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Introduction à MATLAB

MATrix LABoratory :

Ce tour d’horizon fournit une familiarisation rapide mais néanmoins rigoureuse de laprogrammation MATLAB. En effet, MATLAB n’est pas une application "pousse-bouton", maisun langage de programmation interprété (i.e. dont les instructions sont exécutées à la volée). Celangage a été conçu pour soulager l’utilisateur scientifique de la plupart des difficultésinformatiques inhérentes aux langages à usage universel comme C/C++ ou Java. Sa syntaxe,compacte et élégante, est bien adaptée pour le calcul matriciel. Sa plate-forme permet d’acquérir, detraiter, d’analyser et de visualiser pratiquement n’importe quelles données. Elle est constituée d’unnoyau de routines compilées (i.e. traduites, une fois pour toute, en code machine après analyselexicale, syntaxique et contextuelle de leur code source), particulièrement robustes et optimisées,auquel peuvent se greffer des bibliothèques spécialisées, appelées "toolboxes". À cela s’ajoute unIDE (s.s. un environnement de développement intégré) complet qui permet d’implémenterefficacement de nouveaux algorithmes et de construire des interfaces graphiques conviviales, letout, directement utilisable sous Linux, MacOS, UNIX et Windows !

Lancement de MATLAB :

Matlab version 6 pour Windows est installé sur les PCs des salles de TP. L’applications’ouvre sous la forme d’une fenêtre cadre hébergeant (de haut en bas) une barre de titre, une barre demenu, une barre d’outils, trois fenêtres vue et une barre d’état.

La barre de menu et la barre d’outils offrent les commandes habituelles comme la création dedocument, l’ouverture de fichier, l’édition de texte, le réglage des préférences, et l’accès à l’aideinteractive via le menu « Help » et la commande « MATLAB Help ». Écrite en HTML, (s.s. HyperText Markup Language) cette dernière est classée thématiquement et est largement illustrée.

Dans la barre d’outils, le combo (s.s. la liste combinée) intitulé « Current Directory » (s.s.dossier courant) permet d’éditer le chemin du répertoire de travail. Par défaut, MATLAB rechercheles programmes et les données de l’utilisateur dans « 'C:\MATLAB…\work' ». Le bouton « … » ouvreun explorateur qui permet de sélectionner un nouvel emplacement dans l’arborescence dusystème de fichiers. Pour les TPs, il est judicieux de créer un dossier sur le bureau (i.e. dans leprofil personnel et itinérant de l’utilisateur) puis de le rajouter définitivement à la fin de lahiérarchie de recherche de MATLAB, via le menu « File » et la commande « Set Path… ».

La vue intitulée « Command Window » est la console de MATLAB. Les commandes en ligne doiventêtres saisies à la suite du prompt (i.e. l’invite de commande de la forme « >> »), et sont exécutéespar l’interpréteur MATLAB après validation sur la touche entrée. Il est recommandé de suivre ladémo qui s’obtient avec la commande « demo », puis de lancer des commandes d’aide en lignecomme « help », « help ops », « help elfun », « help sqrt » et de faire des recherches par motclé comme « lookfor 'square root' ». Il est possible d’économiser les frappes au clavier grâce àla touche tabulation qui appelle la complétion (s.s. le complément) du lexème en cours de frappe.De même, les touches haut et bas rappèlent, avec ou sans complétion, les commandes passées.

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La page intitulée « Workspace » contient une table détaillée des variables présente dans l’espace detravail (i.e. stockées en mémoire). La barre d’outils permet de charger, sauvegarder, éditer eteffacer les variables sans avoir à taper de commande en ligne.

La vue intitulée « Command History » affiche une liste chronologique des commandes passées. Undouble-clic suffit pour relancer la commande sélectionnée.

Valeurs et variables :

La console peut être utilisée comme une simple calculatrice. Les résultats sontautomatiquement affectés à la variable « ans » (s.s. un diminutif de "answer").

>> 1 + 1ans = 2

Une variable est un identificateur (i.e. un nom symbolique, de préférence évocateur et nonambigu) désignant l’allocation mémoire d’une valeur. Cette dernière est évidemment modifiable,contrairement à celle d’une constante (e.g. « pi », « true », « eps », …). Pour conserver un calculintermédiaire, il suffit donc de déclarer une nouvelle variable et de l’initialiser avec l’expressionsouhaitée. L’identificateur est une chaîne de caractères alphanumériques (i.e. composés de lettreset de chiffres) non accentués et sensibles à la casse (i.e. aux majuscules et aux minuscules), qui nedoit pas contenir d’espace et dont le premier caractère doit être purement alphabétique.

>> MaVariable = ans + 1MaVariable = 3>> MaVariable * ansans = 6

L’attribut principal d’une variable est son type, c’est-à-dire la longueur et la signification du codebinaire sérialisé en mémoire physique à partir de l’adresse indiquée par la variable. C’est lui quidétermine les opérations possibles avec la variable. La fonction « whos » montre que MATLABstocke (quasiment) tout, sous la forme de tableaux multidimensionnels. Par exemple, l’entiernaturel 42 est devenu un « double array » de taille 1x1, c’est-à-dire un tableau bidimensionnel denombre décimaux codés en virgule flottante et en double précision, ne contenant qu’un seul élément.En fait, les tableaux dynamiques (i.e. dont la taille et donc l’occupation mémoire peuvent varierlibrement) bidimensionnels de décimaux constituent la structure de donnée la plus naturelle pourmanipuler des matrices (i.e. le fond de commerce de MATLAB).

