El Analisis de Las Practicas Docentes en La Teoria Antropologica de Los Didactico

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico1Yves Chevallard 2Recherches en Didactique des Mathmatiques, Vol 19, n 2, pp. 221-266, 1.999.

Resumen Este artculo retoma una serie de conferencias impartidas en la Universidad de verano para profesores de matemticas que tuvo lugar en La Rochelle (Francia) en julio de 1.998. Propone una presentacin lineal de los conceptos clave del enfoque antropolgico de la enseanza de las matemticas. Su principal objetivo es permitir, a todos los que practican la didctica, que profundicen su conocimiento de las modalidades bsicas en este enfoque.

1. LA NOCIN DE ORGANIZACIN PRAXEOLGICA 1.1. Por qu la antropologa? La etiqueta de enfoque o teora antropolgica parece proclamar una exclusividad -los dems enfoques, existentes o posibles, no mereceran este calificativo...- de la que hay que decir enseguida que no es ms que un efecto del lenguaje. No hay ninguna razn para que la organizacin del saber que aparecer en los desarrollos que siguen reciba el monopolio de la referencia legtima al campo de la antropologa, incluso si parece ser, hoy en da, la nica que se designa as. En lo esencial, hablar pues aqu de la teora antropolgica de lo didctico -la TADcomo, en cualquier pueblo, se os presentar el Luis, el Carlos, el Francisco, etc., sin que la exclusividad del nombre est garantizada! Adems, el hecho de llamarse Luis, Carlos, o Francisco no dice gran cosa de la persona que lleva tal nombre. Es ah quiz donde se termina la comparacin anterior. Pues, por supuesto, hay razones para llamar antropolgica a la teorizacin cuyos elementos sern explicados a continuacin. De hecho, el empleo de este adjetivo quiere decir algo, y algo de lo que ms vale estar prevenidos para evitar ir de incomprensiones a malentendidos. El punto crucial al respecto, del que se descubrirn poco a poco las implicaciones, es que la TAD sita la actividad matemtica, y en consecuencia la actividad del estudio en matemticas, en el conjunto de actividades humanas y de instituciones sociales. Ahora bien,1

Traduccin de Ricardo Barroso Campos. Departamento de Didctica de las Matemticas. Universidad de Sevilla. Con la colaboracin de Teresa Fernndez Garca, Catedrtica de Francs, IES Martinz Montaes, Sevilla.2

IUFM dAix-Marseille, 63 La Canebire, 13001 Marseille.


esta postura epistemolgica conduce a cualquiera que se someta a ella a atravesar en todos los sentidos -e incluso a ignorar- muchas fronteras institucionales en cuyo interior debe sin embargo mantenerse, porque, normalmente, se respeta el reparto del mundo social que las instituciones establecidas, y la cultura corriente que difunde los mensajes hasta la saciedad, dan por sentado, el reparto que nos presentan como casi natural, y a fin de cuentas obligado. Segn esta vulgata de lo culturalmente correcto, hablar vlidamente de didctica de las matemticas, por ejemplo, supone hablar de algunos objetos distintivos -las matemticas, primero, y despus, solidariamente, los alumnos, los profesores, los manuales, etc.-, excluyendo casi todos los dems objetos, y en particular de todos aquellos que creemos demasiado rpidamente como no pertinentes cientficamente porque aparecen culturalmente alejados de los objetos considerados como emblemticos de las cuestiones de didctica de las matemticas. El postulado de base de la TAD es contrario a esta visin particularista del mundo social: se admite en efecto que toda actividad humana regularmente realizada puede describirse con un modelo nico, que se resume aqu con la palabra de praxeologa. Antes incluso de examinar lo que se denomina as, se debe sealar que se parte pues de una hiptesis que no especifica de ninguna manera la actividad matemtica entre las actividades humanas: las matemticas debern ver reconocidas su especificidad de otra manera. 1.2. La nocin de la praxeologa Tipos de tareas. En la raz de la nocin de praxeologa, se encuentran las nociones solidarias de tarea t, y de tipo de tareas, T. Cuando una tarea t forma parte de un tipo de tareas T, se escribir t T. En la mayora de casos, una tarea (y el tipo de tareas asociado) se expresa por un verbo: limpiar la habitacin, desarrollar la expresin literal dada, dividir un entero entre otro, saludar a un vecino, leer un manual de empleo, subir una escalera, integrar la funcin x x ln x entre x = 1 y x = 2, etc. Tres puntos deben ser subrayados inmediatamente. En primer lugar, la nocin de tarea empleada aqu es evidentemente ms amplia que la del lenguaje corriente: rascarse la mejilla, ir del sof al armario, e incluso sonrer a alguien, son tambin tareas. Se trata de una puesta en prctica particularmente simple del principio antropolgico evocado anteriormente. A continuacin, la nocin de tarea o, mejor, de tipo de tareas, supone un objeto relativamente preciso. Subir una escalera es un tipo de tarea, pero subir, simplemente, no lo es. De la misma manera, calcular el valor de una funcin en un punto es un tipo de tareas, pero calcular, simplemente, es lo que se llamar un gnero de tareas, que pide un determinativo.Concretamente, un gnero de tareas no existe ms que bajo la forma de diferentes tipos de tareas, cuyo contenido est estrechamente especificado. Calcular... es, se ha dicho, un gnero de tareas; pero calcular el valor (exacto) de una expresin numrica conteniendo un radical es un tipo de tareas, lo mismo que calcular el valor de una expresin conteniendo la letra x cuando se da a x un valor determinado. Durante los aos de colegio, el gnero calcular... se enriquece de nuevos tipos tareas; ocurrir lo mismo en el instituto, donde el alumno va en primer lugar a aprender a calcular con vectores, despus, ms tarde, a calcular una integral o una primitiva, etc. Y se repetir lo mismo, por supuesto, con los gneros Demostrar ...,

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico Construir ..., o tambin Expresar ... en funcin de ...

Por ltimo, tareas, tipos de tareas, gneros de tareas no son datos de la naturaleza, son artefactos, obras, construcciones institucionales, cuya reconstruccin en tal institucin, y por ejemplo en tal clase, es un problema completo, que es el objeto mismo de la didctica. Tcnicas A pesar de lo indicado previamente, no se considerar en primer lugar, en esta primera parte, ms que la esttica de las praxeologas, ignorando pues, provisionalmente, la cuestin de su dinmica, y en particular de su gnesis. Sea pues T un tipo de tareas dado. Una praxeologa relativa a T requiere (en principio) una manera de realizar las tareas t T: a una determinada manera de hacer, , se le da aqu el nombre de tcnica (del griego tekhn, saber hacer). Una praxeologa relativa al tipo de tareas T contiene pues, en principio, una tcnica relativa a T. Contiene as un bloque designado por [T/], que se denomina bloque prcticotcnico y que se identificar genricamente con lo que comnmente se denomina un saberhacer: un determinado tipo de tareas, T y una determinada manera, , de realizar las tareas de este tipo. Una vez ms deben hacerse aqu tres precisiones. En primer lugar, una tcnica -una manera de hacer- no tiene xito ms que sobre una parte P() de las tareas del tipo T a la cual es relativa, parte que se denomina alcance de la tcnica: la tcnica tiende a fracasar sobre T \ P() de manera que se puede decir que no se sabe, en general, realizar las tareas del tipo T .La cosa es obvia, pero muy a menudo olvidada, en matemticas. As toda tcnica de clculo sobre N fracasa a partir de cierta extensin de los nmeros. Del mismo modo, el hecho de que no se pueda en general factorizar un entero dado est claramente en la base de algunas tcnicas de criptografa.

En esta visin, una tcnica puede ser superior a otra, si no sobre toda T, al menos sobre alguna parte de ella: tema al que volveremos a propsito de la evaluacin de las praxeologas. A continuacin, observemos que una tcnica no es necesariamente de naturaleza algortmica o casi algortmica: no es as ms que en casos poco frecuentes. Axiomatizar tal mbito de las matemticas, pintar un paisaje, fundar una familia son tipos de tareas para las cuales no existe forzosamente una tcnica algortmica... Pero es verdad que parece existir una tendencia bastante general a la algoritmizacin -aun cuando este proceso de progreso tcnico parezca a veces detenerse por largo tiempo, en una determinada institucin, a propsito de tal o cual tipo de tareas o de tal o cual complejo de tipo de tareas. Por fin, en una institucin I dada, y a propsito de un tipo de tareas T dado, existe en general una sola tcnica, o al menos un pequeo nmero de tcnicas institucionalmente reconocidas, con la exclusin de tcnicas alternativas posibles -que pueden existir efectivamente pero en otras instituciones. Dicha exclusin es correlativa, entre los actores de I, de una ilusin de naturalidad de las tcnicas institucionales en I -hacerlo as, es natural...-, por contraste con el conjunto de tcnicas alternativas posibles, que los sujetos de I ignoran, o, si se les confronta a ellas, las miran espontneamente como artificiales, y (por ello) contestables, inaceptables, etc. En esta visin, se observa frecuentemente, entre los sujetos de I, verdaderas pasiones institucionales para las tcnicas naturalizadas en la


institucin.b As, se puede determinar el signo de un binomio ax+b escribiendo esta expresin como a[x ( )], lo que a 2 ) es negativo si x > 2 , positivo para permite concluir mediante un pequeo razonamiento: 2 3x = 3(x 3 3 2 ; 5x+3 = 5[x (0,6)] es positivo para x > 0,6, negativo para x < 0,6 ; etc. Pero esta manera de hacer, x< 3 prcticamente desconocida en la enseanza secundaria francesa actual, recibira sin duda una oleada de crticas.

