Chapitre 1: Stabilité des systèmes linéaires DS n 1

DS n 1 : Montages à base d’ALI et filtrage linéaire

L’énoncé comporte cinq problèmes indépendants. Le candidat traitera au choix l’un des deux sujets suivants :

. Sujet 1 :– Problème A : Génération de signaux (e3a PSI 2014)– Problème B : Déconvenues expérimentales (CCP PC 2011)– Problème C : Mesure d’une fréquence cardiaque (Centrale PC 2014)

. Sujet 2 :– Problème B : Déconvenues expérimentales (CCP PC 2011)– Problème C : Mesure d’une fréquence cardiaque (Centrale PC 2014)– Problème D : Filtrage du signal et mesure du déphasage (Centrale PC 2008)

Le candidat peut traiter les différents problèmes du sujet qu’il aura choisi dans l’ordre souhaité. S’il repèrece qu’il lui semble être une erreur d’énoncé, le candidat est invité à le signaler sur sa copie en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

La calculatrice est autorisée.

1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016

2

mais avec un gain qui n'est pas considéré comme infini.

mais de gain fini

3Tournez la page S.V.P.

de gain infini

On donne:

352%/Ê0( ,,'e&219(18(6 (;3e5,0(17$/(6

/H IDLW GH QADYRLU SDV VXIILVDPPHQW UpIOpFKL DX[ SURSULpWpV SK\VLTXHV GHV V\VWqPHV UpVHUYH SDUIRLV

TXHOTXHV VXUSULVHV j OAH[SpULPHQWDWHXU /HV TXHVWLRQV TXL VXLYHQWF WRXWHV LQGpSHQGDQWHV OHV XQHV

GHV DXWUHVF QH GHPDQGHQW TXH GH EUHIV FDOFXOV

C 6XUFKDXIIH "8Q H[SpULPHQWDWHXU D FkEOp OH PRQWDJH GHVVLQp ILJXUH $X SRLQW FRPPXQ DX[ WURLV UpVLVWDQFHV

DSSDUDvW XQ SRWHQWLHO 9 GpILQL SDU UDSSRUW j OD PDVVH

)LJXUH

5

9E 9

E

E

5

5R

9

C ([SULPHUF HQ IRQFWLRQ GHV GRQQpHV DOSKDQXPpULTXHV SUpFLVpHV VXU OH VFKpPDF OD SXLVVDQFH

-RXOH WRWDOH GLVVLSpH SDU OH UpVHDX

C 4XHOOH UHODWLRQ OH SRWHQWLHO 9 GHYUDLWLO UHVSHFWHU SRXU TXH FHWWH SXLVVDQFH VRLW PLQLPDOH "

C &RPSDUHU FHWWH UHODWLRQ DYHF FHOOH TXH OARQ REWLHQGUDLW HQ pFULYDQW OD ORL GHV Q°XGV DX SRLQWFRPPXQ DX[ WURLV UpVLVWDQFHV

C /HV UpVLVWDQFHVF 5R : F 5 : HW 5 : VRQW FKRLVLHV GDQV XQ ORW VWDQGDUG QH

SRXYDQW VXSSRUWHU XQH GLVVLSDWLRQ VXSpULHXUH DX GHPLZDWW 'pWHUPLQHU VALO H[LVWH XQ ULVTXH GH

VXUFKDXIIH SRXU OAXQH GHV UpVLVWDQFHV

C *DLQ KkWLYHPHQW HVWLPp "2Q YHXW REVHUYHUF HQ VRUWLH BY6C GX PRQWDJH VFKpPDWLVp VXU OD ILJXUH D F XQH WHQVLRQ YH DPSOLILpH

DX PR\HQ GAXQ DPSOLILFDWHXU RSpUDWLRQQHO TXL VDWXUH j r YROWV

C 6DFKDQW TXH OD WHQVLRQ YH SHXW DWWHLQGUH YROWV F H[SOLTXHU SRXUTXRL FH PRQWDJH SRVH

SUREOqPH

C 8Q PR\HQ VLPSOH SRXU pYLWHU FHWWH GLIILFXOWp FRQVLVWH j LQWHUSRVHUF HQWUH OD VRXUFH GH WHQVLRQ YHHW OAHQWUpH GH OADPSOLILFDWHXUF XQ GLYLVHXU GH WHQVLRQ WHO TXH UHSUpVHQWp VXU OD ILJXUH E

