique ( ) ( )0( , ) Re .exp .( . . )réfl réfl

réfl réflE x t E i x t de l’onde réfléchie

est caractérisé par

réfl inc , .cos , .sin ,0réfl inc inc inc inc

L’onde réfléchie est donc plane, de même pulsation que l’onde incidente.

le champ électrique ( ) ( )0( , ) Re .exp .( . . )trans trans

trans transE x t E i x t de l’onde

transmise est caractérisé par

trans inc , 2.trans incvide

nc

,

et deux cas de figure sont à considérer selon l’angle d’incidence :

* si .sintrans inc inc , l’onde transmise est plane, et sa direction de propagation est

dans le plan d’incidence, avec .cos , .sin ,0trans trans trans trans trans , et elle vérifiela loi dite « de Descartes » .sin .sintrans trans inc inc , plus connue sous la forme

2 1.sin .sintrans incn n .

* si .sintrans inc inc (ce qui s’écrit encore 2 1.sin incn n , et nécessite 2 1n n ),1/ 22 2. .sin , .sin ,0trans inc inc trans inc inci , et l’onde transmise ne peut plus être

considérée comme plane.

l’étude des aspects énergétiques, via le comportement « macroscopique » (moyennédans le temps) des vecteurs de Poynting des différentes ondes en cause, conduitnotamment à mettre en évidence les coefficients monochromatiques de réflexion

191

(spéculaire) concernant les énergies électromagnétiques des composantes du champélectrique parallèle et perpendiculaire au plan d’incidence/réflexion, respectivement

2( )

2

( )( )

spéc inc trans

inc trans

tgatg

2( )

2

sin ( )sin ( )

spéc inc trans

inc trans

a

En découlent la célèbre formule de Fresnel pour l’albédo monochromatique « deluminances » de la surface, rapport des luminances réfléchie et incidente :

( ) ( ) 2 2( ) ( ) ( )

, 2 2

sin ( - ) ( - )12 2 sin ( ) ( )

spéc spécspécI I spéc inc trans inc trans

surfinc trans inc trans

a a tga atg

,

ainsi que l’expression du même rapport correspondant aux seules composantespolarisées des énergies réfléchie et incidente :

( ) ( ) 2 2( )

2 2

sin ( - ) ( - )12 2 sin ( ) ( )

spéc spécspéc inc trans inc trans

polinc trans inc trans

a a tgatg

La figure 2 donne l’allure de la dépendance des divers rapports de réflexion spéculaires parrapport à l’angle d’incidence.

Figure 2 – Dépendance des réflectivités spéculaires par rapport à l’angle d’incidence,pour un indice de réfraction relatif de 1,5 .

192

Les courbes illustratives y correspondent à la valeur 1,5 de l’indice de réfraction relatif2

2 11

déf nnn

. Dans la nature, et dans la partie solaire du spectre (pour laquelle la question de la

réflexion par la surface est importante), la partie réelle de l’indice de réfraction relatifsurf air surfn n est comprise entre 1,4 et 1,6 pour le sol nu, de l’ordre de 1,5 pour les surfaces

végétales, et de 1,33 pour les surfaces d’eau. Quant à la partie imaginaire de l’indice, elle yest en général mal connue mais réputée petite, et le calcul montre que sa contribution auxréflectivités est faible.

c. Cas général, cas limite de la réflexion « diffuse » de Lambert

La réflexion spéculaire est un cas idéal, dont la réflexion sur une surface réelle s’écarte engénéral, peu ou beaucoup, pour diverses raisons :

la rugosité de la surface à l’échelle de la longueur d’onde considérée : la réflexionréelle est constituée de l’ensemble des réflexions spéculaires sur les facettes planesélémentaires des éléments rugueux de la surface, d’orientation plus ou moinsaléatoire ;

la réflexion de volume de l’onde transmise par réfraction, résultat de multiplesréflexions de surface par des sous couches du milieu sous-jacent à la surface (milieu« 2 » dans le formalisme de la réflexion spéculaire) : l’onde ré-émerge dans le milieud’incidence, non polarisée, avec une direction de propagation aléatoire.

Le cas limite, complètement opposé à celui de la réflexion spéculaire, de la réflexion isotrope(intensité réfléchie indépendante de la direction) s’appelle réflexion « diffuse », ou « deLambert ».

En général, la réflexion réelle est combinaison de réflexion spéculaire et de réflexionlambertienne. L’importance relative des deux composantes dépend (notamment) du rapportentre la longueur d’onde et la taille caractéristique des éléments rugueux composant lasurface.

d. Rugosité électromagnétique d’une surface

i. Critère de Rayleigh

La visualisation de l’influence de la rugosité créée par un ensemble de facettes élémentaires àréflexion spéculaire permet, par un raisonnement sommaire, de se faire une idée de l’influencede ce rapport.

Soit donc, pour simplifier, une rugosité, homogène dans une direction horizontale, etcomposée d’éléments de section (normale à la direction d’homogénéité) approximativementcarrée de côté rugh , collés sur une surface plane de base, avec un écartement de l’ordre de

rugh ; le rayonnement incident, supposé dans un plan normal à la direction d’homogénéité, yfait l’angle inc avec la normale au plan de base. La figure 3(a) précise la géométrie. On neconsidère pas les réflexions multiples éventuelles sur les faces normales au plan de base, ellessont considérées comme partie du rayonnement diffus.

193

Figure 3 – Géométrie de la réflexion sur une surface rugueuse.(a) : micro-relief idéal « en créneau » (les éléments rugueux sont supposés invariants dans la

direction normale au plan de figure) ; (b) : micro-relief général.

Dans cette configuration très schématique, la différence de marche maximum entre deuxrayons réfléchis (figure 3(a)) est 2 .cosrug inch , et la différence de phase maximumassociée est

4 . .cos2 . rug inch

Si est petite, ces rayons sont pratiquement en phase, et leur interférence est constructive ;mais quand , l’interférence est destructive, et conduit à l’annulation du rayonnementpurement spéculaire. La conservation de l’énergie se traduit donc évidemment par l’apparitionprogressive d’un rayonnement diffus, avec l’augmentation de .

Le « critère de Rayleigh » retient empiriquement la valeur2

pour séparer les cas plutôt

« lisse » et spéculaire, 18cos

rug

inc

h, et plutôt « rugueux » et lambertien, 1

8cosrug

inc

h.

La situation n’est évidemment pas tranchée, selon ce critère arbitraire, au voisinage de1

8cosrug

inc

h.

La surface peut en tous cas être considérée comme lisse si 0rugh, et, quel que soit le

rapport rugh, en incidence rasante

2inc (en visible, la surface est perçue d’autant moins

brillante que la source s’éloigne de la normale à la surface).

194

ii. Classification plus fine

Dans le cas d’un micro-relief général, plus compliqué que l’exemple en créneaux choisi icipour introduire le sujet, la description de celui-ci peut s’imaginer à partir de la fonctiondéterministe ( , )rugz f x y qui décrit la hauteur des éléments rugueux au dessus de leur point

le plus bas, et d’un opérateur de moyenne du type 1lim . ( , ). .( )

déf

SS

x y dx dyAire S

, ou

encore à partir d’une modélisation statistique par une distribution de probabilité de cettehauteur, et l’opérateur de moyenne associé ; elle peut alors se condenser en la connaissanced’un nombre limité de paramètres (figure 3(b)), comme :

la valeur moyenne, ou, mieux, l’écart-type, de la hauteur des éléments rugueux :

rug rugh f , ou1/ 2

2

rug rug rugh f f ;

la longueur de corrélation « horizontale » rugL de la hauteur des éléments rugueux,longueur caractéristique de décroissance de la fonction d’auto-corrélation ( , )rug X Ydu micro-relief, définie par :

2

( , ) . ( , )( , )

rug rug rug rugrug

rug rug

f x y f f x X y Y fX Y

f f;

l’angle de pente moyen rug des aspérités ;

etc….

Sur la base de ces paramètres, on peut établir des classifications de la rugositéélectromagnétique des surfaces, comme, à titre d’exemple :

surface légèrement rugueuse : hauteur des éléments rugueux d’ordre de grandeur

inférieur à la longueur d’onde,2

2 1rugh, et pentes faibles, 1rugtg ;

surface légèrement ondulée : hauteur des éléments rugueux d’ordre de grandeur

comparable, ou supérieur, à la longueur d’onde,2

2 1rugh, ou

2

2 1rugh, et surface

localement relativement plate, 1rugLet 1rugtg ;

surface composite, à deux échelles de rugosité : superposition d’une rugosité de petite

échelle ,2

2 1rugh, sur une ondulation de grande échelle, 1rugL

et 1rugtg

(exemple : vagues avec rides dues au vent) ;

195

distribution discrète d’éléments protubérants,2

2 1rugh, sur un sol de base relativement

plat 1rugLet 1rugtg (exemple : éléments végétaux).

B. Description par la fonction de réflexion bidirectionnelle

a. Fonction de réflexion bidirectionnelle

Lorsqu’un rayon électromagnétique, incident selon la direction 's , porteur d’une luminancemonochromatique ( ) ( ')incI s , rencontre la surface terrestre, au point courant de vecteur unitaire

normal ne , il est réfléchi, a priori selon toutes les directions s .

La figure 4 précise la géométrie en cause.

Figure 4 – Géométrie de la réflexion sur un élément de surface terrestre.

La description précise de cette réflexion, qui se réfère aux directions incidente et réfléchie, età leurs angles solides élémentaires associés, fait appel à la fonction de réflexionbidirectionnelle (spectrale) , ( ' )réflP s s , définie pour les directions de l’hémisphère

supérieur 's incidentes vers la surface, et s fuyant la surface: la luminance ( ) ( )réflI s réfléchie

dans la direction s (définie par les angles et ) est donnée par :

( ) ( ), ' '

2

( ) ( ' ). ( '). . .réfl incréfl n s sI s P s s I s e e d

soit encore

196

' 2 ' / 2( ) ( )

,' 0 ' 0

( ) ( ', ', , ). ( ', ').cos '.sin '. '. 'réfl incréflI s P I d d

Cette définition revient à dire que la fonction de réflexion bidirectionnelle (équivalentsurfacique, et limité à l’hémisphère supérieur, de la volumique fonction de phase de ladiffusion) est le rapport au flux élémentaire incident dans la direction 's (et l’angle solide

'sd ), du flux élémentaire réfléchi ( ) ( )réfldI s dans la direction s , issu de ce rayonnementincident :

( )

, ( )' '

( )( ' )

( ').cos .

réfldéf

réfl incs s

dI sP s s

I s d,

où indique l’angle entre la direction qui y figure en indice et la normale à la surface.

En général, en modélisation météorologique, plutôt que sur les luminances, l’intérêt se portesur les flux, donc sur l’effet intégré sur toutes les directions incidentes, et/ou sur toutes lesdirections de réflexion. En particulier, il est intéressant de passer par l’estimation préalabled’un coefficient de réflexion de flux, ou albédo (de flux), de la surface, défini en versionmonochromatique par

( )( )

, ( )

réfldéfF

surf inc

Fa

F,

et dont on espère qu’il peut être considéré comme une donnée propre à la surface au pointconsidéré.

On aura noté que, entre la fonction fine de réflexion bidirectionnelle et l’albédo défini entermes de flux hémisphériques, on peut introduire la notion de réflectivité d’un angle solidefini vers un autre : c’est le rapport ( ' )

,surfa du flux réfléchi à l’intérieur d’un angle solide finiau flux incident à l’intérieur d’un angle solide fini ' :

( )( )

( ' ), ( ) ( )

' ''

( ).cos .( )( ') ( ').cos .

réflréfl s sdéf

surf inc incs s

I s dFaF F s d

soit

( ), ' '

( ' ) ', ( )

' ''

( ' ). ( ').cos .cos . .

( ').cos .

incréfl s s s s

surf incs s

P s s I s d da

I s d

En choisissant 2 pour les angles solides incident et réfléchi, on retombe évidemment surl’albédo, réflectivité d’un hémisphère vers un autre, définie un peu plus haut :( ) (2 2 )

, ,F

surf surfa a .

197

Accessoirement, on remarquera d’ailleurs que la panoplie des choix entre direction, anglesolide fini et hémisphère, séparément pour rayonnement incident et rayonnement réfléchi,permet de définir jusqu’à neuf types de réflectivité ! Ces indicateurs intermédiaires deréflectivité peuvent être utiles pour certains usages, mais on insiste pas ici sur eux.

b. Cas limites des réflexions spéculaire et lambertienne

Les deux cas limites de réflexion déjà envisagés plus haut sont évidemment compris dans ladescription en fonction de réflexion bidirectionnelle :

la diffusion isotrope, dite « lambertienne », qui correspond à une luminance réfléchieuniforme, indépendante de la direction s (« loi de diffusion de Lambert ») correspondà une fonction , ( ' )réflP s s constante, soit

( ), ,( ' ) Lambert

réfl réflP s s Cste P

( ) ( ) ( ),( ) .réfl Lambert inc

réflI s P F

Le rayonnement réfléchi étant isotrope, le flux réfléchi est égal à

( ) ( ) ( ) ( ),. . .réfl réfl Lambert inc

réflF I P F

ce qui correspond à un albédo

( ) ( ), ,.F Lambert

surf réfla P

la réflexion spéculaire, qui, pour un rayonnement incident sous l’angle ' inc ,renvoie exclusivement dans la direction symétrique par rapport à la normale, une

proportion2 2

( ), 2 2

sin ( - ) ( - )12 sin ( ) ( )

spécI inc trans inc transsurf

inc trans inc trans

tgatg

de l’énergie reçue (avec

sin ( )sin ( )

surfinc

trans air

nn

), correspond à une fonction , ( ' )réflP s s égale à

( ), ,( ' ) . (cos ' cos ). ( ' )spécI

réfl surf Dirac DiracP s s a ,

c. Cas général

Dans la réalité, la réflexion est évidemment intermédiaire entre les cas spéculaire etlambertien, et beaucoup plus compliquée que dans ces cas limites.On a expliqué plus haut que le fait, pour une surface, d’être spéculaire(« électromagnétiquement lisse »), ou lambertienne (« électromagnétiquement rugueuse »), ou« entre les deux » de façon plus ou moins complexe, dépend de manière compliquée de laconfiguration et des propriétés de la surface (taille et distribution des éléments rugueux), de lalongueur d’onde (une surface « lisse » à grande longueur d’onde peut être rugueuse à petitelongueur d’onde), mais aussi de l’angle d’incidence.

198

On admet souvent (c’est une approximation) que l’on peut représenter les propriétésréfléchissantes d’une surface réelle sous une forme composée, une partie du rayonnementétant supposée diffusée de façon isotrope, l’autre partie étant supposée réfléchiesymétriquement par rapport à la normale à la surface réceptrice. Concrètement, on supposealors que la fonction de réflexion bidirectionnelle peut se mettre sous la forme

( ) ( ), , ,( ' ) ( ' ) ( ' )spéc Lambert

réfl réfl réflP s s P s s P s s

avec des valeurs adaptées de ( ),

spécIsurfa et de ( )

,Lambert

réflP .

La figure 5 montre quelques allures de la dépendance de la fonction de réflexionbidirectionnelle par rapport à l’angle de diffusion, pour des valeurs fixées de l’angled’incidence et des angles azimutaux d’incidence et de réflexion.

Figure 5 – Allure de la dépendance de la fonction de réflexion bidirectionnelle,par rapport à l’angle de réflexion, en représentation polaire, dans le plan d’incidence,

pour des valeurs fixées de l’angle d’incidence, indiquées sur les courbes.(a) : cas spéculaire et quasi-spéculaire ; (b) : cas lambertien et quasi-lambertien ;

(c) : cas général.

L’albédo de la plupart des surfaces est voisin de 0 en tellurique (corps à peu près noir), maispeut présenter une grande variabilité en spectre solaire ; par exemple, la figure 6 donne uneidée de sa variation, entre 0,5 m et 2 m , pour quelques surfaces type.

199

Figure 6 – Allure de la variation spectrale de l’albédo dans le domaine solaire.

En pratique, dans les applications de prévision météorologique ou de simulation climatique,on se contente souvent de considérer le rayonnement réfléchi comme isotrope.

La réflexion est alors décrite par la seule donnée de l’albédo, qui reste cependant fortementdépendant de la répartition géométrique du rayonnement incident, surtout dans le cas del’océan, et, plus encore, de la longueur d’onde et du type de la surface, sans qu’il soitpossible de décrire ces dépendances avec précision, en raison de leur grande complexité.

Par exemple, pour une surface d’eau, on peut ainsi être amené à définir, et à utiliser, un albédomoyen sur les angles d’incidence :

/ 2( ) ( ), ,0

2 .cos( ).sin ( ). 0,066spéc spécI Isurf surf inc inc inca a d

Pour le rayonnement solaire, on peut naturellement être amené à retenir des albédos différentspour le rayonnement parallèle et pour le rayonnement diffus (ce dernier étant en toute rigueurla moyenne hémisphérique du premier).

3. TRANSMISSION, EMISSION ET ABSORPTION PAR LA SURFACE

A. Transmission

On a déjà indiqué plus haut qu’en météorologie, en général, la partie transmise durayonnement incident est englobée dans la partie absorbée, ou dans la partie réfléchie (pour sacomposante ré-émergente dans l’atmosphère) au niveau de la surface.

200

Ce point de vue est incontestable pour la plupart des surfaces continentales, opaques.Mais en toute rigueur, pour un milieu sous-jacent à la surface semi-transparent (eau, glace,végétation, …), et dans une démarche parallèle à celle adoptée pour la réflexion, il faut plutôtnaturellement décrire la transmission du rayonnement par la surface (et « à la surface ») parune fonction de transmission bidirectionnelle (spectrale) ( ' )transP s s , définie pour les

directions de l’hémisphère supérieur (atmosphériques) 's incidentes vers la surface, et pourles directions s de l’hémisphère inférieur y fuyant la surface : la luminance ( ) ( )transI s

transmise dans la direction s (définie par les angles et ) est donnée par :

( ) ( )' '

2

( ) ( ' ). ( '). . .trans inctrans n s sI s P s s I s e e d

soit encore

2 / 2( ) ( )

0 0

( ) ( ', ', , ). ( ', ').cos '.sin '. '. 'trans inctransI s P I d d

Cette définition revient à dire que la fonction de transmission bidirectionnelle est le rapport auflux élémentaire incident dans la direction 's (et l’angle solide 'sd ), du flux élémentaire

transmis ( ) ( )transdI s dans la direction s , issu de ce rayonnement incident :

( )

, ( )' '

( )( ' )

( ').cos .

transdéf

trans incs s

dI sP s s

I s d,

où indique l’angle entre la direction qui y figure en indice et la verticale (ou, plusgénéralement, la normale à la surface considérée).En considérant toutes les directions possibles de renvoi du rayonnement incident (réflexiondans l’atmosphère, transmission au sein du milieu sous-jacent à la surface), les fonctions deréflexion et de transmission bidirectionnelles, peuvent d’ailleurs être considérées comme lesrestrictions en s , à l’hémisphère supérieur et à l’hémisphère inférieur respectivement, d’uneseule « fonction de diffusion bidirectionnelle », équivalent complet, pour la surface terrestre,de la fonction de phase de la diffusion volumique au sein du milieu atmosphérique.

En termes de flux, il est intéressant de passer par l’estimation préalable d’un coefficient detransmission de la surface, défini en version monochromatique par

( )( )

, ( )

transdéfF

surf inc

FF

,

et dont on espère qu’il peut être considéré comme une donnée propre à la surface au pointconsidéré.

On n’insiste pas d’avantage ici sur ce sujet.

201

B. Emission

La luminance spectrale ( ), ( )émis

surfI s émise par la surface, en son point courant, dépend de latempérature surfT , et des propriétés physiques (texture, composition chimique, indice deréfraction, …) de la surface ; elle n’est non négligeable que dans le domaine spectraltellurique, et elle est inférieure à la luminance spectrale d’émission ( )surfB T du corps noir à lamême température.

Le rapport ( )s des énergies spectrales émises, dans la même direction s , et le même anglesolide élémentaire sd , par la surface et par le corps noir à la même température qu’elle,s’appelle « émissivité directionnelle » spectrale de la surface :

( )( ),

,( ).cos , . ( )

( )( )( ).cos , .

émisémisdéf surf n s surf

surfsurf n s

I s e s d I ss

B TB T e s d

La surface est évidemment un corps noir si ( ) 1,s s ; elle est dite « corps gris » si

( ) , ,s Cste s .

L’émissivité de flux spectrale, ou simplement émissivité spectrale, de la surface, soit ( ),

Fsurf ,

est par définition le rapport des énergies spectrales émises dans tout l’hémisphèreatmosphérique (« 2 »), par la surface, et par le corps noir à la même température qu’elle :

( ),

2 2( ),

2

( ).cos , . ( ). ( ).cos , .

. ( )( ).cos , .

émissurf n surf ns sdéf

Fsurf

surfsurf n s

I s e s d s B T e s d

B TB T e s d

soit

(2 )

2

1 . ( ).cos , .n ss e s d

Les surfaces naturelles sont en général des émetteurs efficaces : ( ),

Fsurf est le plus souvent

supérieure à 0,8 .Voici, à titre d’exemples, quelques valeurs moyennes de ( )

,F

surf sur l’intervalle de longueurs

d’onde 10 ,12m m : terre naturelle sableuse : 0,954 0,968 ; sable : 0,949 0,962 ;granite : 0,898 ; tourbe : 0,979 0,983 ; eau liquide 0,993 0,998 ; glace : 0,980 ; neige :0,969 0,997 ; herbe : 0,980 .

Dans les applications de la météorologie dynamique, c’est l’émissivité de flux qui estparamétrée pour estimer le flux émis par la surface, par la relation

202

( ) ( ), , . ( )émission F

surf surf surfF B T ; la surface est d’ailleurs souvent considérée comme un corps

gris : ( ),

Fsurf est alors considérée être indépendante de .

C. Absorption

En termes de luminances, l’absorption par la surface terrestre peut être décrite par la fonctiondirectionnelle d’absorption (spectrale) , ( ')surfA s , définie pour les directions de l’hémisphère

supérieur (atmosphérique) 's incidentes vers la surface :

( )

, ( )

( ')( ')

( ')

absdéf

surf inc

I sA s

I s

En termes de flux, la notion correspondante est celle d’absorptivité (spectrale) ( ),

FsurfA :

( ) ( ),' '( )

2 2( ), ( ) ( ) ( )

'2

( ').cos , ' . ( '). ( ').cos , ' .( ')( ') ( ').cos , ' . ( ').cos ,

abs incn surf ns sabsdéf

Fsurf inc inc inc

n ns

I s e s d A s I s e s dF s

AF s I s e s d I s e '

2

' . ss d

Si le rayonnement incident est isotrope :

( ), , '

2

1 . ( ').cos , ' .Fsurf surf I n sA A s e s d

La loi de Kirchoff identifie les fonctions d’absorption et d’émission directionnelles (àstrictement parler, elle ne vaut que pour un corps à l’équilibre thermodynamique, mais, enpratique, elle peut être utilisée pour la surface terrestre) :

, ,( ) ( )surf surfA s s

Dans le cas où le rayonnement incident est isotrope, les relations établies plus haut entre,d’une part absorptivité et fonction d’absorption directionnelle, d’autre part émissivité etfonction d’émission directionnelle, montrent qu’elle s’applique également en termes de flux :

( ) ( ), ,

F Fsurf surfA

Cette identification est largement utilisée en météorologie, mais il s’agit là, la plupart dutemps, d’une approximation, commode mais qui peut être grossière, puisque l’hypothèsesous-jacente à sa validité exacte est celle de l’isotropie du rayonnement incident.

La valeur de ce type d’approximation se dégrade encore lorsque la loi de Kirchoff estappliquée aux émissivité et absorptivité définies en termes de flux intégrés, sur tout ou partiedu spectre, ce qui nécessite des conditions restrictives supplémentaires sur le rayonnementincident.

203

4. BILANS RADIATIF ET ENERGETIQUE A LA SURFACE

A. Bilans radiatifs et énergétique moyens du système Terre-Atmosphère

En valeur moyenne, sur toute la surface terrestre et sur une longue période, seuls un peumoins de 20 % du rayonnement solaire incident au sommet de l’atmosphère sont absorbéslors de la traversée de la troposphère, alors que la fraction absorbée par la surface terrestre -océans et continents – est de l’ordre de 50 % (pour donner des chiffres ronds, on a agrégé aubilan troposphérique les quelques 2 % absorbés en fait par la stratosphère ; quant aux 30 %manquants, ils sont renvoyés dans l’espace par les processus de réflexion constitutifs del’albédo planétaire). On renvoie à la figure XI. 1. pour un peu plus de détails.

Exprimés dans la même unité de « % de rayonnement solaire incident », les bilans d’énergieradiative tellurique de la surface terrestre et de la troposphère correspondent quant à eux àdes pertes, respectivement de l’ordre de 20 et de 60 unités (les quelques 2 % émis par lastratosphère étant ici encore, pour arrondir de façon cohérente, affectés à la troposphère).

Le bilan radiatif moyen « toutes longueurs d'onde » (rayonnements solaire et tellurique) estdonc excédentaire ( 30 "%") pour la surface terrestre (en fait la partie supérieure du solcontinental et de l’océan), et déficitaire ( 30 "%") pour la troposphère : les équilibres à longterme, observés séparément pour ces milieux, nécessitent des échanges d'énergie non radiatifsentre surface et basse atmosphère.

Ces derniers sont assurés par des transferts verticaux de chaleurs latente (environ 22 % ) etsensible (environ 8 % ), pilotés par conduction moléculaire au contact de la surface, puis pardes mouvements fluides turbulents (d'origines mécanique et/ou convective) dès de faiblesdistances de celle ci.

Localement et à un instant donné, ces flux peuvent naturellement être dirigés dans un sens oudans l'autre (ainsi, sur les continents, le flux de chaleur sensible opère généralement du solvers l'atmosphère durant le jour, et en sens inverse durant la nuit).

En moyenne cependant, ils assurent les équilibres thermiques séparés de la surface terrestre etde la troposphère.

L’absorption troposphérique directe des 20 % du rayonnement solaire par la troposphère estrépartie sur une épaisseur de l’ordre de la dizaine de kilomètres, alors que l'absorption des50 % par la surface s'effectue sur une épaisseur qui est plutôt de l’ordre de quelquesmillimètres, ou moins, sur surface continentale, et de l’ordre de quelques mètres sur surfacemarine (pour être ensuite en parties transmises à l'atmosphère et au milieu sous jacent).

On peut donc considérer, en première approche, que l’atmosphère est un fluide chauffé par sabase.

204

Dans cette approche, le mécanisme de conversion de l’énergie solaire en mouvementatmosphérique, via la génération de flux matériels de chaleur (sensible et latente), trouveprincipalement sa source dans le bilan énergétique à la surface.

B. Bilan d’énergie à l’interface surface/atmosphère

a. Mise en contexte

Il ne s’agit dans ce paragraphe que d’introduire de façon approchée, plutôt qualitative, laproblématique des bilans radiatif et énergétique à la surface, qui constituent le fondement dutraitement de la surface terrestre dans les applications de la météorologie dynamique.

Les flux radiatifs F dont il y est question sont des flux évalués « à la surface » (donchorizontaux pour simplifier), et intégrés séparément sur les domaines spectraux des petiteslongueurs d’onde (indice « solaire »), et des grandes longueurs d’onde (indice« tellurique »).

Par convention, classique dans la conduite du bilan radiatif de surface, les flux radiatifs sontconsidérés comme positifs, et dans les bilans ils sont donc précédés du signe « moins »lorsqu’ils « fuient » la surface. On adopte ici très temporairement ce point de vue, maisuniquement pour le flux net, et en utilisant le symbole « valeur absolue » pour les fluxcomposants : le flux radiatif net, résultat du bilan algébrique de ces flux composants, estcompté positivement lorsqu’il correspond à une énergie nette reçue par la surface.

Les flux énergétiques non radiatifs à la surface H sont comptés positivement vers le haut.

b. Rayonnement net à la surface terrestre

Soit netF le flux de rayonnement net (bilan total d’énergie radiative par unités de surface et detemps) à la surface terrestre.

Négligeant le flux radiatif transmis (à la surface) dans le milieu sous-jacent, netF sedécompose classiquement en :

( ),1 .F

net surf solaire solaire tellurique telluriqueF a F F F

où, naturellement :

solaireF désigne le flux de rayonnement solaire, incident à la surface, directement etaprès diffusion par l’atmosphère ;

( ) .Fsurf solairea F désigne le flux de rayonnement solaire réfléchi par la surface

( ( ),

Fsurf solairea est une valeur intégrée sur le spectre solaire de l’albédo –de flux- de la

surface) ;

205

telluriqueF désigne le flux de rayonnement tellurique émis par l’atmosphère, incident àla surface (dans l’écriture du bilan, on a supposé négligeable l’albédo tellurique de lasurface) ;

telluriqueF désigne le flux de rayonnement tellurique émis par la surface versl’atmosphère.

Le calcul précis de solaireF , telluriqueF , telluriqueF nécessite bien sûr la connaissance de lastructure de l’atmosphère à la verticale du lieu étudié (teneurs en vapeur d’eau, dioxyde decarbone, ozone, nuages, aérosols, etc …), et des propriétés de la surface.

On se limite ici à une description qualitative très simplifiée.

Le flux de rayonnement solaire solaireF est bien entendu nul pendant la nuit, et positif durant lajournée.

Le flux de rayonnement de la surface telluriqueF peut être, au moins en première

approximation, assimilé à celui d’un corps noir (une approximation un peu plus fine seraitcelle du corps gris) :

4. surftelluriqueF T

Quant au rayonnement propre de l’atmosphère telluriqueF , il est essentiellement dû à laprésence de dioxyde de carbone, de vapeur d’eau et d’eau liquide.

Par ciel clair, seuls contribuent les deux premiers kilomètres de l’atmosphère (ce qui est émisau-dessus étant presque entièrement absorbé avant d’atteindre la surface). La contributionrelative du dioxyde de carbone 2( )CO

telluriqueF est grosso-modo constante, de l’ordre de :

2( ) 0,18COtellurique telluriqueF F

La contribution de la vapeur d’eau, 2( )H OtelluriqueF , est plus variable, et représentée à peu près,

qualitativement, par la formule climatologique dite « de Brunt » :

2( ) (0.5 0.07 ).H Osurftellurique telluriqueF e F

surfe désignant la tension de vapeur « à la surface », exprimée en hectopascals.

Grossièrement, on peut considérer que 0,75tellurique

tellurique

F

F.

206

Par ciel nuageux, le rapport tellurique

tellurique

F

Freste inférieur à 1, mais devient supérieur à 0,75 (la

base du nuage rayonne vers le bas comme un corps noir ; si cette base est située à une altitude

inférieure au kilomètre, on peut admettre que 1tellurique

tellurique

FF

; il en est de même en cas de

brouillard).

La figure 7 présente une variation nycthémérale type des différents postes de rayonnement àla surface, sur continent.

Figure 7 - Exemples de variation nycthémérale type sur continent des différents postes derayonnement à la surface (a) et de réduction type du rayonnement net par ciel nuageux, parrapport à sa valeur par ciel clair, pour deux journées d’été (b).

La variation nycthémérale de netF reflète fortement celle de solaireF :

durant la nuit, 0solaireF , 0net tellurique telluriqueF F F ; le refroidissement

conséquent de la surface est plus rapide par ciel clair que par ciel nuageux (le bilan

étant plus déficitaire: comparer les valeurs correspondantes de tellurique

tellurique

F

F), et alors

d’autant plus rapide que l’air est plus sec près de la surface (formule de Brunt).

207

durant le jour 0solaireF , netF reste négatif jusqu’à 30 mn à 1 h après le lever dusoleil, et redevient négatif environ 1 h avant le coucher du soleil. Entre ces deuxinstants de valeur nulle, il varie de façon grossièrement sinusoïdale, et il est maximumau midi local, avec solaireF .

la présence de nuages réduit en même temps l’importance de solaireF et de

tellurique telluriqueF F , et netF devient très inférieur à sa valeur en air clair.

c. Bilan d’énergie à la surface terrestre

L’expression de la conservation de l’énergie dans une mince tranche de surface (en contactavec l’atmosphère) dont on fait tendre l’épaisseur vers zéro conduit à :

0net s L GF H H H

où

sH est la valeur de surface du flux de chaleur sensible dans l’atmosphère ;

LH est la valeur de surface du flux de chaleur latente dans l’atmosphère ;

GH est la valeur de surface du flux de chaleur (par conduction, et éventuellementturbulence) dans le milieu sous-jacent. Ce flux est souvent exprimé, au point courantde coordonnée verticale 0z et de température ( ) ( )T z , par la classique « loi de

Fourier »( )

( ) .G GTH z

z, G étant la conductivité thermique du milieu sous-

jacent ; donc, à la surface :( )

( 0) . ( 0)G G GTH H z z

z.

On a un peu évoqué le comportement de netF plus haut.

Les flux sH et LH peuvent s’exprimer en fonction des gradients de vitesse, de température,et d’humidité, au voisinage de la surface, à l’aide par exemple de la théorie de similitude deMonin et Obukhov de la couche limite atmosphérique de surface, sur laquelle on ne revientpas ici (voir par exemple : Gérard De Moor (2006) : « Couche limite atmosphérique etturbulence », Cours et manuels de Météo-France -Ecole Nationale de la Météorologie-numéro 16).

Quant au flux dans le milieu sous-jacent GH , il propage dans le milieu terrestre la variationde température en surface, avec amortissement et retard, jusqu’à une profondeur dépendant dela conductivité G de ce milieu, 10 cm environ en terrain sec, 1 m en terrain humide, etquelques dizaines de mètres en mer, où les transports turbulents efficaces dans l’eau sesubstituent aux transports moléculaires (il en résulte en particulier que la variation

208

nycthémérale à la surface de la mer est beaucoup moins importante que sur continent, en faitpresque négligeable).

Dans le cas général, la résolution en surfT de l’équation de bilan d’énergie en surface estcompliquée (après que l’on ait exprimé tous les flux en fonction des caractéristiques de lasurface et de l’atmosphère, et de cette température de surface).

Qualitativement, concernant par exemple la variation nycthémérale de surfT sur continent, ilapparaît que celle-ci est essentiellement liée à celle de netF : surfT croît à partir de 1 h à 2 haprès le lever du Soleil, pour passer par un maximum environ 2 h après le midi local, etdécroître ensuite jusqu’à son minimum matinal ; cette variation est atténuée par ciel nuageuxou par brouillard. Sur océan, l’évolution nycthémérale de surfT est pratiquement négligeable,à cause de l’efficacité de la conduction turbulente de chaleur à l’intérieur de la masse d’eau.

210

Dans le Soleil, la température croît de la surface (5800 K ) vers le centre ( 615.10 K ), jusqu’àpouvoir entretenir des réactions thermonucléaires (lesquelles nécessitent 710 K : il faut queles noyaux atomiques soient suffisamment proches pour que l’attraction nucléaire domine larépulsion électrique). Le processus de rayonnement vers l’espace du Soleil peut seschématiser ainsi : l’énergie est produite dans le noyau du Soleil sous forme de rayonnement

, puis elle gagne la surface du Soleil par rayonnement et par convection (zones radiative etconvective), avant d’être rayonnée principalement sous forme « UV+visible+IR » versl’espace.

Le noyau représente environ 20% du rayon du Soleil (et la moitié de sa masse), c’estune zone de fortes densité (160) et température ( 614.10 K ) ; l’énergie émise par le Soleil ytrouve son origine dans la réaction de fusion de quatre noyaux d’hydrogène en un noyaud’hélium : c’est l’excédent de masse de cette réaction (la masse des quatre atomesd’hydrogène ne se retrouve pas complètement dans la masse de l'hélium qu’ils contribuent àconstituer, il s’en faut d’environ 0

007 / ), qui est émis sous forme de rayonnement (photons), quantitativement selon la célèbre loi « 2.E m c », et aussi de neutrinos :

1 1 2 1 1H H H positron neutrino2 1 3 1H H He photon3 4 12 2 1He He H photon

( 2H : deutérium, isotope à un proton et un neutron de l’hydrogène 1H -un proton- ; 3He :hélium 3, isotope à deux protons et un neutron de l’hélium 4 4He –deux protons et deuxneutrons-; positron : anti-particule de l’électron).

Chaque seconde, cet enchaînement de réactions se produit en 3810 exemplaires, aboutissant àla conversion de 600 millions de tonnes d'hydrogène, en hélium, et en énergie pour 4 millionsde tonnes.

La zone radiative, s’étendant jusqu’à environ 70 % du rayon du Soleil, est encore trèsdense (la densité y décroît de 100 à 1 environ de la base au sommet), et la propagation del’énergie n’y implique que la voie radiative : elle absorbe le rayonnement incident (àl’origine issu du noyau), après un très court « libre parcours » de celui-ci, et ré-émet ensuiteavec changements d’énergie et de direction, cette séquence se répétant quasiment « àl’infini ». Avec un raccourci simpliste, on peut dire qu’un photon émis par le noyau neressort que quelques millions d'années plus tard de la zone radiative, après beaucoupd’absorptions et ré-émissions, et conséquemment « transformé » en photon UV, ou visible,ou IR.La zone radiative est soumise à une rotation solide d’un tour en environ 26 jours.

La zone convective, environ les derniers 30 % du rayon du Soleil, est beaucoup moinsdense que la zone radiative, ce qui y rend possibles des mouvements (convectifs) de matière,initiés par l’échauffement à sa base résultant de l’absorption des photons issus de la zoneradiative par l’hydrogène atomique (dont la formation peut se produire grâce à la « basse »température), et par les ions H . L'énergie ne met que deux mois environ pour gagner lasurface du Soleil.

211

La zone convective tourne sur elle-même avec une vitesse différentiée selon la latitude : untour en environ 25 jours à l'équateur, 33 jours près des pôles ; cette rotation différentielle, enfrottement sur la rotation solide de la zone radiative, serait responsable (effet dynamo) de lacréation des puissants champs magnétiques solaires.

L'énergie rayonnée par le Soleil varie au cours du temps, parallèlement au nombre de tachessolaires, qui sont des zones sombres, plus froides, sièges de très forts champs magnétiques,localisées à la surface de l’astre : la « constante solaire » augmente avec le nombre de cestaches, car les zones qui en sont exemptes, plus brillantes, rayonnent davantage.

En lien avec les cycles de fonctionnement de la dynamo solaire, le nombre et l'étendue destaches solaires présentent diverses périodicités : 11 ans (associée au nombre de tachessolaires, avec une variation de l'éclairement total d'environ 0,1% ), 22 ans (résultant durenversement du champ magnétique des taches), 90 ans, 200 ans, 2300 ans.Il semble que le Soleil se soit trouvé, ces derniers milliers d’années, dans une phasemajoritairement calme, avec un éclairement relativement faible.

L’influence réelle des variations de l'activité solaire sur le climat terrestre n’est pas encorecomplètement clarifiée, même si un certain nombre de corrélations liant activité solaire etparamètres climatiques (pas toujours convaincantes) ont pu être proposées.

b. L’énergie solaire incidente au sommet de l’atmosphère

L’énergie solaire incidente au sommet de l’atmosphère, et la « constante solaire », nedépendent pas que de l’activité solaire : elles sont également tributaires des fluctuations desparamètres astronomiques décrivant la géométrie relative de la Terre et du Soleil, commecelles de l'excentricité de l’orbite de la révolution de la Terre autour du Soleil, de l'obliquitéde l’axe des pôles de la Terre sur le plan de l’écliptique, ou encore la précession deséquinoxes.

Dans la première moitié du vingtième siècle, Milankovitch attribue clairement la successiondes âges glaciaires et interglaciaires à ces variations des paramètres astronomiquesfondamentaux ; son calcul des variations induites de l'insolation, entre 55 et 65 Nord dansles 600000 dernières années, met en évidence des variations significatives, dont lesminimums correspondent aux périodes glaciaires reconnues par les géologues.

L’extension du travail, dans le milieu des années 1970, par André Berger, aux variationsmensuelles de l'insolation aux diverses latitudes pour les trois derniers millions d'années,révèle des variations beaucoup plus importantes qu'attendues, et l’analyse spectrale descourbes obtenues met en évidence l'existence de plusieurs périodicités proches de 100000ans, de 41000 ans, de 23000 ans et de 19000 ans.

La théorie des paléoclimats de Milankovitch a reçu plusieurs vérifications spectaculaires, avecl’examen de sédiments marins (la datation des forages océaniques par corrélation avec lesignal de précession climatique est compatible à moins de 10000 ans près avec les méthodesde datation isotopiques, et l'analyse spectrale des séries sédimentaires met en évidence lespériodicités d’origine astronomique), et avec les forages profonds réalisés en Antarctique,permettant de reconstituer les variations détaillées de la température sur les quatre périodesglaciaires des dernières centaines de milliers d’années

212

B. Répartition spectrale du rayonnement solaire à la limite supérieure de l’atmosphère

La température de rayonnement du Soleil est d’environ 5750 K , mais le spectre d’émissionde celui-ci est sensiblement différent de celui du corps noir à cette température. Ceci est biensûr dû à la décroissance de la température thermodynamique du Soleil du centre versl’extérieur, les parties plus froides absorbant un rayonnement ayant un spectre différent decelui de leur émission.

Grossièrement, on peut décrire le spectre solaire comme le spectre d’un corps noir à 6000 K ,ayant subi une absorption qui augmente avec la fréquence.

La description de ce spectre doit également tenir compte des raies d’absorption des gaz de lacouronne solaire, appelées raies de Fraunhofer, que l’on considère ici, en première approcheet pour des raisons de simplicité, n’intervenir que par une variation équivalente « à grandeéchelle » du spectre continu et régulier.

La détermination de l’intensité du rayonnement solaire est particulièrement délicate dans ledomaine ultraviolet, car l’absorption dans la très haute atmosphère terrestre est déjàimportante pour ces courtes longueurs d’onde (ce qui est d’ailleurs source de difficultés dansla détermination de la valeur de la constante solaire).

La figure 1 donne une idée du spectre du rayonnement solaire au sommet de l’atmosphère,comparé à celui du corps noir à deux températures d’encadrement d’une « températureeffective d’émission » du Soleil.

Figure 1 – Allure du spectre du flux radiatif solaire au sommet de l’atmosphère,et spectres du corps noir approchants.

213

C. Répartition spectrale et intensité de l’effet des divers agents

a. Généralités

On se propose d’examiner ici les caractéristiques spécifiques de l’action radiative desprincipaux agents radiatifs atmosphériques dans la zone solaire du spectre.

On considère d’abord séparément les effets de chacun des agents, en ne s’attachant qu’auxplus énergétiques, en examinant la variation des coefficients d’absorption ou d’extinctionavec la longueur d’onde, et en donnant une idée des transmissions réelles, par intégration surle spectre solaire initial.Les problèmes de l’interaction entre les actions des divers agents seront ensuite simplement évoqués.

En préliminaire, pour suggérer la complexité du problème réel, la figure 2 propose une visionschématique moyennement détaillée de l’absorption atmosphérique dans la zone spectralesolaire, incluant des effets peu significatifs qui seront oubliés dans la suite.

Figure 2 – Schéma indicatif, à résolution moyenne, de l’absorptionpar les composants atmosphériques gazeux, dans la zone spectrale solaire.

214

On notera déjà que l’on peut considérer qu’aucune radiation de longueur d’onde inférieure à0,2 m n’atteint le domaine physique du présent cours (troposphère et basse stratosphère),en raison de la très forte absorption, vis-à-vis de cette partie du spectre, et dès la hauteatmosphère, de l’oxygène et de l’azote (atomiques et moléculaires), et de l’ozone. Dans lereste de la zone ultraviolette, l’ozone exhibe une forte absorption entre 0,2 m et 0,3 m , etune absorption plus faible entre 0,3 m et 0,4 m (la « bande de Hartley et Huggins » étantà cheval sur ces deux domaines).

D’une façon générale, l’absorption est faible dans la troposphère dans le spectre visible( 0,4 0,7 m ), où elle est principalement le fait de l’ozone (« bande de Chappuis » vers0,5 m ), de la vapeur d’eau, et, pour mémoire, de l’oxygène moléculaire.

C’est la zone infrarouge du spectre solaire qui est la plus riche du point de vue del’absorption par les gaz, avec, principalement, les nombreuses bandes d’absorption de lavapeur d’eau (bandes a , Z , , , , , , …), et les bandes (plutôt faibles) dudioxyde de carbone au dessus de 1,2 m , ou encore, pour mémoire, la bande de l’oxygènevers 0,76 m .

b. Diffusion par les molécules d’air

Les propriétés de la diffusion Rayleigh par les molécules d’air ont été évoquées au chapitreV (V. 1. A.) : intensité en 4,09 , fonction de diffusion proportionnelle à 21 cos .

Les calculs de leur effet sur le transfert radiatif sont relativement simples, surtout en ce quiconcerne le rayonnement direct non diffusé. La figure 3 montre la répartition spectrale duflux spectral transmis, en fonction du nombre d’atmosphères traversées /p ( p étantexprimé en « atmosphères »), et le flux transmis intégré sur l’ensemble du spectre, enfonction du même paramètre (qui correspond empiriquement à une fonction de transmission

« Rayleigh » proche de1

( )1 0,1 p en atm ). .

La répartition spectrale du rayonnement diffusé par les molécules d’air montre une plusgrande importance des hautes fréquences que pour le rayonnement initial. C’est là la cause,déjà évoquée, de la couleur bleue du ciel, et de la couleur rouge du rayonnement directrestant lorsque la diffusion est importante (grande distance zénithale).

La distribution spatiale du rayonnement diffusé est différente de celle qui résulterait d’unediffusion simple : la réflexion en surface, et la diffusion multiple, modifient en effet larépartition. L’observation montre une zone de faible intensité dans le plan orthogonal à ladirection du soleil, où le ciel apparaît plus sombre, ainsi qu’une influence de la distancezénithale sur la couleur du ciel : les rayons fortement inclinés subissent d’avantagel’influence de la diffusion multiple, et la couleur du ciel au voisinage de l’horizon est plusproche du blanc qu’au zénith.

215

Figure 3 - Effet de la diffusion Rayleigh sur le rayonnement solaire.(a) : spectre transmis (à partir du spectre de rayonnement parallèle labellisé « 0 »), pardiffusion Rayleigh, après la traversée du nombre d’atmosphères /p indiqué sur chaquecourbe ; (b) : représentation du même effet, en version intégrée (sur le spectre solaire).

c. Absorption par la vapeur d’eau

L’absorption par la vapeur d’eau dans le spectre solaire est une absorption par bandes.On distingue sept bandes principales, dont l’intensité augmente avec la longueur d’onde,(figure 4), et qui ont reçu les dénominations : « a » (centrée à 0,72 m ), « Z » (centrée à0,8 m ), « » (bande triple centrée à 0,94 m ), « » (centrée à 1,1 m ), « »(centrée à 1,38 m ), « »(centrée à 1,87 m ), « » (bande double avec centres à2,7 m et 3,2 m ).

On notera que la vapeur d’eau n’absorbe que pour les longueurs d’onde supérieures à0,7 m , c’est-à-dire dans un domaine où la diffusion Rayleigh est pratiquementnégligeable : il n’y a donc aucun effet important d’interaction entre les deux phénomènes.

Il est difficile de représenter l’effet spectral de cette absorption sur le rayonnement solaire,car la largeur des raies varie avec la pression, ce qui rend la répartition de l’absorptiondépendante de la localisation verticale de la vapeur d’eau.A titre indicatif, on peut toutefois proposer une dépendance approchée de l’absorption totale

par rapport à une épaisseur réduite d’absorbant, définie par2

0

0

. . .déf

réd H OTpu d

p T(chapitre V –V. 1. B. c.-).

216

Figure 4 – Représentation schématique des principales bandes d’absorptionde la vapeur d’eau dans le spectre solaire.

Figure 5 – Exemple de représentation de l’absorption solaire par la vapeur d’eau.L’évaluation de l’épaisseur réduite rédu en unité de hauteur « d’eau précipitable »

(tenant compte de la réduction), le « cm ppw », permet d’avoir l’ordre de grandeur 1pour les quantités de vapeur d’eau contenues dans l’atmosphère.

217

L’exemple représentée sur la figure 5 correspond ainsi à un exposant2

0,6H O .Dans cette approche, le maximum de l’absorption n’est pas indiqué, car il dépendsignificativement de la largeur des raies, donc de la répartition verticale de l’absorbant (onpeut cependant donner comme ordre de grandeur 2500 .W m ).On n’a donc représenté que la partie de la courbe pour laquelle l’influence de cette limite estpeu sensible.

d. Absorption par le dioxyde de carbone

L’absorption par le dioxyde de carbone est peu importante dans le spectre solaire, et n’y alieu que pour des longueurs d’onde supérieures à 1,2 m (figure 6).

Seules trois bandes d’absorption, centrées à 2,0 m , 2,7 m , 4,3 m , ont en fait un effetnon négligeable.

Figure 6 – Représentation schématique des principales bandes d’absorptiondu dioxyde de carbone dans le spectre solaire.

A titre indicatif, on peut, comme pour la vapeur d’eau, proposer une dépendance approchée

de l’absorption totale par rapport à une épaisseur réduite2

0

0

. . .déf

réd COTpu d

p T.

L’exemple représentée sur la figure 7 correspond à un exposant2

0,86CO .

L’ensemble du dioxyde de carbone contenu dans l’atmosphère correspond environ à la valeur120 : on constate que l’absorption est toujours très inférieure à son maximum, qui n’a doncpas de réelle importance dans le cas du dioxyde de carbone.

218

Figure 7 - Exemple de représentation de l’absorption solaire par le dioxyde de carbone.

e. Absorption par l’ozone

Contrairement à la vapeur d’eau et au dioxyde de carbone, l’ozone n’absorbe le rayonnementsolaire que dans le visible et l’ultraviolet.

Figure 8 - Représentation schématique des principales bandes d’absorptionde l’ozone dans le spectre solaire.

219

Pour simplifier, on peut considérer que les bandes d’absorption sont au nombre de deux : labande de Hartley et Huggins, qui absorbe dans tout le domaine des longueurs d’ondeinférieures à 0,35 m , et la bande de Chappuis, qui absorbe entre 0,44 m et 0,76 m .

La figure 8 permet de constater que l’intensité de la première est beaucoup plus importante(de l’ordre de 1000 fois) que celle de la seconde.

L’effet de la bande de Chappuis est cependant loin d’être négligeable, car l’absorption decelle-ci se situe pratiquement dans la zone spectrale d’intensité maximum du rayonnementsolaire.Au contraire, la bande de Hartley et Huggins ne peut absorber qu’une quantité assez faible durayonnement solaire, et ceci se produit essentiellement dans la très haute atmosphère.L’absorption là où l’ozone est abondant n’a plus lieu qu’à la limite de la bande, et est alorscomparable à l’absorption dans la bande de Chappuis.

Ces phénomènes sont bien mis en évidence par la figure 9.

Figure 9 - Exemple de représentation de l’absorption spectrale de l’ozoneen fonction de l’épaisseur d’absorbant, indiquée sur les courbes en cm NTP

( spectre transmis à partir du spectre de rayonnement parallèle labellisé « 0 »).

220

L’absorption importante du point de vue météorologique est donc une absorption du typefaible, ce qui explique que l’épaisseur d’absorbant généralement utilisée pour l’ozone soitsans réduction :

30O .

Comme pour le dioxyde de carbone, le maximum de l’absorption n’est jamais atteint dansl’atmosphère. On peut cependant donner sa valeur assez exactement : 2628 .W m .

La partie de cette absorption entre 0,70 m et 0,76 m est peu importante. On peut doncnégliger les interactions entre les absorptions de la vapeur d’eau et de l’ozone et, bienentendu, les interactions entre les absorptions de l’ozone et du dioxyde de carbone.

La figure 10 montre la dépendance de l’absorption de l’ozone, par rapport à l’épaisseurd’absorbant, calculée ici sans réduction, et exprimée en cm NTP . Les courbes pour chacunedes bandes y sont également représentées.

Figure 10 – Exemple de représentation de l’absorption de l’ozone,totale, et pour les bandes Hartley et Huggins (HH), et Chappuis ( C).

f. Extinction par les nuages

Pour les nuages, le principe de calcul des coefficients d’absorption et d’extinction, et desfonctions de diffusion, a été présenté aux chapitres V (V. 2.) et VI (VI. 3. C.).

Une fois les caractéristiques du spectre de tailles choisies, et les indices de réfraction donnés,les résultats ne dépendent plus que d’un paramètre : la densité W en eau liquide. L’exempleprésenté figures 11 et 12 correspond à une telle densité de 30,1 .g m , ordre de grandeur pourles nuages bas dans l’atmosphère.

221

Les coefficients volumiques d’extinction ( ),

volextK et de diffusion ( )

,vol

difK (figure 11) y sont

exprimés géométriquement en 1cm , et les fonctions de diffusion ,difP (figure 12) y sontreprésentées en coordonnées polaires avec une échelle logarithmique.

Figure 11 - Exemples de coefficients volumiques d’extinction et de diffusion des nuages.

On constate que, comme pour la vapeur d’eau et le dioxyde de carbone, il n’y a pasd’absorption dans la partie visible du spectre, où, d’autre part, la diffusion a une intensitépratiquement indépendante de la longueur d’onde.

Les fonctions de diffusion montrent une forte diffusion vers l’avant, mais, comme lephénomène de diffusion multiple est prépondérant à l’intérieur des nuages, à partir d’unecertaine épaisseur nuageuse, les rayonnements diffus et transmis sont presque isotropes.Pour les nuages de faible épaisseur, la zone entourant la direction du Soleil est plus claire, etune partie du rayonnement parallèle traverse le nuage.

Lorsque la densité en eau liquide W croît, la forme des fonctions de diffusion n’est pasfortement modifiée ; on note simplement une plus grande diffusion vers l’avant, compenséepar une diminution de la réflexion vers l’arrière.

Par contre, la valeur des coefficients d’extinction et d’absorption dépend directement de ladensité de l’eau dans le nuage. Il n’y a cependant pas proportionnalité ; le rapport de cescoefficients diminue lorsque W augmente (figure 13), ce qui ne permet pas de définir,

comme pour les gaz, des coefficients massiques( )volKK

Wqui soient indépendants de la

densité.

222

Figure 12 – Exemples d’indicatrices de diffusion nuageuse à diverses longueurs d’onde(coordonnées polaires, axe horizontal –angle de diffusion zéro- selon la direction incidente,

échelle logarithmique pour les rayons).

Figure 13 - Variations des coefficients volumiques d’extinction et d’absorption,en fonction de la densité en eau liquide du nuage.

223

g. Extinction par les aérosols

Pour les aérosols, le calcul des coefficients d’extinction et d’absorption, et des fonctions dediffusion, est semblable à celui qui est conduit pour les nuages.

Malheureusement, les indices de réfraction dépendent de nombreux facteurs (en particulierde l’humidité relative), qui varient notablement, tout comme la quantité totale d’aérosols,selon le lieu et dans le temps.

L’intensité de l’extinction varie en , avec pour une valeur moyenne de 1,3 .L’effet sur le rayonnement peut être décrit de façon simple par le facteur de trouble de Linke

LinkeT , rapport de l’extinction totale à l’extinction Rayleigh. Comme les extinctions ont desrépartitions spectrales différentes, LinkeT dépend de la masse d’air traversée, c’est-à-dire de ladistance zénithale, avec une valeur moyenne observée de 3,8 .

Bien que la diffusion par les aérosols soit environ trois fois plus importante que la diffusionpar les molécules d’air, son effet sur les flux est bien moins important : la diffusion versl’avant est prépondérante et, comme la diffusion multiple est peu importante, la répartitiongéométrique du rayonnement est peu modifiée.

L’absorption a l’avantage de ne dépendre que faiblement de l’humidité relative et de lalongueur d’onde. On peut définir un coefficient d’absorption massique relativement à lamasse d’aérosols secs. Les mesures donnent en moyenne 2 10,3 .absK m g , ce qui conduit,pour des atmosphères non polluées, à des épaisseurs optiques d’absorption de l’ordre de0,01.

Figure 14 - Exemple de fonction de diffusion d’aérosols(coordonnées polaires, axe horizontal –angle de diffusion zéro- selon la direction incidente,

échelle logarithmique pour les rayons).

224

A titre d’exemple, la figure 14 présente la fonction de diffusion des aérosols à 0,6 m , pourune distribution de Junge et un indice de réfraction 1,5 0,02 i .

h. Interactions

La figure 15 représente les effets cumulés des divers agents sur le rayonnement direct reçu àla surface terrestre, pour une atmosphère standard sans nuages, et une distance zénithale de

60 ( 1 2 ).

Il est important de remarquer que l’effet total n’est pas, et de loin, la somme des effetspartiels. Les interactions entre les divers phénomènes font qu’une absorption est réduite parla présence d’un autre absorbant, mais que, par contre, une diffusion peut, soit augmenter,soit diminuer l’intensité d’une absorption. Et ces effets d’interaction ne sont pas que locaux,ils valent aussi pour toute l’atmosphère. Ceci a en particulier pour conséquence que ladistribution des couches nuageuses, et leur nébulosité, sont les facteurs les plus importants ducalcul des flux de rayonnement de petites longueurs d’onde.

Figure 15 – Allure du cumul des effets atmosphériquessur le rayonnement solaire direct à la surface, pour une incidence zénithale de 60

(le spectre incident correspondant bien sûr à la courbe supérieure).

L’étude de ces interactions est cependant simplifiée par le fait que l’on peut pratiquementdistinguer deux domaines spectraux : dans le premier interagissent l’absorption par l’ozone,la diffusion Rayleigh et l’absorption-diffusion par les particules ; dans le second, il s’agit des

225

absorptions par la vapeur d’eau et le dioxyde de carbone, et de l’absorption-diffusion par lesparticules.

D. Effet de l’albédo de la surface

On renvoie au chapitre VII pour ce qui concerne le rôle radiatif de la surface.

Pour résumer, dans le spectre solaire, l’albédo de la surface dépend de deux types deparamètres :

les paramètres relatifs au rayonnement incident, soit les distributions géométrique etspectrale du rayonnement ; il faut noter que les variations de l’albédo spectral sont,dans certains cas, suffisamment importantes pour influencer le bilan global en surfaceautant que les variations de l’albédo selon l’angle d’incidence.

les paramètres relatifs à l’état de la surface, forts nombreux, et principalement : lasituation de la végétation dans son cycle annuel, l’humidité du sol, l’état de gel ounon, l’état physique de la neige et de la glace, les apports de poussières par le vent, lahauteur des vagues, etc …

Comme ordres de grandeur pour l’albédo, on peut retenir 0,07 pour la surface océanique,0,15 0,25 pour la surface continentale, 0,2 0,8 pour la surface enneigée, selon l’âge de laneige.

La dépendance par rapport à la longueur d’onde a été présentée au chapitre VII (figure VII.6.).

2. APPROCHE MATHEMATIQUE

A. Géométrie du problème

a. Le rayonnement parallèle

Le calcul du flux de rayonnement solaire parallèle ne nécessite que la connaissance de Soleil .On peut calculer ce paramètre, au point courant 0M de la surface terrestre, en utilisant desdonnées astronomiques, si on connaît la latitude, la longitude, la date et l’heure.

Mais, par suite de la courbure de la Terre, Soleil n’est pas constant (car la direction de laverticale varie) le long d’un rayon solaire.

Pour éviter des calculs compliqués, on peut définir et calculer une valeur moyenne Soleil

pour l’ensemble de l’atmosphère ; la méthode la plus simple pour ce faire consiste àdéterminer le chemin parcouru par le rayon dans une atmosphère homogène d’épaisseur finie

atmh .En se référant à la figure 16 , on peut ainsi considérer

226

0

0

HSoleil

S

M MM M

,

formule qui donne bien la valeur constante correcte de Soleil pour une Terre plate.

Figure 16 – Géométrie de l’angle zénithal du rayon électromagnétiquesur une Terre sphérique.

Un calcul simple permet de déterminer Soleil ainsi défini ( TerreR désignant le rayon de lasphère terrestre) :

02 2 2

0 , ,' ' .cos 2 . .cos

H atmSoleil

S Terre Soleil surf Terre atm atm Terre Soleil surf

M M hC M C M R R h h R

Avec 8atmh km , 6371TerreR km :

2, ,

1

796 0,002514Soleil

Soleil surf Soleil surf

,

, ,cosSoleil surf Soleil surf étant la valeur de Soleil à la surface, calculée à partir des données delieu et de temps.

