Développement d’un modèle d’endommagement à taux de ...

X° d Wire 04ISAL0033 Annee 2004

THESE

DEVELOPPEMENT DTN MODELS D'ENDOMMAGEMENT A TAUX DE GROISSANGE GONTROLE POUR LA SIMULATION

ROBUSTE DE RUPTURES SOUS IMPACTS

Presentee devant

rinstitnt National dcs Sciences Appliqnecs do Lyon

pour obtenirlo GRADE DE DOGTEUR

Ecole doctorale :

Mecaniqnc, Encrgetiqnc, Genic civil, AconstiqncSpecialite :

MECANIQUE - GENIE MECANIQUE - GENIE CIVIL

par

Arnaud SUFFISAgrege de Mecanique

These soutenue le 21 Juin 2004 devant la Commission d’examen

JurySIDOROFF Frangois Professeur PresidentALLIX Olivier Professeur RapporteurDe BORST Rene Professeur RapporteurBOXIXI Jerome Ingenieur ExaminateurBUXG Hariddh Ingenieur ExaminateurCOMBESCURE Alain Professeur Directeur de these

AXDRIEUX Stephane Ingenieur InviteLUBRECHT Ton Professeur Invite

LaMCoS (IXSA de Lyon/CXRS UMR 3314)20, avenue Albert Einstein, 69621 VILLEURBAXXE CEDEX (France)

SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE

CHIMIE DE LYON M. Denis SINOUUniversite Claude Bernard Lyon 1Lab Synthese Asymetrique UMR UCB/CNRS 5622Bat 3082™e etage43 bd du 11 novembre 191869622 VILLEURBANNE CedexTel : 04.72.44.81.83 sinou (3) univ-lvonl.fr

E2MCECONOMIE, ESPACE ET MODELISATION M. Alain BONNAFOUS

Universite Lyon 214 avenue BerthelotMRASHLaboratoire d’Economic des Transports69363 LYON Cedex 07Tel: 04.78.69.72.76Alain.Bonnafousta mrash.fr

DBS COMPORTEMENTS

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M. Daniel BARBIERINSA DE LYONLaboratoire Physique de la MatiereBatiment Blaise Pascal6962 1 VILLEURBANNE CedexTel: 04.72.43.64.43Daniel.Barbier (ainsa-lvon.fr

E2M2EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATIONhttD://biomserv.univ-lvonl.fr/E2M2

M. Jean-Pierre FLANDROISUMR 5558 Biometric et Biologic EvolutiveEquipe Dynamique des Populations BacteriennesFaculte de Medecine Lyon-Sud Laboratoire de Bacteriologie BP 1269600 OULLINSTel : 04.78.86.31.50I ean-Pierre.Flandrois (abiomserv.uni v-lvon l.fr

EDIISINFORMATIOUE ET INFORMATIONPOUR LA SOCIETEhttD://www.insa-lvon.fr/ediis

M. Lionel BRUNIEINSA DE LYONEDIISBatiment Blaise Pascal6962 1 VILLEURBANNE CedexTel : 04.72.43.60.55IbruniefSdf. insa- Ivon, fr

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M. Alain Jean COZZONEIB CP (UCBL1)7 passage du Vercors69367 LYON Cedex 07Tel : 04.72.72.26.75 cozzone®ibcD.fr

MATERIAUX DE LYONhttD://www.ec-lvon.fr/sites/edml

M. Jacques JOSEPHEcole Centrale de LyonBat F7 Lab. Sciences et Techniques des Materiaux et desSurfaces36 Avenue Guy de Collongue BP 16369131 ECULLY CedexTel : 04.72.18.62.51Iacaues.IoseDlKaec-lvon.fr

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M. Franck WAGNERUniversite Claude Bernard LyonlInshtut Girard DesarguesUMR 5028 MATHEMATIQUESBatiment Doyen Jean BraconnierBureau 101 Bis, 1" etage69622 VILLEURBANNE CedexTel: 04.72.43.27.86 wasner (adesar2ues.univ-lv0nl.fr

MEGAMECANIQUE, ENERGETIOUE. GENIECIVIL. ACOUSTIOUEhttD://www.lmfa.ec-lvon.fr/autres/MEGA/index.html

M. Frangois SIDOROFFEcole Centrale de LyonLab. Tribologic et Dynamique des Systemes Bat G836 avenue Guy de CollongueBP 16369131 ECULLY CedexTel :04.72.18.62.14Francois.Sidorofftaec-lvon.fr

Novembre 2003

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Directenr : STORCK A.

Professeurs :AMGHAR Y.AUDISIO S.BABOT D.BABOUX J.C.BALLAND B.BAPTISTE P.BARBIER D.BASKURT A.BASTIDE J.P.BAYADA G.BENADDA B.BETEMPS M.BIENNIER F.BLANCHARD J.M.BOISSE P.BOISSON C.BOIVIN M. (Prof. emerite)BOTTA H.BOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) BOULAYE G. (Prof. emerite) BOYER J.C.BRAU J.BREMOND G.BRISSAUD M.BRUNET M.BRUNIE L.BUFFIERE J-Y.BUREAU J.C.CAMPAGNE J-P.CAVAILLE J.Y.CHAMPAGNE J-Y.CHANTE J.P.CHOCAT B.COMBESCURE A.COURBON COUSIN M.DAUMAS F. (Mme) DJERAN-MAIGRE I.DOUTHEAU A. DUBUY-MASSARD N.DUFOUR R.DUPUY J.C.EMPTOZ H.ESNOUF C.EYRAUD L. (Prof. emerite)FANTOZZI G.FAVREL J.FAYARD J.M.FAYET M. (Prof. emerite)FAZEKAS A.FERRARIS-BESSO G.FLAMAND L.FLEURY E.FLORY A.FOUGERES R.FOUQUET F.FRECON L. (Prof. emerite) GERARD J.F.GERMAIN P.GIMENEZ G.GOBIN P.F. (Prof. emerite) GONNARD P.GONTRAND M.GOUTTE R. (Prof. emerite) GOUJON L.GOURDON R.GRANGE G. (Prof. emerite)GUENIN G.GUICHARDANT M.GUILLOT G.GUINET A.GUYADER J.L.GUYOMAR D.HEIBIG A.JACQUET-RICHARDET G.JAYET Y.JOLION J.M.

LIRISPHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLECONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENTS IONISANTSGEMPPM***PHYSIQUE DE LA MATIEREPRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSPHYSIQUE DE LA MATIERELIRISLAEPSI****MECANIQUE DES CONTACTS LAEPSI****AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEPRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS LAEPSI****LAMCOSVIBRATIONS-ACOUSTIQUE MECANIQUE DES SOLIDESUNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Developpement Urbain UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Developpement Urbain INFORMATIQUE MECANIQUE DES SOLIDESCENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du batimentPHYSIQUE DE LA MATIEREGENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEMECANIQUE DES SOLIDESINGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONGEMPPM***CEGELY*PRISMAGEMPPM***LMFACEGELY*- Composants de puissance et applicationsUNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaineMECANIQUE DES CONTACTSGEMPPMUNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energetique et Thermique UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL CHIMIE ORGANIQUE ESCHILMECANIQUE DES STRUCTURES PHYSIQUE DE LA MATIERE RECONNAISSANCE DE FORMES ET VISION GEMPPM***GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GEMPPM***PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS MECANIQUE DES SOLIDES GEMPPMMECANIQUE DES STRUCTURES MECANIQUE DES CONTACTS CITIINGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONS GEMPPM***GEMPPM***REGROUPEMENT DES ENSEIGNANTS CHERCHEURS ISOLESINGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERESLAEPSI****CREATIS**GEMPPM***GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEPHYSIQUE DE LA MATIERECREATIS**GEMPPM***LAEPSI****.GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GEMPPM***BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE PHYSIQUE DE LA MATIEREPRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERSVIBRATIONS-ACOUSTIQUEGENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEMATHEMATIQUE APPLIQUEES DE LYONMECANIQUE DES STRUCTURESGEMPPM***RECONNAISSANCE DE FORMES ET VISION

Novembre 2003

JULLIEN J.F.JUTARD A. (Prof. emerite)KASTNER R.KOULOUMDJIAN J. (Prof. emerite) LAGARDE M.LALANNE M. (Prof. emerite)LALLEMAND A.LALLEMAND M. (Mme)LAREAL P (Prof. emerite)LAUGIER A. (Prof. emerite)LAUGIER C.LAURINI R.LEJEUNE P.LUBRECHT A.MASSARD N.MAZILLE H. (Prof. emerite)MERLE P.MERLIN J.MIGNOTTE A. (Mle)MILLET J.P.MIRAMOND M.MOREL R. (Prof. emerite)MOSZKOWICZ P.NARDON P. (Prof. emerite)NAVARRO Alain (Prof. emerite)NELIAS D.NIEL E.NORMAND B.NORTIER P.ODET C.OTTERBEIN M. (Prof. emerite)PARIZET E.PASCAULT J.P.PAVIC G.PECORARO S.PELLETIER J.M.PERA J.PERRIAT P.PERRIN J.PINARD P. (Prof. emerite)PINON J.M.PONCET A.POUSIN J.PREVOT P.PROST R.RAYNAUD M.REDARCE H.RETIF J-M.REYNOUARD J.M.RICHARD C.RIGAL J.F.RIEUTORD E. (Prof. emerite) ROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. emerite)ROUBY D.ROUX J.J.RUBEL P.SACADURA J.F.SAUTEREAU H.SCAVARDA S. (Prof. emerite)SOUIFI A.SOUROUILLE J.L.THOMASSET D.THUDEROZ C.UBEDA S.VELEX P.VERMANDE P. (Prof emerite)VIGIER G.VINCENT A.VRAY D.VUILLERMOZ P.L. (Prof. emerite)

UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresAUTOMATIQUE INDUSTRIELLEUNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - GeotechniqueINGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONBIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEMECANIQUE DES STRUCTURESCENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energetique et thermique CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energetique et thermique UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Geotechnique PHYSIQUE DE LA MATIERE BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEINFORMATIQUE EN IMAGE ET SYSTEMES D’INFORMATION UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE MECANIQUE DES CONTACTSINTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITEPHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEGEMPPM***GEMPPM***INGENIERIE, INFORMATIQUE INDUSTRIELLE PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEUNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine MECANIQUE DES FLUIDES ET D’ACOUSTIQUES LAEPSI****BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS LAEPSI****LAMCOSAUTOMATIQUE INDUSTRIELLEGEMPPMDREPCREATIS**LAEPSI****VIBRATIONS-ACOUSTIQUEINGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERESVIBRATIONS-ACOUSTIQUEGEMPPMGEMPPM***UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Materiaux GEMPPM***INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITEPHYSIQUE DE LA MATIEREINGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONPHYSIQUE DE LA MATIEREMODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE CREATIS**CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et MateriauxAUTOMATIQUE INDUSTRIELLECEGELY*UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures LGEFMECANIQUE DES SOLIDES MECANIQUE DES FLUIDESGENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES GEMPPM***CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique de l’HabitatINGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONCENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et MateriauxINGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERESAUTOMATIQUE INDUSTRIELLEPHYSIQUE DE LA MATIEREINGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLEAUTOMATIQUE INDUSTRIELLEESCHIL - Equipe Sciences Humaines de l’Insa de LyonCENTRE D’INNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICESMECANIQUE DES CONTACTSLAEPSIGEMPPM***GEMPPM***CREATIS**PHYSIQUE DE LA MATIERE

Directeurs de recherche C.N.R.S. BERTHIER Y.CONDEMINE G. COTTE-PATAT N. (Mme) ESCUDIE D. (Mme) FRANCIOSI P.MANDRAND M.A. (Mme) POUSIN G.ROCHE A.SEGUELA A.VERGNE P.

MECANIQUE DES CONTACTS UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE CENTRE DE THERMIQUE DE LYON GEMPPM***UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES GEMPPM***LaMcos

Directeurs de recherche I.N.R.A. FEBVAY G.GRENIER S.RAHBE Y.

BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS

PLMBIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE CREATIS**

Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. : KOBAYASHI T.PRIGENT A.F. (Mme)MAGNIN I. (Mme)

* CEGELY ** CREATIS ***GEMPPM ****LAEPSI

CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYONCENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’lMAGE ET DU SIGNAL GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS

Ce travail de thAse a Ate realisee en grande partie an LaMCoS A, TINSA de Lyon, sons la direction d'Alain Combescure. Je tiens, avant tontes choses, A Ini exprimer tonte ma gratitude. S'il a, pendant ces trois annees, encadre ce travail avec beanconp de discernement et d'enthousiasme, il a Agalement sn me laisser rindependance necessaire pour m'Apanouir pleinement dans mon travail.

Par ailleurs, je sonhaite adresser ma sincere reconnaissance non settlement an Professeur Frangois Sidoroff qni a accepts de me faire rhonnenr de presider le jury, mais anssi anx Professenrs Olivier AUix et Rene De Borst pour avoir rapporte snr ce memoire. Un grand mere! egalement A MM. Stephane Andrieux, JArAme Bonini, Hariddh Bung et Ton Lnbrecht pour lenr participation an jury en taut qu'examinateurs on invites.

Tout an long de la thAse, j'ai At A amenA A travailler en collaboration avec un certain nombre de personnes. Je tiens, A ce titre, A remercier en premier le CEA Saclay, et notamment les membres du labo DYN dans son ensemble. Dans cette Aquipe, je tiens A citer Hariddh Bung, Pascal Galon et Michel Lepareux avec qni j'ai partagA joies et dAboires de la programmation, ainsi qne Laurent Borsoi pour nos longues discussions. Mes remerciements vont anssi A Mme Isabelle Renard et MM. JArAme Bonini, StAphane Giusti et David Chevrolet de SNECMA Moteurs pour TintArAt qu'ils out portA A mes travaux. J'adresse Agalement une pensAe particuhAre A M. Thierry Grtinenwald du CEA Valduc, A MM. Pierre Chevrier et Xavier Boidin du LPMM, A M. Jean-Frangois Deti du CNAM et A mes secrAtaires prAfArAes, A savoir Marie-Claude du CEA Saclay, France et Anne-Marie du LaMCoS et Marie d'ASINSA.C'est ici Agalement pour moi Loccasion de tAmoigner de mon amitiA A Tensemble des membres du laboratoire, et en particuher A ceux avec qni j'ai partagA ce que nous appelons notre bureau. Merci done A Manue (pour uTavoir supporter), Pauhne, Zouzou, Fabrice, Pedro et Jean-Claude (pour ses blagues).

En ce qni conceme Mme HAlAne, Chouchou, Bobor, Tigro et Ivan, je leur rAserve cet espace particuher. GrAce A eux, et au-dAlA de rambiance quotidienne qu'ils pouvaient mettre an labo, ils m'ont fait dAcouvrir maintes et maintes choses... de la tAte de veau A la saucisse de choux, du Beaujolais an Gigondas, de la Chartreuse aux conhns de la Tarentaise. Je sonhaite que la nouvelle gAnAration, en Toccurrence Thomas, Tomtom et Steph (s'il reste des fautes d'orthographe dans ce mAmoire, e'est A lui qu'il faut s'adresser!) sache perpA- tuer cette dynamique, mais je n'en doute pas vu le niveau relativement has qu'ils peuvent atteindre parfois. De mon c6tA, j'ose espArer leur avoir apportA, en plus de mon amitiA, un soupgon de culture musicale... de Desireless A La Compagnie CrAole, de Johnny A Gotainer.

Pour m'avoir Agalement accompagne, je tiens anssi A remercier mes anciens camarades thAsards (on non... paix A leur cerveau) de Cachan, A savoir, Braj, Christophe, HervA, JP, Staffe, Totor, Vincent et Will.

Enhn, j'adresse une pensAe particuhAre A ma petite famille, ma mAre et mon pAre, ma soeur et mon beau-frAre (et ma toutoune), ainsi qu'A CAhne pour leur soutien an corns de tontes ces annAes.

Table des matieres

Table des mati&res i

Table des figures v

Liste des tableaux vii

Introduction 1

1 Etat de Tart 51.1 Les schemas d'integration numerique de Newmark................................... 6

1.1.1 Presentation generale.......................................................................... 61.1.2 Convergence des schemas numeriques de Newmark .................... 81.1.3 Resume................................................................................................. 11

1.2 Notion d'endommagement macroscopique.................................................. 111.3 Le probl&me de localisation .......................................................................... 14

1.3.1 Le phenom&ne de localisation......................................................... 151.3.2 Le mod&le du second gradient......................................................... 171.3.3 Le mod&le de plasticite dependant du taux de deformation . . 181.3.4 Les autres solutions............................................................................... 181.3.5 Bilan........................................................................................................ 19

1.4 Synth&se............................................................................................................... 19

2 L'endommagement a effet retard 212.1 Motivations........................................................................................................ 232.2 Etude des proprietes du mod&le................................................................... 24

2.2.1 Modelisation elastique endommageable classique............................242.2.2 Mod&le a endommagement retarde ............................................... 28

2.3 Convergence numerique........................................................................................ 342.3.1 Convergence en temps...........................................................................352.3.2 Convergence en espace...........................................................................372.3.3 Convergence en espace et en temps................................................... 412.3.4 Conclusions...............................................................................................43

2.4 Determination uni-dimensionnelle de la longueur caracteristique ... 442.4.1 Determination analytique de la longueur caracteristique .... 442.4.2 Validation du mod&le analytique...................................................... 522.4.3 Conclusions........................................................................................... 55

i

2.5 Implantation numerique................................................................................. 562.5.1 Plasticite couplee a 1'endommagement retarde............................... 572.5.2 Integration numerique du mod&le.................................................. 592.5.3 Exemple bi-dimensionnel....................................................................... 65

2.6 Conclusions et perspectives............................................................................. 712.7 Synth&se............................................................................................................... 71

3 Identification des param&tres : methodologie et applications 753.1 Problematique..................................................................................................... 773.2 Description des essais plaque/plaque ......................................................... 78

3.2.1 Caracteristiques generates................................................................ 783.2.2 Mise en place experimental.................................................................863.2.3 Courbe d'ecaillage ................................................................................. 86

3.3 Etude theorique : cas de l'Au4Gl-T4............................................................. 913.3.1 Etude d'une simulation...........................................................................923.3.2 Identification par la methode Chevrier.............................................963.3.3 Identification par la vitesse de face arri&re....................................1013.3.4 Conclusion................................................................................................ 105

3.4 Etudes pratiques : le 7020-T6 et le Ta6V.....................................................1073.4.1 Cas de Talliage d'aluminium 7020-T6..............................................1073.4.2 Cas de Talliage de titane Ta6V ........................................................ 115

3.5 Conclusions et perspectives................................................................................1183.6 Synth&se................................................................................................................. 119

4 Application : perforation d'une plaque en acier 1214.1 Description du materiau...................................................................................1234.2 Description et resultats des experiences........................................................ 124

4.2.1 Protocole experimental.........................................................................1244.2.2 Resultats des essais................................................................................125

4.3 Simulations des essais..........................................................................................1264.3.1 Description de la simulation...............................................................1264.3.2 Simulations des essais sans effet retard...........................................1294.3.3 Simulations des essais avec effet retard...........................................1314.3.4 Bilan.......................................................................................................... 134

4.4 Simulations d'un essai fictif a lOOm/s........................................................... 1364.4.1 Simulations sans effet retard...............................................................1364.4.2 Simulations avec effet retard...............................................................1374.4.3 Bilan.......................................................................................................... 139

4.5 Conclusions.......................................................................................................... 1394.6 Synth&se................................................................................................................. 141

Conclusions et perspectives 143

Bibliographie 147

Annexe A : determination analytique de f*"" sur un module discret 155

n

Annexe B : exemple de jeu de donnees Europlexus 161

Annexe C : resume des simulations effectuees avec TAu4Gl-T4 165

Annexe D : evolution du profil d'endommagement pour Tessai P12 169

iii

Table des mati&res

iv

Table des figures

1.1 MAthodes d'intAgration.................................................................................... 71.2 Vue 2D schematises d'une structure endommagAe...................................... 121.3 Exemple de sensibilitA au maillage................................................................ 141.4 Poutre uni-dimensionnelle............................................................................. 15

2.1 Courbe contrainte/deformation du models classique...................................262.2 Poutre uni-dimensionnelle............................................................................. 282.3 Profit d'endommagement sans effet retard ................................................... 292.4 Courbes contrainte/deformation avec le module a effet retard..................312.5 Evolution de — D en fonction de la deformation.............................. 322.6 Prohl d'endommagement avec effet retard ................................................... 332.7 Influence de la vitesse de sollicitation sur f*""................................................342.8 Convergence en temps pour le deplacement................................................... 372.9 Convergence en temps pour 1'endommagement.............................................382.10 Convergence en espace pour le deplacement ................................................392.11 Convergence en espace pour 1'endommagement............................................ 402.12 Convergence en espace et en temps pour le deplacement............................412.13 Convergence en espace et en temps pour 1'endommagement.....................422.14 Models d'endommagement retards simplihe ................................................462.15 Module d'endommagement retards simplihA en contrainte........................ 472.16 Bornes du models simplifie d'endommagement retards............................... 492.17 Validation des hypotheses ................................................................................. 532.18 Comparaison des resultats numeriques et analytiques............................... 542.19 Influence des paramAtres.....................................................................................552.20 Maillage de 1'essai chapeau................................................................................. 662.21 Courbe contrainte effective/deformation pour l'Au4Gl-T4 ..................... 672.22 Models uni-dimensionnel equivalent a la perforation.................................. 692.23 RAsultats de la simulation 'chapeau' sans effet retard............................... 732.24 RAsultats de la simulation 'chapeau' avec effet retard............................... 74

3.1 Domains de diffArents dispositifs expArimentaux......................................... 793.2 Schema simplifie d'un impact plaque/plaque................................................803.3 Diagramme de Lagrange : cas Alastique sans Acaille.................................. 813.4 Diagramme (p, u) : cas Alastique sans Acaille................................................823.5 Diagramme de Lagrange : cas Alastique avec Acaille.................................. 833.6 Diagramme (p, u) : cas Alastique avec Acaille................................................84

v

Table des figures

3.7 Diagramme de Lagrange : cas plastique avec ecaille.................................. 853.8 Coupe 2D du lanceur............................................................................................873.9 Vue 3D du lanceur...............................................................................................883.10 Photos de cibles ecaillees.....................................................................................893.11 Courbe d'ecaillage du 7020-T6...........................................................................903.12 Exemple devolution de vitesse de face arri&re.............................................913.13 Vitesse de face arri&re experimental (Ta6V)................................................923.14 Maillage optimise des plaques.............................................................................. 943.15 Profit de la contrainte axiale.............................................................................. 973.16 Profit de 1'endommagement .............................................................................. 983.17 Deformee de la plaque a la fin du calcul........................................................... 993.18 Courbe pour l'Au4G sans effet retard....................................................1003.19 Courbe cr/f pour l'Au4G avec effet retard (reference)............................... 1013.20 Courbe pour l'Au4G avec effet retard (influence de o)......................1023.21 Courbe pour l'Au4G avec effet retard (influence de T^)......................1023.22 Vitesse de face arri&re pour l'Au4G sans effet retard.................................. 1033.23 Vitesse de face arri&re pour l'Au4G avec effet retard (reference) . . . 1043.24 Influence de la constante o................................................................................1053.25 Influence du temps caracteristique.................................................................. 1063.26 Evolution de la deformation a rupture ........................................................ 1123.27 Courbes contrainte/deformation pour le 7020-T6....................................... 1133.28 Courbe d'ecaillage du 7020-T6 et resultats numeriques ........................ 1153.29 Profits de face arri&re du Ta6V et resultats num. sans effet retard . . 1173.30 Profits de face arri&re du Ta6V et resultats num. avec effet retard . . 118

4.1 Courbe contrainte effective/deformation pour Tinox.................................1244.2 Photo de la tour de chute Orion et du poingon plat utilise ................... 1254.3 Photos des plaques apr&s essais..................................................................... 1274.4 Maillage (niveau 6) de la plaque..................................................................... 1284.5 Comparaison du deplacement pour 1'essai P9.............................................. 1294.6 Deformation plastique cumulee apr&s impact pour 1'essai P9................. 1304.7 Comparaison de la vitesse pour 1'essai P7 (sans retard)................... 1314.8 Comparaison de la vitesse pour 1'essai P7 (avec retard)...................1344.9 Vitesses residuelles pour les simulations P7 et P12....................................1364.10 Comparaison de la vitesse pour 1'essai P12 (sans retard) ........................ 1374.11 Comparaison de 1'endommagement pour Tessai P12 (sans retard) . . 1384.12 Comparaison de la vitesse pour 1'essai P12 (avec retard) ........................ 1394.13 Comparaison de 1'endommagement pour Tessai P12 (avec retard) . . 140

vi

Liste des tableaux

1.1 Resume des proprietes des schemas numeriques de Newmark.....................11

2.1 Proprietes de la simulation uni-dimensionnelle.............................................252.2 Convergence en temps pour le deplacement....................................................382.3 Convergence en temps pour Tendommagement............................................. 382.4 Convergence en espace pour le deplacement .................................................402.5 Convergence en espace pour Tendommagement............................................. 402.6 Convergence en espace et en temps pour le deplacement.................... 422.7 Convergence en espace et en temps pour Tendommagement..............422.8 Proprietes quasi-statiques de TAu4Gl-T4.......................................................67

3.1 Longueurs caracteristiques pour l'Au4Gl-T4................................................943.2 Resume des valeurs de — V™"............................................................ 1063.3 Caracteristiques mecaniques de Talliage d'aluminium 7020-T6 .... 1083.4 Valeurs des constantes du modules de Klepaczko pour le 7020-T6 . . . 1093.5 Valeurs des constantes de la loi devolution de Tendommagement . . . Ill3.6 Valeurs des constantes de la fonction f]................................................ 1123.7 Valeurs des param&tres de Tendommagement retarde pour le 7020-T6 1143.8 Caracteristiques mecaniques de Talliage de titane Ta6V........................... 1163.9 Caracteristiques mecaniques du cuivre ........................................................ 116

4.1 Caracteristiques mecaniques de 1'inox 304L................................................. 1234.2 Valeurs des constantes de la loi devolution de Tendommagement . . . 1244.3 Caracteristiques de la tour de chute Orion................................................. 1244.4 Essais de perforation avec embout plat........................................................ 1264.5 Resultats des essais de perforation avec embout plat.................................. 126

vii

Liste des tableaux

viii

Introduction

La simulation numArique fait aujourd'hui partie intAgrante du processus de conception et de validation des piAces et structures developpees dans le contexte industriel. Elle s'est imposAe comme un outil indissociable de 1'experience acquise et des essais expArimentaux, notamment pour diminuer les codts impliquAs par ses der- niers. Depuis rapparition des premiers codes de calcul par elements Unis, un certain nombre devolutions ont eu lieu ouvrant de nouvelles perspectives. D'une part, la puissance de calcul a augmente, et continue d'augmenter, de maniAre exponentielle permettant de simuler des cas de plus en plus grand avec une precision de plus en plus line. D'autre part, la connaissance du comportement physique des materiaux s'est considerablement accrue. Nous restreignant dAs a prAsent aux matAriaux mAtalliques, un vaste choix de modAlisations de leurs comportements, validAes tant microscopiquement que macroscopiquement, ainsi que les essais associAs permettant de les caractAriser, sont dAsormais disponibles. Toutes sortes de modAles plastiques, dApendant Aventuellement de la vitesse de dAformation ou de la tempArature, existent en effet et sont d'ores et dAja implant As dans les codes de calcul industriels les plus rApandus. Tant que les Atudes effectuAes se cantonnent a leur domaine de validitA, ces modAles donnent des rAsultats trAs satisfaisants. Dans un souci toujours plus grand de dAcrire la rAalitA, le monde industriel, et en particular nos partenaires dans cette Atude que sont le Commissariat a 1'Energie Atomique et la SNECMA, s'intAressent actuellement a prAvoir la rupture ductile des mAtaux sous choc, et ce ahn d'optimiser au mieux les structures. Ce domaine fait aujourd'hui office de nouvelle frontiAre a franchir dans la justesse des simulations de problAmes industriels.

Cette Atape se heurte a plusieurs difhcultAs :- la premiAre concerne le choix et ^identification d'une modAlisation adAquate

du phAnomAne de la rupture. Encore une fois, un certain nombre de modAles existent. Dans le cadre de la rupture ductile des mAtaux dans lequel nous nous plagons, 1'introduction d'une variable d'endommagement semble particuliAre- ment adaptAe. Ce domaine jouit en effet d'un double avantage. Tout d'abord, la trAs large bibliographie sur le sujet propose des modAles appropriAs ainsi que les mAthodes de caractArisation od hoc. Ensuite, les principaux modAles d'endommagement ont dAja AtA intAgrAs dans les codes de calcul classiques.

- le choix de Tendommagement comme moyen de dAcrire la rupture introduit cependant une dApendance des rAsultats au maillage lors de simulations par AlAments finis, ce qui n'est guAre physique. Celui-ci se traduit par le problAme de localisation abusive de la dAformation (et de Tendommagement).

1

Introduction

Une nouvelle Ibis, divers modules out AtA proposes dans la bibliographie pour resoudre ce dernier problAme, d'autant plus qu'il ne concerne pas uniquement les seuls matAriaux endommageables, mais Agalement les matAriaux dits adoucissants. Ils consistent en general a enrichir la description du materiau en introduisant par la mAme occasion de nouveaux paramAtres. Ceux-ci correspondent generalement soit a une longueur interne, soit a un temps interne; ces grandeurs internes se voulant Atre Limage de la taille d'une zone d'inhuence an niveau microscopique on d'une viscositA respectivement. Si ce domaine est largement examinA depuis plusieurs annAes, aucun modAle n'est rAellement pour Lheure intAgrA dans un code de dynamique rapide a usage industriel. Plusieurs motifs peuvent expliquer ce constat. Le premier est la relative difhcultA a intAgrer ces modAles sans alourdir considArablement 1'architecture du code et les temps de calcul. Le second rAside dans 1'identihcation des paramAtres supplAmentaires (longueur, temps on autres...) associAs an modAle permettant d'Avi- ter la localisation.L'Avolution actuelle des moyens de calcul, ainsi que Lapparition de nouvelles techniques comme les techniques de remaillage automatique on de dAcomposition de domaines, semblent pouvoir apporter a Lavenir une rAponse adAquate an premier problAme. Concernant le second, les choses paraissent moins claires et, selon les modAles, la mAthode d'identification reste le plus souvent incertaine.

L'Atude que nous nous proposons de mener se situe dans le cadre des impacts dynamiques sur des structures mAtalliques. La modAlisation associAe a ce type de matAriaux est gAnAralement isotrope et prend en compte la plasticitA et LAventuelle dApendance de celle-ci a d'autres variables. Ayant choisi de dAcrire la rupture a Laide d'une variable d'endommagement, le problAme de localisation va done inAvitable- ment se poser. Ahn de 1'Aviter, on propose d'utiliser un modAle d'endommagement particular dit a effet retard, effet qui consiste, on le verra, a limiter le taux de croissance de Lendommagement en introduisant notamment un temps caractAris- tique. Dans le cadre de sollicitations dynamiques, il permet de rendre les rAsultats objectifs vis-a-vis du maillage et done d'obtenir, par exemple, des profils de zone complAtement endommagAe non-rAduits a un AlAment. Ce modAle a AtA dAveloppA, et Lest encore, an Laboratoire de MAcanique et de Technologie de Cachan ahn de dAcrire correctement la rupture des matAriaux composites stratihAs [LadevAze , 1992, Allix et Deii , 1997]. Les nombreuses Atudes effectuAes jusqu'alors se concentraient particuliArement sur Lintroduction d'un retard dans les lois de type Alastique endommageable qui conviennent a la modAlisation des composites.

Pour utiliser le modAle d'endommagement retardA dans le contexte de notre Atude, il va done falloir tout d'abord en adapter 1'Acriture aux modAles que nous serous amener a rencontrer. Une fois ce travail effectuA, se poseront a nous les deux problAmes classiques que nous avons AvoquAs prAcAdemment.Concernant le premier de ces deux problAmes (a savoir Limplantation dans un code et la durAe excessive des simulations), Limplantation du modAle ne pose o priori pas de difhcultAs majeures. Par ailleurs, le modAle d'endommagement a effet retard introduit un temps caractAristique, mais, dans Lobjectif d'utiliser les techniques numAriques adAquates citAes prAcAdemment, LintArAt de le traduire sous forme de

2

Introduction

longueur est indAniable. Cela doit permettre en effet de donner une taille caractA- ristique de la zone complAtement endommagee et done de choisir judicieusement la finesse du maillage dans la zone concernee (avant le calcul on, a 1'avenir, en cours de calcul en utilisant une des techniques AvoquAes).Le deuxiAme problAme, e'est-a-dire celui de identification des deux paramAtres du modAle d'endommagement retardA, a deja fait 1'objet de traitements thAoriques, mais aucun n'a abouti pour instant a une identification effective des paramAtres. Les prArequis nAcessaires a cette Atape sont, d'une part, la connaissance de la loi d'Acrouissage du matAriau et de ses dApendances supplAmentaires Aventuelles et, d'autre part, la connaissance de la loi d'endommagement en quasi-statique. II semble ensuite possible de parvenir a effectuer correctement identification a partir de rA- sultats d'essais de dynamique rapide comme les essais d'impact de plaques.Une fois ces deux problAmes rAsolus, la simulation d'un cas industriel de rupture sous impact de bout en bout est alors envisageable.

Conform Ament an contexte qui vient d'Atre dAcrit, le travail qui suit propose done de dAcrire successivement les points suivants :

- dans un premier temps, les AlAments contextuels de 1'Atude sont briAvement prAsentAs. Avant de se concentrer par la suite sur la simulation dynamique de piAces mAtalliques sous impact, le premier chapitre s'attache done a dAcrire avant tout les schAmas d'intAgration de Newmark, outil indispensable a 1'intA- gration des Aquations d'Aquilibre lors d'un calcul de dynamique. Ensuite, aprAs une introduction a la notion d'endommagement, une revue des principaux mo- dAles permettant d'Aviter la localisation est effectuAe.

- le second chapitre s'intAresse plus particuliArement an modAle d'endommagement a effet retard dont les principales Aquations et fondements sont dAtaillAs prAalablement. La suite de ce chapitre se localise ensuite sur deux points. Le premier concerne 1'Atablissement d'une formule permettant d'Avaluer, a partir des donnAes de la simulation et des matAriaux, la taille de la zone complement endommagAe. Ce travail est prAcAdA d'une Atude de convergence, permettant de garantir la qualitA des rAsultats qui la succAderont. Le second concerne 1'implantation d'une loi de plasticitA de von Mises couplAe a 1'endommagement retardA dans le code de dynamique explicite Europlexus [Europlexus , 2002].

- le troisiAme chapitre aborde le problAme de 1'identihcation des deux para- mAtres de 1'endommagement retardA. Le dAtail des essais d'impact de plaques permettra d'abord de comprendre pourquoi ce type d'essai est particuliArement adaptA a notre problAmatique. Suit ensuite un premier cas thAorique. Celui-ci, a partir uniquement de simulations, va permettre de mettre en place deux protocoles d'identification des paramAtres qui seront ensuite appliquAs tour a tour a deux matAriaux distincts.

- enhn, le dernier chapitre sera 1'occasion d'appliquer le modAle a un cas industriel, a savoir la perforation d'une plaque, et, du mAme coup, d'en exposer les diffArents avantages et inconvAnients.

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Introduction

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Chapitre 1

Etat de l’art

Dans ce premier chapitre, nous proposons d'introduire progressivement les differentes notions aidant a la comprehension de 1'etude qui suit. Dans le cadre de la rupture de piAces metalliques sous sollicitations dynamiques, nous allons etudier successivement les schemas d'integration numerique de Newmark et la notion d'endommagement qui servira ulterieurement a modeliser la rupture. Enhn, le problAme de dependance an maillage sera AvoquA et les principaux modules existants passes briAvement en revue.

Sommaire1.1 Les schemas d'integration numerique de Newmark ............................... 6

1.1.1 Presentation gAnArale........................................................................... 61.1.2 Convergence des schemas nnmeriqnes de Newmark................. 81.1.3 Resume.................................................................................................. 11

1.2 Notion d'endommagement macroscopique ................................................ 111.3 Le problAme de localisation........................................................................... 14

1.3.1 Le phenomAne de localisation.......................................................... 151.3.2 Le modeie du second gradient.......................................................... 171.3.3 Le modeie de plasticite dependant du taux de deformation . . 181.3.4 Les autres solutions............................................................................... 181.3.5 Bilan......................................................................................................... 19

1.4 SynthAse................................................................................................................ 19

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1. Etat de Tart

Le present chapitre dresse 1'etat de Tart des principaux domaines afferents a 1'etude que nous effectuons ensuite. Celle-ci se concentre sur les solicitations dynamiques des materiaux metalliques. La modelisation du comportement des metaux que nous serous amenes a faire pourra, selon les cas, @tre elastique endommageable, elasto-plastique endommageable on visco-plastique endommageable. Le materiau sera suppose isotrope.Dans un premier temps, les schemas d'integration numerique de Newmark, qui in- cluent le schema explicite habituel pour les codes de calcul dynamiques (et en particular pour Europlexus [Europlexus , 2002] que nous utiliserons ensuite) sont decrits. Cette description nous servira lors de la determination de 1'ordre de convergence de notre module. Cette premiere partie est suivie d'une discussion sur la notion d'endommagement, clef de vohte de notre etude. (Test en elfet 1'endommagement qui nous permettra de representer la rupture de nos structures. Celui-ci constitue par ailleurs 1'origine du problAme de localisation artihcielle de la deformation que nous abordons ensuite. Apr&s une description succincte de 1'origine mathematique de la localisation, differents modules de la literature qui permettent de 1'eviter, en introduisant soit une longueur caracteristique soit un temps caracteristique, sont exposes. Le detail des modules de plasticite utilises ulterieurement n'est pas presente, car tr&s bien connu dans 1'ensemble.

1.1 Les schemas cTintegration numerique de NewmarkCe type de schemas [Newmark , 1959] est utilise notamment pour 1'integration en

temps de probl&mes de dynamique transitoire des structures discretisees en espace. II s'agit maintenant de resoudre :

Mf/ + if [/ = F^(t)(1.1)

oh M est la matrice de masse et if la matrice de rigidite. On se contente ici d'un module sans amortissement. Dans le cas contraire, on ajouterait le terme Cl/ dans 1'equation d'equilibre.

1.1.1 Presentation generale

II s'agit d'une famille de methodes numeriques d'integration en temps a un pas qui s'appuie sur le developpement en serie de Taylor du deplacement et de la vitesse [Gerardin et Rixen , 1993] :

+ ^ - T)[7(T)dTt+At / , (1.2)

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1,1, Los schemas d'integration numerique do Newmark

oil At est le pas do temps dont le choix, et ses contraintes, seront detailles ulterieurement et oil L'' et L'' sont respectivement les vecteurs deplacement, vitesse et acceleration an pas de temps f de la structure discretisee. On fait alors le calcul do Vint-egrale on approximant la forme do la variable a integrer sur Vintervalle considere (id Vacceleration), Ainsi :

T()(T)dT - (1 - q)Aff? +( + At - T)f/(T)dT - (1 - + /LAfV+^' ^ ^

oil q et sont deux parametres qui, selon leurs valeurs, permettent de retrouver les different-os formules d’integration dirocto commo cola est presente sur la figure 1.1.

