EXERCICE 1 Détermination du pgcd par la méthode de décomposition en facteurs premiers (par exemple)

1053 3 325 5 351 3 65 5 117 3 13 13 39 3 1 13 13 1

1. Calculer le pgcd des nombres 1053 et

325. Les différentes étapes figureront sur la copie.

1053 = 34 x 13 ; 325 = 5² x 13, le pgcd est donc 13.

325 = 13 x 25 et 1053 = 13 x 81, donc 3251 053=

!"!"

2. En déduire la forme irréductible de la

fraction 3251 053.

x² = 3251 053  𝑥!=

!"!"

     𝑥 =       !! ou 𝑥 =  −    !

! 3. Résoudre l’équation : x² = 325

1 053

A = 1053 – 3 325 + 2 52.

=   81  ×13 – 3 25×13 +2 4×13  

= (9 − 3×5 + 2×2) 13 = - 2   𝟏𝟑

4. Calculer A = 1053 – 3 325 + 2 52.

EXERCICE 2 E  =(x  –  3)²  –  (x  –  1)  (x  –  2).          

=  x²  -­‐  6x  +  9  –(x²-­‐2x-­‐x+2)  E  =  -­‐3x  +  7  

On considère l’expression : 1. E =(x – 3)² – (x – 1) (x – 2). a) Développer et réduire E.

Ici  on  applique  le  résultat  de  E  à  x  =  100  000  Donc  E  =  -­‐300  000+7  =  -­‐299  993  

b) Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de

99 997² – 99 999 × 99 998 ? F  =  (4x  +  1)²  –  (4x  +  1)  (7x  –  6).    =  (4x  +  1  )(  4x  +  1-­‐7x  +  6)  =  (4x  +  1  )(  -­‐3x  +  7)  

2. a) Factoriser l’expression : F = (4x + 1)² – (4x + 1) (7x – 6).

(4x  +  1)  (7  –  3x)  =  0   (4x  +  1)=  0  ou  (7  –  3x)  =  0  

x = - !    !

ou x = -!  !

 

b) Résoudre l’équation : (4x + 1) (7 – 3x) = 0

EXERCICE 3

Soit  x  le  nombre  de  chaises  à  37  €  pièce,    Soit  y  le  nombre  de  chaises  à  60  €  pièce  

a) x+  y  =150                            37x  +  60y  =  7459  b)  y=150-­‐x  37x  +  9000-­‐60x  =  7459  

23x  =  1541  y=150-­‐x  

 

 

x=67  y=83                              67  chaises  à  37  €,  83  chaises  à  60  €  

Une entreprise de menuiserie fabrique 150 chaises par jour ; elle produit deux sortes de chaises, les unes vendues à 37 € pièce, les autres 60 € pièce. Elle a réalisé un chiffre d’affaires de 7459 €. a. Traduire cette situation par un système de deux équations à deux inconnues. b. Quelle est sa production de chaque type de chaises.

EXERCICE 4

Si  le  coefficient  d’agrandissement  des  longueurs  est  k,  celui  des  aires  est  k².  a) Donc  l’aire  réelle  est  :  8,32  :  (4650²)                                                                                                            ≈  3,84  x  10  -­‐7  cm²    b) Le  rayon  r    vu  au  microscope  est    tel  que  

 π  r²  =  8,32  cm²          donc  r  =!,!"!      

 et  le  rayon  réel  est  :     !,!"!    :  4650  ≈  3,5  x  10  -­‐4  cm  

le  diamètre  est  environ    7  x  10  -­‐4  cm    

1. Dans cette question, les réponses seront données en notation scientifique. Des globules rouges vus au microscope électronique à balayage (× 4 650) ont la forme de disques d’environ 8,32 cm² d’aire. Ceci signifie que les distances apparaissent multipliées par 4 650. a) Calculer, en cm², l’aire réelle d’un globule rouge. b) Calculer, en cm, le diamètre réel d’un globule rouge.

ab  =  !!!    ;    !

!  =    !

!× !!

!  =  !!

!    b²  =   !

