1 Eléments de Mécanique des Fluides - hach.ulg.ac.be - eclts irrotationnels 09-10.pdf · Euler...

1

1

Eléments de Mécanique des Fluides

.be

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

• Introduction des principes de traînée et portance

• Utilité du fluide parfait– Fluide barotrope

Fonction de Helmholtz généralisation de Bernoulli

Objectifs de la séance

.be

– Fonction de Helmholtz – généralisation de Bernoulli

– Théorème de Kelvin

• Continuité, Vecteur potentiel et Fonction de courant

• Ecoulements irrotationnels– Principe, propriétés du système et simplifications

– Liaison à la fonction de courant

Défi iti d t ti l d it


http://w

ww.hach.ulg.ac. – Définition du potentiel de vitesse

– Méthodes de résolution

– Applications

• Condition d’imperméabilité

• Houle parfaite

2

3

Principes de traînée et portance

.be


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ww.hach.ulg.ac.

4

• Problème fondamental historique :

« un corps solide et mince est placé dans un écoulementhomogène et parallèle de vitesse dont la densité et lapression sont et de propriétés internes connues »

Ecoulement autour d’un corps

Uet p

.be

pression sont et de propriétés internes connues »

• Observation :

« l’écoulement autour de l’obstacle engendre unedistribution de vitesse, pression et frottement en fonction

et p


http://w

ww.hach.ulg.ac. de sa forme, de sa position relative et des paramètres de

l’écoulement »

3

5

• Les efforts totaux appliqués sur le corps engendrent dès lors:– Parallèlement à l’écoulement traînée – « Drag »

– Perpendiculairement à l’écoulement portance – « Lift »

Notions de traînée et portance.be

portance 0cos sinF p dA


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ww.hach.ulg.ac.

traînée 0

traînée de forme traînée de frottement

sin cosF p dA

Comment évaluer ces forces ?

6

Fluide parfait

.be


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ww.hach.ulg.ac.

4

7

• Introduction du concept de fluide idéal (non visqueux) parEuler (1707-1783) pour des études des fluides peu visqueux(air et eau)

Aspects Historiques.be

Impossibilité de représenter certains phénomènes (pertes decharge, traînée, séparation d’un écoulement, …)

• Introduction de l’influence de la viscosité, indépendamment etsur base de concepts différents, par Navier (1822) et Stokes


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ww.hach.ulg.ac.

• Prandtl, 1904, introduit le concept de « couche limite »

Les forces de viscosité ont de l’influence uniquement dans lacouche limite et le sillage pour autant qu’elles restent faiblesvis-à-vis des forces de pression

8

• Décomposition du problème en :

– Problème « extérieur » : viscosité négligée

– Problème « intérieur » : couche limite visqueuse

Aspects Historiques

.be

• Analysons d’abord le problème « extérieur »– Fluide parfait équations d’Euler

– Formulation alternative de Lamb

0Ut


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

2

1UU F p

U

t

rotationnel de vitesse

5

9

• Considérons les hypothèses suivantes :– les forces extérieures dérivent d’un potentiel G (champ conservateur)

– Le fluide est barotrope (la masse volumique ne dépend que de la pression)

Simplification de la formule de Lamb.be

• La conservation de quantité de mouvement peut s’écrire

1 dp

pp p

2

U d U


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ww.hach.ulg.ac.

2

U dG

t

UpU

10

• Pour un fluide barotrope :

Fluide barotrope

1 dp

pp p

.be

• En effet, pour une fonction H(p) donnée :

dHH p p

dp


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ww.hach.ulg.ac.

• Ici, si on pose :

alors

dp

H pp

1dH

dp

6

11Fonction d’Helmholtz

2

2

UdpG

H =Fonction de Helmholtz:

0U

Fonction scalaire!

.be

• En stationnaire, comme H est une fonction scalaire, le produit vectoriel est normal aux surfaces de H constante

0Ut

UU

t

H


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ww.hach.ulg.ac.

p

Cependant est normal à la fois à et à U

U

12

Surface à H constante contient les lignes de courant et les lignes tourbillonnaires

Propriétés de la fonction d’Helmholtz

.be

U H

U

Ligne de courant contenue

Ligne tourbillonnaire contenue dans H constante


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ww.hach.ulg.ac.

