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Répétitions de microéconomie 1

MICROECONOMIE

(B.Lejeune)

REPETITIONS

Avertissement Les séances de répétitions programmées au cours de ce quadrimestre ont pour objectif, non pas de répéter toute la théorie vue au cours, mais plutôt d'acquérir un savoir-faire quant à la résolution de problèmes économiques. Ce fascicule contient dès lors essentiellement des exercices. Ils est vivement conseillé aux étudiants d'être capables de les résoudre par eux-mêmes. Il en va de même pour les exercices énoncés dans le livre de Hal R. Varian, Introduction à la microéconomie. Quelques rappels théoriques ont tout de même été insérés dans ce fascicule1. Il va de soi qu'une section théorique non vue aux répétitions ne signifie en aucun cas être sans intérêt pour l'examen!

1 Veuillez noter que les graphiques relatifs à ces rappels théoriques ne sont pas repris dans ce fascicule.


1ÈRE PARTIE : LE CONSOMMATEUR

1. La contrainte budgétaire Lorsqu'il n'y a que deux biens, le panier de consommation d'un consommateur qui consomme x1 unités de bien 1 et x2 unités de bien 2 est (x1,x2). Ce panier peut-être représenté par un point dans un graphique à deux dimensions avec les quantités de bien 1 représentées en abscisse et les quantités du bien 2 représentées en ordonnée. Si les prix des deux biens sont respectivement p1 et p2, et si le consommateur a un revenu m, alors il peut obtenir tous les paniers de consommation (x1,x2) tels que p1x1+p2x2 ≤ m. Sur un graphique, la droite de budget est représentée par le segment linéaire dont l'équation est p1x1+p2x2=m, avec x1 et x2 non négatifs. La contrainte budgétaire est la frontière de l'ensemble budgétaire. Tous les points accessibles par le consommateur sont d'un côté de la frontière; les points inaccessibles de l'autre. A partir des prix et revenu du consommateur, pour construire la contrainte budgétaire, il suffit de trouver deux paniers de consommation que le consommateur peut juste obtenir et de tracer la droite qui relie ces points.

Exercice 1 Un consommateur a un revenu de 40 francs. Deux biens peuvent être achetés. Le bien 1 coûte 10 francs l'unité et le bien 2 coûte 5 francs l'unité. (a) Écrivez la droite de budget de ce consommateur. (b) Si le consommateur consacre la totalité de son revenu au bien 1, combien peut-il

en acheter? (c) Même question avec le bien 2. Faites un graphique. Tracez la droite de budget. (d) Supposez que le prix du bien 1 tombe à 5 francs, toutes autres choses restant

égales par ailleurs. Écrivez la nouvelle droite de budget. Représentez-la sur le même graphique.

(e) Sur votre graphique, représentez l'ensemble des paniers de consommation que le consommateur peut obtenir avec le budget de la question (d) mais qui n'est pas accessible avec le budget de la question (a).

Exercice 2 Le budget d'un consommateur est tel que s'il dépense la totalité de son revenu, il peut se procurer soit 4 unités de x et 6 unités de y, soit 12 unités de x et 2 unités de y. (a) Faites un graphique. Indiquez ces deux paniers de consommation et tracez la

droite de budget. (b) Quel est le rapport entre le prix de x et le prix de y? (c) Si le consommateur consacre la totalité de son revenu au bien x, combien

d'unités de x peut-il acheter? (d) S'il consacre la totalité de son revenu au bien y, combien d'unités de y peut-il

acheter? (e) Écrivez la contrainte budgétaire lorsque le prix de x est égal à 1.


(f) Écrivez une autre équation donnant la même droite de budget mais lorsque le prix de x est égal à 3.

Exercice 3 Un consommateur consomme 100 unités de X et 50 unités de Y. Le prix de X augmente de 2 à 3. Le prix de Y reste égal à 4. Quelle doit être l'augmentation du revenu de ce consommateur pour qu'il puisse toujours se procurer exactement 100 unités de X et 50 unités de Y ?


2. Les préférences Vous savez maintenant représenter graphiquement les paniers de consommation qu'un consommateur peut obtenir. Il s'agit à présent d'intégrer les préférences du consommateur. Ces préférences peuvent être dessinées sur un graphique au moyen des courbes d'indifférence. Chacune d'entre elles indique les diverses combinaisons des deux biens x1 et x2 procurant au consommateur une satisfaction égale. L'allure que prennent ces courbes dépend du type de préférences, à savoir : - les préférences normales : les deux biens désirables forment un ensemble

strictement convexe, - les substituts parfaits, que le consommateur est disposé à substituer l'un à l'autre

à un taux constant, - les compléments parfaits, qui sont toujours consommés ensemble dans des

proportions fixes, - les biens indésirables, dont la consommation constitue un désagrément pour le

consommateur, - et enfin, les biens neutres, dont le consommateur ne se préoccupe pas du tout. La pente d'une courbe d'indifférence en un point particulier

xx

1

2∆

∆ a une

interprétation économique intéressante : elle mesure le taux marginal de substitution, c'est-à-dire le taux auquel le consommateur est disposé à substituer un bien à l'autre. Ce taux est évidemment décroissant dans le cas des préférences normales.

Exercice 4 Deux courbes d'indifférence peuvent-elles se croiser ?

Exercice 5 Un consommateur utilise toujours 4 unités de bien 1 (x1) avec 3 unités de bien 2. Comment peut-on qualifier ces types de biens? Représentez graphiquement quelques-unes de leurs courbes d'indifférence.

Exercice 6 Pierre aime la bière, et il en boit chaque soir en regardant le journal télévisé. Il a de la force dans la main et un grand réfrigérateur, si bien que la taille des canettes de bière ne l'inquiète pas. Il est seulement intéressé par la quantité de bière qu'il peut boire. (a) Faites un graphique. Dessinez quelques courbes d'indifférence de Pierre entre

des canettes de 50 cl et des canettes de 25 cl. (b) Sylvie, l'épouse de Pierre, apprécie également de boire de la bière devant le JT.

Elle s'autorise seulement des verres de 25 cl de bière. Elle-même détestant la bière tiède, s'il y a plus de 25 cl dans la bouteille, elle vide le reste dans l'évier (elle n'a aucun scrupule moral à gaspiller ainsi la bière!). Sur le même graphique, tracez quelques-unes des courbes d'indifférence de Sylvie.


Exercice 7 Marie aime passer son temps à regarder la TV et à faire du shopping. En fait, ses courbes d'indifférence entre les heures passées à regarder la TV et celles passées à faire du shopping sont des cercles concentriques autour de sa combinaison favorite qui est 20 heures de TV et 15 heures de shopping par semaine. Lorsqu'elle se rapproche de sa combinaison favorite, Marie voit sa satisfaction augmenter. (a) Dessinez un graphique avec quelques courbes d'indifférence. (b) Supposez que Marie ait l'habitude de regarder la TV pendant 25 heures et de

faire du shopping pendant 3 heures par semaine. Indiquez ce panier de consommation sur le graphique. Expliquez comment Marie peut améliorer sa satisfaction.


3. L'utilité La fonction d'utilité sert à décrire les préférences d'un individu. Ainsi, une valeur est attribuée aux différents paniers de consommation d'une telle sorte que les paniers plus désirables reçoivent des valeurs supérieures à ceux qui le sont moins. Autrement dit, un panier (x1,x2) est préféré à un panier (y1,y2) si et seulement si le niveau d'utilité de (x1,x2) est supérieur à celui de (y1,y2). Il s'agit là d'un concept ordinal dans la mesure où seul le classement établi entre les paniers de biens importe. Dès lors, il existe une infinité de façons de décrire les mêmes préférences d'un consommateur (en fait, toute transformation monotone croissante d’une fonction d’utilité représente les mêmes préférences que cette fonction d’utilité).

La dérivée de la fonction d'utilité par rapport à un bien i xi∆U∆ indique l'utilité

marginale de ce bien (Umi). Rappelons enfin que la pente de la courbe d'indifférence passant par un point donné est le taux marginal de substitution. Celui-ci est égal à

l'opposé du rapport des utilités marginales : 2

1

1

2UmUm-∆

∆TMS x

x == .

Exercice 8 (a) Définissez les concepts suivants : utilité totale, utilité marginale, taux marginal de

substitution. (b) Pour les quelques fonctions d'utilité du tableau ci-dessous, calculez les utilités

marginales de chacun des deux biens ainsi que leurs taux marginaux de substitution :

U(x1,x2) Um1 Um2 TMS 3x1+7x2 x1+lnx2

x10,25 x2

0,75 x1+2 2x

Exercice 9 Le bonheur de Julien, c'est d'écrire. Pour cela, Julien a besoin de feuilles de papier et de stylos. Chaque stylo lui permet de griffonner 20 pages. Deux types de stylos lui sont accessibles : des stylos bleus et des stylos noirs. Julien ne se préoccupe pas de la couleur des stylos qu'il utilise. Donnez deux fonctions d'utilité représentant les préférences de Julien.

