Ecricome 2011 E-c

Corrig ECRICOME Eco 2011 par Pierre Veuillez

EXERCICE 1

On dit quune matrice A carre dordre n est une matrice nilpotente sil existe un entier naturel knon nul tel que

Ak1 6= 0n et Ak = 0no 0n reprsente la matrice carre nulle dordre n.Soit A une matrice carre dordre n, on dit que le couple (; N) est une dcomposition de Dunfordde A lorsque : 8

Si = 2 (et 6= 1 ) alors

(2)()8

0@1 0 10 0 10 1 0

1A L1L2 $ L3

0@1 0 01 1 00 0 1

1A0@1 0 10 1 0

0 0 1

1A L1 + L3 ! L3L2L3 ! L3

0@1 0 00 0 11 1 0

1A0@1 0 00 1 0

0 0 1

1A L1 + L3 ! L3L2L3 ! L3

0@ 2 1 00 0 11 1 0

1Aet on prend soin de vrier le produit !

Conclusion : P1 =

0@ 2 1 00 0 11 1 0

1A

4. a) N1 =

0@0 0 10 0 20 0 0

1A 6= 0; N2 =0@0 0 10 0 2

0 0 0

1A0@0 0 10 0 20 0 0

1A =0@0 0 00 0 0

0 0 0

1AConclusion : N est une matrice nilpotente.

b) est diagonalisableN est nilpotente

N =

0@ 3 1 02 0 00 0 1

1A0@0 0 10 0 20 0 0

1A =0@0 0 10 0 2

0 0 0

1A = Net N =

0@0 0 10 0 20 0 0

1A0@ 3 1 02 0 00 0 1

1A =0@0 0 10 0 2

0 0 0

1A = N donc N = Net enn, +N = A

Conclusion : (; N) est une dcomposition de Dunford de la matrice A

c) Comme et N commutent , on a pour tout entier n :

An = (N + )n

=nXk=0

n

k

Nknk si n 2 et aussi pour n = 1

=

n

0

N0n +

n

1

N1n1 +

nXk=2

n

k

Nknk

= n + nNn1

Conclusion : pour tout n 2 N : An = n + nNn1d) Pour k = 1 on a N = NSoit k 1 tel que kN = N alors k+1N = kN = N = NConclusion : Pour tout entier naturel k 1; kN = N

e) On a pour n 1 1 donc pour n 2 : n1N = N = Nn1 puisquelles commutentdonc An = n + nN avec n diagonalisable (= PDnP1 ) et nN nilpotente puisque(nN)2 = n2N2 = 0

Enn, n et nN commutent puisque et N le font.

Corrig ECRICOME 2011 Page 3/10

Conclusion : (n; nN) sera une dcomposition de Bedford pour n 2(1; 1N) = (; N) lest encore pour n = 1(0; 0N) = (I; 0) lest aussi pour A0 (avec 00 6= 0)

EXERCICE 2

On considre lapplication ' dni sur R+ par :' (x) = 1 x2 ln (x) si x > 0' (0) = 1

ainsi que la fonction numrique f des variables relles x et y dnie par :

8 (x; y) 2 ]0;+1[ ]0;+1[ ; f (x; y) = xy + ln (x) ln (y)

PARTIE I. Etude des zros de '.

1. En +1 : ' (x) = 1 x2 ln (x)! 1' (x)

x= 1

x x ln (x)! 1 et on a donc une branche parabolique verticale.

2. En 0 : x2 ln (x) = ln(x)1=x2! 0 avec ln (x) = o (1=x2)

Donc ' (x) = 1 x2 ln (x)! 1 = ' (0) donc ' est continue en 0:de plus elle est continue sur ]0;+1[ comme produit de fonctions continuesConclusion : ' est continue sur R+:

3. ' est drivable sur R+ comme produit de fonctions drivables (x > 0 pour le ln)

'0 (x) = 2x ln (x) x2

x= x (2 ln (x) + 1)

4. En 0; on calcule le taux daccroissement : pour x > 0

' (x) ' (0)x 0 = x ln (x)! 0

Conclusion : ' est drivable en 0 et '0 (0+) = 0et sa courbe a un tangente horizontale en 0

5.x 0 1=

pe +1

2 ln (x) + 1 % 0 % +x '0 (x) 0 + 0 ' (x) 1 % & 1

(on rsout de tte 2 ln (x) + 1 = 0 puis on a le signe par le sens de variations)

6. On rappelle que ln (2) ' 0; 7.' > 0 sur [0; 1=

pe] et il ny a pas de solution sur cet intervalle.