Surface H constante

Ligne de courant contenue dansH constante

7

13

• Corollaire, le long d’une ligne de courant, H est constante

Propriétés de la fonction d’Helmholtz

1

.be

2 2

2

1 2H H

U


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ww.hach.ulg.ac.

• En écoulement incompressible

2 2

2 2

U Udp pG G

H =

On retrouve l’équation de Bernoulli, le long d’une ligne de courant…

14

• La « circulation » du champ de vitesse est définie comme

Rappel : définition de la circulation du champ de vitesse

2 -1circulation (grandeur scalaire) [m s ]C

U dr

.be

CS

dr

U


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ww.hach.ulg.ac.

• En appliquant le théorème de Stokes

UC S

U dr n dS

8

15

« Pour un fluide parfait, barotrope et soumis à un champ de force conservateur, la circulation du champ de vitesse

autour d’une courbe arbitraire et fermée, qui se meut avec le fluide, demeure constante »

Théorème de Kelvin.be

f ,

0D

Dt


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ww.hach.ulg.ac.

16

• Démarche :– Suivre une courbe quelconque dans son mouvement

– Appliquer les hypothèses :

• Fluide parfait

Démonstration du théorème de Kelvin

.be

luide pa fait

• Fluide barotrope

• Champ de force conservateur

– Les équations d’Euler sont valables et la fonction d’Helmholtz est définie

– Exprimer la circulation en fonction de la fonction d’Helmholtz

– Cette fonction est univoque, son intégrale sur un contour fermé d ll


http://w

ww.hach.ulg.ac. est donc nulle

9

17

• Si nous suivons la courbe dans son mouvement


C C C

D D D DU DU d r U d r dr U dr

Dt Dt Dt Dt Dt

.be

• représente la distance entre des particules de fluide

peut évoluer au fil du temps

peut s’exprimer en terme de variation de vitesse

d r

dr

Ddr

dU


http://w

ww.hach.ulg.ac. peut s exprimer en terme de variation de vitesse dr

DtdU

18

• Selon les hypothèses :– Fluide idéal non visqueux les équations d’Euler sont valables

– Fluide barotrope la masse volumique ne dépend que de la pression

– Champ de force conservateur les forces extérieures dérivent d’un potentiel


.be

U DU dp

U U Gt Dt p


http://w

ww.hach.ulg.ac.

C C

dpG

D DU Ddr U d r dr U dU

Dt pDt Dt

10

19Démonstration du théorème de Kelvin

C

Ddr U dUG

t

dp

D p

G

.be

Gdx

xG

d r dy dGy

G

G

dzz


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

2

dp dpdr d

UU d

p

U d

p

20

d


2

2C

dpdG d

UDd

Dt p

.be

Etant donné que :– C est une courbe fermée

– l’expression dans l’intégrale représente un potentiel est univoque

2

dpUD


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0

2C

dpd G

p

D

Dt

-H

11

21

• Pour un écoulement rotationnel de fluide parfait :

Application du théorème de Kelvin

S

n dS

.be

« Le débit tourbillonnaire au travers de la surface S, qui se meut avec le fluide(parfait, barotrope et soumis à un champ de

force conservateur), demeure constant »

0S

D Dn dS

Dt Dt


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ww.hach.ulg.ac.

f ),

22

• Considérant les mêmes hypothèses que le théorème de Kelvin:

Théorème de circulation de Helmholtz

.be

– « Un tube tourbillonnaire se meut avec l’écoulement en gardant son intensité »

– « Il ne peut prendre naissance ou disparaître qu’aux surfaces-frontières du fluide »


http://w

ww.hach.ulg.ac.

12

23

Continuité, vecteur potentiel et

.be

, pfonction de courant


http://w

ww.hach.ulg.ac.

