Développement de systèmes paramétriques physiques pour l’analyse d’impact de véhicules

multi-corps flexibles lors d’un accident et algorithme d’identification

Mémoire

Mohamed El Orche

Maitrise en génie mécanique Maître ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

©Mohamed El Orche, 2014

iii

RÉSUME

Dans ce projet de recherche, deux types de modèles physiques paramétriques construits par une combinaison de ressorts, de masses et de liaisons sont présentés pour étudier l’impact frontal d’un véhicule de type Dodge 2001.

Également, deux modèles linéaires paramétriques (LMS) à 5 degrés de liberté sont introduits et vérifiés, en référence aux travaux de recherche de Mr Javad Marzbanrad et de Mr Mostafa Pahlavani. Les ressorts et les amortisseurs utilisés sont déterminés via une optimisation des décélérations, tenant compte des résultats numériques par éléments finis et ceux provenant de l’expérience. Plus précisément, ces paramètres sont identifiés par une minimisation de l’erreur moyenne quadratique entre les résultats des simulations et les tests expérimentaux lors de l’impact frontal.

v

ABSTRACT

In this study, two types of physical parametric models built using a combination of springs, masses and links are introduced for a vehicle frontal crash study.

In addition, two 5DOF linear parametric models (LMS) are proposed and checked, based on the previous investigation made by Mr Javad Marzbanrad and Mostafa Pahlavani. The values of spring and dampers have been determined using an optimisation of deceleration, considering the numerical results from finite element and experimental results. These determined values have been calculated on the basis of minimisation of the root mean square of the difference between simulated and experimental results as occurred for occupants in the frontal crash.

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Table des matières

RÉSUME ........................................................................................................................................................ iii

ABSTRACT ...................................................................................................................................................... v

Table des matières ...................................................................................................................................... vii

LISTE DES TABLEAUX .................................................................................................................................... ix

LISTE DES FIGURES ....................................................................................................................................... xi

REMERCIEMENTS ........................................................................................................................................xiii

1. Introduction à l’impact frontal .............................................................................................................. 1

1.1. Contexte ........................................................................................................................................ 2

1.2. Objectif du travail de recherche ................................................................................................... 3

1.3. Revue de littérature ...................................................................................................................... 4

1.4. Techniques de modélisation ......................................................................................................... 5

1.4.1. Modèle LMS .......................................................................................................................... 6

1.4.2. Modèle Eléments finis........................................................................................................... 8

1.4.3. Systèmes dynamiques multi-corps (SDM) ............................................................................ 9

1.4.4. Modèles hybrides ................................................................................................................ 10

1.5. Méthodes d’analyse et indicateurs ............................................................................................. 11

1.6. Description des logiciels utilisés ................................................................................................. 12

1.6.1. MapleSim 6 et Maple 16 ..................................................................................................... 12

1.6.2. Le logiciel Matlab ................................................................................................................ 14

1.6.3. LS-DYNA............................................................................................................................... 15

2. Description et analyse des modèles linéaires ..................................................................................... 17

2.1. Modèles linéaires d’impact voiture / barrière ............................................................................ 18

2.1.1. Modèle 1 : 5 masses en série avec 5 degrés de liberté (5 ddl) ........................................... 19

2.1.2. Modèle2 : 5 masses en parallèle avec 8ddl ........................................................................ 22

2.1.3. Modèle3 : 5 masses en parallèle avec 5ddl ........................................................................ 25

2.2. Conclusion ................................................................................................................................... 26

viii

3. Modèle non linéaire sous LS DYNA ..................................................................................................... 27

3.1. Modèle LS DYNA ......................................................................................................................... 28

4. Fonctionnement de MapleSim et présentation des nouveaux modèles physiques ........................... 34

4.1. Introduction ................................................................................................................................ 35

4.2. Tutoriel : Modélisation d’un mécanisme bielle – coulisseau ...................................................... 36

4.3. Modèles physiques paramétriques sous MapleSim ................................................................... 41

4.3.1. Le modèle masses du véhicule ............................................................................................ 44

4.3.1.1. Présentation ................................................................................................................ 44

4.3.1.2. Programme MATLAB ................................................................................................... 48

4.3.1.3. Matrices du modèle et courbes de simulation ........................................................... 49

4.3.2. Modèle Bielles-masse ......................................................................................................... 53

4.3.2.1. Présentation ................................................................................................................ 53

4.3.2.2. Programme MATLAB ................................................................................................... 55

4.3.2.3. Matrices du modèle et courbes de simulation ........................................................... 57

5. Conclusion et perspectives ................................................................................................................. 61

ANNEXE A .................................................................................................................................................... 62

A.1 Méthode de représentation par variables d’état ....................................................................... 62

A.2 Méthode Newmark ..................................................................................................................... 63

ANNEXE B .................................................................................................................................................... 64

B.1 Programme MATLAB Optim_5ddl.m .......................................................................................... 64

B.2 Programme MATLAB Optim_5LH.m ........................................................................................... 66

ANNEXE C .................................................................................................................................................... 69

C.1 Programme MATLAB Modele_masses.m ................................................................................... 69

C.2 Programme MATLAB Modele_bielles.m ..................................................................................... 73

BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................................... 77

ix

LISTE DES TABLEAUX

1.1 Différences entre les algorithmes d’optimisation ............................................................................. 15 2.1 Valeurs de masses utilisés dans le modèle 5 masses en série ........................................................... 20 2.2 Valeurs de raideurs et amortissements pour le modèle en série ....................................................... 21 2.3 Masses du modèle 5 masses en parallèle .......................................................................................... 23 2.4 Valeurs initiales et finales des raideurs et amortissements pour le modèle en parallèle .................. 24 3.1 Caractéristiques matériau du pare chocs ........................................................................................... 28 3.2 Matériaux utilisés pour le radiateur .................................................................................................. 30 3.3 Propriétés du matériau utilisé pour le capot...................................................................................... 30 3.4 Types d’éléments disponibles pour une section coque ..................................................................... 31 3.5 Propriétés de soudure entre matériaux .............................................................................................. 31 4.1 Valeurs maximales et minimales d’angles, vitesses et accélérations angulaires .............................. 40 4.2 Valeurs initiales des raideurs et amortissements .............................................................................. 45 4.3 Valeurs des longueurs initiales ......................................................................................................... 47 4.4 Valeurs optimales des paramètres..................................................................................................... 56

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LISTE DES FIGURES

1.1 Modèle LMSde Kamal ....................................................................................................................... 6 1.2 Modèle Magee .................................................................................................................................... 7 1.3 Modèle LMS 2ddl ............................................................................................................................... 7 1.4 Modèles 5 masses en série et en parallèle ........................................................................................... 8 1.5 Impact frontal (LS DYNA) ................................................................................................................. 8 1.6 1er modèle SDM .................................................................................................................................. 9 1.7 Crash test latéral ............................................................................................................................... 10 1.8 Mécanisme et réseau vectoriel du modèle bielle coulisseau ............................................................. 13 1.9 Solveur d’optimisation du logiciel Matlab ....................................................................................... 14 1.10 Fonctionnement de LS DYNA ......................................................................................................... 15 2.1 Algorithme d’optimisation ................................................................................................................ 19 2.2 Modèle 5 masses en série ................................................................................................................. 19 2.3 Décélérations numériques et expérimentales de la masse 5 ............................................................. 21 2.4 Énergie cinétique de la masse 5 ........................................................................................................ 22 2.5 Modèle 5 masses en parallèle ........................................................................................................... 22 2.6 Décélérations numériques et expérimentales de la masse 5 ............................................................. 24 2.7 Modèle 5 masses en parallèle 5ddl ................................................................................................... 25 2.8 Décélérations numériques et expérimentales de la masse 5 ............................................................. 26 3.1 Modèle LS DYNA DODGE (1333Kg) ............................................................................................ 28 3.2 Loi de comportement élasto-plastique .............................................................................................. 29 3.3 Comparaison des modèles expérimentaux et éléments finis ............................................................. 32 3.4 Déplacements suivant x (1ère phase) ................................................................................................. 33 3.5 Déplacements suivant x (2éme phase) ................................................................................................ 33 3.6 Déplacements suivant x (3ème phase) ................................................................................................ 33 4.1 Simplification du modèle continu ..................................................................................................... 35 4.2 Dynamique et principe des réseaux vectoriels .................................................................................. 35 4.3 Modèle MapleSim du système bielle-coulisseau .............................................................................. 36 4.4 Position initiale à T = 0s ................................................................................................................... 37 4.5 Position à T = 2.3s ............................................................................................................................ 37 4.6 Position à T=5.15s ............................................................................................................................ 37 4.7 Position àT=9.62s ............................................................................................................................. 37 4.8 Trajectoire des deux centres de masse .............................................................................................. 37

4.9 Choix des coordonnées relatives 1 2 et q q .......................................................................................... 38 4.10 Résultats de simulation ..................................................................................................................... 40 4.11 Méthode paramétrique physique ....................................................................................................... 41 4.12 Processus du calcul ........................................................................................................................... 42 4.13 Propriétés des liaisons prismatiques et rotules ................................................................................. 44 4.14 1er modèle Maplesim du véhicule ..................................................................................................... 45 4.15 Répartition des raideurs et amortissements ...................................................................................... 46

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4.16 Simulation du Modèle (instants 0.04s et 0.134s) .............................................................................. 46 4.17 Bloc avant d’un modèle de véhicule Dodge 2001 ............................................................................ 47 4.18 Structure du programme Matlab Modele_masses.m ........................................................................ 48 4.19 Paramètres finaux obtenus ................................................................................................................ 49 4.20 Matrices du mécanisme .................................................................................................................... 50 4.21 Simulation du modèle optimise (instants 0.058 et 0.15s) ................................................................. 50 4.22 Courbes d’accélérations numérique et expérimentale ...................................................................... 51 4.23 Vitesses expérimentale et numérique ............................................................................................... 51 4.24 Accélérations expérimentale et numérique ....................................................................................... 52 4.25 Comparaison des vitesses et accélérations........................................................................................ 52 4.26 Assemblage des 3 bielles par des rotules .......................................................................................... 53 4.27 Modèle final bielles-masse ............................................................................................................... 53 4.28 Répartition des raideurs et amortissements ...................................................................................... 54 4.29 Structure du programme Modele_bielles.m...................................................................................... 55 4.30 Matrices du modèle bielles-masse .................................................................................................... 57 4.31 Rendu 3D de la simulation du modèle optimisé ............................................................................... 57 4.32 Accélération du modèle bielles-masse .............................................................................................. 58 4.33 Vitesse du modèle bielles-masse ...................................................................................................... 58

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REMERCIEMENTS

Ce travail de recherche a été réalisé au sein du département de génie mécanique de l’Université Laval. Je le dédie aux membres de ma famille au Maroc et en Europe.

Il s’inscrit dans le cadre des projets de dynamique des systèmes multi-corps, sous la direction de Mr Marc J. Richard que je tiens à remercier vivement pour son précieux soutien, sa patience et son assistance durant ces années de maitrise, pleine de bonne humeur et de passion scientifique.

Je remercie les personnes qui m’ont conseillé, en particulier Mr Gakwaya, Professeur chercheur à l’Université Laval, Mr Daoud Ait Kadi, Mr Yves Saint Amant et Mr Louis Gagnon pour leur disponibilité et leur rigueur scientifique qui m’a permis de mener à bien ce projet.

Mes remerciements s’adressent également à Mme Claire Deschenes, directrice des programmes de 2e et 3e cycles du département de génie mécanique de l’Université Laval pour son suivi, et toutes les personnes du département qui ont contribué dans la réussite de ce projet de recherche.

Finalement, merci aux professeurs Mr Mohamed Bouazara, Mr Benoit Levesque et Mr Clément Gosselin pour avoir accepté de lire et corriger ce mémoire de maîtrise.

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Chapitre 1

1. Introduction à l’impact frontal Ce chapitre présente le contexte de ce projet et ses objectifs. Les quatre techniques de modélisation de l’impact frontal sont de type : paramétriques masse-ressort, éléments finis, systèmes dynamiques multi-corps et hybrides. Elles sont explicitées pour clarifier la problématique de l’analyse dynamique d’impact. Nous discuterons ensuite des méthodes d’analyses permettant d’exploiter les résultats. Enfin, une présentation des logiciels utilisés, MAPLESIM 6, MAPLE16, MATLAB et LS DYNA sera donnée.

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1.1. Contexte

Plusieurs laboratoires de recherches s’intéressent à la problématique de la sécurité et protection des passagers appelé « Crash-worthiness ». Elle peut être définie par : « La capacité du véhicule à protéger ses occupants pendant un impact frontal, latéral ou arrière».

Malgré les efforts déployés dans l’analyse du phénomène d’impact, ses conséquences directes sur les passagers et l’amélioration structurelle du véhicule, le nombre de blessés (tout type de blessures) n’a pas beaucoup diminué. Selon l’organisation mondiale de la santé, le nombre de morts dans les accidents de route en 2010 avoisinait les 1.24 millions [1] (tout impact). L’organisation NHTSA « National Highway Trafic Safety Administration », avance dans son rapport de 2007 [2], un chiffre de 5300 blessés dans les impacts frontaux.