'DQV OApWDW GH OD ILJXUH E BFAHVWjGLUH DYDQW UDFFRUGHPHQWC H[SULPHU HQ IRQFWLRQ GH YH F OD WHQVLRQ

YAH REVHUYpH HQ VRUWLH GX SRQW GLYLVHXU

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YV

N:

N:

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YH

E

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Y A

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N:

E

HY H

C (Q PXOWLSOLDQW OH FRHIILFLHQW GADWWpQXDWLRQ GX SRQW GLYLVHXU CYAYB HH SDU OH JDLQ GH

OADPSOLILFDWHXUF RQ SHXW SHQVHU REWHQLU DLQVL XQ JDLQ JOREDO FRQYHQDEOH SUpFLVHU OD YDOHXU GX JDLQ

JOREDO DLQVL FDOFXOp

'DQV FHWWH K\SRWKqVHF TXHOOH HVW OD YDOHXU SUpYLVLEOH GH OD WHQVLRQ YV ORUVTXH YH DWWHLQW YROWV "

C (Q IDLWF OAH[SpULHQFH ORUV GX UDFFRUGHPHQW GHV GHX[ FLUFXLWV BILJXUH FC GRQQH XQH YDOHXU

GLIIpUHQWH SUpFLVHU ODTXHOOH HW HQ GpGXLUH OH JDLQ HIIHFWLYHPHQW REWHQX ([SOLTXHUF HQ WHUPH

GADGDSWDWLRQ GALPSpGDQFHVF OHV UDLVRQV GH FH GpVDFFRUG

$E

)LJXUH F

YV

N

N

$ N:

N

E

HY Y AH

:

:

:

C )RQFWLRQ GH WUDQVIHUW UHEHOOH j OAH[SpULPHQWDWLRQ "/ADQDO\VH IUpTXHQWLHOOH GH %RGH LQFOXW D SULRUL XQH K\SRWKqVH GH VWDELOLWp SRXU OH IRQFWLRQQHPHQW

GHV PRQWDJHV pOHFWURQLTXHV pWXGLpVF K\SRWKqVH TXL QH SHXW rWUH OpJLWLPpH TXH SDU XQH DQDO\VH

WHPSRUHOOH DSSURIRQGLH )DXWH GH FHWWH MXVWLILFDWLRQF OHV GLDJUDPPHV UHSUpVHQWDQW OADPSOLWXGH HW OD

SKDVH GHV IRQFWLRQV GH WUDQVIHUWV SHUGHQW OHXU VHQV SK\VLTXH

/H PRQWDJH pWXGLp FLDSUqV GRQQH OAH[HPSOH GAXQH IRQFWLRQ GH WUDQVIHUW GRQW OD UHSUpVHQWDWLRQ GH

%RGH SHXW rWUH GHVVLQpHF PDLV GRQW LO VHUDLW YDLQ GH YRXORLU H[pFXWHU XQ UHOHYp H[SpULPHQWDO

C $QDO\VH IUpTXHQWLHOOH WUDFp GX GLDJUDPPH GH %RGH2Q VALQWpUHVVH DX PRQWDJH VFKpPDWLVp FLDSUqV BILJXUH CF LQFOXDQW XQ DPSOLILFDWHXU RSpUDWLRQQHO

FRQVLGpUp FRPPH LGpDO /RUVTXAXQH WHQVLRQ VLQXVRwGDOH YH GH SXOVDWLRQ Z HVW DSSOLTXpH j

OAHQWUpHF XQH WHQVLRQ YV DSSDUDvW HQ VRUWLH ([SULPHU OD IRQFWLRQ GH WUDQVIHUW FRPSOH[H + 9V 9H

DVVRFLpH j FH PRQWDJH (Q SUpFLVHU OD YDOHXU GX JDLQ HW GX GpSKDVDJHF SXLV GHVVLQHU XQH

UHSUpVHQWDWLRQ DV\PSWRWLTXH GH %RGH SRXU OH JDLQ HW OH GpSKDVDJH

E

)LJXUH

5

E

5

5YH YV

&

f

C 3ULVH HQ FRPSWH GX FRPSRUWHPHQW WHPSRUHO GH OADPSOLILFDWHXU RSpUDWLRQQHO

DC 5HWURXYHU GLUHFWHPHQW RX UHFRPSRVHU j OADLGH GH OD IRQFWLRQ GH WUDQVIHUW REWHQXHF OApTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH TXL UpJLW YVBWC HQ IRQFWLRQ GH YHBWC