Tecnologas Se entiende por tecnologa, y se indica generalmente por , un discurso racional -el logos- sobre la tcnica -la tekhn- , discurso cuyo primer objetivo es justificar racionalmente la tcnica , para asegurarse de que permite realizar las tareas del tipo T, es decir, realizar lo que se pretende. El estilo de racionalidad puesto en juego vara por supuesto en el espacio institucional y, en una institucin dada, al filo de la historia de esta institucin, de manera que una racionalidad institucionalmente dada podr aparecer... como poco racional en otra institucin. De nuevo tres observaciones completarn esta presentacin. Se admitir en primer lugar como un hecho de observacin que, en una institucin I, cualquiera que sea el tipo de tareas T, la tcnica relativa a T est siempre acompaada de al menos un embrin o ms frecuentemente an, de un vestigio de tecnologa . En numerosos casos, incluso, algunos elementos tecnolgicos estn integrados en la tcnica.As ocurre tradicionalmente en la aritmtica elemental, en la que el mismo pequeo discurso tiene una doble funcin, tcnica y tecnolgica, que permite a la vez encontrar el resultado pedido (funcin tcnica) y justificar que es correcto el resultado esperado (funcin tecnolgica), como cuando se dice: Si 8 caramelos cuestan 10 Francos, 24 caramelos, o sea, 3 veces 8 caramelos, costarn 3 veces ms, es decir, 3 veces 10 Francos

Por otra parte, el hecho de que exista en I una tcnica cannica, en principio la nica reconocida y la nica empleada, confiere a esta tcnica una virtud autotecnolgica: actuar de esta manera no exige justificacin, porque es la buena manera de actuar (en I). Cabe sealar despus que una segunda funcin de la tecnologa es la de explicar, de hacer inteligible, de aclarar la tcnica. Si la primera funcin -justificar la tcnica- consiste en asegurar que la tcnica da lo pretendido, esta segunda funcin consiste en exponer por qu es correcta. Se observar que estas dos funciones son desigualmente asumidas por una tecnologa dada. Desde este punto de vista, en matemticas, la funcin de justificacin predomina tradicionalmente, por medio de la exigencia demostrativa, sobre la funcin de explicacin.Se sabe que una ecuacin ax2 + bx + c = 0 (con a 0) tiene una raz doble cuando b 2 4ac = 0, no tiene races (en R) si b 2 4ac < 0, etc. Se puede explicar est resultado con la ayuda de la tecnologa de los nmeros complejos. Sean en efecto z y las races complejas de la ecuacin. Se tiene: z (z )2 = (z + )2 4zz = (b/a)2 4(c/a) = (b 2 4ac)/a 2 . z z Se ve as que b2 4ac = 0 si y slo si z = ; que si b 2 4ac < 0, entonces z y no puede ser reales, etc. z z

Por ltimo, una tercera funcin corresponde a un empleo ms actual del trmino de tecnologa: la funcin de produccin de tcnicas. Notemos aqu que siempre hay tecnologas


potenciales, a la espera de tcnicas, que no son an tecnologas de alguna tcnica o que lo son de muy pocas tcnicas. A este respecto se sealar este fenmeno de sub-explotacin de las tecnologas disponibles, tanto desde el punto de vista de la explicacin como de la produccin.Es as como la tecnologa de los nmeros fraccionarios (cocientes de enteros) permite generar una tcnica que clasifica lo visto anteriormente a propsito de los precios de los caramelos y que concreta el esquema discursivo siguiente: Si a cosas valen b francos, entonces x cosas, es decir x/a veces a cosas, valdrn x/a veces ms, es decir, x/a veces b francos. As se dir: 11 caramelos cuestan 11/8 veces ms (que 8 caramelos), es decir, 11/8 veces 10 francos (= 13,75 francos); y, por una extensin atrevida del sentido de la expresin: 3 caramelos cuestan 3/8 veces ms (que 8 caramelos), es decir 3/8 veces 10 francos (=3,75 francos). (Se indicar que es: 3/810 francos = 11/810 francos - 8/810 francos = 13,75 francos - 10 francos = 3,75 francos). Ms correctamente, se dir simplemente que x cosas, es x/a veces a cosas, etc.

Teoras A su vez, el discurso tecnolgico contiene afirmaciones, ms o menos explcitas, de las que se puede pedir razn. Se pasa entonces a un nivel superior de justificacinexplicacin-produccin, el de la teora, , que retoma, en relacin a la tecnologa, el papel que sta ltima tiene respecto a la tcnica.Por supuesto, se puede imaginar que esta regresin justificativa se persiga hasta el infinito -que exista una teora de la teora, etc. De hecho, la descripcin en tres niveles presentada aqu (tcnica/tecnologa/teora) es suficiente en general para darse cuenta de la actividad que se quiere analizar. La teora, tierra de eleccin de perogrulladas, tautologas y otras evidencias, es incluso a menudo evanescente: la justificacin de una tecnologa dada es, en muchas las instituciones, tratada por simple reenvo a otra institucin, real o supuesta, censada como poseedora de una tal justificacin. ste es el sentido clsico: Se demuestra en matemticas... del profesor de fsica, o an del Se ha visto en geometra ... del profesor de matemticas de antao.

En todo mbito, la naturaleza de la teora puede fluctuar, y de hecho flucta histricamente. Como ocurre en materia tcnica o tecnolgica, hay aqu un progreso terico que conduce en general a sustituir las evidencias metafsicas por enunciados tericos positivos.Sea as el principio de recurrencia: P N 0 P n (n P n+1 P) P = N. Para justificar este ingrediente tecnolgico principal de las demostraciones por recurrencia, se puede, entre otras cosas, referirse, como hace Henri Poincar, a la potencia del espritu que se sabe capaz de concebir la repeticin indefinida de un mismo acto desde que este acto es una vez posible (Poincar 1902), o bien admitir como un axioma que toda parte no vaca de N tiene un primer elemento, y mostrar entonces que de ah se desprende el principio de recurrencia.

En griego, theria ha tomado a partir de Platn el sentido moderno de especulacin abstracta. Pero, en el origen, significaba simplemente la idea de contemplacin de un espectculo -el theros era el espectador que miraba la accin sin participar. De hecho, los enunciados tericos aparecen frecuentemente como abstractos, apartados de las preocupaciones de los simples tecnlogos y tcnicos. Este efecto de abstraccin es correlativo a lo que funda la gran generatividad de los enunciados tericos -su capacidad para justificar, para explicar, para producir.El hecho de que, en R, la serie de trmino general 1/n tienda a 0 es un resultado tecnolgico

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico muy concreto. Su justificacin terica contempla el axioma de Eudoxo-Arqumedes, considerado ordinariamente como demasiado abstracto: si A y son dos reales estrictamente positivos, entonces existe un entero n tal que n > A. Pero estas dos afirmaciones son matemticamente equivalentes!

Saber-hacer y saberes Alrededor de un tipo de tareas, T, se encuentra as, en principio, una tripleta formada por una tcnica (al menos), , por una tecnologa de , , y por una teora de , . El total, indicado por [ ///], constituye una praxeologa puntual, donde este ltimo calificativo T significa que se trata de una praxeologa relativa a un nico tipo de tareas, T. Una tal praxeologa -u organizacin praxeolgica- est pues constituida por un bloque prcticotcnico, [T/], y por un bloque tecnolgico-terico, [ / ]. El bloque [ /] se identifica habitualmente como un saber, mientras que el bloque [T/] constituye un saber-hacer. Por metonimia se designa corrientemente como saber la praxeologa [T///] completa, o incluso cualquier parte de ella. Pero esta manera de hablar estimula una minoracin del saber-hacer, sobre todo en la produccin y difusin de las praxeologas: as, como ya hemos sealado, encontramos a menudo tecnologas que esperan su primer empleo, o que han perdido su empleo. Este predominio del saber no es nunca fortuito. De hecho, se encuentra raramente en las praxeologas puntuales. Generalmente, en una institucin dada, I, una teora responde de varias tecnologas j, cada una de las cuales a su vez justifica y hace inteligibles varias tcnicas, ij, correspondientes a otros tantos tipos de tareas, Tij. Las organizaciones puntuales van as a combinarse, en primer lugar, en organizaciones locales, [Ti /i//], centradas sobre una tecnologa determinada, y despus en organizaciones regionales, [Tij/ij/j/], formadas alrededor de una teora . (Ms all, se denominar organizacin global el complejo praxeolgico obtenido, [Tijk/ijk/jk/k], en una institucin dada, por la agregacin de varias organizaciones regionales correspondientes a varias teoras k). Ahora bien, el paso de una praxeologa puntual [T///] a una praxeologa local [Ti/i//] pone en marcha la tecnologa , de la misma manera que el paso ulterior a una praxeologa regional [Tij/ij/j/] llevar al primer plano la teora, . En los dos casos, la visibilidad del bloque del saber aumenta, en detrimento del saber-hacer. Este desequilibrio tiene, sin duda, una justificacin: pues si es verdad que, en la mayora de los casos, el tipo de tarea precede genticamente el bloque [/ ] (que aparece entonces como medio de producir y de justificar una tcnica apropiada a T), no es menos cierto, que, estructuralmente, el saber [/ ] permite generar (para T dado). Por esta razn, se suele presentar clsicamente, en el texto del saber, al saber-hacer [T/] como una simple aplicacin del saber [ / ].En la enseanza de las matemticas, un tema de estudio, (Pitgoras, Tales, etc.), se identifica a menudo con una tecnologa determinada (teorema de Pitgoras, teorema de Tales) o, ms bien, implcitamente, con el bloque de saber [/] correspondiente, dado que esta tecnologa permite producir y justificar, a ttulo de aplicaciones, tcnicas relativas a distintos tipos de tareas. Se sealar, sin embargo, que otros temas de estudio (Factorizacin, Desarrollo, Resolucin de ecuaciones, etc.) se expresan, muy clsicamente, en trminos de tipos de tareas.

Una organizacin praxeolgica, incluso puntual, no resulta en general completamente conforme a los cnones evocados anteriormente. El tipo de tareas alrededor del cual se construye puede permanecer mal identificado, revelndose la tcnica asociada como algo casi


impracticable. La tecnologa podr a veces reducirse a una pura peticin de principios, y la teora ser perfectamente sibilina. La nocin de praxeologa aparece as como una nocin genrica cuyo estudio conviene profundizar -sobre todo mediante el estudio emprico y el anlisis de los datos de observacin recogidos. 1.3. Las cuestiones a estudiar Lo rutinario y lo problemtico Se puede imaginar un mundo institucional en el que las actividades humanas estuviesen regidas por praxeologas bien adaptadas que permitiesen realizar todas las tareas deseadas de una manera a la vez eficaz, segura e inteligible. Pero tal mundo no existe: como se ha sugerido, las instituciones son recorridas por toda una dinmica praxeolgica, que tan slo examinaremos aqu brevemente. Las praxeologas, de hecho, envejecen: sus componentes tericos y tecnolgicos pierden crdito y llegan a ser opacos, al tiempo que emergen nuevas tecnologas que, por contraste, ponen bajo sospecha, por arcaicas, las tcnicas establecidas.Hasta mediados del siglo XIX, la aritmtica escolar contena, bajo el nombre de Teora de razones y proporciones, una praxeologa matemtica local que permita tratar eficazmente los problemas de proporcionalidad directa o inversa: si 8 caramelos cuestan 10 francos, y si se quiere conocer el precio, x francos, de 3 caramelos, se dir que x es a 3 como 10 es a 8", lo que se traduce por la proporcin indicada clsicamente por x:3::10:8, en la que se sabe que el producto de los extremos, 8 x es igual al producto de los medios, 10 3, igualdad que nos da asimismo x = 10 3/8. La reforma de las matemticas modernas alrededor de 1970, expuls, por obsoletos, numerosos elementos tericos y tecnolgicos de las matemticas clsicas, como la teora de las razones y proporciones, pero sin eliminar al mismo tiempo las tcnicas elementales que, de hecho, no fueron inmediatamente reemplazadas, o no lo fueron ms que por unas praxeologas ms complejas, poco viables en los primeros cursos de la enseanza secundaria. Desde que se dispone de la nocin de funcin, y ms particularmente de la nocin de funcin lineal, as como de las notaciones funcionales usuales, se puede retomar el problema de los 3 caramelos en estos trminos: siendo f lineal, si f(8)= 10, entonces, f(3)= f(3/8 8)= 3/8 f(8)= 3/8 10 =...