Qt+At

Co"5^<DOO

Ul

f,t+At

temps temps

Pig. 1.1 - Formules d'integration classiques selon la valenr de ^ et de /3. Pour le graphique o., on a nn schema d'Euler explicite, ponr 6., un schema d^Euler implicite et ponr c. une regie dn trapeze.

En snbstitnant h expression des integrales dans les series de Taylor, on obtient alors les equations classiques de la famille des schemas de Newmark :

r c/'+A' = [/'+A%/' + ^'+2'^')= [/' + Aff/' + ^

On pout eerire cos egalit-es differemment on faisant intervenir co quo Von appollo les predicteurs du schema de Xevnnark et que Von note pour le predicteur du deplacement an temps f et pour le predicteur de la vitesse au temps t qui sont des quantities connues explicitement a partir du pas de temps considere :

7

1. Etat de Tart

+A^ (| - ^) iy*p[F = tF + At(l-y)^

De telle sorte que :

r (yt+At =P (yt + At^[7*+^^+At =? fyt + Atyl^+^* ^

En injectant ces formulations dans Inequation d'equilibre 1.1, on obtient done une relation entre les quantites au temps t et 1'acceleration au temps t + At.

(1.7)

= - iMT* (1.8)

Connaissant done toutes les quantites au temps t et les efforts exterieurs au temps t + At, il est done possible de deduire (en inversant notamment la matrice (/?At^F + M)) racceleration au temps t + At. Comme les predicteurs au temps t sont explicitement connus (voir equations 1.5 ), il est done egalement possible d'en deduire, en utilisant les equations 1.6, le deplacement et la vitesse au temps t + At. Le caract&re implicite ou explicite de la methode apparait par ailleurs nettement dans 1'equation 1.7. Le schema sera explicite si et seulement si est nul. Dans ce cas, la resolution est simple puisque la matrice de masse M est generalement diagonale (ou diagonalisee) h

(/?AfF + M)(7^ = Feit t+At F + Atf/' + Af P

1.1.2 Convergence des schemas numeriques de Newmark

Le choix adequat des param&tres y et ^ permet aux schemas de Newmark d'etre convergents, e'est-a-dire que, a un temps t fixe, (7* tend vers (7(t) quand At tend vers 0. Ahn d'exprimer les conditions de convergence des schemas de Newmark, nous allons exprimer la stability et la consistance de ces schemas, sachant que stability et consistance sont une condition necessaire et sufEsante de convergence de la methode [Hugues , 1987]. Avant d'etudier la stabilite et la consistance, nous allons nous rame- ner a un problAme plus simple, mais pas pour autant restrictif, qui est le probl&me de vibration libre [Hugues , 1987]; on a done :

F* = -oW (1.9)

oh w est la pulsation de la vibration. En utilisant cette derni&re equation et les equations 1.4, on obtient done :

^Cela n'est pas vrai dans le cas d'un schema implicite (/3 ^ 0) pour matrice (/3At^_K" + M).

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1.1. Les schemas d'integration numerique de Newmark

1 + Afw^ 0 ' ryt+At ' <13<1i—1 " Cf "▻ E ryt+At —Atw^(l — y) 1 . ^ (1.10)

En posant :

< Ag

1 + Afw^ 0 Atw^y 1

1 — At^w^ At—Atw^(l — y) 1

"

(1.11)

on a hnalement ^ :

AiX'+*' AoX' (1.12)

1.1.2.1 Stabilite

Un schema d'integration est dit stable s'il existe un pas critique At""' tel que pour tout At E [0, At^'], une perturbation hnie du vecteur d'etat a 1'instant t n'entraine qu'une modification non-croissante du vecteur d'etat [Gravouil , 2000]. Supposons pour cela un equilibre A* que nous perturbons par 6%*, on a alors :

x'+*' = A[%(x' + ax') = x' + A[%ax' (1.13)

Ainsi, la perturbation engendree au pas de temps suivant axt + At est telle que :

ax'+A' = ^-i^ax'

Par une recurrence simple, on obtient facilement que

(1.14)

ax'+^' = (Ar%yax' (1.15)

La stabilite implique done que les valeurs propres simples de A soient de norme inferieure ou egale a 1 et que les valeurs propres multiples de norme strictement inferieure a 1. Les deux conditions obtenues sont alors :

Xvec ce formalisms, le problems de liquation 1.1 s'Acrit = AgX*(1 - -y)Afg^* * +

g* ou g* =

(1 - ^)Af^g^* * + ^A^g^ ou encore g* avec g* = Ar'g*.

9

1. Etat de Tart

7^2Atuj(2$—7) ^ q l+^At2cv2 —

(1.16)

On distingue dAs lors deux cas de stability selon la valeur du coefficient 'y et /? : - le schema est inconditionnellement stable si :

^ < 7 < 2^ (1.17)

Le caractAre implicite du schAma est une condition nAcessaire dans ce cas(0 ^ ^)-

- Le schAma est stable lorsque :

(1.18)

sous rAserve que le pas de temps At soit infArieur an pas de temps critique At"^ qui s'Acrit :

1(1.19)

oh est la plus grande pulsation propre de la structure discrAtisAe. Celle- ci est majorAe par le maximum des des AlAments pris individuellement [Gravouil , 2000], c'est-a-dire par la pulsation propre associAe au plus petit AlA- ment. Lors d'une Atude uni-dimensionnelle, par exemple, sera dAterminA par :

= y (1.20)

oh c est la cAlAritA des ondes dans le matAriau considArA, et ^ la longueur du plus petit AlAment

Notons immAdiatement que, selon 1'histoire des AlAments considArAs (dAforma- tion...) et le type de matAriaux AtudiAs (plastique, visqueux, endommageable,...), la cAlAritA c comme la longueur ^ seront amenAes a Avoluer au cours des calculs. II faudra de maniAre indispensable actualiser le pas de temps critique At"^ en consAquence ahn de garantir la stabilitA tout au long du calcul.

^En deux ou trois dimensions, la formule utilisAe est identique. t correspond alors & la plus petite longueur caractAristique des AlAments.

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1.2. Notion d'endommagement macroscopique

1.1.2.2 Consistance

Un schema d'integration numerique est dit consistant si |T(t)| < CAt*' , ceci quel que soit le temps t considere, oh C est une constante independante de At, A; > 0 est 1'ordre de convergence et T(t) 1'erreur locale de troncature dehnie par At-r(t) = — LL On pent montrer [Hugues , 1987] que les schemasde Newmark sont consistants et que leur ordre de convergence est egal a 2 si 7 = ^ et a 1 si 7 ^

1.1.3 Resume

Selon les valeurs des coefhcients caracteristiques, les proprietes des schemas numeriques varient. Le tableau 1.1 resume les differentes caracteristiques correspondantes [Goudreau et Taylor , 1972, Dureisseix , 2003].

Algorithme type 7 P Stabilityw™«=At^

Ordrede precision

purement explicite exp. 0 0 0 1difference centree exp. 1/2 0 2 2Fox-Goodwin imp. 1/2 1/12 2.45 2acceleration lineaire imp. 1/2 1/6 3.46 2acceleration moyenne imp. 1/2 1/4 00 2acc. moyenne modihee imp. 1/2 + 7 (1 + 7)^/4 00 1

Tab. 1.1 - Resume des proprietes des schemas numeriques de Newmark

Dans le cadre d'une etude dynamique, un schema explicite est generalement utilise (comme pour Europlexus par exemple). Nous considerons done systematique- ment le schema de Newmark aux differences centrees dont 1'ordre de convergence est egal a 2. Le paramAtre 7 est done egal a ^ et le paramAtre ^ est nul. Ceci implique en particular une condition, communement appelee condition de Courant, sur le choix du pas de temps qui s'Acrit :

At < At^ = ^ (1.21)

oh Z correspond done a la plus petite longueur caracteristique de la structure discretisee

1.2 Notion d'endommagement macroscopiqueCette section s'attache a decrire le formalisme simple d'endommagement qui

sera utilise tout an long de 1'etude. La notion d'endommagement a ete introduite

correspond an temps mis par 1'onde & traverser la plus petite longueur de I'&l&ment le plus petit, la n&cessitA pour At d'etre au plus 6gal & cette valeur aRn de pouvoir modAliser les ph&nom&nes qui interviennent & cette Achelle s'interprAte alors facilement.

11

1, Etat do Vart-

dans los annoos 50 par Kachanov [Kachanov , 1958| afin do modeliser la rupt-uro par fluago dos motaux on pronant on compto la dotorioration progressive du mat6- riau. An cours dos annoos 70, Lomait-ro ot Chabocho notammont [Lomaitro , 1996a, Lomaitro ot Chabocho , 1996b| out- ot-ondu cot-t-o notion a la rupt-uro duct-ilo.Par definition, Vondommagomont- ovaluo lo nivoau do dotorioration (fissure, cavit-6, ,,,) do la matioro. Un matoriau ost- done viorgo do tout ondommagomont- s'il no pos- sodo pas do fissures ou do cavitos a 1'ochollo microscopiquo. A hinverse, un matoriau sera dit- complotomont ondommage lorsquo Lolomont do volume sera rompu,Afin do representor lo nivoau d'ondommagomont, uno variable mocaniquo d'ondommagomont- not.ee D ost, introduito, Effoctuons, pour la definir, un zoom do la coupe d'un matoriau elassiquo 5; eolui-ei ost, schematise sur la figure 1,2,

Fig, 1,2 - Vue 2D sehematisee d'uno structure ondommagoo

La surface do la coupe ost ogalo a S. Notons maintonant, S la surface do matoriau resistant, effect,ivement, aux sollieitations exterieures; S correspond done aSa laquollo on soustrait los zones tollos quo los cavitos, los zones rolaxoos, on pronant ogalomont on compto los divorsos concentrations do eontraintos, etc... La difference ,5^ = A — A ost done la surface no participant pas a la resistance du matoriau. Par definition, on not,ora :

D = ——- (1-22)

Uno hypothoso forte viont ici d'etre faito : cello do hisotropic do rondommagomont. Rien n'impose on offot d'avoir lo memo ondommagomont selon lo plan do coupe do notro matoriau C On supposora done tout au long do 1'otudo quo 1'oriontation dos fissures ot cavitos ost distribute do manioro uniformo dans toutos los directions, ot co quel quo soit, lo nivoau d'ondommagomont. Ainsi, 1'ondommagomont D ost, un

"Un metal dans 1c cadre do notro etude.^Lcs procedes do fabrication oriontont d'aillcurs bicn souvent los defauts dans uno direction

privilegiee.

12

1.2. Notion d'endommagement macroscopique

scalaire ? qui varie de 0 (la surface des cavites est nulles) pour le materiau non- endommage a avec < 1 pour le materiau rompu (le materiau est separe en deux parties par une surface de vides). La croissance de cavites etant un phenomAne irreversible, cette variation ne peut Atre que croissante.L'introduction de la notion d'endommagement conduit a la notion de contrainte effective decrite par Rabotnov [Rabotnov , 1963] qui correspond a la contrainte rap- portee a la section S' resistant effectivement aux efforts. Afin de la definir simplement, le cadre Alastique uni-dimensionnel est choisi. Classiquement, connaissant 1'effort F applique a la surface S', la contrainte dite "usuelle" s'Acrit :

F<r = — (1-23)

De toute evidence, en presence de defauts (caracterises par S^), cette formulation n'est plus valable. C'est pourquoi nous definissons la contrainte effective <r Agale an rapport de Teffort sur la surface participant effectivement a la resistance du materiau :

FS

(1.24)

On a done :

c<r = <7— = <r(l — D) (1.25)

Une nouvelle hypothAse essentielle est alors effectuAe : 1'hypothAse d'Aquivalence en deformation. Tout comportement a la deformation d'un materiau endommage est traduit par les lois de comportement du materiau vierge dans lesquelles on remplace la contrainte usuelle par la contrainte effective. Dans le cas de notre exemple, la relation de comportement va done lier la deformation elastique 6g a la contrainte effective comme suit :

a

E(1.26)

od F est le module d'Young. Ceci permet de definir la relation suivante entre 6g et <T :

a

(1 - D)F(1.27)

Dans le cas de notre exemple simple, 1'evolution de dendommagement correspond done bien a une deterioration des proprietes du materiau, en ^occurrence de son

^Dans le cas de 1'anisotropie, 1'endommagement est reprAsentA par un tenseur.

13

1, Etat do Vart-

modulo d’Young, Pour un ondommagomont D fixe, lo mat-eriau so comporto commo un mat-oriau sain do modulo d’Young E = E( 1 — D) moins resistant quo lo mat-oriau initial,

Lo formalismo mis on place ost- completomont generalisablo an cas tri-dimonsionnol et aux modeles de material! plus sophistiques (plasticite, visco-plasticito, etc...). Les precisions supplementaires necessaires seront faites an fur a mesure de notre etude.

1.3 Le problems de localisationLos simulations numeriques effectives avoc dos materiaux adoucissants on dos

materiaux ondommagoablos donnont- dos resultats qui no sont- pas object.ifs vis a vis du maillage. Cola so traduit, on general par uno localisation artificiollo do la deformation on do l’ondommagomont, dans uno zone dont, la t-aillo tend vers zero lorsquo lo maillage ost, r affine [Bazant- , 1976, Bonallal ot, al, , 1988|, L’oxomplo de la traction d’uno plaque trouee (voir figure 1.3) propose par Andrieux et al. [Andrioux ot, al, , 2004| nous on donno uno bonne illustration : finesse et, orientation du maillage infiuoncont do maniere significative les resultats, Co phenomene apparait aussi bien dans le cadre de solicitations quasi-statiques que de solicitations dynamiques, mais notre etude ost, volontairement, rostrointo a la dynamique, Afin de resoudre ce problomo, la technique generalement utilisee est de considerer que les contraintos on un point, materiel no pouvont plus et-re decrites do maniere locale, mais qu’olios doivont prendre on compto uno longueur ou un temps interne traduisant, iinteraction d’un point, avoc sos voisins (voir [Pijaudier-Cabot, ot, Bazant , 1988, Do Borst, ot al, , 1993|),

Fig, 1,3 - Exemple do sensibilite an maillage : ondommagomont d’uno plaque trouee sous traction vorticalo [Andrieux ot, al, , 20041

Cette partie propose, apres un bref expose de iorigine mathematique de la localisation, do decriro un certain nombro do modeles qui out ete mis on place afin

14

1.3. Le problAme de localisation

de rendre les rAsultats independants du choix du maillage. Nous nous concentrerons plus particuliArement sur deux modules, a savoir le module du second gradient et le module de materiaux dependant du taux de deformation propose notamment par Needleman [Needleman , 1988]. Une brAve revue non-exhaustive des autres modules sera Agalement effectuAe.

1.3.1 Le phenomene de localisation

1.3.1.1 Cadre de 1'Atude

Comme nous 1'avons AvoquA plus bant, la localisation concerne les materiaux adoucissants on les materiaux endommageables. Ils out en commun d'avoir, sur le trace de la contrainte en fonction de la deformation, une pente qui devient negative a partir d'une deformation donnee. Le plus souvent, lors de 1'Atude d'un module permettant d'Aviter la localisation, les differents auteurs considArent un material: type qui est Alasto-plastique avec un module d'Acrouissage A constant et negatif 8 [Bazant et Belytschko , 1985, Needleman , 1988, De Borst , 2004]. Pour la courbe contrainte/deformation, cela se traduit par une courbe a deux pentes; la premiAre, positive, traduit 1'AlasticitA, la seconde, nAgative, traduit Tadoucissement (le point dAlimite ses deux zones). La gAomAtrie de la quasi-totalitAsdes Atudes est gAnAralement rAduite a une poutre uni-dimensionnelle sollicitAe en traction [Bazant et Belytschko , 1985, Belytschko et Lasry , 1988, De Borst , 2004] (ponctuellement, a un plan inhni sollicitA en cisaillement [Needleman , 1988]). Ce cadre gAnAral, dAtaillA par la figure 1.4, constitue le support qui va permettre de mettre en Avidence le phAnomAne de localisation.

longueur L, section unitaire

contraintemax

deformationlim

Fig. 1.4 - Poutre uni-dimensionnelle et loi de comportement adoucissante typique

^Le module tangent IT* est alors lui aussi nAgatif puisqu'&gal &

15

1. Etat de Tart

1.3.1.2 La localisation

Alin de mettre en evidence le probl&me de localisation en dynamique, nous considerons done le cas de la poutre uni-dimensionnelle representee sur la figure 1.4. Dans ce cas, 1'equation d'equilibre s'ecrit :

&r(%,t) _ ^n(a;,t)at? (1.28)

od n(a;, t) correspond an deplacement de la poutre an point % et a 1'instant t et est relie a la deformation totale e par 1'equation suivante :

e(a;, t)^n(a;, t)

(1.29)

En supposant la decomposition additive de la deformation totale e comme suit

e(%, t) = 6e(a;, t) + 6p(%, t) (1.30)

od gp est la deformation plastique, on pent ecrire la loi de comportement sous la forme suivante :

(?(%, t) = Ee(z, t) sz e <(1.31)

En ecrivant les equations 1.28, 1.29 et 1.31 sous forme differentielle, on obtient :

d<j(x,t)

dv(x,t)e(a;,t)

d(%, t) = Ee(a;, t) sz e < d(a;,t) = E*e(a;,t) sz e >

(1.32)

od n est la vitesse, d le taux de contrainte et e le taux de deformation. Get ensemble d'equation nous permet finalement d'ecrire 1'equation differentielle, od seule la vitesse u apparait, suivante :

p ^2(1.33)

od/t = E>0sie< et K = E* < 0 si e >Plagons-nous tout d'abord dans le cas od la deformation e est inferieure a Dans ce cas, la forme de Tequation differentielle est hyperbolique, e'est-a-dire qu'elle se

16

1.3. Le probl&me de localisation

traduit par une propagation d'onde a la vitesse " yf - D&s O^e e >

1'equation differentielle devient elliptique. Le changement de signe de K am&ne done a 1'annulation brutale de la vitesse de propagation. Les ondes sont alors "piegees" dans le premier element qui rencontre cette situation [Hadamard , 1903, Hill , 1962, Wu et Freund , 1984]. En effet, supposons qu'un element rencontre cette situation, une augmentation de la deformation de cet element n'est pas transmise aux voisins. On a alors localisation de la deformation dans cet unique element, et ce quelle que soit sa taille.

Les modules qui vont suivre s'attachent generalement a modifier 1'ecriture generale des equations afin d'eviter le passage d'une forme hyperbolique a une forme elliptique de 1'equation d'equilibre.

1.3.2 Le models du second gradient

Le principe general de ce module est d'introduire le second gradient de la deformation plastique dans les equations, ce qui permet d'assujettir la deformation locale en un point a celle de ces voisins.

Un formalisme base sur des faits microscopiques, et notamment sur la mecanique des dislocations [Aifantis , 1984, Walgraef et Aifantis , 1985, Kratochvil , 1988], explique les fondements du mod&le du second gradient. Ce mod&le suppose que la contrainte depend de la deformation totale, mais egalement du second gradient de la deformation plastique (voir [Zbib et Aifantis , 1988, Lasry et Belytschko , 1988] et pour le formalisme adopte ensuite [De Borst et Miilhaus , 1992, De Borst , 2004]) :

Sous la forme differentielle, on a alors :

(1.34)

d = E*e + 8^f (1.35)oar

Dans cette equation, 8 est homog&ne a une longueur an carre multipliee par une contrainte. En effectuant une etude de dispersion differents auteurs comme De Borst et al. [De Borst et Miilhaus , 1992, De Borst et al. , 1993, De Borst , 2004] parviennent a mettre en evidence le fait que, avec ce type de mod&le, seules les ondes de longueur d'onde plus petite que ^ (oh ^ est donnee par 1'equation 1.36) peuvent se propager dans la zone localisee. La longueur ^ correspond alors a une longueur interne du materiau.

(1.36)

^Ce type d'Atude consists & supposer une solution de liquation differentielle de la forme A exp (%(&# + At)), puis d'Atablir la relation de dispersion correspondante.

17

1. Etat de Tart

Un certain nombre de simulations (quasi-statiques et dynamiques) realisees par les m@mes auteurs, aussi bien uni-dimensionnelles (comme pour la poutre de la figure 1.4) que bi-dimensionnelles, ont permis de mettre en evidence 1'aptitude du module du second gradient a resoudre les probl&mes de localisation evoques precedemment. Ce module comporte cependant quelques limitations. La premi&re est 1'introduction d'une variable supplementaire (en plus des deplacements) dans 1'algorithme, impliquant la definition de conditions aux limites od /toe. La deuxi&me reside dans la determination des param&tres supplementaires associes an module.

1.3.3 Le models de plasticite dependant du taux de deformation

Pour ce module, un effet de vitesse est introduit mo le taux de deformation plastique. Couple a la propagation des ondes, cet effet introduit une longueur caracteristique.

Afin d'eviter la perte d'hyperbolicite de 1'equation d'equilibre, Needleman propose d'utiliser une dependance an taux de deformation. La contrainte n'est alors plus fonction de la deformation uniquement, mais egalement du taux de deformation plastique. Sous la forme proposee par Sluys [Sluys , 1992], on a :

(1.37)

od m est le param&tre de sensibilite an taux de deformation homog&ne a un temps multiplie par une contrainte. Une etude de dispersion [Sluys , 1992] permet de mettre en evidence une longueur interne an module qui s'ecrit :

2m(1.38)

De nombreuses etudes de cas dynamiques ^ [Needleman , 1988, Sluys , 1992, De Borst et al. , 1993] montrent 1'efEcacite de ce module pour resoudre les probl&mes de dependance an maillage.

1.3.4 Les autres solutions...

II existe un certain nombre d'autres modules. Le principe global de quelques uns d'entre eux est detaille ici :

- les modules dits non-locaux : ce type de modules, developpe en particular par Bazant et Pijaudier-Cabot [Bazant , 1976, Bazant et Belytschko , 1985, Pijaudier-Cabot et Bazant , 1988], regularise le probl&me en moyennant les variables sur une zone dont la taille est donnee par des justifications microscopiques, imposant du m@me coup une taille de localisation non-nulle.

module, dont I'eHicacitA repose sur la propagation d'ondes, ne rAsout le problAme de localisation que dans ce cadre dynamique.

18

1.4. Synth Ase

- les modAles a discontinuitA [Olivier et al. , 1999] : les zones oh la localisation se produit sont generalement petites devant 1'Achelle de la structure. Suite a cette constatation, les modules a discontinuite proposent de representer ces zones par une discontinuite dans le maillage, Avitant ainsi les problAmes de dependance a ce mAme maillage.

- les modAles a effet retard [LadevAze , 1991] : ce type de modAles s'applique plus spAcihquement aux matAriaux endommageables. II s'agit dans ce cas de limiter le taux d'endommagement, introduisant par la mAme occasion un temps caractAristique dans la dAhnition du matAriau.

- etc...

1.3.5 Bilan

Hormis les modAles a discontinuitA, 1'ensemble des modAles dAcrits complAtent la description du matAriau par un temps on une longueur caractAristique. Cela permet de conserver en mAmoire an niveau macroscopique des informations sur le comportement microscopique (longueur d'inhuence, vitesse devolution maximale,...) qui sont classiquement oubliAes dans la mAcanique des milieux continus.Sans se vouloir une critique des autres modAles, cette Atude va maintenant se fo- caliser sur le modAle d'endommagement a effet retard qui n'a pour le moment AtA dAveloppA que dans le cadre de matAriau Alastique endommageable.

1.4 SyntheseEn rAsumA, dans cette partie, out AtA abordAs successivement les thAmes suivants :

- la description des schAmas de Newmark et, en particular, de 1'algorithme aux diffArences centrAes qui est gAnAralement utilisA dans le cadre des simulations en dynamique explicite.

- une introduction a la notion d'endommagement macroscopique.

- le dAtail du problAme de localisation. Plusieurs modAles pour le rAsoudre en faisant intervenir une longueur interne dans la modAlisation du matAriau sont alors exposAs. Enhn, le modAle d'endommagement retardA est pour la premiAre fois AvoquA.

19

1. Etat de Tart

20

Chapitre 2

L’endommagement a effet retard

Dans ce second chapitre, 1'etude du module d'endommagement a effet retard est proposee. Apr&s nous @tre interesse a ses principales proprietes, nous nous concentrons, d'une part, sur une etude approfondie de la convergence de 1'algorithme associe et, d'autre part, sur la mise en place d'une formulation analytique de la taille de la zone compl&tement endommage qui pent 8tre assimilee a la longueur interne deja evoquee. /me, un premier exemple est traite.

Sommaire2.1 Motivations......................................................................................................... 232.2 Etude des propriAtAs du module.................................................................... 24

2.2.1 Modelisation elastique endommageable classique .................... 242.2.2 Module A, endommagement retards................................................ 28

2.3 Convergence numArique ................................................................................. 342.3.1 Convergence en temps....................................................................... 352.3.2 Convergence en espace....................................................................... 372.3.3 Convergence en espace et en temps............................................... 412.3.4 Conclusions............................................................................................ 43

2.4 Determination uni-dimensionnelle de la longueur caracteristique ... 442.4.1 Determination analytique de la longueur caracteristique ... 442.4.2 Validation du module analytique................................................... 522.4.3 Conclusions............................................................................................ 55

21

2.5 Implantation nnmAriqne................................................................................. 562.5.1 Plasticity couplee & Tendommagement retards........................... 572.5.2 Integration numerique dn module.................................................... 592.5.3 Exemple bi-dimensionnel.................................................................... 65

2.6 Conclusions et perspectives........................................................................... 712.7 SynthAse................................................................................................................ 71

22

2.1. Motivations

2.1 Motivations

Suite an bref Atat de Tart elfectuA sur le thAme de la localisation, il semble que le modAle d'endommagement a ebet retard soit particuliArement adaptA a notre problA- matique. En elfet, nous nous sommes placAs dans le cas des matAriaux mAtalliques modAlisAs par des lois Alastique, plastique on plastique dApendante du taux de dA- formation. Chacune de ces lois est couplAe a rendommagement abn de reprAsenter la mine totale du matAriau considArA suite a une sollicitation violente. Ce couplage a 1'endommagement implique, comme nous 1'avons vu prAcAdemment, 1'apparition d'un problAme de localisation artibciel de la dAformation et de rendommagement. Ce cadre de la localisation en dynamique causAe par rendommagement constitue renvironnement idAal d'application du modAle d'endommagement a elfet retard. Un certain nombre d'Atudes, pour la plupart rAalisAes par les initiateurs du modAle an Laboratoire de MAcanique et de Technologie de Cachan [LadevAze , 1991, 1992, Allix et al. , 1994, 1995, Deii , 1997], out d'ores et dAja AtA publiAes sur ce thAme. Elies s'attachent en majoritA a la description du modAle en taut que tel et a son application a la rupture des composites stratibAs.

L'Atude du modAle d'endommagement a elfet retard que nous proposons dans ce chapitre se vent pragmatique dans le sens oh elle a pour but d'apporter des rAponses prAcises aux questions qui pourront Aventuellement se poser lors d'une Atude ultArieure. Les deux principals questions dans ce chapitre sont :

- le modAle est-il bien convergent ?- la localisation dans un unique AlAment Atant AvitAe gr&ce an modAle d'endom-

magement a elfet retard, est-il possible de connaitre la table de la zone dans laquelle rendommagement va avoir lieu abn de choisir an mieux le maillage o przorz ?

La rAponse a ces deux questions doit permettre dans les applications a venir de garantir la convergence des rAsultats vers une solution et de permettre de choisir le maillage le mieux adaptA a la sollicitation.Avant d'attaquer ces Atudes, une premiAre analyse du modAle d'endommagement a elfet retard est proposAe. Elle s'applique, de la mAme maniAre que dans 1'Atat de 1'art sur la localisation, a mettre en Avidence le problAme de dApendance an maillage sur un cas Alastique endommageable simple et a montrer la capacitA du modAle d'endommagement a elfet retard a le rAsoudre, ceci aprAs avoir rapidement rappelA les principaux fondements et Aquations du modAle.L'Atude de la convergence du modAle est ensuite elfectuAe. Une mAthode originate nous permet de dAterminer, uniquement a partir de rAsultats de simulations nu- mAriques, 1'ordre de convergence en terme de dAplacement on d'endommagement lorsque le pas de temps et le pas d'espace sont ralbnAs (simultanAment on sAparA- ment).Cette derniAre Atude va permettre ensuite de garantir la qualitA des rAsultats qui suivront, et en particular ceux obtenus lors de 1'Atude de la longueur caractAris- tique. Cette derniAre constitue un des points clefs de notre travail. S'appuyant sur une simplibcation du modAle d'endommagement a elfet retard et des Aquations du problAme, elle permet la mise en place d'une formulation analytique donnant, a par-

23

2. L'endommagement a effet retard

tir des param&tres du module et du chargement, un encadrement de la taille de la zone compl&tement endommagee. Ces resultats analytiques sont confrontes a ceux obtenus numeriquement, permettant ainsi de valider la formulation mise en place. A Tissue de ces etudes, Timplantation du module d'endommagement retarde dans une loi de comportement plus complexe et plus generale que celle consideree jusqu'alors (la plasticite isotrope de von Mises couplee a Tendommagement retarde au lieu de Telasticite endommageable) est effectuee dans le code de dynamique explicite Europlexus [Europlexus , 2002]. Celle-ci est ensuite appliquee a une premiere simulation bi-dimensionnelle au cours de laquelle nous allons retrouver Tensemble des elements qui auront pu 8tre detailles posterieurement, a savoir les principales proprietes du module d'endommagement retarde, la convergence du module et Tes- timation de la longueur caracteristique.

2.2 Etude des proprietes du modeleL'objectif de cette partie est de mettre en avant les principales proprietes du mo

dule d'endommagement propose. Pour ce faire, Tetude est, dans un premier temps, restreinte au cas uni-dimensionnel et pour un materiau elastique endommageable. Ce cadre simplifie permet, d'une part, une programmation aisee du module et de Texemple, a savoir Tetude classique d'une poutre uni-dimensionnelle soumise a une tension, et, d'autre part, une mise en evidence plus claire des principales proprietes du mod&le.

2.2.1 Moderation elastique endommageable classique

Ce paragraphe presente les principaux concepts entrant en jeu dans la modelisation du materiau elastique endommageable que nous considerons. Ce mod&le est inspire d'une modelisation pour des materiaux comme le beton faite par Lemaitre et al. [Lemaitre , 1996a, Lemaitre et Chaboche , 1996b] ainsi que de celle qui a ete faite pour les composites stratifies a matrice ceramique par Ladev&ze [Ladev&ze , 1986]. Pour Tun comme pour Tautre de ses materiaux, les phenom&nes anelastiques peuvent @tre negliges.

2.2.1.1 Presentation du mod&le

Comme cela a ete vu dans le chapitre 1, la contrainte effective d est reliee a la deformation elastique Cg par la loi de comportement a Tetat vierge. Ainsi, dans le cadre uni-dimensionnel, en notant le module d'Young E7, on a :

<7 = Egg (2.1)

L'endommagement D permet de relier la contrainte effective a la contrainte usuelle <r.

24

2.2. Etude des proprietes du module

<r = d(l — D) (2.2)

On en deduit :

T = E(1 - D)gg (2.3)

Reste a introduire une loi elementaire d'evolution de I'endommagement. Une loi classique issue d'observation sur de nombreux materiaux metalliques sollicites en chargement uni-dimensionnel monotone croissant donne une variation lineaire de Tendommagement D avec la deformation [Lemaitre , 1996a]. L'endommagement D s'initie done pour une valeur seuil de la deformation elastique pour atteindre sa valeur critique pour une deformation elastique critique Ainsi :

oh les crochets designent la partie positive de la quantite consideree. Plus generalement, et notamment pour prendre en compte des eventuelles decharges au cours desquelles 1'endommagement n'evolue pas, le taux d'endommagement au temps t s'ecrit comme suit :

I D = sup^<^ g(ej sz D < D" ^smon

oh la fonction g vaut :

s^ = dc(t0) (2'6)

Avec ce module, nous avons etudie une structure representee par un seul element dont les caracteristiques sont resumees dans le tableau 2.1. Get element est soumis a un deplacement impose (donne par le graphique o. de la figure 2.1). La courbe contrainte/deformation obtenue est egalement representee sur le graphique 6. de la figure 2.1.

Propriety L E Pc E

m m.s-i - - -Materiau module 0.1 57 2280 5000 0 2.84e-3 1

Tab. 2.1 - Proprietes de la simulation uni-dimensionnelle

25


x 106 x 10

deformation x 10

Fig. 2.1 - Evolution de la contrainte en fonction de la deformation (courbe 6.) pour un element unique soumis a un trajet de deplacement (courbe o.)

Dans un cadre thermodynamique plus general, la contrainte ainsi que la variable duale y de Tendommagement derivent d'un potentiel thermoelastique endommageable Nous restreignant au cas uni-dimensionnel, celui-ci est donne par Inequation 2.7 de laquelle on peut deduire la loi d'elasticite ainsi que 1'expression de la variable associee a 1'endommagement (voir equation 2.8).

pipe = - D) (2.7)

= p|S = (1--0)^(1-D)1Y = '

L'endommagement se deduit alors simplement de la variable — Y appelee usuel- lement taux de restitution d'energie en considerant g(V^-) dans 1'equation 2.5

Dans ce contexte, on peut facilement exprimer la dissipation mecanique qui est uniquement due a 1'endommagement et qui vaut —YD. Remarquons en outre que celle-ci est bien positive etant donne que —Y est une forme quadratique definie positive et que Tendommagement ne peut que croitre; le second principe de la thermodynamique est done bien verifie.

iQn peut Agaiement comme 1'a fait Deii [Deii , 1997] introduire la notion de taux de restitution d'Anergie seuil et critique et redARnir la fonction g comme une fonction de F uniquement. En 1'occurrence, ces deux formulations sont Aquivalentes.

26

2.2. Etude des proprietes du module

2.2.1.2 Mise en evidence du problAme de dependance au maillage

Un exemple uni-dimensionnel simple est generalement choisi pour mettre en evidence le probl&me de dependance au maillage, notamment dans le cadre des materiaux adoucissants. En dynamique, il s'agit de faire propager une onde de contrainte qui va endommager le materiau; cette onde est choisie, pour les exemples les plus classiques, de traction [Pijaudier-Cabot et Bazant , 1988, Belytschko et Lasry , 1988, De Borst et al. , 1990, Deii , 1997], mais elle peut 8tre occasionnellement de cisaillement [Needleman , 1988]. Ici est etudie un exemple de poutre uni-dimensionnelle encastree a une extremite et soumise a une sollicitation de b autre. AEn d'eviter les reflexions d'ondes a bencastrement, la poutre est choisie sufEsamment longue et la contrainte imposee (ou eventuellement le deplacement impose) sufEsamment elevee pour que bendommagement apparaisse au niveau de bextremite libre. La Egure 2.2 resume les caracteristiques de bexemple qui sera simule dans cette partie et dans les parties suivantes.II est choisi dans ce paragraphe d'imposer le deplacement de telle sorte que la vitesse de deformation a bextremite libre de la poutre soit de 250s_b Les autres caracteristiques de la poutre ainsi que les proprietes du materiau elastique endommageable sont resumees dans le tableau 2.1 (sauf la deformation elastique seuil qui est ici egale a 1.32e — 3). La simulation de cet exemple a ete realisee avec le logiciel Matlab dans lequel ont ete programmees les equations presentees ci-dessus. L'integration temporelle de bequation d'equilibre est realisee en utilisant le schema numerique de Newmark aux differences centrees [Newmark , 1959, Hugues , 1987]. Comme cela a ete vu dans le chapitre 1, c'est un schema conditionnellement stable pour lequel le pas de temps choisi doit 8tre inferieur au pas de temps critique determine par la condition de Courant. Dans cette partie, nous choisirons At = Af™L Lorsque la simulation est realisee, la rupture est observee d&s lors que la limite de stability (c'est-a-dire D = 0.5 dans ce cas) est depassee dans un unique element. Ainsi, la rupture (D = 1) se produit dans cet element quel que soit le rafEnement du maillage (voir Egure 2.3).

Ces simulations am&nent a diverses conclusions :- le proEl d'endommagement depend du maillage. La taille de la zone complA-

tement endommagee est en effet toujours restreinte a un seul element. Ce phenom&ne constitue la consequence visible du probl&me de dependance au maillage.

- le temps a rupture est de plus en plus petit lorsque le maillage est de plus en plus En. En effet, le pas de temps choisi veriEe la condition de Courant necessaire a la stability du schema numerique [Newmark , 1959, Hugues , 1987]. Ainsi, plus le maillage est En, plus le pas de temps At est petit. Or, belement situe a bextremite de la poutre atteint betat compl&tement endommage en un nombre de pas de temps egal quel que soit la valeur de At. Le temps a rupture tend m@me vers zero lorsque le maillage est inEniment En.

- benergie dissipee necessaire pour rompre la poutre tend vers zero lorsque le maillage est rafEne. En effet, si on consid&re benergie dissipee par unite de volume necessaire pour atteindre la rupture, celle-ci correspond a baire sous la

27


F

Fig. 2.2 - Poutre uni-dimensionnelle encastrAe a gauche sollicitAe a droite (c'est la contrainte qui est ici imposAe, mais on peut imposer de la mAme maniAre une rampe en deplacement)

courbe contrainte deformation donnee par la figure 2.1. Par un calcul simple, on obtient rapidement que cette Anergie dissipAe par unite de volume est Agal a ^ La taille de la zone complAtement endommagee Atant toujours reduite a un unique element, 1'Anergie dissipee tend alors effectivement vers zero lorsque le maillage est rafhnA.

- le taux d'endommagement tend vers 1'inhni. C'est une autre consequence de la decroissance du temps a rupture. L'endommagement de 1'unique element s'endommageant totalement passe de plus en plus vite de sa valeur initialement nulle a sa valeur critique. Si on considAre le mecanisme physique qui permet d'expliquer l'endommagement, a savoir la croissance et la coalescence de cavites, cela revient a dire que le taux d'extension des cavites tend lui-aussi vers 1'inhni. Ce scenario semble physiquement trAs improbable.

2.2.2 Models a endommagement retards

Suite a ces constations, et en particulier du fait que le temps a rupture ne conver- geait pas vers une valeur hnie, le concept d'endommagement retarde a ete propose. LadevAze proposa en effet dAs le dAbut des annAes 1990 [LadevAze , 1991, 1992] de modifier la loi devolution de 1'endommagement de la maniAre suivante :

D = & (g (ej - D)" st D < D" D = smon

(2.9)

^Ceci n'est valable que dans le cas particulier oil la deformation Alastique seuil Eg est nulle; ce qui est le cas dans Texemple considArA dans ce paragraphe.

28

2.2. Etude des propriAtAs du module

poutre (m)

Fig. 2.3 - Probl d'endommagement le long de la poutre. RAsultats pour diffArents maillages (zoom sur 1'extrAmitA libre) pour le modAle classique. L'endommagement se localise dans un unique element.

oh A; et n sont des paramAtres dAbnissant 1'effet retard et oh g (eg) correspond a la fonction permettant de dAbnir Tendommagement (voir Tequation 2.6) Abn de representer de fagon physiquement satisfaisante ce phAnomAne, les travaux qui ont suivi, menes notamment par Allix [Allix et al. , 1994, 1995] et par Deu [Deu , 1997], proposent d'utiliser une forme plus aboutie :

D = ^ (1 — exp [—a (g (gg) — D)]) D < D = smon

(2.10)

pour laquelle on introduit deux paramAtres que sont le temps caractAristique et la constante a.

