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Conception mécanique

Dimensionnement des arbres

Prof. Éric Béchet

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Intro Éléments de conception Méthodes de calcul générales – arbres de manège Prise en compte de géométries complexes – arbres de

commande – SER Vibration transversales et vitesses critiques Exercices d’application

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Intro


Un arbre est un élément de machine, tournant ou fixe, supportant engrenages, poulies, pignons, etc. Il a généralement une géométrie de révolution. C’est le cas que l’on considère dans la suite.Il sert à transmettre une puissance, mais peut aussi servir à positionner des éléments entre eux.Selon son usage, il peut porter plusieurs noms :- Arbre de transmission : transmet un couple, généralement d’un élément moteur vers un autre élément de machine- Essieu ou axe : rotatif ou non, ne transmet pas de couple mais seulement des efforts liés au positionnement.

C’est l’élément de machine - de loin - le plus courant !

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Un arbre en rotation est soumis à plusieurs sollicitations :

Certaines sont imposées par la fonction assurée par l’arbre dans le mécanisme, ce sont des sollicitations externes

- Transmettre un couple

- Supporter/positionner un élément interne au mécanisme

- Reprise d’efforts externes au mécanisme

D’autres sont des conséquences non voulues dues à la conception du mécanisme : sollicitations internes

- Efforts dues aux éléments participant à/aux la fonctions – engrenages (forces générées par le contact), poulies (tension de la courroie) etc.

- Efforts dus aux liaisons (frettage, clavettes), paliers (en particulier paliers à rouleaux coniques)

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Arbre = poutre : 6 sollicitations « macroscopiques » indépendantes qui se traduisent, en chaque point, par trois états de contraintes locaux indépendants :

Efforts normaux → Traction/compression dans l’axe de l’arbre

Exemple de cause : poids propre d’un arbre de turbine vertical Sous les hypothèses de Saint Venant → les efforts sont constants dans chaque

la section. Ils ne varieront pas en fonction de la rotation (sauf mécanisme complexe e.g.

arbre de perceuse à percussion)

x

HV

σ zz

σ xx

rθ

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Flexion (deux directions possibles) → Moment fléchissant → Traction/compression dans l’axe de l’arbre

Exemple de cause : poids propre d’un arbre de turbine horizontal, couples exercés sur l’arbre dans un plan parallèle à l’axe

La répartition des efforts dépend de la section, mais ils sont globalement de signe opposés de part et d’autre du plan contenant la fibre neutre et perpendiculaire aux efforts (et parallèle à l’axe du couple induit !)

Si l’orientation des efforts est fixe et que l’arbre tourne, les efforts vus du point de vue matériau seront modulés par la rotation : ils varieront de façon sinusoïdale dans le temps : on parle de flexion rotative.

Moment fléchissant

σ zz

σ xx

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Torsion → couple de torsion → efforts de cisaillement dans chaque section

Exemple de cause : couple moteur transmis. La répartition des efforts de cisaillement dépend de la section. Elle est

proportionnelle à la distance à l’axe de torsion (qui est confondu avec l’axe de révolution pour une géométrie de révolution…)

Si la section est mince (arbre creux), c’est donc quasiment constant. En principe, ne varie pas avec l’angle de rotation de l’arbre, sauf

mécanismes complexes e.g. moteur à pistons qui génèrent des à-coups.

τθ z

τθ x

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Efforts tranchant → cisaillements et dans chaque section.

Exemple de cause : efforts provenant des liaisons, tout comme pour le moment fléchissant (sauf couples !)

La répartition des efforts dépend de la section, mais ils sont paraboliques dans la section.

Si l’orientation des efforts est fixe et que l’arbre tourne, les efforts vus du point de vue matériau seront modulés par la rotation au même titre que pour la flexion.

τ xz τ yz

Effort tranchant

τHx

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Matériaux les plus courants Aciers au carbone, laminés à chaud si pas de besoins de

résistance particuliers : 0.15 à 0.30 % de carbone : EN32B, DIN CK15, AISI 1015 …

Pour des arbres rapides ou fortement sollicités, aciers autorisant des traitements thermiques 0.30 à 0.60 %C ou aciers alliés type DIN CK35, 30CrNiMo16

Autres matériaux : Titane (aéronautique) TA6V : usinage plus difficile, coût élevé Aluminium : faible limite d’endurance → pas fait pour les fortes sollicitations

cycliques, donc plutôt pour du positionnement avec de faibles charges. Plus rarement composites

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La rigidité d’un matériau ne dépend en pratique presque pas de la sa nuance : Aciers ~ 200-220 GPa ; seule la limite d’élasticité est fortement variable : de 235 à 1450 MPa

Même constat pour la masse volumique (aciers 7,8 g/cm³ ) Par conséquent, les caractéristiques d’élasticité des arbres

en acier (rigidité de torsion/flexion etc.) ne dépendent que de la géométrie.

