e année •EXERCICES•PROBLÈMES …

VUIBERT

MATHSECS•2e annéeMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

SOMMAIRE1. Rappels de calculs algébriques – 2. Compléments d’algèbre – 3. Réduction des endomorphismes – 4. Algèbre bilinéaire – 5. Intégrales impropres – 6. Fonctions de plusieurs variables (1) – 7. Séries et compléments de probabilités – 8. Couples et vecteurs aléatoires – 9. Endomorphismes symétriques – 10. Fonctions de plusieurs variables (2) – 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte – 12. Convergences – 13. Estimateurs, estimations

En ligne :• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab• Exercices complémentaires

Les auteurs :Jean-Philippe Cortier est professeur de chaire supérieure de mathématiques.

François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commer-ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

Marguerite Rossillon est professeur de mathématiques à ParisTech Shanghaï Jiao Tong.

ISBN : 978-2-311-40285-8

www. .fr

Des ouvrages pour faire la différence : – des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables

et réviser efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation

d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse,– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab

et des exercices complémentaires.

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VUIBERT

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J.-P. Cortier

F. Delaplace

F. Fortain

M. Rossillon

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MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

MATHSECS•2e année

Maths-ECS-2eAnnee-9782311402858.indd Toutes les pages 18/08/15 09:44

Table des matières

Retrouvez sur le site www.vuibert.fr,à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab),

des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires.

Chapitre 1. Rappel de calculs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Calcul matriciel 1 – 2. Sommes et produits 2 – 3. Séries 3 – 4. Limites 4 – 5. Calcul intégral 5 –6. Représentations graphique de fonctions 7 – Exercices 9 – 1. Calcul matriciel 9 – 2. Sommeset produits et séries 11 – 3. Séries 11 – 4. Limites 12 – 5. Calcul intégral 13 – 6. Représentationsgraphiques de fonctions 15 – Corrigés 16

Chapitre 2. Compléments d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Exercices 45 – 1. Trace d’une matrice, d’un endomorphisme 45 – 2. Sous-espaces stables 47– 3. Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes 48 – 4. Caractérisation des endomor-phismes, des matrices diagonalisables 49 – 5. Matrices stochastiques 50 – Corrigés 52

Chapitre 3. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1. Éléments propres et réduction d’un endomorphisme 65 – 2. Éléments propres et réductiondes matrices 66 – Exercices 68 – Corrigés 73

Chapitre 4. Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1. Produit scalaire-Espace euclidien 85 – 2. Orthogonalité 86 – 3. Espace euclidien 87 –Exercices 89 – Corrigés 94

Chapitre 5. Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Exercices 107 – Corrigés 112

Chapitre 6. Fonctions de plusieurs variables (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1. Fonction de plusieurs variables 131 – 2. Dérivées partielles en un point et gradient 132 –Exercices 134 – Corrigés 138

Chapitre 7. Séries et compléments de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1. Séries absolument convergentes 151 – 2. Variables à densité 153 – Exercices 155 – Corri-gés 161

Chapitre 8. Couples et vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

1. Couples aléatoires 181 – 2. Couples de variables à densité 183 – 3. Vecteurs aléatoires 183 –Exercices 185 – Corrigés 188

Chapitre 9. Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

1. Espace vectoriel euclidien 199 – 2. Endomorphismes symétriques 200 – Exercices 201 –Corrigés 205

Chapitre 10. Fonctions de plusieurs variables (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

1. Dérivées partielles d’ordre 2 215 – 2. Développement limité d’ordre 2 216 – 3. Extrema desfonctions de classeC 2 217 – Exercices 218 – Corrigés 222

III

Table des matières

Chapitre 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte . . . . . . . . . . . . 249

1. Extrema sur un fermé borné 249 – 2. Extremum sous contrainte 249 – 3. Extremum souscontraintes linéaires 249 – Exercices 251 – Corrigés 253

Chapitre 12. Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

1. Convergence en probabilité (compléments) 267 – 2. Convergence en loi (compléments) 267– Exercices 269 – Corrigés 272

Chapitre 13. Estimateurs, estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

1. Estimateurs et estimations 281 – 2. Suites d’estimateurs 282 – Exercices 283 – Corri-gés 288

IV

MÉTHODE

6Chapitre

Fonctions de plusieursvariables (1)

Dans tout ce chapitre, l’espace vectoriel Rn est muni du produit scalaire canonique. Onrappelle que pour ce produit scalaire, la base canonique (e1, e2, . . . , e n ) est orthonormée.

1. Fonction de plusieurs variables

Définition 6.1. Fonctions partielles et lignes de niveaux

• Soit f une fonction définie sur une partie E de Rn . Pour tout entierk ∈ ¹1, nº, f k : xk 7−→ f (x1,x2, . . . ,x n ) est appelée la k -ième fonction partielle.

• On appelle lignes de niveaux de la fonction f les ensembles des pointsx = (x1,x2, . . . ,x n ) de E pour lesquelles f (x ) est constante. Concrètement, la ligneL k de niveau k est définie par : L k =

x ∈ E / f (x ) = k

ÎChemins sur un graphe

Scilab : on pourra être amené à représenter graphiquement des chemins sur les surfacesreprésentatives des fonctions de deux variables.

Définition 6.2.