ConsidArons dAs a prAsent 1'impact qualitatif de 1'usage de ce dernier modAle sur des simulations identiques a celles dAcrites prAcAdemment :

- le taux d'endommagement ne tend plus ici vers 1'inbni lorsque le maillage est ralbnA. En elfet, celui-ci est dorAnavant bornA par Physiquement, cela traduit le fait que le taux de croissance d'une cavitA ne peut pas excAder un taux critique \

- par consAquent, le temps a rupture est lui-aussi bornA. La valeur minimale du temps a rupture est en elfet Agale quel que soit le maillage a

^Par la suite, nous serons amener & considArer cette quantity comme ce qu'on appellera 1'endommagement non-corrigA et que 1'on notera

^De la mAme maniAre, en mAcanique de la Assuration, la vitesse de propagation d'une Assure est bomAe.

29


- pour des chargements trAs lents impliquant des taux d'endommagement trAs faibles, le modAle est Aquivalent au modAle classique.

- le taux d'endommagement D est trivialement positif. Comme le taux de restitution d'Anergie —Y est une forme quadratique dAfinie positive, le second principe de la thermodynamique est done toujours vArifiA puisque —YD > 0.

2.2.2.1 Introduction de 1'effet retard

Le modAle classique a AtA dAcrit dans le paragraphe 2.2.1.1. L'introduction de 1'effet retard ne modifie que localement ces Aquations. En particulier, les relations entre la dAformation, la contrainte usuelle et la contrainte effective (donnAes par les Aquations 2.3 et 2.1) restent inchangAes. De mAme, la fonction g (voir Aquation 2.6) est identique; celle-ci ne permet plus de dAterminer 1'endommagement D en utilisant 1'Aquation 2.5 mais elle est Agale a ce qu'on appelle 1'endommagement non-corrigA (que Ton note D"c). Get endommagement non-corrigA correspond (au sup prAs de 1'Aquation 2.5) a 1'endommagement du modAle classique. L'endommagement avec effet retard est alors dAterminA en intAgrant le taux d'endommagement dAterminA avec 1'equation fondamentale du modAle qui permet d'introduire le retard.

| D"c = g (ej< D = ^ exp [-n (D"c - D)] s% D < ZT (2.11)I D = D^ smon

De la mAme maniAre que dans le paragraphe 2.2.1.1, un AlAment unique est soumis a une rampe de dAplacement . Les propriAtAs des matAriaux sont identiques a celles du paragraphe 2.2.1.1 rAsumAes dans le tableau 2.1 auxquelles s'ajoutent les valeurs des deux paramAtres de 1'effet retard i-c et o respectivement Agaux a 5ps et 10. L'endommagement retardA introduisant un effet temporel dans les Aquations, la simulation est rAalisAe pour diffArentes vitesses de solicitation. Les rAsultats sont tracAs sur la figure 2.4. Comme attendu, cette dApendance peut Atre interprAtAe comme une viscositA La figure 2.5 permet de 1'expliquer; la diffArence D"c — D entre l'endommagement non-corrigA et l'endommagement (qui intervient dans la dAtermination du taux d'endommagement (voir LAquation 2.11)) croit avec la vitesse de sollicitation, ceci dh au retard introduit dans le modAle. Or cette diffArence est aussi 1'image de la diffArence entre les rAsultats qui seraient obtenus avec un modAle classique (pour lequel la contrainte effective et la contrainte usuelle sont reliAes par (1 — D"c)) et ceux obtenus avec 1'effet retard (pour lequel elles sont reliAes par (1 — D)). La derniAre figure permet Agalement de retrouver le fait que pour

^Substituer un modAle visco-Alaatique endommageable au modAle & endommagement retardA ne permet cependant pas de rAsoudre le problAme de dApendance au maillage, nous le verrons par la suite. La viscositA mise en Avidence ici n'a d'ailleurs hen en commun avec la viscositA classique : 1'inHuence de la vitesse de dAformation est en gAnAral beaucoup plus faible et, surtout, le temps caractAristique de 1'effet retard est beaucoup plus faible que le temps caractAristique associA aux modAles visqueux classiques.

30


des chargements quasi-statiques (la ^ ici), le modAle a endommagement retards est equivalent au module classique: la difference entre les deux modules est inferieure a 0.01%.Lors d'un calcul sur plusieurs elements, lorsqu'une localisation de la deformation et de Tendommagement va s'initier dans Tun d'entre eux, la contrainte va done localement Atre augmentee, permettant ainsi d'endommager les elements voisins et d'Aviter une localisation a Techelle de Telement. Cette etude est effectuAe dans le paragraphs suivant.

x 107

----- 500s- - 250s

CL 3

deformation -3x 10

Fig. 2.4 - Courbe contrainte/deformation dans un element unique soumis a differentes vitesses de sollicitation. L'effet retard introduit une dependance a la vitesse de sollicitation. Les paramAtres de 1'effet retard choisis ici sont = 5/ts et o, = 10.

2.2.2.2 Exemple uni-dimensionnel

L'exemple uni-dimensionnel detaille par la figure 2.2 est a nouveau etudie avec un deplacement impose tel que la vitesse de deformation a Textremite libre de la poutre soit Agale a 250s"^. Les paramAtres du materiau Alastique endommageable sont les mAmes que dans la partis 2.2.1.1 (e'est-a-dire les valeurs donnAes dans le tableau 2.1, sauf la dAformation Alastique seuil qui est Agale a 1.32e — 3) auxquels s'ajoutent le temps caractAristique Agal a 2^g et le paramAtre o Agal a 10. La simulation est effectuAe pendant 20^g, e'est-a-dire le temps au bout duquel il n'y a plus devolution de 1'endommagement Les profils d'endommagement le long de la

^La longueur de la poutre a par ailleurs AtA choisie de telle sorte qu'il n'y ait pas de rAHexion d'onde. Le temps de calcul correspond done Agalement au temps mis par une onde Alastique pour traverser la barre intAgralement.

31


10

10"

oi <510 r'

cd :_co'CDo 10"3 r

Q :

10"4 r

10"0 0.5 1.5 2

deformation2.5

500s250s100s -1

x 103.53

1 3

Fig. 2.5 - Evolution de — D en fonction de la deformation et de la vitesse de deformation. A deformation hxee, plus 1'ecart — D est important, plus la contrainte correspondante a cette deformation est importante.

poutre obtenus pour trois niveaux de maillages differents sont traces sur la figure 2.6. On peut en deduire les conclusions suivantes :

- la zone compl&tement endommagee n'est pas reduite a un unique element (qui est le phenom&ne caracteristique de la dependance au maillage). Pour les maillages simules dans cet exemple, la taille de cette zone, ainsi que le profil general de Tendommagement le long de la poutre, restent inchanges lorsque le maillage est modihe.

- Tenergie dissipee par endommagement au cours du calcul est constante quel que soit le maillage.

Ces resultats permettent o priori de conclure que le module d'endommagement retarde evite la localisation artificielle de Tendommagement dans un unique element. Avant de poursuivre, le paragraphe suivant introduit la notion de longueur caracteristique souvent evoquee dans ce type de mod&le.

2.2.2.3 Notion de longueur caracteristique

La longueur caracteristique g@ dehnit comme la taille de la zone compl&tement endommagee. Cette notion n'a done de sens que lorsqu'un mod&le permettant d'eviter la localisation est utilise Dans le cas de Texemple du paragraphe precedent, f*"" est environ egal a 9mm.

^Pour un module classique, il a 6t6 montrA que la zone complAtement endommagee Atait toujours rAduite & un Aliment. Ainsi, la taille de cette zone tend vers zAro lorsque le maillage est rafline.

32


0.02 0.04 0.06poutre (m)

0.08 0.10

Fig. 2.6 - Proil d'endommagement le long de la poutre. RAsultats pour diffArents maillages pour le modAle avec effet retard. La zone complAtement endommagee a une longueur constante non-reduite a un element.

Etudier cette longueur se rAvAle intAressant dans la mesure od les modules classiquement utilises pour Aviter la dependance iintroduisent directement comme pa- ramAtre. (Test le cas des modules non-locaux consistant a integrer ou moyenner la deformation sur une zone de longueur definie [Pijaudier-Cabot et Bazant , 1988, Belytschko et Lasry , 1988, De Borst et Miilhaus , 1992] ou des modules dependant du taux de deformation plastique [Needleman , 1988, De Borst et al. , 1990]. Dans le modAle d'endommagement retarde, aucune longueur n'est introduite; (Test en effet un temps caractAristique qui est le principal paramAtre. Par ailleurs, en simulant a nouveau iexemple du paragraphe prAcAdent (avec les mAmes paramAtres et une poutre maillAe avec 500 AlAments) avec plusieurs vitesses de solicitation (voir figure 2.7), on constate que la longueur caractAristique Avolue avec la vitesse de solicitation. Multiplier le temps caractAristique du modAle par la cAlAritA des ondes c n'est done pas sufEsant pour obtenir une longueur caractAristique au sens des mo- dAles classiquement utilisAs pour Aviter la dApendance au maiiage.Avant d'Atudier plus en avant la longueur caractAristique, il faut garantir que les rAsultats sont bien indApendants du maiiage. La partie suivante propose done une Atude de iordre de convergence du modAle. File sera suivie d'une partie consacrA a iAtude uni-dimensionneie de la longueur caractAristique.

33


----- 100s----- 250s---- 500s

0.02 0.04 0.06 0.08poutre (m)

Fig. 2.7 - Profil d'endommagement le long de la poutre. Resultats pour differentes vitesses de sollicitation pour le module avec effet retard. La longueur caracteristique evolue avec 1'intensite de la sollicitation.

2.3 Convergence numerique

Les principals equations du module d'endommagement retarde ainsi que ses proprietes ont ete presentees bri&vement dans la partie 2.2. Cependant, rien ne garantit pour 1'instant que le module, m@me s'il semble donner des resultats independants du maillage, converge bien vers une solution fixe pour un maillage infiniment fin. L'objectif de cette partie est done de presenter 1'etude de la convergence numerique du module d'endommagement retarde dans le cas de la poutre uni-dimensionnelle [SufBs et al. , 2003a] presentee sur la figure 2.2 avec les param&tres donnes par le tableau 2.1 (sauf = 1.32e —3) auxquels s'ajoutent les valeurs des deux param&tres de 1'effet retard et o respectivement egaux a et 5. L'idee principale est d'analyser numeriquement 1'ordre de convergence du module d'endommagement retarde. L'etude porte a la fois sur la convergence en temps, la convergence en espace et la convergence en temps et en espace simultanement.Le schema numerique qui permet d'integrer 1'equation d'equilibre est le schema de Newmark aux differences centrees detaille dans le chapitre 1. Celui-ci est conditionnellement stable, e'est-a-dire qu'il existe une contrainte sur le pas de temps qui est en fait limite par un pas de temps critique Af"* au-dela duquel le calcul devient instable. Celui-ci est donne par la condition de Courant [Hugues , 1987] et est egal an temps mis par 1'onde elastique pour traverser 1'element de plus petite taille du maillage. Son expression est rappelee ici :

34

2.3. Convergence numerique

Af'* = — (2.12)

oil Aa; est le pas d'espace Cette limitation implique par ailleurs un couplage entre le pas de temps At inferieur a At^* et le pas d'espace Az (c'est-a-dire la taille des elements). MalgrA ce couplage, il est possible d'etudier d'une part la convergence en temps et d'autre part la convergence en espace. Ainsi, la premiAre analyse qui est menee est 1'Atude de la convergence en temps, puis celle de la convergence en espace. Les precautions a prendre dues an couplage seront detaillees dans les parties en question. Enfin, la convergence lorsque le temps et Tespace sont reduits de maniAre simultanee est etudiee.La mAthode utilisee pour dAhnir numeriquement 1'ordre de convergence est detaillee pour la premiere analyse, c'est-a-dire pour la convergence en temps. Elle est re- utilisee dans les deux analyses suivantes, pour la convergence en espace, puis celle en temps et en espace simultanement.

2.3.1 Convergence en temps

L'etude de la convergence en temps s'effectue a discretisation en espace fixe. II s'agit alors de determiner la vitesse de convergence lorsque 1'on diminue le pas de temps. De nombreuses etudes out d'ores et deja ete effectuAes dans le cadre des schemas numeriques de Newmark pour les problAmes lineaires. II a par exemple ete demontre de maniAre analytique que la convergence du schema explicite aux differences centrees est d'ordre 2 [Hugues , 1987]. On pourrait ici de la mAme maniAre tenter de dAterminer analytiquement 1'ordre de convergence en temps, mais il a AtA choisi, pour la convergence en temps comme pour celles qui suivront, de dAterminer Tordre de convergence a partir de rAsultats numAriques. Une prAsentation de la mAthode utilisAe ahn de dAterminer Tordre de convergence est exposAe dans un premier temps, puis appliquAe a la dAtermination de 1'ordre de convergence en temps.

2.3.1.1 MAthode de dAtermination de Tordre de convergence

L'ordre de convergence est dAfini en Avaluant TAvolution de Terreur lorsque le pas de temps diminue. On dAfinit 1'erreur T(z, t) localement en un point d'abscisse a; et a un temps t par :

T(a;,t) = x*-x(a;,t) (2.13)

oh est la solution 'AlAment hni' calculAe an noeud de position a; et an temps t et oh %(%, t) est la solution exacte a Tabscisse a; et a 1'instant t. Cette erreur est majorAe comme suit :

^Dans notre Atude, la poutre uni-dimenaioimelle est maill&e avec des AlAments de taille Az constante; on a ainsi immAdiatement que Az = Az™"\

35


|T(z,t)| < cAt^VtE [0,T] (2.14)

oR c est une constante et oR A; est 1'ordre de convergence.Selon 1'ordre de convergence, 1'erreur va done diminuer plus on moins vite. Supposons par exemple que le pas de temps soit divise par 2, un ordre de convergence Agal a 1 induira une erreur divisee par 2, un ordre de convergence egal a 2 une erreur divisee par 4, ...un ordre de precision egal a % une erreur divisee par 2\ On appelle niveau 1 le calcul effectuA avec un pas de temps At egal a la moitie du pas de temps critique Af"L Le pas de temps des niveaux dits superieurs (2 et plus) est alors egal a % est le niveau correspondant; il n'y a done aucune precaution particuliAre a prendre concernant le couplage impose par la condition de Courant, celle-ci Atant vAriRAe trivialement. En considerant les equations 2.13 et 2.14, 1'ordre de convergence pent Atre dAterminA a 1'aide de la solution numArique de deux calculs a deux niveaux successifs % et % + 1 et de la solution exacte comme suit :

Xzli %(a;,t) 0(($r)^)(2.15)

oR A; est 1'ordre de convergence. Classiquement, la solution %(%,t) n'est pas connue, il n'est done pas possible de dAterminer A; de cette maniAre. Cependant, deux differences successives donnent le mAme rAsultat. En effet, on a :

%M = 0((—)&) (2.16)

Ainsi :

Xili - Xili+1 _ (%ili - %(%,Z)) + (%(^,^) - X^|i+i) _Xik+i — Xili+2 (%ili+i — %(%,Z)) + (%(^,t) — x^li+a)

L'Atude de la convergence qui est proposAe ci-dessus s'applique indiffAremment a n'importe quelle variable %. La convergence pourra done Atre AtudiAe aussi bien en terme de dAplacement qu'en terme d'endommagement.

2.3.1.2 DAtermination de 1'ordre de convergence

ARn de dAterminer 1'ordre de convergence en temps, le maillage de la poutre uni-dimensionnelle est RxA pour 1'ensemble des calculs qui vont Atre effectuAs. La poutre est done composAe de 32 AlAments de taille Agale a Az. Comme dAtaillA dans le paragraphe prAcAdent, le 'niveau 1' du calcul correspond a une simulation avec un pas de temps At Agal a la moitiA du pas de temps critique Af™* imposA par la condition de Courant. C'est o przorz pour ce niveau que 1'erreur doit Atre la plus importante.

36

2.3. Convergence numerique

----- niveau 1/2------ niveau 2/3

------ niveau 3/4------ niveau 4/5------ niveau 5/6

poutre (m)Fig. 2.8 - Difference ties solutions on deplacement (eehelle logarithmique) entre deuxnivoaux successifs pour la convergence en temps.

I/ordre de convergence est done determine a partir du calcul de deux differences successives de la solution numerique. La variable n'a pas pour le moment ete explici- tee. L'erreur est classiquement calculee a Taide des deplacements [Hugues , 1987|, mais los dernieres etudes realiseos avec le modele d'ondommagomont a effet retard out montre Tinteret quo pouvait avoir la convergence do Vendommagement, notamment on co qui concorno la bonne determination do la longueur earaeteristique [SufBs et al. , 2003a, SufBs et Combescure , 2002b|. L'ordre de convergence sera done determine pour chacune de ses deux variables.Les figures 2.8 et 2.9 represented respectivement les differences successives selon les niveaux en terme de deplacement et tFendommagement le long de la poutre. Ces courbes sont plus ou moins oscillantes, ainsi une integrale de celle-ci le long de la barre doit permettre de mieux comparer les differences deux a deux; les resultats sont donnes dans les tableaux 2.2 et 2.3 9. La dornioro eolonne do cos tableaux correspond directement a 2^ oil t est Tordre de convergence pour trois calculs a des niveaux successifs. La conclusion est done quo la convergence on temps aussi bion on terme do displacement qu’en terme d'ondommagomont est d'ordro 2.

2.3.2 Convergence on cspacc

L'etude do la convergence on ospaco s'effectue a discretisation on temps fixe. La condition do stability du calcul nous impose do choisir judiciousomont lo pas do

^Unc integrale tcmporcllc pent egaloment etro offectueo. Les courbes etant rclativcmcnt similaires quel que soit le pas de temps, ceci ne change pas les conclusions.

37

2, L’endommagement a effet retard

----- niveau 1/2------ niveau 2/3

------ niveau 3/4------ niveau 4/5------ niveau 5/6

0.025 0.035 0.045

Fig. 2.9 - Difference des solutions en endommagement (echelle logarithmique) entre deux niveaux successes pour la convergence en temps.

Niveau Pas de temps Deplacement (en m)(TV = 32) AUi

A//,+i1 Alcr‘<

22 Q^e-tO 3.85

2 A/""'4 5.22^-" 3.97

3 Af""''8 1.3D-" 4.17

4 A/""''16 3.13^-^ 4.01

5 A/""'32 , 7 87^" ^ -

6 A/""''64

Tab. 2.2 - Integrate le long do la barre de la difference en terme de deplacement pour la convergence en temps et ordre de convergence corrospondant.

Niveau Pas de temps Endommagement(TV = 32) mr,

ADy+l

1 AlCTtl2 1.18^ 4.01

2 A/""'4 2.95^ 4.45

3 A/""''8 G.G4"-^ 3.G7

4 A/^''16 1.81^ 4.01

5 Af''32 ,

4.5D-S -6 64

Tab. 2.3 - Integrate le long de la barre de la difference en terme d’endommagement pour la convergence en temps et ordre de convergence corrospondant.

38

2.3. Convergence numisriquo

niveau 8/9 niveau 9/10 niveau 10/11

niveau 6/7 niveau 7/8

0.02poutre (m)

Fig. 2.10 - Difference ties solutions on deplacement (eehelle logarithmique) entre deux niveaux successes pour la convergence en ospaco.

temps. Celui-ci doit etre inferieur on egal an plus petit pas de temps critique des maillages qui seront etudies ici, e'est-a-dire le maillage le plus fin, correspondant an niveau le plus clove. Le niveau 1 correspond ici a un maillage do 1 element; Letude a quant a die etc moneo entre les niveaux 6 et 11 (soit de 32 a 1024 elements). Le pas de temps fixe a done etc choisi egal an quart du pas de temps critique du niveau 11 (voir equation 2.18).

11 A;r| 11 L4 4c 4c * 2 ^

(2.18)

La demarche qui est ensuite utilisee pour deduire Lordre de convergence est similaire a cello qui a etc presentee dans le paragraphe 2,3.1.1, Les courbes de differences entre deux niveaux successifs sont done traceos en terme de deplacement et d'endommagement sur les figures 2.10 et 2.11. Le temps auquel ces courbes sont traceos est le temps final du ealeul. Par aillours, le maillage varie ici d’un niveau a Lautre, Ainsi, les displacements sont uniquement compares aux nocuds communs entre les deux niveaux (done aux nocuds du niveau le plus faible). Pour Londommagomont, on compare la valour dim olomont du niveau i avoc la moyonno , do sos deux elements 'fils' du niveau i+1, Comme dans le paragraphe 2,3.1.2, cos valours sont intogroos lo long do la poutre; los rosultats corrospondants sont donnoos pour lo displacement et 1'cndommagcmcnt dans les tableaux 2,4 et 2,5 rospoctivomont.

Los rosultats obtains sont toujours triss satisfaisants on terme de displacement.

39




0.025 0.035 0.045poutre (m)

Fig. 2.11 Difference des solutions en endommagement (echelle logarithmique) entre deux niveaux successifs pour la convergence en espace.

Niveau Deplacement (en rn)

n q me-to q6 3.04^-10 3.597 i.or-'" 3.598 2 gge-U 3.509 8.07^ 3.2710 2.46^ -

11 - -

Tab, 2,4 - Integrate le long de la barre de la difference en terme de deplacement pour la convergence en espace et ordre de convergence correspondant.

Niveau EndommagementAt=M2ah1 ADj = |n|j - D|i+i| -a6 1.34^5 3.147 4.28^ 3.228 1.33^-6 2.939 4.54^-^ 2.7410 l.GG^ -

11 - -

Tab, 2,5 - Integrate le long de la barre de la difference en terme d'endommagement pour la convergence en espace et ordre de convergence correspondant.

40

2.3. Convergence numoriquo



poutre (m)Fig. 2.12 - Difference ties solutions on deplacement (eehelle logarithmique) entre deux niveaux succossifs pour la convergence en temps et en espace simultanement.

Cependant, los resultats on tonne d 'ondommagomont no pormottont pas do conclure a une convergence a 1'ordro 2 pour cotto variable, Co probleme pout notamment provenir du fait quo Ton offoctuo la moyonno do rondommagomont sur los deux elements 'fils'. On pout par aillours egalement romarquor la presence do bruit dans los resultats dont la poriodo spatialo ost procho do cello do la taillo dos elements ot dont ramplitude deeroit quand le niveau augmonto.

2.3.3 Convergence on cspacc ct cn temps

Xous otudions ici la convergence par rapport a la discretisation on temps ot la discretisation on espace simultanement. II suffit pour cola do roprondro co qui vient d'etre fait dans la partio 2,3.2 outre los niveaux 6 ot 11 on conservant cotto fois-ci le rapport ontro pas do temps ot pas d'espace (equation 2.19).

At2

A.r"2? (2.19)

En regard do co qui a oto fait procodommont, on dovrait rotrouvor uno convergence quasimont d'ordro 2. En offot, on sait d'oros ot doja quo la convergence ost (quasiment) d'ordro 2 on espace ot on temps independamment. Pour cola, on omploio encore uno fois la methode presentee dans la partio 2,3.1.1. Los resultats obtenus sont presentes sur los figures 2,12 ot 2,13 ainsi quo dans los tableaux 2,6 ot 2,7 on co qui concorno 1'integrate lo long do la barro.

41




0 045

Fig. 2.13 - Difference des solutions en endommagement (echelle logarithmique) entre deux niveaux successifs pour la convergence en temps et en espace simultanement.

Niveau/Af _ A/-"\

Deplacement (en m)

to<1 AUj

6 3.73C-'" 3.737 l.OQc-'" 3.G58 2.74C-" 3.329 7 78^ 3.3510 2 32C-12 -

11 - -

Tab, 2.6 - Integrate le long de la barre de la difference en termo de deplacement pour la convergence en temps et en espace simultanement et ordre de convergence correspondant.

Niveau(Af-T')

EndommagementAD, = AD,

AD,+i6 1.14C-5 2.927 3.91C-" 3.168 1.24C-G 3.049 4.07^7 2.7610 1.47C-7 -11 - -

Tab. 2.7 - Integrate le long de la barre de la difference en terme d'endommagementpour la convergence en temps et en espace simultanement et ordre de convergencecorrespond ant.

42

2.3. Convergence numArique

A la vue des rAsultats obtenus, il est clair que 1'ordre de convergence est supArieur a 1. Cependant, la convergence a 1'ordre 2 n'est pas aussi nette que lorsque Ton sApare rinduence de la discretisation en temps et en espace, et ce plus particuliArement pour la variable d'endommagement, a 1'image des resultat que Ton a pu obtenir sur cette mAme variable pour la convergence en espace. En effet, 1'ordre de convergence serait plus proche de 1.8 si on calcule un ordre de convergence moyen a partir des resultats de convergence sur le deplacement, alors qu'il n'est que de environ 1.6 sur 1'endommagement. Les phAnomAnes oscillatoires mis en evidence dans la partie precedente sur 1'endommagement se retrouve integralement ici que ce soit pour le deplacement on 1'endommagement. II semblerait done que 1'on puisse deduire directement a partir des deux etudes separees en temps et en espace la convergence globale d'un modAle. On pent toutefois conclure que 1'ordre de convergence est tout de mAme relativement satisfaisant par rapport a ce que Ton obtient classiquement avec les modAles les plus simples (en gAnAral, 1'ordre 1).

2.3.4 Conclusions

L'approche originale de cette partie a AtA de dAterminer numAriquement 1'ordre de convergence du modAle a endommagement retardA, plutot que de tenter de calculer cet ordre a partir d'une Atude analytique qui pent se rAvAler fastidieuse dans le cas des modAles non-linAaires. On a done AtudiA la convergence sous toutes ses formes; a la fois la convergence en temps, puis la convergence en espace et enfin la convergence en temps et en espace simultanAment. Une mAthode d'Atude numArique de 1'ordre de convergence a AtA mise en place dans un premier temps, puis, celle-ci a AtA appliquAe. Si la convergence en temps est nettement d'ordre 2 (que ce soit pour le dAplacement on rendommagement), il n'est pas du tout clair que la convergence en espace le soit Agalement. Ceci apparait en particular sur 1'Atude de rendommagement. Comme on pouvait s'y attendre a la vue des deux Atudes qui out AtA menAes sAparAment sur le temps et 1'espace, 1'Atude de la convergence en temps et en espace simultanAment n'est pas totalement concluante dans la mesure oh 1'ordre de convergence est infArieur a 2 a 1'image de ce que Ton a pu obtenir dans la partie 2.3.2.1/ordre de convergence global obtenu grace a cette mAthode de dAtermination est m /me d'environ 1.6. Ce rAsultat est somme toute satisfaisant dans la mesure oh il montre d'une part que le modAle converge bien vers une solution non-particuliAre et d'autre part que le modAle converge relativement vite par rapport aux modAles classiques qui sont gAnAralement d'ordre 1.

Cette partie permet done d'envisager a 1'avenir 1'usage de mAthode multi-grille, en controlant par exemple le niveau d'erreur lors d'un calcul. En effet, un modAle convergeant rapidement (a 1'ordre 2) requiert moins de niveaux de maillages done un temps de calcul plus court.

notion de niveau de maillage dans les m&thodes multi-grille est analogue & celle que nous avons utilisAe dans cette partie.

43


2.4 Determination nni-dimensionnelle de la longueur caracteristique

Jusqu'a present, seules les consequences du modAle a endommagement retardA sur le temps a rupture avaient AtA etudiees [Deii , 1997]. Nous avons introduit dans la partie 2.2.2.3 la notion de longueur caracteristique f*"" et Timportance de celle-ci. Cette longueur traduit, pour une solicitation donnAe, la taille de la zone complA- tement endommagee. Pour bien representer cette zone lors d'une simulation dynamique, il est done indispensable de choisir une taille d'AlAments plus petite que

II semble essentiel pour le numericien de pouvoir connaitre (on du moins de pouvoir Avaluer) avant de construire le maillage, ahn d'optimiser celui-ci par rapport an problAme pose. De la mAme maniAre, dans la perspective de Tusage de techniques numeriques adaptees (tel que les remailleurs automatiques on la decomposition de domaines), la connaissance de doit permettre d'optimiser an mieux le maillage dans les zones concernees par une evolution importante de Tendomma- gement.Cette partie propose done TAtude de la longueur caracteristique dans le cas dynamique uni-dimensionnel de la poutre Alastique endommageable soumise a une traction (voir la figure 2.2). L'objectif est de donner une formulation analytique de la longueur caracteristique [SufBs et Combescure , 2002a] uniquement fonction des paramAtres du matAriau, des paramAtres du modAle et des paramAtres du chargement imposA a la poutre. Le dAveloppement d'un modAle d'endommagement retardA simplihA s'est rAvAlA nAcessaire pour permettre de dAterminer cette formule. Elle sera obtenue aussi bien dans le cas d'une modAlisation discrAte (similaire a ce qui est fait avec les AlAments finis) que dans le cas d'une modAlisation continue. A Tissue de ce dAveloppement, les rAsultats analytiques et numAriques seront comparAs pour valider la formule analytique deRappelons encore une fois ici que ces travaux sont effectuAs dans le cadre dynamique auquel nous avons restreint Tensemble de notre Atude. Une analyse quasi-statique de la longueur caractAristique a par ailleurs rAcemment AtA effectuA par Allix et Al. [Allix et al. , 2003a].

2.4.1 Determination analytique de la longueur caracteristique

Les enjeux de cette dAtermination sont importants. En effet, elle permet de choisir o przorz la taille des mailles.Comme cela a AtA vu dans la partie 2.2, nous sommes en mesure d'Acrire Tensemble des Aquations qui rAgissent le problAme. Toutefois, la rAsolution de celles-ci semble inabordable, mAme a Taide d'un logiciel. II convient done dans un premier temps d'Atablir un modAle d'endommagement retardA simplihA; cette simplification va globalement conserver le fondement du modAle, a savoir limiter le taux d'endommagement par modifier la loi devolution de Tendommagement. Dans un souci desimplification toujours plus grand, TAtude sera limitAe a ce qu'il se passe an niveau du front de Tonde qui se propage dans la poutre. Cette simplification permet d'obtenir une formule analytique a partir d'une modAlisation continue. A partir de la

44

2.4. Determination uni-dimensionnelle de la longueur caractAristique

mAme simplification de la loi devolution de 1'endommagement, une etude avec un module discret a ete effectuAe [SufBs et Combescure , 2002a]; celle-ci, decrite dans rannexe A, donne des resultats identiques a 1'approche continue.

2.4.1.1 Module simplifiA d'endommagement retarde

2.4.1.1.1 Propriete du module simplifie Le taux d'endommagement borne defini notamment par Allix [Allix et al. , 1994, 1995] et par Deii [Deii , 1997] s'Acrit dans le cas du materiau Alastique endommageable decrit dans la partie 2.2 comme suit :

| = g (&e)< D = ^ (1 - exp [-G (D™ - D)]) D < (2.20)I D = smon

Pour resoudre le problAme, nous nous plagons au niveau du front d'onde. A cet endroit, 1'endommagement s'initie, puisque, avant que 1'onde passe, le materiau est vierge de tout endommagement (done D = 0). A ce moment, 1'equation 2.20 peut done s'Acrire :

D = ^ (1 - exp [-o (D"")j) = ^A(D"") (2.21)

La simplification du modAle consiste a remplacer la fonction A(D"^) suivante :

A(D"^) = 1 - exp [-o (D"^)] = (2.22)

par une fonction plus simple. L'approximation la plus simple de la fonction A(D"c) est une fonction Heavyside valant 0 pour un endommagement non-corrige inferieur a un endommagement non-corrige limite puis 1 dans le casoil Cette simplification est representee (en discontinu bleu) pourdeux valeurs du paramAtre o sur la figure 2.14. Sur cette figure, la valeur de 1'endommagement non-corrige limite, est choisie de telle sorte que Availle

Par ailleurs, les equations 2.6 et 2.20 traduisant la proportionnalite de 1'endommagement non-corrige a la deformation elastique 6g, ainsi que 1'Aquation 2.1 reliant deformation elastique et contrainte effective d permettent de definir de ma- niAre totalement Aquivalente A en fonction de la contrainte effective.

A(^) 1 — exp — #(J_E

sese

(2.23)

De la mAme maniAre que prAcAdemment, le modAle simplifiA qui transforme la fonction A en une fonction Heavyside introduit une contrainte limite c/"". Le choix

45

2, L’endommagement- a effet. retard

approximation de h(Dnc)

1 1.5 2endommagement non-corrige

Fig. 2.14 - Module d’endommagement- initial (eontinu noir) et simplifie (diseontinu bleu) pour deux valeurs du parametre a. Le de la function Heavyside fixepour le moment correspond a = 1, c’est-a-dire ^'') ^

de ccttc contrainte est detaille ulterieurement (voir paragraphe 2.4.1.1.2). On obtient finalement- pour le module simplifie utilisant ohm :

D = 0 .sa a < a'"" D = .sa a > a'""

(2.24)

La simplification de la function h(d) est representee (en diseontinu bleu) sur la figure 2.15 pour deux valeurs du parametres a. Les valeurs des parametres du material! associe sont celles donnees dans le tableau 2.1 (excepte qui vaut 1.32e —3)-

Rappelons ici que le modele simplifie, ainsi que 1’etude qui va suivre, ne s’int-O ressent qu’aux quantities an niveau du front d’onde. Lors de la propagation de Tonde, le modele simplifie ne permet de distinguer que deux cas :

- cas 1 : soit la contrainte effective an niveau du front d’onde 11 est inferieure a la contrainte limit-e et alors l’endommagement n’evolue pas, L’onde est alors purement elastique, elle se propage a la celerite c dans la poutre en conservant sa valeur.

- cas 2 : soit la contrainte effective an niveau du front d’onde est superieure a la contrainte limit-e et- alors le t-aux d’endommagement est- egal a Dans ce

^^Notons qu'a cc moment, rcndoimnagcmcnt s'initiant, la contrainte effective cat egalo a la contrainte usuollo.

46

2,4, Determination uni-dimensionnelle de la longueur earaeteristique

contrainte effective (MPa)

Fig, 2,15 - Modele d ’endommagement initial (eontinu noir) et simplifie (diseontinu bleu) pour deux valours du paramotro a represente en function de la contrainte effective. Le a'"" de la function Heavyside fixe pour le moment correspond a A(a'"") 2^

cas, la contrainte effective est affect ee par revolution de 1’endommagement, le niveau de contrainte de Fonde qui se propage diminue.

L’object if est done de determiner la distance pendant laquelle "Fonde d’endommagement" se propage, e’est-a-dire la distance an bout de laquelle on passe du ca.s 2 (propagation de rendommagement) an ca.s 1 (plus de propagation de rendommagement), En fait, cola n’ost pas tout a fait vrai, dans la mesure on ee modele no pormot pas de dire qu’un element qui commence a s’endommager lors du passage de Fonde do contrainte va attoindro un endommagement total egal a Dc. Cost Fhypothese quo nous faisons ici : un element qui commence a s’endommager lors du passage do Fonde eontinuera done jusqu’a endommagement total, Ainsi, la distance qui sera dotorminoo oquivaudra diroctomont a la longueur earaeteristique

Pour resumer, le modele simplifie s’oerit finalement on un point x do la barre et au moment T = ^ (temps qui correspond a Finstant du passage do Fonde) :

D = 0 Vt > T sa a < a'""D = sgu'a endommagement totaZ a > a'"" oil

(2.25)

oil a ost la contrainte effective on ,r au temps T.Reste pour totalement definir le modele simplifie d’endommagement rotarde a ox- plicitor la notion do contrainte limito a'"" quo nous avons introduit.

47


2.4.1.1.2 Choix de la contrainte limite Comme nous venous de le voir, la contrainte limite c/*™ correspond a la contrainte au-dela de laquelle le taux d'endommagement vaut II est bien evident que la simplification qui a ete effectuee ne permet de representer le mod&le que partiellement. Deux valeurs extremes de doivent cependant permettre d'encadrer les resultats qui seraient obtenus avec le module complet. Get encadrement, ainsi que les hypotheses de la simplification, seront verifies par la suite en comparant les resultats analytiques a des resultats numeriques.On choisit done deux valeurs ahn de delimiter, une fois que la formulation analytique sera obtenue, un domaine dans lequel le resultat devra se trouver. La contrainte effective minimale qui correspond a 1'initiation de l'endommagement est choisi par la formule suivante :

o, Se

La contrainte limite maximale est par ailleurs choisie comme valant

(2.26)

a771&T Eo

(2.27)

Ce niveau de contrainte en front d'onde entraine en effet, avec le module a endommagement retarde sans simplification, un taux d'endommagement D egal environ a 95% de sa valeur maximale Les deux fonctions Heavyside correspondantes du module simplihe ainsi que le mod&le complet sont represents (en discontinu rouge) sur la figure 2.16 pour deux valeurs du param&tre o. On remarque en particular que :

- la borne inferieure est independante de o. En effet, celle-ci est hxee par la contrainte effective correspondant a 1'initiation de l'endommagement, qui est un param&tre du materiau independant des param&tres de 1'effet retard.

- plus le param&tre o augmente, plus les bornes inferieure et superieure sont proches.

Ceci nous permet d'interpreter differemment la borne inferieure du module simplihe mis en place : elle correspond en fait an module d'endommagement retarde classique avec une valeur de param&tre o infinie. En effet, la fonction h(d) de 1'equation 2.23 tend bien vers une fonction Heavyside (delimite par = Ee^) lorsque a tend vers +00.

2.4.1.1.3 Bilan pour le module simplihe d'endommagement retarde Le module simplihe est maintenant mis en place. II est caracterise uniquement par la donnee des :

- param&tres a et de 1'endommagement retarde.- contraintes limites minimale et maximale et qui se deduisent sim-

plement des donnees materiaux classiques.En un point donne, il sufht done de connaitre le niveau de contrainte A<r an

moment du passage de 1'onde en ce point, puis d'appliquer le mod&le simplihe d'endommagement retarde, pour savoir si 1'endommagement va evoluer on non.

48


critmax a=5

critmax a=1

contrainte effective (MPa)

Fig, 2,16 - Modele d 'endommagement initial (eontinu noir) et simplifie (diseontinu rouge) pour deux valours du parametre a. Los functions Hoavysido correspondent aux homes du modele, e'est-a-dire a une contrainte limite ogalo soit a soit a

2,4,1,2 Determination sur un modele eontinu

L'object if de cette partie est de determiner une formule analytique de la longueur earaeteristique Les principaux outils et hypotheses utilises sont :

- les equations generales de la mecanique des milieux continus.- le modele d'endommagement retarde simplifie mis en place dans les para-

graphes precedents.- la limitation de hetude an niveau du front de Vonde, e’est-a-dire en x = ct.- la sollicitation caracterisee par le niveau de Vonde de contrainte qu’elle en-

gendre, a savoir A<r.

Les principales equations, a savoir la relation de eomportement, Vexpression de la deformation, le lien entre contrainte usuelle et contrainte effective, Vequation d’equilibre et la loi devolution simplihee de Vendommagement retarde, qui vont servir sont rappelees iei, Les variables x et t correspondent respectivement a la variable en espace et a la variable en temps.

49


d(a;, t) = Egg(a;, t)e,(x,t) = i#2

o-(a;, t) = (1 - D(a;, t))d(a;, t)

^ D = 0 Vt > T st d < cr^'"

| D = -L jusgu'd rupture st d > cr^'"

En recombinant ces equations, et notamment en injectant les trois premi&res equations dans 1'equation d'equilibre , il est possible d'obtenir une equation differentielle du second degre uniquement fonction de la contrainte effective d et de 1'endommagement D.

