e06 Rod Matlab

Politecnico di Torino Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Aerospaziale

Marco Gherlone

Scrittura e applicazione

di un programma MATLAB

per lanalisi FEM

di travature reticolari piane

Strutture Aeronautiche 6 Scrittura e applicazione di un programma MATLAB per lanalisi FEM di travature reticolari piane


Marco Gherlone

2

Contenuto dellesercitazione

Lesercitazione si divide in due fasi:

1. scrittura di un programma in ambiente MATLAB per lanalisi statica di

travature reticolari piane secondo il metodo degli elementi finiti;

2. applicazione di tale programma allo studio di una travatura reticolare assegnata.

Scopo dellesercitazione

Gli scopi fondamentali dellesercitazione sono:

lapplicazione del metodo degli elementi finiti secondo i suoi passi fondamentali;

lapprendimento dei fondamenti della programmazione FEM.



Marco Gherlone

3

Premessa

I programmi agli elementi finiti normalmente operano secondo tre fasi (qui descritte

per il caso di analisi statica):

1. pre-processing; raccolta dei dati su materiali, geometria e mesh, vincoli e carichi;

2. processing; calcolo vero e proprio (si tratta di calcolare la matrice di rigidezza ed

il vettore delle forze dellintera struttura e, quindi, di determinare i gradi di libert

non vincolati e le reazioni vincolari);

3. post-processing; a partire dai risultati precedenti, si calcolano alcuni risultati

secondari (le deformazioni e le tensioni in ogni elemento).

Non esiste una regola precisa secondo la quale queste tre fasi debbano essere

risolte da uno o pi programmi; tipicamente, per, un programma svolge il pre-

ed il post-processing, un secondo programma effettua il processing.

Nel nostro caso seguiremo uno schema leggermente diverso; un primo programma (ROD_FEM.m) svolge in successione pre-processing e processing, salvando poi i

risultati statici in un file, un secondo programma (OUT_ROD_FEM.m) effettua il

post-processing a partire dai risultati gi salvati.

Per ogni fase della scrittura dei due programmi, sono ora fornite delle indicazioni di

massima e qualche suggerimento sulla codifica in ambiente MATLAB.



Marco Gherlone

4

Inserimento dei dati per lanalisi

Calcoli preliminari

Calcolo della matrice [KG] e del

vettore {FG} per lintera struttura

Risoluzione

Salvataggio dei risultati

Elaborazione dei risultati

Pre-processing

Processing

Post-processing

ROD_FEM.m

OUT_ROD_FEM.m

Scrittura dei programmi



Marco Gherlone

5

Inserimento dei dati per lanalisi:

dati sui materiali (E);

dati sulla geometria e sulla mesh (sezioni, coordinate dei nodi, connectivities);

dati sui vincoli (gradi di libert bloccati);

dati sui carichi (carichi concentrati nei nodi).




Marco Gherlone

6


dati sui materiali (E)

Bisogna considerare la possibilit che la struttura sia realizzata in diversi materiali; allora necessario inserire il numero di materiali (nmat) e i valori di E per ognuno di

essi (attraverso il vettore colonna, di dimensioni nmat x 1, {E}).

nmat=input(' scrivi il numero di materiali diversi presenti nella struttura: ');

for m=1:nmat

disp([' materiale n ',num2str(m),':']);

E(m,1)=input(' modulo elastico del materiale: ');

end




Marco Gherlone

7


dati sui materiali (E)


Per linserimento di questi dati, cosi come per quelli discussi nelle slides successive, possibile usare una modalit alternativa a quella del comando input; elencarli

tutti in un file .m che viene richiamato allinizio dellesecuzione del programma di analisi ROD_FEM.m.

nmat=3;

E=[100 10 1];

...



Marco Gherlone

8


dati sulla geometria e sulla mesh (sezioni)

Le varie aste possono avere sezioni trasversali con aree diverse; bisogna inserire il numero di sezioni diverse (nsez) e larea di ognuna (vettore colonna nsez x 1

{A}).

nsez=input???

for s=1:nsez

disp???