Exercice 10 Considérez la fonction d'utilité U(x1,x2)=x1

ax2b. Démontrez que la transformation

monotone consistant à prendre le logarithme népérien de cette fonction n'affecte pas la valeur du taux marginal de substitution.


Exercice 11

Considérez la fonction d'utilité ( ) 2121 xxx,xU = . (a) Quel type de préférences représente-t-elle? (b) La fonction d'utilité ( ) 22

121 xxx,xv = est-elle une transformation monotone croissante de U(x1,x2) ?

(c) Et la fonction ( ) 22

2121 xxx,xw = ?

Exercice 12 Luc aime organiser des soirées entre copains dans son kot. Selon lui, plus il y a de monde, mieux on s'amuse. Cependant, il accorde une grande importance à ce qu'il y ait autant de filles que de garçons. Les préférences de Luc quant à ses soirées peuvent être représentées par la fonction d'utilité ( ) { }y,xminy,xU = , où x est le nombre de femmes et y le nombre d'hommes présents à la soirée. (a) Faites un graphique. Tracez la courbe d'indifférence pour laquelle l'utilité de Luc

est de 6. (b) Supposez qu'il y ait 5 filles et 6 garçons à la soirée organisée par Luc. Pense-t-il

que cette soirée est mieux réussie ou moins réussie que si 2 filles supplémentaires venaient à sa soirée?

Exercice 13 La fonction d'utilité d'un consommateur pour deux biens s'écrit : U(x1,x2)= x1+2x2. (a) De quel type de préférences s'agit-il ? (b) Représentez graphiquement quelques courbes d'indifférence, en y indiquant la

pente de celles-ci.


4. Le choix Selon la théorie économique, les consommateurs choisissent le panier qu'ils préfèrent dans leur ensemble budgétaire. Dès lors, pour connaître le choix optimal du consommateur, il suffit de trouver le panier accessible (étant donné les prix et le revenu) qui atteint la courbe d'indifférence la plus élevée possible. Trois types de solutions optimales existent : un point de tangence entre une courbe d'indifférence et la droite de budget (cas général), un coude dans une courbe d'indifférence, ou un coin lorsque le consommateur ne consomme qu'un seul des deux biens. Dans le cas général, le point (x1,x2) est un point de tangence entre la droite de budget et une courbe d'indifférence si elles ont la même pente en ce point. La pente d'une courbe d'indifférence mesure le taux marginal de substitution et est égale à

21Um

Um- . De son côté, la pente de la droite de budget est 2

1

pp- . La résolution d'un

système de deux équations à deux inconnues (dans lequel la contrainte budgétaire est la seconde équation) constitue dès lors un premier moyen de trouver le panier optimal (x1

*,x2*).

Un autre moyen d'identifier ce panier optimal consiste à différencier la fonction de Lagrange L= U(x1,x2)+λ(m-p1x1+p2x2) par rapport aux quantités x1 et x2, et par rapport au multiplicateur de Lagrange λ.

Exercice 14 Si deux biens sont des substituts parfaits, quelle est la fonction de demande pour le bien 1 ?

Exercice 15 Considérez la fonction d'utilité U(x1,x2)= x1x2. Le consommateur consacre son revenu de 40 francs à l'achat des biens x1 et x2 dont les prix sont respectivement 1 et 2 francs. (a) Expliquez à l'aide d'un graphique comment ce consommateur va effectuer son

choix. (b) Calculez le panier optimal de deux façons différentes.

Exercice 16 Sébastien, un consommateur de pommes et de poires, a une fonction d'utilité

( ) 2121 xx4x,xU += , où x1 est sa consommation de pommes et x2, sa consommation de poires. (a) Le panier (25,0) procure-t-il à Sébastien la même satisfaction que le panier

(16,4)? (b) Citez quelques paniers pour lesquels Sébastien est indifférent par rapport au

panier (25,0). (c) Sur un graphique, tracez quelques courbes d'indifférence.


(d) Si le prix d'une pomme est de 1 et celui d'une poire est de 2, tracez sur le même graphique la droite de budget de Sébastien dont le revenu s'élève à 24.

(e) Calculez le panier optimal et indiquez-le sur le graphique. (f) Quel serait le panier optimal de consommation de Sébastien si son revenu

augmentait de 10?

Exercice 17 Un consommateur a la fonction d'utilité U(x,y)=x+3y. (a) Faites un graphique représentant la courbe d'indifférence passant par le point

(3,3). (b) Considérez les prix de x et de y de 1 et 2 respectivement, ainsi qu'un revenu de

8. Dessinez la contrainte budgétaire sur le même graphique. Quel panier le consommateur décide-t-il de consommer. Indiquez ce panier optimal sur votre graphique.

(c) Quel panier aurait-il choisi si le prix de y avait été de 4 (toutes autres choses restant égales par ailleurs)?

Exercice 18 Si un consommateur a une fonction d'utilité U(x1,x2)= x1x2

4, quelle fraction de son revenu va-t-il consacrer à chacun des deux biens ?


5. La demande Les fonctions de demande du consommateur expriment les quantités optimales consommées de chaque bien en fonction des prix et du revenu auxquels le consommateur est confronté. Elles prennent la forme x1=x1(p1,p2,m) et x2=x2(p1,p2,m). Ces fonctions de demande xi=xi(p1,…,pn,m) (∀i=1,…,n) satisfont un certain nombre de propriétés. Celles-ci découlent de la contrainte budgétaire et sont les suivantes : • L’homogénéité de degré 0 : si on multiplie l’ensemble des prix et le revenu par un

facteur t, la demande de chaque bien ne varie pas.

Pour rappel, lorsqu’une fonction est homogène de degré r, vous avez : f(tx1,…, txn) = tr f(x1,…,xn) = f(x1,…, xn) si r = 0.

Or, selon le théorème d’Euler, ),...,(= 11=

' n

n

iii xxrffx�� = 0 si r = 0.

Une application de ce théorème aux fonctions de demande donne :

0mδxδmpδ

xδppδxδp i

2i

21i

1 =++ . En divisant les deux membres de cette équation par xi, vous

trouvez : 0EEE m,xp,xp,x i2i1i =++ (i=1, …, n). • La condition d’agrégation d’Engel : il s’agit d’une restriction sur les élasticités-

revenu. Une dérivation de la contrainte budgétaire par rapport au revenu donne :

mδxδpmδ

xδp1 22

11 += ⇔

2222

1111

xm

mδxδ

mxp

xm

mδxδ

mxp1 += ⇔ m,x2m,x1 21 EkEk1 += où ki est la part du

revenu consacrée au bien i.

• Les conditions d’agrégation de Cournot : il s’agit de restrictions sur les élasticité-prix. Une dérivation de la contrainte budgétaire par rapport au prix p1 donne :

1

22

1

111 ++=0 pδ

xδppδ

xδpx ⇔

21

22

21

1

1

1

1

11

2111

x1

pδxδxm

ppxp

pδxδ

px

mp

mxp0 ++=

⇔ 1211 p,x2p,x11 EkEkk0 ++= pour le bien 1.

Un raisonnement similaire fournit pour le bien 2 : 2221 p,x2p,x12 EkEkk0 ++= Veuillez noter par ailleurs qu’une variation des prix ou du revenu peut avoir un impact sur les quantités demandées de chacun des deux biens. Ainsi, lorsque le revenu du consommateur varie (les prix restant inchangés), la demande pour les biens normaux varie dans le même sens alors que celle pour les


biens inférieurs varie en sens inverse. Parmi les biens normaux, une distinction peut être opérée entre les biens de luxe et les biens de nécessité selon que leur demande varie plus ou moins que proportionnellement au revenu. Lorsque c’est le prix d'un bien qui varie, la demande pour ce bien varie en sens inverse dans le cas d'un bien ordinaire, ou dans le même sens dans le cas d'un bien de Giffen. Souvenez-vous enfin que la demande d'un bien dépend généralement du prix des autres biens. Dès lors, si la demande d'un bien varie dans le même sens que le prix de l'autre bien, cela signifie que les deux biens sont substituts. Par contre, si la variation de la demande d'un bien n'a pas le même signe que la variation du prix de l'autre bien, les deux biens sont compléments.

Exercice 19 A l'aide d'un graphique, définissez les concepts suivants : chemin d'expansion du revenu, courbe d'Engel, chemin d'expansion du prix, courbe de demande.

Exercice 20 Si un individu ne consomme que deux biens et dépense la totalité de son revenu, les deux biens peuvent-ils être tous les deux des biens inférieurs ?