>> clear % Efface les variables de l'espace de travail.>> Var1 = 42; % Un nombre entier.>> Var2 = 3.14; % Un nombre décimal.>> Var3 = 1 + 2i; % Un nombre complexe.>> Var4 = [1 2; 2 3; 3 4]; % Une matrice entière 3x2.>> Var5 = 'Hello World'; % Une chaîne de caractères.>> whos

Name Size Bytes Class Var1 1x1 8 double array Var2 1x1 8 double array Var3 1x1 16 double array (complex) Var4 3x2 48 double array Var5 1x10 20 char array

Grand total is 19 elements using 100 bytes

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MATLAB est un langage faiblement typé, ce qui masque une bonne part de la complexité destypes informatiques sous-jacents (e.g. entiers, flottants, caractères, booléens, pointeurs,références, tableaux, structures, unions, ...). C’est ainsi que les opérations de transtypage (s.s. lesconversions de type) sont généralement implicites. Toutefois, autant de souplesse sémantiquen’est pas forcément une qualité puisque cela autorise le meilleur comme le pire...

>> 'ABC' + 0 % Une chaîne de caractères additionnée à un entier.ans = 65 66 67 % Un tableau d'entiers (les codes ASCII de 'ABC').

Variables numériques et symboliques :

Un « double » est une valeur décimale codée en virgule flottante et en double précision. Cettechaîne de 64 bits (e.q. 8 bytes ou octets) représente, une fois traduite en base 10, une mantissesignée à 16 chiffres significatifs, et un exposant signé à trois chiffres. Les constantes « realmax »,« realmin », « eps », « Inf » et « NaN » sont spécifiques au calcul numérique.

>> format long e % Notation scientifique étendue.>> realmax % Plus grande valeur positive représentable.ans = % e.g. "2 * realmax == Inf". 1.797693134862316e+308>> eps % Plus petite nombre "n" tel que "n + 1 > 1".ans = % e.g. "(eps/2 + 1) == 1". 2.220446049250313e-016>> 1/0ans = Inf % Infini.>> 0/0ans = NaN % Not-a-Number.

Les erreurs d’arrondis rendent plus ou moins rapidement le résultat imprécis. Si l’inverse del’inverse de « 49 » ne vaut pas exactement « 49 », c’est parce que l’expression « 1/49 » n’est qu’unevaleur arrondie à environ 16 chiffres significatifs de la vraie constante mathématique (rationnelle).

>> VarNum = 1/49VarNum = 2.040816326530612e-002>> 49 - 1/VarNumans = -7.105427357601002e-015

Une solution élégante, consiste à travailler avec la « Symbolic Math Toolbox », qui sait manipuleret résoudre les expressions symboliquement (e.g. résolution d’équation différentielle, …).

>> syms x y % Déclaration des variables symboliques x et y.>> y = 1/x; % Initialisation de la variable y.>> x - 1/yans = 0

Si une expression symbolique doit finalement être évaluée numériquement, le calcul peut êtreeffectué avec une précision arithmétique variable, réglée par défaut à 32 chiffres significatifs.

>> format % Notation par défaut.>> vpa('pi', 80) % Approximation à 80 chiffres significatifs de laans = % constante (irrationnelle et transcendante).

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862090

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Expressions et opérateurs :

Les expressions représentent le niveau supérieur dans la structure d’un programmeMATLAB. L’interpréteur évalue une expression pour calculer sa valeur. Les expressions les plussimples sont les littéraux, les constantes et les variables.

>> 3.14 % Un littéral.ans = 3.1400

>> pi % Une constante.ans = 3.1416

Les expressions plus complexes sont construites à l’aide d’opérateurs. L’expression suivanteutilise l’opérateur « * » pour combiner un littéral et une constante au sein d’une expression demultiplication.

>> 2 * pians = 6.2832

La commande d’aide « help ops » fournit la liste des opérateurs et des caractères spéciaux (i.e.ponctuation, parenthèsage, …). Une page d’aide existe pour décrire la fonction ainsi que lenombre, l’ordre et le type des opérandes de chaque opérateur. C’est ainsi que « help uminus »décrit le "moins monadique" comme un opérateur unaire (i.e. agissant sur un opérande unique)qui change le signe des éléments du tableau qui lui est passé par la droite. De même, « help

punct » indique que la virgule sépare les instructions multiples et que le point-virgule permet enplus d’empêcher l’affichage du résultat.

>> Tab = [1 -2]; -Tabans = -1 2

La commande d’aide « help precedence » fournit la hiérarchie de priorités des opérateurs. Uneexpression doit être composée en prenant garde à la précédence des opérateurs et des caractèresspéciaux utilisés.

>> 1 + 2 * 3, (1 + 2) * 3ans = 7ans = 9

Lorsqu’une expression implique des opérations possédant une précédence équivalente,l’associativité (i.e. l’ordre d’évaluation des opérandes) des opérateurs définit l’ordre dans lequel lesopérations sont exécutées. Mis à part l’affectation et les opérateurs monadiques, les opérateurspossèdent une associativité de la gauche vers la droite.

>> 3 * (5 \ 15) % Equivalent à "3 * (15 / 5)".ans = 9

>> 3 * 5 \ 15 % Equivalent à "15 / (3 * 5)".ans = 1

En langage MATLAB, l’expression d’affectation est particulière puisqu’elle ne possède qu’uneffet de bord (i.e. son évaluation modifie l’état du programme mais ne retourne pas de valeur).

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Tableaux et matrices :

La façon la plus naturelle d’initialiser une matrice est d’utiliser un agrégat de littérauxplacés entre crochets. Les colonnes sont séparées par des espaces ou des virgules et les lignes pardes point-virgules.

>> RVect = [1 3 5 7] % Un vecteur ligne.RVect = 1 3 5 7>> size(RVect)ans = 1 4

>> CVEct = [1; 3; 5; 7] % Un vecteur colonne.CVEct = 1 3 5 7>> size(CVect)ans = 4 1

>> Mat34 = [11 12 13 14; ... 21 22 23 24; ... 31 32 33 34] % Une matrice 3x4.Mat34 = 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34>> size(Mat34)ans = 3 4

Il existe une syntaxe intuitive pour initialiser un vecteur sous la forme d’une suite arithmétiquebornée de raison entière ou réelle.