EC 5pVRXGUH FHWWH pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH GDQV OH FDV RF OH FRQGHQVDWHXU pWDQW LQLWLDOHPHQW

GpFKDUJp HW OD WHQVLRQ GH VRUWLH YV QXOOHF XQ pFKHORQ GH WHQVLRQ pJDO j E P9 HVW DSSOLTXpH HQ YH

DX WHPSV W

'pFULUH OApYROXWLRQ GH OD WHQVLRQ YVBWC DX FRXUV GX WHPSV -XVWLILHU DORUVF GDQV FHV FRQGLWLRQVF

OALPSRVVLELOLWp GAXQ UHOHYp H[SpULPHQWDO GX WUDFp GH %RGH GpWHUPLQp SOXV KDXW

C 4XHO WUDMHW SRXU OD OXPLqUH "C 3ULVPH2Q GLVSRVH GAXQ SULVPH HQ YHUUH GALQGLFH Q F GRQW OADQJOH DX VRPPHW PHVXUH $

'DQV OH EXW GH GpWHUPLQHU OH UD\RQ pPHUJHQW HQJHQGUp SDU XQ UD\RQ LQFLGHQW HQ SURYHQDQFH GXGHPLHVSDFH FRQWHQDQW OH VRPPHWF RQ SUpSDUH OH GHVVLQ UHSUpVHQWp VXU OD ILJXUH

([LVWHWLO XQH FRQGLWLRQ VXU OADQJOH GALQFLGHQFH L TXL SHUPHWWH XQH REVHUYDWLRQ FRQIRUPH DX[

SUpYLVLRQV " %LHQ GpWDLOOHU WRXV OHV FDOFXOV LQWHUPpGLDLUHV

)LJXUH

L

LA

$

U

UA

2014-03-18 10:44:09 Page 3/8

La plaque est constituée d’un alliage contenant environ 90% de cuivre et de 10% de zinc, de conductivité𝜎 = 5 × 107 S⋅m−1, son épaisseur 𝑒 est de l’ordre du millimètre et 𝛼 = 1⁄3. L’hypothèse est-elle valide pour unevitesse du train 𝑣 ≈ 10 m⋅s−1 ?I.B.6) Même si l’échauffement de la plaque est limité, il existe.a) Expliquer pourquoi il y a échauffement.b) En considérant que toute l’énergie cinétique du train est dissipée sous forme de chaleur au sein de 𝑁 = 18plaques fixées sous les wagons du train, exprimer et calculer l’élévation de température, supposée uniforme dansles plaques, en fonction des données :

masse du train 𝑀 = 7000 kgvitesse du train 𝑣 = 12 m⋅s−1

dimension de chaque plaque 𝑒 = 6 mm, 𝐿 = 0,8 m, 𝐷 = 0,2 mmasse volumique des plaques 𝜌 = 8,7 × 103 kg⋅m−3

capacité calorifique massique des plaques 𝑐 = 385 J⋅kg−1⋅K−1

c) Avant un nouveau départ du train, il faut s’assurer que le frein a suffisamment refroidi. Expérimentalement,on trouve, qu’après l’arrêt du train, la température 𝑇 de la plaque diminue d’environ 0,1 K par seconde. Quelest l’ordre de grandeur de la durée d’attente nécessaire entre deux voyages ?d) On souhaite tester l’hypothèse d’un refroidissement par transfert de type conducto-convectif entre l’airambiant à la température 𝑇ext et les deux plus grandes surfaces de la plaque. On rappelle que ce type detransfert thermique est correctement modélisé par la loi de Newton : la puissance algébrique surfacique reçuepar une surface unité de la plaque à la température 𝑇 est égale à 𝑝 = ℎ(𝑇ext − 𝑇 ). On donne le coefficient detransfert conducto-convectif ℎ = 17 W⋅m−2⋅K−1 pour un transfert entre l’air au repos et le cuivre.Déterminer l’équation différentielle dont 𝑇 la température de la plaque, toujours supposée uniforme, est solution.En déduire un temps caractéristique de refroidissement par transfert conducto-convectif. Le calculer.Que faut-il penser de l’hypothèse d’un refroidissement exclusivement par transfert de type conducto-convectifavec l’air ? Proposer d’autres causes possibles.