Soit f une fonction définie sur Rn . On considère les applications u 1, u 2, . . . , u n conti-nues sur un intervalle I de R telles que, pour tout réel t ∈ I , (u 1(t ), u 2(t ), . . . ,u n (t )) ∈ Ω. L’application γ qui à t ∈ I associe le couple (u 1(t ), u 2(t ), . . . , u n (t )) est ap-pelé un chemin sur la surface représentative de f . La restriction de f à γ, notée f γ estune fonction d’une variable réelle définie sur I .

f γ : t 7−→ f γ(t ) = f (u 1(t ), u 2(t ), . . . , u n (t )).

Î

Continuité

• Les projecteurs Pk : (x1,x2, . . . ,x n ) 7−→ xk sont des fonctions continues sur Rn .• Les fonctions polynômes sont continues sur Rn .

131

Mathématiques ECS 2e année

Î

Opérations sur les fonctions continues

• Toute combinaison linéaire de fonctions continues sur Rn est une fonction continuesur Rn .

• Le produit de deux fonctions continues surRn est continu sur Rn .• L’inverse d’une fonction continue et ne s’annulant pas surRn est continu sur Rn .• Si f est une fonction continue sur Rn à valeurs dans un intervalle I et si g est continue

sur I à valeurs dans R, alors g f est continue sur Rn .

2. Dérivées partielles en un point et gradient

Soit f une fonction définie surRn ; on dit que f admet une dérivée partielle par rapport àxk en a si la fonction de la variable réelle h définie par :

h 7→f (a +hek )− f (a )

h

a une limite lorsque h tend vers 0. Cette limite se note habituellement ∂k f (a ) ou parfois f ′k (a ).Soit f une fonction ayant des dérivées partielles premières en un point a ; on appelle gradientde f en a , le vecteur∇

f

(a ) =

∂1 f (a ) , ∂2 f (a ) , . . . ,∂n f (a )

de Rn .

Définition 6.3. Fonction de classe C 1 sur Rn

Une fonction f définie sur Rn est de classe C 1 sur Rn si elle admet des dérivéespartielles continues sur Rn . Si f est de classeC 1 sur Rn alors f est continue sur Rn .

Î

Développement limité d’ordre 1

Soit f une fonction de classe C 1 sur Rn et soit a un élément de Rn . Alors f possède auvoisinage de a un développement limité d’ordre 1, s’il existe une fonction ε définie au voisinage

de−→0 et si pour tout h ∈R2

f (a +h) = f (a )+

∇

f

(a ) , h

+ ‖h‖ ε(h)

où ε−→

0

= 0, ε continue en−→0 .

Î

Point critique

Soit f une fonction de classe C 1 sur Rn ; on dit qu’un point a est un point critique de fsi son gradient en a est nul, c’est-à-dire, si les dérivées partielles premières de f en a sontnulles :

a point critique de f ⇔ ∇

f

(a ) = 0

Définition 6.4. Dérivée directionnelle

Soit f une fonction définie sur un ouvert Ω de Rn et u un vecteur unitaire ; on appellenombre dérivée dans la direction du vecteur u de f en a = (a 1, a 2, . . . , a n ) et on notef ′u (a ), le nombre, s’il existe

limh→0

f (a +hu )− f (a )h

.

On a : f ′u (a ) =

∇

f

(a ) , u

.

132

Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)

MÉTHODEDéfinitions 6.5. Extrema locaux, extrema globaux

Soit f une fonction définie sur Rn ; on dit que f présente un extremum local en unpoint a de Rn si f (a ) est un maximum (ou un minimum) local, c’est-à-dire si :

∃r > 0 ∀ x ∈B (a , r ) , f (x )≤ f (a )

ou f (x )≥ f (a )

.

On dit que f présente un extremum global en (a ,b ) si f (a ,b ) est un maximum (ou unminimum), c’est-à-dire si : ∀ x ∈Rn , f (x )≤ f (a )

ou f (x )≥ f (a )

.

Î

Condition nécessaire d’extremum local. Point col ou point selle

Soit f une fonction de classeC 1 sur Rn ; si f admet un extremum local en a ∈Ω alors a estun point critique de f .

Par contraposition on en déduit que si un point a de Rn n’est pas un point critique, alorsf (a ) n’est pas un extremum. Un point critique a pour lequel f (a ) n’est pas un extremum estappelé un point col ou un point selle.

133

ExercicesFonctions de plusieurs variables (1)

Méthode Scilab

Pour représenter des fonctions implicites f

x , y

= k , pour (x , y ) ∈ [a , b ] 2 on peututiliser la syntaxe suivante :

clf ();deff(’z=f(x,y)’,’z=... ’)x=a :0.1: b ; y=x;contour (x,y,f ,[c;k],flag =[2 ,0 ,4])

La valeur de c doit être une valeur pour laquelle l’équation f

x , y

= c n’a pas desolution.

Dans flag=[2,0,4], la valeur 2 est impérative ; les autres sont arbitraires.

Modifier les paramètres des axes dans Édition > Propriétés des axes.

Exercices guidés

Exercice A Représentation graphique d’ensembles de points du plan (10 min.)

Représenter graphiquement les ensembles de points du plan définies par

1) A =

x , y

∈R2/2|x | − |y |= 1

2) B =

x , y

∈R2/x ≥ 0, y ≥ 0, 2x −3y +1= 0

En déduire graphiquement l’ensemble

B+ =¦

x , y

∈R2/x ≥ 0, y ≥ 0, 2x −3y +1≥ 0©

.