>> -2:1 % Incrément de 1, équivalent à "-2:1:1".ans = -2 -1 0 1

>> 7:-2:1 % Incrément de -2.ans = 7 5 3 1

Par défaut, les fonctions « linspace() » et « logspace() » créent une suite de 100 élémentsrepartis linéairement ou logarithmiquement entre deux bornes.

>> x = linspace(0, 2*pi);>> y = sin(x);>> plot(x,y) % Affichage de sin(x) sur l'intervalle [0, 2 ].

>> logspace(1, 5, 3)ans = 10 1000 100000

Des fonctions existent pour créer des matrices aux propriétés remarquables comme « ones() »,« zeros() », « eye() », « rand() », « magic() », « pascal() », « hadamard() », etc.

>> rand(3,3) % Création d'une matrice 3x3 pseudo-aléatoire.ans =

0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214

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Les éléments d’une matrice sont indexés séquentiellement, à partir de 1. MATLAB respecte laconvention surnommée "licol" (s.s. ligne-colonne), puisque la première dimension représente leslignes et la deuxième dimension les colonnes. Il est possible d’utiliser des tableaux d’indices ainsique le mot réservé « end ».

>> Mat34(8) % Indexage façon FORTRAN, BLAS, etc.ans = 23

>> Mat34(2, 3) % "I = L + NL*(C-1)" donne "8 = 2 + 3(3-1)".ans = 23

>> Mat34([1 3], [1 4]) % Extraction d'une sous matrice.ans = 11 14 31 34

>> Mat34(:, end) = 0 % Equivalent à "Mat34(1:3, 4) = 0".Mat34 = 11 12 13 0 21 22 23 0 31 32 33 0

>> Mat34(:, end) = [] % Suppression de la dernière colonne.Mat34 = 11 12 13 21 22 23 31 32 33

>> Mat34(2, 4) = 24 % Construction par agrégation successive.Mat34 = 11 12 13 0 21 22 23 24 31 32 33 0

Il est aussi possible de construire des matrices par concaténation horizontale ou verticale.

>> a = 0:4; b = 5:9; c = [a b ; b a]c = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4

L’opérateur de transposition permet de changer l’orientation d’une matrice. Toutefois, il sert aussià calculer le conjugué d’un nombre complexe, et possède une précédence élevée.

>> T = 1:2;>> T * T'ans = 5>> T' * Tans = 1 2 2 4

>> T = 1:3' % Equivalent à "1:(3')" avec "3' == 3".ans = 1 2 3

Les opérateurs « .* », « ./ », « .\ », et « .^ » se distinguent des opérateurs matriciels traditionnelspuisqu’ils agissent élément par élément, sur des tableaux de tailles identiques.

>> [1 2] .\ [2 4] % Division gauche A\B == "inv(A)*B"ans = 2 2

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Persistance des variables :

Lorsque que l’application MATLAB quitte, l’espace de travail est définitivement perdu. Pourreprendre ultérieurement une session, il faut avoir préalablement sauvegardé les variables utiles,dans un ou plusieurs fichiers enregistrés sur un support persistant (e.g. disque dur, CD-ROM...).

>> save MesVariables V1 V2 V3 % Sauvegarde les variables.>> dir *.mat % Liste du dossier de travail filtrée MesVariables.mat % par l'expression régulière "*.mat".

>> clear V1 V2 V3 % Efface les variables.>> load MesVariables % Recharge les variables.

MATLAB sérialise les données dans un format binaire propriétaire, puis écrit le flux d’octets dansun fichier MAT (i.e. avec une extension ".mat"). MATLAB propose des fonctionnalités desérialisation et de désérialisation analogues à celles du langage C (e.g. « fprintf », « fscanf », ...),mais la solution la plus simple pour échanger des données avec d’autres applications est de passerpar un fichier texte au format ASCII 8 bits (i.e. un jeu de caractère limité à 256 codesalphanumériques), avec retours chariot et tabulations pour délimiter les éléments.

>> V4 = [1 2; 2 3; 3 4] ;>> save MaMatrice.dat V4 -ascii –tabs % Format ASCII avec tabulation.>> type MaMatrice.dat % Lecture du fichier dans la console.

1.0000000e+000 2.0000000e+000 2.0000000e+000 3.0000000e+000 3.0000000e+000 4.0000000e+000

>> V6 = load('MaMatrice.dat') ; % Chargement dans une variable.

Scripts et fonctions :

Il est pratique de pouvoir exécuter les instructions (i.e. les unités syntaxiques du langage,comme les expressions), manuellement, les unes à la suite des autres, directement depuis laconsole. Mais il est encore plus intéressant de pouvoir répartir ces mêmes instructions dans un ouplusieurs scripts (s.s. fichiers de commandes) de manière à disposer de procédures (s.s. sous-programmes) réutilisables. Un traitement de texte capable de sauvegarder en ASCII (i.e. dans unformat textuel pur) suffit pour créer un fichier M (i.e. avec une extension ".m") mais l’éditeurintégré de MATLAB offre des facilitées d’édition comme la syntaxe colorée ou l’indentationautomatique ainsi que des fonctionnalités de déboguage comme l’insertion de breakpoint, etc.

%EPURATION Purge l'espace de travail et efface la console. % EPURATION détruit les variables de l'espace de travail, % efface la console et réinitialise la position du curseur. % % Voir aussi CLEAR, CLC, HOME

clear % Purge l'espace de travail. clc % Efface la console.

Si un fichier M est présent dans le répertoire de travail ou la hiérarchie de recherche, il suffit desaisir son nom de base (i.e. sans chemin et sans extension) pour qu’il soit trouvé. Toutefois, cenom ne doit pas être surchargé (i.e. désigner plusieurs objets à la fois). En effet, le langageMATLAB ne dispose pas de mécanisme pour résoudre ce genre d’ambiguïté. C’est ainsi que larésolution de nom s’arrête au premier homonyme trouvé parmi les variables, puis les fonctionsinternes, le répertoire de travail, et enfin la hiérarchie de recherche.