Sobre todo, en un universo de tareas rutinarias, surgen en todo momento, aqu y all, las tareas problemticas que no se sabe -an- realizar. Nuevos tipos de tareas, que son entonces los tipos de problemas, se asientan as, y nuevas praxeologas vendrn a constituirse a su alrededor.A partir del curso 1998/99, los profesores de matemticas de las clases de Terminal S3 han debido considerar, en el marco de la enseanza de especialidad, un tipo de problemas indito hasta entonces en este tipo de estudios: dados a, b N* primos entre s, hallar los enteros x, y tales que ax+by = c ( ecuacin de Bzout ). Cuando los enteros a y b son pequeos y que se trabaja a mano, es prctico proceder como en el siguiente ejemplo (con a = 151, b = 137, c = 1). Se empieza por escribir la fraccin a/b como una fraccin continua que se acaba cuando el numerador de la ltima fraccin obtenida es 1 :

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La clase de Terminal S corresponde al ltimo ao de secundaria en la especialidad de bachillerato cientficotcnico (17-18 aos)

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico 151 14 1 1 1 1 1 =1+ =1+ =1+ =1+ =1+ =1+ 137 137 137 11 1 1 1 9+ 9+ 9+ 9+ 14 14 14 3 1 1+ 1+ 11 11 11 3 1 1 1 =1+ =1+ =1+ . 1 1 1 9+ 9+ 9+ 1 1 1 1+ 1+ 1+ 2 1 1 3+ 3+ 3+ 3 3 1 1+ 2 2 Se elimina entonces esta ltima fraccin (aqu, 1/2), y se opera con la expresin obtenida: 1+ 9+ 1+ 3+ 1 1 1 1 1+h =1+ 9+ 1 1 1+ 1 4 =1+ 1 1 9+ 5 4 =1+ 1 4 9+ 5 =1+ 1 5 54 =1+ = 49 49 49 5

Se obtiene as: 4915154137 = 1. Claro est que an queda por justificar esta tcnica, y quiz, ms todava, explicarla.

Constantemente, en una institucin I dada, aparecen nuevas praxeologas que, al menos una parte de los actores de I, considera como necesarias para un mejorar el funcionamiento de I. Estas praxeologas debern, en consecuencia, ser producidas, o ms frecuentemente reproducidas, en la medida en que ya existan en cualquier otra institucin I a partir de la cual se podr proponer importarlas a I. Las condiciones impuestas por la ecologa de I hacen que la praxeologa deseada no pueda ser reproducida all de manera idntica, sino que sufrir, en esta transferencia, determinadas modificaciones adaptativas: se hablar, pues, no de transferencia, sino de transposicin de I a I.Los procesos de transposicin institucional no producen necesariamente versiones degradadas -inferiores por ejemplo en cuanto a la calidad de su bloque tecnolgico-terico- de las organizaciones praxeolgicas transportadas. Ms bien al contrario, en materia de transposicin didctica, por ejemplo, es decir, cuando I es una institucin didctica (una escuela, una clase...), sucede con frecuencia, sobre todo cuando I no es una institucin sabia, que el trabajo transpositivo sea la ocasin de mejorar la praxeologa as vuelta a trabajar -simplificndola, precisando algunos de sus elementos, etc. En todo caso, la transposicin enriquece el mundo de las praxeologas socialmente disponibles -en la medida en la que crea una praxeologa adaptada a ciertas condiciones institucionales inditas.

Analizar las prcticas docentes Comnmente, la penuria praxeolgica se traduce en primer lugar por una falta de tcnicas. Cmo realizar las tareas del tipo T? Y tambin, o sobre todo: cmo realizar mejor las tareas de este tipo? Estas interrogaciones exigen una produccin de tcnicas y, por tanto, de praxeologas. En general, dado un tipo de tareas, T, se llega as a (re)estudiar la cuestin, indicada genricamente T , de una tcnica apropiada que permita realizar las tareas t T y, ms completamente, de la praxeologa correspondiente. La cuestin T -cmo realizar las tareas del tipo T?- aparece entonces como generatriz de la praxeologa puntual OT = [T///] que se trata de (re)construir.


Los desarrollos anteriores y los que siguen manifiestan por ejemplo el deseo de estudiar -o ms bien de retomar como una novedad reciente- la cuestin T relativa a un tipo de tareas T cuya denominacin puede ser: Analizar las prcticas docentes. Esta denominacin remite implcitamente a una problemtica ms amplia, que se expresar aqu con un esquema genrico que articula cuatro grandes tipos de tareas. Dado un objeto o relativo a las prcticas docentes, se tratar en efecto en primer lugar de observar el objeto o (T1 ), despus de describir y analizar el objeto o (T2 ), a continuacin de evaluar el objeto o (T3 ), y por ltimo, de desarrollar el objeto o (T4 ). Por supuesto, estos tipos de tareas, que se definen por referencia a ciertos gneros de tareas (observar, describir y analizar, evaluar, desarrollar) ms o menos bien definidos en la cultura comn, (qu significa desarrollar, por ejemplo?), quedan an por construir, solidariamente con los otros componentes -tcnicos, tecnolgicos, tericos- de las praxeologas consideradas.En lo que sigue, el tipo de tareas T1 , (la observacin) ser poco o mucho neutralizado por el recurso a unos corpus simplemente invocados de datos de observacin ya constituidos. Los tipos de tareas T3 (la evaluacin) y T4 (el desarrollo), sobre los que volveremos, estarn en el horizonte del trabajo ms que en su interior. En el centro del trabajo, se situar, pues el tipo de tareas T2 -la descripcin y el anlisis de ciertos objetos o relativos a las prcticas de enseanza.

Los tipos de objetos o considerados sern de dos clases: dado un tema de estudio matemtico , se considerar sucesivamente: a) la realidad matemtica que puede construirse en una clase de matemticas donde se estudia el tema ; b) la manera en que puede ser construida esta realidad matemtica, es decir la manera como puede realizarse el estudio del tema . El primer objeto -la realidad matemtica que...- no es otra cosa que una praxeologa matemtica u organizacin matemtica que se denominar por OM. El segundo objeto -la manera que...- es lo que se denominar una organizacin didctica, que se indicar, de manera anloga por OD. El trabajo de estudio por realizar concierne pues principalmente a los dos tipos de tareas siguientes: describir y analizar la organizacin matemtica OM que se puede construir en una clase de matemticas donde se estudia el tema (T21 ); describir y analizar la organizacin didctica OD que puede ser puesta en prctica en una clase de matemticas donde se estudia el tema (T22 ) Analizar una organizacin matemtica Fijaremos como primer objetivo construir, o al menos esbozar, a partir de los elementos tericos-tecnolgicos introducidos hasta aqu, una tcnica 21 de descripcin y anlisis de una organizacin matemtica OM. A ttulo de introduccin, se considerar aqu una especie simple de tareasT21 escogiendo el tema = div de la divisin de enteros:tdiv: Describir y analizar la organizacin OM que puede ser construida en una clase donde se estudia el tema de la divisin de enteros.

Se debe distinguir cuidadosamente esta tarea de la tarea, denominada t div , de descripcin y de anlisis de la organizacin didctica correspondiente:tdiv : Describir y analizar la organizacin didctica ODdiv = OM div que puede ser puesta en prctica en una clase donde se va a estudiar el tema de la divisin de los enteros.

El trabajo requerido es el que, grosso modo, se puede esperar de un candidato al


CAPES 4 de matemticas cuando hace la exposicin sobre un tema dado, primera prueba oral de admisin cuyo tema 08, en la oposicin de 1.998, se denominaba, exactamente: Divisin eucldea en Z, unicidad del cociente y del resto. Aplicaciones a la aritmtica. El resultado tecnolgico principal de OM div es evidentemente el siguiente:o [Teorema y definicin] Dados dos enteros relativos a y b, b>0, existe una pareja y slo una de enteros relativos q y r, tales que a = bq + r, 0 r < b. Los nmeros a y b se llaman respectivamente el dividendo y el divisor, los nmeros q y r, el cociente y el resto de la divisin de a por b.

Se asegura fcilmente que la afirmacin anterior es equivalente a la siguiente:o [Teorema y definicin] Dados dos enteros relativos a y b, b>0, existe uno y un solo entero relativo q tal que bq a < b(q+1). El nmero q se llama cociente de la divisin de a por b. Se llama resto de esta divisin al entero r = a bq.

De hecho, este enunciado tecnolgico no es ms que la conclusin de un discurso tecnolgico ms amplio, que lo justifica o, como se dice en matemticas, que lo demuestra:Divisin de enteros: resultado fundamental Sean dos enteros relativos a y b, b > 0. 1. Demostremos que existe al menos un entero relativo q tal que: bq a < b (q+1). Dado que la serie aritmtica (bk )kZ es estrictamente creciente, si q 1 y q 2 cumpliesen los dos esta doble desigualdad, con por ejemplo q 1 < q 2 , es decir q 1 + 1 q 2 , se tendra que a < b(q 1 +1) bq 2 a, lo que es imposible. De donde se deduce la unicidad de q. 2. Demostremos despus la existencia de q. Supongamos en primer lugar que a 0. Dado que la serie (bk )kZ es estrictamente creciente y no acotada, existe un primer entero k N tal que bk > a, y se tiene en particular b(k 1) a. Pongamos q = k 1; se verifica entonces que bq a < b(q+1): el entero q conviene. Si, ahora, se tiene a < 0, existe q tal que bq -a < b(q+1), siendo b(-q-1) < a b(-q). Si a = b(-q), se puede tomar q = q. Si no, se tiene a < b(-q) y b(-q-1) < a < b(-q); y, tomando q = q, se obtiene tambin bq a < b(q+1); el entero conveniente es q. 3. As, dados dos enteros relativos a y b, b>0, existe uno y slo un entero relativo q tal que bq a < b(q+1). El nmero q se llama el cociente de la divisin de a por b. Se llama resto de esta divisin al entero r = a - bq.

Los elementos tericos requeridos para justificar la tecnologa anterior son los siguientes:Divisin de enteros: elementos tericos 1. La demostracin de la unicidad utiliza esencialmente el hecho de que la sucesin ( k )kZ es b estrictemente creciente. 1.1. Este hecho se desprende del resultado terico siguiente: 0 . El orden usual sobre Z hace de Z un anillo ordenado, es decir que se tiene: 01 . k Z, n , m Z, n m n +k m+k ; 02 . k N, n, m Z, n m k n k m. 1.2. Se utiliza tambin la propiedad siguiente, ms propia del anillo ordenado discreto Z: 1 . n, m Z, n < m n+1 m.

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En Francia, el CAPES (Certificat dAptitude Pdagogique pour lEnseignement Suprieur) es el examen de la oposicin para profesor de secundaria de la enseanza pblica.