???

end




Marco Gherlone

9


dati sulla geometria e sulla mesh (coordinate dei nodi, connectivities)

E necessario a questo punto inserire la matrice [Pn] delle coordinate globali dei

nodi (nn x 2, cio il numero delle righe di [Pn] anche il numero dei nodi nn).

Inoltre va inserita la matrice [Cne] di connectivity dei nodi per elemento (ne x 2,

cio il numero delle righe di [Cne] anche il numero di elementi ne).

Infine dobbiamo indicare, per ogni elemento, qual la sua sezione trasversale e di quale materiale fatto (la matrice [Cpe] ne x 2 contiene per ogni riga, cio per

ogni elemento, lindice della sua sezione trasversale e lindice del suo materiale).

Pn=input???

Cne=input???

Cpe=input???




Marco Gherlone

10


dati sui vincoli (gradi di libert bloccati)

Bisogna indicare quali sono gli indici dei gradi di libert nulli per effetto dei vincoli (contenuti nel vettore riga {ib}).

Vedere la slide 13 per la numerazione dei gradi di libert.

ib=input???




Marco Gherlone

11


dati sui carichi (carichi concentrati nei nodi)

Trattandosi di una travatura reticolare, gli unici carichi esterni ammessi sono forze

concentrate nelle cerniere (che sono anche nodi degli elementi finiti).

Linformazione sui carichi pu, dunque, essere fornita indicando lintensit della

forza associata allindice del relativo grado di libert. In pratica va inserita la matrice Fn, con due colonne: per ogni riga, in prima colonna c lindice del grado di libert

a cui associata la forza esterna, in seconda colonna lintensit della forza stessa.

Vedere la slide 13 per la numerazione dei gradi di libert.

Fn=input???




Marco Gherlone

12

Calcoli preliminari:

matrice di connectivity dei gradi di libert per elemento;

numero di nodi, di elementi e di gradi di libert;

lunghezza, cos() e sen() per ogni elemento.




Marco Gherlone

13


matrice di connectivity dei gradi di libert per elemento

for e=1:size(Cne,1)

Cse(e,:)=[2*Cne(e,1)-1 ???];

end

Per effettuare in maniera rapida lassemblaggio, bisogna passare dalla matrice di connectivity dei nodi per elemento [Cne] (ne x 2, per ogni riga gli indici del primo

e del secondo nodo dellelemento) a quella dei gradi di libert per elemento [Cse]

(ne x 4, per ogni riga gli indici dei 4 gradi di libert globali di quellelemento). Il

passaggio si pu fare in modo automatico, notando che, per esempio

5

8

3

qG9

qG10 qG15

qG16 ]85[:),3(Cne

]1615109[:),3(Cse

]8*218*25*215*2[:),3(Cse




Marco Gherlone

14


numero di nodi, di elementi e di gradi di libert

Il numero di nodi (nn) si trova facilmente ( il numero di righe di [Pn]).

Il numero di elementi (ne) altrettanto facile da calcolare (le righe di [Cne]).

Il numero di gradi di libert o incognite (ni) il massimo indice presente in [Cse].

nn=size(Pn,1);

ne=???

ni=max(max(Cse));




Marco Gherlone

15


lunghezza, cos() e sen() per ogni elemento

La lunghezza e le funzioni trigonometriche dellangolo per ogni elemento si ricavano sapendo due cose: (1) quali sono i due nodi di quellelemento ([Cne]) e

(2) quali sono le coordinate di quei due nodi ([Pn]). Per esempio

5

8

3

1

2

(3)

2 2

(3) G(3) G(3) G(3) G(3)

2L 1L 2L 1LL = x -x + y -y

2 2

(3) G G G G

8 5 8 5L = x -x + y -y

G(3) G(3)

(3) 2L 1L

(3)

x -xcos = ...

L

G(3) G(3)(3) 2L 1L

(3)

y -ysin = ...