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>> exist epuration % Test d'existence de l'identificateur.ans = 2

>> which epuration % Recherche le nom complet du fichier.

C:\Documents and Settings\Virtual\Bureau\TP MATLAB\epuration.m

Un fichier M supporte l’aide en ligne si son code source (i.e. l’ensemble des instructions) estprécédé par un en-tête composé d’un continuum de lignes de commentaire. La première de ceslignes est aussi utilisée pour la recherche par mot clé.

>> help epuration

EPURATION Purge l'espace de travail et efface la console. EPURATION détruit les variables de l'espace de travail, efface la console et réinitialise la position du curseur.

Voir aussi CLEAR, CLC, HOME

>> lookfor purge

EPURATION Purge l'espace de travail et efface la console.

Les variables déclarées à l’intérieur d’un script appartiennent à l’espace de travail. Elles sont doncpartagées avec les autres scripts et, à moins que le programmeur ne les efface (e.g. par un appel à« clear() »), elles perdurent jusqu’à la fin de la session MATLAB. Les scripts sont donc trèspratiques comme procédures à effet de bord sur les variables d’environnement de MATLAB,mais sont inadaptés pour la programmation modulaire (i.e. le partitionnement des programmesde telle façon que les données soient cachées dans des procédures indépendantes). Pour cela, ilfaut rédiger des fonctions MATLAB, c’est-à-dire des fichiers M qui commencent par une lignedéfinissant le nom de la fonction ainsi que ses paramètres d’appel et de retour. Le nom du fichierdoit correspondre à celui de la fonction.

function outTab = isqrt(inTab) %ISQRT calcule l'inverse de la racine carrée de inTab. % isqrt est "vectorisée" (i.e. sait gérer plusieurs éléments en parallèle). % % Voir aussi SQRT

outTab = 1./sqrt(inTab);

>> isqrt(1:4)ans = 1.0000 0.7071 0.5774 0.5000

Par défaut, les variables internes ont une portée locale à la fonction et n’existent (en mémoire) quele temps de l’appel de cette dernière. Si une variable doit être visible par plusieurs fonctions, elledoit être déclarée globale dans chacune d’elles.

function tick %TICK démarre le chronomètre. Voir aussi TIC.

global g_Clock; % Déclaration d'une globale. g_Clock = clock; % Horaire et Date.

function tock %TOCK arrête le chronomètre. Voir aussi TOC.

global g_Clock; disp(sprintf('Temps écoulé: %f sec.', ... % Formatage de type "C/C++". etime(clock, g_Clock))); clear global g_Clock; % Destruction de la globale.

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Une fonction peut s’appeler directement ou indirectement de façon récursive. Chaque niveaud’appel possède son propre espace de travail, indépendant du précédent. Comme il faut stockerune pile de valeurs intermédiaires, la récursion n’est pas synonyme d’économie de mémoire, maisles algorithmes de ce type sont souvent très compacts et élégants.

function outInt = factorielle(inInt) %FACTORIELLE calcule récursivement la factorielle de inInt, qui doit être % un entier positif ou nul. Compte tenu de la précision du type double, % le résultat n'est correct que si inInt est inférieur ou égal à 21. % % Voir aussi FACTORIAL

if (inInt <= 1) outInt = 1; % Cas trivial. else outInt = inInt * factorielle(inInt - 1); % Cas général. end

>> factorielle(10)ans = 3628800

Les fonctions MATLAB les plus simples ressemblent un peu à des équations algébriques de laforme "y = f(x)", où l’argument "x" fait référence à une valeur inconnue et où "y" prend la valeurde l’image de "x" par "f()". Mais les fonctions MATLAB les plus complexes peuvent posséderplusieurs arguments tant en entrée qu’en sortie et même en utiliser un nombre variable. La paged’aide « matlab/lang » décrit les variables spécialisées dans la transmission de paramètre comme« nargin », « nargout », « varargin » et « varargout ». En principe, une fonction MATLABretourne ses valeurs de sortie au programme appelant, lorsque la fin de son code source estatteinte. Toutefois, à n’importe quel moment, l’instruction « return » permet de sortirnormalement de la fonction alors que la fonction « error() » sert à provoquer la fin anormale duprogramme complet. Il est aussi possible de forcer l’arrêt d’un programme en cours d’exécution(e.g. en cas de récursion ou de boucle infini), en appliquant le raccourci clavier « Ctrl-C » sur laconsole. Le cas échéant, il faut essayer de tuer le processus MATLAB en appelant le gestionnairede tache grâce à la combinaison « Ctrl-Alt-Delete ».

function [outMin, outMax] = minmax(inTab, inDim) %MINMAX est une encapsulation simplifiée des fonctions MIN et MAX.

if nargin == 0, error('Pas le bon nombre d''arguments en entrée !'), end

if isempty(inTab), outMin = []; outMax = []; return, end

if nargin == 1 outMin = min(inTab); outMax = max(inTab); else outMin = min(inTab, [], inDim); outMax = max(inTab, [], inDim); end

>> [min, max] = minmax([ 1 2 5 3; 4 8 2 3], 2)min = 1 2max = 5 8

La première fois que MATLAB exécute une fonction, celle-ci est analysée puis compilée dans unbyte-code (i.e. traduite dans une représentation interne plus efficace) qui est directement stocké enmémoire. Cette étape permet de déclarer plusieurs fonctions dans un même fichier-M. Dans cecas, les sous-fonctions ont une porté de fichier (i.e. sont invisibles depuis les autres fichiers).

