Eléments de Mécanique des - hach.ulg.ac.be - Similitudes 09-10.pdf · 05/05/2010 6 11 • Modèle...

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1

Eléments de Mécanique des Fluides

.be

q

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

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• Nécessité de recourir à des modèles physiques

• Etablissement des règles de similitude

• Similitudes usuelles pour un fluide en mouvementF d

Objectifs de la séance

.be

– Froude

– Reynolds

• Similitudes pour des transports associés – Transport sédimentaire

• Exemples d’essais physiques


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• L’étude de la mécanique des fluides : pourquoi et comment ?

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2

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Les problèmes de mécanique des fluides consistent toujours en des phénomènes complexes et variés

• Ils peuvent être abordés, moyennant hypothèses simplificatrices :

Introduction.be

simplificatrices :

– par résolution analytique d’équations

– par résolution numérique d’équations

• Une autre voie consiste à recourir partiellement ou complètement à l’expérience– Pour l’établissement de lois comportementales


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ww.hach.ulg.ac. – Pour la vérification de tendances

– Pour l’établissement de solutions dans des cas non traitables fiablement

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Interaction numérique ‐ expérimental

.be

Prise d’eau de Rosport (Luxembourg)Etude numérique 2DH à large échelle et modèle réduit 2DV local


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Etude numérique 2DH à large échelle et modèle réduit 2DV local

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5Interaction numérique ‐ expérimental

Aménagement de Taoussa (Mali) – Etude numérique à large échelle (bief de 7 km de long et plus de 1 km de large sur le Niger) et modèle réduit limité à l’évacuateur de crue (250 m de large)

.be


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• Expériences réalisées sur des maquettes (modèles réduits)

• Nécessité de transposer les résultats entre l’échelle du modèle (maquette) et celle du prototype à l’aide de

Introduction

.be

modèle (maquette) et celle du prototype, à l’aide de conditions de similitudes

• Deux approches possibles :

– méthode directe (à partir des équations de mec. fl.)

– analyse dimensionnelle (théorème « PI »)


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y ( )

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• Conception de modèles réduits– Pour l’étude de phénomènes trop complexes à modéliser

numériquement

– Nécessite de connaître les rapports ou échelles de similitude

Deux types d’application de la similitude.be

Nécessite de connaître les rapports ou échelles de similitude

– Exemple : écoulement avec entraînement d’air


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• Plusieurs types de similitude mécanique :

– la similitude géométrique

Application à la conception de modèles réduits

Xm : X relatif au modèleXp : X relatif au prototype

.be

– la similitude cinématique (vitesses, accélérations, ...)

constantemL

p

Le

L

constantem m mV

p p p

U L Te

U L T

2

2constantem m m

ap p p

a L Te

a L T


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ww.hach.ulg.ac. – la similitude dynamique (forces : ex. forces d’inertie,...)

3 2

3 2constantem m m m m m m

Fp p p p p p p

F M a L L Te

F M a L L T

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0kc

c c k

uL

U t t x

• Transformation des équations de NS :

Méthode directe : équations adimensionnelles.be

2 2

c

i i kc c c ci

c k ic c c c c

u u u pL gL pF

U t t x xU U U L

• Apparition d’importants nombres sans dimension– nombre de Strouhal

– nombre de Froude


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– nombre d’Euler

– nombre de Reynolds

2

1

Re

1i kii i

k iFEu

u uu pFStr

t xru

x

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• Procédure– inventaire de toutes les grandeurs intervenant dans le

problème

l d d i di i

Analyse dimensionnelle

.be

– grouper les grandeurs en produits sans dimension

– exprimer les conditions de similitude en fonction de ces grandeurs sans dimension

• Difficulté : ne pas oublier de grandeurs dans l’inventaire de celles intervenant dans le


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ww.hach.ulg.ac. l inventaire de celles intervenant dans le

phénomène étudié

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• Modèle où les forces d’inertie et de pesanteur interviennent prioritairement :

La similitude de Froude

2

Forces d'inertieU

ML

U : les termes de vitesseL : les termes de longueurM : la masse

Forces de pesanteur Mg

.be

22

P Mi iP M

g g

uUmMF F lL

F F MG mg

Lg : l’accélération de la pesanteur

*2

1U

Conservation du nombre de Froude


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* * *1Si g V L

* *1

g LConservation du nombre de Froude

5** * *2 2Q U L L Et donc…

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• Application: Ecoulement sur un coursier

La similitude de Froude

Prototype : 16500 m³/s

.be

yp /


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13

• Application: Etude de la houle

La similitude de Froude.be


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• Modèle où les forces d’inertie et de viscosité interviennent prioritairement :

La similitude de Reynolds

2

Forces d'inertieU

ML

U : les termes de vitesse L : les termes de longueurM : la massen : la viscosité cinématique

2Forces de viscosité

UM

L

.be

n : la viscosité cinématique

* *

1LU

22

2 2

P Mi iP M

uUmMF F lL

U uF F M mL l

Conservation du nombre de Reynolds


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ww.hach.ulg.ac.