Possibilité d’arbres creux si la rigidité est un paramètre important… à capacités de transmission égales, un arbre creux est bien plus rigide, pour un poids plus faible

Fréquent en aéronautique

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Éléments de conception But – construction la plus économique possible et la plus

sûre → arbre de diamètre le plus faible possible. Le facteur dimensionnant d’un arbre est un des 3 éléments

suivant :- Résistance (en fatigue ou ultime)

- Rigidité (pour diminuer la flèche)

- Stabilité (augmenter la vitesse critique)

Quelque soit le critère dimensionnant advenant en premier, le diamètre de l’arbre est grandement influencé par les moments fléchissants… or ceux ci dépendent directement du positionnement des éléments le long de l’arbre.

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Positionnement des éléments le long de l’arbre

Il est généralement préférable de positionner les éléments de machine près des liaisons...

L1 L2 L3

PalierPalier

Roue dentée

Poulie

Mauvais positionnement !

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Ou...

Bon positionnement

(mais plus faible raideur en torsion!)

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Diagramme de corps libre (DCL) Tout comme pour une poutre, il faut déterminer les efforts

internes à partir des éléments extérieurs Premièrement, faire un calcul des efforts extérieurs – c’est

un calcul similaire à ce qui se fait en résistance des matériaux…

Cas isostatique → les efforts sont déterminés directement (statique). Cas hyperstatique → utiliser les méthodes énergétiques pour s’en sortir

(Castigliano / Menabrea) On essaie habituellement de se retrouver dans le cas isostatique – plus

fiable par rapport à des variations de paramètres (e.g. dilatation thermique) Quand ce n’est pas possible, l’introduction de jeux permet de s’en sortir...

Une fois ceci calculé, toutes les interactions de l’arbre avec l’extérieur est résumé par un ensemble de forces Fi et de couples Ci, réduits à la fibre neutre de l’arbre.

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Exemple de diagramme de corps libre

FaH Fa’H

FcH FrH

x

H

FaV Fa’V

FrVx

V

La

Ccx Crx

Lc Lr

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Diagrammes Mfx(z), Mfy(z),N(z),Tx(z),Ty(z), C(z) Correspondent aux efforts nécessaires pour maintenir l’arbre

à l’équilibre, si une coupure est faite à l’abscisse z Ici, N(x)=0 Tx(x) :

Ty(x)

FaV Fa’V

FrVx

FaH Fa’H

FcH FrH

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MfV(x)

MfH(x)

C(x)

FaV Fa’V

FrV

FaH Fa’H

Ccx Crx

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Méthodes de calcul en prédimensionnement Arbre long (parfois appelé « arbre de manège »)

On va se mettre dans un cas le plus défavorable, soit un arbre relativement long, transmettant un couple moteur, associé à une force radiale.

Arbre court de section variable (tronçon de commande)

On devra tenir compte des éléments ajoutés à l’arbre et calculer plus précisément un état de contraintes section par section.

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Arbre long (parfois appelé « arbre de manège ») Soit une puissance P à transmettre (en kW), à une vitesse

de rotation N (en tr/min). La configuration la plus défavorable est qu’il existe une charge centrale pour un arbre en appui sur ses extrémités.

Cette charge peut être due à la tension d’une courroie, à l’angle de pression d’une roue dentée etc.

Les normes DIN proposent un entraxe maximal :

LR/2 R/2

CR

L<300√d [ unités en mm ]

d

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Arbre long : trois critères sont à valider ! Résistance en torsion-flexion combinée Raideur en flexion (flèche limitée) Raideur en torsion (stabilité de la chaîne cinématique)

La combinaison des trois critères nous donne la formule des arbres de manèges.

Cette formule est un outil de pré-dimensionnement.

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Critère de résistance aux efforts Bilan des efforts :

Moment fléchissant Mf , contraintes normales de valeur maximale au droit du

point d’application de la force F

Moment de torsion Mt , contrainte de cisaillement de valeur maximale à la

périphérie du profil.

Il existe dans la quasi-totalité des cas un facteur de proportionnalité k entre ces efforts !

Pour une roue dentée, le pression de contact est proportionnelle au couple à transmettre, et l’angle de pression est constant ~ 20°

Pour une courroie, idem, la tension est calculée pour éviter le glissement, et dépend donc du couple transmis

Sabot de freinage, même raisonnement ...

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En pratique :

avec Mf=kM

t et 0.5<k<0.7 : ces valeurs sont issues de

l’expérience ! Dans la suite on va prendre k=0.7 par précaution. Unités pour la suite : mm, kW, MPa , etc...

P=M t⋅ω

M t=106 60⋅P2π⋅N

N.mm

kW

tr/min

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Il s’agit donc d’une sollicitation composée. On va se ramener à une sollicitation équivalente simple...

En combinant les deux moments, flexion et torsion, on obtient un moment « idéal », qui nous permettra de comparer les contraintes avec une valeur issue d’essais expérimentaux (habituellement la contrainte limite en traction).

