Econométrie_burundi_simulation

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ASSISTANCE TECHNIQUE AU MINISTERE DE LA PLANIFICATION, DU DEVELOPPEMENT ET DE LA

RECONSTRUCTION NATIONALE EN MODELISATION MACROECONOMIQUE AU BURUNDI

BURUNDI

Edouard Nsimba Macroconomiste / Modlisateur

Fvrier 2008E 1113

RAPPORT FINAL

VOLUME 1 : RENFORCEMENT DES CAPACITES SUR LES REGRESSIONS, TESTS, SIMULATIONS ET PROJECTIONS DU MODELE INPLABURA SOUS LE LOGICIEL EVIEWS,

Y COMPRIS LE CADRE INSTITUTIONNEL

MANUEL DUTILISATEUR

Rapport final- volume 1 : Renforcement des capacits, Regressions, Tests, Simulations et Projections du

Modle INPLABURA sous le logiciel Eviews, y compris le cadre institutionnel et le Manuel dutilisateur

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TABLE DES MATIERES

1 CONTEXTE ...............................................................................................................6

1.1 Le renforcement des capacits...........................................................................7

1.2 Mthodologie et droulement des activits de formation................................7

1.3 Evaluation ...........................................................................................................10

1.4 Conclusions et recomandations.......................................................................11

2 BREF RAPPEL DES CONCEPTS DE MODELISATION, ESTIMATION, TESTS ET SIMULATION ........................................................................................12

2.1 Concepts de modlisation.................................................................................12

2.2 Estimation, tests et simulation .........................................................................18

2.3 Tests paramtriques des modles ...................................................................24 2.3.1 Tests diagnostics sur les termes derreurs ou rsidus ..................................27 2.3.2 Test de restriction sur les coefficients ...........................................................37 2.3.3 Test de stabilit .............................................................................................39 2.3.4 Analyse des 12 statistiques du tableau des rsultats....................................41

2.4 Simulation...........................................................................................................45

3 ESTIMATION DU MODELE LINEAIRE A UNE EQUATION SOUS EVIEWS ........53

3.1 Spcification et hypothses..............................................................................53

3.2 Etapes suivre pour estimer le modle avec Eviews ....................................53 3.2.1 Saisie de donnes sous Excel (feuilles dentre) ..........................................54 3.2.2 Importation des donnes...............................................................................54 3.2.3 Estimation sous Eviews.................................................................................57

3.3 Tests sur le modle............................................................................................60 3.3.1 Tests diagnostics sur les termes derreurs ....................................................60 3.3.2 Estimation en prsence dauto corrlation des erreurs .................................66

3.4 Tests de restrictions sur les coefficients.........................................................67 3.4.1 Test de significativit globale (test de Fisher) ...............................................67 3.4.2 Test de significativit des coefficients individuels (test de Student) ..............67



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3.5 Tests de stabilit ................................................................................................68 3.5.1 Tests de Chow ..............................................................................................68 3.5.2 Test CUSUM .................................................................................................69

4 RENFORCEMENT DES CAPACITS : MODELE A SIX EQUATIONS (MODLE DE LAWRENCE KLEIN)........................................................................71

4.1 Saisie, importation et estimations du modle .................................................73

4.2 Ecriture globale et rsolution du modle sous Eviews ..................................73 4.2.1 Insertion des fonctions de comportement et des quations comptables.......74 4.2.2 Choix de simulation et de lalgorithme...........................................................75

4.3 Elaboration des scnarios et projections ........................................................78

4.4 Exportation des rsultats, des simulations et projections dEviews vers Excel (feuilles de sortie) ....................................................................................83

5 MISE A JOUR DU MODELE...................................................................................85

6 TRAITEMENT INFORMATIQUE DU MODELE INPLABURA ................................86

6.1 Construction de la base des donnes..............................................................87

6.2 Estimation des fonctions de comportement ...................................................93 6.2.1 Saisie des donnes sous Excel (feuilles dentre) ........................................93 6.2.2 Importation des donnes...............................................................................94 6.2.3 Estimations....................................................................................................97

6.3 Module I : Ressources ou offres de biens et services....................................98 6.3.1 Fonction de comportement PIB_AGRIV (EQ1 : agriculture vivrire).............98

6.4 Tests sur la fonction PIB_AGRIV....................................................................101 6.4.1 Tests diagnostics sur les termes derreurs ..................................................101

6.5 Module II : Emplois ou demande finale des biens et services.....................122 6.5.1 Fonction de comportement : consommation publique, prix constant

(EQ46).........................................................................................................122 6.5.2 Fonction de comportement: consommation priv, prix constant (EQ47).....128

6.6 Module III: Prix relatifs, dflateurs implicites et indices des prix................135 6.6.1 Fonction de comportement : dflateur implicite du PIB au prix du march

(EQ54).........................................................................................................135 6.6.2 Fonction de comportement: Taux de change (EQ56) .................................142

6.7 Module V: Finances publiques........................................................................148 6.7.1 Fonction de comportement : total recettes courantes (EQ81).....................148 6.7.2 Fonction de comportement : total dpenses sur biens et services (EQ82) .154



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6.8 Module VI : Situation montaire......................................................................160 6.8.1 Fonction de comportement : demande de monnaie (EQ126) .....................160 6.8.2 Fonction de comportement : offre de monnaie (EQ127) .............................165

6.9 Module IX: Secteur social................................................................................171 6.9.1 Fonction de comportement : Pauvret (EQS1) ...........................................171 6.9.2 Fonction de comportement : Education (EQS2)..........................................177 6.9.3 Fonction de comportement : Sant (EQS3) ................................................183

6.10 Ecriture globale et rsolution dINPLABURA sous EViews .........................189 6.10.1 Insertion des fonctions de comportement et des quations comptables.....190 6.10.2 Choix de simulation et de lalgorithme.........................................................192 6.10.3 Elaboration des scnarios et projections.....................................................194 6.10.4 Analyse des politiques dimpact ..................................................................196

6.11 Cadre institutionnel..........................................................................................199

Annexes ....................................................................................................................191



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ABREVIATIONS BM : Banque Mondiale BRB : Banque de la Rpublique du Burundi CI : Couverture dImportation CSPL : Cadre Stratgique de Lutte Contre le Pauvret EGC : Modle dEquilibre Gnral Calculable FMI : Fond Montaire International INPLABU : Systme dinformation et de planification du Burundi INPLABURA : INPLABU rnov et amnag ISTEEBU : Institut de la Statistique MINIFIN : Ex-Ministre des Finances MFECD : Ministre des Finances, de l'Economie et de la

Coopration au Dveloppement MPDRN : Ministre de la Planification du Dveloppement et de la

Reconstruction Nationale OMD : Objectifs du Millnaire pour le Dveloppement PIB : Produit Intrieur Brut PIP : Programme dInvestissements Publics RNB : Revenu National Brut RNDB : Revenu National Disponible Brut PAGE : Projet dAppui a la Gestion Economique SOFRECO : Socit Franaise de Ralisation, dEtudes et de Conseil SP/REFES : Secrtariat Permanent de Suivi des Reformes

Economiques et Sociales TEE : Tableau Economique dEnsemble TES : Tableaux dEntre-Sortie VEC : Modle Vectoriel Correction dErreurs



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1 CONTEXTE Un contrat a t sign entre le Projet dAppui la gestion Economique (PAGE) du Burundi et la Socit Franaise de Ralisation, dEtudes et de Conseil (SOFRECO) pour la mise disposition dune Assistance Technique de 6,3 hommes/mois auprs du Ministre de la Planification du Dveloppement et de la Reconstruction Nationale (MPDRN) intitule Assistance Technique au Ministre de la Planification du Dveloppement et de la Reconstruction Nationale en Modlisation Macroconomique au Burundi . LAssistance Technique a t organise en trois phases : Pendant la premire phase en fvrier 2007, ltat des lieux du modle

existant a t effectu et le rapport diagnostic intitul Assistance Technique au Ministre de la Planification du Dveloppement et de la Reconstruction Nationale en Modlisation Macroconomique au Burundi a t soumis au PAGE et au MPDRN et approuv ;

Pendant la deuxime phase de la mission (avril 2007 juin 2007) une analyse approfondie du modle a t effectue ainsi quun renforcement des capacits des cadres de service de planification macroconomique et dautres institutions et organisations sur la conception (spcification) du modle INPLABURA. Deux rapports ont t soumis au PAGE en juillet 2007:

- Rapport sur la formation des cadres lutilisation du modle propos : Modle dinformation et de planification du Burundi rnov et amnag (INPLABURA) ; - Rapport sur le modle de planification macroconomique du Burundi rnov et amnag (INPLABURA) : Spcification et Concepts ;

La troisime et dernire phase du projet a eu lieu du 16 septembre 2007 au 16 dcembre 2007. Le rapport final restitue les nombreux ateliers de formation auxquels 21 cadres de lquipe de contre-partie ont t forms et les activits et produits du projet. Ce rapport est surtout un Manuel dUtilisateur dtaill du modle INPLABURA au Burundi. Le rapport final du projet a t soumis au PAGE en mars 2008 :

- Rapport final, volume 1 : Rapport sur le renforcement des capacits sur les regressions, tests, simulations et projections du modle inplabura sous le logiciel Eviews, y compris le cadre institutionnel Manuel dUtilisateur ; - Rapport final, volume 2 : Stratgie pour la production rgulire de l Economie Burundaise et des notes de conjoncture .