Exercice B Dérivées partielles (5 min.)

Effectuer les instructions suivantes :

function v=F(u)v=(u(1) -2*u (2))./(4+ u(1).^2 -u (2).^2).^(1/2) // on peut aussi utiliser sqrt( ... )endfunctionu=[1; -1]grad= numderivative (F,u)disp ([u ’; grad ])

Qu’est-ce qui est affiché sur la console ? À quoi sert ce programme ?

Exercice C Représentations graphiques utilisant Scilab (10 min.)

1) Recopier le programme suivant et l’exécuter

134


clear ; clf ();deff(’z=f(x,y)’,’z=x.^2 -y.^2 ’)x = -1.5:0.1:1.5 ; y=x;

// Repré sentation des plans z=0, z=1 et z=-1t = -1.5:0.1:1.5;x0=t; y0=t;z0= zeros ( length (t), length (t)); z1=z0 +1 ; z2=z0 -1;

plot3d (x0 ,y0 ,z0)e=gce () // Propri étés graphique du plan z=0e. color_mode =5 // couleur du plan : rougee. hiddencolor =5

plot3d (x0 ,y0 ,z1)e=gce () // Propri étés graphique du plan z=1e. color_mode =7 // couleur du plan jaunee. hiddencolor =7

plot3d (x0 ,y0 ,z2)e=gce () // Propri étés graphique du plan z=-1e. color_mode =12 // Couleur du plan : bleu azure. hiddencolor =12

// Repré sentation graphique de la fonction ffplot3d (x,y,f)e=gce () // Propri étés graphiques de la surface repré sentative de fe. color_mode =3 // couleur de la surface : vert claire. hiddencolor =3

2) Questions sur le bloc d’instructionsa) Quelle fonction a été représentée ? Quelles instructions a-t-on utilisé ?b) Avec quelles instructions a-t-on représenté les plans d’équation z = c où c est une

constante ?c) Supprimer ou masquer chacune des instructions e.hiddencolor= ... ; que fait cette

instruction ?3) Que représente chacune des courbes, intersections des plans avec la surface définie par

la fonction f ? La fonction admet-elle un extremum local en (0, 0) ?

Exercices

Exercice 1 (10 min.)

Représenter graphiquement les ensembles suivants.

1) A =

x , y

∈R2/2|x |+3|y |= 1

2) B =

x , y

∈R2/ max (|x |, |y |) = 2

3) C =

x , y

∈R2/ x 4−2y 2+x 2y = 0


1) Représenter graphiquement en utilisant Scilab les lignes de niveau k pour chacune dessurfaces suivantes

a)

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2, f

x , y

= 2|x | − y 2 et L 1

b)

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2, f

x , y

= 3|x |+2y et L−1

135

EXERCICES


c)

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2, f

x , y

= 3x 4−4x 2y + y 2 e t L 0

2) En déduire les ensembles suivants :a) A =

¦

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2/2|x | − y 2 ≥ 1©

b) B =¦

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2/3|x |+2y ≤ −1©

c) C =¦

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2/3x 4−4x 2y + y 2 ≥ 0©


Représenter graphiquement dans une fenêtre Scilab, les fonctions f ainsi que les plansd’équation z = k.

1) f

x , y

= x 2+ y 2−x y et z = 0Justifier graphiquement que la fonction f admet un extremum local en (0, 0) ?

2) f

x , y

= ln

1+x 2+ y 2

et z = 1

3) f

x , y

=x y

1+x 2+ y 2et z =−0.1


Pour chacune des fonctions suivantes, justifier leur continuité et l’existence de leurs dérivéespartielles ; calculer les fonctions dérivées partielles et préciser les gradients des fonctions auxpoints

x0, y0

ou

x0, y0, z 0

.

1) f

x , y

= 2x 3−5x 2y +3y 2−5 et

x0, y0

= (−1, 2)

2) f

x , y

=x y

1+p

x 2+2y 2et

x0, y0

= (0, 0)

Pour l’existence des dérivées partielles en (0, 0) , on utilisera la définition.

3) f

x , y

=x 3

1+ y 2et

x0, y0

= (2, −1)

4) f

x , y , z

=x y z

1+x 2+ y 2et

x0, y0, z 0

= (1,−1, 2)


Donner le développement limité d’ordre 1 au point

x0, y0

et, en utilisant Scilab, représentergraphiquement sa surface. Représenter graphiquement le plan P dont l’équation est donnéepar :

z = ∂ 1 f

x0, y0

(x −x0)+ ∂ 2 f

x0, y0

y − y0

+ f

x0, y0

.

On remarquera (et admettra) que ce plan est un plan tangent à la surface représentative de f,au point

x0, y0

.

1)

x , y

∈ [−2; 2]2, f

x , y

= (x −2y )(1+ ln

1+x 2+ y 2

) et

x0, y0

= (−1, 1)Quelle est l’écriture de son développement limité au point (−1, 1) ?