24

• Considérant la seule équation de continuité

Définition du vecteur potentiel

0D

U Ut Dt

.be

• Et plus particulièrement pour les écoulements

2

2

1

t Dt

UU F p

t

U


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Et plus particulièrement pour les écoulements

incompressibles et compressibles stationnaires…

ou 0U

0U

13

25Définition du vecteur potentiel

• Il est toujours possible d’exprimer :

L’équation de continuité est vérifiée immédiatement car la divergence

0U A

U A

.be

L équation de continuité est vérifiée immédiatement car la divergence d’un vecteur rotationnel est nulle

est le vecteur potentiel

• n’est cependant pas défini de manière univoque, en effet

fonction scalaire

U A B A B A

A A


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ww.hach.ulg.ac.

• On peut choisir une condition additionnelle, par exemple,

que soit solénoïdal (ou à divergence nulle)

fonction scalaire

0A

A

26

• Pour un écoulement plan dans xy :

Choisissons

Fonction de courant d’un écoulement plan

0

0A

0

u

U v

, écoulement compressible

écoulement incompressible

x y

x y t

.be

est solénoïdal

0 0 , 0A x yx y z

i j k y

, , écoulement incompressiblex y t

A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0

00 0 ,

où , et sont les composantes unitaires selon les axes

U Ax y z x

x y

i j k

14

27 • Pour un écoulement plan dans xy :


0

u

U v

0u

.be

est appelée fonction de courant

• Considérons 2 points du plan xy reliés par une courbe arbitraire C

0

0

uy

vx


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Considérons 2 points du plan xy reliés par une courbe arbitraire C

O

PC

28

Le « débit massique » à travers C :


O

PC

C

M U n ds

, ,0dy dx

nds ds

.be

Par définition, le long d’une ligne de courant :

0 0 0

, ,0 , ,0C C

P O

C C

dy dxM u v ds udy vdx

ds ds

M dy dx

x dy


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ww.hach.ulg.ac.

A travers une ligne de courant

est une constante le long de cette ligne de courant, ce qui explique l’appellation de « fonction de courant »

0M

15

29

• Pour autant que le vecteur potentiel soit défini, l’équationde continuité est identiquement vérifiée

• Pour que le système d’équations reste fermé le vecteur

Remarque sur le vecteur potentiel.be

• Pour que le système d’équations reste fermé, le vecteurpotentiel ne peut donc contenir que deux inconnues

• En 2D, avec le choix d’un vecteur potentiel solénoïdal, on retrouve bien comme seule inconnue la fonction de courant


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ww.hach.ulg.ac.

• En 3D, s’exprime en fonction de

1 2, , , , ,x y z x y z

A

30

• Une ligne de courant dans l’espace est définie par l’intersection de deux surfaces de courant S1 et S2 :

Fonctions de courant en 3D

1 1 1, , constanteS x y z

.be

• Si et désignent les normales à S1 et S2 :

2 2 2, , constanteS x y z

1n

2n

1 1

2 2

suit la direction

suit la direction

n

n


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ww.hach.ulg.ac.

• Et est normal à et :

Le vecteur vitesse est orienté suivant le produit vectoriel

:

1 2 0U U U

1n

2n

0 1 2 0U A 1 2

16

31

• Cette équation vérifie la continuité :

Fonctions de courant en 3D

0 1 2 0U A

.be

• En 3D, la définition du vecteur potentiel amène à des expressions très complexes

0 1 2 0 2 1 0 1 2

0 0

0U


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ww.hach.ulg.ac. expressions très complexes.

32

Ecoulement irrotationnel

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

17

33

• Pour un écoulement irrotationnel, le rotationnel de vitesse est nul

Irrotationnalité

0u v

( 2D)

.be

• C’est une caractéristique de l’écoulement et non du fluide

• Comment se comporte un fluide newtonien incompressible

0y x

(en 2D)


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Comment se comporte un fluide newtonien incompressible

visqueux développant un écoulement irrotationnel ??

34

• Mobilisation des contraintes visqueuses d’un fluide newtonien

Mobilisation des contraintes visqueuses

Somme des termes visqueux de la ie équation de quantité de mouvement :

.be

0j jii

j j j i i j

u uuu

x x x x x x

Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien

si écoulement irrotationnelji

j i

uu

x x


http://w

ww.hach.ulg.ac. Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien

incompressible ne mobilise pas les contraintes visqueuses !!!