^(d(a;,t)(l —D(a;, t))) _ p^d(a;, t) _ 1 c^d(a;, t)(2.29)

En reecrivant les derivees partielles sous la forme de limite, il est possible de reecrire 1'equation differentielle 2.29 sous la forme de 1'equation 2.30.

lim»0

1da;^

d(a; + da;,t)(l — D(a; + da;,t)) —2d(a;,t)(l — D(a;,t))

+d(a; — da;, t)(l — D(a; — da;, t))

)

= — lim1

dt^ (d(a;, t + dt) — 2d(a;, t) + d(a;, t — dt)) (2.30)

Nous suivons le front de 1'onde pour lequel les variables a; et t sont done liees par la celerite des ondes : a; = ct. De m@me, on peut ecrire que :

da; = cdt (2.31)

La poutre etant, avant le passage de 1'onde, dans son etat initial, il existe un certain nombre de simplifications ^ :

'd(a; + da;,t) = 0 D(a; + da;,t) = 0 d(a;, t — dt) = 0

^D(a;,t — dt) = 0

(2.32)

De plus, vu le module d'endommagement simplifie considere :

^^Ces simplifications dAcoulent du fait que contrainte effective et endommagement sont nuls devant le front, e'est-a-dire pour les points de coordonnAes (z + dz, t) et (z, t - dt).

50

2.4. Determination uni-dimensionnelle de la longueur caractAristique

lD(a;,t) = 0j^D(z — dz,t) = D(z — cdt, t) = ^

En prenant en compte 1'ensemble des simplifications proposees par les equations 2.32 et 2.33 et en remplagant grace a Tequation 2.31, Inequation differentielle 2.30 Acrite sous forme de limite peut se reecrire sous la forme suivante :

Fd(a; —cdt,t)—d(a;, t + dt)lim -------------------------------------dt—?-0 clt

— lim d(a; — cdt,t) (2.34)

Si Ton note # la contrainte effective au niveau du front de Tonde qui est uniquement fonction du temps t (ou uniquement de %) et en repassant sous la forme differentielle classique, on obtient finalement une nouvelle equation differentielle, mais du premier ordre cette fois, a laquelle on ajoute les conditions initiales, a savoir que la contrainte effective au debut de la sollicitation, c'est-a-dire au niveau de Textremite libre, est Agale a la contrainte A<r :

da(t)

d^(O) = A<r(2.35)

La solution de cette equation differentielle s'obtient simplement et vaut :

<r(t) = Acrexp ^(2.36)

Cette solution est valable tant que Tendommagement se propage dans la poutre, c'est-a-dire tant que d > Ainsi, on peut en deduire un temps limite correspondant a 1'arrAt de la propagation de Tendommagement; la longueur caracteristique f*"" s'obtient en multipliant ce temps limite par la celerite des ondes c.

^car ct

T^ln

cr^ln

A<r

' A(T

(2.37)

(2.38)

Cette longueur caracteristique est done proportionnelle a la vitesse des ondes Alastiques c d'une part et au temps caracteristique du module d'endommagement retarde d'autre part. Le niveau de la sollicitation A<r intervient mo 1'intermediaire d'un logarithme. C'est Agalement dans le logarithme, au denominateur, qu'intervient la contrainte limite c/"". Lorsque 1'on considAre la contrainte limite minimale on a done un majorant de la longueur caracteristique et reciproquement un minorant si on considAre II est done maintenant possible de comparer les bornes dumodAle analytique a des rAsultats numAriques.

51


2.4.2 Validation du models analytique

Cette partie presente la validation de T expression analytique de la longueur caractAristique a partir d'Atudes numAriques. II s'agit, d'une part, de valider dans la mesure du possible les hypotheses qui out ete faites pour construire le modAle d'endommagement retardA simpliEA et, d'autre part, de montrer que les homes analytiques encadrent effectivement les rAsultats numeriques. A Tissue de cette validation, une analyse de Tinfluence des paramAtres de Teffet retard o et est effectuAe. Dans ce paragraphe, Texemple de la poutre encastree soumise a une sollicitation (voir la figure 2.2) est repris une nouvelle fois. Comme cela a ete vue sur la figure 2.7, selon la rampe du deplacement impose (ou de maniAre Aquivalente, selon T effort imposA), la longueur caractAristique varie et peut Atre dAterminAe. II s'agit done ici de dA- terminer numAriquement cette Avolution et de la comparer au rAsultats analytiques proposAs. Les rAsultats prAsentAs ici sont par ailleurs Agalement commentAs dans [SufEs et Combescure , 2002a, SufEs et al. , 2003a, SufEs et Combescure , 2003c]. Les propriAtAs du matAriau sont donnAes dans le tableau 2.1 (sauf Cg = 1.32e —3). La longueur de la poutre est choisie de telle sorte qu'il n'y ait aucune rAEexion d'onde. EnEn, les paramAtres o et de Teffet retard sont respectivement Agaux a 10 et 5/43. L'Atude de convergence effectuAe dans la partie prAcAdente garantie par ailleurs que les rAsultats numAriques obtenus convergent rapidement; on se contentera done ici de choisir un maillage sufEsamment En pour reprAsenter correctement la zone endommagAe.

2.4.2.1 VAriEcation des hypothAses

Un certain nombre d'hypothAses out AtA faites lors de la mise en place du modAle d'endommagement retardA simpliEA :

1. lorsque Tonde passe, le modAle d'endommagement retardA simpliEA n'autorise que deux taux d'endommagement (correspondant a la fonction Heavyside) selon la valeur de la contrainte : 0 ou

2. une fois qu'une zone commence a s'endommager, elle s'endommage totalement (avec un taux d'endommagement de permettant ainsi de limiter TAtude au niveau du front de Tonde.

II est possible de vAriEer que les rAsultats d'une simulation concordent, ou du moins restent proches, du domaine de validitA de ces hypothAses. Une simulation est done effectuAe avec le matAriau modAle dAcrit prAcAdemment et une contrainte imposAe a TextrAmitA Agale a 100M_Po. Dans un graphique espace-temps, la Egure 2.17 donne TAvolution de Tendommagement. Sont tracAes en particulier les courbes d'iso-endommagement a 1%, 20%, 40%, 60%, 80% et 100% de Tendommagement critique (ici Agal a 1). Pour un temps donnA, cette Egure donne done le proEl d'endommagement le long de la poutre; pour un point donnA, elle donne Involution de Tendommagement en ce point. La longueur caractAristique correspond alors a la distance atteinte par Tiso-endommagement a 100%. Apparait Agalement sur cette Egure le rAsultat obtenu par le modAle analytique avec pour contrainte critique. FidAlement au modAle analytique, on a done une onde d'endommagement

52

2,4, Determination uni-dimensionnelle de la longueur caracteristique

qui so propage avec Fondo de contrainte sur une distance donnoo par la formule 2.38. Apros le passage de Fondo, le taux d'ondommagomont reste egal a ^ jusqu'a Fendommagement total, c’est-a-dire que les iso-endommagements sont des droites parallolos de pente la vitesse des ondes c.

0.015

0.005

V./ co .v

temps (gs)

Fig, 2,17 - Isovalours d 'ondommagomont pour un resultat numerique ot pour le modele analytique

La comparaison de ces deux resultats valide a posteriori les hypotheses offoc- tueos pour obtenir la formulation analytique. La premiere constatation a faire ost que riso-endommagement a 1% a une pente egale a e; il ne semble done a priori pas impossible do limiter F etude an niveau du front do l’onde. On note egalomont quo, pour les simulations, dans la zone qui va complotomont s'ondommagor, le taux d' ondommagomont ost proche do sa valour maxim ale -L qui n'ost autre quo cello du modele simplifie, Los iso-endommagements obtenues numeriquomont out effectivement des pentes proches de c dans cette zone. Feissel [Feissel , 2003a| a egalement montre que, pour des sollicitations dynamiques, le taux d'endommagement dans cos memos zones etait tros proche du taux d'ondommagomont maximum Los hypotheses 1 ot 2 semblent assoz raisonnables,

2,4,2,2 Comparaison outre resultats analytiquos ot numeriques

La figure 2.18 presente simultanement les longueurs caracteristiques numeriques (un point par simulation) et analytiquos (los deux droites limitos du modolo) on fonction do Act qui ost le niveau do contrainte impose a Vextremite, Los contraintes limitos associoos aux deux homes analytiquos sont choisios on apphquant los for- mulos 2.26 ot 2.27; numeriquomont, on obtiont done los valours suivantos : =7o.24M.Pa ot = 101.232H7Pa. Sur la figure 2.18 pour laquollo on considoro uno

53


Achelle logarithmique pour les contraintes, les bornes analytiques sont done les deux droites de pente cr^ et coupant 1'axe des abscisses en et

EECD3O"

'■s

18=3CD=3CDCo

60

40

20

0102 103

A a (MPa)

Fig. 2.18 - Evolution de la longueur caractAristique. Comparaison entre les resultats numeriques (points) et les bornes analytiques (droites en pointillAs). Dans 1'ensemble, les resultats numeriques sont bien compris entre les bornes obtenues gr&ce au modAle analytique.

On constate que pour des contraintes realistes la longueur caracteristique est d'abord quasiment confondue avec la borne analytique superieure (correspondant a la contrainte limite inferieure). Ensuite, elle se rapproche progressivement de la borne analytique inferieure. Ces resultats sont done trAs satisfaisants; en effet, 1'objectif Atait d'obtenir une approximation de la longueur caracteristique afin de choisir au mieux le rafEnement du maillage en fonction de la taille de la zone endommagee.

D'autres series de simulations utilisant differents couples de param&tres de Teffet retard ont ete effectuees notamment dans [SufEs et Combescure , 2002a]. Elies ont permis, d'une part, de montrer que la qualite des resultats etait conservee et, d'autre part, de determiner TinEuence de chacun des paramAtres. Ces resultats sont resumes sur la figure 2.19 od ne sont presentees que les bornes analytiques. Les bornes presentant 1'influence du temps caracteristique sont en rouge, cedes presentant rinfluence du paramAtre o en bleu. Les paramAtres de rAfArence (qui correspondent a ceux de la figure 2.18) restent en noir. II est ainsi possible de constater que :

- plus le temps caractAristique est AlevA, plus la longueur caractAristique est grande (a contrainte imposAe Agale). On retrouve en particular, pour le cas

^C'est-a-dire des contraintes du m&ne ordre de grandeur que la contrainte correspondant & rendommagement total pour le module classique (done en quasi-statique). Dans notre cas, cette contrainte correspond & et vaut environ 160Mfn.

54


limite oil le temps earaeteristique tend vers 0, le resultat du modele d’endommagement elassique sans effet retard, a savoir une longueur earaeteristique nulle. Ceei s’interprete tres faeilement par la formule analytique de la longueur earaeteristique f'™'" (voir equation 2.38); est en effet proportionnelle a Tp

- lorsque a diminue, f intervalle entre les deux homes augmente et la longueur earaeteristique a tendance a diminuer. Pour le eas limite oil a est tres grand, les homes analytiques inferieure et superieure sont quasiment eonfondues. On retrouve done les eonelusions du paragraphe 2.4.1.1.2 , c’ost-a-diro que le modele d’endommagement retarde est dans ee eas equivalent an modele simplifie avee eomme eontrainte limite.

60

EE,CD=3O"to 40'(DOg03O=30)ro 20Co

0

Fig. 2.19 - Influenee des parametres a et sur la longueur earaeteristique. Les homes pour les parametres de reference sont en noir. Cellos oil le temps earaeteris- tiquo a ete modifie apparaissent en rouge. Enfin, lorsque le parametre a est modifie, seule la borne inferieure est modihoo; olio est tracee on bleu.

,.‘3=2

. :5-:x =2gs

■. w "X'=1 |XS

10 10"A a (MPa)

2.4.3 ConclusionsDans un souci do pouvoir choisir judicieusement la finesse du maillage avant

d’effectuer une simulation, la determination approximative a priori do la longueur earaeteristique £car somblo interessante. Afin d'ohtonir une formule analytique simple donnant en function des differents parametres, un modele simplifie conservant la prineipale propriete du modele d’endommagement retarde, a savoir la limitation du taux d’endommagement, a d’abord ete mis en place. Xo nous interessant qu’aux evenomonts an niveau du front do l’onde, la formule analytique 2,38 a ete obtonuo, d’uno part, commo la limite d’un modele discrot semblable aux elements finis et,

55


d'autre part, directement a partir d'une etude sur un module continu. L'importance du choix de la contrainte limite a ete mis en evidence; deux valeurs permettent d'encadrer correctement les resultats.

Le materiau support de 1'etude effectuee ici, un materiau elastique endommageable, reste toutefois simple en regard des materiaux que nous serons amenes a etudier dans la suite de notre etude, des materiaux elasto-plastiques, voire visco- plastiques endommageables. Un autre etude [SufEs et Combescure , 2002a] a par ailleurs montre que, pour ce qu'on a appele des contraintes realistes, le mod&le conserve tel quel donnait encore des resultats satisfaisants, c'est-a-dire que bapproximation de la longueur caracteristique est correcte, pour ces types de materiaux plus complexes.

Ayant desormais a disposition un outil qui nous permet, connaissant le niveau de contrainte Acr, de determiner la taille des elements A% adequate pour representer au mieux la zone endommagee, une possibilite d'amelioration est d'utiliser des techniques de remaillage automatique en cours de calcul. C'est-a-dire que connaissant le niveau de contrainte A<r a un instant t de la simulation, le code remaille automatiquement la zone concernee avec la taille d'element adequate.Dans le m@me ordre d'idee, 1'usage d'une methode multi-grille est simpliEe. Au lieu de comparer deux a deux les niveaux de maillages successifs jusqu'a satisfaction de la condition sur le niveau d'erreur, il est possible de choisir immediatement comme niveau initial celui correspondant a la taille d'element A% donne par le mod&le analytique.Enhn, 1'etude presentee dans cette partie est une etude uni-dimensionnelle. La notion de longueur caracteristique en deux dimensions, et done o /ortzorz en trois dimensions, est plus delicate a apprehender. II serait done souhaitable, de mani&re analogue a ce qui a ete fait en uni-dimensionnel, d'etre capable de dehnir une surface caracteristique ou encore un volume caracteristique. Ces etudes sont laissees en perspective et nous nous contenterons dans la suite de 1'etude d'utiliser la formule analytique de dans les cas de chargement uni-dimensionnel ou dans les cas qui s'en rapprochent.

2.5 Implantation nnmeriqne

Dans le cadre des partenariats de la th&se, le CEA Saclay, la SNECMA, 1'INSA de Lyon, et dans le cadre des materiaux vises par cette etude, les metaux elasto- plastiques ou visco-plastiques endommageables, nous avons choisi d'implanter le module d'endommagement dans un code de calcul qualihe d'industriel, et ce pour un type de module correspondant aux diverses attentes. Ceci nous a amene naturelle- ment a choisir le code de dynamique explicite Europlexus developpe conjointement par le CEA Saclay et le Join Research Center, ainsi que le module de plasticite couplee a 1'endommagement [Lemaitre , 1996a, Lemaitre et Chaboche , 1996b] developpe dans ce code. Cette partie a done pour objectif de presenter 1'implantation numerique de 1'endommagement retarde dans ce code, et plus precisement dans ce type de mod&le.

56

2.5. Implantation numerique

Comme cela a ete vu precedemment, rintroduction du retard ne bouleverse pas fon- damentalement les equations du mod&le. I/implantation du module a done consiste a modifier Timplantation existante [Strub , 1991, 1998, Merelo et Strub , 1998] pour qu'elle puisse prendre en compte de mani&re optionnelle Teffet retard dans Ten- dommagement. Les equations du mod&le de plasticite couplee a Tendommagement retarde sont done presentees dans un premier temps. Leur implantation numerique est ensuite detaillee. Enfin, un exemple bi-dimensionnel utilisant ce mod&le est simule a Tissue de cette partie, notamment pour montrer a nouveau, mais en deux dimensions et en plasticite cette fois, les capacites du mod&le d'endommagement retarde a resoudre les probl&mes de la dependance des resultats vis-a-vis du maillage.

2.5.1 Plasticite couplee a Tendommagement retarde

2.5.1.1 Equations du mod&le

Lorsque Ton introduit Teffet retard (tel qu'il est decrit precedemment dans la partie 2.2 ou dans les articles de la litterature qui s'y interessent [Deu , 1997, Allix et al. , 1999, SufEs et Combescure , 2002b, SufEs et al. , 2003a]) dans un module elastique endommageable, nous avons vu que les equations du mod&le n'etaient que peu modiEees. De la m@me fagon, Tintroduction de Teffet retard dans la plasticite de von Mises couplee a Tendommagement n'inEue que de mani&re limitee sur les equations du mod&le [SufEs , 2002c, SufEs et Combescure , 2003b]. Celles-ci, dans le cas classique de Tendommagement sans effet retard, ont notamment ete ecrites par Lemaitre et Chaboche [Lemaitre , 1996a, Lemaitre et Chaboche , 1996b].Ainsi, Tensemble des equations sont conservees, Tendommagement qui etait calcule classiquement auparavant (dit desormais "non-corrige" et note D"^) permet alors de determiner le taux d'endommagement de Tendommagement D du nouveau module um Tequation fondatrice du module d'endommagement retarde 2.10.

Dans le cas de la plasticite de von Mises couplee a Tendommagement, la fonction de charge / est deEnie par Tequation 2.39 oh <7^™ est la contrainte de von Mises et <7% + 7Z(A) la limite elastique augmentee de Tecrouissage (A est le multiplicateur plastique).

/ = i^ - 7Z(A) - ^ = 0 (2.39)1 — u

La loi d'ecoulement associee, permettant de deEnir le taux de deformation plastique e'p, s'ecrit comme suit :

; a/ 3 A" 21 - D (7^^ (2.40)

oh <7^ est le deviateur du tenseur des contraintes. On en deduit facilement le taux de deformation plastique cumulee p :

57


PA

1 — Z)(2.41)

De la mAme maniAre, le taux d'endommagement sans effet retard que Ton note Z)"^ pent Atre dAduit du potentiel de dissipation par endommagement (Aquation 2.42). gp et reprAsentent respectivement le seuil et la valeur critique de la dAfor- mation plastique. Le rapport de la pression hydrostatique par la contrainte de von Mises correspond an taux de triaxialitA.

(1 + z/) + 3(1 — 2z/)

-A^ (1 v

P > ^

1+3(1 2z/) A1-D

(2.42)

Enfin, la dAcomposition additive du tenseur de dAformation en une partie Alas- tique et un partie plastique ainsi que la loi de Hooke (le tenseur de Hooke est notA ZZ) s'Acrivent :

6 — (2.43)(T= (1 - D)ZZgg (2.44)

Si on considAre D = ces Aquations dAfinissent le comportement d'un ma- tAriau plastique endommageable sans effet retard. Introduire keffet retard dans ces Aquations consiste seulement a dAterminer kendommagement non-corrigA a kaide de kAquation 2.42, puis a calculer le taux d'endommagement (avec effet retard) a kaide de kAquation fondamentale du modAle d'endommagement retardA que kon rappelle ici :

D = ^ (^p [-o (D"^ - D)]) D < D = smon

(2.45)

Que kendommagement soit retardA ou non, on peut d'ores et dAja remarquer que, comme dans le cas Alastique endommageable (voir partie 2.2), le second principe de la thermodynamique est satisfait. En effet, on vArifie toujours —YD > 0 od —Y est le taux de restitution d'Anergie. Dans le cas od kendommagement n'est pas retardA, kendommagement dArive du potentiel de dissipation par endommagement

(voir Aquation 2.42). Lorsque kendommagement est retardA, ne correspond plus a ce potentiel. Cependant, en utilisant la transformAe de Legendre-Fenchel [LadevAze , 1996], il doit Atre possible de remplacer les Aquations 2.42 et 2.45 par kunique Aquation 2.46 od la fonction reprAsente alors effectivement le potentiel

58


de dissipation par endommagement. L'existence de cette fonction sera ici supposee mais elle ne sera pas determinee.

(2.46)

smon D = 0

L'ensemble de ses equations permettent done de modeliser la plasticite de von Mises couplee a I'endommagement retarde ou non. II s'agit maintenant de voir comment ce mod&le a ete implante dans le code de dynamique explicite Europlexus.

2.5.2 Integration numerique du modele

Comme cela a ete indique precedemment, le module de materiau avec plasticite de von Mises isotrope et endommagement est d'ores et deja implante dans Europlexus [Europlexus , 2002]. Cette implantation a ete reprise des programmes existants sur les logiciels Castem2000 et Plexus [Strub , 1991, 1998, Merelo et Strub , 1998]. L'implantation telle qu'elle a ete effectuee dans Europlexus pour la plasticite de von Mises couplee a I'endommagement a done ete modihee pour permettre d'introduire un effet retard. Dans le souci, d'une part, de ne pas obliger 1'utilisateur a utilise I'endommagement retarde et, d'autre part, de permettre au code de continuer a eflectuer les anciennes simulations sans changer le jeu de donnees, Teffet retard a ete introduit comme une option au code existant. L'implantation numerique est cependant presentee dans son ensemble.

2.5.2.1 Methode generale utilisee

Le probl&me que 1'on se pose est le suivant. Toutes les quantites sont supposees connues a un instant t» et le but est de determiner la valeur de ces quantites a 1'instant t» + At (oh At est petit...) connaissant 1'increment des deformations totales As. L'increment des deformations totales As a ete determine a Tissue du pas de temps precedent grace a Tecriture de Tequilibre et a un schema de Newmark aux differences centrees (d'oh le caract&re explicite du code). L'objectif est done de resoudre, en fait d'integrer, les equations qui regissent le module (equations 2.39 a 2.46) pour une valeur de e hxee.

Les equations qui vont nous permettre de determiner les quantites au temps tn + At sont deduites des equations 2.43, 2.44, 2.40 et 2.46 en les mettant sous leurs formes differentielles.

6 =d = (1 - D)% -

(2.47)

a* Tendommogement est retorde, = — A-g^ smon

59


que Ton rAAcrit sous forme incremental :

<

*sz rendommogement est retorde, = —AA%^.

e l-D<7

(2.48)

Ce systAme peut alors Atre dAcomposA en deux sous-systAmes; le premier Alas- tique et b autre plastique [Crisheld , 1991, 1997]. La dAcompositiondusystAme conduit a la mAthode d'intAgration suivante :

Les Aquations du systAme Alastique sont d'abord intAgrAes. On obtient ainsi une "estimation Alastique" des variables du modAle. Celle-ci sert de condition initiale lors de TintAgration des Aquations du systAme plastique au cours de laquelle les contraintes calculAes Alastiquement sont ramenAes sur la surface de charge.

2.5.2.2 SystAme Alastique

Le systAme Alastique est obtenu en reprenant le systAme d'Aquation 2.48 oh bon considAre que seules les variables relatives a bAlasticitA Avoluent. C'est-a-dire que bincrAment de dAformation plastique, bincrAment de multiplicateur plastique et bin- crAment d'endommagement sont nuls dans ce systAme.

As = Agg + Agp Arr = (1 — D)7f Agg

(2.49)Agp = 0AA = 0 AD = 0

Le taux de dAformation Alastique est directement Agal au taux de dAformation totale. On a alors simplement bestimation Alastique des contraintes. On dAtermine alors trivialement les estimations Alastiques (indicAes (°)) au temps Si, a ce niveau, la condition < 0 calculAe a partir de bAquation 2.39 est vArihAe, les quantitAs calculAes correspondent a celle du temps sinon, il faut rAsoudre le systAme plastique.

2.5.2.3 SystAme plastique

Partant de bestimation Alastique, le systAme plastique impose un incrAment de dAformation nulle (il a dAja At A pris en compte lors du systAme Alastique). Le systAme suivant est alors obtenu :

60

2.5. Implantation numArique

f Ac Act As AD

A&P -|- A&.; 0(1 - D)#Aep

3 AA a'd1-D AD

(2.50)P — 2 1-Dcr^

-AA^^ at Z'endommogement est retorde, -AA stnon

En remplagant Agp et AD par leurs expressions, on obtient un systAme oh seul AA apparait dans les termes de droite.

As = Agg + Agp = 0Act = AA[—(1 — D)jf^YZD^r + i-D Z'eMdommogement est retorde,

< A(r = AA[-(l-D)jd|^^ + ^^]smon (2.51)

Af — 3_AA__zf_^Akp — g ^ ^AD = — AA^^ st t'endommogement eat retorde, = — AA^^ smon

L'objectif est de determiner AA et done, grace an systAme ci-dessus, Tensemble des variables an temps t»+i- On procAde ainsi par itArations successives jusqu'a ce que les contraintes soient sur la surface de charge; e'est-a-dire jusqu'a la itAration pour laquelle = 0 (a une prAcision prAs). Les donnAes initiales de cette boucle itArative sont les estimations Alastiques que nous avons indicAes (°).La mAthode itArative choisie pour dAterminer 1'incrAment de multiplicateur plastique AA(°) est mixte, on va en elfet d'abord utiliser un algorithme de Newton-Raphson (basA sur le calcul de la dArivAe de la fonction de charge) pour dAterminer le premier incrAment de multiplicateur plastique AA^\ puis on utilise ensuite un algorithme de la sAcante jusqu'a convergence. Seule la premiAre Atape est dAtaillAe ici Pour dAterminer la premiAre itAration, il s'agit done de linAariser la fonction de charge autour des valeurs courantes (e'est-a-dire les estimations Alastiques de la contrainte <7^1, de 1'endommagement D^ = D» et du multiplicateur plastique A^ = A»), on obtient alors 1'Aquation suivante :

»+l; -^n+l;/ = /(o-(°) n(0)

— A

— nM \(0) ) : Act

m):AX + K(om n(0) \(0) \ . A naD

(2.52)

oh :

La seconds est rapidement prAsentAe lorsque 1'algorithms global est donnA dans le paragraphs 2.S.2.4.

61

2. L'endommagement a elfet retard

at rendommogement est retorde :+<7 = AA[-(1 - rfofff ‘ 1%,< ^ ^n+1 ^n+1|^AD = -AA(^)W

stnon :d (0)A<7 = AA[-(1 - r>a,)g| ' ,

^ ^n+1 ^n+1AD = _AA(^)(«)

et

<7(0)n+1

1-D (0)n+l

#)^]

(7(0)n+1

1-D (0)n+1

+ri

(2.53)

an

L'objectif Atant d'obtenir / = les expressions ci-dessus ^ :

3_ _ _ _ _ _ °n+l_ _ _ _ _ _ _5('-D‘"iKTira

= -flf(A£2.) (2.54)urn (0)

— n+1____

0, on obtient AA^) en utilisant 1'Aquation 2.52 et

A#f(0)V»+l

4(1 an+1 "" '^n+1

2 nm (0) ^n+1g(+.:

(2.55)

On obtient ainsi le premier increment de multiplicateur plastique AA(°/ II faut par ailleurs remarquer que celui-ci est determine independamment de la prise en compte on non de 1'effet retard; ni la fonction ++ ni la fonction n'apparaissent en elfet dans ce calcul. L'algorithme ensuite utilise pour converger est celui de la sAcante, il est briAvement detaille dans le prochain paragraphe. On itAre alors jusqu'a ce que le critAre de TAquation 2.56 soit vArihA. I/ensemble des variables sont alors dAterminAes an pas de temps n + 1.

l/l+i I <predszon* |/^(o)(2.56)

2.5.2.4 Algorithme global

L'ensemble des 2 modAles, c'est-a-dire le modAle de plasticitA isotrope de von Mises couplAe a 1'endommagement respectivement sans et avec elfet retard, out AtA rAunis dans une mAme sous-routine. L'algorithme global de cette sous-routine est donnA ci-dessous.On ne prAsente pas dans cette algorithme la situation oh rendommagement dApasse 1'endommagement critique. Actuellement, avec le logiciel Europlexus, Tutilisateur a par ailleurs deux possibilitAs :

is Pour obtenir ce rAsultat, il faut aussi penser que

62


- la premiere est de ne rien faire. Le code continuera a effectue le calcul dans 1'element compl&tement endommage. Dans ce cas, d&s le debut, on force les contraintes a zero. Le risque est de voir apparaitre assez rapidement des elements croises qui ne peuvent 8tre calcules.

- la deuxi&me est de transformer les elements compl&tement endommages en elements 'fantbmes'. Dans ce cas, 1'element n'apparait plus dans le calcul (ni dans les tests d'elements croises, etc...) et ne presente done aucun probl&me pour la suite du calcul.

(I) Europlexus donne As

f+1+1 As

(II) Estimations elastiques :

^P 71+1 — ^p 71

d,(3,—

A<°>, — A,^

4“!,+i= 6^+1

4+1= +

£

(1

(0)

p Ti+1n(0)^n+1 )LfAe

(III) Verification du crit&re : ^ 0?Si oui :

Cp 71+1

"^71+1Ti+1

^»+l

£(0)

P Ti+1

\(0)^»+l^»+i -

(o)

Cp 71+1

a.1+1

et fin du pas de temps... Sinon : % = 0

(IV) Calcul du multiplicateur plastique : Si % = 0 :

AA^f(0)Vn+l

AA'"P = AA(°), AA^ = 0

Sinon (algorithme de la secante) :

Ti+l;f(0)Vn+l

AA^A;\s«pyW AA'"^/""P

- /gup

63


(V) Calcul de I'endommagementSi

—(1 -I-1/) -I- 3(1 — 2z/)a

(l+l) _^»+l — »+l

l(0) AA(.)(M)(0!

Si Tendommagement n'est pas retards :

D.

D,

6+i)»+i6+i)»+i

D,»c (i+1) »+l

)(«)

S'il est retards

n(«+l)^»+l

D («+i)»+i

1— exp

AtD6+i)»+i

Sinon

AD,

6+1)»+l6+1)n+1

(VI) Actualisation des autres variables

\6+l)^»+l

(«+!) ^p »+l

a6+i)»+i

A,

£

(0) , »+l ^(0)

p »+l

AA^

3 AAM d (0)

n+12 1 n(0) (0)^Ai+1 "»+l

a.(0)

n+1 (1n(^+l)un+i- 4T

3 d (0)

) - AA^jf-—^2 ^ (o)(V,n+1

64


(VII) Test de convergence :

Si oui :

I"/71 + 1 I^71+1

^ e?

Cp n+l_ ++1)" + "+1

-D»+i — ^71+1

"^71+1 — ^71+1

»+l = ^+i — 6,

(7»+l_ /++!)— "»+l

et fin du pas de temps...Sinon (algorithme de la secante) :Pour % = 0:

fsup _ f(l) / — /»+!

Pour % > 1 et AA^ > AA^

AA^ = AA*"P, AA'"P = AA^,

Pour ,: > 1 et AA""P > AA^ > AA'"/

AA^ = AA^, =

... puis % = % + 1 et retour au (IV)

jsup jsup ++i)V»+l

f(i+l)V»+l

2.5.3 Exemple bi-dimensionnel

Cette partie a une double vocation. D'une part, il s'agit de presenter des resultats obtenus avec 1'algorithme de plasticite couplee a 1'endommagement retarde presente ci-dessus. D'autre part, cet exemple va permettre clairement la mise en evidence de 1'induence du maillage dans un cas moins simple que la partie 2.2.Le jeu de donnees Europlexus correspondant est par ailleurs donne et commente dans 1'annexe B.

2.5.3.1 Presentation de la simulation

Cette partie s'interesse done a la simulation d'un essai de cisaillement sur eprou- vette dite 'chapeau' pour 1'alliage d'aluminium Au4Gl-T4 (voir la figure 2.20). Cet essai permet de developper du cisaillement dans une zone privilegiee suite a la mise en compression du specimen gr&ce a un dispositif a barres de Hopkinson. Cet essai a generalement pour but 1'etude de 1'interaction materiau-outil en usinage par outil coupant oh le materiau est cisaille par 1'outil pour en usiner la surface. L'objectif de cette partie n'etant pas de retrouver les resultats d'essais experimentaux (que nous

65


n'avons d'ailleurs pas a disposition), mais do mettre on evidence les proprietes du modele, les conditions aux limites du probleme sont simplifiees; on se contente en effet do bloquer axialement la base du chapeau et dlmposer une rampe en displacement an sommct de celui-ci (de pente 50 m,/s), L'ensemble des conditions aux limites est represente sur la figure 2.20. La geometric de Veprouvette a etc choisie identique a celle testee par Nemat-Nasser [Nemat-Nasser et al. , 1998|; les principals dimensions sont indiquees sur la schematisation de Veprouvette,

deplacement axial

p 8.89mm

zone cisaillee 7.85mm

1,25mm

condition de symetrie

axiale 3.3mm

deplacement axial impose p 12.7mm

Fig. 2.20 - Maillage et condition aux limites de l’essai chapeau simule avec Euro- plexus. Le maillage correspond an niveau 6.

Lidentification des parametres de la plastieite couplee a Vendommagement de VAu4Gl-T4 a ete effectuee en quasi-statique par Dufailly [Dufailly , 1980|; (testa-dire que les parametres relatifs a Vendommagement retarde a et rc ne sont pas connus. L'ensemble des parametres identifies sont resumes dans le tableau 2.8, a et

sont pris egaux a 2 et 0.1/i.s. La loi (Vecrouissage (contrainte effective en fonction de la deformation) est tracee sur la figure 2.21 en trait cont,inn, le trait diseontinu correspond a la courbe de traction eontrainte/deformation obtenue avec un taux de triaxialite de 4, On adopte par ailleurs une legere modification du modele de plastieite de von Mises couplee a Vendommagement retarde, a savoir quid Vevolution de Vendommagement n'est pas identique en tension (taux de triaxialite positif) et

66


en compression (taux de triaxialite negatif) comme c'etait le cas auparavant. Ainsi, liquation 2.42 est remplacee par Tequation suivante :

(1 + z/) + 3(1 — 2z/) P > <

(1 T z/) T 3(1 — 2z/) l-D(2.57)

oil seule la partie positive du taux de triaxialite (notee compte.

est prise en

900

800

700

600

500

400

contrainte effective contrainte

300

200

100

0L0.05 0.25

deformation

Fig. 2.21 - Evolution de la contrainte effective en fonction de la deformation (en trait continu) pour Talliage d'aluminium Au4Gl-T4. Le trait discontinu correspond a la courbe contrainte/deformation obtenue avec un taux de triaxialite egal a

Propriety E P V e: FT

Au4Gl-T4 74 2780 0.3 314 0.03 0.25 0.23

Tab. 2.8 - Proprietes quasi-statiques de TAu4Gl-T4

2.5.3.2 Choix du maillage

On souhaite appliquer la formule analytique 2.58 determinee dans la partie 2.4 pour le cas de 1'essai chapeau :

67


^ = cr"ln^—) (2.58)

ceci pour choisir une taille de maille adequate. Cette formule a ete etablie dans un cadre uni-dimensionnelle pour un materiau elastique endommageable. L'alliage d'aluminium Au4Gl-T4 est modelise par une loi elasto-plastique endommageable. Malgre tout, a defaut d'avoir un encadrement de la longueur caracteristique la formule devrait donner une approximation satisfaisante de la longueur caracteristique numerique et done servir de base pour le choix du maillage (comme cela a deja pu 8tre montre [Sufhs et Combescure , 2002a]). II faut egalement dehnir un probl&me uni-dimensionnel equivalent a 1'essai chapeau; celui-ci est propose sur la figure 2.22. On suppose que 1'essai est assimilable au cisaillement d'un plan infini; la condition a la limite etant une vitesse de cisaillement imposee egal a correspond a condition a la limite de 1'essai chapeau). Cette vision est tr&s simpliste puisque elle ne tient compte d'aucune dimension; elle permet malgre tout de tirer des conclusions interessantes. II reste encore, avant de determiner la longueur caracteristique correspondante, a transformer la formule 2.58 valable pour une traction de poutre uni-dimensionnelle en une formule valable pour le cisaillement. Sans rentrer dans les details, on obtient de la m@me fagon que dans la partie 2.4 la formule 2.59 :

^car InAT

(2.59)

oh est la vitesse des ondes de cisaillement et oh T^™ correspond a la contrainte de cisaillement limite.

E2(l+y)p

Le niveau de la solicitation AT est, quant a lui, egal a :

(2.60)

T/impocfAT = G-----—

Ep2(1 + f/)

(2.61)

Par application des formules 2.26 et 2.27, on obtient enhn la valeur des contraintes effectives maximales et minimales pour 1'alliage d'aluminium Au4Gl-T4 :

= 401 MPa ^ = 1079MP n

(2.62)

On obtient hnalement :

68

2.5. Implantation numArique

Vimpact

plan infini d'epaisseur h

Fig. 2.22 - ModAle uni-dimensionnel equivalent a la perforation

= 0.2mm = —0.1mm

(2.63)

Le signe negatif de la longueur caractAristique minimale signifie que le modAle choisi est trop grossier.Ce rAsultat, mAme s'il ne donne o priori qu'une approximation de la longueur caracteristique, fournit des informations trAs interessantes. En elfet, est de 1'ordre du dixiAme de millimAtre. Cela nous indique qu'un maillage, dont la taille des elements sera superieure a cet ordre de grandeur, sera incapable de representer correctement la zone complAtement endommagAe.

2.5.3.3 Simulations

Un certain nombre de simulations ont ete effectuAes. DiffArents niveaux de maillages ont ete testes (le maillage presente sur la figure 2.20 correspond au niveau 6) : les niveaux 2, 6, 10 et 20 qui comportent respectivement 512, 4608, 51200 et 204800 elements et qui correspondent a une taille d'elements dans la zone endommagee respectivement Agale a 0.156mm, 0.0521mm, 0.0312mm et 0.0156mm. L'Aprouvette est maillee a 1'aide d'elements quadrangulaires a un point de Gauss.Une premiAre sArie sans effet retard dont le profit d'endommagement est donnA a 1'issue du calcul sur la figure 2.23 permet de mettre en Avidence le problAme de dApendance au maillage. On constate en effet deux phAnomAnes :

- une dApendance de la position de la zone endommagAe vis-a-vis de la finesse du maillage. Plus le maillage est fin, plus I'endommagement se propage d'abord radialement, puis axialement. Pour le maillage de niveau 20, on constate mAme la prAsence de deux 'fissures', chacune partant d'un angle du chapeau.

- la localisation de la zone endommagAe dans une zone restreinte a un unique (ou Aventuellement deux ou trois) AlAment. On constate en effet lors du rafBnement

69


du maillage que la largeur de la zone endommagAe est confinAe dans quelques elements. Lorsque revolution est brutale (notamment pour la rupture finale oh la zone endommagee traverse 1'Aprouvette), elle est restreinte a une ligne d'AlAments.

Par rapport a 1'exemple uni-dimensionnel, on retrouve la dependance an maillage tel qu'elle a ete decrite jusqu'a maintenant, c'est-a-dire un localisation de la zone complAtement endommagee dans un unique element. Mais il apparait un phAnomAne supplementaire qui est la dependance de la position spatiale de la zone endommagee ^ vis-a-vis du maillage. Suivant la finesse du maillage, il faut done s'attendre a ce que la zone complAtement endommagee change de position. Des constatations similaires out ete faites dans le cadre d'une simulation de flexion de poutre Alastique endommageable [SufBs et al. , 2003a] (utilisant le modAle elastique endommageable presente an debut du chapitre).