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico 2. La demostracin de existencia se basa en la afirmacin siguiente: por ser la sucesin ( k )kN b estrictamente creciente y no acotada, existe un primer entero k tal que bk > a. 2.1. Acabamos de examinar el hecho de que la sucesin aritmtica (bk )kN sea estrictemente creciente. 2.2. El hecho de que no est acotada se desprende de que Z es un grupo arquimediano: 2 . [propiedad de Eudoxo-Arqumedes] a 0, b > 0, k N, bk > a. 2.3. El hecho de que exista un primer entero k, es decir, un mnimo entero k, tal que bk > a resulta del hecho que el orden habitual sobre N es un buen orden: 3 . [Propiedad de buen orden] Toda parte no vaca de N posee un elemento mnimo. Sea en efecto F el conjunto de los enteros k tals que bk > a : sesgn 2 , F no es vaco; por consiguiente, segn 3 , F tiene un primer elemento. 2.4. Observacin. Se tiene: 2 3 [La demostracin se deja al lector].

La organizacin matemtica que debemos determinar, OMdiv , es a priori una organizacin local (y no puntual) que puede pues contener varios tipos de tareas. Por falta de espacio, no se considerar aqu ms que el tipo de tareas matemticas siguiente:Tq . Dados dos nmeros enteros relativos a y b, b > 0, calcular el cociente q de la divisin a por b.

La finalidad del estudio sera entonces precisar una tcnica q para realizar las tareas de tipo Tq -lo que no se har aqu ms que sobre un punto particular. La observacin de OMdiv en la literatura de los manuales antiguos nos muestra en efecto una observacin hoy da tan olvidada que parece en primer lugar poco creble, y sobre la cual nos pararemos un momento. Una primera obra indica as:Albert Miller, Arithmtique (enseanza primaria superior), Hachette, 1.923, p.84. Teorema.- Para dividir un nmero por un producto de varios factores, es suficiente (si las divisiones son exactas) con dividirlo por el primer factor, dividir despus el cociente obtenido por el segundo factor, y as hasta el ltimo factor. El ltimo cociente obtenido es el cociente buscado. OBSERVACIN.- Este teorema se aplica a las divisiones con resto. Lo admitiremos sin demostracin. As, 517:(574) puede obtenerse dividendo 517 por 5, sea 103; 103 por 7, sea 14; 14 por 4, sea 3. El cociente de dividir 517 por 574, es decir por 140, es 3.

Otros autores -y no los menos!- escriben incluso, a propsito del mismo teorema:Anna y Elie Cartan, Arithmtique (clases de 4 y de 3), Armand Colin, 1.934, p. 54. 92.- Observacin.- Si un nmero no es divisible por un producto de factores, se demuestra que se puede encontrar el cociente del nmero por el producto aplicando la segunda parte del teorema IV (n 91, p 53). La regla dada en el nmero 78 (p. 47) es una aplicacin de esta observacin. Para obtener el cociente de 6783 por el producto 1009, se puede dividir 6783 por 100, que nos da 67 como cociente, y luego 67 por 9.

Es eso verdad? Una justificacin se impone, que otros manuales aportan, -como la Arithmtique de Roland Maillard y de Albert Millet para la clase de Matemticas (Maillard y Millet 1.954, pp. 39-40). Es interesante constatar que dicha justificacin se apoya sobre un resultado tecnolgico que es una variante inmediata de los resultados anteriormente establecidos:0 . [Teorema] El cociente q de la divisin de a por b se caracteriza por las desigualdades: bq a y a+1 b(q+1).

Se tiene entonces el siguiente resultado:

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico 1 . [Teorema] Sean dos enteros relativos a y b, b > 0. Si b = bb, sea q el cociente de a por b y q e l cociente de q por b. Entonces q es el cociente de a por b. Demonstracin. Se tiene bq a y bq q; de donde bq = b(bq) bq a. Se tiene, por lo mismo, a+1 b(q +1) y q +1 b(q+1); de donde b(q+1) = b(b(q+1)) b(q+1) a+1. A continuacin, y segn 0 , se tiene q = q.

Este desarrollo tecnolgico asegura que la tcnica indicada funciona: el cociente de 4225 entre 24 es, as, dado que 24 = 46, el de 1056 entre 6, y an, como 6 = 23, el de 528 entre 3, es decir, 176. Pero esto no permite verdaderamente -aunque la cuestin sea eminentemente subjetiva!- comprender por qu el fenmeno en cuestin se produce. La funcin de explicacin, productora de la inteligibilidad, debe ser puesta en marcha por otro desarrollo, como se ve aqu:Est claro que si a es divisible por b, entonces q se obtiene dividiendo a por b, despus dividendo el cociente q as obtenido por b. Supongamos ahora que a sea divisible por b con a = bq; est claro entonces -al menos se admitir aqu - que q = q, donde q = [q/b] (una demostracin de este punto procedera de la observacin de que se tiene a = bq = b(bq+r) = (bb) q+br, con br < bb = b) Por qu entonces se puede, en el caso general, (en el que no se supone que b divida a a) olvidar el resto r de la divisin de a por b? La explicacin fundamentalmente se basa en dos hechos generales, de los que conviene en primer lugar persuadirse: (1) el cociente de dividir por b el entero a es tambin el cociente de dividir por b los enteros a-1, a-2, a-3,... a-r; no cambia el cociente si se reemplaza a por a-k, con 0 k r; (2) el resto r (en la divisin de a por b) es el primer entero k tal que a-k es divisible por b. Se ve entonces que, olvidando el resto r, se reemplaza a por bq = a-r, el cociente final queda sin cambiar mientras que r r (segn (1)), lo que es el caso (segn (2)) porque a r (= bq = b bq) es divisible por b.

Una observacin tcnica Aunque apenas esbozado, el ejemplo anterior muestra sobre todo que el componente tecnolgico de una organizacin matemtica cambia con los tipos de tareas y las tcnicas que se espera en general producir, justificar, explicar.

2. ORGANIZACIONES DIDCTICAS Y MOMENTOS DEL ESTUDIO 2.1 La didctica, dimensin de la realidad social. Estudiar una cuestin En la primera seccin, se ha evocado una situacin problemtica, es decir, en la que se propona realizar una tarea problemtica -describir y analizar cierta praxeologa matemtica. Se han evocado tambin otros tipos de tareas a priori problemticas -resolver una ecuacin de Bezout por ejemplo. Se podran multiplicar los ejemplos. Todos provienen de un mismo esquema, que se examinar rpidamente a continuacin. En el punto de partida, hay, en la vida social, una simple demanda de informacin, o como se dir, una cuestin en el sentido dbil, que toma generalmente la forma de una interrogacin en el sentido gramatical del trmino:Dnde se encuentra la oficina de correos? Qu hora es ?

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico Cuntos aos tienes? El tren de las 16 h 17 procedente de Marsella, en qu andn para? Cul es nuestra longitud? 4 33 2, es un nmero irracional, no? Es verdad que n3 +11n es divisible por 6 para cualquier n N ?!

Desde el punto de vista del interrogador, cada una de las cuestiones exige una respuesta en el sentido dbil, bajo la forma de un enunciado aportando la informacin pedida: Est delante de usted! [la oficina de correos], Son...las 8h 41m!, etc. La hiptesis es aqu que la persona preguntada conoce la respuesta, o al menos la puede conocer fcilmente -por ejemplo mirando su reloj, si se trata de la hora. Se sealar sin embargo que, en realidad, esta respuesta procede de la parte emergente, visible en la vida social ordinaria, de un iceberg praxeolgico fundido en el paisaje social, pero para cuya construccin se han necesitado a menudo siglos. As ocurre a propsito de la hora, o de la longitud, o incluso de la edad de la persona interrogada. El juego de preguntas-respuestas en sentido dbil se juega as en la superficie de la sociedad y de sus instituciones, ocultando los resortes profundos, que parece falsamente- poderse ahorrar. Las cosas cambian cuando la persona preguntada no sabe responder -porque no conoce la longitud del lugar, o porque ignora si el nmero 4 33 2 es irracional o no, etc. En ese momento, se plantea un problema. Tanto si consiste en determinar la longitud del lugar o la naturaleza, racional o no, del nmero 4 33 2, la tarea que se debe realizar para responder a la cuestin propuesta ya no es inmediata. Para realizarla, y de una manera eventualmente rutinaria (que no significa algortmica), se necesita una praxeologa relativa al tipo de tareas considerada.As, un buen alumno de la nueva Terminal S podr quiz escribir: n 3 + 11n = n 3 n + 12n = n(n 2 -1) + 12n = (n-1)n (n+1) + 12n = 6(V3 n+1 ) + 12n = 6(V3 n+1 + 2n)...

Pero las cosas cambian ms an cuando la persona interrogada no dispone de ninguna tcnica para realizar la tarea pedida, que resulta entonces problemtica para ella. La pregunta se vuelve entonces una cuestin en el sentido fuerte: ya no es Cul es la longitud?, sino Cmo determinar la longitud?; ya no es Es este nmero irracional?, sino Cmo determinar si este nmero es irracional?. Se pasa as de la peticin de realizar una tarea t a la necesidad de elaborar una tcnica y, ms completamente, toda una praxeologa relativa a las tareas de tipo t -tipo que hay que construir al mismo tiempo como objeto institucional. A cuestin en sentido fuerte, respuesta en sentido fuerte: la respuesta no es ahora una simple informacin, es toda una organizacin praxeolgica que est por construir. En un gran nmero de casos, una persona o un colectivo confrontado a una dificultad del tipo anterior -elaborar una praxeologa relativa a un tipo de tareas problemticasresponde ignorndolas, o incluso, negando esta problematicidad, por ejemplo, no realizando la tarea en cuestin -hacindolo de otra manera.He aqu un ejemplo, donde la problematicidad es de naturaleza matemtica. Tres viajeros deben repartirse la suma de 860 francos que, a la vuelta de sus vacaciones, quedan en la caja comn creada para hacer frente a los gastos cotidianos colectivos, y en la que han puesto en total, respectivamente, 1900 francos, 2100 francos, y 2200 francos. Se preguntan cmo deben repartirse la suma restante de manera que cada uno de ellos haya contribuido igualmente a los gastos colectivos. Despus deciden en un tono generoso y oportuno (Pero no! T pagaste la pizza el otro da, y yo no lo he contado...) que un determinado reparto, realizado a ojo por intuicin, es grosso modo aceptable, y se atienen a l.