18

35

• Pour un écoulement irrotationnel, il existe une fonction dite « potentiel de vitesse » telle que

Potentiel de vitesse

.be

;u vx y

2 2

0u v

y x y x x y y x x y


http://w

ww.hach.ulg.ac.

La vitesse dérive ainsi d’un potentiel !

36

• La continuité s’exprime :

Expression des équations d’Euler en termes du potentiel de vitesse

0D

t Dt

.be

• Si les forces dérivent d’un potentiel G, la conservation de quantité de mouvement devient :

2 2

2 2

1UUU F G p

t t

U


http://w

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Le membre de gauche représente le gradient d’une fonction scalaire ne peut dépendre que de p (fluide barotrope par définition)

19

37

• Fluide barotrope– fluide parfait compressible en évolution isotherme

– fluide parfait compressible en évolution adiabatique

– fluide incompressible de densité homogène

Fluide barotrope ‐ écoulement irrotationnel.be

– …

l’écoulement peut être irrotationnel

• Fluide non barotrope– fluide compressible général

– fluide incompressible de densité non homogène


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p g

– …

l’écoulement ne peut pas être irrotationnel

Pour des forces dérivant d’un potentiel GF

38

• Pour un fluide barotrope,

Fluide barotrope ‐ écoulement irrotationnel

2

0dp U

G

.be

20

tG

H

C t

H


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ww.hach.ulg.ac.

Où C(t) est une constante d’intégration, dépendant toujours du temps puisque l’intégration n’est que spatiale

t

20

39

• Rappel : en écoulement stationnaire, H est constante le long d’une ligne de courant

Propriétés de la fonction d’Helmholtz en irrotationnel.be

• Si l’écoulement est de plus irrotationnel :

H est constante sur l’ensemble du domaine

C tH


http://w

ww.hach.ulg.ac. C tH

40

• Système de base : Euler

i d’ i l d i

Résumé des équations d’un écoulement irrotationnel

2

2

0

1

Ut

UU F p

U

t

.be

• existence d’un potentiel de vitesse

• Système général de l’écoulement irrotationnel :

• Hypothèse : les forces dérivent d’un potentiel

0 ;u vx y

2

2

0

1

D

Dt

F pU

t

F G


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Hypothèse : les forces dérivent d un potentiel

Condition nécessaire d’existence : fluide barotrope

F G

0D

Dt

C tt

H

21

41

Ecoulement irrotationnel

.be

Equations de Laplace


http://w

ww.hach.ulg.ac.

42

• Utilisons la fonction de courant :

Equation de Laplace en terme de « fonction de courant »

en 2D : ;u vy x

0,0,A

.be

• Cette fonction de courant vérifie par définition la continuité

• Objectif : imposer un écoulement irrotationnel

0 0U A

0U A

0U A A A A

pour un fluide incompressible :

0A et


http://w

ww.hach.ulg.ac.

en 2D : 0y y x x

0

Equation de Laplace

p p

22

43

• Le système général d’un écoulement irrotationnel s’exprime :

Equation de Laplace en terme de « potentiel de vitesse »

0D

Dt

C t

H

.be

• Objectif : imposer la continuité

pour un fluide incompressible0

0D

Dt

C tt

H


http://w

ww.hach.ulg.ac.

en 2D : 0x x y y

Equation de Laplace

44

• Les deux équations

pour un fluide incompressible en stationnaire ou non

Deux équations similaires …

0

.be

pour un fluide incompressible en stationnaire ou non

sont écrites formellement de manière identique mais représentent physiquement des problèmes totalement différents.

i i ll

0


http://w

ww.hach.ulg.ac. isopotentielle

ligne de courant

-

constante

constante

23

45

• Puisque la vitesse est tangentielle à une ligne de courant

Lien entre fonction potentiel et fonction de courant

0U

.be

• Les isopotentielles sont perpendiculaires aux lignes de courant

0


http://w

ww.hach.ulg.ac.

46

Notion de « circulation »

.be

en écoulement irrotationnel


http://w

ww.hach.ulg.ac.

