Correction des Enigmes scientifiques du CDI pour la quinzaine des Maths

Correction Enigme n°12 ( La Syldavie ) La Syldavie est un petit pays imaginaire triangulaire découpé en quatre régions

(voir plan ci-contre). Sur chaque sommet sont disposés des postes frontières.

Sur les bords où se trouvent d’autres postes frontières, ceux-ci sont régulièrement

espacés. La principale région syldave (colorée sur la carte) a une aire de 2,4 km².

Saurez-vous déterminer la superficie totale de la Syldavie ?

Premier résultat utile :

Dans un triangle ABC, si I est le milieu du segment [BC], alors AIB et AIC

ont la même aire.

En effet, il suffit de nommer H le pied de la hauteur issue de A :

Aire (AIB) = 0,5 AH × BI et Aire (AIC) = 0,5 AH × CI

donc Aire (AIB) = Aire (AIC) car BI = CI.

Second résultat utile :

Dans un triangle ABC, si I est un point du segment [BC], alors AIB et AIC

ont des aires proportionnelles aux longueurs BI et CI.

Dans la démonstration précédente, il suffit d’écrire

Aire (AIB) / BI = 0,5 AH = Aire (AIC)/CI.

Par exemple, si I est au tiers du segment [BC], alors

Aire (AIB) = Aire(AIC)/2 car BI = IC/2.

Dans la carte de Syldavie, on coupe la région connue en deux. Et on

nomme, x, y, z, s et t les aires des cinq triangles.

D’après l’énoncé x + y = 2,4. (1)

Dans les triangles AIB et AIC de même aire, x + y + z = s + t. (2)

Dans les triangles EIB et EIC de même aire, x = y + s.

Dans les triangles CEB et CEA, t + z = 2( s + y + x) car EA = 2EB

Dans les triangles IEB et IEA, y + z = 2x car EA = 2EB.

Les 3 dernières relations ne serviront pas directement pour la suite.

L’aire de la Syldavie est : x + y + z + s + t = 2 × ( x + y ) + 2z = 4,8 + 2z d’après les relations (1) et (2).

Dans les triangles AEC et IEC, EK z y

KC t s .

Remarque : Si a c

b d , alors

a c a c

b d b d

. En effet,

( ) ( )0

( ) ( )

a a c a b d b a c ad bc

b b d b b d b b d

car

a c

b d .

Donc

2( )

( ) 23

( ) ( ) 3

Aire AIBz y z y Aire AIE

t s t s Aire AIC Aire AIC

.

On en déduit que t = 1,5z, puis que 2

( ) ( ) 2,53

Aire ABC Aire AEC z t z .

L’aire de la Syldavie est donc 2,5 1,5 3,75z z .

On a exprimé l’aire de la Syldavie sous deux formes.

Donc 4,8 2 3,75 4,8 /1,75 19,2 / 7z z z .

Finalement, l’aire de la Syldavie est 4,8 7 2 19,2 72

4,8 2 10,28 ²7 7 7

z km

.

Correction Enigme n°13 ( Le tour de la Terre + un mètre )

La planète Terre est souvent assimilée à une boule de 6400km de

rayon. On tend un câble tout autour de l’équateur de la Terre puis

on lui ajoute exactement un mètre. On tend le câble de façon à ce

qu'il ait à nouveau une forme parfaitement circulaire.

A quelle hauteur se trouve-t-il du sol ?

On calcule d’abord la longueur du câble en km : c’est le « périmètre de la Terre » et un mètre soit un millième de kilomètres.

2 6400 0,001 .

Ceci est le périmètre d’un cercle de rayon R tel que : 2 2 6400 0,001R .

Donc 2 6400 0,001 0,001

64002 2

R

km.

Donc le câble est au dessus de la Terre à une hauteur de 16 cm .

OUI, il suffit d’ajouter un mètre pour élever le câble de 16 cm…

Correction Enigme n°14 ( La tectonique des plaques )

Une association française de professeurs de SVT veut organiser un voyage pour ses membres sur le thème de

la géologie. Le président de cette association décide donc que le groupe doit poser le pied sur chaque plaque,

que le nombre d’étapes doit être le plus petit possible et, pour des raisons pratiques, que le groupe ne doit

passer que d’une plaque à une autre plaque adjacente.

Proposer un tel programme de voyage.

Le schéma ci-dessus est une version simplifiée du plan de la tectonique terrestre

Il suffit de suivre les consignes. Plusieurs trajets sont possibles. Par exemple :

Plaque asiatique / Plaque africaine / Plaque indienne / Plaque australienne / Plaque pacifique / Plaque antarctique /

Plaque sud américaine / Plaque nord américaine / retour sur la plaque asiatique.

Ce qui par exemple pourrait donner un voyage :

Paris / Marrakech / Bombay / Sydney / Hawaï / Les îles Kerguelen / Buenos Aires / New York / et retour à Paris