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1.1 Le renforcement des capacits

Lobjectif principal de la troisime phase tait de doter les 21 cadres des outils ncessaires pour le traitement informatique du modle INPLABURA. Le prsent rapport restitue les Sessions de formation et a un triple objectif : Servir de rfrence de base aux utilisateurs effectifs, c'est a dire, ceux qui

ont particip aux ateliers de formation dEviews ; Servir de rfrence pour tous les utilisateurs potentiels qui n'ont pas pu

suivre la formation EViews, par manque de temps ou pour des problmes de duplication d'horaire ;

Prenniser la mmoire institutionnelle pour viter les erreurs du pass. Ds son arrive Bujumbura lors de cette dernire mission, lexpert SOFRECO a prpar un rapport qui incluait lanalyse des besoins en matire de formation ainsi quun plan global de renforcement des capacits des cadres pour la troisime phase du projet. Ce rapport : Programme de formation et calendrier dexcution a t valid le 25 septembre 2007 au cours dune runion, laquelle ont particip les cadres de lquipe contre-partie locale (voir en annexe le compte rendu de la runion de lquipe de mise en place du modle INPLABURA). A cette occasion, un comit de supervision a t tabli. Ce comit tait compos de Messieurs : Emile SINZUMUSI, Directeur Gnral de la Planification et de la Prospective, Faustin HABIMANA, Directeur de la Planification Centrale, Tharcisse YAMUREMYE, Expert Macro conomiste au PAGE et Edouard NSIMBA, Expert en Modlisation de SOFRECO.

1.2 Mthodologie et droulement des activits de formation La formation des cadres sest faite autour des trois modles : modle une quation, modle six quations et modle INPLABURA. Outre un rappel des notions de comptabilit nationale, de concepts macroconomiques, des thories de relations conomiques internationales et des notions des statistiques et des mathmatiques, les 21 sessions de formation se sont focalises sur le traitement informatique de ces modles et leur rsolution. Pour le modle six quations, la formation sest articule autour des tches suivantes : Saisie des donnes statistiques sur Excel (feuilles dentres) Etape destimation :

- Importation des donnes par EViews (depuis Excel) - Estimation des fonctions de comportement - Application des diffrents tests, interprtation et analyse



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Ecriture de rsolution globale du modle : - Insertion des quations comptables - Choix du type de simulation - Choix de lalgorithme de rsolution - Test de convergence ou validation du modle

Critres dvaluation du modle Mthode de projection

- Choix de projection : statique ou dynamique - Choix de la priode de projection ou prvisions - Traitement des variables exognes

Elaboration des scnarios - Scnario central ou solution de base ( base line solution ) - Scnario alternatif I - Scnario alternatif II - Scnario alternatif III - Scnario alternatif IV

Contrle des rsultats et en assurer la cohrence (introduction des variables de contrle)

Exportation des rsultats de simulation et projections dEViews vers Excel (feuilles de sortie)

Construction des tableaux sous Excel Analyse des politiques dimpacts Mise jour du modle. Les sances de formation pour le modle INPLABURA ont t conues autour des 9 modules qui constituent le modle : MODULE I : Ressources ou production des biens et services MODULE II : Emplois des ressources ou demande finale des biens et

services MODULE III : Prix relatifs, dflateurs implicites et indice des diffrents prix MODULE IV : Marche du travail, emploi, chmage MODULE V: Finances publiques MODULE VI: Situation montaire MODULE VII : Balance des paiements MODULE VIII : Gestion de la dette extrieure MODULE IX : Secteur social : pauvret, ducation et sant Les diffrentes tches ont t accomplies : Construction de la base ou banque des donnes statistiques Saisie des donnes sur Excel (feuilles dentres)



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Etape destimation : - Importation de la base des donnes par EViews (depuis Excel) - Estimation des fonctions de comportement

Ecriture de rsolution globale du modle : - Insertion des quations comptables - Choix du type de simulation - Choix de lalgorithme de rsolution

Test de convergence ou validation du modle Le programme de formation et le renforcement des capacits a dbut le 25 octobre pour sachever le 23 novembre 207. Il y a eu au total 21 sessions ; une session par jour ouvrable, hauteur de 2h00. Tous les ateliers de formation ont eu lieu KU KAYANGE, KININDO. La formation tait oriente vers la pratique, avec lutilisation intense des ordinateurs avec la collaboration de PAGE qui a fourni lquipement lectronique et quelques ordinateurs quips de logiciel EViews. Trois supports didactiques ont t mis disposition pour les sessions de formation, savoir: Introduction au Logiciel EViews, Economtrie applique et gestion de

modles par KEHO Yaya, enseignant lENSEA dAbidjan, Cte DIvoire ; Rapport sur la formation des cadres lutilisation du modle propos :

modle dInformation et de Planification du Burundi Rnov et Amnag (INPLABURA), Juillet 2007;

Programme de formation et calendrier dexcution. Le rapport contient des photos numriques. Ces photos sont accompagnes par des paragraphes qui expliquent les commandes dexcution, interprtations et analyses des rsultats, qui peuvent aider lutilisateur effectif ou potentiel. KEHO Yaya sest occup de la formation des cadres sur EViews. Lexpert de SOFRECO sest concentr sur linterprtation et les analyses des rsultats au niveau macroconomique. Au dbut de chaque session de formation, lexpert de SOFRECO dsignait un participant ou une participante pour rdiger le procs-verbal de la session. Le lendemain, le participant prsentait son travail et rpondait aux questions. Les procs-verbaux prpars par les participants sont attaches en annexe de ce rapport. Il est conseill aux utilisateurs effectifs (les 21 cadres qui ont suivi la formation) et aux utilisateurs potentiels, de lire le chapitre dintroduction de ce rapport (Bref rappel des concepts de modlisation, estimation, tests et simulation). Ce chapitre traite les sujets qui nont pas t suffisamment labors et dautres qui nont pas t abords pendant les sessions de formation.



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Par exemple, un survol thorique sur les diffrents modles et des tests statistiques qui peuvent tre dune grande utilit : les tests Breush-Pagan, Goldfeld-Quandt, Harvey, Glesjer, Ramsey, ARCH, Wald, Box-Pierce et le test du rapport de vraisemblance gnralis (RVG). Lorsquon estime des fonctions de comportement sous EViews, pour chaque quation, EViews fourni un tableau de 12 statistiques : R-squared , Adjusted R-squared , S.E. of regression , Sum of squared resid , Log likelihood , Durbin-Watson stat , Mean dependent var , S.D. dependent var , Akaike info criterion , Schwarz criterion , F-statistic et Prob (F-statistic) . Afin de juger la qualit et la performance de chaque fonction de comportement, il est ncessaire dinterprter et danalyser ces 12 statistiques (voir section : Analyse des 12 statistiques du tableau des rsultats ).

1.3 Evaluation Les 21 cadres qui ont particips aux ateliers de formation taient repartis en cinq groupes. Chaque groupe a travaill dune manire indpendante. Chaque groupe sest occup sans beaucoup des difficults des trois modles. Le groupe I a procd par programme et les quatre autres quipes ont utilis lapproche par menu. Les cinq groupes ont avanc des estimations et effectu tous les tests (tests diagnostic sur les rsidus, de restriction sur les coefficients et tests de stabilit) du modle linaire simple. Ensuite, avec les bases ainsi acquises- ils se sont attaqus au modle six quations. Ils ont effectu toutes les tches : saisie des donnes sous le logiciel Excel, importation des donnes par EViews, estimations, tests, simulation, laboration des scnarios, projections, exportation des rsultats vers Excel, analyse des politiques dimpact et mise jour du modle. Les cinq quipes ont russi la convergence du modle six quations. Les cinq groupes ont galement travaill sur le modle INPLABURA. Ils ont accompli la plupart des tches. Malgr la taille du modle INPLABURA, les cinq quipes les unes aprs les autres et dune manire indpendante ont russi la convergence du modle INPLABURA. Ceci veut dire que la solution mathmatique du modle existe, sa cohrence interne est confirme et sa validit globale est vrifie.



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1.4 Conclusions et recomandations

Lquipe actuelle de modlisation, devrait tre maintenue et soutenue (voir section Cadre Institutionnel). Une fois que le parachvement du modle INPLABURA est fait, lquipe pourra grer le modle sans grande difficult. Il est recommand, daccomplir les tches qui restent encore faire, pour rendre le modle INPLABURA oprationnel. Comme le modle INPLABURA a dj converg, les ateliers de formation lavenir devraient se concentrer sur les activits suivantes : Application des diffrents tests (test diagnostic sur les rsidus, test de

restriction sur les coefficients et test de stabilit), interprtation et analyse Critres dvaluation du modle Mthode de projection Choix de projection : statique ou dynamique Choix de la priode de projection ou prvisions Traitement des variables exognes Elaboration des scnarios :

- Scnario central ou solution de base (base line solution) - Scnario alternatif I - Scnario alternatif II

Contrle des rsultats et assurer la cohrence des prvisions (introduction des variables de contrle)

Exportation des rsultats de simulation et projections dEViews vers Excel Construction des tableaux sous Excel (feuilles de sortie) Analyse des politiques dimpacts Inclusion ou limination dune ou plusieurs quations dans le programme de

rsolution Mise jour du modle.

Rapport final- volume 1 : Renforcement des capacits, Regressions, Tests, Simulations et Projections du Modle INPLABURA sous le logiciel Eviews, y compris le cadre institutionnel et le Manuel dutilisateur

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2 BREF RAPPEL DES CONCEPTS DE MODELISATION, ESTIMATION, TESTS

ET SIMULATION Nous allons aborder, divers concepts relatifs la modlisation, estimation et simulation. En ce qui concerne la section consacre lestimation, vous retrouverez des tests que vous avez appliqus lors des ateliers de formation. Cependant, il y a aussi des tests que vous navez pas utiliss: le test de Breusch-Pagan, Goldfred-Quandt, Harvey, Glesjer, Ramsey, ARCH, Box-Pierce et le test du rapport de vraisemblance gnralis (RVG).