En el caso contrario, la persona x, o ms generalmente, el colectivo X, se va a poner a estudiar la cuestin propuesta (Cmo determinar la longitud?, Cmo determinar si este nmero es irracional?), que se puede sealar genricamente como T, donde T es el tipo de tareas considerado (eventualmente reducido a una nica especie, t). Se constituye as lo que se denominar aqu un sistema de estudio o sistema didctico, denominado = S(X;T) (con, eventualmente, X = {x}). En algunos casos, el colectivo X se ver ayudado, es decir dirigido, en su esfuerzo por estudiar, por un ayudante al estudio o un director de estudio, y; se denominar entonces al sistema didctico por = S(X;y;T) (o =S(X;Y;T))(si hay un colectivo Y de ayudas al estudio). En todos los casos, se entra en la dimensin especfica de la realidad social: la dimensin del estudio o de la didctica, en el sentido fuerte de estos trminos. El estudio, las instituciones, la skhol La formacin, incluso efmera, de un sistema didctico, por rudimentario que sea, interrumpe el flujo normal de la actividad institucional ordinaria. La actividad de estudio aparece en consecuencia como una fuente permanente de confusin posible en la vida de la institucin, pudiendo en cualquier momento alterar el curso de las actividades normales arrastrando a algunos de sus actores hacia vas ajenas a la razn social de la institucin -pensemos, por ejemplo, en la formacin continua de los profesores! Se trata de un hecho fundamental cuyas manifestaciones hay que examinar rpidamente. Una primera consecuencia ha sido mencionada ms arriba -el rechazo de la problematicidad, y por tanto el rechazo de lo didctico que esta problematicidad podra engendrar. Una segunda consecuencia proviene de un fenmeno cercano, sobre el que conviene insistir: el de la negacin de la didctica. Las situaciones de la vida cotidiana en el seno de una institucin estn impregnadas de interacciones didcticas, pero resbaladizas, evanescentes, que se deslizan casi sin ruido en el flujo de la actividad ordinaria -y a las que se hace implcitamente referencia cuando se habla del aprendizaje del da a da, o, segn la frmula de John Dewey, del learning by doing, del aprendizaje por la prctica desnuda. Pero esta dimensin didctica se encuentra en general no reconocida por la institucin, porque, para defenderse contra una invasin siempre amenazante, se define una frontera que separa, entre todas las formas de actividad que pueden tener lugar, las que -generalmente poco numerosas y fuertemente estereotipadas- se acepta mirar como didcticas, y aquellas -mayoritarias y muy variadas- que son reputadas como no didcticas, y cuya didacticidad potencial se encuentra, pues, negada.Ninguna situacin es intrnsecamente didctica o no didctica. Por consiguiente, negando la didacticidad potencial de una situacin dada, imponindola a sus sujetos como irrebatiblemente no didctica, la institucin borra la posibilidad de su funcionamiento adidctico (Brousseau, 1.996), y cierra as algunas vas de aprendizaje a priori posibles para los sujetos de la institucin. Cada vez que estos aprendizajes aparecen como objetivamente exigidos para el buen funcionamiento de la institucin, es decir, como respondiendo a las necesidades cognitivas institucionalmente generadas, se puede decir que la institucin niega las necesidades didcticas de sus sujetos, necesidades que estos ltimos debern pues eventualmente encargarse de satisfacer, tomndolas entonces a ttulo personal, y no como sujetos de la institucin.

El adjetivo didctico, asociado aqu al sustantivo estudio (y al verbo estudiar) es, en francs, una prstamo del griego didaktikos , propio para instruir, relativo a la enseanza,


de didaktos, adjetivo verbal de didaskein, ensear, hacer saber. En francs corriente, se aplica a lo referente a la instruccin. La idea de didctica, la idea de estudio, es decir, fundamentalmente, la idea de hacer cualquier cosa con el fin de aprender cualquier cosa (saber) o de aprender a hacer cualquier cosa (saber-hacer), parece en fin consustancial a las sociedades humanas. Cmo, sin embargo, limitar los efectos perturbadores de la didctica sobre la vida de las instituciones? Hay una respuesta que ha tomado en nuestras sociedades modernas una importancia extrema, al punto de que tiende a absorber en su sombra cualquier otra manera distinta de gestionar los aprendizajes: se trata de la escuela, o ms precisamente de la skhol de los antiguos griegos -este Otium Graecum, este ocio griego que estigmatizaron Catn y los antiguos romanos, y que se puede definir como el tiempo descontado sobre el tiempo del trabajo, o ms all de la vida ordinaria, para ser consagrado al estudio. La frmula es genrica, universal, y puede a priori aplicarse a toda institucin: a su lado, pero distinta de ella, toda institucin puede crear su propia escuela, donde podr entregarse al estudio de cuestiones propuestas para la vida de la institucin, en el marco de sistemas didcticos institucionalizados, k = S({x i};{yj}; Pk), donde los x i sern los alumnos, los yj los profesores, y Pk un programa de estudio que precisa las cuestiones que se deben de estudiar. Este proceso histrico de escolarizacin de las instituciones est hoy muy avanzado: nada o casi nada se le escapa u olvida, tanto de hecho como de derecho! De la ausencia de la skhol, pasando por la skhol integrada en el flujo de la vida, se llega as a la skhol omnipresente, concebida y vivida como separada de la actividad cuyas praxeologas tiene, sin embargo, por misin de cuestionar, a travs de su estudio. Se observar, sin embargo que, cualquiera que sea el hbitat institucional ofrecido a lo didctico -desde la integracin vivida en lo cotidiano de la institucin, hasta la escolarizacin en una institucin escolar asociada pero distinta-, se imponen unas obligaciones que van a permitir e, incluso, imponer algunos tipos de praxeologas didcticas y prohibir otros tipos, mientras que, incluso en el mismo mbito de la skhol, incluso en el marco de la Escuela de la Repblica (al que se restringir en lo sucesivo el empleo del adjetivo escolar), algunas prcticas didcticas, negadas, permanecern viables, y vivas, aunque sin ser siempre asumidas como tales. Cada institucin, cada institucin didctica sobre todo, define as, en acto, al menos negativamente, su propia nocin de estudio. De ah que esta nocin no pueda ser definida de manera intrnseca, universal, absoluta, ms all de la definicin minimalista segn la cual hay estudio cuando hay cuidado, aplicacin y atencin en el acceso a cualquier realidad problemtica -la realidad estudiada. Estudiar una obra Estudiar una cuestin del tipo T, donde T es un determinado tipo de tareas, conduce -como ocurre en principio en el mundo sabio- a crear una respuesta, es decir, a elaborar una organizacin praxeolgica O= [T///] indita. Pero, en el mundo ordinario de la skhol, estudiar una cuestin es casi siempre recrear, para s mismo y sus compaeros de estudio, una respuesta O ya producida en cualquier otra institucin. Estudiar es pues estudiar una respuesta -en el sentido fuerte- que se tiene por vlida. Es estudiar una obra existente en otra parte de la sociedad, para reconstruirla, transportarla a la institucin que sirve de hbitat al estudio. El pasaje del estudio de una cuestin al estudio de una respuesta -de una obra- no se hace sin algunas modificaciones en la nocin misma de estudio.


Al comienzo, como se ha sugerido, la obra O se estudia -es decir, se reconstruye, transporta- como respuesta a la cuestin T que se plantea. Si, por ejemplo, se plantea la cuestin de la representacin plana del espacio de tres dimensiones, se estudiar la perspectiva; si se plantea la cuestin de encriptar y de desencriptar los mensajes, se estudiar la criptografa; etc. Se trabaja entonces sobre obras que tienen la forma de organizaciones praxeolgicas puntuales, es decir, constituidas alrededor de un nico tipo de tareas considerado como generador de la obra estudiada.Dos ejemplos de tcnicas 1. Cmo demostrar, por ejemplo, que = 4 33 2 es irracional? Una tcnica simple, cuya tecnologa y teora dejamos para el lector, consiste en formar una expresin racional de igual a un nmero conocido por 66 2 ser irracional. Aqu se tiene: = 4 33 2 2 = 6624 6 = 6. Se concluye entonces por un 24 2 66 pequeo razonamiento: si fuera racional, tambin lo sera = 6, lo que no es cierto. 24 2. Cmo determinar el mximo (o el mnimo) de una funcin sobre un intervalo? Se trata de un problema muy antiguo, que se estudiaba antao, en el instituto, bajo el nombre de cuestiones de mximo y mnimo. La tcnica elemental utilizada en la ausencia del clculo infinitesimal se fundamentaba sobre el resultado tecnolgico siguiente: si x1 , x2 , ..., xn son reales cuya suma es constante e igual a a, entonces el producto x1 x2 ...xn es mximo cuando x1 = x2 = ... = xn = a/n. As el rea de un rectngulo de permetro 2 que se p, escribe xy, con x+y = p, es mxima cuando x = y = p/2, es decir cuando el rectngulo es un cuadrado. Por lo mismo, el rea de un cercado rectangular formado con una empalizada de longitud l y uno de cuyos lados es un muro, que se escribe xy con 2x+y = l, es mxima al mismo tiempo que la expresin 2xy, que alcanza su mximo cuando 2x = y = l/2, es decir para x = l/4 y para y = l/2.

La agregacin de obras puntuales en una organizacin local (la divisin de los enteros, por ejemplo) bajo una tecnologa comn , es decir, su integracin en el seno de una organizacin regional (la aritmtica, por ejemplo) regida por una misma teora , tiende a impulsar hacia la periferia, bajo el nombre de aplicaciones, a los tipos de tareas que son en principio generadores de la obra, por el hecho de que se trata de una obra abierta, cuya tecnologa es potencialmente productora de tecnologas inditas, y que no se sabra pues encerrar en algunas aplicaciones definidas a priori. La relacin entre cuestin y respuesta tiende as a invertirse. Primero es la respuesta, y luego viene la cuestin. As, en la organizacin OMdiv vista anteriormente, se puede hacer figurar o no un desarrollo relativo a los cocientes aproximados (ver aqu abajo).Entonces, segn el caso, OMdiv , aparecer o no como respondiendo (en el sentido fuerte) a la cuestin Cmo determinar el cociente aproximado por defecto a 10-n al dividir un entero a por un entero b?Cocientes aproximados 1. Teorema y definicin. Dados dos enteros relativos a y b, b > 0, existe un nico entero relativo q tal que b(q/10n ) a < b((q +1)/10n ). El decimal q n = q10-n es el cociente aproximado a 10-n ms cercano por defecto a la divisin de a por b. Demostracin. La doble desigualdad b(q/10n ) a < b (q+1)/(10n ) equivale a bq a10n < b(q+1), lo que muestra que el entero q es el cociente de la divisin eucldea de a10n por b. De donde se tiene la existencia y unicidad de q. 2. Observacin. El cociente q de la divisin eucldea de a por b, que se llama tambin cociente entero de a por b, se obtiene cuando n=0. Se dice que q(=q o ) es el cociente de a por b con una aproximacin por defecto de una unidad (=100 ). El cociente entero es as, en general, un cociente aproximado: no es un cociente exacto ms que si a es divisible por b . 3. Corolario. Para calcular el cociente q n aproximado a 10-n por defecto de la divisin de a por

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico b, se calcula el cociente entero q de a10n por b y se toma q n = q10-n. 4. Ejemplo. Consideremos el clculo del cociente q 2 de 743 por 56 con una aproximacin de 10-2 (= 0.01) por defecto. Se busca el cociente entero q de 74300 entre 56, sea q = 1326. Se tiene pues q2 = 13,26. 5...