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Tests et instructions de contrôle :

MATLAB gère les booléens (i.e. les valeurs logiques) comme des nombres. C’est ainsi que « 0 » estinterprété comme « false » et toute les autres valeurs comme « true ».

>> if pi, disp('c''est vrai'), endc'est vrai

>> ~falseans = 1

L’instruction « if-elseif-else-end » permet d’exprimer des prises de décision basées sur destests construits avec des opérateurs relationnels « < », « <= », « > », « >= », « == », « ~= », ou logiques« & », « | », « ~ », et des fonctions comme « isreal() », « ischar() », « isequal() », etc.

if ~isreal(inInt), error('inInt n''est pas un nombre !') elseif isempty(inInt), error('inInt n''est pas initialisé !') elseif (isinf(inInt) | isnan(inInt)), error('inInt n''est pas déterminable !') elseif fix(inInt) ~= n, error('inInt n''est pas un entier !') elseif inInt < 0, error('inInt n''est pas positif !') else, disp 'Test factorielle réussi !' end

L’instruction « swicth-case-otherwise-end » permet d’exprimer des prises de décision baséessur des choix multiples comme pour ce convertisseur d’unité :

switch inUnit % Convertit x en mètres. case 'cm' y = x / 100; case { 'millimeter', 'mm' } y = x / 1000; otherwise disp(['Unité inconnue: ' inUnit]) y = NaN; end

L’instruction « for-end » permet de répéter un bloc d’instruction un nombre de fois fixe etprédéterminé. Il faut initialiser la boucle avec une variable et un tableau de valeurs que prendrasuccessivement la variable.

outInt = 1; if (inInt <= 1), return, end % Factorielle, cas trivial. for Cpt = 2:inInt % Factorielle, cas général. outInt = outInt * Cpt; end

L’instruction « while-end » permet de répéter un bloc d’instruction un nombre de fois variable etindéterminé, en se basant sur l’évaluation d’une expression conditionnelle.

outInt = 1; if (inInt <= 1), return, end % Factorielle, cas trivial. Cpt = inInt; while Cpt > 1 % Factorielle, cas général. outInt = outInt * Cpt; Cpt = Cpt - 1; end

L’instruction « break » provoque la sortie d’une boucle « for » ou « while » avant sa fin logique.En cas de boucle imbriquée, seule la boucle courante est interrompue, laissant la boucleimmédiatement supérieure se poursuivre normalement. L’instruction « continue » permet desauter une itération pour passer directement à la suivante.

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Figures et graphiques :

MATLAB dispose de nombreuses fonctions graphiques aux usages plus ou moinscomplexes. Le programmeur aura tout intérêt à découvrir les exemples illustrés de l’aideinteractive avant de parcourir l’inventaire "à la Prévert" proposé par les pages de l’aide en lignecomme « graph2d », « graph3d », « specgraph » et « graphics ». Le rendu se fait de manièrevectorielle et dans une figure MATLAB, c’est-à-dire une fenêtre vue comportant une barre de menuet une barre d’outils aux fonctionnalités similaires à celle d’un logiciel de PAO (cf. figure 1).

Figure 1: Tracés de courbes 2D dans une figure MATLAB et édition manuelle du graphique.

MATLAB attribue automatiquement un handle (s.s. un descripteur) aux objets graphiques. Utiliséavec les fonctions « get() » et « set() » cet identifiant numérique permet de consulter et demodifier les propriétés des objets graphiques directement depuis un programme. Par exemple,l’instruction « get(gcf) » fournit la liste complète des propriétés de la figure active alors quel’instruction « set(gca) » se limite aux propriétés modifiables du graphe actif. Toutes cespropriétés sont décrites dans l’aide interactive à la page « Handle Graphics Property Browser ».

>> thePoly = [-1 1 0 0]; % Définition du polynôme "-x^3 +x^2".>> x = linspace(-1, 2, 200); % Définition de l'intervalle [-1, 2].>> y = polyval(thePoly, x); % Evaluation du polynôme.>> thePolyH = plot(x, y); % Tracé 2D.>> theWidth = get(thePolyH, 'LineWidth'); % Epaisseur du tracé.>> set(thePolyH, 'LineWidth', theWidth + 1); % Modification de l'épaisseur.>> set(gcf, 'Name', 'Exemple of 2D plot'); % Définition du titre de la figure.

Par défaut, le graphe actif est effacé (e.q. « cla() ») avant chaque nouveau tracé. Pour que lestracés se superposent, il faut préalablement le spécifier avec la fonction « hold() » ou uneinstruction tel que « set(gca, 'NextPlot', 'add') ».

>> theDer = polyder(thePoly) % Dérivée du polynôme.>> y = polyval(theDer, x); % Evaluation de la dérivée.>> hold on % Superposition des tracés.>> plot(x, y, 'r-'); % Tracé 2D avec chaîne de formatage.>> hold off % Fin de la superposition des tracés.

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Par défaut, MATLAB adapte l’échelle des axes en fonction de l’étendue des valeurs à afficher. Lafonction « axis() » permet de spécifier beaucoup d’autres comportements. Il est aussi possibled’associer des légendes aux axes, d’afficher une grille, etc.

>> axis([-2 2 -2 2]) % Etendue des axes.>> grid on % Affichage de la grille.>> xlabel('Abscisses') % Légende de l'axe des abscisses.>> ylabel('Ordonnées') % Légende de l'axe des ordonnées.>> title('Dérivation de polynômes') % Titre du graphique.>> theDer = polyder(thePoly) % Dérivée du polynôme.

Une figure peut héberger plusieurs graphes. Par exemple, la fonction « subplot() » subdivise unefigure en mosaïque et spécifie le graphe actif. Les graphes sont numérotés depuis le coinsupérieur gauche et de gauche à droite. La figure 2 a été obtenue en sauvegardant au format EPS(i.e. sous une forme vectorielle) le contenu de la figure MATLAB via son propre menu « File » etla commande « Exporte… ».