2)

x , y

∈ [−1.5; 2.5]2, f

x , y

=1−2x + y

1+ ln

1+x 2+ y 2 et

x0, y0

= (−0.5, 1.7)

3)

x , y

∈ [−2; 2]2, f

x , y

=

x −2y

x 2+ y 2

3

2 et

x0, y0

= (−0.75, 0.5)4)

x , y

∈ [−2; 2]2, f

x , y

=

x −2y

x 2− y 2

et

x0, y0

= (0, 0)

136



1) Question de cours :

Montrer que la fonction x 7→ tanx est une bijection de

−π

2,π

2

dans R ; en déduire

les propriétés de sa fonction réciproque arctan.2) Montrer que pour tout réel x ∈ ]0, +∞[,

arctanx +arctan1

x=π

2.

3) Soit (a 1, a 2, . . . , a n )∈Rn . Montrer que la fonction f définie sur Rn par

f (x1,x2, . . . ,xn ) =

arctan

n∑

i=1

a i x i

!

1+n∑

i=1

a i2

possède un maximum et un minimum.

137

EXERCICES

CorrigésFonctions de plusieurs variables (1)

Corrigés des exercices guidés

Exercice ACet exercice est destiné à représenter des lignes de niveaux, mais aussi des ensembles de

définition de fonctions ou de leurs frontières.

1)

Méthode

Si une fonction de deux variables f définie sur R2 vérifie

• ∀

x , y

∈R2, f

x , y

= f

−x , y

alors sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées• ∀

x , y

∈R2, f

x , y

= f

x , −y

alors sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses• ∀

x , y

∈ R2, f

x , y

= f

−x , −y

alors sa courbe est symétrique par rapport àl’origine.

Remarque

Si une courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses et par rapport à l’axedes ordonnées, elle est symétrique par rapport à l’origine.

Si on note ϕ la fonction définie sur R2 par ϕ

x , y

= 2|x | − |y |, on remarque que

ϕ

−x , y

= ϕ

x , y

; il s’ensuit que la courbe représentative de ϕ est symétrique parrapport à l’axe des ordonnées. De même, pour tout

x , y

∈R2, ϕ

x , −y

=ϕ

x , y

donc lacourbe d’est symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Par composition elle est symétriquepar rapport à O(0, 0).

Il suffit donc de tracer la courbe de la fonction définie implicitement par ϕ

x , y

= 2 pourx ≥ 0 et y ≥ 0 ; on effectue ensuite les symétries par rapport à l’axe des abscisses et parrapport à l’axe des ordonnées.

On veut donc d’abord représenter graphiquement

x , y

∈R+×R+, 2x − y = 1.

On reconnaît une demi-droite d’extrémité

1

2, 0

et de pente égale à 2. D’où la représentation

graphique de A par symétrie :

138

CORRIGÉS


0−2 2

1

−1

−0.5 0.5

2)

Méthode

La courbe d’une fonction continue définie sur une région du plan par ϕ

x , y

= 0partage cette région du plan en deux parties ; l’une dans laquelle, pour tout couple,

x , y

, ϕ

x , y

> 0 une autre dans laquelle pour tout couple.

x , y

, ϕ

x , y

< 0 Si dans l’une des régions du plan, il existe un point p (a , b ) ourlequel ( ϕ (a , b )> 0 resp. :) ϕ (a , b )< 0 alors pour tous les points d

x , y

e cette régionon a ( ϕ

x , y

> 0 resp. :). ϕ

x , y

< 0.

2x −3y +1= 0 est l’équation d’une droite dans le plan. En se limitant aux couples,

x , y

∈R+×R+ on obtient la représentation d’une demi-droite.

Pour déterminer l’ensemble, B− on prend un point du quart de plan n’appartenant pas à B ,par exemple ; (0, 0) on constate que ce point n’appartient pas à B− puisque 2 ×0−3×0+1=1> 0 ; il s’ensuit que l’ensemble B− est la partie du quart de plan limité par B et ne contenantpas ; (0, 0) c’est donc la partie non hachurée au dessus de la demi-droite B .

139


Exercice B

Méthode

• Pour montrer qu’une fonction f admet des dérivées partielles en

x0, y0

, on montreque c’est la composée de fonctions dérivables d’une variable, et de fonctions polynômesou rationnelles.On rappelle que les deux projecteurs

x , y

7→ x et

x , y

7→ y sont des fonctionspolynômes (et même affine, c’est-à-dire de la forme

x , y

7→ a x +by + c ).• Pour déterminer les dérivées partielles d’une fonction f en un point,

x0, y0

on calculeles dérivées des fonctions partielles f 1 : x 7→ f (x , y0) et f 2 : y 7→ f (x0, y ) respectivementen x0 et en y0. On a :∂ 1 f

x0, y0

= f ′1 (x0) et ∂ 2 f

x0, y0

= f ′2 (x0).

On commence d’abord par définir une fonction, la fonction

F :

x , y

7→x −2y

p

4+x 2− y 2.

On donne ensuite un vecteur colonne ; u =

1−1

on calcule un vecteur ligne grad (de

même taille que tu ) et on affiche en première ligne les coordonnées de u, en deuxième ligne,les coordonnées de grad.

On peut lire sur la console

1. - 1.0.125 - 1.375

On peut se douter (vu le nom) que ce vecteur est le gradient de F au point (1, −1). Vérifions-le.