Exercice 21 Considérez la fonction d'utilité U(x1,x2)= x1

2x23. Le consommateur consacre son

revenu m à l'achat des biens x1 et x2 dont les prix sont respectivement p1 et p2. (a) Quelles sont les fonctions de demande pour chacun des deux biens de ce

consommateur ? (b) Quelles parts du revenu sont consacrées à l'achat de chacun des deux biens ?

Exercice 22 Soient x1 et x2, deux biens substituts parfaits. Sur un graphique, représentez le chemin d'expansion du prix du bien 1 ainsi que sa courbe de demande.

Exercice 23 Considérez la fonction d’utilité Cobb-Douglas U(x1,x2)= a lnx1 + b lnx2. Pour le bien x1, calculez les élasticités-prix directe et croisée, ainsi que l’élasticité-revenu. Que pouvez-vous déduire de ces valeurs ainsi calculées ?


Exercice 24 Un consommateur consacre un revenu de 10 à l’achat de deux biens. Il dépense 2 pour le bien x1 et 8 pour le bien x2. Les données suivantes sont également connues :

14811, −=pxE , 14

221, −=pxE , et 1410,1 =mxE .

(a) En utilisant la condition d’agrégation d’Engel, calculez l’élasticité-revenu de la demande du bien x2.

(b) En utilisant les conditions d’agrégation de Cournot, calculez les élasticités-prix (directe et croisée) de la demande de x2.

(c) Vérifiez que la demande du bien x2 est homogène de degré 0 par rapport aux prix et au revenu.


6. L'équation de Slutsky La variation du prix d'un bien entraîne deux types d'effets : il y a, d'une part, une modification du taux auquel vous pouvez échanger un bien contre un autre et, d'autre part, une variation du pouvoir d'achat total que représente votre revenu. Le premier effet est appelé effet de substitution; le second effet est appelé effet de revenu. L'effet de substitution lié à une modification des prix est le changement de la demande qui se produirait si le pouvoir d'achat (c-à-d le revenu réel) était maintenu constant, de sorte que le panier optimal initial demeure accessible2. L'effet de revenu lié à une modification des prix représente pour sa part l'effet du à la variation du revenu réel, après la modification des termes de l'échange. L'addition de l'effet de substitution et de l'effet de revenu fournit la variation totale de la demande. Cette équation est connue sous le nom d'identité de Slutsky :

ni

sii x∆x∆x∆ += .

Prenez, par exemple, le cas du bien x1 dont le prix p1 varie. Le tableau ci-dessous détaille pour ce bien x1 les divers cas possibles de variation totale de la demande à la suite de la modification de p1 : Si 1p∆ > 0 Si 1p∆ < 0

s1x∆ s

1x∆ < 0, car l'effet de substitution est toujours négatif, c-à-d de signe contraire à la variation du prix

s1x∆ > 0, car l'effet de substitution est

toujours négatif, c-à-d de signe contraire à la variation du prix

n1x∆ 1p∆ > 0 ⇒ le revenu réel diminue

• si x1 est un bien normal, n1x∆ < 0

• si x1 est un bien inférieur, n1x∆ > 0

1p∆ < 0 ⇒ le revenu réel augmente • si x1 est un bien normal, n

1x∆ > 0 • si x1 est un bien inférieur, n

1x∆ < 0

1x∆ • 1x∆ < 0 si x1 est un bien normal

• 1x∆ indéterminé si x1 est un bien inférieur

• 1x∆ > 0 si x1 est un bien normal

• 1x∆ indéterminé si x1 est un bien inférieur

A partir de ce tableau, vous pouvez constater qu'un bien de Giffen est un bien inférieur dont l'effet de revenu l'emporte sur l'effet de substitution. Tous les biens de Giffen sont donc des biens inférieurs, mais tous les bien inférieurs ne sont pas des biens de Giffen! Par ailleurs, de ce même tableau, vous pouvez déduire la loi de la demande : "si la demande d'un bien augmente quand le revenu s'accroît, la demande de ce bien doit décroître quand son prix augmente". En d'autres termes, cette loi signifie que tous les biens normaux sont ordinaires.

2 Il s’agit là de l’effet de substitution tel que défini par Slutsky. Une autre définition de cet effet existe et est connue sous le nom d’effet de substitution de Hicks. Ce dernier maintient constante l’utilité, et non le pouvoir d’achat.


Exercice 25 Représentez graphiquement la décomposition de Slutsky dans le cas de deux biens en considérant la variation de x1 et de x2 suite à une diminution de p1 et en sachant que le bien x1 est un bien ordinaire et que le bien x2 est un complément brut du bien x1.

Exercice 26 Soient x1 et x2, deux biens compléments parfaits. Montrez graphiquement l’effet d’une diminution du prix p1 en utilisant la décomposition de Slutsky.

Exercice 27

Considérez la fonction d’utilité suivante : )]50xln(7,0+)100xln(3,0[*5=)x,x(U 212

21 -- . Le consommateur consacre son revenu m à l’achat des biens x1 et x2 dont les prix sont respectivement p1 et p2. (a) Dérivez les fonctions de demande. (b) Les biens x1 et x2 sont-ils des biens normaux ? (c) Les biens x1 et x2 sont-ils des substituts ou des compléments ? (d) Les fonctions de demande propre des biens x1 et x2 sont-elles décroissantes ? (e) Sur base des résultats dégagés aux sous-questions précédentes, représentez

graphiquement, en décomposant l’effet de substitution et l’effet de revenu, l’effet d’une baisse de p2.

Exercice 28

Considérez la fonction d’utilité suivante : exx3=)x,x(U 22121 . Le consommateur

consacre son revenu m à l’achat des biens x1 et x2 dont les prix sont respectivement p1 et p2. (a) Dérivez les fonctions de demande. (b) Décomposez l’effet d’une diminution de p1 sur la demande du bien x1 et du bien

x2. Illustrez vos résultats par un graphique. (c) Vérifiez que la fonction de demande x1 est homogène de degré 0. (d) La condition d’agrégation d’Engel est-elle respectée ? (e) Vérifiez les conditions d’agrégation de Cournot.

Exercice 29 Un consommateur a des préférences représentées par la fonction d’utilité :

31x21 2xe21)x,x(U =

Il consacre son revenu m à l’achat des biens x1 et x2 dont les prix sont p1 et p2. (a) Calculez les fonctions de demande de ce consommateur. (b) Décomposez mathématiquement – en un effet de substitution et un effet de

revenu, et en précisant leur signe – l’effet total d’une variation de prix du bien x2 (=p2) sur la demande du bien x1 et du bien x2.

(c) Illustrez graphiquement les résultats obtenus au point précédent en supposant une augmentation du prix du bien x2.


Exercice 30 Un consommateur a des préférences représentées par la fonction d'utilité :

3 22

121 5=),( xe xxxU

Il consacre son revenu m à l'achat des biens x1 et x2 dont les prix sont p1 et p2. (a) Calculez les fonctions de demande du consommateur. (b) Décomposez mathématiquement – en un effet de substitution et un effet de

revenu, et en précisant leur signe – l'effet total d'une variation de prix du bien 2 (p2) sur la demande du bien 1 et du bien 2.

(c) Illustrez graphiquement les résultats obtenus au point précédent en supposant une baisse du prix du bien 2.

Exercice 31 Considérez le cas des préférences concaves. On suppose qu’à l’équilibre initial, le consommateur ne consomme que du bien x1. Représentez graphiquement : (a) une situation où, suite à une variation du prix du bien x1, l’effet de substitution

propre est nul ; (b) une situation où, suite à une variation du prix du bien x1, l’effet de substitution

propre est non nul.


7. Les choix intertemporels Le modèle est le suivant. Un consommateur doit choisir les quantités (c1,c2) d’un bien composite qu’il va consommer au cours de deux périodes. Le prix de ce bien est supposé être égal à p1 lors de la période 1 et p2 lors de la période 2. Les sommes que le consommateur dispose au cours des deux périodes sont (m1,m2). Par ailleurs, il a la possibilité de prêter et d’emprunter à un taux d’intérêt constant r. Le consommateur va dès lors choisir le panier de consommations intertemporelles (c1,c2) qui maximise son utilité U=U(c1,c2) : • Si le consommateur choisit le panier (m1,m2), cela signifie qu’il consomme

simplement son revenu au cours de chaque période. • Si le consommateur décide d’épargner à la période 1, cela signifie que p1c1<p1m1.

Il perçoit alors des intérêts sur la différence (p1m1 - p1c1). Le montant qu’il peut dépenser à la période 2 est alors égal à p2c2 = p2m2 + (p1m1-p1c1)(1+r).

• Inversement, si le consommateur décide d’emprunter à la période 1, il devra alors

rembourser la somme empruntée moyennant des intérêts à la période 2. Dès lors, sa dépense lors de la seconde période sera : p2c2 = p2m2 - (p1c1 - p1m1)(1+r). Cette équation est totalement identique à celle obtenue au point précédent.