Une seconde serie a ete effectuAe avec un endommagement retarde. Le profil d'endommagement dans 1'Aprouvette est donne sur la figure 2.24 pour les mAmes niveaux que precedemment. Ces rAsultats mAnent a diverses constatations :

- la localisation spatiale de la zone endommagee reste inchangee suite an rafE- nement du maillage.

- la largeur de la zone complAtement endommagee se stabilise dAs lors que la taille des AlAments est plus petite que la largeur de celle-ci. Le profil d'endommagement dans son ensemble est mAme complAtement identique une fois que cette condition est vArihAe; les niveaux 10 et 20 ne prAsentent en effet aucune diffArence significative.

2.5.3.4 Bilan

MAme si ces simulations ne sont pas comparAes a des rAsultats expArimentaux, elles out permis de montrer qu'un modAle classique aboutit a des rAsultats qualihAs de dApendants an maillage, alors que 1'introduction de retard dans 1'endommagement rend les rAsultats objectifs vis-a-vis du maillage. Il est Agalement intAressant d'observer qu'au niveau 2, avec on sans retard, les rAsultats sont identiques. A ce niveau, le maillage est en fait trop grossier pour reprAsenter correctement le profil de la zone endommagAe; e'est la conclusion a laquelle nous Ations arrivA a 1'issue de 1'Atude de la longueur caractAristique. Ceci permet en outre de rappeler 1'importance et 1'intArAt de connaitre une approximation de la taille caractAristique relative a cette zone. Il a done fallu rafBner le maillage pour s'apercevoir que la taille de la zone endommagAe Atait beaucoup plus petite (un pen moins de 0.1mm). A posteriori, on constate que, si nous nous Ations fixA immAdiatement une taille de maille de 1'ordre de 10% de la longueur caractAristique maximale obtenue, le rAsultat aurait AtA immAdiatement satisfaisant.Les rAsultats obtenus sont sommes toutes satisfaisants compte tenu de 1'objectif hxA initialement.

A ce niveau de 1'Atude subsiste encore une inconnue. Jusqu'a maintenant, aucune

^Dans 1'exemple uni-dimensionnel dAcrit au dAbut du chapitre, la zone endommagAe ne pouvait se localiser qu'a 1'extrAmitA de la poutre.

70

2.6. Conclusions et perspectives

identification fiable des paramAtres lies a 1'endommagement retardA o et n'a AtA effectuAe. C'est 1'objectif du chapitre a venir.

2.6 Conclusions et perspectivesL'endommagement a effet retard constitue globalement le thAme de ce chapitre.

Visant Tobjectif d'une application pratique, nous avons adopte une demarche pragmatique ayant pour but, d'une part, la mise en place d'un outil analytique simple permettant de construire judicieusement le maillage connaissant la solicitation et, d'autre part, la developpement du module dans un code de dynamique explicite industriel. AprAs un rappel succinct des principals equations et caracteristiques du modAle d'endommagement retarde, nous nous sommes d'abord attacher a garantir la bonne convergence numArique du modAle. Puis, une formulation analytique permettant, a partir de connaissance sur le chargement et le materiau, de determiner la taille optimale du maillage pour representer correctement la zone complAtement endommagee a ete mise en place. MAme si 1'application de la formule obtenue pent sembler Atre limitAe a un cadre restreint (Alastique endommageable uni-dimensionnel), nous avons vu dans le cas de 1'essai chapeau, et nous reverrons ultArieurement, qu'elle permet dans des cas plus gAnAraux de modAles de matAriaux d'obtenir tout de mAme un bonne approximation de la longueur caractAristique. Enhn, en vue d'un usage industriel et aprAs en avoir dAtaillA Talgorithme, le modAle a AtA implantA dans le code de dynamique explicite Europlexus. Une premiAre simulation bi-dimensionnelle fht alors rAalisAe.

Un certain nombre de dAveloppements sont cependant encore envisageables et notamment en ce qui concerne la longueur caractAristique. L'Atude effectuAe ici s'est en effet limitAe an cas uni-dimensionnel et nous verrons par la suite que, pour chaque simulation, nous sommes obligAs de nous dAfinir une situation uni-dimensionnelle Aquivalente. Cette Atape ne sera pas toujours forcAment triviale a effectuer. Dans le cas bi-dimensionnel et tri-dimensionnel, il serait quelques fois souhaitable d'avoir un Aquivalent a la longueur caractAristique uni-dimensionnelle.Dans un autre registre, le modAle de matAriau qui a AtA ici implantA dans Europlexus est un modAle de plasticitA de von Mises couplAe a Tendommagement retardA. Nous verrons, dans la suite, de 1'Atude qu'il a AtA allAgrement modihA ahn de modAliser diffArents types de matAriaux (plastique dApendant de la vitesse de dAformation).


- la description gAnArale du modAle d'endommagement a effet retard, puis plus prAcisAment de sa capacitA a rAsoudre le problAme de dApendance an maillage.

- 1'Atude numArique de la convergence de 1'algorithme associA a Tendommage- ment retardA par une approche numArique originate.

71


- la mise en place, a partir d'un module d'endommagement simplifie et d'une etude sur un module continu, d'une formule analytique de la longueur caracteristique. La validation de celle-ci est effectuee ensuite.

- 1'implantation numerique du module plus general de la plasticite de von Mises couplee a Tendommagement retarde dans le code Europlexus. Un premier exemple est finalement propose.

72

2.7. Synthese

0.23 0.2 0.15 0.1 0.05 0.

Fig. 2.23 - Profil do Fondommagomont obtonu a 20 ms pour l’essai chapoau. Different* niveaux do maillagos sent- testes : lo niveau 2 (a), le niveau 6 (b), le niveau 10 (c) et le niveau 20 (d). Une dependance evidente des resultats vis-a-vis du maillage apparait.

73


Fig, 2,24 - Profit do Vendommagement retarde obtenu a 20ms pour l’essai chapeau. Different^ niveaux de maillages sont testes : le niveau 2 (a), le niveau 6 (b), le niveau 10 (c) et le niveau 20 (d). Aucune dependance evidente des resultats vis-a-vis du maillage n’apparait.

74

Chapitre 3

Identification des parametres : methodologie et applications

Dans ce troisiAme chapitre, nous abordons le problAme de 1'identification des paramAtres. Les essais d'impact de plaques que nous utilisons sont tout d'abord dAtaillAs. Puis, suite a une Atude approfondie du cas thAorique de 1'alliage d'aluminium Au4Gl-T4 qui permet de dAgager dif- fArentes mAthodes d'identification, les cas pratiques de 1'alliage d'aluminium 7020-T6 et de 1'alliage de titane Ta6V sont traitAs.

Sommaire3.1 ProblAmatique .................................................................................................. 773.2 Description des essais plaque/plaque.......................................................... 78

3.2.1 CaractAristiques gAuArales................................................................ 783.2.2 Mise eu place expArimeutale............................................................. 863.2.3 Courbe d'Acaillage.............................................................................. 86

3.3 Etude thAorique : cas de l'Au4Gl-T4.......................................................... 913.3.1 Etude d'une simulation .................................................................... 923.3.2 Identification par la mAthode Chevrier......................................... 963.3.3 Identification par la vitesse de face arriAre.................................. 1013.3.4 Conclusion ............................................................................................ 105

3.4 Etudes pratiques : le 7020-T6 et le Ta6V................................................... 1073.4.1 Cas de 1'alliage d'aluminium 7020-T6.............................................. 107

75

3.4.2 Cas de I'alliage de titane Ta6V...................................................... 1153.5 Conclusions et perspectives.......................................................................... 1183.6 Synthase................................................................................................................ 119

76

3.1. ProblAmatique

L'objectif de ce chapitre est de mettre en place une demarche d'identification globale des paramAtres d'un materiau modAlisA par une loi Alastique, plastique on plastique dependant de la vitesse de deformation, puis du module d'endommagement retardA. Dans le detail, la methode utilisee se decoupe en plusieurs Atapes systAmatiques :

1. la determination des principals caracteristiques du materiau telles que la masse volumique, le module d'Young, le coefhcient de Poisson.

2. 1'identihcation de la loi relative a la plasticite. Cette Atape ne concerne bien sur pas les materiaux Alastiques. II s'agit sinon de determiner la courbe d'Acrouis- sage, cette courbe pouvant Aventuellement dependre du taux de deformation plastique, de la temperature on d'autres variables. Cette etape se reduit a 1'identihcation d'un nombre limite de paramAtres lorsque des lois dediees (Johnson-Cook, Zerilli-Armstrong, Klepaczko, etc...) sont utilisees.

3. 1'identihcation en quasi-statique de la loi relative a Tendommagement. Genera- lement, differents essais sont effectuAs ahn notamment de determiner I'inhuence du taux de triaxialite.

4. en dernier lieu, ^identification o /ortiori a Taide d'essais dynamiques des paramAtres liAs an retard.

GAnAralement, les trois premiAres Atapes sont bien connues. Nous nous limitons done dans ce chapitre a 1'Atude originate de Tidentihcation des paramAtres o et liAs a 1'effet retard.

3.1 ProblematiqueII s'agit dans ce chapitre de mettre en place un protocole expArimental, on

du moins d'exploiter des rAsultats expArimentaux, ahn de dAterminer de maniAre systAmatique les deux paramAtres relatifs a Tendommagement retardA, a savoir la constante o et le temps caractAristique T^.

La premiAre question est de savoir quelle manifestation physique sensible et me- surable pent Atre AtudiAe pour dAterminer les paramAtres.Le chapitre prAcAdent s'est notamment focalisA sur la notion de longueur caractAristique, que nous avons rAussi a relier analytiquement aux paramAtres de 1'endommagement retardA et du chargement. II serait mAme envisageable, sans utiliser le modAle analytique, d'optimiser les paramAtres a partir d'essais quelconques en faisant correspondre la taille de la zone endommagAe expArimentale et celle numArique. Cependant, il s'avAre que cette longueur est difficile a apprAhender expArimentale- ment ^; une identification utilisant cette grandeur ne semble done pas envisageable. Par ailleurs, comme Deii et al. [Deii , 1997, Allix et al. , 1999] 1'ont mis en Avidence dans le cas de 1'AlasticitA endommageable, il semble possible d'identiher les paramAtres en Atudiant le temps a rupture f. La mAthode proposAe s'inspire en particulier de rAsultats expArimentaux dAtaillAs dans [Goeke et McClintock , 1975] a 1'aide

^ Cette longueur a d'ailleurs un intArAt plus numArique qu'expArimental, puisque sa connaissance n priori a pour but de choisir la taille du maillage la plus adAquate.

77

3. Identification des paramAtres : mAthodologie et applications

d'essais plaque/plaque qui mettent en evidence une dependance de la contrainte a appliquer pour atteindre 1'Acaillage de 1'Aprouvette an temps d'application de la solicitation. Les simulations effectuAes par Deii pour un materiau Alastique endommageable en uni-dimensionnel out montre qu'il Atait possible de retrouver une influence similaire a celle mise en evidence expArimentalement grace a 1'introduction du retard dans 1'endommagement.

Il a done ete choisi de tenter de determiner les paramAtres o et de 1'endommagement retardA a partir de 1'Atude du temps a rupture f. A la vue de 1'Aquation fondamentale 2.10, le temps a rupture minimum pent Atre dAterminer et est Agal a C'est-a-dire que, pour mettre en exergue les paramAtres, des essais im-pliquant des temps a rupture de 1'ordre de grandeur de et des contraintes importantes permettant d'endommager complAtement 1'Aprouvette en ce temps trAs court sont indispensables. A la vue de la figure 3.1 (donnAe notamment par Curran et al. [Curran et al. , 1987] et Chevrier [Chevrier , 1998]) qui dAfinit les domaines de contraintes, dAformations et vitesses de dAformation atteints par differents dispositifs expArimentaux, les essais de type plaque/plaque s'imposent immAdiatement Atant donnAes les vitesses de dAformation auxquelles ils sont effectuAs (autour de lO^s^ et les contraintes qu'ils permettent d'atteindre (plusieurs fois la limite Alastique <r^). Feissel [Feissel , 2003a,b, Allix et al. , 2003b] a, pour sa part, proposA d'identifier les paramAtres de 1'endommagement retardA pour des matAriaux composites a 1'aide d'essais rAalisAs avec des barres d'Hopskinson, ceci en prenant en compte les incertitudes de mesure.

La suite de ce chapitre dAcrit done dans un premier temps la mAthodologie des essais plaque/plaque, un protocole expArimental ainsi que le principal rAsultat de ce type d'essai, a savoir une courbe d'Acaillage. Avant la dAtermination pratique des paramAtres o et dans le cas d'un alliage d'aluminium et d'un alliage de titane, une Atude thAorique est menAe sur l'Au4Gl-T4. Celle-ci permettra en outre de dAgager les diffArentes mAthodes possibles pour identifier les paramAtres selon les moyens expArimentaux (et notamment de mesure) a disposition.

3.2 Description des essais plaqne/plaqneLes parties suivantes dAcrivent tout d'abord le principe gAnAral d'un essai d'im-

pact de plaques et dAcrivent Agalement les diffArents phAnomAnes qui apparaissent an cours de 1'essai [Roy , 2003]. Ensuite, le montage expArimental est dAtaillA et les principales mesures qui peuvent Atre effectuAes sont dAcrites. Enfin, des rAsultats expArimentaux classiques, a savoir une courbe d'Acaillage et des profils de vitesse de face arriAre, sont donnAs.

3.2.1 Caracteristiques generales

L'idAe principale des essais plaque/plaque est de projeter une plaque mince, appelAe impacteur, d'Apaisseur L' et de diamAtre d, avec une vitesse donnAe sur une plaque plus Apaisse sans vitesse appelAe cible, d'Apaisseur 1/ et de diamAtre

78

3.2. Description des essais plaquo/plaquo

impact de plaque

frac mentati essaic de tractioi eDeempression

barres de Hopkinson

s de torsion

deformation

vitesse de deformation (s )

Fig. 3.1 - Domaino do eontrainto, deformation et vitesse do deformation atteint par los different^ dispositifs experimontaux [Curran et at. , 1987, Chovrior , 1998|

egal a celui de Fimpacteur (voir figure 3.2). Dans le cas le plus frequent, les epaisseurs sont choisies de telle sorte que :

Z/' = — (31)

Conoralomont, lo materiau do la eiblo ot do llmpaetour sont idontiquos, on dit alors que F impact est symetrique.Lorsque Fimpact se produit, une onde incidcntc de compression se forme et se propage dans la cible et le projectile. Afin de comprendre le deroulement des evenements qui se produisent ensuite, le cas dim materiau parfaitement elastique, puis le cas dim materiau elastique avec rupture et enfin le cas dim materiau plastique avec rupture sont etudies successivemeut. Cette progression va permettre dlutroduire par etape les principals notions et grandeurs relatives aux essais plaque/plaque.

3.2.1.1 Cas elastique parfait

Considerons tout d’abord lo cas simple dim materiau parfaitement elastique (qui ue subit done aucun eudommagemeut et aucune rupture). Dans uu souci de

79

3, Identification des parametres : methodologie ot applications

impact

d

Fig, 3,2 - Schema simplifie d’un impact plaque/plaque

comprehension, on eonsidere un impact de plaques semi-inhnies ahn de s’abstonir de prendre en compte les effets de bords; on pent alors reduire le probleme a un probleme uni-dimensionnel de propagation d’onde. Deux representations des evenements sont alors proposees :

- le premier est un diagramme de Lagrange (voir figure 3.3) qui decrit dans le plan (,r, t) la propagation des ondes. Sont egalement donnees sur ce diagramme le deplacement des surfaces fibres de Vimpacteur et de la cible desquels on pout notamment deduire la vitosso do la face arriero do la cible qui est egalement tracee. Pour information, sur ce diagramme, les flechos noires correspondent a bonde de choc initiale, les flechos bleues a des faisceaux de detente et les flechos rouges a des faisceaux de compression. La vitesse de ses ondes est dans tons les cas egale a la celerite longitudinale des ondes olastiquos (voir equation 3,2) quo Von note iei cL. Los different^ et-at-s (pression, vitosso materielle) sont numerates do 0 a 2,

^7(1 — z/)p(l + z/)(l — 2z/)

(3.2)

- le second (voir figure 3.4) represente le trajet de chargement dans le plan (p, u) oil Von rotrouvo notamment les trois etats du diagramme do Lagrange,

Lorsque Vimpact a lieu, une onde de choc se propage done dans la cible et dans Vimpacteur. Du temps to au temps elle fait passer progressivement toute Vepaisseur do la cible d’un etat initial an repos (etat 0) a Vet-at 1 (compression a la pression et vitesse egale a la moitie de la vitesse d’impact P). Ces ondes se reflechissent sur les surfaces fibres des plaques (a t, pour Vimpacteur et a pour la cible) on ondes do detente ramenant progressivement la cible a une pression nullo

80

3.2. Description des essais plaqne/plaqne

(etat 0 on O'). Les deux ondes de detente se croisent an centre de la cible a ^ faisant alors subitement passer le centre de la cible de Vet-at 1 a Vet at 2 ; (Vest-a-dire (Vim etat comprime (pression a un etat en tension (pression —p^^). Les ondes de detente continuent de se propager jusqiVaux surfaces libres de la cible. Elies se rehechissent a nouveau an temps f-i en onde de compression cette fois; la cible et Vimpacteur no sont alors plus on contact. Los deux ondes do compression so croisent a nouveau a t5 an centre do la cible... et ainsi do suite. Si on s’interesse a la vitosso de face arriere, celle-ci est nulle taut que Vonde de choc ne s'y est pas rehechie. Elle passe alors subitement de 0 a la vitesse (V impact E. Ensuite, des qu'ime onde do detente arrive sur la face arriere, la vitesse do celle-ci passe instantanement de a 0; (Vest Vinverse lorsque (Vest une onde de compression. La vitesse deface arriere est done similairo a un creneau variant entre les valeurs 0 et de periode 2^ qui correspond an temps mis par une onde elastique pour parcourir deux fois Vepaisseur de la cible.

vitesse de la face arriere de la cible

impacteur

Fig. 3.3 - Diagrammo de lagrange dans le cas (Vun material! elastique et sans ecaillage. Les heches noires correspondent a Vonde de choc qui suit Vimpact, les heches rouges a des ondes de compression et les bleues a des ondes de detente. Le diagramme de droite donne Involution an cours du temps de la vitesse de face arriere.

^Ccci cat soulomont vrai dans 1c cas des impacts symetriques verifiant la relation 3.1 sur les 6paisscurs ou pour un impact non-sym6triquc mais utilisant des 6paisseurs clioisies judicicusomcnt.

81


pression

vitesse- X7 impact impact0.5.V

Fig. 3.4 - Diagramine (p, u) dans le cas dim material! elastiquc et sans ecaillage.

Ce type d'essai permet done de mettre sous tension une /one definie pendant un temps dehni, a savoir le centre de Teprouvette pendant Pour des eprouvettes avec des epaisseurs de Tordre du millimetres, les temps de chargement sont de Tordre de la miero-seeonde qui correspond egalement a l’ordre de grandeur du temps minimale a rupture que nous cherchons a mettre en evidence.Par ailleurs, le temps de chargement tc est directement lie a Vepaisseur Lc de la cible (voir equation 3.3). De la meme maniere, la pression de choc p^°^ est directement liee a la vitesse d Impact y

tcLc

(3.3)

Pchoc 1

2pr^I (3.4)

Une configuration experiment-ale donnee sera done definie uniquement par deux parametres que sont Tepaisseur de la cible IU et la vitesse dImpact .

82

3.2. Description des essais plaque/plaque

3.2.1.2 Cas elastique avec rupture

Considerons maintenant le cas d’un material: clastiquo qui pout, sous reserve do verifier quelques conditions, monor a la formation d’une ecaille, La condition priucipale est de considerer que le material: ue supporte pas eu tension une pression superieure a la pression d’ecaillage pGcm»«ge cas, les figi:res 3.3 et 3.4 sontrcmplacecs par les figures 3.3 et 3.6.

vitesse de la face arriere de la cible

impacteur

Fig. 3.3 - Diagramme de lagrange dans le cas dim materia:: elastique et avec ecaillage. Les fieches noires correspondent a 1’onde de choc qui suit fiimpact, les fieches rouges a des ondes de compression et les bleues a des ondes de detente. Le diagramme de droite donne revolution an cours di: temps de la vitesse de face arriere.

Rien ne change jusqu’au croisement des ondes de detente an centre de la cible. Lorsque le centre de la cible est mis en tension (an temps fj), la pression est cette fois limitee a la pression d’ecaillage pGcm»«ge ^^at 2*). L'ecaillage de la cible n’est cependant pas immediat, il faut en effet attendre un "certain" temps (jusqu’a by) avant que fiecaille se forme. Des que fiecaille se forme, des ondes de compression partont de cette nouvelle surface fibre (ceci di: a la condition de eontrainte nulle sur la surface fibre). On retrouve ensuite dans chacime des deux parties de la cible une succession de croisements d'ondes de compression et de detente.Sur le diagramme (p, u) (trace pour un point appartenant a fiecaille, e'est-a-dire a la partie droite de la cible), la limitation de la pression en tension ainsi que la formation de fieeaille entraine fiapparition d’un nouveau cycle 0 — 2* — 0* — 3 dont les bornes sont _|_/_pecmHnge ^ fois fi ecaille formee, la vitesse de face arriere

83


pression

vitesse- X7 impact impact0.5.V

ecaillage

Fig. 3.6 - Diagramine (p, n) dans le cas dim material! elastique et avec ecaillage pour un point se situant dans la partie de Vecaille,

est encore une fois semblable a un signal creneau mais de periode ^ (c'est-a-dire an temps mis par une onde elastique pour parcourir deux fois Tepaisseur de Tecaille) et variant entre F""" ot F.

II est d’ores et deja possible a ce niveau d’introduire la notion de eontrainte d'ecaillage et de temps de chargement :

- la eontrainte d'ecaillage est liee a la pression d'ecaillage corres-pond a la eontrainte pour laquelle b ecaillage apparait pour une configuration exp erimentale donnee.

- le temps de chargement correspond an temps entre le debut de la premiere mise en tension du centre de la eible a t:i et le moment de Vapparition de becaillc a cc meme ondroit a bp. II est au plus egal a sans quoi il n'y a pas d'ecaillage.

Dans le cas simplifie eonsidere ici, a savoir la propagation et Vinteraction d'ondes elastiques, ces deux quantites se deduisent facilement a partir de la vitesse de face arriere. La eontrainte d'ecaillage s'obtient a partir de la difference entre la vitesse dlmpaet yimi)acJ ot, la vitesse minimale Fmm en utilisant la formule communement appelee formule de Taylor [Speight et Taylor , 1986| :

84

3.2. Description dos ossais plaquo/plaquo

a ec (3.3)

La dura; tot-ale do chargement on tension correspond directement a la difference ent-re le temps do la fin du premier plateau a Yimi)acJ ot la fin du premier plateau a F""" comme iudiqud sur la figure 3.3.

3.2.1.3 Cas plastiquo avoc rupture

Jusque la, soul le cas d’un matoriau olastique pour lequel une seule ondo so propago a oto otudio. Dans le cas plus general do la plasticite, Loudo olastique ost suivio d'ondos plastiquos plus loutos; lo diagrammo do Lagrange ost modifid commo sur la figure 3.7.

vitesse de la face arriere de la cibleimpacteur

Fig. 3.7 - Diagrammo do lagraugo dans lo cas dim matoriau plastiquo ot avoc dcaillago. Los fldchos noiros corrospoudout a Loudo do choc qui suit L impact, los fldchos rouges a dos ondos do compression ot los blouos a dos ondos do detente. Lo diagrammo do droito donno revolution an cours du temps do la vitesse do face arridro. L'ondo do choc so decompose on uuo oudo olastique a la cdldritd c (trait pointilld) ot on uu faiscoau d'ondos plastiquos plus loutos (trait continu).

Par rapport an cas olastique simple, chaquo oudo ost ici prdedddo par uu precursor olastique ^ (Loudo olastique dtant plus rapido) note P sur la figure 3.7. D'autro part, los ondos plastiquos n'dvoluant pas toutos a la memo vitesse, la coutraiuto (on

'^Lc uiveau do co procursour cat ogal a la limitc olaatiquo d'Hugouiot note

83


la pression) an centre de la cible augmente lentement an fur et a mesure que les ondes se croisent. On retrouve cette lente evolution en observant la vitesse de face arriAre.L'Avolution de la vitesse de face arriAre est done en realite plus complexe que dans le paragraphe precedent, la formule de Taylor ne s'applique done plus ici. Dans le cas de la propagation et de 1'interaction entre des ondes Alasto-plastiques, divers auteurs [Romanchenko et Stepanov , 1980, Razonerov et al. , 1995, Bushman et al. , 1993], dont Romanchenko et Stepanov, out proposes des formules permettant de retrouver la contrainte d'Acaillage le temps de chargement ; celles-ci sont detailleesdans la partie 3.2.3.2.

3.2.2 Mise en place experimental

Le montage experimental detaille dans ce paragraphe est celui qui a AtA effectuA an Laboratoire de Physique et MAcanique des Materiaux de Metz notamment par Chevrier et Klepaczko [Chevrier et Funfrock , 1994, Chevrier , 1998] ^ ^ . Sont done detailles briAvement ici le fonctionnement global du canon ainsi que les principales mesures realisables.

Le LPMM a done a disposition un lanceur a gaz de diamAtre 57mm destinA a 1'Atude des impacts plaque/plaque dont une coupe 2D et une vue 3D extArieure sont donnAes sur les figures 3.8 et 3.9 respectivement. II est capable d'atteindre des vitesses de projectile de 1'ordre de 600m/s (environ lOOOm/s pour le lanceur du CEA Valduc).Le montage est AquipA d'un certain nombre de capteurs. Trois lasers espacAs de 50mm chacun permettent de mesurer la vitesse d'impact du projectile. Un interfA- romAtre laser (dont le canon du CEA est AquipA mais pas celui du LPMM) permet de suivre 1'Avolution de la vitesse de la surface fibre de la cible qu'on a appelAe vitesse de face arriAre (pour la mise en place expArimentale de ce dispositif, voir entre autres [Barker et Hollenbach , 1972, Espinosa , 1996]). Un systAme de rAcupA- ration du projectile placA an fond du canon permet de rAcupArer la cible aprAs 1'essai sans endommagement secondaire. Enhn, ahn d'assurer la planAitA de 1'impact, il est possible de faire pivoter autour de 2 axes le support de cible.

3.2.3 Courbe d'ecaillage

L'objectif des essais plaque/plaque est gAnAralement de tracer pour un matAriau donnA une courbe donnant 1'Avolution de la contrainte d'Acaillage en fonction du temps de chargement (on assimilA); cette courbe est gAnAralement appelAe courbe d'Acaillage. Selon les moyens expArimentaux a disposition, diffArentes mAthodes sont *

*Le lecteur intAressA pourra d'ailleurs obtenir le descriptif complet du montage dans [Chevrier , 1998].

^Les rAsultats de 1'alliage d'aluminium 7020-T6 utilisAs dans la suite de ce chapitre ont AtA obtenu avec ce montage. Ceux du titane ont AtA obtenu avec un canon du CEA Valduc que nous ne dAtaillons pas.

86

3.2. Description des essais plaque/plaque

alimentation

recuperateurplotde ^iode

plexiglass aserboitier de connexion

T,E

m Mtsupport de fibre optique

stube de lancement

"k

cible

30 mm

faisceaulaser

:

Lc > -t

support de cible fibre

optique

2*50 mm< > < >

HA-sabot

projectile

■■ nmpacteuF"

compteur de temps

photodiode amplificateur

Fig. 3.8 - Coupe 2D du lanceur a ga/ developpe an LPMM de Met/. Detail du systeme optique de mesure de vitesse de projectile.

euvisageables pour obteuir cette courbe.Dans ce paragraphe, deux methodes distinctes sout etudiees :

- la premiere est cello utilisee an LPMM qu’on appellor a "methode Chevrier"[Chevrier , 19981 qui n'utilise que les parametres de Lossai et et uueanalyse des eprouvettes apres essai.

- la deuxieme, la methode par analyse do la vitesse do face arriere (utilisee notamment au CEA Valduc), construit la courbe a partir des parametres do bessai et de mesures effectuees sur le releve de revolution de la vitesse de face arriere.

3.2.3.1 Methode Chevrier

La methode utilisee par Chevrier pour obteuir uue courbe d'ecaillago est adaptee aux moyens experimentaux disponibles. Comme le banc experimental du LPMM lie permet pas d'obtonir la vitesse de face arriere, elle s'appuie uuiquemeut sur les deux parametres de bossai et sur uue etude de beprouvette apres essai.Cette methode utilise bhypothese simplihcatrice proposee par Speight et Taylor [Speight et Taylor , 1986|; e'est-a-dire que bou suppose que tout se passe comme dans le eas elastique detaille dans les paragraphes 3.2.1.1 et 3.2.1.2. En fixant tout d'abord uue epaisseur de cible on impose un temps de chargemeut eu tension A du centre de la cible donnee par bequation 3.3. II s'agit alors de realiser plusieurs essais a epaisseur constante eu faisaut varier la vitesse dhmpact ^pressiou de choc donnee par bequation 3.4. Aiusi, pour chaque essai, connaissant bepaisseur 1/ et la vitesse dhmpact , la pressiou de choc et le temps dechargemeut A peuvent etre determines. Dhm autre cote, apres chaque essai, la plaque impactee est coupee selou uu axe perpendiculaire a bimpact. Les surfaces sout alors polies, gravees et observees au microscope ahu de determiner le niveau d'ecaillage


Fig. 3.9 - Vue 3D exterieure du lanceur a gaz developpe au LPMM de Met/

[Chevrier , 1998| qui va de "pas d'ecaillage" pour un material! sans micro-cavites et sans micro-fissures visibles avec un grossissement xlOOO jusqu'a "ecaillage avance" pour un specimen avec unc nouvelle surface. En fixant et en faisant varier il est done possible de determiner la vitesse d'impact limite, et done la pression de choc, pour laquollo 1'ecaillage a lieu. La contrainte d'ecaillage est alors egale a la pression de choc corrospondanto. En repetant 1'operation pour plusiours epaisseurs, il est finalement- possible de tracer revolution de la contrainte d'ecaillage aec en function du temps de chargement

Dans le cas de Valliage d'aluminium 7020-T6, la figure 3.10 montre la coupe de cibles recuperees apres essais pour differents niveaux d'ecaillage. La figure 3.11 presente la courbe d'ecaillage obtenue a Tissue des essais ainsi que la courbe optimi- see obtenue par le critere de Klepaczko. L'augmentation de la contrainte d'ecaillage lorsque le temps de chargement diminue apparait clairement.

3.2. Description dos ossais plaquo/plaquo

Fig. 3.10 - Cibles on alliago d’aluminium 7020-T6 recup erees apres ossais a different^ uivoaux d'ocaillago (a. = loOm/.s, Z,^ = 10 mm, b. = 23Gm/.s, Z,^ =10mm, c. __ 270m,/.s, Z,^ = 10mm, d. = 294m,/.s, Z/ = Gmm).

3.2.3.2 Mothodo par analyse do la vitosso do face arriere

II s'agit dans co cas de construire la courbo d'ocaillago a partir de mosuros offoc- tueos sur Involution do la vitosso do la face arrioro. La mothodo detaillee id ost cello do Romanchonko ot Stepanov [Romanchonko ot Stepanov , 1980|,Les difforoutos mosuros offoctuoos sent dotailloos sur la figure 3.12; il s'agit gouora- lomont do determiner :

- la difference outre la vitosso attointo lors du premier plateau ot celloattoiuto dans lo premier croux V""'.

- lo temps tc exp outre la fin du premier plateau ot lo premier croux,Cette memo figure comparoo a la figure 3.12 pormot do roller cortainos quantites

mosuroos oxporimoutalomout ot los quantites quo nous avous pu ovoquor procodommont. Ainsi :

At 2^

V ------ V

(3.6)

(3.7)(3.8)

Do cos mosuros, Romanchonko ot Stepanov [Romanchonko ot Stepanov , 1980| proposont une formule donnant la contrainte d’ecaillage.

(T PcLV

V (V (3.9)

oh la colorito do Loudo do choc C s'oerit [Moyers , 1994, Thouvouiu , 1997| :

V (3.10)

89


n3 CLO0)CDcyIM®"O0)

8

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

• absence d' ecaillage X ecaillage❖ initiation ★ ecaillage avarice+ initiation avancee ----- critere Klepaczko

0 0.5 1 1.5 2 2.5

temps de enlargement (gs)

Fig. 3.11 - Resultats experiment-aux obtenus par Chevrier [Chevrier , 19981 pour Valliage d’aluminium 7020-T6 ot critere do Klepaczko associe [Chevrier ot Klepaczko , 1997, 1999|.

avec s une const-ante caracterist-ique du mat-eriau ot u lo saut do vitosso materielle. La relation 3.9 suppose que toutes les ondes du faisceau de tension arrivant en surface libre se sont propagees en moyenne a la meme vitesse K. Ahn de prendre en compte la portion du faisceau do detente ayant- effectivement attoint lo plan d'ecaillage, mais rattrape avant la surface libre, car plus lento, par la recompression credo par la rupture an plan d'ecaillage (ce qu’on pout voir notammont sur la figure 3.7), un tonne correctif ost ajout-e pour donner finalement- Vdquation 3.11 :

= + (-’ID

Dans ces equations, K"'"' et C sont done deduits de la vitesse de facearriere et ri est egal a 1'epaisseur de 1'ecaille, e'est-a-dire a dans le cas d'un impact symetriquo verifiant- la relation 3.1.

Avec plusieurs simulations pour differontos epaisseurs, il est alors possible de tracer la courbe d'ecaillage qui, dans le cas developpe par Romanchenko et Stepanov [Romanehenko ot Stepanov , 1980|, correspond a la courbe dormant aec on fonction de At o.

Dans lo cas do Valliage do titano Ta6V, la figure 3.13 donno revolution do la vitesse de face arriere pour trois epaisseurs distinctes (1mm, 2mm et 4mm pour L^).

^Pour retrouver unc courbe analogue a ccllc obtenue avec la methodc Chevrier, il faudrait tracer ici en fonction do F '

90

3.3. Etude thAorique : cas de l'Au4Gl-T4

1000

c exp

S 500

HEL

2 31 1.50

temps (gs)

Fig. 3.12 - Exemple devolution de vitesse de face arriAre obtenu numAriquement dans le cas du titane Ta6V (impactA par une plaque de cuivre) pour une plaque d'Apaisseur 4mm et un vitesse d'impact de 815m/s. Les mesures classiquement effectuees sont indiquees.

L'enregistrement des donnees par 1'interfAromAtre debute dAs la dAtection du prAcur- seur Alastique; ceci explique notamment que la premiAre onde de choc est dAtectAe au mAme moment pour les trois relevAs. En considArant la formule de Romanchenko et Stepanov [Romanchenko et Stepanov , 1980] qui s'applique a la diffArence de vitesse entre les points indiquAs sur la figure, on constate une augmentation lorsque 1'Apaisseur de la cible est plus petite.

3.3 Etude theorique : cas de TAu4Gl-T4L'objectif de cette partie est de poser les bases d'une mAthodologie d'identihca-

tion des paramAtres en Atudiant le cas thAorique de 1'alliage d'aluminium Au4Gl-T4. Selon la mAthode utilisAe, I'inhuence de chacun des paramAtres est explicitAe, permettant ainsi de faciliter 1'identihcation ultArieure de ceux-ci pour un cas rAel.

Avant d'envisager 1'identihcation des paramAtres de 1'endommagement retardA, il est cependant important de rappeler ici qu'un certain nombre de prArequis sont nAcessaires dans la connaissance du matAriau. II s'agit d'avoir identifier au prAalable :

- les paramAtres gAnAraux relatifs au matAriau (masse volumique, paramAtres de 1'AlasticitA, etc...),

91

3, Identification des parametres : met-hodologie ot applications

0.5mm -> 1.mm

1.mm -> 2.mm

2.mm -> 4.mm

temps (ps)

Fig. 3.13 - Vitesse de face arriere experiment-ale (Ta6V, adimensionnee)

- la loi d’ecrouissage du material! incluant potentiellement des dependances a la vitesse de deformation, a la temperature, etc...

- la loi d'endommagementpour des sollicitations quasi-statiques (c'est-a-dire des sollicitations pour lesquelles Veffet retard n'a pas d'influence).

En ce qui concerne Valliage d'aluminium Au4Gl-T4, le modele ainsi que les parametres assoeies an material! out ete detailles dans la part-ie 2.5 et plus precisement dans le paragraphe 2.5.3 en ce qui concerne les parametres. Rappelons juste qu'il a ete identifies avec une loi de plasticite de von Mises couple a Vendommagement- en quasi-statiquo par Dufailly [Dufailly , 1980, Lemaitre et Chaboche , 1996b|,

Avant toutes choses, 1'etude complete d'une simulation est effectuee, depuis le choix du maillage a 1'aide de la formule analytique de la longueur caracteristique

jusqu'aux resultats numeriques (profils d'endommagement, deformation, etc...).

3.3.1 Etude d’une simulation

Cette etude se divise en deux parties. La premiere s'attache a decrire le choix de la finesse du maillage, choix qui a ete optimise grace a la formulation analytique mise en place dans la part-ie 2.4. Dans la seeonde, une simulation avec un endommagement retarde est effectuee. L'examen des resultats (profils d'endommagement, de cont-raint-e, deformation, etc...) permet, en complement des modeles simples (elastique, elastique avec rupture, plastique avec rupture) exposes precedemment, de mieux percevoir les differents phenomenes se produisant an cours d'un impact de plaques.

Le material! etudie est- done Valliage d’aluminium Au4Gl-T4 auquel on ajout-e un

92


effet retard dans 1'endommagement. Les paramAtres de 1'endommagement retarde o et choisis empiriquement, sont respectivement Agaux a 2 et 0.1/ts. Le calcul simule pendant 3/ts un impact symAtrique de plaques de diamAtre 40mm, les Apaisseurs de 1'impacteur Z,^ et de la cible Zf etant respectivement Agales a 2mm et 4mm. La vitesse d'impact est de 500m/s.

3.3.1.1 Choix du maillage

Alin de choisir une taille de maille adAquate pour le calcul que nous souhaitons effectuer, nous nous proposons d'appliquer la formule analytique 2.38 dAterminAe dans la partie 2.4 :

Cette formule a AtA Atablie dans un cadre uni-dimensionnel pour un matAriau Alastique endommageable. L'Atude des essais plaque/plaque implique quant a elle un cadre tri-dimensionnel, ou plutot bi-dimensionnel axi-symAtrique. NAanmoins, lors de 1'impact, seules des ondes planes, perturbAes par des effets de bords, se propagent dans les plaques. Par consAquent, on peut raisonnablement admettre que le problAme d'impact de plaques est Aquivalent, au moins prAs de 1'axe des plaques, a un problAme uni-dimensionnel MalgrA la nature Alasto-plastique endommageable de l'Au4Gl-T4, la formule va permettre d'avoir un ordre de grandeur de comme cela a AtA montrA dans [SufEs et Combescure , 2002a] et dans la partie 2.5.3.Dans 1'Aquation 3.12, quasiment tous les paramAtres sont connus : la cAlAritA longitudinale des ondes est Agale a 5990m/s, le temps caractAristique a 0.1/ts et les contraintes limites minimale et maximale respectivement a 401MZ*o et 1079MZ*o (voir les Aquations 2.26 et 2.27). Reste a dAterminer le niveau de contrainte Act.Deux mAthodes sont ici suggArAes :

1. la premiAre consiste a utiliser la formule de Taylor (c'est-a-dire a supposer que 1'onde qui se propage est Alastique) donnAe par TAquation 3.5. On obtient de cette maniAre un niveau de contrainte effective A<r Agal a 4.1GZ*o.