227

Dans le cas où , 0Soleil surf , c’est-à-dire pour le soleil levant ou couchant, on obtient la

valeur minimale de Soleil , égale à 139,9

: l’épaisseur traversée par un rayon arrivant à la

surface terrestre ne peut excéder quarante atmosphères ; ceci justifie à posteriori lesaffirmations selon lesquelles les maxima des absorptions de l’ozone et du dioxyde de carbonene sont jamais atteints lorsque ces absorbants agissent seuls, et qu’il n’y a donc pas dediffusion.

b. Le rayonnement diffus

Le paramètre physique qui intervient dans le calcul fin du transfert radiatif est la luminance(spectrale) ; mais en météorologie, le paramètre pertinent se réduit souvent au flux, quipermet le calcul du chauffage radiatif.

De ce point de vue, on peut donc envisager de résoudre le problème de l’intégration del’équation du transfert radiatif de deux façons :

- soit en calculant les luminances en fonction de , , t , puis en en déduisant les flux ;

- soit en calculant directement les flux en fonction de t , sans se préoccuper de la répartitiongéométrique des luminances. Mais on est alors conduit à faire une hypothèse sur cetterépartition. En tenant compte du fait que le rayonnement réfléchi par la surface terrestre, oudiffusé par un nuage, ou diffusé par les molécules d’air, est proche de l’isotropie, on utilise leplus souvent l’approximation d’Eddington: les rayonnements dirigés vers le haut et vers lebas sont tous deux isotropes, mais avec deux valeurs différentes pour la luminance :

( , , ) ( ), 0,I t I t

( , , ) ( ), 0,I t I t

B. Absorption monochromatique

a. Recouvrement des absorptions

Dans le cas où, à une même longueur d’onde, plusieurs absorbants ( )i agissent ensemble,l’absorption locale est évidemment la somme des absorptions locales des divers corps.

, , ( )abs absi

K K i

A une échelle plus importante, l’épaisseur optique est donc la somme des épaisseurs optiquesindividuelles.

, ,. . ( ) . . ( )abs abs vi i

dt K dz K i dz dt i

L’équation du transfert radiatif s’écrit, en omettant les termes de diffusion et de rayonnementpropre :

228

( , , ). ( , , )v vv v

v

I t I tt

,

avec la solution

2 12 1, , , , .exp t tI t I t

Une couche atmosphérique d’épaisseur optique vt a donc une transmission « de luminance »(rapport de l’énergie sortante à l’énergie entrée) dans la direction , :

( ) expI t

et une absorption (rapport de l’énergie absorbée à l’énergie entrée) :

( ) ( )1I IA

L’épaisseur optique étant la somme des épaisseurs optiques de chacun des absorbants, latransmission est le produit des transmissions correspondant aux divers absorbants :

( ) ( ) ( )I Iv vi

i

b. Calcul des flux avec l’approximation d’Eddington

Dans le cas du rayonnement semi-isotrope, le calcul de la transmission du flux à travers uneépaisseur optique vt , soit ( )F , donne :

2 1

0 0

( ) .exp . . .vtF t I d d , avec FI ,

donc

1( )

330 1

( ) 2 exp . . 2 exp . . 2 ( )Fv v

t dt d t E t

La fonction 3E étant malheureusement d’un emploi peu commode, on cherche le plussouvent à la remplacer par une fonction exponentielle, aussi voisine que possible, ce quirevient à choisir une valeur particulière, « moyenne »

3E de définie par :

3

3exp( ) 2 ( )E

t E t .

Pour les petites valeurs de t , on a3

1 32

1

( )2 (0) 2 2EE t d

t.

229

Pour les grandes valeurs de t ,3

1E tend vers 1.

Les variations de3

1E sont représentées sur la figure 17.

Figure 17 - Relation entre transmission de fluxet facteur de correction de l’épaisseur optique.

La valeur3

1 1,66E , qui correspond environ à ( ) 0,5F , et est située dans la zone de

moindre variation de3

1E avec ( )F , est utilisée dans la plupart des cas.

Les valeurs 2 , 1, et 1,5 sont également parfois retenues, les deux premières pour desabsorptions respectivement très faibles et très fortes, la troisième parce que

3 3 40 1 0 1 0

1 22 ( ). 2 . exp . . . 2 exp 1,5 .3

dE t dt t dt d t dt .

Il convient de remarquer que l’approximation d’Eddington ne peut être à la fois valableavant, et après l’absorption.

Il vaut donc mieux la considérer comme un artifice de calcul permettant de choisir pour latransmission des flux de rayonnement diffus la fonction

( ) ( ) exp 1,66F t t .

230

C. Diffusion et absorption monochromatiques

a. Solutions exactes

L’équation générale du transfert radiatif de rayonnement diffus s’écrit, en l’absence derayonnement propre (chapitre III -III. 3. A.-) :

,

2 1

,' 0 ' 1

( , , ). ( , , )

1 ( ) . (0).exp . ( ; , , , )4

( ; , , ', '). ( , ', '). '. '

{

}

v vv v

v

v vdif v Soleil Soleil

Soleil

dif v

I t I tt

k t tS P t

P t I t d d

où t représente, comme dans le cas de l’absorption simple, la somme des épaisseursoptiques des divers agents absorbants et diffuseurs, et où vk est le rapport de la somme descoefficients d’absorption des absorbants à la somme des coefficients d’extinction des agents.

Toutes les méthodes qui cherchent une solution exacte de l’équation pour le rayonnementdiffus en termes de luminances partent du même principe.

On discrétise l’équation suivant un certain nombre de directions ( , )i j , et on obtient ainsiun système d’équations du type

,, , , , , ,

( ). ( ) ( ) . ( )i j v

i i j v i j i j v i j i j v i ji jv

I tI t Q I t q I t S

t

Un premier type de solution est obtenu par itération : ,i jQ au pas de calcul ( )n dépend des

,i jI du pas ( 1)n . Le point de départ étant le rayonnement parallèle, les effets des diffusionssuccessives s’introduisent les uns après les autres, à chaque itération.

On est alors conduit à intégrer à chaque pas de calcul des équations différentielles du type :

( ) 0dI I q tdt

,

avec la solution formelle

lim

lim limlim

( - ) ( ' )( ) ( ).exp + ( ').exp . 't

t

t t t tI t I t q t dt

La solution numérique est obtenue en discrétisant la cordonnée t .

231

Une deuxième méthode consiste à discrétiser dès le début, également par rapport à t , et àrésoudre ensuite le système d’équations linéaires ainsi obtenu par un algorithme approprié.On revient alors dans la majorité des cas à un processus itératif.

Ces méthodes sont nommées « exactes », car il suffit d’augmenter le nombre des équations etdes pas de calcul pour obtenir n’importe quel degré de précision souhaité sur le résultat.

b. Méthode des flux avec l’approximation d’Eddington

En intégrant l’équation du transfert radiatif séparément sur les deux hémisphères, sur chacun

desquels I est supposé constant, et avec, ici,3

11,66

déf

E , on obtient :

2 1

0 0

2 1 2 1

0 0 0 0

2 1 2 0

0 0 0 1

1 ( ). ( ( ). . ( ; , , , ). .4

. . ( ; , , ', '). '. '. .

. . ( ; , ', '). '. '. . )

v v vv v dif v Soleil Soleilv

v

vdif v

vdif v

dF k tF S t P t d ddt

FP t d d d d

FP t d d d d

2 0

0 1

2 0 2 1

0 1 0 0

2 0 2 0

0 1 0 1

1 ( ). . ( ( ). . ( ; , , , ). .4

. . ( ; , , ', '). '. '. .

. . ( ; , ', '). '. '. . )

v v vv v dif v Soleil Soleilv

v

vdif v

vdif v

dF k tF S t P t d ddt

FP t d d d d

FP t d d d d

soit :

1 2 31 1. (1 (1 ). ). . (1 ). . (1 ). .v v

v v v vvv o

dF Sk A F k A F k A

dt,

2 1 41 1.(1 ). . .(1 (1 ). ). (1 ). .v v

v v v vvv o

dF Sk A F k A F k A

dt,

où vS est le flux de rayonnement parallèle (compté positivement vers le bas).

1A et 2A sont deux coefficients qui ne dépendent que de la fonction difP , donc uniquementde t .

3A et 4A quant à eux dépendent de t et de Soleil , et sont également calculés à partir de difP .

La forme de l’équation a été choisie de manière à ce que 1A , 2A , 3A et 4A soient touspositifs, et que de plus, en tenant compte du fait que les fonctions de diffusion sont normées,on ait :

232

1 2 1A A et 3 4 1A A

On peut finalement écrire l’équation pour les flux :

1 2 3( ). ( ). ( , ). (0).expvv v v Soleilv v v

v Soleil

dF tt F t F t Sdt

2 1 4( ). ( ). ( , ). (0).expvv v v Soleilv v v

v Soleil

dF tt F t F t Sdt

Ces équations, où 1 , 2 , 3 , 4 sont positifs, sont valables pour toutes les méthodes decalcul des flux. La forme des coefficients dépend des hypothèses faites sur la répartition desluminances. L’approximation d’Eddington permet uniquement un calcul simple des àpartir de difP et Soleil , et n’a aucune valeur de loi physique approchée.

On résout le système d’équations en discrétisant la coordonnée verticale en intervalles dt , àl’intérieur desquels les sont considérés comme constants. Les propriétés d’une tellecouche atmosphérique peuvent être exprimées en termes de transmission et de réflexion(rapport de l’énergie réfléchie à l’énergie entrée), pour les deux types de rayonnement, àl’aide de cinq coefficients :

1

2 4 5

3 5 4

( ) (0)0 0(0) . ( )( ) (0)

vv v

vv v

vv v

S t SrF r r r F t

r r rF t F

Ces cinq coefficients sont obtenus en intégrant le système d’équations linéaires de 0 à t .Pour ce faire, on sépare deux équations indépendantes par diagonalisation. On obtient deuxtypes de résultats, selon qu’il y a, ou non, absorption.

Si on se trouve dans le cas de la diffusion pure ( 0k ), on a 1 2 ( ) , le discriminantdu système est nul, et on a la solution :

41

1 . v

rt

, 5.

1 .v

v

trt

, 1 expSoleil

tr

2 5 4 4 1 3.( .( ) ( . 1).( )Soleilr µ r r r

3 4 1 4 5 1 3= .(( ).( ) . .( )Soleilr µ r r r r

On vérifie facilement que 4 5 1r r et que 1 2 3 3 4 3 4.( ) 1Soleilr r r A A :l’absorption est bien nulle.

233

Dans le cas général ( 0k ), si on pose 2 21 2

déf, 2

11

déf, 2

21 1

1déf, on

obtient :

2 14

2 1.exp( . ) .exp( . )v v

rt t

, 52 1

exp( . ) exp( . ).exp( . ) .exp( . )

v v

v v

t trt t

, 1 expSoleil

tr

5 1 4 2 3 4 4 1 1 3 2 4 32 2 2

.( .( . . + . . + ) ( . 1).( . . + . . ))1 .

Soleil Soleil Soleil Soleil Soleil

Soleil

r µ µ r r µ µr

4 1 1 4 2 3 4 5 1 1 3 2 4 33 2 2

.(( ).( . . + . . + ) . .( . . . . ))1 .

Soleil Soleil Soleil Soleil Soleil

Soleil

r r µ µ r r µ µr

Quand . 1Soleil , on dit qu’il y a résonance entre le rayonnement parallèle et lerayonnement diffus. La solution pour 2r et 3r devient alors :

1 3 2 4 32 5 1 4 2 3 4

2

4 1 3 1 3 2 4

. . . .1 ( .( ( . . . . ). )2

( . 1).( . . . . ). )

Soleil SoleilSoleil Soleil v

Soleil Soleil v

r r t

r r t

1 3 2 4 33 4 1 1 4 2 3 4

2

5 1 3 1 3 2 4

. . . .1 (( ).( ( . . . . ). )2

. .( . . . . ). )

Soleil SoleilSoleil Soleil v

Soleil Soleil v

r r r t

r r t

Les absorptions respectives du rayonnement diffus et du rayonnement parallèle s’obtiennenten calculant 4 51 r r et 1 2 31 r r r .

D. Intégration spectrale

a. Discrétisation du spectre

La méthode la plus simple pour passer des solutions monochromatiques au calcul des fluxréels réside dans la discrétisation du spectre en une série de domaines.

On suppose alors qu’à l’intérieur de chacun de ces domaines, l’absorption ou l’absorption etla diffusion sont neutres, c’est-à-dire que les coefficients sont indépendants de la longueurd’onde.

Il n’est pas nécessaire que ces domaines aient une continuité spectrale ; on peut se contenterde définir une répartition statistique des coefficients d’absorption et de diffusion, pondéréepar l’intensité du rayonnement solaire à la limite supérieure de l’atmosphère. En ce quiconcerne l’absorption, ceci équivaut à décomposer la fonction de transmission de l’absorbanten une somme d’exponentielles décroissantes.

234

On résout alors l’équation du transfert radiatif dans chacun des domaines, et on combinelinéairement les résultats obtenus selon les énergies correspondantes.

b. Utilisation des fonctions de transmission

Si la division du spectre est nécessaire pour une diffusion non neutre, il n’en est pas de mêmepour une absorption non neutre. On peut en effet utiliser, soit dans l’ensemble du spectre, soitdans une partie de celui-ci, la fonction d’absorption (ou de transmission), non seulementpour le rayonnement parallèle, mais également pour le rayonnement diffus. Pour cela, il fautconnaître l’épaisseur d’absorbant traversée par le rayonnement entre l’arrivée dansl’atmosphère et le point considéré, sous l’influence des diverses diffusions.

On peut calculer cette épaisseur de façon approchée en utilisant la méthode suivante.

On résout l’équation du transfert radiatif une première fois sans tenir compte de l’absorbant,et une seconde fois en supposant une absorption neutre avec un coefficient moyen. Soient 0Fet 'F , les résultats obtenus pour l’un des deux flux de rayonnement diffus en un pointquelconque. L’épaisseur optique traversée vaut :

0. ( )'abs

Ft K u LogF

Il suffit alors de multiplier 0F par la fonction de transmission de l’absorbant pour obtenir lerésultat.

0

( ) ( )0 0

( )'( ). ( ).F F

abs

FLogFF u F F

K

On notera que, pour parvenir à ce résultat, on a fait l’hypothèse que, comme dans le casmonochromatique, lorsque les effets s’ajoutent les transmissions se multiplient.

Dans le cas de plusieurs absorbants, on résout le problème sans aucun absorbant, puis avecchacun d’eux seul, et on fait le produit des transmissions.

Il ne s’agit là, bien entendu, que d’une approximation.

3. APPLICATION A LA MODELISATION

A. Le cadre d’application retenu

Pour favoriser l’assimilation des notions présentées dans le début du présent chapitre, et dansla suite directe de cette présentation, on se place ici, assez concrètement, dans la situationd’appliquer ces notions à l’élaboration d’une modélisation numérique du transfert radiatifsolaire, supposée couplée à un modèle « météorologique » d’atmosphère ; bien qu’il nes’agisse que d’une sorte de démonstration de la démarche (on reviendra au chapitre X, pluscomplètement, et avec, parfois, des options paramétriques différentes, sur la thématique de la

235

modélisation radiative), on ira jusqu’à donner des valeurs numériques utilisables dans ladéfinition du schéma évoqué (qui n’est qu’un exemple parmi bien d’autres possibles).

Pour fixer le cadre, on suppose qu’il s’agit de calculer le flux de rayonnement solaire le longd’une verticale, au niveau de la surface terrestre, à diverses altitudes, et « à l’infini », à partirde divers paramètres fournis en entrées au schéma radiatif, calculés par le modèlemétéorologique, ou prescrits, selon la nature des paramètres et/ou selon les possibilités.

A priori, la prise en compte de tous les phénomènes radiatifs étudiés jusqu’ici dans le présentcours est envisagée. Toutefois, concernant les aérosols, on décide de négliger la diffusion, etde ne prendre en compte l’absorption que là où l’absorption par la vapeur d’eau est nulle ;cette simplification trouve sa justification dans la faible influence sur les flux des phénomènesnégligés.

B. Les paramètres d’entrée du schéma radiatif

D’une façon générale, dans le cadre retenu, l’inventaire des paramètres d’entrée nécessaires àun calcul radiatif (solaire et tellurique), peut être dressé comme suit :

à chaque niveau de calcul du flux sur la verticale considérée : l’altitude, la pression, latempérature (extrapolée pour 0p ), et les épaisseurs absorbantes de vapeur d’eau, dedioxyde de carbone, d’ozone, et d’aérosols.

dans les couches séparant ces niveaux : la masse d’eau condensée et la nébulosité(supposées nulles dans la couche la plus haute).

concernant le forçage aux limites : la température de surface terrestre (lorsqu’elle estsupposée diffèrer de la température de l’air au contact de la surface), l’albédo de cettesurface, la distance zénithale du Soleil, et le coefficient saisonnier de variation de laconstante solaire.

Le calcul des épaisseurs absorbantes de vapeur d’eau et de dioxyde de carbone dépend de lastructure du modèle météorologique auquel le modèle radiatif est couplé.On suppose ici que le modèle météorologique fournit les données d’humidité, et que l’onimpose une concentration de 2CO constante (par exemple

2COr =379,1 ppm ) ; pour ces deux

absorbants, il reste donc à calculer les épaisseurs réduites (absorption forte, 1abs ), avec lesvaleurs de référence de pression 0 1000p hPa , et de température 0 250T K .

En ce qui concerne l’ozone et les aérosols, on suppose qu’ils ne sont pas contrôlés par lemodèle météorologique, et on caractérise chaque distribution par un paramètre de quantité etun paramètre d’altitude.

De façon cohérente avec ce qui a été présenté au chapitre VI (VI. 2. C. VI. 3. B.), on peutsupposer, par exemple, que l’on retient des formes du type (u en cm NTP , z en m ) :

3

3

3

1 exp( 5)( ) 0,3 .1 exp 5

4700

OO q

Oa

u z KzK

236

( ) 0,01 .exp1250

aéraér q aér

a

zt z KK

Pour l’ozone, si on utilise l’approximation de Curtis-Godson, il faut ajouter au calcul de ucelui de l’épaisseur réduite rédu , en utilisant les valeurs de référence, de pression 0p , et detempérature 0T .

C. Choix de la partition spectrale et représentation des processus

On imagine ici, par exemple, que l’on décide de diviser la partie solaire du spectre en deuxparties : dans la première, on tiendra compte de la diffusion Rayleigh, de la diffusion par lesnuages, de l’absorption par les aérosols, et de l’absorption par l’ozone ; dans la seconde, ontiendra compte de l’absorption et de la diffusion par les nuages, et de l’absorption par lavapeur d’eau et par le dioxyde de carbone.

Les diffusions, ainsi que les absorptions dues aux aérosols et aux nuages, seront considéréescomme neutres à l’intérieur de chacun des domaines. Cette hypothèse est a priori encontradiction avec la réalité physique

pour l’absorption par les gouttelettes d’eau, on y reviendra plus loin ;

et surtout, pour la diffusion par les molécules d’air. Mais l’influence de la diffusionRayleigh sur les flux est importante là où les flux sont importants, c’est à dire danstoute l’atmosphère lorsqu’il n’y a pas de nuages, et au dessus de la dernière couchenuageuse lorsqu’il y en a ; si on calcule le coefficient de diffusion de manière à ce quel’épaisseur optique pour le rayonnement direct parallèle soit la même que dans laréalité, on ne commettra des erreurs importantes que là où l’effet Rayleigh est faible.

Les absorptions par les gaz peuvent être traitées différemment entre elles.

Pour l’ozone et le dioxyde de carbone, on peut utiliser des fonctions d’absorption intégrées apriori, et un test avec absorption neutre pour le calcul de l’épaisseur absorbante.

Pour la vapeur d’eau, on peut envisager une division de la zone d’absorption en six parties, etune décomposition de la fonction de transmission en une somme d’exponentiellesdécroissantes. Par exemple (avec la valeur 21367 .F W m pour la constante solaire), ledéveloppement de la transmission relative à l’ensemble du spectre peut ainsi conduire à ( réduétant exprimé en cm ppw ):

2

( )1367 ( ) 868,08 160, 25exp( 0,013335. ) 137,26exp( 0,053333. )

85,38exp( 0,38459. ) 63,58exp( 1,977. )36,10exp( 33,574. ) 16,33exp( 381,07. )

Fréd réd rédH O

réd réd

réd réd

u u u

u uu u

Cette expression donne une idée des énergies relatives aux deux domaines spectrauxenvisagés, à savoir 2868,08 .W m (partie indépendante de rédu ), et 2498,90 .W m

237

(complément pour 0rédu ). La continuité spectrale des deux sous-domaines placerait alors laséparation vers 0,9 m ; cependant, la continuité n’est pas sous-entendue pour les divisionsde la zone d’absorption de la vapeur d’eau, les poids énergétiques des coefficientsd’absorption ayant une signification statistique. Ceci explique pourquoi, si on admet que lesabsorptions de la vapeur d’eau et des nuages sont indépendantes, on doit considérer cettedernière comme neutre.

Pour les nuages, on se contente donc de deux coefficients, en supposant que l’épaisseuroptique est la même dans les deux parties du spectre. Ces coefficients dépendent de laconcentration en eau liquide W selon les formules approchées ( K en 1cm , W en 3.g m ) :

40, 2218.10 1 exp( 6,814 )absK W

30,5143.10 1 exp( 11,399 )extK W

En tenant compte de la valeur 2868,08 .W m , et à partir de la remarque déjà faite, on peutreprésenter l’épaisseur optique de Rayleigh en fonction de deux paramètres : la pression, quireprésente la masse diffusante, et le cosinus de l’angle zénithal solaire, corrigé de la rotonditéde la Terre (même si on lui conserve ici la notation simple Soleil ).

0

0,15. (1 . )Rayleigh SoleilSoleil

pt Logp

Pour l’absorption par le dioxyde de carbone, et pour les absorptions des deux bandes de

l’ozone, on peut utiliser des fonctions approchées à trois constantes1

maxmax( ) . 1

. b

AA u Aa u

,

rendant compte de la présence d’un maximum, ainsi que de la représentation, très proche d’unensemble de droites, dans un diagramme « /Log Log », pour les faibles quantitésd’absorbant ; ainsi, concrètement ( A en 2.W m , , rédu u en cm NTP ) :

2

1

0,31477

0, 40637( ) 284,88. 10,0048828.CO réd

réd

A uu

,

3

1 1

0,44414 1,0314

0,08987 0,77221( ) 63,00. 1 541,34. 10,10832. 0,042236.OA u

u u

Pour l’ozone, le premier terme correspond bien entendu à la bande de Hartley et Huggins, lesecond à la bande de Chappuis.

Pour ce qui est des tests des calculs de l’épaisseur d’absorbant, on utilise pour valeurs descoefficients d’absorption 10,001 cm NTP pour le dioxyde de carbone, et 10,08 cm NTPpour l’ozone. Le test pour le 2CO est effectué dans le plus important des domainesd’absorption de la vapeur d’eau, c’est à dire là où le coefficient d’absorption vaut

238

10,01335 cm ppw . Les transmissions sont ensuite calculées dans les deux parties du spectreselon

2

21

498,92CO

CO

A, 3

31

868,06O

O

A

et servent à multiplier les résultats obtenus en tenant compte de tous les autres processus.

D. Détermination des flux

a. Formulation du problème, outils de traitement de la diffusion

On se place dans un des sous-domaine spectraux créés par la division choisie du spectresolaire.On se trouve ramené au problème du calcul des flux lorsque l’absorption et la diffusion sontneutres, les données étant les épaisseurs optiques et l’angle zénithal solaire.

L’énergie correspondant à la partie du spectre traitée n’entrant en ligne de compte que pour lasommation spectrale, on suppose ici, pour simplifier la formulation, le flux parallèle à l’infiniégal à l’unité.

Lorsque la diffusion intervient, il est nécessaire de connaître les coefficients 1A et 3( )SoleilAPour la diffusion Rayleigh, on constate facilement qu’en raison de la symétrie de la fonction

de diffusion, 1 312

A A .

Pour les nuages, on utilise des valeurs moyennes calculées par intégration sur l’ensemble duspectre (ce qui amène les mêmes remarque et justification que pour le coefficientd’absorption), supposées valables dans toutes les tranches spectrales, et de plus indépendantesde W . Cette dernière simplification peut être considérée comme une source d’erreur mineure,puisque l’effet principal de W se situe au niveau des épaisseurs optiques.

On obtient 1 0,874A , et une fonction 3( )SoleilA représentée sur la figure 18.

Figure 18 – Fonction 3( )SoleilA relative à la diffusion nuageuse solaire,calculée par moyenne spectrale, pour 30,1 .W g m .

239

Lorsqu’il y a au même endroit diffusion Rayleigh et nuage, on combine linéairement lesvaleurs de 1A et 3( )SoleilA , avec comme facteurs de pondération les épaisseurs optiques dediffusion respectives, qui sont ensuite additionnées pour donner une seule valeur quicaractérise, avec les nouvelles valeurs des coefficients, la diffusion totale.

b. Principe du calcul des flux

Le problème général du calcul des flux peut être résolu comme suit.

On prend comme inconnues les trois flux parallèle, montant, descendant, notés icirespectivement 1 2( ), ( ), ( )S S F F F F , en un certain nombre de niveaux de calcul, et onétablit les équations reliant ces valeurs en calculant, pour chaque couche séparant deuxniveaux, les éléments de la matrice exprimant la dépendance des flux sortants par rapport auxflux entrants (voir paragraphe 2).

Les niveaux utilisés sont la surface, l’infini, et tous les niveaux qui limitent une ou deuxcouches contenant de l’eau liquide.

A l’aide des deux conditions aux limites 21, 0S F à l’infini, 1 1 2.( )F A S F à la surface,on obtient un système de n équations linéaires à n inconnues, dont la résolution fournit lestrois flux à chacun des niveaux considérés.

Les coefficients des diverses matrices sont calculés de deux façons différentes, selon que lacouche correspondante est nuageuse ou non.

Dans le cas clair, le problème est relativement simple : s’il y a absorption et diffusion, onutilise la méthode des flux décrite au paragraphe précédent ; s’il n’y a qu’absorption, on

obtient directement 1 exp( )Soleil

tr , 4 exp( 1,66 )r t , 2 3 5 0r r r .

On aura noté l’hypothèse implicite de constance de l’albédo de la diffusion simple àl’intérieur de la couche claire (qui peut être composée de plusieurs couches du modèle, voirede toutes), dictée par souci d’économie, et sans trop d’effets importants sur les résultats.

Quand la couche du modèle est nuageuse, intervient le problème complexe et délicat de laprise en compte de la nébulosité.

L’idée la plus naturelle consiste à mener deux calculs de flux distincts pour chaque couchenuageuse, respectivement pour la partie « nuageuse » et pour la partie « claire », puis àcombiner les deux résultats selon la nébulosité. Toutefois, cette idée doit être aménagée, carelle fait implicitement l’hypothèse que les parties nuageuses dans deux couches quelconquessont statistiquement indépendantes, ce qui a pour effet indésirable de modifier les résultatspour une tranche d’atmosphère de nébulosité constante, selon que cette tranche est représentéepar une ou plusieurs couches du modèle. Il faut naturellement supprimer cet inconvénient, etrendre les résultats au maximum indépendants de la grille verticale retenue pour lamodélisation, tout en conservant l’hypothèse d’indépendance statistique pour des tranchesnuageuses séparées par une ou plusieurs couches non nuageuses. Le calcul au sein d’unecouche doit donc tenir compte des propriétés de toutes les couches nuageuses formant avecelle un ensemble nuageux continu, mais de celles là seulement.

240

On peut procéder de la manière suivante. La couche nuageuse étudiée est considérée commeélément d’un nuage homogène possédant la nébulosité, l’albédo de diffusion simple, et lescoefficients 1A et 3( )SoleilA de cette couche.L’importance relative des parties du nuage situées au-dessus et en-dessous de la coucheconsidérée est proportionnelle à la quantité d’eau liquide contenue dans les couchesnuageuses adjacentes.

On calcule alors les flux 1 2, ,S F F séparément pour la partie nuageuse, et pour la partie claire,aux limites supérieure ( s ) et inférieure ( i ) de la couche étudiée, dans trois cas :

2 1: ( ) 1, ( ) ( ) 0A S s F s F i , 2 1: ( ) ( ) 0, ( ) 1B S s F s F i , 1 2: ( ) ( ) 0, ( ) 1C S s F i F s

On combine linéairement dans chaque cas les résultats, pour les parties nuageuse et nonnuageuse, en fonction de la nébulosité. Cela revient à faire l’hypothèse que les extensionshorizontales des blocs nuageux sont très grandes par rapport à leur extension verticale, et quedonc les effets latéraux sont négligeables.

On a alors quatorze flux à déterminer (les S des cas B et C sont nuls), représentés sur lafigure 19.

Figure 19 – Géométrie du calcul des flux solaires.

Les sept coefficients caractérisant la couche nuageuse considérée obéissent donc au systèmelinéaire (dépendant de la quantité d’eau liquide située dans les couches nuageusesadjacentes) :

1

1 2 4 6 1

2 3 5 7 2

(inf, ) 0 0 (sup, )(sup, ) . (inf, )(inf, ) (sup, )

S A r S AF A r r r F AF A r r r F A

4 61 1

5 72 2

(sup, ) (inf, ).

(inf, ) (sup, )r rF B F Br rF B F B

241

4 61 1

5 72 2

(sup, ) (inf, ).

(inf, ) (sup, )r rF C F Cr rF C F C

Pour connaître tous les flux dans le sous-domaine spectral considéré, il ne reste plus qu’àcalculer les résultats pour les niveaux qui n’ont pas été utilisés dans la résolution du systèmed’équations linéaires, c’est-à-dire les niveaux qui ne limitent aucune couche nuageuse.

Lorsqu’il y a uniquement absorption dans les parties nuageuses, le problème est fort simple :il suffit de multiplier les flux, aux niveaux supérieur ( 2,S F ) et inférieur ( 1F ) les plus prochesoù ils sont connus, par les transmissions des couches situées entre ces surfaces et le niveau decalcul.

Si on note s et i les niveaux limites, et 0 le niveau de calcul,

0(0) ( ).exp( )s

Soleil

t tS S s , 1 1 0(0) ( ).exp( 1,66( ))iF F i t t , 2 2 0(0) ( ).exp( 1,66( ))sF F s t t

Lorsqu’il y a également diffusion Rayleigh, on divise la couche située entre les niveaux i ets , dont on a calculé la matrice en la supposant homogène, en deux couches égalementsupposées homogènes, situées de part et d’autre du niveau 0 , et on calcule les cinqcoefficients pour chacune de ces deux tranches : ( ), 1,...,5jr s j pour la partie au-dessus duniveau de référence, ( ), 1,...,5jr i j pour la partie au-dessous du niveau de référence.

Les trois flux cherchés sont solutions du système

1(0) ( ). ( )S r s S s

1 2 4 1 5 2(0) ( ). (0) ( ). ( ) ( ). (0)F r i S r i F i r i F

2 3 5 1 4 2(0) ( ). ( ) ( ). (0) ( ). ( )F r s S s r s F r s F s

où 1 2( ), ( ), ( )S s F i F s ont été obtenus par le calcul précédemment décrit.

c. Filtrage des ondes numériques

La décomposition de la fonction de transmission de la vapeur d’eau en une sommed’exponentielles décroissantes a l’inconvénient, comme toutes les méthodes d’interpolationpar somme de fonctions, d’engendrer des ondes numériques dans les résultats (figure 20).

Il faut donc filtrer, éliminer, celles-ci par un lissage.

Ce dernier ne doit cependant pas supprimer les ondes physiques dues à des changements dansla concentration en vapeur d’eau.

242

Le lissage doit donc se faire par rapport à la coordonnée2H Ou . On n’entrera pas ici dans le

détail d’une telle opération, a priori menée séparément pour chacun des flux 1 2, ,S F F , et enconservant les valeurs à l’infini et à la surface terrestre.

Un guide peut être de réaliser une interpolation qui donne à l’absorption une forme

1(0)( ) (0). 1. b

AA u Aa u

.

Figure 20 – Exemple d’ondes numériques sur un profil du taux de chauffage simulé,et de leur suppression par lissage.

On peut se demander pourquoi on utilise d’abord une décomposition spectrale coûteuse pourrevenir ensuite à une seule fonction d’absorption ; la réponse est que, en dehors du cas d’uneatmosphère sans nuages, pour lequel l’objection est fondée, il n’existe pas d’autre démarchepour bien représenter les transmissions et les réflexions des nuages, et leurs effets combinésavec ceux de l’albédo de la surface terrestre.

243

IX. LE RAYONNEMENT TELLURIQUE

(« DE GRANDES LONGUEURS D’ONDE »)

Ce chapitre propose un zoom sur la partie tellurique du rayonnement à l’œuvre enmétéorologie dynamique.

Dans cette gamme spectrale des grandes longueurs d’onde, il affine d’abord l’investigationphysique des processus d’interaction entre atmosphère et rayonnement, puis il évoquequelques considérations mathématiques relatives à la résolution de l’équation du transfertradiatif. Enfin, il ébauche un scénario possible d’application des connaissances ainsiacquises à la modélisation numérique du transfert radiatif tellurique.

1. CONSIDERATIONS PHYSIQUES

A. Répartition spectrale et intensité de l’effet des divers agents radiatifs

a. Généralités

Contrairement au cas du rayonnement de petites longueurs d’onde, les sources telluriques,situées dans l’atmosphère et à la surface, n’ont pas de spectre bien défini a priori, puisquel’émission est proportionnelle à celle du corps noir, et dépend donc de la température, et biensûr de la nature de l’émetteur. Il ne pourra donc être question de définir des fonctionsd’absorption ou d’extinction, absolues ou relatives.

On se contentera d’étudier la répartition des coefficients en fonction de la longueur d’onde.

b. Les gaz

La figure 1 représente les trois absorptions gazeuses principales, ainsi que la répartition del’énergie du rayonnement du corps noir à 250 K , soit à la température caractéristique dusystème Terre-Atmosphère.

La vapeur d’eau est l’absorbant principal dans le domaine spectral considéré, c’est à dire audelà de 5 m . Elle y présente une absorption continue, mais on distingue cependant troisrégions :

la bande de vibration-rotation à 6,3 m , qui s’étend de 4,5 m à environ 8 m ;

la bande d’absorption par rotation des molécules, qui débute à 12 13 m et s’étendjusqu’aux longueurs d’onde millimétriques ;

244

la « fenêtre atmosphérique », domaine d’absorption relativement faible, s’étendantentre 8 m et 13 m , et dans lequel l’atmosphère est presque transparente (sauf encas d’absence d’humidité, c’est la seule partie du spectre dans laquelle le rayonnementpeut se propager à grande distance sans disparaître aussitôt après son émission, ce quipermet en particulier les télémesures de température).

Le rôle radiatif de la fenêtre est important aussi parce que c’est dans cette zone que se situe lemaximum d’émission du corps noir aux températures atmosphériques.La fenêtre n’est cependant pas exempte d’absorption : le 2CO , les CFC, le CH4, l’ozone, yprésentent des bandes d’absorption faibles, mais non sans efficacité, compte tenu de laproximité du maximum d’émission ; mais le principal absorbant y reste la vapeur d’eau elle-même, à travers la superposition des ailes des bandes situées de part et d’autre de la fenêtre.

Figure 1 – Représentation schématique de l’absorption/émission dans la zone spectraletellurique ; (a) : principales bandes d’absorption (b) : émission du corps noir à 250 K .

245

Le dioxyde de carbone possède dans le domaine étudié une seule bande d’absorption, situéeentre 13,0 m et 17,6 m , avec maximum à 15 m .

L’effet de cette bande est important, à cause de son intensité, et du fait qu’elle est située à latransition entre la fenêtre et la bande de rotation, c’est-à-dire dans un domaine d’absorptionmoyenne pour la vapeur d’eau.

Mais la grande variation des coefficients pour cette dernière rend très difficile l’étude desrecouvrements des absorptions.

L’ozone présente une bande de rotation centrée à 9,6 m , donc au centre de la fenêtreatmosphérique, et s’étendant de 9,0 m à 10,3 m .

L’influence de cette absorption est surtout due au fait qu’elle est située dans la fenêtre. Maiscelle-ci opère surtout dans la stratosphère, et en définitive son influence sur le flux descendantdans la basse troposphère est négligeable.

On peut remarquer que les intensités maximales des absorptions de la vapeur d’eau et dudioxyde de carbone sont sensiblement les mêmes dans le domaine solaire et dans le domainetellurique, et que le maximum de la bande à 9,6 m de l’ozone est logarithmiquement à peuprès à mi-chemin entre ceux des bandes de Hartley-Huggins et de Chappuis.

La figure 2 présente l’allure des flux telluriques verticaux, à diverses altitudes, par ciel clair,et permet de se faire une idée des influences des absorptions et émissions des gaz sur lerayonnement tellurique.

Figure 2. a – Allure du flux radiatif tellurique ascendant, par ciel clair,à différents niveaux de pression (repérés en hPa sur les courbes).

246

Figure 2. b – Allure du flux radiatif tellurique descendant, par ciel clair,à différents niveaux de pression ( repérés en hPa sur les courbes).

On peut facilement retrouver sur les différentes courbes les bandes d’absorption du dioxydede carbone et de l’ozone, et la fenêtre. On peut également constater les différences dans lalocalisation en altitude des effets des trois absorbants.

Dans le premier cas (a), l’absorption-émission se traduit par une diminution du flux dans sadirection de propagation, puisque l’émission a lieu à une température moindre que latempérature d’émission du rayonnement absorbé, et dans le second cas (b), on a le phénomèneinverse. Pour le flux total on ne peut rien dire a priori.

c. Les particules

Pour les aérosols, les remarques faites pour les petites longueurs d’onde au chapitre VIII(VIII. 1. C. g.) restent valables. Il faut cependant noter que la dépendance de l’extinction parrapport à la longueur d’onde est beaucoup plus faible, que l’absorption et l’extinction sont dumême ordre de grandeur (l’absorption étant pratiquement la même que pour les petiteslongueurs d’onde), et que la diffusion est beaucoup moins concentrée vers l’avant.Il faut également remarquer que les aérosols n’ont une influence significative sur les flux quedans la fenêtre. En effet, en dehors des cas de sécheresse absolue, l’effet des aérosols estailleurs « masqué » par celui, beaucoup plus important, de la vapeur d’eau. Ce phénomèneexiste également, bien que de façon moins marquée, dans la zone solaire du spectre au delà de1 m .

Pour ce qui concerne les nuages, on se contente ici de représenter graphiquement les résultatsdu même exemple qu’au chapitre VIII (VIII. 1. C. f.), les commentaires alors présentésrestant tous valables.

247

Figure 3 - Exemples de coefficients volumiques d’extinction et de diffusion telluriquedes nuages.

Figure 4 - Exemple de fonction de diffusion nuageuse à 10 m(coordonnées polaires, axe horizontal –angle de diffusion zéro- selon la direction incidente,

échelle logarithmique pour les rayons).

248

Comme dans le cas des petites longueurs d’onde, les coefficients d’extinction et d’absorptionaugmentent avec la densité de l’eau liquide, mais pas proportionnellement. Il faut cependantremarquer qu’ici, contrairement au cas solaire, le rapport de l’absorption à l’extinctiondiminue lorsque W augmente, comme le montre la figure 5.

Figure 5 - Variation des coefficients volumiques d’extinction et d’absorption nuageusestelluriques, en fonction de la densité en eau liquide du nuage.

B. Pouvoir émetteur de la surface

On renvoie au chapitre VII pour ce qui concerne le rôle radiatif de la surface.

Comme on l’a déjà noté dans ce chapitre, la surface se comportant en général pratiquementcomme un corps noir aux grandes longueurs d’onde, on préfère parler, dans ce domainespectral, de son pouvoir émetteur, sous la forme de l’émissivité (considérée le plus souventcomme approximativement le complément à 1 de l’albédo), plutôt que de l’albédo même.

D’autre part, en dehors de la fenêtre, le flux incident et le flux émis sont du même ordre degrandeur, ce qui fait que l’erreur commise si on néglige l’albédo est très faible.

Il en va bien sûr autrement dans la fenêtre, où il est impératif de connaître la valeur dupouvoir émetteur. Celle-ci est beaucoup plus stable que dans le cas du rayonnement solaire, àcause de la quasi-isotropie du rayonnement incident.

Comme ordres de grandeur pour l’émissivité, on peut retenir 0,093 pour la surfaceocéanique, 0,9 0,99 pour la surface continentale, 0,997 pour la surface enneigée.

La dépendance par rapport à la longueur d’onde est négligeable à l’intérieur de la fenêtre.

249

2. APPROCHE MATHEMATIQUE

A. Forme générale de l’ETR dans le domaine spectral tellurique

Dans le cas des grandes longueurs d’onde, seul subsiste le rayonnement diffus, mais lessources sont maintenant situées dans l’atmosphère même.

Comme l’émission des sources est isotrope, et comme on a fait l’hypothèse de l’homogénéitéhorizontale de l’atmosphère, le rayonnement possède une symétrie axiale autour de laverticale, et la dépendance de l’ETR par rapport à la variable angulaire azimutale disparaît.

L’ETR récapitulée à la fin du chapitre III (III. 3. A.) s’applique ainsi sous la forme générale

1

' 1

( , ) 1 ( ). ( , ) . ( ; , '). ( , '). ' ( ). ( )2

v v v vdifv v v

v

I t k tI t P t I t d k t B tt

,

où

2

0

1 . ( ; ,0, ', '). '2

déf

dif dif vP P t d ,

et où la dépendance en vt de la fonction d’émission de Planck vient de la seule température :on a noté ( ) ( )v vB t B T t .

Une autre particularité du domaine spectral tellurique réside dans le fait que l’on peut souvent(c’est-à-dire hors de quelques cas particuliers) y négliger, en première approximation, ladiffusion. Une conséquence est que l’on y travaille en général avec la fonction detransmission (en version « luminances » ( )

, ( )I t , ou en version « flux » ( ) ( )F t ),plutôt qu’avec l’épaisseur optique vt elle même.

B. Absorption monochromatique

a. Intégration formelle de l’ETR

En l’absence de diffusion ( 1k ), l’ETR « tellurique » s’écrit sous la forme simplifiée :

( , ). ( , ) ( )v vv v

v

I t I t B Tt

.

Cette équation s’intègre formellement

250

en s’intéressant d’abord à l’équation traditionnellement dite « sans second membre »( , ). ( , ) 0v v

v vv

I t I tt

, dont la solution est ( , ) .expv vtI t C ;

en mettant ensuite en oeuvre la méthode de « variation de la constante C », qui fournit

. .exp( ) ( )v

tC B tt

, donc 0( ) .exp( ).B t tC C dt .

Au final, si l’on tient compte d’une condition à la limite donnée (lim)( , )vI t , la solution est

(lim)

(lim) ' '(lim) '( , ) ( , ).exp( ) ( ). exp( ).

t

v v vt

t t t t dtI t I t B t

Pour la condition à la limite, deux configurations sont à envisager :

si 0 , la limite est marquée par la surface terrestre, d’émissivité ,surf ; avec

,', , , , ,. . (1 ).

défsurf

surf surf surf surf surf

FB B ,

la solution est, ' '

,' ', ,( , ) . .exp( ). ( ). exp( ).

surftsurf

v surf surfvt

t t t t dtI t B B t

si 0 , la limite est marquée par le sommet du domaine atmosphérique que l’onétudie :

( )

( ) ' '( ) '( , ) ( , ).exp( ) ( ). exp( ).

sommet

tsommetsommet

v vvt

t t t t dtI t I t B t ;

si le domaine atmosphérique est l’atmosphère entière, ( ) (" ")( , ) ( , ) 0sommetv vI t I t ,

et la solution est' '

'

0

( , ) ( ). exp( ).t

vv

t t dtI t B t

b. Interprétation physique

La signification physique de ces résultats est simple.

Les intégrales contribuant à la luminance au point courant y décrivent la somme des

rayonnements émis par chaque couche atmosphérique, en quantité ( ). dtB T , et absorbés par

la tranche d’atmosphère située entre le point d’émission et le point courant ; à cette somme

251

s’ajoute, dans le premier cas, le produit du rayonnement partant de la surface par latransmission entre surface et point courant.

c. Expression en termes de transmission de luminances

Si l’on introduit la fonction de transmission « de luminances »

( ), ( ) exp( )

défI tt ,

les résultats peuvent encore s’écrire (dans le cas de l’atmosphère entière) sous la forme

, ( ) ',' ( ) ' '

, , , , '

( )( , ) . . ( ) ( ). .

surft II

v surf surf surfvt

d t tI t B t t B t dt

dt

( ) ',' '

'0

( )( , ) ( ). .

t I

vv

d t tI t B t dt

dt

Une intégration par parties permet d’obtenir la seconde forme usuelle du transfert radiatifpour le rayonnement tellurique en l’absence de diffusion :

, '' ( ) ( ) ' '

, , , , , ,'

( )( , ) . ( ) . ( ) ( ) . ( ).surft

I Iv surf surf surf surfv

t

dB tI t B B t t t B t t t dtdt

'( ) ( ) ' '

, ,'0

( )( , ) ( ) (0). ( ) . ( ).t

I Ivv

dB tI t B t B t t t dtdt

Ces formules n’ont pas de signification physique évidente, mais elles prennent des formessimples dans certains cas, par exemple :

le cas où la surface peut être assimilée à un corps noir, et supposée à la mêmetempérature que l’air à son contact : le premier terme de l’expression de vI disparaîtet

, '( ) ' '

,'

( )( , ) ( ) . ( ).surft

Ivv

t

dB tI t B t t t dtdt

le cas où existe entre le niveau courant et, soit la surface, soit le sommet del’atmosphère, une couche isotherme d’épaisseur optique infinie : les transmissions au

delà de cette couche sont nulles, et à l’intérieur de la couche on a 0dBdt

, donc

, '( ) ' '

,'

( )( , ) ( ) . ( ).nt

Ivv

t

dB tI t B t t t dtdt

ou

252

,

'( ) ' '

,'

( )( , ) ( ) . ( ).n

tI

vvt

dB tI t B t t t dtdt

où n désigne la limite de la couche isotherme située du coté du niveau courant.

En comparant ces résultats, il apparaît qu’une couche isotherme d’épaisseur optique infinie estéquivalente à un corps noir à la température de l’air situé à sa limite du coté où l’on étudie lerayonnement qui en provient.

d. Détermination des flux

Pour un calcul simple des flux, l’approximation d’Eddington s’impose tout naturellement,puisque toutes les sources de rayonnement émettent de façon isotrope. Mais ceci ne signifiepas que ce moyen de calcul soit plus rigoureux que dans le cas du rayonnement solaire,l’absorption détruisant ici aussi l’isotropie.

Sous cette approximation, on obtient sous la première forme

, ( ) '' ( ) ' '

, , , '

( )( ) . . . ( ) . ( ). .surft F

Fv surf surf surfv

t

d t tF t B t t B t dtdt

( ) '' '

'0

( )( ) . ( ). .t F

vv

d t tF t B t dtdt

,

où l’on peut prendre pour la transmission « de flux »

( )3( ) 2 ( ) exp( 1,66 )F t E t t

La forme 32 E ne présente toutefois pas les mêmes inconvénients que dans le cas durayonnement solaire, puisque le calcul des flux nécessite de toute façon une intégration, qui,sauf cas exceptionnels, ne peut être réalisée que numériquement.

Elle est donc assez souvent conservée tout au long des calculs, et, dans le cas ci-dessus, on a

( )3

2'

( ' ) 2 ( ' ) 2 ( ' )Fd t t dE t t E t t

dt dt

avec

2 21

exp( . )( ) .déf tE t d .

On peut également réaliser une intégration par parties pour le calcul des flux.

Les résultats se déduisent, comme précédemment, des expressions pour les luminances, enmultipliant les fonctions de Planck par , et en remplaçant ( )

,I par ( )F .

253

C. Diffusion et absorption monochromatiques

Lorsque la diffusion est prise en compte, comme dans le cas du rayonnement solaire, il existedeux types de solutions : par une méthode exacte, et par calcul direct des flux.

Dans le premier cas, la difficulté de choisir une première approximation rend les méthodesitératives moins intéressantes que les méthodes directes. La complication introduite par laprésence du terme de rayonnement propre est compensée par la disparition de la variable ,laquelle amène une diminution notable du rang du système d’équations.On porte ici plutôt l’accent sur la méthode des flux, utilisant l’approximation d’Eddington.

On rappelle que l’équation du transfert radiatif s’écrit, dans le cas du rayonnement tellurique :

1

' 1

( , ) 1 ( ). ( , ) . ( ; , '). ( , '). ' ( ). ( )2

v v v vdifv v v

v

I t k tI t P t I t d k t B tt

,

où

2

0

1 . ( ; ,0, ', '). '2

déf

dif dif vP P t d ,

et où vt et k sont calculés pour la somme des coefficients d’extinction et d’absorption desdifférents corps radiativement actifs présents.

L’intégration peut être conduite comme pour le rayonnement de courtes longueurs d’onde(VIII. 2. C.).

1 1

0 ' 0

1 0

0 ' 1

( ). ( )

( )1 ( ) . . ( ; , '). '.2 2

( ). ( ; , '). '.

2

( ). . ( )

vvvv

v

vv v vdif v

vvdif v

F tF t

t

F tk t P t d d

F tP t d d

k t B t

0 1

1 ' 0

0 0

1 ' 1

( ). ( )

( )1 ( ) . . ( ; , '). '.2 2

( ). ( ; , '). '.

2

( ). . ( )

vvvv

v

vv v vdif v

vvdif v

F tF t

t

F tk t P t d d

F tP t d d

k t B t

254

soit

1 2

( ) 1 1. 1 (1 ). . ( ) .(1 ). . ( ) . . ( )vvv v vv v

v

F t kk A F t k A F t B tt

2 1

( ) 1 1.(1 ). . ( ) . 1 (1 ). . ( ) . . ( )vvv v vv v

v

F t kk A F t k A F t B tt

Comme pour le rayonnement solaire, on a 1,66 , et 1 2 1A A , 1A et 2A étant tous deux

positifs, et fonctions du seul t , par l’intermédiaire de difP .

La forme simplifiée de l’équation pour les flux est donc

1 2 3

( )( ). ( ) ( ). ( ) ( ). . ( )vv

v v v v v vv vv

F tt F t t F t t B t

t

2 1 3

( )( ). ( ) ( ). ( ) ( ). . ( )vv

v v v v v vv vv

F tt F t t F t t B t

t

La résolution de ce système, par décomposition en intervalles dt au sein desquels les troiscoefficients positifs 1 , 2 , 3 sont supposés constants, nécessite toutefois une hypothèsesupplémentaire.

Il est en effet nécessaire de donner une expression analytique de la fonction ( )B t . Commeon ne connaît souvent ( )B t qu’aux extrémités des intervalles de calcul, et pour conserveraux équations leur caractère de linéarité, la solution la plus simple consiste à supposer que Bdépend linéairement de t :

'0 1( ) .B t B B t

La résolution du système par diagonalisation montre alors que l’on peut, grâce à cettesimplification, exprimer les résultats sous forme matricielle, comme pour le rayonnementsolaire.

Si l’on pose

'' 1

0 11 2 1 2

( ) ( ) .( . ) ( ) .( )( ).

déf

v v vv v vv

dBBF t F t B B t F t Bd t

,

'' 1

0 11 2 1 2

( ) ( ) .( . ) ( ) .( )( ).

déf

v v vv v vv

dBBF t F t B B t F t Bd t

,

on obtient les termes de transmission et de réflexion pour les F :

255

4 5

5 4

(0) ( ).

( ) (0)v v

v v

r rF F tr rF t F

Les deux coefficients positifs 4r et 5r ont la même signification que dans le cas durayonnement de petites longueurs d’onde, et se calculent de la même façon à partir de 1 et

2 , c’est-à-dire,

si 0k : 41

1 .r

t, 5

.1 .

trt

, avec 1 2

si 0k : 2 14

2 1.exp( . ) .exp( . )r

t t, 5

2 1

exp( . ) exp( . ).exp( . ) .exp( . )

t trt t

,

avec1/ 22 2

1 2

déf, 2

11

déf, 2

21 1

1déf

D. Simplifications pour les nuages et pour la surface

Dans certaines parties du spectre, l’absorption dans les nuages est extrêmement forte, à causeà la fois des gouttelettes d’eau et de la vapeur d’eau. On peut alors considérer qu’un nuagepeut être idéalisé par une couche d’épaisseur optique infinie.

Sans diffusion et isotherme, le nuage serait équivalent à un corps noir.Dans le cas 1k , les résultats établis ci-dessus deviennent, pour t :

0dBdt

,

( ) ( ) .v vv vF t F t B , ( ) ( ) .v vv vF t F t B , 4 0r , 5 12

1r .

Les flux sortant du nuage s’expriment alors

1 1(0) . ( (0)).(1 ) . ( (0))v vF B T F T

1 1( ) . ( ( )).(1 ) . ( ( ))v vF t B T t F T t

Le nuage se comporte donc comme un corps solide de pouvoir émetteur 11 . Le calculmontre que 1 prend des valeurs très petites, et n’atteint, dans le meilleur des cas, qu’environ0,1 .

D’autre part, au voisinage des nuages et de la surface, les absorbants vapeur d’eau et dioxydede carbone sont en général abondants. Dans les zones spectrales où l’absorption est forte, les

256

deux flux vF et vF sont donc du même ordre de grandeur à la limite des nuages ou de lasurface, et l’on a pratiquement .vF B .

Sauf cas particulier, on peut donc remplacer, en dehors de la fenêtre, la surface et les nuagespar des corps noirs, ce qui évite d’avoir à prendre en compte la diffusion par les gouttelettesd’eau.

Cette simplification est souvent étendue à l’ensemble du spectre.

E. Intégration spectrale

Comme dans le cas du rayonnement solaire, la méthode la plus simple pour calculer les fluxtotaux consiste à diviser le spectre du rayonnement tellurique en une somme de domaines àl’intérieur desquels la diffusion et l’absorption peuvent être considérées comme neutres.

Mais cette façon de procéder est très lourde, et très coûteuse en calcul.

Lorsque la diffusion est absente, on ne peut en principe pas définir de fonction detransmission intégrée, puisque la répartition spectrale des luminances dépend de latempérature.

En se rapportant à la forme prise par les deux types d’équations pour le calcul des flux enl’absence de diffusion, on définit cependant des fonctions de transmission à deux paramètres,pour chaque absorbant, selon

( )

( )

( ). ( ).( , )

( ).

F

F

B T u du T

B T d

et

( )

( )

( ) . ( ).( , ) ( ) .

Fdéf

F

dB T u ddT

u T dB T ddT

,

désignant le domaine spectral considéré.

Ces deux fonctions sont fort différentes en ce qui concerne la dépendance par rapport à T , la

forme de la fonction ( )B variant davantage avec la température que celle de ( )dB TdT

, comme

le montre la figure 6.

Les fonctions ( )F dépendent donc sensiblement de T , alors que les ( )F peuvent être enpremière approximation considérées comme des fonctions de la seule variable u .

257

Figure 6 – Les deux types de fonction d’intégration pour les transmissions de flux tellurique.

Ces fonctions d’une seule variable sont représentées pour les trois absorbants gazeux sur lafigure 7.

Les domaines d’intégration vont de 0 à l’infini pour 2H O , de 12,2 m à 18,52 m pour

2CO , de 8,85 m à 10,31 m pour 3O .

Les épaisseurs d’absorbants sont exprimées en cm ppw pour la vapeur d’eau, et en cm NTPpour le dioxyde de carbone et l’ozone.

Les fonctions de transmission sont toutes trois calculées avec réduction totale ( 1), c’est-à-dire en considérant les absorptions comme fortes.

A la place des transmissions moyennes ainsi introduites, on utilise souvent leurs compléments

à 1, appelés « émissivités », soit ( ) ( )( , ) 1 ( , )déf

F Fu T u T , et ( ) ( )( , ) 1 ( , )déf

F Fu T u T .

Les manières d’utiliser les fonctions moyennes ainsi introduites sont fort nombreuses :

il y a, comme déjà indiqué, deux types de formules : selon que la transmission, ou sa

dérivée, est multipliée par B , ou par dBdT

, on utilise ou ;

ces fonctions sont soit à un, soit à deux paramètres ;

258

lorsqu’on utilise la représentation à deux paramètres, le problème est de choisir latempérature entrant dans la fonction de transmission : on peut choisir la températuredu point courant, c’est-à-dire celle qui entre dans le calcul de B , ou la température dupoint auquel on calcule les flux, ou encore n’importe quelle température moyennereprésentative de la tranche d’atmosphère comprise entre ces deux niveaux.

Le choix des méthodes fait une large part à l’empirisme.

Figure 7 – Fonctions de transmissions pour les flux(a) : vapeur d’eau ; (b) : 2CO dans la bande à 15 m ; (c) : 3O dans la bande à 9,6 m .

Lorsque plusieurs absorbants agissent en même temps, on fait la même approximation quedans le cas des courtes longueurs d’onde : la transmission est le produit des transmissionsindividuelles.En raison de l’incertitude sur le choix des fonctions de transmission, cette simplificationsemble encore moins valable que pour le rayonnement solaire, mais elle souvent la seulepossible.

Quand il n’y a pas seulement absorption, mais qu’il y a également diffusion, il est plusdifficile que dans le cas du rayonnement solaire d’évaluer une épaisseur d’absorbanttraversée, puisque les sources ici sont multiples.

On peut toutefois y parvenir en faisant des calculs fictivement isothermes.

259

En général, dans le domaine des grandes longueurs d’onde, on supprime l’effet de ladiffusion, en la supposant négligeable en dehors des nuages, ces derniers étant par ailleurstraités comme des corps noirs.

3. APPLICATION A LA MODELISATION

A. Le cadre d’application retenu

La démarche de ce paragraphe est la même, pour le rayonnement tellurique, que celle duparagraphe VIII. 3. vis-à-vis du rayonnement solaire.

Il s’agit, à des fins d’assimilation des notions présentées dans le début du présent chapitre, etdans la suite directe de cette présentation, d’esquisser, assez concrètement (jusqu’à lafourniture de valeurs numériques), une application de ces notions à l’élaboration d’unemodélisation numérique du transfert radiatif tellurique, supposée couplée à un modèle« météorologique » d’atmosphère ; on rappelle que l’on reviendra ensuite au chapitre X, pluscomplètement, sur la thématique de la modélisation radiative.

On suppose de nouveau qu’il s’agit de calculer le flux de rayonnement, tellurique cette fois, lelong d’une verticale, au niveau de la surface terrestre, à diverses altitudes, et « à l’infini », àpartir de divers paramètres fournis en entrées au schéma radiatif, calculés par le modèlemétéorologique, ou prescrits, selon la nature des paramètres et/ou selon les possibilités.

A priori, la prise en compte de tous les phénomènes radiatifs étudiés jusqu’ici dans le présentcours est envisagée. Toutefois, concernant les aérosols, on décide de négliger la diffusion, etde ne prendre en compte l’absorption que dans la fenêtre ; cette simplification trouve sajustification dans la faible influence sur les flux des phénomènes négligés.

On renvoie au paragraphe VIII.3. pour l’inventaire des paramètres d’entrée du schémaradiatif, et pour la façon dont ils peuvent être fournis à ce dernier dans le cadre del’application pédagogique envisagée.

On suppose ici que l’on réalise un premier calcul en considérant que la surface et les nuagessont des corps noirs à toutes longueurs d’onde, lequel est ensuite corrigé par un calculcomplémentaire s’affranchissant de cette hypothèse.

B. Division spectrale et choix des fonctions

Pour tenir compte des recouvrements entre les diverses absorptions, on considère quatre sous-domaines d’intégration spectrale :

(I) le spectre tellurique complet ;(II) le domaine d’absorption du dioxyde de carbone, de 1 (correspondant au nombre

d’onde 1567 cm ) à 12 (767 )cm ;

(III) la fenêtre, de 2 à 15 (1200 )cm ;

(IV) le domaine d’absorption de l’ozone, de 13 (970 )cm à 1

4 (1110 )cm ;

260

On définit les fonctions de transmission de la vapeur d’eau dans (I), (II) et (III), du dioxyde decarbone dans (II), de l’ozone dans (IV), des aérosols dans (III).