II Mesure de la fréquence cardiaqueCertains manèges proposent aux passagers d’évaluer leur « peur » en mesurant leur rythme cardiaque. Le rythmecardiaque varie d’environ 60 battements par minute pour un sujet au repos jusqu’à 200 battements lors d’uneffort physique intense ou d’une forte émotion. La contraction d’un muscle, le cœur en particulier, crée unsignal électrique. La détermination du rythme cardiaque sur les manèges passe par la mesure de la différence depotentiel électrique entre les deux mains du passager. Sur le garde corps du manège, sont fixées deux électrodesoù le passager pose ses deux mains. La différence de potentiel est de l’ordre de quelques dizaines de mV. Lerapport signal sur bruit est en général plutôt faible. Il est donc nécessaire de mettre en forme le signal avantde pouvoir extraire la fréquence cardiaque. Cette partie se propose d’étudier les différentes étapes de mise enforme du signal. Après amplification (non étudiée), le signal est soumis à deux opérations de filtrage.Pour tout signal sinusoïdal 𝑢(𝑡), la grandeur complexe associée sera notée 𝑢. Tous les amplificateurs opérationnelssont supposés idéaux.

II.A – Premier filtrageLe signal amplifié est appliqué en entrée d’un filtre dont la structure est donnée figure 4.

𝐶1 𝐶1

𝑅2𝑅2

𝑅1

𝐶2

B

A

𝑒1(𝑡) 𝑠1(𝑡)

Figure 4

La sortie du filtre est en circuit ouvert.

2014-03-18 10:44:09 Page 4/8

On donne les valeurs des composants : 𝑅 = 𝑅1 = 𝑅2⁄2 = 16 kΩ et 𝐶 = 𝐶1 = 𝐶2⁄2 = 0,1 µF.

Ce filtre est un filtre réjecteur : il ne transmet pas les signaux dont la pulsation est voisine de 𝜔0 = 12𝑅𝐶

.

II.A.1) En étudiant de façon qualitative le comportement basses et hautes fréquences, justifier qu’il est légitimede dire que le filtre de la figure 4 est un filtre réjecteur.II.A.2) Calculer la valeur de la fréquence 𝑓0 associée à 𝜔0. Pourquoi ce filtre est-il important dans le casprésent ?

II.B – Deuxième filtrage : filtre passe-bandeLa fréquence des battements cardiaques étant comprise dans un intervalle relativement restreint et de façonà s’affranchir au maximum de parasites hautes et très basses fréquences, on applique un filtre passe-bande ausignal obtenu en sortie du filtre précédent. La structure du circuit utilisé est donnée figure 5.

𝐶3𝑅4

𝑅3

𝑅5

𝑅6𝐶4

DE+

−

𝑒2(𝑡) 𝑠2(𝑡)

Figure 5

II.B.1) Comment faut-il relier le circuit précédemment étudié et le circuit de la figure 5 pour que le signal𝑠1(𝑡) obtenu en sortie du filtre réjecteur ne soit pas perturbé par l’ajout du montage de la figure 5 ?II.B.2) Justifier de façon qualitative que l’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire. Montrerde façon qualitative que ce circuit présente bien un caractère passe-bande.II.B.3) On souhaite que la fréquence de coupure basse soit égale à 0,5 Hz et la haute égale à 150 Hz. Cesvaleurs sont-elles compatibles avec les fréquences cardiaques humaines ?II.B.4) En évaluant successivement les quotients 𝑉 𝐷⁄𝑒2, 𝑉 𝐸⁄𝑉 𝐷 et 𝑠2⁄𝑉 𝐸, montrer que la fonction de trans-fert 𝐻2 = 𝑠2⁄𝑒2 s’exprime comme le produit de trois fonctions de transfert très simples. On précisera le rôle dechacune d’entre elles.II.B.5) Proposer pour 𝑅3, 𝑅4, 𝐶3 et 𝐶4 des valeurs permettant de réaliser le filtrage souhaité. Les valeursproposées devront être compatibles avec les composants couramment utilisés en travaux pratiques.II.B.6) En plus de la fonction filtrage, le filtre proposé possède un deuxième avantage. Lequel ?II.C – Après amplification et filtrages, l’allure du signal obtenu est donnée figure 6.