24

47

• Pour un écoulement irrotationnel :

Circulation en écoulement irrotationnel

0U

.be

0C S

U d r n U dS

La « circulation » autour d’une courbe fermée dans un écoulement irrotationnel est nulle, si elle ne contient


http://w

ww.hach.ulg.ac.

,pas de points singuliers

48 Théorème de circulation de Kelvin

Théorème de circulation de Helmholtz (1858)

0D

Dt

.be

« Si l’écoulement est irrotationnel au départ, il restera irrotationnel »

si le fluide est initialement au repos, tout écoulement qui d i i i l


http://w

ww.hach.ulg.ac.

! Des couches tourbillonnaires peuvent prendre naissance aux surfaces-frontières du fluide !

pourra se produire sera irrotationnel

25

49

Applications des écoulements irrotationnels

.be

pp


http://w

ww.hach.ulg.ac.

50

• Tout fluide parfait barotrope, soumis à un champ de forces conservateur, initialement au repos doit engendrer un écoulement irrotationnel

Domaine d’application des écoulements irrotationnels

.be

Valable pour un fluide incompressible de densité constante

Valable pour un fluide compressible si:Écoulement stationnaire et faible nombre de Mach (adimensionnel)

ou

Ecoulement instationnaire et temps caractéristique du mouvement grand vis à vis du déplacement des ondes acoustiques

fluide

son

UMa

U


http://w

ww.hach.ulg.ac. grand vis-à-vis du déplacement des ondes acoustiques

Fluide incompressible = vitesse infinie des ondes

son

cL

U

26

51Equations régissant l’écoulement irrotationnel incompressible

Continuité 0

U

.be

2Quantité de mouvement

2

C tt

pG

H

H =


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Le potentiel est entièrement déterminé par la cinématique de l’écoulement

Si l’écoulement est possible du point de vue cinématique, il l’est aussi du point de vue dynamique

52

• L’équation de Laplace ne contient pas de dérivée temporelle

Equations de Laplace « Stationnaire » ou « Instationnaire » ?

.be

l’écoulement instationnaire doit vérifier les conditions aux limites instantanées

chaque image de l’écoulement instantané est une image possible d’un écoulement stationnaire et vice-versa


http://w

ww.hach.ulg.ac.

27

53

• L’équation de Laplace est linéaire et donc le principe de superposition est d’application

Rappel mathématique : Principe de superposition.be

2

2

2 2

0

0

0

f f

g g

m f g

m f g


http://w

ww.hach.ulg.ac.

54

• Une solution de l’équation de Laplace est une fonction

Harmonique (2x continûment dérivable)

Rappel mathématique : Fonction harmonique

.be

• Une fonction harmonique ne possède pas de point stationnaire où est minimale ou maximale à l’intérieur du domaine

Les valeurs maximales et minimales ne peuvent se ’ b f iè


http://w

ww.hach.ulg.ac. trouver qu’aux bornes frontières

28

55

• Par Gauss, en considérant un volume de contrôle V :

Rappel mathématique : Fonction harmonique

0V V S S

dV dV n dS dSn

.be

Si V contenait un maximum de la solution, alors < max sur la surface S.

00 0dSn n


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Sn n

56

• Courbe réductible :

« par une déformation continue, la courbe fermée peut êtrerétrécie jusqu’à un point, sans quitter le domaine »

Rappel mathématique : Courbes réductibles ou irréductibles

.be

• Un domaine où toutes les courbes fermées sont réductibles estune région simplement connexe

• Si la région est percée, il existe


http://w

ww.hach.ulg.ac.

g p ,des courbes irréductibles

• Une telle région est dite doublement connexe

29

57Rappel mathématique : Courbes réductibles ou irréductibles

.be

• La circulation n’est pas nécessairement nulle autour de courbesirréductibles dans un champ de vitesse irrotationnel mais elleest constante autour de courbes du même type


http://w

ww.hach.ulg.ac.

58

Théorème de Dirichlet :

Une solution de l’équation de Laplace

Rappel mathématique : Conditions aux limites et unicité des solutions

.be

• est univoque à une constante près, dans une région Dsimplement connexe, pourvu que ou soit donné sur la frontière C de la région D.