L’objectif est de simplifier le dimensionnement, même si l’état de contrainte est complexe.

On peut toujours revenir sur le calcul par la suite et affiner - par exemple avec des outils numériques tels que les éléments finis.

Ceux ci sont des outils de validation d’un design plus que des outils de conception !

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Critère utilisé pour les matériaux métalliques, et donc l’acier en général : rester dans le domaine élastique ET éviter la fatigue.

Calcul des contraintes dans la section (RDM)

Les contraintes sont maximales au mêmeendroit : en h=d/2 (r=d/2) !

σ=h⋅M f

I f

=h⋅M f

π d 4

64

τ=r⋅M t

I 0

=r⋅M t

πd 4

32

hI f =

π d 4

64

r I 0=πd 4

32σmax=

M f

πd 3

32

τmax=M t

πd 3

16

30



La notion de contrainte équivalente (cf cours RDM) permet de comparer avec un essai de traction simple ...

On va essayer de trouver un moment composé tenant compte des deux sollicitations (flexion et torsion) …

Prenons le cas de Tresca (plus conservatif que von Mises )

σ t=√M f

2

( πd 3

32 )2+

4⋅1

22

M t2

(π d 3

32 )2=

32

πd 3 √M f2+M t

2

Critère de Tresca (cisaillement max)

σ vm=√σ2+3 τ2 Critère de von Mises (énergie de déformation)

σmax=M f

πd 3

32

τmax=M t

πd 3

16

=12

M t

πd 3

32

σ t=√σ2+4 τ

2

→

→ M i=√M f2+M t

2

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Avec von Mises, on obtient un critère plus faible (et donc moins sécurisant)

On constate que la formule utilisée pour définir le moment idéal dépend du matériau et in fine, du modèle utilisé pour ce matériau : ce n’est pas juste une question géométrique !

D’autres modèles existent…

σ vm=√M f

2

(π d 3

32 )2+

3⋅1

22

M t2

(π d 3

32 )2=

32

π d 3 √M f2+

34

M t2

→ M ivm=√M f2+

34

M t2

32



Critère de Mohr-Caquot

Correspond à la tangence du cercle de Mohr avec une courbe caractéristique (c.c.) du matériau. Si le cercle de Mohr dépasse, il y a rupture. La courbe limite dépend du genre de matériau.

Cela reste un critère simple qui permet également unpré-dimensionnement raisonnable

Les modèles les plus simplesutilisent des droites.On peut caractériser cesdroites par deuxparamètres :

Rpg

: résistance pratique au cisaillement

Rpe : résistance pratique à la traction R

pe

Rpg

σ

τ

Cercle de Mohr (traction uniaxiale)

Cercle de Mohr (cisaillement pur)

c.c. mat.ductile

c.c. mat.fragilec.c. mat.

intermed.

c.c. mat.réel

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Le calcul du moment idéal donne dans ce cas la

Formule de Mohr-Caquot

Dans cette formule,

est un paramètre dépendant du matériau avec

Rpg

: résistance pratique au cisaillement (Mpa)

Rpe : résistance pratique à la traction (Mpa).

M i=(1− 12λ )M f +

12λ √M f

2+M t

2

λ=R pg

R pe

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Matériaux métalliques ductiles (e.g. acier)

Fontes (classe de matériaux fragiles)

Matériaux moulés (e.g. Zamak )

Rappel : matériaux obéissant au critère de von Mises :

M i=(1− 12λ )M f +

12λ √M f

2+M t

2=√M f

2+M t

2

λ=1

: Formule de Coulomb(ou Tresca !)

λ=R pg

R pe

=12

M i=12

M f +12 √M f

2+M t

2: Formule de Rankine

λ=45

M i=38

M f +58 √M f

2+M t

2: Formule de Saint-Venant

M i=√M f2+

34

M t2

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Les arbres de machines sont généralement en acier, donc on utilisera ici la formule de Coulomb/Tresca, qui donne :

ou

Calcul de la contrainte max : on suppose une section circulaire. On a donc- un moment quadratique :- une distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre :

d’où →

Donc,

M i=M f √1+( 10.7 )

2

≈1.75 M f

I=πd 4

64

d/2v=

d2

σ(h)=h⋅M i

Iσmax=v⋅

M i

I

M iσmax

=Iv=π d 3

32

M i=M t √1+0.72≈1.225 M t

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Calcul d’un diamètre acceptable à la contrainte maximale :

d’où mm

avec N en tr/min, P en kW et en Mpa.

Pour un acier avec une limite de 50 Mpa, cela donne :

avec les mêmes unités.

M iσmax

<π d 3

32d> 3√ 32⋅106

⋅60⋅P⋅1.2252π2

⋅N⋅σmax

d>3√ 32 M iπσmax

d>500 3√ PN⋅

3√ 1σmax

σmax

d>135 3√ PN

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Critère basé sur la flèche maximale Souvent, on ne peut accepter des écarts trop importants

(p.ex. les dentures doivent s’engrener correctement…)

On ne tient compte que du moment de flexion...