2.1 Concepts de modlisation Cette section a pour but de faire un bref rappel des concepts courants, souvent utiliss dans la littrature empirique de modlisation. On y trouve des concepts comme modle linaire (la variation de la variable dpendante est proportionnelle la variation de la variable explicative), modle log-linaire (le taux de variation de la variable dpendante est proportionnel au taux de variation de la variable explicative), modle exponentiel (le taux de variation de la variable dpendante est proportionnel la variation de la variable explicative), modle logarithmique (la variation de la variable dpendante est proportionnelle au taux de variation de la variable explicative), modle non-linaire, modle une quation, modle quations multiples, modle quations simultanes, modle quations rcursifs, modle auto rgressif (AR), modle moyenne mobile (MA), modle ARMA (mobile auto rgressif), modle ARIMA (moyenne mobile auto rgressif intgr), modle uni vari (cest--dire, dcrivant les variables une par une, indpendamment de leur interaction), modle multivari (prise en compte de problmes de simultanit et de linterdpendance des variables), modle vectoriel auto rgressif (VAR), modle vectoriel correction derreurs (VEC), modle ARCH (htroscdasticit conditionnelle auto rgressif), modle retards infinis, modle dcalage gomtriques, modle quadratique, modle canonique, modle dquilibre gnral calculable (EGC), tableaux dentre-sortie (TES), modle statique, modle dynamique, modle dynamique linaire baysien, les modles de donnes de panel (modle effets fixes individuels, modle effets alatoires individuels). Il faut ajouter les modles variables qualitatives binaires et les modles variables dpendantes limites, notamment les modles PROBIT, LOGIT et TOBIT. On trouve aussi des concepts tels que la simulation statique, la simulation dynamique, la simulation dterministe et la simulation stochastique. Pour chaque type de modle correspondent des tests statistiques appropris, des mthodes destimation et des choix de simulations avec des algorithmes outills rsoudre mathmatiquement les modles. Equation 1: Ct = + Yt Equation 2: Ct = 0 + 1Yt + 2 Pri Xt + 3 Ct-1

Rapport dfinitif : Renforcement des capacits, Regressions, Tests, Simulations et Projections du Modle

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Lquation (1) est un modle linaire simple et lquation (2) est un modle linaire auto rgressif. Dans tout travail de modlisation, la premire tape est la spcification du modle. Le modle (1) sinspire de la thorie de la demande qui tablit une relation linaire entre la variable explique ou dpendante C et la variable explicative ou indpendante Y. La deuxime tape est la collecte des donnes statistiques. Les donnes statistiques en modlisation peuvent tre regroupes en trois catgories : sries temporelles ou longitudinales (annuelles, trimestrielles, mensuelles), donnes en coupe instantane ou transversales et donnes double indice ou de panel. Pour le modle (1), on peut collecter des donnes statistiques sur la consommation (C) et sur le revenu (Y). La troisime tape est lestimation. Les paramtres et nont pas de donnes observables. Puisque les donnes statistiques de ces deux paramtres nexistent pas, nous devons donc estimer leurs valeurs. Pour ce faire nous devons nous assurer de la mthode destimation. Une fois que la fonction de comportement du modle est estime, il faut procder des tests pour vrifier si les hypothses qui sous-tendent la rgression sont respectes (voir section : Tests paramtriques des modles). Il y a des modles non-linaires qui sont linarisables et dautres pas. Par exemple, INPLABURA est un modle non-linaire cause de la prsence de la fonction de production Cobb-Douglas (les fonctions de production du module I). Equation 3 : Qt = AK L Toutefois, les proprits mathmatiques de Cobb-Douglas ont permis ce que le modle INPLABURA soit transform dans un modle linaire grce notamment lutilisation des logarithmes (pour des informations plus dtailles sur la fonction Cobb-Douglas, voir Rapport sur la formation des cadres lutilisation du modle propos : modle dInformation et de Planification du Burundi Rnov et Amnag (INPLABURA), Juillet 2007, E1113, SOFRECO, pages 24-25). Une fois INPLABURA linairis , on peut estimer les fonctions de comportement par la mthode des moindres carrs ordinaires (MCO) et appliquer les diffrents tests lis aux modles linaires (voir section : Traitement informatique du modle INPLABURA). Et si INPLABURA avait la fonction de production Elasticit de Substitution Constante (ESC) ? Equation 4 : Q= 1 (2 K3 + (1-2)4



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Mme en recourant aux transformations logarithmiques, il serait impossible de linairiser la fonction de production ESC (quation 4). Tout modle qui a comme fonction de production ESC nest pas linairisable . Dans ce cas, les MCO et les tests statistiques utiliss deviennent inappropris et il faut recourir des mthodes destimation et tests non-linaires. Un modle peut tre statique ou dynamique. Llment temps aide distinguer le modle statique et dynamique. Dans un modle statique, les variables explicatives sont figes dans le temps : Yt=f(Xt), la variable dpendante Y au temps t est explique par la variable indpendante X au temps t. Un modle statique suppose une conomie au comportement fig et rptitif, ou voluant dune manire linaire facilement prvisible. Par contraste, quand on a une ou plusieurs variables explicatives retardes dans une quation, on dduit quon est en prsence dun modle dynamique. Par exemple: Yt=f(Xt-1) ; Y au temps t dpend de la valeur prcdente de la variable explicative X. Un modle dynamique est capable de capturer lvolution socio-conomique dans le temps. Il est ouvert a tous les scnarios dvolution, y compris les scnarios de rupture. Llment temps aide aussi reprer un modle auto-rgressif (AR). Mais ici, cest la variable dpendante ou explique qui figure aussi la droite de lquation avec des valeurs (donnes statistiques) retardes dune ou plusieurs priodes. Par exemple : Yt=f(Xt,Yt-1). Il y a cinq sortes des modles dynamiques : 1) le modle structurel variables explicatives retardes, 2) le modle auto-rgressif (AR), 3) le modle des moyennes mobiles (MA, particularit : les rsidus des priodes prcdentes sont inclus dans le modle), 4) le modle ARMA, et 5) le modle ARIMA. Il y a aussi le modle VAR (vectoriel auto-rgressif) qui est en fait un modle AR mais gnralis au cas multivari. Le modle ARMA (modle de moyenne mobile auto rgressif) est la synthse des modles AR et MA. Le modle ARIMA (moyenne mobile auto-rgressif intgr) est une extension du modle ARMA. Les modles MA, ARMA, ARIMA ont t labors dans les annes 70s, suite la dception occasionne par les erreurs des prvisions des modles structurels (modle comportant des fonctions des comportements et quations comptables, reposant sur une ou plusieurs thories conomiques, capable dexpliquer les relations entre les variables dpendantes et indpendantes et de faire des simulations et prvisions/projections). Les modles structurels dinspiration Keynsienne non pas prvu le premier choc ptrolier en 1973.



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La forte augmentation des prix du ptrole (en provenance de loffre) cassa le triptyque sur lequel reposaient les conomies occidentales : forte croissance, stabilit des prix et quilibre interne (budget) et externe (balance des paiements). Les modles structurels, dont la quasi-majorit sont des modles de demande, non pas pu annoncer le choc ptrolier (un choc de loffre globale) qui a branl les conomies occidentales et a prcipit les pays industrialiss dans la stagflation conomique, avec comme consquence la monte du chmage et linflation (pour plus des dtails, voir le Rapport sur la formation des cadres lutilisation du modle propos : modle dInformation et de Planification du Burundi Rnov et Amnag (INPLABURA), Juillet 2007, E1113, SOFRECO, pages 107-109). En 1970 Box et Jenkins publirent un ouvrage contenant la construction du modle ARMA, qui a t une rvolution en soi. Il ne sagit plus de construire un modle reposant sur une spcification qui rationalise et explique les relations de causalit entre les variables expliques et explicatives. Lapproche de Box et Jenkins est simple : on fait des prvisions non pas avec un modle structurel (on tablit une relation de causalit entre la variable dpendante et variables indpendantes, puis on fait des projections partir des tendances passes) mais plutt on projette la variable dpendante en se basant sur sa srie temporelle (la srie temporelle dsigne la fois les sries relles chronologiques et ltude de lvolution dune ou des variables alatoires indices par le temps et qui sert modliser ces premires) et en utilisant les proprits statistiques de la dite srie (moyenne, variance, covariance, etc). Par exemple, pour faire des prvisions sur la consommation, ARMA ne sappuie pas sur une thorie conomique. ARMA utilise les proprits statistiques de la srie temporelle de la variable consommation et introduit comme variable indpendante la consommation retarde dune ou plusieurs priodes (ce qui confre le caractre auto rgressif et dynamique au modle) et des chocs alatoires en gnral- de moyenne nulle, de variance constante et non auto-corrls. Quand la variable qui capte ces chocs alatoires est retarde, on est en face dun modle de moyenne mobile. Il y a une diffrence entre le modle ARMA et ARIMA. Le modle ARMA peut utiliser seulement des sries stationnaires (des moments du premier ordre qui sont invariants au cours du temps). Alors que le modle ARIMA est apte dutiliser les sries non stationnaires aprs avoir dtermin le niveau dintgration (le nombre de fois qu'il faut diffrencier la srie avant de la rendre stationnaire). Les modles ARMA et ARIMA ont t trs populaires cause de la qualit de leurs prvisions. Toutefois, ces modles souffrent de deux limitations : ils sont capables de ne traiter quune seule variable et sont inaptes pour lanalyse des politiques dimpact.