!"   2. Calculer successivement ab,

abb, ² dans

chacun des cas suivants :

a) a et b= = −13

35

. On donnera chacun des résultats

sous la forme d’une fraction simplifiée.

ab  =  3×104 x 103=  3×107 ;      !!  =  3×104 x 10-3=  3×10 ;    b²  =  103x2 =  106  

b) a = 3×104 et b = 103. On donnera chacun des résultats en écriture scientifique.

ab  =   366)33(122 −=−× =  -­‐6  x  6  =  -­‐36  

!!  =! !×!!! !

=!×!!!

   =  !!!  b²  =  ( 33− )( 33− )  =9x3  =  27  

c) a = 33122 −=bet . Montrer que les résultats s’écrivent sans racine carrée.

EXERCICE 5  1)      a) d2  b) d1  c) d4  2) a)  l'une  est  linéaire,  laquelle  ?  h  

b)  Quelles  sont  les  droites  qui  représentent  une  fonction  affine  ?  d2,  d1,  d4  

c)   d3   est-­‐elle   la   représentation   graphique   d’une  fonction  ?  Justifier.  Non,  car  il  existe  des  points  différents  sur  d3  qui  ont  une  même  abscisse.

EXERCICE 6

f(x) = !!

x + 1

g(x) = 3

h(x) = = !!!

x – 2

d4 passe par les points B(0 ;4) et G(4 ;-2) d5 passe par les points L(0 ;-2) et H(3 ;4)  1. Lire  graphiquement  (sans  justification)  les  

expressions  des  fonctions  f,  g,  h  représentées  respectivement  par  les  droites  d1,  d2,  d3  sur  le  graphique  ci-­‐contre.  

2. Sur  ce  même  graphique,  tracer  les  représentations  graphiques  d4,  d5  des  fonctions  j  et  k  telles  que  :  

𝑗 𝑥 =−32𝑥 + 4  

𝑘 𝑥 =53𝑥 − 1  

Problème Partie A : Construction de la figure

Partie B : Etude de la figure

1. a) Tracer un cercle (C     )  de centre O et de

rayon 3 cm. Tracer un diamètre [AB] de ce cercle.

b) La médiatrice du segment [OA] coupe le cercle

(C    )  aux points C et D. Placer les points C et D.

c) La droite (CD) coupe le segment [OA] au point I. Placer le point I.

2. Tracer la tangente au cercle (C    )  au point B.

La droite (OC) coupe cette tangente au point T

et recoupe le cercle (C    )  au point M. Placer

les points T et M.

Le  point  C  appartient  à  la  médiatrice  du  segment  [AO],  il  est  donc  situé  à  équidistance  des  points  A  et  O.    

AC  =  CO,  de  plus  [AO]  est  un  rayon  de  (C    ),  donc  AO  =  OC  

donc    OCA  est  équilatéral.  De   même,   D   appartient   à   la   médiatrice   du   segment   [AO],  donc  

AD  =  DO,  de  plus  [AO]  est  un  rayon  de  (C    ),  donc  AO  =  OD  

donc    ODA  est  équilatéral.  

1. Montrer que les triangles OCA et OAD sont équilatéraux. Justifier la réponse.

(CD)  est  la  médiatrice  et  coupe  [AO]  en  I  donc  I  est  le  milieu  de  de  [AO].  

2. Que représente le point I pour le segment [OA] ?

Dans   le   triangle   ICO   rectangle  en   I,   d’après   le   théorème  de  Pythagore,  on  a  :  OC²  =  IO²  +  IC²,  d’où  :  3²  -­‐  1,5²  =  IC²,    

soit  :  IC  =  ! !!≈ 2,6  cm.  

3. Calculer la longueur IC, arrondie au millimètre près.

   

La  droite  (CD)  est  perpendiculaire  à  la  droite  (AO)  puisqu’elle  est   la   médiatrice   du   segment   [AO].   La   droite   (BT)   est  perpendiculaire   à   la   droite   (AB)   puisqu’elle   est   la   tangente  au  cercle  (C)  au  point  B.  Les  points  A,  O  et  B  sont  alignés.  Les  droites   (CD)   et   (BT)   sont   perpendiculaires   à   une   même  droite,  elles  sont  parallèles  entre  elles.  

4. a) Justifier que les droites (CD) et (BT) sont parallèles.

D’après  la  question  précédente,  les  droites  (CD)  et  (BT)  sont  parallèles,  les  droites  (IB)  et  (CT)  sont  sécantes  en  O.  D’après  

le  théorème  de  Thalès,  on  a  :  !"!"= !"