Le gouvernement du Canada (Road Safety Strategy Vision 2010), sous l’égide du CCMTA « Canadian Council of Motor Transport Administrators »en partenariat avec les investisseurs et les organisations de protection des passagers, ont obtenu en 2007 [3] une réduction de 21% du nombre de blessés. Ce résultat a encouragé l’établissement d’une stratégie et d’une vision différente pour l’année 2015, dans laquelle chaque province fixera ses objectifs en investissant dans la communication, la conscience du public utilisateur, la coopération et la recherche.

Les méthodes habituelles permettant d’étudier la protection des passagers consistent à modéliser les véhicules sous forme de milieu continu, en utilisant des logiciels de CAO tels que Abaqus et LS-Dyna, et de comparer les résultats obtenus aux résultats expérimentaux du crash test. Parmi les méthodes numériques utilisées pour l’analyse d’impact, figure les éléments finis non linéaires. Son application coûte cher du fait de la complexité structurelle des véhicules, contenant différents types de formes et matériaux, soumis à de grandes déformations élastiques et plastiques, à de grandes contraintes et également soumis à des forces de contact et de frottements.

Pour information, un crash test nécessite 36 heures de préparation et un mannequin robot d’une valeur de 30000$.

Le temps standard d’un impact est de 100 ms, et sa simulation peut durer jusqu’à une demi-journée. Tenant compte de ces détails, et de la complexité des structures soumises aux grandes sollicitations, il devient primordial d’améliorer la performance du calcul numérique. D’où l’intérêt d’innover dans les moyens disponibles d’analyse d’impact tels que la mise en place de modèles simples et précis, pouvant répondre à la question suivante : « Est-il possible qu’une modélisation physique simple de véhicule, moins cher et plus précis puisse répondre aux objectifs de protection et de sécurité des occupants sans faire appel aux calculs robustes d’éléments finis ? ».

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1.2. Objectif du travail de recherche

Dans ce travail de recherche, nous proposons un recensement de la dynamique de l’impact frontal au sens physique et également une démarche d’optimisation des composantes de la structure du véhicule. Plus précisément, des modèles physiques discrets de véhicules sont décrits, simulés puis comparés à leurs équivalents au sens milieu continu sur LS-DYNA. Ils sont comparés ensuite aux modèles expérimentales.

Les indicateurs les plus évalués dans la dynamique d’un impact sont : HIC « High injury criterion », qui détermine les possibilités de survie par rapport à un certain seuil critique et le RMS « Root mean square», qui évalue l’erreur moyenne quadratique des vitesses et accélérations expérimentales et numériques.

Tout d’abord, nous exposons une revue de la littérature des modèles physiques d’impact, les modèles numériques actuels pour cette dynamique rapide, ainsi que les méthodes d’investigation possibles.

Il s’en suivra une présentation rapide des logiciels de simulation et de calcul utilisés dans ce projet. Puis, les modèles linéaires et non linéaires pour l’automobile sont décrits et leur simulation est effectuée et analysée.

Pour approcher ces modèles des résultats expérimentaux de crashs tests, nous exploiterons la valeur RMS pour déterminer les paramètres du véhicule en utilisant le solveur d’optimisation de Matlab qui sera utilisé comme gestionnaire de l’ensemble des calculs.

Afin de montrer l’intérêt des modèles physiques, nous les comparerons à d’autres de type milieu continu conçus et analysés sur LS-Dyna. Finalement, une comparaison et critiques seront établies entre les divers modèles et les possibilités de leur validation.

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1.3. Revue de littérature

Le domaine de la protection des passagers de véhicules contre les blessures, vise la performance de la structure à supporter un impact donné. Elle concerne non seulement les voitures mais également les avions, les bateaux et les trains. Le premier système d’investigation de crash a été appliqué entre 1809 et 1879 par Mr Thomas Andrews, aux principaux essieux de train [4]. Pour améliorer la structure d’un véhicule, il est indispensable de comprendre les facteurs affectant les phases de l’impact et ses caractéristiques. Généralement, les collisions se produisent de manière aléatoire pouvant être de type véhicule / véhicule ou véhicule/structure, suivant diverses directions et vitesses [5]. Ces structures peuvent être de type barrière rigide, arbre, poteau, etc…ce qui pourrait générer de forts chargements dûs à la rigidité de la structure, ne pouvant pas absorber l’énergie de l’impact. Selon Galganski [6], les problèmes de protection des occupants lors d’un crash peuvent être caractérisés principalement par :

1. Le déplacement et les énergies : La longueur de la structure frontale a été réduite par les moyens modernes de design. En même temps, il est nécessaire d’absorber l’énergie de l’impact et de minimiser l’intrusion de la structure percutée dans le véhicule.

2. L’impulsion de l’impact: L’indicateur HIC, « High injury criterion» permet de mesurer les

dommages que le cerveau humain subit pendant l’impulsion. Il doit être inférieur à un certain seuil critique de survie [7].

3. La position de l’impact: La structure doit être capable d’atténuer les blessures dans plusieurs

positions tels que : impact frontal, latéral, arrière ou le retournement. Dans ce travail de recherche, l’étude sera restreinte à l’impact frontal qui implique une barrière rigide et un véhicule donné. En effet, celui-ci se définit par trois phases :

• 1ère phase : Le véhicule impacte la barrière et reçoit une impulsion directe qui se traduit par une intrusion sur la face frontale et une déformation due à la dissipation de l’énergie.

• 2éme phase : L’occupant bouge vers la limite frontale de l’intérieur s’il n’est pas sécurisé. Dans

le cas contraire, il interagit avec les moyens de sécurité tels que la ceinture ou l’airbag. La déformation atteint l’intérieur du véhicule et produit une compression de l’occupant.

• 3éme phase : Le restant de l’énergie est dissipé en raison du ralentissement de l’occupant et du véhicule.

Les blessures peuvent se produire durant la deuxième phase, si la charge transmise lors de l’impact est supérieure aux limites de sécurité. Normalement, une structure optimale devrait assurer une dissipation de l’énergie cinétique de façon rapide afin de limiter les dommages.

5

Les mesures de sécurité telles que : l’utilisation de matériaux absorbeurs d’énergie dans l’enveloppe intérieure, la ceinture de sécurité et l’airbag sont très importants dans la réduction des blessures causées par l’interaction entre l’occupant et l’intérieur du véhicule. D’un point de vue législatif, les constructeurs automobiles sont obligés de se conformer à certains règlements gouvernementaux afin d’assurer le minimum obligatoire de sécurité aux clients. Pour les impacts frontaux, le design de véhicules est soumis à la règlementation FMVSS 208 aux États Unis, CMVSS 208 au Canada, et ECE R-12 en Europe [8,9]. En principe, structurellement le véhicule doit remplir les deux conditions suivantes :

• Absorber l’énergie d’impact par des déformations plastiques contrôlées, de façon que le système de sécurité s’occupe de la proportion restant de cette énergie.

• Préserver au moins un minimum de place de survie, pour maintenir un niveau très bas de blessures.

1.4. Techniques de modélisation Les normes pour un impact frontal de type barre rigide exigent la réalisation de tests sous une vitesse de 48.28 km/h (30mph) pour plusieurs angles 0, +30 et -30 degrés selon l'organisation FMVSS 208 [10] et à 56.33 km/h (35mph) à 0degrés selon le NCAP (« New Car Assesment Program ») [11]. Ces tests sont onéreux, d’où l’intérêt de développer des modèles simples et fiables, pouvant prédire le comportement d’un véhicule soumis à un impact frontal. Les techniques de modélisation actuelles, s’inscrivant dans cette optique, sont :

• Les Modèles paramétriques de type masse –ressort (LMS, « Lumped Mass Spring ») • Les Modèles Éléments finis. • Les Systèmes dynamiques multi-corps. • Les Modèles hybrides.

Nous présentons chacun de ces modèles dans la section suivante.

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1.4.1. Modèle LMS Le premier modèle simplifié a été développé par Dr Kamal[12] en 1970. Il a simulé un impact frontal complet d’un véhicule avec une barrière rigide (Figure 1.1).Le modèle comporte 3 masses et 8 ressorts, de valeurs difficilement identifiables de manière empirique. Ceux-ci sont convertis ensuite en valeurs équivalentes pour le design structurel du véhicule.

Figure 1.1 : Modèle LMS de Kamal [12]

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En 1988, Dr Magee [13] valide un modèle LMS montré à la figure 1.2, comportant non seulement des ressorts (Figure 1.2) mais amortisseurs également pour prédire un crash frontal à 56 km/h dans lesquelles les valeurs inconnues ont été réglées progressivement pour correspondre aux valeurs expérimentales. La courbe montre la cohérence des résultats du modèle avec celles provenant de résultats de l’expérience physique.

Figure 1.2 : Modèle Magee [13]

Dans cette dynamique, en 2011, Gabriela K. De Francisci [14] de l’université de Californie présente un article dans lequel un modèle à 2 degrés de liberté représenté sur la figure 1.3, s’est avéré capable de simuler l’impact véhicule / barrière de manière cohérente.

Figure 1.3 : Modèle LMS 2ddl [14]

Également, deux modèles de 5 masses [15], en série et parallèle ont été réalisés par J. Marzbanrad et M.Pahlavani [15], dans lesquelles ressorts et amortisseurs sont déterminés via une optimisation par rapport aux résultats physiques des accélérations montrés en figure 1.4.

8

Figure 1.4 : Modèles 5 masses en série et

en parallèle [15]

1.4.2. Modèle Eléments finis

Il existe plusieurs logiciels de calcul, pouvant modéliser un impact frontal tels que : PAM-Crash [16], LS-Dyna [17] et Abaqus [18]. Le calcul s’effectue via des algorithmes implicites / explicites de la dynamique rapide (non linéaire) et utilisent plusieurs types d’éléments finis (Figure 1.5) non linéaires : barre, poutre, surface, etc...

Ford Taurus

Figure 1.5 : Impact frontal (LS-Dyna) Les équations de cette dynamique sont :

{ } { } { } { }[ ] [ ] [ ] (1.1)extM X C X K X F+ + =

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Tels que les matrices [M], [C] et [K] représentent successivement la masse, l’amortissement et la rigidité; extF est le vecteur des forces externes nodales, et{ }X ,{ }X ,{ }X sont les accélérations, vitesses et déplacements aux nœuds. Ces logiciels peuvent également effectuer la simulation du passager, l’évaluation et l’amélioration des bords de routes ainsi que l’amélioration structurelle des véhicules pour la sécurité des piétons. Malgré la robustesse de ces solveurs non linéaires, la complexité des processus de calcul s’avère un obstacle en cas d’utilisation de modèles complexes.

1.4.3. Systèmes dynamiques multi-corps (SDM) Les systèmes multi-corps (SDM) sont composés de plusieurs corps flexibles interconnectés par des articulations et joints, disposant davantage de degrés de liberté contrairement aux modèles rigides LMS. Les SDM offrent des résultats très pertinents en termes de cinématique et cinétique de l’interaction entre les corps. Ce qui est très intéressant pour l’analyse de l’interaction corps humain avec l’intérieur du véhicule. Dans son travail, Dr McHeny [19] a utilisé un modèle SDM dans lequel un corps est attaché au siège de la voiture dans l’étude d’une collision frontale. Ce corps humain a été modélisé par 4 corps rigides connectés par des joints représentés sur la figure 1.6.

Figure 1.6: 1er modèle SDM

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1.4.4. Modèles hybrides

Les modèles hybrides combinent des modèles d’éléments finis pour la structure du véhicule et des SDM pour l’analyse du mannequin passager. Le crash test latéral présenté ci-dessous utilise à la fois LSDYNA et MADYMO, pour la description du SDM montré à la figure 1.7.

Figure 1.7: Crash test latéral [20]

Malgré les résultats convaincants de cette approche, il y a eu plusieurs critiques concernant le manque de précision vis-à-vis du comportement du modèle SDM du mannequin, supposé représenter l’humain. Ce qui a donné lieu aux recherches concernant la modélisation éléments finis du corps humain (biomécanique), qui reste pourtant compliqués du fait du nombre important d’éléments qui modélisent l’homme (par exemple : un cerveau humain peut être modélisé par 300000 éléments [21]). Cependant, les industries automobiles ont conçus leurs propres modèles humains par élément finis, tel que Toyota, qui a développé le Total Human Model for Safety (THUMS) [22].