La contrainte budgétaire telle que formulée ci-dessus peut être réécrite comme suit :

p2c2 = p2m2 + (p1m1-p1c1)(1+r)

⇔ c2 = m2 + 2

1

pp

(m1-c1)(1+r) où la pente vaut -2

1

pp

(1+r).

Soient ρ le taux d’intérêt réel et π le taux d’inflation. La relation entre ces deux

variables est : π1r1ρ1 +

+=+ .

Comme p2=p1(1+π), la pente de la contrainte budgétaire vaut (1+ρ) en valeur absolue.

Exercice 32 Un consommateur sait qu'il ne vivra que deux périodes. La première période, il gagnera 50.000 francs et la seconde période, il prendra sa retraite et vivra de son épargne. Sa fonction d'utilité est U(c1,c2)=c1c2 où c1 représente sa consommation en période 1 et c2 sa consommation en période 2. Il peut emprunter et placer à un taux d'intérêt r de 10%. (a) Si le taux d'intérêt augmente, sa consommation en période 1 va-t-elle augmenter,

diminuer ou rester la même? (b) Une augmentation du taux d'intérêt l'inciterait-il à consommer plus ou moins en

seconde période? (c) Si le revenu du consommateur est nul en période 1 et de 55.000 en période 2,

une augmentation du taux d'intérêt l'inciterait-il à consommer plus, moins ou la même chose en période 1?


Exercice 33 Considérez un modèle à deux périodes. Le prix d’une unité de consommation de la période présente est p1 et celui d’une unité de consommation au cours de la période future est p2. Les dotations au cours des deux périodes sont respectivement m1 et m2. Les quantités consommées sont représentées par c1 et c2. L’individu peut librement prêter et emprunter à un taux d’intérêt nominal r. (a) Supposez que l’individu est au départ prêteur. Il révise à la baisse ses prévisions

quant au prix d’une unité de consommation au cours de la période future (p2

diminue). Comment son choix optimal va-t-il se modifier ? Raisonnez graphiquement dans un premier temps. Dans un second temps, vérifiez vos conclusions en distinguant l’effet de substitution de l’effet de revenu.

(b) Supposez à présent que l’individu était initialement emprunteur. Il décide de le rester suite à la baisse de p2. Son niveau de satisfaction a-t-il augmenté ou diminuer ?


8. L’incertitude La théorie classique du consommateur peut être utilisée pour étudier le choix en présence d’incertitude. Dans une telle situation, le consommateur devant effectuer son choix se préoccupe de la distribution de probabilité d’obtenir différents paniers de biens. Le modèle général est le suivant. Deux états de la nature sont possibles : le cas défavorable ("bad") et le cas favorable ("good"). Les perspectives de consommation dans chacun des deux états de la nature sont notées Cb et Cg. La valeur que le consommateur attribue à la consommation dans un état de la nature par rapport à la consommation dans un autre état dépend de la probabilité que cet état survienne effectivement. Ainsi, la fonction d'utilité du consommateur à l'égard de la consommation dans les différents états de la nature prend la forme : U=U(Cb,Cg,πb,πg) dans laquelle πb et πg sont les probabilités que les états défavorables et favorables se réalisent effectivement. La fonction U(Cb,Cg,πb,πg)=πbv(Cb)+πgv(Cg) représente l'espérance mathématique des utilités et est appelée fonction d'utilité attendue. Il s'agit là d'une fonction linéaire

passant par les points (Cb,v(Cb)) et (Cg,v(Cg)) dont la pente est bg

bg

C-CCv-Cv )()( .

Trois cas sont dès lors possibles : • si le consommateur a de l'aversion pour le risque, alors il préférera l'utilité de la

valeur attendue de la richesse à l'utilité attendue de la richesse (la fonction d'utilité est concave et sa dérivée seconde est ¡Ü 0);

• si le consommateur a du goût pour le risque, alors il préférera l'utilité attendue de la richesse à l'utilité de la valeur attendue de la richesse (la fonction d'utilité est convexe et sa dérivée seconde est ¡Ý 0);

• enfin, si le consommateur est neutre vis-à-vis du risque, l'utilité attendue de la richesse est égale à l'utilité de sa valeur attendue (la fonction d'utilité est alors linéaire).

Exercice 34 On offre à un individu qui manifeste de l'aversion pour le risque le choix entre, d'une part, un jeu qui rapporte 1000$ avec une probabilité de 25% et 100$ avec une probabilité de 75%, et d'autre part, un paiement immédiat de 325$. (a) Que va-t-il choisir? (b) Que ferait-il si le paiement immédiat était de 320$?


9. Les actifs à risque Le chapitre précédent a été consacré à la théorie de l'utilité attendue. Cette théorie ne constitue qu'une des modélisations possibles des choix en situation d'incertitude. Le modèle de la moyenne et de la variance constitue une autre façon d'approcher ces choix. Ce modèle suppose que les préférences du consommateur peuvent être représentées par un petit nombre de statistiques synthétisant la distribution de probabilité de sa richesse. Considérez le cas d'un consommateur qui peut investir dans deux actifs différents. D'une part, un actif sans risque procurant toujours un taux de rendement fixe rf. D'autre part, un actif à risque procurant un taux de rendement ms dans l'état de la nature s, la probabilité que cet état de la nature survienne étant notée πs. Soit rm, le rendement attendu de cet actif à risque, et σm, l'écart-type de ce rendement. Il est naturel de supposer que rm > rf , puisqu'un investisseur manifestant de l'aversion pour le risque ne détiendra jamais un actif à risque si ce dernier procure un rendement attendu inférieur à celui de l'actif sans risque. Ce consommateur n'étant pas obligé de choisir un des deux actifs, il choisira de répartir son patrimoine entre les deux actifs. Si x est la part du patrimoine consacrée à l'actif risqué, alors le rendement attendu sur l'ensemble du portefeuille est :

�� πrx-π�� mxπ�� rx-xmrs

s

s

s

s

ssfsssfsx

1=1=1=)1(+=))1(+(=

Et comme �� πs

ss

1== 1, fmx rx-xrr )1(+=

Le rendement attendu sur le portefeuille est donc une moyenne pondérée des deux rendements attendus. Il peut être démontré que l'écart-type du rendement du portefeuille est σx = xσm. L'équation fmx rx-xrr )1(+= est en fait la contrainte budgétaire définissant le taux d'échange du marché entre le risque et le rendement. Elle peut aisément être représentée dans un graphique reprenant l'écart-type du rendement en abscisse et le rendement attendu en ordonnée. Pour ce faire, il suffit de relier entre eux les points

(0,rf) et (σm,rm). Sa pente m

fm

σr-r

mesure le prix du risque.

Exercice 35 Un consommateur neutre vis-à-vis du risque choisit la proportion x de son portefeuille qu'il place dans un actif à risque dont le rendement attendu rm est supérieur au rendement fixe rf d'un actif sans risque. (a) Etablissez la contrainte budgétaire. (b) Représentez graphiquement le choix du consommateur et commentez.


Exercice 36 Un consommateur manifestant du goût pour le risque choisit la proportion x de son portefeuille qu'il place dans un actif à risque dont le rendement attendu rm est supérieur au rendement fixe rf d'un actif sans risque. Représentez graphiquement le choix du consommateur (annotations complètes) et commentez.


10. La demande du marché La demande du marché pour le bien 1 (ou encore la demande agrégée pour ce bien 1) correspond à la somme des demandes individuelles sur l'ensemble des consommateurs. En général, la demande agrégée pour un bien dépend à la fois des prix et du revenu de l'ensemble des consommateurs :

)m,p,p(x=)m,...,m,p,p(=X i21

n

1=i

1in121

i ��

En adoptant l'hypothèse d'un consommateur représentatif dont le revenu est égal à la somme des revenus individuels, la fonction de demande agrégée a la forme

),,( 211 MppX .

Alors que la fonction de demande mesure la quantité demandée en fonction du prix, la fonction de demande inverse du prix P(X) exprime le prix en fonction de la quantité. L'élasticité de la demande par rapport au prix ε est un concept permettant d'étudier la sensibilité de la demande face à une variation de prix. Elle est définie comme la variation relative de la quantité divisée par la variation relative du prix :

p

p∆q

q∆

ε =

En général, l'élasticité de la demande est une grandeur négative. En fait, parmi les biens ordinaires, trois cas sont à distinguer : • ε<-1 : la demande est élastique. Ainsi, si le prix du bien augmente, la dépense

consacrée à ce bien diminue. • -1<ε<0 : la demande est inélastique. Ainsi, si le prix du bien augmente, la

dépense consacrée à ce bien augmente. • ε=-1 : l'élasticité est unitaire. Une augmentation du prix d'un bien entraîne une

diminution de la dépense dans la même proportion. Pour rappel, la recette est le prix d'un bien multiplié par la quantité vendue de ce bien. La recette marginale mesure quant à elle la variation de la recette résultant d'un variation marginale de la quantité vendue. Il existe une relation très importante entre l'élasticité de la demande ε et la recette marginale :

])q(ε1+1)[q(p=q∆

R∆

Par conséquent, la recette marginale est nulle lorsque l'élasticité est unitaire. Elle est négative lorsque la demande est rigide, et positive lorsque la demande est élastique.