>> clear all, close all % Ferme toutes les figures.>> x = linspace(-1, 1, 200);>> y = exp((-x.^2));>> subplot(2,2,1), plot(x, y), title('Courbe pleine'), axis([-2 2 0 1])>> subplot(2,2,2), stem(x, y), title('Diagramme en bâton'), axis([-2 2 0 1])>> subplot(2,2,3), stairs(x, y), title('Diagramme en escalier'), axis([-2 2 0 1])>> subplot(2,2,4), bar(x, y), title('Diagramme en barre'), axis([-2 2 0 1])

2 1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1Courbe pleine

2 1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagramme en bâton

2 1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagramme en barre

2 1 0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagramme en escalier

Figure 2: Export au format EPS d’une figure MATLAB contenant quatre sous-graphes.

Pour créer ou activer une figure il suffit de donner son numéro en argument à la fonction« figure() ». Ensuite l’instruction « close(gcf) » permet de fermer la figure courante.

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Construction d’une interface graphique :

Dans le cadre de cette introduction, nous nous limiterons à l’étude d’un cas concret : lacréation d’une GUI (s.s. Graphical User Interface) pour un algorithme de compression d’imagebasé sur la DCT (s.s. Discrete Cosinus Transform). La DCT est une variante de la transformationde Fourier qui est couramment utilisée en traitement du signal (e.g. JPEG, MP3, MPEG) carcontrairement à cette dernière, elle transforme un signal réel en un signal réel (et non complexe).Un signal discret de longueur N est ainsi décomposé en une somme de N termes sinusoïdaux auxfréquences croissantes et multiples de 1/2N. Ces sinusoïdes sont appelées les harmoniques du signalet l’ensemble des termes de la décomposition harmonique forme le spectre du signal. Latransformation est inversible et le spectre en amplitude (i.e. l’ensemble des amplitudes signées desharmoniques) suffit à décrire le signal. En fait, le signal et son spectre correspondent à deuxsignatures duales de la même réalité : l’une spatiale ou temporelle et l’autre fréquentielle. Lesfonctions « dct() » et « idct() » ainsi que leurs homologues bidimensionnelles « dct2() » et« idct2() » sont décrites dans l’aide interactive de la « Signal Processing Toolbox ». Il fautnoter que MATLAB indices les harmoniques sur [1, N] et non sur [0, N-1].

Voici un script qui utilise les capacités graphiques de MATLAB pour illustrer les principalespropriétés de la DCT (cf. figure 3).

%DECOMPOSITION Montre un exemple de décomposition de signal par DCT.

N = 1024; % Nombre d'échantillons. n = 1:N; % Indices des échantillons. t = linspace(0, 2*pi, N+1); % Définition d'un domaine t(end) = []; % temporel sur [0, 2 [.

y2 = sqrt(2/N)*6*cos(pi*(2*n-1)*(04-1)/(2*N)); % Harmonique de rang 3. y3 = sqrt(2/N)*8*cos(pi*(2*n-1)*(87-1)/(2*N)); % Harmonique de rang 86. y4 = sqrt(2/N)*7*cos(pi*(2*n-1)*(93-1)/(2*N)); % Harmonique de rang 92. y = y2 + y3 + y4; % Reconstruction du signal.

theSpc = dct(y); % Calcul le spectre du signal. thePos = find( abs(theSpc) > 10^(-13) ); % Indices des harmoniques. theHar = thePos -1 % Rang des harmoniques. theMag = theSpc(thePos) % Amplitudes des harmoniques.

theFigH = figure; % Création d'une figure vierge. plot(t, y, '.- ') % Affichage par points reliés. axis equal % Echelles des axes identiques. grid on % Affichage de la grille. xlabel('variable t'), ylabel('variable y') % Labels des axes. title('Exemple de décomposition par DCT') % Titre du graphique. gtext('S(t)') % Annotation manuelle.

hold on % Superposition des tracés . plot(t, y2 + 2, 'm.-', ... % Affichage de H03 en magenta. t, y3 + 3, 'g.-', ... % Affichage de H86 en vert. t, y4 + 4, 'y.-') % Affichage de H92 en jaune. text(2*pi, 2, ' H03') % Annotation du graphique. text(2*pi, 3, ' H86') % Annotation du graphique. text(2*pi, 4, ' H92') % Annotation du graphique. axis off % Cache les axes.

waitforbuttonpress % Pause utilisateur. close(theFigH) % Fermeture de la fenêtre.

>> decompositiontheHar = 3 86 92theMag = 6.0000 8.0000 7.0000

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Exemple de décomposition par DCT

S(t)

H03

H86

H92

Figure 3: Décomposition harmonique par transformation en cosinus d’un signal discret de longueur 1024. Le signal S est en fait la somme des contributions de ses harmoniques de rang 3, 86 et 92.

Dans cet exemple, six nombres (i.e. trois harmoniques caractérisés par leur fréquence et leuramplitude) suffisent pour décrire un signal (en apparence) compliquée. Dans le cas général, lesdonnées ne sont pas compressibles de manière aussi triviale. L’exemple suivant montre qu’ellessont néanmoins encodées sous une forme favorable. Ce script ouvre une image en niveaux degris et au format TIFF puis enregistre une version rehaussée (i.e. visuellement analysable) de sonimage spectrale (cf. figure 4). Comme les pixels de l’image TIFF sont de type « uint8 » (i.e. desentiers non signés et codés sur 8 bits, soit de 0 à 255), l’image doit être convertie en une matriceréelle avant de pouvoir être utilisée par les fonctions MATLAB traditionnelles.

%MAGNITUDE enregistre l'image spectrale d'une image TIFF en niveaux de gris.