• Montrons d’abord que F admet des dérivées partielles en (1, −1).Les fonctions

x , y

7→ x −2y et

x , y

7→ 4+x 2− y 2 sont des fonctions polynômes et F estle quotient de la première par la racine carrée de la seconde ; elle admet donc des dérivéespartielles en tout point où elle est définie, c’est-à-dire où

x0, y0

.L 4+x 2

0 − y 20 > 0, donc la fonction F admet des dérivées partielles en (1, −1).

• La fonction F1 : x 7→ F (x , −1) =x +2p

3+x 2.

On a :

F ′1 (x ) =3−2x

3+x 2

p

3+x 2

est dérivable en tout point donc, en particulier, en x = 1.En particulier,

• ∂ 1F (1, −1) = F′

1 (1) =1

8= 0.125 La fonction F2 : y 7→ F

1, y

=1−2yp

5− y 2est dérivable pour

tout y tel que

y

< 5. Elle l’est donc au point y =−1 ; on a :

F ′2

y

=y −10

5− y 2

p

5− y 2.

140

CORRIGÉS


En particulier,

• ∂ 2F (1, −1) = F′

2 (−1) =−11

8=−1,375. Ainsi l’instruction grad=numderivative(F,u) ren-

voie le gradient de F au vecteur u (vecteur ligne).

Méthode

(Scilab]Pour vérifier avec Scilab nos calculs de dérivées partielles en un point, on peut utiliser lebloc d’instructions suivant :

function v=F(u)v= < é criture de la fonction F en fonction des coordonn ées

u(1) et u(2) de u >endfunctionu=[u(1); u(2)]grad= numderivative (F,u)disp ([u ’; grad ]," point et gradient en ce point ")

Exercice C1) On peut masquer la représentation de certains plans pour mieux voir les intersections

de chacun des plans avec la surface représentative de f .

2) a) La fonction représentée est la fonction f :

x , y

7→ x 2 − y 2 donnée par les ins-tructions deff(’z=f(x,y)’,’z=x.^2-y.^2’) pour définir la fonction x=-1.5 :0.1 :1.5 ; y=x pour lerectangle de définition fplot3d(x,y,f ) pour la figure.

Sa surface représentative est en vert (instructions e=gce() puis e.color_mode=3 )

141


b) Les plans ont respectivement pour équation z = 0, z = 1 et z = 1. Les instructionsdonnant le plan d’équation z = 0 sont

t=-1.5 :0.1 :1.5 ; x0=t ; y0=t ; pour le rectangle de définitionz0=zeros(length(t),length(t)) pour la matrice des valeurs de z ; c’est une matrice nulle dont

la taille est taille de x0 × taille de y0.Sa représentation graphique est donnée par plot3d(x0,y0,z0) ; il est en rouge (instructions

e=gce() puis e.color_mode=5 )Pour obtenir les deux autres plans, avec le même rectangle de définition, on a respectivement

considéré les matrices des valeurs de z :z1=z0+1 et z1=z0-1.c) En supprimant (ou en masquant) les instructions e.hiddencolor=... on voit que le des-

sous des surfaces représentées sont en bleu clair ; en d’autre termes, cette instruction colorisele dessous des surfaces représentées.

3)

Méthode

Soit f une fonction de deux variables définies sur un ouvert Ω.

1. Une ligne de niveau k , est l’ensemble des solutions de l’équationf

x , y

= k ; graphiquement, c’est l’intersection de la surface représentative de f et duplan d’équation z = k .2. Pour montrer qu’un plan d’équation z = k est un plan tangent à la surface représen-tative de f en (a , b ), on montre que f (a , b ) = k et∇ f (a , b ) = (0, 0) que (a , b ).3. Pour que f admette un extremum local en (a , b ) , il faut que le plan tangent à la surfacereprésentative de f en soit horizontal (d’équation z = k ) et qu’au voisinage de ce point,la surface soit toujours au-dessus ou en dessous du plan tangent.

L’intersection de la surface représentative de f et d’un plan d’équation z = c est une courbeappelée, courbe de niveau de f. Ici, on a trois courbes de niveau, les courbes de niveau 1, 0 et1. On pourra remarquer en particulier, que la courbe de niveau 0 est l’intersection de deuxdroites ; on le voit immédiatement par le calcul ; en désignant L 0 par la ligne de niveau 0, ellese définit par :

L 0 =¦

x , y

∈R2/x 2− y 2 = 0©

=¦

x , y

∈R2/|x | − |y |©

.

On remarque que la fonction f admet des dérivées partielles en tout point (voir exercice B)et de plus :

∀

x , y

∈R2, ∂ 1 f

x , y

= 2x , ∂ 2 f

x , y

=−2y .

• Le plan rouge (plan horizontal d’équation z = 0) coupe la surface en (0, 0) ; Le gradientde f en (0, 0) est

∂ 1 f (0, 0) , ∂ 2 f (0, 0)

= (0, 0). Localement la surface n’est pas toujoursau-dessus ou en dessous de ce plan. Donc f (0, 0) n’est pas un extremum.

142

CORRIGÉS


Corrigés des exercices

Exercice 1Les représentations graphiques sont en fin d’exercice.

1) Si on note ϕ la fonction définie surR2 par ϕ

x , y

= 2|x |+3|y |, on remarque que pourtout

x , y

∈R2ϕ

x , y

=ϕ

−x , y

=ϕ

x , −y

=ϕ

−x , −y

; il s’ensuit que la courbe re-présentative de’est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et par rapport à l’origine.