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1.5. Méthodes d’analyse et indicateurs Les indicateurs les plus utilisés sont :

• High Injury Risk (HIC) : Permet de mesurer la gravité de l’impact sur l’occupant. Il se définit par l’équation suivante :

2

1

2.52 1

2 1

1[ ( ) ] ( ) (1.2)t

tHIC a t dt t t

t t= −

− ∫

où a(t) est l’accélération du centre de gravité du mannequin (tête) pendant une durée de 15 ms. L’AIS (« Abbreviated Injury Scale ») créé par l’organisation de la sécurité et l’union européenne des routes (ERF) [24] fournit un standard de correspondances des valeurs de HIC aux dommages possibles. La déformation du véhicule se calcule par la déflexion maximale max( )cx du devant du véhicule [25,26] par rapport à sa longueur.

max( )c

dx

Lµ = , tel que 0.7 (1.3)dµ ≤

En cas de dépassement de cette valeur, l’intrusion touche le compartiment du conducteur et met ainsi sa survie en danger.

• L’erreur moyenne quadratique permet de mesurer les écarts de prédiction des valeurs d’accélérations du véhicule aux valeurs réelles optimales.

Elle se définit par :

Dans cette étude, l’indicateur RMS utilisé est égale à :

2exp

exp1

( ) tel que = (1.5)i isimi

i ni

i

a aeaRMS ean a

=

−=

∑

Tel que : isima , exp

ia et n sont successivement les valeurs d’accélération de simulation, les valeurs expérimentales et le nombre de sorties (qui varie en fonction de la durée de simulation). Également, afin de rester cohérent avec les travaux précédents ([15] et [23]), l’accélération du centre de gravité du mannequin (assimilé à une masse) a été choisie comme résultat de sortie des simulations.

2( ) (1.4)v opta a

RMSn−

=

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1.6. Description des logiciels utilisés

1.6.1. MapleSim 6 et Maple 16

MapleSim6 est un logiciel de modélisation et simulation multi-domaines. Il permet de construire des modèles dynamiques, tout en intégrant des composants provenant de plusieurs domaines : mécanique, hydraulique, thermique et électrique. Il offre à la fois un calcul symbolique et numérique. Ces avantages sont :

• Interactions avec d'autres solveurs tel que : Maple 16 afin de générer les équations symboliques du modèle et de commander son comportement dynamique ou Matlab pour sa performance numérique.

• Exploitation de la méthode de résolution : « Réseaux vectoriels » (chapitre 14 du cours de dynamique des solides [27]).

La méthode des réseaux vectoriels est une technique de modélisation dynamique des systèmes mécaniques qui combine la dynamique variationnelle avec certains concepts de la théorie des graphes [27]. Cette méthode permet de générer un modèle mathématique général pour la simulation dynamique de systèmes tridimensionnels de corps rigides, inter-reliés par des joints quelconques. Étant donné un système mécanique, la méthode des réseaux vectoriels permet de le représenter par un ensemble de nœuds et d’arcs formant un réseau vectoriel. Les nœuds représentent des points spécifiques du système mécanique et les arcs représentent les éléments d’interconnexion de ces nœuds entre eux. La figure 1.8 présente le réseau vectoriel d’un mécanisme bielle-coulisseau, dans lequel les nœuds représentent les repères fixés sur les solides et les arcs (ou vecteurs) représentent des composantes du système.

13

Figure 1.8: Mécanisme et réseau vectoriel du modèle bielle coulisseau

Les équations de mouvement du système sont (chap. 14 [27]) :

ˆ (1.6)

0

T totalq

q

qM Qφλφ

=

Λ

Tel que :

• M̂ : Matrice masse ( q qn n× ) symétrique • qφ : Matrice Jacobéenne c qn n× de contraintes

• total A K consQ Q Q Q= − − (les quantités totalQ , AQ , KQ et consQ sont respectivement la force généralisée totale, force appliquée, force cinétique et force de contrainte)

• λ : Multiplicateur de Lagrange. • Λ : Contrainte cinématique en accélération à déterminer.

Les équations symboliques sont générées ensuite par MAPLE16. Ci-dessous un exemple de la matrice masse pour le mécanisme de la figure 1.8:

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1.6.2. Le logiciel Matlab

Le logiciel Matlab est un outil puissant, matriciel incluant d'un ensemble de librairies, qui permettent de répondre aux problèmes numériques d'ingénierie. Il est utilisé dans ce projet comme gestionnaire de l’ensemble de calculs qui feront appel à une librairie très performante d’optimisation par algorithmes génétiques (Figure 1.9).

Figure1.9 : Solveur d’optimisation du logiciel Matlab

Un algorithme génétique est une méthode de résolution d’un problème d’optimisation (Tableau 1.1)sans contrainte et avec contrainte, basée sur la selection naturelle (évolution biologique). Dans chaque étape de calcul, cet algorithme choisit au hasard une population à partir des données initiales et produit une nouvelle génération. Après plusieurs itérations, la population évolue vers un optimimum. Cette méthode permet de résoudre une multitude de problèmes d’optimisation, y compris les situations où la fonction objective est discontinue, non différentiable, stochastique ou non linéaire. Générallement, l’algorithme génétique dispose de trois régles à chaque étape pour créer une nouvelle génération à partir de l’actuelle génération :

• Sélection : permet de selectionner des individus ‘Parents’. Cela contribue dans la population de la génération suivante.

• Mélange : combine deux parents pour constituer des enfants pour la génération suivante. • Mutation: applique des changements aléatoires aux individus parents pour la génération

suivante.

15

Un algorithme génétique se distingue d’une procédure standard d’optimisation de 2 manières, comme expliqué au tableau ci-dessous.

Algorithme d’optimisation Standard

Algorithme génétique

Genérer un point seul pour chaque iteration. La séquence des points approche la solution optimale.

Genérer une population de points a chaque étape. Le meilleur point dans la population

approche la solution optimale.

Sélectionner le prochain point dans la sequence par un calcul déterministe.

Sélectionner une future population par un calcul, utilisant un generateur aléatoire de

nombres.

Tableau 1.1 : Différences entre les algorithmes d’optimisation

1.6.3. LS-DYNA

Le logiciel LS DYNA est un solveur éléments finis capable de simuler plusieurs problèmes complexes. Il est utilisé dans l'industrie automobile, aérospatial, militaire, bio-ingénierie, de la construction et la production industrielle. Le code est basé sur des éléments finis non linéaires, utilisant une intégration temporelle de type explicite. Les non linéarités traitées peuvent être géométriques, matérielles ou de frontières (contact), etc... Dans le cas de crash, celles-ci sont principalement : déformation du châssis, déploiement de l'airbag, étirement de la ceinture de sécurité. Quelques exemples d’application de LSDYNA : Interaction fluide structure, biomécanique, microtechniques, et mise en forme, thermique. Son fonctionnement est illustré dans la figure 1.10 ci-dessous :

Figure 1.10 : Fonctionnement de LS DYNA

16

Les calculs avec le solveur DYNA se font par le biais d'un fichier ASCII : Keyword file. Celui-ci est composé de mots clés nécessaires à la résolution du problème donné. La mise en donnée peut se faire avec un préprocesseur : I-DEAS, Hypermesh, FEMB, LS-TAURUS,… Une fois l’analyse lancée, le post traitement des fichiers sortis sera effectué avec LS PREPOST, qui recueille les résultats par utilisations combinées de fichiers binaires, et fichiers textes (ASCII).

17

Chapitre 2

2. Description et analyse des modèles linéaires

Ce chapitre présente une description des modèles linéaires utilisés dans la simulation d’impact frontal. Il décrit également les processus de calcul utilisés pour générer les valeurs optimales des paramètres permettant d’obtenir des résultats concordantavec l’expérience.

18

2.1. Modèles linéaires d’impact voiture / barrière

Cette section présente deux modèles linéaires, contenant des amortisseurs et des ressorts linéaires, qui permettent de simuler un crash frontal. Les raideurs et amortissements sont déterminés analytiquement via un algorithme d’optimisation, tenant compte des résultats expérimentaux.

La méthode analytique contient deux étapes :

1. Écriture des équations (1.1) de mouvement sous la forme matricielle

{ } { } { } { }0i i iM x C x k x+ + =

2. Résolution par méthode Newmark ou Représentation par variables d’état (annexe A).

Les valeurs de sortie sont intégrées dans un programme d’optimisation utilisant les algorithmes génétiques (AG) représenté sur la figure 2.1. La fonction coût vise à minimiser l’écart entre les résultats de simulation et les résultats de l’expérience en termes de vitesses ou décélérations, c’est-à-dire, minimiser la fonction Z.

exp( / ( ( ))) (2.1)iZ RMS ea mean abs a=

Tel que :

• expi iea a a= − ; la différence entre les valeurs de simulation et celles provenant de l’expérience.

• RMS(a)= [ ]2mean a ; a est le vecteur d’accélération résultat de la simulation sur MapleSim.

19

Figure 2.1 : Algorithme d’optimisation

2.1.1. Modèle 1 : 5 masses en série avec 5 degrés de liberté (5 ddl)

Il s’agit de 5 masses montrées en figure 2.2 connectées en série par des ressorts et amortisseurs, avec raideurs et amortissements à déterminer. 1 2 3 4 5, , , , k k k k k , 1 2 3 4 5, , , , C C C C C . Il y a 5 degrés de liberté.

Figure 2.2 : Modèle 5 masses en série

20

Les matrices [M], [C] et [K] s’écrivent comme suit :

[ ]

[ ]

1 0 0 0 0 1 2 2 0 0 00 2 0 0 0 2 2 3 3 0 0

[ ] , , 0 0 3 0 0 0 3 3 4 4 00 0 0 4 0 0 0 4 4 5 50 0 0 0 5 0 0 0 5 5

1 2 2 0 0 02 2 3 3 0 0

K = 0 3 3 4 4 00 0 4 4 5 50 0 0 5 5

m c c cm c c c c

M Cm c c c cm c c c c

m c c

k k kk k k k

k k k kk k k k

k k

+ − − + −

= = − + − − + − − + −

− + −− + −

− + − −

Les équations à résoudre sont :

{ } { } { } { }0 (2.2)i i iM x C x k x+ + =

Tenant compte des résultats de l’article [15], les données choisies (valeurs fixes, bornes initiales et supérieures) du problème en termes de masses, raideurs, amortissements sont rassemblés dans le tableau 2.1.

Tableau 2.1 : Valeurs de masses

Valeurs initiales

Raideurs (N/m) k1 = 350 000 k2 = 350 000 k3 = 110 000 k4 = 1.0 k5 = 150 000 Amortissements (N.S/m) C1 = 9000 000 C2 = 9000 000 C3 = 0.12 C4 = 9000 C5 = 500

Le programme Matlab ‘Optim_5ddl.m’(annexe B1)intègre ces valeurs dans le processus d’identification des paramètres i ik et C , minimisant l’erreur moyenne quadratique de l’accélération de

la masse 5m .

21

Pour une vitesse initiale de 14 m/s et un RMS de 0.52, nous obtenons les valeurs du tableau 2.2 pour les paramètres :

Amortissements (N.S/m)

C1 C2 C3 C4 C5

19919388.21 19917598.56 0.18304 19777.1246 810.8301

Raideurs (N/m) k1 k2 k3 k4 k5

1341925.08 1333105.21 1117990.69 1.91805 572047.24

Tableau 2.2 : Valeurs de raideurs et amortissements La courbe ci-dessous (Figure 2.3) présente les décélérations de la masse 5m suite à l’impact réalisé à 14 m/s. La simulation montre qu’entre 0 et 0.05s, l’accélération baisse rapidement jusqu’à -37.97g à 0.07s et augmente avec la même tendance jusqu’à devenir nulle à 0.09s. De 0.09s à 0.15s, elle tend vers une valeur stable autour de 0m/s. L’écart entre les valeurs expérimentales et numériques atteint un maximum -11(g) entre 0 et 0.09s, une valeur de 6(g) à0.085s et devient négligeable vers la fin de la simulation.

Figure 2.3 : Décélérations numériques et expérimentales de la masse 5

22

L’impact produit un retour d’énergie cinétique (Figure 2.4) très important vers la masse 5, 7840 Joule à t=0s. Pendant 17 premières millièmes de secondes, elle est invariante puis elle décroît rapidement jusqu’à 1686 Joule à t=0.05s. Elle se dissipe complétement après 0.07s.

Figure 2.4 : Énergie cinétique de la masse 5

2.1.2. Modèle2 : 5 masses en parallèle avec 8ddl

Le modèle est composé de 5 masses (Figure 2.5) connectées en parallèle, avec raideurs et amortissements à déterminer : 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , ,k k k k k k k k k 4 5 6 7 8 9, , , , , C C C C C C . Contrairement au cas précédent, 3 degrés de liberté ont été ajoutés dans ce modèle pour les masses m1, m2 et m3. Le total est de 8 degrés de libertés (Figure 2.5).