• Dans une région multi-connexe pour laquelle est donné sur la frontière il faut aussi spécifier la circulation

n

n


http://w

ww.hach.ulg.ac. donné sur la frontière, il faut aussi spécifier la circulation

autour de toutes les courbes irréductibles.

30

59

• Théorème de Gauss

Rappel mathématique : Théorème de Green

S V

n q dS q dV

.be

• Si q f g

2q f g f g f g

S S S

gn f g dS f n g dS f dS

n

2

S V

gf dS f g f g dV

n


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Si

- =

2

S V

fg dS g f g f dV

n

q g f

2 2

S V

g ff g dS f g g f dV

n n

Théorème de Green

60

• Problème de Dirichlet ou premier problème aux limites :

Rappel mathématique : Conditions aux limites

C

n

C solutions de 0

.be

• Problème de von Neumann ou deuxième problème aux limites:

0

D

1 2

1 2

1 2 1 2

, solutions de 0

Vu les CL, 0

Or est harmonique 0

D

C

D

C


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0

D

n

C

n n

C

3 1 2

233 3 3 3 3

00

2

3 1 20 constante

S V

V

dS dVn

dV

Par Green

31

61

• Problème de Cauchy ou problème mixte aux limites :

Rappel mathématique : Conditions aux limites

0

C’’

n"C

.be

0

D

n

'C

n n

C’ n


http://w

ww.hach.ulg.ac.

62

Pour résoudre un problème aux limites :– Méthodes analytiques

• Méthodes de superposition de singularités

• Méthodes de séparation des variables

Rappel mathématique : Méthodes d’analyse

.be

• Méthodes des images symétrie

• 2D : Méthode avec variable complexe

,

0

x y

f x g y h z

fgh f fh g fg h

f

, z

x

g

g

, ,y z

x

h

h

, y

,

1 2 3

0

Valable seulement si constante= , = , =

z

f g h

f g h

Les CL doivent être séparables

1 2+ + =0h

h


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p

• et transformation conforme (une courbe dans un plan une autre courbe dans un autre plan)

– Méthodes numériques « TP Laplace »

; , , ,z x iy x y z x y z

; ; z x iy i z

32

63.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

64

Condition d’imperméabilité

.be

p


http://w

ww.hach.ulg.ac.

33

65Corps imperméable

• En toute généralité, à la paroi d’un corps imperméable, une particule fluide adhère à la paroi :

U W

.be

• Si le corps est fixe :

fluide à la paroi surface du corps

fluide à la paroi0U

U

n


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0U n U t t

66

Corps imperméable

• Pour un fluide parfait, il n’y a pas de viscosité et donc pas de frottement entre le fluide et le corps:

tangentielle 0U

.be

• Pour un corps imperméable dans un fluide parfait, la condition sur la vitesse normale est donc suffisante :

tangentielle 0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

U n W n

34

67Corps imperméable

• Soit décrivant une surface imperméable

• Un observateur se déplaçant en restant sur cette surface doit vérifier à tout moment cette équation :

, 0F r t

( )r t

.be

surface doit vérifier à tout moment cette équation :

• est dirigé selon la normale à la surface du corps :

, 0d F

F r t t W Fdt t

F


http://w

ww.hach.ulg.ac. est dirigé selon la normale à la surface du corps :F

0F F DF

W F U Ft t Dt

68

• Un profil bidimensionnel fixe dans un repère cartésien défini par :

Corps imperméable en 2D

y h x

.be

, , 0F x y t y h x

'

1

Fh x

xF

y

0 ' 1 ' 0DF

U h x uh x vDt


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• La surface d’un corps immobile est donc une ligne de courant

0F

t

'v

h xu Ligne de courant

35

69

• Si les rayons de courbure de la surface de séparation sont grands :

imposition de la continuité de la composante normale

Surface de séparation entre deux fluides immiscibles.be

imposition de la continuité de la composante normale et de la pression des deux côtés de la surface

• Si les rayons de courbure sont faibles :

1 2

1 1sp p

R R


http://w

ww.hach.ulg.ac. 1 2

1

2

1

1 2

pression côté concave

pression côté convexe

est la tension superficielle Nm

et rayons de courbure principaux

s

R R

p

p

R R

70

Ecoulements incompressibles irrotationnels à

.be

surface libre


http://w

ww.hach.ulg.ac.