Exercice 37 Pour chacune des fonctions de demande suivantes, calculez la courbe de demande inverse : (a) q(p) = 12-2p (b) q(p) =

p10


(c) ln(q) = 10-4p

Exercice 38 Pour chacune des fonctions de demande suivantes, trouvez l'expression de l'élasticité-prix de la demande (la réponse doit être exprimée en fonction du prix p) : (a) q(p) = 30-6p (b) q(p) = 40p-2 (c) q(p) = (p+3)-2


11. Le surplus du consommateur + L'équilibre Le surplus du consommateur correspond à la différence entre la somme que le consommateur est disposé à payer pour l'acquisition de q* et la somme qu'il paye effectivement. De son côté, le surplus du producteur correspond à la différence entre la somme que perçoit effectivement le producteur pour la production de q* et la somme qu'il était nécessaire pour qu'il accepte de produire ces q* unités. Suite à une modification du prix p*, le surplus du consommateur et celui du producteur sont modifiés. Cette variation des surplus est toujours la somme de deux composantes : • d'une part, la variation du surplus induite par la modification de q*; • d'autre part, la variation du surplus induite par la variation du prix des unités de

biens qui continuent à être consommées et/ou produites. Sur un marché concurrentiel dans lequel les demandeurs et les offreurs prennent les prix pour des données, le prix d'équilibre d'un bien est le prix pour lequel l'offre du bien égale la demande : D(p*) = S(p*). Deux cas particuliers fréquents existent : - la courbe d'offre est verticale (parfaitement inélastique) : dans ce cas, la quantité

d'équilibre est déterminée par l'offre et le prix d'équilibre est déterminé par la demande;

- la courbe d'offre est horizontale (parfaitement élastique) : dans ce cas, le quantité d'équilibre est déterminée par la demande tandis que le prix d'équilibre est déterminé par l'offre.

Un déplacement parallèle et vers la droite de la courbe de demande correspond à un accroissement d'une quantité fixe de la demande, quel que soit le prix. De son côté, un déplacement parallèle et vers la droite de la courbe d'offre correspond accroissement d'une quantité fixe de l'offre, quel que soit le prix. En l'absence de taxation, à l'équilibre d'un marché concurrentiel, le prix payé par le consommateur et le prix perçu par le producteur coïncident. L'introduction d'une taxation amène à considérer deux prix : celui payé par le consommateur et celui perçu par le producteur. La différence entre ces deux prix correspond au montant de la taxe. Cette taxe peut-être à l'unité (PD = PS + t) ou exprimée en pourcentage (PD = (1+τ)PS, où τ est le taux de la taxe). A l'équilibre d'un marché dans lequel une taxe à l'unité t est prélevée, la condition suivante doit être respectée : D(PD) = S(PS) où PS = PD – t. Pour étudier (graphiquement) l'impact d'une taxe, deux méthodes alternatives existent : soit vous déplacez la courbe de demande vers le bas, soit vous déplacez la courbe d'offre vers le haut. Dans le cas général (c'est-à-dire lorsque la courbe de demande est décroissante et la courbe d'offre est croissante), l'introduction d'une taxe à l'unité entraîne une


augmentation du prix payé par le demandeur et une diminution du prix reçu par l'offreur. Toutefois, il se peut que la taxe à l'unité soit transférée dans une certaine mesure entre le demandeur et l'offreur. Tout dépend en fait des caractéristiques de la demande et de l'offre. Ainsi, si l'offre est parfaitement élastique, la totalité de la taxe est transférée aux consommateurs. Par contre, si l'offre est parfaitement inélastique, la totalité de la taxe est supportée par les offreurs.

Exercice 39 Considérez un marché concurrentiel avec une offre croissante et une demande décroissante (cas général). Le Gouvernement décide d'introduire une taxe à l'unité t. Représentez graphiquement la charge morte résultant de la taxe (c'est-à-dire la perte sociale de surplus) et commentez.

Exercice 40 Considérez un marché concurrentiel avec une offre parfaitement rigide et une demande décroissante. Un taxe à l'unité t est introduite par les décideurs politiques. (a) Qui supporte la charge de le taxe? (b) Représentez graphiquement la charge morte résultant de la taxe.

Exercice 41 Supposez que tous les consommateurs considèrent les crayons rouges et les crayons bleus comme des substituts parfaits. La courbe d'offre des crayons rouges est supposée croissante. Soit pr et pb, les prix des crayons rouges et des crayons bleus. Que se passe-t-il si le Gouvernement décide de lever une taxe à l'unité uniquement sur les crayons rouges?

Exercice 42 Le Gouvernement décide de subventionner d'un montant à l'unité s la consommation d'un bien échangé sur un marché compétitif. Qui profitera de cette subvention si : (a) La demande du bien est parfaitement rigide et l'offre est simplement croissante? (b) L'offre est parfaitement élastique et la demande est simplement décroissante?

Exercice 43 Considérez la fonction de demande inverse Pd = 18-3Qd et la fonction d'offre inverse Ps = 6+Qs où les prix sont mesurés en francs. (a) En l'absence de taxe ou de subvention, quels sont la quantité et le prix d'équilibre

du marché? (b) Si une subvention de 2 francs par unité est versée aux producteurs, que devient

la nouvelle quantité d'équilibre? Quel est le nouveau prix d'équilibre reçu par les producteurs? Quel est le nouveau prix d'équilibre payé par les demandeurs?


12. Les ventes aux enchères Les enchères peuvent être classées selon deux critères : selon la nature du bien (enchères à valeur privée ou enchères à valeur commune) et selon les règles en matière d'offre (enchères anglaises, hollandaises, sous pli scellé ou philatélistes). Une vente aux enchères à valeur privée est une vente où chaque participant attribue une valeur éventuellement différente au bien en question. Par contre, une vente aux enchères à valeur commune est une vente où le bien en question a fondamentalement la même valeur pour tous les offreurs bien que ceux-ci puissent avoir des évaluations différentes de cette valeur commune. L'enchère anglaise constitue le mécanise d'offre le plus répandu pour une vente aux enchères. Un commissaire-priseur commence avec un prix de réserve (prix en dessous duquel le vendeur n'accepte pas de vendre son bien). Les participants offrent successivement des prix plus élevés. En général, une surenchère minimum doit être proposée lors de chaque nouvelle offre. Lorsque plus personne ne souhaite augmenter l'offre, le bien est attribué à celui qui a offert le montant le plus élevé. L'enchère hollandaise est un mécanisme par lequel le commissaire-priseur commence avec un prix élevé et le diminue progressivement étape par étape jusqu'à ce quelqu'un accepte d'acheter le bien. Une autre forme d'enchères est l'enchère sous pli scellé. Chaque participant écrit son offre sur un papier et le met sous pli scellé. Les enveloppes sont rassemblées et ouvertes. Le bien est attribué à la celui qui a effectué la meilleure offre. Enfin, l'enchère philatéliste attribue le bien à la personne qui a offert le prix le plus élevé, mais celle-ci paie le prix proposé en second. Lors d'une vente aux enchères, deux objectifs naturels doivent être poursuivis : - d'une part, l'efficacité au sens de Pareto : le bien doit être vendu à la personne

qui lui attribue la valeur la plus élevée; - la maximisation du profit : le profit attendu du vendeur doit être le plus élevé

possible. Chaque type d'enchères ne poursuit pas nécessairement ces deux objectifs.

Exercice 44 Supposez qu'il n'y ait que deux offreurs dont les valeurs sont 8 dollars et 10 dollars avec une surenchère de 1 dollar .Quel devrait être le prix de réserve dans le cadre d'une enchère anglaise visant à maximiser le profit?

Exercice 45 Supposez que deux copies d'un livre soient à vendre à trois lecteurs enthousiastes. Comment pouvez-vous utiliser une enchère sous pli scellé garantissant le fait que ce soit les deux acheteurs avec les deux valeurs les plus élevées qui reçoivent les livres?