Figure 2.5 : Modèle 5 masses en

parallèle

23

Les matrices du système d’équations dynamiques pour ce système sont :

[ ]

1

1

2

2

3

3

4

5

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

mm

mm

Mm

mm

m

=

[ ]

1 4 0 0 0 0 0 4 00 2 3 0 2 0 3 0 00 0 5 6 0 0 0 6 00 2 0 2 0 0 0 00 0 0 0 7 8 0 8 00 3 0 0 0 3 0 0

4 94 0 6 0 8 0 9

6 80 0 0 0 0 0 9 9

k k kk k k k

k k kk k

K k k kk k

k kk k k k

k kk k

+ − + − −

+ − − + = + − − + +− − − −

+ −

[ ]

4 0 0 0 0 0 4 00 0 0 0 0 0 0 00 0 5 6 0 0 0 6 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 7 8 0 8 00 0 0 0 0 0 0 0

4 64 0 6 0 8 0 9

c9+ 80 0 0 0 0 0 9 9

c c

c c c

C c c c

c cc c c c

cc c

−

+ − = + − + +− − − − −

Les valeurs de masses pour ce modèle sont :

Tableau 2.3 : Masses du modèle

Après résolution de l’équation (2.2), les valeurs des paramètres sont identifiées en minimisant le RMS jusqu’à 1.22.

24

État Initial

Valeurs finales

Raideurs (N/m) Amortissements (N.S/m)

Raideurs (N/m) Amortissements (N.S/m)

K1 30.00 C4 0.5 K1 48.8660 C4 0.89 K2 900000 C5 300000 K2 915522.58 C5 33114.21 K3 1000000 C6 1.5 K3 1206875.43 C6 1.7284 K4 1000000 C7 6000 K4 1178694.84 C7 6764.6574 K5 30 C8 8000000 K5 36.7265 C8 8648277.61 K6 100 C9 1000 K6 136.4661 C9 1595.52 K7 30 K7 38.6678 K8 4000000 K8 4761249.39 K9 300000 K9 389232.42

Tableau 2.4 : Valeurs initiales et finales des raideurs et amortissements

La décélération de la masse 5m est périodique et tend vers 0 seconde en fin de simulation. Le minimum enregistré est -11.88 (g) à 0.03s. Cela signifie que les forces internes générées suite à l’impact persistent et que l’énergie cinétique ne se dissipe pas. Nous notons également qu’entre 0.04s et 0.09s, l’écart entre le résultat numérique et expérimental est très important (Figure 2.6).Ce qui met en doute ce modèle dont les 3 premières masses peuvent se déplacer transversalement.

Figure 2.6 : Décélérations numériques et expérimentales

de la masse 5.

25

2.1.3. Modèle3 : 5 masses en parallèle avec 5ddl Le modèle est composé de 5 masses (Figure 2.7) connectées en parallèle, avec raideurs et amortissements à déterminer : 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , k k k k k k k k k , 4 5 6 7 8 9, , , , , C C C C C C . Nous considérons seulement les degrés de liberté en translation. Il y a 5 degrés de liberté et nous gardons les valeurs des paramètres identifiés précédemment.

Figure 2.7 : Modèle 5 masses en parallèle 5ddl

Les matrices K, C du problème sont :

1 2 2 3 4 03 4

2 2 6 0 6 05

3 0 7 8 8 03

4 6 8 8 4 96 9

0 0 0 9 9

k k k k kk k

k k k kk

k k k kk

k k k k k kk k

k k

+ − − − + + − + − + − + −

+ − − − + −

+ + −

4 0 0 4 00 6 5 0 6 00 0 7 8 8 0

4 6 8 8 4 96 9

0 0 0 9 9

c cc c c

c c cc c c c c c

c cc c

− + − + − − − − + − + +

−

En utilisant la même méthode de résolution et à l’aide du programme Matlab ‘Optim_5LH.m’ (annexe B2) nous obtenons les résultats suivants (Figure 2.8)en termes d’accélérations de la masse 5m pour un RMS =0.47.

26

Figure 2.8 : Décélérations numériques et expérimentales

de la masse 5 La courbe est similaire au modèle 5 masses en série. Il y a un minimum global de -37.37(g) autour de 0.05s et une stabilisation autour de 0 à 0.15s.

2.2. Conclusion

Ces modèles simplifiés donnent une prédiction cohérente avec les données expérimentales. Cela est dû au programme d’optimisation qui a pu identifier les valeurs de raideurs et amortissements. L’écart observé sur les courbes se justifie par l’absence de composantes physiques ou mécanique réelles dans les modèles, les temps de simulation très court et le déphasage entre les systèmes simulés et expérimentaux résultant des mesures de temps différentes. Par conséquent, le manque de physique nous oblige à considérer d’autres modèles numériques développés sous LS DYNA.

27

Chapitre 3

3. Modèle non linéaire sous LS DYNA Ce chapitre présente le modèle éléments finis développé aux États-Unis [10], ses caractéristiques, ses matériaux et lois de comportement. Les résultats de simulation du modèle pour les trois phases d’accident sous LS DYNA vont servir comme référence dans le processus d’optimisation.

28

3.1. Modèle LS DYNA Il a été développé par le centre national d’analyse des crashs tests à l’université de Washington. C’est un modèle éléments finis (Figure 3.1) composé de : 336 parties de 270768 éléments, dont 283859 nœuds, 2852 solides, 122 poutres, 267786coques. Notons que les commandes LS DYNA sont exploitables sur http://www.dynamore.de/enet les détailsdu modèle sont disponibles sur le site de l’organisation NHTSA.

Figure 3.1 : Modèle LS DYNA

DODGE (1333Kg) Quant à la barrière qui va impacter la voiture, elle est en acier de dimensions : 1441*2108 2mm . La voiture est de masse 1354kg et roule sur un sol d’épaisseur 66mm.Nous détaillons quelques lois de comportement utilisés pour les principales composantes : Capot, radiateur, moteur, pare-chocs, Firewall, A-Pilar, B-Pilar. En raison du nombre important des pièces, nous illustrons quelques exemples de lois de comportement seulement pour les matériaux utilisés. Une combinaison de matériaux élasto-plastiques pour le pare chocs, et mousse dont les propriétés en termes de masse volumique, module d’élasticité, coefficient de poisson et limite d’élasticité sont représentés dans le tableau 3.1.

Masse volumique (Kg/m^3)

Module d’élasticité

(MPa)

Limite d’élasticité

(MPa)

Coefficient de Poisson

Matériau 1 7.89*1e-9 280000 45.0 0.3

Matériau 2 1.2*1e-9 210000 570 0.3

Mousse 9.13*1e-11 200000 0.1

Tableau 3.1 : Caractéristiques matériau du pare chocs

La loi de comportement élasto-plastique est représentée dans la figure 3.2.

29

Le potentiel plastique g est identique à F tel que :

Pour la mousse, la loi de comportement est de type : ' 2ij ijσ µε ′= où ijε ′ est le tenseur déviatorique des

contraintes et µ la viscosité dynamique. Pour modéliser le radiateur, une structure de plusieurs sections surfaces a été utilisée en forme de nid d’abeilles et autre matériau élasto-plastique représentés dans le tableau 3.2.

Matériau Masse volumique (Kg/mm^3)

Module de Young

(MPa)

Coefficient de

Poisson

Limite d’élasticité

(MPa)

Volume relatif(en état

de compression)

Nid d’abeille 1.47*1e-10 2070 0.3 140 0.2

Matériau Elasto-plastique

7.8*1e-5

210000 0.3 370

Tableau 3.2 : Matériaux utilisés pour le radiateur

Figure 3.2 : Loi de comportement

élasto-plastique

L’équation qui décrit la pression pour la surface de la limite d’élasticité.

La fonction potentielle, ( )ijg g s= ;

30

Quant au capot, les propriétés du matériau élasto-plastique d’une section surface sont représentés dans le tableau 3.3.

Masse volumique (kg/mm^3)

Module de Young (MPa)

Coefficient de Poisson

Limite d’élasticité

(MPa)

7.89*1e-9 210000 0.3 300

Tableau 3.3 : Matériau utilisé pour le capot

Le moteur est composé de plusieurs sections dont la masse volumique, module d’élasticité, coefficient de Poisson sont respectivement : 7.89*1e-10 (Kg/m^3), 210000 MPa et 0.3. La partie support entre les parties basses (capot &portes) avec le dessus du véhicule, a les propriétés suivantes : Masse volumique, module d’élasticité, coefficient de Poisson, limite d’élasticité : 7.89*1e-10

(Kg/mm^3), 210000 MPa, 0.3 et 400MPa. Notons que pour le type de section utilisé pour chacune de ces parties du devant de la voiture, LS DYNA offre la possibilité d’utiliser une multitude de sous routines recensé dans le tableau 3.4.

31

Tableau 3.4 : Types d’éléments disponibles pour une section coque

Pour joindre les parties principales, citées précédemment et autres : pare-brise, roues, portes, plusieurs contraintes sont utilisés : cinématiques, dans les nœuds de corps rigide, sphériques, rotules, ainsi que le contact par soudure. Pour le matériau de la soudure, les propriétés sont indiquées dans le tableau 3.5. La soudure se comporte de manière élasto-plastique avec écrouissage.

Masse volumique (Kg/mm^3)

Module de Young (MPa)

Coefficient de Poisson

Limite élastique

yσ(MPa)

Module tangent

tE(MPa)

Temps de calcul

t∆ (ms)

7.8*1e-9

210000

0.28

370

0.5

1.21e-6

Tableau 3.5 : Propriétés de soudure

32

En effectuant un test avec une vitesse initiale de 15 m/s, nous obtenons un profil d’accélération (Figure 3.3) pour le siège et mannequin similaire à une cloche, c’est-à-dire nulle au départ de la simulation et atteint un minimum de 233.32 /m s− à 0.07s avant de redevenir quasiment nulle vers la fin de la simulation0.15s. Les écarts sont plus importants dans la deuxième phase du crash test, entre 0.05set0.08s.

Figure 3.3 : Comparaison des modèles expérimentaux

et éléments finis

Pour les déplacements de l’ensemble des deux structures; voiture et barrière, les figures 3.4, 3.5 et 3.6 montrent que : a) Durant la première phase, à une vitesse de 15 m/s, le maximum en déplacement est de 311.8 mm. b) Pour la deuxième phase, le bloc avant de la voiture se compresse et subit de grands déplacements

et un écrasement. Les frontières droites et gauches de la voiture subissent un flambage. c) Les valeurs maximales et minimales en déplacement sont 1408.5mmau bloc avant et -2.48 mm. À la fin de la simulation, les déplacements baissent autour de 2347.52 mm.

33

Figure 3.4 : Déplacements suivant x (1ère phase)

Figure 3.5 : Déplacements suivant x (2éme phase)

Figure 3.6 : Déplacements suivant x (3éme phase)

34

Chapitre 4

4. Fonctionnement de MapleSim et présentation des nouveaux modèles physiques

Ce chapitre présente par le biais d’un tutoriel de modélisation les caractéristiques physiques de MapleSim, c’est-à-dire : (1) modéliser facilement des systèmes physiques via une interface graphique schéma-bloc, (2) accéder à tout moment aux équations du système et (3) créer de nouveaux composants à partir de leurs équations, définies dans le logiciel Maple. Par la suite, nous exposons la méthode suivie pour construire les deux modèles paramétriques du véhicule qui seront simulés. Finalement, les résultats sont justifiés et comparés aux valeurs expérimentales.

35

4.1. Introduction Dans le but de représenter davantage la physique du problème et non le résoudre comme un problème matriciel mathématique, nous avons optés pour le logiciel MAPLESIM, qui offre des moyens de simulation dynamique intéressants et capable de générer les équations du problème quel que soit sa complexité. Étant donné que l’objectif principal consiste à se rapprocher d’un crash test (Figure 4.1) dans lequel toute la mécanique continue de la structure est impliquée, il est possible de faire correspondre la structure à une composition de plusieurs masses et poutres flexibles, ressorts et amortisseurs en 3 dimensions.

Figure 4.1 : Simplification du modèle continu

L’avantage de cette modélisation est : (1) l’exploitation de modèles discrets en utilisant la méthode des réseaux vectoriels, basée sur la dynamique lagrangienne [27], et (2) effectuer le calcul sans maillage par éléments finis de la structure. Brièvement, la méthode des réseaux vectoriels consiste à générer un graphe linéaire, permettant par la suite d’isoler les variables physiques, la matrice d’incidence et les équations du problème (Figure 4.2).

Figure 4.2 : Dynamique et principe des réseaux

vectoriels (voir cours de Mr Richard [27])

36

4.2. Tutoriel : Modélisation d’un mécanisme bielle – coulisseau

Le mécanisme bielle coulisseau est un système de transformation de mouvement. Il est constitué de trois corps rigides de masse m1, m2 et m3=0 (point avec masse négligeable) sous l’effet de la gravité. Pour le modéliser sous MapleSim, il importe de suivre les étapes suivantes :

• Définir et assigner les paramètres globaux; • Créer les 2 bielles (2 unités de longueur) avec centre de masse situé à leur centre (Bodies and

frames); • Ajouter la masse 3 et les joints (pivot1, pivot2, pivot3 et rainure horizontale); • Donner les conditions initiales de simulation (angles); • Choisir les variables de sortie (Probe properties).

La figure 4.3 représente le modèle final pour un mécanisme simple bielle-coulisseau.