36

71

• Si un corps se meut à la surface libre ou proche de celle-ci, un système de vagues va se créer et se propager

• En toute généralité, le mouvement est instationnaire, il faut donc résoudre :

Ecoulements incompressibles irrotationnels à surface libre.be

donc résoudre :

Continuité 0

U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2Quantité de mouvement

2

C tt

pG

H

H =

72

• Si le système est soumis à la gravité seule :

Ecoulements incompressibles irrotationnels à surface libre

2

2

pgz C t

t

.be

• Les conditions aux limites à respecter :

– à la surface du corps :

2t

0n


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– à la surface libre : CL non linéaire

– au fond du liquide : pour une profondeur finie

refp p

0n

37

73

• Hypothèses :– Amplitude des vagues faible vis-à-vis de la longueur d’onde

• Démarche :– Utiliser la condition cinématique et la condition dynamique à la surface

lib bli l i l i l

Houle irrotationnelle en 2D.be

libre moyenne pour y établir une relation générale sur ce potentiel

– Dans le cas de vagues sinusoïdales sur un océan de profondeur infinie, établir analytiquement les trajectoires :

• Résoudre le laplacien du potentiel par séparation des variables

2

2

0

0z

gz t


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p p p p

• Utiliser la condition précédente pour lier célérité des ondes et longueur d’onde

• Solution analytique du potentiel expression des vitesses trajectoires

• Résultats• Trajectoires = cercles dont le rayon dépend de la profondeur

74

Houle irrotationnelle en 2D

: amplitude des vagues

: longueur d'onde

L

L

.be

• En 2D :

– à la surface libre :

– condition cinématique :

, , 0z h x t F z h x t

0DF F h h

U FDt t t x x z


http://w

ww.hach.ulg.ac. Dt t t x x z

1h

x

L

0DF h

Dt t z

38

75Houle irrotationnelle en 2D


: longueur d'onde

L

L

.be

• Si l’amplitude des vagues est petite vis-à-vis de la longueur d’onde, il est possible de linéariser la relation

• Condition dynamique à la surface libre moyenne (z=0):

2

2

pgz C t

t

2

t

L


http://w

ww.hach.ulg.ac. Condition dynamique à la surface libre moyenne (z 0):

0ght

0 refzp p

76

• Combinant:

Houle irrotationnelle en 2D

en z=0

0

0

h

h

t

g

z

.be

0ht

g

2

2

0

0z

gz t


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Condition aux limites générale en z = 0

0z

39

77

• Considérons les vagues sinusoïdales :– De vitesse de propagation c

– N’ayant pas de modification d’amplitude le long d’une trajectoire :x-ct=Cste

Vague sur un océan de profondeur infinie.be • Utilisons une séparation des variables :

2


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Fonction f(z) ??

– Relation entre c et L ??

2, , sinx z t f z x ct

L

78

• Avec pour solution :

Vague sur un océan de profondeur infinie

22

0 ''f fL

.be

2 2z z

L Lf Ae Be

lim 0 0z

f B

2 2

sin , 0z

LAe x ct zL


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• La CL de surface libre exprime :

22 2

2

g c gLc

L L

2

2

0

0z

gz t

40

79

• h à la surface libre permet de trouver A :


0

1 2 2cos

2z

gL Ah x ct

g t L g L

0

0en z=0

h

t z

ght

.be

avec2

gLA

2 2

sinz

Lce x ctL


: longueur d'onde

L

L


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

2

2 20 cos

2 2sin

z

Lx

z

Lz

z v c e x ctx L L

v c e x ctz L L

80

• Les trajectoires:


0 0 0 0, , , , ,x z

dx dzv x z t v x z t

dt dt

.be

0

0

0

2

0 1

2

0 1

42 2 2

1 1

2sin

2cos

z

L

z

L

z

L

x e x ct xL

z e x ct zL

x x z z e


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Les trajectoires sont des cercles de rayon décroissant avec la profondeur z0

41

81Vague sur profondeur finie

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

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