Mf=kM

t avec et k=0.7 .M t=103 60⋅P

2π⋅N

LR/2 R/2

R

f

f =M f L2

12 E I=

R L3

48 E I

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Tentons de trouver une relation entre la flèche relative et admissible …

On a également

d’où

Pour = 50 MPa et E =217500 MPa, on a :

, soit de l’ordre de 10-4 à 10-3 pour des

diamètres compris entre 50 et 200 mm

f =M f L2

12 E I

M f =M i

1.75=

πd 3

32⋅1.75σmax

12 E π d 4 f

64 L2=

πd 3

32⋅1.75σmax

M f =12 E π d 4 f

64 L2

σmax

I=πd 4

64

→ σmax=1.75⋅6⋅E⋅fL⋅

dL

→

σmax

fL=

6.57⋅10−3

√d

L=300√d

fL

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Une flèche relative de 10-3 est assez significative - on ne peut donc pas dépasser cette valeur.

Pour des diamètres inférieurs à 50mm, c’est même au-delà.

Il est en pratique inutile de considérer des résistances supérieures à 50 Mpa pour l’acier servant à fabriquer l’arbre. Si l’on se base sur un acier plus résistant, le dimensionnement ne sera pas correct car la flexion trop prononcée

N’oublions pas que le moment de flexion est supposé proportionnel au moment de torsion… et que le module de Young ne varie pas avec !

On peut également noter que la contrainte admissible pour une durée de vie supérieure à 10 cycles d’un acier mi-dur en flexion rotative vaut ⁶approximativement 50 MPa :

R0=500 MPa (contrainte ultime) Re = 280 MPa (limite élastique)d’où R1 ~ 1/3*280/1.8 = 52 MPa , avec un facteur de sécurité K=1.8 (méthode de Seefehlner pour la flexion alternée)

σmax

σmax

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Critère basé sur la raideur en torsion L’objectif est de garantir un fonctionnement hors fréquences

propres de la chaîne cinématique, donc que celles-ci soient assez élevées

On estime que la torsion ne doit pas dépasser environ 1/4 de degré d’angle par mètre de longueur d’arbre.

or, avec , et

θ= π4⋅180

10−3 rad/mm

θ=M t

G I p

G=E

2(1+ν)I p=

π d 4

32

θ=106 60⋅32(1+ν)

E π2 d 4

PN

M t=106 60⋅P2π⋅N

→ d= 4√106 60⋅32(1+ν)

E π2θ

4√ PN

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Avec les valeurs numériques choisies, le critère donne :

à comparer avec pour les deux précédents critères.

On choisit globalement la formule « composite » suivante :

Formule dite des « arbres de manèges ».

d= 4√106 60⋅32(1+ν)

E π2θ

4√ PN

d>128 4√ PN

θ= π4⋅180

10−3 rad/mm

E=217500 MPa

ν=0.3

d>135 3√ PN

d>130 n√ PN

avec {n=3 si P /N≥1n=4 si P /N≤1

P en kWN en tr/mind en mm

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Que signifie cette formule ?

Elle n’est valable que pour des arbres pleins en acier.Si on l’utilise, - elle limite la contrainte équivalente

- elle limite la flèche relative à

- elle limite l’angle de torsion à En outre, connaissant les dimensions d’un arbre, le couple

maximal transmissible est :

P en kWN en tr/mind en mm

σmax≤55 MPa

L<300√d (en mm )

fL≤

6.57⋅10−3

√d

θ≤1162

d 4

PN

(rad/mm)

d>130 n√ PN

avec {n=3 si P /N≥1n=4 si P /N≤1

M tmax≤107( d130 )

n

N.mm avec {n=3 si d /130≥1n=4 si d /130≤1

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Cas des arbres courts de section variable (tronçons de commande)

Ils sont munis de poulies, roues, de ce fait le couple n’est pas constant le long de l’arbre.

Ils sont courts ! Les effets de flexion ne sont pas dominants, et le critère de la flèche n’est

pas pertinent dans un premier temps*.

Démarche : Calcul des résultantes des efforts extérieurs (immédiat si isostatique, par

itérations si hyperstatique) Calcul des moments de torsions (constants) dans chaque tronçon Calcul des moments fléchissants Calcul du moment idéal (idem arbre de manège) Calcul du diamètre local (même formule que arbres de manège, mais n=3 *)

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En pratique : On calcule les efforts extérieurs :

Poulies : tension brin tendu T, brin mou t, effort périphérique Q

Roue dentées : efforts tangentiel Ft, radial F

r, axial F

x (si denture hélicoïdale)

On projette ces efforts dans deux plans perpendiculaires, notés V et H

Ensuite, calcul des réactions des appuis RV, R

H (R

x axial n’est pas considéré car

peu susceptible d’influence sur la géométrie de l’arbre, sauf cas particuliers)

Calcul des moments de flexion MfV, Mf

H

Calcul du moment résultant Calcul du moment de torsion (constant par tronçons)

(poulie) (roue dentée) Calcul du moment idéal (tresca) ou v.mises

Calcul du diamètre caractéristique du solide d’égale résistance :Ce diamètre varie en fonction de la position !On choisit souvent R=50 MPa comme point de départ.