2ÈME PARTIE : LE PRODUCTEUR

13. La technologie C'est avec ce chapitre que débute l'étude du comportement de la firme. L'ensemble de toutes les combinaisons d'inputs et d'outputs correspondant à un processus de production techniquement réalisable est l'ensemble de production. La fonction décrivant la frontière de cet ensemble est la fonction de production. Celle-ci mesure l'output maximum qu'il est possible d'obtenir à partir d'une quantité donnée d'input. Dans le cas de deux inputs, il est d'usage de recourir aux isoquantes pour représenter les relations de production. Une isoquante est l'ensemble de toutes les combinaisons possibles d'inputs 1 et 2 qui sont juste suffisantes pour produire une quantité donnée d'output. L'allure que prend une isoquante dépend du type d'inputs dont il s'agit : - les isoquantes d'allure normale : q = Ax1

ax2b (Cobb-Douglas),

- les substituts parfaits : q = ax1+bx2, - les compléments parfaits : q = min{ax1,bx2}. Le produit marginal d'un facteur indique la quantité d'output supplémentaire obtenue lorsqu'on augmente d'une unité l'utilisation de ce facteur. Il est en principe positif (monotonicité) et décroissant (loi des rendements marginaux décroissants) :

0>xδyδ

i et 0<

xδyδ2i

2.

Le taux de substitution technique (TST) mesure le taux auquel la firme doit substituer un input par l'autre tout en maintenant constante la quantité d'output. Le TST en un point donné est égal à la pente de la tangente à l'isoquante passant par ce point. Il est en principe décroissant (isoquantes d'allure normale). Il peut être démontrer que le TST vaut l'opposé du rapport des productivités marginales :

)x,x(Pm)x,x(Pm

=x∆x∆

=)x,x(TST212

211

1

221 -

En ce qui concerne les facteurs de production, une distinction est à apporter entre le court terme et le moyen terme dans la mesure où certains de ces facteurs sont fixes à court terme. Supposez enfin que le producteur multiplie son échelle de production par un facteur t (t>1). Trois cas sont possibles : - f(tx1,tx2) > t f(x1,x2) : les rendements d'échelle sont croissants, - f(tx1,tx2) < t f(x1,x2) : les rendements d'échelle sont décroissants, - f(tx1,tx2) = t f(x1,x2) : les rendements d'échelle sont constants.


Exercice 46 Une situation de rendements d'échelle croissants est-elle incompatible avec la loi des rendements marginaux décroissants?

Exercice 47 Pour chacune des fonctions de production suivantes, précisez le type de rendements d'échelle y correspondant : (a) f(x1,x2) = x1

2x22

(b) f(x1,x2) = 4x11/2x2

1/3 (c) f(x1,x2) = Ax1

ax2b

Exercice 48 Le taux de substitution technique entre les facteurs x2 et x1 est de –4. Si vous désirez produire la même quantité d'output en réduisant l'utilisation du facteur 1 de trois unités, de combien d'unités supplémentaires du facteur 2 devez-vous disposer?


14. La maximisation du profit Dans le chapitre précédent, vous avez vu comment représenter les choix techniques auxquels la firme est confrontée. Il s'agit à présent de voir comment cette firme choisit la quantité qu'elle produit et la méthode de production qu'elle adopte. Dans ce chapitre, la firme est supposée être confrontée à des marchés concurrentiels pour les facteurs de production qu'elle utilise et les outputs qu'elle produit. Autrement dit, elle n'exerce aucun contrôle sur les prix des facteurs de production qu'elle achète et des unités de production qu'elle vend. Une firme cherchant à maximiser son profit (c'est-à-dire la différence entre les recettes et les coûts) ne peut, du moins à court terme, modifier la quantité de chaque facteur de production qu'elle emploie. Ainsi, une distinction est à établir entre les facteurs fixes dont la quantité est fixe pour l'entreprise et les facteurs variables dont la quantité utilisée peut varier librement. Puisqu'à court terme, l'entreprise est obligée d'employer certains facteurs, il est tout à fait possible que celle-ci réalise des profits négatifs. Par contre, à long terme, puisque tous les facteurs sont variables, l'entreprise est libre de se retirer du marché. Le profit minimum qu'une entreprise peut réaliser à long terme est donc nul. Considérez d'abord le problème de la maximisation du profit à court terme. Soit f(x1, 2x ), la fonction de production de l'entreprise. L'input 2 est le facteur fixe. Le prix des deux inputs sont respectivement w1 et w2. Le prix de l'output est p. Il s'agit dès lors pour la firme de : max pf(x1, 2x ) – w1x1 – w2 2x Pour connaître la quantité du facteur 1 que la firme doit utiliser, il suffit d'égaler sa productivité marginale en valeur à son prix : 12

*11 w=)x,x(pPm .

A long terme, la firme est libre de choisir la quantité de tous ses inputs. Dès lors, le problème de maximisation peut s'écrire : max pf(x1,x2) – w1x1 – w2x2 Ici, la condition définissant les choix optimaux est la même qu'à court terme, mais elle concerne cette fois tous les facteurs de production : 1

*2

*11 w=)x,x(pPm et

2*2

*12 w=)x,x(pPm .

Exercice 49 Considérez le problème de la maximisation du profit à court terme. L'entreprise produit un output à partir de deux inputs dont les productivités marginales sont décroissantes. L'input 1 est variable et l'input 2 est fixe. Démontrez à partir d'une analyse graphique que la demande du facteur 1 est décroissante par rapport à son prix et que l'offre d'output est croissante par rapport à son prix.

Exercice 50 "A long terme, les profits d'une entreprise concurrentielle qui connaît des rendements d'échelle constants pour chaque niveau d'output ne peuvent qu'être nuls". Discutez cette affirmation.


Exercice 51 Si pPm1>w1, la firme doit-elle augmenter ou diminuer la quantité de facteur 1 pour accroître ses profits?

Exercice 52 Une entreprise a une fonction de production f(x1,x2) = x1

1/2x21/4 où x1 et x2 sont deux

facteurs variables. Le prix de son output est égal à 4. Le facteur 1 reçoit un salaire égal à w1, et le facteur 2 un salaire égal à w2. (a) Quelles sont les quantités des facteurs 1 et 2 maximisant le profit de la firme? (b) Si le prix du facteur 1 est de 2 et celui du facteur 2 est de 1, quelles quantités de

chacun des facteurs la firme demandera-t-elle? Quel sera alors son profit?


15. La minimisation du coût Le problème de la maximisation du profit peut en fait être décomposé en deux parties : il s'agit d'une part, de minimiser les coûts de production d'un niveau donné d'output et, d'autre part, de choisir le niveau d'output le plus profitable. Ce chapitre considère la première étape de cette décomposition. Le problème est le suivant : une entreprise utilise deux facteurs de production dont les prix sont w1 et w2. Elle désire déterminer la façon la moins coûteuse de produire un niveau donné d'output y. Si x1 et x2 sont les quantités utilisées des deux facteurs, le problème de minimisation peut être écrit comme suit : min C=w1x1+w2x2 s.c. f(x1,x2)=y Ce problème de minimisation peut être résolu en dérivant la fonction de Lagrange associée à ce problème. Il s'agit là d'une première méthode possible. Une droite d'isocoût est une droite dont tous les points représentent un même coût C. Il s'agit alors de trouver sur l'isoquante le point associé à la droite d'isocoût la plus basse possible. Au point de tangence entre l'isoquante et la droite d'isocoût, il y a égalité entre le rapport des prix des facteurs et le taux de substitution technique :

2

1w

w- = )x,x(Pm)x,x(Pm

212

211-

Dès lors, pour connaître les quantités optimales de chaque input, une seconde méthode consiste à résoudre un système de deux équations dans lequel la condition de tangence est la première équation, et la fonction de coût la seconde. Cette condition de tangence n'est respectée ni dans le cas d'une solution de coin (où un des deux facteurs n'est pas utilisé), ni dans le cas d'une fonction de production présentant des coudes. Les fonctions de demande conditionnelle de facteurs xi(w1,w2,y) mesurent la relation existant entre le choix optimal des facteurs, et les prix et l'output pour un niveau d'output y donné. Un remplacement des fonctions de demande conditionnelle de facteurs xi(w1,w2,y) dans la fonction de coût C=w1x1+w2x2 fournit la fonction de coût minimum.

Exercice 53 Supposez qu'une firme minimisant ses coûts de production utilise deux inputs. Sa fonction de production est de type Cobb-Douglas : f(x1,x2)=5x1

1/3x21/2. Les prix des

deux inputs sont w1 et w2. (a) Quelles sont les fonctions de demande conditionnelle des deux inputs? (b) Quelle est la fonction de coût minimum?

Exercice 54 Une firme produit selon une technologie à coefficients fixes (compléments parfaits) une unité d'output y à partir de 2 unités de x1 et 3 unités de x2. Les prix des facteurs x1 et x2 sont respectivement w1 et w2. (a) Donnez la forme analytique de la fonction de production de cette firme et

représentez-là graphiquement.


(b) Dérivez les fonctions de demande conditionnelle des facteurs x1 et x2. (c) Ecrivez la fonction de coût minimum.