2. la seconde consiste a effectuer un calcul identique a celui que Ton souhaite rAa- liser mais sans introduire d'endommagement. Le niveau de la contrainte axiale relevA au centre de la cible lorsque les ondes se croisent sert alors d'approximation du niveau de contrainte A<r. Avec cette mAthode, A<r a AtA AvaluAe a 2.93Gfo.

Le tableau 3.1 rAcapitule les diffArentes longueurs caractAristiques. En rAalitA, comme deux ondes se croisent et se propagent ensuite de part et autre du centre de la cible, il convient de multiplier la longueur obtenue par deux pour obtenir en dAH- nitive la largeur de la zone complAtement endommagAe. L'ordre de grandeur obtenu

? Cette restriction est d'ailleurs falte par nombre d'auteurs pour simplifier les simulations d'impact de plaques [Deii , 1997, Bonora et Gentile , 2001, Ruggiero et Bonora , 2002].

93


est le millimetre. Plus preeisement, la largeur de la zone eompletement endommagee devrait etre comprise entre 1.2mm et 2.8mm. Par suite, il a etc decide pour ce calcul de mailler Vepaisseur de la eible avec 36 elements de telle sorte que la zone completement endommagee comprennent an moins dix elements. AAn d’avoir un maillage relativement homogene, Vepaisseur de Vimpacteur comprend 18 elements et le rayon 90 elements. Au total, le maillage est compose de 4860 elements quadrangulaires (voir figure 3.14).

Methode 1 Methode 2n/?car l.GOm/m,

2.78 mm1.20 mm2.38 mm

Tab, 3.1 - Approximation de la largeur de la zone eompletement endommagee au centre de la eible (correspondant a 2£car) selon la methode utilisee.

Fig. 3.14 - Maillage optimise des plaques.

3,3,1,2 Presentation des resultats

Le calcul effectin'; simule un impact de plaques pendant 3/zs, C'est un calcul en axi-symetrique; seule la moitie des plaques est maillee avec des elements quadrangulaires a un noeud d'integration (note CAR1 dans la terminologie d’Euro- plexus). Ce type d'element est dit sous-integre; il permet d'eviter le probleme de 'Pressure locking' qui apparait avec des quadrangles a 4 noeuds d'integration [Galon et Izquierdo , 2000|.Le contact entre la eible et Vimpacteur est gere avec la methode des penalties [Hallquist et al, , 19851. Aueun frottement n'est pris en compte. La peau de la eible correspond a la surface maltro, cede de Vimpacteur a la surface eselave.Une methode d'erosion est utilisee ahn de representer l'endommagement total des elements, Ainsi, lorsque l'endommagement d'un element atteint l'endommagement critique Dc, il est transforme en element 'fantome', e'est-a-dire que sa rigidite est

94


annulAeEnEn, un amortissement (avec un coefEcient ^ de 0.2) est introduit. Combine a un pas de temps At Agal a la moitie du pas de temps critique cela permet d'Aviterles instability au cours du calcul et, en particulier, au debut de 1'impact. De fagon a Aviter le croisement des elements CAR1 sur un mode d'howgfoss, un anti-hourgfoss visqueux est Agalement introduit avec un coefEcient egal a 0.5.Dans ces conditions, le temps de calcul est de 1'ordre de la minute.

Les resultats du calcul sont donnes sur les Egures 3.15, 3.16 et 3.17. La premiAre donne le proEl de la contrainte axiale a diffArents instants clefs dans la cible et dans 1'impacteur sur la conEguration non-deformee. De la mAme maniAre, la seconde donne le proEl d'endommagement. EnEn, la derniAre donne la deformee avec une amplitude unitaire du maillage a la En de la simulation. Les elements transformes en elements fantbmes y sont egalement representes. Comme les noeuds de ces elements Avoluent avec leur derniAre vitesse avant leur endommagement total, il est frAquent qu'ils traversent d'autres AlAments, mais cela n'a aucune consAquence particuliAre. Le proEl de la vitesse de face arriAre correspondant a cette simulation n'est pas donnAe dans cette partie, il est cependant visible sur la Egure 3.23 oh il sera AtudiA. En utilisant la Egure 3.7 et, plus gAnAralement 1'ensemble des informations de la partie 3.2.1, une interprAtation des Egures 3.15 et 3.16 est proposAe :

- au temps 0.6/43, 1'onde de choc d'environ —3C7Po s'est dAja rAEAchie sur la surface libre du projectile en onde de dAtente et se propage encore dans la cible. Le front de 1'onde est linAaire dans toute la partie centrale des plaques (validant 1'hypothAse d'uni-dimensionnalitA des contraintes dans cette zone). Les effets de bords (qui sont des ondes de dAtente) sont dAja sensibles et se propagent radialement vers le centre des plaques.

- au temps 0.95/43,1'onde de choc s'est rAEAchie sur la surface libre de la cible. On a done deux ondes de dAtente qui ramAnent progressivement les deux plaques a un niveau de contrainte nulle. Les effets de bords continuent de se propager radialement en dAtendant les plaques.

- au temps 1.3/43, les ondes de dAtente (ou du moins leurs parties Alastiques) ont commencAes a se croiser au centre de la cible. A cet instant, 1'endommagement des plaques est nAgligeable puisque seule de la compression a eu lieu jusqu'a maintenant. L'interaction des ondes de dAtente venant du bord et des ondes axiales crAent une zone de tension lAgArement supArieure au centre de la cible prAs du bord.

- au temps 1.42/43, la contrainte au centre de la cible augmente progressivement suite a 1'arrivAe progressive des ondes plastiques. Conjointement, 1'endommagement augmente dans cette zone. A la pAriphArie, une zone complAtement endommagAe commence a apparaitre

^En fait, dans Europlexus, les AlAments fantdmes permettent d'Aviter 1'arrAt du calcul par cris- sement des AlAments. En effet, lorsqu'un AlAment est complAtement endommagA, il n'est pas retirA du maillage mais, Atant fantdme, il n'est plus contraint de vAriher la non-interpAnAtration et le non-croisement des noeuds.

^ExpArimentalement, pour certains essais n'amenant pas & un Acaillage total, il arrive que seule cette zone prAsente un dAbut d'Acaillage.

95


- an temps 1.54/is, 1'ensemble du centre de la cible s'est brutalement complAte- ment endommagA.

- ensuite, et en particular an temps 1.66/43, la zone complAtement endommagee s'Atend (notamment gr&ce an retard qui a ete introduit) et une onde de detente qui part de 1'Acaille relaxe progressivement la cible.

A posteriori, on obtient une zone complAtement endommagee de 1'ordre de 1mm qui est finalement bien approximee par la formule analytique du paragraphe precedent. La formule analytique surestime cependant la valeur numerique, mais le resultat est somme toute correct vu la difference entre le modAle choisi pour l'Au4Gl-T4 et les hypotheses necessaires a 1'application de la formule analytique (en particular en ce qui concerne la plasticite).

3.3.2 Identification par la methods Chevrier

La methode utilisee par Chevrier pour obtenir une courbe d'Acaillage a ete detaillee dans la partie 3.2.3.1. Nous proposons maintenant de poser les bases de 1'identihcation des paramAtres de 1'endommagement retarde a partir de rAsultats obtenus par cette methode (illustres notamment par la courbe 3.11). II s'agit de reproduire numeriquement les essais qui out ete effectuAs expArimentalement; c'est-a-dire que 1'on va suivre le mAme protocole pour obtenir la courbe d'Acaillage. Des sAries de simulations vont done Atre effectuAes, chaque sArie donnant un point sur la courbe d'Acaillage. Ainsi :

- pour une sArie donnAe, une Apaisseur de cible et done un temps de chargement en tension gont hxAs.

- a chaque simulation, la vitesse d'impact progressivement augmentAeahn de dAterminer la vitesse limite, et done la contrainte d'Acaillage pour laquelle 1'Acaillage apparait.

En fait, de fagon analogue a la figure 3.11 qui prAsente les rAsultats expArimen- taux, les rAsultats sont donnAs sous la forme d'un graphique contrainte / temps de chargement sur lequel chaque point correspondant a une simulation donne le niveau d'endommagement obtenu a la fin du calcul.L'ensemble des rAsultats prAsentAs dans cette partie sont par ailleurs rappelAs sous forme de tableaux dans 1'annexe C.

3.3.2.1 Simulations sans limitation du taux d'endommagement

La premiAre Atude effectuAe donne les rAsultats numAriques obtenus avec le mo- dAle classique, e'est-a-dire sans limiter le taux d'endommagement. Ces rAsultats sont prAsentAs sur la figure 3.18. On s'apergoit sans difhcultA qu'aucune dApendance de la contrainte d'Acaillage an temps de chargement en tension n'est mise en Avidence. Les isovaleurs de 1'endommagement sont en effet assimilables a des droites horizontales. Le modAle classique semble done incapable de reprAsenter correctement des rAsultats d'essais plaque/plaque.

96

3,3, Etude theorique : cas do VAu4Gl-T4

0.6|is

0.95|iS

1.3ns

1.42ps

1.54ps

1.66|iS

3.1GPa 2.2GPa 1.2GPa OGPa -1.2GPa -2.2GPa -3.1GPa

Fig. 3,15 - Profit de la eontrainte axiale pour different* temps dans la cable et Vimpacteur.

97

3, Identification des parametres : mothodologie ot applications

1.3ps

1.42ps

1.54ps

1.66ps

0.23 0.2 0.15 0.1 0.5 0

Fig. 3.16 - Profil do Lendommagement pour different^ temps dans la cible et Lim- pactour.

3.3.2.2 Simulations avee endommagement retarde

La deuxiome etude utilise le modele d'endommagement retarde. Des parametres do reference out oto choisis : -d = 0.2/z.s. Los rosultats numoriquosobtonus avoo cos parametres sent donnos sur la figuro 3.19.Comme pour les rosultats experimentaux, on constate id, a endommagement egal, une augmentation do la eontrainte lorsque le temps do chargement diminue. Les isovalours sont maintenant semblables a des hyperboles, Cette forme est assez intuitive vue la nature du modele. La limitation du taux d'endommagement implique on effet la presence d'une asymptote vertieale correspondant an temps minimal pour atteindre Fendommagement total. Co temps est id egal a Dctc = 0.044/zs, II est, dans les faits, assez difficile do mettre on evidence numeriquement cette asymp-

98

3,3, Etude theorique : eas do VAu4Gl-T4

Fig, 3,17 - Deformee do la plaque a la fin du ealeul,

tote, En effet, les eontraintes eorrespondantes sont tellement elevees que la part de rendommagement en compression (lors du premier passage de Tonde) n'cst plus negligeable devant rendommagement en tension. II a done ete choisi, pour pouvoir negliger cette participation, de n'effectuer que des simulations avec des pressions de choc inferieures a i.oGPn, correspondant environ a des vitesses d’impact inferieures a ooOrn/s. Ceci explique r absence de simulations present-ant un endommagement total pour le temps de chargement de 0,17/zs,

Sachant qudl est possible d'obtenir des resultats numeriques qualitativement satisfaisants avec un modele d'endommagement retarde, il s'agit maintenant de montrer qudl est possible, en optimisant les parametres a et T^, d'obtenir des resultats numeriques quantitativement satisfaisants quel que soit le temps de chargement tc. Deux nouvelles etudes sont done moneos, la premiere en gardant le temps earaete- ristiquo de reference et en choisissant a egal a 2a^^ = 20 et la seconde engardant le parametre a de reference a'"^^ et en choisissant egal a ^ = O.l/i.s.Ces resultats sont presentes sur les figures 3,20 et 3.21. Les sensibilites mises en evidence sont les suivantes :

- la courbure des isovaleurs diminue lorsque a augmente. On le constate en particulier en comparant, sur les figures 3,19 (reference) et 3.20, la eontrainte correspondant a un endommagement total obtenue pour les temps de chargement de 0.33//.S et 0.42//.S. Ceci s'interprete facilement si on considero a nouveau la loi devolution de rendommagement retarde :

D = ^ (1 - exp [-a - D)]) (3.13)

oil l;on volt que a accentue rinfluence d'un ecart ent-re D et Dnc. A la limite, nous avons vu que lorsque a augmente, le modele d'endommagement retarde tend progressivement vers le modele d'endommagement retarde simplihe mis en place dans la part-ie 2,4,1,1; e'est-a-dire vers un modele a seuil. L'ecaillage apparaitrait dans ce cas des lors que la eontrainte depasserait une

99


4000

3000W

CL

2000

1000

0

- -

• # • •A A A

A A AA ► ► A

► ► ►►>

4t

4

< 4 4 4

< 4 4 4

▼ ▼ ▼ ▼

▼ 0%<D<25% 50%<D<75%

◄ 25%<D<50% ▲ 75%<D<100%

• endommagement complet

0.2 0.4 0.6 0.8t° ((-is)

Fig. 3.18 - Resultats numeriques obtenus avec la methode Chevrier pour l’Au4Gl-T4 modelise sans limitation du taux d’ondommagomont.

contrainte limitc (droite hori/ontale dans le graphique rr/A) et quo le temps de chargement serait superieur an temps minimal (droite verticale dans le graphique <7/A). Ce cas limite correspond a un rayon de courbure nul (angle droit entre les deux droites).

- la courbe (comme b asymptote verticale en B^T^) est globalement translatee selon baxe des temps de chargement lorsque bon modiho le temps caracteristique tc. Les figures 3.19 (reference) et 3.21 permettent de constater ce phenomene.

On schematise les isovalours d’endommagement par des hyperboles a trois parametres A, B et C comme suit :

Ba = A 4-------- — (3.14)- C

En consequence, augmontor le paramotro a est equivalent a diminuer le parametro B et augmenter le temps caracteristique est equivalent a augmenter C. Deii [Deii , 1997| avait par ailleurs deja etudie, dans le cadre d’une poutre uni- dimensionnelle elastique endommageable, binfluence do cos parametres, Les memos caracteristiques avaient ete mises en evidence, mais beaucoup plus nettement que dans notre analyse. Trois elements de betude de Deii permettent d’expliquer cette difference. Tout d’abord, le cadre do belastieite endommageable dans lequel il so place permet d’eviter le probleme des ondes plastiques plus lentes qui interagissent outre olios. L’endommagement do son materiau n’a lieu qu’en tension, eontrairement a notre etude oh il est possible d’avoir un ondommagomont mineur on compression, Enfin, le cadre uni-dimensionnel qu’il eonsidere affranchit do la prise on compto des

100


4000

3000nj

Q_

2000

1000

>

AA

A

▼

▼

▲►►

►

4AA

▼

▼

▲

►

►

AAA

▼

f▲▲

►

►

AA

►

►

AAA

▼

▲A

▲

►

AAA

▼

v 0%<D<25%

4 25%<D<50%

# endommagement complet

50%<D<75%

A 75%<D<100%

>

►

AAA

▼

0.2 0.4 0.6 0.8tc (Lis)

Fig, 3,19 - Resultats numeriques obtenus avec la methode Chevrier pour VAu4Gl-T4 modelise avec limitation du taux d'endommagement et les parametres de reference

= IQ Qt "E ^ = 0.2//.S.

offots de bords. Quoi qudl en soit, la prosonto etude, comme cede cffcctuec par Doii, corrobore les differentes influences detaillees precedemment.Ainsi, il semble dorenavant possible de reproduire qualitativement et quantitativement des resultats experimentaux d'essais plaque/plaque obtenus par la methode Chevrier en optimisant a et rc , L'identification de ces deux parametres est done envisageable par cette methode.

3.3.3 Identification par la vitesse de face arriercLa methode permettant d'obtenir une courbe d’ecaillage a partir de mesures de

vitesse de face arrierc a etc detaillee dans la partie 3.2.3.2. A partir de mesures effectuees sur le profil de vitesse de face arriere (et en particular de la difference entre la vitesse maximale et la vitesse minimale E"""), il est possible d'en deduirela contrainte d'ecaillage. Pour ce faire, Tusage d'une formule est necessaire, que ce soit celle de Taylor [Speight et Taylor , 1986|, cello do Romanchonko ot Stepanov [Romanehenko et Stepanov , 1980| on une autre, Plutot que d’utiliser une formule (on uno autre) ahn do tracer uno courbo d'ocaillago, il ost choisi d'otudior numori- quomont ce problomo diroctomont on tonne de vitesse de face arrierc.Le protocole, analogue a celui qui a pormis d’obtenir les profils pour le Ta6V pro- sontos sur la figure 3.13, consisto done a :

- sc fixer une vitesse d'impact pour toutes les simulations suffisamment elevee pour quo Lecaillago ait lieu. On choisit pour los simulations avec LAu4Gl- T4 uno vitesse d'impact egalo a oOOm/.s- qui so rovolo gonoralomont

101


4000

3000W

CL

2000

1000

▲- ► -

>► 8 9

A A * : t► ▲

A ► >A ►

▼ A A

A

▼ ▼ A

▼

▼ 0%<D<25% ► 50%<D<75%< 25%<D<50% a 75%<D<100%

• endommagement complet

0.2 0.4 0.6 0.8tC (lis)

Fig. 3.20 - Resultats numeriques obtains avec la methode Chevrier pour VAu4Gl- T4 modelise sans limitation du taux d’endommagement et les parametres a = 20 et

rc re/ 0.2//.S.

4000

_3000W

CL

D2000

1000

00.2 0.4 0.6 0.8

tC (US)

Fig. 3.21 - Resultats numeriques obtains avec la methode Chevrier pour VAu4Gl-T4 modelise sans limitation du taux d’endommagement et les parametres a = aref = 10 ot = 0.1//.S.

' '▲

" *► ▲

A 1A ► * t i 1AA A ►

►▼ A >

A A

▼ ▼ AA

▼

- ▼ 0%<D<25% ► 50%<D<75%

A 25%<D<50% a 75%<D<100%

« endommagement complet

102


suffisante,- effectuer des simulations avec trois epaisseurs de cible differentes (qui corres-

pondent a trois temps de ehargement different^). Dans notre eas, Lc est ehoisi sueeessivement egal a 1, 2 puis 4 mm.

- degager des profils de vitesse de face arriere les principales caracteristiques, en particular la quantite |E"'"^ — E""" |, et les comparer a cedes classiquement obtenues experimentalement,

L'ensemble des resultats presentes dans cette partie sont par ailleurs resumes dans le tableau 3,2,

3,3,3,1 Simulations sans limitation du taux d'endommagement

La premiere etude effectuee donne les resultats numeriques obtenus avec le modele classique, Eest-a-dire sans limiter le taux d'endommagement. Ces resultats sont presentes sur la figure 3.22. On constate sans mal que decart de vitesse reste inchange lorsque depaisseur de la cible est modifiee. Ces resultats sont tota- lomont coherents avec ceux obtenus dans le paragraphe 3.3.2.1 on aucune influence du temps de ehargement sur la contrainte d'ecaillage n'avait etc mise en evidence.

0.5mm -> 1.mm

1 .mm -> 2.mm2.mm -> 4.mm

temps (gs)

Fig. 3.22 - Vitesse de face arriere pour trois epaisseurs (1mm, 2mm et 4mm pour Lc) pour dalliage d'aluminium Au4Gl-T4, La vitesse d'impact est de 500m/s, Resultats numeriques obtenus sans effet retard. Les points correspondent aux mesures oxperimontalos effectuees classiquement (en particulier — E""").

103


3,3,3,2 Simulations avec endommagement retarde

Do la memo maniere quo dans le paragraphe 3,3,2,2, on choisit tout d’abord des parametres de reference : a^ = 2 et = 0.1/z.s. Les profils de vitesses de facearriero obtenus sont ropresontes sur la figure 3,23,

0.5mm -> 1.mm

. 1.mm ->2.mm2.mm -> 4.mm

temps (pis)

Fig. 3.23 - Vitesse de face arriere pour trois epaisseurs (1mm, 2mm et 4mm pour pour Valliage d’aluminium Au4Gl-T4, La vitosso d'impact ost do oOOm/.s. Resultats numeriques obtenus avec les parametres aT^-f et

Comme pour les resultats experimentaux du Ta6V de la figure 3.13, on retrouve une influence nette de Tepaisseur de la cible sur Lecart de vitesse. Ainsi, lorsque Lepaisseur de la cible diminue, le delta de vitesse augmente. On constate par ailleurs que, comme cela a ete detaille lors de la presentation des essais plaque/plaque dans la partie 3.2, est quasiment egal pour toutes les epaisseurs a la vitesse d'impact yinymc/ _ En reliant les points correspondant a V""", on pent done avoirune idee de la courbe d'ecaillage associee Cette courbe est tracee en pointille sur la figure 3.23.

Encore une fois, des resultats numeriques qualitativement satisfaisants sont trou- ves. Reste a voir si Toptimisation des parametres a et permet de trouver des resultats numeriques quantitativement satisfaisants. Differentes simulations sont done effectuees :

- trois simulations avec le temps caracteristique de reference et trois va-lours distinetes pour le parametro a : 0,4, aref = 2 et 10,

- trois simulations avec le parametre a de reference a^ et trois valeurs distinetespour le temps caracteristique : O.Oo/i.s, = 0.1/z.s et 0.2/i.s.

temps on abscissc est en offot rclativcmcnt proportiomicl au temps de ebargement.

104


a = 0.4

8 = 10

temps (jus)

Fig. 3.24 - Vitesse de face arricro pour trois cpaissours (1mm, 2mm et 4mm pour pour Talliage d Aluminium Au4Gl-T4. La vitesse d Impact est de oOOm/.s. Synthcsc des resultats numcriqucs obtenus avec le parametre et diffcronts parametresa.

Cos resultats sont presentes sur les figures 3.24 et 3,25, Deux simulations n’ont pas donnees d'ccaillagc de la cible; il s'agit a chaque fois dime cible de 1mm d'epaisseur pour les couples (a, T^) suivants : (rf^, 0.2/r,s) et (0.4, ^). On pent toutefois,en considerant les courbes passant par les points correspondant a V""", degager diverses influences. De la memo maniere que pour fietude avec la methode Chevrier et pour les memos raisons, on a globalement :

- une augmentation do la courburo avec le parametre a. Cod est particulierement visible sur la figure 3.24 en comparant les courbes pour a = 2 et a = 10.

- une deplacement do la courbe sans modification do la courburo lorsque le temps caracteristique est modifie

Ces deux influences doivent permettre de reproduire aussi bien qualitativement quo quantitativomont les resultats experimentaux, Lidentification est done encore envisageable par cette methode.

3.3.4 Conclusion

Deux methodes didentification out done etc proposeos scion les moyens experimentaux utilises pour realisor les cssais plaquc/plaquc. II est on offot fondamontal do

ii]l cat difficile ici de d6gagcr proprement dans quelle direction eat la tranalation puiaque une augmentation du tempa caracteriatique r'" deplace, d'unc part, la courbc vera la droitc aclon 1'axc dca tempa dd a raugmentation du tempa a rupture et, d'autre part, vera 1c liaut aclon 1'axc dca vitcaaca dO a raugmentation de la contrainto d'ecaillage.

105


Lc )(mm) pas de a = a = a^/ a = a^/ a = 10 a = 0.4

retard /j-C ----- /j-C f'&jf = 0.2 = 0.03 /j-C _— /j-C r /j-C _— /j-C r

1 233 383 (423) 346 310 (424)2 234 343 382 311 282 4194 246 302 343 274 234 384

Tab. 3.2 - Resume de la difference entre et I/""" pour les differentes simulations presentees. aT^-f = 2, = 0.1/z.s et = 300m/.s. Une valeur entreparentheses signihe que Tecaillage n'a pas eu lieu pour cette simulation.

se rapprocher an plus de la methode experimentale qui a ete utilisee pour ne pas trouver des resultats errones. II est par exemple dangereux, dans le cas de T analyse de la vitesse de face arriere, dhitiliser pour les simulations des vitesses d'impact differentes de cellos utiliser lors des essais. Hanim [Hanim et Klopaczko , 1999| a on offot montre (an moins numeriquement) que Tecart de vitesse dependait fortementdo la vitesse d'impact choisie. Hanim [Hanim et Klopaczko , 1999| a egalement mis en evidence des differences de plus dim Gf a selon la formule utilisee pour construire la courbe d'ecaillage (commo celles proposees dans [Romanchenko et Stepanov , 1980, Speight et Taylor , 1986, Bushman et al. , 1993| entre autres).Interessons-nous par exemple an cas do VAu4Gl-T4 avec des parametres a et rc respectivement egaux a 10 et 0.1/z.s. Ce cas a ete traite a la fois avec la methode Chevrier (voir figure 3.21) et avec la methode par analyse de la vitesse de face arriere

„ -100

S -300

temps (gs)

Fig. 3.23 - Vitesse de face arriere pour trois epaisseurs (1mm, 2mm et 4mm pour I/) pour 1'alliage d'aluminium Au4Gl-T4. La vitesse d'impact est de 300m/.s. Synthese des resultats numeriques obtenus avec le parametre a^^-f et differents parametres A.

106

3.4. Etudes pratiques : le 7020-T6 et le Ta6V

(voir figure 3.24). Pour la premiere mAthode, les contraintes d'Acaillage sont su- perieures a 3GPo quel que soit le temps de chargement Pour la seconde methode, en appliquant par exemple la formule de Taylor (voir equation 3.5), on obtient des valeurs de contrainte d'Acaillage comprise entre 2 et 2.5GP o, inferieures de plus de ICPo a celles obtenues par la premiAre methode.De maniAre generate, Tutilisation d'une courbe d'Acaillage sans savoir comment elle a AtA construite est fortement deconseillee. C'est pourquoi les deux methodes d'identihcation proposees reproduisent numeriquement le plus hdAlement possible le protocole experimental presente dans le paragraphe 3.2.3.1 pour la methode Chevrier et dans le paragraphe 3.2.3.2 pour la methode par analyse de vitesse de face arriAre.

3.4 Etudes pratiques : cas de r alliage cT aluminium 7020-T6 et de r alliage de titane Ta6V

Dans cette partie est proposAe 1'identihcation des paramAtres de Tendommage- ment retardA pour un alliage d'aluminium 7020-T6 et pour un alliage de titane Ta6V. Dans le cas du premier, les essais ont AtA effectuAs par Chevrier [Chevrier , 1998] au LPMM avec la mAthode Aponyme; nous utiliserons done la mAthode prAsentAe dans la partie 3.3.2. Dans le cas du second, ils ont AtA rAalisAs au CEA Valduc oh un interfAromAtre est disponible pour effectuer des mesures de vitesse de face arriAre permettant ainsi d'utiliser la mAthode d'identification proposAe dans la partie 3.3.3. Les deux paragraphes qui suivent dAtaillent :

- les principals propriAtAs du matAriaux et les modAles associAs (Acrouissage, endommagement identihA en quasi-statique, dApendance a la vitesse de dAfor- mation).

- m/me, 1'identihcation de leurs paramAtres d'endommagement retardA a 1'aide des mAthodes dAtaillAes prAcAdemment.

3.4.1 Cas de r alliage d'aluminium 7020-T6

3.4.1.1 Description du matAriau

Est AtudiA dans cette partie un alliage d'aluminium Al-Zn-Mg 7020 (Mn 0.05%, Mg 1%, Cr 0.1%, Zn 4%) avec un traitement thermique T6. Plusieurs essais de traction et de compression ont AtA rAalisAs pour dAterminer les caractAristiques mAca- niques [Chevrier , 1998, Chevrier et Klepaczko , 1999, Hanim et Klepaczko , 1999] (voir le tableau 3.3). Une dApendance limitAe a la vitesse de dAformation a AtA trou- vAe avec un Acrouissage relativement faible. L'endommagement et la rupture sont modAlisAs par 1'introduction d'une variable d'endommagement isotrope D.

3.4.1.1.1 Equations gAnArales L'aluminium 7020-T6 obAit a une loi d'Acoulement plastique avec un Acrouissage isotrope couplAe a 1'endommagement. Les Aquations devolution sont done globalement semblables a celles qui ont AtA prAsentAes dans la

107

3. Identification des param&tres : methodologie et applications

Propriety PMPo

EMPo

CL

7020-T6 2780 320 720 71500 6400

Tab. 3.3 - Caracteristiques mecaniques de dalliage d'aluminium 7020-T6

partie 2.5. Les seules differences entre le module de plasticity de von Mises detaille precedemment et la modelisation faite ici de raluminium 7020-T6 sont :

- la loi devolution de dendommagement (non-retarde pour le moment) qui est ici specihque.

- la fonction de charge / qui ajoute a dequation 2.39 une dependance a la vitesse de deformation et a la temperature.

Les principales equations devolution du module se resument a ^ :

6 —d = (1 - D)% -

(3.15)

D"c = h (^, A, D)

oh, par rapport a la partie 2.5, la fonction h du taux de triaxialite du multiplicateur plastique A et de dendommagement D remplace devolution donnee par Lemaitre et Chaboche [Lemaitre , 1996a, Lemaitre et Chaboche , 1996b]. Par ailleurs, la fonction de charge secrit :

/((T,D,ep,gp,T)a

1 — D^(gp,gp,T) (3.16)

2 . .(3.17)

oh la fonction traduit la dependance de la limite d elasticity a la deformation plastique equivalente, an taux de deformation plastique equivalente et a la temperature.

Les deux paragraphes suivants detaillent pour le premier (paragraphe 3.4.1.1.2) la fonction et pour le second (paragraphe 3.4.1.1.3) la fonction h.

3.4.1.1.2 Dependance a la vitesse de deformation La fonction de charge / pour d aluminium 7020-T6 a ete identihee grace a des essais de traction et de compression pour differentes vitesses de deformation. II a ete considere que la contrainte d'ecoulement suivait une loi puissance de la forme donnee par les equations 3.18 a 3.21; module qui a ete propose par Klepaczko [Klepaczko , 1987].

^De la m&ne maniAre que dans la partie 2.5, il faut verifier une condition supplAmentaire pour que 1'endonunagement puisse Avoluer. Celle-ci est dAtaillAe ultArieurement.

108


T) — <r"(6p,T) ( 1 + (m(T)'

(3.18)

avec

a”(e,„ T) = B" (l - q^-] (er + ea)0\»(T)

et

(3.19)

n(T) = n" ] 1 -m

( J1m(T) = m" ( —

(3.20)

(3.21)

<r°(e},,T) represente la contrainte d'ecoulement sous conditions quasi-statiques, elle depend uniquement d'une puissance de la deformation plastique equivalente e}, et varie lineairement par rapport a la temperature absolue T. est le module plastique, la deformation plastique de reference et 1'exposant d'ecrouissage. Sous des conditions dynamiques, la contrainte d'ecoulement quasi-statique est multipliee par une fonction puissance du taux de deformation plastique equivalent e},. est le taux de deformation de reference et traduit la sensibilite a la vitesse de deformation. Enfin, g est un coelBcient traduisant la sensibilite a la temperature et la temperature de fusion.Les constantes materiaux g, et n ont ete determinees par Hanim et Klepaczko [Hanim et Klepaczko , 1999] a 1'aide d'une courbe de traction a 11.3s"^. Les autres coefEcients et permettant de prendre en compte la sensibilite a la vitesse ont ete determines par les m@mes auteurs grace a une forme lineaire de 1'equation 3.18. Toutes les constantes du mod&le de Klepaczko sont donnees pour 1'alliage d'aluminium 7020-T6 dans le tableau 3.4.

CoelBcient Bo Q no mo 4 ^0MPo — K — — —

7020-T6 1352 1.118 1877 0.289 0.2248 1.88e+12 0.007

Tab. 3.4 - Valeurs des constantes du modules de Klepaczko pour le 7020-T6

3.4.1.1.3 Endommagement La loi devolution de 1'endommagement A f A, Dj

choisie pour 1'alliage d'aluminium 7020-T6 est inspire de 1'endommagement couple a la plasticite [Lemaitre , 1996a, Lemaitre et Chaboche , 1996b] decrit dans le chapitre precedent qui s'ecrit :

109


cC —2 ( (7— (1 v) 3(1 — 2^)

if \ ^

"(1 4" %/) 4" 3(1 — 2i/)a

A1 — D

P> <

Dans notre cas, elle s'Acrit :

-n'*cC —^P ^P

H

acr

1 — D

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Pour la loi considArAe ici, lorsque le taux de triaxialitA est contant (c'est-a-dire D (^r^ constant), rendommagement Avolue linAairement de 0jusqu'a sa valeur cri

tique correspondant a un endommagement total, ceci sous reserve que la condition 3.25 soit satisfaite. La loi de Lemaitre et Chaboche impose I'inhuence du taux de triaxialite alors que la fonction D pent Atre choisie en fonction des resultats ex- pArimentaux. Ce travail et la determination des autres paramAtres gouvernant la loi devolution sont presentes ci-aprAs.

Comme cela a At A dit prAcAdemment, lorsque le taux de triaxialitA est constant, 1'endommagement Avolue linAairement de 0 a En particular, si D (^r^ est Agal

a 1, D croit linAairement a partir d'une dAformation plastique Aquivalente Agal a la dAformation plastique seuil jusqu'a une dAformation plastique Aquivalente Agale a la dAformation plastique critique C'est le cas lorsque ^ (voir le choixde la fonction D ensuite), par exemple pour une traction d'Aprouvette cylindrique. On pent done conclure immAdiatement que la dAformation plastique critique correspond a cede obtenue lors d'un tel essai. Chevrier [Chevrier , 1998] a montrA que la dAformation totale a rupture pour Talliage d'aluminium 7020-T6 est sensiblement Agale a 12%, ce qui correspond a une dAformation plastique Aquivalente de 11.5%. La physique qui gouverne 1'Avolution de rendommagement est liAe a la croissance et a la coalescence des microcavitAs. Selon Lemaitre et Chaboche [Lemaitre , 1996a, Lemaitre et Chaboche , 1996b], 1'Atude de ces cavitAs nous donne des informations an sujet de 1'initiation de rendommagement (e'est-a-dire la valeur du seuil de dAformation plastique e^) et an sujet de la dAtArioration des propriAtAs du matAriau (e'est-a-dire la valeur de D^). Achon [Achon , 1994] a montrA en particular que, pour les alliages d'aluminium de la sArie 7000, la croissance des cavitAs dAbute dAs que la plasticitA apparait. Ainsi, rendommagement s'initie dAs que la dAformation plastique Aquivalente est positive (quel que soit le taux de triaxialitA). En prenant en considA- ration la condition 3.25, on pent ainsi conclure que le seuil de dAformation plastique

est Agal a zero. D'un autre cote, Achon [Achon , 1994] a mis en Avidence le fait que la fraction volumique de vides amenant a la rupture est de quelques pourcents

110


de deformation plastique pour cette m@me famille d'alliages. Les essais de traction simple realises par Chevrier [Chevrier et Klepaczko , 1999] sur 1'alliage d'aluminium 7020-T6 montre egalement que 1'endommagement n'a qu'une influence limitee sur les caracteristiques du materiau. L'endommagement critique est done choisi egal a 0.05.Tous les coefficients relatifs a 1'evolution de dendommagement sont resumes dans le tableau 3.5.

Param&tre 47020-T6 0.05 0 0.115

Tab. 3.5 - Valeurs des constantes de la loi devolution de dendommagement

Le taux d'endommagement depend de la triaxialite um la fonction fl Cette fonction est generalement telle que :

f] ^ = 1 (3.26)

Lemaitre et Chaboche [Lemaitre , 1996a, Lemaitre et Chaboche , 1996b] proposent une loi puissance pour cette fonction (voir Tequation 3.22).

= g(l + W + 3(1 - 2f/) j (3.27)

Ceci implique un certain nombre de limitations. L'inhuence du taux de triaxialite est compl&tement imposee et il n'y a pas de distinction faite entre la tension et la compression. Nous proposons ici une nouvelle fonction Q (voir 1'equation 3.28 od (a;) represente la partie positive de %) qui doit permettre de retrouver les resultats experimentaux en optimisant les coefficients A et B. En particulier, cette fonction permet de retrouver gAacZure = 11.5% lorsque le taux de triaxialite est egal a 1 et g/roc&ire _ Q lorsqu'il est egal a 1.15 (resultat issus d'un essai plaque/plaque, voir egalement la partie 3.4.1.2). Les coefficients A et B pour 1'alliage d'aluminium 7020-T6 sont donnes dans le tableau 3.6.

n A -I- B exp (3.28)

On peut alors deduire pour un taux de triaxialite donne la deformation plastique equivalente a rupture correspondante. Cette evolution est donnee sur la figure 3.26. L'aspect de cette courbe rappelle celle obtenue par le module de Gurson [Gurson , 1977] pour les materiaux poreux et plus particuli&rement celle obtenue par Achon [Achon , 1994] avec le module de Rice et Tracey [Rice et Tracey , 1969] sur les alliages d'aluminium de la famille 7000.

Ill


CoefEcient A7020-T6 0.0674 24.7

Tab. 3.6 - Valeurs des constantes de la fonction Q

0.12

----- plastique— ■ total

'to 0.08

0.06

0.04

0.02

0.25 0.75taux de triaxialite

1.25

Fig. 3.26 - Evolution de la deformation a rupture, totale et Alastique (en quasi- statique) en fonction du taux de triaxialite

Le comportement de balliage d'aluminium 7020-T6 suit done une loi plastique endommageable dependant de la vitesse de deformation. La figure 3.27 represente la contrainte en fonction de la deformation totale pour trois vitesses de chargement : le — et le + et pour un taux de triaxialite Agal a ^ durant toute lasimulation.

3.4.1.2 Identification des paramAtres o et du 7020-T6

L'identiBcation des paramAtres de balliage d'aluminium 7020-T6 se base sur des resultats experimentaux obtenus avec la methode Chevrier (voir parties 3.2.3.1 et 3.3).Dans un premier temps, les resultats experimentaux sont donnes. L'etude numerique [SufEs et al. , 2004a,c] qui suit donne d'abord des resultats de simulations sans effet retard. Comme celles-ci seront incapables de representer correctement la courbe experimental, et ce malgre le fait que la modelisation de 1'alliage d'aluminium 7020-T6 soit visco-plastique (en comparaison de cede de TAu4G qui n'etait que plastique), nous introduirons 1'effet retard dans 1'endommagement. D'un cote, ce retard va permettre de representer binEuence du temps de chargement sur la contrainte d'ecaillage et, d'un autre cote, grace a I'inEuence des paramAtres mise en Avidence dans la partie 3.3, les rAsultats expArimentaux vont permettre bidentiEcation des paramAtres du

112


1000

800

600

400

taux de deformation plastique (1/s) — 1e-5200

1e+5

0.025 0.05 0.075 0.1deformation

0.125 0.175

Fig. 3.27 - Evolution de la contrainte en fonction de la deformation pour differents taux de deformation

module a effet retard.

3.4.1.2.1 Resultats experimentaux Chevrier a etudie en profondeur les aspectsexperimentaux des essais plaque/plaque et ceci dans le cas particular de dalliage d'aluminium 7020-T6 et d'un acier a blindage. Grace a un certain nombre d'essais pour differentes vitesses realises pour differentes epaisseurs 7,^ , il a pu tracer, en utilisant la methode dite Chevrier decrite dans la partie 3.2.3.1, la courbe d'ecaillage pour ces deux materiaux [Chevrier , 1998, Chevrier et Klepaczko , 1999]. La figure 3.11 donne cette courbe dans le cas de Talliage d'aluminium 7020-T6.