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Contrairement aux modles structurels, les modles ARMA et ARIMA ne sont pas capables de rpondre une question du genre : quel est lincidence de laugmentation du prix du ptrole (IP_PETRO) sur la croissance conomique du Burundi (PIB_M) ? Ou sur la balance des paiements (BALRES) ? Ou encore sur la consommation prive, cest--dire sur les mnages burundais (CP_CS) ? Pour palier un tel manquement, Sims a propos en 1980 le modle VAR qui permet de traiter plusieurs variables la fois. Cependant le modle VAR est diffrent des modles structurels. Dabord, le modle VAR ne comporte que des variables endognes (il ny a pas des variables exognes). Ensuite, le modle VAR (tout comme les modles ARMA et ARIMA) ne repose sur aucune thorie conomique. En outre, les modles ARIMA et VAR ne peuvent capturer que des phnomnes linaires. Or certains agrgats macroconomiques sont lis par des relations non-linaires. Toutefois, linhabilit du modle VAR de capturer et dexpliquer la dynamique conomique a suscit beaucoup du scepticisme de la part du monde acadmique, des institutions de modlisation nationales et internationales ainsi que des conomtres praticiens, qui ont soulign le manque dutilit pratique de ces modles. Pour rendre le modle VAR plus acceptable et utile, Blanchard et Watson (1986) et Bernanke et Sims (1986) ont construit une nouvelle gnration de modles : le modle vectoriel auto rgressif structurel (VARS). Le modle VARS est la combinaison des modles structurels et VAR. La grande innovation de VARS est lintroduction de la fonction de rponse aux chocs (FRC) et de la dcomposition de la variance de lerreur de prvision (DVEP). La FRC et la DVEP grce leurs mcanismes de transmission des chocs asymtriques et symtriques ont rhabilit et ont contribu fortement la conscration des modles VAR structurels qui sont de nos jours utiliss pour lanalyse des chocs extrieurs et intrieurs (simulation et analyse des politiques dimpact) sur les conomies nationales. Diverses institutions (universits, banques centrales, ministre des finances et de lconomie, ministre du plan, organisations internationales, bureaux dtudes et de recherche, etc.) utilisent ces modles, pour quantifier et analyser les incidences des chocs extrieurs et intrieurs sur lconomie dun pays (variation du taux de change, dtrioration des termes de lchange, augmentation du prix de ptrole, hausse non-anticipe du taux dintrts domestique, scheresse, baisse drastique des mouvements des capitaux, etc). La contribution de Robert F. Engle (prix Nobel dconomie en 2003, cause de sa grande contribution la fiabilit des prvisions conomiques) a t dterminante car il a dvelopp le modle ARCH (htroscdasticit conditionnelle auto rgressif) en 1982, dans lequel il a tenu compte des phnomnes linaires et non-linaires des processus stochastiques temporels.



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Le modle ARCH a apport deux innovations majeures : la prise en compte des phnomnes de forte volatilit qui entache quelques sries temporelles (par exemple les sries financires) et lincorporation des variances conditionnelles dpendant du temps, qui aide capturer la volatilit (variabilit instantane mesure par la variance conditionnelle) des sries. Le principe est de remettre en cause lhypothse dhomoscdasticit quon trouve dans le modle linaire (la variance des rsidus ou termes derreur est constante). La contribution dEngle dpasse de loin, le dbat sur la reprsentation linaire ou non-linaire des processus stochastiques temporels. Comme lindiquent Berra et Higins (1993) le modle ARCH et ses extensions correspond une (i) reprsentation spcifique de la non-linarit ; (ii) qui permet une modlisation simple de lincertitude. Le message est simple : au lieu de faire des projections partir de variables exognes comme dans les modles structurels, il est possible de faire de projections en tenant compte de la volatilit (source de lincertitude) partir des sries temporelles qui rsultent des relations non-linaires des agrgats conomiques. Comme lindique Engle : lamlioration des prvisions issues de modles de sries temporelles provient clairement de lexploitation de linformation contenue dans lesprance conditionnelle du processus . Rappelons que quelques conomtres/modlisateurs se sont penchs sur les processus non-linaires en utilisant la moyenne (pas la variance), pour construire des modles ARMA non-linaires, susceptibles dapprhender les mcanismes dasymtrie et de seuil. Les plus connus de ces modles sont : le modle bilinaire (ce modle a une particularit singulire : il est la fois

linaire en Yt et t (terme-derreur ou rsidu) et non-linaire quand Yt et t sont pris ensembles), modle exponentiel auto rgressif (EXPAR, une extension de VAR qui prend en compte la volatilit de la srie temporelle) et les modles auto rgressifs seuils (TAR, SETAR, STAR, ESTAR, LSTAR, MSTAR, MA asymtriques), modle MA non-linaire. Les modles auto rgressifs seuil constituent lune des spcifications possibles de la grande famille des modles non-linaires, appels modles rgime (Hurlin 2004). Lide consiste postuler lexistence de plusieurs dynamiques pour une mme srie (plusieurs rgimes) et spcifier un mcanisme de transition dun rgime lautre (mcanisme de transition stochastique et exogne du type chane de Markov ou mcanisme de transition endogne avec la fonction de transition dpendant de la variable explique et dun seuil). Lapproche du modle ARCH et de ses extensions sappuie sur les processus non-linaires qui utilisent la variance (pas la moyenne). La reprsentation de la variance conditionnellement son information passe, permet de tenir compte des phnomnes de volatilit (Hurlin 2004).



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Il y a deux classes des modles ARCH : linaire et non-linaire. Le modle ARCH linaire repose sur une spcification quadratique de la variance conditionnelle des perturbations : ARCH, GARCH (modle dhtroscdasticit conditionnelle auto rgressif gnralis), IGARCH. Le modle ARCH non-linaire est caractris par une spcification asymtrique des perturbations. Ce sont des modles EGARCH, TARCH, TGARCH.

2.2 Estimation, tests et simulation Il y a plusieurs mthodes destimation. Les plus connues et utilises sont : les moindres carrs ordinaires (MCO), les moindres carrs pondrs (MCP), les moindres carrs contraints (MCC), les doubles moindres carrs (DMC), les triples moindres carrs (TMC), les triples moindres carrs itrs (TMCI), les moindres carrs gnraliss (MCG), les moindres carrs quasi gnraliss (MCQG), les moindres carrs gnraliss ralisables (MCGR), les moindres carrs multivaris (MCM), la mthode du maximum de vraisemblance (MV), la mthode du maximum de vraisemblance information limite (MVIL), la mthode Johansen, la mthode destimation des variables instrumentalises (MEVI) et la mthode de Monte Carlo (MMC). Quelque soit le modle quon construit et quelque soit le pays ou on se trouve (pays dvelopps, pays en dveloppement, pays mergents), le modlisateur est confront deux risques majeurs : lerreur de mesure lie la mauvaise qualit et linsuffisance des donnes statistiques lerreur de spcification du modle. Lerreur de mesure quand elle est grande- remet en cause la crdibilit du modle et la fiabilit de ses projections et de ses analyses. La raison est simple : les estimateurs des paramtres ou coefficients des fonctions de comportement obtenus par la rgression- sont fallacieux, parce quils ne remplissent pas les conditions requises. Lerreur de mesure existe dans tous les pays mais elle est plus leve dans les pays en dveloppement. La disponibilit des donnes statistiques est un rel dfi pour lconomtre/modlisateur. Souvent les sries sont courtes et inconsistantes. Ceci impose beaucoup des contraintes pour la construction des modles conomtriques (fonctions de comportement et quations comptables). Dabord, le modlisateur doit limiter la longueur des lags des variables dans le modle (souvent il faut limiter la dure des lags 2 ans pour le modle annuel). Ceci savre ncessaire pour prserver le degr de libert. La structure des lags aide analyser et valuer la dynamique des coefficients ou paramtres estims du modle. Ensuite, la taille de lchantillon (nombre dobservations ou de donnes statistiques dune population) souvent petite- empche lutilisation de mthodes destimation sophistiques, qui imposent des degrs de libert beaucoup plus grands.



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On a trois sortes de degr de libert : (i) le degr de libert de la variance totale est gal au nombre dobservations moins 1 ; (ii) celui du modle correspond au nombre de variables explicatives moins 1 en incluant la constante et (iii) le degr de libert des rsidus se calcule par la diffrence des deux (variance et modle). Lerreur de spcification peut conduire au problme dauto corrlation, qui rduit la fiabilit des estimateurs. Lerreur de spcification est perceptible quand le modle ne reflte pas correctement (i) la relation entre la variable dpendante ( expliquer) et la ou les variables explicatives ; (ii) la transformation ou changement structurel de lconomie (sil nest pas pris en compte, rend les coefficients estims instables et amplifie souvent lerreur de mesure) ; (iii) la Comptabilit Nationale et dautres comptes (balance des paiements, finances publiques, situation montaire) du pays concern ; (iv) la forme mathmatique du modle (linaire, non-linaire, etc). Deux autres facteurs conduisent lerreur de spcification du modle : lomission dune ou plusieurs variables explicatives qui devraient tre incluses dans le modle et les donnes statistiques qui ont aliment le modle contiennent des erreurs de mesure. Les deux problmes (erreur de mesure et erreur de spcification) peuvent tre rsolus si le ou les modlisateurs travaillent troitement avec les fournisseurs des donnes statistiques. Des techniques comme le filtre de Kalman peuvent tre aussi dune grande utilit pour le modlisateur afin dliminer les effets ngatifs de ces deux types derreur. Il y a aussi une panoplie des tests, que le modlisateur peut utiliser pour amliorer la spcification du modle. Il faut noter que les deux erreurs sont aussi prsentes dans les modles quasi-comptables (modle constitu exclusivement dquations comptables). Ici le problme se pose avec plus dacuit. Le modle quasi-comptable utilise les mmes donnes statistiques qui peuvent tre entaches de lerreur de mesure. Toutefois, le modlisateur ne peut recourir larsenal des tests disponibles, puisque les fonctions de comportement nexistent pas. Implicitement, il incorpore lerreur de mesure dans son modle. Le modle comptable repose aussi sur une spcification qui peut comporter en soi, une erreur de spcification. La spcification doit exclusivement sappuyer sur la Comptabilit Nationale du pays concern. Ceci implique que le modlisateur travaille troitement avec les institutions responsables des comptes nationaux et dautres comptes. Le modlisateur doit avoir une ide prcise sur les concepts, normes et dfinitions des comptes nationaux. Ceci laidera (i) construire un modle qui reflte le fonctionnement de lconomie du pays concern, (ii) rsoudre les problmes de rconciliation inhrents et invitables entre les diffrents comptes nationaux et (iii) rduire le risque derreur de spcification.