Exercice 55 Supposez qu'une firme minimisant ses coûts de production utilise deux inputs qui sont des substituts parfaits. La fonction de production de cette firme est q=3x1+2x2. Les prix des deux inputs w1 et w2. (a) Quelles sont les fonctions de demande conditionnelle des deux inputs? (b) Quelle est la fonction de coût minimum? Exercice 56 Une firme dispose d’une technologie à court terme représentée par la fonction de production q=x1

1/4 x21/4 x3

1/2, où x1 et x2 sont des facteurs variables et x3 est un facteur fixe à court terme ( )33 xx = . La firme acquiert ces facteurs sur des marchés compétitifs aux prix w1, w2 et w3.

a. Calculez les fonctions de demande conditionnelles à court terme de x1 et x2. b. Calculez la fonction de coût à court terme.

16. Les courbes de coût

Exercice 57 Considérez la fonction de coût c(y) =4y2 +16.

a. Quelle est la fonction de coût moyen ? b. Quelle est la fonction de coût marginal ? c. Quel est le niveau de production qui minimise le coût moyen ? d. Quelle est la fonction de coût variable moyen ? e. A quel niveau de production le coût variable moyen est-il égal au coût

marginal ?

17. L’offre de la firme

Exercice 58 Une firme concurrentielle a la fonction de coût à court terme suivante : c(y)=y3-8y2+30y+5.

a. Quelle est la fonction de coût marginal à court terme ? b. Quelle est la fonction de coût variable moyen à court terme ? (Les coûts

variables totaux sont égaux à c(y)-c(0)). c. Tracez le graphe de la fonction de coût marginal et de la fonction de coût

variable moyen.


d. Dans quel intervalle de production la courbe de coût variable moyen est-elle décroissante ? A partir de quelle quantité d’output la courbe de coût variable moyen devient-elle croissante ?

e. Pour quelle quantité d’output le coût marginal est-il égal au coût variable moyen ?

f. En dessous de quel prix la firme cessera-t-elle de produire ? g. A combien s’élève la production minimale de la firme ? h. A quel prix la firme offrira-t-elle exactement 6 unités d’output ?

18. L’offre de la branche

Exercice 59 Considérons une branche concurrentielle composée d’un grand nombre de firmes ayant toutes des fonctions de coût identiques c(y)=y2+1 pour y>0 et c(0) = 0. Supposons que la courbe de demande initiale adressée à cette branche soit donnée par D(p)=52-p. (La production d’une firme peut ne pas être un nombre entier, mais le nombre de firmes est nécessairement un nombre entier).

a. Quelle est la courbe d’offre d’une firme individuelle ? Quelle serait la courbe d’offre de la branche s’il y avait n firmes dans la branche ?

b. Quel est le prix minimal à partir duquel le produit peut être vendu ? c. Quel est le nombre de firmes à l’équilibre de long terme dans cette branche

(p=2) ? d. Quel est le prix d’équilibre ? Quelle est la production d’équilibre de chaque

firme ? e. Quelle est la production d’équilibre de la branche ? f. Quel est le profit de la branche ? g. Que devient le profit si une nouvelle firme entre sur ce marché ?

Exercice 60 Considérons une branche composée de trois entreprises. Supposons que les entreprises aient respectivement les fonctions d’offre suivantes : s1(p) = p, s2(p)=p-5 et s3(p) = 2p.

a. Faites un graphique. Tracez chacune des trois courbes d’offre et la courbe d’offre de la branche obtenue à partir d’elles.

b. La courbe de demande du marché ayant la forme D(p)=15, quel est le prix d’équilibre du marché ? La quantité d’équilibre ? Quelle est la quantité offerte par chaque firme à ce prix ?


19. Le monopole Le monopole est un secteur d'activité dans lequel il n'y a qu'une seule entreprise. Plutôt que de prendre le prix du marché pour une donnée, cette entreprise choisit le prix et l'output qui maximisent ses profits totaux. Pour ce faire, elle égalise recette marginale et coût marginal (Rm=Cm). Puisque

])y(ε1+1)[y(p=)y(Rm , la condition d'égalité entre recette marginale et coût marginal peut

être réécrite : )y(Cm=])y(ε1+1)[y(p .

Une entreprise concurrentielle respecte cette condition d'optimisation, mais pour une telle entreprise, le coût marginal est égal au prix car la demande est parfaitement élastique (ε=-∞). Par contre, le monopole choisit un prix supérieur au coût marginal pour lequel la demande n'est pas inélastique (ε<-1). L'écart entre le prix et le coût marginal dépend de l'élasticité de la demande. En règle générale, le prix est plus élevé et l'output plus faible en monopole qu'en concurrence parfaite. Il peut être démontré que le monopole est inefficace au sens de Pareto, dans la mesure où il limite l'output à un niveau où les gens sont disposés à payer pour une quantité supplémentaire un montant supérieur à son coût de production. Cette inefficacité du monopole peut être mesurée par sa charge morte. Un monopole peut être qualifié de monopole naturel lorsqu'il correspond à une entreprise ne pouvant pas produire le niveau d'output efficace (p=Cm) sans perdre de l'argent.

Exercice 61 Un monopoleur est confronté à une courbe de demande égale à D(p)=100-2p. Sa fonction de coût est C(y)=2y. Quel est son niveau optimal d'output et de prix?

Exercice 62 Un monopoleur est confronté à une courbe de demande égale à D(p)=10p-3. Sa fonction de coût est C(y)=2y. Quel est son niveau optimal d'output et de prix?

Exercice 63 Si la courbe de demande à laquelle est confronté un monopoleur a une élasticité constante de –2, quel est l'écart entre le coût marginal est le prix pratiqué par ce monopoleur?


20. Le comportement du monopole Le monopole est inefficace car il limite l'output à un niveau où les gens sont disposés à payer pour une quantité supplémentaire un montant supérieur à son coût de production. Le monopoleur ne souhaite pas produire cette quantité supplémentaire car cela diminuerait le prix qu'il peut obtenir sur l'ensemble de sa production. Mais, si le monopoleur peut discriminer en termes de prix, c'est-à-dire vendre différentes unités d'output à des prix différents, la situation est toute autre. En fait, trois types de discrimination en termes de prix sont à distinguer : • La discrimination au premier degré : le monopoleur vend les différentes unités

d'output à des prix différents. Les prix peuvent différer d'une personne à l'autre. • La discrimination au second degré : le monopoleur vend également les

différentes unités d'output à des prix différents, mais toutes les personnes achetant une quantité identique du bien payent le même prix.

• La discrimination au troisième degré : le monopoleur pratique des prix différents suivant la personne qui achète. Chaque unité d'output vendue à une même personne est vendue au même prix.

Dans la pratique , c'est la concurrence monopolistique qui est la plus fréquente. La concurrence monopolistique est un secteur dans lequel chaque entreprise est confrontée à une courbe de demande décroissante pour son produit. Chaque entreprise a donc un certain pouvoir de marché puisqu'elle peut fixer son propre prix au lieu de prendre le prix du marché pour une donnée comme le fait une entreprise concurrentielle. Toutefois, sa marge de manœuvre n'est pas illimitée dans la mesure où les produits des diverses firmes monopolistiques sont similaires (mais non identiques).

Exercice 64 Dans quel cas un monopole peut-il produire un niveau d'output efficace au sens de Pareto?

Exercice 65 Si une entreprise peut pratiquer des prix différents sur deux marchés distincts, le prix le plus bas sera-t-il fixé sur le marché avec la demande la plus élastique ou sur le marché avec la demande la moins élastique?

Exercice 66 Un monopoleur est confronté à deux marchés dont les courbes de demande sont : Q1(p1) = 100 – p1 Q2(p2) = 100 – 2p2 Le coût marginal est constant et est égal à 20. (a) Si le monopoleur peut discriminer en termes de prix, quels prix devrait-il pratiquer

sur chacun des marchés pour maximiser son profit? (b) Quel prix devrait-il choisir s'il ne peut pas discriminer? (c) Laquelle de ces deux situations préfère-t-il, et pourquoi?


Exercice 67 Un monopoleur fait face à la courbe de demande inverse p(y)=100-2y, et a un coût marginal de production constant de 20. (a) Quels sont le niveau d'output et le prix maximisant son profit? (b) Quels sont le niveau d'output et le prix socialement optimaux? (c) Quelle est la charge morte due au comportement monopolistique de la firme? (d) Si ce monopoleur peut vendre chaque unité au prix le plus élevé possible, à

combien s'élèverait la charge morte dans ce cas?