Les fonctions pour la vapeur d’eau et pour les aérosols dans (III) correspondent à desabsorptions neutres, et restent donc valables dans (IV). On simplifie le calcul des intégrales dela fonction de Planck dans les domaines (II), (III), et (IV), en assimilant celui-ci à lamultiplication de la valeur au centre par la largeur du domaine.

On obtient alors la formule de calcul suivante pour les flux :

2

2

( ) '(lim)4 ( ) '4 '

lim lim '0

( )(0) . . . ( (lim)) . . .

réd IuH O rédI

H O réd rédréd

uF T u T du

u

2 2

2

2 2 2

2

( ) ( ) ( )2 1 lim lim

( ) ' ( ) '(lim)'( ) '

'0

( ).[ . . ( ). ( (lim)). ( (lim))

( ). ( ). ( ). . ]

COréd

II II IIH O réd H O réd

II IIuH O réd H O réd COII

rédCOréd

B T u u

u uB T du

u

2

2

( ) ( ) ( )5 2 lim lim

( ) ' ( ) '(lim)( ) ' '

'0

( ).[ . . ( ). ( (lim)). ( (lim))

( ). ( ). ( ). . ]

III III IIIH O réd aér

III IIItH O réd aérIII

B T u t

u tB T dt

t

2 3

2 3

( ) ( ) ( ) ( )4 3 lim lim

( ) ' ( ) ' ( ) ' '(lim)( ) ' '

'0

( ).[ . . ( ). ( (lim)). ( (lim)). ( (lim), (lim))

( ). ( ). ( (1), ). ( ). . ]

IV III III IVH O réd aér O réd

III III IVuH O réd aér O rédIV

B T u t u u

u t u uB T du

u

« 0 » représente le niveau de calcul, « lim » la limite du domaine d’intégration, lim étantégal à 1 si cette limite est la surface ou un nuage, et 0 s’il s’agit de l’infini.

Les transmissions et les émissions ne dépendent que des épaisseurs absorbantes, et pas de latempérature, et sont naturellement relatives aux flux (le facteur 1,66 , et la fonction 3E , y sontdéjà pris en compte).

A l’intérieur de la fenêtre, les fonctions de transmission ont des formulations découlantdirectement de la théorie :

2

( ) ( ) exp( 0,166 )IIIH O réd rédu u ,

( ) ( ) exp( 1,66 )IIIaér rédt u ,

et

3

2( ) ( , ) exp( 4,4 . 1 3,37 1)IV rédO réd

réd

u uu uu u

Il en est de même pour la transmission par la vapeur d’eau dans le domaine d’absorption dudioxyde de carbone :

261

2

( ) ( ) exp( 0,615 )IIH O réd rédu u

Pour les deux absorptions les plus importantes, celle de la vapeur d’eau dans l’ensemble duspectre, et celle du dioxyde de carbone, on peut choisir empiriquement les fonctionsd’émissivité, en calant leurs coefficients sur les résultats obtenus, pour un certain nombred’atmosphères type, par des méthodes à résolution spectrale plus fine.Les formes retenues peuvent être polynômiales, en rédu pour les faibles quantitésd’absorbant, en ( )rédLog u pour les grandes quantités d’absorbant (avec naturellement lalimite de 1 à ne pas dépasser).De plus, pour la vapeur d’eau, il faut définir des fonctions différentes selon que l’on considèrele flux montant, ou le flux descendant.

Une formulation possible est ainsi la suivante

2

4

14

( ) (max)

0(max)

. , 0,001

. ( ) , 0,001

1,

i

i réd rédi

iIH O i réd réd réd

i

réd réd

a u u cm ppw

b Log u cm ppw u u

u u

2

3

13

( ) (max)

0(max)

. , 0,01

. ( ) , 0,01

1,

i

i réd rédi

iIICO i réd réd réd

i

réd réd

a u u cm NTP

b Log u cm NTP u u

u u

avec,

* pour la vapeur d’eau et le flux F :

1 2 3 412,292; 1069,7; 40483; 504860a a a a

0 1 2 3 40,6039; 0,15134; 0,028234; 0,00410631; 0,000238083b b b b b(max) 6,16717rédu cm ppw

* pour la vapeur d’eau et le flux F :

1 2 3 48,321; 194,8; 4674; 55103a a a a

0 1 2 3 40,6554; 0,1213; 0,01552; 0,001856; 0,000094297b b b b b(max) 8, 25807rédu cm ppw

* pour le dioxyde de carbone :1 2 31,6087; 3,265; 1,5822a a a

262

0 1 2 30,74103; 0,19632; 0,00821; 0,0011834b b b b(max) 3,54113rédu cm NTP

C. Méthodes d’intégration

Le seul problème restant à ce stade est le calcul des intégrales figurant dans l’expression desflux ; selon l’importance du terme à calculer, on peut choisir des méthodes de précisionsdifférentes, comme on l’illustre ici.

Pour le terme correspondant à la vapeur d’eau dans tout le spectre, on peut utiliser uneintégration analytique exacte, si l’on suppose que, dans chaque couche atmosphérique pourlaquelle on connaît T et rédu aux deux extrémités, la dépendance entre les deux paramètres

est linéaire : on a alors à intégrer des fonctions du type .ij

réd rédu u et . ( ) ijréd rédu Log u ; il

faut de plus avoir un niveau supplémentaire pour 0,001rédu cm ppw , et éventuellement unautre pour (lim)

réd rédu u si cette valeur est atteinte dans l’atmosphère, la température en cespoints étant calculée par interpolation linéaire en rédu .

Pour le calcul du terme concernant le dioxyde de carbone, on peut supposer également desdépendances linéaires entre T , 2( )H O

rédu et 2( )COrédu . Il n’est pas possible dans ce cas de donner

une formulation explicite de l’intégrale, mais on peut connaître en n’importe quel point lavaleur de l’intégrant, et celle de sa dérivée par rapport à la variable d’intégration : on peutdonc réaliser un encadrement de l’intégrale par les tangentes et les sécantes, et, à l’aided’interpolations successives, donner à cet encadrement n’importe quel degré de précision fixéà l’avance.

Pour les termes moins importants concernant les aérosols et l’ozone, on peut utiliser une seuletempérature dans chaque couche (la moyenne des températures aux extrémités), et unedifférence à la place du terme de dérivée.

D. Calcul complémentaire dans la fenêtre

Si on veut tenir compte de l’importance des couches nuageuses, c’est-à-dire de leur contenuen eau condensée, et surtout de leur nébulosité, il est nécessaire de ne plus supposer que cesont des corps noirs. Néanmoins, cette modification n’est nécessaire qu’à l’intérieur de lafenêtre, car elle n’aurait ailleurs pratiquement aucune influence sur les résultats, en raison del’effet prépondérant de la vapeur d’eau, dont la quantité ne dépend pas, ou que peu, descaractéristiques nuageuses.

Le principe selon lequel les flux sont calculés à l’intérieur de la fenêtre peut être le même quecelui développé pour une tranche spectrale dans le domaine solaire ; on renvoie auparagraphe VIII.3. pour l’exposé de la méthode. On peut utiliser les mêmes niveauxprincipaux, un système d’équations linéaires pour calculer les flux à ces niveaux, et un calculauxiliaire pour les flux restants ; la différence principale tient au fait que les équationsmatricielles ne relient pas les flux eux-mêmes, mais ceux-ci diminués d’une certaine quantité.

Pour les couches nuageuses, on commence par calculer a priori les termes à soustraire auxflux.

263

La difficulté provient de la partie en1 2(( ). )

Bt

. On ne combine pas linéairement les

termes obtenus dans la partie nuageuse et dans la partie non nuageuse, mais, au contraire, ondérive B par rapport à la combinaison linéaire, suivant la nébulosité, des 1 2( ).t . Laprise en compte ultérieure de la nébulosité dans le calcul des coefficients matriciels desdiverses couches se fait exactement comme dans le cas solaire déjà décrit.

Les propriétés physiques des nuages peuvent être calculées à partir de données comme

30,2702.10 .(1 exp( 4,406 ))absK W

20, 2092.10 .(1 exp( 1,007 ))extK W

1 0,832A

Pour les absorptions autres que celles des gouttelettes d’eau, la seule à ne pas être neutre estcelle de l’ozone. On peut utiliser, à l’intérieur des couches nuageuses, une absorption neutreéquivalente, étendue à l’ensemble de la fenêtre, calculée par rapport aux épaisseurs optiquesnon réduites, avec le coefficient 11, 232 cm NTP (sans correction par le facteur 1,66 ).

Dans les parties non nuageuses, pour calculer les coefficients matriciels, on utilise lesquantités à soustraire aux flux aux limites des nuages, et, pour les flux aux niveauxintermédiaires, les résultats des calculs conduits avec l’hypothèse noire pour les nuages.Chaque flux calculé suivant la méthode décrite précédemment est en effet divisé en deuxparties. La première partie comprend les flux à l’extérieur de la fenêtre et la partie des fluxdans la fenêtre qui provient des termes intégraux ; cette partie est indépendante des propriétésdes nuages, et reste invariante. La deuxième partie est le produit du flux à la limite d’unnuage, ou à la surface terrestre, par une transmission qu’on suppose rester invariante.

A l’aide des méthodes décrites ici pour les couches nuageuses et non nuageuses, on obtient unsystème linéaire dont les solutions sont déterminées par la donnée des conditions aux limites,soit par exemple 0F à l’infini, ( )

5 2( ). . IIF B à la surface (qui demeure donc alorsun corps noir).

264

X. CONCEPTION D’UN MODELE DE TRANSFERT RADIATIF,UN EXEMPLE

Ce chapitre se met en position d’appliquer les acquis des chapitres précédents, dans unedémarche synthétique de modélisation du transfert radiatif au sein de l’atmosphère.

Le parti-pris adopté est d’isoler un exemple particulier de modélisation radiative, dansl’esprit, non de faire une description complètement opérationnelle des expressions etméthodes mises en œuvre, mais plutôt de suggérer la complexité du passage de la théorie à lapratique, de faire toucher du doigt les principaux problèmes, et d’introduire des solutionspossibles.Il ne s’agit donc aucunement de présenter un panorama des possibilités ou réalisations, ni un« état de l’art », en matière de modélisation radiative, ce qui serait probablement hors sujetdans un ouvrage qui se veut purement pédagogique. Du reste, quelques pistes différentes oucomplémentaires d’options présentées dans le présent chapitre ont pu être évoquées au fil desprécédents chapitres (particulièrement dans les chapitres VIII et IX).

On a choisi de présenter ici, à un certain stade de son évolution, un schéma radiatif éprouvé,aux origines déjà anciennes, mais qui a traversé le temps avec un certain succès, et se trouveaujourd’hui largement utilisé dans la communauté des sciences de l’atmosphère : le schémaradiatif opérationnel du Centre Européen pour les Prévisions Météorologiques à MoyenTerme (CEPMMT).

Plus précisément, avec l’aimable autorisation de la direction du CEPMMT et de l’auteur, laprésentation s’appuie de très près, pour l’essentiel (et pour les figures), sur la synthèserédigée en mars 2000 par Jean-Jacques Morcrette (et publiée comme note « MeteorologicalTraining Course Lecture Series » du CEPMMT en 2002), et dans laquelle on trouvera toutesréférences pertinentes quant aux origines de ce schéma, et aux contributions à sondéveloppement.

1. MISE EN CONTEXTE DU SCHEMA RADIATIF EXEMPLE

A. Le schéma radiatif comme composante physique d’un modèle atmosphérique

Comme annoncé dans le chapeau de présentation ci-dessus, ce chapitre d’illustration sepropose de décrire les grandes lignes de l’intégralité d’un schéma radiatif réellement mis enœuvre ; plus précisément c’est le schéma radiatif utilisé opérationnellement au CEPMMT quiest ici retenu.

Ce schéma comporte plusieurs versions, développées au fil des années depuis la création duCEPMMT ; on s’arrête ici, l’objectif étant uniquement pédagogique, à une version biendocumentée, mais qui n’est pas la plus évoluée, à savoir la version présentée par Jean-Jacques

265

Morcrette en 2002 dans la note des « Meteorological Training Course Lecture Series » duCEPMMT, intitulée « Radiation transfer, march 2000 » (http://www.ecmwf.int).

Le schéma choisi est aujourd’hui utilisé dans plusieurs types de modèles atmosphériques, d’échelles spatiales et temporelles très diverses, depuis la méso-échelle jusqu’à l’échelle climatique. On se limite, dans l’évocation illustrative ici présentée, à son seul couplage « historique » avec le modèle opérationnel « de grande échelle » du CEPMMT, dans une version qui traite de façon pronostique le cycle de l’eau, mais pas les aérosols ni les gaz traces.

Enfin, toujours dans le même esprit, on ne retient dans la présentation que la prise en compte des agents radiatifs atmosphériques qui ont été effectivement traités jusqu’ ici dans le présent cours (vapeur d’eau, dioxyde de carbone, ozone, hydrométéores et aérosols), même si certaines versions du schéma retenu en introduisent d’autres (méthane, oxyde nitreux, certains CFC, …).

On se trouve ici dans un cadre d’application où le schéma radiatif constitue une composante de la physique (partie « diabatique ») d’un modèle de simulation de l’atmosphère (par exemple de prévision numérique du temps).

En général, dans ce contexte, le programme maître de l’ensemble, qui orchestre l’ intervention des autres modules, est la partie « dynamique » du modèle, qui, en gros, intègre les équations « adiabatiques » de conservation de la masse, de la quantité de mouvement, et de l’énergie. Chaque processus physique, dont le processus radiatif, est traité par un programme autonome, qui emprunte au reste du modèle ses paramètres d’entrée, et lui restitue en échange les paramètres physiques dont il est responsable (les tendances radiatives de température dans le cas du schéma radiatif).

Par commodité sémantique, dans ce cas où la loupe est mise sur la composante radiative, on appellera ici « modèle météorologique » tout ce qui n’est pas le schéma radiatif dans le modèle d’atmosphère complet considéré.

B. Couplage du schéma radiatif au modèle météorologique

On fait ici l’ impasse sur les questions liées aux discrétisations spatiale et temporelle, et au schéma d’ intégration des équations.

On retient seulement que les paramètres principaux du modèle sont estimés à chaque pas de temps, sur chaque verticale du modèle, aux points de grille « principaux », représentatifs d’un ensemble discret de couchesN « couches atmosphériques » ; ces couches du modèle sont séparées par des niveaux interfaces, représentés par les points de grille « secondaires ».

Tous les points de grille sont caractérisés par leur pression, depuis la surface terrestre du modèle (pression surfp ) jusqu’au sommet du modèle (pression p , qui peut être nulle si l’on

identifie ce sommet au sommet de l’atmosphère). La pression de surface surfp est elle-même

une variable évolutive de la partie dynamique du modèle météorologique.

Dans cette représentation discrète de l’atmosphère que prend en compte le modèle, les « colonnes d’air », déterminées autour de chaque verticale par l’emprise horizontale de la

266

maille, sont traitées indépendamment du point de vue radiatif, et sur la verticale les fluxradiatifs sont exprimés aux niveaux de séparation des couches.

Pour des raisons physiques, le schéma radiatif est parfois amené à considérer desregroupements continus de couches du modèle sur la verticale, qu’on appellera ici « tranchesd’atmosphère », en fonction d’un paramètre d’homogénéité comme la nébulosité (l’entitéphysique « nuage » pouvant s’étendre verticalement sur plusieurs « couches » du modèle,définies pour leur part assez artificiellement sur la base de critères plutôt techniques).

Dans le cas développé ici en exemple, les paramètres d’entrée du schéma radiatif sont lesvaleurs aux points de grille pertinents (obtenues le cas échéant après interpolation) de latempérature, de l’humidité spécifique, des teneurs en eau liquide et en glace, de la nébulosité(tous paramètres calculés par le modèle météorologique), et de valeurs climatologiques pourles teneurs en aérosols, en dioxyde de carbone, en ozone (paramètres non explicitement traitéspar la version ici retenue du modèle météorologique).Ces paramètres permettent en principe l’accès aux propriétés radiatives de chaque couche,comme, par exemple, les épaisseurs absorbantes ou les « paramètres de Mie ».

Le schéma radiatif nécessite également des informations aux frontières du modèlemétéorologique, en particulier à la surface terrestre (température de la surface, caractéristiquesde réflectivité, comme l’albédo), ainsi que des caractéristiques astronomiques comme ladistance zénithale du Soleil, le coefficient saisonnier de variation de la constante solaire, …

Dans un modèle météorologique en coordonnée verticale pression, le produit pertinent délivrépar le schéma de rayonnement est le taux de chauffage (algébrique) radiatif

.radiatif p

dT g Fdt C p

,

où le flux radiatif F est déterminé à chaque niveau de calcul du flux comme somme du fluxradiatif « solaire » et du flux radiatif « tellurique » : ( ) ( )solaire telluriqueF F F ( pC est la chaleurspécifique à pression constante de l’air humide).

C. Contraintes liées au coût des calculs radiatifs

La base théorique de calcul de chacun des flux radiatifs est l’ETR dans le domaine spectralpertinent, mais le coût très important des calculs radiatifs pèse fortement sur les optionspossibles de traitement de cette équation :

d’une part, la dépendance en longueurs d’onde au sein de chaque domaine spectraldoit être traitée par une discrétisation, en un nombre généralement très limité de sous-domaines spectraux ou « bandes »,

d’autre part, la géométrie du problème doit être réduite par le recours à des cadressimplifiés du type « approximation à deux flux » ou « d’Eddington »,

enfin, les processus d’interaction entre matière et rayonnement doivent souvent êtretraités de manière très approchée, par des simplifications ad-hoc des mécanismesphysiques réels.

267

Par ailleurs, idéalement, le rôle dévolu au schéma radiatif devrait être le calcul du flux derayonnement, à chaque pas de temps du modèle météorologique, et, pour chaque verticale, auniveau de la surface terrestre, en tous points de grille, et au sommet du modèlemétéorologique ; mais en réalité, toujours en raison de l’importance du coût des calculs derayonnement, certaines simplifications sont, par nécessité, introduites dans la procédured’appel et de fonctionnement du schéma radiatif :

le schéma radiatif n’est pas appelé à chaque pas de temps du modèle météorologique,mais de façon intermittente, avec une périodicité multiple du pas de temps du modèlemétéorologique (toutes les trois heures pour le modèle de grande échelle duCEPMMT, dont le pas de temps est typiquement de quelques dizaines de minutes -toutes les heures en phase initiale d’assimilation des données, soit sur les douzepremières heures-).

Une telle attitude est, a priori, rendue possible par la différence de l’ordre de grandeurdes temps caractéristiques d’influence, du rayonnement d’une part, et des autresprocessus, d’autre part.

Le principe, pour un pas de temps quelconque du modèle météorologique, est alorsd’estimer les flux radiatifs à partir de leurs valeurs calculées lors du dernier appel duschéma radiatif : par exemple, les flux telluriques peuvent être conservés en l’état, lesflux solaires peuvent être ré-estimés en fonction de l’angle zénithal actualisé du Soleil(plus précisément, le flux solaire ( )solaireF en tout point de grille peut être obtenu aupas de temps courant en multipliant le flux solaire actualisé au sommet del’atmosphère, soit ( )solaireF , une donnée astronomique, par la transmissivité

( )

( )

solaire

solairesr

FF

déterminée lors du dernier appel du schéma radiatif).

les flux radiatifs ne sont pas calculés par le schéma radiatif à tous les niveauxpossibles d’une verticale donnée, mais seulement sur une sous-grille, a prioridépendante de la localisation géographique (évoluant par exemple de 100 % despoints aux pôles vers 25 % aux tropiques), et du type de modèle météorologique (il ya plusieurs façons de définir une telle configuration) ; ils sont en fait restitués ensuitepar une procédure d’interpolation sur l’ensemble de la grille du modèlemétéorologique (il y a plusieurs façons de définir les procédures d’interpolation enentrée comme en sortie du schéma radiatif).

Même avec de telles simplifications, le schéma radiatif reste en général le processus physiquele plus consommateur en temps de calcul du modèle atmosphérique complet (de l’ordre de15 % dans le cas du modèle de grande échelle du CEPMMT, et du schéma radiatif iciprésenté).

Or, si les échantillonnages temporel et spatial ainsi mis en œuvre dans l’application duschéma radiatif apparaissent acceptables aux courtes et moyennes échéances (au moins surune dizaine de jours) et aux hautes résolutions spatiales, la comparaison avec des simulationsdans lesquelles ils ne sont pas utilisés montre que, aux échéances allongées (par exemplesaisonnières) et/ou avec de basses résolutions spatiales, ils peuvent introduire de sérieux

268

artefacts dans la représentation de certaines caractéristiques météorologiquementsignificatives de l’atmosphère.

L’exploration d’alternatives, permettant de renforcer le réalisme et la robustesse du traitementradiatif à des coûts de calcul acceptables (comme des approches neuronales, ou« linéarisées », …) reste donc une réelle préoccupation pour les spécialistes de la modélisationradiative.

D. Données physiques et climatologiques requises par le schéma radiatif

a. De quelles données s’agit-il ?

Outre des paramètres reliés plus ou moins directement aux variables principales dontl’évolution est explicitement traitée par le modèle météorologique, le schéma radiatif requiertdes données qui doivent lui être prescrites a priori : il s’agit, d’une part, de données physiquesrelatives à l’apport énergétique solaire, ainsi qu’aux frontières du modèle (surtout à la surfaceterrestre) et, d’autre part, de données descriptives des agents radiatifs atmosphériques nontraités explicitement par le modèle météorologique (dans l’exemple ici retenu : aérosols,dioxyde de carbone, ozone).

b. Caractéristiques astronomiques relatives au flux solaire

Ce sont des formules astronomiques classiques qui permettent de déterminer la variationtemporelle du flux solaire incident au sommet de l’atmosphère, la déclinaison du Soleil, ladifférence entre temps solaire et temps officiel, donc notamment, en tout lieu et à tout instantde la simulation, toutes les caractéristiques géométriques solaires, et en particulier la valeur desurface ,Soleil surf du paramètre Soleil .

Pour ce paramètre clef Soleil , comme expliqué au chapitre VIII (VIII. 2. A.), on tientcompte de la courbure de la Terre, et de la variation associée de la direction de la verticale lelong d’un rayon lumineux, en utilisant en réalité une valeur « moyenne » Soleil

représentative de l’ensemble de l’atmosphère, du type

2, ,

1

796 0,002514Soleil

Soleil surf Soleil surf

.

c. Caractéristiques radiatives de la surface

i. Albédo solaire

D’une façon générale, la valeur de l’albédo solaire de la surface est a priori différentiée entreparties « visible » et « proche infrarouge » du spectre solaire.

Sur sol continental non enneigé, l’albédo solaire est restitué sur la grille du modèlemétéorologique à partir de cartes mensuelles d’albédo « climatologique » (moyennes sur unedizaine d’années). Le modèle affecte les valeurs mensuelles au 15 du mois, et assurel’évolution temporelle de l’albédo par interpolation linéaire temporelle.

269

L’albédo de la neige « exposée » varie exponentiellement avec l’âge de celle-ci, de 0,85pour la neige fraîche (avec ré-initialisation à cette valeur après une chute de neige d’au moins

11 .mm h ), à 0,50 pour la neige ancienne. Pour la neige « protégée », sous-jacente à unevégétation élevée, une valeur de 0,15 est adoptée.

Sur surface marine libre, l’albédo « diffus » est fixé à 0,06 , l’albédo « parallèle » est pris égal

à 1,4,

0,0371,1 0,15Soleil surf

.

Pour les étendues de glace, l’albédo et son évolution temporelle sont déterminés à partir devaleurs mensuelles de la littérature, relatives à l’océan arctique (de 0,38 en période de fonte à0,84 en présence de neige sèche).

ii. Emissivité tellurique

Hors de la fenêtre 1 1800 ,1250cm cm , l’émissivité de la surface est uniformément fixée à0,99 .Dans la fenêtre, l’émissivité est constante pour les surfaces d’eau libre ( 0,99), de glace demer ( 0,98), de neige « exposée » ( 0,98), d’interception par la végétation ( 0,96), etdésertiques ( 0,93 ) ; ailleurs elle décroît linéairement en fonction du contenu en eau du sol, de0,96 à la capacité au champ (et au dessus), à 0,93 au point de flétrissement permanent (et audessous).

d. Aérosols

Les caractéristiques des aérosols nécessaires au schéma radiatif sont fournies à ce dernier surles bases climatologiques que l’on peut trouver dans la littérature spécialisée, par exemplesous la forme

du cycle annuel moyen pour quatre grandes classes d’aérosols : continental, marin,désertique, urbain, distribués- géographiquement, pour chaque classe, avec un maximum (max)

atmt d’épaisseur optiqueatmosphérique totale atmt centré sur les zones de production correspondantes

(respectivement sol non englacé - (max) 0, 2continental atmt -, plein océan - (max) 0,05marin atmt -,

déserts - (max) 1,9désert atmt -, zones industrialisées - (max) 0,1urbain atmt -), et un filtre horizontal bi-gaussien de quelques milliers de kilomètres, pour assurer les recouvrements ; la figure1 (haut) donne une idée de la répartition annuelle utilisée, dans le cas particulier del’aérosol marin ;- verticalement selon des fonctions de profil prescrites par classe, ou parregroupements de classes (figure 1 (bas)) ;

de teneurs en aérosols de fond, troposphériques et stratosphériques, bien mélangésgéographiquement comme verticalement, d’épaisseurs optiques totales (max) 0,03tropo atmt

et (max) 0,045strato atmt respectivement.

270

Figure 1 - Répartition des aérosols utilisée dans le schéma radiatif du CEPMMT.En haut: exemple de la distribution géographique annuelle

de l’épaisseur optique relative (max)atm

atm

tt

de l’aérosol marin, pour lequel (max) 0,05atmt .

En bas : fonctions de profil vertical utilisées pour les différentes classes d’aérosols.(c’est le complément à 1 de la fonction relative aux aérosols de fond stratosphériques

qui est utilisé pour les aérosols de fond troposphériques).

271

La prise en compte correcte des aérosols est très difficile, mais il est aujourd’hui admis quec’est un ingrédient essentiel de la qualité d’un schéma radiatif ; la solution satisfaisante à ceproblème réside probablement dans un traitement pronostique des aérosols par le modèled’atmosphère.

e. Gaz traces

i. Dioxyde de carbone

La concentration en dioxyde de carbone est en général prescrite comme uniformegéographiquement et verticalement, égale à sa valeur « climatologique », ou à la valeurobservée annuellement (on rappelle que cette dernière, publiée par l’OMM, est de 379,1 ppmen 2005).

ii. Ozone

La concentration en ozone peut être prescrite comme fonction de l’altitude, de la latitude et dela longitude, et du mois (ou de la saison), la dépendance verticale étant par exemple du type

3

3

3

3/ 2( )

1

OO

O

au z

bp

,

les « constantes »3Oa et

3Ob étant reliées en chaque lieu géographique (comme expliqué àl’occasion d’une formulation analogue au chapitre VI -VI. 2. C.-), aux valeurs observées,respectivement, de la quantité totale d’ozone, et de l’altitude du maximum de la distributionverticale de concentration.

2. TRAITEMENT DU DOMAINE SPECTRAL SOLAIRE

A. Survol introductif

Dans le domaine spectral solaire ( )solaire , pour lequel la source est extérieure au milieutraité, il est commode de travailler plutôt en coordonnée verticale « épaisseur optique ».

La diffusion doit être prise en compte.

Sous les seules hypothèses de quasi-stationnarité et de quasi-homogénéité horizontale del’atmosphère, on rappelle que les grandeurs solaires spectrales « diffuse » ( , , )v vI t , et« directe » (ou « parallèle ») ( , , )S t sont régies par les équations :

272

,

2 1

,' 0 ' 1

( , , ). ( , , )

1 ( ) . (0).exp . ( ; , , , )4

( ; , , ', '). ( , ', '). '. '

{

}

v vv v

v

v vdif v Soleil Soleil

Soleil

dif v

I t I tt

k t tS P t

P t I t d d

( , , ) (0).exp{ }. ( ' ). ( ' )Dirac Soleil Dirac SoleilSoleil

tS t S

A partir de la solution en vI de l’ETR, le flux radiatif solaire au niveau de pression p estaccessible formellement par :

( )

2 1( )

0 1

( ) ( ( ), , ). . . .solaire

solaireF p I t p d d d .

L’indice « ( )solaire » sera implicite dans la suite du présent paragraphe.

Pour calculer concrètement le flux solaire, la version retenue du schéma radiatif du CEPMMT

divise le domaine spectral solaire en deux sous-domaines disjoints;

adopte une représentation à deux paramètres énergétiques, de type Eddington (corrigée« en delta » le cas échéant) ;

s’appuie, pour le traitement des interactions entre diffusion et absorption, sur uneméthode de « distribution du chemin photonique ».

Ces points font l’objet du présent paragraphe.

Le schéma radiatif présenté fait souvent appel à des réflectivités a et à des transmissivités ;celles-ci sont implicitement, dans ce paragraphe, toujours relatives aux flux solaires, et onomettra de leur affecter l’indice « ( )F » (pour « flux »), parfois de mise, dans les chapitresprécédents, pour éviter la confusion avec d’autres définitions possibles de ces grandeurs.

B. Discrétisation spectrale

La version ici décrite du schéma radiatif du CEPMMT considère que le domaine spectralsolaire peut se décrire en longueurs d’onde par l’intervalle 0, 2 4,0m m , etpartage ce domaine en deux sous-domaines disjoints ( )k traités « en bloc » du point de vuespectral, soit concrètement en

(1) 0, 2 0,68m m , sous-domaine « visible » ;

273

(2) 0,68 4,0m m , sous-domaine « infra-rouge ».

Le choix de cette partition simple repose

sur l’intérêt de retenir des sous-domaines spectraux au sein desquels la réflectivité dela surface est peu variable, et, en lien avec ce critère, sur le saut de réflectivité de lavégétation, assez brutal, à la limite visible/infrarouge ;

sur la quasi-absence d’absorption de la vapeur d’eau en dessous de 0,68 m , et sur leconfinement possible des interactions entre diffusion et absorption à un seul sous-domaine spectral, concrètement ( 0,68 4,0m m ).

C. Traitement de l’interaction entre diffusion et absorption

a. Principe de la méthode de distribution du chemin photonique

Lorsque diffusion et absorption sont toutes deux non négligeables, la présence de diffusion nepermet pas la connaissance a priori de la quantité d’absorbant rencontrée par les photons lelong de leur trajet, ni en conséquence la possibilité d’utiliser directement des fonctions detransmission « de bande ».

Le schéma radiatif ici présenté s’appuie, pour résoudre cette difficulté, sur la notionpréliminaire de « distribution du chemin photonique », c’est-à-dire sur la distribution deprobabilité Pr( )u de la quantité d’absorbant u rencontrée par un photon en l’absenced’absorption.

Le flux spectral F est alors relié au flux spectral en l’absence d’absorption ( )non absF par

( )

0

. Pr( ).exp( . ).non absF F u K u du ,

et le flux moyenné sur le sous-domaine spectral peut se calculer par

( )

0

1 . . . Pr( ). ( ).non absF F d F u u du

( )u désignant une fonction de transmission de flux de la bande.

Quant à la fonction Pr( )u , elle peut être estimée par transformation de Laplace inverse d’un

ensemble de fluxiKF , solutions du problème de diffusion, pour un jeu arbitraire iK de

coefficients d’absorption K .

La régularité des fonctions obtenues par une telle méthode garantit de bons résultats surl’estimation des flux, même si la fonction de probabilité elle-même n’est pas connue avec unetrès grande précision.

274

Les cas limites d’absorption sont intéressants, et lorsqu’on peut s’y ramener (par exemple,pour la vapeur d’eau, l’absorption est en général forte), il n’y a pas besoin de calculerréellement Pr( )u :

en absorption faible,Pr( )( ) . ( )

unon absF F u ,

en absorption forte,Pr( )

( ) . ( )u

non absF F u ,

où la moyenne au sens de Pr( )u est évidemment définie parPr( )

0

( ) ( ).Pr( ).défu

u u u du .

b. Détermination, pour les gaz, des quantités d’absorbant et de la transmission

En pratique, pour la vapeur d’eau et les gaz bien mélangés, le schéma radiatif du CEPMMT

détermine une quantité d’absorbant effective effu , intermédiaire entrePr( )u

u etPr( )u

u , par

( )

1 . effKeff non abs

eff

Fu Log

K F, où

1

. ( )total totaleff

Soleil Soleil

u uK Log est un coefficient

d’absorption effectif, décrivant globalement la transmission de l’atmosphère claire moyennéesur la bande spectrale considérée, totalu étant évidemment la quantité totale d’absorbant dansla colonne verticale.

Pour l’ozone, présent surtout aux basses pressions, où les diffusions de Rayleigh et de Miesont faibles, le schéma néglige les interactions entre absorption et diffusion, et considèrecomme quantité d’absorbant :

pour le rayonnement parallèle (descendant) :3 33

0

2

35 .1 1224

O OOpSoleil

u u du , le

facteur devant l’intégrale étant destiné à prendre en compte la sphéricité de la Terreaux faibles élévations du soleil ;

pour le rayonnement diffus (ascendant) :3 33 3

0

1,66 ( )surf

O O surfO Op

u u du u p .

Dans les deux cas, pour des raisons d’efficacité de calcul, la fonction de transmission retenueest représentée par un développement de Padé, du type

( ) 1

0

( ) 1

0

.( )

.

i Ni

iij N

jj

j

a uu

b u,

et sa valeur est calculée avec effu u pour la vapeur d’eau et les gaz bien mélangés, avec

3Ou u pour l’ozone.

275

D. Traitement de l’eau nuageuse et de la nébulosité

a. Intégration verticale tenant compte de la nébulosité

i. Problématique

Les questions posées par la prise en compte de la nébulosité, lorsque des couches du modèlesont nuageuses, ont été introduites et commentées au chapitre VII (VIII. 3. D. b.).

Il s’agit notamment d’assurer, autant que faire se peut, l’indépendance des résultats par rapport à lagrille verticale retenue pour la modélisation, tout en conservant l’hypothèse d’indépendance statistiquepour des tranches nuageuses séparées par une ou plusieurs couches non nuageuses ; le calcul au seind’une couche doit tenir compte des propriétés de toutes les couches nuageuses qui forment avec elleun ensemble nuageux continu, mais uniquement de celles-là.

ii. Détermination des flux

On considère donc que, de ce point de vue, l’atmosphère du modèle est divisée en tranchesNtranches homogènes (toutes les couches de la tranche sont claires, ou au contraire nuageuses,et les tranches du dessous et du dessus sont dans l’autre catégorie).

Les flux à une interface ( )j sont alors déterminés par :

( ) . ( )tranchesk N

basek j

F j F k

( ) ( ). ( 1)sommetF j F j a j

où ( )base k et ( )sommeta k sont, respectivement, la transmission à la base, et la réflectivité ausommet, de la tranche ( )k , et où F désigne le flux solaire descendant, incident au sommetde l’atmosphère du modèle.

Soit atmNéb la fraction nuageuse de l’atmosphère, vue de la surface ou du « sommet del’atmosphère » du modèle, et ( )Néb k la fraction nuageuse (nébulosité) de la tranche ( )k .

Le calcul des base (resp. des sommeta ) se conduit de haut en bas à partir du sommet del’atmosphère (resp. de bas en haut à partir de la surface), et tient compte des nébulosités destranches, soit (en laissant ici tomber la dépendance par rapport à l’indice ( )k de la tranche) :

( ) ( ). 1 .nuageux clairbase base baseNéb Néb

( ) ( ). 1 .nuageux clairsommet sommet sommeta Néb a Néb a

La détermination des transmissivité et réflectivité, respectivement nuageuses ( ( )nuageuxbase et

( )nuageuxsommeta ), et claires ( ( )clair

base et ( )clairsommeta ), est l’objet des deux sous-paragraphes suivants.

276

iii. Retour sur la notion de nébulosité

La nébulosité d’une tranche homogène, claire ou nuageuse, est un ingrédient déterminant du calculdes flux. Une telle tranche est composée de plusieurs couches du modèle. Dans chaque couche, lanébulosité est définie de façon unique, il s’agit de la fraction horizontale de la couche occupée parl’eau condensée (sur la verticale, le modèle considère que toute la couche est nuageuse, la nébulositévolumique s’identifie donc à la nébulosité « classique » horizontale).

S’il n’y a aucune ambiguïté pour une tranche claire, qui a naturellement, comme toutes ses couchescomposantes, une nébulosité nulle, il y a en revanche plusieurs façons de définir la nébulosité d’unetranche nuageuse à partir des nébulosité de ses couches : la question se pose donc de savoir laquelleretenir, et quelle est la robustesse du schéma par rapport à un tel choix.

Si la tranche considérée est composée de couchesN couches, les définitions de la nébulosité lesplus utilisées en modélisation atmosphérique résultent des hypothèses de recouvrement

« maximum » :1

max ( )couchesi N

tranche iNéb Néb i

« aléatoire » :1

1 1 ( )couchesi N

tranchei

Néb Néb i

« aléatoire maximum » :1

1

1 max ( ), ( 1)1

1 ( 1)

couchesi N

tranchei

Néb i Néb iNéb

Néb i

Les tests du CEPMMT préliminaires à la mise en fonction du couple « modèlemétéorologique, schéma radiatif » de l’exemple ici décrit ont montré que les trois hypothèsesne généraient pas des écarts majeurs dans l’efficacité du schéma radiatif, et ont conduit auchoix de l’hypothèse de recouvrement aléatoire maximum.

Des études ultérieures ont toutefois mis en évidence, dans certaines configurations demodélisation, une sensibilité non négligeable du chauffage radiatif, et du cycle hydrologique,à l’hypothèse de recouvrement adoptée, ainsi que l’importance de la cohérence deshypothèses de recouvrement nuageux utilisées dans le schéma radiatif et dans le schéma detraitement des précipitations.

b. Traitement de la fraction nuageuse

i. Ingrédients du calcul

Le schéma radiatif du CEPMMT calcule ( )nuageuxbase et ( )nuageux

sommeta , pour chaque tranche ( )j , viaune estimation de flux sous l’approximation d’Eddington corrigée « en delta » (précisée plusbas), de facteurs de diffusivité 1 , en fonction :

de l’épaisseur optique totale de la tranche nuage aér gazt t t t , somme des épaisseursoptiques nuaget , aért , gazt pour le nuage, les aérosols, et l’absorption gazeuse ;

277

de l’albédo simple de diffusion de la tranche nuage aér

nuage aér gaz

t tt t t

;

du facteur d’asymétrie total de la diffusion . .nuage aérnuage aér

nuage aér nuage aér

t tg g gt t t t

,

nuageg et aérg désignant bien sûr les facteurs d’asymétrie de la diffusion par le nuage,et les aérosols, respectivement ;

de la réflectivité sous ja du milieu sous-jacent (surface terrestre ou tranches sous latranche considérée) ;

d’une valeur effective ( )eff j du paramètre zénithal , tenant compte de ladécroissance du rayon solaire direct, et de la croissance de la partie diffuse durayonnement descendant, lors de la traversée des tranches supérieures :

11 ( ) ( )

( ) eff effeff

Soleil

Néb j Néb jj

où la nébulosité effective totale au dessus de la tranche ( )j considérée est donnée par

1

( ) 1 1 ( ). ( )tranchesi N

effi j

Néb j Néb i E i

avec

21 . ( ) . ( )( ) 1 exp nuage nuage nuage

Soleil

g i t iE i

ii. Approximation d’Eddington corrigée « en delta »

L’approximation d’Eddington a été évoquée à plusieurs reprises dans le présent cours ; onrevient sur sa déduction, pour la version utilisée dans le cadre de la modélisation ici présentée,qui traite avec plus de précision la fraction de rayonnement directement transmise versl’avant, dans le cas de fonctions de diffusion très asymétriques.

On repart ici du résultat trouvé au chapitre IV ; pour simplifier les notations, on laisse tomberles attributs de notation relatifs à la moyenne en azimut et à la dépendance spectrale, on note

l’albédo de la diffusion simple, et1

1

1 ( ).cos( ). cos( )2 dif dif dif difg P d l’asymétrie de la

fonction de phase de la diffusion ( 1 k , et ,1 2 difg p , dans les notations duchapitre IV).

278

Supposant une dépendance linéaire en de la luminance intégrée en azimut, soit

0 1( , ) ( ) . ( )I t I t I t , et développant la fonction de diffusion intégrée en azimut à l’ordre 1en polynômes de Legendre, soit : ( ; , ') 1 3 ( ). . 'dif EP t g t , le point de départ en partiesolaire du spectre est donc le système exhibé au chapitre IV (IV. 1. B. c. iv.) :

01

3 . .1 . . . (0).exp4

E SoleilE

Soleil

I g tg I St

10

33(1 ). . (0).exp4 Soleil

I tI St

0 12.( )3

F I I

0 12.( )3

F I I

Le système croisé d’équations du premier ordre en 0I , 1I peut facilement se ramener à unsystème séparé :

220

0 02 . .expSoleil

I tIt

221

1 12 . .expSoleil

I tIt

où

1/ 23(1 ).(1 . )déf

Eg ,

03 . (0) . 1 .(1 )

4

déf

ES g ,

2

11 3(1 ). .3 . (0) .

4

défE Soleil

Soleil

gS

La solution de ce système est

2

0 0 2 2( ) .exp( . ) .exp( . ) . .exp( ). 1

Soleil

Soleil Soleil

tI t C t C t

2

1 1 2 2( ) . .exp( . ) .exp( . ) . .exp( )1 . . 1

Soleil

E Soleil Soleil

tI t C t C tg

où les constantes C et C sont déterminées par les conditions aux limites,

279

- au sommet de l’atmosphère, soit (0) 0F ,

- à la base de la tranche, soit ( ) . ( ) . . (0).expdiffus direct SoleilSoleil

tF t a F t a S .

L’approximation d’Eddington donne en général des résultats acceptables pour des couches deforte épaisseur optique, mais se trouve en défaut pour des couches optiquement fines enprésence d’une absorption significative : la fonction de diffusion des particulesatmosphériques présente un pic aigu vers l’avant, un trait que la fonction de diffusion à labase de l’approximation classique d’Eddington ne rend pas.

Pour remédier à cette insuffisance, l’approximation d’Eddington aménagée, dite « en delta »,modélise plus finement la dépendance en de la fonction de diffusion par la somme d’une« masse de Dirac » ( Dirac ) et d’une fonction linéaire :

( )( , ') ( , ') 2 . ( ') (1 ).(1 3 . . ')déf

Edif dif P Dirac P EP P f f g

où Pf désigne la fraction d’énergie diffusée vers l’avant (au voisinage de 0dif , donc de' ) par la diffusion particulaire réelle, et Pg désigne l’asymétrie de cette même

fonction de diffusion, tronquée toutefois de la diffusion vers l’avant.

La pondération en Pf et 1 Pf assure la normalisation à 1 de cette fonction, et l’identité desfacteurs d’asymétrie entre fonction réelle et approximation d’Eddington « en delta » implique

que1

P PP

P

g fgf

.

Enfin, l’identification du moment d’ordre 2 de l’approximation « Eddington en delta », aumême moment de l’approximation plus sophistiquée de la fonction de diffusion réelle,

0(cos ) (cos ) (2 1). . (cos )

l

dif dif HG dif P difP P g PL (dite « de Henyey-Greenstein », et

faisant intervenir les polynômes de Legendre), conduit à

2P Pf g ,

1P

PP

ggg

.

Les comparaisons avec des méthodes plus sophistiquées et plus exactes attribuent à laméthode « d’Eddington en delta » des erreurs moyenne et maximum, sur les flux, de l’ordrede 0,5 % et 2,5 % respectivement.

On peut montrer que les solutions des équations d’Eddington originales restent valides pour lafonction d’Eddington « en delta », à condition de remplacer l’épaisseur optique, l’albédo de ladiffusion simple, et le facteur d’asymétrie par leurs valeurs « corrigées » :

' (1 . ).Pt f t , (1 ).'1 .

P

P

ff

, '1

P

P

ggg

280

Concrètement, le schéma radiatif du CEPMMT met en œuvre cette substitution dans toutes lesformulations du présent sous-paragraphe, issues de l’approximation d’Eddington, qui fontintervenir l’épaisseur optique, l’albédo de la diffusion simple, et le facteur d’asymétrie.

iii. Propriétés radiatives des nuages

Le schéma radiatif a besoin de données sur les propriétés radiatives nuaget , nuageg , nuage desnuages dans le spectre solaire ; celles-ci sont en général postulées empiriquement sur la basede campagnes de mesures. Voici des exemples possibles, dans le cas du schéma radiatif duCEPMMT :

nuages d’eau liquide

32

eau liquideliquidenuage

eff

ut

r,

où eau liquideu est le contenu en eau liquide, et effr un rayon moyen effectif des gouttelettes (quipeut être prescrit de différentes manières, par exemple par une variation avec l’altitude pourprendre en compte la variabilité des nuages sur la verticale).

liquidenuage gg C ,

où la constante gC peut être différentiée selon le sous-domaine spectral (par exemple 0,865dans le sous-domaine visible, 0,910 dans le sous-domaine infra-rouge) ;

.exp( . )liquide liquidenuage nuageC t ,

où le jeu de constantes ; ;C est différentié selon le sous-domaine spectral (par

exemple 40,9999;5.10 ;0,5 dans le sous-domaine visible, 30,9988;2,5.10 ;0,05 dans lesous-domaine infra-rouge).

nuages de glace

21 .glace

nuage glaceeff

Ct C ur

où glaceu est le contenu en cristaux de glace, et effr un rayon moyen effectif des cristaux(qui peut être prescrit de différentes manières, par exemple par une valeur fixée, comme40 m ).

nuages mixtes

Pour les nuages mixtes, on utilise évidemment en général des interpolations, plus ou moinssophistiquées, entre des formulations « eau liquide » et « glace ».

281

c. Traitement de la fraction claire

i. Principe

Dans les parties claires de l’atmosphère, le schéma radiatif prend en compte l’absorption et ladiffusion par les molécules et les aérosols. Grâce à la petitesse de l’épaisseur optique desdiffusions Rayleigh et par les aérosols, réflectivité au sommet et transmission à la base d’unecouche peuvent s’estimer par des développements limités (ordres 1 et 2 respectivement) dessolutions d’un modèle à deux flux.

Les résultats d’un tel modèle ont été déduits au chapitre IV (IV. 2. C. c.) : dans les notationsdu présent chapitre, la solution générale mise en évidence y était

2

. exp( . ) exp( . )exp( . ) .exp( . )

a t ta

t a t

2

2

1exp( . ) .exp( . )

at a t

1/ 2(1 ). (1 ) .(1 )déf g

1 (1 ). 11

1 (1 ). 11

ga

g

Les résultats y étaient présentés comme se référant à un nuage, parce que c’était le cadred’illustration pédagogique parlant, « visuel », retenu dans ce chapitre, mais le modèle présentéavait vocation à décrire le transfert au sein d’autres milieux absorbants et diffusants, sousréserve de validité des hypothèses (notamment d’homogénéité) adoptées.

Sur cette base, et sur celle des développements limités annoncés, on est ainsi amené à retenir

pour la diffusion Rayleigh, caractérisée par Rayleight , 1Rayleigh , 0Rayleighg :

2Rayleigh

RayleighRayleigh

ta

t, 2

2RayleighRayleight

,

où l’épaisseur optique Rayleigh entre les niveaux ( 1)j et ( )j peut être paramétréetrès simplement en fonction de l’épaisseur optique ( )atm

Rayleight de toute l’atmosphère, elle-même exprimée en fonction de l’angle zénithal du Soleil :

282

( )( ) ( 1) . atmRayleigh Rayleigh

surf

p j p jt tp

5( ) 1

0.atm i

Rayleigh i Soleili

t a

pour la diffusion par les aérosols, caractérisée par aért , aér (1 1aér ), aérg :

( ) ( )..

arrièreaér eff aér aér

aéraér eff

g taD

, 1aér

aérD,

où

( )

2

( )

1 1 ( ). .

1 . 1 2 ( ). .

défarrière aér

aér aér aér eff aéreff

arrière aéraér aér aér eff aér

eff

tD g

tg

et où ( ) 2 3 .( )

4

défeff aérarrière

aér eff

gg est un facteur de rétro-diffusion.

ii. Mise en oeuvre

En pratique, pour la détermination de claira et de clair , c’est la seule formulation « aérosols »figurant juste ci-dessus que retient le schéma radiatif du CEPMMT. Mais il tient compte de lacombinaison des effets des diffusions Rayleigh et des aérosols, ainsi que de la nécessité pourles aérosols d’une approximation d’Eddington « en delta », en y utilisant les paramètresd’entrée modifiés selon :

2' (1 . ).Rayleigh aér aér aért t g t ,

2

2

1' . . .1 .

Rayleigh aér aérRayleigh aér

Rayleigh aér Rayleigh aér aér aér

t t gt t t t g

,

' .1

aér aér

Rayleigh aér aér

t ggt t g

,

en lieu et place, respectivement, de aért , aér , aérg . Soient '( )effa et '( )eff la réflectivité,et la transmission, ainsi calculées (la dépendance en ', ', 't g étant implicite dans cesnotations).

Pour tenir compte des réflexions multiples dues aux couches adjacentes, claira et clair sont endéfinitive calculés au niveau ( )j par

283

'( )( ) '( ) . ( 1)

1 '( ). ( 1)eff

clair eff sommetsommet

a j a a ja r a j

'( )( ) '( ) . ( 1)

1 '( ). ( 1)eff

clair eff sommetsommet

j a ja r a j

Quant aux flux radiatifs d’atmosphère claire eux-mêmes, l’interaction entre absorptionmoléculaire et diffusions Rayleigh et par aérosols étant négligeable, ils sont ensuite calculéspar l’application de

( ) . ( )tranchesk N

basek j

F j F k ,

( ) ( ). ( 1)sommetF j F j a j ,

puis par celle de l’atténuation par l’absorption gazeuse

( ) 1

0

( ) 1

0

.( )

.

i Ni

iij N

jj

j

a uu

b u

En pratique, le calcul procède en deux temps, d’abord pour la fraction claire 1 totalNéb del’atmosphère totale (avec Soleil ), puis pour la partie claire de chaque couche contenant dunuage, au sein de la fraction totalNéb (avec eff ).

d. Traitement des réflexions multiples entre couches

Il est difficile de traiter correctement les réflexions multiples entre la surface et les diversescouches nuageuses, c’est-à-dire de séparer les contributions de chaque surface réfléchissanteaux réflectivités et transmissions affectées aux couches. En fait, dans le cas d’une atmosphèrecomportant tranchesN tranches nuageuses, le flux est somme de tranchesN contributions du type

( )

0

. Pr( ). ( ).non absF u u du , chacune correspondant à l’une des surfaces réfléchissantes

contributives.

Le schéma radiatif du CEPMMT utilise une méthode simple, mais à l’usage relativementefficace, pour traiter ce problème.

Il estime les réflectivité et transmission de chaque couche, successivement

avec un milieu sous-jacent non réfléchissant : contribution des photons interagissantavec la seule couche considérée, jeu de résultats 0

sommeta , 0base ;

284

avec un milieu sous-jacent réfléchissant : contribution des photons ayant interagi aussiavec d’autres couches, jeu de résultats 0

sommeta , 0base .

Les quantités effectives d’absorbant

00

( )

1 . baseeff non abs

eff base

u LogK

00

( )

1 . baseeff non abs

eff base

u LogK

00

( )

1 . sommeteff non abs

eff sommet

au LogK a

00

( )

1 . sommeteff non abs

eff sommet

au LogK a

permettent ensuite l’estimation des flux par

0 0 0 0 0( ) . . ( ) . ( )sommet sommet sommeteff effF j F a u a a u

0 0 0 0 0( ) . . ( ) . ( )base base baseeff effF j F u u

3. TRAITEMENT DU DOMAINE SPECTRAL TELLURIQUE

A. Survol introductif

Dans le domaine spectral tellurique ( )tellurique , la source est au sein du milieu traité ;l’émission étant isotrope, le rayonnement possède (sous l’hypothèse commune d’homogénéitéhorizontale de l’atmosphère), une symétrie axiale autour de la verticale, et la dépendance del’ETR par rapport à la variable angulaire azimutale disparaît.

La diffusion peut être négligée, et il est commode de travailler avec les fonctions detransmission, plutôt qu’avec l’épaisseur optique.

Enfin, c’est une bonne première approximation que de considérer la surface comme un corpsnoir.

On a mis en évidence au chapitre IX (IX. 2.), sous ces hypothèses que reprend le schémaradiatif du CEPMMT, plusieurs formes des luminances spectrales telluriques vI

(correspondant à 0 ) et vI (correspondant à 0 ), dont celles-ci :

285

, '( ) ( ) ' '

, , , , ,'

( )( , ) ( ) . ( ) ( ) . ( ).surft

I Iv surf surf surfv

t

dB tI t B B t t t B t t t dtdt

'( ) ( ) ' '

, ,'0

( )( , ) ( ) (0). ( ) . ( ).t

I Ivv

dB tI t B t B t t t dtdt

On ne rappelle pas ici les notations.

Formellement et de façon très générale, le flux tellurique se déduit des luminances, encoordonnée verticale pression qui est ici le cadre adopté, par

' 01( ) ( ) ( )

1 0 '

( ) ( , ). ( , , ) ( ', ). ( ', ) . . .surf

ptellurique I I

surf surfp p

F p I p p p I p d p d d

L’indice « ( )tellurique » sera implicite dans la suite du présent paragraphe.

Pour calculer concrètement le flux tellurique, la version retenue du schéma radiatif duCEPMMT

divise le domaine spectral tellurique en six sous-domaines disjoints;

adopte une représentation à deux paramètres énergétiques, de type Eddington (corrigée« en delta » le cas échéant) ;

traite l’absorption par les gaz comme dans le cas solaire, et l’absorption et la diffusionpar les particules à l’aide d’une formulation en émissivité.

Ces points font l’objet du présent paragraphe.

Le schéma radiatif présenté fait souvent appel à des réflectivités a et à des transmissivités ;celles-ci sont implicitement, dans ce paragraphe, toujours relatives aux flux telluriques, et onomettra de leur affecter l’indice « ( )F » (pour « flux »), souvent de mise, dans les chapitresprécédents, pour éviter la confusion avec d’autres définitions possibles de ces grandeurs.

B. Discrétisation spectrale

Le schéma radiatif du CEPMMT considère que le domaine spectral tellurique peut se décrireen nombres d’onde par l’intervalle 1 10 2820cm cm , et partage ce domaine en six

sous-domaines disjoints ( )k traités « en bloc » du point de vue spectral, soit concrètementen

1 1 1 1(1) 0 350 1450 1880cm cm cm cm : bandes de rotation et de

vibration-rotation de la vapeur d’eau ;

286

1 1(2) 500 800cm cm : bande à 15 m du dioxyde de carbone ;

1 1 1 1(3) 800 970 1110 1250cm cm cm cm : fenêtre atmosphérique ;

1 1(4) 970 1110cm cm : bande à 9,6 m de l’ozone ;

1 1(5) 350 500cm cm : « fenêtre » à 25 m ;

1 1 1 1(6) 1250 1450 1880 2820cm cm cm cm : ailes de la bande de

vibration-rotation de la vapeur d’eau.

C. Intégrations spatiale et spectrale

a. Expression des flux sous approximation d’Eddington

Si l’on suit la démarche rappelée au sous-paragraphe A. ci-dessus, et sous approximationd’Eddington, de facteurs de diffusivité 1 , les flux spectraux telluriques peuvent s’écrire

'

,'

1 . ( ) ( ) ( ) . ( , ; ) ( ( )) ( , '; ).surf

p p

surf air surf surfvp p

F p B T B T p p B T p p p dB

' 0

'

1 . ( ) ( ) ( ) . ( ,0; ) ( ( )) ( ', ; ).p

sommetvp p

F p B T B T p B T p p p dB

où surfT est la température de surface, ,air surfT est la température de l’air au contact de lasurface, sommetT la température au sommet du modèle météorologique.

b. Intégration spatiale

Les intégrales spatiales, selon la verticale, qui interviennent dans l’expression des fluxtelluriques, peuvent être calculées par discrétisation sur les couches du modèle, considéréescomme isothermes ; on peut d’ailleurs, au niveau courant ( )i auquel on estime les flux, traiterdifféremment la contribution des couches adjacentes, déterminantes dans les échangesénergétiques et la contribution au taux de chauffage, et les couches plus éloignées, quinécessitent moins de précision.

Par exemple, en utilisant une quadrature de Gauss (poids ( )Gaussw , racine de Gauss p ) pourles niveaux adjacents, et une quadrature trapézoïdale ailleurs :

287

' 2

1'

2

11

( , '; ). ( ). ( ). ( , ; )

1 ( ). ( , ; ) ( , ; )2

i

surf

p p

Gauss ip p

j i

i j i jj

p p dB B w p p

B j p p p p

où l’incrément B est évalué entre deux interfaces pour la méthode en trapèzes, et entremilieu de la couche et interface pour la méthode de Gauss.

c. Intégration spectrale

Les contributions ( )kF et ( )kF du sous-domaine spectral ( )k aux flux s’obtiennent par

intégration de respectivement F et F sur l’étendue du dit sous-domaine :

( )

( )

( ) ( ) , ( )( )

'

( )'

( , )1 . ( ) ( ) . , ( , ) ( )

( , ') , ( , ') .

k

k

surf

surfk surf k air surf B u surf k pk

p p

dB u kp p

u p pF B T B T T p p B T

u p p T p p dB

( )

( )

( ) 0 ( ) ( )( )

' 0

( )'

1 ( ,0). ( ) ( ) . , ( ,0) ( )

( ', ) , ( ', ) .

k

k

k k B u k pk

p

dB u kp p

u pF B T B T T p B T

u p p T p p dB

où, à côté de la température « réelle » pT au niveau de pression p , uT est la températuregouvernant la transmission, intervenant dans les intensités et les demi-largeurs des raies dusous-domaine.

Les fonctions de transmission de bande( )kB et

( )kdB ont été introduites sous d’autresnotations au chapitre IX (IX. 2. E.):

( )

( )

( )

( ). ( , ).

( , )( ).

k

k

k

p u

Bp

B T u T d

u TB T d

et

( )

( )

( )

( ). ( , ).

( , ) ( ).

k

k

k

pu

déf

dBp

dB Tu T d

dTu T dB T

ddT

,

288

Pour des raisons d’efficacité de calcul, le schéma radiatif du CEPMMT développe lestransmissions en approximants de Padé :

2/ 2

02

/ 2

0

.( , )

.

ii

i effi

u jj

i effj

c uup T

d u

. ( , )ueff

up T upu étant une « quantité effective d’absorbant », up le contenu d’absorbant

pondéré par la pression, et 2( , ) exp ( ).( 250) ( ).( 250)déf

u u uT up a up T b up T .

Les ,i jc d sont supposés indépendants de la température, et sont calculés entre 187,5 K et312,5 K par pas de 12,5 K . On utilise les transmissions correspondant à la température deréférence la plus proche de la température pondérée par la pression uT .

D. Prise en compte de l’élargissement Doppler

Pour tenir compte, à peu de frais de calcul, de l’absorption par élargissement Doppler,effective aux pressions inférieures à 10 hPa (où l’absorption Lorentz devient négligeable),lorsque le sommet du modèle météorologique atteint ces pressions faibles, une pseudo-absorption de Voigt est simulée par une correction de pression « résiduelle » sur le profilLorentz, ce qui revient à travailler (partout) avec une absorption de Lorentz corrigée :

( )0

0

( , , ) ( , ) ( , ) ( , ).corrigée résidL résid L L résid L

p pp p T p T p T p Tp

La pression résiduelle résidp est prise égale à 30 Pa pour 2H O , 60 Pa pour 2CO , 400 Papour 3O .

Les tests réalisés dans divers types d’atmosphères montrent la nécessité et la pertinence decette correction, d’ailleurs peu sensible à la résolution, spectrale comme verticale, en dessousde 2 hPa .