𝑂1

𝑉2

𝑉3

un battement cardiaque

𝑡

𝑒𝑐(𝑡)

Figure 6

Le signal électrique 𝑒𝑐(𝑡) émis au cours d’un battement cardiaque est complexe. En effet, la figure 6 montretrois phases distinctes : la première (𝑂1) correspond à l’action des oreillettes, alors que les deux autres phases(𝑉2 et 𝑉3) correspondent à l’action des ventricules. Pour rendre la mesure de la fréquence cardiaque possible àl’aide d’un compteur numérique (non étudié), le signal électrique du cœur est transformé en un signal créneaud’amplitude donnée, où seul le signal de la phase 𝑉2 est sélectionné. Cependant, malgré les opérations de miseen forme, le signal de la phase 𝑉2 reste complexe, comme le met en évidence la figure 7 qui représente le détaild’un battement cardiaque.II.C.1) Le signal électrique 𝑒3(𝑡) correspondant aux battements cardiaques est appliqué sur l’entrée + del’amplificateur opérationnel du montage de la figure 8. La tension 𝑉0 est une tension continue et positive.Expliquer le fonctionnement de ce dispositif. Que va être la réponse de ce circuit à un signal du type de celuide la figure 7 ? Ce circuit est-il adapté à la détermination de la fréquence cardiaque ? Justifier la réponse (onpourra s’aider d’un schéma).

La sortie du filtre est en circuit ouvert.

2014-03-18 10:44:09 Page 5/8

𝑡

𝑒3(𝑡)

𝑉0

𝑂1

𝑉2

𝑉3

Figure 7

+−

𝑒3(𝑡)𝑉0

𝑠3(𝑡)

Figure 8

II.C.2) En réalité, le circuit utilisé est donné figure 9. La tension 𝑉0 est une tension continue et positive.On considère dans un premier temps un signal d’entrée sinusoïdal 𝑒4(𝑡) = 𝐸0 cos(𝜔𝑡).Justifier qualitativement que l’amplificateur opérationnel ne peut pas fonctionner en régime linéaire.

𝑅7

𝑅8

+−

𝑒4(𝑡)𝑉0

𝑠4(𝑡)

Figure 9

On souhaite que 𝑠4(𝑡) = +𝑉sat, 𝑉sat étant la tension de saturation de l’amplificateur opérationnel. Montrer que𝑒4(𝑡) doit être supérieure à une tension 𝑈1 dont on donnera l’expression en fonction de 𝑉0, 𝑉sat et des résistancesdu circuit.On souhaite maintenant que 𝑠4(𝑡) = −𝑉sat. Montrer que 𝑒4(𝑡) doit être inférieure à une tension 𝑈2 dont ondonnera l’expression en fonction de 𝑉0, 𝑉sat et des résistances du circuit.Pour quelle valeur de 𝑒4(𝑡) se fait le basculement de 𝑠4(𝑡) = +𝑉sat à 𝑠4(𝑡) = −𝑉sat ? Même question pour lebasculement de 𝑠4(𝑡) = −𝑉sat à 𝑠4(𝑡) = +𝑉sat.Donner la condition pour que 𝑈1 soit positive.Dans ce cas et en supposant que 𝐸0 > 𝑈2, représenter sur un même graphe les fonctions 𝑒4(𝑡) et 𝑠4(𝑡) en fonctiondu temps, en faisant apparaître les tensions 𝐸0, 𝑈1, 𝑈2 et 𝑉sat. Comment s’appelle un tel montage ?II.C.3) Le signal d’entrée 𝑒4(𝑡) est à présent le signal cardiaque 𝑒𝑐(𝑡) représenté sur les figures 6 et 7. Repré-senter sur une même figure l’allure du signal cardiaque et celle du signal 𝑠4(𝑡) que l’on souhaite obtenir parle filtre. À quelles conditions sur 𝑈1 et 𝑈2 la fréquence du signal 𝑠4(𝑡) obtenu correspond-elle effectivement àla fréquence du rythme cardiaque ? Quel est l’intérêt du circuit effectivement utilisé par rapport à celui de lafigure 8 ?II.D – Le dispositif utilisé dans le manège pour la mesure du rythme cardiaque peut-il être utilisé en milieumédical ? Qu’est-ce qui peut fausser la mesure du rythme cardiaque ?