L

for e=1:ne

L(e,1)=sqrt((Pn(Cne(e,2),1)-Pn(Cne(e,1),1))^2+???);

ca(e,1)=(???)/L(e);

sa(e,1)=(???)/L(e);

end




Marco Gherlone

16

Calcolo della matrice [KG] e del vettore {FG} per lintera struttura:

calcolo, per ogni elemento, di [KG(e)];

assemblaggio per ottenere [KG];

calcolo diretto di {FG};

calcolo delle matrici e dei vettori ridotti.




Marco Gherlone

17


calcolo, per ogni elemento, di [KG(e)]

La matrice di rigidezza (globale) di ciascun elemento finito si pu calcolare in una

apposita function (da scrivere a parte). I dati di input che servono sono:

[Ke]=nomefunction(lunghezza,cos(),sin(),area,modulo di Young)

Nella function bisogna prima calcolare la matrice nel sistema locale dellelemento, poi determinare la matrice [] di rotazione e, quindi, la matrice nel sistema globale.

for e=1:ne

Ke=nomefunction_1(L(e),ca(e),sa(e),A(Cpe(e,1)),E(Cpe(e,2)));

*vedere slide successiva*

end




Marco Gherlone

18


assemblaggio per ottenere [KG]

Ora che per lelemento e abbiamo la matrice [Ke] nel sistema globale, dobbiamo

assemblarla a quelle degli altri elementi per ottenere [K], matrice globale dellintera

struttura. Per fare questo bisogna avere inizializzato [K] a matrice nulla prima del

ciclo sugli elementi e poi effettuare, elemento per elemento, lassemblaggio vero e

proprio. Si noti che lassemblaggio si risolve in MATLAB in un semplice gioco di

indici di righe e colonne!

K=zeros(ni);

for e=1:ne

*vedere slide precedente*

I=Cse(e,:);

K(I,I)=K(I,I)+Ke;

end




Marco Gherlone

19


calcolo diretto di {FG}

Il vettore delle forze nel sistema globale {F} si pu calcolare al di fuori del ciclo

sugli elementi. Si parte dalla matrice di carichi [Fn] che ha, in ogni riga, lindice

del grado si libert e lintensit del relativo carico esterno.

???




Marco Gherlone

20


calcolo delle matrici e dei vettori ridotti

Per fare il calcolo statico ci servono le sottomatrici di [K] ed {F}. In primo luogo

bisogna creare il vettore dei gradi di libert non vincolati {il} noti tutti i gradi di

libert [1:1:ni]T e quelli vincolati {ib} (si noti che {il} contiene i gradi di

libert non contenuti in {ib}). Poi bisogna calcolare i vari blocchi con dimensioni e

indici pari a quelli indicati da {il} e {ib}.

ib=sort(ib);

il=???

Kff=K(il,il);

Kfv=K(il,ib);

Kvf=K(ib,il);

Kvv=K(ib,ib);

Fef=???

Fev=???

...




Marco Gherlone

21

Risoluzione:

calcolo statico (spostamenti nodali e reazioni vincolari).




Marco Gherlone

22

Risoluzione:

calcolo statico (spostamenti nodali e reazioni vincolari)

Il calcolo statico consiste nelluso delle sottomatrici di [K] ed {F} per calcolare i

gradi di libert non vincolati {Qf} e le reazioni vincolari {Rv}. Si tratta poi di

ricostruire il vettore completo dei gradi di libert {Q} e quello completo delle

reazioni vincolari {Cv} (si noti che in questo caso {Fev}={0}).

Qf=Kff\Fef;

Rv=Kvf*Qf-Fev;

Q(il,:)=Qf;

Q(ib,:)=zeros(length(ib),1);

Cv(il,:)=zeros(length(il),1);

Cv(ib,:)=Rv;




Marco Gherlone

23

Salvataggio dei risultati:

salvataggio dei risultati statici.




Marco Gherlone

24

Salvataggio dei risultati:

salvataggio dei risultati statici

Prima di tutto bisogna inserire il nome del file nel quale si vogliono salvare i dati.