'p

2

= 1 2 ln p2 = 1 ln (2) > 0' (2) = 1 4 ln (2) < 0


etp

2 > 1padonc ' est continue et strictement dcroissante sur

p2; 2donc bijective dep

2; 2sur

lim2 '; limp2 '

; intervalle qui contient 0.

Donc il existe un unique 2 p2; 2 tel que ' () = 0:Et comme ' est strictement dcroissante sur

i1pe;+1

h; il ny a pas dautres solutions et suri

0; 1pe

inon plus.

Conclusion : il existe un unique rel tel que : ' () = 0 etp

2 < < 2.

7. I =R

0' (x) dx

' est continue sur [0; ] donc I converge.Mais on ne peut pas la calculer en intgrant par parties sur [0; ] (drivabilit de ln en 0)Soit " > 0

Z "

' (x) dx =

Z "

1 x2 ln (x) dx

= [x]" Z "

x2 ln (x) dx

soit u (x) = ln (x) : u0 (x) = 1=x et v0 (x) = x2 : v (x) = x3=3 avec u et v de classe C1 sur ["; ]Z "

x2 ln (x) dx =

x3

3ln (x)

"

Z "

x3

3xdx

=3

3ln () x3 ln (x)

x3

9

"

! 3

3ln ()

3

9

et donc Z "

' (x) dx! 3

3ln () +

3

9=

Z 0

' (x) dx

On se souvient que' () = 1 2 ln () = 0 donc 2 ln () = 1 et 3 ln () = do

I = 3

3

9

= (6 + 2)

9

8. On considre les deux suites (an)n2N et (bn)n2N dnies par :a0 =

p2 et b0 = 2;

8n 0; si ' (an)'an + bn

2

< 0 alors an+1 = an et bn+1 =

an + bn2

8n 0; si ' (an)'an + bn

2

0 alors an+1 = an + bn

2et bn+1 = bn

On reconnat dans ce programme la mthode de dichotomie.Pour crire un crire un programme en Pascal calculant a7 et b7, il y a simplement suivre ladnition mathmatique donne pour lcrire, en plaant les termes successifs des suites a et bdans a et b , les raectation pour an+1 = an et bn+1 = bn tant inutiles.Program dicho ;

function phi(x :real) :real ;


begin

if x>0 then phi :=1-x*x*ln(x) else phi :=1 ;

end ;

var a,b : real ; n :integer ;

begin

a :=sqrt(2) ;b :=2 ;

for n :=1 to 7 do

if phi((a+b)/2)phi(a)

donc@2f

@x2(x; y) = 1

x2y2'

1

y

1

=yx

21 '

1

y

et de la mme faon

@2f

@y@x(x; y) =

@

@y

y +

1

xln (y)

= 1 +

1

xy

et@2f

@y2(x; y) =

@

@y

x+ ln (x)

1

y

= ln (x)

y2

= 1y2x2'

1

x

1

=

x

y

21 '

1

x

pour tous rels x et y strictement positifs.

4. Donc en (x; y) =

1

;

1

on a :

r =@2f

@x2

1

;

1

=

2(1 ' ())

= 1

s = 1 + 2

t = 1

Donc rt s2 = 1 (1 + 2)2 = 2 (2 + 2) < 0Donc, sur louvert ]0;+1[ ]0;+1[ ; la fonction f ne prsente pas dextremum local, ni global fortiori !

EXERCICE 3

PARTIE I. Un jeu en ligne.

La socit Lehazard met la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page dcrana che une grille trois lignes et trois colonnes.Aprs une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction alatoire place au hasard successivementtrois jetons (F) dans trois cases direntes. La partie est gagne si les trois jetons sont aligns. Legagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros lissue du jeu. Dans le cas contrairela mise initiale est perdue par le joueur.

A B C1 F2 F3 F


On dnit les vnements H; V; D; N par :H : les trois jetons sont aligns horizontalement . V : les trois jetons sont aligns verticalement .D : les trois jetons sont aligns en diagonale .N : les trois jetons ne sont pas aligns .

