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École des Hautes Études Industrielles - Département AutomatiqueCours de régulation industrielle

CHAPITRE 5

Analyse des systèmes linéaires types



Ordre d’un système :Un système est dit du nième ordre si l’équation

différentielle qui régit ses paramètres est de degré n.

Nous allons étudier en détail les systèmes du premier et du second ordre.

Tout système complexe peut être décomposé en plusieurs « petits » systèmes.



Système du premier ordre :Un four est modélisé de la manière suivante :

FOURp(t) (t)

p = puissance fournie pour le four

= température

C = capacité calorifique du four

k = coefficient de perte de chaleur par rayonnement



Système du premier ordre :

Bilan énergétique :

C d = P dt – k dt

D’où : kPt

dtdkC )(

SYSTEME DU PREMIER ORDRE



Système du premier ordre :

Un système du premier ordre s’écrit de la façon suivante :

)()( teKtsdtdsT

D’où :pT

KpEpSpH

1)()()(

Avec : K = gain statiqueT = constante de temps (en s)



Réponses temporelles des systèmes du 1er ordre :Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) :

En entrée, nous appliquons un dirac : E(p) = 1

Tt

eTKtsoùd

pTKpS

)('1

)( On a donc :

Et :

Tte

TKts

2)('

TKst )0(0

TKe

TKTsTt 368.0)( 1

0)(lim tst

t


Analyse des systèmes linéaires typesRéponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) :

Tangente en (0, K/T) : TKx

TKy 2



Réponse à un échelon (réponse indicielle) :En entrée, nous appliquons un échelon : E(p) = 1 / p

)1()(')1(

)( Tt

eKtsoùdpTp

KpS On a donc :

Théorème de la valeur finale :

KTpKppSts

pt

1)(lim)(lim

0

Tte

TKts

)('

0)0(0 stKeKTsTt 63.0)1()( 1

Et :

KeKTsTt 86.0)1()2(2 2

KeKTsTt 95.0)1()3(3 3


Analyse des systèmes linéaires typesRéponse à un échelon (réponse indicielle) :

Tangente en (0, 0) :

xTKy


Analyse des systèmes linéaires typesRéponse à un échelon (réponse indicielle) :

Aucun point d’inflexion pour la réponsePas d’oscillations ( s’(t) > 0 )L’erreur statique est finie et nulle si K = 1 avec e(t) = 1 en

entrée.Temps de montée :

Le temps de montée est entre 10 et 90 % de la valeur maximale.

)1(1.0)(1

1Tt

eKKts)1(9.0)(

2

2Tt

eKKts

KTt 9.0ln1 KTt 1.0ln2

tm = t2 – t1 = 2.2 T


Analyse des systèmes linéaires typesRéponse à une rampe :

En entrée, nous appliquons une rampe : E(p) = 1 / p²

)()(')1(

)( 2Tt

eTTtKtsoùdpTp

KpS

On a donc :

Tangente horizontale en t=0

)1()(' TteKts

0)0(0 st

KeKTsTt 368.0)( 1

Et :

)()( TtKty Asymptote :



Calcul de l’erreur de traînage (différence entre la sortie et l’entrée) :

)(lim Tt

teTTtKt

KTKt

t

)1(lim

TKK 1d’où

sinon, il y a divergence



Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre :

jKjHoùd

pKpH

1)('

1)(

²²1)()(

KjHH arctan)()( jHArgH

0

)( jH

)(H

1/ K

00

24

2K


Analyse des systèmes linéaires typesLieu de Nyquist :

Le lieu de Nyquist d’un premier ordre est un demi-cercle


Analyse des systèmes linéaires typesLieu de Bode :

Pour représenter rapidement Bode, nous pouvons utiliser le diagramme asymptotique avec o = 1/, la pulsation naturelle ou pulsation propre.

<< O KjH log20)(

0)( H = O dBKKjH 3log202log10log20)(

4)( H

>> O log20log20)( KjH

2)( H


Analyse des systèmes linéaires typesLieu de Bode :

20 log K


Analyse des systèmes linéaires typesLieu de Black :



Système du deuxième ordre :Un système est dit du second ordre s’il est régi par une équation différentielle :

)()()(²)(²

0012 teatsbdttdsb

dttsdb

D’où :

012

0

²)()()(

bpbpba

pEpSpH

que nous mettons sous la forme :

1²)(

0

1

0

2

0

0

pbbp

bb

ba

pH



Système du deuxième ordre :