Mf =√Mf V2+Mf H

2

Mt=Pω

Mt=F⋅D /2 F=T−t F=Ft

Mi=√Mf 2+Mt2 Mi=√Mf 2

+3 /4 Mt 2

d SER=3√

32π

MiR

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On obtient alors un SER, Solide d’Égale Résistance, de diamètre variable le long de l’arbre.

Ce SER est le noyau sur lequel vont se greffer les éléments de liaison aux roues, poulies, portées cylindriques ou coniques imposées par les roulements etc.

Il faut y rajouter un habillage… Le SER ne doit jamais être entamé (e.g. par une rainure de clavette) !

Portée conique

FiletPortées cylindriques

Gorge pour rondelle frein

Cale dormante Trou de lubrification radial et collet

Saignée pour jonc d’arrêt

Épaulement

Entretoise

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Cas de l’arbre hyperstatique Obligation d’itérer ! Considérer un arbre de section constante, puis calculer les

réactions aux appuis (hyperstatiques) Méthodes vues en RDM (théorème de réciprocité de Maxwell-Betti par

exemple)

Utiliser les réactions d’appui ainsi calculées pour déterminer le premier SER, constitué de sections de diamètre non constant

Ce SER conduit alors à des réactions hyperstatiques différentes (car sa raideur est différente ...)

On calcule donc ces réactions, qui mènent à un second SER, déjà très proche de la solution.

Toutes ces étapes peuvent être assez facilement automatisées

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Vitesse(s) critique d’un arbre Comme tout élément de machine, les arbres sont soumis à

des sollicitations cycliques. Celles ci sont susceptibles d’exciter un ou plusieurs modes vibratoires, et par conséquent, d’induire des niveaux de vibrations tels que la fonction de l’arbre n’est plus assurée, voire la destruction de l’arbre par fatigue.

Nous allons étudier cela en partant d’un cas simple, puis étendre aux cas plus courants.

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Cas simple : arbre sans masse pourvu d’un disque, tournant à vitesse constante

Soit I le moment d’inertie de l’arbre, M la masse du disque. Supposons qu’une flèche y apparaisse fortuitement

(perturbation infinitésimale)

L/2L/2

M

G

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Supposons qu’une flèche y apparaisse fortuitement (perturbation infinitésimale), on a alors une force centrifuge :

Pour que cette flèche soit due à F, il faut que :

(théorie des poutres) Éliminons F, il vient , d’où .

Il existe donc une vitesse unique, pour laquelle il y a équilibre entre la force centrifuge et la force de rappel élastique.

MG

F=Mω2⋅y

y=F L3

48EIMω

2=

48EI

L3 ω=√48EI

M L3

y

50



Vitesse critique, pour laquelle il y a équilibre entre la force centrifuge et la force de rappel élastique :

Que se passe-t-il si ? La force de rappel élastique est plus grande, donc l’arbre revient dans sa

position initiale, sans déformation, après amortissement des oscillations.

Et si ? Divergence et destruction de l’arbre… ou autocentrage !

Introduisons un léger balourd, ce qui revient à décaler le centre de gravité d’une distance e (excentricité) :

ωc=√48EI

M L3

ω<ωc

ω≥ωc

M

G

e

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Avec un balourd : etd’où :

Posons , il vient

Ici, gros changement : à chaque valeur de vitesse correspond une valeur de flèche positive, proportionnelle à l’excentricité e.

Pour , le dénominateur s’annule et la flèche diverge. Pour , la flèche à l’équilibre est négative tend vers … -e !

(On parle d’autocentrage - c’est stable grâce aux effets gyroscopiques )

F=Mω2⋅( y+e) y=

F L3

48EI

y=ω

2 e48EIM L3

−ω2

ωc=√48EI

M L3y=

ω2e

ωc2−ω

2

ω=ωc

ω<ωc

ω>ωc

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Force centrifuge : Force de rappel :

F=Mω2⋅( y+e)

F=48EI

L3 y

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Deux possibilités de design pour une application pratique:

1- Soit est très grand Dans ce cas on peut supposer que … Aucun risque d’instabilité, mais les efforts sont directement transmis au

bâti (pour le bonheur des voisins !)

