DM-IMECC-UNICAMPDisciplina: MA901/902 - Estágio Supervisionado I/II – 2019s2http://www.ime.unicamp.br/~msantos/MA901/902Prof. Marcelo Santos – msantos@ime.unicamp.br - http://www.ime.unicamp.br/~msantos/

Atualizado em 17/9/2019

Uma reflexão/apresentação/discussão * sobre

Motivações, Exercícios e o Teorema de Pitágoras - versão preliminar apresentada em aula em 29/08/2019

Plano (sumário):

- Tipos de motivações - Exercícios de fixação

Parte II – Algumas informações/alguns conhecimentos e cuidados que o Professor deve ou devia ter (pelo menos) - (Data)

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* Motivada pela apresentação do Juan, feita em 22/08/2019.

Bibliografia/Referências

● Livros:- Lázaro Coutinho, Convite às Geometrias Não-Euclidianas. Ed. Interciência, 2001.- Euclides, Os Elementos. Tradução e Introdução: Irineu Bicudo. Ed. Unesp, 2009.- Luiz M. Imenes, Marcelo Lellis, Descobrindo o Teorema de Pitágoras. Ed. Scipione, 2a ed., 2000.- Elon L. Lima, Matemática e Ensino. SBM, 3a ed., 2007.- Elon L. Lima, Meu Professor de Matemática e outras histórias. SBM, 6a ed., 2012.- Elon L. Lima et al., Temas e Problemas. SBM, 3a ed., 2010.- Nilson J. Machado, Lógiga? É lógico! Ed. Scipione, 1989.- Ward Rutherford, Pitágoras. Ed. Mercuryo, 1991.- Paul Strathern, Pitágoras e seu Teorema em 90 minutos. Jorge Zahar ed., 1998.- Frank J. Swetz, T. I. Kao, Was Pythagoras Chinese? The Pennsylvania State University Press, 3rd printing, 1988.

● Páginas na Internet – citadas nos slides

● “Experiência pessoal”

Motivações (em uma aula)

● Motivação = convencer que o assunto (a matéria) é importante

● Porque - tem aplicações: - reais (no mundo real*) - na própria matéria (para deduzir/demonstrar outros resultados)

( - estimula/aprimora o intelecto; - é divertido )

______________________________________________________________________*Curiosidade: este termo (mundo real) é usado na Ciência, e.g. tem uma revista de título “Nonlinear Analysis: Real World Applications”. (Esta revista é altamente especializada e não tem ligação direta com Ensino Fundamental ou Ensino Médio.)

1 - Aplicações ao mundo real

2 - Uso em demonstrações

Tipos de motivações

Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

Motivação 1 da apresentação do Juan - “o problema do avião”

Segundo o site Real Life Uses of the Pythagorean Theorem, “um avião (“a plane”) pode usar sua altura acima do solo e sua distância do aeroporto de destino para encontrar o local correto para iniciar uma descida para esse aeroporto.” (?)

ɑ = 6000m c b = 3000m

c = ?

Veja o interessante artigo

APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO CONTROLE DE TRÁFEGO AÉREO

por

Antonio Mandu Amorim Filho manduamaf@gmail.com

Acadêmico do Curso de Matemática-Licenciatura da Universidade do Sul de Santa Catarina –Campus Unisul Virtual

https://docplayer.com.br/70699072-Aplicacao-do-teorema-de-pitagoras-no-controle-de-trafego-aereo.html

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

Ligar vértices opostos em uma parede - diagonal

para e.g. pintar os lados opostos da diagonal com cores diferentes.

Seria bom saber o comprimento da diagonal antes de adquirir o material para “marcar” a diagonal

O mesmo pode ser feito em relação ao piso.

Cf. e.g. o site “Como fazer para pintar listras na parede” - Neste site as listras estão na vertical, mas querendo fazer as listras em diagonal, podemos usar o Teorema de Pitágoras para calcular a quantidade de material necessária para marcar as listras.

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

Tirolesa: comprimento do cabo

https://florestapark.com.br/restaurante/

Rigidez do triângulo*: aplicações em construções, e.g. cancelas, porteiras, portões – comprimento da travessa diagonal; pontes, estruturas/construções

-------------------------------------------------------------------* “Proposição” I.8 dos Elementos de Euclides. Veja também a matéria no site https://pathaisa.webnode.com.br/rigidez-do-triangulo/.

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real: rigidez do triângulo

Quantos triângulos retângulos há nessas estruturas? Certamente podemos usar o Teorema de Pitágoras para calcular a quantidade de ferro (ou outro material) para construí-las!

IMECC

https://sciencing.com/real-life-uses-pythagorean-theorem-8247514.html

Porteiras/Cancelas, Portões: podemos usar o Teorema de Pitágoras para calcular/dar o comprimento da travessa diagonal

Vídeo "legal" sobre a construção de uma porteira.

Ponte estaiada de Teresina, PIhttp://www.qualviagem.com.br/teresina-berco-de-tesouros-historicos-e-naturais/

Podemos usar o Teorema de Pitágoras para calcular os comprimentos dos cabos.Veja mais detalhes no site Ponte estaiada - Clubes de Matemática da OBMEP.

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

Para mais usos do Teorema de Pitágoras na construção civil veja o site

https://abordandoamatematica.wordpress.com/2015/09/24/a-matematica-na-construcao-civil/

● Distância euclidiana (no plano euclidiano) – fórmula da (menor) distância entre dois pontos em termos das coordenadas dos pontos

● Cálculo da raio da Terra

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

Veja e.g. “Distância euclidiana” na Wikipédia.