Il suffit donc de tracer la courbe de la fonction définie implicitement par 2x +3y = 1 pourx ≥ 0 et y ≥ 0 et d’effectuer ensuite les symétries. D’où la représentation graphique.

2) La fonction est ϕ :

x , y

7→ max (|x |, |y |) définie sur R2 et possède les propriétéssuivantes :

∀

x , y

∈R2, ϕ

x , y

=ϕ

x , −y

=ϕ

−x , y

=ϕ

−x , −y

.

Il suffit donc de tracer la courbe définie par

¨

x = 2 si x ≥ y ≥ 0y = 2 si 0≤ x ≤ y

c’est-à-dire

¨

x = 2 si 0≤ y ≤ 2y = 2 si 0≤ x ≤ 2

et de procéder par symétrie. D’où la représentation graphique.3) On remarque que x 4 − 2y 2 + x 2y = (x 2 − y )(x 2 + 2y ) ; donc C est la réunion des deux

courbes d’équation respective y = x 2 et y =−1

2x 2 ; d’où la représentation graphique :

Exercice 21) Les représentations graphiques sont données à la fin de la question 1 ; on a utilisé la

syntaxe donnée dans l’exercice A.a) On a, pour tout

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2, f

x , y

= f

−x , y

= f

x ,−y

= f (−x ,−y ) ; lacourbe est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et à l’origine ;

b) On a, pour tout

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2, f

x , y

= f

−x , y

; la courbe est symétrique parrapport à l’axe des ordonnées.

c) On a, pour tout

x , y

∈ [−1.5; 1.5]2, f

x , y

= f

−x , y

; la courbe est symétrique parrapport à l’axe des ordonnées.

D’autre part, on a f

x , y

= (3x 2−y )(x 2−y ) ; la courbe de f est donc la réunion des courbesdes fonctions x 7→ 3x 2 et x 7→ x 2.

Représentations graphiques :

143


2) a) Le point (0, 0) n’appartient pas à l’ensemble A ; donc l’ensemble A est la partie duplan non comprise entre les arcs de courbes, c’est-à dire au-dessus des arcs des régions 1 et 2du plan, et en dessous des arcs des régions 3 et 4 du plan.

b) Le point (0, 0) n’appartient pas à l’ensemble B ; donc l’ensemble B est la partie du plannon comprise entre les arcs de courbes, c’est-à dire au-dessus de chacune des demi-droites.

c) Les deux arcs partagent le plan en 4 régions.On vérifie que la partie du plan au-dessus ou en dessous des deux paraboles sont des parties

de C tandis que la partie du plan entre les deux paraboles n’en est pas une. Donc C est partiedu plan au-dessus de la parabole d’équation et y = 3x 2 endessous de la parabole d’équationy = x 2.

Exercice 3On constate que la surface représentative de f est toujours au-dessus du plan d’équation

z = 0 (plan horizontal) ; de plus, ce plan semble être tangent à la surface (faire pivoter la figure).On peut donc conjecturer que la fonction f admet un minimum local égal à 0 en (0, 0).

On utilise la syntaxe de l’exercice C et on obtient respectivement les représentations gra-phiques suivantes :

Exercice 41) La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est continue et admet des dérivées

partielles en tout point de R2. On a :

∂ 1 f

x , y

= 6x 2−10x y donc ∂ 1 f (−1, 2) = 26

∂ 2 f

x , y

=−5x 2+6y donc ∂ 2 f (−1, 2) = 7.

Ainsi ∇ f (−1, 2) = (26, 7) . On peut vérifier le gradient de f avec Scilab, en utilisant lesinstructions données dans l’exercice C :

function v=F(u)v=2*u (1).^3 -5*( u (1).^2).* u (2)+3* u(2).^2 -5endfunction

144

CORRIGÉS


u=[ -1;2]grad= numderivative (F,u)disp ([u ’; grad ]," point et gradient en ce point ")

Sur la console :

point et gradient en ce point- 1. 2.26. 7.

2) La fonction f est le quotient de la fonction polynôme

x , y

7→ x y par la somme d’unefonction constante

x , y

7→ 1 et de la racine carrée d’une fonction polynôme

x , y

7→p

x 2+ y 2 ; elle est donc continue pour toute valeur où elle est définie, c’est-à-diresurR2 et admet des dérivées en tout point où x 2+ y 2 est strictement positif, c’est-à-dire entout point sauf, peut-être, en (0, 0).

Existence des dérivées partielles en. On a (0, 0) :

f (h, 0)− f (0, 0)h

=0−0

h= 0−→ 0

h→ 0donc ∂ 1 f (0, 0) = 0

etf (0, k )− f (0, 0)

k=

0−0

k= 0−→ 0

k→ 0donc ∂ 2 f (0, 0) = 0.

Il en résulte que f admet des dérivées partielles en (0, 0) et que ∇ f (0, 0) = (0, 0) . Nouslaissons le soin au lecteur de vérifier ce résultat avec Scilab.

3) La fonction f est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas ; elle estdonc continue et admet des dérivées partielles en tout point de R2 ; on a :

∂ 1 f

x , y

=3x 2

1+ y 2donc ∂ 1 f (2, −1) = 6

∂ 2 f

x , y

=2x 3y

1+ y 2

2donc ∂ 2 f (2, −1) = 4.