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Si ces conditions ne sont pas runies, la fiabilit des analyses et prvisions dun tel modle comptable, laisse dsirer et ne sera daucune utilit pratique. Mme quand les modles quasi-comptables refltent la Comptabilit Nationale, les faiblesses de ces modles subsistent. Les prvisions macroconomiques africaines sont gnralement effectues l'aide de modles boucls plus rudimentaires, dits " quasi-comptables " parce que, fonds sur les TEE et TES de la Comptabilit Nationale, ils intgrent trs peu de relations de comportement mais reproduisent mcaniquement, selon la mthode de Leontief, la structure comptable issue du pass. Utiles l'laboration de budgets conomiques ou de trajectoires moyen terme sous certaines hypothses de croissance du PIB et des exportations, ces modles quasi-comptables s'avrent en revanche incapables de rendre compte de r allocations sectorielles gnres par les rformes structurelles et, par consquent, d'valuer correctement les politiques d'ajustement (Dialogue 1995). Les analyses qualitatives (qui ne sappuient ni sur un modle conomtrique, ni sur un modle comptable), ne sont pas non plus immunises de lerreur de mesure. Dans les rapports qualitatifs on trouve des analyses sur la performance conomique du pays (on analyse lvolution du secteur rel, les prix, lemploi, les finances publiques, la situation montaire et la balance des paiements) avec des prvisions qui sont en ralit des extrapolations. Ces rapports sappuient sur des tableaux statistiques quon trouve dans le texte et en annexe des dits rapports. Or, ces tableaux statistiques comportent des erreurs de mesure. Malgr cette vidence, ces rapports font des recommandations souvent contraignantes aux dcideurs politiques. Les deux approches quantitative (modles conomtriques et comptables) et qualitative utilisent les mmes donnes statistiques et les mmes sources (on suppose que les donnes statistiques proviennent des instances du pays). Lavantage de lapproche conomtrique est que le modlisateur dispose de moyens pour dtecter les deux types derreurs et peut apporter les corrections ncessaires. Lquipe de modlisateurs peut aider les experts des institutions responsables dans la production de donnes statistiques. Les modlisateurs qui sont utilisateurs de donnes statistiques savent exactement le genre de variables (socio-conomiques, financires, etc) dont ils ont besoin pour alimenter le modle. La coopration entre les demandeurs (modlisateurs) et les fournisseurs des donnes statistiques, peut contribuer lamlioration de lappareil statistique.



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Il est prouv que ce sont les conomistes/modlisateurs (John Maynard Keynes, Jan Tinbergen et Wassily Leontief) qui ont cre et amliorer la comptabilit nationale moderne, telle que nous la connaissons de nos jours (voir Rapport sur la formation des cadres lutilisation du modle propos : modle dInformation et de Planification du Burundi Rnov et Amnag (INPLABURA), Juillet 2007, E1113, SOFRECO, page 12).

Outre les deux erreurs (erreur de mesure et erreur de spcification), la mthode destimation choisie pour estimer un modle, peut tre dterminante et conditionne la fiabilit des estimateurs du modle.

Equation 5 : Equation 6 : Equation 7 : Lquation (5) est un modle linaire qui doit tre estime et lquation (6) donne lestimation. La constante et les coefficients ou paramtres estims sont

reprsents par les (estimateurs) et lquation (7) est le rsidu estim du modle dfinit comme la diffrence entre la valeur de y observe et estime. Lidal est dobtenir les estimateurs qui ont les proprits suivantes : sans biais, convergent, efficace et consistant. Quelle est la mthode destimation qui garantirait un tel rsultat ? Pour rpondre il faut sappuyer sur quelques hypothses qui sous-tendent lestimation des modles linaires. Ces hypothses sont les suivantes : la relation entre la variable endogne (explique ou dpendante) Yi doit tre

linaire par rapport aux variables indpendantes (explicatives) Xi ; cette relation de linarit doit rester constante ; lindpendance des lments alatoires capturs par i (terme-derreur ou

rsidu), les rsidus sont indpendants par rapport aux variables explicatives ;

les rsidus sont statistiquement indpendants entre eux ( diffrentes dates et diffrentes chantillons) ;

la distribution des rsidus suit une loi normale ou gaussienne. Ceci est dduit du thorme central limite ;

labsence dauto corrlation entre les variables explicatives ; lesprance mathmatique des rsidus est nulle (ceci implique que les

rsidus sont centrs et permet dobtenir des estimateurs sans biais) ;



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la variance des rsidus est constante, cest--dire i ne varie pas avec la variation des variables explicatives et ne varie pas non plus au cours du temps (ce qui implique que les rsidus ont la mme variance). Cest lhypothse d'homoscdasticit.

Si lune ou plusieurs de ces hypothses sont violes, les MCO ne doivent pas tre utiliss. Par exemple si lhypothse de linarit du modle nest pas prouve, il ne faut pas utiliser les MCO. On pourra utiliser dautres mthodes destimation comme les DMC, les TMC ou le MV. Les MCO utiliss par le Projet lors de lestimation des fonctions de comportement des deux modles : modle une quation et modle 6 quations de Lawrence Klein (prix Nobel dconomie en 1980, fondateur de Projet LINK), sont applicables et valables parce que ces modles sont linaires. Lors des sances de formation du projet, les participants avaient aussi estim les fonctions de comportement du modle INPLABURA. Ceci a t possible car bien quINPLABURA soit un modle non-linaire, il a t linaris grce des transformations logarithmiques. Lhypothse dhomoscedasticit est essentielle pour que les MCO produisent des meilleures prvisions. Cette hypothse est rompue quand la variance des rsidus (termes derreur) varie au cours du temps (ce qui implique que les rsidus ont diffrentes variances) et sont en corrlations avec les valeurs des variables explicatives. Dans ce cas prcis, on est en prsence dun problme dhtroscdasticit. Ce problme nous rvle une information cruciale : il y a une variable explicative importante qui manque dans la spcification du modle. Cette variable se cache dans le rsidu ou terme derreur. Rappelons que dans toute fonction de comportement, la prsence des rsidus savre incontournable et invitable. En effet, les phnomnes conomiques sont complexes et quil est pratiquement impossible de mettre toutes les variables explicatives dans une fonction de comportement. Lomission dune ou quelques variables explicatives dtermine lampleur des rsidus. Si lcart entre les valeurs observes et estimes (rsidus) est important, la fiabilit des prvisions et danalyse du modle est fortement compromise, ses conclusions seront fausses et ses recommandations imprcises, hasardeuses et dangereuses. Lobjectif des MCO consiste estimer les valeurs des paramtres ou coefficients du modle. Pour y arriver, les MCO minimisent la somme des carrs des rsidus, soit le carr de lcart entre les valeurs observes (donnes statistiques collectes) de la variable dpendante (variable quon cherche expliquer et prdire partir des valeurs des variables explicatives) et les valeurs prdites (projection) de la dite variable dpendante.



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Quatre possibilits soffrent pour rsoudre le problme dhtroscdasticit. On commence par identifier la variable explicative qui manque. Si on la trouve, on linclut dans le modle. Dans ce cas on limine lhtroscdasticit (la variable explicative manquante nest plus enfouie dans le rsidu ou termes derreur, elle a t identifie et extirpe, sortie du rsidu, pour figurer explicitement comme variable explicative dans lquation ou fonction de comportement). Ce processus didentification permet de rinstaller lhypothse de lhomoscedasticit du modle linaire. On peut en consquence utiliser les MCO. Malheureusement, dans beaucoup de cas, on ne trouve pas la ou les variables explicatives manquantes. Il faut recourir dautres mthodes destimation comme les MCP ou les MCG. La mthode des MCP consiste corriger les sries (donnes statistiques observes ou collectes) par un dflateur convenable ramenant un rsidu homoscdastique. Ensuite on donne des poids diffrents chaque donne statistique (observation) de la srie. La quatrime possibilit, serait de construire une matrice de correction des donnes statistiques des variables explicatives. Cette matrice vise modifier les donnes statistiques de dpart et enlever la variable inconnue qui se retrouve dans les rsidus. Toutefois, les trois mthodes (identification de la variable manquante, les MCP et la matrice de correction) sont compliques et mnent des rsultats incertains. Il est conseill dutiliser le MCG (exemple Hildreth Lu) cr pour rsoudre ce type de problme. Rappelons que lhtroscdasticit ne produit pas un biais dans lestimation des paramtres (coefficients ou rgresseurs) de lquation ou fonction de comportement (les paramtres ou coefficients estims, cest--dire les estimateurs des MCO restent sans biais ou non-biaiss). Toutefois, la variance et par ricochet lcart-type des coefficients tend tre sous-estime. Ceci a plusieurs consquences ngatives sur le modle. Dabord, lhtroscdasticit tend rendre les variables explicatives statistiquement significatives, alors quen ralit elles sont statistiquement insignifiantes. Ensuite, bien que les estimateurs restent sans biais, ils deviennent inefficaces et inconsistants. Dans ce cas, l'estimation de l'cart type (racine carr de la variance) des rsidus n'a plus de sens et lestimation des carts-types des coefficients nest pas correcte (ceci implique que lintervalle de confiance, le seuil de signification et les tests sur les hypothses ne sont plus fiables). Il est impratif et important de vrifier lindpendance des rsidus. Rappelons aussi que les rsidus dun bon modle prsentent diverses proprits : normalit, linarit, homoscdasticit, et indpendance.