E. Effet des nuages

Quelle que soit la nébulosité, le schéma radiatif du CEPMMT calcule d’abord les fluxtelluriques d’atmosphère claire, soit ( )clairF i et ( )clairF i au niveau vertical ( )i .

En présence d’un nuage dans la couche ( )n du modèle, il estime ensuite les flux

( ) ( )nuageux nF i et ( ) ( )nuageux nF i induits par la présence de ce seul nuage, supposé d’émissivité

1, selon :

( ) ( ) ( )nuageux n clairF i F i si i n ,

289

( ) ( ) ( )nuageux n clairF i F i si i n ,

1

'( ) ( )

1( )'

( ) . ( 1) . , ; , '; .k

n

p pF F

k n knuageux n nuagep p

F k F B n p p p p dB ,

1

'( ) ( )

( )'

( ) . ( ) . , ; , '; .n

k

p pF F

k n knuageux n nuagep p

F k F B n p p p p dB ,

et ces estimations sont faites pour chaque couche nuageuse du modèle.

Les deux premières expressions consacrent les valeurs d’atmosphère claire des flux ascendanten dessous de la base du nuage, et descendant au dessus du sommet du nuage ; les deuxdernières expressions sont analogues aux calculs déjà faits pour l’atmosphère claire, lesfrontières étant cette fois la base et le sommet du nuage, et compte tenu de possiblesdiscontinuités de température à ces niveaux entre températures du nuage et de l’air.

nuageF et nuageF sont les flux telluriques au sommet et à la base du nuage, ( )B T est bien sûrla fonction de Planck intégrée sur tout le spectre (tellurique). Les termes sous les signesd’intégration correspondent aux échanges d’énergie entre couches de l’atmosphère claire, déjàcalculés à la première étape.

Dans un troisième temps, le passage à la situation nuageuse réelle (nuages semi-transparents,multicouches, fractionnaires) se fait par combinaison linéaire des flux précédemment calculés,avec une prise en compte de recouvrement pour les nuages présents sur plusieurs couches.

Soit N le niveau de la couche nuageuse la plus élevée, ( )Néb i la fraction nuageuse de lacouche ( )i , avec (0) 1Néb pour l’estimation du flux en surface, ( 1) 1Néb N ,

1N claireF F pour assurer la condition à la limite correcte au dessus du nuage le plus haut.

( ) ( )clairF i F i pour 1i11

( 1) ( )0 1

( ) ( 1). ( ) ( ). ( ). 1 ( )in i

nuageux i nuageux nn n

F i Néb i F i Néb n F i Néb

pour 2 1i N

1

( ) ( )0 1

( ) ( ). ( ) ( ). ( ). 1 ( )Nn N

nuageux N nuageux nn n

F i Néb N F i Néb n F i Néb

pour 2i N

En cas de nuages semi-transparents, la nébulosité est une valeur effective prise égale auproduit de l’émissivité due à l’eau condensée et aux gaz de la couche par la couverturenuageuse horizontale, l’émissivité nuage étant reliée à la quantité d’eau condensée par

( )1 exp .eaunuage abs LWPK u

290

( )eauabsK étant le coefficient d’absorption massique de l’eau condensée ( 2 1.m kg ).

F. Introduction au schéma rapide de transfert radiatif tellurique du CEPMMT

On s’intéresse ici brièvement, en illustration au concept de « méthode en distribution de K »évoqué au chapitre V (V. 1. B. d.), au schéma rapide du CEPMMT développé pour ledomaine tellurique, en alternative au schéma plus historique objet du reste du présentparagraphe.

Ce schéma radiatif travaille sur les luminances moyennées sur des sous-domaines spectraux.

En l’absence de diffusion (que le schéma néglige), les luminances descendantes sont calculéescouche par couche du sommet du modèle à la surface ; les conditions à la surface sontcalculées à l’aide d’une émissivité, et le cas échéant d’une réflectivité ; enfin les luminancesascendantes sont calculées couche par couche de la surface au sommet du modèle.

La luminance, moyennée sur l’intervalle spectral 1 2, , qui émerge d’une couche dumodèle, de transmission , est reliée à la luminance spectrale 0 ( )I entrant dans la couchepar

21 2

1

1, ' '

0 02 1

1 . ( ) ( , ( ) ( ) . .I I B T I d d ,

où les autres notations sont évidentes.

En termes de la « distribution de K » introduite au chapitre V, cette relation peut s’écrire

1 21

,

00

.( , ) ( ) ( , ) .exp ( , , ). .coseff g eff g

zI B g T I g B g T K g p T dg ,

où effB est une fonction de Planck effective pour la couche, variant avec la transmission de lacouche pour assurer la continuité des flux aux interfaces.

En pratique, le calcul est réalisé par une discrétisation du domaine de variation de g en sous-domaines de taille jW , chacun étant représenté par une valeur caractéristique jK ducoefficient d’absorption :

1 2,

0.. .exp .

cosj eff j j eff j ji

zI W B I B K

Le schéma rapide du CEPMMT divise l’ensemble du domaine spectral tellurique en 16 sous-domaines spectraux, et pour chacun d’entre eux, le nombre de points de discrétisation del’intervalle 0, 1g g varie de 2 à 16 , selon les cas (140 points au total).

291

Les flux sont restitués à partir des luminances par recours à des facteurs de diffusivité.

Les propriétés radiatives des nuages sont fixées d’après les propositions de la littérature,comme dans le schéma radiatif classique.

L’épaisseur optique spectrale des nuages, utilisée dans la fraction nuageuse de la couche, estfixée comme fonction de coefficients massiques d’absorption et de chemins en eaux liquide etsolide.

Pour la définition de la nébulosité, c’est l’hypothèse du recouvrement nuageux aléatoiremaximum qui est adoptée.

4. QUELQUES CONSIDERATIONS A PROPOS DE VALIDATION

A. Considérations méthodologiques

La validation, l’évaluation des performances, l’identification des insuffisances et des pistesd’amélioration d’un schéma radiatif d’application atmosphérique, par comparaison à desobservations, constituent un problème très difficile.

Une première possibilité réside dans la comparaison des performances du schéma, pour unmême jeu de paramètres « non radiatifs » bien défini, à celles d’un schéma « raie par raie »étalon, lui même validé par recours à des mesures spectrométriques à haute résolution.Une telle démarche constitue en principe un passage obligé lors de « l’étalonnage » d’unmodèle simplifié de rayonnement. Elle permet de tester les profils des flux radiatifs eux-mêmes ; elle s’avère cependant plus facile pour le domaine tellurique que pour le domainesolaire (moins bien documenté du point de vue spectrométrique), et praticable surtout enatmosphère non nuageuse (faute de données en général suffisantes sur les profils d’eaucondensée).

Après une telle première étape se pose en tout état de cause la question du test, par rapport aumonde réel, du schéma radiatif couplé à son modèle atmosphérique.

Il s’agit alors plutôt d’une évaluation des performances de l’ensemble du modèleatmosphérique, car, compte-tenu de l’étroite inter-dépendance des différents processusphysiques, il n’est jamais facile d’attribuer clairement les défaillances constatées à telle(s) outelle(s) paramétrisation(s) en particulier.

En outre, les comparaisons possibles avec l’expérience se limitent en général à des donnéesdisponibles seulement aux frontières de l’atmosphère, en tirant profit :

au sommet de l’atmosphère, des mesures de rayonnement par satellites ;

à la surface terrestre :

- des estimations des flux radiatifs à partir des mesures par satellites, utilisées engénéral pour des tests en moyennes mensuelles ;

292

- de mesures régulières in-situ de rayonnement en surface. Il existe à cet usagequelques réseaux de mesures de grande qualité des postes de rayonnement, parfoiscouplées à des mesures de paramètres météorologiques, classiques ou non, en surfaceet au sein de l’atmosphère surplombant la station, comprenant même dans certains casdes informations sur la structure nuageuse (comme des contenus intégrés en eaucondensée obtenus par radiomètre hyper-fréquences, ou des profils de contenus en eaucondensée obtenus par inversion de mesures radar et interférométriques).

Les sites de mesure échantillonnent différentes zones climatiques, et chaqueimplantation est choisie pour être la plus représentative possible d’une zone étendue,considérée homogène en termes de micro-relief et de végétation. Comme exemples detels réseaux, assurant une bonne couverture en termes de zones climatiques, etfournissant des données obtenues de façon homogène, on peut citer les réseaux dits« BSRN » (Baseline Station Radiation Network), « SURFRAD » (SURFaceRADiation network), et « ARM » (Atmospheric Radiation Project).

B. Difficultés de la démarche

Pour un modèle atmosphérique de grande échelle comme celui qui a été évoqué dans leprésent chapitre, la difficulté d’isoler la responsabilité des différentes parties du schémaradiatif, ou d’autres modules du modèle atmosphérique, est due à diverses causes, dont lesprincipales sont liées :

à la différence de représentativité spatio-temporelle des données sorties du modèle, etdes données mesurées.

Dans cette catégorie on peut distinguer les différences d’échelles elles-mêmes (quiconduisent par exemple à moyenner les données expérimentales pour les rapprocherde la représentativité temporelle des sorties du modèle), mais aussi des élémentsconnexes, comme la différence entre la localisation verticale des mesures etl’orographie du modèle (qui nécessite de mettre en œuvre des corrections plus oumoins physiquement fondées, jamais de validité universelle), ou encore le décalagespatial, plus ou moins conséquent, des mesures de rayonnement et des mesuresatmosphériques du réseau synoptique de surface ou d’altitude.

aux caractéristiques de discrétisation du modèle d’atmosphère, et, dans le cas d’unmodèle à vocation opérationnelle tel que celui présenté dans le présent chapitre, à leurinévitable évolution au cours du temps.

à la dérive, avec la durée de simulation, de la « climatologie nuageuse » du modèlemétéorologique : compte-tenu de l’importance des structures nuageuses dans letransfert radiatif, il convient probablement, pour des comparaisons spatio-temporelles« fines », autres que moyennes, de se tourner vers des paramètres sortis du modèle àdes échéances pas trop éloignées de l’analyse initiale (typiquement moins de 36heures) ; pour autant, il convient de ne pas se placer trop près de celle-ci (typiquementmoins de 6 heures), de façon à éviter les artefacts liés à l’adaptation du modèle à sesconditions initiales.

293

Figure 2 - Comparaison des contenus intégrés en vapeur d’eau (a), et en eau nuageuse (b),mesurés (points) et simulés (traits continus),pour tous les jours de décembre 1997.

294

Cependant, même dans le créneau temporel ainsi précisé, l’expérience montre que,pour un instant donné, les paramètres du modèle liés à la distribution de l’eaunuageuse, et donc les paramètres radiatifs, restent (au mieux, légèrement) dépendantsdu temps écoulé depuis l’analyse.

à l’entrelacement des caractéristiques de tous les autres modules physiques quifournissent des paramètres d’entrée au schéma radiatif.

On peut ainsi être amené, pour sérier les phénomènes, à porter par exemple sonattention séparément sur des situations d’atmosphère claire, de couverture nuageusetotale, de couverture nuageuse partielle.

Dans le même ordre d’idées, il convient de s’intéresser aussi, au delà des flux radiatifs,au réalisme du comportement des paramètres importants du point de vue radiatif ; cecin’est évidemment pas toujours facile, ou même possible, concernant les paramètresliés à l’eau.

La figure 2 illustre le comportement du modèle (prévisions journalières lancées à12 h TU ), du point de vue des contenus intégrés en vapeur d’eau et en eau nuageuse,sur un site (site « SGP » du réseau ARM) où ces paramètres sont accessiblesexpérimentalement par radiométrie hyper-fréquences.

pour certains paramètres, à l’incertitude sur les mesures elle-mêmes ; quand c’estpossible, la comparaison entre elles de mesures indépendantes simultanées s’impose,et il faut parfois rejeter des mesures sujettes à caution (par exemple, lorsque l’optiquede certains capteurs est potentiellement affectée par des précipitations, ou par de lacondensation) .

C. Quelques exemples de résultats de validation

On se limite, à titre illustratif, à une brève évocation de comparaisons de sorties du schémaradiatif du CEPMMT, dans sa version retenue dans le présent chapitre, à des mesures desurface in-situ.

La figure 3 donne une idée de la corrélation entre valeurs mesurées et simulées des fluxradiatifs descendants de surface, sur une période de deux mois consécutifs, en un site duréseau ARM. Les valeurs simulées sont obtenues par des prévisions à échéance de 24 heures ,au cours desquelles les calculs radiatifs complets sont effectués toutes les heures.

Les comparaisons portent sur des paramètres représentatifs d’une durée d’une heure (lesvaleurs mesurées sont moyennées en ce sens, les valeurs simulées étant, de par la fréquencedes calculs radiatifs, directement à cette échelle).

Sur le millier de comparaisons synthétisé sur cette figure, il apparaît que le modèle surestimenotablement le flux solaire (de l’ordre de 217 .W m ), et sous-estime légèrement le fluxtellurique (de l’ordre de 22 .W m ).

295

Figure 3 – Comparaison de valeurs mesurées, et simulées par le modèle du CEPMMT, desflux radiatifs de surface, sur la période avril-mai 1999, au site « SGP » du réseau ARM.(a) : flux tellurique descendant ; (b) : flux solaire descendant.

296

Les figures 4 et 5 présentent la comparaison, sur une période d’un mois environ, et pour unpoint du réseau SURFRAD, des valeurs de surface mesurées des flux telluriques et solaires,avec les valeurs correspondantes prévues par le schéma radiatif et le modèle météorologiqueauquel il est couplé.

Figure 4 –– Comparaison des flux radiatifs solaires à la surface terrestre, moyennés sur 24heures, à « Goodwin Creek (Mississipi), mesurés (trait plein, station SURFRAD) et prévus

par le schéma radiatif et le modèle météorologique de grande échelle du CEPMMT présentésdans le présent chapitre (trait interrompu, prévisions de première ébauche à 6 h ), pour la

période du 17 novembre ( 0 heure TU ) au 15 décembre ( 0 heure TU ) 1997.

Dans cette expérience particulière, le modèle rencontre un succès modéré dans lareprésentation du flux solaire descendant de surface : surestimation systématique, comme onle voit sur les moyennes sur 24 heures, ce qui peut être l’indice d’une déficience dans lareprésentation des aérosols, ou dans la discrétisation du domaine spectral solaire, ou encored’une mauvaise représentation des paramètres liés à l’eau (sous-estimation de l’absorption parla vapeur d’eau, de l’épaisseur optique de l’eau nuageuse, …) ; surestimation de l’amplitudedu cycle nycthéméral (non illustré ici), probablement attribuable à une liaison trop forte entreles profils de température et d’humidité de la couche limite atmosphérique et les valeurs deces paramètres relatives à la surface.

297

Figure 5 – Comparaison des flux radiatifs telluriques de surface, moyennés sur une heure, à« Goodwin Creek (Mississipi), mesurés (trait plein) et prévus (trait interrompu), dans les

conditions précisées dans la légende de la figure 4.(a): flux tellurique descendant ; (b) : flux tellurique ascendant.

298

Dans cette expérience particulière, le modèle rend assez bien compte des deux flux telluriquesde surface.Pour le flux montant, ce constat sous entend une bonne description de la température desurface ; ce bon résultat est probablement lié en partie à l’homogénéité du site de mesure : engénéral, la comparaison à la réalité du flux tellurique montant est particulièrement délicate, enraison de l’importante variabilité horizontale de la température de surface et de l’émissivité,due à celle des caractéristiques de la surface et de la végétation.

Pour le flux descendant, le relativement bon accord dans cette situation témoigne d’unedescription a priori correcte des distributions de température et d’humidité dans la couchelimite atmosphérique, ainsi que de la nébulosité dans les premiers kilomètres de l’atmosphère.Toutefois, plus généralement pour ce modèle, une légère sous-estimation du flux telluriquedescendant de surface est plutôt la règle.

Figure 6 – Comparaison des flux radiatifs telluriques ascendants mesurés (trait continu), etsimulés par le modèle du CEPMMT (tirets : schéma radiatif « historique », objet du présentchapitre ; trait mixte : schéma rapide pour le transfert radiatif tellurique), au site « SGP » duréseau ARM.

La figure 6 illustre ce constat, sur un autre site et sur une période de 5 jours par atmosphèreclaire, ainsi que le gain, réel mais insuffisant, apporté par la mise en place du schéma rapide

299

(plus proche d’un schéma « raie par raie » que le schéma historique du CEPMMT) pour lerayonnement tellurique.

En fait, en dehors du comportement des paramètres d’entrée du schéma radiatif, gérés par lemodèle météorologique, de nombreuses options de paramétrisation, au sein du schéma lui-même, peuvent être responsables des écarts entre flux simulés et observés, et doivent fairel’objet d’études appropriées de sensibilité aux formulations retenues.

On peut citer principalement : les résolutions spectrales dans les domaines solaire ettellurique, les coefficients des représentations des processus d’absorption gazeuse, lareprésentation des propriétés optiques des nuages (en particulier du rayon effectif desgouttelettes liquides et des particules de glace), la prise en compte des aérosols (distributionsgéographique et temporelle, et caractéristiques électromagnétiques, comme le facteurd’asymétrie, et l’albédo simple, de la diffusion).

Ainsi, dans le cas du schéma radiatif choisi en exemple dans ce chapitre, les études desensibilité ont elles pu mettre en évidence l’importance particulière de la formulation despropriétés radiatives de la phase glace des nuages, en vue de l’amélioration de lareprésentation du flux descendant tellurique de surface.

300

XI. TRANSFERT RADIATIFET

STRUCTURE MOYENNE DE L’ATMOSPHERE

Après avoir présenté quelques éléments moyens de description chiffrée (« de climatologie »,au sens large) du bilan radiatif dans l’atmosphère, ce chapitre propose quelquesdéveloppements simples, de nature analytique, sur le lien entre le transfert radiatif et lastructure moyenne de l’atmosphère.

Sur ce dernier point, il s’agit essentiellement de considérations classiques, en atmosphèreclaire, sur la structure d’équilibre radiatif, et d’équilibre radiatif+convectif, sur l’importancede l’effet de serre, et sur la température de l’atmosphère au contact de la surface terrestre.

L’influence des nuages, qui se prête mal à des développements analytiques fructueux, n’estl’objet que d’une courte introduction en fin de chapitre (et le rôle des aérosols n’est pasabordé).

1. ELEMENTS DE CLIMATOLOGIE DU BILAN RADIATIF

A. Bilans radiatif et énergétique du système Terre-Atmosphère

La figure 1 présente un schéma synthétique simplifié du bilan radiatif du système Terre-Atmosphère, en moyennes globale et pluri-annuelle.

Dans un tel schéma, seules les valeurs affectées au « sommet de l’atmosphère » sont en réalitéconnues de manière assez fiable, grâce aux mesures radiatives issues des satellites.

Les valeurs à la surface terrestre sont plus incertaines, car elles souffrent de plus grandeserreurs sur les estimations à partir des mesures satellitaires, et de l’insuffisance de lacouverture géographique des mesures radiatives in-situ.

Quant aux valeurs au sein de l’atmosphère, comme les fractions absorbées respectivement parles nuages et par l’atmosphère claire, elles restent encore très sujettes à caution.

La représentation simplifiée de la figure 1, qui prend le parti de « chiffres ronds » pourfaciliter la mémorisation, est donc une parmi de nombreuses versions possibles du bilan,également cohérentes avec l’état des connaissances actuelles.

Elle est construite sur la base d’un flux solaire incident au sommet de l’atmosphère de2342 .W m , et d’un flux disponible pour le système Terre-Atmosphère, après soustraction de

l’effet d’albédo planétaire, de 2237 .W m .

301

On évoquera, plus bas dans le présent chapitre, une expression possible de l’albédo planétairedu système Terre-Atmosphère ( 0,30T Aa ), comme résultante des albédos planétaires de lasurface terrestre ( ( ) 0,11surf

T Aa ), de l’atmosphère non nuageuse ( ( . ) 0,08atm claireT Aa ), des nuages

( ( ) 0, 40nuagesT Aa ), et de la nébulosité globale ( 0,60T ANéb ).

Figure 1 – Exemple de bilan de chaleur moyen du système Terre-Atmosphère. Les postes sontexprimés en 2.W m . Les abréviations suivantes sont utilisées : Em = Emission; Abs =Absorption; Diff = diffusion; Réf = Réflexion ; AC = Atmosphère claire; Nu = Nuages.

Environ un quart seulement du flux solaire disponible ( 267 .W m ) est absorbé au sein del’atmosphère, avec un réchauffement troposphérique moyen associé de l’ordre de

10,5 .K jour , le reste ( 2170 .W m ) est absorbé par la surface terrestre.

302

Du côté du rayonnement tellurique, le bilan radiatif de la surface terrestre, différence entrel’absorption de l’énergie émise par l’atmosphère et l’émission de la surface elle-même, estdéficitaire d’environ 260 .W m .

Toutes longueurs d’ondes confondues, le bilan de la surface est cependant excédentaire de2110 .W m , alors que le bilan radiatif de la troposphère est déficitaire de cette même valeur :

il y a donc, pour assurer l’équilibre énergétique qui est la règle dans le point de vue moyenadopté ici, un transfert non radiatif d’énergie, de la surface vers la troposphère, assuré par desflux matériels (conduction et turbulence/convection), de chaleur sensible (environ 220 .W m ),et de chaleur latente (environ 290 .W m ), liée à l’évaporation des surfaces d’eau –pourenviron 85 % - et à l’évapotranspiration végétale (la chaleur latente est convertie en chaleursensible lors de la condensation de la vapeur d’eau évaporée ou transpirée).

L’émission tellurique de la troposphère se traduit par un refroidissement associé de l’ordre de11,5 .K jour .

B. Taux de chauffage radiatif

La figure 2 présente une estimation de la distribution moyenne des taux de chauffage radiatifsinduits par le forçage radiatif du système Terre-Atmosphère, tandis que la figure 3 montre unedistribution verticale, typique dans sa forme, des contributions au taux de chauffage desdifférents agents absorbants atmosphériques (en atmosphère claire).

303

Figure 2 – Allure de la distribution dans l’atmosphère des taux (algébriques) moyens dechauffage radiatif, solaire (a), tellurique (b), et total (c), exprimés ici en 1.K jour

(en abscisse, la latitude).

304

Figure 3 – Allure du profil vertical des taux de chauffage radiatif,pour une atmosphère non nuageuse.

Bien entendu, dans une situation météorologique précise, en un lieu et à un instant donnés,ces différents profils dépendent de la composition de l’atmosphère, de l’angle zénithal solaire,des caractéristiques de la surface terrestre. Cependant, on retrouve sur la figure 3 un certainnombre de traits relativement constants :

dans le domaine spectral solaire, les taux de chauffage sont partout positifs (nuls lanuit !) ; on n’est pas étonné de retrouver l’importance dominante de la vapeur d’eaudans la basse troposphère (ce qui permet d’imaginer les grands traits de la variabilitédu taux de chauffage solaire troposphérique avec la latitude, apparents d’ailleurs enmoyenne sur la figure 2.a), celle de l’ozone dans la stratosphère, ni de noter lafaiblesse relative, et l’uniformité verticale, de l’effet du dioxyde de carbone. Lesprofils présentés sont supposés correspondre à une valeur de quelques dizaines dedegrés de l’angle zénithal solaire ; ils se déplacent naturellement (non montré sur lafigure) vers des valeurs plus faibles (resp. plus élevées) quand cet angle augmente(resp. diminue).

dans le domaine spectral tellurique, les taux de chauffage sont presque partoutnégatifs, sauf pour le dioxyde de carbone au voisinage de la tropopause (en lien avecl’augmentation plus importante de température avec l’altitude), et surtout pour l’ozonedans la basse stratosphère.La relative faiblesse du taux de chauffage troposphérique du dioxyde de carbone estliée à l’importance de l’absorption de la bande à 15 m , et à la variation verticalemodérée de la température (forte absorption de ce qui a été émis pas loin, à une

305

température très voisine) ; toutefois, au fur et à mesure que l’on s’élève, l’élargissement collisionnel de la bande à 15 m s’affaiblit, et l’émission vers l’espace est de moins en moins compensée par une émission descendante en provenance des niveaux supérieurs.La positivité du taux de chauffage de l’ozone à la base de la stratosphère est liée à l’absorption à 9,6 m du rayonnement émis par la surface terrestre ; plus haut dans la stratosphère (non montré sur la figure), le taux de chauffage de l’ozone est fortement négatif.Le taux de chauffage de la vapeur d’eau trouve son origine, non seulement dans les bandes d’absorption, responsables des deux maximums relatifs observables dans le profil, mais également, en dessous de 10 km, dans le continuum d’absorption, déjà évoqué dans les chapitres précédents, et fortement dépendant de la pression.

la somme des taux de chauffage radiatifs totaux, solaire et tellurique, est à peu près nulle dans la stratosphère, mais elle est négative dans la troposphère, où la tendance à l’équilibre global est assurée, comme on l’a déjà mentionné, par des transports matériels de chaleur (advection horizontale et convection).

C. Distr ibution géographique des termes du bilan énergétique climatologique

Concernant la distribution géographique des différents postes énergétiques au sommet de l’atmosphère et à la surface terrestre, on pourra en avoir une idée en consultant, par exemple, les cartes pertinentes de l’atlas des ré-analyses ERA 40, que l’on peut trouver sur le site internet du Centre Européen pour les Prévisions Météorologiques à Moyen Terme (http://www.ecmwf.int) .

D. Indicateurs de chiffrage du forçage radiatif et de l’effet de serre

a. Représentativité

En lien avec les études climatiques (notamment dans l’évaluation des causes du changement climatique en cours), il est utile de disposer d’ indicateurs simples du forçage radiatif et/ou de l’importance de l’effet de serre ; de tels indicateurs peuvent être définis localement, mais ils sont souvent plutôt utilisés en valeur intégrée sur une verticale donnée, ou carrément en moyenne globale.

Ils peuvent également être définis d’un point de vue spectral, ou spécifiquement pour un agent radiatif particulier, comme les nuages, les aérosols, les gaz à effet de serre, ….

b. Température (radiative) effective au sommet de l’atmosphère

Exprimée au sommet de l’atmosphère, la température radiative effective effT , en quelque sorte

telle que « vue de l’espace extra-terrestre », y est un paramètre de substitution aux flux, souvent utilisé dans la définition de certains indicateurs d’effet de serre et/ou de forçage radiatif ; cette température peut, selon les moyennes géographiques et temporelles retenues, être représentative de différentes échelles, depuis des valeurs « locales et instantanées » jusqu’à une valeur « globale et climatologique » (notée ici eff T AT ).

306

Elle est définie comme la température d’émission noire correspondant au flux tellurique ausommet de l’atmosphère ( ) ( )

0 0

tellurique telluriquet t

F F :

1/ 4( )

0

telluriquedéf

teff

FT

Dans l’hypothèse d’équilibre radiatif au sommet de l’atmosphère (vérifiée en moyennesglobale et climatologique), la température effective s’y exprime en termes du flux solairedirect entrant dans l’atmosphère ( )

0

solairet

F (avec les notations du présent cours,

( )

0. . (0)solaire

SoleiltF S en valeur locale et instantanée, ( )

0. 1

4solaire

T At

FF a en

valeur globale et climatologique) :1/ 4( )

0

solairet

eff

FT

On a déjà donné au début du présent cours la valeur globale climatologique (actuelle) de cettetempérature ; avec 21367 .F W m , 0,30T Aa ,

1/ 4. 1

2554

défT A

eff T A

F aT K

Cette valeur évolue avec les variations de la constante solaire, imposées « de l’extérieur » ausystème Terre-Atmosphère.

c. Chiffrage de « l’effet de serre »

On a déjà indiqué au chapitre IV (IV. 3. B. a.) que l’importance de l’effet de serre del’atmosphère peut être quantifiée par deux paramètres principaux, définis localement, mais leplus souvent considérés à la surface terrestre, « l’intensité de l’effet de serre », et le « facteurd’effet de serre ».

i. Intensité de l’effet de serre

L’intensité de l’effet de serre, ( ) ( ) ( )( ) ( ) (0)déf

F tellurique telluriqueES t F t F , s’exprime en unités de

flux ( 2.W m ) ; sa valeur de surface ( ) ( ) ( )F Fsurf atmES ES t , nulle en l’absence d’atmosphère, peut

être considérée comme un indicateur naturel de « l’apport en réchauffement » à la surface liéà l’existence d’une atmosphère.

Il peut être intéressant de définir ce paramètre d’un point de vue spectral, pour un modespectral , ou pour un intervalle spectral , donné :

( ) ( ) ( )( ) ( ) (0)déf

F tellurique telluriqueES t F t F ,

307

( ) ( ) ( )( ) ( ) (0)déf

F tellurique telluriqueES t F t F ,

par exemple pour chiffrer l’effet de serre dû à chaque agent radiatif.Il résulte en effet des expressions du flux tellurique présentées au chapitre IX que, pour unesurface terrestre supposée noire, la contribution de au flux tellurique montant au niveau z ,peut s’écrire

( )( ) ( ) 4 4

0

( , )( ) (0, ). ( ). . . ( ( )). . ( ).z F

tellurique Fsurf surf

zF z z T T T T d

où

4

. ( )( ).

déf B TTT

,

2

1

( )1 2 3 ,( , ) 2 ( ( ). ) .

zdéfF

absz

z z E K d d

L’injection de cette expression dans la définition de ( )FES permet le calcul de l’intensité del’effet de serre de la bande ; la figure 4 présente un exemple de résultat composite de telscalculs. L’intensité de l’effet de serre propre à l’agent radiatif considéré s’obtient ensuite parsommation sur toutes les bandes d’absorption de celui-ci.

Figure 4 – Allure de la variation spectrale (lissée) de l’intensité de l’effet de serre de surface,telle que pouvant être déterminée par un modèle radiatif à bandes étroites.

On a mentionné les agents radiatifs responsables des principales contributions spectralesà l’effet de serre.

308

La modélisation montre que, sous les conditions actuelles de concentrations des différentsgaz, et de nébulosité, les valeurs globales des intensités spécifiques de l’effet de serre desurface sont

sans prendre en compte les nuages, de 275 .W m pour la vapeur d’eau, 232 .W m pourle dioxyde de carbone, 210 .W m pour l’ozone ; on notera que l’on obtient desrésultats très voisins en négligeant le terme atmosphérique

( )4

0

( , ) . ( ( )). . ( ).z F z p T T d de l’expression de ( ) ( )telluriqueF z , ce qui

signifie que, vis-à-vis du réchauffement de la surface par effet de serre atmosphérique,le piégeage de l’émission de surface domine l’atténuation de l’émission des couchesatmosphériques plus froides.

dans l’atmosphère avec nuages, de 251 .W m pour la vapeur d’eau, 224 .W m pour ledioxyde de carbone, 27 .W m pour l’ozone.

La vapeur d’eau est donc le gaz atmosphérique le plus contributif à l’effet de serre de surface.

ii. Facteur d’effet de serre

Le facteur d’effet de serre( )

(%)( )

( )( )(0)

telluriquedéfémis

tellurique

F tES tF

est sans dimension physique ; dans cette

définition, ( ) ( )telluriqueémisF t est le flux hémisphérique émis au point considéré, il est en général

relié à la fonction de Planck intégrée sur l’ensemble du spectre tellurique, ( )B T , par uneformulation en émissivité ( ) 4. . . .tellurique

émisF B T , avec le plus souvent l’hypothèse

d’émission noire 1, auquel cas4

(%) ( )eff

TES tT

.

Le facteur d’effet de serre de surface4

(%) (%) ( ) surfsurf atm

eff

TES ES t

Tdépend évidemment de la

composition de l’atmosphère au dessus du point considéré.

La figure 5 donne une idée de sa variation expérimentale, déterminée à partir de mesures par

satellites, avec, d’une part, en atmosphère claire, le contenu intégré en vapeur d’eau2

( )H OW ,

d’autre part, en atmosphère nuageuse, le contenu intégré en eau liquide( )W (il s’agit des

contenus intégrés verticalement sur toute l’atmosphère -ou sur l’épaisseur d’un nuage-, dont ladimension physique est évidemment le produit de celle d’un contenu volumique par unelongueur).

309

Figure 5 – Dépendance du facteur d’effet de serre de surface par rapport aux contenusintégrés, de vapeur d’eau en atmosphère claire, d’eau liquide en atmosphère nuageuse :

une idée de la dispersion des données expérimentales.

d. Chiffrages de forçage radiatif

i. Forçage radiatif d’une colonne atmosphérique, ou d’un ensemble de colonnes

L’indicateur de forçage radiatif le plus représentatif, au sens où il n’est pas relatif à un point,mais à une colonne atmosphérique complète, et le plus facile à déterminer expérimentalement,au sens où il ne fait intervenir que des paramètres au sommet de l’atmosphère, mesurables parsatellite, est le chauffage intégré verticalement sur la colonne, qui, compte tenu de l’équilibredes flux énergétiques à la surface, s’identifie à la différence entre les flux radiatifs entrant etsortant au sommet de l’atmosphère :

( ) ( ) ( ) ( )( 0) ( 0)déf

solaire tellurique solaire telluriqueFR FR FR F t F t

Ce paramètre est nul en moyennes globale et climatologique.

La figure 6 montre la dépendance en latitude de la valeur moyenne de ce forçage sur descercles de latitude et dans le temps : il s’agit en fait du bilan de rayonnement au sommet de

310

l’atmosphère déjà présenté figure I. 2. On a ajouté sur la même figure les transports méridiensnon radiatifs d’énergie, induits par un tel bilan, et déjà évoqués au chapitre I.

Figure 6 – Allure du forçage radiatif du système Terre-Atmosphère (a),et des transports méridiens induits de chaleur, comptés positivement vers le Nord (b).

ii. Forçages radiatifs spécifiques (nuages, aérosols, agents radiatifs anthropiques, …)

Le concept de forçage radiatif peut également être défini pour un agent radiatif particulier,comme différence entre les flux radiatifs au sommet de l’atmosphère, en présence et enl’absence de cet agent.

Par exemple, avec des notations suffisamment parlantes, le forçage radiatif des nuages seraainsi défini par

( ) ( ). .

défsolaire tellurique

nuages surf atm claire nuages surf atm claire nuages nuagesFR F F FR FR ,

où les composantes solaire et tellurique sont définies par

( ). .( ). . (0)solaire

nuages surf atm claire surf atm claire nuages SoleilFR a a S

( ) ( ) ( ). .( 0) ( 0)tellurique tellurique tellurique

nuages surf atm claire surf atm claire nuagesFR F t F t

311

La détermination du forçage radiatif des nuages, à base de mesures par satellites, montre que,en moyenne annuelle, la composante solaire ( )solaire

nuagesFR est presque partout négative (effet

« parasol » des nuages), avec une variabilité géographique de 280 .W m à 220 .W m , alorsque la composante tellurique ( )tellurique

nuagesFR est presque partout positive (effet « de serre » des

nuages), avec une variabilité géographique de 210 .W m à 2100 .W m , le forçage net

nuagesFR étant dans l’ensemble négatif.

En valeurs planétaires, on peut retenir les valeurs type suivantes :

( ) 248 .solairenuagesFR W m , ( ) 228 .tellurique

nuagesFR W m , 220 .nuagesFR W m .

Si l’estimation expérimentale du forçage radiatif des nuages est relativement facile àconcevoir, compte tenu de la définition et des expressions ci-dessus, le forçage des autresagents radiatifs doit plutôt s’estimer par le calcul et la modélisation, à partir de donnéesexpérimentales sur la composition de l’atmosphère.

Par exemple, on a pu ainsi établir que les aérosols volcaniques (rayon de 0,5 m à 1 m )issus de l’éruption du volcan du Mont Pinatubo, en 1991, ont produit un forçage radiatif qui apu atteindre 25 .W m , et un refroidissement de surface de l’ordre de 0,5 C (le signe duforçage radiatif direct des aérosols dépend principalement de leur taille moyenne, et assez peude la distribution des tailles, l’effet à la surface terrestre étant un refroidissement pour lesaérosols de rayon inférieur à 2 m , un réchauffement pour les aérosols de rayon supérieur à2 m ).

Comme autre exemple de l’utilité de la notion de forçage radiatif, voici une estimation descontributions au forçage radiatif global du à l’évolution depuis 1750 (année considéréecomme début de l’ère industrielle) des principaux agents radiatifs agissant sur le systèmeTerre-Atmosphère : évolution anthropique de la composition de l’atmosphère (pour les agentsévoqués dans le présent cours), et variabilité de la constante solaire :

dioxyde de carbone : 21, 49 .W m à 21,83 .W mozone stratosphérique : 20,15 .W m à 20,05 .W mozone troposphérique : 20, 25 .W m à 20,65 .W maérosols, effet direct : 20,90 .W m à 20,10 .W maérosols, effet indirect : 21,80 .W m à 20,30 .W msurface terrestre : 20, 40 .W m à 20 .W mémission solaire : 20,06 .W m à 20,30 .W m

Le forçage anthropique total (incluant des agents non listés ci dessus, comme le méthane,l’oxyde nitreux, les halocarbones, les traînées de condensation, l’altération de la neige au solpar la pollution, …) est estimé compris entre 20,6 .W m et 22, 4 .W m .

312

2. EQUILIBRE DE L’ATMOSPHERE CLAIRE

A. Equilibre purement radiatif

a. Méthodologie de prise en compte de l’absorption solaire

Au chapitre IV, paragraphe 3, dans une première investigation de la structure« climatologique » d’une atmosphère claire en équilibre purement radiatif, on avait supposél’atmosphère transparente au rayonnement solaire, et déduit une première approche du profilde température d’équilibre purement radiatif. On renvoie à ce chapitre pour refaire le point surles raisonnements et les résultats (résultats qui seront retrouvés ici comme cas particuliers).

On se propose ici, toujours dans une démarche analytique, d’étendre un peu la généralité decette étude, en considérant que l’atmosphère n’est plus transparente au rayonnement solaire.On néglige toutefois toutes diffusions et réflexions au sein de l’atmosphère, y compris pour lerayonnement solaire (même si l’on considère l’existence d’un albédo planétaire).

La présence simultanée des rayonnements solaire et tellurique rend préférable, dans unpremier temps, l’étiquetage par les indices « ( )solaire » et « ( )tellurique » des notations desdifférentes grandeurs radiatives ; on remarquera toutefois que, en l’absence de diffusion, laluminance diffuse est entièrement de nature tellurique.

Comme au chapitre IV, paragraphe 3, on travaille sur les valeurs des luminances et des fluxintégrées d’un point de vue spectral ; la coordonnée verticale est donc l’épaisseur optique« grise » t , et plus précisément, a priori, ( )solairet dans le domaine spectral solaire, avec

( ) ( ) .solaire solaireabsdt K dz , et ( )telluriquet dans le domaine spectral tellurique, avec

( ) ( ) .tellurique telluriqueabsdt K dz .

La démarche va consister à travailler plutôt sur les grandeurs telluriques, l’absorption solaireétant prise en compte, très simplement, par le canal de la condition d’équilibre, comme on vamaintenant le préciser.

Dans les raisonnements « moyens », qui sont le cadre du présent chapitre, le flux solaireparallèle est affecté à un angle solaire moyen sur une, ou un nombre entier, de périodesnycthémérales (symbole de moyenne ) : au point courant d’épaisseur optique solaire

( )solairet , ce flux est donc

( )( ) ( ) . . (0).exp

solairesolaire solaire

SoleilSoleil

tF F S .

L’équilibre requiert( )

0totalFz

, où, avec des notations évidentes,( ) ( ) ( )total tellurique solaireF F F . On n’aura pas beaucoup de mal à établir que cette condition se

traduit par

313

( ) ( )( ) . . (0).exp

tellurique solairesolaire

absSoleil

F tK Sz

ou encore( ) ( )

( ) . . (0).exptellurique solaire

abstelluriqueSoleil

F tSt

,

avec( )

( )

solairedéfabs

abs telluriqueabs

KK

.

Or le taux de chauffage( )telluriqueF

zest évidemment la différence entre l’absorption du

rayonnement tellurique et l’émission.

Pour la luminance tellurique, intégrée sur le spectre et sur l’azimut, soit I , l’ETR prend dansce problème sa forme classique sans diffusion, dans laquelle toutefois le terme d’émission

( )B t peut être exprimé en fonction du taux de chauffage mis en évidence

(( )

( )

1( ) .4

tellurique

tellurique

FB t It

), soit

. ( )I I B tt

,

ce qui peut se ré-écrire ici

1( ) ( )( ) ( )

( )1

( ; ) 1 (0). ( ; ) ( ; ). . .exp2 4

tellurique solairetellurique tellurique

abstelluriqueSoleil

I t S tI t I t dt

On peut à ce stade simplifier les notations, en omettant l’indice « ( )tellurique » ; avec cetteconvention, et remarquant que ( ) ( ).solaire tellurique

abst t , l’ETR tellurique s’écrit :

1

1

. (0) .( ; ) 1. ( ; ) ( ; ). .exp2 4

abs abs

Soleil

S tI t I t I t dt

b. Traitement à deux paramètres énergétiques telluriques

Très naturellement, dans une démarche qui se veut analytique, on se place dans le cadre, bienétabli à ce stade, de l’approximation à deux paramètres énergétiques (deux luminances parexemple), dans lequel l’ETR se scinde en les deux sous-équations (probablement maintenantassez familières, à la forme près du terme d’émission) :

314

. (0) .1. ( ) .exp2 4

abs abs

Soleil

I S tI I It

. (0) .1. ( ) .exp2 4

abs abs

Soleil

I S tI I It

Une manipulation simple sur ces deux équations (addition et soustraction membre à membre,dérivation en t , substitution) permet de montrer que I I et I I satisfont auxéquations :

.d I I

I Idt

. (0) .. .exp2

abs abs

Soleil

d I I S tdt

L’intégration de ce système du second ordre est évidente (la seconde équation estindépendante):

2

1 2.(0). .exp( ) .

2abs

abs Soleil

tS tI I C C

1.(0). .exp( )

2abs

Soleil

tSI I C ,

oùdéf Soleil ,

Les luminances montante et descendante sont donc données par

1 2 1.(0) 1.(1 ). .exp( ) . ( )

4 2 2abs

abs Soleil

tS tI C C C

1 2 1.(0) 1.(1 ). .exp( ) . ( )

4 2 2abs

abs Soleil

tS tI C C C

Les constantes d’intégration 1C et 2C sont fixées par les conditions au sommet del’atmosphère.

La condition à la limite (0) 0I conduit à 2 1

. (0)(1 ).

2abs

SC C .

315

La condition d’équilibre au sommet de l’atmosphère exprime l’égalité entre valeursarithmétiques des flux solaire entrant (dans le présent cadre, . . (0)Soleil S ) et tellurique

sortant (dans le modèle à deux paramètres énergétiques, 2 . (0)I ) ; elle se traduit donc par. (0)

(0)2S

I , et conduit à 2 1

. (0)(1 ).

2abs

SC C .

Au final, 1 0C , 2

. (0)(1 ).

2abs

SC .

La figure 7 montre la variation verticale type des flux telluriques montant et descendant(après conversion, pour la coordonnée verticale, de l’épaisseur optique vers l’altitudegéométrique, par l’une des voies mentionnées plus bas).

Figure 7 – Variation verticale type des flux telluriques montant et descendant ;trait continu : solution radiative ; tirets : solution radiative+convective, expliquée plus bas.

c. Facteur d’effet de serre et profil de température

Pour expliciter les profils du facteur d’effet de serre( )

(%)( )

telluriquedéfémis

telluriquesommet

FESF

, et de température

1/ 4( )telluriqueémis

radFT , le paramètre intéressant de la solution est la fonction source ( )tellurique

émisF ,

qui s’exprime dans le cadre ici retenu par

316

( ) .1 (0)( ) . ( ) . .exp( )2 4

tellurique absémis abs

Soleil

tSF t I I ,

Le calcul conduit à

( )2. (0)( ) .1. (1 ).exp( ) . 1

2 2

telluriqueémis abs

Soleil

SF t t ,

oùdéf

abs

,

et où l’on a isolé en facteur de tête la « contribution tellurique » au sommet de l’atmosphère

de la luminance solaire incidente, soit. (0)2S

.

On vérifiera facilement (utiliser le développement limité pour lever l’indétermination à la

limite 0abs , ) que, dans le cas( )

( ) 0solairedéf

absabs tellurique

abs

KK

, qui correspond à l’absence

d’absorption solaire au sein de l’atmosphère, on retrouve bien le résultat du chapitre IV,paragraphe 3, qui se plaçait exclusivement dans cette hypothèse, soit

( ) 0 . (0)( ) 1.( )2 2 2

abstelluriqueémis SF t t .

Le facteur d’effet de serre est donné par

(%) 2 .1 (1 ).exp( ) . 12

abs

Soleil

tES ,

et le profil de température d’équilibre radiatif (dans l’hypothèse d’émission noire) par

1/ 4

2 .1( ) . (1 ).exp( ) . 12

absrad eff

Soleil

tT t T ,

où1/ 4. (0)

.2

déf

eff

ST est la température (radiative ) effective au sommet de

l’atmosphère, telle que « vue de l’espace extra-terrestre », et différente de la température

« réelle » au sommet de l’atmosphère,1/ 4

1(0 ) .2rad effT T .

317

La figure 8.a présente l’allure des profils de température d’équilibre purement radiatif (aprèsconversion, pour la coordonnée verticale, de l’épaisseur optique vers l’altitude géométrique,par l’une des voies mentionnées plus bas).

Figure 8 – Profils de température d’équilibre(a) : radiatif, (b) : « radiatif+convectif » expliqué plus bas.

La fonction de chauffage radiatif ( )déf dH z ( ( , ))

rad

Q div F x tdt

est aussi un produit de la

solution :

( ) ( ) ( ) . ( ) ( )tH z F z F z F t F tz z t

soit

318

4 4

0

' '( ) . 2 . ( ).exp( ) 2 . ( ').exp( ).atmt

atmatm

Soleil Soleil

t tt t t dtH z T t T tz

d. Conversion entre épaisseur optique et altitude

Pour disposer de l’expression classique, en altitude « géométrique » z , des profils desparamètres radiatifs liés à la solution trouvée, il faut évidemment disposer d’une relation entrel’altitude z et l’épaisseur optique t .Une telle relation peut être obtenue en supposant que l’absorption, de coefficient gris absK , estle fait d’un absorbant dominant (la vapeur d’eau)

soit en considérant cet absorbant comme un gaz parfait ( . .abs abs absp R T ) en

équilibre hydrostatique ( . .abs absabs

abs rad

p pggz R T

) ; l’hypothèse d’absorption

grise, et l’approximation hydrostatique, permettent en effet d’exprimer l’épaisseuroptique en fonction de la pression partielle d’absorbant, selon

1( ) ( ). . . ( . ). . ( )z z

abs absabs abs abs abs

p Kt z K d K d p zg g

,

et ( )absp z est entièrement déterminée par les hypothèses énoncées et le profil detempérature.

soit en supposant une distribution verticale de la teneur de l’absorbant, le plus souvent

du type ( ) (0).exp( )abs absabs

zzh

, et en postulant ( ) .expatmabs

zt z th

, avec

0 0

( 0) ( ). . . ( ). ( 0). .atm abs abs abs abs abs abs abst t z K d K d z K h ; pour la

vapeur d’eau,2

2abs H Oh h km .

e. Importance relative des absorptions et facteur d’effet de serre

On peut faire un certain nombre de commentaires sur la solution d’équilibre radiatif mise enévidence, au regard des importances relatives des absorptions solaire et tellurique.

le cas 1abs , soit ( ) ( )solaire telluriqueabs absK K , décrit un effet de serre conséquent :

pénétration profonde du rayonnement solaire, mais piégeage du rayonnementtellurique. La température limite, correspondant à une épaisseur optique très grande,est

1/ 41/ 4 ( )

( )

1. . .2

atm telluriquet tabs

Soleileff eff solaireabs

KT T TK

.

Ce schéma décrit bien le profil de température de certaines planètes à fort effet deserre, comme Vénus, mais ne rend pas complètement compte du profil del’atmosphère terrestre, fortement influencé par la surface, et par les effets convectifs.

319

le cas 1abs , soit ( ) ( )solaire telluriqueabs absK K , fournit un profil isotherme de la température

d’équilibre radiatif.

le cas 1abs , soit ( ) ( )solaire telluriqueabs absK K , correspond à ce qu’on pourrait appeler « un

effet de serre à l’envers », dont on donne souvent comme illustrations l’inversion detempérature de la stratosphère (causée par l’absorption de rayonnement solaire parl’ozone), ou encore des situations de type « hiver nucléaire », ou de suite d’éruptionvolcanique majeure (caractérisée par une forte absorption solaire par les aérosols ensuspension dans l’atmosphère).

La figure 9 présente l’allure de la variation avec l’épaisseur optique du facteur d’effet de serre local(donc aussi de la puissance quatrième de la température) de la solution trouvée, dans diverseshypothèses sur abs .

Figure 9 – Variation du facteur d’effet de serre avec l’épaisseur optique,

pour diverses valeurs de( )

( )

solaireabstellurique

abs

KK

,

dans le modèle radiatif simple du présent paragrahe.

320

f. Limitations de l’approche purement radiative de l’équilibre

i. Instabilité hydrodynamique des profils purement radiatifs

S’il apparaît relativement pertinent dans la stratosphère, le profil de température de l’équilibrepurement radiatif ne représente pas bien le profil réel de la troposphère terrestre.

Il présente le grave défaut de produire d’importants sauts de température positifs entre surfaceterrestre et atmosphère au contact de celle-ci, ainsi que des gradients de température sur-adiabatiques dans la partie inférieure de l’atmosphère, autant de configurations instables d’unpoint de vue hydrodynamique, auxquelles, dans la réalité, remédient des mouvements fluidesconvectifs qu’il ne prend pas en compte, et sur lesquels on reviendra au paragraphe suivant.

ii. Sauts de température entre surface et atmosphère

On aura noté que la solution d’équilibre qui a été trouvée plus haut est entièrement déterminéepar les conditions à la limite supérieure (c’est une particularité du modèle « gris »), et nedépend pas des conditions de surface ; par contre la température d’émission de la surface peutse déduire de la solution par le recours à la condition à la limite inférieure 4. ( ) .atm surfI t T .

De

4 . (0) .1. . ( ) . . (1 ).exp( ) (1 )2 2

abs atmsurf atm

Soleil

S tT I t

et( )

4 2. (0)( ) .1. ( ) . . (1 ).exp( ) . 12 2

telluriqueémis atm abs atm

atmSoleil

SF t tT t

on déduit facilement (calculer d’abord4 4

4

( )surf atm

surf

T T tT

) :

1/ 42 .(1 ).exp( ) .(1 )

( )1 ..(1 ).exp( ) .(1 )

abs atm

Soleilsurf atm

abs atmsurf

Soleil

t

T T ttT

,

Ce saut relatif de température à la surface est toujours positif, et, toutes choses égales parailleurs, maximum à la limite de l’absorption solaire négligeable, pour laquelle

1/ 4( )

12

surf atm atm

surf atm

T T t tT t

(utiliser le développement limité pour lever

l’indétermination à la limite 0abs , ), résultat déjà mis en évidence au chapitre IV,paragraphe 3.

321

iii. Gradients instables de température près de la surface

Le modèle d’équilibre purement radiatif développe dans la partie basse de l’atmosphère des

gradients de température instables, c’est-à-dire, en atmosphère claire, tels quep

T gz C

.

Pour le mettre en évidence, il faut évidemment choisir un mode de conversion de lacoordonnée verticale, de l’épaisseur optique vers l’altitude.

Ainsi, on peut avoir une idée du niveau en dessous duquel de tels gradients sont présents, ensupposant que l’absorption est le fait d’un absorbant dominant, considéré comme gaz parfait

( . .abs abs absp R T ), en équilibre hydrostatique ( . .abs absabs

abs rad

p pggz R T

), et réparti

selon ( ) (0).exp( )abs absabs

zzh

.

Comme déjà indiqué au d. plus haut, on peut ainsi exprimer l’épaisseur optique en fonction dela pression partielle d’absorbant :

1( ) ( ). . . ( . ). . ( )z z

abs absabs abs abs abs

p Kt z K d K d p zg g

,

donc le profil de température en fonction de la pression partielle, et finalement le gradient detempérature en fonction de l’épaisseur optique :

. . . .rad rad abs rad

abs abs rad

T T p Tt g tz t p z R T t

,

le profil ( )radT t ayant été établi plus haut.

Dans le cas, analytiquement simple, du profil d’équilibre radiatif sans absorption solaire, soit1/ 4

. (0) 1( ) .2 2 2rad

S tT t , le profil est instable si .( 4 ) 4 .p abs abst C R R .

Cette condition, d’une part montre que l’existence de profils instables n’est possible que si

4p absC R , et d’autre part, cette condition étant réalisée, fixe à4 .

4abs

instp abs

Rt

C Rl’épaisseur

optique au dessus de laquelle le profil est effectivement instable.

B. Equilibre radiatif+convectif, stratosphère et troposphère

a. Nécessité d’une correction convective à l’équilibre radiatif

Le modèle d’équilibre purement radiatif de l’atmosphère, dont une version simplifiée« grise » a pu être développée analytiquement ci-dessus, ne représente pas bien la températurede surface (trop élevée de quelques dizaines de degrés), ni la structure d’équilibre observée dela basse atmosphère terrestre. L’ozone absorbe effectivement suffisamment le rayonnementsolaire pour créer une couche atmosphérique supérieure radiative, à haute température, mais,plus bas, l’absorption du rayonnement solaire n’est pas suffisante pour éviter un chauffage

322

important de la surface terrestre, avec la conséquence que l’équilibre de la basse atmosphèreterrestre n’est pas purement radiatif, mais résulte aussi d’effets convectifs.

L’équilibre purement radiatif de l’atmosphère implique en effet d’importants sauts detempérature entre la surface, plus chaude, et l’air au contact de la surface, ainsi que desgradients sur-adiabatiques de température dans l’atmosphère au voisinage de la surface(figure 8.a.).

De telles configurations sont, dans la réalité physique, instables du point de vuehydrodynamique : des mouvements dits « convectifs » prennent naissance dans l’atmosphèrepour effacer de tels gradients ; ces mouvements ont des échelles verticales de quelquesdizaines ou centaines de mètres pour la convection « peu profonde », de couche limiteatmosphérique, de quelques kilomètres pour la convection « profonde », liée surtout à ladynamique des grands cumulonimbus, particulièrement inter-tropicaux, et aux changementsde phase de l’eau associés.

On renvoie aux ouvrages de météorologie générale ou de mécanique du fluide atmosphériquepour une investigation du complexe phénomène de convection.

Dans l’atmosphère d’un modèle d’équilibre corrigé des effets convectifs, la partie basse, enéquilibre « radiatif+convectif », définit la troposphère, cependant que la partie haute, enéquilibre purement radiatif, représente la stratosphère ; la limite entre les deux représente latropopause (qui dans la réalité est une zone d’extension verticale non nulle).

b. Ajustement convectif

La prise en compte, dans une approche simple de l’équilibre atmosphérique, de l’interventionde mouvements convectifs, n’est pas facile : la physique de ces derniers est complexe, et seprête mal à une approche de type analytique réaliste .

L’approche la plus élémentaire consiste à s’appuyer sur la notion d’ajustement convectif :l’équilibre est radiatif, sauf s’il produit des gradients de température instables, auquel cas legradient instable est remplacé par un gradient d’équilibre « corrigé », qui peut être le gradient« adiabatique », mais qui est plus souvent le gradient troposphérique moyen observé de

10,65 .K m (ce qui, évidemment, « force » l’accord de la solution avec la réalité observée !).

La mise en place du mécanisme d’ajustement convectif demande certaines précautions, si l’onveut éviter de remplacer un irréalisme physique par un autre.

Si, en effet, on substitue le gradient corrigé au gradient d’équilibre radiatif, brutalement entreinstt et atmt , on crée au niveau instt une discontinuité de flux (radiatif) montant qui, à travers la

discontinuité de flux total (le flux descendant, déterminé seulement par la partie supérieured’atmosphère, non affectée par le processus d’ajustement, reste continu), viole la loi deconservation de l’énergie.

En effet, le flux montant dans la zone radiative, à 0instt , qui n’est pas affecté par leprocessus d’ajustement convectif (la solution radiative étant entièrement déterminée par lesconditions au sommet de l’atmosphère), reste égal à sa valeur dans la solution radiative

323

développée plus haut, alors que le flux à 0instt , dans la zone d’ajustement convectif, estdonné par

4

4 '( 0) 2 . . ( ).exp( ) 2 . ( ) . ( ') .exp( ). 'atmt

atminst atm atm

corrigét

t t T t tF t T t T t z t dtz

et est inférieur au flux avant ajustement, qui assurait la continuité (le flux avant ajustementobéit à la même expression, dans laquelle, dans l’intégrant, la température

. ( ')surfcorrigé

TT z tz

est remplacée par la température ( ( '))radT z t , strictement inférieure

pour 0 instz z , ou 'atm instt t t ).

En réalité, comme de fait l’ajustement convectif ne porte que sur le gradient de température,pas sur la température elle-même, on peut jouer sur l’altitude en dessous de laquelle onl’applique, pour assurer la continuité du flux à la tropopause, et chercher une valeur deremplacement de instt assurant l’égalité des deux flux écrits juste au dessus ; la tropopauseainsi re-calculée se trouve localisée à quelques kilomètres au dessus de instz . Les figures 7et 8.b illustrent la démarche d’ajustement convectif.

La détermination exacte de la tropopause, comme niveau de continuité du flux radiatif entrezones d’équilibre radiatif et « radiatif+convectif », évoquée ci-dessus, échappe àl’investigation analytique, et doit se conduire par voie numérique.

L’exploitation des résultats de ces calculs numériques permet toutefois de déterminer unetempérature de l’air au contact de la surface, soit ( )rad conv atmT t , à partir de laquelle on peutappliquer le gradient d’équilibre pour reconstituer le profil « radiatif+convectif » :

( ) . . ( )atmrad conv atm eff abs

corrigé eff

tTT t T h Logz t

où l’altitude effz , correspondant en fait à l’épaisseur optique efft telle que ( )rad eff effT t T , etapproximativement au niveau de refroidissement radiatif maximum, a été estimée par le biaisde la relation classique (basée sur l’absorbant dominant vapeur d’eau) entre épaisseur optiqueet altitude.

Pour l’atmosphère moyenne, un choix comme 10,65 .corrigé

T K mz

,2abs H Oh h ,

2

( )0,8 0,1atm H Ot W (où

2 2 2

( )( 0).H O H O H OW z h est la quantité d’eau précipitable, exprimée

en 2.kg m ), 1 23,1 0, 24eff atmt t , optimise la reconstitution, au contact de la surface, de

l’intensité de l’effet de serre (voisin de 250 .W m ), et assure la cohérence avec la dépendanceconnue du facteur d’effet de serre, par rapport au contenu intégré en vapeur d’eau (figure 5par exemple).

324

C. Modulation spectrale sommaire des raisonnements

La prise en compte un tant soit peu réaliste d’une dépendance spectrale de l’absorption esthors de portée des méthodes analytiques. La figure 10 montre des profils d’équilibre detempérature, obtenus avec une telle amélioration, par voie numérique.

Figure 10 – Exemple de profil atmosphérique de températureque l’on peut obtenir en relaxant l’hypothèse d’absorption grise.

On peut toutefois améliorer légèrement le modèle convectif+radiatif analytique ens’affranchissant de façon rudimentaire de l’hypothèse d’absorption « grise » ; trèsgrossièrement il s’agit de prévoir l’existence d’une fenêtre atmosphérique fenêtre

( 8 ,12fenêtre m m pour la vapeur d’eau atmosphérique).

L’idée est d’introduire le rapport de l’émission de la fenêtre à l’émission totale, sorte de« facteur de transparence »,

4

1( ) . ( )..

fenêtre

déf

fenêtre T B T dT

,

325

et de considérer que la fraction fenêtre de l’émission s’échappe librement vers l’espace.

Les flux radiatif+convectifs deviennent ainsi, avec une notation évidente quant à la prise encompte de l’effet de la fenêtre,

4( ; ) (1 ). ( ;0) . . ( ; )fenêtre fenêtre fenêtre atm fenêtreF t F t T t

4

0

'( ; ) 2 (1 ). . ( '; ).exp( ). 't

fenêtre fenêtre fenêtreSoleil

t tF t T t dt

et les résultats obtenus en l’absence de fenêtre ( 0fenêtre ) peuvent être généralisés ; ontrouve par exemple

1/ 4(%)

(%)

( 0)( ; ) .