Ainsi∇ f (2, −1) = (6, 4). La vérification avec Scilab est laissée au soin du lecteur.4) La fonction est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas. Elle est

donc continue et admet des dérivées partielles en tout point de R2 ; on a :

∂ 1 f

x , y

=y z

1+x 2+ y 2−

2y x 2z

1+x 2+ y 22 donc ∂ 1 f (1, −1, 2) =−

2

9

∂ 2 f

x , y

=x z

1+x 2+ y 2−

2y 2x z

1+x 2+ y 22 donc ∂ 1 f (1, −1, 2) =

2

9

∂ 3 f

x , y

=y x

1+x 2+ y 2donc ∂ 3 f (1, −1, 2) =−

1

3

Donc∇ f (1, −1, 2) =

−2

9,

2

9, −

1

3

. On peut vérifier ce résultat sur Scilab :

function v=F(u)v=u(1)*u(2)*u (3)/(1+ u (1)^2+ u (2)^2)endfunction u=[1; -1;2]grad= numderivative (F,u)disp ([u ’; grad ]," point et gradient en ce point ")

145


Sur la console :

point et gradient en ce point1. - 1. 2.- 0.2222222 0.2222222 - 0.3333333

Exercice 51) La fonction f est le produit d’une fonction polynôme (et même affine :

x , y

7→ x −2y ) par la différence de la fonction constante

x , y

7→ 1 et du logarithme d’unefonction polynôme strictement positive

x , y

7→ ln

1+x 2+ y 2

; c’est donc une fonction dela classe C 1 sur R2. On a :

∂ 1 f

x , y

=1−x 2+ y 2+4x y

1+x 2+ y 2− ln (1+x 2+ y 2)

donc

∂ 1 f (−1, 1) =1−1+1−4

1+1+1− ln 3=−1− ln 3.

De même,

∂ 2 f

x , y

=−21+x 2− y 2+x y

1+x 2+ y 2+2 ln (1+x 2+ y 2)

donc

∂ 2 f (−1, 1) =−21+1−1−1

3+2 ln 3= 2 ln 3.

Le plan Pa a pour équation :

z = (−1− ln 3) (x +1)+2 ln 3

y −1

−3+3 ln 3.

Laissons le soin au lecteur de vérifier ses calculs de dérivées partielles sur Scilab ; nousdonnons ci-dessous un bloc d’instructions qui a été utilisé pour la représentation graphique :

clear ; clf ();deff(’z=f(x,y)’,’z=(x -2*y).*(1 - log (1+x.^2+y.^2)) ’)x= -2:0.1:2 ; y=x;

// Repré sentation du plan z=a(x-x0 )+b(y-y0)[a,b]= numderivative (f, (x0;y0 )))

deff(’w=p(u,v)’,’w=(-1- log (3))*( u +1)+2* log (3)*(v -1) -3+3* log (3) ’)u=x; v=u;fplot3d (u,v,p)

e=gce () // Propri étés graphique du planz=a(x-x0 )+b(y-y0) e. color_mode =12 // Couleur du plan : bleu azure. hiddencolor =12

// Repré sentation graphique de la fonction ffplot3d (x,y,f)e=gce () // Propri étés graphiques de la surface repré sentative de fe. color_mode =3 // couleur de la surface : vert claire. hiddencolor =3

146

CORRIGÉS


En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au point(−1, 1) et qu’au voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface.

Attentionce plan n’est pas horizontal ; on ne peut donc pas en déduire que la fonction présente unminimum au point (−1, 1).

La fonction f a un développement limité s’écrira au point (−1, 1) puisque la fonctionest de classeC 1 sur son ensemble de définition (la démonstration est la même que pour ladérivabilité ou la continuité) ; d’autre part :

f (−1+h, 1+k ) =−3+3 ln 3+(−1− ln 3)h +(2 ln 3) k +p

h2+k 2 ε(h, k )

où ε est une fonction au voisinage de (0, 0) et ε (0, 0) = 0.Donnons les résultats pour les autres fonctions :2) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, et

pour tout

x , y

on a :

∂ 1 f

x , y

= 22x 2−x −x y

1+x 2+ y 2

. (1+ ln

1+x 2+ y 2

)2−

2

1+ ln

1+x 2+ y 2

et aussi

∂ 2 f

x , y

=−2y 2−2y +4x y

1+x 2+ y 2

. (1+ ln

1+x 2+ y 2

)2−

1

1+ ln

1+x 2+ y 2

donc, avec Scilab∂ 1 f (−0.5, 1.7)≈ −0.67369, ∂ 2 f (−0.5, 1.7)≈ −0.10546.De plus f (−0.5, 1.7)≈ 1.52849, donc l’équation du plan Pb est :z =−0.67369 (x +0.5)−0.10546

y −1.7

+1.52849.

147


En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au pointet qu’au (−0.5, 1.7) voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface.

3) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, etpour tout

x , y

on a :

∂ 1 f

x , y

= (4x 2+ y 2−6x y )p

x 2+ y 2

et aussi∂ 2 f

x , y

= (−2x 2−8y 2+3x y )p

x 2+ y 2

donc, avec Scilab∂ 1 f (−075, 0.5)≈ 4.28159 ∂ 2 f (−0.75, 0.5)≈ −3.8308.De plus, f (−0.75, 0.5)≈ −1.28166, donc l’équation du plan Pc est :z = 4.28159 (x +0.75)−3.8308

y −0.5

−1.28166.