121²)(

0

2

00

1

0

2

0

0

pp

Kp

bbp

bb

ba

pH

On définit : le gain statique :0

0

baK

la pulsation naturelle : sradenbb /2

00

le facteur d’amortissement :20

1

2 bbb



Réponses temporelles des systèmes du second ordre :

On appelle POLES les racines du dénominateurOn appelle ZEROS les racines du numérateur

On recherche la valeur des pôles de H(p) afin d’écrire s(t) :

12)(

0

2

0

pp

KpH

0120

2

0

pp


Analyse des systèmes linéaires typesOn obtient alors :

Le signe des racines dépend donc de ² - 1

> 1:nous avons deux pôles réels p1 et p2 :

à partir de cette écriture, nous pouvons facilement écrire la fonction sous la forme :

d’où :

)1(4 220

)1²(01 p

)1²(02 p

))(()(

21

20

ppppKpH

)1²(

1)1²(

11²2

)(00

0

ppKpH



021 pp

20

20

)()(

pKpH

= 1:Dans ce cas, nous avons :

²1001 jp

²1(

1²1(

1²12

)(00

0

jpjpjKpH

< 1:Dans ce cas, nous avons deux pôles imaginaires :

²1002 jp


Analyse des systèmes linéaires typesRéponse à un échelon (réponse indicielle ) : E(p) = 1/p

Si > 1 :

On a :

)(1

)(1

1²2)(

21

0

ppppppKpS

)1²(1

01

T

)1²(1

02

T

En posant :

Avec : et 20

211TT 0

121²2

TT

On obtient :

21

12

2

12

11)( TtTt eTTTe

TTTKts


Analyse des systèmes linéaires typesRéponse à un échelon (réponse indicielle ) :

Si > 1 :

En étudiant s(t), nous obtenons : 0)0( sKs )(

En calculant la dérivée, nous avons s’(t) = 0 uniquement pour t=0.

t 0

)(' ts

)(ts

K

0

0

+



Nous obtenons bien une réponse apériodique



Si = 1 :

2

01

)(

pp

KpS0

1TNous avons :

On obtient :

Tte

TtTKts 1)(

0)0( s

Ks )(

En calculant la dérivée, nous avons s’(t) = 0 uniquement pour t=0.



Nous obtenons une réponse apériodique critique



Si < 1 :

)(1

)(1

²12)(

21

0

ppppppjKpS

Après beaucoup de calculs, on obtient :

)²1(sin

²1)²1cos()( 00

0

ttKeKts t

²1arctan²1sin

²1)( 0

0

tKe

Ktst

Autre écriture possible :


Analyse des systèmes linéaires typesSi < 1 :

La réponse indicielle est la superposition d’un régime forcé (K) et d’un régime transitoire oscillatoire amortie. La pulsation des oscillations se déduit des calculs précédent :

20 1 p



Si < 1 :

En recherchant des expressions approximatives de l’enveloppe de la réponse, nous obtenons pour le temps de réponse :

03rt

Les dépassements sont obtenus en calculant les instants où la dérivée est nulle. Ces instants sont appelés temps de pics : tpic.

Le dépassement principal (première dérivée) se produit à l’instant t1 :

211)(

KeKts d’où :21

% 100 eD



tpic

D%



Réponses fréquentielles des systèmes du second ordre :

020

2

0

2

0

2112)(

j

K

jjKjH

On en déduit les valeurs du gain et de la phase :

20

22

2

20

2

41

)()(

KjHH

20

20

1

2arctan)(


Analyse des systèmes linéaires typesÉtude du Gain :

En développant, nous obtenons :

1122)()(

220

2

40

4

KjHH

Nous avons donc 2 cas à envisager :

21012 2

21012 2



21Si

0

)(H

K

0

21Si

0

)(H

K0

20 21

212 K

Pulsation de résonnance

Coefficientde

surtension


Analyse des systèmes linéaires typesÉtude de la Phase :

0

)(

0

-



Représentation fréquentielle d’un système du second ordre :Lieu de Nyquist

21

21

21


Analyse des systèmes linéaires typesLieu de Bode

21

21

21


Analyse des systèmes linéaires typesLieu de Black

21

21

21



Système à retardDéfinition : un système linéaire est dit avec retard si le

signal de sortie est décalé d’un temps par rapport à celui d’entrée.

)()( txty

Ce retard est provoqué par l’inertie thermique du processus, le jeu mécanique, le temps de propagation de l’information, etc….

La fonction de transfert est : pepXpYpG )()()(

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