Un paso ms, y se acaba en una franca desconexin con el corazn tericotecnolgico de la obra, con sus aplicaciones que, de genticamente necesarias, llegan a ser institucionalmente contingentes. El estudio de la obra tiende as a crear una organizacin del saber que parece no existir ms que por s misma -las tecnologas no desembocan ms que aleatoriamente sobre tcnicas efectivas, por ejemplo-, segn la lgica de todos los fetichismos culturales. Al mismo tiempo, las razones de ser de la obra tienden a perderse, en derecho, si no de hecho. Se navega desde ese momento entre lo esttico y lo arbitrariamente cultural.Cules son por ejemplo las razones de esta obrita matemtica, an estudiada hoy da en Secundaria (en 4 de la ESO sobre todo), sobre la nocin de expresin numrica con un radical, y que permite 21 escribir una expresin tal como bajo la forma (1+ 2)? Sea, en una base ortonormal, los puntos 2 23 A(4;2), B(3 2; 2), C(1+2 2;1+ 2). Para comprobar que estos puntos estn alineados, se pueden 22 21 calcular las pendientes de las rectas (AB) y (AC), es decir, p (AB) = y p (AC) = , para 3 2 4 2 23 determinar si estas pendientes son o no iguales. Pero, a la vista de las expresiones obtenidas, la cosa no parece fcil. Conviene pues volverlas a escribir bajo una forma cannica, en la que toda expresin del tipo considerado tenga una escritura y slo una, lo que permite comparar dos expresiones dadas con un 22 21 simple vistazo. En este caso, se obtiene = = 1 2 : las dos pendientes son iguales y los 3 2 4 2 2 3 puntos A, B, C estn alineados. Notemos que, si hubiramos calculado la pendiente de (BC), 1 hubiramos obtenido otra expresin distinta: p (BC) = . La razn de ser as identificada es genrica: 1 2 dado un sistema de objetos matemticos, es muy til, cada vez que sea posible, dotarse de un sistema de escritura cannica de estos objetos, con la finalidad de poder comparar sin ambigedad esos dos objetos. De esta manera, dos vectores se expresan en una misma base donde tienen una escritura nica, dos puntos del plano con un mismo sistema de referencia, etc. Esta exigencia prevalece desde los primeros aprendizajes matemticos. Las expresiones 37+52 y 78-55 son iguales, pero la cuestin no es evidente ms que si se escriben separadamente bajo forma cannica, es decir, si se efectan los clculos: 37+52 =31 y 78--55 =31. Por esta misma razn se aprender ampliamente a desarrollar y a ordenar las expresiones algebraicas, o a simplificar las fracciones: para identificarlas en un simple vistazo. As las fracciones 168/252 y 252/378 representan un mismo nmero cuya escritura cannica es 2/3; pero la cuestin no es a priori evidente, y slo un trabajo de simplificacin, es decir, de reescritura cannica, permite no pasar al lado de la verdad.

2.2 Organizaciones didcticas Genericidad y especificidad Las praxeologas didcticas u organizaciones didcticas son respuestas (en el sentido fuerte) a las cuestiones del tipo Cmo estudiar la cuestin q = T? o Cmo estudiar la obra O? -respuestas que se indicarn aqu, genricamente, q y O, de manera que ser, por ejemplo: OD = OM . Precisado esto, la cuestin que se plantea es saber qu tipos de tareas constituyen una praxeologa didctica; o por decirlo de otra manera, qu gestos pueden ser mirados como didcticos.


La cuestin cmo estudiar ? depende evidentemente del contenido didctico 5 . Una respuesta a esta cuestin, es decir, una organizacin didctica , depender igualmente de : a partir de cierto nivel de organizacin del estudio, ya no se estudia la cuestin q de la perspectiva como se estudiara la cuestin q de la criptografa, por ejemplo. Pero tampoco se puede decir que no haya nada en comn entre una organizacin didctica q y otra organizacin didctica q. De hecho, tal como se ha indicado, en una institucin dada, slo ciertos tipos de praxeologas didcticas que satisfacen determinadas restricciones, son ecolgicamente viables: en consecuencia, todas las praxeologas cumplen estas restricciones, sea cual sea , sin que se pueda afirmar a priori que estas restricciones no pesan, ecolgicamente, sobre los niveles ms especficos de la organizacin del estudio. La distincin entre lo que sera especfico de y lo que no lo sera aparece as, en la perspectiva anterior, como relativo. La oposicin genrico-especfico tiene, si se puede decir, una estructura fractal, que se vuelve a encontrar en los diferentes niveles de anlisis de lo didctico. As, sea cual sea el objeto de estudio, hay una especificidad de la actividad didctica entre el conjunto de actividades humanas, especificidad que, precisamente, fundamenta el gnero didctico y, ms all, sus diferentes especies que, claramente, determinan los grandes tipos de obras -matemticas, fsicas, literarias, plsticas, etc. De ah que el estudio escolar de las matemticas no est aislado institucionalmente: se relaciona, en un determinado nivel de generalidad, con el conjunto de todo lo didctico existente en la sociedad y, en primer lugar, con lo didctico escolar. Desde distintos puntos de vista, por supuesto, el estudio de las matemticas posee rasgos especficos que lo distinguen del estudio escolar de otras disciplinas. Pero esta oposicin permanece relativa: qu es, de verdad, matemtico?. La frontera entre lo matemtico y lo no-matemtico es indecisa, y en todo caso, histricamente evolutiva. Adems, en un momento dado, las matemticas, es decir, las diferentes organizaciones matemticas, son a su vez diversas y, por ejemplo, no se estudiar el lgebra como se ha hecho con la geometra. Se hablar, pues, del estudio del lgebra, de la geometra, de la estadstica, etc. En este descender hacia objetos de estudio cada vez ms especficos, la oposicin de lo genrico y de lo especfico se vuelve a encontrar cada vez, aunque sin que se anulen las oposiciones de niveles superiores. Habr as una especificidad del estudio de tal mbito matemtico, que se dejar a su vez declinar en niveles ms finos de especificacin, hasta llegar al nivel molecular de organizaciones matemticas puntuales constituidas alrededor de un nico tipo de tareas. Por organizacin didctica se entender pues, a priori, el conjunto de los tipos de tareas, de tcnicas, de tecnologas, etc., movilizadas para el estudio concreto en una institucin concreta. El enfoque clsico en didctica de las matemticas ha ignorado en general los aspectos ms genricos de la organizacin del estudio de un tipo dado de sistemas didcticos. (sta es por ejemplo la actitud clsicamente adoptada, tratndose de los sistemas didcticos escolares, a propsito de la cuestin de la evaluacin, del trabajo fuera de clase, de su evaluacin, etc.) Por contraste, la problemtica ecolgica, que es uno de los principales motores de la TAD, conduce a examinar cuestiones que pueden situarse en un punto cualquiera del eje genericidad-especificidad, porque los problemas especficos del estudio de una organizacin matemtica local particular permanecen en general mal planteados mientras no se analicen las elecciones didcticas, conscientes o no, hechas a niveles organizativos de menor especificidad. En consecuencia, el enfoque antropolgico contempla aspectos de la5

Enjeu didactique en el original.


organizacin del estudio generalmente vistos como relevantes de elecciones pedaggicas, es decir polticas, exteriores al campo de cuestionamiento de la didctica de las matemticas.Una organizacin didctica O comporta pues mltiples niveles de especificacin, de los cuales ninguno debera ser descuidado y que dependen, en algunos aspectos al menos, de la didctica. As, en un primer nivel, se sitan las condiciones y restricciones propias de un sistema de enseanza y de sus centros, que se aplican poco o mucho a todas las materias que all se estudian: para el sistema escolar francs, se situar aqu, sobre todo, la existencia de cursos de estudios estrictamente definidos, de programas nacionales, la distribucin de alumnos de un nivel de estudios dado (6,5,4, etc.) entre varias comunidades de estudio casi autnomas -las clases de nivel considerado -, la importancia concedida a los profesores en relacin con otras posibles ayudas al estudio, la existencia de sistemas y dispositivos didcticos auxiliares (clases de verano, mdulos, etc.) En un segundo nivel, se situarn los determinantes especficos de tal materia que figuran en tal curso de estudios: se situarn aqu, por ejemplo, las formas didcticas que tienen sentido a priori para el conjunto de la materia estudiada -como el tratamiento de la experimentacin o de la demostracin, en sus aspectos generales, en matemticas. Del mismo modo, los niveles siguientes de especificacin concernirn los aspectos propios de cada uno de los niveles de organizacin de la materia estudiada -global, regional, local, puntual.

El topos del alumno y la otra escena En el marco de los sistemas didcticos escolares = S(X;y;P), a los que nos limitaremos en lo sucesivo, los tipos de tareas integrados en una praxeologa matemtica son, tradicionalmente, realizados por un individuo solo. El alumno xX debe aprender a factorizar, solo, sin la ayuda de otro, algunos tipos de expresiones algebraicas; a calcular, por sus propios medios, la suma de fracciones 4/7 + 8/21, etc. En cambio, no tiene que aprenderlo solo: oficialmente l recibe para ello, al menos, la ayuda del profesor y. Las tareas didcticas, en efecto, son, en cierto nmero de contextos, cooperativas, en el sentido que deben ser realizadas en concierto por varias personas x 1 , x 2 , ..., xn , que son los actores de la tarea. Se dir que cada uno de los actores x i debe en este caso efectuar algunos gestos, cuyo conjunto constituye entonces su papel en el cumplimiento de la tarea cooperativa t, gestos que estn a su vez diferenciados (segn los actores) y coordinados entre ellos por la tcnica puesta en marcha colectivamente. Algunos de estos gestos sern vistos como tareas completas, t, para cuya realizacin x i actuar (momentneamente) en autonoma relativa en relacin a los otros actores de la tarea. El conjunto de estas tareas, subconjunto del papel de x i cuando se realiza t segn , es denominado el topos de x i en t.El griego topos significa lugar: el topos de xi es el lugar de xi , su sitio, el lugar donde, psicolgicamente, xi experimenta la sensacin de desempear, en la realizacin de t, un papel a gusto para l. En el caso de una clase, se hablar as del topos del alumno y del topos del profesor. De esta manera, mientras una clase de matemticas hace un ejercicio, lo que es una tarea eminentemente cooperativa, la subtarea consistente en construir el enunciado del ejercicio recae generalmente en el profesor: pertenece a su topos. La tarea consistente en producir -por ejemplo por escrito- una solucin del ejercicio pertenece al topos del alumno, mientras que la tarea consistente, a continuacin, en construir una correccin, pertenece de nuevo al topos del profesor. Si, en el curso de la resolucin del ejercicio, un alumno plantea una pregunta al profesor, efecta tambin lo que est visto ordinariamente como un simple gesto, que reclama un gesto homlogo por parte del profesor -gesto que puede consistir, algunas veces, en... negarse a responder.