3.4.1.2.2 Analyse numerique Ahn de simuler les essais plaque/plaque avec le code de dynamique explicite Europlexus, 1'algorithme detaille dans la partie 2.5 a ete modihe ahn de prendre en compte, d'une part, la dependance au taux de deformation plastique et, d'autre part, la modification de 1'evolution de dendommagement. La temperature est choisie constante et egale a la temperature ambiante; des simulations, effectuees egalement par Hanim [Hanim et Klepaczko , 1999] avec un autre code de calcul, ont en effet montre que la variation de temperature est tr&s limitee pendant la simulation, a savoir de dordre de 30°C. La demarche utilise pour tracer la courbe d'ecaillage numerique est la m@me que celle detaillee dans la partie 2.5; chaque point a epaisseur donnee est obtenu avec plusieurs simulations a vitesses differentes.

En considerant tout d'abord que D = c'est-a-dire en n'introduisant pas de retard dans dendommagement, les premieres simulations ne font apparaitre aucune inhuence du temps de chargement sur la contrainte d'ecaillage. Les resultats

113


numAriques sont compares aux rAsultats expArimentaux sur la figure 3.28 (ligne discontinue). On obtient, comparativement a ce qui avait AtA obtenu dans la partie 2.5, des resultats du mAme type; le fait que le comportement soit ici visco-plastique n'a done pas solutionne (comme on aurait Aventuellement pu s'y attendre) le problAme de la modelisation de la dependance de la contrainte d'Acaillage an temps de chargement.

En introduisant un retard dans rendommagement, et ce en utilisant bAquation fondamentale rappelee ci-dessous, la partie 3.3.2 a montre qu'il Atait possible d'identifier les paramAtres o et T^.

D = ^ (1 - exp [-o(D^ - D)]) (3.29)

Connaissant binffuence des deux paramAtres du modAle a endommagement retardA, a savoir globalement un deplacement de basymptote verticale pour une modification du temps caracteristique et une variation de la courbure pour une modification de la constante o, il est possible de les choisir de telle sorte que courbes numerique et experimentale concordent. AprAs optimisation, les paramAtres o et sont donnAs par le tableau 3.7. La courbe d'Acaillage numArique correspondante est tracAe sur la figure 3.28 (ligne continue).

ParamAtre o Tc

-

7020-T6 2.25 2

Tab. 3.7 - Valeurs des paramAtres de bendommagement retardA pour le 7020-T6

3.4.1.3 Bilan pour le 7020-T6

Cette partie a permis de mener a bien bidentification des paramAtres de bendommagement retardA pour balliage d'aluminium 7020-T6. Les rAsultats des premiAres Atapes de bidentification, Atapes qui out AtA dAcrites en prAlude de ce chapitre, out AtA prAsentAes dans un premier temps et out abouti a busage d'un modAle de matA- riau plastique dApendant de la vitesse de dAformation et de la tempArature couplA a bendommagement. En dernier lieu, bidentification des paramAtres o et grace a la mAthode originale (dite 'Chevrier') dAcrite dans la partie 3.3.2 a pu Atre effectuAe. Les rAsultats obtenus sont trAs satisfaisants; rAsultats numAriques et expArimentaux sont en effet en trAs bon accord. Enfin, de maniAre concomitante a cette identification, il a AtA montrA que la nature visqueuse d'un matAriau n'est pas sufBsante pour rAsoudre les problAmes de localisation et pour rApondre an problAme de modAlisation des essais d'impact de plaques.

114

3,4, Etudes pratiques : le 7020-T6 et le Ta6V

CLO0)S’1~o0)

8

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

• absence d' ecaillage x ecaillage❖ initiation ★ ecaillage avarice+ initiation avancee

------ resultats numeriques avec effet retard—e- resultats numeriques sans effet retard

0 0.5 1 1.5 2 2.5temps de chargement (ps)

Fig. 3.28 - Gourdes d'ecaillages experiment-ale et numerique dans le cas de L alliage d'aluminium 7020-T6, La courbe en pointille donne les resultats numeriques sans retard, la courbe continue les resultats numeriques avec Vendommagement retarde et les parametres optimises. Les points donnent les resultats experimentaux de Chevrier [Chevrier , 1998|,

3.4.2 Cas do Talliago do titane Ta6V

3,4,2,1 Description du material!

Nous nous interessons maintenant a Letude d'un alliage de titane T1-6A1-4V (A1 6.1%, V 4.3%, Fe 0.16%, C 0.01%, H 0.015%, N 0.06%, O 0.12%, Ti 89.235% selon Filip [Filip et al, , 2003|), C'est un element allotropique; c'est-a-dire qu'il existe dans plus d'une forme cristallographique, A temperature ambiante et pour Lalliage de titane etudie, il a une structure hexagonale compacte, appelee phase o Ses principales caracteristiques elastiques out ete identihees; le tableau 3.8 les resume. Un certain nombre d'essais incluant :

- des essais quasi-statiqucs de traction,- des essais dynamiques de barres d'Hopkinson en compression,- des essais quasi-statiques sur eprouvettes entaillees,realises en collaboration avec le CEA Valdue ont permis de mettre en evidence un

eomportement plastique endommageable avec une sensibilite import-ante a la vitesse de deformation. Dans ce cas, les equations generales sont identiques a celles decrites dans le paragraphe 3.4.1.1.1. Le rest-e de la description du material! est effectue dans un rapport- conhdentiel reserve a la SXECMA,

^'^La structure sc trausfonuc cu effet cu uuc structure cristallino cubiquc contreo, annolec phase ,4 a 882°G.

115


PropriAtA p ^ E 1/

Ta6V 4420 253 116000 0.32 6130 521

Tab. 3.8 - CaractAristiques mAcaniques de 1'alliage de titane Ta6V

3.4.2.2 Identification des paramAtres o et du Ta6V

L'identihcation des paramAtres de 1'alliage de titane Ta6V utilise la methode d'analyse de la vitesse de face arriAre detaillee dans la partie 3.2.3.2.Comme pour Talliage d'aluminium 7020-T6, les rAsultats expArimentaux sont d'abords donnes. Ensuite, une etude numerique sans limitation du taux d'endommagement est effectuAe afin de montrer une nouvelle fois Tincapacite (malgre la forte dependance a la vitesse de deformation) du modAle d'endommagement classique a representer correctement I'induence de 1'Apaisseur de la cible sur 1'Acart de vitesse Enfin, 1'endommagement retarde est introduit et les paramAtres o et identifiAs de telle sorte que les rAsultats numAriques et expArimentaux coincident an mieux.

3.4.2.2.1 RAsultats expArimentaux Trois impacts de plaques out AtA rAalisAs an CEA Valduc pour une mAme vitesse d'impact (a quelques m/s prAs). Lesmoyens expArimentaux disponibles out permis d'obtenir la vitesse de face arriAre pour chacun de ces essais. Les Apaisseurs de la cible (respectivement de 1'impacteur) sont de 1mm, 2mm et 4mm (0.5mm, 1mm et 2mm). La cible est constituAe du titane objet de 1'Atude, 1'impacteur est en cuivre; 1'impact n'est done pas symAtrique. Les principales propriAtAs du cuivre sont donnAes dans le tableau 3.9. Contrairement a ce qui a AtA prAsentA dans la partie 3.2, 1'Acaillage n'aura pas lieu an centre de la cible puisque les ondes dans le cuivre et dans le titane n'ont pas la mAme vitesse. Cela n'a en fait que pen de consAquences, d'autant plus que 1'Atude va Atre effectuAe avec la mAthode par analyse de la vitesse de face arriAre.La figure 3.13 donne les profils de vitesse de face arriAre pour les trois essais de 1'alliage de titane Ta6V sur un graphique adimensionnA. Le dAbut de 1'enregistrement des donnAes par 1'interfAromAtre dAbutant an moment de la dAtection du prAcurseur Alastique; la mise en vitesse de la face arriAre dAbute a la mAme abscisse sur le graphique pour les trois essais.

PropriAtA P 0-% E V

MPo 1 m.s iCu 8930 96.5 130000 0.343 4757

Tab. 3.9 - CaractAristiques mAcaniques du cuivre

3.4.2.2.2 Analyse numArique Une nouvelle fois, 1'algorithme de plasticitA de von Mises couplAe a 1'endommagement retardA a AtA modihA dans Europlexus ahn de prendre en compte les lois particuliAres de dApendance an taux de dAformation plastique et d'endommagement non-corrigA relatives a 1'alliage de titane. L'influence de

116

3,4, Etudes pratiques : le 7020-T6 et le Ta6V

la temperature etant negligeable, elle n'est pas prise en compte dans les simulations qui suivent.Trois simulations analogues aux trois essais sont d’abord effeetuees sans limitation du taux d’endommagement, dest-a-dire en imposant dans Lalgorithme D = Dnc. Les profils eorrespondant de vitesse de face arriere sont donnes sur la figure 3,29, Sur cette figure oil Lechelle des vitesses n'apparalt pas, Lordonnee des profils est volontairement deealee de telle sorte que la eomparaison entre Vexperimental et le numerique soit simplifiee. Le trait diseontinu indique les resultats numeriques, Pour ceux-ci, Lecart de vitesse — E""" | ne varie quasiment pas contrairement auxresultats experimentaux.

0.5mm -> 1.mm

1.mm -> 2.mm

2.mm -> 4.mm

temps (1 ,e-6s)

Fig, 3,29 - Profils de face arriere du Ta6V et resultats numeriques sans effet retard.

En introduisant un retard dans Lendommagement et en utilisant la methode detaillee dans la partie 3.3.3, il est possible, dime part, de retrouver aussi bien qualitativement que quantitativement L influence de Lepaisseur des plaques sur Lecart de vitesse mis en evidence experimentalement et, d'autre part, dlden-tifier du meme coup les parametres de Lendommagement retarde, Les parametres a et tc optimises ne sont pas donnes dans ce document, mais dans un rapport confi- dentiel reserve a la SXECMA, Precisons id seulement qu'ils sont globalement du meme ordre de grandeur que eeux obtenus pour Lalliage d'aluminium 7020-T6, La figure 3.30 compare (avec des ordonnees decalees) les resultats experimentaux avec les resultats numeriques obtenus, Desormais, les vitesses minimales experiment-ale et numerique obtenues dans le premier creux coincident exactement. Le rest-e du profll est egalement bien represente par la simulation.

117


0.5mm -> 1.mm

1.mm -> 2.mm

2.mm -> 4.mm

temps (1 .e-6s)

Fig. 3.30 - Profils do face arriere du Ta6V et resultats numeriques avec effet retard.

3.4.2.3 Bilan pour le Ta6V

L'identification globalc du material! (hors retard) n'a pas ete presentee ici pour cause de confidentialite. Nous nous sommes concentres exclusivement sur Videnti- hcation des parametres de Veffet retard a partir de trois resultats d'essais, et en particulier de trois mesures de vitesse de face arriere. L'utilisation de la methode proposee dans la partie 3.3.3 a about! a des resultats satisfaisants. Parallelement, il a encore une fois ete montre que la viscosite du material! n'apportait pas, a elle seule, de solution an probleme de representation des essais d'impact de plaque.

3.5 Conclusions et perspectivesLa question de ^identification des parametres a et rc relatifs a Veffet retard avait

ete posee en preambule. A Tissue de ce chapitre, deux methodes d'identification s'appuyant sur des resultats d'essais d'impact de plaques out ete proposees, etudiees et appliquees a deux materiaux distincts. Pour ce faire, une etude approfondie des essais d'impact de plaques a d'abord ete proposee. Selon les moyens de mesure dis- poniblcs, deux methodes d'identification differentes out ete etablies et, pour chacune d'entre olios, uno etude do Tinfluonco dos parametres a oto effectuee. Los resultats ob- tonus sont globalement satisfaisants et semblent valider le protocole d'identification mis en place.

Un certain nombre de eommentaires peuvent en outre etre faits,Lo premier concorno los valours obtonuos pour los parametres a ot qui sont ogaux a 2.25 et 2/zs- pour Valliage d’aluminium 7020-T6. Pour les deux materiaux etudies,

118

3.6. SynthAse

ces valeurs sont globalement du mAme ordre de grandeur (quelques unites pour o et quelques pour T^) alors que les matAriaux Ataient sensiblement diffArents. D'un cbtA, cela nous indique que 1'ensemble des rAsultats thAoriques qui ont AtA prAsentAs jusqu'ici sont cohArents avec la realite puisque les paramAtres choisis sont generalement de cet ordre de grandeur. D'un autre cbtA, cela nous permet a 1'avenir d'avoir une bonne premiAre approximation des paramAtres pour un matAriau pour lequel 1'identihcation n'a pas AtA effectuAe.Le deuxiAme concerne la viscosit A du matAriau. Pour le 7020-T6 comme pour le Ta6V, il est ici indAniable qu'elle ne permet pas de rAsoudre le problAme de dApen- dance au maillage comme cela avait AtA AvoquA briAvement auparavant.La troisiAme concerne le choix d'utiliser telle ou telle mAthode. Lorsque un inter- fAromAtre est disponible, la mAthode par analyse de la vitesse de face arriAre est incontestablement moins cohteuse, puisque qu'elle ne nAcessite qu'un nombre trAs limit A d'essais (3 dans notre cas), alors que, avec la mAthode Chevrier, chaque point sur la courbe correspond a plusieurs essais (entre 4 et 5 pour chaque point sachant qu'au moins 3 points sont nAcessaires).

Le dernier commentaire amAne d'ailleurs a une perspective du travail qui a AtA ef- fectuA. II serait en effet intAressant de confronter, pour un mAme matAriau, les valeurs des paramAtres de 1'endommagement retardA obtenus avec les deux mAthodes. Cette Atude, mAme si elle requiert un investissement expArimental important et un examen approfondi des essais d'impact de plaques, permettrait de confirmer simultanAment 1'efEcacitA des deux mAthodes.

3.6 SyntheseEn rAsumA, dans cette partie, ont AtA abordAs successivement les thAmes suivants :

- la description des essais d'impact de plaques aussi bien d'un point de vue thAo- rique qu'expArimental.

- la mise en place, dans le cas de 1'alliage d'aluminium Au4Gl-T4, de deux mAthodes d'identihcation des paramAtres de 1'endommagement retardA. La pre- miAre dite 'Chevrier' s'appuie sur des courbes d'Acaillage, la seconde dite 'par analyse de la vitesse de face arriAre'. Pour I'une et 1'autre, une Atude de 1'inhuence des paramAtres ahn d'en faciliter 1'identihcation ultArieure est effectuAe.

- 1'identihcation, par application des deux mAthodes, des paramAtres o et pour deux matAriaux distincts.

119

3. Identification des param&tres : methodologie et applications

120

Chapitre 4

Application : perforation d’une plaque en acier

L'objet de ce quatriAme chapitre est de presenter les comparaisons entre des calculs de perforations de plaques en acier inoxydable 304L effectuees avec le code de dynamique rapide Europlexus et des resultats experimentaux obtenus avec la tour de chute de 1'installation Orion du CEA Sa- clay. II s'agit en particulier ici de mettre en evidence un problAme de dependance an maillage et de le resoudre par 1'introduction de notre modAle d'endommagement retarde.

Sommaire4.1 Description du matAriau................................................................................. 1234.2 Description et resultats des experiences...................................................... 124

4.2.1 Protocole experimental........................................................................... 1244.2.2 Resultats des essais.................................................................................. 125

4.3 Simulations des essais .....................................................................................1264.3.1 Description de la simulation................................................................. 1264.3.2 Simulations des essais sans elfet retard.............................................. 1294.3.3 Simulations des essais avec elfet retard.......................................... 1314.3.4 Bilan......................................................................................................... 134

4.4 Simulations d'un essai hctif & lOOm/s ...................................................... 1364.4.1 Simulations sans elfet retard............................................................. 1364.4.2 Simulations avec elfet retard............................................................. 137

121

4.4.3 Bilan............................................................................................................. 1394.5 Conclusions............................................................................................................. 1394.6 SyntMse.................................................................................................................... 141

122

4.1. Description du matAriau

Des essais de perforation de plaques en acier inoxydable 304L out ete realises avec la tour de chute Orion du CEA Saclay [Izquierdo et Griinenwald , 1999]. Un certain nombre de simulations effectuAes avec le code de dynamique rapide Europlexus [Galon et Izquierdo , 2000] ont deja ete confront Aes aux resultats expArimentaux, mais 1'Atude de I'inhuence du maillage n'a pas ete faite de maniAre approfondie. II s'agit done dans ce chapitre d'Atudier la dependance au maillage des simulations de perforation de plaques et d'analyser les apports de ^introduction du module d'endommagement retarde. AprAs avoir decrit rapidement le protocole experimental, deux etudes numeriques, bune sans effet retard, b autre avec, sont menees en pa- rallAles. Un essai hetif avec une vitesse d'impact plus AlevAe est hnalement simulA ahn d'accroitre les consequences de la localisation permettant ainsi d'observer les apports du modAle d'endommagement retarde.

4.1 Description dn material!

La loi de comportement de Lacier inoxydable 304L est Alasto-plastique de type von Mises isotrope. L'endommagement a ete modelise en utilisant la loi d'endommagement de Lemaitre et Chaboche que nous avons notamment decrit dans la partie 2.5. La loi devolution de bendommagement (non-corrige) est ici lAgArement diffA- rente [Lemaitre et Chaboche , 1996b] de celle utilisee jusqu'alors :

%23

(1 T i/) 4- 3(1 — 2i/)a

23

(1 T i/) 4- 3(1 — 2i/)

A(4.1)

1 — D

p > 4 (4.2)

Dans ce cas, les paramAtres a identifier sont et %.L'identihcation complAte ^ du matAriau a AtA faite par Yuritzinn [Yuritzinn , 1999a,b]. Elle indue :

- les principales propriAtAs mAcaniques (rAsumAes dans le tableau 4.1).- les paramAtres relatifs a bendommagement (rAsumAs dans le tableau 4.2).- la loi d'Acrouissage du matAriau (rAsumAe par la figure 4.1).

PropriAtA P E V

MPo -

inox 304L 7850 166 174400 0.3

Tab. 4.1 - CaractAristiques mAcaniques de binox 304L

^Malheureusement incomplete en fait, puisque les paramAtres n et relatik & 1'endommagement retards ne sont pas connus.

123

4. Application : perforation d'une plaque en acier

Param&tre %-

inox 304L 0.2 0 16390295e + 12

Tab. 4.2 - Valeurs des constantes de la loi devolution de rendommagement de 1'inox 304L

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0.05 0.25 0.35

deformation

Fig. 4.1 - Evolution de la contrainte effective en fonction de la deformation pour Tacier inoxydable 304L.

4.2 Description et resnltats des experiences

4.2.1 Protocole experimental

L'etude experimental a ete effectuee sur la tour de chute Orion du CEA Saclay que 1'on peut voir sur la figure 4.2. C'est une tour de chute gravitaire de 7.5m de hauteur permettant d'atteindre des vitesses de choc de 1'ordre de 12m/s. Ces principals caracteristiques sont resumees dans le tableau 4.3.

hauteur 7.5mmasse nominate 500&gvitesse nominate 12m/senergie cinetique max. (projectile de 320&g) 237TGJenergie cinetique max. 687^7temps d'ouverture de vanne 1ms

Tab. 4.3 - Caracteristiques de la tour de chute Orion

Les plaques en acier inoxydable 304L out un diam&tre hors encastrement de

124

4.2. Description ot rcsultats dcs experiences

Fig. 4.2 - Photo do la tour do chute Orion ot du poingon plat utilise

450mm ot uno cpaisscur do Omm. Elios sont cncastrccs dans un montage tros rigido par un cordage bride par 24 vis M24, Le montage lui-meme ost fixe an massif do reaction do la tour do chute.Los projectiles utilises out uno masse do 49 6kg. Ils comportent un poingon a e mb out plat do diamotro 48mm, comportant un rayon do raccordomont do 3mm (voir figure 4.2).

Differentes mesures sont effectuees pendant ot apres la manipulation :- un accelerometre piezoresistif permet la mesure do Vacceleration du projectile.

En supposant co dernier rigido, on pout onsuito on deduiro la force d'impact du projectile sur la plaque.

- uno camera permet do mesurer le deplacement pendant la chute du projectile.- la vitosso du projectile s'obtiont par integration do fiacceleration. Pour cola,

il ost neeessaire d’avoir uno bonne eonnaissanee do la vitosso initiate. Elio ost done mosurco prcciscmont a fiaido d'un poigno coupe par uno barrioro laser lors du choc.

4.2.2 Resnltats dos ossais

Los rcsultats dos ossais sont resumes dans los tableaux 4.4 ot 4,5. Le premier donno los principals caractcristiqucs do chaquo cssai ct precise si la perforation a on lieu on non, Le second fait la synthese dos principals mesures effectuees. On trouvora par ailleurs lors do la comparaison outre ossais ot simulations dans le paragraphe 4,3 Lcnscmblc dc revolution dcs quantites mcsurccs (dcplaccmcnt, vitosso, acceleration) sur divorsos figures.

125


Essai Masse Perforation Energie initiatem/s FJ

P7 496 oui -7.68 14.63P8 496 non -4.38 4.76P9 496 non -5.63 7.75Pll 496 oui -6.39 10.13

Tab. 4.4 - Essais de perforation avec embout plat

Essai yreW preW

ms FAT FAT m/s FJP7 7.5 349 151 -5.38 7.18P8 18.6 304 184 +2.52 1.58P9 18.4 429 218 +2.49 1.54Pll 9.9 356 198 -2.45 1.49

Tab. 4.5 - RAsultats des essais de perforation a embout plat. RelevAs du temps de choc de la force maximale (F™^), de la force moyenne (F™°%), de la vitesseresiduelle (y^^) et de 1'Anergie residuelle (F'"^).

4.3 Simulations des essais

4.3.1 Description de la simulation

Les calculs qui suivent out tons ete effectuAs avec le code de dynamique explicite Europlexus. Sont decrits ici 1'ensemble des donnAes, paramAtres et options necessaires an bon deroulement d'une simulation.

4.3.1.1 Materiaux

Le materiau de la plaque est modelise avec la loi de plasticite de von Mises couplAe a 1'endommagement qui pourra Atre retardA le cas AchAant. Les coelBcients relatifs a ce modAle out dAja AtA AvoquAs prAcAdemment. Le poingon est supposA indAformable vis-a-vis de la plaque. II est modAlisA directement avec 1'option PMAT (Point MATAriel) d'Europlexus qui ne nAcessite que 1'entrAe du rayon et de la masse du poingon.

4.3.1.2 Maillage

Le maillage de base (correspondant au niveau 2 de rafEnement) de la plaque correspond a celui proposA dans [Galon et Izquierdo , 2000], c'est-a-dire un maillage en 2D axi-symAtrique constituA de 3228 quadrangles a un noeud d'integration CAR1 (soit 3511 noeuds a deux degrAs de libertA). L'Apaisseur est maillAe avec 12 AlAments. Selon le rayon, la densitA d'AlAments peut Atre fine dans les zones sensibles (dans la zone de cisaillement intense sous I'angle du poingon, au bord de 1'encastrement) ou plus grossiAre dans les zones moins essentielles. Ahn d'Atudier les problAmes

126

4.3. Simulations des essais

Fig. 4.3 - Photos des plaques apres essais. En haut a gauche, vue du dessus des plaques pour les essais P8 (en has) et P9 (en haut). En has, vue du dessous des plaques perforees pour les essais P7 (a droite) et Pll (a gauche). En haut a droite, details de la perforation pour Tessai P7.

de dependance an maillage, le maillage est raffine la on Fendommagement a lieu, le maillage de la plaque rest-ant inchange ailleurs. Dans la zone endommagee, le niveau i de raffinement correspond alors a un maillage constitue de Gi elements dans Vepaisseur, L'element forme un earn';, on a done radialomont pour le niveau i | fois plus d'elements qu'au niveau 2. Le poingon est reduit a un element de type point materiel. Cela signihe en particulier que les specihcites geometriques du poingon autre que le rayon (telle que le rayon de raccordement an bord du poingon) ne sont pas prises en compte. Le maillage est trace sur la figure 4.4 dans le cas dhm rafhnement de niveau 6, un zoom du maillage sous le poingon permet de distinguer

127

4. Application : perforation dime plaque en acier

la zone concernee par le raffinement.

poingon

ep: 6mm encastrementplaque

p 450mmp 600mm

Fig, 4,4 - Maillage (niveau 6) de la plaque, Les conditions aux limites et initialed sont egalement specifiees.

4,3,1,3 Options du calcul

Le calcul est generalement effectue jusqu'a perforation on rebond du projectile, e'est-a-dire pour un temps qui est generalement compris entre lOm.s et 20m.s. Le pas de temps At est choisi egal a lAt^'\ qui est automatiquement determine par le code en appliquant la condition de Courant, Enfin, un amortissement lineaire de coefficient 0,2 ainsi qu’un -Anti-hourglass visqueux de coefficient 0,1 sont introduits de sorte a eviter les problemes d'instabilites de sablier pouvant apparaltre sur les elements CAR1 lors de tels chocs, Enfin, afin de modeliser Vendommagement total des elements, Valgorithme d'erosion ’FANTOME’ est utilise.

4,3,1,4 Conditions aux limites et conditions initiates

Le calcul axi-symetrique implique un blocagc des deplacements radiaux sur 1'axc de symetrie. Pour representer an mieux le blocage par le cerclage bride par 24 vis, les deplacements axiaux des faces inferieure et superieure de la plaque sont bloques pour les points dont le rayon est compris entre 225 et 300mm. Enfin, les deplacements radiaux sur le bord exterieur de la plaque sont egalement bloques. La seule condition initiate a imposer est la vitesse du poingon an debut de 1'impact qui a etc enregistree par le dispositif experimental. L'ensemble de ses conditions apparaissent sur le maillage de la plaque de la figure 4,4,Le contact entre le poingon et la plaque est gere avec la methode des penalites [Hallquist et at. , 19851. La peau externe de la plaque pouvant etre modifiee suite a 1'erosion d'elements, 1'ensemble des noeuds situes sous le poingon est considere comme potentiellement en contact.

128


4.3.2 Simulations dos essais sans otfot retard4.3.2.1 Essais avec rebond P8 et P9

Los simulations relatives aux essais P8 ot P9 donnant dos resultats ot dos eonelusions globalement similaires, soul le cas P9 est envisage dans ce paragraphe. Les essais P8 ot P9 out mis on evidence L absence do perforation ot le rebond du projectile. Une premiere simulation est effectuee avec le niveau 2 do maillage. Los resultats numeriques en terme de deplacement du poingon sent compares aux resultats exp& rimentaux sur la figure 4,5. Le ealeul Europlexus roproduit do maniere tres satisfaisante Lessai 2. La figure 4,6 donno par ailleurs la deformation plastique equivalonto apres le rebond du projectile sur la configuration deformee, Une douxiemo simulation effectuee an niveau 4 donno dos resultats identiques a la premiere, Dans les deux cas, Lendommagement maximum do l’ordre do 0,05 (a comparer an TY egal a 0.2) se situe sous Loxtremite du poingon.Cette simulation nous apprond egalomont quo Lidentifieation do Lacier inoxydable 304L (hors endommagement) somblo corrocto ot quo le niveau 2 do maillage somblo suffisant pour roproduiro un rebond du poingon.

----- courbe experimentale----- resultat numerique

0.008 0.012 0.0160.004temps (s

Fig, 4,5 - Comparaison du displacement pour Lessai P9 : simulation sans effet retard ot resultat experimental

4.3.2.2 Essais avec perforation P7 ot Pll

L'etude numerique detaillee dans cette partie se concentre sur Lessai P7 (Lessai Pll sera brievement evoque) pour lequel une perforation nette apparait (voir

^Ccci est particuliercmcnt vrai pour le deplacement. Coiiccriiaut la vitesse (rcspcctivcmciit racceleration) obtenue par integration du deplacement (rcspcctivcmcnt dc la vitesse), 1c ealeul domic mi resultat legerement inferiour a Lessai sans toutefois remettre on eausc 1cm quality.

129


Fig, 4,6 - Deformation plastlque eumulde apres impact pour Fessai P9

notamment la figure 4,3), II ne fait alors aueun doute quo certains elements vont completement s’endommager an eours du calcul, permettant ainsi d'eventuellement mettre en exergue une dependance an maillage, Afin d'estimer la qualite des rdsul- tats, deux critdros sont choisis; il s'agit :

- du temps auquel le poingon transperce la plaque (que nous appellerons temps a rupture), Experiment alement, il est egal a 7,5ms, Numeriquement, il est ddter- mind sur le trace de la vitesse du poingon (on rospoctivomont de F acceleration du poingon) oil il correspond a la stabilisation de la vitesse (on respectivement a Fannulation de Facceleration).

- de la vitesse finale du poingon apres perforation, Exp eriment alement, cette valour ost dgalo a — 5.38m/s. Xumdriquomont, olio sera diroctomont luo sur lo trace do la vitesse.

Uno sdrio do simulations pour dos maillagos do nivoaux do plus on plus dlovds (2, 4, 6, 8, 10 puis 12) ost done offoctudo. Devolution do la vitesse ost tracdo sur la figure 4.7 oil apparait dgalomont lo rdsultat experimental. Si on no shnteresse qu'aux resultats des nivoaux 10 et 12, on pent les eonsiderer trds satisfaisants d’autant- plus quo la courbo oxpdrimontalo ost probablomont ddcaldo do quolquos dixidmos do metre par socondo suite a un probldmo do filtrago dos donndos. Co ddcalago so voit notamment an moment de Fimpact oil la vitesse du poingon commence a augmenter, En observant Fensemble des resultats numdriques, une dependance dvidonto au maillage apparait. Elio so traduit globalomont ^ par uno ddcroissanco du temps a rupture ot par uno croissanco do la vitesse finale du poingon sans pour autant converger de maniere elaire (voir notamment le graphique a. de la figure 4,9 oil ost donndo Fdvolution do la vitesse finale du poingon on fonction du niveau). Idontiquomont aux essais chapeaux prdsentds dans la partie 2,5,3, deux phdnomdnes pouvont oxpliquor cotto dependance :

- lo maillage, lorsquhl ost trop grossior, no pout representor corroctomont la /one completement endommagee,

- los maillagos plus fins quo la taillo caractdristiquo do cotto /one sont quant a

'^Localomoiit, (Fun niveau a Fautrc, on pout on offot constatcr des stabilisations qui (Font pas (Fexplications clairos.

130


eux vietimes do la localisation qui fait suite a Fusage do Vendommagement,II est difficile dans les faits de distinguer lequel de cos deux phenomenes agit,

mais on constate qufil n'est pas pormis de conclure retude numerique vu qu'aucune garantie n'existe sur la bonne convergence des calculs.

Pour l’essai Pll, qui est a la limite du rebond du poingon, F interpretation des resultats est encore plus delicate puisquo, pour des maillages de nivoaux 2 ou 4, le projectile rebondit alors qull perfore la plaque pour des maillages plus fins.

----- courbe experimental— niveau 2 niveau 8

niveau 4 niveau 10---niveau 6 niveau 12

0.004 0.006 0.0080.002temps (s

Fig. 4.7 - Comparaison do la vitosso pour Fossai P7 : simulations sans effet retard pour differents nivoaux ot resultat experimental

4.3.3 Simulations dos essais avoc otfot retardUne limitation du taux d'ondommagomont est id introduite pour tenter do re-

soudre le probleme de convergence. Xous choisissons les parametres a et -d respec- tivomont egaux a 2 ot 10/zs, Co ehoix est explicite ulteriouromont.

4.3.3.1 Do la pertinence do la determination do £car

Avant toutes choses, on pourrait etre tente d'appliquer la formule analytique 4.3 determinee dans la partio 2.4 :

(4.3)

cod pour ehoisir une taille do maille adequate, L'application do cotto formule est limitee an cadre uni-dimensionnel pour un materiau elastique ondommagoablo.

131


Dans les parties 2.5.3 et 3.3.1, nous avons cependant montre que la formule pouvait donner une approximation satisfaisante de la longueur caractAristique numerique et done servir de base pour le choix du maillage. Nous allons voir que nous ne pouvons pas appliquer cette formule dans notre cas.Comme cela a ete vu dans la partie 2.4, la formule 4.3 donne en fait un encadrement de la longueur caracteristique a partir de deux valeurs limites donnees par les formules 2.26 et 2.27. L'Acart Af*"" entre la longueur caracteristique maximale et la longueur caracteristique minimale peut alors s'Acrire independamment du enlargement ^ :

pC&T — C 1 ( L\(J \

< CL = c^ln (4.4)

=>- A^'' = cr^ In ( )

On peut convenir qu'il n'est pertinent d'utiliser la formule 4.3 que lorsque Af*"" reste relativement petit devant les valeurs de possibles et devant la taille caracteristique du problAmeDans le cas de Lacier inoxydable 304L, nous obtenons une valeur de Agale a —59mm et de egale a 17mm, soit un Acart de 76mm, a comparer audiamAtre utile de la plaque qui est de 450mm. Les calculs associes a ses valeurs ne sont pas detailles ici. A titre indicatif, ils sont obtenus a partir d'un modAle uni- dimensionnel simpliste en cisaillement equivalent a celui utilise pour modeliser les essais chapeaux (voir la partie 2.5.3).On constate alors, pour Lessai P7, trois points :

- les valeurs obtenues ne verihent pas la condition que nous nous sommes Axes (A^cor ^ beaucoup trop grande par rapport aux autres grandeurs) .

- la valeur de est negative.- la valeur de Af*"" est trAs grande devant les dimensions du problAme. Ceci

est du a la trAs grande ductilitA du matAriau qui atteint des dAformations plastiques Aquivalentes de plus de 150% au moment de la rupture.

II ne semble done pas appropriA d'appliquer la formulation analytique dans cette situation.Le signe nAgatif de la longueur caractAristique minimale (pour 1'essai P7) n'a par ailleurs rien de surprenant. II signihe juste que la contrainte n'est pas sufBsamment intense pour rompre la structure. Si la perforation a hnalement lieu, e'est grace aux allers-retours successifs des ondes entre le poingon et 1'encastrement. Pour illustrer simplement ce phAnomAne, considArons a nouveau le problAme de la poutre uni- dimensionnelle en traction prAsentA sur la figure 2.2 et supposons que la sollicitation soit une vitesse imposAe a 1'extrAmitA. Le niveau de cette vitesse est telle qu'elle

4Sur la courbe 2.18, il correspond & 1'Acart vertical entre les deux homes analytiques. Ces deux courbes Atant parallAles, est bien indApendant du chargement.

^Pour 1'exemple de la plaque traitA dans la partie 3.3.1.1, cette condition est bien vAribAe pour les deux mAthodes. En effet, pour la mAthode 1 : = 1.18mm et (^1% = 2.78mm et pour lamAthode 2 : Af^ = 1.18mm et = 2.38mm.

132


entraine une onde de contrainte de niveau Acr infArieure a la contrainte correspondant a iinitiation de iendommagement (en ioccurrence <rj%). II ne fait aucun doute que la poutre ne s'endommage pas au premier passage de ionde et que, par application de la formule 4.3, la longueur caractAristique analytique est negative. Pourtant, si la solicitation est maintenue, suite aux allers-retours de ionde dans la poutre entre iencastrement et 1'extrAmitA soumise a la vitesse imposAe, la contrainte augmente progressivement et finit par entrainer la rupture. Une longueur caracteristique negative signifie done juste que, sans Atre quasi-statique, la solicitation n'est pas sufBsamment brutale pour rompre la structure immediatement suite a iimpact. L'ordre de grandeur du temps a rupture (quelques ms) est d'ailleurs, dans le cas de la presente etude, signiheatif puisqu'il correspond a plusieurs dizaines d'allers-retours d'onde entre le poingon et iencastrement. Ce scenario n'est pas compatible avec les hypotheses du module analytique pour lequel la rupture a lieu immediatement aprAs iimpact.

La grande ductilite du materiau ainsi que la trop faible vitesse d'impact rendent impossible la determination de la longueur caracteristique pour iAtude des essais de perforations.

4.3.3.2 Essais avec rebond P8 et P9

Dans ce cas, comme cela a ete mis en evidence avec les simulations sans effet retard, iendommagement reste faible et joue un role secondaire. II y a en effet rebond du poingon et aucun element ne s'endommagement au-dela de 0.05. Les rAsultats coincident exactement avec ceux obtenus sans effet retard et sont done en bon accord avec iexperience.

4.3.3.3 Essais avec perforation P7 et Pll

Sans connaissance particuliAre sur le maillage, nous pratiquons ici comme pour les simulations sans effet retard, e'est-a-dire effectuer une serie de simulations pour des maillages de niveaux de plus en plus AlevAs (de 2 a 12) sans les choisir sciemment. Les paramAtres de iendommagement retardA o et sont toujours empiriquement Agaux a 2 et 10^s. Les Avolutions de la vitesse expArimentale et de celles obtenues avec les calculs sont tracAes sur la figure 4.8 (Involution de la vitesse finale du poingon en fonction du niveau est Agalement tracAe sur le graphique o. de la figure 4.9). En observant cette figure, on constate que :

- pour les maillages les plus grossiers (niveaux 2 et 4), les rAsultats (accAlAration comme profil d'endommagement) sont proches de ceux obtenus avec le modAle classique. II prAvoit en fait une vitesse finale lAgArement plus faible et un temps a rupture lAgArement plus AlevA.

- pour les maillages plus hns, le temps a rupture comme la vitesse maximale tendent a se stabiliser a 10.25ms et 2.8m/s respectivement (valeurs qui sont diffArentes de celles obtenues pour iessai).

Ce type de rAsultat est caractAristique du modAle d'endommagement retardA. Sans nous intAresser pour le moment a la solution expArimentale, les rAsultats, qui

133


convergent (aussi bien en terme do temps a rupture que de vitesse maximale du poingon) vers une solution independante du maillagc, peuvent etre juges satisfaisants.Le fait de no pas converger vers la solution experimental est directement imputable an choix arbitraire des parametres du retard. Nous avons on offot choisi un temps caracteristique T^, environ cinq fois plus clove quo coux quo nous avions rencontres jusqu’a maintonant, a savoir 2/zs pour Valliago d’aluminium 7020-T6 ot onfin 10/zs pour ccttc etude. Cc choix dost pas anodin, mais correspond a la volontc dc mottro cn evidence Tobjcctivitc dcs calculs vis-a-vis du maillagc sans avoir pour autant a trop los raffinor, Cette volonte est quant a olio directement motivee par los temps do calcul qui dovionnont rapidomont exorbitant^, do 1'ordro do quatre jours pour le niveau 10. Cost cgalcmcnt pour ccttc raison qull n'a pas etc envisage d identifier los parametres do rondommagomont rctardc a fiaido dime approchc inverse

La simulation do l’essai Pll n'a id plus d’interet. En offot, olio prevoit systema- tiquement un robond du projectile, ccci pour los memos raisons quo colics evoqueos ci-dossus.

----- courbe experimental— niveau 2 niveau 8

niveau 4 niveau 10---niveau 6 niveau 12

0.004 0.0120.006 0.0080.002temps (s)

Fig. 4,8 - Comparaison do la vitesse pour l’essai P7 : simulations avec offot retard pour different^ niveaux ot resultat experimental

4.3.4 Bilan

L'otudo numcriquc cffcctucc dans ccttc partic a montre quo los calculs offoc- tues avec le modele classique sans limitation du taux d’endommagement donnaient

^D'autant plus quo ccttc approchc est ici delicate a employer vu que les parametres a ct d agissent tout deux sur les r6sultats.