(1 ) . ( 0)surf fenêtre

atm fenêtre efffenêtre fenêtre surf fenêtre

EST t T

ES

soit

1/ 44( ; )

( ; ) ( ;0). (1 ) . atm fenêtreatm atmfenêtre fenêtre fenêtre

eff

T tT t T t

T

L’existence de la fenêtre a donc bien pour effet de diminuer la température de surface, ce quiétait attendu, puisqu’elle augmente le refroidissement de la surface, et diminue le piégeaged’énergie radiative tellurique.

Enfin, la fonction de chauffage radiatif en présence d’une fenêtre est

( ; ) (1 ). ( ;0)fenêtre fenêtreH z H z

3. CONSIDERATIONS ELEMENTAIRES SUR L’IMPACT DES NUAGES

A. Mise en contexte

La prise en compte un tant soit peu réaliste de l’impact des nuages sur les caractéristiquesmoyennes de l’atmosphère échappe largement aux possibilités de raisonnements analytiquescomme ceux qui ont été conduits dans le début de ce chapitre ; les nuages présentent unegrande diversité de composition (gouttelettes d’eau et/ou cristaux irréguliers de glace, deformes et de tailles très variables), d’altitude, d’extensions horizontale et verticale, de cyclesde vie, ainsi que de complexes effets réciproques d’écrans (solaire comme tellurique) entrecouches nuageuses, etc…, qui rendent indispensable le recours à la modélisation numériquedétaillée (elle-même d’ailleurs pas encore complètement décisive, différents modèles pouvanttoujours fournir des résultats assez différents en la matière).

326

L’incursion que l’on propose ici dans ce sujet sera donc très modeste, limitée, et introductive ;elle se place par ailleurs, comme une bonne partie du paragraphe précédent, et dans lacontinuité de celui-ci, sur le seul terrain du rôle des nuages sur la température de surface.

L’effet des nuages sur la température de surface résulte d’une compétition entre leurspropriétés de réflexion du rayonnement solaire, donc de refroidissement, et de leurs propriétésd’augmentation de l’effet de serre, de réchauffement.

B. Effet d’un nuage élevé sur la température de surface de l’air

L’absorption nette d’une tranche nuageuse fine, homogène horizontalement, d’émissivité deflux , insérée au niveau z d’une atmosphère claire, vaut en première approche (sans tenircompte de l’effet du nuage sur le reste de l’atmosphère) 4. ( ) ( ) 2 . ( )F z F z T z , où fluxet température sont relatifs à l’atmosphère claire.

Accessoirement, si on assimile l’absorption radiative du nuage à une occultation complète durayonnement par un ensemble de petites sphères de rayon r (particules d’eau condensée,liquide ou glace, de masse volumique cond ), en nombre volumique n , le coefficient massiqued’absorption est

2

3

surfaced'interception . . 34massed'eau condensée 4 .. . .3

abscond

cond

n rKrn r

,

et l’émissivité est( )

.1 exp( )abs condK W ,( )

condW (( )W pour l’eau liquide) désignant le

contenu intégré en eau condensée (le facteur de diffusivité1

1,66 chiffrantclassiquement l’effet de l’allongement relatif moyen du trajet du rayonnement par rapport àun trajet purement vertical).

Dans la basse atmosphère, l’absorption nette du nuage considéré est négative, car le fluxsortant du nuage par son sommet (s’échappant en grande partie vers l’espace à travers lafenêtre) excède de loin le flux entrant dans le nuage par sa base. Mais la température, etl’émission propre 42 . ( )T z , décroissent rapidement avec l’altitude, et, au dessus d’un certainniveau, l’absorption nette est positive, et correspond pour le nuage considéré à unréchauffement.

L’effet, sur la température de l’air à la surface terrestre, d’un tel nuage homogènehorizontalement dont la base se situe au dessus de l’altitude effz de l’atmosphère claire, peuten fait, en pratique, se traiter par une correction nuageuse ad-hoc au résultat semi-empiriqueobtenu pour l’équilibre radiatif+convectif non nuageux.

Il se trouve, par exemple, que la formulation ( ) . . ( )atmrad conv atm eff abs

corrigé eff

tTT t T h Logz t

,

avec la valeur corrigée de la présence nuageuse2

( ) ( )( )0,8 0,1 .nuageatm H O abs condt W K W , est en

327

assez bon accord avec les données du facteur d’effet de serre de surface en présence de nuage(figure 5), si on prend pour le coefficient d’absorption ( )nuage

absK une valeur de l’ordre de2 10,10 .m g à 2 10,15 .m g , correspondant à la valeur expérimentale dans la fenêtre, autour de

la longueur d’onde 11 m .

C. Effet de l’albédo solaire des nuages

Le paramètre important de l’influence des nuages dans le domaine spectral solaire estl’albédo.

On a trouvé au chapitre IV (IV. 2. D.), dans le cadre d’un modèle à deux paramètresénergétiques, que l’albédo de l’ensemble constitué, sur la verticale, d’une surfaceréfléchissante et d’un nuage, était donné par

2

( )

.1 .

surf nuagesurf nuage nuage

surf nuage

aa a

a a,

soit, en l’absence d’absorption par le nuage, par :

2

( )

.(1 ) 2 .1 . 1 .surf nuage nuage surf surf nuage

surf nuage nuagesurf nuage surf nuage

a a a a a aa a

a a a a

La même formulation avec le même corpus d’hypothèses, s’applique à l’atmosphère claire audessus d’une surface, et à un nuage au dessus d’une atmosphère claire et d’une surface, soit,avec des notations évidentes

( . ) ( ) ( . ) ( )( . )

( . )

2 .1 .

surf atm claire nuage surf atm claire nuagesurf atm claire nuage

surf atm claire nuage

a a a aa

a a

où

( ) ( . ) ( ) ( . )( . )

( ) ( . )

2 .1 .

surf atm claire surf atm clairesurf atm claire

surf atm claire

a a a aa

a a

Au niveau planétaire, supposant une fraction nuageuse globale T ANéb , et toujours avec desnotations évidentes :

( . ) ( . ). (1 ).surf atm claire nuage surf atm claireT A T A T A T A T Aa Néb a Néb a

Pour l’albédo solaire propre du nuage, on peut se tourner vers l’expression issue du modèle àdeux paramètres énergétiques, abordé au chapitre IV ; en présence de rayonnement solaireparallèle, et pour une longueur d’onde donnée, on trouve :

328

(1 ).(1 ). ( ). 1 exp

(1 ). 2

nuage nuagenuage nuage Soleil

Soleilnuage

nuage nuage

g tg t

ag t

,

La valeur planétaire de cette expression, moyenne sur toutes les valeurs de l’angle zénithalsolaire, est alors

( ) (1 ).(1 ). 2

nuage nuagenuageT A

nuage nuage

g ta

g t.

Des paramétrisations classiques, issues des résultats de la théorie de Mie, du type

( ) ( )( )1 2. . .tnuage

nuage abs t tt K W r W

1 2. gnuage g gg r

permettent en principe de relier l’albédo aux caractéristiques nuageuses globales.

Malheureusement, on touche là une limite du modèle à deux paramètres, qui, avec des rayonsmoyens réalistes de particules nuageuses, surestime fortement l’albédo, un effet attribué àl’absence de limites horizontales au nuage.

D. Effet net des nuages sur la température de surface

On s’intéresse maintenant à l’influence des nuages sur la température de surface moyenne dela Terre, dans le cadre d’un raisonnement très simplifié considérant que cette influence semanifeste par une dépendance du facteur d’effet de serre de surface par rapport au contenu eneau liquide des nuages W , et retenant en outre, sur la base de la figure 5, une relationlinéaire :

(%)( )(%) (%)

( )

0

( ) (0) .surfsurf surf

ESES W ES W

W

(concrètement, (%) (0) 1,6surfES ,(%)

1 2

( )

0

4 .surfESkg m

W).

Plus précisément, on s’interroge sur la valeur de l’albédo, au dessus de laquelle, par rapport àl’atmosphère claire, l’effet de refroidissement, dû à la réflexion solaire par les nuages,l’emporte sur l’effet de réchauffement, dû à l’effet de serre tellurique créé par les nuages. Onsuppose que les paramètres considérés sont relatifs à une moyenne zonale (ou à l’ensemble dusystème Terre-atmosphère).

Compte-tenu des définitions du facteur d’effet de serre et de l’albédo, il est facile d’établir que

329

(%)( . )( ) ( )4 4

( . ) (%) ( )

0

1 1( ) (0). . 1 . .1 (0)

surf atm claire nuagesurf

surf surf surf atm claireT A surf

ESaT W T Wa ES W

La valeur de transition ( . )surf atm claire nuagetransitiona cherchée s’obtient pour

( )( ) (0)surf surfT W T , soit

(%)( )( . )

(%) ( )

( . ) 0

(%)( )

(%) ( )

0

1 . .(0)

11 . .(0)

surfsurf atm claire

surfsurf atm claire nuage

transition

surf

surf

ESa W

ES Wa

ESW

ES W

L’estimation

. ..

.

2 .1 .

surf atm claire nuage surf atm claire nuagesurf atm claire nuage

surf atm claire nuage

a a a aa

a a,

si l’on suppose connue .surf atm clairea ( . ..

.

2 .1 .

surf atm claire surf atm clairesurf atm claire

surf atm claire

a a a aa

a a), permet de

transformer des observations de( )

( )nuagea W , disponibles dans la littérature, en « pseudo-

observations »( )

. ( )surf atm claire nuagea W , et de positionner les observations existantes parrapport à l’albédo de transition.

Le résultat de telles estimations est que l’effet des nuages des latitudes moyennes estclairement refroidissant, alors que l’effet des nuages inter-tropicaux est plutôt réchauffant, unrésultat en accord qualitatifs avec ceux de modèles plus détaillés et plus réalistes.

Concernant l’effet des nuages (de nébulosité Néb ) sur la température de surface, en pratique,on peut envisager une généralisation des résultats semi-empiriques clairs sous la forme :

2

2

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

0,8 0,1( ) (1 ). . . ( )

0,8 0,1 .. . . ( )

clairH Oclair

rad conv atm eff abscorrigé eff

nuages nuageH O abs condnuages

abscorrigé eff

WTT t T Néb h Logz t

W K WTNéb h Logz t

330

XII. INVERSION DU TRANSFERT RADIATIF

Ce chapitre aborde, à un niveau introductif, le problème de l’inversion de l’équation dutransfert radiatif, en se limitant, pour ce qui concerne l’illustration, à l’inversion de l’ETRtellurique, en vue de la restitution des profils verticaux de température et de concentration decertains constituants de l’atmosphère, à partir de mesures radiatives réalisées par satellite ausommet de l’atmosphère.

Sa seule ambition est la facilitation d’une approche ultérieure éventuelle de la littératurepropre à la technique hautement spécialisée et difficile de l’inversion, ainsi que celle desnombreuses applications de cette technique qui relèvent du domaine du transfert radiatif engéophysique.

Une première partie est consacrée aux problèmes que pose, d’une façon générale, ladémarche d’inversion, et aux principales approches mathématiques envisageables.

La seconde partie propose, en illustration, quelques exemples de concrétisation, parmi biend’autres possibles, des méthodes évoquées.

1. INTRODUCTION AUX PROBLEMES INVERSES

A. Problématique de l’inversion

a. Cadre général

i. Sémantique

En physique mathématique, on appelle le plus souvent « problème inverse » la question de lareconstitution mathématique (ou « restauration ») de la valeur obsX d’un paramètre physique« d’état » X , à partir d’une « donnée », souvent constituée d’une mesure mesY d’un autreparamètre physique Y , et de la connaissance d’une relation physique liant X et Y (on écarteici l’acception « ajustement de modèle », question de la reconstitution d’un modèle de larelation physique, à partir de la connaissance obsX et de mesY ).

L’indice « obs », pour « observé », est ici utilisé pour qualifier la valeur reconstituée duparamètre d’état, parce que cette démarche est à la base de la détermination expérimentale, ouobservation, indirecte (par mesure d’un autre paramètre) : le « système d’observation » (deX ) est alors l’ensemble constitué du dispositif instrumental de mesure (de Y ), et de laméthode d’inversion (de la relation physique).

Ainsi, dans le domaine du transfert radiatif en météorologie, le problème type envisagé ici enillustration (qui n’est toutefois qu’un exemple parmi d’autres) est celui de l’observation de

331

paramètres atmosphériques (comme les profils verticaux de température, de concentrationd’un certain constituant,…), à partir de mesures d’énergie radiative au sommet del’atmosphère (réalisées à l’aplomb de la verticale considérée, par satellite artificiel de laTerre), et de l’inversion de l’ETR tellurique.

La relation physique liant X et Y , en général complexe et imparfaitement connue, est, enfait, remplacée par une modélisation connue, laquelle, pour simplifier, est supposée ici dequalité suffisante pour n’introduire qu’une erreur négligeable devant les autres causesd’incertitude de l’inversion.

Le modèle en question, M , fait intervenir ses propres paramètres d’influence, symbolisés parmodP (dans le cas radiatif atmosphérique visé : profils atmosphériques autres que celui qui fait

l’objet de l’inversion, caractéristiques de la surface terrestre, caractéristiques instrumentales,…), et il peut être implicite : mod( , ; ) 0M X Y P , ou explicite : mod( ; )Y M X P ; sous cettedernière forme, seule considérée dans la suite, on le baptisera ici « modèle direct » (qu’ils’agit « d’inverser » dans l’observation).

Enfin, peuvent (ou doivent, comme il apparaîtra) avoir leur place dans l’inversion : deserreurs de mesure, des informations « a priori » sur la solution cherchée, des paramètresintroduits par l’algorithme d’inversion lui-même, etc…

A ce stade de la présentation, les variables et relations évoquées peuvent avoir une naturemathématique (fonctionnelle, tensorielle, …) très générale : les paramètres peuvent êtrecontinus ou discrets, être définis sur des espaces de dimension finie ou infinie, le modèledirect peut être linéaire ou non-linéaire, etc… (dans la suite, pour faciliter, s’il en est besoin,la lecture, on affectera classiquement d’une flèche supérieure les symboles des paramètres,lorsque ceux-ci seront considérés comme « vecteurs », et d’une double flèche supérieure lessymboles des « matrices » qui pourront apparaître dans les problèmes linéaires, ou linéarisés).

En général, le problème inverse est mathématiquement « mal posé » : existence, unicité,continuité par rapport aux données, de la solution, ne sont pas, pour toutes ou parties de cespropriétés, assurées. Pratiquement, on intègre en outre ici dans l’évocation de la continuité lanotion de « conditionnement », qui réside dans la sensibilité du paramètre physique d’état àreconstituer aux erreurs sur la donnée ; en général le modèle direct est « mal conditionné » :une petite perturbation sur Y peut entraîner une grande perturbation sur X (une petite erreurde mesure sur Y peut ainsi entraîner une grande erreur sur la valeur reconstituée de X ).

Compte tenu des incertitudes et approximations en jeu (erreurs de mesure, échantillon fini demesures d’un paramètre continu, imperfections du modèle direct, artéfacts introduits parl’algorithme d’inversion, …), la mesure mesY peut correspondre à beaucoup de valeurs différentes(voire très différentes) de X . En pratique, physiquement, toute valeur obsX de X à laquellel’application du modèle direct fournit une valeur de Y située dans la plage d’incertitude de lamesure mesY , est une solution acceptable du problème inverse (qui peut d’ailleurs, au sensmathématique habituel, n’avoir aucune solution exacte, ou en avoir un très grand nombre).

ii. Grandes options d’approche

Il n’est en général pas possible de dresser l’inventaire exhaustif de telles solutions approchées,à partir duquel on pourrait choisir à l’aide de critères complémentaires (vraisemblance

332

physique, informations a priori, …) ; en pratique, on attaque donc les problèmes inversesselon deux voies principales (on n’évoque pas ici le point de vue, essentiellement théorique,lié à des changements d’espaces de définition et de topologies) :

des méthodes « de régularisation », qui, en gros, consistent à remplacer le problèmeinitial, mal posé, par un autre problème, bien posé, et « suffisamment proche » decelui-ci ;

des méthodes stochastiques, qui visent à prendre en compte les incertitudes en traitantles variables du problème comme aléatoires, et en travaillant donc plutôt sur lesdistributions de probabilité de celles-ci.

Il n’est pas question ici de faire un point détaillé sur les problèmes soulevés par la démarched’inversion, et encore moins sur les solutions possibles.

On se bornera à évoquer les concepts de base classiques de ce domaine hautement spécialisé,et on fera la part belle, compte tenu du caractère dominant pédagogique du présent ouvrage,au modèle linéaire en dimension finie, par exemple obtenu par linéarisation ou discrétisationde modèles plus complexes (les autres situations faisant parfois l’objet d’un bref commentaireintroductif).

iii. A propos d’optimisation

Les deux voies d’approche mentionnées ci-dessus, par régularisation et stochastique,différentes a priori au niveau de la philosophie, ne sont pas sans présenter certaines parentés :elles conduisent souvent, toutes deux, à des problèmes mathématiques, semblables,d’optimisation de fonctionnelles, « sans contraintes » ou « sous contraintes ».

Il s’agit alors de trouver X X , qui minimise une fonction « coût » (ou « critère », ou

« objectif », …), à valeurs réelles ( )S X , et qui appartienne à un sous-ensemble de X

défini par des contraintes données, sous forme d’égalités et/ou d’inégalités (à tout X enl’absence de contraintes).

Dans le présent chapitre, on se borne à évoquer la partie de l’approche de l’inversion située enamont de tels problèmes d’optimisation ; il est naturellement hors de question de rentrer dansla discipline, extrêmement foisonnante et elle-même très spécialisée, de l’optimisation, etdans toutes ses techniques disponibles.

On peut toutefois signaler ici le recours possible, et de plus en plus répandu, à l’utilisation desréseaux de neurones, dont on a pu montrer ces dernières années qu’ils sont bien adaptés à larésolution des problèmes inverses géophysiques non-linéaires.

Par rapport aux méthodes plus classiques, dans lesquelles le choix des conditionsd’initialisation de l’algorithme est en général déterminant, et qui ne s’appliquent que« localement », à chaque mesure, ces méthodes n’ont besoin d’autre information que laconnaissance de la valeur de la fonction coût, et permettent de trouver un optimum « global »,applicable à toutes les mesures.

333

Le revers de la médaille est toutefois le coût en calcul, et l’absence relative de résultatsthéoriques utiles sur la question de la convergence.

b. Illustration : modèle de Fredholm du transfert radiatif tellurique

i. Le problème de Fredholm de première espèce, …

Dans le cas de l’inversion du rayonnement tellurique mesuré au sommet de l’atmosphère, onpeut considérer, comme on peut le vérifier dans les chapitres précédents (voir aussi leparagraphe 2. ci-dessous), que la variable radiative spectrale mesurée, ( )Y , et la variableatmosphérique ( )X z (profil de température, ou de concentration d’un constituant), sontreliées par un modèle de transfert radiatif direct, ou « ETR directe », en général de la forme

2

1

( ) ( , ). ( ).z

z

Y K z X z dz , 1 2,

ou, sous forme symbolique

Y K X

Cette relation, qui constitue d’ailleurs le modèle direct d’une large gamme de problèmesphysiques inverses, est connue en mathématiques, lorsqu’il s’agit de l’inverser, sous le nomd’équation de Fredholm de première espèce, de « fonction poids », ou de« noyau d’observation », ( , )K z (l’équation de Fredholm de seconde espèce étant, pour

information, du type2

1

( ) . ( ) ( , ). ( ).z

z

Y X K z X z dz , étant un scalaire constant).

Les fonctions X et Y y sont en général supposées de carré sommable sur leur intervalle dedéfinition : 2

1 2( , )X L z z , 21 2( , )Y L , et la norme mathématique pertinente est donc la

norme au sens de 2L , soit

2

21 2

1

1/ 2

2( , )

( ).zdéf

L z zz

X X X z dz ,2

21 2

1

1/ 2

2( , )

( ).déf

LY Y Y d .

On sait établir des conditions nécessaires et suffisantes, portant sur ( , )K z , et sur ( )Y , quiassurent l’existence et l’unicité de ( )X z , mais on ne développe pas ici ce point, quientraînerait trop loin dans le formalisme mathématique.

Quoi qu’il en soit, en général, le problème de Fredholm du premier type estmathématiquement mal posé, et mal conditionné.

ii. …, un problème mal posé, mal conditionné

Pour le voir, on peut d’abord remarquer qu’il n’a pas toujours de solution : il en est ainsi parexemple si Y est une fonction non dérivable de , alors que ( , )K z est continûment

334

dérivable en (car alors, contrairement au premier membre, l’intégrale est continûmentdérivable en , 2

1 2( , )X L z z ).

On peut ajouter l’argument suivant d’instabilité par rapport à de petites erreurs sur lesdonnées, plus lourd de conséquences pratiques.

Si, dans le cas idéal où existe une solution unique ( )X z , on imagine une perturbation decelle-ci, de la forme

0( ) .sin( . )X z X z , on a

2 2

1 1

2

2 2

0( ( )) ( ( )) ( ) ( , ). .sin( . ). .

z

z

K X X Y K X X K X K z X z dz d

Or, si ( , )K z est continue en ,2

1

0( , ). .sin( . ). 0

z

z

K z X z dz ,0

X finie.

Donc, par un choix convenable d’une valeur suffisamment grande de , on peut choisir uneperturbation de norme finie, et arbitraire, de X , qui rende la perturbation induite sur Y aussipetite que l’on veut, ce qui suggère, inversement, qu’une petite erreur sur la mesure Y peutconduire à une grande erreur sur la reconstitution de X par le modèle de Fredholm.

B. Linéarité, non-linéarité

a. Typologie de la non-linéarité

Le caractère linéaire, ou non-linéaire, joue évidemment un rôle important dans l’approche derésolution du problème de l’inversion. Si le problème vraiment linéaire est très rare, il gardeun rôle démonstratif et pédagogique important, et en outre, la résolution effective denombreux problèmes non-linéaires peut procéder par linéarisations successives (commeillustré un peu plus loin, au sous-paragraphe 2.C.).

On se limitera plutôt au cadre linéaire dans le présent chapitre, mais on peut indiquer ici lesdifférents degrés de non-linéarité, et la distinction qui, de ce point de vue, peut être poséeentre les situations :

linéaire, dont le modèle direct, hors considération des erreurs, est du type exact

.Y M X ;

quasi-linéaire, dont la linéarisation peut être considérée comme réaliste dans la plagede précision de la mesure, ou dans la plage de précision souhaitée pour la solution ;

modérément non-linéaire, dont la linéarisation peut être acceptable pour l’étude desincertitudes, mais pas pour la détermination de la solution ;

fortement non-linéaire, dont la linéarisation n’est pas acceptable, même dans l’étudedes incertitudes.

Beaucoup de problèmes inverses physiques, dont le problème de l’inversion du transfertradiatif tellurique, sont modérément non-linéaires.

335

b. Principe de l’analyse linéaire de l’erreur

On se place dans le cas de figure d’un problème inverse qui n’est pas fortement non-linéaire(typiquement, dans le cas d’un modèle direct modérément non-linéaire).

La formulation générale du problème direct, incluant le vecteur mes des erreurs de mesure, et

le vecteur modP des paramètres d’influence du modèle direct, peut s’écrire

mod( , ) mesY M X P

Le problème inverse de détermination d’une estimation obsX du profil, incluant uneestimation ( )

modestimP des paramètres du modèle direct, une information a priori a prioriX sur la

solution, et un vecteur invP de paramètres supplémentaires introduits par la méthoded’inversion, peut s’écrire formellement :

( ) ( )mod mod mod( , , , ) ( ( , ) , , , )estim estim

obs a priori a prioriinv mes invX Y P X P M X P P X P

Pour le problème direct, la linéarisation autour de ( )mod, estim

a prioriX P conduit à

mod

( ) ( )mod mod mod/ /( , ) . .estim estim

a priori a priori mesM X M PY M X P J X X J P P

où les jacobiens /

déf

M X

MJX

etmod/

mod

déf

M P

MJP

décrivent les sensibilités du modèle direct,

respectivement aux paramètres d’état et aux paramètres d’influence du modèle direct.

Pour le problème inverse, la linéarisation autour de ( )mod, estim

a prioriX P conduit à

mod

( ) ( )mod mod mod/ / /( , , ) . . .estim estim

obs a priori a prioriinv mesY M X M PX X P P J J X X J P P

où le jacobien /

déf

YJY

décrit la sensibilité du modèle inverse à la mesure, et où on a posé

( ) ( ) ( )mod mod mod( , , ) ( , ), , ,

défestim estim estim

a priori a priori a prioriinv invX P P M X P P X P

Il en résulte

( )mod /( , , ) . .estim

obs a priori a priori a priori a prioriobsinv Y YX X X P P X J X X J

336

où / /.déf

obs Y M XJ J J caractérise la sensibilité de l’inversion à l’état réel, donc aussi le

système d’observation, etmod

( )mod mod/ .

défestim

mesY M PJ P P caractérise l’erreur associée

aux différentes incertitudes (erreurs de mesure et de modélisation).

c. Modèles linéaires

Dans la suite du présent paragraphe, on donnera une idée de la formalisation des traitementsdu problème de l’inversion, presque uniquement dans le cas le plus simple, le cas linéaire endimension finie.

Une telle situation peut, par exemple, résulter de la discrétisation de l’équation de Fredholmradiative : on dispose de YN valeurs de mesure, ( ), 1, 2,...,k k YY Y k N , et on cherche lavaleur de la variable continue ( )X z en XN valeurs iz de z : ( ), 1, 2,...,i i XX X z i N ; sanspréjuger du fait que la discrétisation du problème de Fredholm fournit ou non une bonneapproche de ce problème, l’ETR discrétisée s’écrit sous la forme d’un système d’équationslinéaires :

( )

1. ( , ). , 1, 2,...,

XNnum

k i k i i Yi

Y K z X k N ,

soit

.Y M X ,

où les « poids de numérisation » ( )numi sont introduits par la méthode d’estimation discrète de

l’intégrale de l’ETR, et où ( ). ( , )déf

numi k i

ik

M K z .

Plus généralement, on part de cette forme .Y M X pour un modèle en dimension finie

linéaire, en supposant XNX , YNY (on notera si besoin X et Y les espaces de

définition de X et de Y , et le produit scalaire et la norme sur ces espaces).

Même si l’on considère naturellement que le nombre de points de discrétisation du profil est

égal au nombre de données de mesure, le rang de la matrice M est en général inférieur àX YN N , en raison de la redondance de l’information contenue dans la mesure, liée

notamment aux caractéristiques instrumentales. En outre, dans le cas idéal où le rang de Mserait égal aux nombres de valeurs de mesure et de points de profil, la solution est instable, ausens du syndrome de définition du problème « mal conditionné » (la notion deconditionnement sera formalisée un peu plus bas) : la forte interdépendance entre les noyaux

confère de petites valeurs propres à la matrice M , donc de grands éléments à la matrice1

M , donc une forte sensibilité de la solution1

.M Y aux erreurs sur Y .

337

On peut visualiser à un niveau élémentaire ce mécanisme à l’aide du modèle très simplesuivant, à deux inconnues 1 2,x x , dans lequel 0y est une donnée, et un nombre très petit :

1 2 02x x y

1 2 02 (2 ). (4 ).x x y

La solution exacte est évidemment 1 2 0x x y ; mais si, dans la seconde équation, on néglige, seulement au second membre devant 4 , puis seulement au premier membre devant 2 ,

puis dans les deux membres, on se trouve dans les cas de figure, dans l’ordre, d’une solutiontrès différente de la solution exacte ( 1 0x , 2 02x y ), de l’absence de solution, et d’uneinfinité de solutions !

C. Introduction aux méthodes d’inversion par régularisation

a. Formalisme de traitement du modèle linéaire en dimension finie

Le cadre mathématique le plus parlant, pour l’investigation des problèmes d’inversionlinéaires en dimension finie, est celui de la décomposition, dite « de Lanczos », de la matrice

M ,

( ) ( ) ( ). .L L LM Y X ,

s’appuyant sur les caractéristiques propres des matrices .M M et .M M , à savoir (les

symboles « tr », et « », en position d’exposant dans la notation d’une matrice, signifient icirespectivement la transposition et la transposition/conjugaison) :

leurs valeurs propres (qui sont communes, réelles et non négatives), notées ici .i i ,numérotées, par valeurs décroissantes, de 1i jusqu’au rang commun r des deux

matrices ( 0i pour sup( , )Y Xr i N N ), et regroupées dans la matrice ( )L , avec( )Lij i si 1 i j r , ( ) 0L

ij sinon ;

les suites orthonormées complètes de leurs vecteurs propres, rangés en vecteurscolonnes dans les matrices de Lanczos

( ) ( ) ( )( )1 2, ,..., X

L L LLNX X X X (avec

( ) ( ). . . .

L Li ii iM M X X , et

( ) ( ). .

L Li iiM X Y ),

( ) ( ) ( )( )1 2, ,..., Y

L L LLNY Y Y Y (avec

( ) ( ). . . .

L Li ii iM M Y Y , et

( ) ( ). .

L Li iiM Y X ),

338

On peut montrer que le sous-espace engendré par( ) ( )

1, ..., X

L Lr NX X est le noyau

( )Ker M de l’opérateur linéaire représenté par M (ensemble des X d’image nulle),

et que le sous-espace engendré par( ) ( ) ( )1 2, ,...,

L L LrY Y X est l’image Image( )M de

l’opérateur linéaire représenté par M (ensemble des images des X ).

Au passage, on notera que le problème initial d’inversion s’écrit de façon équivalente

( ) ( )( ).L LL X Y ,

où( ) ( ) .

défL LX X X ,( ) ( ) .

défL LY Y Y sont les vecteurs des composantes, respectivement,

de X dans la base des( )LiX , de Y dans la base des

( )LiY .

Cette décomposition acquise, il n’est pas difficile, dans ce cas linéaire en dimension finie, deformaliser les notions esquissées plus haut concernant la recherche et les propriétés dessolutions du problème inverse.

b. Problème d’inversion en l’absence d’erreurs

i. Solutions exactes, quasi-solutions au sens des moindres carrés

L’existence d’une solution nécessite que Image( )mesY M .

Si une solution existe, son unicité équivaut à ( ) 0XKer M , soit Xr N , ce qui nécessited’ailleurs Y XN N , c’est-à-dire que l’on dispose de plus de données que de valeursphysiques cherchées.

S’il n’existe pas de solution, on peut chercher des « quasi-solutions » au sens des moindres

carrés, c’est-à-dire minimisant2

. mesY

M X Y . Ceci revient à résoudre le problème inverse

avec un second membre qui est la projection orthogonale de mesY sur Image( )M , on obtient

( )

( ) ( ) ( )

1 1

.. .

X

Lmes

i Ni rmoindres carrés L Liobs i ii

i i ri

Y YX X X ,

où les i sont des scalaires arbitraires.

Quand le rang de M est inférieur à XN , en particulier quand on a moins de valeurs mesuréesque de valeurs physiques à déterminer, il y a une infinité de quasi-solutions ; il faut alors uncritère supplémentaire, « de régularisation », pour en sélectionner une, ce peut être la plus

339

grande proximité à une valeur de référence réfX : le résultat est alors la projection

orthogonale de réfX sur le sous-espace des quasi-solutions, définie par( )

.L

réf iiX

X X .

ii. Approche possible par la notion d’inverse généralisé d’un opérateur linéaire

L’approche ici présentée peut aussi se formaliser en terme « d’inverses généralisées » d’une

matrice rectangulaire M ; une matrice( 1)

M est ainsi qualifiée, par définition, si

Image( )Y M ,( 1)

. .M M Y Y .

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi est que( 1)

. .M M M M .

Une matrice donnée a en général une infinité de matrices inverses généralisées ; mais, si elleest carrée, et de rang maximum, elle n’en n’a qu’une, qui s’identifie à son inverse :

( 1) 1

M M .

Vis-à-vis du problème inverse, tout( 1)

.M Y est solution du problème inverse si Y

appartient à l’image de M (par définition), et quasi-solution sinon ; en fait, il y a autantd’inverses généralisées que de solutions au sens des moindres carrés, chacune correspondant àun jeu possible de

1,..., Xi i r N.

c. Prise en compte des erreurs sur la mesure, régularisation

i. Cas d’un modèle direct inversible, notion de conditionnement

Dans le cas favorable où la matrice M est carrée et inversible, soit X YN N r , il est facile

de quantifier la dépendance de la solution (unique) X par rapport à de petites erreurs sur Y .

Soit donc une petite perturbation Y du second membre de l’équation .M X Y .

En se rappelant que, dans les bases de Lanczos( )LiX et

( )LiY , la relation entre X et Y s’écrit

( ) ( )( ).L LL X Y , il n’est pas difficile de se convaincre qu’une erreur Y , concentrée sur la

k-ème composante de Lanczos de( )L

Y , produit une erreur sur X telle quek

YX .

L’amplitude relative maximum d’amplification de l’erreur chiffre la sensibilité du modèle Maux erreurs sur les données, et est appelée conditionnement de celui-ci :

340

1( )déf

r

Cond M

Le résultat de l’inversion n’a pas de signification si l’erreur sur la donnée n’est pas très petite

devant 1

( )Cond M.

ii. Cas général, re-conditionnement du problème

Dans le cas d’un modèle M général ( X YN N ), le critère de choix parmi les quasi-solutions(la « régularisation » du problème) doit naturellement, en présence d’erreurs sur les données,favoriser les solutions les moins sensibles à ces erreurs, et dégager des méthodes d’inversion

effectives à conditionnement très inférieur à 1( )déf

r

Cond M .

Il existe de nombreuses méthodes, parentes, ou non, entre elles, pour un tel « re-conditionnement » du problème linéaire en dimension finie. On se borne ici à en évoquerquelques unes, qui s’inscrivent assez directement dans le formalisme déjà introduit, ou quiouvrent sur le recours aux techniques d’optimisation.

On peut par exemple « tronquer » la quasi-solution retenue, en écartant les composantes deLanczos au-delà d’un ordre de troncature ( )tronc

XN , ramenant ainsi le conditionnement à

( )

1

troncXN

; dans le cadre de régularisation déjà évoqué plus haut, ceci donnerait par exemple

( )

( )

( ) ( ) ( )

1 1

.. .

troncX X

Lmes

i N i Ntronc L Lii ii

i i ri

Y YX X X

On peut aussi « contraindre » le problème, en inversant le modèle direct modifié :

1

. . . .tr tr

X M M M Y

où et sont à choisir au mieux. La matrice « de régularisation » , quasi-diagonale, estdéfinie par rapport au choix d’un critère de lissage (minimisation de seconde différence, devariance, …), et choisie sur la base d’informations sur la solution, a priori ou résultant del’application de principes physiques (par exemple : ordre de grandeur, régularité, monotonie,forme de la solution, …) ; le choix du paramètre « de compromis » doit se faire en

comparant le résidu . mesM X Y avec l’erreur de mesure. Une exemple illustratif, assez

général, relevant de ce type d’approche, est présenté plus bas, au sous-paragraphe 2.C.

341

Une autre piste de contrainte réside dans l’adjonction au système d’une informationsupplémentaire a priori, sous forme d’une valeur « de référence » réfX du paramètre d’étatcherché, par exemple, dans le domaine météorologique, d’origine climatologique, ou produitepar une prévision.

La méthode d’inversion de l’équation ainsi contrainte fait le plus souvent appel à destechniques de minimisation d’une fonction coût, qui intègre à la fois la distance à la mesure,et la contrainte, du type

22

( ) (1 ). . . réfXY

S X M X Y X X

le paramètre de pondération étant compris entre 0 (valeur qui fournit la solution de« moindres carrés ») et 1 (valeur qui fournit comme solution la référence).

Pour 0 1, on peut démontrer :

qu’il existe une solution unique au problème de minimisation, à savoir

1( )

(1 ). . . . (1 ). . . réfX M M Id M Y X

(l’existence de la matrice inverse figurant dans cette expression est assurée, les valeurspropres de la matrice à inverser étant les réels strictement positifs (1 ). .i i ).

que la limite de cette solution quand 0 est bien la quasi-solution qui miniminisela distance à la référence ;

que cette solution varie continûment par rapport à Y

que le conditionnement de l’inversion régularisée est une fonction décroissante depour 00 , où 0 est petit devant 1.

En pratique, pour le choix de , il faut trouver un compromis entre des valeurs plutôt élevées(pour renforcer la stabilité de l’inversion), et des valeurs pas trop élevées (pour ne pas tropaugmenter l’écart entre mesure et résultat du modèle direct).

On peut déterminer la zone de choix, par une majoration de , obtenue par exemple en se

donnant une tolérance maximum sur l’écart( )

. mesY

M X Y entre mesure et résultat du

modèle direct, et par une minoration de , obtenue par exemple en s’imposant une erreurmaximum sur X , et/ou un écart maximum entre X à réfX .

342

d. Ouverture sur les problèmes linéaires en dimension infinie

Dans le cas (qui ne sera pas abordé ici) d’un modèle linéaire continu en dimension infinie,opérant entre deux espaces de Hilbert, l’approche la plus générale repose sur l’extension duconcept d’inverse généralisé d’un opérateur linéaire, évoqué plus haut.

En général, l’approche par décomposition de Lanczos ne se transpose pas en dimensioninfinie ; c’est cependant le cas pour la classe des modèles linéaires « compacts » (« quienvoient la boule unité de X sur une partie relativement compacte de X »), qui

comprend les opérateurs intégraux de Fredholm à noyau de carré intégrable.

Les méthodes d’approche et les résultats concernant l’existence et l’unicité des solutions etdes quasi-solutions sont alors assez voisins de ceux introduits en dimension finie.

Par contre la démarche est moins fructueuse pour ce qui concerne l’étude de la stabilité vis-à-vis des erreurs : la sensibilité aux petites perturbations dépend de manière cruciale de ladécomposition de l’erreur sur la base des vecteurs propres de l’espace des mesures, et ellepeut être arbitrairement grande.

Des approches particulières existent dans le cas, intéressant en pratique, où l’espace duparamètre à reconstituer est de dimension infinie, mais où l’espace des mesures est dedimension finie (cas, par exemple, de mesures discrètes de luminance, pour la restitution d’unprofil atmosphérique vertical continu).

D. Introduction aux méthodes d’inversion stochastiques

a. Formalisme général

Le concept de base des approches stochastiques est la fonction de densité de probabilité Pr

de chaque composante du problème, définie sur l’espace de variation de celle-ci (on selimite ici à des variables aléatoires de dimension finie, on n’envisage pas l’extension, difficile,aux fonctions aléatoires).

Dans l’approche stochastique des problèmes inverses, on distingue plus précisément :

les densités de probabilité a priori ( ) ( )a prioriYPr Y (traduisant la connaissance a priori de

la loi d’erreur sur les mesures), ( ) ( )a prioriXPr X (traduisant une connaissance a priori du

comportement du paramètre à reconstituer), ( ), ( , )a priori

X YPr X Y (traduisant laconnaissance a priori du degré d’exactitude du modèle physique M ) ;

la densité de probabilité a posteriori ( ), ( , )a posteriori

X YPr X Y du couple ,X Y (résultant del’exploitation de la corrélation entre les deux paramètres établie par la liaison physiqueM existant entre eux), constituant de fait la solution complète du problème inverse ;en pratique, toutefois, on souhaite évidemment plutôt exprimer cette solution sous la

343

forme de la probabilité a posteriori ( ) ( ),( ) ( , ).a posteriori a posteriori

X X YY

Pr X Pr X Y dY du seul

paramètre X .

La formalisation axiomatique la plus naturelle de la conjonction entre X et Y résultant del’existence du modèle M conduit en fait à une formulation de type « probabilitéconditionnelle », ou « bayésienne », et au résultat

( )( ) ( )

(hom)

( ). ( )( ) ( ). .

( )

a prioriYa posteriori a priori

X XY Y

Pr Y Pr X YPr X Pr X dY

Pr Y,

où (hom)Pr désigne la densité de probabilité homogène (au sens volumique) dans son espace

de définition, ou encore la densité de probabilité « d’information nulle », et ( )Pr X Y ,« probabilité de X si Y », désigne la probabilité de X conditionnelle en Y .

La connaissance réelle de la solution passe bien sûr par l’explicitation des densités deprobabilité a priori qui apparaissent au second membre : la difficulté de cette prescription,dans laquelle « l’opérateur humain » du problème d’inversion garde une grande liberté, estnaturellement la contrepartie de l’étonnante simplicité de la résolution formelle ébauchée ci-dessus !

Quant à l’utilisation pratique de la solution, elle passe bien sûr par l’extraction, à partir de ladensité de probabilité a posteriori, de caractéristiques plus simples et plus parlantes comme lavaleur moyenne, la valeur la plus probable, des paramètres de dispersion, de corrélation, etc…

En général est privilégiée la valeur de X (si elle existe et est unique) qui assure le maximumde ( ) ( )a posteriori

XPr X , ou encore qui minimise ( ) ( )a posterioriXLog Pr X (méthode du « maximum

de vraisemblance »).

b. Exemple des « lois a priori » gaussiennes

On se place dans le cas d’un problème inverse de dimension finie.

On rappelle que la densité de probabilité de la variable gaussienne , à n dimensions, est

entièrement définie par la moyenne et la matrice de covariance C , et qu’elle est donnée

par

11 1( ) .exp . .2

(2 ) . ( )

tr

n

Pr Cdét C

Si on suppose que les incertitudes de mesure et de modélisation suivent des lois gaussiennes,

de moyennes respectivement mesY et ( )M X , de matrices de covariance, respectivement mesC

et modC , le calcul fournit explicitement

344

1( ) ( ) 1( ) . ( ).exp ( ) . . ( )

2tra posteriori a priori

mes mesobsX XPr X Cste Pr X M X Y C M X Y

modobs mesC C C

Les covariances d’erreurs de mesure et de modélisation s’ajoutant, il est formellementpossible de considérer le modèle comme exact, et d’affecter l’ensemble de la covarianced’erreurs d’observation à la mesure.

Si on suppose que la loi a priori de X est elle aussi gaussienne, de moyenne a prioriX et de

covariance a prioriC , la loi a posteriori de X s’écrit

( ) ( )( ) .exp2

a posterioriX

S XPr X Cste ,

avec

1 1

( ) ( ) . . ( ) . .déf tr tr

mes mes a priori a prioriobs a prioriS X M X Y C M X Y X X C X X

( )S X est donc la « fonction de coût » à minimiser dans la recherche de la solution parmaximum de vraisemblance évoquée plus haut.

Si le modèle est linéaire, ( ) .M X M X , ( )S X est quadratique, et la loi a posteriori de Xest gaussienne, avec

11 1( )

. .tra posteriori

X a priori obsC C M C M

11 1( )

. . . .tra posteriori

a priori mesX a priori obsX C C X M C Y

La solution trouvée est somme de la quasi-solution par moindres carrés, et d’un terme

régularisant (nul en l’absence d’information a priori, soit1

0obsC ), de coefficient fixé,

et qui quantifie les degrés relatifs de confiance accordés aux mesures et aux informations apriori.

Si le modèle n’est pas linéaire, il n’y a pas de simplification de ( )S X , on ne sait rien a prioride l’existence et de l’unicité d’un X qui minimise ( )S X .

345

Si toutefois on suppose l’existence et l’unicité d’un tel minimum minX , et la possibilité delinéariser le modèle M autour de cette valeur, on peut naturellement exhiber une matrice decovariance a posteriori « tangente » :

11 1( )

min min( ) . . ( )

tra posteriori

X a priori obsM MC C X C XX X

Dans tous les cas de figure (modèle linéaire ou linéarisable), l’explicitation d’une matrice decovariance a posteriori, propre aux hypothèses gaussiennes, permet de caractériserl’incertitude sur l’estimation obsX , et le gain (éventuel) d’information apporté par l’inversion.

On peut toutefois signaler, sans développer d’avantage ce point, que certains défauts del’inversion stochastique sous hypothèses gaussiennes, comme un certain manque derobustesse aux données aberrantes, peut conduire à explorer d’autres hypothèses pour lesprobabilités a priori.

2. ILLUSTRATION : SONDAGES ATMOSPHERIQUES INDIRECTS

A. Présentation informelle

a. Contexte et principe général

On se place ici, pour l’illustration des principes développés plus haut, dans le cadred’inversions de l’ETR tellurique à partir de mesures radiatives faites au sommet del’atmosphère par satellite (qui présentent l’intérêt évident d’une capacité d'observationrégulière et globale). On se limite, par souci de simplification pédagogique, au cas d’uneatmosphère claire, donc non nuageuse.

On peut relativement facilement imaginer comment la connaissance de la répartition spectraledu rayonnement tellurique à la limite supérieure de l’atmosphère, c’est-à-dire, en pratique, dela luminance tellurique mesurée dans un certain nombre de bandes spectrales ou « canaux »,peut permettre le calcul du profil vertical de température, ainsi que celui des répartitions desprincipaux absorbants, essentiellement la vapeur d’eau et l’ozone (mais pas seulement : onpeut aussi mentionner, par exemple, le monoxyde de carbone, l'oxyde d'azote et le méthane).

La luminance tellurique mesurée, au sommet de l’atmosphère, par un radiomètre embarquésur satellite, est en effet le résultat de multiples émissions et absorptions entre la surfaceterrestre et le point de mesure. Concrètement, elle représente une moyenne pondérée desluminances d’émission (supposée noire, pour simplifier le raisonnement) de la surfaceterrestre et des différentes couches atmosphériques.

Le poids associé à la couche élémentaire, d’épaisseur dz , localisée à l’altitude z , résulte,d’une part, de la capacité de cette couche à émettre du rayonnement (émissivité), et d’autrepart, de l’atténuation du rayonnement ainsi émis, entre z et le point de mesure au sommet.

346

Le poids de la couche élémentaire est .dzz

,z

étant la « fonction poids ».

Il est facile de se convaincre que, dans un domaine spectral de forte (resp. faible) absorptionatmosphérique, la luminance mesurée représente la moyenne de la fonction de Planck plutôtsur les couches atmosphériques supérieures (resp. sur l’ensemble de l’atmosphère et lasurface).

La figure 1 présente l’allure de fonctions poids de quelques uns des canaux du sondeur IASI(Infrared Atmospheric Sounding Interferometer) des satellites défilants européens « Metop »,parmi les quelques centaines de canaux de la zone spectrale 1 1650 770cm cm dédiée à lareconstitution du profil de température ; on y voit, par exemple, que le canal centré sur lenombre d’onde 1652 cm fournit de l’information sur la couche atmosphérique20 50km km , alors que le canal centré sur le nombre d’onde 1760 cm est informatif sur lesbasses couches 0 5km km .

Figure 1 – Exemple de « fonctions poids » relatives à quelques canauxde l’instrument « IASI » (repérés par leur nombre d’onde central).

Le plus simple est d’imaginer d’abord la détermination séparée, successive, des profils detempérature et de concentration. Quelques éléments formels en ce sens sont présentés ausous-paragraphe 2.B. ci-dessous. Ici, on présente la démarche de façon très simplifiée et sansformalisme mathématique.

Le principe de telles restitutions s’appuie sur la forte corrélation entre le pouvoir émissif desraies spectrales présentes dans les bandes d'absorption du dioxyde de carbone, et le profilvertical de la température de l'atmosphère ; en choisissant les longueurs d'onde telles quel'émission (ou l'absorption) soit maximale dans une couche donnée et minimale ailleurs, lamesure à chaque longueur d'onde permet de restituer la température de la couchecorrespondante ; l'ensemble des mesures fournit le profil vertical des températures.

347

b. Principe de détermination du profil de température

En effet, si les fonctions poids sont connues, parce que traduisant l’effet d’un absorbant dontla concentration est homogène (c’est essentiellement le cas du dioxyde de carbone), on peutaccéder à la température.La luminance dans le canal le plus absorbé donne accès à la fonction de Planck, donc à latempérature moyenne, de la couche supérieure ; la température ainsi obtenue permet decorriger de la contribution de la couche supérieure la luminance d’un canal dont la fonctionpoids couvre les deux couches supérieures, donnant ainsi accès à la température de l’avant-dernière couche, et ainsi de suite jusqu’à la base de l’atmosphère.

L’épaisseur des couches est gouvernée par la largeur des fonctions de poids (c’est évidentpour la couche supérieure) ; or elle doit être telle (suffisamment petite) que la luminance,corrigée des contributions des couches supérieures, soit encore assez importante pour ne pasêtre noyée dans le bruit cumulé de la mesure instrumentale dans le canal, et des luminances dereconstitution.Or la fonction poids est d’autant plus large que les variations du coefficient d’absorption sontimportantes dans la largeur spectrale du canal : la recherche d’une fonction poids étroiteimpose de limiter la largeur du canal à une fraction de la distance moyenne entre raiesd’absorption. Mais ce critère entraîne une diminution de l’énergie disponible par canal, doncune diminution de la précision de la mesure : la recherche de la meilleure résolution verticalepasse par un compromis entre résolution spectrale et précision de mesure.Ainsi, même si apparemment le processus décrit ne nécessite qu’un canal par couche,l’emploi d’un grand nombre de canaux permet de diminuer le bruit sur la luminance associéeà une fonction poids, car les canaux de fonction poids identiques collectent ensemble plusd’énergie. On déplace ainsi le compromis évoqué vers des résolutions spectrale et verticaleplus élevées.

c. Principe de détermination des profils de concentration

Une fois connu le profil de température, des mesures dans les bandes d'absorption de lavapeur d'eau, et de l'ozone, permettent de restituer le profil vertical, respectivementd'humidité, et de concentration en ozone. En fait, pour un absorbant à concentration variable,on peut de même déterminer un profil de température, mais vis-à-vis d’une coordonnéeverticale qui est la quantité cumulée d’absorbant depuis le sommet de l’atmosphère, et non lapression ou l’altitude.

La comparaison avec le profil de température déterminé par recours au dioxyde de carbonepermet le calcul de la concentration.

d. Performances et alternatives

Les résultats obtenus par une telle méthodologie sont en principe plus satisfaisants pour latempérature que pour les absorbants, car le calcul pour ces derniers ne peut être réalisé qu’unefois obtenu le profil de température. La précision obtenue dépend de la résolution spectrale duradiomètre ; typiquement, avec une résolution spectrale de 10,3 0,5 cm , on peut atteindreune précision de l’ordre de 1 K sur la température, de l’ordre de 12 .g kg sur l’humidité (soit

348

de l’ordre de 10 % à 20 % en basses couches dans les situations favorables), et de l’ordre de10 % sur la concentration d’ozone entre 10 km et 50 km d’altitude.

Les figures 2 et 3 présentent des exemples de l’allure et de l’ordre de grandeur de larépartition verticale de l’écart-type d’erreur sur la détermination de la température, del’humidité spécifique et de la concentration en ozone, dans des opérations de restitution àpartir de mesures radiatives au sommet de l’atmosphère.

Figure 2 – Exemple de profil vertical (lissé) de l’écart type d’erreur sur la restitutionde la température et de l’humidité spécifique, en masse d’air tropicale,

par inversion de l’ETR tellurique appliquée à des mesures (quelques dizaines de canaux)au sommet de l’atmosphère.

Figure 3 – Exemple de profil vertical (lissé) de l’écart type d’erreur sur la restitutionde la concentration d’ozone, dans les conditions de la figure 2.

349

On peut aussi envisager de restituer en une seule opération d’inversion plusieurs paramètresd’état, par exemple la température de surface et les profils atmosphériques de température etd’humidité, un souhait naturel, puisque l’influence de la présence de vapeur d’eau sur lespectre d’émission thermique de la Terre et de l’atmosphère se fait sentir pratiquement surtout le spectre de cette émission.

Ceci est envisageable dans certaines méthodologies, comme celle qui est évoquée au sous-paragraphe 2.C. ci-dessous.

En général, une telle démarche permet de réduire le biais de la vapeur d’eau sur la restitutiondes températures, mais la restitution de l’humidité elle-même doit être affinée par recours àdes mesures dans des bandes spectrales plus spécifiques de la vapeur d’eau.

Enfin, on pourrait imaginer d’utiliser également, pour divers usages ou besoins, d’autressources supplémentaires d’information, comme la distribution géométrique, la polarisation durayonnement, …

B. Exemple simple de méthodologie de restitution séparée des profils

a. Introduction à la détermination de la température

Le point de départ est la solution de l’équation du transfert radiatif pour la luminanceénergétique spectrale, en cas d’absence de milieu diffusant (aérosols, nuages).

0

, 0 00

( , )( ) . ( ( )). ( , ) ( ( )). .surfI B T B T d

T étant la température, la fonction de transmission (de luminance) monochromatique, Bla fonction de Planck, et n’importe quelle coordonnée verticale prenant la valeur 0 aupoint de mesure, et 0 à la surface terrestre.

Dans le cas de l’absorption-émission par le dioxyde de carbone, la répartition verticale de cedernier étant supposée connue a priori, I ne dépend que du profil de température, et lamesure de I à diverses fréquences (ou plutôt longueurs d’onde) permet de calculer T àautant d’altitudes.Lorsque l’absorption est forte (resp. faible), l’intensité correspond aux températures deshautes (resp. basses) couches de l’atmosphère ; une mesure dans la fenêtre permet deconnaître la température de la surface terrestre.

Du point de vue mathématique, ceci se traduit par les différentes formes des fonctions ( )

aux différentes fréquences.

Lorsqu’on a éliminé le rayonnement de la surface, ces fonctions représentent le poids dechaque niveau dans la composition du rayonnement reçu par l’instrument de mesure.

On peut déjà récapituler les principales difficultés soulevées a priori par la méthode :

350

les fonctions de transmission ne sont pas parfaitement connues ;

les mesures sont entachées d’erreur, et ne sont pas parfaitement monochromatiques ;

il y a recouvrement des absorptions du dioxyde de carbone d’une part, de la vapeurd’eau et des aérosols d’autre part ;

les fonctions d’influence ont une « largeur » importante, ce qui affaiblit le pouvoir derésolution de la méthode ;

l’absence de nuages est rare, et il faut en général éliminer l’influence de ceux-ci dansles mesures brutes, par des méthodes (par exemple, recours simultané à des mesuresen hyper-fréquences) qui, a priori, diminuent la valeur des résultats (d’autant moinsque l’on accorde du soin aux modélisations nuageuses utilisées) ;

il n’y a pas unicité de la solution pour le système d’équations obtenu, quel que soit sondegré ;

le système d’équations n’est pas linéaire, puisque la température intervient, bien quefaiblement, dans le calcul de la fonction de transmission (élargissement des raies).

b. Méthodes de linéarisation

i. Techniques de linéarisation

La température de surface terrestre est supposée avoir été déterminée par mesure dans lafenêtre, et est considérée connue.

Pour tenir compte de l’influence de la température sur la fonction de transmission, on prendcomme inconnues les différences entre les températures recherchées et des valeurs données apriori, choisies au départ sur une base climatologique, et ensuite par itération.Les termes correspondant à l’émission de la surface disparaissent alors par différence, et lesfonctions d’influence calculées a priori sont à chaque itération considérées comme absolues.

La différence entre ( ( ))B T et ( ( ))B T , ( )T étant la température a priori, est décomposéeen un terme indépendant de la fréquence, et un terme complémentaire indépendant de latempérature

0 0 0

0

( ( ))

( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ( ) ( ( )). ( ). ( , )( ( ))

défB T

TB B T B T B T B T BB T

T

0 étant une fréquence « moyenne », et les autres notations étant évidentes.

Les équations pour chaque fréquence deviennent alors

351

0 0

0 00 0

( )( ) ( ) ( ) ( ). ( , ). . ( ). ( , ).déf

I I T I T B d B K d

La discrétisation suivant , et l’introduction des termes d’erreur , conduisent alors à

0( ) . ( )i ij j j

jI M B

soit, matriciellement,

.I M B

I étant connu, et M pouvant être calculé à chaque itération à partir des T , le problème estde trouver une solution ,B .

Comme déjà abondamment expliqué au paragraphe 1., la grande difficulté de ce problème

provient de ce que la matrice M est presque singulière, et que l’on n’a pas de solution uniquepour le couple ,B : on est contraint, pour assurer l’unicité et la stabilité de la solution, de

poser certaines hypothèses « de régularisation » sur l’ordre de grandeur des erreurs, et sur laforme du résultat.

ii. Méthode directe

Si on possède un certain nombre de mesures réalisées simultanément par satellite et par radio-sondage, il n’est pas nécessaire de résoudre un système linéaire pour obtenir une dépendancematricielle du vecteur B par rapport au vecteur I .

Soient donc ( ), 1,..., ; 1,...,k iI i M k K , et ( ), 1,..., ; 1,...,k jT x j N k K ces mesures,

( )jT x , et ( ) ( )iiI I T les répartitions moyennes associées, I et B les matrices des écarts

à la moyenne :

( ) ( )ik k i iI I I ,0 0( ( )) ( ( ))jk k j jB B T x B T x

On cherche alors la matrice(erreur min)

M pour laquelle la matrice des erreurs .B M I ala norme carrée minimale. Ce calcul de régression conduit à la solution

1(erreur min)

. . .tr tr

M B I I I

A chaque mesure de I seul (non associée à une mesure de température), on peut alors

associer le profil de température déduit de(erreur min)

.B M I et de T .

352

c. Méthode combinée

On peut améliorer les méthodes évoquées de résolution linéaire du problème des sondagesindirects, en associant aux résultats de mesures combinées de I et de T les informations

théoriques sur la solution, contenues dans la matrice M .

On élimine d’abord la matrice I entre les deux équations1(erreur min)

. . .tr tr

M B I I I et .I M B E , cette dernière étant obtenue en

calculant la matrice E des erreurs, à partir des matrices , ,I M B . On obtient

1(erreur min)

. . . . . . . . . . . .tr tr tr tr tr tr tr tr tr

M B B M B E M B B M E B M M B E E E

On suppose alors que les erreurs et les résultats sont indépendants, et que les erreurs sont

nulles en moyenne, ce qui revient à poser . 0tr

B E , et . 0t

E B :

1(erreur min)

. . . . . . .tr tr tr tr tr

M B B M M B B M E E

avec .E I M B , et on peut procéder comme dans le cas précédent pour l’utilisation desmesures courantes par satellite.

C. Méthode itérative de résolution directe

Cette méthode est basée sur l’observation suivante : la contribution des couchesatmosphériques au rayonnement mesuré est pratiquement proportionnelle à la valeur de lafonction de Planck au niveau où la fonction d’influence atteint son maximum.

A partir de là, on peut réaliser une itération qui donne la température en chacun des niveaux

i correspondant au maximum de la fonction i (l’altitude de ce niveau dépend du choix

de la coordonnée , et ce choix influencera donc le résultat).

La formule itérative est la suivante :

0

( )0 0( 1) ( )

( )0( )

( ( )). ( )( ( )) ( ( )).

( )( ( )). .

i i i

i i

i

i

nn n

i i nn

I B TB T B T

B T d

On peut prendre comme point de départ pour l’itération un profil climatologique.

353

La solution ne converge pas nécessairement, puisque la méthode repose sur une hypothèseapproximative, on arrête donc le calcul lorsque la différence entre le numérateur et ledénominateur du rapport d’itération est de l’ordre des erreurs de mesure.

D. Répartition verticale des absorbants

On suppose le problème du calcul du profil de température résolu. I ne dépend plus alorsque de la répartition verticale des corps qui absorbent à la fréquence .

On se ramène à un problème équivalent à celui traité précédemment au moyen d’uneintégration par parties.

00

0 0 00

( ( ))( ( )). ( ) ( ( )). ( ) . ( ).B TI B T B T d

soit0

0

( ( ))( (0)) . ( ).B TI B T d

Les méthodes de résolution sont les mêmes que celles qui ont été ébauchées précédemment,on détermine ( ) , et, de là, connaissant ( )T , on peut calculer la variation avec l’altitudedes rapports de mélange des gaz.

Aux difficultés déjà rencontrées dans le premier cas, s’ajoute une autre particulièrement

importante : comme fonctions d’influence, les B sont d’emploi beaucoup plus difficile que

les ; en particulier, dans les régions de l’atmosphère où la température est constante, on

ne peut déterminer la répartition des absorbants.