Poi bisogna salvare tutte le informazioni necessarie al post-processing statico.

nomesave=input([' scrivi il nome (tra apici) del file nel quale salvare i risultati: ']);

str=['save ',nomesave,' A E Pn Cne Cpe Cse ib Fn nn ne ni L ca sa K F Q Cv;'];

eval(str);




Marco Gherlone

25

Elaborazione dei risultati (statici):

richiamo dei risultati;

assegnazione dei gradi di libert ai vari elementi;

realizzazione del grafico della deformata statica;

calcolo della deformazione, della tensione e dello sforzo normale in ogni elemento.




Marco Gherlone

26


richiamo dei risultati

Inserendo il nome del file nel quale sono stati salvati i dati di una precedente analisi,

possibile aprirlo e richiamare i risultati.

nomefile=input([' scrivi il nome (tra apici) del file di risultati da usare: ']);

str=['load ',nomefile,';'];

???




Marco Gherlone

27


assegnazione dei gradi di libert ai vari elementi

Per meglio operare nel seguito, opportuno creare una matrice [q] (4 x ne) che ha

nella colonna e i valori dei 4 gradi di libert (globali) dellelemento e. Lordine

in cui tali 4 gradi di libert sono scritti in ogni colonna deve essere quello contenuto nella matrice di connectivity [Cse].

Attenzione! [q] contiene i valori dei gradi di libert globali mentre [Cse]

contiene gli indici degli stessi gradi di libert. Evidentemente sono collegati tra loro

ma non sono la stessa cosa.

for e=1:ne

q(:,e)=???;

end




Marco Gherlone

28


realizzazione del grafico della deformata statica

Il grafico va fatto elemento per elemento (si tratter quindi di un ciclo su tutti gli elementi dopo un hold on iniziale che serve ad accumulare i vari contributi). Il

comando axis equal serve a far si che venga usata la stessa scala secondo i due

assi. Per ogni elemento bisogna semplicemente individuare la posizione dei due nodi dopo la deformazione; tale posizione data da quella iniziale ([Pn]) pi gli

spostamenti nodali ([q]).

figure(1);

hold on;

axis equal;

grid on;

for e=1:ne

plot([Pn(Cne(e,1),1)+q(1,e) Pn(Cne(e,2),1)+q(3,e)],???);

end




Marco Gherlone

29


calcolo della deformazione, della tensione e dello sforzo normale in ogni elemento

Si pu creare la matrice [D] (ne x 4) contenente, in ogni riga, il numero

dellelemento, la deformazione, la tensione e lo sforzo normale in quellelemento.

Per il calcolo della deformazione si ricordino le espressioni

Per il calcolo della tensione e dello sforzo normale, bisogna utilizzare i valori di A e

di E relativi allelemento in questione.

L(e)

(e) 1

(e) L(e)

2

q1 1 1

L q

(e) (e) G(e)(e)

1 = -1 1 q

L

D=zeros(ne,4);

D(:,1)=[1:1:ne]';

for e=1:ne

Lambdae=???;

D(e,2)=(1/L(e))*[-1 1]*Lambdae*q(:,e);

D(e,3)=???;

D(e,4)=???;

end




Marco Gherlone

30

Applicazione

Si determinino:

spostamenti dei nodi;

reazioni vincolari;

deformazioni delle aste;

tensioni nelle aste;

sforzi normali nelle aste.

Materiali*:

1. Acciaio (E=210e9, =0.3, =7.96e3);

2. Titanio (E=105e9, =0.3, =4.50e3);

3. Alluminio (E=73e9, =0.3, =2.70e3).

Sezioni* (circolari cave di raggio R e spessore s):

a. R=5e-2, s=5e-3;

b. R=3e-2, s=5e-3.

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

1

1

1

3e6

2e6

1e6

b1 b1

b1

b1

b1

b1 b1

b1 b1

b1 a2

a2 a2

a2

a2

b3 b3 b3 b3 b3 b3

* Unit di misura nel S.I.

A 2Rs

e06 Rod Matlab

Documents

Transcript of e06 Rod Matlab