Figure 4.3 : Modèle MapleSim pour le système bielle-coulisseau Les paramètres de simulation sont regroupés dans la liste suivante :

• Temps : 10 secondes / Tolérance & erreur : 1*10-3 • Méthode d’intégration : Rosenbrock (plus rapide) • Compilateur : False car le modèle est simple et ne prend pas d’ajustement de pas de

calcul. • Moment d’inertie :

2

12ml (l = 2 pour chacune des membrures).

Visuellement, la simulation est représentée dans les figures 4.2, 4.3, 4.4 et 4.5 avec la condition

initiale : 1 4q π= . Elle nous permet d’observer les mouvements pendant les instants. (t = 0s, 2.3s,

5.15s et 9.62s).

37

Figure 4.4 : Position initiale 1( )

4q π= à T = 0s

Figure 4.5 : Position à T = 2.3s

Figure 4.6 : Position à T=5.15s

Figure 4.7 : Position à T=9.62s

Les centres de masse (Figure 4.8) des deux bielles parcourent respectivement un cercle de rayon 0.5 m et une ellipse.

Figure 4.8 : Trajectoire des deux centres

de masse L’outil « Create an attachement from Template / Multibody Analysis »permet de retrouver les équations de mouvements. Avant d’exécuter ce module, il est important de choisir les variables relatives pour éviter que les équations de masse soient calculées en fonction des coordonnées générales. La procédure pour les modifications des conditions de rotation ,ICθ ω sont représentées sur la figure 4.9.

38

Figure 4.9 : Choix des coordonnées relatives 1 2 et q q Après validation, le module ouvre une interface avec Maple et permet de générer les équations dynamiques du mécanisme. Les informations suivantes sont disponibles dans le logiciel Maple :

- Système à résoudre et paramètres : Système a 1 degré de liberté et 2 coordonnées.

- Matrice masse :

39

- Les équations de contraintes :

- Vecteur forces externes :

En imposant la condition initiale de1 4

q π= , nous obtenons les résultats représentés dans la figure 4.10

pour les angles 1 2 q et q (phi, w et a représentent respectivement les déplacements, vitesses et accélérations angulaires).

Déplacement angulaire 1q

Déplacement angulaire 2q

40

Vitesse angulaire 1q

Vitesse angulaire 2q

Accélération angulaire 1q

Accélération angulaire 2q

Figure 4.10 : Résultats de simulation

La masse 3 glisse dans une rainure horizontale le long de l’axe des x et entraine un mouvement périodique des masses m1 et m2. Leurs angles respectifs 1q et 2q ont une période identique et une amplitude différente. Voici, les valeurs minimales et maximales (Tableau 4.1) :

Tableau 4.1 : Valeurs maximales et minimales

1q (rad) 2q (rad) 1q

(rad/s) 2q

(rad/s) 1q

(rad/s^2) 2q

(rad/s^2) Période (s) 4.5 Maximum 0.787 14.14 3.454 6.90 +10.001 +19.89 Minimum -3.909 4.737 -3.436 -6.871 -10.027 -20.065

41

4.3. Modèles physiques paramétriques sous MapleSim

Dans ce travail, nous avons développé deux modèles physiques paramétriques pour la simulation d’impact frontal en utilisant Matlab, MapleSim et Maple.

Avant d’expliquer la procédure générale, il est important de :

• Créer le fichier MapleSim (.msim) du modèle dynamique qu’on souhaite analyser. • Concevoir un fichier Maple (.mws) qui va appeler et analyser le modèle MapleSim précèdent

sans passer par son interface. • Ajouter dans ce fichier un appel de paramètres externes contenus dans un fichier Excel. • Convertir sous format (.maplet) le fichier précèdent afin qu’il soit lisible par le solveur

cmaple.exe.

Après conversion du fichier, nous sollicitons Matlab pour utiliser un algorithme général (Figure 4.11) permettant d’identifier les paramètres recherchés pour les deux modèles physiques. Ces paramètres seront les valeurs de raideurs, amortissements et masses, permettant d’obtenir un RMS, inférieure à la limite définie, c’est-à-dire proche des résultats expérimentales d’accélération

Figure 4.11 : Méthode paramétrique physique

42

Matlab appelle les paramètres d’entrée dans le fichier Excel, ensuite le solveur cmaple.exe pour lire le fichier Maple conçu précédemment, contenant un rappel vers le modèle dynamique de MapleSim. Après simulation du modèle, les résultats sont récupérés dans un fichier de sortie pouvant être traité directement sur Matlab.

De manière plus explicite, le processus de calcul pour un modèle dynamique de véhicule (Figure 4.12) s’effectue de la manière suivante :

• Récupération des résultats expérimentaux et ceux provenant de MapleSim. • Calcul du RMS (erreur moyenne quadratique des accélérations). • Vérification du critère de limite. (Lim = 0.1). • Appel des algorithmes génétiques avec contraintes pour générer de nouveaux paramètres.

Figure 4.12 : Processus du calcul

43

Pour la simulation d’impact d’un modèle de véhicule Dodge 2001, nous considérons uniquement les masses ci-dessous :

• m1 : radiateur • m2 : Suspension et les éléments du bas de la structure • m3 : Moteur et les parties structurelles du haut de la voiture • m4 : La structure du bloc avant contenant le conducteur • m9 : Le conducteur et le siège (avec moyens de sécurité)

L’ensemble de ces masses sont reliées par des ressorts et des amortisseurs. Ces derniers sont les paramètres à trouver lors du processus d’identification, qui utilise une optimisation par algorithmes génétiques.

Mathématiquement, le problème d’optimisation en utilisant la méthode des réseaux vectoriels [27] peut être formulé comme suit:

Trouver , , pour minimiser tel que :

=

( , ) 0

K C m qi i iTMq Fq

q t

φ λ

φ

+

=

inf sup

Cinf sup

K K Ki

C Ci

≤ ≤

≤ ≤

minf supm mi≤ ≤

M : Matrice masse du système dynamique Tqφ : matrice jacobéenne des contraintes du modèle

( , ) 0q tφ = : équation de contraintes du modèle dynamique

λ : multiplicateur de Lagrange C : Coefficient d’amortissement

q : Variables dynamiques F : Forces externes K : raideur Les valeurs de raideurs, d’amortissement et de masses sont bornées. Les valeurs supérieures et inférieures sont données en début de calcul.

44

4.3.1. Le modèle masses du véhicule

4.3.1.1. Présentation

La méthode de construction du modèle est similaire à l’exemple du tutoriel :

• Définir et assigner les paramètres globaux; • Créer les ressorts et les masses im , i=1 à 9 (bodies and frames);

• Ajouter les liaisons, les paramètres et les outils pour la visualisation; • Donner les conditions initiales de simulation (vitesses initiales); • Choisir les variables de sortie (Probe properties : Accélérations et vitesses).

A l’aide des outils MapleSim « bodies & frames » et « joints & motions », nous créons les composantes principales du modèle (Figure 4.14), c’est-à-dire 9 masses connectées par des liaisons rotules et prismatiques. Les propriétés de ces liaisons sont présentées dans la figure 4.13.

La liaison rotule décrit un mouvement de rotation (1ddl) entre les deux solides 1 et 2, liés aux repères 1 1 1x y z et 2 2 2x y z . Ses paramètres sont :

• L’axe de rotation 0v : (0,0,1)Oz • k : constante de raideur (ressort de

torsion) • 0φ : rotation initiale du ressort • C : coefficient d’amortissement • ,ICθ ω : indique les degrés de liberté à

prendre en compte. • 0θ : rotation initiale du joint au début de

la simulation • 0ω : vitesse angulaire initiale

La liaison prismatique décrit un mouvement de translation horizontale du solide 2 par rapport au solide 1 suivant l’axe (1,0,0)Ox . Ses paramètres sont :

• L’axe de translation 1e : (1,0,0)Ox • k : constante de raideur (ressort de

compression) • 0L : longueur initiale du ressort • C : coefficient d’amortissement • ,s vIC : indique les degrés de liberté à

prendre en compte (déplacement ou vitesse)

• 0s : déplacement initial du joint selon 1e • 0v : vitesse initiale en début de simulation

Figure 4.13 : Propriétés des liaisons prismatique et rotule

45

Les rotules sont positionnées autour des masses afin de faciliter le mouvement du mécanisme. La masse 4 (structure du bloc avant du véhicule) est représentée par une chaîne de 5 masses, connectées par des liaisons.

Figure 4.14 : 1er modèle MapleSim du véhicule

Pour simuler le mécanisme, nous prenons comme valeurs initiales: - Temps de simulation =0.15 s. - Méthode de Rosenbrock pour l’intégration numérique. - La gravité g=9.81m/s^2est dirigée selon (0, 0,-1). - Condition initiale de vitesse : 14m/s. - Raideurs et amortissement pour les liaisons prismatiques (Tableau 4.2)

Raideurs (N/m) 1k 2k 3k 4k 5k 6k 7k 8k 9k

48.86 915522 1206875 11786940 36.72 136.46 38.66 4761249 389232

Amortissement (N.S/m)

4C 5C 6C 7C 8C 9C 10C 10k

0.89 33114.21 1.72 6764.65 8648277 5000 50.0 300

Tableau 4.2 : Valeurs initiales des raideurs et amortissements

46

Figure 4.15 : Répartition des raideurs et amortissements

Les liaisons prismatiques suivantes ne comportent pas d’amortissement :

• Entre la masse 1 et le bâti • Entre la masse 1 et les masses 2 et 3 • Entre les masses de la chaîne

Suite à ces conditions initiales, le mouvement résultant est représenté dans la figure 4.16

T=0.04s

T=0.134s

Figure 4.16: Simulation du modèle (instants 0.04 et 0.134s)

47

Avant d’identifier les valeurs des paramètres , i i ik C et m , Il faut déterminer les longueurs initiales des

ressorts , 1 10iL i a= . En effet, nous admettons que ces longueurs (Tableau 4.3) sont égales aux distances réelles entre les différentes masses du bloc avant d’un modèle de véhicule Dodge 2001 (Figure 4.17). Ces mesures sont extraites du document de référence de la NHTSA ‘Exponent, failure analysis associates; Test number 091101; Project no : PH06608’. Ces longueurs sont responsables des mouvements dynamiques non uniformes et non symétriques entre les masses.

Figure 4.17 : Bloc avant d’un

modèle de véhicule Dodge 2001

Longueurs initiales iL

1 5 7L L L= = 2L 3L 4 6 8L L L= = 9L 10L

Valeurs (m) 0.664 0.899 0.899 0.511 0.663 0.05

Tableau 4.3 : Valeurs des longueurs initiales L’option ‘Reinforce’ du logiciel MapleSim permet d’intégrer un degré de liberté au problème. Si le nombre de paramètres est très important, le calcul peut être très long et produit des singularités. D’où l’intérêt d’utiliser ‘Treat as guess’ pour certaines variables du problème (voir documentation

48

MapleSim).Les ressorts et amortisseurs sont linéaires et équipés de liaisons rotules afin de faciliter le mouvement des masses.

4.3.1.2. Programme MATLAB

Le programme ‘Modele_masses.m’ (annexe C1) permet d’identifier les valeurs de raideurs et amortissements permettant de minimiser l’erreur moyenne quadratique de l’accélération de la masse 9 (conducteur et siège). La structure est présentée dans la figure 4.18:

Figure 4.18 : structure du programme

Matlab du modèle

La phase d’optimisation consomme un espace mémoire très important en raison des rappels du logiciel MapleSim, qui doit à la fois intégrer les valeurs initiales des paramètres et exécuter le système matriciel, résultat de la méthode des réseaux vectoriels appliquées au modèle du véhicule. La fonction contrainte permet de limiter le champ de recherche de certaines valeurs en utilisant des relations entre les paramètres.

Après investigation de l’article de recherche [15], les paramètres 9 9 10 10 4, , , et k C k C k sont laissés libres. Les autres raideurs et amortissements sont contraints par les relations :

49

7 8

1 4

5 6

7 8

6 7

3

47612891178744174836133117

12006876

k kk kk kC CC Ck

+ = + = + = + = + =

≤

L’intérêt final est d’obtenir des valeurs d’accélération et vitesses pour la masse du conducteur et le siège ( 9m ) très proches des valeurs expérimentales.

Les meilleurs résultats (Figure 4.19) de raideurs et amortissement obtenus sont :

Figure 4.19 : Paramètres finaux

obtenus

Pendant les itérations de calcul, nous avons constaté que les paramètres 9 9 C et k sont les plus sensibles aux variations d’accélérations et vitesses. Par conséquent, les meilleurs résultats seront donnés en fonction de celles-ci.

4.3.1.3. Matrices du modèle et courbes de simulation

Les paramètres identifiés dans la section précédente sont fixes. Seuls, 9 9 C et k varient pour analyser plusieurs profils de vitesses et accélérations de la masse 9. Le module ‘Multibody analysis’ permet de retrouver les équations du problème (Figure 4.20).

50

Voici l’aperçu au début de la phase de calcul. Il y a 123 équations au départ, simplifiées à 119 en considérant les contraintes du système.