!"= !"

!",  soit  :    

OT  =  !"  ×  !"!"

 =   !!,!      donc  :  OT  =  6  cm.  

b) Calculer la longueur OT.

Le  point  M  appartient  au  segment  [OT]  et  OM  =  3  cm  et  OT  =  6  cm.  Le  point  M  est  donc  le  milieu  du  segment  [OT].    

c) En déduire que le point M est le milieu du segment [OT]

Partie C : Tangente au cercle au point D

Méthode 1

On  a    𝐼𝐶𝑂=𝑀𝐶𝐷 Dans  le  triangle  CIO  rectangle  en  I,    on  a  :  𝑠𝑖𝑛𝐼𝐶𝑂 = !"

!"= !

!,  on  obtient  donc  :  𝐼𝐶𝑂 = 30°.    

Et  donc  :  𝑀𝐶𝐷 = 30°.  

1. Déterminer la mesure de l’angle  𝑀𝐶𝐷.

Les   angles  𝑀𝐶𝐷  et  𝑀𝐴𝐷  sont   deux   angles   inscrits   dans   le  

cercle   (C )   qui   interceptent   le   même   arc,   ils   ont   donc  

même  mesure.  𝑀𝐴𝐷 = 30°.  

2. Déterminer la mesure de l’angle  𝑀𝐴𝐷.

Dans  le  triangle  équilatéral  OAD,  OAD  =  60° 3. Déduire de la question B1 la mesure de l’angle  𝑂𝐴𝐷.

𝑀𝐴𝐷 = 30°,OAD  =   60°   donc   (MA)   est   la   bissectrice   de  OAD  OAD   équilatéral,   donc   les   bissectrices   sont   confondues  avec  les  médiatrices.  Donc  (MA)  médiatrice  de  [OD].  

4. En déduire que la droite (MA) est la médiatrice du segment [OD].

N  le  point  d’intersection  de   (OD)  et   (MA),et   (MA)  médiatrice  de  [OD],  donc  N  est  le  milieu  de  de  [OD],  Dans   le   triangle  ODT,  N  est   le  milieu  de   [OD],  M  est  donc   le  milieu  du  segment  [OT],  d’après  le  th  des  milieux,  (MN)//  (TD)

5. Soit N le point d’intersection de (OD) et (MA), Montrer que les droites (MN) et (TD) sont parallèles.

(MN)   médiatrice   de   [OD],   donc   (MN)┴   (OD)   et   (MN)//   (TD)  donc  (OD)┴  (TD),  [OD]  rayon  du  cercle  donc  (TD)  tangente  au  cercle  en  D.

6. En déduire que la droite (TD) est la tangente au cercle (C ) au point D.

Méthode 2 :

Les  angles  𝑀𝐶𝐷  et  𝑀𝑂𝐷  sont  respectivement  des  angles  inscrits  et  au  centre  interceptant  le  même  arc  de  (C),  donc      𝑀𝑂𝐷 = 2  𝑀𝐶𝐷    donc  𝑀𝑂𝐷  =  60°  

1. Que dire des angles 𝑀𝐶𝐷 et 𝑀𝑂𝐷 ? En déduire la valeur de l’angle    𝑀𝑂𝐷 .

Dans  MOD,  [MO]  et  [  OD]  sont  deux  rayons  de  (C),  donc  MO=MD,  MOD  isocèle  en  O  et    𝑀𝑂𝐷  =  60°,  donc  MOD  équilatéral,  donc  MO  =  MD,  de  plus  M  milieu  de  [OT],  donc  MO=MT,  donc  MO=MD=MT  

2. Montrer que le point M est équidistant des points O, D et T.

Donc  le  triangle  ODT  est  inscrit  dans  le  cercle  de  centre  M,  milieu  de  [OT],  de  diamètre  [OT],  or  si  3  points  sont  cocycliques  et  que  deux  d’entre  eux  forment  un  diamètre  du  cercle,  alors  le  triangle  est  rectangle  en  le  3°  sommet  donc  ODT  est  rectangle  en  D.  

3. En déduire la nature du triangle ODT.

donc  (OD)┴  (TD),  [OD]  rayon  du  cercle  donc  (TD)  tangente  au  cercle  en  D.

4. Démontrer que la droite (DT) est la tangente au cercle (C ) au point D.