* **

11Si U

L

*1

Conservation du nombre de Reynolds

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8

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• Application : Etude de la trainée

La similitude de Reynolds.be


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• Une similitude complète impose à la fois une conservation des 3 forces en jeu :

La similitude parfaite

.be

Des forces de viscosité

Des forces d’inertie

Des forces de gravité

Similitude de Reynolds

Similitude de Froude **

1U

L

* *U L


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* 1L Le prototype et le modèle sont à la

même échelle. Impossible !

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17Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI

• Phénomène principal à modéliser : pertes internes dans le fluide

• Conséquence : utilisation d’une similitude de Reynolds

.be • Echelle du débit:

* * * * *

* *1

U L U L


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* ** * *

*

* * *2 * *

1U L

U L

Q U L L

18

Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI



.be

• Echelle du coefficient de perte de charge par la similitude de Reynolds:

* * * * *

* *1

U L U L

2P KQ P


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ww.hach.ulg.ac.

y 2P KQ 2

PK

Q

* *3 *2 *

* * * 2* * 4

* *2 * *2 *4

L U L

P F LK L

Q U L

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19Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI



.be

• Propriétés des fluides:

* * * * *

* *1

U L U L


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ww.hach.ulg.ac. Prototype : hydrogène Modèle : eau

100 bars = 7,84 kg/m³ = 1000 kg/m³

= 7.42 × 10−6 kg/m.s = 10‐3 kg/m.s

= 9.46 10‐7 m²/s = 10‐6 m²/s

20

• Prototype :– Diamètre conduite : 7 10-2 m

– Vitesse : 190 m/s

– Débit : 0.731 m³/s

Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI

.be

éb t : 0.73 /s

• Modèle :– Débit maximum des pompes : 0,93 m³/s

• Échelle – Viscosité * modèle

prototype

1.06


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ww.hach.ulg.ac.

– Longueur

p yp

**

*1.2

QL

Echelle géométrique retenue 1.2/1

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21

• Modèle :– Débit maximum des pompes : 0,93 m³/s

– Diamètre des conduites : 8.4 10-2 m

– Vitesse : 168 m/s

Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI.be

Vitesse : 168 m/s

7Re 1.4110

Lors des essais, de la cavitation est apparue dans le modèle car pression imposée insuffisante


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ww.hach.ulg.ac. diminution du débit et donc de la vitesse

perte de la similitude de Reynolds

22

Application: Vanne chambre à hydrogène VINCI

• Néanmoins, le régime d’écoulement atteint permet de conclure à une indépendance du coefficient de frottement par rapport au nombre de Reynolds

• Rugosité relative = 1 42 10-3

.be

• Rugosité relative = 1.42 10

cien

t de

frot

tem

ent


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Coe

ffic

Nombre de Reynolds

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23Application: Similitude de Froude en régime turbulent rugueux

Exemple : Prototype

.be

oeff

icie

nt d

e fr

otte

men

t


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ww.hach.ulg.ac. Co

Nombre de Reynolds

24

Application: Vanne chambre à hydrogène VINCI

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

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13

25Application : Barrage en Inde

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

26

Approach channelDesilting

Spillweir

Dam

Application : Barrage en Inde

.be


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ww.hach.ulg.ac.

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Poussée d’Archimède + traînée

Etude de la sédimentation.be

Résultante = Vitesse de sédimentation


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ww.hach.ulg.ac. Gravité

28


Etude de la sédimentation

.be


Vitesse de l’écoulement


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ww.hach.ulg.ac. Gravité

Mouvement résultant

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29

• Définition : vitesse ultime qu’atteint une particule solide dans de l’eau distillée au repos

• Dépend de

Vitesse de chute.be

Dépend de– Taille de la particule

– Forme de la particule

– Masse volumique déjaugée de la particule

– Viscosité de l’eau

– Concentration en sédimentssW

DF


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ww.hach.ulg.ac.

• Ex. loi de Stokes (particule isolée dans un fluide au repos !)

• Autres formulations en pratique

30

• Pour une particule isolée, ou en faible concentration

– Forces s’appliquant sur la particule :

Vitesse de chute

.be

• Poids déjaugé

• Force de trainée

sW

DF 3s 1sW ga d

22 s

D D 2 2

wF C a d


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ww.hach.ulg.ac.