Malheureusement, les valeurs de matrices masses et vecteurs forces externes et contraintes ne seront pas présentées en raison de leurs tailles et du nombre important de degrés de liberté (15ddl). Toutefois, il est possible de les exporter et visualiser sur un fichier Excel.

Figure 4.20 : Matrices du mécanisme

Le rendu 3D du mécanisme montre (Figure 4.21) un enfoncement des 3 premières masses vers le bâti à 0.058s. Ensuite, il y a une déformation des 5 masses de la chaîne et une compression plus importante des ressorts 1 5 7, k k et k lors de la deuxième phase de l’impact.

51

T= 0.058s

T=0.15s

Figure 4.21 : Simulation du modèle optimisé (instants 0.058 et 0.15s)

Après résolution du système d’équations, nous obtenons les courbes suivantes pour la masse 9, qui varient en fonction des paramètres 9 9 C et k :

• 9 971276( / ) et 1089.41( / )k N m C N S m= = ⋅ La valeur minimale de l’accélération -37.36(g) est atteinte en 0.0364 s (Figure 4.22), équivalent à un décalage de 0.0341 s par rapport à l’accélération expérimentale. Ce déphasage est présent seulement dans la zone [0.014 s, 0.083s]. Pour la zone [0.08s, 0.15s] où l’accélération augmente de -14g jusqu’à 7g, les fluctuations des deux accélérations sont très proches.

Figure 4.22 : Courbes d’accélérations numérique

et expérimental

Puisque le modèle est simplifié, il est normal d’obtenir un léger déphasage pour une période d’impact 0.15s. Nous observons que les vitesses expérimentales et numériques _ _Vit Exp et Vit Sim ont la même tendance (Figure 4.23). L’erreur relative ne dépasse pas 2% sauf entre 0.06s et 0.1s où elle atteint 9%. Le minimum atteint est -2.53 m/s pour la vitesse expérimentale, contrairement au cas numérique où la valeur minimale est -0.3 m/s.

52

Figure 4.23 : Vitesses expérimentale et numérique

• 9 914759( / ) et 4266( / )k N m C N S m= = ⋅

L’accélération numérique _Acc Sim (Figure 4.24) ne dépasse pas -27g. Elle remonte progressivement à 0 entre 0.05s et 0.132s.

Fig.4.24 : Accélérations expérimentale et

numérique

Les vitesses expérimentales et numériques _ _Vit Exp et Vit Sim sont cohérentes (Figure 4.25); l’écart dépasse 3%seulement dans la zone [0.12s, 0.15s].

53

Fig.4.25: Comparaison des vitesses et

accélérations

4.3.2. Modèle Bielles-masse

4.3.2.1. Présentation

Contrairement au modèle précédent, les masses 1 2 3 4, , m m m et m sont remplacées par les bielles 1 et 2, composées d’assemblage de 3 ou 5 petites bielles (Figures 4.26 et 4.27). Leurs propriétés sont :

• masses : 1 540m kg= et 2 704m kg= ;

• longueurs finales : 1 21.61 1.614l m et l m= = ;

• moments d’inertie : 2 21 24.92kg m , =16.88kg m zz zzI I=

.

Nous considérons la même masse 9m (conducteur et siège) du modèle précèdent. Les liaisons rotules sont placées entre les bielles (Figure 4.26) afin de faciliter le mouvement et éviter les singularités lors de l’impact.

54

Fig.4.26 : Assemblage des 3 bielles par

des rotules

Figure 4.27 : Modèle final bielles-masse

Les paramètres à identifier (Figure 4.28) dans ce cas sont : raideurs, amortissements et les masses des deux bielles 1 4 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , ,k k k k k k k k k C C C C C C C C m m . Les valeurs de masse varient légèrement afin de réduire l’erreur moyenne quadratique de l’accélération lors de la phase de calcul. Les ressorts et amortisseurs 10 11,k k 10 11, et CC sont introduits dans les limites de bielles afin d’éviter

tout dysfonctionnement causé par la traction-compression des ressorts 5 6 7 8, , et k k k k (Figure.4.28). Le nombre de paramètres est réduit à17 en admettons que :

6 8

6 8

k kC C=

=

55

Figure 4.28 : Répartition des raideurs et

amortissements Nous admettons les valeurs suivantes pour les longueurs initiales des ressorts :

• 0.299m pour 6 8 k et k

• 0.664m pour 5 7 1, et k k k (variable DIS)

• 0.511m pour 4k (variable 1h )

• 0.05m pour 10 11 k et k (variable d)

• 0.663m pour 9k (variable 2h )

4.3.2.2. Programme MATLAB

Structurellement, le programme ‘Modele_bielles.m’(annexe C2) d’identification des raideurs, amortissements et masses est présenté dans la figure ci-dessous :

56

Figure 4.29 : Structure du programme

Modele_bielles.m

La fonction objective est similaire au cas précèdent. Il y a modification des contraintes, tels que :

5 1

7 1

8 4

8 4

5

7

10 11

10 11

1

2

85.5887.65939944.238648278.51

331156765

570705

k kk kk kC CCCk kC Cmm

+ = + = + = + = ≤ ≤ =

= ≤

≤

Après plusieurs itérations de calcul des accélérations et vitesses de la masse 9, les meilleurs résultats (Tableau 4.4) permettant de donner une erreur moyenne quadratique très petite sont :

57

Tableau 4.4 : Valeurs optimales des paramètres

4.3.2.3. Matrices du modèle et courbes de simulation Voici l’aperçu au début de la phase de calcul. Il y a 93 équations au départ, simplifiées à 89 en considérant les contraintes du système.

Le module ‘multibody analysis’ permet de visualiser les étapes de calcul. Les matrices peuvent être exportées et visualisées sur un fichier Excel. Il y a 5 degrés de liberté et 21 équations de contraintes.

Raideurs (N/m) 1k

4k 5k 6 8k k= 7k 8k 9k 10 11k k=

48.86 61.1786 10⋅

36.72 136.4661 38.66 64.76 10⋅ 71276 100003

Amortissement (N*S/m) 4C 5C 6 8C C=

7C 9C 10 11C C=

0.89 33114.21 1.7284 6764.65 1089.41 2007.48

Masses (Kg) 1m 2m

548.29 704.60

58

Figure 4.30 : Matrices du modèle bielles_masse

Durant la simulation, la première bielle encaisse le retour d’énergie cinétique (Figure 4.31) et garde un profil courbé. La structure frontale et la masse 9m continuent de s’enfoncer (moteurs et suspension) jusqu’à 0.11s. Ensuite, la masse commence à reprendre sa position initiale.

T=0.08s

T=0.15s

Figure 4.31 : Rendu 3D de la simulation du modèle optimisé

Pour les paramètres optimisés 9 971276( / ) et 1089.41( / )k N m C N S m= = ⋅ , il y a une décélération rapide de la masse 9 dans l’intervalle [0,0.04s], puis une quasi stabilisation jusqu’à 0.08s.On note -26 (g) comme valeur minimale. Ensuite, l’accélération augmente jusqu’à 8.5 (g).

59

On note un écart important (Figure 4.32) entre les valeurs numériques et expérimentales _ _Acc Sim et Acc Exp dans la zone [0.05, 0.08s].

Figure 4.32 : Accélération du modèle

bielles-masse

Pour les vitesses (Figure 4.33), les deux modèles _ _Vit Exp et Vit Sim sont cohérents, sauf dans l’intervalle [0.1, 0.15s], on note un écart proche de 3%.

Figure 4.33 : Vitesse du modèle

bielles-masse

60

Ces deux modèles paramétriques ont permis d’approcher les résultats expérimentaux, sans faire appel aux calculs complexes, mais simplement en utilisant la dynamique lagrangienne combiné aux méthodes de graphes via MapleSim. Les résultats en vitesses sont très convaincants dans les 11première millième secondes de l’impact malgré le fait qu’elles augmentent légèrement à la fin de la simulation. Cela est dû aux mouvements non linéaires des masses, difficiles à contrôler lors de la dissipation complète d’énergie cinétique. Quant aux accélérations, nous avons une cohérence globale pendant les 0.15 secondes de l’impact mais pas locale dans la zone 0.06 à 0.09 s. Nous observons en effet les faits suivants :

• Un déphasage de la courbe avec un minimum à 0.05 secondes. • Un minimum global de -27g.

Ces deux conséquences inattendues se justifient par le temps très court de l’impact qui ne facilite pas l’analyse approfondie car les mouvements sont non linéaires et très rapides. Également, nous admettons une erreur dans les valeurs expérimentales et numériques correspondantes pour chaque temps de simulation.

61

Chapitre 5

5. Conclusion et perspectives

Ce travail a permis d’aborder un domaine physique différent qui implique à la fois de la mécanique au sens de Lagrange, un calcul complexe formel sous Maple et un calcul numérique faisant intervenir de l’optimisation par le biais des algorithmes génétiques sous Matlab.

La première partie de l’étude a porté sur la validation des modèles linéaires de de Dr J. Marzbanrad et Dr M. Pahlavani, malgré le petit déphasage présent lors de la décélération durant la phase d’impact. Les valeurs de raideurs et amortissements figurant dans leurs travaux de recherche ont été vérifiées et introduits comme référence pour l’investigation des possibilités lors de la phase d’identification de l’algorithme du calcul général. Dans un deuxième temps, nous avons exploités le modèle élément fini développé à l’université de Georges Washington. La cohérence des résultats éléments finis et expérimentaux montrent la puissance du modèle LSDYNA, qui contient une multiplicité de composants, matériaux et lois de comportements linéaires et non linéaires. Quant au logiciel MapleSim, qui est la clé du projet, a permis de dégager de bonnes valeurs de vitesse mais des accélérations déphasées, ayant un écart dans la zone [0.05, 0.09] supérieur à 3%. Ces valeurs nous ont laissés perplexes vis-à-vis des formules de calcul, des valeurs initiales de raideurs et amortissements, et parfois même la fonction objective du programme d’optimisation. Par la suite, nous avons pu noter que les valeurs des raideurs et amortissements accompagnant le conducteur sont les plus importantes, car ils encaissent le reste de l’énergie cinétique. Leur sensibilité a été analysée mais n’a pas permis d’obtenir de meilleurs résultats. Nous avons pu remarquer également qu’il y a des seuils au bout desquels les changements de valeurs des paramètres n’ont aucun effet sur les requêtes de sortie. Le nombre de paramètres identifiables est important également car la mémoire de calcul devient très conséquente pendant la phase d’optimisation. Nous proposons comme perspectives et poursuite de recherche les points suivants :

• Introduction de paramètres supplémentaires tels que les longueurs initiales de ressorts [28]; • la possibilité d’ajustement des paramètres existants; • l’introduction de plusieurs fonctions objectives et fonctions contraintes; • la possibilité d’analyser l’ajout de non linéarités pour les ressorts et amortisseurs; • et finalement la conception des modèles paramétriques sur ADAMS.

Une fois ces améliorations réalisées, nous pourrons discuter des possibilités d’application de ces modèles dans le domaine des transports; automobile, aéronautique, ferroviaire pour fournir une prédiction rapide du phénomène d’impact frontal.

62

ANNEXE A

A.1 Méthode de représentation par variables d’état Elle permet de résoudre un système d’équations dynamiques linéaires de n inconnues :

{ } { } { } { }0i i iM x C x k x+ + =

Il s’agit de poser le système suivant : x A x B uy C x D u= +

= +

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ]

1 1

2 1

2 2

2 1

0

0

0

n n n n

n

n n

n

IA

M K M C

B

C I

D

× ×− −

×

×

×

=

− − =

=

=

Les déplacements, vitesses et accélérations sont regroupées dans les vecteur x et x tel que :

1

1

..

..

..

..

n

n

x

xx

x

x

=

;

1

1

..

..

..

..

n

n

x

xx

x

x

=

Dans Matlab, les commandes prédéfinies pour calculer ces quantités sont : • Sys = ss(A, B, C, D), • [y,t]=initial (sys, x0, t)

Tel que x0 est le vecteur déplacement/vitesse initial et t l’intervalle de temps pour la simulation.

63

A.2 Méthode Newmark Les équations du problème à résoudre :

{ } { } { } { }[ ] [ ] [ ]M q C q K q F+ + =

Il s’agit de déterminer { } { }1 1n nq et q+ + connaissant{ } { } { } { }, , n n nq q q et F en utilisant une

approximation de{ } { }1 1n nq et q+ + par développement de série tronquée.