- Cas le plus courant dans l’industrie

2- Soit est faible (liaison flexible) Dans ce cas, - mais grâce à l’autocentrage les efforts transmis au

bâti sont quasiment éliminés (et les voisins sont contents) Problème : avant d’atteindre cette vitesse, on passe par …

La seconde solution est parfois retenue malgré tout Mais il faut accélérer vite, et/ou s’assurer d’un amortissement suffisant. On retrouve parfois ce cas de figure sur de grandes installations industrielles

pour lesquelles les puissances en jeu font que l’on a . C’est le cas des machines à laver le linge en phase d’essorage !

ωc

ω≫ωc

ωc

ω≪ωc

ω=ωc

ω≫ωc

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Analogie avec le comportement vibratoire…

Écartons l’arbre au repos de l’équilibre, on a alors :

Force de rappel élastique :

Force due à l’amortissement :

Force d’inertie : Équilibre : soit

avec et

Solution générale :

Fk=48 EI /L3⋅y=ky

Fa=C y

Fi=M y

M y+C y+k y=0 y+2n y+ p2 y=0

2n=CM

p2=

kM

=48 EI

ML3

y1(t)=A e−nt sin (√ p2−n2

⋅t−ϕ)

Déterminéspar lesconditionsinitiales

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Supposons l’amortissement très faible : n → 0, alors on a :

et le mouvement est périodique de période

et de pulsation

On constate que !

y1(t)=A e−nt sin (√ p2−n2

⋅t−ϕ)

y1(t)=A sin (p⋅t−ϕ)

τ=2πp=2π√ ML3

48EI

p=√48 EI

ML3

p=ωc

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Cas des vibrations forcées

Une solution particulière est :

La solution générale s’amortit, ne reste que la solution particulière après un certain temps. L’amplitude est alors

y+2n y+ p2 y=E sinω t

y2(t)=C1sinω t+C2 cosω t

C1=Ep2−ω

2

( p2−ω

2)2+(2nω)

2

C2=−E2nω

(p2−ω

2)2+(2nω)

2

y2(t)=E

( p2−ω

2)2+(2nω)2

[( p2−ω

2)sinω t−2nωcosω t ]

|ymax|=E

(p2−ω

2)2+(2nω)2

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Si de plus l’amortissement est très faible, alors on a n → 0

donc

Si on pose (c’est un choix arbitraire!), alors on

retombe exactement sur

On voit donc une grande analogie entre le phénomène vibratoire et les phénomènes de stabilité en rotation de l’arbre.

L’analogie n’est pas totale : les contraintes générées ne sont pas identiques (flexion alternée vs. flexion ordinaire)

L’arbre doit être un solide de révolution ! (problème unidimensionnel)

|ymax|=E

p2−ω

2=E

ωc2−ω

2

E=ω2e

ω2e

ωc2−ω

2

58



La recherche des pulsations critiques peut donc se faire de trois façons différentes :

1- Équilibre dynamique indifférent, par imposition d’une déformation et vérification de l’égalité des force d’inertie et élastiques

2- Utilisation d’une excentricité due à un balourd, et recherche de la pulsation pour laquelle les déformations tendent vers l’infini

3- Recherche des pulsations propres du problème vibratoire associé

La condition habituellement choisie est que la raideur de l’arbre soit suffisante pour que la vitesse critique soit au moins 1,5 fois plus élevée que la vitesse de rotation prévue.

59



Cas utiles Vitesse critique d’un arbre sans masse portant un seul

disque au milieu :

ici, est la flèche résultante de l’application d’une

force unitaire au droit du disque. C’est aussi le coefficient d’influence de la force.

La formule est valable pour n’importe quel cas comportant un seul disque, pour autant que la masse de l’arbre soit négligeable.

ωc=√48EI

M L3 =√1

M L3

48EIL3

48EI=a11

ωc=√1

M a11

60



2 appuis simples, disque centré

2 appuis simples, disque excentré

2 appuis encastrés, disque centré

Console, disque à l’extrémité

L/2 L/2

L1 L2

a11=L3

48EI

a11=L1

2L22

3EI (L1+L2)

L/2 L/2

a11=L3

192EI

L

a11=L3

3EI

( I=π d 4

64 )

61



Arbre réel : la masse est répartie !

Prenons le cas d’un arbre simplement appuyé

La force centrifuge (répartie) vaut :

L’équation de la déformée est :

Dérivons une fois :

Puis encore :

D’ou l’éq. diff. avec

L

∂2 y

∂ x2=

MEI

∂3 y

∂ x3=∂M∂ x

1EI

=TEI

f (x)=mdxω2 y

∂4 y

∂ x4=∂T∂ x

1EI

∂4 y

∂ x4=m ω

2

EIy

∂4 y

∂ x4−a4 y=0 a4

=mω

2

EI

∂T∂ x

=mω2 y

62



avec

Solution générale :

avec

Conditions aux limites :Ici, on a et d’une part (position fixée) et d’autre part (moment nul)

On obtient un système linéaire homogène, pour lequel la solution triviale est toujours sauf dans le cas ou le déterminant est nul. C’est ce qui nous intéresse ici.