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Si les valeurs estimes par le modle ne correspondent pas aux valeurs observes, il faut procder lanalyse de la distribution des rsidus (termes derreur) en fonction des valeurs estimes de la variable dpendante (explique). Toutefois, si la spcification du modle est bonne, la prsence des rsidus est entirement imputable des erreurs de mesure (lerreur de mesure voque ci-haut). Notez que les rsidus doivent avoir des proprits dune distribution normale (courbe en cloche , symtrique autour de la valeur prdite, avec un aplatissement rgulier des extrmits). Si cette exigence nest pas satisfaite, les tests de signification risquent dtre biaiss. Ceci met en cause le caractre BLUE (meilleurs estimateurs linaires sans biais) qui fait la force des MCO (sans biais, linarit et variance minimale). En effet, selon le thorme de Gauss-Markov, les estimateurs obtenus laide des MCO sont les meilleurs : leur variance est la plus faible et les estimateurs linaires sont non biaiss. Lanalyse de la distribution aide se faire une ide sur la dispersion des rsidus. En pratique la dispersion des rsidus doit tre homogne sur tout le spectre des valeurs de la variable indpendante (hypothse dhomoscdasticit des rsidus). Pour vrifier la linarit des rsidus, il faut sassurer quil nexiste pas de relation visible entre les rsidus et les valeurs prdites de la variable dpendante (explique). Si par exemple on trouve une relation curvilinaire entre les rsidus et les valeurs prdites, cest quil manque un prdicteur non linaire dans le modle (Raufaste 2005). Enfin les rsidus doivent tre indpendants les uns des autres (voir hypothse 4 ci-dessous).

2.3 Tests paramtriques des modles Aprs lestimation des fonctions de comportement, il faut procder aux tests. Quelques prcisions. Il y a des: tests linaires et non-linaires tests paramtriques et non-paramtriques tests bilatraux et unilatraux tests dhomognit et de conformit Les tests non-linaires sont valables pour des modles non-linaires. Notre discussion va se focaliser sur les tests linaires paramtriques pour les modles linaires et les modles non-linaires. Les tests paramtriques peuvent tre subdiviss en deux : test bilatral et unilatral. On parle de test bilatral, quand on rejette lhypothse nulle (hypothse tester) quelque soit le signe des coefficients ; positif ou ngatif. Si on une ide du signe attendu des coefficients, on peut procder des tests unilatraux (test unilatral droit et test unilatral gauche).



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Apres ltape de lestimation des fonctions de comportement par les MCO, vient ltape des tests. Rappelons que les tests que vous avez utiliss sont des tests paramtriques. Un test paramtrique requiert un modle fortes contraintes (normalit des distributions, galit des variances) pour lequel les mesures doivent avoir t ralises dans une chelle au moins d'intervalle. Avant de procder des tests, le modlisateur doit sassurer que la distribution de lchantillon est compatible avec lhypothse dune distribution gaussienne (si la distribution ne suit pas une loi normale, on peut normaliser la srie grce des transformations logarithmiques) ; vrifier lhomognit des variances ; analyser la distribution de probabilit de lchantillon ; dterminer lintervalle de confiance, le seuil de signification, le seuil critique de rejet ou dacceptante des hypothses quil est appel tablir. Un test statistique est une dmarche exprimentale qui consiste accepter ou rejeter lhypothse nulle par rapport un paramtre de la population ou sa loi de probabilit contre une hypothse alternative. Cette dmarche sinspire des expriences en laboratoire des sciences comme la physique, chimie ou la biologie. Pour tre crdible et faire accepter les rsultats de leurs recherches, les chercheurs de ces diffrents domaines, doivent satisfaire la double condition de prcision et de reproductivit . Donner un rsultat sans indication sur sa prcision n'a que peu d'intrt (pour la communaut scientifique, les gouvernements, les entreprises, la presse scientifique et spcialise, etc) simplement parce que le rsultat n'est pas reproductible. Le principe de reproductivit impose une contrainte svre : quelque soit le nombre des fois quon rpte lexprience, le rsultat obtenu ne change pas. Par analogie, le principe est le mme en modlisation, sauf quici le modlisateur propose un intervalle avec un niveau de confiance susceptible de prserver le rsultat, si on renouvelait lexprience. On part du postulat que si on rptait lexprience un nombre infini de fois, les intervalles de confiance calculs contiendraient la valeur du paramtre. Lhypothse nulle (hypothse quon doit tester) est note Ho et lhypothse alternative est indique H1. Lhypothse nulle est prsente de faon tre rfute. Dans le cas de son rejet, lhypothse alternative doit tre accepte. De mme si lhypothse nulle est accepte, lhypothse alternative doit tre rejete. En gnral, lhypothse nulle est la ngation de lhypothse laquelle le modlisateur sintresse rellement. Un test dhypothse est en quelque sorte une dmonstration par labsurde en probabilit (on teste Ho contre H1, en supposant que H1 est vraie).



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Rappelons, quil existe une correspondance directe entre lintervalle de confiance et le test : un intervalle de confiance est gnralement construit comme lensemble des valeurs qui, si elles taient choisies pour lhypothse nulle, conduiraient un rsultat de test non significatif (Poitevineau 2004). Un modlisateur doit dterminer lintervalle de confiance et le seuil de signification pour tre en mesure de procder des tests. Lintervalle de confiance est suppos contenir la valeur du paramtre quon cherche tester. Un intervalle de confiance se traduit par une formule du type : Pr{a < 0 < b}= 1 - o a et b sont les extrmits de l'intervalle. Le niveau du test ou seuil de signification est reprsent par et 1- est appel coefficient de confiance. Lintervalle appel intervalle de contrle contient la caractristique contrler avec une probabilit 1- . Pour un nombre n dobservations (donnes statistiques) fix, plus le seuil ou niveau de confiance est grand, plus l'intervalle est petit cest--dire plus la fiabilit du rsultat (reprsente par le coefficient de confiance) diminue, plus la prcision du rsultat (reprsente par lamplitude de lintervalle de confiance) augmente. Pour fix, plus n grandit, plus la prcision augmente. Notez aussi que plus la probabilit critique (1- ) est faible, plus on aura tendance rejeter lhypothse nulle Ho. Le seuil de signification se dduit de la prcision de lintervalle de confiance. Dans la littrature empirique, lventail des intervalles de confiance des modles varie entre 65% et 99%. A variance gale, plus lintervalle de confiance est leve, plus on gagne en prcision. Par exemple, si on retient un intervalle de confiance de 99%, donc un seuil de signification de 1% (100% - 99% = 1%), on assume que la probabilit de rejeter lhypothse nulle alors quelle est vraie, se situe a 1%. Dans ce cas prcis, le modlisateur est trs strict et se donne une chance sur 100 de se tromper. La probabilit critique est souvent estampille comme p-value et existe dans beaucoup de logiciels destimation et de rsolution de modles. Rappelons que la p-value ou le vrai niveau de signification dun test reprsente le niveau de signification le plus faible auquel une hypothse nulle puisse tre rejete. Le logiciel EViews a retenu la p-value de 0,05, ce qui suppose un intervalle de confiance de 95% et un seuil de signification de 5%. Quand on procde des tests, en utilisant EViews, on accepte lhypothse nulle pour tout p-value suprieur ou gale 0,05 et on rejette lhypothse nulle pour la probabilit infrieur au seuil critique de 0,05. Le modlisateur, doit indiquer le type de test utilis. Les tests couramment utiliss pour les hypothses nulles et alternatives, sinspirent de deux thories



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principales, celle de Fisher et celle de Neyman et Pearson, qui sont rivales, fortement opposs et incompatibles. Ce sont les tests et les p-values de Fisher qui sont programms dans EViews : F-statistic et Prob(F-statistic). Le processus de test qui consiste accepter ou rfuter lhypothse nulle est un acte de dcision. Et toute dcision comporte des risques lis des erreurs dapprciation, de jugement et danalyse. En modlisation, les tests comportent des erreurs parce que la distribution de ces tests est asymptotique et que lchantillon sur lequel travaille lconomtre est fini (Doucour 2007). Il sagit ici de deux espces derreurs, celui de se tromper pour lhypothse nulle et lhypothse alternative. Lerreur de la premire espce consiste rejeter lhypothse nulle Ho alors quelle vraie : la probabilit conditionnelle correspondante est appele risque de premire espce, souvent not (Poitevineau 2004). Lerreur de la deuxime espce consiste accepter lhypothse nulle, alors que cest lhypothse alternative qui est vraie : la probabilit conditionnelle

correspondante, souvent note , et 1- (la probabilit de choisir H1 alors quelle est vraie), est appele la puissance du test (par rapport H1). Toutes choses tant gales par ailleurs, les risques et varient en sens inverse. La puissance du test est en quelque sorte le garde-fou, que le modlisateur doit utiliser pour se prmunir contre les deux types derreurs et viter ainsi des conclusions htives et hasardeuses sur labsence deffet en cas de rsultat non significatif.