Plus généralement, les résultats sont d’autant moins exacts que le gradient de température estplus faible. Ceci est le cas dans la stratosphère.

Les résultats sont d’autre part doublement entachés d’erreur, puisque s’ajoutent les erreurs demesure et les erreurs dues à la méthode de calcul, d’une part pour le profil de température,d’autre part pour le calcul proprement dit des rapports de mélange.

E. Exemples de résultats

Les figures 4 et 5 présentent ce que peut donner une comparaison de résultats simultanés demesures directes et d’observation indirecte par satellite (conduite avec peu de canauxspectraux).

354

Figure 4 – Comparaison de profils de température mesurés directement et indirectement.

Figure 5 - Comparaison de profils de concentration d’ozone (a), et d’humidité relative (b),mesurés directement et indirectement.

Pour l’humidité relative et la concentration de l’ozone, sur cet exemple à relativement basserésolution spectrale, les résultats ne sont à l’évidence satisfaisants que d’un point de vuequalitatif. On a toutefois donné plus haut une idée de l’ordre de grandeur des précisionsobtenues avec des résolutions spectrales élevées.

C. Introduction à une méthode générale de restitution

a. Introduction

Pour rester dans le cadre esquissé ci-dessus, on se pose la question de restituer, en un nombrefini de points, le profil atmosphérique ( )x (qui peut le cas échéant être composite deplusieurs entités physiques, comme la température et la composition en certains constituants),

355

à partir de mesures, en nombre fini, de la luminance tellurique ( )I ascendante au sommet del’atmosphère.

Le modèle direct est ainsi schématisé par

( )I M ,

où M est un opérateur de Fredholm du type de ceux écrits au sous-paragraphe 2.A. ci-dessus, plus ou moins compliqué selon la modélisation retenue pour l’ETR physique.

Le problème d’inversion étant considéré comme n’étant pas fortement non-linéaire, onprésente ici une méthode de résolution itérative d’un assez grand degré de généralité.

On introduit d’abord les éléments de la méthode dans le cadre du problème linéarisé, puis onindique la mise en itération du processus proposé pour aboutir à la solution du problèmeinitial.

b. Linéarisation, régularisation, et solution du problème linéarisé

La linéarisation du modèle direct autour d’un profil « ébauche »( )éb

remplace, aux termesd’ordre supérieur près, le problème initial par le problème linéaire:

.Y J X ,

où( )déf éb

X ,( )

( )déf éb

Y I M , et( )éb

déf MJ est le jacobien du modèle direct.

Parmi de nombreuses autres possibilités, dont certaines ont déjà été évoquées au paragraphe1., on envisage ici la stabilisation de ce problème inverse linéaire par :

minimisation d’une distance convenablement choisie entre l’état estimé( ) ( ) ( )estim éb estim

X et un état de référence( )réf

, soit

( ) ( ) ( ) ( )( ) . .( )

estim réf estim réftr

Pour la matrice de régularisation , le choix le plus évident, celui de l’identité,

Id fournit la distance classique, et correspond à la minimisation de la varianceautour de l’ébauche ; le choix (supposé dans ce qui suit) de l’inverse de la matrice de

covariance de l’état de référence( ) ( ) ( )défréf réf éb

X , soit ( )

1réf

XC est plusopportun si est un mélange de paramètres de dimensions physiques différentes.

contrainte sur la proximité de l’estimation et du modèle

356

12( . ) . .( . )tr

obsY J X C Y J X

où obsC est la matrice de covariance des observations ( modobs mesC C C ), 2 est lavaleur d’une variable du 2 à YN degrés de liberté et à l’intervalle de confiance

(1 ) : avec une tolérance à 2 écart-types, 2 2 2Y YN N .

Le problème de minimisation sous contrainte ainsi défini peut se résoudre par la méthode desmultiplicateurs de Lagrange : l’estimation cherchée

( )estimX correspond à extremum de

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21( ) . .( ) . ( . ) . .( . )estim réf estim réf estim estimtr tr

obsX X X X Y J X C Y J X ,

soit, calcul fait, à

11 1( ) ( ) ( ) ( )

. . . . . .( .( ))tr trestim réf éb réf

obs obsJ C J J C Y J

On reviendra un peu plus bas, sommairement, sur la question du choix du « paramètre derégularisation » .

Sous les hypothèses de normalité (distribution gaussienne) de l’erreur d’observation, etd’indépendance statistique de la mesure I et de l’état de référence

( )réf, on peut montrer

que la matrice de covariance de la solution mise en évidence est

( )

1 11 1 1( )2. . . . . . . . . . . .estim

tr tr trréfobs obs obsC J C J J C Y X J C J

Cette matrice de covariance coïncide avec l’expression stochastique usuelle si 1, tend vers

( )réfXC si (la solution étant alors l’ébauche), tend vers11

. .tr

obsJ C J si 0

(la solution étant alors la solution au sens des moindres carrés sans contrainte).

c. Résolution itérative du problème initial

La solution obtenue juste au-dessus se prête bien à une démarche itérative, l’ébauche del’itération courante étant l’estimation de l’itération précédente, sous la forme

11 1( ) ( ) ( )( ) ( )

1 . . . . . .( ( ) .( ))tr tr estim estim réfestim réfn obs n n obs n n nn n J C J J C I M J

avec( ) ( )0 0estim éb

, ébauche initiale à choisir convenablement, et( )0

0éb

MJ .

357

Le critère d’arrêt du processus peut être basé sur la petitesse (absolue à l’itération en cours, ourelative entre l’itération en cours et la précédente) de l’écart entre observation et modèle

estimé1

( . ) . .( . )trobsY J X C Y J X

Concernant l’ébauche initiale, on se bornera à indiquer que son choix n’est pas anodin, à lafois pour l’aptitude de la méthode d’inversion à dégager une solution, et pour la rapidité de laméthode itérative de résolution. En particulier, il faut faire attention à ce que son élaborationne viole pas plus ou moins les hypothèses d’indépendance qui ont pu être faites, explicitementou implicitement, dans l’argumentaire et le développement de l’inversion !

Ce choix peut s’appuyer, par exemple :

sur une banque climatologique d’états , et sur un critère de proximité entre lesspectres reconstitués par le modèle direct à partir de ces états, d’une part, et le spectremesuré, d’autre part ;

sur l’application d’une régression, linéaire ou non linéaire, entre observation et état,telle qu’obtenue sur des données d’apprentissage, et vérifiée sur des données devalidation.

Concernant le paramètre de régularisation , son choix optimal peut être réalisé par uneméthode générale applicable à tout problème inverse linéaire.

L’exposé de cette méthode entraînerait trop loin, on se borne ici à indiquer qu’elle consiste àchoisir la valeur correspondant au point de courbure maximum de la courbe représentant(quand varie entre 0 et l’infini, en pratique entre une valeur petite et une valeur grande, parpas suffisamment petits)

la norme de la solution régularisée

( ) ( ) ( ) ( )( ) . .( )

estim réf estim réftr

en fonction de la norme du résidu

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.( ) ( ( )) . . .( ) ( ( ))t

estim ébauche éb estim éb ébobsJ I M C J I M .

358

XIII. ELEMENTS D’HISTOIRE

« On ne connaît pas complètement une science tant qu'on n'en sait pas l'histoire », suggèreAuguste Comte (1798-1857), dans son cours de « philosophie positive », publié entre 1830 et1842.

Ce chapitre présente quelques éléments de l’historique de la connaissance des mécanismes dutransfert radiatif électromagnétique.

Son ambition est toutefois limitée : les points d’histoire présentés ont été retenus(inévitablement un peu subjectivement), sur la base de leur apport complémentaire, supposé,à l’éclairage des thèmes situés en amont, ou effectivement abordés dans le corps, du présentcours.

La chronique ainsi constituée est structurée autour de l’action unificatrice, réalisée parMaxwell en 1864, des phénomènes de propagation d’origines électrique et magnétique, d’unepart, et des phénomènes lumineux et électromagnétiques, d’autre part.

L’organisation du présent chapitre consacre ainsi, dans l’ordre :

un paragraphe à l’évolution des conceptions optiques (« avant Maxwell ») ;

un paragraphe à l’évolution de l’électricité et du magnétisme (« avant Maxwell ») ;

un paragraphe à l’évolution générale du domaine unifié des ondes électromagnétiques« après Maxwell » (caractérisée par les révolutions relativiste et quantique) ;

un paragraphe particulier, un peu plus « fourre-tout », à l’historique de quelquesaspects du transfert radiatif plus spécifiques au domaine de la physique del’atmosphère et de la météorologie (et à des sujets généraux, d’application directe àce domaine, n’ayant pas trouvé facilement leur place dans la logique des autresparagraphes).

1. HISTORIQUE DE LA CONNAISSANCE DE LA LUMIERE

A. Le mystère de la nature de la lumière

Les réponses apportées, au fil des temps historiques, aux interrogations sur la nature, l’origineet la vitesse de propagation de la lumière constituent un fil directeur classique, mais efficace,à une présentation de l’évolution des idées en optique.

L’histoire de la connaissance de la lumière, de ses balbutiements jusqu’à l’apogée de laphysique classique à la fin du XIXe siècle, a été partagée entre conceptions corpusculaires et

359

conceptions ondulatoires. En se limitant à l’époque « moderne », et en filtrant les tendancesde courte durée, donc en simplifiant à l’extrême, on peut dire qu’en gros, après laprédominance de l’hypothèse corpusculaire, qui a beaucoup dû à la notoriété et à l’influenced’Isaac Newton, c’est la conception ondulatoire qui l’emporte, à la fin de la période, avecAugustin Fresnel et ses continuateurs.

Si, depuis l’Antiquité, la lumière et le son ont été souvent intuitivement perçus comme desphénomènes naturels cousins (notamment par l’observation de l’orage, qui associe l’éclair etle tonnerre), et si ce sont souvent les mêmes savants qui ont étudié l’optique et l’acoustique,ce n’est effectivement que dans la première moitié du XIXe siècle, à partir du travail deFresnel, qu’a été bien formalisée et que s’est imposée, semblable à celle du son, la conceptionde la lumière comme propagation d’une vibration ondulatoire.

Mais l’analogie avec le son, lequel nécessite un milieu matériel pour se propager, auracontribué à faire tomber la théorie ondulatoire de la lumière, dès ses premiers pas, dans lepiège durable de « l’éther », dont elle ne sortira qu’avec la révolution relativiste.

Très tôt en effet, déjà chez les Grecs anciens (on cite souvent comme point de départ le Ier siècleav. J.-C. et le siècle suivant, avec notamment Heron d’Alexandrie), et en tous cas, bien avant leXVIe siècle, on s’est fait une idée assez correcte d’un certain nombre d’aspects du son : saproduction par vibration d’un milieu matériel ; sa propagation, à l’image des très visuelles ridesconcentriques à la surface de l’eau, par succession de compressions et de décompressions,d’autant plus rapide, toutes choses égales par ailleurs, que le milieu est plus difficile à comprimeret qu’il est moins dense ; son audition par le truchement de vibrations au sein de l’oreille…

L’évidence de rayons lumineux rectilignes, sans équivalent sonore bien clair a priori, suggèreplutôt naturellement pour la lumière, tant que l’on ne connaît pas de manifestations optiquesde type ondulatoire (comme, plus tard, les interférences), une hypothèse corpusculaire,laquelle, de prime abord, ne nécessite pas l’hypothèse d’un support matériel.

Par contre, si la lumière doit être une onde, la question « qu’est ce qui vibre ? » s’impose, et ilest alors difficile de ne pas avoir à imaginer l’existence d’un milieu « subtil », support desvibrations lumineuses, « l’éther » ; un milieu éthéré qui, à la réflexion, doit remplir toutl’espace, même là où il n’y a plus d’air (on voit les étoiles), ainsi que tous les corps au seindesquels se propage la lumière, doit être très difficile à comprimer et très peu dense (lalumière se déplace si vite), doit se laisser traverser sans résistance par les corps solidesmobiles (pour, par exemple, ne pas ralentir le mouvement des planètes)…

B. L’Antiquité

Les premières conceptions de la lumière sont de nature corpusculaire, et elles sont« polluées » par leur positionnement par rapport au sens de la vision.

Elles sont à base de « rayons » ou de projectiles lumineux, se déplaçant en général à vitesseinfinie (la lumière « apparaît et disparaît instantanément ») :

qui sont émis par les corps lumineux (« feu externe »), et qui, gardant l’image de laforme de ces objets, produisent la vision dans la rencontre avec l’œil (Démocrite, 460-360 av. J.-C., Epicure, 341-270 av. J.-C., Lucrèce au Ier siècle av. J.-C.) ;

360

ou qui sont émis par 1'oeil de l’observateur (« feu visuel intérieur »), le rayon ainsiémis revenant vers l’œil en rapportant l’image (les pythagoriciens au Vème siècle av.J.-C., Euclide au IIIe siècle av. J.-C.) ;

ou qui sont émis à la fois par les corps lumineux et par l’œil, ce dernier envoyant unrayon qui rencontre les particules émises par les objets (Platon, 428-348 av. J.-C.).

Empédocle (environ 490-435 av. J.-C.) et Euclide (IIIe siècle av. J.-C.) s’intéressent cependantdéjà à ce qui sera appelé plus tard l’optique géométrique.

Aristote (384-322 av. J-C) et Lucrèce (98-55 av. J-C) s’interrogent sur le milieu depropagation, qui pour eux ne peut être le vide.

Aristote est un tenant de l’intromission de la lumière dans l’œil, qui n’en n’est pas l’émetteur(si c’était le cas, on pourrait voir la nuit).Pour lui, la lumière est une substance, dont le feu constitue l’état pur.Il connaît la décomposition de la lumière blanche en couleurs à la traversée de certainsmilieux matériels, qu’il interprète comme une atténuation, un « obscurcissement » de lalumière incidente, pure et homogène, lors de la traversée plus ou moins longue de milieuxtransparents ; dans la nature, les couleurs sont ainsi une « altération du feu ».

Plus tard, on peut noter des contributions de Sénèque (4 av. J.-C.- 65), qui s’intéresse augrossissement apparent des objets à travers un flacon en verre plein d’eau, et de Galien (129-199), qui étudie surtout 1'œil.

Ptolémée (90-168 environ), par ailleurs tenant de l’œil émetteur, tente vers 140 d’établir leslois de l'optique géométrique ; il est, semble-t-il, le premier à proposer des tables de mesure,remarquables pour l’époque, des angles d'incidence et de réfraction aux transitions air-eau,air-verre, eau-verre.

C. Le Moyen Age

a. Alhazen

Dans l’histoire de l’optique, une mention particulière doit sans aucun doute être attribuée ausavant arabe Ibn al-Haytham (Bassorah 965-Le Caire, 1039), dit Alhazen en Occident(d’après son prénom arabe), véritable précurseur dans l’utilisation de la méthode d’analysescientifique, et inspirateur de moult savants occidentaux à venir.

Alhazen invente la chambre noire, avec laquelle il conduit ses expériences, explique lepouvoir grossissant des lentilles, étudie la réflexion et la réfraction. Concernant la réflexion, ildémontre expérimentalement que le rayon incident et le rayon réfléchi sont dans un mêmeplan, perpendiculaire au miroir, et que les angles d'incidence et de réflexion sont égaux.Concernant la réfraction, il considère qu’elle est causée par une variation inverse de la vitessede la lumière avec la densité du milieu, démontre que le rayon incident, la normale au point deréfraction et le rayon réfracté sont dans un même plan, et trouve un rapport constant, pour unmilieu réfringent donné, entre angle d’incidence et angle de réfraction.

Il établit, selon des méthodes déjà très scientifiques, une théorie corpusculaire de la lumière. Ilfait en particulier un sort à la théorie de l’émission de lumière par l’œil : les choses sont vues

361

parce qu'elles émettent de la lumière (la bougie), ou parce qu’elles réfléchissent la lumière émise par un autre corps lumineux (la lune qui réfléchit la lumière émise par le soleil). Il introduit le concept de rayon lumineux, l’ indépendance des rayons d'un faisceau, pose le principe de la « propagation sphérique dans toute direction », à vitesse moindre dans les milieux plus denses. Il s’ intéresse au crépuscule (et détermine l'épaisseur de l'atmosphère sur cette base), à l'arc-en-ciel, aux ombres et aux éclipses.

Il étudie beaucoup l'œil, dont il réalise une des premières dissections sérieuses. Il considère celui-ci comme un instrument d’optique, auquel il applique ses lois de l’optique ; l’ image de l’objet réfléchissant se formerait, lorsqu’un des rayons réfléchis pénètre, normalement à sa surface, dans l’œil, sur le cristallin (pour ce qui est de la rétine, il bute sur l’obstacle de l’ inversion de l’ image, connue expérimentalement de lui).

Son ouvrage, Kiteb Almanadher, est traduit en latin, et diffusé partiellement en Occident, dès le début du XIIIe siècle, sous le titre Opticae thesaurus Alhazeni Arabis.

I llustration 1 – Pages de tête de la première édition complète (1572), avec le livre X d’optique de Vitellion, de la traduction latine de l’optique d’Alhazen

( avec l’aimable autorisation du Service Inter-établissements de Coopération Documentaire des Universités de Strasbourg, 34, boulevard de la Victoire, 67070 Strasbourg Cedex,

http://num-scd-ulp.u-strasbg.fr:8080/).

b. En Occident

Plus tard, en Europe, le moine silésien Vitellion (Erazmus Ciolek Witelo, 1230-autour de 1285) rédige vers 1270 De perspectiva, dont la partie sur l’optique (l’ouvrage, publié au

362

milieu du XVIe siècle, traite aussi de psychologie et de métaphysique) emprunte largement àAlhazen, contribuant ainsi à répandre à la Renaissance les idées de ce dernier.

Adeptes de la méthode expérimentale, les Anglais Robert Grosseteste (vers 1170-1253) etRoger Bacon (1214-1294) semblent pouvoir être crédités des premières hypothèses de typeondulatoire sur la nature de la lumière.

Egalement défenseur de la géométrie comme outil de description du monde, l’évêquefranciscain Robert Grosseteste est considéré comme un des pionniers du renouveauscientifique et littéraire du Moyen Age (notamment, il introduit en Europe des traductionslatines d'Aristote et d'autres savants antiques et arabes).S'appuyant sur les écrits en optique d’Alhazen, il étudie les rayons « directs, réfléchis etdéviés ».Il s'intéresse à la formation de l'arc-en-ciel, et travaille sur les lentilles et leurs propriétés deloupe, les miroirs, la réfraction (« l'angle de réfraction est égal à la moitié de l'angled'incidence »), les couleurs (il est le premier à distinguer le blanc, le noir et sept couleursfondamentales), auxquelles il affecte la notion de luminosité (couleur lumineuse ou terne).

Elève de Grosseteste, le moine franciscain Roger Bacon étudie beaucoup la réflexion,notamment sur les miroirs sphériques. De l’observation de l’orage, il conclut que la vitesse dela lumière est beaucoup plus grande que celle du son. Comme Grosseteste, il connaît lestravaux d’Alhazen, sur lesquels il appuie les siens. Mais l’élève n’est pas le maître : sensible àl’autorité reconnue, il passe pour avoir trop souvent cherché à concilier des conceptsantagonistes, sans utiliser suffisamment les faits expérimentaux pour trancher entre leshypothèses, et, au final, pour n’avoir pas réellement contribué à imposer dans l'Occidentd’alors une pratique de la méthode expérimentale bien présente chez son inspirateur oriental.

c. La naissance de l’optique instrumentale

Malgré l’existence antérieure de lunettes à fonction esthétique en Chine et, semble-t-il,l’utilisation de monocles très rudimentaires à Rome (Pline mentionne celle de l’émeraudepolie par Néron), la période moyenâgeuse peut être créditée du démarrage et des premiersprogrès notables de l'optique instrumentale (au XIe siècle en Egypte, plutôt à la fin du XIIIe

siècle en Italie), avec les vrais débuts de la fabrication d’accessoires optiques destinés àaméliorer la vue et, corrélativement, le développement d’une activité artisanale spécifique,socialement et culturellement importante.

D. Les débuts de l’époque moderne

a. Képler et Galilée

L’astronome et physicien allemand Johannes Képler (1571-1630), autre connaisseur destravaux d’Alhazen (par Vitellion), qui expérimente en chambre noire, et utilise quant à luipleinement les données d’observation pour discriminer entre théories concurrentes, renouvellel’optique en 1604 dans son ouvrage Paralipomena ad Vitellionem.Il établit des lois approchées pour la réfraction, et pose clairement le principe de lapropagation (dont il suppose la vitesse infinie) ; il privilégie la description par les rayons, etadopte implicitement une position corpusculaire, même s'il semble proche d’unereprésentation en ondes sphériques sur la question de la formation des images par les lentilles.

363

Avec le XVIIe siècle arrivent plus généralement les véritables expériences quantitatives.

Ainsi, l’Italien Galilée (Galileo Galilei, 1564-1642), qui par ailleurs semble peu s’interrogersur la nature de la lumière, tente-t-il sans succès d’en déterminer la vitesse (qu’il suppose êtrefinie) : avec deux expérimentateurs munis d’horloge, distants de quelques kilomètres, il luifaut mesurer des durées de l’ordre de 510 s , ce qui est impossible à l’époque (de son échec,Galilée conclut que la vitesse cherchée est très grande, pas nécessairement infinie).Il sera toutefois, d’une certaine façon, à l’origine de la première mesure réussie de la vitessede la lumière par Romer (en 1675) à partir de l’observation des satellites de Jupiter, de par soninvention en 1610 de la lunette astronomique, qui a rendu possible la découverte de cessatellites.

b. L’apport et l’influence de Descartes

Le nom de René Descartes (1596-1650) est définitivement associé, en France, au premierénoncé mathématique exact des lois de la réflexion et de la réfraction, qui confère un statut descience exacte à l’optique géométrique, et donne leur assise à ses applications instrumentales.

En réalité, on a déjà indiqué qu’Alhazen pourrait très bien être crédité des lois de la réflexion,et le mathématicien hollandais Willebrord Snell (1580 ou 1581-1626) avait déjà découvert,sans les publier (elles ne lui seront ré-attribuées qu’en 1703 par Huygens dans son Dioptrica),les lois de la réfraction (des travaux semble-t-il connus de Descartes, après son installation enHollande en 1628, et son séjour à Leyde, où professait Snell avant sa mort).

Descartes pense que la lumière se propage instantanément dans la « matière subtile » quis’étend entre le Soleil et l’œil. Il s’intéresse à bien des aspects de l’optique. Par exemple, ilétablit le lien entre les couleurs de l’arc-en-ciel et les angles des réfractions successives desrayons solaires ; il imagine de déterminer la vitesse de la lumière par une observation dedécalage angulaire lors du phénomène de l’éclipse de lune, mais, comme il est impossible àl’époque d’observer des angles aussi petits, il en déduit que la propagation de la lumière estinstantanée.

Si, comme c’est bien connu, Descartes place la démarche scientifique (expérimentation,doute, recherche d'une certitude) au cœur de toute son œuvre, il a pourtant souvent sur lalumière des conceptions confuses, voire contradictoires (génération de la lumière parfrottements entre tourbillons, visualisation de la réfraction comme traversée par lescorpuscules lumineux d'une sorte de toile tendue qui les accélère si le milieu aval est plusdense), dont la postérité aura parfois du mal à se débarrasser. Cette rupture sera l'objet d'undes premiers écrits de Newton, et Huygens prendra aussi une position claire sur ce point, dèsle début de ses travaux.

Dans le sillage de Descartes, il faut évidemment citer Pierre de Fermat (1601-1665), quicorrige l’erreur de Descartes quant au sens de variation de la vitesse de la lumière avec ladensité du milieu, et retrouve les lois de la réfraction à 1'aide d’un principe de moindre temps.Ces travaux de Fermat sont bien moins valorisés que ses apports mathématiques, en raison del’influence de Descartes.

On peut aussi mentionner deux tenants de la nature ondulatoire de la lumière :- le jésuite italien Francesco Grimaldi (1618-1663), qui observe et tente d’expliquer desfranges irisées qui apparaissent en dehors du trajet normal d’un faisceau dans lequel on

364

dispose de petits objets divers (découverte supposée de la diffraction) et qui étudie ladécomposition de la lumière blanche,- le philosophe cartésien Nicolas Malebranche (1638-1715) qui, indépendamment de Newton,propose une théorie des couleurs, sur la base d’une analogie entre la lumière et les sons.

E. La théorie corpusculaire gagne une bataille.

C’est au XVIIe siècle principalement, à l’origine entre Newton et Huygens (et aussi Hooke),que va s’exacerber la rivalité entre visions corpusculaire et ondulatoire de la lumière.

a. Huygens

A la suite de la publication par Newton, en 1672, d’une série d’articles sur la lumière et sur lacouleur, le savant hollandais Christiaan Huygens (1629-1695) s’intéresse à la nature de lalumière (son intérêt antérieur pour l’optique se limitant aux calculs dioptriques en vue de laconception de lunettes). Il écrit en 1678 et publie en 1691 un court Traité de la lumière.

Il est probablement le véritable premier théoricien de la nature ondulatoire de la lumière :l'univers serait rempli d’un « éther » constitué de particules vibrantes, dont les mouvementsoscillatoires se transmettent de proche en proche ; l’ensemble des particules qui vibrent enmême temps constitue une « ondelette », et l'enveloppe des ondelettes forme l'onde lumineuse(qui est longitudinale). Le changement de vitesse de propagation lors du passage d’un corps àun autre s’explique par l’interaction entre l’éther et les particules constitutives des corps.

Huygens montre en 1677 que cette théorie ondulatoire est compatible avec les lois de laréflexion et de la réfraction, et qu’elle permet d’expliquer, contrairement à l’approchecorpusculaire, le phénomène de double réfraction de la lumière par la calcite (spathd’Islande), découvert par le médecin et géomètre danois Erasme Bartholin (1625-1698), etétudié aussi par Grimaldi.

Il jette les bases du principe de progression « de proche en proche » de l’onde lumineuse, qui,plus tard, sera appelé « principe de Huygens-Fresnel », et démontré par Kirchoff, et quipermet, entre autres, de calculer l'intensité dans les phénomènes de diffraction etd’interférences : on peut faire comme si un point qui reçoit une onde ré-émet lui-même uneonde sphérique de même fréquence, de même amplitude et de même phase.

Huygens ne semble cependant pas avoir une conception très claire des relations de phase etdes phénomènes d’interférences et, si son approche explique beaucoup de phénomèneslumineux observés, elle échoue pour ce qui est de la diffraction et de la polarisation, surlesquelles le savant garde le silence (et la propagation rectiligne elle-même n’est pas sans yposer problème).

Enfin, s’il rejette l’hypothèse corpusculaire de Newton, Huygens est cependant amené àenvisager parfois l'existence de particules, et certains ont pu trouver dans les rapports qu'ilcherche entre celles-ci et les ondes « des résonances étrangement brogliennes ».

b. Newton

L’universel savant anglais Isaac Newton (1642-1727) s’intéresse tôt, et de façon durable, àl’optique. Il observe les phénomènes de diffraction et les franges localisées des lames minces.

365

Il réalise le premier vrai télescope, et étudie la décomposition de la lumière blanche par un prisme (« dispersion » déjà connue, mais expliquée par lui comme résultant d’une capacité de réfraction variable des radiations composant la lumière blanche). Il s’avère précurseur sur le thème de l’émission du corps noir, par l’ intérêt qu’ il porte à la lumière émise par les fours.

Il publie en 1672 (cinq ans après son élaboration) sa Théorie des couleurs et, en 1704, son volumineux traité d’optique.

Concernant la dispersion de la lumière, l’apport de Newton à la théorie aristotélicienne de l’apparition des couleurs par « affaiblissement » de la lumière réside dans la recomposition de la lumière blanche à partir de ses composantes dispersées, dans la démonstration de l’ impossibilité de décomposer d’avantage une telle composante, et dans l’assignation à chaque couleur « pure » d’un nombre caractéristique, préfigurant la longueur d’onde…

Et pourtant Newton, auteur par ailleurs d'une théorie ondulatoire du son, pense que la lumière est constituée de corpuscules produits par un objet chaud, qui se propagent dans l’espace, plus rapidement dans un milieu matériel transparent que dans le vide, qui peuvent rebondir sur les objets, et qui sont détectées par l’œil ; la taille de ces corpuscules varie selon la couleur de la lumière. Contrairement à son compatriote et contradicteur attitré Robert Hooke (1635-1703), qui énonce en 1665 que la lumière est une vibration de haute fréquence qui se propage, il rejette l’hypothèse de la nature ondulatoire de la lumière.

Une position qu’ il conforte parfois « au forceps », en dépit de ses expériences sur les anneaux d'interférences et de l’ interprétation qu’ il en donne, en termes de réflexions multiples, qui s’accommoderaient plutôt mieux d’une hypothèse ondulatoire. Bien que Newton connaisse les travaux d'Huygens (qu’ il cite comme Hugénius, soit « grand génie »), et n’hésite pas parfois à s’en rapprocher, il préfère au final compliquer sa théorie corpusculaire (par exemple, en envisageant d’ improbables actions instantanées à distance entre surfaces réfléchissantes), pour privilégier l’ interprétation en termes de corpuscules lumineux.

Newton est amené lui aussi à introduire un « milieu éthéré », mais avec une finalité, et un rôle vis-à-vis de la lumière, assez différents de ceux attribués à l’éther par Huygens. Ce milieu, « excessivement plus rare et plus élastique que l’air », serait composé de particules bien plus petites que celles de la lumière ; présent au fond de l’œil et mis en vibration par les corpuscules lumineux de diverses tailles, il propagerait la cause de la lumière, et les couleurs

I llustration 2 – Isaac Newton, in Louis Figuier, 1869, p. 408

(Les merveilles de la science, tome III,Furne, Jouvet et Cie, Paris, 752 pages. Bibliothèque de Météo-France).

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ainsi concrétisées, jusqu’au lieu des « sensations » (il jouerait aussi ce rôle pour les autressens, et serait également responsable de la gravité).

c. Le règne de la théorie corpusculaire

Chacune des approches de Huygens et de Newton échoue à expliquer tous les phénomènesexpérimentaux alors connus, ou à le faire de façon convaincante. Mais, dans la rivalité quinaît entre les deux conceptions physiques de la lumière, la notoriété de Newton auprès de sescontemporains donnera l’avantage à la théorie corpusculaire, en dépit de ses limitations.

En fait, la théorie de Newton résistera un siècle. Puis la théorie ondulatoire reviendra sur ledevant de la scène, avec d’une part l’arrivée des outils mathématiques qui manquaient àHuygens (proposés par Euler, Clairvaux, d’Alembert, Bernoulli, Hamilton, Lagrange, Fourier,…) et, d’autre part, de nouvelles expériences sur la diffraction et les interférences, et uneinvestigation plus perspicace de celles-ci.

Au chapitre des évènements importants de l’époque newtonienne, il faut naturellement aussimentionner la première mesure (astronomique) de la vitesse de la lumière, en 1675 àl’observatoire de Paris par le Danois Ole Romer (1644-1710).C’est en voulant expliquer les inexactitudes des prévisions à long terme des éclipses dessatellites de Jupiter, par les lois de Kepler, que Romer met en avant la vitesse finie de lapropagation de la lumière, dont il propose une méthode de calcul (laquelle aurait donné, sousréserve de lever convenablement certaines incertitudes astronomiques de l’époque, une valeurde l’ordre de 215 000 kilomètres par seconde).

En 1728, l’Anglais James Bradley (1693-1762) réalise une seconde mesure sur la base de« l'aberration des fixes », et propose, à moins de 10 s de la durée exacte pour la configurationmoyenne, une durée de 8 minutes et 12 secondes pour le trajet Soleil-Terre par la lumière.

F. La revanche de la théorie ondulatoire

a. Young et Fresnel

Sans connaître les travaux de Huygens, le médecin anglais touche-à-tout Thomas Young(1773-1829), qui, en optique, conduit principalement des expériences sur les frangesd’interférences (produites par des lames minces, par réfraction par un cristal de calcite, ou pardiffraction par des trous voisins), relance avec force en 1802 l’hypothèse ondulatoire ; ilénonce le caractère de vibration transversale de la lumière, et réussit à évaluerexpérimentalement une « longueur d'onde » de la lumière pour différentes couleurs (mais iléchoue à expliquer la diffraction).La publication de ses travaux provoque l’hostilité agressive des « newtoniens ».

Le polytechnicien Augustin Fresnel (1788-1827), en parallèle à son métier d’ingénieur desponts et chaussées qui l’ennuie, se spécialise, avec le soutien de François Arago (1786-1853),dans l’étude des phénomènes lumineux. Ses travaux l’amèneront à proposer une visionachevée de l’optique ondulatoire. Même si elle bute sur la question de l’éther, cetteconception rend compte de tous les phénomènes lumineux connus à cette époque ; après lesexpériences de Fizeau et de Foucault comparant la vitesse de la lumière dans les différentsmilieux, elle s’imposera pour toute la fin du XIXe siècle.

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Indépendamment de Young et sans, lui non plus, connaître au départ les contributions de Huygens, Fresnel conduit à partir de 1814 des travaux expérimentaux et théoriques sur la diffraction, les interférences, la polarisation (dont il propose une théorie très complète, et montre qu’elle est transversale) et la nature de la lumière (on lui doit la clarification de la notion de longueur d’onde).

Son mémoire de 1817 sur la diffraction, soumis dans le cadre d’un concours lancé par l’Académie des Sciences, est récompensé en 1819 par un jury plutôt « pro-corpusculaire » (Arago, Biot, Poisson, Laplace, Gay-Lussac), alors qu’ il adopte un point de vue résolument ondulatoire (sur la base du « principe de Huygens-Fresnel », il permet, par calcul intégral, de déterminer précisément les figures de diffraction). Il faut dire que Poisson avait finement remarqué une conséquence, inattendue et paradoxale, de la théorie de la diffraction par un petit écran circulaire développée par Fresnel, à savoir l’existence d’un point brillant, au centre de l’ombre… et que l’expérience conduite spécifiquement pour élucider ce point a complètement confirmé la prévision théorique !

Après 1822, la fin de la (courte) vie de Fresnel est consacrée à des travaux sur les phares (il est secrétaire de la commission des phares et balises). Dans ce cadre, il met notamment au point la « lentille à échelons », extrêmement riche en retombées pratiques, encore de nos jours : la « lentille de Fresnel » tire parti de l’ indépendance du phénomène de réfraction par rapport à la longueur du trajet dans le milieu réfringent, pour alléger les lentilles, et augmenter leur portée en récupérant la lumière partant dans des directions inutiles.

A l’époque de Fresnel, la théorie corpusculaire est défendue (assez étonnamment compte tenu des expériences et des lois qui portent aujourd’hui son nom) par un autre polytechnicien, Etienne-Louis Malus (1775-1812), avec le syndrome, bien newtonien, de la « torture » de la théorie pour la faire passer à tout prix sous les fourches caudines obligées des résultats expérimentaux. Autre partisan, à l’origine, de la théorie corpusculaire, Pierre-Simon Laplace (1749-1827), quant à lui, adressera publiquement ses félicitations à son « adversaire » Fresnel.

b. Fizeau et Foucault, des expér iences décisives

Malgré tous les succès de la théorie de Fresnel, c’est la mesure comparée de la vitesse de la lumière dans l’air et dans un autre milieu transparent qui est considérée comme l’expérience

I llustration 3 – Augustin Fresnel, in Louis Figuier, 1870, p. 433

(Les merveilles de la science, tome IV, Furne, Jouvet et Cie, Paris, 744 pages. Bibliothèque de Météo-France).

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déterminante pour trancher entre le modèle corpusculaire de l’émission, dont les tenants,depuis Descartes et Newton, affirment que la lumière se propage plus vite dans un milieu plusdense, et le modèle ondulatoire qui, depuis Huygens, implique le contraire.

Après des tentatives originales mais sans suite de l’anglais Charles Wheatstone (1802-1875)et d’Arago, ce sont Hippolyte Fizeau (1819-1896), en 1849 avec une méthode utilisant uneroue dentée, puis Léon Foucault (1819-1868), en 1850 avec une technique à base de miroirtournant (imaginée d’ailleurs par Arago), qui conduisent les premières expériences nonastronomiques (applicables dans différents milieux matériels) de la vitesse de la lumière, etmontrent que la lumière se propage moins vite dans l’eau que dans l’air, validant ainsi lathéorie ondulatoire.

c. La course à la vitesse de la lumière

Les travaux de Fizeau et de Foucault marquent le début d’un grand nombre de déterminationsde la vitesse de la lumière « de laboratoire », toujours plus précises (les déterminationsastronomiques, dont la précision ne peut dépasser 45.10 , seront assez vite abandonnées), etqui aboutiront à la nouvelle définition du mètre de 1983.

Il n’est pas question de faire ici un historique exhaustif de ces mesures.

On se contente de quelques repères parmi les plus significatifs, en poussant toutefois d’ores etdéjà jusqu’à l’épilogue de la course à la fin du XXe siècle.

Quelques années après sa première expérience, Foucault utilise son dispositif pour déterminerla vitesse absolue de la lumière dans l’air, il obtient une valeur de 298 000 kilomètres parseconde, avec une précision qu’il estime à 500 kilomètres par seconde.

Il mesure, de même que d’autres, la vitesse de la lumière dans différents milieux, et met enévidence que, contrairement à ce qui se passe dans le vide, la vitesse de la lumière y dépendde la longueur d’onde : par exemple, la vitesse des rayons « rouges » excède celle des rayons« bleus », de 1,4 % dans l’eau et de 2,5 % dans le sulfure de carbone.

Entre 1871 et 1874, Alfred Cornu (1841-1902), convaincu de leur supériorité, reprendra en lesaméliorant les mesures par roue dentée ; son résultat définitif sera de 300 400 kilomètres parseconde, à 300 kilomètres par seconde près.

Plus tard, le physicien américain Albert Abraham Michelson (1852-1931) n’aura de cesse deperfectionner la méthode de Foucault, qu’il montre être au final la plus performante.

Pour son coup d’essai, en 1878, il fait pratiquement jeu égal avec Cornu (300140 km/s, à 480km/s près) … dans une manipulation d’amateur (réputée avoir coûté seulement « quelquesdollars » !), portant sur une distance de 152 mètres.

En 1927, avec une base de 35 kilomètres, il établit la valeur, non détrônée jusqu’en 1941, de299 796 kilomètres par seconde, à plus ou moins 4 kilomètres par seconde près.

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I llustration 4 – « Appareil de M. Michelson », in « La Nature » 1895, 2ème semestre, en vue générale, à gauche (p.413), et vu en bout, à droite ( p. 429).

Bibliothèque de Météo-France.

Au XXe siècle, particulièrement après la seconde guerre mondiale, de nouvelles technologies sont mises au service de la mesure de la vitesse de la lumière. La cellule opto-électronique remplace d’abord la roue dentée. Puis, à partir de 1947, le radar, le géodimètre (télémètre utilisant des ondes visibles, inventé par le Suédois Erik Bergstrand en 1949), le telluromètre (appareil de mesure de distances fonctionnant en hyperfréquences, inventé en 1956 par le Sud-Africain T.L. Wadley), la cavité résonante (guide d’ondes fermé dont on mesure la fréquence de résonance), le radio-interféromètre, la spectrométrie de bande, le laser, permettent d’améliorer de façon spectaculaire la connaissance de la vitesse de la lumière.

On se bornera à signaler ici :

le meilleur résultat avant l’utilisation du laser, dû à Keith Davy Froome (1958) : 299792,5 kilomètres par seconde, à 100 mètres par seconde près (avec un radio-interféromètre à ondes millimétriques) ; l’ insuffisance, pour la métrologie, de la précision de la définition du mètre étalon, conduit la onzième conférence générale des poids et mesures, en 1960, à redéfinir le mètre, par une référence atomique, comme « la longueur de 1650763,73 longueurs d’onde dans le vide de la radiation de transition entre les niveaux 2p10 et 5d5 de l’atome de krypton 86 ».

l’ultime résultat, obtenu en 1978 par Woods, Shotton et Rowley : 299792,45898 kilomètres par seconde, à 20 cm/s près (utilisation de l’ identité .c , et du laser).

En 1983, prenant acte à nouveau de l’ insuffisance de la précision de la définition en vigueur du mètre (celle de 1960), la dix-septième conférence générale des poids et mesures arrête la course à la mesure de la vitesse de la lumière, en fixant définitivement et exactement celle-ci à 299 792 458 mètres par seconde : c’est le mètre qui est redéfini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458e de seconde (la seconde étant, depuis 1967, la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyper-fins de l’état fondamental de l’atome de césium 133).

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G. Vers la généralisation et l’unification électromagnétiques

a. Les pionniers du rayonnement extra-lumineux

Les premières idées sur l’existence d’un « rayonnement calorifique » des corps sont émisespar Newton, par le chimiste suédois Carl Scheele (1742-1786) -« inventeur » de l’oxygène-qui introduit le concept de chaleur radiante en 1777, par Marc-Auguste Pictet (1752-1825)qui, en 1790, publie sur les changements de température causés par des objets chauds oufroids placés au point focal de miroirs concaves, et focalisés sur le bulbe noirci d’unthermomètre, et surtout par le physicien suisse Pierre Prévost (1751-1839), dans sesRecherches physico-mécaniques sur la chaleur (1792), et son Essai sur le caloriquerayonnant (1809).

La connaissance, déjà ancienne, des effets thermique (action sur un thermomètre) et chimique(noircissement du chlorure ou du nitrate d’argent) de la lumière permet, dans les toutespremières années du XIXe siècle, de prendre conscience de l’existence d’un rayonnement« invisible » positionné « de part et d’autre » du rayonnement lumineux visible. En effet, lamême année, en 1801 :- le compositeur et astronome germano-britannique William Herschel (1738-1822), pardéplacement d’un thermomètre sensible le long d’une décomposition de la lumière solaire,découvre que l’effet thermique augmente du violet vers le rouge, et qu’il est encore actif, etmaximum, « en deçà du rouge » ; la continuité de nature de cette « lumière invisibleinfrarouge » avec la lumière visible sera confirmée dans les décennies suivantes pard’illustres expérimentateurs (en termes de propriétés de réflexion et de réfraction, depolarisation, d’interférences, de mesure des longueurs d’onde…).- l’Allemand Johann Ritter (1776-1810), par projection d’une décomposition de la lumièresolaire sur une plaque couverte de nitrate d’argent, découvre que l’effet chimique augmentedu rouge vers le violet et qu’il est encore actif, et maximum, « au delà du violet » ; lacontinuité de nature de cette « lumière invisible ultraviolette » avec la lumière visible seraprécisée et confirmée dans les années suivantes (notamment par photographie).

La découverte en 1821 de l’effet thermo-électrique par l’Allemand Thomas Seebeck (1770-1831) permet une mesure de l’intensité du rayonnement calorifique et, en 1843, sur la base deson étude fine du spectre solaire, l’Italien Macedonio Melloni (1798-1854) affirme l’unicitédu rayonnement lumineux et du rayonnement calorifique.Le domaine relevant jusqu’ici de « l’optique » s’élargit considérablement.

Avec son bolomètre inventé en 1880, basé sur la variation de la résistivité des métaux avec latempérature, et sensible à de très petites différences de température, l’astronome américainSamuel Langley (1834-1906) découvre et étudie les raies et bandes d’absorption dansl’infrarouge.

En parallèle, dans le même temps, l’étude du spectre solaire, et les progrès techniques,notamment dans le domaine des sources lumineuses (arc électrique, lampe électrique àincandescence, tube à décharge…), conduisent progressivement à l’édification d’une nouvellediscipline, la spectroscopie.

En 1814, dans la décomposition de la lumière solaire qu’il réalise avec le spectroscope àréseau de diffraction qu’il a mis au point, l’expérimentateur allemand Joseph von Fraunhofer

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(1787-1826) découvre, et caractérise en longueurs d’onde, les quelque 576 raies sombres qui portent aujourd’hui son nom – et dont certaines avaient été repérées dès 1802 par le Britannique William Wollaston (1766-1828). En 1842, Edmond Becquerel (1820-1891) réussit à photographier le spectre solaire, et il met en évidence des raies de Fraunhofer dans l’ultraviolet.

En 1859, deux savants allemands, le physicien Gustav Kirchhoff (1824-1887) et le chimiste Robert Bunsen (1811-1899), publient un mémoire « sur les raies de Fraunhofer », considéré comme le fondement de l’analyse chimique spectrale dans son acception moderne, et qui montre que la position des raies sombres présentes dans le spectre solaire correspond à des raies émises par divers éléments chimiques. Kirchoff et Bunsen donnent également l’explication du phénomène de « renversement des raies », qu’ ils ont découverte expérimentalement : un atome absorbe les longueurs d’onde qu'il est capable d'émettre. Enfin, Kirchoff établit la loi qui porte aujourd’hui son nom (le rapport des pouvoirs d'émission et d'absorption d'un corps est indépendant de la nature de ce corps) et il définit le corps noir (dont le pouvoir d’absorption vaut l’unité).

b. Maxwell et Her tz

De 1855 à 1864, le physicien écossais James Maxwell (1831-1879) traduit en équations locales l’ensemble des connaissances relatives au champ électrique et au champ magnétique, en ajoutant d’ailleurs dans ces équations un terme dit « en courant de déplacement », qui, à l’époque, ne correspond à aucune observation expérimentale.

Ce point de vue l’amène à considérer l’électricité et le magnétisme comme deux manifestations particulières d’une réalité plus générale.Les champs électrique et magnétique doivent fonda-mentalement être considérés, en régime variable, comme constituant un tout indisso-ciable, le champ électro-magnétique : ils sont perpen-diculaires, et toute variation de l'un entraîne l'apparition de l'autre ; les ondes électromagnétiques ainsi introduites, dont les vibrations sont transversales, ont même nature et même vitesse de propagation que les ondes lumineuses, objet des expériences récentes de Fizeau.

I llustration 5 – Portrait de James Clerk Maxwell, par Carine Berbain (copyright Carine Berbain, 2007).

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En 1877, l’Allemand Henry Hertz (1857-1894) réussit à produire expérimentalement, à l’aidede circuits électriques oscillants, des ondes électromagnétiques au sens de Maxwell, qu’ilmontre effectivement dotées, à la valeur près de la longueur d’onde, de toutes les propriétésphysiques de la lumière (réflexion, réfraction, diffraction, interférences, polarisation).

Dans les années 1890, Hertz et le Britannique Olivier Heaviside (1850-1925) reformulent leséquations de Maxwell dans leur version en vigueur aujourd’hui.

La lumière est désormais considérée, définitivement semble-t-il alors, comme une ondeélectromagnétique transversale ; la physique classique est à son apogée.

2. HISTORIQUE DE LA CONNAISSANCEDE L’ELECTRICITE ET DU MAGNETISME

A. L’Antiquité et le Moyen Age

Les bases de la construction de la science électrique et magnétique se dégagentprogressivement, à partir de l’observation de l’attraction de certaines substances par d’autres,et de certains phénomènes naturels comme les éclairs d’orage, la foudre, les auroresboréales… .

Les premières observations sur l’électricité et le magnétisme sont en général attribuées àThalès de Milet (VIIe-VIe siècle av. J.-C.), qui remarque que l’ambre jaune, frotté lors dupolissage des bijoux, attire les corps légers, et que la « pierre d’aimant », nommée aussimagnétite (car provenant de la province d’Asie Mineure appelée Magnésie), attire la limailleet les morceaux de fer.

Tite-Live (59-17 av. J.-C.) et Pline l’Ancien (23-79) portent, quant à eux, leur attention sur lesphénomènes électriques atmosphériques liés aux pointes, appelés plus tard « feux de Saint-Elme » par les marins.

Au début de notre ère, les Chinois observent la propriété d’accessoires de divination, faits demagnétite, de s’orienter toujours dans la même direction.Ils découvrent que l’on peut magnétiser des aiguilles de fer, au VIe siècle par frottement avecla magnétite, puis au XIe siècle par un protocole de chauffage au rouge et de refroidissement.L’observation que la direction d’une telle aiguille aimantée, mobile à la surface de l’eau,indique toujours la direction nord-sud, conduit les Chinois à l’invention capitale de laboussole, qu’ils utilisent couramment bien avant la fin du premier millénaire.

La boussole entre en Europe, via les Arabes et les Croisés, au XIe ou au XIIe siècle (premièremention écrite dans une lettre de 1269 de Pierre « le Pèlerin » de Maricourt –appelé aussiPeter Peregrinus-, ingénieur militaire de Charles d’Anjou, roi de Sicile). Cette découverteentraîne l’essor des études magnétiques de la Terre menées lors des grandes explorations,avec notamment la découverte du nord magnétique, distinct du nord géographique, et susciteun regain d’intérêt pour l’électricité à la fin du Moyen Age.

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B. Les précurseurs

Le premier ouvrage sur l’aimant, ou magnétite, est attribué à l’Anglais Robert Norman en1581.

L’Anglais William Gilbert (1544-1603), médecin d’Elisabeth I d’Angleterre, étudie etdistingue, dans une démarche expérimentale rigoureuse, les phénomènes électriques etmagnétiques : l’ambre, comme d’ailleurs le verre et la résine, attire une multitude de corpslégers, la magnétite seulement le fer ; l’aimant a toujours deux pôles, l’ambre non.Il latinise en « electrica » le nom grec « elektron » de l’ambre jaune, qu’il applique àl’ensemble des phénomènes d’attraction, et il formalise la notion d’aimantation terrestre.Il publie De arte magnetica en 1600.

L’Allemand Otto von Guericke (1602-1686) - l’auteur de l’expérience des hémisphères deMagdebourg sur la pression atmosphérique- confirme que le phénomène d’attractionélectrique provoqué par frottement concerne en fait un grand nombre de corps, et il proposeune explication électrique des orages. Cherchant à simuler le comportement électrique,magnétique et gravitationnel de l’ensemble du globe terrestre, il invente en 1663 une machineà produire de l’électricité statique et des « éclairs » (étincelles électriques), par frottementd’une boule de soufre en rotation autour d’un axe.Bien que décrits en 1672 par leur auteur, cet appareillage et les intéressantes expériences surl’attraction électrique qu’il aura permises, tombent dans l’oubli, et ne seront repris quequelques décennies plus tard.

Le premier véritable générateur électrostatique comprend deux cylindres de verre rentrant l'undans l'autre et que l'on peut mettre en mouvement, séparément ou à la fois, à l'aide d'une rouemue par une manivelle. Il est considéré comme l’œuvre, en 1707, de l’Anglais FrancisHauksbee (1666-1713), élève de Boyle, initié à la technique du vide et alors démonstrateurinstrumental de la Royal Society, présidée par Newton. La motivation de Hauksbee est larecherche de l’explication de la « lumière bleue barométrique », observée en 1675 par l’abbéJean-Félix Picard (1620-1682) au sein du mercure, lors des secousses d’un baromètretransporté de nuit. Il conduit ainsi les premières recherches sur les décharges électriques dansles gaz raréfiés ; il passera aussi tout près de la découverte de l’induction électrostatique, maisses préjugés explicatifs mécanistes un peu compliqués l’en empêcheront.

Dans une démarche strictement expérimentale, l’Anglais Stephen Gray (1670-1736) est lepremier à s’intéresser à la conduction de l’électricité. Avec l’aide de son ami GranvilleWheeler, il montre que l’on peut transmettre la « vertu électrique» (l’électrisation), à grandesdistances (plusieurs centaines de mètres) par des fils de certaines natures. Il est à l’origine dela notion de « corps conducteurs » et de « corps isolants », selon le vocabulaire imaginé plustard par son compatriote John Desaguliers (1683-1744). Il découvre aussi l’électrisation parinfluence.

Dans le prolongement des travaux de Gray, qu’il rencontre en 1732 et avec qui il correspondensuite, Charles Dufay (1698-1739) poursuit méthodiquement l’investigation de laconduction, précise la distinction entre isolants et conducteurs, et formule l’existence de deuxfluides électriques (électricité « résineuse » et électricité « vitreuse »).

Avec son assistant et disciple, expérimentateur et vulgarisateur de génie, l’abbé Jean AntoineNollet (1700-1770), il découvrira de nombreuses manifestations spectaculaires de l’électricité,

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et sera à l’origine de la mode des soirées mondaines de démonstrations électriques de la fin du XVIIe siècle, culminant avec l’électrification par Nollet, à la cour de Louis XV et en présence de celui-ci, de 180 gardes royaux se tenant par la main.

En 1747, l’écrivain et physicien américain Benjamin Franklin (1706-1790) affirme clairement (avec les expérimentateurs britanniques Beavis et Watson), l’existence de deux formes d’électricité (plutôt un fluide avec deux états), l’une « positive », l’autre « négative ».

Il conduit des expériences sur la foudre, parvient, grâce au cerf-volant, à capter l’électricité atmosphérique, ce que Dufay et Nollet avaient peut-être fait avant lui, et invente le paratonnerre, qui trouve très vite son application pratique.

C. Les fondations scientifiques

Le physicien et chimiste britannique Henry Cavendish (1731-1810) montre en 1772 que les actions électriques sont nulles à l’ intérieur d’une sphère creuse chargée, ce qui implique dans ce cadre une dépendance de ces actions proportionnelle à l’ inverse du carré de la distance. Plus tard, il introduit les notions de potentiel électrostatique, de charge électrique et de capacité, et il quantifie de façon relative

les conductivités électriques de différents corps.Il contribue de façon décisive à l’essor d’une électrostatique quantitative, mais il n’a publié que peu d’articles et aucun livre. Ses recherches ne seront retrouvées qu’en 1879 par Maxwell.

Expérimentateur habile et solide théoricien, Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) est un adepte rigoureux des méthodes scientifiques positives. A l’aide de la balance de torsion de son invention, capable de mesurer de très petites forces, il montre que la force, attractive ou répulsive, qui s’exerce entre deux corps électrisés, varie proportionnellement à l’ inverse du carré de leur distance. Il travaille aussi sur les actions magnétiques, sur la déperdition de l’électricité, et sur la distribution de l’électricité sur les conducteurs.Il est considéré comme le véritable père fondateur des bases quantitatives de l’électrostatique expérimentale et théorique.

I llustration 6 – Expérience du cerf-volant de Benjamin Franklin, Philadelphie, 1752,

in Louis Figuier, 1868, p. 541 (Les merveilles de la science, tome I,

Furne, Jouvet et Cie, Paris, 743 pages. Bibliothèque de Météo-France).

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I llustration 7 – Vue éclatée de la balance de torsion de Coulomb(planche extraite d’un mémoire de Coulomb publié par Gauthier-Villars en 1884 ,

reproduite avec l’aimable autorisation du Conservatoire national des arts et métiers, Conservatoire numérique, http://cnum.cnam.fr)

Sur la base de l’analogie avec la loi de l’attraction de Newton, Siméon-Denis Poisson (1781-1840) formalise en 1811 la notion de potentiel électrique, qui sera perfectionnée en 1839 par l’Allemand Carl Gauss (1777-1855), lequel attachera aussi son nom à d’autres notions fondamentales, comme les quantités d’électricité et les unités.

Avec, en 1799, l’ invention par l’ Italien Alessandro Volta (1745-1827) de la pile électrique, empilement alternatif de disques de métaux différents, comme cuivre et zinc, séparés par des disques de feutre imbibés d’acide, l’électricité devient dynamique. Cette révolution ouvre par ailleurs la voie à de nombreuses applications de l’électricité dans la production de travail, de chaleur et de lumière.

D. L ’ investigation des rappor ts entre électr icité et magnétisme

La question des rapports entre phénomènes électriques et phénomènes magnétiques se trouve en fait déjà posée depuis au moins le XVIIIe siècle, par l’observation de l’aimantation du fer par la foudre.

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Ce sont les travaux, expérimentaux et théoriques, du Danois Hans Oersted (1777-1851), d’André-Marie Ampère (1775-1836), de Pierre-Simon Laplace (1749-1827), de Jean-Baptiste Biot (1774-1862) et de Félix Savart (1791-1841), sur les actions réciproques des aimants et des courants, qui aboutissent, sur une période très ramassée, aux principaux résultats de la « magnétostatique » (propriétés magnétiques des courants).

En 1819, Oersted met en évidence les effets magnétiques des courants, en remarquant qu’une aiguille aimantée mobile sur un pivot, placée parallèlement à un fil métallique, quitte la direction du méridien magnétique pour se placer perpendiculairement à ce fil lorsque celui-ci est parcouru par un courant électrique.

Après avoir assisté en 1820 à une reproduction de l’expérience d’Oersted par Arago à l'Académie, Ampère trouve rapidement l’explication du phénomène, découvre la source des actions magnétiques, et montre que deux courants fermés agissent l'un sur l'autre. Son ouvrage de 1827, Sur la théorie mathématique des phénomènes électrodynamiques uniquement déduite de l'expérience, est généralement considéré comme fondateur de l’électromagnétisme (et de son vocabulaire).

En 1821, Biot et Savart montrent que la force agissant sur le pôle de l’aiguille aimantée est perpendiculaire à la normale abaissée de ce pôle sur le fil traversé par le courant, et varie en raison inverse de la distance de l’aiguille au fil. Laplace formalisera ce résultat dans une formule dite « de Biot et Savart ».

En 1822, le mathématicien et physicien britannique Peter Barlow (1776-1862) construit le premier moteur électrique, la « roue de Barlow », un disque métallique découpé en étoile, dont les extrémités plongent dans un godet contenant du mercure qui assure l'arrivée du courant.

En 1827, le physicien allemand Georg Ohm (1787-1854) introduit dans une publication les notions d’ intensité de courant électrique, de force électromotrice, de tension, ainsi que la relation qui s’établit entre elles dans un circuit électrique. Ces travaux sont ignorés dans son pays, mais vite reconnus à leur valeur partout ailleurs en Europe.

En 1831, l’Anglais Michael Faraday (1791-1862) découvre l'induction électromagnétique, c’est-à-dire la création de courant électrique dans un conducteur qui est placé dans un champ magnétique variable, ou qui se déplace dans un champ magnétique. Base de l’ industrie électrique (généra-

I llustration 8 – Michael Faraday, in Louis Figuier, 1868, p. 705

(Les merveilles de la science, tome I, Furne, Jouvet et Cie, Paris, 743 pages.

Bibliothèque de Météo-France).

377

trices de courant continu et alternatif, moteurs, transports d’énergie à longue distance,transformateurs, etc.), cette découverte ouvre la voie à une théorie de la propagation de procheen proche des actions électromagnétiques.

De 1837 à 1843, les expériences de Faraday montrent le rôle des diélectriques dans latransmission, non instantanée, des actions électriques et magnétiques.Les travaux de Faraday seront la source d’inspiration initiale de Maxwell.

En 1831, observant l'étincelle qui se produit à l'ouverture d'un circuit électrique et quitémoigne de « l’extra-courant de rupture », l’Américain Joseph Henry (1797-1878) découvrel'auto-induction (Henry semble d’ailleurs avoir découvert, mais pas publié, l’induction elle-même, peu avant Faraday).

En 1832, exploitant la découverte de Faraday, et sur commande d’Ampère, le fabriquantparisien d'instruments Hippolyte Pixii (1808-1835) construit la première génératrice decourant alternatif, par rotation d’un aimant devant une bobine enroulée autour d'un noyau defer.

En 1833, le physicien russe d'origine allemande Heinrich Lenz (1804-1865) établit la loi surle sens du courant induit.

E . La synthèse de Maxwell

Toutes ces découvertes permettent à Maxwell, comme déjà évoqué à la fin du paragraphe 1,de fonder définitivement l'électromagnétisme et, au-delà, de préparer les révolutionsphysiques du début du XXe siècle.

La re-fondation de Maxwell procède en plusieurs étapes, étalées de 1855 à 1864, etconcrétisées chacune par un écrit.

En 1855, « On Faraday's Lines of Force » déduit les résultats connus d'électricité et demagnétisme sur la base d’analogies hydrodynamiques (comme déplacement d'un fluideincompressible dans l'espace, tourbillons dans l’éther, transmission de l'énergie électrique).

En 1861, « On Physical Lines of Force » propose un schéma mécanique complet deconstruction cohérente de l'électromagnétisme et, sur cette base, introduit le « courant dedéplacement » engendré par la variation temporelle du champ agissant sur le milieudiélectrique, donne son expression différentielle (seconde équation de Maxwell) à la loi del'induction de Faraday, et suggère que des ondes transversales, de vitesse de propagationidentique à celle de la lumière, peuvent se propager dans le milieu diélectrique.