L

∂4 y

∂ x4−a4 y=0 a4

=mω

2

EI

y (x)=C1 f 1(a x)+C2 f 2(a x)+C3 f 3(a x)+C4 f 4(a x)

y (0)=0 y (L)=0y "(0)=0 y "(L)=0

Cn=0

Fonctions de Duncan

f 1(ξ)=sinh ξ+sin ξf 2(ξ)=sinh ξ−sin ξf 3(ξ)=cosh ξ+cosξf 4(ξ)=coshξ−cosξ

63



Conditions aux limitesL

y (0)=0 y (L)=0y "(0)=0 y "(L)=0

f 1"(ξ)=sinh ξ−sin ξ=f 2(ξ)

f 2"(ξ)=sinh ξ+sin ξ=f 1(ξ)

f 3"(ξ)=coshξ−cosξ=f 4(ξ)

f 4"(ξ)=coshξ+cosξ=f 3(ξ)


f 1(ξ)=sinh ξ+sin ξf 2(ξ)=sinh ξ−sin ξf 3(ξ)=cosh ξ+cosξf 4(ξ)=coshξ−cosξ

y "(x)/a2=C1 f 2(a x)+C2 f 1(a x)+C3 f 4 (a x)+C4 f 3(a x)

y (0)=0

y (L)=0

y "(0)=0

y "(L)=0

C3=0

C4=0

C1 f 1(aL)+C2 f 2(a L)+C3 f 3(a L)+C4 f 4(a L)=0

C1 f 2(a L)+C2 f 1(a L)+C3 f 4 (a L)+C4 f 3(a L)=0

64



L

det (0 0 1 00 0 0 1f 1 f 2 f 3 f 4

f 2 f 1 f 4 f 3)=0 det(

f 1 f 2

f 2 f 1)=0

(sinh a L+sin aL)2−(sinh a L−sin a L)2=0sinh2

+sin2+2sinh sin−sinh2

−sin2+2sinh sin=0

sinh sin=0

sina L=0

a L=nπ ωcn=(nπ)2

L2 √ EIm

a4=

mω2

EI

√mω2

EIL2=n2

π2

f 12− f 2

2=0

(n>0)

y (0)=0

y (L)=0

y "(0)=0

y "(L)=0

C3=0

C4=0

C1 f 1(aL)+C2 f 2(a L)+C3 f 3(a L)+C4 f 4(a L)=0

C1 f 2(a L)+C2 f 1(a L)+C3 f 4 (a L)+C4 f 3(a L)=0

(C1+C2)(f 1+ f 2)=0 C1+C2=0

65



En définitive, on retrouve une infinité de vitesses critiques, correspondant à l’infinité de degrés de liberté dans le problème …

Ces vitesses critiques correspondent à des modes de déformation particuliers (v. modes propres) :

car

On peut encore montrer que ces modes propres sont identiques aux modes propres vibratoires « habituels » d’une poutre (avec symétrie de révolution) en flexion...

ωcn=n2π

2

L2 √ EIm

(n>0)


a=nπL

y (x)=K sin(nπL

) C1+C2=0;C3=C4=0

a4=

mω2

EI

66



Cas utiles

ωcn=(μn)

2

L2 √EIm

libre – aucun déplacement imposéM=0, T=0

guidée – orientation fixée mais position librey’=0, T=0

articulée – position fixée mais orientation librey=0, M=0

encastrée – position et orientation fixéesy=0, y’=0

67



Méthodes approchées de détermination des pulsations propres

Les géométries complexes empêchent de calculer analytiquement ces valeurs : en fait on n’a habituellement besoin de ne connaître que la première pulsation propre.

Il existe plusieurs approches :

Éléments finis

Méthode de Dunkerley ( généralement par défaut )

( Méthode de Rayleigh ( généralement par excès) )

( Méthode de Stodola )

...

68



Éléments finis Pour une détermination exhaustive et relativement précise, à

condition de connaître précisément la géométrie.

Pour le dimensionnement préliminaire, on ne peut se baser sur cette technique car :

- Elle est bien trop coûteuse.

- On ne connaît pas précisément la forme de l’arbre et la position des roues

- Elle nous donne une analyse « ponctuelle » : pour une tendance, il faut faire plusieurs calculs en variant la géométrie !

69



Approche de Dunkerley

Méthode « légère » donnant les tendances Vieille comme le monde : publiée en 1894, sur des bases expérimentales

Principe : déterminer la première pulsation propre du système complexe connaissant les 1ères pulsations propres d’éléments plus simples…

Le cas typique : arbre de section constante portant des masses ponctuelles correspondant à des poulies.

Il convient de calculer les (premières) pulsations propres de chaque cas indépendamment :

M1

M2

Mn

m

Arbre seul

ωc I=π

2

L2 √ EIm

Mn

m Poulie n

a1n=L1n

2 L2n2

3EI (L1n+L2n)ωcn=√ 1

M na1n

avec

70



Formule de Dunkerley

soit

Approximation d’autant plus précise que les pulsations propres d’indice 2 et 3 suivantes de l’ensemble du système sont éloignées de (première p.p.)