Una de las dificultades didcticas ms comunes y ms presentes para un profesor es la


que encuentra para dar un lugar a los alumnos, es decir para crear, segn su intencin, y a propsito de cada uno de los temas estudiados, un topos apropiado, que d al alumno el sentimiento de tener un verdadero papel que desempaar. As, en lo que se puede llamar la enseanza-espectculo, que algunas modas pedaggicas han podido potenciar en los ltimos decenios, los alumnos son incitados a intervenir frecuentemente, pero no intervienen en general ms que como figurantes sin un verdadero papel. En la mayor parte de los casos, sin embargo, una tarea didctica tiene como actores el profesor y los alumnos: cuando el profesor acta en una tarea donde l opera en autonoma relativa, esta tarea aparece generalmente como una sub-tarea en el seno de una tarea ms amplia, donde l coopera con el alumno. El estudio del sistema de las tareas y gestos del profesor y, ms generalmente, de cualquier otra ayuda al estudio (padres, etc.), no se debe realizar de manera aislada: detrs de la actividad del profesor, se debe percibir sin cesar la actividad del alumno. Un punto esencial de esta visin consiste en examinar, en toda organizacin didctica escolar, la calidad y la cantidad del trabajo autnomo exigido a los alumnos x i (para asegurar un buen rendimiento en trminos de aprendizaje) y que es invisible (oficialmente) para el profesor y.(Existe tambin, por supuesto, todo un trabajo exigido por y e invisible para x, que cuenta por igual en la viabilidad de una organizacin didctica...) Sucede a veces que este trabajo invisible, cumplido por el alumno en otra escena, que el profesor puede en principio ignorar, tiende a ocupar lo esencial del espacio de estudio, como en el ejemplo que aparece a continuacin.El estudio y la clase: el curso H, un caso extremo ...a los cinco aos, fui inscrito en el curso H. Este establecimiento deba su reputacin a un dispositivo muy particular, que comportaba varios elementos. Ignoro si, en el espritu de sus creadores -quiz valdra mejor decir, de sus ingenieros-, los diversos elementos del dispositivo eran deliberadamente combinados. Para m, lo fueron, y lo siguen siendo. 1. Slo nos convocaban una vez por semana, por la maana, para una sesin de dos horas. 2. Al final de la sesin, nos entregaban un breve documento mimografiado, llamado la hoja, que prescriba con una impecable precisin los deberes, ejercicios, lecciones, lecturas que debamos hacer en casa durante el intervalo, guiados, supervisados, instruidos por nuestras repetidoras o, para los menos afortunados, por nuestras madres. 3. Las madres y las repetidoras asistan al curso, separadas de los alumnos por una delgada barrera. No estaban autorizadas a intervenir pero a veces se manifestaban ruidosamente por los suspiros, las exclamaciones, quejosas o indignadas, ante nuestros desfallecimientos, nuestros despistes [...]. 4. Una misma institutriz, -para nosotros, Mlle. Haussoye- nos regentaba desde la undcima clase a la sptima inclusive. 5 Durante el curso, nada nos era enseado (es por ello por que me resisto a llamarlo curso). Lo que aprendamos, lo aprendamos en casa, con la condicin de seguir al pie de la letra las prescripciones de la hoja. La sesin semanal era en realidad un examen e incluso una especie de oposicin. ramos en efecto clasificados al final de cada sesin [...]. Nos separbamos despus de la entrega de los resultados para volvernos a ver la semana siguiente. Nuestros amigos se reclutaban en otra parte. All no tenamos ms que competidores. J.B. Pontalis, Lamour des commencements, Gallimard, Paris, 1.994, pp. 11-12.

Por regla general, sin embargo, el espacio del estudio tiende desde hace tres decenios a restringirse -en principio- a la escena oficial de la clase. Es sin embargo mediante el trabajo oculto, invisible, que responde a las necesidades de estudio generadas por el trabajo en clase sin ser asumidas por la organizacin didctica oficial, por el que se crean o se refuerzan, silenciosamente, las desigualdades de xito entre los alumnos. Lo recordaremos, ms adelante, a la hora de evaluar una organizacin didctica.


El problema del topos del alumno comporta un aspecto en cierto sentido inverso al anterior. El alumno puede ser su propio director de estudio, y lo es necesariamente en algunas cosas. Por el contrario, no sabra ensearse a s mismo, desde el principio, lo que precisamente l debe an aprender: entre el alumno y el profesor, la separacin es clara. La consecuencia de este estado de hecho no debe ser subestimada: si la aparicin del profesordirector del estudio puede empobrecer la cultura didctica del alumno-estudiante, el mal uso de la funcin de enseanza conduce ms radicalmente a invalidar el aprendizaje matemtico en s mismo.Hay una situacin de la que Guy Brousseau ha sealado con fuerza el carcter eminentemente problemtico: el contrato didctico, observa l, coloca al profesor delante de una verdadera conminacin paradjica. Todo lo que l hace para conseguir del alumno los comportamientos que l espera tienden a privar a este ltimo de las condiciones necesarias para la comprensin y el aprendizaje de la nocin que se persigue: si el maestro dice lo que quiere, no lo puede obtener (primera paradoja didctica). Pero el alumno est tambin delante de una conminacin paradjica: si l acepta que, segn el contrato, el maestro le ensee los resultados, l no los establece por s mismo, y, as, no aprende las matemticas, no se las apropia. Aprender implica para l rechazar el contrato pero tambin aceptar hacerse cargo de l. El aprendizaje va pues a reposar, no sobre el buen funcionamiento del contrato, sino sobre sus rupturas.

El alumno debe aceptar al profesor como director del estudio y, al mismo tiempo, renunciar casi violentamente a las engaosas facilidades que le ofrece como profesor -y esto, en principio, a propsito de cada uno de los momentos del estudio, evaluacin e institucionalizacin comprendidos. El drama didctico que la palabra topos resume se anuda as alrededor del juego del maestro: siempre sutilmente presente, aunque en ausencia, ste debe saberse ausentar incluso en presencia, a fin de dejar al alumno libre para conquistar una independencia que la figura tutelar del profesor hace a la vez posible e incierta. Los momentos didcticos Como toda organizacin praxeolgica, una organizacin didctica se articula en tipos de tareas (generalmente cooperativas), en tcnicas, en tecnologas, en teoras. Pero cmo describir tal organizacin? Cules son por ejemplo los principales tipos de tareas? No hay que esperar que la (re)construccin, en el curso de un proceso de estudio, de una organizacin matemtica dada se organice ella misma de una manera nica. Pero se constata sin embargo que, cualquiera que sea el camino de estudio, ciertos tipos de situaciones estn necesariamente presentes, incluso si lo estn de manera muy variable, tanto en el plano cualitativo como en el plano cuantitativo. Llamaremos a estos tipos de situaciones momentos de estudio o momentos didcticos porque se puede decir que, sea cual sea el camino seguido, se llega forzosamente a un momento donde tal o cual gesto del estudio deber ser cumplido: donde por ejemplo, el alumno deber fijar los elementos elaborados (momento de la institucionalizacin); donde deber preguntarse qu vale lo que se ha construido hasta entonces (momento de la evaluacin); etc.La nocin de momento no remite ms que en apariencia a la estructura temporal del proceso de estudio. Un momento, en el sentido dado a la palabra aqu, es en primer lugar una dimensin en un espacio multidimensional, un factor en un proceso multifactorial. Bien entendido, una sana gestin del estudio exige que cada uno de los momentos didcticos se realice en el buen momento, o ms exactamente, en los buenos momentos: pues un momento de estudio se realiza generalmente en varias veces, bajo la forma de una multiplicidad de episodios que prorrumpen en el tiempo. En esta visin, se indicar que el orden puesto,

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico despus, sobre los diferentes momentos didcticos es de hecho ampliamente arbitrario, porque los momentos didcticos son en primer lugar una realidad funcional del estudio, antes de ser una realidad cronolgica.

El primer momento del estudio es el del primer encuentro con la organizacin O que est en juego. Un tal encuentro puede tener lugar de varias maneras, pero un modo de encuentro -o de reencuentro- inevitable, a menos que uno se quede en la superficie de la obra O, es el que consiste en encontrar O a travs de al menos uno de los tipos de tareas Ti constitutivas de O. Este primer encuentro con el tipo de tareas Ti puede tener lugar en varias veces, en funcin sobre todo de los entornos matemticos y didcticos en los que se produce: se puede volver a descubrir un tipo de tareas como se vuelve a descubrir una persona que se crea conocer.1. Qu es lo que se encuentra en un primer encuentro con una organizacin matemtica O? La cuestin de la identidad del objeto as encontrado por primera vez merece examinarse. Si existen en efecto primeros encuentros anunciados -Maana comenzaremos el coseno de un ngulo agudo, indica por ejemplo el profesor- existen tambin, en el otro extremo, primeros encuentros verdaderos que, sin embargo, pasan casi enteramente desapercibidos porque, en la institucin donde se producen, el objeto encontrado es en cierta manera un personaje de segundo, incluso a veces de tercer rango, que slo se encuentra porque est en estrecha relacin con el objeto verdadero del encuentro. Esta observacin nos conduce pues a distinguir el punto de vista del organizador del estudio -ya se trate del alumno, del profesor o del ingeniero didctico- y el punto de vista del observador. Para el primero, slo algunos objetos requieren una puesta en escena introductoria, mientras los otros se introducen sin previos, como silenciosamente, en la organizacin matemtica que se construye. Para el segundo, la cuestin del primer encuentro se podr plantear a propsito de cada uno de los objetos que se introducen en la organizacin matemtica en construccin, y ello por ejemplo en una perspectiva de reorganizacin curricular, con la intencin de otorgar mayor relieve a un objeto culturalmente y didcticamente secundario que se desea promocionar. Cules son las formas posibles del primer encuentro? Cuando est expresamente organizado, parece que apenas aparecen ms de dos grandes formas, cuyas mltiples combinaciones, en sus variantes desarrolladas o, al contrario, degradadas, agotaran entonces el espacio de lo posible. El primer encuentro puede inscribirse en una problemtica cultural-mimtica. En este caso, mediante una narracin con valor de informe a partir de una indagacin sobre el mundo, el objeto encontrado aparece en primer lugar como existiendo por otra parte, en algunas prcticas sociales. A este submomento cultural, donde el objeto no existe ms que en efigie, de manera que el estudiante slo tiene con l relaciones ficticias, le sigue un submomento mimtico donde, mediante la manipulacin efectiva del objeto, se supone que estudiante imita la prctica -jugando por ejemplo, al matemtico, al gegrafo, al crtico literario, etc. En la versin ms exigente, el encuentro cultural-mimtico conduce en principio a buscar y explicitar -bajo el modo discursivo- las razones de ser de los objetos as encontrados, es decir, los motivos por los que este objeto ha sido construido o aquellos por los que, al menos, persiste en la cultura. Pero las razones de las cosas no afloran siempre claramente en la cultura. Por ello el encuentro cultural-mimtico puede degradarse en una parodia de la prctica, que oculta las razones de la prctica. Por reaccin, y en el lado opuesto, se puede querer descartar toda referencia a una realidad preexistente que se tratara de reproducir imitndola, en beneficio de una realidad sui gneris, identificada para un sistema de situaciones llamadas fundamentales (que se pueden denominar umbilicales), cuyo actor principal, si no nico, es el alumno, solo o en equipo, y que hacen nacer el objeto, ante sus ojos, como aquello que permite fabricar una respuesta a una serie de cuestiones determinadas. El encuentro en situacin conduce as a proponer, de hecho, y quiz incluso de derecho, una definicin del objeto encontrado

2.