En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au point(−0.75, 0.5) et qu’au voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface.

4) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, etpour tout

x , y

on a :∂ 1 f

x , y

= 3x 2− y 2−4x y

et aussi :∂ 2 f

x , y

=−2x 2+6y 2−2x y

donc, avec Scilab :∂ 1 f (0, 0) = 0 ∂ 2 f (0, 0) = 0.De plus f (0, 0) = 0, donc l’équation du plan Pd est z = 0.

148

CORRIGÉS


En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est horizontale et tangent à lasurface au point (0, 0). Ce plan coupe la surface en ce point : il n’est pas localement au dessusou en dessous de la surface ; donc f (0, 0) n’est pas un extremum.

Exercice 6

1) La fonction tangente réalise une bijection de

−π

2,π

2

à valeurs dans R.

∀ x ∈R, ∃!y ∈R, tanx = y ⇔ x = arctan y

or, arctanx ∼ xx→ 0

.

La fonction arctan est deux fois dérivables R sur, et

∀ x ∈R, arctan′(x ) =

1

1+x 2et arctan

′′(x )=−

2x

1+x 22

2) Soit ϕ la fonction définie sur ]0, +∞[ par

ϕ (x ) = arctanx +arctan1

x.

Cette fonction est dérivable sur ]0, +∞[ et

ϕ′(x ) =

1

1+x 2+−

1

x 2

1+1

x 2

donc ϕ ′ (x ) = 0 ; il en résulte que ϕ est constante sur ]0, +∞[. On a ϕ (1) = 2arctan 1=π

2,

donc, pour tout réel x > 0,

arctanx +arctan1

x=π

2.

3) Deux cas.1er cas : si a 1 = a 2 = . . . = a n = 0, alors, pour tous réels x1,x2, . . . ,xn , f (x1,x2, . . . ,xn ) = 0 ; la

fonction f admet donc un minimum et un maximum.2e cas : s’il existe au moins un i tel que a i 6= 0. Posons a = (a 1, a 2, . . . , a n ) et x = (x1,x2, . . . ,xn ) ;

on a :n∑

i=1

a i x i = ⟨a , x ⟩ e t | ⟨a , x ⟩ | ≤ |a | × |x |.

149


La fonction arctan est une fonction impaire et positive sur R , donc

|arctan ⟨a , x ⟩ |= arctan |< a , x > | ≤ arctan (|a | × |x |) .

Par ailleurs,n∑

i=1

x i2 = |x |2.

En posant α= |a | et t = |x |, on a :

| f (x1,x2, . . . ,xn ) | ≤ g (t ) o g (t ) =arctan (αt )

1+ t 2.

On a limt→0

g (t ) = 0 et limt→+∞

g (t ) = 0 ; comme la fonction g est positive et non nulle sur ]0, +∞[ ,il existe t1 ∈ ]0, +∞[ tel que g (t1)> 0 ; il existe donc un réel A tel que t > a , g (t )< g (t1) pourtout réel. On notera que nécessairement A > t1.

Par ailleurs, sur le segment [0, A] la fonction g est continue ; elle admet donc un maximumg (t2)≥ g (t1).

Il en résulte que la fonction g admet un maximum M sur R et M = g (t2) ; donc f est unefonction continue Rn de dans [−M , M ].

Reste à montrer qu’il existe (u 1, u 2, . . . , u n ) tel que f (u 1, u 2, . . . , u n ) =M et (v1, v2, . . . , vn )tel que f (v1, v2, . . . , vn ) =−M .

Pour tout réel λ, x =λa est un vecteur colinéaire à a ; on a donc | ⟨a , x ⟩ |= |a | × |x |.Posons d’abord λ =

t2

αet u = λa ; on a f (u ) = g (t2) = M . Posons en suite µ = −

t2

αet

v =µa ; on a f (v ) = g (−t2) =−M .La fonction f admet donc un maximum et un minimum sur R.

150

VUIBERT

MATHSECS•2e annéeMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

SOMMAIRE1. Rappels de calculs algébriques – 2. Compléments d’algèbre – 3. Réduction des endomorphismes – 4. Algèbre bilinéaire – 5. Intégrales impropres – 6. Fonctions de plusieurs variables (1) – 7. Séries et compléments de probabilités – 8. Couples et vecteurs aléatoires – 9. Endomorphismes symétriques – 10. Fonctions de plusieurs variables (2) – 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte – 12. Convergences – 13. Estimateurs, estimations

En ligne :• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab• Exercices complémentaires

Les auteurs :Jean-Philippe Cortier est professeur de chaire supérieure de mathématiques.

François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commer-ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

Marguerite Rossillon est professeur de mathématiques à ParisTech Shanghaï Jiao Tong.

ISBN : 978-2-311-40285-8

www. .fr

Des ouvrages pour faire la différence : – des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables

et réviser efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation

d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse,– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab

et des exercices complémentaires.

MAT

HS EC

S2e a

nnée

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HO

DES

EXER

CIC

ESP

RO

BLÈ

MES

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