Pour une sphère : 1 6

a

2 4a

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16

31

• Pour une particule isolée, ou en faible concentration

– Equilibre des forces s’appliquant sur la particule :

Vitesse de chute

DF

W F

.be

Vitesse de chute :

sW

s D

23 2 s

1 D 2 2s

W F

wga d C a d

2


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1s

2 D

2 saw gd

a C

Coefficient de traînée fonction du nombre de

Reynolds

32

• Formule pratique, valable pour des sédiments de taille entre 100 microns et 1 mm (van Rijn, 1993)

Vitesse de chute

3

2

0.01 1101 1

s gdw

.be

s 21 1w

d


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Coefficient de traînée fonction du nombre de Reynolds de particule

(Sp = 0.7 pour des sédiments naturels)

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33Etude de la sédimentation

1. Ecoulement à surface libre conservation du nombre de Froude

2*1

m

m m m

r r r

gL

u u LL

gL u L Echelle géométrique : L*

.be

2r r

ru


http://w

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34



2*1

m

m m m

r r r

gL

u u LL

gL u L Echelle géométrique : L*

.be


Vitesse de l’écoulement

2. Conservation du rapport vitesse d’écoulement / vitesse de sédimentation

2r r

ru


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Gravité


Mouvement résultant

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18

35




smw

.be

*1m sm m

sr sr r

r

u w uL

w w uu

On reprend l’expression de la vitesse de chute pour des sédiments de taille supérieure à 100 microns :

3 30.01 0.01101 1 1 1

1 1m eau m m eau mgd gd


http://w

ww.hach.ulg.ac.

On vérifiera a posteriori que le Reynolds de particule sur le modèle reste suffisamment grand.

*

2 2

3 3

2 2

1 1 1 1

0.01 0.0110 11

11 1 1

m eau m m eau m

msm

sr mr e

r

au r ear u r

r

d d

dgd gd

wL

w

d

36




smw

.be

*1m sm m

sr sr r

r

u w uL

w w uu

On reprend l’expression de la vitesse de chute pour des sédiments de taille supérieure à 100 microns :

1.1 m eaumgd

d


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ww.hach.ulg.ac.

On vérifiera a posteriori que le Reynolds de particule sur le modèle reste suffisamment grand.

*

1.1

m eaueausm

sr r eau r eau

eau

m

rr

d

dgd

wL

w

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37

Deux degrés de liberté (m et dm) pour vérifier une condition.

1 Une possibilité consisterait à simplement choisir l’échelle géométrique des particules égale à l’échelle géométrique du modèle (puis d’en déduire l’échelle de densité)

Etude de la sédimentation.be

MAIS cela conduit en pratique à des tailles de particules beaucoup trop faibles (effets de cohésion)

Exemple : projet de Kol Dam

Diamètre de grain réels = 250 microns


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Echelle du modèle = 1 / 18,5

Les particules sur le modèles devraient avoir une taille de 14 microns !!!

38

2 Deuxième possibilité : combiner la mise à l’échelle de la taille des particules avec un changement de matériau (masse volumique différente)

très porteur en pratique


E l j t d K l D

.be

Exemple : projet de Kol Dam

Diamètre de grain réels = 250 microns

Echelle du modèle = 1 / 18,5

Utilisation de sciure de bois calibrée et saturée :


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ww.hach.ulg.ac. Diamètre de grain = 650 microns

Densité = 1,05 (après saturation d’eau)

OK : loi de similitude vérifiée

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20

39Sédimentation dans la retenue

.be

Initial


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Final

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• Test de pluie sur un cabriolet– Contrôle des projections des roues

– Stabilité aux rafales de vent

– Visibilité

Exemples de modèles physique

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V s b té

– Désembuage

– …


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21

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• Ensablement du Mont Saint-Michel« On y simulait les mouvements de la marée, des fleuves et des différents phénomènes hydrauliques agitant la petite Baie, afin d'observer l’effet à long terme des aménagements projetés.

La tangue était figurée par de la sciure de bois, le sable par de la nacre artificielle de couleur rouge. C’était une première dans l’histoire des techniques de modélisation.

S l l f é l f é d é h ll d é é d l dél

Exemples d’études physiques .be

Sur cette maquette, les reliefs étaient amplifiés en raison des échelles et des nécessités de la modélisation. » Source : brochure hydro-sédimentaire http://www.projetmontsaintmichel.fr/agir/iso_album/dossier_hydro_p1a24_0812.pdf


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42

• Etude d’évacuateur de crues (barrage Folsom – Californie)

Exemples d’études physiques

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• Reproduction du Mississipi

Exemples de modèle physique.be


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• Burj Dubaï, gratte-ciel de 750 m de haut – Etude en soufflerie

– Maquette au 1/50

– Section de la soufflerie 9 m x 9 m

Exemples de modèles physiques

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• Viaduc de Millau– Essai en soufflerie en phase de construction

Exemples de modèles physique.be


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