L’erreur est commise par défaut : et est de l’ordre de 3 à 4 % pour les applications envisagées → c’est donc une approche conservatrice (sécuritaire) si le but est de travailler en deçà de la valeur calculée.

Permet une estimation rapide et donne des indices sur ce qu’il faut faire pour atteindre un objectif donné...

1

Ωc12=

1

ωc I2+∑

1

n1

ωcn2

1

Ωc12=

1

ωc I2+∑

1

n

M na1n

Ωc 1

Ωc 1<Ωc1exact

71



Que faire si l’arbre envisagé a une forme plus complexe ?

Déterminer les modes propres (et autres grandeurs) à l’aide d’un logiciel de calcul par éléments finis …

72



Cas des arbres courts (pas de torsion) Arbre courts, points d’application des efforts proches des

appuis : deux cas selon le type d’assemblage !

Cas 1Dimensionnementen cisaillement

Cas 2dimensionnementà la flexion

jeu

point decontact

reel

F

F/2 F/2

l

L

d

jeu

T=F2

Effort tranchant maxi

Moment fléchissantmaxi

M f =FL4

M f =3 FL16

bi-appuyé

encastrementimparfait

M f =FL4

M f =FL8

bi-encastré

73



Cas 1 : encastrement et cisaillement prépondérantOn calcule l’effort de cisaillement maxi

Formule de Jourawski → répartition parabolique descontaintes

Pour une section circulaire :

τ(x , y )=(d 2

−4 y2)

32 T

12 I x√d 2−4 y2

=d 2−4 y2

12 I x

m( y)=∫y

ymax

t b(t)dt

b(y)

x

yG

m( y)

m( y)=∫y

ymax

t √d 2−4 t2 dt

b( y )=√d 2−4 y2

m( y)=(d 2

−4 y 2)

32

12

τ(x , y)=m( y)TI x b( y )

I x=π d 4

64

τ(x , y)=16(d 2

−4 y2)

3 πd 4τmax=

16(d 2−4 y2

)

3π d 4 |y=0

=16 T

3πd 2

74



Si l’on connaît la contrainte de cisaillement limite, on peut alors déterminer le diamètre mini :

En général, est déterminée à l’aide d’essais en traction en utilisant la formule des contraintes équivalentes (e.g. von Mises):

Comme dans la formule des arbres de manège, dépend de la fatigue, du coefficient de sécurité etc. Dans les mèmes conditions, il vaut environ 50 Mpa - efforts alternés (bielle), 100 Mpa (efforts non alternés), 150 Mpa (statique)...ou plus si les alliages utilisés le permettent.

d min>√16T

3π τmax*

τmax*

σeq=√σ2+3 τ2

τmax*

=σmax

*

√3

d min>√16 T

√3πσmax*

σmax*

75



Cas 2 : Flexion dominante Contraintes telles que :

D’où le diamètre minimal :

σmax=y⋅M f

π d 4

64 |y=

d2

=32 M f

π d 3σ=

y⋅M f

I f

=y⋅M f

π d 4

64

d min>3√ 32π

M f

σmax*

76



Vérification : pression de contact aux appuis Cas 1

Cas 2

p=Td l

<σmax*

ld>√3π16

=0.34

d=√16T

√3πσmax*

En général vérifié : l > d pour des raisons pratiques

p=F

2 d l<σmax

*d= 3√ 32

πM f

σmax*

d 3=

32π

F L

4σmax*

d 2=

16 T

√3 πσmax* T=

√3π d 2σmax

*

16

F=4π d 3

σmax*

32 L

L l

d 2> π

16=0.19 En général vérifié : l > d (cf plus haut)

L > d (même raisonnement)

77



Exercice

Un arbre transmet un mouvement d’une poulie vers une roue dentée droite ( α : 20° ). La roue dentée en entraîne une autre située en dessous (non dessinée).

L=200 mm 100 mm

50 mm

M=100 Kg

xV

H

N=1000 tr/minP=20 kW

100

mm

1) Calculer le diamètre de l’arbre à l’aide de la formule des arbres de manèges.2) Calculer toutes les réactions, les moments fléchissants, les couples, et en déduire un SER (calculer les diamètres pour x=25,50,100,150,200,250). Qu’en concluez vous par rapport à la formule des arbres de manèges ? 3) En considérant un diamètre de l’arbre constant = 40mm, calculer les pulsations propres des éléments séparés (arbre sans masse + engrenage, puis poulie, enfin arbre pesant sans les éléments de machine. Calculer la pulsation de l’ensemble. Conclusion ?( 4) Calculer les flèches au droit de la roue et de la poulie )Note : tous les éléments sont en acier, ρ=7,8 g/cm³, contrainte limite 50 Mpa, g=9.81 m.s-2 selon V

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