134


des rAsultats trAs satisfaisants (comme cela avait deja AtA montrA dans 1'Atude presentee dans [Galon et Izquierdo , 2000]), du moins tant que le poingon rebondissait traduisant babsence d'un endommagement majeur dans la structure. Lorsque la perforation a lieu, une dApendance nette au maillage a ete mise en evidence, rendant impossible la moindre conclusion quant a Inexactitude des resultats numeriques. Les resultats que Ton peut obtenir en simulant 1'essai Pll sont d'ailleurs revelateurs de ce problAme : pour des maillages grossiers, le poingon rebondit alors que, pour des maillages plus fins, le poingon perfore la plaque. Cette influence est par ailleurs bien visible sur le graphique o. de la figure 4.9En utilisant 1'endommagement retardA, le problAme de dependance au maillage a ete resolu sans pour autant alterer la qualite des resultats lorsqu'il y a rebond. Les simulations des essais P7 et Pll oh un fort endommagement a lieu convergent bien (voir le graphique o. de la figure 4.9). Cependant, elles ne donnent pas des resultats concordant avec bexperience; ceci pour deux raisons :

- les paramAtres o et n'ont pas AtA identihAs expArimentalement et ne correspondent done pas a ceux du matAriau AtudiA.

- ahn de mettre en Avidence clairement la convergence des calculs sans pour autant effectuer des calculs de plusieurs jours, le temps caractAristique a volontairement AtA augmentA.

Le graphique o. de la figure 4.9 rAsume les rAsultats qui ont permis d'effectuer les remarques prAcAdentes.

Pour mener 1'Atude a son terme, il serait done nAcessaire :- d'identiher les paramAtres o et de Lacier inoxydable 304L.- d'utiliser des techniques de calcul (comme les mAthodes de dAcomposition de

domaine en cours d'implantation dans Europlexus et notamment dAtaillAes dans [Combescure et Gravouil , 2001, 2003, Faucher et Combescure , 2003]) et permettre ainsi de simuler dans un temps raisonnable la perforation. L'Atude de la longueur caractAristique, si elle n'a pas permis de prAvoir explicitement celle-ci, a en effet montrA que la solicitation Atait relativement lente, prAsa- geant d'une zone endommagAe de trAs petite taille. De telles techniques de calcul permettraient done, d'un cote, de mettre en Avidence de maniAre beaucoup plus claire la dApendance des rAsultats vis-a-vis du maillage et, de 1'autre, de montrer les capacitAs du modAle d'endommagement retardA a rAsoudre ce problAme.

L'objectif de dAterminer numAriquement 1'Anergie minimale de la perforation n'est done pas accessible dans le cadre de notre Atude. L'usage d'un modAle permettant d'Aviter la dApendance au maillage s'est par ailleurs rAvAlA essentiel pour obtenir des rAsultats convergAs. Dans ce domaine, 1'intArAt du modAle d'endommagement retardA a, en outre, pu Atre mis en Avidence.

Cependant, cette Atude reste inaboutie. Les faibles vitesses d'impact et la trAs grande ductilitA de I'acier inoxydable 304L ne sont en effet pas les AlAments les plus

? On y retrouve en effet la croissance de la vitesse finale du poingon lorsque le niveau de maillage augmente.

135

4. Application : perforation d’uno plaque en acier

onviablos pour reveler les avantagos du modclc d’endommagement rctardc *. II y a par aillcurs un moyen de contourner en partie les difhcultcs qui ont etc cvoquccs : il suffit d’augment, er la vitesse d'impact du poingon, D’une part, le temps des simulations sera diminue permettant ainsi d’effect, uer des calculs avee des maillages plus fins et, d’autre part, la contrainte plus intense aura tendance a exacerber la dependance an maillage. Nous proposons done maintenant 1’etude d’un essai de perforation bet if (note P12) pour lequel la vitesse d’impact, du poingon atteint lOOm/.s.

sans effet retard X avec effet retard

-95.8

-96.2

-96.4

-96.6

-96.8

-97.2

-97.410 12

niveauniveau

Fig. 4,9 - Vitesses residuelles pour les simulations des essais P7 et P12 a different,s niveaux avec et sans effet retard

4.4 Simulations d’un essai fictif a 100m/s

Le cadre vu prcccdcmmcnt de la perforation de plaque avec un poingon plat de 48mm de diametre est repris. La vitesse du poingon an moment de Fimpact est consideree egale a lOOm/.s. La determination de la longueur caracteristique n'en est pas pour autant envisageable; la demarche adoptee est done colic classiquomont utilisco, a savoir simulcr des calculs sans ot avee effet retard pour des niveaux do maillages augmontant progrossivomont (niveaux 2, 4, 8, ot 16 corrospondant a unc multiplication par deux de la finesse du maillage d’une simulation a 1’autre).

4.4.1 Simulations sans effet retardSont detailles ici les resultats obtenus sans effet retard. Comme pour l’essai P7,

les evolutions do la vitesse du poingon sont traccos sur la figure 4.10. La figure 4.11

^Au-dcla do la smile convergence des resultats, la dependance du profit d'ondommagomont au maillage n'a pas pu etre rniso en Evidence claircmcnt dans le cadre de ccttc etude.

136

4,4, Simulations dim essai fietif a 100m,/s

propose egalement, un zoom du profil d ’endommagement dans la zone eisaillee an temps 7m.s pour chacune des simulations.On retrouve pour le profil de la vitesse une influence similaire a cede qui a ete mise en evidence dans le eas de bossai P7, a savoir une decroissance continue du temps a rupture ot, invorsomont, une augmentation de la vitesse finale de poingon apres perforation. Cette derniere apparait clairement sur le graphique 6. de la figure 4.9. Cost plus en terme de profil dimdommagement quo los conclusions sont cotto fois interessantes 9, II semble que, initialement, pour les niveaux 2 ot 4, le maillage soit trop grossior pour representor corroctomont la perforation. Pour los maillagos plus fins (niveaux 8 ot 16), on observe uno dopondanco notto du profil qui n'ost pas sans rappolor cello qui avait doja oto miso on lumioro dans lo cas do bossai chapeau (voir la partie 2,5,3), Immediatement sous le poingon, une nouvelle direction dimdommagement perpendieulaire a la premiere apparait pour le niveau 16, Si le profil semble relativement stable an milieu de la plaque, on retrouve une influence du maillage pros de la surface inferieure de la plaque ou bendommagement doit ovoluor tros rapidomont (cotto zone ost on offot la dornioro a resistor juste avant la perforation).

-99.6

- niveau 8 niveau 16

■ niveau 2■ niveau 4-99.7

-99.8

-99.9

temps (ms’

Fig, 4,10 - Comparaison de la vitesse pour bossai P12 : simulations sans offot retard pour difforonts niveaux

4.4.2 Simulations avoo offot retardIdontiquomont a la partio procodonto, sont tracoos sur los figures 4.12 ot 4.13

rospoctivomont los evolutions do la vitesse du poingon ot un zoom du profil d'ondommagomont dans la zone eisaillee an temps 7ms,

^Pour bossai P7, aucuno influoiico notable iba pu otro miso on Evidence.

137


0.20 0.15 0.1 0.05 0.

Fig. 4.11 - Comparaison do Fendommagement pour Fessai P12 : simulations sans effet retard pour differents niveaux

Coneernant Fevolution do la vitosso du poingon, cotto etude confirmo lo bon compor- tomont du modelo a ondommagomont retarde. Lo temps a rupture, comme la vitosso finale du poingon, convergent asse% rapidement vers une valeur finie respectivement egale a 0.34m,.s et 9G.2om,/.s (voir le graphique 6. de la figure 4.9). Le resultat correspondant an niveau 2 ost par ailleurs tros similaire a colui obtenu pour lo memo niveau sans effet retard, accreditant la these dim maillage trop grossier, a ce niveau, pour representer correctement la /one endommagee. On retrouve cette similarity pour le niveau 2 on tonne d'ondommagomont sur la figure 4,13 10, Comparativement a la figure 4.11, les profils d'ondommagomont semblent ici converger vers une forme geo- metrique stable. On pourra observer par ailleurs lo profil do Fondommagomont ainsi quo colui do la deformee a differents temps do calcul dans Fannexe D,

^°Notons par ailleurs quo, sur cette dcmierc figure, apparait le resultat au niveau 12 a la place de cclui au niveau 16. Lc calcul au niveau 16 s'est cn effet arrete au moment dc la perforation suite au croiscmcnt d'mi element.

138

4.5. Conclusions

35S>

-99.6

-99.7

-99.8

-99.9

-100 *

-■niveau 2 .......... niveau 8-■niveau 4 niveau 12

........ niveau 16

o. 0.1 0.2 0.3 0.4temps (ms)

0.5 0.6

Fig. 4.12 - Comparaison do la vitosso pour l’ossai P12 : simulations avec offot retard pour difforonts nivoaux

4.4.3 BilanPar rapport aux cssais P7, P8, P9 ct Pll, r etude do Tossai Act if a la vitosso

d'impact do lOOm/.s a pormis do mottro on evidence, on plus do la bonno convergence dos rosultats numoriquos avoc rotard on tormo do vitosso du poingon quo Ton pout constator sur lo graphiquo 6. do la figuro 4.9, uno dopondanco clairo dos rosultats an maillage lorsquo aucun retard n'ost introduit dans lo modolo (partio 4,4,1), Cotto dopondanco rappollo collo qui avait pu otro obsorvoo sur los simulations d'essai chapeau dans la partio 2,5,3 ot qui avait, do la manioro analogue a la perforation, oto rosoluo par T introduction d'uno limitation du taux d'ondommagomont.En gardant a 1'osprit quo lo tomps caractoristiquo do 1'offot rotard a oto ici choisi environ cinq fois suporiour a ceux quo nous avions identifies procodommont, on re- marquera tout do memo la forte influence do la grande ductilito du matoriau. En offot, il ost encore uno fois tros difficile do mottro propromont on evidence lo phono- mono do localisation. Sans pour autant limiter 1'usago du modolo d'ondommagomont a offot rotard a dos matoriaux do ductilito moyonno, on no pout quo consoillor do no pas utiliser un matoriau trop ductile si on vent mottro on evidence elairement lo phenomene do localisation, Lo fait do no pas p on voir comparer nos rosultats a dos rosultats oxporimontaux dans co cadro dos hautos vitossos d'impact constituo ogalomont un rogrot a Tissue do cotto otudo.

4.5 ConclusionsXous avons tonto dans co chapitro d'appliquor lo modolo d'ondommagomont a

offot retard a la simulation d’essais do perforation realises an CEA Saelay, Aprils

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0.20 0.15 0.1 0.05 0.

Fig. 4,13 - Comparaison do Fendommagement pour Fessai P12 : simulations avec effet retard pour differents niveaux

avoir decrit brievement le protocole experimental, une premiere serie de simulations a ete effeetuee sans effet retard. Elio a pormis do mottro on evidence la qualite do la modelisation lorsqull n’y a pas perforation ot une premiere depondanco an maillage ost apparue, notamment sur los simulations do Fessai P7, En introduisant pour la socondo serie do simulations un effet retard dont los parametres out ete choisis om- piriquement, le probleme a pu etre resolu. Cependant, suite aux limitations dfies an temps do calcul, la resolution du probleme n'a pas pu etre nottomont mise on avant. Parallelement, la grande duetilite do Factor inoxydable 304L rend impossible une quelconque prevision de la longueur caracteristique avec le modele analytique developpe.En adoptant une demarche analogue a la simulations dos essais offoctivomont realises, Fessai fict-if P12 a ete, a son tour, simule sans ot avec effet retard. La plus grande vitesse ddmpact a permis de surcrolt de visualiser directement sur le profil d'ondommagomont la depondanco an maillage (commo cola avait deja pu etre fait pour les simulations d'essai chapeau).

140

4.6. SynthAse

On pent Agalement regretter que les paramAtres de 1'effet retard n'aient pas pu Atre identifiAs an prAalable pour le 304L, impliquant de facto 1'impossibilitA de faire converger les simulations avec effet retard vers la solution expArimentale. Si ceux-ci avaient AtA disponibles, il est par ailleurs fort probable que nous eOmes AtA limitAs par les temps de calcul excessifs liAs a la finesse du maillage nAcessaire. A terme, afin d'obtenir des rAsultats effectivement convergAs lorsqu'il y a perforation, il semble indispensable d'utiliser des mAthodes numAriques od Aoc (comme les mAthodes de dAcomposition de domaines qui out AtA AvoquAes dans la partie 4.3.4 et qui sont partiellement implantAes dans le code Europlexus).Dans un dernier temps et de maniAre analogue an travail qui avait pu Atre effectuA dans la partie 2.5.3, 1'essai fictif P12 a AtA simulA sans et avec effet retard. En plus des remarques faites pour les prAcAdentes simulations, cette derniAre Atude a permis d'exhiber sur le profil d'endommagement, dans le cas non-retardA, la dApendance an maillage. Cela permet en outre d'illustrer les phAnomAnes auxquelles nous pourrions Atre confront As lors de la simulations des essais P7 et Pll avec des maillages beaucoup plus fins.Il ressort cependant assez clairement de ce travail que le type de modAle proposA est bien plus adaptA aux comportements de matAriaux sollicitAs a grande vitesse. Son apport pour simuler des ruptures sous faible vitesse de sollicitation reste limitA.


- la description des essais de perforation de plaques effectuAs an CEA.

- la simulation des essais avec et sans effet retard.

- la simulation d'un essai de perforation fictif avec une vitesse d'impact de lOOm/s.

141


142

Conclusions et perspectives

Deux objectifs avaient ete fixes initialement lors de cette etude :- le premier concernait 1'integration dans un code de dynamique explicite d'un

module permettant d'eviter la localisation, en Toccurrence le module d'endommagement a taux de croissance limite. II s'agissait egalement de preparer Tintegration future de methodes numeriques comme le remaillage ou la decomposition de domaines en garantissant notamment la convergence du mod&le et en etant capable de predire la longueur caracteristique

- le second etait relatif a 1'identihcation des deux param&tres o et du module. Connaissant o przorz pour le materiau considere la loi d'ecrouissage et la loi devolution quasi-statique de 1'endommagement, il etait question de mettre en place, a partir de resultats d'essais de type plaque/plaque, un ou plusieurs protocoles d'identihcation et eventuellement de les appliquer.

Apr&s un rapide etat de 1'art et afin de repondre au premier objectif, une etude du module d'endommagement retarde a ete effectuee dans le chapitre 2. Les principaux fondements du mod&le ont d'abord ete rappeles et la capacite de celui-ci a resoudre le problAme de localisation artificielle mise en avant. Dans le souci de mettre en place a Tavenir des methodes od hoc (remaillage automatique, decomposition de domaines, ...) pour la resolution rapide et efEcace des probl&mes, differentes analyses ont alors ete effectuees. La premiere s'attachait a la determination de 1'ordre de convergence de 1'algorithme. Pour ce faire, une methode numerique originate a ete utilisee et a permis de demontrer la convergence rapide des resultats numeriques obtenus vers une solution hnie, garantissant ainsi leur qualite pour la suite de 1'etude. La seconde repond au besoin essentiel d'avoir un ordre d'idee de la taille de la zone compl&tement endommagee pour, d'une part, savoir quand les resultats ont effectivement converge vers une solution stable independante du maillage et, d'autre part, de choisir judicieusement la finesse du maillage (que ce soit avant le calcul ou, a 1'avenir, en cours de calcul en utilisant une des techniques numeriques evoquees precedemment). Sur un cas simple de traction de poutre uni-dimensionnelle elastique endommageable et en utilisant une modelisation simplihee, une formulation analytique approximant cette longueur caracteristique qui fait d'ailleurs echo a celles des modules non-locaux ou a gradient evoques dans le chapitre 1, a ete mise en place et validee ensuite par une etude numerique.

Les etudes menees jusque la etaient effectuees avec un programme specihque, mais il s'est avere indispensable pour la suite de 1'etude et pour 1'application future

143


dans des cas plus generaux d'implanter le module dans un code de dynamique explicite comme Europlexus. Le modAle d'endommagement a taux de croissance limit A a alors AtA integre dans la loi de plasticitA de von Mises couplAe a rendommagement deja existante dans Europlexus. Cette implantation a ete par la suite modihAe an gre des materiaux AtudiAs afin de prendre en compte les Aventuelles dependances an taux de deformation plastique on a la temperature.

S'appuyant sur 1'implantation du module dans Europlexus, la suite de 1'Atude (chapitre 3) s'est interessee a repondre an second objectif, a savoir celui de 1'identihcation des paramAtres relatifs a la limitation du taux d'endommagement. Selon le protocole qui a ete mis en place, cette Atape doit s'appuyer sur diffArents elements :

- tout d'abord, sur la connaissance de la loi d'Acrouissage du materiau; cette loi pouvant, selon les cas, dependre du taux de deformation plastique ou de la temperature.

- sur la connaissance de la loi d'endommagement obtenue avec des sollicitations quasi-statiques.

- sur des rAsultats d'essais d'impact de plaques. Suivant les experiences realisees, ces resultats pourront prendre la forme d'une courbe d'Acaillage ou de profils de vitesse de face arriAre.

Selon la mAthode expArimentale utilisAe, une mAthode spAcifique d'identihcation de o et de a AtA proposAe, puis dAtaillAe sur le cas thAorique d'un alliage d'aluminium Au4Gl-T4 Alasto-plastique endommageable. Les deux mAthodes finalement mises en place ont alors AtA appliquAes avec succAs a des matAriaux Alasto-plastiques endommageables dApendant du taux de dAformation, en 1'occurrence balliage d'aluminium 7020-T6 et 1'alliage de titane Ta6V. Dans chacun de ces deux cas en effet, 1'analyse menAe a permis de faire coincider de maniAre trAs satisfaisante les rAsul- tats expArimentaux avec les rAsultats numAriques, permettant ainsi d'identifier les paramAtres o et T^.

L'analyse d'identification s'est rAvAlAe d'autant plus intAressante qu'elle a permis dans le mAme temps de tirer divers enseignements :

- la formule analytique mise en place dans le chapitre 2 a pu Atre appliquAe de maniAre satisfaisante au cas quasi-uni-dimensionnel de 1'impact de plaques. La prAvision o priori de la longueur caractAristique, couplAe a la garantie de convergence du modAle, a permis de choisir efBcacement le maillage.

- les diverses simulations ont montrA que la seule viscosit A du matAriau n'Atait pas sufhsante pour rAsoudre le problAme de localisation.

- enhn, si les rAsultats d'essais plaque/plaque permettent d'identifier les paramAtres du retard, nous avons Agalement montrA, a 1'inverse, que le modAle a endommagement retardA Atait capable de reprAsenter correctement les essais, ce qui n'est o priori pas le cas pour une modAlisation classique.

Une fois les objectifs initiaux atteints, une premiAre application a la perforation de plaques en acier 304L a AtA effectuAe. A 1'aide de paramAtres o et choisis empiriquement, une Atude numArique a AtA rAalisAe et comparAe aux rAsultats expArimentaux. Celle-ci a permis de mettre en Avidence plusieurs phAnomAnes comme le

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problAme de dApendance an maillage et la capacite du modAle d'endommagement retarde a le resoudre. Elle a Agalement mis en exergue un certain nombre de limites, comme 1'impossibilitA d'utiliser la formulation analytique de f"" dans ce cas particular on encore les temps de calculs excessifs.

Les limites AvoquAes a 1'instant nous amAnent justement a proposer quelques perspectives et ameliorations an travail effectuA.

Les premiAres se rapportent a la longueur caracteristique analytique Dans le cas des exemples qui out ete traites (essais chapeau, plaque/plaque on de perforation), nous avons ete contraint, d'une part, de construire un modAle uni-dimensionnel equivalent et, d'autre part, de faire abstraction de la plasticitA. Dans les cas les plus propices, comme 1'essai plaque/plaque pour lequel le modAle equivalent est quasi-uni- dimensionnel, le materiau pen ductile et la sollicitation trAs dynamique, la formule s'applique alors trAs bien. Cela n'est pas le cas dans la situation inverse, comme pour la perforation. De nouvelles pistes sont alors possibles. II serait par exemple intAres- sant d'Atablir, de maniAre analogue an cas uni-dimensionnel, une formule analytique donnant une approximation de la taille de la zone complAtement endommagAe en deux et trois dimensions ahn d'Aviter d'avoir a construire systAmatiquement un mo- dAle Aquivalent. L'adaptation de la formulation existante a la nature Alasto-plastique on Alasto-plastique dApendant du taux de dAformation du matAriau constituerait Agalement un progrAs.

Par ailleurs, nous avons Agalement vu an cours de cette Atude que le dAveloppe- ment de techniques numAriques adAquates Atait une condition sme gno non de 1'application du modAle d'endommagement retardA a des cas industriel dans des temps de calcul raisonnables. L'intAgration de la mAthode de dAcomposition de domaines est actuellement en voie d'achAvement dans Europlexus rendant vraisemblablement possible son usage a plus on moins court terme. Cela reprAsentera dAja un progrAs considArable, puisqu'il sera dAs lors possible d'effectuer un calcul avec un maillage trAs hn dans la zone fortement endommagAe sans pour autant diminuer abusivement le pas de temps sur le reste de la structure. Subsistera tout de mAme le problAme de savoir oh il faut mailler hnement et inversement. A plus long terme, on pent imaginer coupler une technique de remaillage automatique des zones endommagAes, la taille des AlAments du nouveau maillage pouvant Atre donnAe par la formule analytique calculAe a chaque instant. Dans un thAme voisin, des travaux out AtA amorcAs an laboratoire sur une technique de calcul multi-grille basA sur 1'erreur en dAplace- ment qui, semble-t-il, pourra apporter, an prix de quelques adaptations, une rAponse possible a ce nouveau problAme.

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Annexe A : determination analytique de £car sur un modele discret

L'objectif de cette annexe est de determiner a Paide d'un module discret uni- dimensionnel semblable aux elements finis une formulation analytique de la longueur caractAristique fonction des paramAtres du module, du materiau et du chargement, mais independant du maillage. L'exemple de la figure 2.2 est done a nouveau considere. La poutre est maillee avec des elements uni-dimensionnels de longueur Agale a Aa;. De la mAme maniAre que les simulations sur cet exemple, le schema numerique permettant PintAgration des equations est le schema de Newmark aux differences centres, le pas de temps At est choisi Agal an pas de temps critique Af"* = ^ (le chapitre 1 donne plus de detail sur ce pas de temps critique). Enhn, le modAle materiau utilise correspond au modAle simplihe expose dans la partie 2.4.1.1; ainsi, seuls seront etudies les elements et les noeuds au niveau du front de Ponde.Avant de s'interesser precisement a la determination de les deux paragraphes suivants detaillent 1'evolution d'une onde dans la poutre, onde purement Alastique pour le premier et onde elastique endommageable pour le second.

A.l Propagation (Pune onde purement elastique

Ce paragraphe s'interesse done a la situation detaillee par la figure A-l (Ponde se propage de droite a gauche) oh nous avons appelA oj la contrainte de PAlAment 7 a Pinstant t. Les conditions initiales supposent que est egal a A<r (qui est inferieure dans ce cas a <r^) alors que la contrainte au mAme instant pour PAlAment 7 + 1 est nulle. Le front de Ponde se situe done au niveau du noeud t, e'est-a-dire que le temps depuis le dAbut de la sollicitation est Agal a t = 7At = 7cAa;. II s'agit de dAterminer au temps t + At = (7 + 1) At la contrainte au niveau du front de Ponde, e'est-a-dire dans PAlAment 7 + 1 a cet instant.

Pour ce faire, les diffArentes Atapes effectuAes lors d'une simulation classique sont rAsumAes :

- la premiAre Atape est d'Acrire PAquation d'Aquilibre qui permet de dAterminer PaccAlAration du noeud au niveau du front de Ponde

pXrC/f = -F‘nt = (<rj - ctJ+1) S

155

Annexe A : determination analytique de sur un module discret

i+1 I+l i-1

at1+1 ut a i

I

Fig. A-l - Modelisation discretisee, cas d'une onde purement elastique (sans endommagement)

La section etant unitaire et la contrainte oj+i nulle, racceleration du noeud % est egale a :

u!A<r

pAa;- le deplacement du noeud % an temps t + At se deduit alors du schema de

Newmark aux differences centres.

= Afi^

la deformation, puis la contrainte, de Telement 7 + 1 peuvent alors 8tre determinees an pas de temps t + At.

E,+il _ «rAi - u'itt' _ t/‘+a',+1 ~ At ~ At

il....Ill fAV il....Ill fAV

En remplagant le deplacement par son expression,

t+At _ ^ rW

puis racceleration par son expression,

£t+Atr+i

At^ (Jr At^Aa; pAa; pAa;^

A<r

et enhn, ^ par on obtient hnalement

{

t+At — Acr —^7+1 — E —

Les quantites an niveau du front de Londe (dans Telement 7 + 1) out done ete determinees an pas de temps suivant; on trouve une onde de contrainte A<r qui se propage d'element en element. Remarquons que le niveau A<r de cette onde etant inferieur a la contrainte limite Tendommagement est bien nul en tout instant et en tout point.

156


A.2 Propagation d'une onde elastique endommageable

Ce paragraphe s'intAresse pour sa part a la situation detaillee par la figure A-2 oh la contrainte de 1'AlAment 7 a 1'instant t oj est Agale A<r et son endommagement a ^ alors que les mAmes quantites an mAme instant pour 1'AlAment 7 + 1 sont nulles. Remarquons dAs a present que, si on considAre le modAle simplifiA, 1'endommagement correspond a une Avolution de rendommagement pendant un pas de temps. Cela suppose Agalement que la contrainte effective dj = Gst supArieure a la contrainte limite c/*™. De la mAme maniAre que dans le paragraphe prAcAdent, il s'agit de dAterminer an temps t + At = (7 +1) At la contrainte et rendommagement an niveau du front de 1'onde, c'est-a-dire dans 1'AlAment 7 + 1.

i+1 I+l I i-1

° i+i

Dj+i

Ut a f:

Dr

--Ac

Af/t c

Fig. A-2 - ModAlisation discrAtisAe, cas d'une onde Alastique avec endommagement

Une fois encore, les diffArentes Atapes sont dAtaillAes :- la premiAre Atape est inchangAe par rapport an paragraphe prAcAdent. L'accA-

lAration U* est Agale a- le dAplacement du noeud t an temps t + At est lui aussi inchangA et Agal a

Afi/f.- la dAformation, la contrainte et rendommagement de I'AlAment 7 + 1 peuvent

alors Atre dAterminAes an pas de temps t + At. On dAtermine dans un premier temps la dAformation qui est Agale a :

t+At _

La contrainte effective est alors Agale a :

- t+At —"r+i — A<r

Deux cas sont alors possibles selon la valeur de la contrainte effective Le premier est un arrAt de la propagation de rendommagement si celle-ci est infArieure a la contrainte limite c/*™ ; on a alors tout simplement :

t+At — - t+At — "f+1 — "r+i — A<r

157


Le second correspond a une poursuite de la propagation de dendommagement si A<r est superieure a la contrainte limite Le taux d'endommagement

est alors egal a L'endommagement et la contrainte valent alors :

nt+At _ A^nt+At _ At

= 5w* (1 - ®'w*) = Act (1 An—)

En resume, il existe deux situations possibles :- La premiere correspond a un arr@t de devolution de dendommagement. Cest-a-

dire que, alors que la contrainte effective de delement 7 a dinstant t dj = —_ 1 TC

etait superieure a la contrainte limite la contrainte effective de delement 7 + 1 a dinstant t + At ne dest plus. Par consequent, a partir de cette instant, dendommagement ne s'etend plus et donde qui se propage vers la gauche est purement elastique et on retrouve la situation exposee dans le paragraphe precedent.

- la deuxi&me correspond a une poursuite de dextension de la zone endommagee. On reste done dans la m@me situation. On remarque par ailleurs qu'entre dinstant t et dinstant t + At, le niveau de la contrainte sur le front d'onde diminue. La zone endommagee va done s'etendre jusqu'a ce que la contrainte an niveau du front de donde soit inferieure a la contrainte limite (e'est-a- dire jusqu'au moment oh la premiere situation se presentera).

A.3 Determination de la longueur caracteristique

On revient maintenant an probl&me initial de la poutre encastree a gauche sol- licitee a droite. La nature de la sollicitation n'a pas d'importance; que ce soit un deplacement impose on un effort impose, nous conviendrons qu'elle entraine la propagation d'une onde de contrainte dans la poutre dont le niveau est initialement egal a A<r. Si A<r est inferieure a la contrainte limite c/*™, aucun endommagement n'apparait; la longueur caracteristique f*"" est done nulle. Lorsque A<r est superieure a c/*™, on applique la methode presentee dans le paragraphe precedent.

La figure A-3 resume le resultats obtenus pour une propagation de dendommagement sur an moins les trois premiers elements. Taut que dendommagement se propage, la valeur de la contrainte effective an niveau de front de donde pour n'importe quel temps t (e'est-a-dire dans delement 7 a dinstant 7At) est alors trivialement egale a :

a/AtJ 1

At IA<r

L'endommagement se propagera done dans la poutre taut que la condition donnee par dequation suivante sera verihee.

a /AtI

158


0

A t

2At

3At

3

033U!t

3 2 2 0

A U

u1= °pA x

of =Ac>(l -Atx0) D1 =iAt/x0

A U

pA x

02* =l^^(7(l -A^[C2D2At =l\t/T0

A U

pA xc3l't =l^^(7(l -A^[C3

D3At =Atyx0temps

Fig. A-3 - Moderation discretisee, cas d'une onde elastique avec endommagement

Ceci est vrai jusqu'a Telement 7 tel que :

1 1

IIn Au

In (1 -

En multipliant cette derni&re equation par Ax et en remplagant le pas de temps At par on obtient finalement :

pear _ p \ Acr J

~ Mi-£)

A ce niveau, le resultat obtenu depend encore du maillage. En effet, la taille de Telement Ax intervient dans la formule analytique obtenue. Cependant, le passage a la limite lorsque le maillage devient inbniment bn (e'est-a-dire Ax —> 0) permet d'obtenir une formule analytique de la longueur caracteristique independante du maillage cette fois.

^car cr^lnAcrO'

Cette longueur caracteristique est egale a celle determinee avec le mod&le continu et presentee dans le paragraphe 2.4.1.2.

159


160

Annexe B : exemple de jeu de donnees Europlexus

Cette annexe presente un jeu de donnees Europlexus type. II s’agit du fichier ’.epx’ correspondant a un essai chapeau offoctue avec effet retard sur le niveau 2 de maillage. Pour memoire, celui-ci, ainsi quo les conditions aux limites du modele, sont a nouveau traces sur la figure B-l (pour un niveau 6 de maillage). Xous convenons d’ecrire les lignes utiles du jeu de donnees decalees de la marge, les commentaires n’etant pas decales et ecrits dans une police plus petite.

bord2

bordl

Fig. B-l - Maillage (niveau 6) du chapeau

Le jeu de donnees est dans ce cas le suivant :Titrc du jeu de donnees

— Tit-re ’Essai chapeau - niveau 2 - avec effet retard’

Fichiers d’imprcssion des sorties destines an post-traitement ECHO OPXF 11 ’hatER2.alico’OPXF FORMAT 12 ’hatER2.k2000’

161


Lecture du maillage (de nom 'tout') GIBItout

Options de la simulation AXIS NONE LAGC GHOST

Allocation de memoire pour la simulation DIMENSION

PT2L 50000 ZONE 1 CAR1 50000 TRAC 1 141 BLOQ 800 GLIS 1 4000 DEPL 1000MTPO 100000 MTEL 100000 ECRO 3000000

TERM

Definition de la geometrie GEOM

CAR1 tout TERM

Definition des proprietes du materiau et de sa courbe d'ecrouissageMATERIAU

LEM1 RO 2780 YOUN 74000E+6 NU 0.3 ELAS 313.76E+6 EPSD 0.03 SO 0.25 DC 0.23 CSTA 2.0 TAUC 0.5E-6 TRAC 1413.1376E+008 4.24E-003 3.43E+008 7.14E-003 3.62E+008 9.89E-003

1.06E+009 3.59E-001 1.07E+009 3.62E-001 1.07E+009 3.64E-001

LECT tout TERM

Definition des liaisons LIAI

BLOQ 1 LECT bord2 TERM BLOQ 2 LECT bord2 TERM

Definition des chargements imposesCHAR 1 FACTO 2

DEPL 2 1. LECT bordl TERM

162


TABL 2 0.0 0.0 1. 50.

Options de I'Acriture des donnees pour le post-traitement ECRITURE FREQ 100 NOPOIN NOELEM

FICHIER alic TEMPS 11 FREQ 5 POINT LECT bordl TERM NOELEMFICHIER FORMAT k2000 12 FREQ 100 POINT LECT TOUS CHA-

MELEM

Options du calcnl OPTION

AMORT LINE 0.2 PAS AUTOMATIQUE STEPIO CSTAB 0.5

CALCUL TINI 0 TFIN 7.E-06 FIN

163


164

Annexe C : resume des simulations effectuees avec l’Au4Gl-T4

Get annexe resume les resultats de 1'ensemble des simulations qui out ete elfec- tuees avec 1'alliage d'aluminium Au4Gl-T4. Les essais caracterises par 1'epaisseur

de la cible et par la vitesse d'impact desquels on deduit le temps A et lapression de choc La derniere colonne notee 'level' permet de donner le niveau d'endommagement atteint dans le plan d'ecaillage. Les niveaux vont de 0 a 4 pour un endommagement total. Les niveaux 0, 1, 2 et 3 correspondent respectivement a un endommagement compris entre 0% et 25%, entre 25% et 50%, entre 50% et 75% et entre 75% et 100%. L'indice + on " indique encore plus precisement a quel niveau se situe 1'endommagement.Le tableau C-l presente les resultats pour les simulations sans effet retard, les tableaux C-2, C-3 et C-4 les resultats pour les simulations avec un effet retard dont les couples (o, -A) de parametres sont respectivement (10,0.2^s), (2,0.2^s) et (10,0.4/43).

Lcmm /^a

^/impactm/a

aMPa

level Lcmm

^/impactm/a

aMPa

level

4 0.67 225 1876 0 3 0.50 225 1876 0+250 2085 1 250 2085 1-275 2293 1 275 2293 1300 2502 1+ 300 2502 2-320 2669 2 310 2585 2335 2794 2 325 2710 2350 2919 3 350 2919 2+

362.5 3023 3 362.5 3023 3375 3127 3+ 375 3127 3+400 3336 4 387.5 3232 3+

2 0.33 225 1876 0+ 400 3336 4250 2085 l1 1 0.17 225 1876 0+275 2293 1 250 2085 1300 2502 1+ 275 2293 1325 2710 2 300 2502 1+350 2919 2+ 325 2710 2

362.5 3023 3 350 2919 3-375 3127 3 375 3127 3

387.5 3232 3+ 387.5 3232 3+400 3336 4 400 3336 4

Tab. C-l - Resume des resultats des simulations sans endommagement retarde

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Annexe C : resume des simulations effectuees avec TAu4Gl-T4

Lcmm /^a

^/impactm/a

aMPa

level Lcmm

^/impactm/a

aMPa

level

4 0.67 225 1876 0 2 0.33 225 1876 0250 2085 1- 250 2085 1-275 2293 1 275 2293 1300 2502 1+ 300 2502 1325 2710 2 325 2710 2-350 2919 2+ 350 2919 2375 3127 3 375 3127 3"

387.5 3232 3+ 400 3336 3400 3336 4 415 3461 3

3.5 0.59 225 1876 0+ 425 3544 3250 2085 1 435 3628 3+275 2293 1 445 3711 1300 2502 1+ 1.5 0.25 250 2085 0325 2710 2 275 2293 0+350 2919 3- 300 2502 1375 3127 3 325 2710 1

387.5 3232 3+ 350 2919 1+400 3336 4 375 3127 2

3 0.50 225 1876 0 400 3336 2250 2085 1- 415 3461 2+275 2293 1 430 3586 3300 2502 1 445 3711 3325 2710 2- 455 3795 3350 2919 2 465 3878 3375 3127 3" 475 3961 4

387.5 3232 3 1 0.17 250 2085 0400 3336 3 300 2502 0

412.5 3440 3+ 325 2710 0415 3461 4 350 2919 1-

2.5 0.42 225 1876 0 400 3336 1250 2085 1- 425 3544 1275 2293 1 450 3753 2-300 2502 1 500 4170 2325 2710 2"350 2919 2375 3127 3"400 3336 3415 3461 3+425 3544 4

Tab. C-2 - Resume des resultats des simulations avec des parametres d'endommagement retarde o et respectivement egaux a 10 et 0.2^s

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Annexe C : resume des simulations effectuees avec TAu4Gl-T4

I,": ^/impact a level 1/ a levelmm /48 m/a MPa mm /48 m/a MPa4 0.67 225 1876 0 1.5 0.25 250 2085 0

250 2085 1- 275 2293 1-300 2502 1 300 2502 1325 2710 2 325 2710 1350 2919 2+ 350 2919 2375 3127 3 375 3127 2

387.5 3232 3+ 410 3419 3-400 3336 4 430 3586 3

3.5 0.59 387.5 3336 3+ 450 3753 3400 3378 4 465 3878 4

3 0.50 400 3336 3 1 0.17 250 2085 0405 3378 3+ 300 2502 0+410 3419 4 350 2919 1

2.5 0.42 405 3378 3 400 3336 1+410 3419 3+ 425 3544 2-415 3461 4 450 3753 2425 3544 4 475 3961 2+

2 0.33 415 3461 3 500 4170 3420 3503 3+425 3544 4435 3627 4


7/ ^/impact a level 7/ ^/impact a levelmm /aa m/a MPa mm /«a m/a MPa4 0.67 200 1668 0+ 1.5 0.25 250 2085 0+

225 1876 1- 275 2293 1-250 2085 1 300 2502 1300 2502 2- 350 2919 1+325 2710 2 400 3336 2350 2919 2+ 430 3586 3"375 3127 3 450 3753 3

387.5 3232 4 465 3875 3+395 3294 4 470 3917 4

3.5 0.59 387.5 3232 3+ 1 0.17 250 2085 0395 3294 4 300 2502 0+

3 0.50 387.5 3232 3+ 350 2919 1395 3294 4 400 3336 1+

2.5 0.42 395 3294 3+ 450 3753 2400 3336 4 500 4170 3-

2 0.33 400 3336 3 540 4495 4415 3461 3+425 3544 4430 3586 4


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Annexe C : resume des simulations effectuees avec l'Au4Gl-T4

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Annexe D : evolution du profil d’endommagement pour l’essai P12

Cette annexe presente en partie les resultats numeriques obtenus avec 1'essai P12. Sont done traces ici les profils d'endommagement a quatre temps distincts. Ces profils sont traces sur la configuration deformee, le coefficient d'amplification de la visualisation est egal a 1. II est a noter que les elements s'endommageant completement ne sont pas retires du maillage, expliquant les distorsions du maillage une fois les elements endommages.

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Annexe D : evolution du profil d’endommagement pour l’essai P12

Fig. D-l - Evolution du profil d’endommagement sur la configuration deformee pour I'essai P12

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Développement d’un modèle d’endommagement à taux de ...

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