III HolographiePour faire patienter les passagers des manèges dans les files d’attente qui peuvent souvent être longues, sontproposés des spectacles lumineux avec entre autres des images en 3 dimensions fabriquées à l’aide d’hologramme.L’holographie, contrairement à la photographie, permet de conserver, lors de l’enregistrement de l’image d’unobjet, la phase introduite par cet objet. On peut donc, par la suite, obtenir une image « tridimensionnelle » decet objet. Nous nous proposons dans cette partie de présenter le principe de l’holographie et d’étudier, dans unsecond temps, la possibilité de restituer des images tridimensionnelles en couleur.

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III.C.3) Endéduire que la ten-sion aux bornes dela bobine est pro-portionnelle à lavitesse dupoint du tube dudébitmètre auquella bobine du cap-teur est fixée. Cal-culernumériquement cecoefficient de pro-portionnalité.III.C.4) Calculernumériquement l’amplitude des tensions fournies par les capteurs fixés aux points

et du débitmètre étudié dans la deuxième partie.III.C.5) Analyse critique. En fait la valeur du coefficient de proportionnalité calculé en III.C.3 n’est qu’approchée.a) Pouvez-vous en donner les deux raisons principales ? En exposant brièvement vosarguments préciser si selon vous le coefficient calculé est sous-évalué ou au contraire sur-évalué ? b) Est-il par ailleurs nécessaire, pour l’utilisation que l’on fait des capteurs de vitessedans le débitmètre à effet Coriolis de connaître ce coefficient de proportionnalité avecexactitude ?Malgré son caractère approché l’étude précédente a le mérite de permettre la compréhen-sion du fonctionnement du capteur et de permettre son dimensionnement (ordre de gran-deur de ses différentes caractéristiques géométriques et magnétiques).

Partie IV - Filtrage du signal et mesure du déphasageLa partie IV.A correspond à l’étude du filtrage des signaux provenant des capteurs étu-diés dans la partie III et placés aux points et (partie II). Deux méthodes de mesuredu déphasage entre les deux signaux sont ensuite successivement étudiées dans les par-ties IV.B et IV.C. Ces diverses parties sont largement indépendantes. On se place enrégime sinusoïdal forcé pour les parties IV.A et IV.B. Tous les amplificateurs opération-nels utilisés sont idéaux et de gain infini.

IV.A - FiltrageOn rappelle que les signaux issus des deux capteurs de vitesse étudiés dans la partie IIIsont théoriquement des sinusoïdes déphasées d’un angle proportionnel au débit mas-sique que l’on cherche à mesurer. On constate en fait expérimentalement que le signalest brouillé par des signaux de fréquences différentes.

( )g z

0

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

2,00

1,75

0,000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( )z mm

Figure 11

v y t,( )

U0A C

A C

ϕ

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IV.A.1) Donner une origine possible pour des signaux de fréquence inférieure à etune autre pour des signaux de fréquence supérieure à .IV.A.2) Quel type de filtrage peut-onenvisager pour réduire l’amplitude de cessignaux parasites ?

On s’intéresse à un filtre de Sallen Key

(figure 12) composé de dipôles , ,

et d’admittances complexes respec-

tives , , et et de deux résistors

de résistances et où est un réel

positif tel que . L’amplificateur opérationnel est en fonctionnement linéaire.

La fonction de transfert s’écrit alors sous la forme (calcul non demandé) :

.

Pour toute la suite, les composants et sont des résistors identiques de résistance, est un condensateur de capacité et est constitué d’un résistor de résistance en parallèle avec un condensateur de capacité .

IV.A.3) Déterminer la nature du filtre en prévoyant, sans calculs, les comportementsasymptotiques à haute fréquence et à basse fréquence.IV.A.4) La fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

.