1. Les positionnement sont dtermins par lensembles (sans ordre) des 3 positions distinctesparmi 9.il y en a donc

93

= 987

321 = 3 4 7 = 842. (H) est form de 3 positionnements : ligne 1, 2 ou 3, les positionnements tant quiprobables

(on le suppose) donc P (H) =3

84

(V ) est form de 3 positionnements : colonne A; B ou C donc P (V ) =3

84

(D) comporte es deux diagonales descendants et ascendantes. Donc P (D) =2

843. (H; V;D;N) tant un systme complet dvnements,

P (N) = 1 P (V ) P (H) P (D)= 1 8

84= 1 2

21

=19

21' 0:9048

4. La socit peut sattendre 10 000 relances par jour de ce jeu.

a) Pour chaque entier naturel i non nul. on note Zi le gain de la socit la ieme relance.Lors de la ieme relance, la socit peux gagner 2 euros (la mise) si N ou en perdre 18sinon.Donc Zi () = f2;18g. avec P (Zi = 2) = P (N) = 1921 et P (Zi = 18) = 221 ; donc

E (Zi) = 219

21 18 2

21

=38 36

21=

2

21

Conclusion : E (Zi) = 221 ' 0; 1b) le gai total est la somme des gains chaque relance donc Z =

PZi et E (Z) = 10000 221 '

1000

Conclusion : En moyenne, la socit gagnera peu prs 1000e par jour , mais elle peutesprer beaucoup plus !

PARTIE II. Cas de joueurs invtrs.

1. Un Joueur dcide de ,jouer 100 parties conscutives que lon suppose indpendantes.

a) X est le nombre de parties gagnes en 100 parties indpendantes, la probabilit de gagnchacune tant de 2

21

Conclusion : X ,! B 100; 221

b) on a donc E (X) = 200

21et V (X) = 2

211921

10


c) En p100 parties, X sont gagnes (gain 18X) et 100X perdues (perte 2 (100X) )La perte totale est donc T = 2 (100X) 18X = 200 20X(On peut compter diremment : il mise 200 et reoit 20 par partie gagne donc 20X)

Conclusion : T = 200 20X2. Avec n parties au lieu de 100, lvnement U = gagner au moins une partie est lvnementcontraire de (X = 0)

P (X = 0) =n0

221

0 1921

nDonc

P (U) = 1

19

21

n 0:5

()

19

21

n 1

2

() n ln

19

21

ln (2) (attention ln

19

21

< 0)

() n ln (2)ln

1921

' 0; 70:1

Conclusion : il faut jouer au moins 7 (ou 8) partie pour en gagner au moins uneavec une probabilit suprieure 50%

3. Un autre joueur dcide de jouer et de miser tant quune partie nest pas gagne . On note Y lavariable alatoire gale au nombre de parties joues pour gagner la premire fois.

a) Tant que le joueur na pas gagn, il joue et gagne la suivante avec une mme probabilit221

Donc Y est le rang sans mmoire de la premire victoire et Y ,! G 221

b) On a donc E (Y ) =

21

2' 10 et V (Y ) = 19=21

(2=21)2=

19 214

c) le joueur .joue au plus k parties avant de gagner pour la premire fois est lvnementcontraire de le joueur perd les k premires parties qui scrit P1 \ P2 : : : Pk et dont la probabilit est P (P1) PP1 (P2) PP1\\Pk1 (Pk) avecPi pour perdre la ieme; le conditionnement donnant la continuation de ces mises ruineuses.Donc

pk = 1

19

21

kPARTIE III. Contrle de la qualit du jeu.

On constate que, parfois, la fonction alatoire est drgle. Dans ce cas, elle place le premier jetondans la case (A; 1) , les deux autres tant placs au hasard dans les cases restantes. On note lvnement la fonction alatoire est drgle et on pose P () = x avec x 2 ]0; 1[.1. Sachant ; les positions sont dtermines par la seule combinaison des 2 autres positions parmiles 8 restantes.Il y a donc

82

= 87

21 = 28 positionnements possibles et quiprobables.(H) est prsent rduit la ligne 1; V la colonne A et D la diagonale descendante.

Conclusion : P (H) = P (V ) = P (D) =1

28


2. On a donc P (N) = 1 328

=25

28Sachant ; lexprience se fait dans les conditions de la partie I et les probabilits sont donc

celle de la partie I : P (N) =19

21;

est un systme complet dvnement donc

P (N) = P (N) P () + P (N) P ()= x

25

28+ (1 x) 19

21

= x25

4 7 + (1 x)19

3 7=

25 3 19 43 4 7 x+

19

21

= x84

+19

21

Conclusion : la probabilit les jetons ne soient pas aligns est gal P (N) = x84

+19

21

3. Soit G la variable alatoire gale au gain ralis par la socit de jeu lors dune partie joue.On a donc P (G = 2) = P (N) et P (G = 18) = P N = 1 P (N)Donc

E (G) = 2

x

84+

19

21

18

1 +

x

84 19

21

= 20

84x+

2

21

Donc

E (G) > 0() 2084x+

2

21> 0

() x < 221

84

20=

2

5

Conclusion : le gain moyen reste positif tant que x

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