Admitindo que para uma pessoa de 1,60m de altura a distância do horizonte é de 4,52km (v. este site*), calcule o raio da Terra.

D = 4,52km h = 1,6m R = ?

*http://gigamatematica.blogspot.com/2013/03/qual-distancia-da-linha-do-horizonte.html

ETC.

Cont. Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras no mundo real

e.g.

Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras em demonstrações

● Recíproca do Teorema de Pitágoras (Proposição I.48 – última “Proposição”/Teorema do capítulo I dos Elementos de Euclides)

● Lei dos cossenos (Proposições II.12 e II.13 dos Elementos de Euclides)● Fórmula cos² + sen² = 1● …

Uma consequência importante do Teorema de Pitágoras

A existência de números irracionais (não fracionários).

Usando o Teorema de Pitágoras é possível mostrar que o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (qualquer), com o comprimento dos catetos sendo um número natural, é um número irracional (não é um número fracionário).

Exercícios de fixação

Exercícios de fixação da aprendizagem = qualquer tipo de questão (problema) com o objetivo de treinar a aprendizagem e/ou aprofundar o conhecimento da matéria. Naturalmente, a maioria dos exercícios nos livros didáticos são desse tipo.

Discutir o comentário da Luana

Veja o que diz o Prof. Elon L. Lima no prefácio do seu livro Análise Real, vol. 1 – próximo slide

Cont. Exercícios de fixação

“Uma parte importante do livro são seus .. exercícios. Eles servem para fixação da aprendizagem, desenvolvimento de alguns temas esboçados no texto e como oportunidade para o leitor verificar se realmente entendeu o que acabou de ler. Soluções .. desses exercícios, de forma completa ou resumida, são apresentadas no capítulo final. Naturalmente, gostaria que o recurso às soluções que ofereço fosse feito somente depois de um sério esforço para resolver cada problema. É precisamente esse esforço que, bem ou mal sucedido, conduz ao êxito no processo de treinamento.” Elon L. Lima, Análise Real, vol. 1, Prefácio.

Parte II – Algumas informações/alguns conhecimentos e cuidados que o Professor deve ou devia ter (pelo menos) - (Data)

Considerando alguns princípios, como- ter Cultura é importante- o Professor deve saber mais do que os alunos (em geral)

- devemos saber mais do que ensinamos (conhecer a matéria mais profundamente)

Algumas informações/alguns conhecimentos que o Professor do EF/EM deve ou devia ter (pelo menos)

Conhecer o livro Os Elementos de Euclides. Na nossa opinião, a melhor tradução dos Elementos para o português é a feita pelo Prof. Irineu Bicudo, ed. Unesp. O prof. Irineu Bicudo estudou grego profundamente e fez a tradução diretamente da versão grega, procurando passar para o português precisamente o que Euclides teria escrito. É a primeira tradução completa para o português feita a partir do texto grego. Além disso, esta tradução é acompanhada de uma longa e excelente Introdução, explicando o pensamento lógico (o método dedutivo; o que é definição, proposição/teorema, demonstração) e dando um panorama histórico.

Leia esta excelente resenha sobre a tradução: http://www.ime.unicamp.br/~msantos/UC_02_Livros.pdf.

Veja também

Irineu Bicudo: palestra no Youtube; entrevista no Jornal da Unesp.

Outras excelentes fontes sobre Os Elementos

Os Elementos com comentários ("guides") por David E. Joyce.

Demonstrações dos teoremas (proposições) dos Elementos no Youtube por Sandy Bultena.

Os Elementos gratuito para download pelo “Projeto Gutenberg”.

Algumas informações/alguns conhecimentos que o Professor do EF/EM deve ou devia ter (pelo menos), sobre o Teorema de Pitágoras:

● O Teorema de Pitágoras é a Proposição (teorema) 47 do “Livro” (capítulo) I dos Elementos – é a penúltima “Proposição” do “Livro” I. A última “Proposição” do Livro I, a Proposição 48, é a recíproca do Teorema de Pitágoras. Na demonstração desta, nos Elementos, é usado o Teorema de Pitágoras.

● A demonstração “de Euclides” (que está nos Elementos – Proposição I.47) do Teorema de Pitágoras;

● A demonstração “mais bela” e a demonstração “mais curta”, cf. Elon L. Lima, Meu Professor de Matemática e outras histórias.

● A rigidez do triângulo é demonstrada nos Elementos na “Proposição” I.8. Também sobre isto é interessante ver a matéria no sitehttps://pathaisa.webnode.com.br/rigidez-do-triangulo/.

Cuidados/Recomendações

● Seja crítico – reflita sobre as suas fontes/informações,e.g. - No slide acima sobre a Tirolesa, usando só o Teorema de Pitágoras obtemos precisamente o comprimento do cabo da tirolesa? A gravidade não deixa o cabo curvo?

- Em vários problemas, em algumas fontes, lemos que se os comprimentos dos lados de um triângulo formam um terno pitagórico então, pelo Teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo. A rigor, esta conclusão seria mesmo pelo Teorema de Pitágoras ou pela sua recíproca?

Cont. Cuidados/Recomendações

● A Internet (ainda) não tem tudo! Consulte livros – vá à biblioteca!