Établir les expressions de , et en fonction de , et . À quelles caractéris-tiques du filtre correspondent ces grandeurs ?IV.A.5) Déduire de l’expression de l’équation différentielle qui relie à

. À quelle condition sur ce filtre est-il stable ?IV.A.6) La figure 13 ci-après (page suivante) correspond au diagramme de Bode pourune valeur de donnée. En exploitant graphiquement ce diagramme, donner l’expres-sion du signal de sortie pour chacun des trois signaux suivants : ,

et .

ff f 80 Hz=( )

+

-

∞

Figure 12

1( )3( )2( )

us t( )ue t( )

r4( )

Pie t( )

k 1–( )r4 1( ) 2( )

3( ) 4( )

Y1 Y2 Y3 Y4

r k 1–( )r k1 k 5< <

H jω( )k Y2Y3( )

Y4 Y1 Y2 Y3+ +( ) Y3 Y2 1 k–( )Y1+( )+-------------------------------------------------------------------------------------------------------=

1( ) 2( )R 3( ) C 4( )R C

H jω( )G0

1 jQ ωω0------

ω0

ω------–⎝ ⎠

⎛ ⎞+

------------------------------------------=

ω0 G0 Q k R C

H jω( ) ue t( )us t( ) k

Que1 t( ) E 100πt( )cos=

ue2 t( ) E 160πt( )cos= ue3 t( ) E 200πt( )cos=

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Commenter les résultats obtenus.

IV.A.7) On remarque que l’intensité (voir figure 12) est non nulle. Est-ce enaccord avec la description faite au début de la partie III du module de traitement électro-nique du signal ? Si non, comment peut-on très simplement modifier l’entrée du filtreétudié ici pour y remédier ?Dans la suite on s’intéresse successivement à deux méthodes de mesure du déphasageentre les signaux sinusoïdaux et avec

.

IV.B - Mesure du déphasage à l’oscilloscopeOn utilise un oscilloscope pour visualiser les signaux et .IV.B.1) Quel couplage d’entrée ( ou ) de l’oscilloscope doit-on choisir ?Pourquoi ?IV.B.2) On obtient l’oscillogramme ci-après(figure 14). On suppose que les déclenchementsdes deux signaux sont synchrones. Déduire del’oscillogramme le déphasage entre les deuxsignaux. Lequel des deux signaux est en avancede phase sur l’autre ?IV.B.3) Préciser, en justifiant la réponse com-ment choisir les sensibilités verticales pouraméliorer la précision de la mesure dudéphasage entre les deux courbes ?

Figure 13

G (dB)

log (ω/ω0)

ϕ (rad)

log (ω/ω0)

ie t( )

u t( ) U 2πft( )cos= u′ t( ) U′ 2πft ϕ+( )cos=f 80 Hz=

u t( ) u′ t( )

AC DC

Figure 14

'( )u t

( )u t

ϕ

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IV.C - Phasemètre à basculePour de nombreux débitmètres conçus dans les années 1980 le déphasage est en faitmesuré selon le principe développé dans cette partie.

Le montage étudié, représenté figure 15, est décomposé en blocs notés « », « », « »et « ». Les blocs de type « » font intervenir une diode Zener « idéale » à propos delaquelle aucune connaissance préalable n’est nécessaire. On considère que le régime per-manent est atteint. Les amplificateurs opérationnels des blocs « » fonctionnent enrégime saturé et ceux des blocs « » en régime linéaire.Les signaux sinusoïdaux et de période sont transformés en signaux et composés d’impulsions déphasées. Les blocs « » et « » permettent de cons-truire à partir de ces impulsions un signal dont on peut tirer le déphasage entre et

. Les impédances d’entrée des entrées et du bloc « » sont considérées infinies.Les « impulsions » seront considérées ici comme des signaux rectangulaires de largeurtemporelle très faible devant et de hauteur algébrique (voir figure 16). Toutes les impulsions intervenant dans ce problème sont telles que .

Figure 15

D

( )Du t

> ∞- > ∞

+

2R

( )Bu t

1R

1E

( )Cu t

1C

( )u t-

+

( )Au t

> ∞

bloc A bloc B

bloc C

bloc D

> ∞- > ∞

+

2R

' ( )Bu t

1R

1E

' ( )Cu t

1C

'( )u t-

+

' ( )Au t

> ∞

bloc A bloc B

bloc C

EE

E′

A B CD C

AB

u t( ) u′ t( ) T uB t( )u′B t( ) C D

u t( )u′ t( ) E E′ D

Δt T VV 5 V≥

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IV.C.1) Étude des blocs « »a) Représenter la caractéristique de transfert statique

d’un amplificateur opérationnel idéal de gain infini(cf. figure 17). b) Justifier que le montage de la figure 18 s’appelle« comparateur à zéro ». On supposera pour la suite du pro-blème que les résultats obtenus dans cette question enrégime statique restent valables pour un signal sinusoïdal.c) On considère le bloc « » en entrée duquel on injecte lesignal sinusoïdal .

