ELG3575

3. La transformée de Fourier, énergie, puissance et densités

spectrales

Transformée de Fourier d’un signal périodique

• Nous pouvons représenter un signal périodique par sa série de Fourier exponentielle complexe.

• Supposons que x(t) est périodique avec période T, alors :

• Sa transformée de Fourier est donnée par:

n

tT

nj

neXtx2

)(

n

onn

tT

nj

nn

tT

nj

n nffXeXeXfX 22

)( FF

Exemplex(t)

0.25 0.5 0.75 t

A

-A

… …

impaire

impaire

4

impaire

4

22

)(

22)(

nn

nn

ntj

nn

ntj

nfn

AjfX

en

Aje

nj

Atx

Exemple

|X(f)|

f-10 -6 -2 2 6 10

2A/

2A/32A/5

2A/

2A/32A/5

Réponse en fréquence d’un système linéaire et invariant en temps

• Un système linéaire et invariant en temps a une réponse impulsionnelle, h(t).

• Pour un signal d’entré x(t), la sortie du système y(t) est

• Le spectre de la sortie (son contenu fréquentiel) est Y(f) = F{y(t)} qui est donné par :

• où X(f) = F{x(t)} est le spectre de l’entrée et H(f) = F{h(t)} est la réponse en fréquence du système LTI.

• La réponse en fréquence du système est aussi donnée par :

)(*)()( thtxty

)()()( fHfXfY

)(

)()(

fX

fYfH

Exemple

+x(t)

-

R

C

i(t)

+y(t)

-

)(1

)( / tueRC

th RCt

H(f) = ?

Solution

• H(f) = F{h(t)} = 12

1

2

11)(

11

/

fRCjfjRCtue

RC RC

RCt

F

20log|H(f)|

f

0dB

1/(2RC)

-20dB/decade

Exemple 2

• Trouvez la sortie du circuit quand x(t) = Acos2fot.

– Solution• Le spectre de la sortie est: )()()( fHfXfY

)()()2(1/1

)()(

)()(

212tan

212tan2

)21(21

)21(21

211

21

21

11

oRCfj

oRCfj

o

oRCfjoRCfj

fRCjoo

ffeffeRCf

ffff

ffff

oo

oo

Y(f)

Réponse en amplitude et réponse en phase

tfjRCfjtfjRCfj

ooooo eeeeRCfty 2

212tan2

212tan2 11

)2(1/1)(

RCftfRCf

eeRCf

ooo

RCftfjRCftfjo

oooo

2tan2cos)2(1/1

)2(1/1

12

)2tan2(21)2tan2(

212 11

Le terme est la réponse en amplitude à la fréquence fo du système et est sa réponse en phase à la fréquence fo.

|)(|)2(1/1 2oo fHRCf

)(2tan 1oo fHRCf

Réponse en amplitude et réponse en phase

)}(Re{

)}(Im{tan)(

)}(Im{)}(Re{|)(|

1

22

fH

fHfH

fHfHfH

Exemple

• La sortie d’un système LTI est y(t) = (t) pour un entrée x(t) = (t). Trouvez la réponse impulsionnelle du système. Est-ce que le système est causal?– Solution

• Le spectre de la sortie est Y(f) = sinc2(f) et celui de l’entrée est X(f) = sinc(f).

• Alors, la réponse en fréquence du système est H(f) = sinc2(f)/sinc(f) = sinc(f).

• La réponse impulsionnelle est h(t) = F-1{H(f)} = (t). • Le système n’est pas causal parce que h(t) ≠ 0 pour toutes

valeurs de t < 0.

Energie et puissance

• La racine carrée moyenne (root mean square – RMS) d’un signal sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est :

• La puissance instantanée P(t) = v(t)i(t), où v(t) est la chute de tension et i(t) est le courant qui produit la chute de tension.

• Pour une chute de tension sur une résistance, P(t) = v2(t)/R où R est la valeur de la résistance. Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T, la puissance moyenne est :

Tt

t

RMS

o

o

dttxT

X 2|)(|1

R

Vdt

R

tv

TdttP

TtP RMS

Tt

t

Tt

t

o

o

o

o

22 )(1)(

1)(

Puissance normalisée

• La puissance moyenne normalisée (R = 1) est donc :

• Si nous prenons l’intervalle de -∞ ≤ t ≤ ∞, l’expression ci-dessus devient :

Tt

t

o

o

dttvT

P 2|)(|1

T

TT

dttvT

P 2|)(|2

1lim

Définition d’un signal de puissance

• Définition 3.1 : Le signal x(t) est un signal de puissance si 0 < P < ∞

Energie normalisée

• Puissance est l’énergie par unité de temps. • Donc, l’énergie moyenne normalisée est donnée par :

dttxE 2|)(|

Définition d’un signal d’énergie

• Définition 3.2 : Le signal x(t) est un signal d’énergie si son énergie moyenne normalisée E < ∞.

Exemple

• Pour chacun des signaux suivants, déterminez de quel type s’agit t’il. Energie, puissance où aucun des deux.

– x(t) = Acos(2fot)

– y(t) = (t)– z(t) = tu(t).

L’énergie d’un signal périodique

• Si x(t) est périodique avec période T, l’énergie sur une période est :

• L’énergie sur N périodes est EN = NEp.

• L’énergie moyenne normalisée est

• Donc un signal périodique ne peut jamais être un signal d’énergie.

T

p dttxE 2|)(|

pN

NEE lim

La puissance d’un signal périodique

• La puissance de x(t) sur une période est :

• Et sa puissance sur N périodes est :

• La puissance moyenne normalisée est• Donc la puissance moyenne normalisée d’un signal périodique

est la puissance sur une période.