21. Les marchés de facteurs Considérez le cas d'une entreprise opérant en monopole et utilisant un seul facteur de production dont le prix w est une donnée (il y a concurrence parfaite sur le marché de ce facteur). Une petite augmentation de la quantité d'input utilisée ∆x entraîne une petite augmentation de l'output ∆y. Cette augmentation de l'output implique à son tour une variation de la recette. Dès lors, l'effet sur la recette d'une augmentation marginale de l'input, c'est-à-dire le produit marginal en recette, peut être mesuré en multipliant la recette marginale par le produit marginal du facteur :

xyx Pm*Rm=x∆y∆

y∆R∆=x∆

R∆=PmR

En concurrence parfaite, produit marginal en recette et produit marginal en valeur sont égaux alors que dans le cas d'un monopole, le produit marginal en recette est toujours inférieur au produit marginal en valeur. Pour déterminer la quantité de facteur qu'une entreprise emploie, il s'agit d'égaler la recette marginale d'une unité additionnelle de ce facteur avec son coût marginal d'acquisition. Ainsi, si une entreprise concurrentielle désire acquérir xc unités de facteur, elle égalise pPm(xc)=w (où w est le prix du facteur). De son côté, si un monopoleur désire acquérir xm unités de facteur, il égalise PmR(xm)=w. Il peut être démontré que xm<xc. Le monopsone représente un marché dans lequel il n'y a qu'un seul acheteur. Cet acheteur unique domine le marché du facteur et peut dès lors exercer une influence sur le prix qu'il doit payer pour ce facteur (c'est un price maker, et non un price taker comme c'est le cas pour une entreprise sur un marché de facteur concurrentiel). Ainsi, si le monopsone veut acquérir x unités de facteur, il doit payer w(x). Cette fonction d'offre inverse du facteur est supposée croissante : plus l'entreprise en situation de monopsone désire employer du facteur x, plus elle doit accepter de payer un prix de facteur important. Si ce monopsone opère dans un marché concurrentiel pour son output, il égalise sa recette marginale pPmx à son coût marginal. Ce dernier vaut : )η

1+1(w=]x∆w∆

wx+1[w=Cmx où η est l'élasticité de l'offre du facteur de production.

η est positif en cas de courbe d'offre croissante (monopsone) et infini en cas de courbe d'offre horizontale (concurrence parfaite).

Exercice 68 Un monopsone pourrait-il produire en un point où l'offre de facteur est inélastique?

Exercice 69 Considérez le cas d'une entreprise en position de monopsone sur le marché du travail (seul input) et en position de monopole sur le marché de son output. En supposant une offre de travail linéaire et croissante, et une productivité marginale physique du travail toujours décroissante, représentez graphiquement le volume de travail que l'entreprise estimera optimal et le salaire payé aux travailleurs. Que pensez-vous de cette situation en termes d'efficacité?


22. L'oligopole L'oligopole est un marché sur lequel un petit nombre d'entreprises exercent une certaine influence sur le prix. De son côté, le duopole représente le cas particulier d'oligopole avec deux entreprises. Seul le cas d'un marché sur lequel deux entreprises produisent un bien homogène est considéré ici. Dans le cas d'un leadership en quantité (modèle de Stackelberg), la firme 1 qui est le leader choisit la quantité y1 qu'elle produit. La firme 2 qui est le follower réagit en produisant y2. Le prix d'équilibre sur le marché dépend de la quantité totale d'output produite. Quel output le leader va-t-il choisir de produire pour maximiser son profit? Tout dépend de son opinion quant à la réaction du follower. Le follower va chercher à maximiser son profit compte tenu du niveau d'output du leader : )y(cy)y(pmax 222

y2

- où y

est la quantité totale produite par les deux firmes. Pour ce faire, il égalise sa recette

marginale à son coût marginal : 22

2 Cm=y∆p∆

y+)y(p=Rm 2 . L'output du follower dépend

donc du choix de production effectué par le leader : y2=f2(y1). C'est la fonction de réaction. Le leader, qui a fixé son niveau d'output initialement, connaît cette fonction de réaction du follower. Dès lors, quand le leader choisit son output, il tient compte de l'influence qu'il va exercer sur le follower. Son problème revient à maximiser :

)y(cy)y(pmax 111y1

- avec y2=f2(y1). Autrement dit, le leader prend en compte le fait que

quand il choisit l'output y1, l'output total produit est égal à la somme de son propre output plus celui produit par le follower. Dans le cas d'un leadership en prix, le leader fixe son prix en tenant compte de la réaction qu'il prévoit de la part du follower. Evidemment, à l'équilibre, le follower doit avoir le même prix que le leader puisque les deux firmes produisent un bien identique. Ainsi, si le leader fixe son prix à p, le follower considère ce prix comme une donnée, et choisit l'output qui maximise son profit : )y(cpymax 222

y2

- . Le follower

égalise dès lors le prix au coût marginal. Cette condition détermine la courbe d'offre S(p) pour le follower. En ce qui concerne le leader, il sait que s'il fixe un prix p, le follower offre S(p). La quantité que le leader va vendre est alors égale à R(p) =D(p)-S(p) où R(p) est la courbe de demande résiduelle du leader. Afin de maximiser son profit, le leader choisit une combinaison de prix et d'output telle que la recette marginale associée à la courbe de demande résiduelle soit égale au coût marginal. Le modèle du leadership en quantité et celui du leadership en prix déterminent des combinaisons différentes de prix et d'output d'équilibre. Si les deux entreprises essaient simultanément de choisir les quantités qu'elles vont produire (modèle de Cournot), chacune d'entre elles doit alors prévoir l'output de l'autre firme afin de pouvoir prendre une décision judicieuse. Autrement dit, chaque entreprise choisit l'output maximisant son profit sur base de son anticipation quant à l'output de l'autre firme e

iy : )y(f=y e211 et )y(f=y e

122 . Toutefois, en règle générale, l'output optimal de la firme 1, y1, ne coïncidera pas avec l'output auquel la firme 2 s'attend, e

1y . L'équilibre de Cournot, c'est la combinaison d'outputs )y,y( *2*1 telle que *1y soit le niveau optimal que l'entreprise 1 choisit en supposant que la firme 2 produise

*2y et que *2y soit le niveau optimal d'output que la firme 2 choisit en supposant que la


firme 1 produise *1y . Dès lors, à l'équilibre de Cournot, les équations )y(f=y *21*1 et )y(f=y *12*2 sont respectées, et aucune entreprise ne trouve profitable de modifier son

output quand elle découvre le choix effectivement fait par l'autre entreprise. Si les deux entreprises essaient simultanément de choisir les prix qu'elles vont pratiquer (modèle de Bertrand), à l'équilibre, le prix sera égal au coût marginal puisque les deux firmes produisent un bien identique. Ce modèle de Bertrand peut être interprété comme un système d'enchères concurrentielles. Les deux entreprises, plutôt que d'agir de manière indépendante, pourraient très bien décider de former une coalition et déterminer ainsi conjointement leurs outputs. Si la collusion est possible, les firmes ont intérêt à choisir l'output maximisant les profits totaux du secteur puis à se répartir ces profits entre elles. En procédant de la sorte, elles forment un cartel qui se comporte comme un monopole unique. Le problème de maximisation est alors : )y(c)y(c]y+y)[y(pmax 221121

y,y 21

-- où y=y1+y2. A l'équilibre, les deux

entreprises ont un coût marginal identique car si tel n'était pas le cas, cela signifierait que l'entreprise ayant un avantage en termes de coût devrait produire davantage d'output à l'équilibre dans une solution de cartel. En règle générale, le cartel est quelque chose d'instable car chaque entreprise est tentée de vendre davantage que le niveau de production convenu si elle croit que les autres entreprises faisant partie du cartel ne réagiront pas.

Exercice 70 Considérez le cas d'un duopole dans lequel l'entreprise 1 est en position de leader et l'entreprise 2 est en position de follower. Les deux entreprises ont des coûts marginaux constants et identiques, égaux à c. La fonction de demande inverse est donnée par : p = a - b(y1+y2) où y1 et y2 désignent les productions des entreprises 1 et 2. (a) Calculez la fonction de réaction du follower. (b) Calculez le niveau de production optimal du leader. (c) Calculez la production totale vendue et le prix du marché.

Exercice 71 Considérez un marché de duopole dans lequel la fonction de demande pour le produit est q(p) = a - bp. L'entreprise 1 est leader en prix et sa fonction de coût

est 111 cq=)q(c . L'entreprise 2 suit et sa fonction de coût est 2q

+d=)q(c22

22 . Calculez les

deux niveaux de production et les prix.

Exercice 72 Considérez le cas du marché d'un bien dans lequel deux entreprises X et Y se partagent la production. Ces deux entreprises sont engagées dans une concurrence à la Cournot. Le coût marginal de X est de 1 par unité de production alors que celui de Y est de 2. Les coût fixes sont nuls pour chacune d'elles. La fonction de demande inverse pour ce bien est p = 6 - 0,01q, où q désigne le nombre total d'unités vendues quotidiennement. (a) Calculez les fonctions de réaction de chacune des deux entreprises.


(b) Quelles sont les quantités produites à l'équilibre de Cournot? (c) Quel est le prix d'équilibre? (d) Quel sont les profits réalisés par chaque entreprise?

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