3.

4.

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico que no quiere reducirse a una simple copia de las definiciones depositadas en la cultura, sino que, en muchos casos, aparece a priori como un verdadero aadido a la cultura -aadido del que conviene entonces mostrar la compatibilidad con las definiciones conocidas, en la medida en que, al menos, esta definicin en situacin no est ya integrada en el patrimonio cultural. 5. Como ocurre con el encuentro cultural-mimtico, el encuentro en situacin incluye tambin un submomento cultural -cuya forma ms espectacular es el efecto Jourdain.6 Es preciso, en efecto, que toda situacin de primer encuentro efectivo sea una situacin umbilical. En muchos casos, la definicin del objeto por un sistema de situaciones fundamentales se encuentra subrepticiamente descartada en beneficio de una puesta en escena del objeto en unas actividades que, a pesar de algunos rasgos culturales conservados, no tienen ms que una relacin bastante alejada con sus razones de ser ms esenciales. De una manera ms general, existe en las prcticas didcticas corrientes una amplia gama de formas hbridas de primeros encuentros, donde una referencia cultural incompletamente asumida se ala en grados variables con una introduccin en situacin ms o menos adecuada en los planos epistemolgico y cognitivo. Se sealar por fin que si, como es evidente, el primer encuentro no determina enteramente la relacin al objeto -el cual se construye y se modifica a lo largo del proceso de estudio-, s juega sin embargo un papel importante en la economa del aprendizaje, porque, dado el coste institucional y personal que impone (en el doble plano cognitivo y de deseo), orienta en general fuertemente el desarrollo ulterior de las relaciones institucional y personal al objeto encontrado.

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El segundo momento es el de la exploracin del tipo de tareas Ti y de la elaboracin de una tcnica i relativa a este tipo de tareas. Se sealar que, contra cierta visin heroica de la actividad matemtica, que la presenta como una serie errtica de enfrentamientos singulares con dificultades siempre nuevas, lo que est en el corazn de la actividad matemtica es ms la elaboracin de tcnicas que no la resolucin de problemas aislados. A la ilusin moderna del alumno-hroe que supera sin necesidad de lucha toda dificultad posible, se opone tambin la realidad indispensable del alumno-artesano laborioso que, con sus condiscpulos, bajo la conduccin reflexiva del profesor, elabora pacientemente sus tcnicas matemticas. En realidad, el estudio y la resolucin de un problema de un tipo determinado va siempre a la par con la constitucin de al menos un embrin de tcnica, a partir del cual una tcnica ms desarrollada podr eventualmente emerger: el estudio de un problema particular, espcimen de un tipo estudiado, aparecera as, no como un fin en s mismo, sino como un medio para la constitucin de una tcnica de resolucin. Se trama as una dialctica fundamental: estudiar problemas es un medio que permite crear y poner en marcha una tcnica relativa a los problemas del mismo tipo, tcnica que ser a continuacin el medio para resolver de manera casi rutinaria los problemas de este tipo. El tercer momento del estudio es el de la constitucin del entorno tecnolgico-terico [/ ] relativo a i. De una manera general, este momento est en interrelacin estrecha con cada uno de los otros momentos. As, desde el primer encuentro con un tipo de tareas, hay generalmente una puesta en relacin con un entorno tecnolgico-terico anteriormente elaborado, o con grmenes de un entorno por crear, que se precisar en una relacin dialctica con la emergencia de la tcnica. Por razones de economa didctica global, a veces6

Guy Brousseau introdujo, dentro de los llamados efectos del contrato didctico (Brousseau, 1998), el efecto Jourdain para referirse a aquellas situaciones didcticas en las que el alumno consigue la respuesta correcta mediante un conocimiento banal y el profesor da fe del valor de la actividad mediante un discurso matemtico y epistemolgico sabio. En la obra de Molire Le bourgeois gentilhomme, el profesor descubre al alumno Sr. Jourdain que ste habla en prosa. N. de los T.


las estrategias de direccin de estudio tradicionales hacen en general de este tercer momento la primera etapa del estudio, etapa que es entonces comn al estudio de varios tipos de problemas Ti -todos los que, entre los tipos de problemas a estudiar, aparecen como relativos al mismo entorno tecnolgico-terico [/ ]. El estudio de estos tipos de problemas se presenta entonces, clsicamente, como una serie de aplicaciones del bloque tecnolgicoterico as puesto en marcha. El cuarto momento es el del trabajo de la tcnica, que debe a la vez mejorar la tcnica volvindola ms eficaz y ms fiable (lo que exige generalmente retocar la tecnologa elaborada hasta entonces), y acrecentar la maestra que se tiene de ella: este momento de puesta a prueba de la tcnica supone en particular uno o unos corpus de tareas adecuados tanto cualitativamente como cuantitativamente.La tcnica utilizada ms arriba para determinar el mximo de una funcin algebraica elemental no ha sido trabajada ms que sobre dos especmenes. Un trabajo ms avanzado es necesario, aunque sea solamente para explorar el alcance de esta tcnica - no ser que slo funciona precisamente para esos dos especmenes? Consideremos as el problema siguiente: determinar el rectngulo de rea mxima que se puede inscribir en un crculo de radio r. Si x es la medida de uno de los lados del rectngulo, el otro lado tiene por medida y = (2r)2 x2 , y el rea del rectngulo se escribe xy. Este rea es mxima al mismo tiempo que la expresin (xy)2 , que es igual a x2 (4r2 -x2 ), expresin que alcanza su mximo cuando x2 = 4 r2 - x2 = 2r2 , i.e. para x = y = r 2. Como se ver ms adelante, se puede extender el alcance de esta tcnica para resolver, por ejemplo, el problema siguiente: En un rectngulo de cartn de 50 cm por 80 cm, se quiere construir una caja sin tapadera, recortando en cada uno de los rincones un cuadrado de lado x cm. Determinar x para que la caja obtenida tenga una capacidad mxima.

El quinto momento es el de la institucionalizacin, que tiene por objeto precisar lo que es exactamente la organizacin matemtica elaborada, distinguiendo claramente, por una parte, los elementos que, habiendo concurrido a su construccin, no le hayan sido integrados y, por otra parte, los elementos que entrarn de manera definitiva en la organizacin matemtica considerada -distincin que buscan precisar los alumnos cuando le preguntan al profesor, a propsito de tal resultado o tal procedimiento, si hay o no que saberlo.1. Los otros momentos del estudio, en efecto, slo nos libran una organizacin matemtica en obras, donde el trabajo realizado, que se quiere duradero, se mezcla necesariamente con los relieves de una construccin elaborada por ensayos, retoques, paradas y avances. Ahora bien, lo que merece durar, lo que quiere ser perenne no se impone nunca por s mismo y con toda seguridad. Tal ejemplo, cuyo examen ha servido para el proyecto de construccin, revelando unas perspectivas a priori desconocidas, tal estado de tal tcnica, que se habr empleado mucho tiempo para rebasarla, tal teorema, en s mismo insuficiente pero que fue el primer resultado demostrado, se integrarn en la organizacin matemtica definitiva, o bien se descartarn? El momento de la institucionalizacin es pues, en primer lugar, el que, en la construccin en bruto que poco a poco, ha emergido del estudio, van a separar, por un movimiento que compromete el porvenir, lo matemticamente necesario, que ser conservado, y lo matemticamente contingente que, pronto, ser olvidado. En este submomento de oficializacin, una praxeologa matemtica separada ya de la historia singular que la hizo nacer, hace su entrada en la cultura de la institucin que ha albergado su gnesis. Es necesario sin embargo que esta entrada en la cultura determine completamente el devenir institucional de la praxeologa matemtica as oficializada. En un segundo submomento, el de la institucionalizacin strictus sensu, los objetos y las relaciones oficiales, ingredientes declarados de la organizacin en construccin, van a ser activados en grados diversos y, por ello, van a trabajar. Algunos objetos raros, oficializados en buena y debida manera, no tendrn de hecho, una vida ulterior. (As, al principio del

2.

El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico Libro I de los Elementos, Euclides introduce la nocin de romboide, que no ser utilizada en el resto de la obra). Pero esa no es la ley general: el roce institucional provoca normalmente la evolucin de las relaciones oficiales hacia formas estables no degeneradas, las relaciones institucionales que, aunque se constituyen solidariamente con las relaciones personales de los actores del estudio, parecen pronto emanciparse hasta el punto de parecer gobernarlas. 3. Normalmente, es la fase de institucionalizacin la que relanza el estudio contribuyendo a poner en evidencia tal o cual tipo de problema que, aunque relevante de la organizacin matemtica local [ i / i //], no ha sido todava estudiado o no lo ha sido ms que T insuficientemente. De una manera ms general, el estudio completo de O puede ser descrito as. Sean T1 , ..., Tn la serie de tipos de problemas asociados a la tecnologa , supuestamente estudiados en este orden. Para todo i, 1in, una organizacin puntual [Ti /i /i /i ] (constituida alrededor del tipo de problemas Ti ) se construye y viene a integrarse a la organizacin local ya elaborada parcialmente, [Tj /j /(j)/(j)]1ji1 , para producir la organizacin local [Tj /j /(j)/(j)]1ji . Cuando i = n, se debe tener [Tj /j /(j)/(j)]1jn = [Ti /i //]1in , es decir, la organizacin matemtica local aludida. sta, a su vez, deber integrarse en la organizacin global construida en ese momento. El proceso de estudio va as cada vez a reabrir la organizacin matemtica existente, para modificarla enriquecindola, simplificndola, etc.

El sexto momento es el de la evaluacin, que se articula con el momento de la institucionalizacin: la suposicin de relaciones institucionales transcendentes a las personas, en efecto, fundamenta razonablemente el proyecto de evaluar las relaciones personales refirindolas a la norma que el momento de la institucionalizacin habr hipostasiado. En la prctica, se llega a un momento en el que se debe hacer balance: porque este momento de reflexividad donde, cualquiera que sea el criterio y el juez, se examina lo que vale lo que se ha aprendido, este momento de verificacin que, a pesar de los recuerdos de infancia, no es en absoluto invencin de la Escuela, participa de hecho de la respiracin misma de toda actividad humana.La operacin de evaluacin debe ser entendida as en un sentido ms amplio: detrs de la evaluacin clsica de relaciones personales, es decir, detrs de la evaluacin de las personas, se perfila la evaluacin de la norma misma de la relacin institucional que sirve de patrn. Cunto vale, de hecho, la organizacin matemtica

El Analisis de Las Practicas Docentes en La Teoria Antropologica de Los Didactico

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