En 1864, « A Dynamical Theory of the Electromagnetic Fields » présente les idées stabiliséesde Maxwell, telles qu’elles seront reprises en 1873 dans son « Traité d'électricité et demagnétisme », et propose une nouvelle approche de la réalité : la référence aux modèlesmécaniques devient secondaire, le concept de champ prend la place prépondérante, etl’ensemble des équations différentielles constitue le résultat central.

Convaincu par le traité de Maxwell, l’Allemand Hermann von Helmoltz (1821-1894) chargeson élève Heinrich Hertz de chercher à en vérifier la vision ; c’est chose faite en 1887, quandHertz produit expérimentalement, à partir d’une décharge électrique, des ondes

378

électromagnétiques non lumineuses de basses fréquences, les détecte par l’apparition d’uneforce électromagnétique dans une boucle de fil, en mesure la vitesse de propagation (qu’iltrouve être celle de la lumière), les fait se réfléchir, se polariser, ….

A l’autre extrémité du spectre électromagnétique, et plus tard, seront découverts, en 1895 lesrayons X par le physicien allemand Wilhelm Röntgen (1845-1923), et en 1902, les rayonspar Paul Villard (1860-1934).

Le terrain est prêt pour l’avènement de la physique moderne.

3. HISTORIQUE DE LA CONNAISSANCEPOST-MAXWELLIENNE DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES

A. Deux « petits problèmes »

A la fin du XIXe siècle, l'opinion prévaut largement dans les milieux scientifiques que laphysique est une science à peu près achevée, ou en voie de l’être rapidement.

Ainsi, en 1892, Lord Kelvin (le physicien britannique William Thomson, 1824-1907) écrit :« La physique est définitivement constituée dans ses concepts fondamentaux ; tout ce qu’ellepeut désormais apporter, c’est la détermination précise de quelques décimalessupplémentaires. Il y a bien deux petits problèmes : celui du résultat négatif de l’expériencede Michelson, et celui du corps noir, mais ils seront rapidement résolus, et n’altèrent en riennotre confiance…».

Il semble qu’il faille toujours se garder de prédictions trop péremptoires, même lorsqu’on estune sommité : ces deux « petits problèmes » d’origine électromagnétique, la question del’éther et la question de la « catastrophe ultraviolette » dans le rayonnement du corps noir,vont en effet être assez rapidement résolus, mais pas dans la continuité, plutôt au prix deprofonds bouleversements de la physique dans son ensemble.

B. La révolution relativiste, et la fin de l’éther

Fresnel s’était bien entendu heurté au problème de l’entraînement de l’éther dans lemouvement de la matière.

En 1822, sur la base d’une hypothèse selon laquelle la concentration de l’éther dans un milieuest déterminée par l’indice de réfraction milieun de celui-ci et, plus précisément, proportionnelleau carré de cet indice, il développe une théorie mécanique de l’entraînement partiel del’éther : concrètement, dans un milieu qui se déplace avec la vitesse V , la vitesse

2

11 .milieu

Vn

est à composer avec la vitesse de la lumièremilieu

cn

dans le milieu au repos.

Le problème de l’entraînement de l’éther, toutefois désormais unifié entre optique etélectromagnétisme, subsiste dans les développements qui suivent l’avancée de Maxwell.

379

Ainsi, en 1886, le physicien néerlandais Hendrik Lorentz (1853-1928), qui rend compte de nombreux aspects de l’ interaction entre lumière et matière au repos avec un modèle considérant que la matière est constituée d’ ions (ou « électrons ») sensibles aux champs électromagnétiques, est amené à expliquer, à l’aide des équations de Maxwell, « l’apparence » de l’entraînement partiel de l’éther, à corriger le résultat de Fresnel d’une contribution Doppler, et à suggérer que les effets recherchés dans la validation sont en réalité

du second ordre en Vc

.

Seul dès 1881, puis de façon beaucoup plus précise, en 1887, avec son compatriote chimiste Edw ard Morley (18 38–1923), Michelson tente, à l’aide de son « réfractomètre interférentiel », de mettre en évidence les variations de la vitesse de la lumière dues au mouvement de la Terre sur son orbite, donc le mouvement de la Terre par rapport à l’éther immobile. Ces expériences échouent à détecter le « vent d’éther » recherché : l’éther serait donc totalement entraîné ou, au mieux pour Fresnel, l’expérience confirme la suggestion de l’ Irlandais George Stokes (1819-1903), formulée sur la base d’hypothèses simples, selon laquelle certaines lois optiques dans les milieux uniréfringents ne sont pas affectées par le mouvement de la Terre.

Ce résultat expérimental sera à la base de nouveaux travaux de Lorentz, sur des idées de modification de la dimension des objets dans le mouvement -inspirées d’une hypothèse de 1892 de l’ Irlandais George FitzGerald (1851-1901)-, de « temps local » et « d’étatscorrespondants ».Il débouchera surtout sur la formulation précise, en 1904, par Henri Poincaré ( 1854-1912), de la transformation dite « deLorentz », qui propose l’abandon du caractère absolu du temps, ainsi que la contraction des longueurs et la dilatation du temps dans le mouvement.

En 1905, l’Allemand Albert Einstein (1879-1955), dans son mémoire Sur l’électrodynamique des corps en mouvement, va plus loin que Poincaré : il formule le principe de relativité (invariance des lois physiques par tout changement de repère inertiel)

dont il déduit les transformations de Lorentz, et étend en mécanique relativiste (« restreinte ») toute la mécanique classique de Newton, qui reste valide à la limite des faibles vitesses.

I llustration 9 – Albert Einstein à l’aube du XXe siècle, vu par Carine Berbain

(co py right Carine Berbain, 2007).

380

En 1915, il généralisera la théorie de la relativité à tous les référentiels, inertiels ou non, etbouleversera ainsi la vision de la structure de l’espace et du temps, de la gravitation ….

C’est le mathématicien et physicien allemand Hermann Minkowski (1864-1909) qui, en 1908,formalise la notion géométrique d’espace-temps, monde absolu à quatre dimensions qui sesubstitue à l’ancien espace absolu de Newton.

Un feuilleton se termine : le cadre relativiste rend inutile la notion d’éther comme milieu depropagation supposé des ondes électromagnétiques ; mais il conserve les équations deMaxwell.

C. La fin de la « catastrophe ultraviolette », et la révolution quantique

a. Les acquis sur le rayonnement thermique avant Planck

On peut, classiquement, faire commencer l’histoire de la physique quantique en 1900 avecl’Allemand Max Planck (1858-1947), qui étudie alors l’équilibre du rayonnementélectromagnétique à l'intérieur d'un four.

Ancien élève de Helmholtz et de Kirchhoff, spécialiste du second principe de lathermodynamique classique, et plutôt réservé sur le modèle statistique des gaz popularisé parMaxwell et Boltzmann, Planck travaille sur ce difficile sujet du corps noir dans la suite d’uncertain nombre de physiciens contemporains, comme :

Kirchoff lui-même, dont la contribution fondatrice de 1859 a déjà été évoquée auparagraphe 1 ;

le Slovène Jozef Stefan (1835-1893) qui, en 1879, établit expérimentalement ladépendance en puissance quatrième de la température absolue du flux total d’énergierayonnante d’un élément de surface chauffé ;

l’Autricien Ludwig Boltzmann (1844-1906) qui, en 1884, déduit la loi de Stefan de lathermodynamique classique ;

l’Allemand Wilhelm Wien (1864-1928) qui, en 1893, observe que le produit de lalongueur d’onde du maximum d’émission et de la température T est une constanteuniverselle (loi « du déplacement » de Wien), ce qui, avec la loi de Stefan, permet de

montrer que la température intervient uniquement par le rapportT

dans l’expression

de la densité d’énergie spectrale ( étant la fréquence) ; en 1896, par analogie avec la

théorie statistique des gaz de Maxwell, Wien propose une loi en 3.exp( . )CsteT

qui,

si elle rend à peu près compte de certaines données, présente l’anomalie physiqued’une indépendance en température aux températures élevées.

les Allemands Heinrich Rubens (1865-1922) et Ferdinand Kurlbaum (1857-1927) qui,en 1900, montrent une dépendance de l’énergie spectrale émise linéaire entempérature dans la queue infrarouge du spectre.

381

b. Max Planck, sa loi du rayonnement thermique, et la naissance des quanta

Une hypothèse simple heureuse, l’ interpolation de la densité volumique d’entropie comme somme de ses valeurs asymptotiques, soit la formulation de Wien aux grandes fréquences, et une forme linéaire en température aux petites fréquences, permet à Planck d’établir la loi du rayonnement qui porte aujourd’hui son nom : la densité d’énergie spectrale dans le four est

proportionnelle à 1

3. exp( . ) 1CsteT

.

Il constate que cette loi rend bien compte des données expérimentales, et il la présente le 19 octobre 1900 devant la Société de Physique de Berlin, avant de se mettre en devoir de rechercher une justification physique à son résultat.

Pour ce faire, il assimile l’émission du corps noir à celle de dipôles rayonnants, qu’ il modélise, dans une géométrie simplifiée, grâce aux résultats d’universalité de Kirchoff, par un ensemble d'oscillateurs harmoniques ( « résonateurs ») amortis, contraints par un champ électromagnétique.

Dans ce cadre, il réussit à déterminer par le calcul le nombre volumique spectral de modes de rayonnement stationnaires… et retrouve ainsi la formulation déjà mise en

évidence plus simplement en 1899 par les Anglais Lord Rayleigh –John William Strutt (1842-1919)- et James Jeans (1877-1946). Cette formulation de Rayleigh-Jeans, valable pour les grandes longueurs d'onde, non seulement ne rend pas bien compte dans le reste du spectre des résultats expérimentaux, mais encore présente la propriété non physique d’une croissance infinie de l’énergie émise avec la fréquence, une « catastrophe ultraviolette » -selon l’appellation ultérieure de l’Autrichien Paul Ehrenfest (1880-1933)- qui aurait de redoutables conséquences dans la vie quotidienne !

En réalité, ce résultat met en évidence une nouvelle limite de la physique classique.

Cependant, l'expression de la densité spectrale d’entropie rappelle à Planck les travaux de Boltzmann qui, dans son approche de la théorie statistique des gaz, avait dû attribuer une structure cellulaire à l'espace des vitesses moléculaires.

I llustration 10 – Max Planck, vu par Carine Berbain (copyright Carine Berbain, 2007).

382

A son image, Planck attribue à la répartition de l'énergie rayonnante une structurediscontinue : l’énergie des résonateurs est « quantifiée », elle ne peut prendre comme valeursque des multiples du « quantum » .h , où h (pour « hilfe grösse », soit « grandeur d’aide »)est alors une constante ad-hoc, qui deviendra par la suite la constante (universelle) « dePlanck ».

Cette hypothèse lui permet de retrouver sa loi empirique du rayonnement, avec dans

l’exponentielle enT

le coefficientB

hk

( Bk étant la constante de Boltzmann), et un excellent

accord avec les données expérimentales s’il choisit 346,626075.10 .h J s .

Il présente son interprétation le 14 décembre 1900 devant la Société de Physique de Berlin.

L’accueil est très réservé. Il semble d’ailleurs que, par attachement à la physique classique etpar prudence conservatrice, Planck lui-même soit alors resté convaincu du caractère continude l’évolution des résonateurs, tout en acceptant que, lors de l’interaction rapide entre matièreet rayonnement, les échanges puissent être traités mathématiquement comme discontinus.

Il est de ce fait considéré comme l’initiateur, mais pas toujours comme le fondateur, de la« théorie des quanta », qui elle-même engendrera la mécanique quantique.

c. La théorie des quanta et la mécanique quantique

C’est à Einstein, dans une démarche thermodynamique, qui ne considère le rayonnement ducorps noir que « sous le rapport expérimental, et sans prendre pour base tel ou tel modèle dela propagation du rayonnement », que reviendra le mérite de finir le travail.

Einstein constate que certaines propriétés du rayonnement monochromatique se comprennentsi l’on suppose celui-ci constitué de quanta d’énergie de valeur .h .

Cette position lui permet d’expliquer des phénomènes physiques jusqu’à présent incompris,comme la photoluminescence, l’ionisation ultraviolette des gaz et, contribution la plusconnue, l’effet photoélectrique (production d’électricité par la lumière).

Le Hongrois Philipp Lenard (1862-1947), qui étudie systématiquement, entre 1899 et 1902, cephénomène découvert par Hertz en 1887, note que l’énergie des électrons émis y dépend de lafréquence, mais pas de la puissance, du rayonnement lumineux incident.

En 1905, décidément année faste pour la physique et pour Einstein, ce dernier montre que laloi de Lenard ne s'interprète bien que si on introduit, de façon beaucoup plus fondamentaleque ne l'avait fait Planck, un « corpuscule » de lumière, auquel sont associés une énergiecinétique et une quantité de mouvement quantifiées.

En 1923, l’effet (homonyme) découvert par l’Américain Arthur Compton (1892-1962), dediffusion des rayons X par les électrons du graphite, viendra, plus simplement et plusévidemment, conforter encore cette vision ; c’est d’ailleurs Compton qui, en 1923, propose lenom de « photon » pour le corpuscule ou « quantum » lumineux.

383

C’est ainsi que la nature corpusculaire de la lumière revient sur le devant de la scène. Mais lesinterprétations ondulatoires (par exemple, celles des interférences ou de la diffraction) ne sontpas rejetées pour autant : le photon serait à la fois une onde et un corpuscule !

En 1913, le Danois Niels Bohr (1885-1962) introduit la quantification au sein de l’atome,stabilisant ainsi le modèle antérieur d’atome, fondamentalement instable par émissionradiative, du Néo-Zélandais Ernest Rutherford (1871-1937) : les électrons ne peuvent setrouver que sur des orbitales de niveaux d’énergie quantifiés bien définis, comportantd’ailleurs un niveau « plancher ». Cette vision permet d’expliquer simplement la grandevariété des spectres d’émission électromagnétiques observés.

Un grand pas dans la fondation de la physique quantique est franchi avec Louis de Broglie(1892-1987), qui, en 1925, postule qu’en fait toutes les particules présentent la dualité« onde/corpuscule », la liaison entre les deux conceptions étant statistique : l’onde, dans le casde la lumière comme dans celui de la matière, détermine les probabilités de la présence descorpuscules (photons pour la lumière, protons, neutrons,….pour la matière). Ce concept seraformalisé en 1926 par l’Autrichien Erwin Schrödinger (1887-1961), avec son équationrégissant la fonction d’onde de l’électron, puis, sous une forme relativiste permettantd’interpréter les phénomènes dus au moment magnétique propre de l’électron, par leBritannique Paul Dirac (1902-1984).

En 1927, la constante de Planck s’introduira naturellement dans les « relations d'incertitude »de l’Allemand Werner Karl Heisenberg (1901-1976), qui postulent une limite fondamentale àla détermination des couples de variables qui, en physique classique, définissent l'état d'unsystème.

Pendant longtemps la dualité onde/corpuscule reste inconfortable pour le physicien ; il estnotamment difficile, particulièrement après que l’on sache produire individuellement desphotons, de proposer une interprétation corpusculaire satisfaisante des observationsimpliquant des phénomènes d'interférences.

Ce sont les travaux de l’Américain Richard Feynman (1918-1988) et de ses associés, conduitsentre 1945 et 1950, sur la conception du champ électromagnétique comme objet quantique(théorie de « l’électrodynamique quantique »), qui sont réputés donner une interprétationcohérente des phénomènes ondulatoires et corpusculaires, et mettre fin au malaise, sans pourautant renier l’électromagnétique de Maxwell.

4. HISTORIQUE DE LA CONNAISSANCEDU TRANSFERT RADIATIF DANS L’ATMOSPHERE

A.Diffusion du rayonnement électromagnétique par des particules atmosphériques

a. La base historique

Le phénomène de diffusion des ondes électromagnétiques est très présent dans l’atmosphère.Il est notamment à l’origine, pour ce qui concerne la partie visible du spectre, du bleu du ciel,du rouge du coucher du soleil, de l’aspect des nuages et du brouillard, ….

384

En 1871, Lord Rayleigh traite le problème de la diffusion de la lumière par une particule dedimensions très petites devant la longueur d’onde. Sur la base de propriétés de symétrie et del’analyse dimensionnelle, il met en évidence la loi en puissance quatrième inverse de lalongueur d’onde pour l’intensité diffusée, et explique ainsi la diffusion prédominante du bleude la lumière solaire par les petites particules de l’atmosphère claire, donc le bleu du ciel lejour et le rouge du rayonnement direct au moment du coucher du soleil.

En 1908, suivant des travaux de même nature conduits en 1891 par le Danois Ludwig Lorenz(1829-1891), l’Allemand Gustav Mie (1868-1957) donne, sous les hypothèses restrictives departicules sphériques homogènes et sans interactions électromagnétiques entre elles, lasolution complète des équations de Maxwell appliquées au problème de l’intensité et de ladistribution angulaire du rayonnement, après l’interaction de diffusion entre une ondemonochromatique et des particules ; le modèle de Rayleigh apparaît comme cas particulierlimite, pour des particules très petites, des résultats de Mie.

b. Les développements de généralisation

Les principales applications des résultats de Mie sont atmosphériques : effets optiques, et plusgénéralement électromagnétiques, des aérosols, nuages, brumes et brouillards. Mais leshypothèses restrictives adoptées sont évidemment très pénalisantes pour l’évaluation despropriétés radiatives des nuages, particulièrement pour les particules de glace, demorphologies très variées et radicalement non sphériques.

En 1965, P. C. Waterman s’affranchit de l’hypothèse de sphéricité de la particule, etdéveloppe une méthode de résolution analytique pour une particule sphéroïde (ellipsoïde derévolution), basée sur une formulation intégrale du problème (analogue vectorielle del’intégrale de Huygens-Fresnel) et sur l’utilisation d’une fonction de Green vectorielle.

En 1973, B. Peterson et S. Ström étendent le traitement de Waterman à un ensemble departicules.

Plus récemment, sur la base de ces contributions, ont été développées diverses approches duproblème de la diffusion par des ensembles de particules de formes plus générales, réputées« exactes », basées sur la résolution analytique ou numérique des équations de Maxwell(méthodes « de la T-matrice », « en différences ou éléments finis », « en séparation desvariables »), ou « approchées », dans un but de réduction de la complexité des calculs(approximations « de diffraction anormale », « en dipôles discrets », « de l’optiquegéométrique »).

B. L’énergie solaire incidente au sommet de l’atmosphère

C’est le physicien français Claude Pouillet (1790-1868) qui, en 1837, introduit lanotion de constante solaire (puissance du rayonnement solaire, mesurée au sommet del’atmosphère, lorsque la Terre est à une distance moyenne du Soleil).

Entre 1837 et 1838, année de la publication de son Mémoire sur la chaleur solaire, lespouvoirs rayonnants et absorbants de l’air atmosphérique, et la température del’espace, il réalise les premières déterminations expérimentales de cette puissanceémise par le Soleil, à partir de mesures pyrhéliomètriques conduites depuis la surfaceterrestre. Grâce à un protocole expérimental ingénieux et à des hypothèses de travail

385

réal istes, i l abouti t à une valeur de 21228 .W m ,somme toute pas très éloignée de l ’ estimation actuel le de 21367 .W m , et meil leure que certaines estimations bien plus récentes !

A partir des valeurs du f lux incident et de la distance Solei l-Terre, et en uti l isant une loi due à Dulong et Peti t (croissance géométrique de la puissance émise pour une croissance ari thmétique de la température d’ émission), Poui l let conclut que la température du Solei l est d’ environ 1750 K .

Le résultat est très sous-estimé, parce que la loi adoptée n’ est pas la loi d’ émission correcte du corps noir, non encore établie à cette époque. En 1879, Stefan obtiendra une meil leure estimation (5430°C).

Bien entendu, l’ invariance de l'énergie rayonnée par le Soleil n’est qu’une première approximation ; elle dépend de l’activité du Soleil, dont, par exemple, la luminosité il y a quatre milliards d'années n’était que de 80 %de sa valeur actuelle.

Mais l’énergie solaire incidente au sommet de l’atmosphère dépend également des paramètres astronomiques descriptifs de la géométrie relative de la Terre et du Soleil, et elle varie donc aussi avec des facteurs comme l’excentricité de l’orbite terrestre, l’obliquité de l’axe des pôles terrestre sur le plan de l’écliptique, la précession des équinoxes.

L’étude de l’ incidence de ces facteurs sur les variations naturelles à long terme du climat est surtout associée au nom du mathématicien, géophysicien et astronome serbe Milutin Milankovitch (1879-1958), qui, de 1911 à 1957, reprend, et développe, les hypothèses déjà émises avant lui, par exemple par Joseph Adhémar (1797-1862), et par le naturaliste suisse (et américain) Louis Agassiz (1807-1873), pour aboutir, à partir de 1941, à une théorie scientifique qui explique, et date, la succession des âges glaciaires et interglaciaires sur des bases purement astronomiques.

I llustration 11 – Claude Pouillet, in Louis Figuier, 1868, p.705

(Les merveilles de la science, tome I, Furne, Jouvet et Cie, Paris, 743 pages.

Bibliothèque de Météo-France).

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D’abord fortement controversée, la théorie de Milankovitch a trouvé à partir de 1970 savalidation, d’une part dans de nouveaux calculs des éléments de l'orbite terrestre, et desvariations mensuelles de l'insolation aux diverses latitudes, pour les trois derniers millionsd'années, conduits par l’astronome belge André Berger, et, d’autre part, dans les datations desglaciations les plus récentes issues de forages antarctiques profonds ; ces travaux onteffectivement établi l’importance primordiale (mais non exclusive), sur les fluctuationsclimatiques, des variations d’origine astronomique de l’insolation incidente au sommet del’atmosphère.

C. L’ozone atmosphérique et l’équilibre radiatif de la stratosphère

L’ozone est découvert et baptisé ainsi en 1840 par l’Allemand Christian Schönbein (1799-1868), qui est déjà convaincu de sa présence dans l’atmosphère -confirmée en 1858 parAuguste Houzeau (1829-1911)-, qu’il attribue aux phénomènes électriques et aux orages.

En 1845, le physicien suisse Auguste de La Rive (1801-1873) montre que l’ozone trouvenécessairement son origine dans l’oxygène et, en 1864, son compatriote Jacques-Louis Soret(1827-1890) établit qu’il s’agit de dioxyde d’oxygène ( 3O ).

En 1878, Cornu découvre que le spectre solaire est tronqué dans le domaine de l’ultraviolet(vers 0,3 m ) ; comme la longueur d’onde de coupure varie selon la position du Soleil, ilattribue une origine atmosphérique à ce phénomène.

En 1881, le chimiste britannique Walter Hartley (1846-1913) met en évidence, en laboratoire,une forte absorption par l’ozone de la lumière ultra-violette entre les longueurs d'onde0,232 m et 0, 293 m : l’ozone atmosphérique, contenu en quantité probablement plusimportante dans la haute atmosphère que près de la surface terrestre, serait responsable de lacoupure dans le domaine de l’ultraviolet observée par Cornu.

L’exploration du spectre de l’ozone sera aussi l’œuvre de James Chappuis (1854-1934) en1880, et de l’anglais William Huggins (1824-1910) en 1890 (via le spectre lumineux deSirius !).

La stratosphère est découverte en 1899 par Léon Teisserenc de Bort (1855-1913) grâce auxpremières mesures en altitude, jusqu’à 20 km , permises par des enregistreurs de pression et detempérature embarqués sur ballon : la décroissance de la température avec l’altitude, qui semanifeste à partir de la surface terrestre, est remplacée par une quasi-isothermie à partir de11 km .Le lien du réchauffement ainsi constaté de la haute atmosphère avec l’absorption durayonnement solaire par l’ozone est pressenti par certains, comme l’Américain WilliamHumphreys (1862-1949) en 1909 dans son approche de l’équilibre radiatif de l’atmosphère,mais ne sera clairement établi qu’une vingtaine d’années plus tard.

En 1913, l’astrophysicien et météorologiste suisse Robert Emden (1862-1940) montre parailleurs qu’une atmosphère en équilibre purement radiatif est instable à sa base, et il attirel’attention sur l’importance de la convection dans l’équilibre de la troposphère.

En 1920, avec un spectrographe ultraviolet à haute résolution spectrale de leur conception,Charles Fabry (1867-1945) et Henri Buisson (1873-1944) comparent le spectre solaire à un

387

spectre de laboratoire après traversée d'une cuve d'ozone. Ils en déduisent que l’ozone estprésent en grande quantité dans l'atmosphère, probablement à haute altitude (les vols enballon jusqu'à 9000 m n'ayant pas révélé d’augmentation de sa concentration) etprobablement par suite de l’action du rayonnement solaire sur l’oxygène ; ils proposent unelocalisation de la couche d’ozone vers 40 km d’altitude, en mesurant la différenced’absorption entre zénith et horizon.

En 1924, le physicien de l’atmosphère britannique Gordon Dobson (1889-1976) construit unspectrographe ultraviolet spécialement destiné à la mesure de l’ozone, avec lequel,notamment, il entreprendra d’explorer la variabilité (temporelle et géographique) de laquantité d’ozone, entrevue par Fabry et Buisson.

En 1925, le Suisse Paul Götz (1873-1952) découvre « l’effet Umkehr » (minimum du rapportdes intensités de deux longueurs d’ondes ultraviolettes proches un peu avant le coucher duSoleil) dont l’exploitation lui permet plus tard, avec Dobson, de situer l’altitude de la couched’ozone à 25 km , ce qui est confirmé en 1934 par l’allemand Erich Regener (1881-1955),avec les premières mesures in-situ d’absorption par ballons stratosphériques.

En 1929, lors de la première conférence internationale sur l’ozone atmosphérique, organiséepar Fabry et Dobson, le britannique Sydney Chapman (1888-1970) expose sa théorie desmécanismes de création de l’ozone atmosphérique, à partir de la dissociation de l’oxygène parle rayonnement solaire de courtes longueurs d'onde. C’est la première pierre de l’élucidationultérieure de l’ensemble des processus (notamment catalytiques) du « cycle de vie del’ozone », et d’une explication complète des observations d’ozone, sans cesse plusnombreuses.

Plus tard, l’Année géophysique internationale en 1957, avec le déploiement d’un réseaumondial de mesures d’ozone, puis l’avènement et le développement de l’observation parsatellite, constitueront d’autres étapes déterminantes de la connaissance approfondie del’ozone atmosphérique.

A partir des années 1980, l’ozone occupera le devant de la scène scientifique et médiatiqueavec la découverte, l’explication et le traitement du « trou » dans la couche d’ozonestratosphérique, une diminution globale importante de la quantité d’ozone liée à l’émissionanthropique d’halocarbures (principalement les CFC).

D. L’effet de serre

Joseph Fourier (1768-1830) est crédité des premières réflexions sur l’effet de serreatmosphérique. En 1824, il publie son mémoire Remarques générales sur les températures duglobe terrestre et des espaces planétaires, dans lequel il explique que la température terrestrerésulte de l’absorption du rayonnement solaire et des échanges de rayonnement infrarouge. Ily décrit l’appareillage constitué de cinq caisses de verre emboîtées les unes dans les autres,construit par le Suisse Horace-Bénédict de Saussure (1740-1799) pour étudier vers 1780l’effet de la chaleur solaire sur l’air, et qui avait conduit ce dernier à comparer l’atmosphèreterrestre au vitrage d’une serre : la température près de la surface terrestre augmente par suitedu piégeage par l’atmosphère d’une partie du rayonnement infrarouge émis par la Terre. Il faitallusion à une possible interaction entre le développement économique de l’humanité et« l’effet de serre » atmosphérique, mais il ne dit rien des agents responsables de ce

388

phénomène (à l’époque on n’a pas encore identifié les propriétés radiatives des principaux gaz atmosphériques).

C’est Claude Pouillet, qui en 1838, évoque pour la première fois la possibilité du rôle, dans l’effet de serre naturel, de la vapeur d’eau et du dioxyde de carbone, découvert vers 1754, et baptisé alors « air fixe », par le britannique Joseph Black (1728-1799) ; cette idée sera validée en 1861 par l’ Irlandais John Tyndall (1820-1893), sur la base de l’étude des propriétés optiques et radiatives des gaz atmosphériques.

En 1896, le Suédois Svante Arrhénius (1859-1927) ajoute à ces agents « l’ozone et les carbures d’hydrogène » ; dans les années suivantes, il pose clairement, et chiffre, les conséquences considérables, sur la température terrestre, des

(pourtant faibles) changements de la composition atmosphérique entraînés par des diminutions ou augmentations significatives des composants minoritaires en cause. Il lie la dérive de l’effet de serre au développement de la civilisation industrielle (et y voit plutôt une chance de contrer l’évolution glaciaire attendue du climat !).

Bien qu’Arrhénius lui même ait eu le souci de communiquer ses idées, y compris vers le grand public, la question de la dérive anthropique de l’effet de serre atmosphérique reste longtemps en sommeil.

Mais en 1958, durant l’Année géophysique internationale, commence à Hawaï la mesure régulière des concentrations de dioxyde de carbone, qui mettra en évidence une augmentation locale de l’ordre de 6 % en 20 ans et, en 1972, la question des rapports entre émissions industrielles de gaz carbonique et climat ressurgit, avec le rapport du groupe Meadows du MIT destiné au Club de Rome.

La première étude rigoureuse sur le réchauffement de la Terre est lancée en 1979 par l'Académie des Sciences américaine ; elle conclut que, si les émissions de dioxyde de carbone continuent d'augmenter, il n’y a pas de doute sur la survenue de changements climatiques associés, ni aucune raison de penser que ces changements puissent être négligeables.

Au début des années 1980 commence le déchiffrage, par des chercheurs français et russes, des archives climatiques révélées par les carottes glaciaires. Ces travaux mettront en évidence, sur une durée passée qui, au fil de la progression de la profondeur des forages, atteindra, à l’aube

I llustration 12 – Joseph Fourier(Photothèque de Météo-France).

389

du XXIe siècle, plusieurs centaines de milliers d’années, une corrélation étroite entretempératures moyennes et teneurs en gaz à effet de serre.

La conférence de Villach (Autriche), en 1985, sur l’évaluation du rôle des gaz à effet de serresur les variations climatiques, puis la constitution, en 1988, du Groupe Intergouvernementalsur l'Evolution du Climat (GIEC ou IPCC pour Intergovernmental Panel on Climate Change),organisées toutes deux sous l’égide des Nations Unies, marquent le début de la prise deconscience, puis de l’omniprésence du problème du réchauffement climatique dans lespréoccupations des scientifiques et des décideurs, ainsi que dans les sociétés et leurs médias.

E. Modélisation de l’interaction atmosphère/rayonnement

La nécessité de prendre en compte le rayonnement, au titre des sources d’énergie del’atmosphère, dans la démarche de prévision scientifique déterministe du temps, estexplicitement mentionnée dans le texte fondateur en la matière de 1904 du météorologistenorvégien Vilhelm Bjerknes (1862-1951), intitulé Le problème de la prévision du temps dupoint de vue de la mécanique et de la physique.

La description macroscopique de l’extinction remonte aux travaux de l’hydrographe PierreBouguer (1698-1758), du naturaliste Johann Lambert (1728-1777), et du chimiste allemandAugust Beer (1825-1863), tous également mathématiciens.

Les travaux fondateurs de la spectroscopie, ainsi que les contributions les plus déterminantessur l’émission, ont déjà été évoqués dans les premier paragraphes du présent chapitre.

Ce sont le Britannique (d’origine allemande) Arthur Schuster (1851-1934) en 1905, pour unmilieu purement diffusant, et l’Allemand Karl Schwartzschild (1873-1916) en 1906, pour unmilieu purement absorbant, qui formalisent l’équation du transfert radiatif.

En 1914, Schwartzschild établit clairement la distinction physique entre diffusion etabsorption-émission, et aborde la question de la résolution de l’équation du transfert radiatif ;en 1921, l’Anglais Arthur Milne (1896-1950) met en évidence une formulation intégrale decette équation et de ses conditions aux limites, aujourd’hui connue, en astrophysique, sous lenom d’équation de Milne et Schwartzschild.

A cette même époque, en 1916, l’astronome anglais Arthur Eddington (1882-1944) introduitl’approximation qui porte son nom (le rapport du moment du second ordre du champ radiatif à

la valeur moyenne de l’intensité y est fixé à sa valeur isotrope 13

), dont la descendance est

aujourd’hui amplement utilisée dans le traitement simplifié de la diffusion.

Le livre de 1934 de l’Autrichien Eberhard Hopf, Problèmes mathématiques de l’équilibreradiatif , dresse un état des travaux du début du vingtième siècle sur l’équation du transfertradiatif .

Un calcul des échanges radiatifs, basé sur les connaissances les plus récentes disponibles alors(mais encore lacunaires), est à l’œuvre dans la première tentative historique de prévision del’état de l’atmosphère à l’aide des lois physiques et du calcul numérique conduite, entre 1916et 1922, par le britannique Lewis Fry Richardson (1881-1953) et publiée en 1922 dans sonouvrage Weather prediction by numerical process.

390

Mais c’est à partir de 1935 que l’astrophysicien indien Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) érige en une véritable branche de la physique mathématique le transfert radiatif enatmosphère diffusante homogène horizontalement, tout en en développant les méthodesd’approximation et les techniques de calcul spécifiques. Ces contributions sont consignéesdans son ouvrage Radiative transfer de 1950.

Parallèlement, des simplifications de la représentation spectrale sont avancées, dont les plusmarquantes sont dues aux travaux de Walter Elsasser en 1938 et 1942, de Richard Goody en1952 et 1964, d’Allan Curtis en 1952 et 1956, de Warren Godson en 1953 et de WilliamMalkmus en 1967.

Le premier calcul complet des taux de chauffage atmosphérique, bénéficiant de tous cesprogrès, est attribué à C. D. Rodgers et C. D. Walshaw. Il date de 1966.

La voie est ouverte, de nombreux travaux de modélisation du transfert radiatif dansl’atmosphère vont rapidement suivre.

A la fin des années 1970, on considère généralement, au sein de la communauté des sciencesde l’atmosphère (comme, par exemple, l’exprime en 1975 la brochure de présentation duprogramme GARP de l’Organisation météorologique mondiale), que le problème de la priseen compte du transfert radiatif dans les modèles météorologiques est virtuellement résolu,sous réserve de disposer de calculateurs assez puissants et de développer des paramétrisationsplus rapides.

Hélas, la première expérience d’inter-comparaison des schémas radiatifs pour les modèles declimat (ICRCCM), conduite à la fin des années 1980, met en évidence des écarts, parfoisimportants, entre les résultats des différentes paramétrisations du transfert radiatif, liésnotamment aux intégrations verticale et spectrale adoptées.

Depuis, la discipline est restée extrêmement active et foisonnante, pour rapprocher lesperformances des schémas simplifiés de celles des (coûteux) modèles de référence « raie parraie », et pour prendre en compte correctement tous les processus, même les plus complexes,comme l’action des nuages et de leurs hétérogénéités spatiales et de constitution.

F. Télédétection et inversion de l’équation du transfert radiatif

La détermination par télédétection des profils atmosphériques de température et d’humidité aété un objectif précoce des programmes spatiaux.

La première discussion des possibilités de sondage passif de l'atmosphère depuis l'espace estgénéralement attribuée à J. I. F. King qui, en 1956, évoque la possibilité d’accéder au profilvertical atmosphérique, par inversion de la transformation de Laplace reliant la luminancespectrale mesurable au sommet de l’atmosphère à la distribution en épaisseur optiqueatmosphérique de la fonction de Planck.

En 1959, L. D. Kaplan précise cette idée, ainsi que les conditions d’utilisation possible desmesures dans la bande tellurique à 15 m du dioxyde de carbone (notamment lepositionnement des mesures au sein de la bande), en vue de l’accès à la structure thermique de

391

l’atmosphère. Ce sont M. L. Meeks et A. E. Lilley, qui, en 1962, évoquent pour la première fois l’utilisation, aux mêmes fins, des mesures en bande hyperfréquences à 5 mm de l’oxygène (l’oxygène et le dioxyde de carbone possèdent la même intéressante propriété d’une teneur verticalement uniforme dans l’atmosphère).

Il n’est pas question ici de développer un historique des nombreux travaux sur l’ inversion de l’équation du transfert radiatif appliquée à des mesures de luminances spectrales par satellite, qui se développent rapidement à partir de ces points de départ et qui constituent toujours un champ d’activité très vivant (comme en témoignent, par exemple, les contributions des années 2000 de C. D. Rodgers dans le domaine).

On se contentera de citer les noms de quelques contributeurs pionniers parmi les plus reconnus, comme D. L. Phillips (1962) et A. N. Tikhonov (1963) pour les techniques de l’ inversion linéaire contrainte, S. Twomey (1963) sur le même sujet, et pour la méthode de minimisation de l’écart du profil cherché à une ébauche, O. N. Strand et E. R. Westwater (1968), C. D. Rodgers (1968), V. F. Turchin et V. Z. Nozik (1969) pour les premières méthodes de régularisation statistique du problème de l’ inversion, M. T. Chahine (1970) et W. L. Smith (1970) pour l’ introduction de différentes méthodes itératives par relaxation, …

Après les lancements, en 1959, de Vanguard-2 (qui diffuse de bonnes photographies de nuages), et d’Explorer-7 (doté de quatre radiomètres omnidirectionnels pour l’étude du bilan radiatif de la Terre), c’est Tiros (Television and InfraRed Observation Satellite), mis en orbite polaire par les Etats-Unis le 1er avril 1960, qui est considéré comme le vrai premier satellite météorologique (les Soviétiques auront, à partir de 1969, leur propre système de satellites à défilement, les Cosmos, puis les Meteor, que l’on n’évoque pas ici).

En 1961, D. Q. Wark propose le lancement d’un programme d’observation par satellite des profils de température

I llustration 13 – A propos de l’ instrument IASI (copyright Eumetsat). A gauche, vue d’artiste du satellite METOP ; à droite, Groenland, 27 novembre 2006, première « image » infrarouge de IASI , composée par sélection de canaux spectraux,

et juxtaposition des pixels balayés par l’ instrument (qui est un interféromètre).

392

Dès 1969, des sondeurs infrarouges sont testés sur le satellite américain Nimbus 3, puis surNimbus 4, et le premier sondeur opérationnel, le VTPR (Vertical Temperature ProfileRadiometer) est lancé en 1972 sur le satellite NOAA 2. Celui-ci continuera à tourner sur lessatellites NOAA 3, 4, 5, pendant la préparation de la relève, entre 1972 et 1978, avec lessatellites expérimentaux Nimbus 5, 6 et 7 ; le système Tovs (Tiros Operational VerticalSounder) devient ainsi opérationnel sur le satellite Tiros N en 1978 et il restera en service denombreuses années.

Il est composé de trois instruments : le radiomètre infrarouge à 20 canaux HIRS 2 (High-resolution Infra-red Sounder), le radiomètre hyperfréquences à 4 canaux MSU (MicrowaveSounding Unit), permettant de faire des observations en présence de nuages, et le radiomètre à3 canaux, à détection synchrone et à modulation, SSU (Stratospheric Sounding Unit), pour lesondage stratosphérique.

Ceux-ci mesurent les rayonnements dans les bandes : du dioxyde de carbone pour permettre larestitution du profil vertical de température, de la vapeur d'eau ou de l'ozone pour déterminerdes profils et concentrations totales d'eau ou d'ozone, de faible absorption pour ladétermination des paramètres de surface (température, émissivité).

Mais les progrès de la prévision numérique du temps poussent à la conception de systèmestoujours plus performants, et on aboutit ainsi, autour du changement de siècle

- au nouveau système de sondage américain Atovs, lancé en 1998 sur NOAA 15, composé,notamment, du sondeur AIRS (Atmospheric Infra-Red Sounder) de la Nasa, et de sondeurshyperfréquences améliorés ;

-à un nouveau système de sondage principalement européen, lancé en 2006 sur le premiersatellite polaire européen Metop (Meteorological Operational), composé notamment, parmiune dizaine d’instruments novateurs, du sondeur IASI (Infrared Atmospheric SoundingInterferometer), réalisé par le Cnes, l’Agence spatiale européenne et Eumetsat.

393

XIV. POUR EN SAVOIR PLUS,ANNEXES ET BIBLIOGRAPHIE

Outre, à la fin, quelques références d’ouvrages sur le transfert radiatif, ce chapitre proposequelques développements complémentaires de physique mathématique générale durayonnement électromagnétique, qui se positionnent plutôt en amont par rapport à lathématique atmosphérique, mais dont la mise à disposition dans l’enceinte du présent cours aété jugée intéressante, compte tenu de l’omniprésence dans ce dernier des processus dont ilstraitent ; le rejet dans un chapitre d’annexes a toutefois été choisi pour éviter d’alourdir lecorps du texte principal.

Il s’agit du rayonnement du dipôle oscillant harmonique (modèle de base des interprétationsclassiques des phénomènes d’interaction entre matière et rayonnement), du rayonnementthermique du corps noir (déductions de la loi de Planck), et des grandes lignes de la théoriede Lorenz-Mie de la diffusion.

Les paragraphes concernant le dipôle oscillant et la diffusion de Mie peuvent en outre êtreconsidérés comme l’opportunité, pour le lecteur, d’un exercice d’appropriation des équationsde Maxwell de l’électromagnétisme, introduites au début du cours.

1. RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE DU DIPÔLE OSCILLANT

A. Dipôle oscillant harmonique

Le modèle du dipôle oscillant harmonique est à la base de l’approche de nombreux problèmesdans le domaine du rayonnement électromagnétique ; bien que relevant de la physiqueclassique (non quantique), il est en particulier incontournable dans la description intime desinteractions entre matière et rayonnement (voir par exemple chapitres II -II. 2.- et V -V. 1.-).

Un dipôle oscillant peut être schématisé par un ensemble de deux charges électriquesponctuelles, égales et opposées, soit q localisée en Q , et q localisée en Q ( 0q ), dont

le moment (dipolaire) .déf

dipM q Q Q varie harmoniquement avec le temps t , par le biais de

Q Q (ce pourrait être, alternativement, à travers une variation temporelle de q ) ; en

notation complexe :

0 0( ) .exp . . .exp . . .dip dipM t M i t M i t e ,

394

oùdéf

dipQ QeQ Q

est, bien entendu, le vecteur unitaire de la droite orientée, supposée ici fixe,

définie par les deux charges du dipôle. On notera ici 00 max( )

déf

t

Md Q Qq

la distance

maximum entre les charges dans l’oscillation.

On se propose de présenter le calcul classique, à partir des équations de Maxwell, et souscertaines hypothèses, du rayonnement électromagnétique, au point courant M (ou x ), d’untel dipôle ; pour simplifier, on considère (ce n’est pas indispensable) que le milieu depropagation en cause peut être assimilé au vide.

Par commodité, on travaille en représentation complexe : on se rappellera que l’accèsexplicite aux paramètres physiques recherchés nécessite la séparation des parties réelle etimaginaire des résultats complexes mis en évidence.

La figure 1 présente la géométrie adoptée. Le centre (fixe), et la direction orientée (fixe), dudipôle oscillant, sont choisis respectivement comme origine O des axes, et comme axe Oz( z dipe e ).

La définition des coordonnées sphériques ( , , )r , et celle du trièdre local , ,re e e au

point courant, sont habituelles.

Figure 1 – Géométrie de calcul du rayonnement d’un dipôle oscillant.

B. Approche « en potentiels » des équations de Maxwell

La base du calcul du champ électromagnétique, rayonné par le dipôle oscillant, résideévidemment dans les équations de Maxwell, retenues ici sous la forme (chapitre II -II. 1. A.-)

0div B

395

Brot Et

charge

vide

qdiv E

. .vide videcourantErot B jt

Des deux premières de ces équations, on peut déduire qu’il est possible d’exprimer leschamps de l’onde électromagnétique à l’aide d’un potentiel scalaire scal et d’un potentiel

vecteur vect , selon les relations

( )vectB rot ,

( ) vectscalE grad

t.

Il n’y a pas unicité de ces potentiels, qui n’interviennent, dans leurs relations aux champs, quepar leurs dérivées spatio-temporelles. Il n’est pas difficile de montrer que deux couples depotentiels (1) (1)( , )

scal vect et (2) (2)( , )scal vect peuvent décrire le même couple ,E B s’il existe une

fonction ( , )x t telle que (2) (1) ( )vect vect grad (écrire B dans les deux représentations),

et que (2) (1)scal scal t

(écrire E dans les deux représentations).

Pour lever l’ambiguïté, il faut introduire une relation entre les potentiels scalaire et vectoriel,dite « condition de jauge » ; dans le domaine du transfert radiatif, il est souvent commoded’utiliser la condition de jauge de Lorentz,

. . 0scalvect vide vidediv

t,

qui permet de séparer les équations pour les potentiels (injecter les formulations en potentiel,et la condition de jauge, dans les équations de Maxwell contenant les charges et courants, etutiliser les identités de base de l’algèbre des opérateurs différentiels) :

2

2. . . 0vectvect vide vide vide courantj

t

2charge

2. . 0scalscal vide vide

vide

qt

En régime statique (distributions de charges et de courant indépendantes du temps), onretrouve bien les résultats classiques de l’électricité et du magnétisme.

396

En régime variable, on peut montrer (c’est intuitif, mais un peu délicat formellement) que l’ondoit, pour calculer les potentiels, tenir compte du temps de propagation (à la vitesse c ) entrele point , source du potentiel, et le point courant x , et retenir l’état des sources au temps

xt

cdans la formulation statique -approche dite des « potentiels retardés »- : si les

sources sont confinées à un volume finiq j

V , et pour un point courant x extérieur à ce

volume, on a ainsi

charge3

( )1( , ) . .4 .

q j

scalvide V

xq t

cx t dx

3( )

( , ) . .4 .

q j

courantvide

vectV

xj t

cx t dx

C. Calcul des potentiels de rayonnement du dipôle oscillant

a. Cadre simplificateur

On se propose d’appliquer le concept de potentiel retardé au dipôle oscillant.

Pour que l’on puisse conduire simplement le calcul, il faut supposer :

que la distance entre le point de calcul des champs et le centre du dipôle est trèsgrande devant la distance maximum entre les charges : 0r d ;

que la vitesse des charges est très petite devant la vitesse de la lumière (approximation

non relativiste) , ce qui peut se traduire par 0max .t

d Q Qd c

dt, avec comme

conséquence 02 .déf c d .

b. Calcul du potentiel vectoriel

La déclinaison, au cas d’un ensemble discret de charges ponctuelles iq , mobiles avec une

vitesse ( )iV , de l’expression générale du potentiel vectoriel retardé, présentée ci-dessus ausous-paragraphe B , se traduit par

397

( ). ( )( , ) .

4 .

ii

videvect

i

xq V t

cx tx

Dans le cas du dipôle, et sous les hypothèses adoptées ci-dessus, cette expression peuts’approcher par

( , ) . ( )4 .

dipvidevect

d M rx t tr dt c

,

soit, si le dipôle est harmonique :

( )1 2( , ) . . . ( ) . . .4 . 4 . .

dipvide

vect dipvide

rM tr cx t i M t ir c c r

c. Calculs du potentiel scalaire

i. Calcul à partir du potentiel vectoriel et de la jauge de Lorentz

On part de la jauge de Lorentz, pour un dipôle de direction constante dip ze e :

. .1 1 1. . . .. . .

vect z vect zscalvect

vide vide vide vide vide vide

e e zdivt z r r

,

Avec ( , ) . ( )4 .

dipvidevect

d M rx t tr dt c

, après intégration en t (en négligeant la constante

d’intégration, statique, donc non significative ici), et compte tenu de coszr

, il vient

2

1( , ) . ( ) . ( ) .4 . .

dipscal dip r

vide

d Mr r rx t M t t er c c dt c

,

soit, si le dipôle est harmonique,

2

( ). 1 2( , ) . .4 . .

dip r

scalvide

rM t ecx t i

r r

ii. Calcul direct dans le cas harmonique

Pour appliquer plus facilement le formalisme des potentiels retardés, on fait ici comme si lescharges étaient fixes dans l’espace à leur position d’élongation maximum du dipôle

398

( 0 .2 zdOQ OQ e ), mais variables harmoniquement dans le temps, soit en

.exp . .q i t , de sorte que le moment du dipôle soit le même que dans la représentation encharges constantes mobiles.

La déclinaison, au cas des deux charges ponctuelles du dipôle harmonique, de l’expressiongénérale du potentiel scalaire retardé, présentée ci-dessus au sous-paragraphe B, fournit

exp( . . ) exp( . . )1( , ) . .exp( . . ).4 .scal

vide

r ri ic cx t q i t

r r

où r et r désignent les distances du point de calcul à, respectivement, la charge positive etla charge négative.

Sous l’hypothèse 0r d , on peut considérer que r r d , r r d , où 0 .cos2

déf dd

(il résulte de la géométrie et des notations précisées sur la figure 1.b., que

.cos .cos .cos2

Q Qr r OQ r , .cos .cos .cos2

Q Qr r OQ r ,

les approximations résultant de la petitesse de et liée à 0r d ), et alors (comme

0 1d dr r

) :

.exp . .( )1( , ) . . (1 ).exp( . . ) (1 ).exp( . . )

4 .scalvide

rq i td d d dcx t i i

r r c r c

Sous l’hypothèse 0d , on peut développer au premier ordre les exponentielles en

. . .2 .d di ic

, ce qui redonne, tous calculs (simples) faits :

2

( ). 1 2( , ) . .4 . .

dip r

scalvide

rM t ecx t i

r r

D. Champ électromagnétique rayonné

a. Expressions générales

Une fois connus les potentiels, les champs électrique et magnétique se déduisent facilementde ceux-ci par

( )vectB rot ,

399

( ) vectscalE grad

t.

Il est évidemment commode de pratiquer cette restitution en coordonnées sphériques, danslesquelles, d’une façon générale, pour des champs scalaire S et vectoriel V :

1( ) .

1 ..sin

SrSgrad S

rS

r

,

(sin . )1 ..sin

( . )1 1( ) . .sin

( . )1 .

r

r

V Vr

r VVrot Vr r

r V Vr r

Toujours en représentation complexe, on trouve :

( , ) 0E x t

3 2

( ) 1 2( , ) .2cos . .4 . .

dip

rvide

rM tcE x t i

r r

2

3 2 2

( ) 1 2 4( , ) .sin . .4 . . .

dip

vide

rM tcE x t i

r r r

( , ) 0rB x t

( , ) 0B x t

2

2 2

( )1 2 4( , ) . .sin . .4 . . .

dip

vide

rM tcB x t i

c r r

Au voisinage du dipôle (2

r -mais 0r d !-), on peut se limiter aux termes en 3r : le

champ magnétique est négligeable, le champ électrique prend sa forme statique.

Au delà, mais pas « trop loin » du dipôle, tous les termes doivent être pris en considération ; leterme dominant, en 2r , du champ magnétique, redonne la classique loi de Biot et Savart si on

l’exprime en fonction de l’intensité : 02( , ) ( , ). . . ( ).

4vide

z rd rB x t B x t e j t e er c

.

400

b. Champ rayonné à grande distance du dipôle

A très grande distance du dipôle (2

r ), on peut se limiter aux termes en 1r dans les

expressions trouvées, qui se synthétisent alors en

20

2

exp . .( )( , ) . . .sin .

4 . vide

ri tM cE x t e

c r.

20

3

exp . .( )( , ) . . .sin .

4 . vide

ri tM cB x t e

c r

Les champs électrique ( , ) ( , ).E x t E x t e et magnétique ( , ) ( , ).B x t B x t e de l’onderayonnée au loin sont orthogonaux, entre eux et à la direction radiale, et ils sont en phase.

La structure est localement celle d’une onde plane, comme on le pressent par le constatEBc

, et comme on peut l’analyser un peu plus finement dans un voisinage (sur des

distances de quelques longueurs d’onde) d’un point donné 0x ( 0x ).

Le champ électrique peut en effet s’écrire comme produit du facteur d’amplitude2

02

sin( ) . .4 . vide

MA xc r

et du facteur de phase exp . ( , ) exp . .( )ri x t i tc

:

( , ) ( ).exp . ( , )E x t A x i x t .

Pour ce qui concerne le facteur d’amplitude, de petits déplacements à partir de 0x (défini par

0 0 0( , , )r ), radial r , et angulairer

, conduisent respectivement à des variations

relatives0 0

1r

A rA r r

, et1

00 0

. 1A tgA tg r

(sauf, le cas

échéant, au voisinage de la direction du dipôle 0 0 ).

De tels petits déplacements conduisent par contre à . 2rc

, et la partie réelle du

facteur de phase peut varier entre 1 et 1 : la variation du champ électrique est donc surtoutle fait des variations de la phase, qui localement s’écrit

0 0 0. . . . .t r r t r rc c

,

avec 0 0. ( )déf

re xc

.

401

L’onde rayonnée « loin du dipôle » est donc localement plane, et à propagation radialecentrifuge (éloignement du centre du dipôle). Sa polarisation est déterminée par la directiondu dipôle, le champ électrique étant dans le plan du dipôle et de la direction de propagation.

On se souvient (chapitre II -II.1.A.c.-) que, en moyenne temporelle sur un nombre entier depériodes, l’énergie électromagnétique volumique d’une onde harmonique, représentée par

0( , ) .exp .( . . )E x t E i x t , est donnée par2

0. .é m milieuw E .

Dans le cas du rayonnement au loin du dipôle harmonique dans le vide, compte tenu de

20

2

.4( , ) . .sin . .exp . .( ). 4 . r

vide

M rE x t e i tr c

,

il vient2 4 20

. 2 3 2

. sin.32 . .é m

vide

Mwc r

L’énergie rayonnée est maximum dans le plan perpendiculaire à l’axe du dipôle, nulle dans ladirection de cet axe, et elle décroît en 2r .

La puissance à travers une calotte sphérique de rayon r , définie par un angle solide desommet positionné au centre en O du dipôle est

2 4 32 0

. 2 2

. .sin. . .sin . . . .32 . .dip é m

vide

MP c w r d d d dc

,

indépendante de r : la variation en 1r

de l’amplitude de l’onde assure la conservation de

l’énergie, le flux énergétique sortant est le même pour toutes les calottes sous-tendues par unmême angle solide.

Avec 4 , on obtient la puissance totale rayonnée par le dipôle harmonique :

2 40

2

.1 .4 . 3dip

vide

MPc

2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR

A. Considérations générales sur le corps noir

D’une façon générale, le corps noir est défini comme un corps « qui absorbe la totalité durayonnement qu’il reçoit » (son « absorptivité » est égale à 1, pour toutes les fréquencesélectromagnétiques), ou encore, comme un milieu dont « le rayonnement électromagnétique

402

est en équilibre avec la matière ». Ces assertions de définition nécessitent un peud’explication.

D’abord, si l’on se réfère à la première acception citée, l’idéal corps noir est en toute rigueurimpossible à construire physiquement, le pouvoir absorbant des corps réels n’étant jamaistotal à toutes longueurs d’onde.

On peut cependant le « visualiser », et l’approcher en laboratoire, en imaginant une enceintesolide creuse emplie de gaz, fermée et isolée thermiquement de l’extérieur, au moinsabstraction faite d’un petit trou (seule liaison physique, et accessoirement seul accèsd’observation, entre le monde extérieur et la cavité), et dont les parois sont maintenues àtempérature constante T (figure 2) : la probabilité qu’un rayonnement électromagnétique quientre dans l’enceinte par le trou en ressorte est très faible, la quasi-totalité du rayonnementreçu, quelle que soit sa fréquence, est donc absorbée, et l’enceinte (ou plutôt la surface dupetit trou) constitue en pratique le corps noir cherché.

Figure 2 – A la recherche du corps noir de laboratoire.(a): schéma de principe (et vue de dessus possible du corps de l’enceinte du (b)) ;

(b) : éléments de réalisation possible, en coupe verticale.

On peut être assez naturellement enclin, pour s’assurer de piéger complètement lerayonnement dans la cavité, à considérer les parois internes du « four » comme (quasi)parfaitement réfléchissantes. Toutefois, cette hypothèse découple complètement, d’un pointde vue radiatif, les parois et le gaz contenu dans l’enceinte, et exclut ainsi la possibilité d’unemise en équilibre entre eux.

Il est plus réaliste, pour permettre des échanges d’énergie, à travers des processusd’absorption et d’émission, et une évolution physique vers l’équilibre thermique, deconsidérer des parois intérieures (quasi) complètement absorbantes (elles ont alors aussi unpouvoir émissif maximum, en vertu de la loi expérimentale de Kirchoff reliant absorptivité etémissivité).

403

Dans une telle visualisation, le gaz présent dans la cavité est supposé constitué d’un ensemblede molécules, dont certaines présentent des propriétés de polarité électromagnétique, etpeuvent être, par commodité, assimilées à des « oscillateurs », et d’autres non.

Les diverses accélérations des degrés de liberté des oscillateurs (rotatoires, vibratoires,électroniques) sont la source du rayonnement électromagnétique émis par l’intérieur del’enceinte, et l’énergie moyenne de ces degrés de liberté fixe une « températureélectromagnétique » des oscillateurs ; l’énergie moyenne de translation des molécules setraduit quant à elle par une « température cinétique » du gaz.

L’intérieur de l’enceinte est parcouru, « en tous sens », et en permanence, par du rayonnementélectromagnétique ; en même temps, les molécules du gaz y sont affectées d’un mouvementchaotique de translation, dans lequel elles subissent de nombreuses interactions,classiquement assimilées, pour un gaz parfait, à des collisions élastiques ou « chocs », entrelesquelles se définit la notion de « libre parcours ».

Au bout d’un certain temps, il est naturel d’admettre, et l’expérience confirme, qu’unéquilibre statistique s’établit dans le gaz, chaque oscillateur émettant en moyenne autantd’énergie qu’il en reçoit. Toute l'énergie reçue par l'enceinte solide est alors ré-émise sousforme de rayonnement, la température cinétique du gaz et la température interne desoscillateurs, émetteurs de rayonnement électromagnétique, sont égales entre elles, et égales àla température des parois.

Les échanges d’énergie entre molécules du gaz se concrétisent à l’occasion des collisionsmutuelles de celles-ci. L’effet quantitatif d’une collision dépend naturellement du rapport dutransfert d’énergie chocE dans le choc, aux sauts d’énergie . osch non interdits entre niveauxde l’oscillateur.

Les chocs fortement énergétiques, ou « inélastiques », pour lesquels .choc oscE h ,permettent les échanges entre l’énergie interne des oscillateurs et l’énergie cinétique de toutesmolécules, ce sont ceux qui permettent la tendance vers l’égalité des températuresd’oscillation et cinétique (dans l’atmosphère, le temps moyen inélast séparant deux collisions

inélastiques, proportionnel à Tp

, soit à 1. T

ou encore à 1. thermv

, est dans la troposphère

et la basse stratosphère de l’ordre de 910 s , à comparer au temps de désexcitation radiative

rad , de l’ordre de 610 s -pour la longueur d’onde 10 15m m - ; lorsque le milieu est plusdilué, la comparaison s’inverse, ceci se produit à quelques dizaines de kilomètres de lasurface).

Les chocs faiblement énergétiques, ou « élastiques », pour lesquels .choc oscE h ,contribuent pour leur part plutôt à des modifications de phase des oscillations, à desphénomènes d’interférences destructives des ondes rayonnées, ainsi qu’à l’élargissementcollisionnel traité au chapitre V (V. 1. B. a.); ces effets sont d’autant plus prononcés que letemps moyen élast séparant deux chocs élastiques est très petit devant le temps dedésexcitation radiative (typiquement, au voisinage de la surface terrestre,

2 510 . 10 .élast inélast rad ).

404

On se propose dans ce paragraphe de donner les principes de déduction de la loi de Planck,explicitant l’expression de la luminance spectrale ( )B T du corps noir à la température T ,soit :

3

2

2( ) ..exp 1.B

h vB Tc h v

k T

Il est parfois plus commode de raisonner sur la densité spectrale volumique d’énergieélectromagnétique à l’équilibre, notée ici ( )w T : compte tenu de l’isotropie du rayonnementd’équilibre noir, les deux grandeurs sont reliées par

( ) . ( )4cB T w T

B. Approche « de Planck » de l’émission du corps noir

a. Mise en contexte

On pourra consulter utilement à ce stade, au chapitre XIII (XIII. 3.), la relation historique dela démarche de 1900 de Planck, et de la difficulté, dite « de la catastrophe ultraviolette », qu’ils’agissait alors de lever dans la théorie de l’émission thermique.