On note la durée du basculement de la sortie de l’ampli-ficateur opérationnel d’un état de saturation à l’autre. Tracer surdeux périodes la courbe représentative du signal . On indi-quera soigneusement sur l’axe des temps les dates , , …entre lesquelles la sortie de l’amplificateur opérationnel se trouvedans un état de saturation haut ou bas. On fera également figurersur ce graphe la période et la durée .IV.C.2) Étude des blocs « ». On supposera que lesvaleurs des composants sont choisies de telle sorte que lesamplificateurs opérationnels de ces blocs soient toujours enrégime linéaire.a) Établir l’équation différentielle qui relie à .b) Tracer sur deux périodes la courbe représentative dusignal . On reportera soigneusement sur l’axe des temps les dates , , … défi-nies en IV.C.1-c) et on fera figurer la période et la durée .IV.C.3) Étude des blocs « »La figure 19 représente la structured’un bloc « » et la figure 20 la carac-téristique d’une diode Zener« idéale ».a) Établir, en tenant compte desimpédances d’entrée infinies du bloc« », la relation entre , et .b) Par un raisonnement graphique utilisant la caractéristique de la diode Zener montrerqu’un bloc « » permet de transformer les impulsions positives d’amplitude supérieureà en impulsions d’amplitude et de ramener à la valeur nulle une impulsiond’amplitude négative.c) Tracer sur deux périodes la courbe représentative du signal . On reportera soi-gneusement sur l’axe des temps parmi les dates , , … indiquées sur le graphe duIV.C.1-c) celles qui sont pertinentes pour ce graphe.IV.C.4) Étude du bloc « » (bascule)

A

Figure 16

tΔt

V

uC t( )T

us ε( )

Au U 2πft( )cos=

+

-

∞ε us

Figure 17

Δt

uA t( )t1 t2 t8

T Δt

+

-

∞ue t( ) us t( )

Figure 18

B

uB t( ) uA t( )

uB t( ) t1 t2 t8T Δt

Figure 19

iC

uC5 V

R2

iC

uC

Figure 20

uB

C

C

D uB uC iC

C5 V 5 V

uC t( )t1 t2 t8

D

PHYSIQUE II Filière PC

Concours Centrale-Supélec 2008 16/16

Les tensions appliquées en et sont nulles (état « ») sauf lors de brèves impulsionsoù elles valent (état « »). La tension au niveau de la sortie vaut : soit

(état « ») soit (état « »). Le fonctionnement de ce bloc « », dépend de lavaleur de la sortie tel qu’indiqué ci-dessous :• si la sortie est dans l’état « », alors le passage de de « » à « » fait passer

à « » mais aucun changement d’état de ne peut modifier .• si la sortie est dans l’état « », alors le passage de de « » à » fait passer

à « » mais aucun changement d’état de ne peut modifier .a) La figure 21 représente les signaux et sur deux périodes. Ils sont décalésde l’intervalle de temps .Exprimer en fonction de

et .b) Reporter sur votrecopie la figure 21. Sur cemême graphe tracer lescourbes représentativesdes signaux et

. On supposera et on fera appa-

raître ces trois intervalles de temps sur l’axe des temps.c) On considérera qu’à l’instant , la sortie est dans l’état « ». En dessous du graphe précédent,en respectant la même échelle des temps, reporter ànouveau et et tracer la courbe représen-tative de . On fera apparaître les trois interval-les de temps , et sur l’axe des temps.IV.C.5) On place à la sortie le montage de lafigure 22. L’amplificateur opérationnel fonctionne enrégime linéaire. Montrer qu’en choisissant judicieu-sement le produit on peut obtenir pour un signal proportionnel audéphasage .

••• FIN •••

E E′ 0 + 5 V 1 uD t( ) D

0 V 0 + 5 V 1 DD

D 1 E 0 1D 0 E′ D

D 0 E′ 0 1D 1 E D

u t( ) u′ t( )τ

u′ t( ) u t( )

t

Figure 21ϕ

f τ

uC t( )u′C t( )Δt τ T< <

( )su t

s(t

+( )Du t

0

0r

0C

+∞-R0

Figure 22t 0= D

0

uC t( ) u′C t( )uD t( )

Δt τ TD

r0C0 us t( )ϕ