[theName, thePath] = uigetfile('*.tiff'); % Sélection de l'image. if isequal(theName, thePath, 0), return, end; % Annulation. theFullName = fullfile(thePath, theName); % Chemin complet.

theImage = double(imread(theFullName)); % Conversion uint8 -> double. [theNbR, theNbC] = size(theImage); % Taille de l'image. theS = theNbR*theNbC; % Surface de l'image.

theMag = abs(dct2(theImage)); % Spectre en amplitude. theSpc = sqrt(theMag); % Compression de l'échelle theMax = max(max(theSpc)); % de dynamique du signal. theSpc = 255*theSpc/theMax; % Etirement du contraste de theSpc = theSpc * sqrt(theS)/20 % manière ad hoc et avec theSpc(find(theSpc > 255)) = 255; % seuillage sur [0 255].

theFullName = fullfile(thePath, 'mag.tiff'); % Chemin complet. imwrite(uint8(g_Mag), theFullName, 'tiff'); % Conversion double -> uint8.

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Figure 4: Transformée en cosinus d’une image en niveaux de gris (Source: NASA mission sts-97). Le coin supérieur gauche de l’image spectrale renferme l’essentiel de l’énergie de l’image.

La figure 4 montre que l’énergie du signal (i.e. le carré de l’amplitude) se concentreprincipalement dans le coin supérieur gauche de l’image spectrale et décroît très rapidement enfonction de la fréquence. De plus comme les basses fréquences correspondent aux partiesuniformes de l’image, on peut espérer pouvoir compresser l’image avec un filtre passe-bas (i.e.qui coupe les hautes fréquences) bidimensionnel simplifié tout en conservant un résultatvisuellement acceptable. C’est l’objectif de l’application « ImgDCT » présentée en figure 5.

Figure 5: Compression d’image par filtrage fréquentiel simpl(ist)e. Avec une image de taille 256x256 et une fréquence de coupure de rang 57, le taux de compression est de (57/256)^2 = 1/20.

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Figure 6: Le designer de GUI fonctionne comme un logiciel de PAO (s.s. Publication Assistée par Ordinateur).

La commande « guide » lance l’interface du designer de GUI. Par défaut, elle s’ouvre sur unefigure MATLAB (i.e. une fenêtre vue) vierge qui apparaît sous la forme d’un canevas quadrillé.On peut déjà enregistrer cette figure sous le nom qui servira à lancer l’application depuis laconsole. MATLAB génère alors un fichier M et un fichier FIG du même nom. Le fichier Mcontient le code source nécessaire au fonctionnement de l’interface ainsi que de nombreuxcommentaires explicatifs invitant le programmeur à compléter les fonctions réflexes (e.q. callbackfunctions) des contrôles (i.e. les composants de l’interface qui réagissent aux actions de l’utilisateur).De son côté, le fichier FIG contient les ressources graphiques de l’interface. Ce format binaire estéditable par le designer en lançant la commande « guide » avec pour argument le nom du fichier.

La palette d’outils permet de placer des contrôles sur le canevas. La figure « ImgDCT » héberge quatreaxes, un cadre (e.q. frame), deux boutons, une zone de texte non éditable, et une barre dedéfilement (e.q. slider). La fenêtre flottante intitulée « Property Inspector » s’obtient en double-cliquant sur le contrôle désiré ou via son menu contextuel. Les propriétés propres aux contrôles sontdécrites dans l’aide interactive à la page « MATLAB : Handle Graphics Property Browser ». Enpratique, seule une poignée de champs nécessite l’intervention du programmeur. C’est ainsi que lechamp « Callback » est remplis automatiquement par l’IDE. Ce champ définit le nom de la sous-fonction du fichier M qui est appelée lorsque que le contrôle est sollicité par l’utilisateur.

Pour définir précisément l’emplacement et la taille d’un contrôle il est conseillé de régler sonchamp « Units » sur « pixels » avant de modifier son vecteur « Position ». Il faut noter quel’origine du système de coordonnée est située dans le coin inférieur gauche de l’objet parent (i.e.l’écran s’il s’agit d’une figure MATLAB) et que l’axe des « y » est orienté vers le haut. Les outilsde la palette flottante intitulée « Align Objects » servent à disposer les objets, relativement les unspar rapport aux autres. Pour finir, le bouton « Run » situé à droite de la barre d’outils permet decontrôler l’apparence de l’interface en lançant directement l’application.

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Le champ « Tag » doit être unique pour chaque contrôle. En effet, c’est grâce à ce nomsymbolique que l’on peut facilement obtenir le handle du contrôle et donc accéder à sespropriétés. Cet exemple montre le mécanisme de feedback (s.s. la boucle de retour) qui met à jourla zone de texte lorsque l’utilisateur règle le taux de compression depuis la barre de défilement.

theSliderH = findobj('Tag','SliderRatio'); % Handle de la barre de défilement. theValue = get(theSliderH, 'Value'); % Consulte la propriété 'Value'. theString = sprintf('%2.1f %%', theValue); % Formatage de type C/C++. theTextH = findobj('Tag','TextRatio'); % Handle la zone de texte. set(theTextH, 'String', theString); % Modifie la propriété 'String'.

Les champs « Max », « Min » et « SliderStep:x » de la barre de défilement ont été fixés à « 100 »,« 0 » et « 0.001 » ce qui revient à régler l’incrément des valeurs sur « (100-0)*0.001 == 0,1 ».Les champs « Position:height » et « SliderStep:y » valent « 300 » et « 0.04 » ce qui donne unetaille de « 300*0.04 == 12 » pixels à l’ascenseur. Le champ « Value » initialise la position del’ascenseur sur la valeur « 5.0 », en accord avec la chaîne de caractère « '5.0 %' » du champ« String » de la zone de texte.

Afin que les propriétés des axes (e.g. leur « Tag ») ne soient pas réinitialisées à chaque nouveautracé, leur champ « NextPlot » a été réglé sur « replacechildren ».