2.3.1 Tests diagnostics sur les termes derreurs ou rsidus Les tests diagnostics sur les rsidus ont comme objectif de vrifier (i) si les sries qui alimentent le modle suivent une loi gaussienne (test de normalit) ; (ii) sil y a htroscdasticit des rsidus et (iii) si les rsidus sont autocorolls. Nous allons nous limits quelques tests paramtriques linaires.

Test de normalit Avant de procder aux tests de normalit il faut sassurer que les rsidus entre les valeurs observes et les valeurs calcules par le modle, se comportent comme un bruit blanc normal si : (i) leur esprance (moyenne) est nulle (si la moyenne des rsidus nest pas nulle, il convient dajouter une constante au modle) ; (ii) quils soient homoscdastiques (variance constante) et non autocorrls (covariance nulle) ; et (iii) si le graphe des rsidus en fonction du temps semble approximativement compatible avec une suite de variables alatoires non corrles. Pour vrifier si le processus des rsidus suit un bruit blanc gaussien, il y a plusieurs tests paramtriques disponibles. En ce qui concerne le test de normalit, nous allons nous limiter aux trois tests couramment utiliss : le skewness, le Kurtosis et le test de Jarque-Bera.



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Le skewness est une mesure de lasymtrie de la distribution de la srie autour de sa moyenne. Le skewness dune distribution symtrique implique que la distribution normale est nulle. Le skewness positive signifie que la distribution a une queue allonge vers la droite et le skewness ngative signifie que la distribution une queue allonge vers la gauche. Pour une loi normale, le coefficient de skewness (S) -ou coefficient d'asymtrie- est gale zro et le moment est dordre 3. Le kurtosis mesure le caractre pointu ou plat de la distribution de la srie. Le coefficient de kurtosis (K) -ou coefficient d'aplatissement- vaut 3 et le moment de kurtosis est dordre 4. Cette loi tant caractrise par sa symtrie par rapport la moyenne ainsi que par la faible probabilit des points extrmes. Si le Kurtosis est suprieure 3, la distribution est plutt pointu relativement la normale; si le Kurtosis est infrieure 3, la distribution est plutt plate relativement la normale.

On a donc:

Il s'agit d'un test du type multiplicateur de Lagrange. Une loi normale a un coefficient d'asymtrie (S) = 0 et un coefficient daplatissement de kurtosis (K) = 3. On dduit alors que si les donnes suivent une loi normale, le test s'approche alors de zro et on accepte (ne rejette pas) Ho au seuil . Les tests skewness et kurtosis sont programms dans le logiciel EViews mais par le biais du test de Jarque et Bera. Lorsqueon procde des tests de normalit, on obtiens un tableau avec les trois statistiques : skewness, kurtosis et Jarque-Bera. Les rsultats de skewness et kurtosis devraient tre compatibles avec le test de Jarque-Bera (voir section : tests paramtriques sur le modle). Rappelons quil nest pas possible davoir un skewness et un kurtosis dont les valeurs proches de ceux d'une loi normale, sans pour autant que la srie des donnes suive une loi normale. En dautres termes, on ne peut avoir une incompatibilit entre les deux tests (skewness et kurtosis) et le test de Jarque-Bera. Si les valeurs de skewness et kurtosis sont proches dune loi gaussienne, le test de Jarque-Bera ne fera que confirmer lhypothse nulle de normalit.



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Par contre, si par exemple vous avez un skewness de -0,8 et un kurtosis de 1,5 et que vous utilisez la statistique de Jarque-Bera pour tester la normalit des sries, il y a incompatibilit entre les valeurs de skewness et kurtosis (-0,8 et 1,5) qui sloignent dune loi gaussienne (0 et 3). Dans ce cas, le test de Jarque-Bera rejettera lhypothse nulle alors quelle est vraie. Vous commettrez lerreur de premire espce, puisque vous concluez que la normalit des sries nexiste pas. Mais alors quel est le lien entre les deux tests (skewness et kurtosis) et le test de Jarque-Bera ? Pour pouvoir examiner si la srie est normalement distribue, le test de Jarque-Bera mesure la diffrence du skewness et du Kurtosis de la srie avec ceux de la distribution normale. Le test de Jarque-Bera repose sur les coefficients d'aplatissement et d'asymtrie, donc normalement lorsque ceux-ci sont "trs proches" de ceux d'une loi gaussienne, le test de Jarque-Bera doit confirmer la normalit des sries, cest--dire accepter lhypothse nulle. Le test de Jarque-Bera ne teste pas proprement parler si les donnes suivent une loi normale, mais plutt si les kurtosis et les coefficients d'asymtrie des donnes sont les mmes que ceux d'une loi normale de mme esprance et variance. La statistique Jarque-Bera suit asymptotiquement une loi de Chi-carr 2 degrs de libert. Ce test est frquemment utilis pour dterminer si les rsidus d'une rgression linaire suivent une distribution normale. Lhypothse de normalit des rsidus (termes derreur) joue un rle essentiel, car elle aide prciser la distribution statistique des estimateurs. Cest donc grce cette hypothse que linfrence statistique peut se raliser. Le test de normalit peut se faire soit sur la distribution des donnes, soit sur les rsidus. Voici les hypothses, que le modlisateur pose : H0: les rsidus suivent une loi normale H1: les rsidus ne suivent pas une loi normale

Le logiciel EViews aide excuter le test. Apres avoir effectu le test, reportez vous au tableau des rsultats. Vous y trouverez des valeurs de skewness, kurtosis, de Jarque-Bera mais surtout la probabilit du test. Comme pour tous les tests sous EViews, le seuil de signification est de 5%. Si la valeur de la probabilit de Jarque-Bera (p-value) est suprieure ou gale 0,05, on accepte lhypothse nulle de normalit de la distribution des rsidus.

Test dhtroscdasticit des rsidus Pour rappel et comme indiqu ci-haut, lune des hypothses cls des modles linaires est lhypothse dhomoscdasticit, cest--dire, les rsidus (termes derreur) du modle ont la mme variance.



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Cependant, si la variance de chaque terme derreur nest pas constante (elle varie au cours du temps avec chaque observation), les rsidus auront des variances diffrentes qui introduisent lhtroscdasticit dans le modle.

Quand on teste lhtroscdasticit, lhypothse nulle est que tous les coefficients de la rgression des rsidus au carr sont nuls, cest- -dire que les variables du modle nexpliquent pas la variance observe donc il y a homoscdasticit. Lhypothse alternative est lhypothse dhtroscdasticit. Ainsi, si on rejette lhypothse nulle, on peut conclure la prsence dhtroscdasticit. En pratique les hypothses sont comme suit : H0: les rsidus du modle sont homoscdastiques H1: les rsidus du modle sont htroscdastiques Il y a plusieurs tests disponibles pour dtecter lhtroscdasticit. Les tests les plus utiliss sont : test de White, Breusch-Pagan, Goldfeld-Quandt, Harvey, Glesjer et le test ARCH. Le test de White est un test gnral d'homoscdasticit, fond sur l'existence d'une relation entre le carr du rsidu et une ou plusieurs variables explicatives. Le test de White possde un estimateur convergent de la matrice des variances-covariances des MCO en prsence dhtroscdasticit de forme inconnue pour que linfrence statistique base sur les MCO soit asymptotiquement fiable. Lhypothse nulle est celle d'homoscdasticit contre lhypothse alternative dhtroscdasticit. Pour effectuer le test de White, on utilise la statistique du multiplicateur de Lagrange (Mathieu 2000). Le test de White a trois particularits. Dabord, ce test ne ncessite pas de connaissance priori sur la forme dhtroscdasticit. Ensuite, si lchantillon (nombre dobservations ou donnes statistiques) est grand, le test de White est suffisamment puissant pour dtecter toutes les formes dhtroscdasticit pour lesquelles la matrice des variances-covariances usuelles nest pas convergente. Cependant, mme si le test de White est convergent contre une grande varit dalternatives htroscdastiques, il perd un peu en puissance en chantillon fini. Enfin, il faut souligner que le test de White peut aussi dtecter un problme dans la spcification du modle, une dpendance entre les rgresseurs (estimateurs) et les rsidus ou termes derreur (Le Gallo). Le logiciel EViews a deux sortes des tests de White: White Heteroskedasticity non cross terms et White Heteroskedasticity cross terms . Choisissez White Heteroskedasticity non cross terms . Aprs avoir effectu le test, vous obtiendrez une fentre (White Heteroskedasticity test) avec les statistiques suivantes: F-statistic et Obs*R-squared. Observez bien les probabilits de ces deux statistiques. Si la p-value de Obs*R-squared est suprieure ou gale 0,05 on accepte lhypothse nulle dhomoscdasticit des rsidus ou termes derreurs. Outre le test de White, il y a dautres tests qui sont disponibles mais qui ne sont pas programms dans EViews et par consquent, vous ne les avez pas utiliss. Nous donnons un bref aperu de ces tests.