La démonstration ici présentée est voisine de la démarche historique de Planck, tout en enfiltrant les diverses sinuosités, évoquées sommairement dans le chapitre historique.

On considère un gaz, modélisé comme ensemble d’un grand nombre d’oscillateurs, enéquilibre à la température T dans une enceinte de volume V .

Le calcul présenté de la densité spectrale volumique d’énergie ( )w T du corps noir passe

d’abord, par la détermination du nombre spectral ( )dN de modes d’émissionpossibles dans l’enceinte noire, pour laquelle on s’appuie sur un modèle d’oscillateursharmoniques au sein d’une cavité cubique ;

puis, par la détermination de l’énergie spectrale moyenne de l’oscillateur ( )E , pourlaquelle on s’appuie sur les travaux de thermodynamique statistique de Boltzmann,plus précisément sur la distribution des états discrets d’un système physique àl’équilibre (on peut également passer par l’entropie de Boltzmann).

A l’issue de ces deux étapes, le résultat cherché est 1 ( )( ) . . ( )dNw T EV d

.

On prendra garde que, dans ce sous-paragraphe B., très temporairement, la notation « E »est utilisée à la fois pour le champ électrique (au b.), et pour l’énergie (au c.), mais aucuneconfusion ne peut résulter de cette duplicité.

405

b. Calcul du nombre de modes

Compte tenu de l’indépendance de l’émission d’équilibre noire par rapport à la forme del’enceinte, montrée expérimentalement par Kirchoff (en 1859), on peut imaginer, sans pertede généralité, de raisonner dans le cadre particulier d’une cavité cubique, de coté L ( 3V L ).

Dans cette géométrie, si l’on identifie le mécanisme d’émission à celui d’un ensembled’oscillateurs harmoniques, seules certaines ondes stationnaires, de fréquences bien précises,sont compatibles avec la notion d’équilibre.

Les composantes du champ électrique 0( , ) .exp .( . 2 . . )E x t E i x t doivent ainsi vérifier

l’équation d’onde2

2 2

1 . 0EEc t

, et s’annuler sur les parois (faute de quoi, on aurait une

déperdition d’énergie, contradictoire avec la notion d’équilibre thermodynamique).

Avec des notations évidentes, en représentation réelle, la solution est donc de la forme

0.sin . . .sin . . .sin . . .sin 2. . .x y zx y zE E n n n tL L L

, où ( , , )x y zn n n n est un

triplet d’entiers positifs, et l’équation d’onde impose, comme on le vérifiera facilement,

.2c nL

.

Si l’on suppose que cL

, on peut considérer l’espace des « modes n de l’enceinte »

comme continu, et le nombre de modes contenu dans un intervalle de fréquences , d

est 23

4 .( ) . .VdN dc

. Mais ce résultat ne tient compte que des modes électriques ; or, les

modes magnétiques contiennent autant d’énergie que ceux-ci : pour l’utilisation finale decelui-ci, il faut donc en fait retenir

23

8 .( ) . .VdN dc

c. Calcul de l’énergie moyenne d’un mode

Selon l’hypothèse de Planck, formulée historiquement pour la première fois à l’occasion de cecalcul, l’énergie d’un oscillateur de fréquence fondamentale est quantifiée, et l’énergietotale ne peut être qu’un multiple du « quantum » énergétique élémentaire .h .

Plus exactement, les valeurs discrètes possibles pour l’énergie de l’oscillateur sont du type

1( ). .2n liaisonE E n h , avec n .

406

Or, selon la loi de Boltzmann (1884), la population du niveau d’énergie nE , dans un système

statistique d’états discrets à l’équilibre, est proportionnelle à exp( ).n

B

Ek T

(la démonstration

de cette loi entraînerait ici trop loin).

Le nombre d’oscillateurs du corps noir dans le niveau n est donc

0 0.( ) ( ).exp( . ) ( )..

nn

B

hN E N E n N E Xk T

où l’on a posé, pour simplifier l’écriture dans le raisonnement à venir, .exp( ).

déf

B

hXk T

.

L’énergie moyenne (sur tous les niveaux possibles) de l’oscillateur est donc

00 0

00 0

. . . ( ). .. .

( ).

n n

n n

n n

n n

n h N E X n XE h

N E X X

Comme 1

0 1 0

1. . . .1

n n n

n n n

d dn X X n X X XdX dX X

, il vient au final

..exp 1.B

hEh

k T

,

valeur qui devient bien indépendante de h , et vaut .Bk T , à la limite « classique » (non

quantique) 0h (pour laquelle . .exp 1. .B B

h hk T k T

).

d. La loi de Planck

Ainsi, au final, le résultat cherché serait donc

3

3

1 ( ) 8 . .( ) . . ( ).. exp 1.B

dN hw T EV d hc

k T

,

ce qui correspond bien, on le vérifiera, à la loi de Planck pour ( )B T .

Planck, qui considérait plutôt son hypothèse de quantification comme un artifice de calcul, putconstater lui-même très vite la remarquable concordance de ce résultat avec les donnéesexpérimentales alors disponibles, si l’on choisissait 346,626075.10 .h J s .

407

C’est avec Einstein, quelques années plus tard (1905), que la quantification de l’énergie seraconsolidée comme réalité physique, et que la constante d’appoint de Planck entrera auPanthéon des constantes physiques universelles.

C. Approche « en coefficients d’Einstein » de l’émission du corps noir

Pour simplifier, on suppose ici, comme Einstein, que la molécule interagissant avec lerayonnement électromagnétique ne possède que deux niveaux d'énergie (non dégénérés) : unniveau fondamental d’énergie infE , et un niveau excité d’énergie supE , avec sup infE E .

Dans un gaz à l’équilibre, constitué de telles molécules, le rapport des populations des deuxniveaux est donné par la loi de Boltzmann:

sup infsup

inf

exp.B

E Enn k T

.

Par ailleurs, l’interaction d’absorption et d’émission d’une telle molécule avec unrayonnement électromagnétique de fréquence , quantifiée par Einstein (pour la premièrefois historiquement, à l’occasion de ce calcul) en photons d'énergie h , n’est possible que sise trouve vérifiée la condition de résonance

sup inf .E E h

On renvoie au chapitre II (II. 2. B. b.), pour la description et le bilan énergétique d’Einsteindes interactions entre la molécule et le rayonnement, qui aboutissent à

sup supinf. sup inf ( )

sup

( . . ).ém ind abs vie

dn ndn b n b n wdt dt t

,

où1( )

supviet est la probabilité d’émission spontanée par unité de temps, ou coefficient

d’Einstein pour l’émission spontanée ( ( )sup

viet est la « durée de vie » du niveau excité), et où

absb et .ém indb sont les coefficients d’Einstein, respectivement pour l’absorption et pourl’émission induite.

Dans le cas du corps noir, par définition, les échanges entre état excité et fondamental sontéquilibrés dans les deux sens, à chaque instant et pour toute fréquence :

supinf 0dndn

dt dt,

doncsup

. sup inf ( )sup

( . . ). ( ) 0ém ind abs vie

nb n b n w T

t,

408

et1( )

sup

inf.

sup

( ).

vie

abs ém ind

tw T nb b

n

soit, compte tenu de la loi de Boltzmann :

1( )sup

.

( )..exp.

vie

abs ém indB

tw T

hb bk T

On retrouve bien la loi de Planck, si .abs ém ind Einsteinb b b ,1( ) 2 3

sup3

8 . .vie

Einstein

t hb c

.

D. Absorption/émission par raies et spectre d’énergie du corps noir

La densité énergétique spectrale volumique du corps noir ne dépend, et d’une façonuniverselle, que de la température, et de la fréquence, et sa variation selon la fréquence estrelativement « douce » et régulière.

Or on a exposé au chapitre V (V. 1. B.) la description de l’absorption-émission par raies, dontles spectres, à défaut au final d’être « en lignes discrètes » compte tenu des différentsmécanismes d’élargissement, sont en tous cas extrêmement concentrés, rapidement variablesen fréquences, et très dépendants de la nature du corps considéré.

On peut à première vue trouver qu’il y a là une sérieuse contradiction, si par exemple onimagine l’enceinte modèle du corps noir remplie d’un gaz présentant une seule raied’absorption/émission, de type Lorentz pour fixer les idées :

2 2( ) .( )

L LL

c L

SKv v

Le paradoxe n’est bien sûr qu’apparent, et tient à la mise en situation de corps noir del’émetteur considéré.

Par exemple, on pourrait s’étonner que, bien que l’émission du gaz soit de l’ordre de 100 foismoins importante à la fréquence 10c L qu’à la fréquence c , l’intensité spécifique durayonnement noir soit très peu variable sur la distance spectrale correspondante.

Ceci tient bien sûr aux propriétés du corps noir. La probabilité d’émission d’un photon defréquence très éloignée de la fréquence centrale est effectivement très faible, mais, dans lasituation d’équilibre noir, sa probabilité d’absorption est tout aussi faible (le rapport entreprobabilités d’émission et d’absorption y étant indépendant de la fréquence) : l’enceinte noirese remplit de ces photons aussi efficacement qu’à la fréquence centrale, et l’équilibre entrephotons émis et photons absorbés finira par se réaliser si l’on attend suffisamment longtemps.

409

3. THEORIE DE LORENZ-MIE DE LA DIFFUSION

A. Hypothèses

La théorie de diffusion de Lorenz-Mie considère des particules sphériques homogènes, et selimite à la diffusion simple (le rayonnement électromagnétique diffusé par une particulen’interagit pas avec d’autres particules).

S’affranchir de ces deux hypothèses simplificatrices radicales, c’est-à-dire prendre en comptedes particules de forme générale, et la diffusion multiple, est possible (comme évoqué auchapitre XIII - XIII. 4. A.-), au prix d’approximations et de méthodes spécifiques, mais nesera pas abordé ici : on se limite donc, comme dans la démarche historique, à la diffusiond’une onde plane harmonique (du spectre solaire ou tellurique), de longueur d’onde , parune sphère matérielle homogène, de rayon partr .

Les milieux de propagation en jeu (l’air atmosphérique et la particule) sont supposés isotropes(la permittivité électrique y est donc un scalaire milieu , complexe en présence d’absorption), etjusticiables de l’approximation milieu vide (très bonne dans le contexte géophysique).

On considérera pour simplifier l’indice de réfraction de l’air airn égal à 1 ; quant à l’indice deréfraction de la particule, il est, bien sûr, a priori complexe : Re Im.partn n i n (on rappelle

que la partie réelle Rephase

vide

cn

ccaractérise la vitesse de phase de l’onde à l’intérieur de la

particule, et que la partie imaginaire ,Im

.4

absKn caractérise l’absorption de la particule).

Il est par ailleurs commode de définir le paramètre de taille a-dimensionné2 .déf

partdif

r.

La transition entre air atmosphérique et particule (goutte d’eau ou aérosol) est réalisée sur unedistance de l’ordre des dimensions moléculaires (donc très petite devant la longueur d’ondedu rayonnement incident), et peut-être traitée comme une discontinuité matérielle.

La démarche résout les équations de Maxwell, séparément dans l’air, pour le champ diffusé,et dans la particule, et assure les conditions aux limites entre ces milieux ; la solution est aufinal la superposition du champ incident, du champ diffusé, du champ à l’intérieur de laparticule.

B. Equations de Maxwell

Sous les hypothèses adoptées, les champs électrique E et magnétique H de l’ondeélectromagnétique sont régis (à l’échelle microscopique) par les équations de Maxwell, quel’on organise ici en deux équations « principales »

410

.videHrot Et

,

.milieuErot H jt

,

avec

milieu

qdiv E ,

0div H ,

et la relation constitutive.milieuj E

(simplement pour mémoire, on peut aussi rappeler les deux autres relations constitutives.milieuD E et .milieuB H ).

On considère ici la diffusion par une particule sphérique homogène, de rayon partr , d’une onde

incidente plane harmonique, de champs composants ( 0E , 0H étant a priori complexes) :

( )

0( , ) .exp .( . . )incid

E x t E i x t ,

( )

0( , ) .exp .( . . )incid

H x t H i x t .

Pour une onde harmonique, le rotationnel et la tendance temporelle se déclinent,respectivement, par les opérateurs ( .i ) et ( . .i ), de sorte que les équations principalesde Maxwell deviennent, dans un des milieux considérés :

. ( . . ).milieu milieui H i E ,

. . . .videi E i H ,

Le champ électrique vérifie donc

2. .( . . ). . . . .vide milieu milieui E i E E ,

ce qui donne accès à

l’équation de dispersion : 2 . . . .vide milieu milieui ,

411

l’expression de l’indice de réfraction :2

2 . 1 . . milieumilieu milieu

vide

cn i

l’équation régissant le champ électrique 2 2. . 0vide milieuE n E (déf

vide c) ; le champ

magnétique vérifie la même équation de propagation.

C. Conditions aux limites

On se place à la surface de séparation entre l’air atmosphérique (indice « air ») et la particule(indice « part ») ; ne désigne le vecteur unitaire normal à l’interface.

Le théorème d’Ostrogradsky (« . .div u dV u dS »), appliqué à une « boîte »

infinitésimale de faces parallèles à la surface de séparation, situées de part et d’autre de celle-ci, dont on fait tendre vers zéro la dimension normale à la surface, et le fait que les champs Het 2.n E sont à divergence nulle, permettent d’établir

.( ) 0part airne H H

2 2.( . . ) 0part airn part aire n E n E

Le théorème de Stokes (« ( ). .rot u dS u d »), appliqué à un circuit fermé infinitésimal,

la continuité des composantes normales de H et de 2.n E (donc la nullité de l’intégraledouble pour H et 2.n E ), permettent d’établir

( ) 0part airne H H

( ) 0part airne E E

D. Recherche de la solution

a. Principe

La solution du problème de Lorenz-Mie repose sur la propriété suivante, que l’on admet ici :si 1 et 2 sont deux solutions indépendantes de l’équation scalaire 2. 0 , les

solutions de l’équation vectorielle 2. 0E E sont

' "1 1 2.E E i E , ' "

2 2 1.E E i E ,où

' ( . . )déf rot xE ,'

" ( )déf rot EE

412

b. Séparation des variables en coordonnées sphériques

Il suffit donc de résoudre l’équation scalaire, et il est logique pour ce faire, compte tenu de lagéométrie sphérique du problème, de travailler dans un système de coordonnées sphériques( , , )r (figure 1), dont l’origine est positionnée au centre de la particule sphérique.

Dans un tel système de coordonnées, l’équation scalaire évoquée s’écrit :

22 2

2 2 2 2

1 1 1 1. ( . ) . . (sin . ) . . 0sin sin

rr r r r

La recherche de la solution sous la forme ( ) ( ) ( )( , , ) ( ). ( ). ( )rr r conduit à laséparation des variables, et à trois sous-équations scalaires ( , désignant des constantesd’intégration) :

( )2 2 2 ( )( . ) . . 0

rrr r

r r,

dont la solution générique est ( )1 12 2

( ) . . ( . ) . ( . )2 .

r r c J r d N rr

, J et N

désignant les fonctions de Bessel d’ordre 1, respectivement du premier type, et du second type(dite aussi « de Neumann »), les c et d étant des constantes.

( )( )

2

1 ( ). (sin . ) . 0sin sin

,

dont la solution générique est ( ) ( )( ) (cos )mPL , ( )mPL désignant le « polynôme » deLegendre associé, d’ordre et d’espèce m , avec 0 m .

2 ( )( )

2 ( ). 0 ,

dont la solution générique est ( )1 2( ) .sin( . ) .cos( . )a a , 1a , 1b , étant des

constantes, avec nécessairement 2 ,m m , pour assurer la 2 -périodicité de ( ) ( ) .

En définitive, indépendamment des conditions aux limites, les solutions générales cherchéespeuvent s’écrire, dans chaque milieu:

( )( ) ( )1 1 1 1

0 0 0 0 2 2

( , , ) . . ( . ) . . ( . ) . (cos ).sin( . )2 .

mr am

m mr J r i N r PL m

r,

( )( ) ( )2 2 1 1

0 0 2 2

( , , ) . . ( . ) . . ( . ) . (cos ).cos( . )2 .

mr am

mr J r i N r PL m

r,

413

où le point en position d’exposant dans les constantes ( )1 m

et ( )2 m

fait référence à larégion de l’espace et au champ électromagnétique concerné ( ( ) ( )part pour le champtransmis à l’intérieur de la particule, ( ) ( )diff pour le champ diffusé à l’extérieur de laparticule), et où la présence de l’indicatrice r a de l’événement « r a » ( 1r a -resp.

0r a - à l’extérieur –resp. à l’intérieur- de la particule sphérique) est rendue nécessairepour contrer la divergence de 1

2

( . )N r quand 0r .

c. Application des conditions aux limites

Les constantes d’intégration ( )1 m

et ( )2 m

sont à calculer par application des conditions à

la limite ( partr r ) mises en évidence plus haut. Ces conditions portent sur les champs E et

H : il convient donc de se rappeler les relations entre, d’une part, E , 1 , 2 (via '1E et '

2E )

et, d’autre part, H et E ( .iH rot E ).

Inutile de préciser que cette opération de « réconciliation », à partr r , des champs( )part

E ,( )part

H et( ) ( )incid diff

E E ,( ) ( )incid diff

H H ne manque pas de donner lieu à calculs fastidieux età résultats compliqués, sur le détail desquels on passe ici (une idée de la complexité desrésultats est donnée au d. ci-dessous).

Quoi qu’il en soit, à l’issue de cette opération, les coefficients décrivant les champs transmis àl’intérieur de la particule, et diffusé à l’extérieur de la particule, se trouvent explicités enfonction des coefficients décrivant le champ incident (lui-même décomposable en fonctionssphériques vectorielles, dépendant de sa polarisation), des indices de réfraction en jeu, et durayon de la particule, par l’intermédiaire de combinaisons de fonctions complexes, de typeBessel, de .air difn et de .part difn .

Le calcul évoqué permet de déterminer les « facteurs d’efficacité », ou « sections efficaces a-dimensionnées », d’absorption abs et de diffusion dif , qui sont les rapports au fluxd’énergie incidente des flux d’énergie absorbée et diffusée, respectivement. Le facteurd’efficacité de l’extinction, ext , est la somme des facteurs d’efficacité d’absorption et dediffusion.

Les sections efficaces correspondantes s (pour la longueur d’onde incidente) s’en déduisentfacilement, par

2. .parts r ,

et donnent accès aux autres coefficients (volumique ( )volK , et massique K ), d’absorption, dediffusion et d’extinction, tels qu’introduits au chapitre III (III. 2. ) :

( ) . .volK n s K .

414

Le calcul fournit

21

2 . (2 1).Reext p ppdif

p a b

2 22

1

2 . (2 1).dif p ppdif

p a b

abs ext dif

où les « coefficients de Mie » na et nb (donc ext , dif , et également difP ) dépendent de2 .déf

difr et de l’indice de réfraction complexe partn de la particule.

On renvoie aux ouvrages spécialisés, comme Van de Hulst (1981), Bohren et Huffman (1983),pour un traitement exhaustif du problème de Lorenz-Mie, et pour une extension à desparticules plus complexes qu’une sphère homogène.

d. Cas particulier et conséquences

On termine cette présentation de la théorie de Lorenz-Mie par l’examen de quelques-unes deses conséquences, à partir d’un cas particulier simplifié.

Dans le cas d’une onde incidente polarisée linéairement selon Ox , se propageant selon Oz ,soit

( )

0( , ) . .exp .( . . )incid

xE x t E e i z t ,( )

0( , ) . .exp .( . . )incid

yH x t H e i z t , laméthode évoquée permet de trouver que, à distance assez grande de la sphère, lescomposantes tangentielles des champs diffusés vérifient

( ) ( )

( ) ( ) sin . ( )diff diff

incid incid

E HE H

( )( )

( ) ( ) cos . ( )diffdiff

incid incid

HEE H

avec

(1)(1)

1

(cos )(cos )2 1( ) . . ..( 1) sin

ppp p

p

PLPLp a bp p

,

(1)(1)

1

(cos )(cos )2 1( ) . . ..( 1) sin

ppp p

p

PLPLp b ap p

,

415

La figure 3 présente l’allure de quelques fonctions de base en des développements ainsiobtenus des champs électromagnétiques.

Figure 3 – Allure des premiers éléments ( 1p à 6 , valeurs indiquées entre parenthèses surles courbes, au voisinage de l’axe 0 ) des jeux de fonctions décrivant la dépendance en

des composantes tangentielles des champs diffusés dans le cadre de Lorenz-Mie.

Quant aux coefficients de ces développements, ils sont donnés par

' '

' '

. ( . ). ( . ) ( . ). ( . )

. ( . ). ( . ) ( . ). ( . )

partp part dif p air dif p air dif p part dif

airp

partp part dif p air dif p air dif p part dif

air

nj n j n j n j n

na nj n h n h n j n

n

,

' '

' '

( . ). ( . ) . ( . ). ( . )

( . ). ( . ) . ( . ). ( . )

partp part dif p air dif p air dif p part dif

airp

partp part dif p air dif p air dif p part dif

air

nj n j n j n j n

nb nj n h n h n j n

n

,

416

'12

. . ( )( ) . ( ), ( )

2

déf défair dif p

p pp

n djj J j

d,

(2) '12

. . ( )( ) . ( ), ( )

2

déf défair dif p

p pp

n djh H h

d.

et étant complexes, l’onde diffusée est polarisée elliptiquement ; la fonction dephase de diffusion générale ( , )difP est d’un calcul compliqué, mais sa moyenne azimutale

est2 2

2 ( ) ( ).

2 . 4difdif

Ps

.

L’examen de la diffusion « vers l’avant », pour 0 , donc avec

1

(0) (0) 2 1. (0)p pp

p a b

( ) exp .( . . ).cos . (0)

. .diff i r t

Ei r

( ) exp .( . . ).sin . (0)

. .diff i r t

Ei r

permet d’obtenir des résultats intéressants.

Pour 0 , donc au voisinage de Oz , l’onde conserve sa polarisation linéaire, et sa directionde polarisation (continuité de la phase au centre de la particule), et, dans le cas d’unepolarisation linéaire selon Ox :

0( )

0

exp .( . . )( ) . (0). .

. .dif

x

i r tE r E e

i r

L’indépendance, ainsi exprimée, de l’extinction par rapport à la polarisation, directement liéeà l’identité (0) (0) , est d’ailleurs valable quelle que soit la polarisation de l’ondeincidente, puisqu’une polarisation quelconque peut être considérée comme superposition dedeux polarisations linéaires.

Des expressions du champ diffusé et du champ incident résulte l’expression, dans cetteconfiguration particulière, du facteur d’efficacité d’extinction, soit

2 21

4 2.Re (0 . (2 1).Reext p ppdif dif

p a b ,

et cette dernière égalité introduit bien le résultat général annoncé plus haut.

417

4. BIBLIOGRAPHIE

On trouvera ci-dessous une liste de livres dédiés au rayonnement électromagnétique, pour laplupart dans un cadre atmosphérique ou géophysique (on a également inséré dans cette listequelques ouvrages –identifiables à leur titre- auxquels se référer pour acquérir ou rafraîchirses bases en météorologie).

C’est dans ces ouvrages que, notamment, l’on pourra se procurer toutes référencescomplémentaires aux publications originales de la littérature spécialisée sur le sujet.

* * * * *

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419

INDEX

Cette table d’index signale les pages de première apparition, et/ou des apparitions les plussignificatives, des mots ou concepts qui y sont listés (sachant que la recherche doit aussi, engénéral, se poursuivre sur les pages situées au voisinage de celles-ci).

* * * * *

Absorption, absorptivité : 56, 61, 92, 96, 128, 136, 155, 199, 201, 215, 227, 230, 249, 253,273, 318Aérosols : 21, 176, 223, 269Ajustement convectif : 322Albédo : 95, 199, 225, 268, 326Albédo de la diffusion simple : 81, 94Albédo planétaire : 8,Alhazen : 360Angle solide : 71Bande (d’absorption/émission) : 58-59, 138Bibliographie : 393, 417Bilan radiatif : 203, 300Bilan énergétique : 203, 300Bouguer : 81Bouguer-Lambert : voir BouguerChamps (électrique, magnétique) : 39, 42, 400Chapman (cycle) : 169Chauffage radiatif (taux, fonction) : 16, 73, 302, 317Co-albédo : 81, 94Collisionnel, ou par effet pression (élargissement) : 132Compton (diffusion, effet) : 60, 382Conditionnement : 333, 339-340Conditions aux limites : 41, 91, 411, 413Conductivité (électrique) : 40-41Constante solaire : 8, 82, 211, 384Continuum d’absorption/émission : 161Corps noir : 21, 401Couplage : 265Coût (calculs radiatifs) : 266Coût (fonction) : 332Covariance (matrice) : 343Curtis-Godson (approximation) : 146-147, 151Dégradation en chaleur : 56Demi-largeur (d’une raie) : 129Densité (de charge, de courant) : 39Dépôt (aérosols) : 177Descartes : 190, 363

420

Diffusion : 60, 62, 80, 82, 92, 124, 153, 214, 230, 253, 273Dioxyde de carbone : 21, 166, 217, 245, 271Dipôle : 55, 66, 124, 393Distribution de K (méthode) : 148, 290Dobson (unité) : 158-159Doppler (élargissement) : 130, 288Dualité onde-corpuscule : 53Eddington (approximation) : 107, 228, 231, 277, 286Effet de serre : 10, 117, 387Einstein (coefficients) : 61-62, 407Einstein (histoire) : 379, 382Elargissement (naturel, Doppler, collisionnel): 128Electromagnétisme (histoire) : 372Electronique (transition) : 55Elsasser (distribution d’intensités de raies) : 140, 141Emission, émissivité : 56, 61, 85, 92, 96, 201, 269Energie (électromagnétique) : 47, 72Epaisseur optique : 81, 111Epaisseur réduite : 158-159Equation du transfert radiatif : 68, 90Equilibre radiatif : 312Equilibre radiatif+convectif : 321Erreur : 331, 335, 339, 343-344, 350ETR : voir Equation du transfert radiatifExcitation, désexcitation : 56, 61Extinction (coefficient) : 50, 80, 92Facteur d’asymétrie (de la diffusion) : 84Facteur de diffusivité : 103Facteur d’effet de serre : 119, 308, 315Fenêtre : 244, 262Filtrage (ondes numériques) : 241Flux, densité de flux : 16, 69, 238, 252, 275Flux non radiatifs : 207, 300-301Fonction de profil (d’une raie) : 129Fonction bi-directionnelle (réflexion, transmission) : 95, 195, 200Forçage radiatif : 305, 309Fourier : 44, 387Fredholm (équation) : 333Fréquence : 42-43Fresnel : 189, 366-367Gaz atmosphériques : 21, 124, 128, 138, 243Godson (distribution d’intensités de raies) : 140, 143Goody (distribution d’intensités de raies) : 140, 142Hauteur d’eau précipitable : 158-159Henyey-Greenstein : 84, 279Histoire : 358Humidité relative : 158Huygens : 364Hydrométéores (nuages, gouttelettes d’eau, cristaux de glace) : 21, 173, 220, 255, 275, 280,288, 325, 328

421

Impact radiatif (aérosols) : 179Indice de réfraction : 48Induction (électrique, magnétique) : 40Infrarouge : 7, 47Insolation : 11Intensité (spécifique) : voir LuminanceIntensité d’effet de serre : 119, 306Intensité intégrée (d’une raie) : 128Interaction matière/rayonnement : 54, 80Interférences : 64Inversion : 330, 337, 342, 390Ionisation : 60Isotopes : 161Kirchoff (loi) : 85Kirchoff (histoire) : 371, 380Lambert (réflexion diffuse) : 192Lanczos : 337Liaisons hydrogène : 161Ligne (d’absorption/émission) : 56, 58-59Linéarité, non-linéarité : 334Linke (facteur de trouble) : 223Longueur d’onde : 42-43Lorentz-Lorenz (formule) : 50Lorentz : 130, 132, 136, 397Lorenz-Mie : voir MieLumière (histoire) : 358Luminance : 72Macroscopique (point de vue) : 68Malkmus (distribution d’intensités de raies) : 140, 143Maxwell (équations) : 39, 394, 409Maxwell (histoire) : 371, 377Michelson : 368Microscopique (point de vue) : 39-40Mie, ou Lorenz-Mie (diffusion) : 65, 124, 151, 409Milankovitch : 211, 385Modèle à deux paramètres énergétiques : 98, 313Modèle météorologique : 15-16, 264-265Modèle radiatif : 98, 234, 259, 264, 330, 389Modèle radiatif de nuage (spectre solaire) : 108Modes (relatifs à la périodicité) : 45Monochromatique (onde) : 42, 74Multi-pôles : 55Naturel (élargissement) : 130Newton : 364Nombre d’onde : 42-43Nombre quantique : 57-58NTP : 158-159Nuage : voir HydrométéoresOhm (loi) : 40-41Optimisation : 332

422

Oscillateur : 48, 393Ozone : 21, 168, 218, 245, 271, 386Paquet d’onde : 45, 53Parseval (égalité) : 44Particules (aérosols, hydrométéores) : 21, 151, 173, 246Perméabilité (magnétique) : 39Permittivité (électrique) : 39Phase (fonction de diffusion) : 82Photon : 52, 273Planck (constante) : 53Planck (loi du corps noir) : 85, 381, 404Polarisabilité : 48Polarisation : 49, 51, 75Potentiel (scalaire, vectoriel) : 394Pouillet : 384Poynting (vecteur) : 47Ppb, ppm, ppt : 158, 160Production (aérosols) : 177Propagation : 42Pulsation (temporelle, spatiale) : 42-43Quasi-homogénéité (horizontale, temporelle) : 78Raie (d’absorption/émission) : 56, 58-59, 128Rapport de mélange : 158Rayleigh (diffusion, critère de rugosité) : 60, 62-63, 65, 124, 192Rayleigh-Jeans (loi) : 87Réflectivité : 95-96Réflexion : 188, 283Réfraction : 189Régularisation : 332, 337Rotation : 55Rugosité électromagnétique : 192Schéma radiatif : 264, 290Section, surface efficace : 80-81Solaire direct, ou parallèle (rayonnement) : 79, 225Soleil : 209Sommet de l’atmosphère : 18, 212, 268Sondages atmosphériques : 345Spectrale (discrétisation, intégration) : 233, 236, 256, 259, 272, 285-286Spectre (d’énergie électromagnétique) : 45, 46Spectre de tailles (particules): 182Spectre solaire: 212, 271Spéculaire: 189Stefan : voir Stefan-BoltzmannStefan-Boltzmann (loi, constante) : 87, 380Stochastique (inversion) : 342Stokes (paramètres) : 75-76Stratosphère : 321Surface terrestre : 111, 116, 186, 225, 248, 255, 268, 326, 328Susceptibilité (électrique, magnétique) : 40Télédétection : 390

423

Température radiative (effective) : 9-10, 90, 305Temps de séjour (aérosols) : 177Teneur en composant atmosphérique (indicateurs) : 157, 347Transition : 56, 60Translation : 55Transmission, transmissivité : 96, 136, 199, 251, 274Troposphère : 321Trou d’ozone : 171-172Ultraviolet : 7, 47, 212, 386Validation : 291Vapeur d’eau : 21, 161, 215, 243Vecteur nombre d’onde : 42-43Vibration : 55Visible : 7, 47Vitesse de propagation : 41-42, 367-368Voigt : 133-134Wien (loi) : 87-88

424

TABLE DES MATIERES

AVERTISSEMENT ET REMERCIEMENTS _________________________ 3

I. INTRODUCTION _____________________________________________ 61. POURQUOI LE RAYONNEMENT EN METEOROLOGIE ?_________________ 6

A. Le rayonnement en météorologie : nécessaire, et plutôt compliqué ............................. 6B. Considérations énergétiques globales............................................................................ 7

a. Sur le cycle énergétique.............................................................................................. 7b . Sur le bilan radiatif .................................................................................................... 9

C. Influences météorologiques du rayonnement .............................................................. 11a. Variations temporelles.............................................................................................. 11b. Rayonnement et circulation générale atmosphérique............................................... 13c. Rayonnement et microclimats .................................................................................. 15d. Rayonnement et prévision numérique du temps ...................................................... 15

2. LE TERRITOIRE DU PRESENT OUVRAGE _____________________________ 17A. Le périmètre du cours.................................................................................................. 17

a. En termes d’objectifs ................................................................................................ 17b. En termes de domaine physique............................................................................... 18c. En termes de domaine spectral ................................................................................. 19d. En termes d’agents radiatifs et de processus d’interaction ...................................... 21

B. Le contenu du cours..................................................................................................... 22

3. CONVENTIONS DE PRESENTATION, VOCABULAIRE ET NOTATIONS___ 27

II. ELEMENTS DE PHYSIQUE GENERALE DU RAYONNEMENTELECTROMAGNETIQUE ____________________________________ 38

1. NATURE ET PROPAGATION DU RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE ___ 38A. Aspects ondulatoires généraux.................................................................................... 38

a. Nature du rayonnement électromagnétique.............................................................. 38b. Equations de Maxwell .............................................................................................. 39c. Propagation dans le vide et en milieu matériel......................................................... 41

B. Onde monochromatique plane, onde générale, spectre ............................................... 42a. Onde monochromatique plane.................................................................................. 42b. Onde générale, spectre électromagnétique............................................................... 44c. Considérations énergétiques..................................................................................... 47

C. Indice de réfraction...................................................................................................... 48D. Polarisation d’une onde monochromatique................................................................. 51E. Aspects photoniques .................................................................................................... 52

a. Pourquoi ?................................................................................................................. 52b. Premières « visualisations » du photon .................................................................... 53c. Dualité onde-corpuscule ........................................................................................... 53

425

2. INTERACTION ENTRE MATIEREET RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE _________________________ 54A. Quantification des échanges, lignes d’absorption/émission........................................ 54

a. Principes physiques de base ..................................................................................... 54b. Illustration : transitions rotatoires et vibratoires du dioxyde de carbone ................. 57

B. Panorama général de l’interaction rayonnement/matière ............................................ 60a. Inventaire : ce que l’on écarte, et ce que l’on garde, dans le présent cours............. 60b. Processus d’émission et d’absorption ...................................................................... 61c. Processus de diffusion .............................................................................................. 62d. Retour sur le modèle dipolaire d’interaction entre matière et rayonnement ............ 66

III. L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF ____________________ 681. LES GRANDEURS DE DESCRIPTION MACROSCOPIQUE DU

RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE ____________________________ 68A. Le point de vue « macroscopique »............................................................................. 68B. Les variables indépendantes ........................................................................................ 69C. Définitions générales ................................................................................................... 69

a. Flux, vecteur densité de flux .................................................................................... 69b. Intensité spécifique, ou luminance énergétique ....................................................... 71c. Densité volumique d’énergie.................................................................................... 72d. Taux de chauffage radiatif........................................................................................ 73

C. Définitions monochromatiques.................................................................................... 74D. Polarisation, représentation de Stokes......................................................................... 75E. Expressions en coordonnées scalaires ......................................................................... 78F. Premières simplifications en météorologie .................................................................. 78

a. Hypothèses de quasi-homogénéité ........................................................................... 78b. « Parallélisme » du rayonnement solaire direct ....................................................... 79

2. L’INTERACTION DU RAYONNEMENTAVEC LA MATIERE ATMOSPHERIQUE _______________________________ 80A. Puits et sources d’énergie radiative ............................................................................. 80B. Perte par extinction...................................................................................................... 80

a. Coefficients massiques (et volumiques), sections efficaces d’extinction ................ 80b. Epaisseur optique, contribution de l’extinction à l’ETR.......................................... 81

C. Gain par diffusion........................................................................................................ 82a. Fonction (de phase) de la diffusion .......................................................................... 82b. Contribution en gain de la diffusion à l’ETR, diffusion multiple ............................ 84

D. Gain par émission (rayonnement propre).................................................................... 85a. Forme de la prise en compte de l’émission dans le transfert radiatif ....................... 85b. Contribution de l’émission à l’ETR ......................................................................... 86c. Loi de Planck et ses différentes formes .................................................................... 87d. Lois dérivées de la loi de Planck.............................................................................. 88e. Températures radiatives du Soleil et du système Terre-Atmosphère ....................... 90

3. L’EQUATION COMPLETE DU TRANSFERT RADIATIF (ETR)____________ 90A. E.T.R. complète........................................................................................................... 90B. Conditions aux limites ................................................................................................. 91C. Petit inventaire de paramètres de caractérisation du transfert radiatif......................... 92

a. Deux catégories de paramètres ................................................................................. 92b. Paramètres « locaux » .............................................................................................. 92c. Paramètres « globaux », pour une géométrie homogène horizontalement............... 95

426

IV. PRISE EN MAIN DES NOTIONS DE BASEDU TRANSFERT RADIATIF __________________________________ 98

1. MODELE UNIDIMENSIONNEL A DEUX PARAMETRES ENERGETIQUES _____ 98A. Rappel de l’ETR générale ........................................................................................... 98B. Un modèle unidimensionnel à deux paramètres énergétiques..................................... 99

a. Principe..................................................................................................................... 99b. Hypothèse unidimensionnelle brutale .................................................................... 100c. Hypothèse unidimensionnelle raisonnée, dans le cadre atmosphérique................. 102

2. DOMAINE SPECTRAL SOLAIRE :UN MODELE RADIATIF ACADEMIQUE DE NUAGE ___________________ 108A. Le modèle radiatif de nuage ...................................................................................... 108B. Les équations aux luminances et leur solution générale............................................ 109C. Le cas d’une surface terrestre complètement absorbante .......................................... 111

a. Cas particulier d’un nuage d’épaisseur optique infinie .......................................... 111b. Cas particulier d’un nuage non absorbant .............................................................. 112c. Cas général ............................................................................................................. 113

D. Cas d’une surface terrestre non complètement absorbante ....................................... 116

3. DOMAINE SPECTRAL TELLURIQUE :UN MODELE ACADEMIQUE D’EFFET DE SERRE _____________________ 117A. Le modèle radiatif ..................................................................................................... 117B. Représentations simplifiées de l’effet de serre atmosphérique ................................. 119

a. Quantification de l’effet de serre ............................................................................ 119b. Modèle avec atmosphère à température verticalement uniforme........................... 120c. Modèle avec atmosphère à température verticalement variable............................. 121

V. LE RÔLE DES ACTEURS RADIATIFS ATMOSPHERIQUES______ 1241. LE RÔLE DES GAZ ATMOSPHERIQUES ______________________________ 124

A. Diffusion par les gaz.................................................................................................. 124a. Mise en évidence classique de la diffusion Rayleigh............................................. 124b. Intensité de la diffusion Rayleigh........................................................................... 126c. Fonction de phase de la diffusion Rayleigh ........................................................... 126

B. Absorption par les gaz ............................................................................................... 128a. Raies d’absorption/émission................................................................................... 128b. Bandes d’absorption, et leurs modélisations en couche homogène ....................... 138c. Application en atmosphère inhomogène, approximation de Curtis-Godson.......... 146d. Introduction à la méthode en « distribution de K »................................................ 148

2. LE RÔLE DES PARTICULES ATMOSPHERIQUES______________________ 151A. Schématisation du problème ..................................................................................... 151B. Méthodologie de la théorie de Mie............................................................................ 152C. Résultats de la théorie de Mie.................................................................................... 153

a. Diffusion pure......................................................................................................... 153b. Cas général ............................................................................................................. 155

VI. PORTRAITS D’ACTEURS RADIATIFS ATMOSPHERIQUES_____ 1571. MISE EN CONTEXTE________________________________________________ 157

A. Indicateurs de teneur, et leurs unités ......................................................................... 157a. Indicateurs absolus et relatifs ................................................................................. 157

427

b. Composants gazeux................................................................................................ 157c. Composants particulaires........................................................................................ 159

B. Composition de l’atmosphère.................................................................................... 159C. Contributions isotopiques .......................................................................................... 161

2. PRINCIPAUX GAZ ATMOSPHERIQUES_______________________________ 161A. Vapeur d’eau ............................................................................................................. 161

a. Polarisation, liaisons hydrogène, continuum d’absorption/émission ..................... 161b. Répartition de la vapeur d’eau ............................................................................... 163

B. Dioxyde de carbone ................................................................................................... 166C. Ozone......................................................................................................................... 168

a. L’ozone aux deux visages ...................................................................................... 168b. Chimie de l’ozone .................................................................................................. 169c. Répartition de l’ozone ............................................................................................ 170d. Représentation du profil de teneur en ozone.......................................................... 172

3. LES PARTICULES ATMOSPHERIQUES _______________________________ 173A. Hydrométéores .......................................................................................................... 173B. Aérosols .................................................................................................................... 176

a. Typologies .............................................................................................................. 176b. Impact radiatif ........................................................................................................ 179c. Répartition verticale ............................................................................................... 181

C. Spectres de taille des particules atmosphériques ....................................................... 182

VII. LE RÔLE RADIATIF DE LA SURFACE TERRESTRE __________ 1861. MISE EN CONTEXTE________________________________________________ 186

A. Surface terrestre et son action radiative .................................................................... 186B. Surface terrestre locale idéale de travail.................................................................... 187C. A propos de l’absorption et de la transmission du rayonnement par la surface ........ 187D. Notations ................................................................................................................... 188

2. REFLEXION PAR LA SURFACE ______________________________________ 188A. Introduction aux différentes configurations de réflexion .......................................... 188

a. De quoi s’agit il ? ................................................................................................... 188b. Cas limite de la réflexion « spéculaire » de Fresnel............................................... 189c. Cas général, cas limite de la réflexion « diffuse » de Lambert .............................. 192d. Rugosité électromagnétique d’une surface ............................................................ 192

B. Description par la fonction de réflexion bidirectionnelle .......................................... 195a. Fonction de réflexion bidirectionnelle.................................................................... 195b. Cas limites des réflexions spéculaire et lambertienne............................................ 197c. Cas général ............................................................................................................. 197

3. TRANSMISSION, EMISSION ET ABSORPTION PAR LA SURFACE_______ 199A. Transmission ............................................................................................................. 199B. Emission .................................................................................................................... 201C. Absorption ................................................................................................................. 202

4. BILANS RADIATIF ET ENERGETIQUE A LA SURFACE ________________ 203A. Bilans radiatifs et énergétique moyens du système Terre-Atmosphère .................... 203B. Bilan d’énergie à l’interface surface/atmosphère ...................................................... 204

a. Mise en contexte..................................................................................................... 204b. Rayonnement net à la surface terrestre .................................................................. 204c. Bilan d’énergie à la surface terrestre ...................................................................... 207

428

VIII. LE RAYONNEMENT SOLAIRE(« DE PETITES LONGUEURS D’ONDE ») _____________________ 209

1. CONSIDERATIONS PHYSIQUES______________________________________ 209A. Le Soleil comme source radiative ............................................................................. 209

a. L’émission du Soleil............................................................................................... 209b. L’énergie solaire incidente au sommet de l’atmosphère ........................................ 211

B. Répartition spectrale du rayonnement solaire à la limite supérieure de l’atmosphère............ 212C. Répartition spectrale et intensité de l’effet des divers agents.................................... 213

a. Généralités .............................................................................................................. 213b. Diffusion par les molécules d’air ........................................................................... 214c. Absorption par la vapeur d’eau .............................................................................. 215d. Absorption par le dioxyde de carbone.................................................................... 217e. Absorption par l’ozone ........................................................................................... 218f. Extinction par les nuages ........................................................................................ 220g. Extinction par les aérosols...................................................................................... 223h. Interactions ............................................................................................................. 224

D. Effet de l’albédo de la surface................................................................................... 225

2. APPROCHE MATHEMATIQUE_______________________________________ 225A. Géométrie du problème ............................................................................................. 225

a. Le rayonnement parallèle ....................................................................................... 225b. Le rayonnement diffus ........................................................................................... 227

B. Absorption monochromatique ................................................................................... 227a. Recouvrement des absorptions ............................................................................... 227b. Calcul des flux avec l’approximation d’Eddington................................................ 228

C. Diffusion et absorption monochromatiques .............................................................. 230a. Solutions exactes .................................................................................................... 230b. Méthode des flux avec l’approximation d’Eddington............................................ 231

D. Intégration spectrale .................................................................................................. 233a. Discrétisation du spectre......................................................................................... 233b. Utilisation des fonctions de transmission............................................................... 234

3. APPLICATION A LA MODELISATION ________________________________ 234A. Le cadre d’application retenu .................................................................................... 234B. Les paramètres d’entrée du schéma radiatif .............................................................. 235C. Choix de la partition spectrale et représentation des processus................................ 236D. Détermination des flux .............................................................................................. 238

a. Formulation du problème, outils de traitement de la diffusion .............................. 238b. Principe du calcul des flux ..................................................................................... 239c. Filtrage des ondes numériques ............................................................................... 241

IX. LE RAYONNEMENT TELLURIQUE(« DE GRANDES LONGUEURS D’ONDE ») ___________________ 243

1. CONSIDERATIONS PHYSIQUES______________________________________ 243A. Répartition spectrale et intensité de l’effet des divers agents radiatifs ..................... 243

a. Généralités .............................................................................................................. 243b. Les gaz.................................................................................................................... 243c. Les particules.......................................................................................................... 246

B. Pouvoir émetteur de la surface .................................................................................. 248

429

2. APPROCHE MATHEMATIQUE_______________________________________ 249A. Forme générale de l’ETR dans le domaine spectral tellurique ................................. 249B. Absorption monochromatique ................................................................................... 249

a. Intégration formelle de l’ETR ................................................................................ 249b. Interprétation physique........................................................................................... 250c. Expression en termes de transmission de luminances............................................ 251d. Détermination des flux ........................................................................................... 252

C. Diffusion et absorption monochromatiques .............................................................. 253D. Simplifications pour les nuages et pour la surface .................................................... 255E. Intégration spectrale................................................................................................... 256

3. APPLICATION A LA MODELISATION ________________________________ 259A. Le cadre d’application retenu .................................................................................... 259B. Division spectrale et choix des fonctions .................................................................. 259C. Méthodes d’intégration.............................................................................................. 262D. Calcul complémentaire dans la fenêtre ..................................................................... 262

X. CONCEPTION D’UN MODELE DE TRANSFERT RADIATIF,UN EXEMPLE _____________________________________________ 264

1. MISE EN CONTEXTE DU SCHEMA RADIATIF EXEMPLE ______________ 264A. Le schéma radiatif comme composante physique d’un modèle atmosphérique ....... 264B. Couplage du schéma radiatif au modèle météorologique.......................................... 265C. Contraintes liées au coût des calculs radiatifs ........................................................... 266D. Données physiques et climatologiques requises par le schéma radiatif .................... 268

a. De quelles données s’agit-il ?................................................................................. 268b. Caractéristiques astronomiques relatives au flux solaire ....................................... 268c. Caractéristiques radiatives de la surface................................................................ 268d. Aérosols.................................................................................................................. 269e. Gaz traces ............................................................................................................... 271

2. TRAITEMENT DU DOMAINE SPECTRAL SOLAIRE____________________ 271A. Survol introductif ...................................................................................................... 271B. Discrétisation spectrale.............................................................................................. 272C. Traitement de l’interaction entre diffusion et absorption .......................................... 273

a. Principe de la méthode de distribution du chemin photonique .............................. 273b. Détermination, pour les gaz, des quantités d’absorbant et de la transmission ....... 274

D. Traitement de l’eau nuageuse et de la nébulosité...................................................... 275a. Intégration verticale tenant compte de la nébulosité .............................................. 275b. Traitement de la fraction nuageuse ........................................................................ 276c. Traitement de la fraction claire............................................................................... 281d. Traitement des réflexions multiples entre couches ................................................ 283

3. TRAITEMENT DU DOMAINE SPECTRAL TELLURIQUE _______________ 284A. Survol introductif ...................................................................................................... 284B. Discrétisation spectrale.............................................................................................. 285C. Intégrations spatiale et spectrale............................................................................... 286

a. Expression des flux sous approximation d’Eddington ........................................... 286b. Intégration spatiale ................................................................................................. 286c. Intégration spectrale ............................................................................................... 287

D. Prise en compte de l’élargissement Doppler ............................................................. 288E. Effet des nuages ......................................................................................................... 288

430

F. Introduction au schéma rapide de transfert radiatif tellurique du CEPMMT ............ 290

4. QUELQUES CONSIDERATIONS A PROPOS DE VALIDATION___________ 291A. Considérations méthodologiques .............................................................................. 291B. Difficultés de la démarche......................................................................................... 292C. Quelques exemples de résultats de validation ........................................................... 294

XI. TRANSFERT RADIATIFET STRUCTURE MOYENNE DE L’ATMOSPHERE _____________ 300

1. ELEMENTS DE CLIMATOLOGIE DU BILAN RADIATIF ________________ 300A. Bilans radiatif et énergétique du système Terre-Atmosphère ................................... 300B. Taux de chauffage radiatif ......................................................................................... 302C. Distribution géographique des termes du bilan énergétique climatologique ............ 305D. Indicateurs de chiffrage du forçage radiatif et de l’effet de serre.............................. 305

a. Représentativité ...................................................................................................... 305b. Température (radiative) effective au sommet de l’atmosphère.............................. 305c. Chiffrage de « l’effet de serre ».............................................................................. 306d. Chiffrages de forçage radiatif................................................................................. 309

2. EQUILIBRE DE L’ATMOSPHERE CLAIRE ____________________________ 312A. Equilibre purement radiatif ....................................................................................... 312

a. Méthodologie de prise en compte de l’absorption solaire...................................... 312b. Traitement à deux paramètres énergétiques telluriques ......................................... 313c. Facteur d’effet de serre et profil de température .................................................... 315d. Conversion entre épaisseur optique et altitude....................................................... 318e. Importance relative des absorptions et facteur d’effet de serre .............................. 318f. Limitations de l’approche purement radiative de l’équilibre.................................. 320

B. Equilibre radiatif+convectif, stratosphère et troposphère.......................................... 321a. Nécessité d’une correction convective à l’équilibre radiatif .................................. 321b. Ajustement convectif.............................................................................................. 322

C. Modulation spectrale sommaire des raisonnements .................................................. 324

3. CONSIDERATIONS ELEMENTAIRES SUR L’IMPACT DES NUAGES_____ 325A. Mise en contexte........................................................................................................ 325B. Effet d’un nuage élevé sur la température de surface de l’air ................................... 326C. Effet de l’albédo solaire des nuages .......................................................................... 327D. Effet net des nuages sur la température de surface.................................................... 328

XII. INVERSION DU TRANSFERT RADIATIF ____________________ 3301. INTRODUCTION AUX PROBLEMES INVERSES _______________________ 330

A. Problématique de l’inversion..................................................................................... 330a. Cadre général.......................................................................................................... 330b. Illustration : modèle de Fredholm du transfert radiatif tellurique.......................... 333

B. Linéarité, non-linéarité .............................................................................................. 334a. Typologie de la non-linéarité.................................................................................. 334b. Principe de l’analyse linéaire de l’erreur................................................................ 335c. Modèles linéaires.................................................................................................... 336

C. Introduction aux méthodes d’inversion par régularisation ........................................ 337a. Formalisme de traitement du modèle linéaire en dimension finie ......................... 337b. Problème d’inversion en l’absence d’erreurs ......................................................... 338c. Prise en compte des erreurs sur la mesure, régularisation...................................... 339

431

d. Ouverture sur les problèmes linéaires en dimension infinie .................................. 342D. Introduction aux méthodes d’inversion stochastiques............................................... 342

a. Formalisme général ................................................................................................ 342b. Exemple des « lois a priori » gaussiennes.............................................................. 343

2. ILLUSTRATION : SONDAGES ATMOSPHERIQUES INDIRECTS_________ 345A. Présentation informelle.............................................................................................. 345

a. Contexte et principe général ................................................................................... 345b. Principe de détermination du profil de température............................................... 347c. Principe de détermination des profils de concentration ......................................... 347d. Performances et alternatives................................................................................... 347

B. Exemple simple de méthodologie de restitution séparée des profils......................... 349a. Introduction à la détermination de la température.................................................. 349b. Méthodes de linéarisation....................................................................................... 350c. Méthode combinée ................................................................................................. 352

C. Méthode itérative de résolution directe ..................................................................... 352D. Répartition verticale des absorbants.......................................................................... 353E. Exemples de résultats................................................................................................. 353C. Introduction à une méthode générale de restitution................................................... 354

a. Introduction ............................................................................................................ 354b. Linéarisation, régularisation, et solution du problème linéarisé ............................ 355c. Résolution itérative du problème initial ................................................................. 356

XIII. ELEMENTS D’HISTOIRE _________________________________ 3581. HISTORIQUE DE LA CONNAISSANCE DE LA LUMIERE _______________ 358

A. Le mystère de la nature de la lumière........................................................................ 358B. L’Antiquité ................................................................................................................ 359C. Le Moyen Age ........................................................................................................... 360

a. Alhazen................................................................................................................... 360b. En Occident ............................................................................................................ 361c. La naissance de l’optique instrumentale................................................................. 362

D. Les débuts de l’époque moderne ............................................................................... 362a. Képler et Galilée..................................................................................................... 362b. L’apport et l’influence de Descartes ...................................................................... 363

E. La théorie corpusculaire gagne une bataille. ............................................................. 364a. Huygens.................................................................................................................. 364b. Newton ................................................................................................................... 364c. Le règne de la théorie corpusculaire....................................................................... 366

F. La revanche de la théorie ondulatoire ........................................................................ 366a. Young et Fresnel..................................................................................................... 366b. Fizeau et Foucault, des expériences décisives ....................................................... 367c. La course à la vitesse de la lumière ........................................................................ 368

G. Vers la généralisation et l’unification électromagnétiques ....................................... 370a. Les pionniers du rayonnement extra-lumineux ...................................................... 370b. Maxwell et Hertz.................................................................................................... 371

2. HISTORIQUE DE LA CONNAISSANCE DE L’ELECTRICITEET DU MAGNETISME _______________________________________________ 372A. L’Antiquité et le Moyen Age .................................................................................... 372B. Les précurseurs .......................................................................................................... 373C. Les fondations scientifiques ...................................................................................... 374

432

D. L’investigation des rapports entre électricité et magnétisme .................................... 375E . La synthèse de Maxwell ........................................................................................... 377

3. HISTORIQUE DE LA CONNAISSANCE POST-MAXWELLIENNEDES ONDES ELECTROMAGNETIQUES _______________________________ 378A. Deux « petits problèmes » ......................................................................................... 378B. La révolution relativiste, et la fin de l’éther .............................................................. 378C. La fin de la « catastrophe ultraviolette », et la révolution quantique ........................ 380

a. Les acquis sur le rayonnement thermique avant Planck......................................... 380b. Max Planck, sa loi du rayonnement thermique, et la naissance des quanta ........... 381c. La théorie des quanta et la mécanique quantique................................................... 382

4. HISTORIQUE DE LA CONNAISSANCEDU TRANSFERT RADIATIF DANS L’ATMOSPHERE ___________________ 383A.Diffusion du rayonnement électromagnétique par des particules atmosphériques .... 383

a. La base historique................................................................................................... 383b. Les développements de généralisation................................................................... 384

B. L’énergie solaire incidente au sommet de l’atmosphère ........................................... 384C. L’ozone atmosphérique et l’équilibre radiatif de la stratosphère .............................. 386D. L’effet de serre .......................................................................................................... 387E. Modélisation de l’interaction atmosphère/rayonnement............................................ 389F. Télédétection et inversion de l’équation du transfert radiatif .................................... 390

XIV. POUR EN SAVOIR PLUS, ANNEXES ET BIBLIOGRAPHIE ____ 3931. RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE DU DIPÔLE OSCILLANT ___ 393

A. Dipôle oscillant harmonique ..................................................................................... 393B. Approche « en potentiels » des équations de Maxwell ............................................. 394C. Calcul des potentiels de rayonnement du dipôle oscillant......................................... 396

a. Cadre simplificateur ............................................................................................... 396b. Calcul du potentiel vectoriel .................................................................................. 396c. Calculs du potentiel scalaire................................................................................... 397

D. Champ électromagnétique rayonné ........................................................................... 398a. Expressions générales............................................................................................. 398b. Champ rayonné à grande distance du dipôle.......................................................... 400

2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR ___________________________________ 401A. Considérations générales sur le corps noir ................................................................ 401B. Approche « de Planck » de l’émission du corps noir ................................................ 404

a. Mise en contexte..................................................................................................... 404b. Calcul du nombre de modes ................................................................................... 405c. Calcul de l’énergie moyenne d’un mode................................................................ 405d. La loi de Planck...................................................................................................... 406

C. Approche « en coefficients d’Einstein » de l’émission du corps noir ....................... 407D. Absorption/émission par raies et spectre d’énergie du corps noir............................. 408

3. THEORIE DE LORENZ-MIE DE LA DIFFUSION________________________ 409A. Hypothèses ................................................................................................................ 409B. Equations de Maxwell ............................................................................................... 409C. Conditions aux limites ............................................................................................... 411D. Recherche de la solution............................................................................................ 411

a. Principe................................................................................................................... 411b. Séparation des variables en coordonnées sphériques ............................................. 412

433

c. Application des conditions aux limites................................................................... 413d. Cas particulier et conséquences.............................................................................. 414

4. BIBLIOGRAPHIE ___________________________________________________ 417

INDEX ______________________________________________________ 419

En fond de couverture :• Première image fournie par le capteur Iasi du satellite Metop.Il s’agit d’une image infrarouge du Groenland,sur laquelle on distingue les glaciers et la banquise.En bleu, l’océan et une partie des glaciers sur la droite.En vert, la banquise et les terres émergées. (Photo Cnes)

Deuxième dessin, en première de couverture :• Les échanges radiatifs dans l’ensemble Soleil - surface terrestre - atmosphère.D’après la Météorologie générale de J.-P. Triplet et de G. Roche, page 197.

L’imprimerie de Météo-France est labelisée Imprim’vert®

Le transfert radiatif en météorologie dynamiqueGérard De Moor

Le transfert du rayonnement électromagnétique est, avec la turbulence et le cycle de l'eau, l'un des processusphysiques déterminants de l'évolution de l'état de l'atmosphère, à pratiquement toutes les échelles d'espace,locales ou globale, et toutes les échelles de temps, de la prévision immédiate au changement climatique.Le transfert radiatif en météorologie dynamique propose d'en faire connaître, au delà d'une élite scientifique spé-cialisée, les principes de base et quelques unes de leurs applications pratiques. Cet ouvrage offre ainsi à celui oucelle qui, pour sa formation initiale, au cours de sa carrière ou par intérêt scientifique, souhaite s'en approprierles enjeux, une référence pédagogique permettant d'aborder un sujet de prime abord d'une grande complexité.• Ouvrage de niveau licence - master en sciences, écrit avec une finalité pédagogique.• Présentant les éléments de physique générale indispensables.• Passant en revue les principaux acteurs radiatifs de l'atmosphère et leurs rôles.• Présentant des méthodes de modélisation numérique du transfert radiatif.• Introduisant aux méthodes d'observation par inversion de l'équation du transfert radiatif.• Évoquant des travaux de recherche en cours.• Comportant un chapitre historique, illustré principalement à partir d'ouvrages conservés par la bibliothèque deMétéo-France, et avec des fusains de Carine Berbain.

Gérard De Moor, ingénieur général des Ponts et Chaussées, a consacré de nombreuses années à la recherche età l'enseignement, comme praticien – météorologie dynamique, turbulence et couche limite atmosphérique – et àdes postes de direction au sein de Météo-France.

Le transfert radiatif en météorologie dynamique est le 17e volume de la collection « Cours et Manuels ». Celle-ci,éditée par Météo-France, regroupe des textes fondamentaux et de référence pour la formation des ingénieurs etdes chercheurs de l'établissement et de la communauté des sciences de l'atmosphère.Dans la même collection, du même auteur :• Les bases de la météorologie dynamique (avec Philippe Veyre) n° 6.• Problèmes sur la couche limite atmosphérique : 50 énoncés avec éléments de solution n° 13.• Couche limite atmosphérique et turbulence - Les bases de la micrométéorologie dynamique n° 16.

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