Pour finir voici un récapitulatif des contrôles et de leurs propriétés qui ont été modifiées ainsi quele code source des sous-fonctions qui ont été complétées ou rajoutées:

Tag : figure1 Tag : frame1Name : ImgDCT BackgroundColor : gris foncéPosition : [0 32 720 640] Position : [0 0 80 640]

Tag : AxesGrayscale Tag : AxesSpectralNextPlot : replacechildren NextPlot : replacechildrenPosition : [123 347 256 256] Position : [441 347 256 256]

Tag : AxesCompressed Tag : AxesClippedNextPlot : replacechildren NextPlot : replacechildrenPosition : [123 23 256 256] Position : [441 23 256 256]

Tag : PushLoad Tag : PushStuffFontSize : 10.0 FontSize : 10.0Fontweight : bold Fontweight : boldPosition : [8 560 64 32] Position : [8 150 64 32]String : 'LOAD' String : 'STUFF'

Tag : SliderRatio Tag : TextRatioMax : 100.0 Position : [8 515 64 16]Min : 0.0 String : [0.001 0.04]Position : [30 210 18 300]SliderStep : [0.001 0.04]Value : 5.0

function PushLoad_Callback(hObject, eventdata, handles)

if ImgLoad, ImgClip, ImgStuff, end

function SliderRatio_Callback(hObject, eventdata, handles)

ImgClip

function PushStuff_Callback(hObject, eventdata, handles)

ImgStuff

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function outExit = ImgLoad

global g_NbR g_NbC % Taille de l’image. global g_DCT g_Mag % Image spectrale et image spectrale rehaussée.

[theName, thePath] = uigetfile('*.tiff', '__ Open a grayscale TIFF image __'); if isequal(theName, thePath, 0) outExit = 0; return; end; outExit = 1; theFullName = fullfile(thePath, theName);

theImage = double(imread(theFullName)); [g_NbR, g_NbC] = size(theImage);

theGrayScale = theImage/255; % 0.0 <=> noir, 1.0 <=> blanc. axes(findobj('Tag','AxesGrayscale')); title('Grayscale Image'); image(cat(3, theGrayScale, theGrayScale, theGrayScale)); axis image; axis ij;

g_DCT = dct2(theImage); g_Mag = sqrt(abs(g_DCT)); g_Mag = 255*g_Mag/max(max(g_Mag)); g_Mag = g_Mag * sqrt(g_NbR*g_NbC)/20; g_Mag(find(g_Mag > 255)) = 255;

axes(findobj('Tag','AxesSpectral')); title('Spectral Image'); image(g_Mag); colormap(jet(256)); axis image; axis ij;

function ImgClip

global g_NbR g_NbC % Taille de l’image. global g_Mag % Image spectrale rehaussée. global g_MaxR g_MaxC % Taille du clip.

theValue = get( findobj('Tag','SliderRatio'), 'Value'); set(findobj('Tag','TextRatio'), 'String', sprintf('%2.1f %%', theValue));

theRatio = 10*sqrt(theValue); g_MaxR = round(g_NbR * theRatio/100); g_MaxC = round(g_NbC * theRatio/100);

theCMag = zeros(g_NbR, g_NbC); theCMag(1:g_MaxR, 1:g_MaxC) = g_Mag(1:g_MaxR, 1:g_MaxC);

axes(findobj('Tag','AxesClipped')); title('Clipped Spectral Image'); image(theCMag); colormap(jet(256)); axis image; axis ij;

cla(findobj('Tag','AxesCompressed'));

function ImgStuff

global g_NbR g_NbC % Taille de l’image. global g_DCT % Image spectrale. global g_MaxR g_MaxC % Taille du clip.

theCDCT = zeros(g_NbR, g_NbC); theCDCT(1:g_MaxR, 1:g_MaxC) = g_DCT(1:g_MaxR, 1:g_MaxC);

theIDCT = idct2(theCDCT); theCGray(find(theCGray > 255)) = 255; % correction numérique. theCGray(find(theCGray < 0.0)) = 0.0; % correction numérique.

theCGrayScale = theIDCT/255; % 0.0 <=> noir, 1.0 <=> blanc. axes(findobj('Tag','AxesCompressed')); title('Compressed Image'); image(cat(3, theCGray, theCGray, theCGray)); axis image; axis ij;

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Le standard de la compression d’image JPEG utilise un algorithme nettement plus subtil poursélectionner et coder les fréquences et décompose l’image est en tuiles de taille modérée (e.g. 8x8ou 16x16). Ainsi le contrôle de la qualité visuelle finale et le rapport qualité/efficacité se révèlentêtre excellent alors que dans le cas de « ImgDCT », la qualité dépend non seulement du taux decompression mais aussi de la taille de l’image. Et pour ne rien arranger la complexité de l’algorithme(i.e. l'incidence de l'augmentation du nombre de donnée sur la durée d'exécution ou l’occupationmémoire du programme) est de type « O(N^4) ». C’est ainsi que le temps de calcul est multipliépar seize chaque fois que la définition de l’image est doublée. Ce qui devient très vite dissuasif.

« ImgDCT » n’est pas vraiment une application professionnelle. Pour cela il faudrait commencerpar améliorer la robustesse du programme (e.g. en contrôlant le format et la taille de l’image).Néanmoins, cet exemple montre qu’une application MATLAB comportant à la fois du calcul, del’affichage, et une interface graphique, nécessite finalement très peu de lignes de code !

Conclusion :

Cette (courte) introduction se concentre essentiellement sur les principes fondamentauxde la programmation MATLAB et ne présente donc qu’une infime partie des fonctionnalités de laplateforme. Le lecteur qui se serait laissé convaincre par le potentiel de cet outil est donc invité àpoursuivre son apprentissage par la lecture de la bibliographie spécialisée, et surtout parl’expérimentation personnelle. Une expérience qui a personnellement été très gratifiante puisqueMATLAB m’aide considérablement dans mes travaux de recherche.