Algorithme :

Stabilité

64

ANNEXE B

B.1 Programme MATLAB Optim_5ddl.m

Programme principal %% Données initiales m1=50; m2=100; m3=300; m4=820 ;m5=80; c1=19919388.21; c2=19917598.56; c3=0.18304; c4=19777.1246; c5=810.8301; k1=1341925.08; k2=1333105.21; k3=1117990.69; k4=1.91805; k5=572047.24; R=[0;0;0;0;0]; sdof=5; %% Matrices K,M,C K=[k1+k2 -k2 0 0 0;-k2 k2+k3 -k3 0 0;0 -k3 k3+k4 -k4 0; 0 0 -k4 k4+k5 -k5;... 0 0 0 -k5 k5]; C=[c1+c2 -c2 0 0 0;-c2 c2+c3 -c3 0 0;0 -c3 c3+c4 -c4 0; 0 0 -c4 c4+c5 -c5... ;0 0 0 -c5 c5]; M=[m1,0,0,0,0;0,m2,0,0,0;0 0 m3 0 0; 0 0 0 m4 0; 0 0 0 0 m5]; %% Représentation par variables d’état A=zeros(10,10); A1=zeros(5,5);A2=eye(5,5); A3=-inv(M)*K;A4= -inv(M)*C; A(1:5,1:5)=A1; A(1:5,6:10)=A2; A(6:10,1:5)=A3; A(6:10,6:10)=A4; B=zeros(10,1); H= eye(10,10); D= zeros(10,1); sys=ss(A,B,H,D); t=[0.:0.00222:0.15]; x0 = [0;0;0;0;0;14;14;14;14;14]; [y,t,x] = initial(sys,x0,t); VA=sys.A*x'; Dcl=VA(10,:)/9.81; %% Fonction objective (RMS) a mimimiser aexp2 = xlsread('Acc.xls','Acc','B2:B69'); aexp2 = aexp2'; Cost = rms((Dcl-aexp2)/mean(abs(aexp2))); figure (1) hold on plot(t,Dcl,'r'); plot(t,aexp2,'b');plot(t,(Dcl-aexp2),'g');

65

%% Algorithme génétique Lim = 0.1; X0 = [199193.21 199175.56 0.1 1977.1246 81.8301... 13419.08 13335.21 11190.69 1.51805 57247.24]; %% Optimisation ObjectiveFunction = @Obj_5ddl; % nvars=[c1 c2 c3 c4 c5 k1 k2 k3 k4 k5] nvars = 10; % Lower bound LB = [199193.21 199175.56 0.1 1977.1246 81.8301... 13419.08 13335.21 11190.69 1.51805 57247.24]; % Upper bound UB = [19919388.2110 19917598.5614 0.18 19777.1246 810.8301 1341925.0874 1333105.2186 1117990.6919 1.91 572047.2444]; ConstraintFunction = @Cont_5ddl; % % options GA options = gaoptimset('PlotFcns',{@gaplotbestf,@gaplotmaxconstr},… 'Display','iter','FitnessLimit',Lim,'InitialPopulation',X0); [x,fval] = ga(ObjectiveFunction,nvars,[],[],[],[],LB,UB,ConstraintFunction,options); Sous programme Obj_5ddl.m

function Cost = Obj_5ddl(x) %% nvars=[c1 c2 c3 c4 c5 k1 k2 k3 k4 k5] %% Matrices K, M et C K=[x(6)+x(7) -x(7) 0 0 0; -x(7) x(7)+x(8) -x(8) 0 0;0 -x(8) x(8)+x(9) -x(9) 0;0 0 -x(9) x(9)+x(10) -x(10); 0 0 0 -x(10) x(10)]; C=[x(1)+x(2) -x(2) 0 0 0; -x(2) x(2)+x(3) -x(3) 0 0; 0 -x(3) x(3)+x(4) -x(4) 0;0 0 -x(4) x(4)+x(5).. -x(5); 0 0 0 -x(5) x(5)]; M=[50,0,0,0,0;0,100,0,0,0;0 0 300 0 0; 0 0 0 820 0; 0 0 0 0 80]; R=[0;0;0;0;0]; sdof=5; %% Représentation par variables d’état A=zeros(10,10); A1=zeros(5,5);A2=eye(5,5); A3=-inv(M)*K;A4= -inv(M)*C; A(1:5,1:5)=A1; A(1:5,6:10)=A2; A(6:10,1:5)=A3; A(6:10,6:10)=A4; B=zeros(10,1); H= eye(10,10); D= zeros(10,1); sys=ss(A,B,H,D);

66

t=[0.:0.00222:0.15]; x0 = [0;0;0;0;0;14;14;14;14;14]; [y,t,x] = initial(sys,x0,t); VA=sys.A*x'; Dcl=VA(10,:)/9.81; %%% Calcul du RMS aexp2 = xlsread('Acc.xls','Acc','B2:B69'); aexp2 = aexp2'; Cost = rms((-Dcl+aexp2)/mean(abs(aexp2))); end| Sous programme Cont_5ddl.m

function [c,ceq]=Cont_5ddl(x) c=[]; ceq=[]

B.2 Programme MATLAB Optim_5LH.m

Programme principal

%% Données initiales k1=48.69662504302646; K2=915522.58; k3=1206875.43; k4=1178694.84; k5=36.7265; k6=136.4661; k7=38.6678; k8=4761249.39; k9=389232.42; m1=300; m2=120; m3=150; m4=700; m5=80; c4=0.8981; c5=33114.21; c6=1.7284; c7=6764.625204707899; c8=8648277.61; c9=1595.479839438928; R=[0;0;0;0;0;0;0;0]; sdof=8; %%Matrices K,M et C K=[k1+k4 0 0 0 0 0 -k4 0;0 k2+k3 0 -k2 0 -k3 0 0; 0 0 k5+k6 0 0 0 -k6 0;... 0 -k2 0 +k2 0 0 0 0; 0 0 0 0 k7+k8 0 -k8 0; 0 -k3 0 0 0 +k3 0 0;... -k4 0 -k6 0 -k8 0 k4+k6+k8+k9 -k9; 0 0 0 0 0 0 -k9 k9]; M=[m1 0 0 0 0 0 0 0; 0 m1 0 0 0 0 0 0; 0 0 m2 0 0 0 0 0;... 0 0 0 m2 0 0 0 0; 0 0 0 0 m3 0 0 0; 0 0 0 0 0 m3 0 0;... 0 0 0 0 0 0 m4 0; 0 0 0 0 0 0 0 m5]; C=[c4 0 0 0 0 0 -c4 0; 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 c5+c6 0 0 0 -c6 0;... 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 c7+c8 0 -c8 0; 0 0 0 0 0 0 0 0;... -c4 0 -c6 0 -c8 0 c4+c6+c8+c9 -c9; 0 0 0 0 0 0 -c9 c9];

67

%% Représentation par variables d’état A=zeros(16,16); A1=zeros(8,8);A2=eye(8,8); A3=-inv(M)*K;A4= -inv(M)*C; A(1:8,9:16)=A1; A(1:8,9:16)=A2; A(9:16,1:8)=A3; A(9:16,9:16)=A4; B=zeros(16,1); H= eye(16,16); D= zeros(16,1); sys=ss(A,B,H,D); t=[0.:0.00222:0.15]; x0 =[0;0;0;0;0;0;0;0;14;0;14;0;14;0;14;14]; [y,t,x] = initial(sys,x0,t); VA=sys.A*x'; Dcl=VA(16,:)/9.81; %% Calcul du RMS a minimiser aexp2 = xlsread('Acc.xls','Acc','B2:B69'); aexp2 = aexp2'; Cost = rms((Dcl-aexp2)/mean(abs(aexp2))); figure (1) hold on plot(t,Dcl,'r'); plot(t,aexp2,'b');plot(t,(Dcl-aexp2)/aexp2,'g'); hold off %% Algorithme génétique Lim = 0.1; X0 = [k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8 k9 c4 c5 c6 c7 c8 c9]; %% Optimisation ObjectiveFunction =Obj_5LH; nvars = 15; %% Borne inferieure LB = [20.0 100000 1000000 1000000 20 80.0 20.0 3000000 200000.... 0.1 20000 1.0 4000 7000000 1000]; %% Borne supérieure UB = [48.86 915522.58 1206875 1178694.84 36.7265 136.4661 38.6678 4761249.39 389232.42.... 0.8981 33114.21 1.7284 6764.6574 8648277.61 1595.52]; ConstraintFunction = @Cont_5LH; % options options = gaoptimset('PlotFcns',{@gaplotbestf,@gaplotmaxconstr},... 'Display','iter','FitnessLimit',Lim,'InitialPopulation',X0, 'TolFun', 1e-12); [x,fval] = ga(@PIF_PAF,nvars,[],[],[],[],LB,UB,@PAF_PIF,options); end

68

Sous programme Obj_5LH.m function Cost = Obj_5LH(x) %% m1=300; m2=120; m3=150; m4=700 ;m5=80; %% K=[x(:,1)+x(:,4) 0 0 0 0 0 -x(:,4) 0;0 x(:,2)+x(:,3) 0 -x(:,2) 0 -x(:,3) 0 0; 0 0 x(:,5)+x(:,6) 0 0 0 -x(:,6) 0;... 0 -x(:,2) 0 +x(:,2) 0 0 0 0; 0 0 0 0 x(:,7)+x(:,8) 0 -x(:,8) 0; 0 -x(:,3) 0 0 0 +x(:,3) 0 0;... -x(:,4) 0 -x(:,6) 0 -x(:,8) 0 x(:,4)+x(:,9)+x(:,6)+x(:,8) -x(:,9); 0 0 0 0 0 0 -x(:,9) x(:,9)]; M=[m1 0 0 0 0 0 0 0; 0 m1 0 0 0 0 0 0; 0 0 m2 0 0 0 0 0; ... 0 0 0 m2 0 0 0 0; 0 0 0 0 m3 0 0 0; 0 0 0 0 0 m3 0 0;... 0 0 0 0 0 0 m4 0; 0 0 0 0 0 0 0 m5]; C=[x(:,10) 0 0 0 0 0 -x(:,10) 0; 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 x(:,11)+x(:,12) 0 0 0 -x(:,12) 0;... 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 x(:,13)+x(:,14) 0 -x(:,14) 0; 0 0 0 0 0 0 0 0;... -x(:,10) 0 -x(:,12) 0 -x(:,14) 0 x(:,10)+x(:,12)+x(:,14)+x(:,15) -x(:,15); 0 0 0 0 0 0 -x(:,15) x(:,15)]; sdof=8; R=[0;0;0;0;0;0;0;0]; A=zeros(16,16); A1=zeros(8,8);A2=eye(8,8); A3=-inv(M)*K;A4= -inv(M)*C; A(1:8,9:16)=A1; A(1:8,9:16)=A2; A(9:16,1:8)=A3; A(9:16,9:16)=A4; B=zeros(16,1); H= eye(16,16); D= zeros(16,1); sys=ss(A,B,H,D); t=[0.:0.00222:0.15]; x0 =[0;0;0;0;0;0;0;0;14;0;14;0;14;0;14;14]; [y,t,X] = initial(sys,x0,t); VA=sys.A*X'; Dcl=VA(16,:)/9.81; aexp2 = xlsread('Acc.xls','Acc','B2:B69'); aexp2 = aexp2'; Cost = rms((Dcl-aexp2)/mean(abs(aexp2))); end Sous programme Cont_5LH.m

function [c,ceq]=Cont_5LH(x) c=[]; ceq=[];

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ANNEXE C

C.1 Programme MATLAB Modele_masses.m

Programme principal

%% Données %% Chargement du fichier de données (exécution du fichier maplesim) system('"C:\Program Files\Maple 16\bin.X86_64_WINDOWS\cmaple.exe" Worksheet_Masses.maplet') %% Lecture des résultats de Maplesim A_Sim=xlsread('A_Sim.xls','A_Sim','B1:B67'); %% Lecture des valeurs expérimentales A_Exp=xlsread('A6.xls','A6','B1:B67'); %% Calcul de l’erreur moyenne quadratique des accélérations RMS=rms((A_Sim-A_Exp)/mean(abs(A_Exp))); %% Lecture des paramètres (raideurs et amortissements) Lim=0.1; X0(1) =xlsread ('Para2.xls','Par','C20'); % k1 X0(2) =xlsread ('Para2.xls','Par','C21'); % k2 X0(3) =xlsread ('Para2.xls','Par','C22'); % k3 X0(4) =xlsread ('Para2.xls','Par','C23'); % k4 X0(5) =xlsread ('Para2.xls','Par','C24'); % k5 X0(6) =xlsread ('Para2.xls','Par','C25'); % k6 X0(7) =xlsread ('Para2.xls','Par','C26'); % k7 X0(8) =xlsread ('Para2.xls','Par','C27'); % k8 X0(9) =xlsread('Para2.xls','Par','C28'); % k9 X0(10) =xlsread ('Para2.xls','Par','C29'); % k10 X0(11) =xlsread ('Para2.xls','Par','C30'); % c4 X0(12) =xlsread ('Para2.xls','Par','C31'); % c5 X0(13) =xlsread ('Para2.xls','Par','C32'); % c6 X0(14) =xlsread ('Para2.xls','Par','C33'); % c7 X0(15) =xlsread ('Para2.xls','Par','C34'); % c8 X0(16) =xlsread ('Para2.xls','Par','C35'); % c9 X0(17) =xlsread ('Para2.xls','Par','C36'); % c10 %% Définition du vecteur X0, contenant 17 valeurs initiales. X0=[X0(1) X0(2) X0(3) X0(4) X0(5) X0(6) X0(7) X0(8) X0(9) X0(10) X0(11) X0(12) X0(13) X0(14) X0(15) X0(16) X0(17)]; %% Nombre de variables nvars = 17;