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Quand lhtroscdasticit est correctement spcifie et prend une forme particulire : linaire (htroscdasticit additive) ou exponentielle (htroscdasticit multiplicative), les tests (Breusch-Pagan, Goldfeld-Quandt, Harvey, Glesjer) savrent plus puissants que le test de White. La statistique de Breusch-Pagan est souvent utilise pour tester lhtroscdasticit des modles linaires. Cest un test de multiplicateur de Lagrange relativement trs puissant, condition que les variables responsables de la prsence dhtroscdasticit dans le modle soient correctement identifies. Le test consiste vrifier si la variance estime des rsidus est dpendante des valeurs des variables explicatives. Si le test confirme la prsence dhtroscdasticit (cest--dire rejette lhypothse nulle d'homoscdasticit des rsidus), on peut apporter des corrections en utilisant la mthode Hansen ou repenser la spcification du modle. Si on choisit la deuxime option, on peut appliquer le test de Ramsey qui est spcialement conu pour tester la spcification du modle (ce test est abord plus-bas). Le test de Goldfeld-Quandt est similaire aux autres tests dhtroscdasticit, mais avec une lgre diffrence. La procdure suggre deffectuer deux rgressions par les MCO: lune avec les rsidus (termes derreur) de petites variances, lautre avec les rsidus (termes derreur) de grandes variances. Si les variances rsiduelles associes chaque rgression sont approximativement gales, on accepte lhypothse nulle d'homoscdasticit. Par contre, si lune des variances rsiduelles saccrot substantiellement par rapport lautre, lgalisation de deux variances est mise en cause, il est possible, alors, quon rejette lhypothse nulle et quon accepte lhypothse alternative dhtroscdasticit. Le test Harver et le test Glesjer sont des tests dhtroscdasticit qui sapparentent au test Goldfeld-Quandt. Toutefois, le test Glesjer peut tre utilis si seulement les trois conditions sont runies : la variable dpendante (explique) napparat pas comme variable

explicative retarde (modle auto rgressif) une htroscdasticit additive toutes les hypothses des MCO sont satisfaites



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Il y a deux tests ARCH (htroscdasticit conditionnelle auto rgressif) : linaire et non-linaire. Il sagit ici du test ARCH linaire. Le test ARCH, trs frquemment employ pour lanalyse des sries temporelles financires, a pour objet de tester l'hypothse nulle d'homoscdasticit contre l'hypothse alternative d'htroscdasticit conditionnelle. On a htroscdasticit conditionnelle auto rgressif si la variance des rsidus au t est fonction des variances des rsidus des priodes prcdentes (t-1, t-2, etc.). Ses hypothses sont les suivantes : H0: absence deffet ARCH (homoscdasticit) H1: prsence deffet ARCH (htroscdasticit) On teste lhypothse nulle en vrifiant si la srie ne comporte pas dhtroscdasticit conditionnelle. Le test ARCH est programm dans le logiciel EViews. Aprs avoir effectu le test, reportez-vous au tableau des rsultats. Si la p-value de Obs*R-squared est suprieure ou gale 0,05 on accepte lhypothse nulle dabsence deffet ARCH (homoscdasticit). Ramsey en 1969 a trait la question des erreurs de la spcification des modles. Il a group les erreurs en trois catgories. La premire catgorie comprend des omissions des variables ou une forme mathmatique incorrecte du modle, ou une dpendance stochastique des variables explicatives et des rsidus (non orthogonalit). Ces rsidus (termes derreur) introduisent des biais dans les coefficients estims (estimateurs ou rgresseurs). La deuxime catgorie prsente des cas dhtroscdasticit et dauto corrlation qui influencent la variance et la covariance des rsidus. La troisime catgorie met en vidence des cas de non normalit des rsidus qui influencent la distribution des estimateurs. Le test Ramsey part du postulat que la plupart des erreurs de spcification des modles est due au fait que le vecteur des rsidus est diffrent de zro. Les hypothses sont les suivantes : H0: le modle est correctement spcifi H1: le modle nest pas correctement spcifi Le test Ramsey est programm dans EViews. Quand, vous appliquez le test de Ramsey, reportez vous la fentre : Ramsey Reset test, F-statistic, Log likelihood ratio, Probability . Si la probabilit (p-value) est suprieure ou gale 0,05, on accepte lhypothse nulle. Il y a deux moyens pour corriger lhtroscdasticit. On peut (i) paramtriser la matrice de variance-covariance des erreurs (MCD) et (ii) utiliser les MCO et corriger les carts-types (parce que les carts-types entachs dhtroscdasticit ne sont pas bons et utiles) par la mthode dEicker-White.



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On peut aussi, aprs la transformation des donnes statistiques, utiliser les MCG ou les moindres carrs gnraliss ralisables (MCGF). Lavantage de MCG est quon nest pas tenu de connatre priori la nature de lhtroscdasticit, pour estimer des carts-types consistants. Il peut tre tentant dutiliser systmatiquement les carts-types robustes (pour corriger les carts-types), mais il faut savoir que cette mthode gonfle les carts-types inutilement et rduit la puissance des tests lorsque ceci nest pas ncessaire. Il faut donc sabstenir de lutiliser lorsquelle ne savre pas ncessaire (Leblond et Belley-Ferris 2004). Pour rappel, les carts-types des coefficients estims mesurent la fiabilit statistique des estimations des coefficients. Plus les carts-types sont levs, plus il y a de bruit statistique dans les estimations.

Test dauto corrlation des rsidus Les tests dauto corrlation sont conus pour vrifier si les rsidus suivent un bruit blanc. Si les rsidus obissent un bruit blanc, il ne doit pas exister d'auto corrlation dans la srie. Il y a plusieurs tests pour tester lautocorrection des rsidus : Durbin-Watson Ljung-Box, Breusch-Godfrey et le test de Box-Pierce. Le test de Durbin-Watson (DW) est trs utilis et on le trouve dans presque tous les modles. Ce test vise dtecter la prsence ou labsence de lauto corrlation dordre 1 des rsidus. Voici les hypothses tester : H0: absence d'auto corrlation des rsidus H1: prsence d'auto corrlation des rsidus Durbin et Watson ont tabul les valeurs critiques de la statistique DW en fonction de la taille de l'chantillon (nombre dobservations) et du nombre de variables explicatives. Ils ont calculs des valeurs planchers et des valeurs plafonds . Pour que lhypothse nulle soit vraie, il faut que la Pr[ DW < dL ] 5% et Pr[ DW > dU ] 95%. Le raisonnement est le suivant : si d0 < dL, on rejette H0 (vidence de lauto corrlation positive des rsidus); si d0 > dU, on ne rejette pas H0 (absence dauto corrlation des rsidus); si dL < d0 < dU, le test est inconclusive, on se trouve dans une zone

d'indtermination et on ne peut conclure. Le test de Durbin-Watson de l'auto corrlation des rsidus revient examiner si la valeur DW calcule s'carte suffisamment vers 0 ou vers 4, pour renoncer l'hypothse d'indpendance des alas au niveau de risque choisi. La statistique DW varie entre 0 et 4. Si la statistique DW est gale 2, on conclut quil y a absence d'auto corrlation des rsidus, donc on accepte lhypothse nulle contre lhypothse alternative.



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Si la statistique est plus petite que 2, on est en prsence dauto corrlation positive des rsidus (une erreur positive succde a une erreur positive) et si la statistique est plus grande que 2, on a une auto corrlation ngative des rsidus (alternance des erreurs). Ces conditions font que le test de DW nest applicable qua des sries chronologiques et ne peut tre utilis aux coupes transversales. Le test DW repose sur les hypothses suivantes: la distribution des rsidus suit une loi normale ; le nombre dobservations doit tre plus grand ou gal 15 ; lordre d'auto corrlation des rsidus doit se limiter 1. En effet, Le test de

Durbin-Watson permet de tester la prsence d'auto corrlation seulement l'ordre 1 des rsidus, c'est--dire, le rsidu en temps t dpend du rsidu en temps t-1. Mais la statistique DW est incapable de dtecter lauto corrlation dordre 2 et plus des rsidus, cest--dire les rsidus en temps t-2, t-3 ;

lquation ou la fonction du comportement doit avoir une constante. Lune des hypothses des MCO est que lesprance des rsidus soit nulle. Or pour que cette hypothse soit vrifie, il faut quil ait une constante dans les fonctions de comportement du modle. Par consquent, si on supprime la constante ou terme constant, cela revient violer cette hypothse. La consquence de labsence de terme constant (la constante) dans lquation, est que les estimations des coefficients peuvent tre biaises et la valeur du Student calcule sera survalue (Plunket 2003). Il faut insister sur la diffrence entre le rsidu (terme derreur) et la constante (terme constant). Par essence, le terme constant est gal la part de la variable dpendante qui ne peut pas tre explique par les variables indpendantes, alors que le terme derreur reprsente la part alatoire de la variable dpendante qui ne peut pas tre explique ;

les variables explicatives ne doivent pas tre stochastiques ; les sries temporelles ne doivent pas avoir des fortes variations

saisonnires ; la variable dpendante ne doit pas apparatre comme variable explicative

retarde dans le modle. On ne doit pas utiliser le test DW si lune ou plusieurs de ces hypothses ne sont pas satisfaites. Il faut recourir dautres tests d'auto corrlation dont les plus couramment utiliss sont : le test de Ljung-Box, Breusch-Godfrey et le test de Box-Pierce. La statistique de Ljung-Box (corrlogramme et Q-Stat), permet de tester l'hypothse d'indpendance srielle d'une srie. Plus spcifiquement cette statistique teste l'hypothse nulle quil ny a pas d'auto corrlation des rsidus jusqu' lordre k. Elle est base sur la somme des auto corrlations de la srie et elle est distribue selon une loi Chi-carr avec m degrs de libert.

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