T

p dttxT

P 2|)(|1

pp

N

i

iT

TiNT

Np PNPN

dttxTN

dttxNT

P

1|)(|

11|)(|

1

1 )1(

22

pNpN

PPP

lim

X*(f) si x(t) est réel

)(

)(

)(

)(

)()(

)(2

2

2*

*

2*

fX

dtetx

dtetx

dtetx

dtetxfX

tfj

ftj

ftj

ftj

Théorème de Parseval

• Supposons que x(t) est un signal d’énergie. • Son énergie moyenne normalisée est :

dttxE2

)(

dffXdffXfX

dfdtetxfX

dttxdfefX

dttxtx

tfj

ftj

2*

)(2*

*2

*

)()()(

)()(

)()(

)()(

dffXdttx22

)()(

Exemple

?)(sinc2

dtt

1

|)(|

|)(sinc|)(sinc

2/1

2/1

2

22

df

dff

dttdtt

La fonction d’autocorrélation d’un signal d’ énergie

• La fonction d’autocorrélation est une mesure de similarité entre une fonction et une version identique décalée en temps par t.

• Cette fonction est donné par :

• Nous remarquons que

• Aussi, on peut constater que

dttxtxx

)()()( *

Edttxdttxtxx

2* )()()()0(

)(*)()( * xxx

Densité spectrale d’énergie

• Supposons que Gx(f) = F{x()}

• Alors Gx(f) = |X(f)|2.

)()(

)(*)(

)()(

*

*

2

fXfX

xx

defG fjxx

F

0

2)()0(

dfefGE fjxx

dffXdffGx2

)()(

Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI

• Pour le système démontré ci-dessous, l’entrée du système, x(t), est un signal d’énergie.

• Le système est un système LTI avec réponse impulsionnelle h(t).

• La sortie y(t) = x(t)*h(t).

h(t)x(t) y(t)

Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI

• En supposant que la y(t) est aussi un signal d’énergie, nous trouvons sa fonction d’autocorrélation ci-dessous :

)(*)(*)()(*)(

)(*)()(ou )()(

)()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

*

*

*

**

**

*

x

x

x

hhzh

hzdzh

dduuuhh

duddtutxtxuhh

dudtdutxuhtxh

dtduutxuhdtxh

dttytyy )()()( *

Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI

• Alors Gy(f) est donnée par:

• Gy(f) = F{y()} = H(-f)H*(-f)|X(f)|2= H*(f)H(f)|X(f)|2 = |H(f)|2Gx(f)

dffGfHdffGE xyy )(|)(|)( 2

Densité spectrale d’énergie d’un signal décrit la manière que l’énergie est répartie dans le spectre du signal

f

|X(f)|2

f

|H(f)|2

|Y(f)|2-f c fc

-f c fc

1

|X(fc)|2Ey = 2|X(f)|2ff en Hz, alors|X(f)|2 en J/Hz

Exemple

• Trouvez la fonction d’autocorrélation, x(), pour x(t) = (t) et trouvez la densité spectrale d’énergie à partir de x(). Démontrez que sa densité spectrale d’énergie est égal à |X(f)|2. Trouvez l’énergie en x(t).

dttxtxx )()()( *

Exemple

-½ ½ -½- ½- t

x(t) x(t+ )

(a) < -1

-½ ½ ½- t

(b) -1 < < 0

-½-

1

1

-½- -½ ½ t

x(t) x(t+ )

(c) 0 < < 1

-½- ½--½ ½ t

(d) 1 <

1

1

½-

Exemple

• Pour < -1 et > 1, x(t)x*(t+) = 0, alors x() = 0. Pour -1 < < 0, x() est :

• Pour 0 < < 1, x() est :

12

1

2

1)(

2

1

2

1

dtx

12

1

2

1)(

2

1

2

1

dtx )(ailleurs ,0

10 ,101 ,1

)(

x

Exemple

• La densité spectrale d’énergie de x(t) est Gx(f) = F{x()}. • Si nous trouvons sa transformée de Fourier, nous trouvons que

Gx(f) = sinc2(f).

• Aussi, F{x(t)} = X(f) = sinc(f) et alors, |X(f)|2 = Gx(f) = sinc2(f).

La fonction d’autocorrélation d’un signal de puissance

• En suivant les mêmes méthodes que pour les signaux d’énergie, définissons la fonction d’autocorrélation pour les signaux de puissance comme :

• Nous voyons que Px = Rx(0).

T

TT

x dttxT

P 2|)(|2

1lim

T

TT

x dttxtxT

R )()(2

1lim)( *

Densité spectrale d’énergie

• La transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation F{Rx(t)} = Sx(f) est la densité spectrale de puissance du signal x(t).

dfefSR fjxx

2)()(

dffSRP xxx )()0(

2)()()( fHfSfS xy

Exemple

• Trouvez la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance du signal x(t) = Acos(2fot). Trouvez la puissance de x(t) à partir de sa densité spectrale de puissance.

T

T

ooT

x dttftfAT

R )(2cos)2cos(2

1lim)( 2

)2cos(2

)2(2sin)2(2sin16

)2cos(4

2lim

)2(2sin16

)2cos(4

lim

)2(2cos22

1)2cos(

22

1lim

)2(2cos)2cos(22

1lim

2

22

22

22

2

o

ooo

oT

T

T

oo

T

T

oT

o

T

T

oT

T

T

ooT

fA

TfTfTf

Af

T

TA

tfTf

Atf

T

A

dttfA

Tdtf

A

T

dttffA

T

Exemple

• La puissance Px est :

)(4

)(4

)}({)(22

ooxx ffA

ffA

RfS F

244)(

4)(

4

22222 AAAdfff

Aff

AP oox