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%% Bornes supérieure et inférieure LB = [20 1000 1000 1000 20 90 20 1000 1000 10 0.2 100 0.5 300 1000 500 10]; UB = [300 1000000 1000000 1000000 300 300 300 1000000 1000000 100 10 50000 10 10000 …10000000 5000 100] %% Processus d’optimisation options = gaoptimset('PopulationSize',50, 'InitialPopulation',X0,'PlotFcns',{@gaplotbestf,@gaplotmaxconstr},... 'Display','iter','FitnessLimit',Lim); % options = gaoptimset(options,'OutputFcn',@outfun); %% Fonction objective FitnessFunction = @masse_fit; hold on [xbest,fbest,exitflag,output,final_pop]= ga(@masse_fit,nvars,[],[],[],[],LB,[],@masse_cont,options); hold off %% Affichage du résultat fprintf('\n Les meilleures valeurs sont := %f\n', xbest); fprintf('\n RMS obtenu: = %f\n', fbest); Sous programme masse_fit.m

function RMS = masse_fit(x) % Paramètres à trouver x=[x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13) x(14) x(15) x(16) x(17)]; % Export des valeurs dans le fichier Excel xlswrite('Para2.xls',x(1),'Par','C20'); % k1 xlswrite('Para2.xls',x(2),'Par','C21'); % k2 xlswrite('Para2.xls',x(3),'Par','C22'); % k3 xlswrite('Para2.xls',x(4),'Par','C23'); % k4 xlswrite('Para2.xls',x(5),'Par','C24'); % k5 xlswrite('Para2.xls',x(6),'Par','C25'); % k6 xlswrite('Para2.xls',x(7),'Par','C26'); % k7 xlswrite('Para2.xls',x(8),'Par','C27'); % k8 xlswrite('Para2.xls',x(9),'Par','C28'); % k9 xlswrite('Para2.xls',x(10),'Par','C29'); % k10 xlswrite('Para2.xls',x(11),'Par','C30'); % c4 xlswrite('Para2.xls',x(12),'Par','C31'); % c5 xlswrite('Para2.xls',x(13),'Par','C32'); % c6 xlswrite('Para2.xls',x(14),'Par','C33'); % c7 xlswrite('Para2.xls',x(15),'Par','C34'); % c8 xlswrite('Para2.xls',x(16),'Par','C35'); % c9 xlswrite('Para2.xls',x(17),'Par','C36'); % c10 %% Exécution du fichier MAPLE (.maplet)

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system('"C:\Program Files\Maple 16\bin.X86_64_WINDOWS\cmaple.exe" Worksheet_Masse.maplet'); %% Lecture des valeurs expérimentales et les résultats de Maplesim A_Sim=xlsread('A_Sim.xls','A_Sim','B1:B67'); A_Exp=xlsread('A6.xls','A6','B1:B67'); %% Calcul du RMS RMS=rms((-A_Sim + A_Exp)/mean(abs(A_Exp))); %% Affichage du résultat fprintf('\n Root mean square = %f\n', RMS); if RMS <= 0.1 % xlswrite('Para2.xls',x(1),'Par','G20'); xlswrite('Para2.xls',x(2),'Par','G21'); xlswrite('Para2.xls',x(3),'Par','G22'); xlswrite('Para2.xls',x(4),'Par','G23'); xlswrite('Para2.xls',x(5),'Par','G24'); xlswrite('Para2.xls',x(6),'Par','G25'); xlswrite('Para2.xls',x(7),'Par','G26'); xlswrite('Para2.xls',x(8),'Par','G27'); xlswrite('Para2.xls',x(9),'Par','G28'); xlswrite('Para2.xls',x(10),'Par','G29'); xlswrite('Para2.xls',x(11),'Par','G30'); xlswrite('Para2.xls',x(12),'Par','G31'); xlswrite('Para2.xls',x(13),'Par','G32'); xlswrite('Para2.xls',x(14),'Par','G33'); xlswrite('Para2.xls',x(15),'Par','G34'); xlswrite('Para2.xls',x(16),'Par','G35'); xlswrite('Para2.xls',x(17),'Par','G36'); % xlswrite('Para2.xls',RMS,'Par','D42'); % fprintf('\n paramètres = %f\n', x); fprintf('\n RMS = %f\n', RMS); % stop % elseif RMS > 5.0 fprintf('\Mauvais calcul \n'); end Sous programme masse_cont.m

function [c,ceq]=masse_cont(x) c=[x(3) - 1206876]; ceq =[x(7) + x(8) - 4761289 ; ... x(1) + x(4) - 1178744 ; ...

72

x(5) + x(6) - 174 ; ... x(14) + x(15) - 8361 ; ... x(13) + x(14) - 33117]; end Sous programme Maple Worksheet_Masses.maplet

># Appel du modèle Simulink >

>A := MapleSim:-LinkModel('filename'=cat(kernelopts('toolboxdir'=MapleSim),kernelopts('dirsep'),"data/examples/Modele_masses.msim")): ># Import des paramètres du fichier Excel Para2.xls

>

> ># Modification des paramètres MapleSim >

> > ># Export des résultats au fichier Excel A_Sim.xls

>

73

C.2 Programme MATLAB Modele_bielles.m

Programme principal

%% Données %% Chargement du fichier de données (exécution du fichier maplesim) system('"C:\Program Files\Maple 16\bin.X86_64_WINDOWS\cmaple.exe" Worksheet_Bielle.maplet') %% Lecture des résultats de Maplesim A_Sim=xlsread('A_Sim.xls','A_Sim','B1:B67'); %% Valeurs expérimentales A_Exp=xlsread('A6.xls','A6','B1:B67'); % % Calcul du RMS RMS=rms((A_Sim-A_Exp)/mean(abs(A_Exp))); %% Algorithme génétique Lim=0.1; X0(1) =xlsread('Para.xls','Par','C20'); % k1 X0(2) =xlsread('Para.xls','Par','C23'); % k4 X0(3) =xlsread('Para.xls','Par','C24'); % k5 X0(4) =xlsread('Para.xls','Par','C26'); % k7 X0(5) =xlsread('Para.xls','Par','C27'); % k8 X0(6) =xlsread('Para.xls','Par','C28'); % k9 X0(7) =xlsread('Para.xls','Par','C30'); % c4 X0(8) =xlsread('Para.xls','Par','C31'); % c5 X0(9)=xlsread('Para.xls','Par','C33'); % c7 X0(10)=xlsread('Para.xls','Par','C34'); % c8 X0(11)=xlsread('Para.xls','Par','C35'); % c9 X0(12)=xlsread('Para.xls','Par','C29'); % k10 X0(13)=xlsread('Para.xls','Par','C38'); % k11 X0(14)=xlsread('Para.xls','Par','C36'); % c10 X0(15)=xlsread('Para.xls','Par','C37'); % c11 X0(16)=xlsread('Para.xls','Par','C39'); % ma X0(17)=xlsread('Para.xls','Par','C40'); % mb %% Définition du vecteur X0, contenant 17 valeurs initiales. X0=[X0(1) X0(2) X0(3) X0(4) X0(5) X0(6) X0(7) X0(8) X0(9) X0(10) X0(11) X0(12) X0(13) X0(14) X0(15) X0(16) X0(17)]; % Nombre de variables nvars = 17; %% Bornes supérieure et inférieure

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LB = [20 1000 20 20 3000000 10000 0.1 1000 5000 100000 500 ... 100000 100000 2000 2000 540 700]; UB = [60 1200000 40 40 4800000 390000 0.9 34000 6800 8700000 1600 ... 1000000 1000000 6000 6000 540 700]; %% Processus optimisation options = gaoptimset('PopulationSize',50,'PlotFcns',{@gaplotbestf,@gaplotmaxconstr},... 'Display','iter','FitnessLimit',Lim,'InitialPopulation',X0); % options = gaoptimset(options,'OutputFcn',@outfun); %% Fonction objective FitnessFunction = @Bielle_fit; %% [xbest,fval] = ga(@Bielle_fit,nvars,[],[],[],[],LB,[],@Bielle_cont,options); % hold on % [xbest,fbest,exitflag,output,final_pop]= ga(@Bielle_fit,nvars,[],[],[],[],LB,UB,[],options); % hold off %% Affichage des résultats fprintf('\n Les meilleures valeurs sont : = %f\n', xbest); fprintf('\n RMS obtenu = %f\n', fval);

Sous programme Bielle_fit.m

function RMS = Bielle_fit(x) % Paramètres a trouver x=[x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13) x(14) x(15) x(16) x(17)]; % Export des valeurs dans le fichier Excel xlswrite('Para.xls',x(1),'Par','C20'); % k1 xlswrite('Para.xls',x(2),'Par','C23'); % k4 xlswrite('Para.xls',x(3),'Par','C24'); % k5 xlswrite('Para.xls',x(4),'Par','C26'); % k7 xlswrite('Para.xls',x(5),'Par','C27'); % k8 xlswrite('Para.xls',x(6),'Par','C28'); % k9 xlswrite('Para.xls',x(7),'Par','C30'); % c4 xlswrite('Para.xls',x(8),'Par','C31'); % c5 xlswrite('Para.xls',x(9),'Par','C33'); % c7 xlswrite('Para.xls',x(10),'Par','C34'); % c8 xlswrite('Para.xls',x(11),'Par','C35'); % c9 xlswrite('Para.xls',x(12),'Par','C29'); % k10 xlswrite('Para.xls',x(13),'Par','C38'); % k11 xlswrite('Para.xls',x(14),'Par','C36'); % c10 xlswrite('Para.xls',x(15),'Par','C37'); % c11 xlswrite('Para.xls',x(16),'Par','C39'); % ma xlswrite('Para.xls',x(17),'Par','C40'); % mb

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%% Exécution du fichier MAPLE (.maplet) system('"C:\Program Files\Maple 16\bin.X86_64_WINDOWS\cmaple.exe" Worksheet_Bielles.maplet') %% Lecture des valeurs expérimentales et les résultats de Maplesim A_Sim=xlsread('A_Sim.xls','A_Sim','B1:B67'); A_Exp=xlsread('A6.xls','A6','B1:B67'); %% Calcul du RMS RMS=rms((-A_Sim + A_Exp)/mean(abs(A_Exp))); %%Affichage du résultat fprintf('\n Root mean square = %f\n', RMS); %% if RMS <= 0.1 % fprintf('\n You got it baby \n'); fprintf('\n parameters = %f\n', x); fprintf('\n RMS = %f\n', RMS); % xlswrite('Para.xls',x(1),'Par','G20'); xlswrite('Para.xls',x(2),'Par','G23'); xlswrite('Para.xls',x(3),'Par','G24'); xlswrite('Para.xls',x(4),'Par','G26'); xlswrite('Para.xls',x(5),'Par','G27'); xlswrite('Para.xls',x(6),'Par','G28'); xlswrite('Para.xls',x(7),'Par','G30'); xlswrite('Para.xls',x(8),'Par','G31'); xlswrite('Para.xls',x(9),'Par','G33'); xlswrite('Para.xls',x(10),'Par','G34'); xlswrite('Para.xls',x(11),'Par','G35'); xlswrite('Para.xls',x(12),'Par','G29'); xlswrite('Para.xls',x(13),'Par','G38'); xlswrite('Para.xls',x(14),'Par','G36'); xlswrite('Para.xls',x(15),'Par','G37'); xlswrite('Para.xls',x(16),'Par','G39'); xlswrite('Para.xls',x(17),'Par','G40'); % xlswrite('Para.xls',RMS,'Par','D42'); stop elseif RMS > 5.0 fprintf('\n Mauvais calcul\n'); end

76

Sous programme Bielle_cont .m function [c,ceq] = Bielle_cont(x) c =[x(8) - 33115; x(9) - 6765]; ceq = [x(3) + x(1) - 85.58; ... x(4) + x(1) - 87.6; ... x(5) + x(2) - 5939944.23; ... x(10) + x(7) - 8648278.51; ... x(12) - x(13); ... x(14) - x(15); ... x(16) - 570;... x(17) - 700]; % end Sous programme Maple Worksheet_Bielles .maplet

># Appel du modèle Simulink >

>A := MapleSim:-LinkModel('filename'=cat(kernelopts('toolboxdir'=MapleSim),kernelopts('dirsep'),"data/examples/Modele_bielles.msim")): ># Import des paramètres du fichier Excel Para.xls

>

> ># Modification des paramètres MapleSim >

> > ># Export des résultats au fichier Excel A_Sim.xls

>

77

BIBLIOGRAPHIE

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Organisation, Switzerland. [2] Fatality Reduction by Safety Belts for Front-Seat Occupants of Cars and light trucks. DOT HS 809 199, NHTSA Technical Report. Washington, United States. [3] Canada’s Road Safety Strategy 2015, Canadian council of Motor Transport Administrators, Ottawa, Ontario. [4] J. McQuaid and N. Jones, “A re-examination of Andrews research on impact resistance of

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